Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas)
Capítulo 14
Turbinas Kaplan
1
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) TURBINAS DE REACCIÓN (FRANCIS Y KAPLAN) Si nos dan de dato:
Si D1 = D2
Dmed (Media aritmética de Dint y Dext ) y V m1 = V m 2 = V m
U 1 = U 2
Si nos dicen:
“Sin componente acimutal en la salida” o “el agua sale del rodete con dirección radial”: α 2 = 90º V 2 = V m2 Ángulos: α 0 : Ángulo de entrada álabes del distribuidor
β 2 : Ángulo de salida álabes del rodete
α 1 : Ángulo de salida álabes del distribuidor
α 3 : Ángulo de entrada álabes del difusor
β 1 : Ángulo de entrada álabes del rodete Triángulo de velocidades:
Velocidades: V x :
Velocidad absoluta del fluido. Velocidad relativa del fluido respecto al rotor. Velocidad lineal/periférica/de arrastre del rotor. Componente meridiana /radial del vector velocidad absoluta. Componente acimutal del vector velocidad absoluta.
W x : U x : V mx : V ux :
Fórmulas (triángulos de velocidades): U x = H u =
π Dx n
60
;
U =
U 1V u1 − U 2V u 2 g
π Dmed n
; V mx =
60 ;
U 1 D1
=
U 2 D2
Qη v
π b x D x
; V m =
Qη v 4
2 2 π ( Dext ) − Dint
;
V ux = U x + V mx cot gβ x ;
Se suele usar cuando no conocemos la velocidad de giro n
Al variar α : V x y U x
se mantienen constantes - al aumentar α aumenta el caudal (Q)
V mx , V cx , W x y Q varían, haciéndolo en la misma proporción en todos los triángulos t riángulos senα ′ senα
=
V m x′ V mx
= ....
∆ β = β x′ − β x
Conservación momento cinético: V u 0 * D0 = V u1 * D1
Siendo D0 el diámetro sección de salida del distribuidor y V uo = V 0 cos α 0
2
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. E.D. para Maquinas Hidráulicas) Fórmulas varias: H n =
H u
Si H Lr = 0 → η h = 1 → H n = H u
η h
H n = H b − H ϕ
Siendo H ϕ la pérdida de carga en la conducción hasta la turbina.
H n = H L + H u
Siendo H L la altura de pérdidas de carga.
H L = H Lv − d + H Lr + H Ldif + H Ldist + H Lest
Si tenemos que incluir las pérdidas a la salida
H sal = V x2 / (2 g )
*Cómo estos cinco sumandos sólo aparecen en esta expresión si no nos dicen nada los tomamos como cero
W t = ρ gQH nη t
Siendo η t = η 0η vη h
W u = W t / η η 0
W e = W t η e
η h = 1 − ϕ iny − ϕ roz − ϕ sal
Siendo ϕ iny−roz−sal las pérdidas por unidad de salto neto.
η v = Q − Q fi − Q fe / Q
Si no hay fugas ni internas ni externas, η v = 1
Tipos de turbinas: Velocidad específica 5 – 30 30 – 50 50 – 100 100 – 200 200 – 300 300 – 500 + 500
ns =
n W / 735 4
5
Tipo de turbina Pelton con un inyector Pelton con varios inyectores Francis lenta Francis normal Francis rápida Francis doble gemela rápida o express Naplan o hélice
Siendo ns la velocidad específica en rpm
H n
Bernoulli: V 12 − V 22
2g
+
p1 − p2
ρ g
+ ( z1 − z2 ) = H n
Si se considera el movimiento plano: ( z1 − z2 ) = 0 V 22 − V 32
2g
+
p2 − p3
ρ g
+ ( z2 − z3 ) = H Ldif
Siendo: V =
Qη v A
=
Q 4η v
π D x2
Circulación, paso y componentes de la fuerza por unidad de anchura: Γ = t (V u1 − V u 2 )
F x / b = t ( p1 − p2 )
t = π Dm / Z
F y / b = ρ V mt (V u1 − V u 2 )
Unidades magnitudes y otras:
1
kg cm 2
W s =
= 98100Pa
1Pa = 1
Ωρ 0,75 W t
Ω=
4
5
∆ pt
N
1CV = 735W 1rev = 2π rad
m2
n2π
∆ pt = QgH n
60
3
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
Plantilla Turbina Kaplan
Distribuidor V 0 = 6m / s
α 0 = 20 º
Resumen de datos Rodete Entrada Salida U = 30m / s V 1 = 13m / s α 1 = 14º β 2 = 170º
4
Turbina
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 14.1.- (C.U. 161) Una turbina Kaplan de eje vertical, con un rodete de diámetro exterior Dext = 8m y diámetro interior Dint = 3,2m , funciona con un salto neto H n = 11m y un caudal Q = 500m 3 / s , girando a una velocidad n = 65,2 rpm . La potencia eléctrica generada por el alternador es de W e = 45 MW . El rendimiento del alternador es η e = 0,96 y el rendimiento orgánico de la turbina es η 0 = 0,97 . La velocidad absoluta a la salida del rodete no tiene componente acimutal, los álabes se han diseñado de forma que a lo largo de ellos la circulación se mantiene constante. La componente axial de la velocidad es uniforme en todo el rodete. El tubo difusor tiene una relación de áreas de 1,5:1, y se sección de entrada está a una altura de 2m por encima del nivel de agua en el canal de desagüe. La pérdida de energía en el interior del difusor se estima en un 10% de la energía cinética en su sección de entrada. Se supondrá una presión de saturación de vapor pv = 2500 N / m2 . Determinar: a) Rendimiento total de la turbina. b) Rendimiento hidráulico (se supondrá η v = 1 ). c) Triángulo de velocidades de entrada y salida en las secciones correspondientes al extremo y a la raíz de los álabes. d) Presión absoluta en la sección de entrada del difusor. Comentar la posibilidad de que la turbina funcione en condiciones de cavitación.
