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I.
Introducción
Se dice que un problema es hiperestático cuando el número de incógnitas estáticas (reacciones, esfuerzos, tensiones) es mayor que el núm nú mer ero o de ec ecua uaci cion ones es de eq equi uili libr brio io de la lass qu que e se di disp spon one e pa para ra resol re solver verlo lo.. l núm númer ero o de inc incógn ógnita itass en e! e!ces ceso o sob sobre re el nú númer mero o de ecuaciones se de"ne como grado de hiperestaticidad del problema. l procedimiento a seguir para la resolución de un problema hiperestático se puede enunciar de la siguiente manera# $.% &denti"car el grado de hiperestaticidad e!terna (') mediante la siguiente ecuación# ' * n+ de rea eacc ccio ione ness - . .%% /i /ibe bera rarr ta tant ntas as li liga gadu dura rass (m (mov ovim imie ient ntos os restr re strin ingid gidos os)) com como o sea sean n nec necesa esario rioss par para a con conver vertir tir el pó pórti rtico co en un probl pr oblema ema iso isostá státic tico, o, sus sustit tituye uyendo ndo las re reacc accion iones es por una unass fue fuerza rzass e!terior e!te riores es de valo valorr incó incógnit gnita a llam llamadas adas rea reaccio cciones nes hipe hiperes restátic táticas. as. -.% 0es esol olve verr el va valo lorr de lo loss de desp spla laza zami mien ento toss li libe bera rado doss me medi dian ante te la lass ecuac ecu acion iones es de 1av 1avier ier%2 %2re ress sse. e. st stos os des despla plazam zamien ientos tos qu queda edaran ran en función de las reacciones hiperestáticas. 3.% 4alcular el valor de estas reacciones mediante la imposición de las ecuaciones de compatibilidad, que vuelven a restringir el desplazamiento liberado.
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II.
OBJETIVOS
4onocer como de determina el grado de hiperestaticidad de un sistema estructural iferenciar entre hiperestaticidad e!terna interna y total de una estructura III. MARCO TEÓRICO •
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HIPERESTATICIDAD ESTRUCTURAL 1. HIPERESTATICIDAD EXTERA. !"E#
n este diagrama se considera a toda la estructura como un sólido r8gido, y sesustituyen las ligaduras por sus reacciones correspondientes, con lo que se obtienen tantasincógnitas como reacciones haya, en número r . 5 este con9unto se le aplica un estudio deestabilidad. l número de reacciones es menor que el de ecuaciones de equilibrio r :q# la estructura es un con9unto inestable, y se dice que es e!ternamente inestable. Sin embargo para ciertas combinaciones particulares de las fuerzas e!teriores la estructura puede encontrarse en equilibrio, que se denomina equilibrio inestable. l número de reacciones es igual al número de ecuaciones de equilibrio r *q. nprincipio la estructura es e!ternamente isostática ya que hay ecuaciones de la estática ennúmero su"ciente para calcular todas las reacciones. Sin embargo esta condición esnecesaria pero no su"ciente para garantizar que la estructura es e!ternamente isostática. n efecto, puede ocurrir que el número de reacciones sea el correcto, pero que sudisposición geom;trica sea tal que la estructura sea inestable en una determinadadirección# se dice en este caso que tiene inestabilidad e!terna. sto ocurre por e9emploen una estructura plana cuando las tres reacciones se cortan en un punto, o son paralelas. l número de reacciones es mayor que el de ecuaciones de equilibrio r
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r :q r*q r
&nestable e!ternamente &sostática e!ternamente iperestática e!ternamente
$. HIPERESTATICIDAD TOTAL
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/a hiperestaticidad total (gt) es la suma de la hiperestaticidad e!terna (ge) más la hiperestaticidad interna (gi) ¿= ¿+ gi
$.1. PARA ARMADURAS %. CELOS&AS PLAAS
n este caso se dispone de dos ecuaciones de equilibrio de fuerzas según las direcciones =e > de cada nudo, dando un total de n ecuaciones para los n nudos. 4omparando con las b?r incógnitas e!istentes, las distintas situaciones que pueden producirse son# 5 b+r : n &nestable 2 &sostática b+r * n 4 iperestática b+r < n stas relaciones de"nen la condición de estabilidad global de la celos8a, considerándolacomo un todo único. /a condición 5 es su"ciente para indicar que la celos8a tiene algúntipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o e!terior. /as condiciones 2 y 4 son necesarias pero no su"cientes ya que además se requiereque haya una disposición de barras y reacciones tal que no e!ista inestabilidad e!terior niinterior, en ningún subcon9unto de la celos8a. n todo caso, además de la aplicación de las fórmulas anteriores, se requierenormalmente un análisis visual de la estructura para su correcta clasi"cación. '. CELOS&AS ESPACIALES n este caso se dispone de tres ecuaciones de equilibrio de fuerzas en cada nudo, según lasdirecciones =, >, @. /as distintas situaciones que pueden producirse son las mismas que enel caso plano# 5 b?r : -n &nestable 2 &sostática b?r * -n 4 iperestática b?r < -n 5lgún tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o e!terior. /as condiciones 2y 4 son necesarias pero no su"cientes, ya que se requiere además que haya una disposiciónde barras y reacciones tal que no e!ista inestabilidad e!terior ni interior, en ningúnsubcon9unto de la celos8a. 7or lo tanto es necesario tambi;n un análisis visual de la estructura para su correctaclasi"cación, lo cual resulta normalmente bastante comple9o dada la distribución espacialde las barras. $.$. PARA VI"AS %. ESTABILIDAD A (LEXIÓ ) CORTATE
