135659607-DISENO-DE-ESTRUCTURAS-DE-ACERO-CON-LRFD-TEORIA(Autosaved).pdf

UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMÓN FACULTAD DE CIENCIAS Y TECNOLOGÍA INGENIERÍA CIVIL

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO CON LRFD APOYO DIDÁCTICO A LA ENSEÑANZA APRENDIZAJE EN LA ASIGNATURA DE ESTRUCTURAS METÁLICAS

JOSE FRANCISCO ALVAREZ POMMIER PROFESOR DE ESTRUCTURAS METÁLICAS UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

GROVER VARGAS VASQUEZ INGENIERÍA CIVIL UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN SIMON

COCHABMBA – BOLIVIA

Indice Pág.

CAPITULO 1 Introducción al diseño de estructuras de acero 1.1 1.2 1.3 1.4

Introducción El acero como material estructural Diagrama esfuerzo-deformación del acero estructural Perfiles y placas de acero estructural 1.4.1 1.4.2

1.5

1 1 2 7

1.4.3

Aceros de carbono Curvas típicas de esfuerzo-deformación para aceros estructurales y concreto Economía en el diseño estructural

10 10 12

Perfiles 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.5.4 1.5.5 1.5.6 1.5.7 1.5.8 1.5.9 1.5.10 1.5.11 1.5.12 1.5.13 1.5.14 1.5.15 1.5.16

(secciones) de acero Perfiles W Perfiles S Perfiles M Perfiles HP Perfiles C y MC Perfiles L Perfiles WT Perfiles MT Perfiles ST Perfiles rectangular HSS Perfil circular HSS Perfiles 2L Perfiles combinados WC Perfiles combinados SC Rieles Perfiles doblados en frío

12 12 13 14 14 15 16 17 17 16 18 18 19 19 20 20 21

CAPITULO 2 Cargas sobre las estructuras y métodos de diseño 2.1 2.2

2.3 2.4

Códigos de construcción Especificaciones estándar

24 24

2.2.1 2.2.2 2.2.3

25 25 26 26 26 31 31 31 32 34

Cargas especificadas – códigos de construcción Cargas muertas Cargas vivas 2.2.3.1 Cargas de diseño para pisos en Edificios (L) 2.2.3.2 Cargas de diseño para puentes 2.2.3.3 Cargas vivas de techo (Lr) 2.2.3.4 Cargas de hielo y nieve (S) 2.2.3.5 Cargas de lluvia (R) 2.2.3.6 Cargas de viento (W) 2.2.3.7 Cargas de sismo (E)

Métodos de diseño (ASD y LRFD) Diseño con factores de carga y resistencia (LRFD) 2.4.1 Factores de carga 2.4.2 Factores resistencia 2.4.3 TURORIAL DE SAP2000

35 39 39 40 54

CAPITULO 3 Tracción 3.1 3.2

Tracción pura Diseño por el método de resistencias en elementos a tracción

62 63

3.2.1 3.2.2

63 63

Fluencia por área bruta (Ag =área bruta =gross area) Ruptura por área neta (An = área neta = net area)

CAPITULO 4 Compresión Axial 4.1 4.2

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11

Compresión axial pura Desarrollo de la formula de euler para elementos sometidos a compresión

74

4.2.1 4.2.2

79 81

Estructuras indesplazables Estructuras desplazables

Formulas del reglamento AISC para compresión, método LRFD para columnas Relaciones de esbeltez máximas Tipos de armaduras Introducción al diseño de los elementos sometidos a tracción y compresión Uniones con pernos Diseño de los elementos de la armadura sometidos a tracción y compresión Armaduras espaciales Montaje de estructuras de acero Montaje de edificios

72

84 87 92 93 97 101 112 113 115

CAPITULO 5 Cortante de Flexión 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Cortante puro Cortante de flexión en una sección rectangular Relación entre fuerza cortante y momento flexionante Esfuerzos cortantes en secciones abiertas de pared delgada Esfuerzos cortantes en secciones abiertas de pared delgada método de momento estático Centro de corte y centro de torsión de secciones abiertas de pared delgada

116 119 120 123 127 128

CAPITULO 6 Flexión y Torsión 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10

Esfuerzos flexión Articulación plástica Modulo plástico resistente Torsión de barras circulares Analogía de la membrana Torsión en una sección rectangular de pared delgada aplicando el principio de la analogía de la membrana Torsión uniforme (Saint Venant) Torsión no uniforme (torsión de alabeo) Modulo cortante Esfuerzos residuales

139 141 142 143 146 148 151 152 160 165

CAPITULO 7 Flexo-Tracción (Continuación) 7.1 7.2

7.3

Pandeo lateral Pandeo local

168 173

7.2.1 7.2.2

176 176

Secciones compactas, no compactas y esbeltas Elementos no rigidizados y rigidizados

Diseño a cortante

190

CAPITULO 8 Flexo-Compresión 8.1 8.2 8.3 8.4

Elementos sujetos a flexión y compresión combinadas Diseño mediante fórmulas de interacción Método de la carga axial de compresión equivalente Placas Base para columnas