Solución:
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Entrada Salida
Turbina
Difusor
W e = 45 MW Dext = 8m
Dint = 3,2m
H n = 11m
H Ld = 0,1v32 / 2 g
Q = 500m3 / s
S 4 = 1,5S 3
n =
65 , 2 rpm
η e = 0,96 η 0 = 0,97 η v = 1
5
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Rendimiento total de la turbina. La potencia total viene dada, por: 45 *106W W t = = = 46.875kW 0,96 η e W e
Como la potencia total viene dada por: W t = ρ gQH nη t
Por lo que el rendimiento total será: η t =
W t
ρ gQH n
=
46 .875 kW = 0,869 1000 kg / m 3 * 9 ,81 m / s 2 * 500 m / s * 11 m
η t = 0,869
b) Rendimiento hidráulico (se supondrá η v = 1) Teniendo en cuenta que el rendimiento total es: η t = η vη hη 0 η h =
0 ,869 η t = = 0 ,896 η vη 0 0 ,97 * 1 η h = 0,896
6
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) c) Triángulo de velocidades de entrada y salida en las secciones correspondientes al extremo y a la raíz de los álabes.
H u = H nη h = 11m * 0,896 = 9,856 m
Por la ecuación de Euler:
H u =
V u 1U 1
(Ya que V u 2 = 0 )
g
U 1ext = n
U 1int = n
π D ext
60 π Dint
60
=
65 , 2
=
65 ,2
π * 8 m
60
=
π * 3, 2 m
60
27 ,311 m / s
= 10 ,924 m / s
Cómo:
Q = V m A
A = π
2 Dext
4
V m = 2 Dint
− π
4
=
π
4
( D 2
ext
Q A
2 − Dint )
Sustituyendo valores: 4 * 500m3 / s V m = = = = 11,842m / s 2 2 A π ( Dext − Dint ) π (82 − 3,22 )m2 / s 2 Q
4 *Q
V m = 11,842m / s
7
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) V m = 11,842m / s
Dext
V u 1 =
H u g
=
U 1
H u g
V u 1 =
H u g
U 1
9 ,834 * 9 ,81 = 3,532 m / s 27 ,311 V m = 180 º − arctg U 1 − V u 1
β 1 = 180 º − arctg
β 2 = 180 º − arctg
C 2 U 2
= 180 º − arctg
11 ,842 = 180 º − 26 , 47 º = 153 ,53 º 27 ,311 − 3,532
11,842 = 180 º − 23 , 44 º = 156 ,56 º 27 ,311
V m = 11,842 m / s
Dint
V u 1 =
V u 1 =
H u g U 1
=
9 ,834 * 9 ,81 = 8,831 m / s 10 ,924
β 1 = 180 º − arctg
V m = 180 º − arctg U 1 − V u 1
β 2 = 180 º − arctg
C 2 U 2
= 180 º − arctg
11,842 = 180 º − 79 ,98 º = 100 ,02 º 10 ,924 − 8,831
11,842 = 180 º − 47 ,31 º = 132 ,69 º 10 ,924
8
U 1
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) d.1) Presión absoluta en la sección de entrada del difusor.
P3 P4 v32 v42 + ( z3 − z4 ) = H Ld + − − ρ g ρ g g g 2 2
Dónde: P4
2g v32
2g
= 10
=
Q 2 / S 32
=
Q
2
v4
2g
2g
8Q 2
8 * Q2 8 * 5002 m6 / s 2 2 *106 m = 5,043m = 2 4 = 2 = = π gD3 π * g * ( Dext )4 π 2 * 9,81m / s 2 * (8m )4 3,966 *105
/ S 42 Q 2 / (1,5S 3 )2 18Q 2 3,556Q 2 3,556 * 500 2 8,89 *10 6 = = 2 = = 2,241m 4 = 4 = π gD34 π 2 g ( Dext ) 2g 2g 3,966 * 105 m 5 / s 2 π 2 * 9,81(8)
2
z3 − z4 = 2m 2
H Ld = 0,1
v3
2g
= 0,1 * 5,043m = 0,5043m
Sustituyendo valores: P3 − 10 + (5,043 − 2,241) + (2) = 0,5043m ρ g P3 = ρ g (0,5043 + 10 − 5,043 + 2,241 − 2 ) P3 = 9810 N / m3 (5,7023m ) = 55.939,56 N / m 2
P3 = 55.939,56 N / m 2
9
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) d.2) Comentar la posibilidad de que la turbina funcione en condiciones de cavitación. Cómo: P3 = 55,939,56 N / m 2 > Pv = 2500 N / m 2
No existe cavitación.