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e las tres ecuaciones de la estática disponibles en el plano, sólo se pueden usar dos paraestudiar la estabilidad a Ae!ión# la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales y la ecuaciónde equilibrio de momentos. Sean# r el número de reacciones en los apoyos que afectan a la Ae!ión. s decir que seconsideran únicamente las reacciones en dirección > (imposibilidad demovimiento transversal) y los momentos (imposibilidad de giro), c el número de condiciones de construcción que afectan a la Ae!ión. Bstaspueden ser articulaciones (condiciones de momento Aector nulo) o deslizaderasverticales (esfuerzo cortante nulo). l número de fuerzas incógnita en una viga es# cuatro para cada barra (dos fuerzas cortantesy dos momentos en cada e!tremo), más r incógnitas debidas a las reacciones. l número deecuaciones de equilibrio disponibles es# b ecuaciones debidas a las b barras (una ecuaciónde equilibrio de fuerzas y otra de momentos), más ( b?$) ecuaciones debidas a los b?$nudos (una ecuación de equilibrio de fuerzas y otra de momentos), más c ecuacionesdebidas a las condiciones de construcción. /as condiciones de estabilidad referentes a la Ae!ión se obtienen comparando elnúmero de incógnitas con el de reacciones y se resumen en la tabla siguiente# 5 3b ? r : 3b ? ? c &nestable 2 &sostática 3b ? r * 3b ? ?c 4 iperestática 3b ? r < 3b ??c stas relaciones de"nen la estabilidad de la viga considerándola como un todo único, en loque a su comportamiento a Ae!ión se re"ere. /a condición 5 es su"ciente para indicar que la viga tiene algún tipo deinestabilidad, pero sin indicar su origen interior o e!terior. l número de grados de libertadde la viga es g*?c%r . /as condiciones 2 y 4 son necesarias pero no su"cientes, ya que se requiere ademásque haya una disposición de las barras y las reacciones tal que no e!ista inestabilidade!terior ni interior, en ningún subcon9unto de la viga. Si esta disposición es adecuada, elgrado de hiperestaticidad en el caso 4 es h*r %c%. •
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'. ESTABILIDAD A ES(UER*O AXIAL
n la dirección a!ial sólo hay una ecuación de equilibrio estático, de las tres e!istentes en elplano, y es con respecto a ella con quien se comparan las incógnitas e!istentes. Sean# real número de reacciones en los apoyos que afectan al esfuerzo a!ial. s decirque se consideran únicamente las reacciones en dirección = (imposibilidad de movimiento longitudinal), y caer número de condiciones de construcción que afectan al esfuerzo a!ial. staspueden ser únicamente deslizaderas longitudinales (esfuerzo a!ial nulo)./a condiciones de estabilidad referentes al esfuerzo a!ial son las siguientes# 5 ra: $ ? ca&nestable •
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2 &sostática ra* $ ? ca 4 iperestática ra< $ ? ca stas relaciones de"nen la condición de estabilidad de la viga en su dirección a!ial,considerándola como un todo único. /a condición 5 es su"ciente para indicar que la vigatiene algún tipo de inestabilidad a!ial, pero sin indicar su origen interior o e!terior. lnúmero de grados de libertad de la viga es ga*$?ca%ra. /as condiciones 2 y 4 son necesarias pero no su"cientes, ya que además se requiereque haya una disposición de las barras y de las reacciones a!iales tal que no e!istainestabilidad e!terior ni interior, en ningún subcon9unto de la viga. Si esta disposición esadecuada, el grado de hiperestaticidad en el caso 4 es ha*ra%ca%$. n todo caso, además de la aplicación de las fórmulas anteriores, se requierenormalmente un análisis visual de la estructura para su correcta clasi"cación. $.+. PORTICOS %. CODICIOES DE ESTABILIDAD n los pórticos la mayor parte de las barras están empotradas entre s8, por lo que no suelenpresentarse problemas de estabilidad, y el grado de indeterminación estática suele ser muyalto. Se denomina r al número de reacciones en los apoyos, c al número de condiciones deconstrucción, b al número de barras y n al número de nudos. '. PÓRTICOS PLAOS n este caso las reacciones pueden ser dos fuerzas en las direcciones = e >, y un momentoen la dirección @. /as condiciones de construcción pueden ser articulaciones (condicionesde momento Aector nulo), o deslizaderas en sentido a!ial o transversal a cada barra (fuerzaa!ial o cortante nula). l número de ecuaciones de la estática que pueden plantearse es - por cada nudo y -más por cada barra, que unidas a las c condiciones de construcción dan -n?