193 194 197 198

8.4.1 8.4.2 8.4.3

198 200 202

Diseño a carga axial de placas base Diseño a momento de placas base Diseño a corte de placas base

CAPITULO 9 Uniones Soldadas 9.1 9.2

Conexiones soldadas Tipos de soldadura 9.2.1 9.2.2 9.2.3 9.2.4

9.3 9.4 9.5 9.6

9.7

Soldadura tope de penetración completa (complete joint penetration groove weld) Soldadura tope de penetración parcial (partial joint penetration groove weld) Soldadura de filete (fillet welds) Soldadura de punto o de ranura (plug or slot welds)

218 219 219 219 220 221

Esfuerzo resultante Resistencia de las soldaduras Resistencia de diseño de soldaduras con LRFD Resistencia de diseño de la soldadura de filete

222 223 223 225

9.6.1 9.6.2 9.6.3

225 226 226

Tamaño mínimo de la soldadura de filete Tamaño máximo de la soldadura de filete Limitaciones de la soldadura de filete

Conexión soldada resistente a momento

227

CAPITULO 10 Diseño a la Fatiga 10.1 10.2

Diseño por carga repetida Diseño del rango de esfuerzos (Fsr)

236 239

CAPITULO 11 Secciones Compuestas 11.1 11.2 11.3 11.4

Vigas compuestas Sección transversal de la viga y el tablero de hormigón Fuerza cortante longitudinal en una sección compuesta Diseño de los conectores por cortante

246 247 248 248

11.4.1 11.4.2 11.4.3 11.4.4 11.5 11.6

11.7

11.8

Pernos de cabeza redonda o espárragos Conectores canal Número de espárragos de cortante Espaciamiento máximo y mínimo de los espárragos

249 249 249 250

Resistencia por momento de las secciones compuestas Teoría plástica

250 251

11.6.1 Caso 1 (eje neutro plástico en la losa de hormigón) 11.6.2 Caso 2 (eje neutro plástico en el ala superior de la viga) 11.6.3 Caso 3 (eje neutro plástico en el alma de la viga)

251 252 253

Recomendaciones para el diseño de secciones compuestas

254

11.7.1 11.7.2 11.7.3 11.7.4 11.7.5

254 254 254 255 255

Apuntalamiento Arriostramiento lateral Peso estimado de la viga de acero Limite inferior del momento de inercia Refuerzo adicional

Columnas compuestas

256

11.8.1 Restricciones en columnas compuestas según el Reglamento del LRFD

256

CAPITULO 12 Deformaciones 12.1 12.2

Deformaciones en elementos estructurales de acero Tipos de deformaciones posibles en edificios de acero

271 272

Anexo Capitulo 1 Anexo 1.1

Planilla de perfiles laminados en frío

277

Modelos y exposiciones de la fuerza de viento para muros y techos Planos Arquitectónicos

279 282

Para secciones compactas no rigidizadas Para secciones compactas rigidizadas Abacos-momentos de diseño para hallar Perfiles de acero A36 Diagramas y formulas para varias condiciones de

285 285 286 288

Tabla para el diseño preliminar de viga-columna Tabla de propiedades de perfiles usados como vigas Tabla para hallar los posibles perfiles para columnas Dimensiones de los perfiles W

289 290 291 292

Dimensiones de los perfiles W

294

Anexo Capitulo 2 Anexo 2.1 Anexo 2.2

Anexo Capitulo 7 Anexo Anexo Anexo Anexo

7.1 7.2 7.3 7.4

Anexo Capitulo 8 Anexo Anexo Anexo Anexo

8.1 8.2 8.3 8.4



Bibliografía

Tabla para el diseño de columnas compuestas

295 297

Apreciación Práctica

Dado que la ciencia y la tecnología mundiales se comunican exclusivamente con la metodología del SI, es indispensable considerar su uso y facilitar su comprensión y manejo. En la ingeniería civil se trabaja continuamente con los conceptos estáticos de peso de cuerpos y de equilibrio de fuerzas. Por tal motivo, el Sistema Técnico se adapta adecuadamente a esta actividad. En las determinaciones de pesos y fuerzas se habla solo de “kilogramos”, sobreentendiéndose que se trata de kilogramos fuerza. Tal uso se extendió y arraigó firmemente, por lo que se dice que su comprensión es inmediata en la evaluación de fuerzas. Se aprecia (o siente) fácilmente lo que son fuerzas y pesos en “kilogramos” o “toneladas”; esfuerzos y presiones en “kilogramos” por centímetros cuadrado; momentos de fuerza en “kilogramos” – metro; etc.