10
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 14.2.- (C.U. 161) Bajo ciertas condiciones de funcionamiento de una turbina Kaplan, el triángulo de velocidades correspondiente a una cierta posición radial en la sección de entrada al rodete está determinado por las siguientes magnitudes: U 1 = 30m / s V 1 = 13m / s y α 1 = 14º . El número de álabes es suficientemente grande, de forma que puede suponerse que la dirección de la velocidad relativa a la salida de los álabes del rodete coincide en cualquier condición de funcionamiento con la dirección de sustentación nula. Determinar: a) Triángulo de velocidades en la dirección de salida del rodete, correspondiente a la misma posición radial considerada, suponiendo que existe una pérdida de altura V u22
= 0,25m debida a la existencia de una componente acimutal de la velocidad 2g absoluta a la salida. b) Ángulo que deben girar los álabes del distribuidor y del rodete si el caudal disminuye en un 10%, manteniéndose constante el módulo de la velocidad absoluta de entrada al rodete y el ángulo de ataque sobre éste. c) Triángulo de velocidades en la sección de salida del rodete en las condiciones del apartado anterior:
Solución:
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Entrada Salida U 1 = 30m / s V u22 / 2 g = 0,25m V 1 = 13m / s α 1 = 14º β 2 = 170º
11
Turbina
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) Partiendo de los datos dados, representamos el triángulo de velocidades a la entrada del rodete:
Dónde: V m1 = V 1senα 1 = 13m / s * sen(14º ) = 3,144m / s 2
2
V u1 = V 1 − V m1 =
(13)2 − (3,144)2 = 12,614m / s
Puesto qué: V u1 = U 1 + V m1ctgβ 1
V − U 1 12,641 − 30 = arcct β 1 = arcctg u 1 = 169,73º V 3 , 133 m1
Aplicando el teorema del coseno, tenemos: 2
2
W 12 = V 12 + U 12 − 2V 1U 1 cos α 1 = (13) + (30) − 2 * 13 * 30 * cos(14º ) = 312,169
W 1 = 17,668m / s
a) Triángulo de velocidades en la dirección de salida del rodete, correspondiente a la misma posición radial considerada, suponiendo que existe una pérdida de altura
V u22
= 0,25m debida
2g a la existencia de una componente acimutal de la velocidad absoluta a la salida.
Partiendo del triángulo de velocidades a la entrada del rodete, podemos construir el triángulo de velocidades a la salida del mismo:
12
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) Nos dicen que: V u22
2g
V u 2 =
=>
= 0,25m
0,25 * 2 * g = 0,25m * 2 * 9,81m / s 2 = 2,215m / s V u 2 = 2, 215m / s
En una turbina Kaplan se cumple: V m1 = V m 2 = V m
Por lo tanto: V m 2 = V m1 = V 12 − V u21 =
(13)2 − (12,641)2
= 3,144m / s
V m 2 = 3,144m / s
En el triángulo de salida, tenemos: tgα 2 =
V m 2
=>
V u 2
V α 2 = arctg m 2 V u 2
Por lo que: 3,144 α 2 = arctg = 54,84º 2,215 α 2 = 54,84º
V 2 = V u22 + V m22 =
(2,215m / s )2 + (3,133m / s )2
= 3,836 m / s
V 2 = 3,846m / s V u 2 = U 2 + V m 2 cot gβ 2
V − U 2 2,215 − 30m / s = arcctg β 2 = arcctg u 2 = 173,54º 3 , 144 V m 2
β 2 = 173,54º
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Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Ángulo que deben girar los álabes del distribuidor y del rodete si el caudal disminuye en un 10%, manteniéndose constante el módulo de la velocidad absoluta de entrada al rodete y el ángulo de ataque sobre éste.
Se verifica: Si
Q ↓ 10%
entonces
V m ↓ 10 %
Por lo tanto: V m′1 = V m1 * 0,9 = 3,144m / s * 0,9 = 2,830m / s V m′1 = U 12 − V m′1 = tgα 1′ =
(13)2 − (2,830 )2 = 12,688m / s
V m′1 V u′1
α 1′ = arctg
V m′1 V u′1
2,830 = 12,574º 12 , 688
= arctg
∆α = α 1′ − α 1 = 12,574 − 14º = −1,426º ∆α = −1, 426 º V u′1 = U 1′ + V m′1ctgβ 1′
V ′ − U 1′ 12,688 − 30m / s = arcctg β 1′ = arcctg u1 = 170,714º ′ V 2 , 8305 m1
Cómo: V − U 1 12,641 − 30m / s = arcctg β 1 = arcctg u1 = 169,731º V 3 , 144 m 1 ∆ β = β 1′ − β 1 = 170,714º −169,731º = 0,983º ∆ β = 0,983 º
14
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) c) Triángulo de velocidades en la sección de salida del rodete en las condiciones del apartado anterior:
∆ β 2 = ∆β 1 = 0,98º
β 2′ = β 2 * 0,983º = 173,54º +0,98º = 174,52º β 2′ = 174,52º
V u′2 = U 2 + V m 2 ctgβ 2′ V u′2 = 30 m / s + 2,83m / sctg174,52 º = 0,501m / s
V u′2 = 0,501m / s
V 2′ = V u′22 + V m22 =
(0,501m / s )2 + (2,83m / s )2
= 2,874m / s
V 2′ = 2,874m / s
tgα 2′ =
V m′ 2 V u′2
α 2′ = arctg
V m′ 2 2,830 = arctg = 79,96º V u′2 0,501
α 2′ = 79,96º
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Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
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Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) Problema 14.3.- (C.U. 161) Una turbina hidráulica tiene un rendimiento total mínimo garantizado del 75% para el rango de potencias comprendido entre 150 y 270 kW, trabajando bajo un salto de 3 m y girando a 250 rpm. Se supondrá un rendimiento orgánico η 0 = 0,96 . El área de la sección transversal de salida del difusor, de 9200 cm², es igual a la de la sección de salida del rodete, Esta se halla situada a 1,5 m por encima del nivel del agua en el socaz. El ángulo de salida de los álabes del distribuidor es de 80º. En el tubo difusor se produce una pérdida de carga igual a 0,6
V m22
2g
. El diámetro medio del rodete es de 1,04m.