-b?cecuaciones. 7or otro lado el número de fuerzas incógnita es de C por cada barra, más las r reacciones e!teriores, dando C b?r incógnitas. 4on estas magnitudes, la condiciones de estabilidad del pórtico se resumen en latabla siguiente# 5 Cb ? r : -n ? -b ?c &nestable 2 &sostático Cb ? r * -n ? -b ?c 4 iperestático Cb ? r < -n ? -b ?c /a condición 5 es su"ciente para indicar que el pórtico es inestable, pero sin indicar elorigen de esta inestabilidad. l número de grados de libertad g*-n% -b?c%r ./as condiciones 2 y 4 son necesarias pero no su"cientes, ya que se requiere ademásque haya una disposición de las barras y las reacciones tal que no e!ista inestabilidade!terior del pórtico en su con9unto, ni interior en ningún subcon9unto del mismo. Si la disposición de las barras es adecuada para que no haya inestabilidad, el gradode hiperestaticidad en el caso 4 es h*-b%-n +r -c. c. PÓRTICOS ESPACIALES n los pórticos espaciales las reacciones en los apoyos pueden ser tres fuerzas y tresmomentos. /as condiciones de construcción pueden ser articulaciones (condiciones de momento Aector o torsor nulo) o deslizaderas (fuerza a!ial o fuerza cortante nula). &1'1&0&5 4&6&/
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l número de ecuaciones de la estática que pueden plantearse es C por cada nudo y Cmás por cada barra, que unidas a las c condiciones de construcción dan un total de C n?Cb?cecuaciones. 7or otro lado el número de fuerzas incógnita es de $ por cada barra (C en cadae!tremo), más las r reacciones e!teriores, dando $b?r incógnitas. 4on estas magnitudes, laS condiciones de estabilidad del pórtico se resumen en latabla siguiente# 5 $b ? r : Cn ? Cb ?c &nestable 2 &sostático $b ? r * Cn ? Cb ?c 4 iperestático $b ? r < Cn ? Cb ?c 5l igual que en el caso plano la condición 5 es su"ciente para indicar que el pórtico tienealgún tipo de inestabilidad, pero sin indicar su origen interior o e!terior. l número degrados de libertad es g*Cn%Cb?c%r . /as condiciones 2 y 4 son necesarias pero no su"cientes, ya que se requiere ademásque la disposición de las barras y las reacciones sea tal que no se produzca inestabilidade!terior ni interior en ningún subcon9unto del pórtico. Si esta disposición es adecuada, elgrado de hiperestaticidad en el caso 4 es h*Cb%Cn?r %c.
IV.
APLICACIOES
9ercicio n+ $ etermine el grado de hiper estaticidad de la siguientes armaduras
5). calculo del gardo de hiperestaticidade!terno. '*10%1* -%-* E grado de hiper estaticidad interno &1'1&0&5 4&6&/
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'&* 1'%11?1*F%(C)?-*E 'rado de hiperestaticidad total '5G*E
armadura estaticamente determinada e!terna (isostatica) 2) calculo del grado de libertad '/*11%10* (C)%-* F
9ercicio n+ etermine el grado de hiperestaticidad(indeterminacion) y de libertad de lso siguientes marcos
a) 4alculo de ' '* 10%1%4* C%-%E* '&* -1%-11?1*-(-)%3(-)?-*E 'G* ' ? '& *marco estaticamente indeterminado estremadamnte determinado inderterminadamente(isostatica) 2) 45/4H/I '/ '/*-(11)%10* -(3)%C* C 9ercicio n+ &1'1&0&5 4&6&/
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de grado
- y
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5) 4alculo de gh '*10%1* 3%-*$ '&*1%11?1*$J %($E)?-*E 'G* $?E* $ armadura estaticamente indeterminada e!tremamente de grado$ y determinada internamente 2) 45/4H/I '/ '/*11%10*($E)%3* $C 9erció n+3 5) calculo de '
'*10%1* -%-*E '&*1%11?1*$D%(K)?-* 'G*'?'&*E?* armadura estaticamente determinado e!ternamente e inderterminado internamente de grado . 2) calculo de '/ '/* 11%10* (K)%-*$9erció n+ D
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5) 4L/4H/I ' '*10%1*$%C*C '&*1%-11?1*K%-($)?C*% 5rmadura estáticamente indeterminado e!ternamente de grado e inestable internamente. 2) calculo de '/ '/*-11%10E -($)%$*3
V.
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COCLUSIOES ) RECOMEDACIOES 7ara cada sistema como lo es las armaduras, vigas y pórticos por sus elementos que lo conforman tienen diferentes ecuaciones para determinar su grado de esteticidad. l grado de hiperestaticidad interna se determinara despe9ándolo de la ecuación grado de hiperestaticidad total* gi?ge 7ara sistemas compuesto hay que combinar las ecuaciones
VI. • • • •
BIBLIO"RA(IA 5nálisis estructural de MH51 GINLS 4/&'OG5% H1S5 5nálisis estructural de ibbler https#PPes.QiRipedia.orgPQiRiPiperest4-5$tico http#PPQQQ.soloingenieria.netPforosPvieQtopic.phpTt*C3
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