Comprensión practica del ST y SI El sistema métrico gravitacional o sistema técnico (ST), es definido como una de sus unidades fundamentales, que es la fuerza, adoptándose el peso del kilogramo (unidad de masa) en un sitio determinado de la Tierra (a nivel del mar y a 45º de latitud norte). Tal es la definición de su unidad básica, kilogramo fuerza ( kgf ), la aceleración gravitatoria es g = 9.8066 m/s2, resulta que: 1 kgf = 1 kg x 9.8066 m/s2 =9.81 kg·m/s2 De manera que, en función del newton, se tiene: 1 kgf = 9.81 N Pero puede obtenerse una apreciación fácil considerando la equivalencia simplificada, pero con muy cercana aproximación, como se indica: 1 kg = 1 kgf ≈ 10 N 1 N ≈ 0.1 kgf = 0.1 kg En la práctica se capta que el valor de la masa de un cuerpo en “kilogramos”, es numéricamente igual al valor de su peso en “kilogramos fuerza”, despreciando la variación local de la gravedad respecto de la estándar. Por ejemplo, un cuerpo cuya masa es de 100 kg, tienen un peso, en el ST, de: 100 kg x g = 100 kgf = 100 kg Esto causó la confusión prevaleciente aún de designar a la unidad de fuerza del ST como “kilogramo “, a secas y de representarlo por “kg”, así como la costumbre de no considerar específicamente el kilogramo (kg), la unidad normal de masa. XII

Introducción al diseño de estructuras de acero

1.1

INTRODUCCION

Se puede observar por medio de las estructuras, que se va alterando la superficie de nuestro planeta, las cuales indican la existencia de nuestra civilización, y a medida que se van construyendo obras que son exclusivamente de ingeniería civil como ser, edificios, presas, puentes, plantas de energía y torres, que nos sirven de refugio, el uso de la energía, el mejor transporte y las comunicaciones. Por lo tanto el Ingeniero Civil adquiere una responsabilidad para decidir si el medio afectado o no, a causa de las estructuras que el construye. Una vez estudiado el lugar donde se va a construir la estructura y después de haber considerado varios sistemas estructurales, alternativas y como deberán ir dispuestos los elementos de la estructura. Se debe aprender primero a diseñar las partes antes de planificar el conjunto. Por consiguiente, se hace énfasis en el diseño y selección de elementos de acero a tracción como ser las vigas, elementos a compresión como ser las columnas, viga-columnas, trabes armadas y conexiones que unan esos miembros para formar un edificio, un puente, una torre u otras estructuras de acero. Para establecer cuan adecuado puede ser un miembro estructural, se determina por todo un conjunto de reglas de diseño, que se denominan especificaciones, las cuales son de guía para el diseñador en la verificación de la resistencia, la rigidez, proporciones y otros criterios que se presenten en los miembros en cuestión. Existe una variedad de especificaciones que fueron y son desarrolladas para materiales y estructuras. Cada una esta basada en años de experiencia adquirida por medio del uso real de la estructura. Las diversas fórmulas y reglas de especificación que se dan cuando se realiza estudios sobre las estructuras de acero muchas veces ocasionan confusión al momento de diseñar. Este documento se referirá a una sola especificación la cual se estudia a lo largo de la materia de estructuras de acero y es el LRFD (Load and Resitance Factor Desing Specification for Structural Steel Buildings) del Instituto Americano de la Construcción en Acero (AISC) y son especificaciones para el diseño por factores de carga y resistencia en edificios de acero estructural. PÁG.

1

DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO CON LRFD

Aquellos que dominen el uso de esta especificación y entiendan el significado e importancia estructural de sus requisitos, podrán fácilmente trabajar con otra especificación diferente al diseño de estructuras de acero y pueda así entender la similitud de reglas de diseño que contenga. Las especificaciones AISC del 2001 se encuentran en la tercera edición (2001) del Manual para la construcción en acero del AISC (Manual of Steel Construction). El manual del AISC debe considerarse como el libro base para todo el desarrollo de este documento en el que se harán frecuentes referencias a él, aconsejando así leer el Prólogo y el Prefacio del AISC para obtener una idea preliminar de su contenido.

1.2

EL ACERO COMO MATERIAL ESTRUCTURAL

El conocer acerca de las características elásticas, inelásticas, de fractura y de fatiga de un metal es necesario para la fabricación de un miembro estructural, y es requerido para un cierto diseño estructural. La elasticidad es la capacidad de un metal de regresar a su forma original después de ser cargado y luego descargado. La fatiga de un metal ocurre cuando es sometido a esfuerzos en forma repetida por arriba de su limite de fatiga, por medio de muchos ciclos de carga y descarga, se tienen problemas de fatiga solo cuando se presentan tracciones y compresiones en el elemento. La ductilidad es la capacidad de un cuerpo de deformarse sin fracturarse en el rango inelástico, cuando se carga mas allá del punto de fluencia, la ductilidad del acero estructural le permite experimentar grandes alargamientos inelásticos. Finalmente la probeta se fractura cuando alcanza la resistencia última de rotura . La tenacidad puede definirse como una combinación de resistencia y ductilidad. En la sección A.3 (Pág.16.1-1) del AISC-01 presentan 17 aceros empleados en la fabricación de acero. La carga de tracción en la fractura, dividida entre el área original y la probeta descargada se denomina resistencia última a la tracción. Los valores mínimos especificados para el punto de fluencia [Fy], y la resistencia última de tracción [Fu] que es un esfuerzo nominal basado en el área original, índices de ductilidad y parámetros químicos, fueron establecidos por Sociedad Americana para Pruebas y Materiales (ASTM) para así controlar la aceptación de los aceros estructurales, como se puede observar en la tabla 1.1.