a) Indicar el tipo de turbina de que se trata. b) Determinar si será posible obtener una potencia de 400 kW, manteniendo el mismo rendimiento indicado, si se dispone de un salto de 4,5 m. c) Si se consigue elevar el salto disponible hasta 5 m, determinar las potencias mínima y máxima que podrán alcanzarse. d) Determinar el número de pares de polos que debe tener un alternador síncrono acoplado a la turbina para las condiciones del apartado c). e) Determinar si existe peligro de cavitación en el rango de condiciones del apartado c). f) Determinar los triángulos de velocidades para la sección correspondiente al diámetro medio del rodete en las dos condiciones extremas de funcionamiento del apartado c). g) En las condiciones del apartado c), determinar el rendimiento óptimo si éste se alcanza para un caudal igual a la media de los caudales máximo y mínimo. Solución: a) Indicar el tipo de turbina de que se trata. Para poder saber de qué turbina se trata necesitamos conocer la velocidad específica: ns =
1 P2n 5 H 4
Para W = 150 kW ns =
1 P2n 5 H 4
ns =
5 H 4
P = 204,1 CV
(204,1)1 / 2 * 250 = 904,57 = 35 / 4
Para W = 270 kW 1 P 2n
=>
=>
P = 367,3 CV
(367,8)1 / 2 * 250 = 1214,35 = 35 / 4
Cómo: 904 < ns < 1214
En la tabla 4.2 vemos que se trata de una turbina Kaplan Ultra rápida
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Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Determinar si será posible obtener una potencia de 400 kW, manteniendo el mismo rendimiento indicado, si se dispone de un salto de 4,5 m. Para W = 400 kW H 1
=
H 2
ns =
n12
=>
n22
1 P 2n 5 H 4
P = 400000/735 = 544,2 CV n2 =
2
n1
H 2
=
H 1
(250 )2
4 ,5 = 306 ,18 rpm 3
(544,2 )1 / 2 * 306,18 = 1174,9 = 4,55 / 4
Cómo:
904 < ns < 1214
Si es posible obtener una potencia de 400 kW manteniendo el mismo rendimiento.
c) Si se consigue elevar el salto disponible hasta 5 m, determinar las potencias mínima y máxima que podrán alcanzarse. Si en la expresión:
H 1
=
n12
=>
ns =
n2 =
1 P2n
despejamos la potencia:
5 H 4
2
n1
H 2
H 2
n22
Pns = 904
55 / 4 = 373 ,36 CV = 904 322 , 74
=
H 1
(250 )2
H 5 / 4 P = ns n
2
5 = 322 ,74 rpm 3
=>
274,4kW
=>
494,9kW
2
Pns=1214
55 / 4 = 673,34CV = 1214 322 , 74
d) Determinar el número de pares de polos que debe tener un alternador síncrono acoplado a la turbina para las condiciones del apartado c). n =
322 , 74 rpm
f =
50 Hz = 3000 rpm
n º polos =
f n
=
3000 = 9 , 29 322 ,74 n º polos =
18
9
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) e) Determinar si existe peligro de cavitación en el rango de condiciones del apartado c). Datos: Del apartado c), tenemos: n2 = 322,74rpm
Del enunciado: 2
H Ld = 0,6
V m 2
2g
Ad = 9200cm 2 = 0,92m 2
Planteando la ecuación de Bernoulli entre las secciones de entrada y salida del difusor: Pd Pa vd 2 va2 + ( zd − za ) = H Ld + − − ρ ρ 2 2 g g g g
Considerando: Pa
ρ g
= 10m
vd 2 va2 = 2 g 2 g
( zd − za ) = 1,5m Pd vd 2 va2 V m22 + (1,5m ) = 0,6 − 10m + − ρ g g g 2 2 2g Pd
ρ g
2
= 10m − 1,5m + 0,6
V m 2
2g
2
= 8,5m + 0,6
V m 2
2g
Cómo para agua a 20º Pv ≈ 2331 N / m 2 Pa
ρ g
=>
2
= 8,5m + 0,6
V m =
V m 2
2g
2g (8,5 − 0,2376 ) = 16,437 m / s 0,6
19
Pa
ρ g
=
2331 = 0,2376m 9810
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) f) Determinar los triángulos de velocidades para la sección correspondiente al diámetro medio del rodete en las dos condiciones extremas de funcionamiento del apartado c).
