Ayuda para el problema 14.5 (Wangsness, Roald, p´ ag 289)
Para el c´alculo de la inducci´on axial en el centro de un solenoide de secci´on cuadrada de lado a del problema 14.5 (Wangsness, R) necesitaremos modificar el resultado del problema 4 para la espira cuadrada, siguiendo el m´etodo expuesto en el ejemplo de la p´ag 285. Si se asume que la base del solenoide de altura L es el plano xy, deber´ıamos llegar a la expresi´on para la inducci´on axial:
B = zˆ
dz 0 µ 0 I 0 a2 n Z L q 2π 0 [(z − z 0 )2 + a2 /4] (z − z 0 )2 + a2 /2
Si evaluamos la expresi´on para un punto z = L/2 en el centro del solenoide tenemos que resolver:
Int =
Z L
dz 0
0
[(L/2 − z 0 )2 + a2 /4] (L/2 − z 0 )2 + a2 /2
q
Hacemos el cambio de variable: u = z 0 − L/2 La geometr´ıa del problema aparece en la Figura de la siguiente p´agina. Y al hacer el cambio la integral queda as´ı (verificar):
Int =
Z L/2 −L/2
du q
[u2 + a2 /4] u2 + a2 /2
Podemos aprovechar a que el integrando es una funci´on par de la variable de integraci´on u y escribir:
Int = 2
Z L/2 0
du q
[u2 + a2 /4] u2 + a2 /2
Hacemos ahora un nuevo cambio de variable:
x = u2 + a2 /2
1
z
L
z´ ndz´ espiras u = z´ - L / 2 > 0 z = L / 2, punto de campo u = z´ - L / 2 < 0 z´
O
q
Con este cambio, u = ± x − a2 /4 pero como estamos integrando exclusivamente para valores positivos de u, tomamos la ra´ız positiva y as´ı dx = 2u du y du = dx/2u = √ dx 2 . Ahora la integral queda as´ı (Verificar l´ımites): 2
x−a /4
Int =
Z L2 /4+a2 /4
dx q
a2 /4
x − a2 /4 x
q
x + a2 /4
=
Z L2 /4+a2 /4 a2 /4
dx x x2 − (a2 /4)2
Esta integral es conocida y aparece en las tablas:
Z
dx 1 √ = arc cos 2 2 α x x −α
Aplicando este resultado obtenemos: 2
α |x|
q
!
con α > 0
4 Int = 2 arc cos a
a2 L2 + a2
!
Y la inducci´on en el centro del solenoide cuadrado: 2µ0 I 0 n0 µ 0 I 0 a2 n 0 · Int = zˆ arc cos B = zˆ 2π π
2
a2 L 2 + a2
!
Podemos observar que si L → ∞ entonces arc cos L2a+a2 → π/2 y obtenemos de nuevo la espresi´on para la inducci´on en el centro de un solenoide infinito: Bz = µ0 n0 I 0 (Observaci´on: La respuesta del libro puede obtenerse aplicando la identidad arc cosθ = π/2 − arc sen θ al resultado de arriba)