1.3

DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACION DEL ACERO ESTRUCTURAL

Para que se entienda de mejor forma el comportamiento de las estructuras de acero es necesario que el calculista conozca las propiedades de la misma. Los diagramas de esfuerzo-deformación nos indican parte de la información necesaria para entender de mejor manera el comportamiento que el acero desempeña cuando es sometido a fuerzas internas y externas.

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2

INTRODUCCIÓN AL DISEÑO DE ESTRUCTURAS DE ACERO

Punto de fluencia mínima [ksi (Mpa)]a

Designación Acero estructural, ASTM A36 Tubos estructurales de acero al carbono, laminados en caliente, soldados y sin costura. ASTM A501

Resistencia última [ksi (Mpa)]a

36 (248 )

58-80 (400-552)

36 (248 )

58 (400)

42 (290)

63 (434)

Acero estructural de baja aleación y alta resistencia Con punto de fluencia mínima de 50.000 psi en piezas de hasta 4 in de espesor. ASTM A588

46 (317) 50 (345)

67 (462) 70 (483)

min

Tubos estructurales de baja aleación y alta resistencia, laminados en caliente, soldados y sin costura. ASTM A618

50 (345) 50 (345)

65 (448)

min

Aceros de calidad estructural al columbio-vanadio de baja aleación y alta resistencia. ASTM A572

42 (290) 50 (345) 60 (414) 65 (448) 90 (621) 100 (689)

60 (414) 65 (448) 75 (517)

Acero estructural de baja aleación y alta resistencia ASTM A242

Placa de acero de aleación de alta resistencia a la fluencia, Templado y tratado, apropiado para soldarse, ASTM A514

a

70 (483)

min

min

80 (552) 110-130 (758-896) 110-130 (758-896)

ksi, kips por pulgada cuadrada; 1 kip =1000 lb. Un megapascal ( Mpa ) es igual a un newton por milímetro cuadrado ( N/mm2 ). La practica de ingeniería estructural en Estados Unidos no ha decidido que notación aún es preferible.

Tabla 1.1 Aceros usados en los perfiles y placas de acero estructural1 1

Los siguientes aceros son valores aproximados para todos los aceros: Modulo de elasticidad (E) Modulo de cortante (G) Relación de Poison Esfuerzo de cedencia en corte Resistencia ultima en corte

: : : : :

29000 [ksi] 11200 [ksi] 0.30 0.57 veces esfuerzo de cedencia en tracción. 2/3 a 3/4 veces la resistencia a la tracción.

Véase ASTM A6 para conocer la clasificación del grupo de los perfiles estructurales

Entre los aceros estructurales mas importantes se tiene : Acero estructural; ASTM A36

donde

Fy = 36 Ksi Fy = 36 Kilo pound per square inch = 36 klb/pulg2 Fy = 36 ksi x 70.3 ≈ 2500 kg/cm2

ASTM A50

donde

Fy = 50 Ksi x 70.3 ≈ 3500 kg/cm2

Se sabe que no es posible que se desarrollen métodos de diseño que satisfagan a menos que se entienda y disponga de la información referente a las relaciones esfuerzodeformación del material que se utiliza para cualquier diseño estructural. Para esto consideremos una probeta de acero sujeta entre las mordazas de una maquina de pruebas de tracción Figura 1-1. y si aplicamos cargas de tracción a la muestra, los

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3


extremos de la muestra con mayor diámetro se fijan en las mordazas de montaje, para que la ruptura se presente en el centro de la misma, el dispositivo sujeta a la muestra mediante dos brazos, y donde un extensómetro mide el alargamiento de la muestra durante la prueba y observándose que al incrementar simultáneamente la carga hay un alargamiento en una determinada longitud, es decir que la muestra se alarga como se observa en la Figura 1-2.

Figura 1-1.

Equipo de prueba para relizar ensayos generales

La muestra estandarizada de la ASTM tiene un diámetro de 0.5 plg. y una longitud de 2 plg., entre las marcas de calibración, que son los puntos donde los brazos del extensómetro se sujetan a la muestra, midiendo y registrando la carga de tracción mediante calibradores eléctricos de resistencia variable (strain gages). En una prueba estática la carga se aplica lentamente ; sin embargo en una prueba dinámica la variación de la carga puede ser muy elevada y también debe medirse esto debido a que son afectados las propiedades de los materiales.

Figura 1-2.

Medidores de deformación (strain gages).