No entiendo muy bien a que te refieres con u1.... Si te refieres a u1, en una kaplan u=u_1=u_2, y conociendo el dato de la velocidad de giro obtenida en el partado d, y con el dato del diámetro medio, ya tienes el valor de u. Si es v_1, recuerda que en una kaplan la vm_1=vm_2=vm, y con el dato de los caudales máximos y mínimos ya tienes vm. Ten en cuenta que para el último apartado vu_2=0 ya que nos imponen la condición de rendiemiento óptimo. De todas formas, en el archivo de dudas de problemas del capítulo 14, al final del archivo tienes resuelto el apartado.
g) En las condiciones del apartado c), determinar el rendimiento óptimo si éste se alcanza para un caudal igual a la media de los caudales máximo y mínimo.
20
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Segunda semana. Febrero 2006. Duración 2h (2,5 P)
Problema 14.4.- 4.- Una turbina tubular (grupo bulbo) con rodete tipo Kaplan y distribuidor axial con álabes móviles funciona en condiciones de diseño con un salto H n = 15m y un caudal Q = 400m3 / s , alcanzando un rendimiento hidráulico η h = 0,9 . El rodete gira a una velocidad w = 6,8rad / s , y tiene unos diámetros exterior e interior Dext = 6m y Dint = 2,4m , respectivamente. Los álabes se han diseñado de forma que a lo largo de ellos la circulación se mantiene constante. La componente axial de la velocidad es uniforme en todo el rodete. La turbina dispone de un sistema que permite regular la potencia actuando simultáneamente sobre los álabes del distribuidor y el rodete, de tal forma que se mantiene constante el módulo de la velocidad absoluta de entrada al rodete y el ángulo de ataque sobre los álabes de éste. Se supondrá que los diámetros, exterior e interior del distribuidor coinciden con los ejes del rodete y que el momento cinético se conserva entre el distribuidor y el rodete. Determinar: a) Ángulos de entrada y salida del rodete y ángulo de salida del distribuidor en la posición radial correspondiente al diámetro medio. Se supondrá que en las condiciones de diseño el agua sale del rodete sin componente acimutal. b) Ángulo que deben girar los álabes del rodete si se giran 1º los álabes del distribuidor para reducir el caudal. c) Rendimiento manométrico en el punto de funcionamiento del apartado anterior.
Solución:
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Turbina Entrada Salida Q = 400m3 / s Dext = 6m Dint = 2,4m H n = 15m w = 6,8rad / s
V u 2 = 0
η h = 0,9
21
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Ángulos de entrada y salida del rodete y ángulo de salida del distribuidor en la posición radial correspondiente al diámetro medio. Se supondrá que en las condiciones de diseño el agua sale del rodete sin componente acimutal. Diámetro medio: Dmed =
Dext + Dint
2
=
6 + 2,4 = 4,2m 2
Velocidad de arrastre para el diámetro medio: U = U 1 = U 2 = w
Dmed
2
= 6,8rad / s *
4,2 m = 14,28m / s 2
Velocidad meridiana: 4 * 400 m 3 / s 16,842 m / s V m = V m1 = V m 2 = = 2 2 2 = π 2 6 ( π − 2,4 )m 2 ( D − Dint ) 4 ext Q
De los triángulos de velocidades, tenemos:
V u1 = U + V m1ctgβ 1
tg (180º − β 2 ) =
tgα 1 =
V m1 V u1
V m 2 U
V − U β 1 = arcctg u1 V m1 V β 2 = 180º −arctg m 2 U
V α 1 = arctg m1 V u1
22
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) De la ecuación de Euler, tenemos: V u1U 1 − V u 2U 2
H u =
=
V u1U 1
g
g
(Ya que V u 2 = 0 )
Por otra parte: H u = H nη h
Por lo que tendremos: V u1U 1 g
= H nη h
De dónde: V u1 =
H nη h U 1
g=
15m * 0,9 * 9,81m / s 2 = 9,274m / s 14,28m / s
Por lo que los ángulos buscados serán: V − U 9,274 − 14,28 = arcctg β 1 = arcctg u1 = 106,55º V 16 , 842 m1
β 1 = 106,55º
16,842 V β 2 = 180º −arctg m 2 = 180º −arctg = 180º −49,7º = 130,29º U 14,28
β 2 = 130,29º
V 16,842 α 1 = arctg m1 = arctg = 61,16º V 9 , 274 u1
α 1 = 61,16º
23
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Ángulo que deben girar los álabes del rodete si se giran 1º los álabes del distribuidor para reducir el caudal. Si se quiere reducir el caudal la variación de un grado en los álabes del distribuidor, será de menos, (se reduce caudal pero la velocidad absoluta permanece constante); al reducir caudal, se reduce la velocidad meridiana V m . α 1′ = α 1 − 1º = 61,16º −1º = 60,16º
Variación en β 1 : Cómo la velocidad absoluta permanece constante: V 1′ = V 1 = V m21 + V u21 =
(16,842)2 + (9,274 )2 = 19,266m / s
En el triángulo de velocidades, podemos ver: V m′1 = V 1′senα 1′ = 19,266 * sen60,16º = 16,677 m / s V u′1 = V 1′cos α 1′ = 19,266 * cos 60,16º = 9,567 m / s
Cómo: V u′1 = U + V m′1ctgβ 1′
=>
V ′ − U 9,567 − 14,28 = arcctg β 1′ = arcctg u1 = 105,78º ′ V 16 , 677 m1
Por lo tanto la variación de β 1 será: ∆ β 1 = β 1′ − β 1 = 105,78º −106,55º = −0,77º
∆ β 1 = −0,77º
24
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) Variación de β 2 :
Del triángulo de velocidades, tenemos: β 2′ = β 2 + ∆β 1 = 130,29º −0,77º = 129,52º β 2′ = 129,52º
c) Rendimiento manométrico en el punto de funcionamiento del apartado anterior. Del triángulo de velocidades, tenemos: V u′2 = U + V m′ 2 ctgβ 2′ V u′2 = 14,28 + 16,677ctg129,52º = 0,523m / s