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4


Si vamos incrementando la fuerza de una manera constante, la magnitud del alargamiento aumentará gradualmente dentro de ciertos límites. Los resultados se suelen representar en un gráfico en el que en las ordenadas se muestran las cargas y en las abscisas los alargamientos. La representación de este gráfico se muestra en la Figura 1-1.; se puede observar que no aparecen representadas las fuerzas y alargamientos totales, sino las fuerzas unitarias o esfuerzos unitarios y los alargamientos unitarios o deformaciones unitarias, ya que solo se pueden comparar las propiedades de una muestra con las de otra si se reducen los valores observados a unos puntos de referencia común. El sector que comienza la curva de esfuerzo–deformación unitaria para acero estructural es cuando el esfuerzo de tracción alcance un valor aproximadamente de un medio de la resistencia ultima del acero [Fu], entonces el alargamiento aumenta mas rápidamente sin incrementarse el esfuerzo.

Figura 1-1. Diagrama esfuerzo-deformación (Véase el libro Diseño de estructuras de Acero de Jack C. McCormac publicado en 1996)

Es donde se deduce la relación de proporcionalidad entre el esfuerzo y la deformación, enunciada el año 1678 por Robert Hooke1. Por lo tanto el esfuerzo mayor o punto mas alto de la porción recta del diagrama esfuerzo–deformación para que todavía sea valida la ley de Hooke se denomina límite proporcional. El mayor esfuerzo que un material resiste sin deformarse es el límite elástico. El valor no es medido frecuentemente para la mayoría de los aceros estructurales, por esta razón se usa en la mayoría de los casos el término límite proporcional elástico. El sector donde se presenta un incremento brusco en la deformación sin un incremento correspondiente en el esfuerzo, se denomina esfuerzo de fluencia; que corresponde al 1

La ley de Robert Hooke, Ut tesio sic vis, es decir, “Según la deformación, así es la fuerza”, relacionó la deformación total con la fuerza total sin admitir limite alguno a esta proporcionalidad. (Véase Resistencia de Materiales de Ferdinand L. Singer)

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5


primer punto del diagrama esfuerzo–deformación para el cual la tangente a la curva es horizontal. El esfuerzo de fluencia es para el proyectista una de las propiedades importantes del acero, ya que el procedimiento de diseño siguen este valor. Existe un intervalo mas allá del esfuerzo de fluencia denominado, deformación elástica; la deformación que ocurre después del esfuerzo de fluencia sin que incremente el mismo es denominado deformación plástica que es igual en magnitud a 10 o 15 veces la deformación elástica. Después que comienza el endurecimiento por deformación en la prueba de tracción, el esfuerzo continua creciendo y el sector inelástico de la sección continua uniforme (sin que se reduzca el área de la sección transversal) hasta que llega a la carga máxima. El espécimen experimenta una constricción local llamada estricción. P

Figura 1-2.

P

Estricción o ensanchamiento súbito de una probeta de acero en la sección.

La pendiente de la curva esfuerzo–deformación unitaria en el rango elástico se denomina modulo de elasticidad E, y es igual a 29000 [ksi], para aceros estructurales. El punto de fluencia del acero varia según la temperatura, velocidad de la prueba y las características (tamaño, forma y acabado superficial) del espécimen de la prueba.

Figura 1-3.

El valor de la Deformación unitaria

Diagrama esfuerzo-deformación

ε

es el cociente del alargamiento (deformación total)

∆l y la longitud l en la que se ha producido. Por tanto :

ε=

∆l l PÁG.

6


Las condiciones para que se determine el valor de la deformación en una longitud tan pequeña (∆l) que se considera constante en dicha longitud son: 1. 2. 3.

El elemento sometido a tracción debe tener una sección transversal o recta constante. El material debe ser homogéneo. La fuerza o carga debe ser axial. Es decir producir un esfuerzo uniforme.

Cuando se aplica una carga de tracción a una sección de modo que el esfuerzo varia de O hasta B, supóngase también que cuando la carga se retira, el material sigue la misma curva al regresar a O. La propiedad de un material en la cual recupera sus dimensiones originales al descargarse, como ya se hizo referencia anteriormente se denomina elasticidad, y el material se dice que es elástico. Cuando se aplica una carga a nivel mucho mayor, de tal manera que alcanza el punto D del diagrama esfuerzo–deformación, en este caso cuando ocurre la descarga, el material sigue la línea DC del diagrama de la Figura 1-4. Esta línea de descarga característica es paralela a una tangente del diagrama esfuerzo– deformación en el punto O. Cuando alcanza el punto C, la carga se ha retirado totalmente, pero ahí es donde persiste en el material una deformación residual o deformación permanente OC.

Figura 1-4.

1.4

Comportamiento parcialmente elástico

PERFILES Y PLACAS DE ACERO ESTRUCTURAL

Actualmente el hierro y el acero comprenden casi el 95% en peso de todos los metales producidos en el mundo. Los aceros para usos estructurales se clasifican por su composición química, las propiedades que se presentan cuando es sometido a tracción y por la forma de fabricación, en : aceros de carbono, aceros de alta resistencia y de baja

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7


aleación, aceros de carbono tratados térmicamente, y aceros aleados para construcción tratados térmicamente. En la Figura 1-5 se observa una curva típica de esfuerzo – deformación para un tipo de acero para cada grupo, con la finalidad de observar los niveles crecientes de resistencia de cada uno de los tipos de aceros. En la Tabla 1-1 se presenta algunos de los aceros más utilizados en cada uno de los grupos con sus resistencias específicas en perfiles y placas. En la Norma AISC-012 se puede observar las propiedades mínimas especificadas para perfiles y placas de acero estructural como se indica en la Tabla 1-2.

Tabla 1-2.

2

Especificaciones para perfiles según el ASTM (Véase AISC-01, Pág. 2-24)

Véase Table 2.1 y Table 2.2, Aplicable ASTM Specifications for Various Structural Shapes, Pág. 2-24 y 2-25 en el AISC-01.

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Tabla 1-3.

Especificaciones para perfiles según el ASTM (Véase AISC-01, Pág. 2-25)

1.4.1 ACEROS DE CARBONO Las características generales del acero al carbono son : 1. Máximo contenido para los elementos que no sobrepasan las siguientes cantidades; manganeso 1.65%; silicio 0.60%; cobre,0.60%. 2. El mínimo que se especifica no sobrepase el 0.40%. 3. En el reglamento del AISC no especifica un contenido mínimo para otros elementos añadidos para obtener una aleación deseada. El acero A36 es el acero de uso frecuente para puentes, edificios y otros usos estructurales. Este proporciona un punto de fluencia mínimo Fy = 36 [klb/pulg2 = ksi] en todos los perfiles y placas estructurales de hasta 8 pulgadas de espesor. El acero A573, que el la Tabla 1-1 esta disponible en tres grados de resistencia para aplicaciones en placas en las cuales importa la tenacidad. Entre los aceros de baja aleación y de alta resistencia (HSLA), son aquellos que presentan el punto de fluencia Fy = 40 [ksi] y alcanzan esa resistencia cuando son laminados en

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9


caliente, y no por tratamiento térmico, estos aceros ofrecen un aumento de resistencia con un incremento de precio. El acero A242 es un acero que es resistente a la corrosión superficial, entonces se lo utiliza en casos donde la resistencia a la corrosión atmosférica por lo menos es equivalente a 4 veces la del acero al carbono para usos estructurales. El acero A588 es el mas empleado en el trabajo estructural. Proporciona un punto de fluencia de Fy = 50 [ksi] en placas de hasta 4 pulgadas de espesor. El grupo A572 especifica aceros HSLA de columbio-vanadio en cuatro grados con punto de fluencia mínimos de 42,50,60 y 65 [ksi]. El grado 42 en espesores hasta 6 pulgadas y el grado 50 en espesor con 4 pulgadas se usan para puentes soldados.(Véase Figura 1-6). Los aceros de baja aleación y de alta resistencia se los utilizan para construcción de maquinarias y no para el diseño de estructuras.

1.4.2

CURVAS TÍPICAS DE ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA ACEROS ESTRUCTURALES Y CONCRETO

Como se puede observar las curvas típicas de aceros estructurales y de concreto en la Figura 1-5, el módulo elástico para el acero determinado anteriormente y para el modulo de elasticidad del concreto wc esta comprendido entre 1.44 y 2.48 ton/m3 de pesos normales (ACI 318-02 articulo 8.5.1), es:

EC = 15100 f ι c Ec = Módulo de elasticidad del concreto, [MPa]. f ’c = Resistencia a la compresión cilíndrica a los 28 días. wc = Peso unitario del concreto,[ton/m3].

Figura 1-5.

Curvas típicas esfuerzo–deformación de concreto (Véase Diseño de Estructuras de Concreto de Arthur H. Nilson).

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10


a) Figura 1-6.

1.4.3

b)

a) Curvas típicas esfuerzo – deformación para aceros estructurales (Véase Manual de Diseño de Estructuras de Acero de Roger L. Brockenbrough y Frederick S. Merritt) b) Curvas típicas esfuerzo – deformación para aceros estructurales y concreto.

ECONOMÍA EN EL DISEÑO ESTRUCTURAL

Debido al incremento y competitividad en la industria de la construcción, con costos de los materiales y mano de obra que va en aumento, el Ingeniero Estructural esta obligado a buscar la máxima economía en el diseño, que este relacionada con la seguridad y la vida útil de la estructura. En el caso de estructuras de Hormigón Armado el diseñador se preocupa de diseñar la estructura para que falle primero el acero y luego el concreto, dando así cumplimiento a uno de los principios de la Ingeniería estructural que es la seguridad, ya que este evitaría que la estructura colapse y se puedan salvar vidas humanas. Algunas veces el transporte tiene una gran influencia en la economía, las conexiones pueden ser fabricadas en un taller lo que abarataría costos cuando se fabrican durante el montaje. Por ejemplo un taller construido sobre una vía navegable tiene una gran ventaja al construirse un puente sobre el río. En caso de grandes puentes, puede construirse un taller provisional, cerca de la obra para evitar el transporte de los elementos del puente.