H u =
V u′1U − V u′2U g
=
9,567 *14,28 − 0,523 *14,28 14,28(9,567 − 0,523) = = 13,165m 9,81 9,81
Cómo: H u = H nη h
η h =
H u H n
=
13,165 = 0,878 15 η h = 0,878
25
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas)
26
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Segunda semana. Febrero 2008. Duración 2h (2,5 P)
Problema 14.5.- 3.- Una turbina Kaplan dispone de un sistema de doble regulación que actúa simultáneamente sobre los álabes del distribuidor y del rodete, permitiendo variar la potencia que produce la turbina en función de la demanda. Girando los álabes del distribuidor se reduce o aumenta el caudal (manteniéndose constante el módulo de la velocidad absoluta de salida del distribuidor), y girando los álabes del rodete se consigue mantener constante el ángulo de ataque sobre éstos, con lo que se evitan las pérdidas por choque. El distribuidor es cilíndrico y en él el flujo carece de componente axial. Bajo ciertas condiciones de funcionamiento, el triángulo de velocidades correspondiente al diámetro medio, Dm en la sección de entrada al rodete está determinado por las siguientes magnitudes: U = 30m / s V 1 = 13m / s y α 1 = 14º , y en la sección de salida del distribuidor, por V 0 = 6m / s y α 0 = 20º . El ángulo de salida de los álabes del rodete correspondiente al diámetro medio es β 2 = 170º . El número de álabes es suficientemente grande, de forma que puede suponerse que la dirección de la velocidad relativa a la salida de los álabes del rodete coincide en cualquier condición de funcionamiento con la dirección de sustentación nula. Determinar: a) Triángulo de velocidades en la sección del rodete, correspondiente al diámetro medio. b) El valor de Dm / D0 , siendo el diámetro de la sección de salida del distribuidor. Considérese que se conserva la componente axial del momento cinético, rvu , entre las secciones de salida del distribuidor y de entrada del rodete. Supóngase a continuación que se giran los álabes del distribuidor 1º para aumentar el caudal, y simultáneamente los álabes del rodete un ángulo ∆ β . Despréciese la variación de D0 debida al giro de los álabes del distribuidor. Determinar, en las nuevas condiciones de funcionamiento: c) El triángulo de velocidades a la salida del distribuidor y la variación de caudal en tanto por ciento. Indicar justificadamente si el sentido en el que giran los álabes del distribuidor, para conseguir un aumento del caudal, es el mismo que el del giro del rodete. d) El triángulo de velocidades en la sección de entrada al rodete, correspondiente al diámetro medio y él ángulo que giran los álabes del rodete. (Nótese que el módulo de la velocidad absoluta a la entrada del rodete ha cambiado.) e) El triángulo de velocidades en la sección de salida del rodete. Solución:
Distribuidor V 0 = 6m / s
α 0 = 20 º
Resumen de datos Rodete Entrada Salida U = 30m / s V 1 = 13m / s α 1 = 14º β 2 = 170º
27
Turbina
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Triángulo de velocidades en la sección del rodete, correspondiente al diámetro medio.
Velocidad de arrastre: U 2 = U 1 = 30m / s
Velocidad meridiana: V m 2 = V m1
Componente acimutal: V u 2 = U 2 + V m 2 ctgβ 2
Ángulo α 2 : tgα 2 =
V m2 V u 2
Teniendo en cuenta el triángulo de velocidades a la entrada del rodete, donde conocemos: U = 30m / s V 1 = 13m / s
α 1 = 14º
Podemos hallar la velocidad meridiana V m1 : V m1 = V 1senα 1 = 13m / s * sen14º = 3,145m / s
Por lo tanto: V m 2 = V m1 = 3,145m / s
V m2 = 3,145m / s
28
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) Conocida la velocidad meridiana, podemos obtener ya la componente acimutal: V u 2 = 30m / s + 3,145m / s * ctg170º = 12,164m / s
V u 2 = 12,164m / s
El ángulo α 2 será: tgα 2 =
V m 2
=
V u 2
3,145m / s = 0,258 12,164m / s
=>
α 2 = arctg(0,258) = 14,50º
α 2 = 14,50º
b) El valor de Dm / D0 , siendo el diámetro de la sección de salida del distribuidor. Considérese que se conserva la componente axial del momento cinético, rvu , entre las secciones de salida del distribuidor y de entrada del rodete. Conservación momento cinético V u 0 D0 = V u1 D1
Del triángulo de velocidades a la salida del distribuidor: V u 0 = V 0 cos α 0 V u 0 = 6m / s * cos 20º = 5,638m / s
Del triángulo de velocidades a la entrada del rodete, tenemos: tgα 1 =
D1 D0
=
V m1 V u1
V u 0 V u1
=
=>
V u1 =
V m1 tgα 1
=
3,145m / s = 12,614m / s tg14º
5,638m / s = 0,447 12,614m / s D1 D0
= 0,447
29
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) Supóngase a continuación que se giran los álabes del distribuidor 1º para aumentar el caudal, y simultáneamente los álabes del rodete un ángulo ∆ β . Despréciese la variación de D0 debida al giro de los álabes del distribuidor. Determinar, en las nuevas condiciones de funcionamiento: c) El triángulo de velocidades a la salida del distribuidor y la variación de caudal en tanto por ciento. Indicar justificadamente si el sentido en el que giran los álabes del distribuidor, para conseguir un aumento del caudal, es el mismo que el del giro del rodete.