PÁG. 11


La disposición de los miembros de una estructura también es afectada por la economía, la mejor manera es proporcionar una trayectoria mas directa posible para transmitir la fuerza del punto de carga a la cimentación de una estructura.

1.5

PERFILES (SECCIONES) DE ACERO

Los usos de los diversos perfiles se expondrán en los próximos capítulos. Se hace referencia constante en este documento al Manual de diseño en acero según el método de factores de carga y resistencia; manual LRFD (Manual of Steel Construcción Load and Resístanse Factor Design), publicado por el Instituto Americano de la construcción de Acero (AISC). Este proporciona la información detallada sobre los perfiles estructurales de acero, es denominado manual LRFD. El estudiante debe consultar el Manual LRFD del AISC-01 donde se dan las dimensiones y propiedades de los perfiles laminados en caliente W, S, L, C y otros más.

1.5.1

PERFILES W

Los miembros estructurales mayormente utilizados son aquellos que tienen grandes momentos de inercia con relación a sus áreas. Los perfiles I tienen esta propiedad, generalmente los perfiles de acero se designan por la forma de sus secciones transversales, estas vigas son de patín ancho (denominadas vigas W), la superficie interna de una viga W es paralela a la superficie externa con una pendiente máxima de 1:20 en el interior, dependiendo de su procedencia y fabricación.

d = Profundidad, tamaño (Depth) bf = ancho del ala (Flange Width) tf = espesor del ala (Flange Thickness) tw = espesor del alma (Web Thickness) T = Distancia sin curvatura k = Distancia con curvatura en eje X k1 = Distancia con curvatura en eje X X = Eje X-X ( Axis X-X) Y = Eje Y-Y ( Axis Y-Y)

Figura 1-7.

Perfil W-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third

Edition)

En el Manual AISC-01 se pueden observar una gran variedad de perfiles W, con las dimensiones y propiedades de cada una de ellos ( Pág. 1-12 a las Pág. 1-29).

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12


Antes los perfiles W se denotaban como :

WF40 x 321 (

WIDE FLANGES = Alas Anchas)

La simbología que es utilizada actualmente para su notación es:

W40 x 321 Peso [lb / ft] Profundidad Aprox. [in]

El primer término indica con cierta aproximación la profundidad o tamaño aproximado d en [in] , y el segundo término indica el peso del perfil en [lb/ft]. Este tipo de perfiles W son uno de los perfiles que tiene una mayor resistencia a la flexión esto porque estos perfiles cuentan con un elevado Momento de Inercia. Otra de las características es que las alas del perfil W están alejadas del centro del perfil, por lo tanto mientras mas alejadas las alas se tiene mayor momento de Inercia y sucede también cuando se incrementa el ancho de las alas, pero se deberá tener en cuenta que cuando este incremento es demasiado tanto las en el alma del perfil y las alas se pandean, produciéndose así el pandeo local del alma o pandeo local del ala como se muestra en la Figura 1-8.

a) Figura 1-8.

1.5.2

b)

Perfiles W con Pandeo Local : a) Pandeo del alma, b) Pandeo de alas

PERFILES S

Este tipo de perfiles fueron los primeros en fabricarse y su uso fue muy difundido en Estados Unidos, teniendo una pendiente de 1:6 en el interior de sus patines, como se puede observar, estos perfiles a diferencia de los W no presentan espesores constantes y una cierta curvatura en el alma y las alas del perfil S que dificulta las conexiones. Es muy utilizado en diseño de puentes ya que estos facilitan el escurrimiento del agua o la nieve que esta en contacto con el perfil esto debido a la pendiente que este presenta.

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S24 x 121

Figura 1-9.

(S = SLOPE = Pendiente)

Perfil W-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001)

En el Manual AISC-01 se pueden observar los perfiles S, ( Pág. 1-26 a las Pág. 1-27).

1.5.3

PERFILES M

M10 x 8

Figura 1-10.

(M = MISCELLANEOUS = Misceláneo )

Perfil M-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third Edition)

La fabricación de estos perfiles es a pedido según los requerimientos especiales del que diseña y el constructor, estos perfiles no son perfiles estándar es decir que no son comerciales. En Manual AISC-01 se puede observar perfiles M, ( Pág. 1-25 a las Pág. 1-26).

1.5.4 PERFILES HP Es utilizado en diseño de pilotes de acero para las fundaciones de estructuras como ser puentes, edificios y otros.

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HP14 x 117

tw > tf

Figura 1-11.

(HP = HACHE PROFILE = Perfil H)

Mayor espesor del alma que el del ala del perfil

Perfil HP-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third Edition)

Este perfil esta fabricado de tal manera que el alma tiene mayor espesor que el ala para que el alma del perfil HP resista la fuerza del martillo que ejerce en el momento del hincado. En Manual AISC-01 se pueden observar perfiles HP, ( Pág. 1-28 a las Pág. 1-29).