Se verifica: V 0′ = V 0 V m0 = V 0 senα 0
V 0 = V m 0 / senα 0
=> V m′ 0 = V 0′senα 0′
V m′ 0 / senα 0′ = V m 0 / senα 0
V 0′ = V m′ 0 / senα 0′
Por lo tanto: Q′ / senα 0′ = Q / senα 0
=>
Q′ = Q * senα 0′ / senα 0
Q′ = Q * sen(21º ) / sen(20º ) = Q *1,0478
∆Q = Q′ − Q = 0,0478
∆Q = 4,78 %
Los álabes del distribuidor parece que giran en sentido contrario, para demostrarlo sería necesario hallar β 1′ Cómo puede apreciarse en el triángulo de velocidades, que al aumentar el ángulo de los álabes del distribuidor, aumenta la componente meridional de la velocidad a la salida del distribuidor, como consecuencia de un aumento del caudal.
30
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) d) El triángulo de velocidades en la sección de entrada al rodete, correspondiente al diámetro medio y él ángulo que giran los álabes del rodete. (Nótese que el módulo de la velocidad absoluta a la entrada del rodete ha cambiado.)
Como consecuencia del aumento del caudal, la componente meridional de la velocidad a la entrada del rodete aumentara en la misma proporción al aumento del caudal. Q senα 1
=
senα 1′ =
Q′ senα 1′ Q′ Q
senα =
1,0478Q Q
sen14º = 1,0478sen14º
α ′ = arcsen(1,0478Sen14º ) = 14,68º
∆α 1 = α 1′ − α 1 = 14,68º −14º = 0,68º
∆α 1 = 0,68º V u′1 = U 1′ + V m′1 cot gβ 1′
V ′ − U 1′ β 1′ = arcctg u1 ′ V m1
Dónde: V u′1 =
V u′0 D1 / D0
=
5,601 = 12,530m / s 0,443
U 1′ = U 1 = 30m / s
31
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) V m′1 =
Q′ Q
* V m1 = 1,0478 * 3,144m / s = 3,294m / s
V ′ − U 1′ 12,530 − 30 = arcctg β 1′ = arcctg u1 = 169,32º ′ V 3 , 294 m1 β 1′ = 169,32º
Cómo antes de girar los álabes, teníamos: V u1 = U 1 + V m1 cot gβ 1
V − U 1 12,61 − 30 = arcctg β 1 = arcctg u 1 = 169,75º V 3 , 144 m1
Por lo tanto: ∆ β 1 = β 1′ − β 1 = 169,32º −169,75º = −0,43º
∆ β 1 = −0,43º
e) El triángulo de velocidades en la sección de salida del rodete.
β 2′ = β 2 + ∆β = 170 − 0,43 = 169,57º V m′ 2 = V m′1 = 3,294m / s V u′2 = U 2′ + V m′ 2 cot gβ 2′ = 30 + 3,294ctg169,57 º = 12,105m / s tgα 2′ =
V m′ 2 V u′2
=>
3,294 α 2′ = arctg = 15,23º 12 , 105 α 2′ = 15,23º
32
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) E.T.S. de Ingenieros Industriales, UNED MÁQUINAS HIDRÁULICAS Primera semana. Febrero 2009. Duración 2h (2,5 P)
Problema 14.6.- 4.- Una turbina Kaplan de eje vertical que funciona en condiciones nominales con un caudal Q = 390m3 / s está acoplada a un alternador que gira a una velocidad n = 65,2rpm y tiene un rendimiento η e = 0,96 . La velocidad específica de la turbina es ws = 2,98 . Los diámetros interior y exterior del rodete son Dint = 3,5m y Dext = 7,5m , respectivamente. Los rendimientos hidráulico, orgánico y volumétrico se tomarán η h = 0,9 η 0 = 0,97 y η v = 1,0 respectivamente. Considérese que la componente axial del momento cinético es uniforme en la sección de entrada al rodete y para el caudal indicado, nula en la sección de salida. Se supondrá que el agua entra al rodete sin choque y que la dirección de la velocidad relativa del agua a la salida de los álabes del rodete no varía en las condiciones de funcionamiento consideradas. Determinar, para las condiciones nominales: a) Potencia eléctrica generada. b) Triángulo de velocidades de entrada y de salida del rodete en la posición radial correspondiente al diámetro medio. Supóngase a continuación que se giran los álabes del distribuidor de forma que el caudal se reduce un 5% , el salto neto un 3% y el rendimiento hidráulico un 7%. c) Calcular el ángulo que deben girar los álabes del rodete para mantener el ángulo de ataque en la posición radial correspondiente al diámetro medio (para determinar el valor de ∆ β debe utilizarse un procedimiento iterativo). Nota: ws = Ω
& 1 / 2 ρ 3 / 4 W ∆ pt 5 / 4
Solución:
Distribuidor
Resumen de datos Rodete Turbina Entrada Salida Dint = 3,5m Dext = 7,5m Q = 390m3 / s n = 65 ,2 rpm
η e = 0,96 V u 2 =
ws = 2,98
0
η h = 0,9 η 0 = 0,97 η v = 1,0
33
Difusor
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) a) Potencia eléctrica generada. ws = Ω
& 1 / 2 ρ 3 / 4 W ∆ pt 5 / 4
Dónde: ws = 2,98
Ω=n
2 2π = 65,2 = 6,828ra / s 60 60
W t = ρ gQH nη t = 103 * 9,81 * 390 * H n * 0,90 * 0,97 * 1 = 3.340.010,7 H nW
∆ pt = ρ gH n = 103 * 9,81 H n = 9810H n 3 / 4
(3.340.010,7 H n )1 / 2 (103 ) 2,98 = 6,828rad / s (9810 H n )5 / 4
= 22,729 H n3 / 4
4
22,729 H n = 3 = 15,01m 2,98
Entonces: W e = W t *η e = 3.340.010,7 * 15,01 * 0,96 = 48139951,52W
W e = 48,14 MW
34
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) b) Triángulo de velocidades de entrada y de salida del rodete en la posición radial correspondiente al diámetro medio. Puesto que se conocen el caudal y el giro, se pueden obtener las velocidades periférica y meridional: U = n
π
60
Dmed = 65,2
V m1 = V m 2 = V m =
π 7,5 + 3,5 = 18,776m / s 60 2 Qη v
π
4
(
2
2 Dext − Dint
=
)
390 *1 π
4
(7,5 − 3,5 ) 2
= 11,286m / s
2
Además como: V u 2 = 0
=>
V 2 = V m = 11,286m / s
Del triángulo de velocidades a la salida, tenemos: tg (180º − β 2 ) =
V 2 U 2
V β 2 = 180º −arctg 2 U 2 11,286 β 2 = 180 º −arctg = 180º −31,01º = 148,99º 18 , 776
β 2 = 148,99º
35
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) Aplicando la ecuación de Euler, y teniendo en cuenta que la componente acimutal de la velocidad a la salida es nula, tenemos: H u =
V u1U 1 g
=>
V u1 =
gH u U 1
Por otra parte tenemos: H u = H n *η h = 15,01 * 0,9 = 13,509m
Por lo tanto la componente acimutal de la velocidad en el triángulo de velocidades a la entrada será: 9,81m / s 2 * 13,509m V u1 = = = 7,058m / s U 1 18,776m / s gH u
En el mismo triangulo de velocidades, tenemos: V u1 = U 1 + V m1ctgβ 1
V − U 1 7,058 − 18,776 = arcctg β 1 = arcctg u 1 = 136,07º V 11 , 286 m1
β 1 = 136,07º
Supóngase a continuación que se giran los álabes del distribuidor de forma que el caudal se reduce un 5%, el salto neto un 3%, y el rendimiento hidráulico un 7%. Es decir: Q ↓ 5% ⇒ Q′ = 390m3 / s * 0,95 = 370,5m3 / s H n ↓ 3% ⇒ H n′ = 15,01m * 0,97 = 14,56m
η h ↓ 7% ⇒ η h′ = 0,9 * 0,93 = 0,837
36
Ejercicios C. U. 161 (Recomendados por el E.D. para Maquinas Hidráulicas) c) Calcular el ángulo que deben girar los álabes del rodete para mantener el ángulo de ataque en la posición radial correspondiente al diámetro medio (para determinar el valor de ∆ β debe utilizarse un procedimiento iterativo).
En esta nueva situación la componente acimutal de la velocidad de salida ya no tiene por qué ser nula, y tendremos:
H u′ =
V u′1U 1 − V u′2U 2 g
=>
g H u′ = U (V u′1 − V u′2 )
Dónde ahora: H u′ = H n′ *η h′ = 14,56m * 0,837 = 12,187 m V u′1 = U 1 + V m′1ctgβ 1′
β 1′ = β 1 + ∆ β V m′1 = V m′ 2 =
Q′
π
4 V u′2 = U 2 + V m′ 2 ctgβ 2′
β 2′ = β 2 + ∆ β
Desarrollando la expresión: g H u′ = U (V u′1 − V u′2 ) g H u′ U g H u′ U g H u′ U 2
= (U + V m′1ctg ( β 1 + ∆ β ) − U − V m′ 2 ctg ( β 2 + ∆ β ))
= U (V m′1ctg ( β 1 + ∆ β ) − V m′ 2 ctg ( β 2 + ∆ β ))
= (V m′1ctg ( β 1 + ∆ β ) − V m′ 2 ctg ( β 2 + ∆ β ))
37
(7,52 − 3,52 )
= 10,721m 3 / s