1.5.5

PERFILES C y MC

Los perfiles canal como se muestra en la Figura 1-12, pueden usarse en la construcción de armaduras planas conectadas a placas de nudo con pernos, remaches o soldadura. Al igual que los perfiles M, la fabricación de los perfiles MC es a pedido según los requerimientos del diseñador y el constructor, estos perfiles no son perfiles estándar es decir que no son comerciales. En Manual AISC-01 se pueden observar los perfiles C,( Pág. 1-30 a las Pág.1-31 ) y MC, ( Pág. 1-32 a las Pág.1-33 ).

C

C15 x 50

Figura 1-12.

(C = CHANNEL = Canal)

MC15 x 50

(M =MISCELLANEOUS CHANNEL= Canal Misceláneo )

Perfil C-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001)

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1.5.6 PERFILES L

L5 x ½ x 3/4

( L = ANGLES = Angular)

Profundidad Aprox. ala 1 Profundidad Aprox. ala 2 Espesor

Figura 1-13.

Perfil L-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third

Edition)

Los perfiles L son los más comúnmente usados, para minimizar las cargas de viento o por razones estéticas. En Manual AISC-01 se pueden observar los perfiles L, ( Pág. 1-34 a las Pág. 1-39).

1.5.7

PERFILES WT

T22 x 167.5

Figura 1-14.

(WT = TEES =Te )

Perfil WT-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third Edition)

Las estructuras con perfiles T, son satisfactorias como cuerdas de armaduras soldadas porque los miembros de la celosía se pueden conectar fácilmente a ellas. En Manual AISC-01 se pueden observar los perfiles WT, ( Pág. 1-40 a las Pág. 1-51).

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1.5.8 PERFILES MT

MT6 x 5.9

que el del

Figura 1-15.

tf > tw

( MT =MISCELLANEOUS TEE = Misceláneo Te )

Mayor espesor del ala que el alma del perfil

Perfil MT-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third

Edition)

En Manual AISC-01 se pueden observar los perfiles MT, ( Pág. 1-52 a las Pág. 1-53).

1.5.9 PERFILES ST

ST12 x 60.5

Figura 1-16.

(ST = SLOPE TEES = Pendiente Te)

Perfil ST-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third Edition)

Los perfiles ST, se obtienen de los perfiles S tienen la ventaja de que sus peraltes no varían con respecto a los perfiles WT. En Manual AISC-01 se pueden observar los perfiles MT, ( Pág. 1-54 a las Pág. 1-55).

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1.5.10 PERFILES RECTANGULAR HSS

HSS20 x 12

(RECTANGULAR AND SQUARE HSS = Sección Rectangular y Cuadrada Hueca)

Figura 1-17.

Perfil Rectangular y Cuadrado HSS-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third Edition)

Los perfiles Rectangular y Cuadrado HSS son perfiles para uso expuesto, para minimizar las cargas de viento o por razones estéticas. En Manual AISC-01 se pueden observar los perfiles Rectangular y Cuadrado HSS, ( Pág. 156 a las Pág. 1-69).

1.5.11 PERFIL CIRCULAR HSS

HSS20.000

Figura 1-18.

(Round HSS=Seccion Circular Hueca)

Perfil Circular HSS-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001Third Edition)

Los perfiles Circular HSS o sección Tubular al igual que los perfiles Rectangular y Cuadrado HSS son utilizados para un uso expuesto. En Manual AISC-01 se puede observar perfiles Circular HSS. ( Pág. 1-70 a las Pág. 1-73).

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1.5.12 PERFILES 2L

2L8 x 8 x 11/8 (2L= DOUBLE ANGLES = Doble Angular) Figura 1-19.

Perfil 2L-Shapes (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third

Edition)

Los perfiles 2L, se los utiliza para miembros a tracción de armaduras para techos que consisten en angulares simples, pero un miembro más satisfactorio se construye a base de dos angulares, espalda con espalda, deben conectarse cada 1.2m o 1.5m para prevenir vibración, especialmente en armaduras de puentes. El perfil 2L (doble angular) tiene la ventaja de tener una mayor resistencia con respecto a los perfiles L (simple angular), donde :

M = f *S

(Ecuación valida para ejes principales).

Entonces :

f =

M S

Si :

S > por lo tanto mayor resistencia

En Manual AISC-01 se puede observar los perfiles 2L,( Pág. 1-74 a las Pág. 1-76).

1.5.13 PERFILES COMBINADOS WC

W36 x 150

(W = WIDE = Ancho)

MC18 x 42.7 C15 x 33.9

Figura 1-20.

(C = MISCELLANEOUS CHANNEL = Misceláneo Canal ) (C = CHANNEL = Canal )

Perfil W-Shapes Cap (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001)

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En Manual AISC-01 se puede observar los perfiles W-Cap. Son la combinación de un perfil W con un perfil C o MC, (Pág. 1-80 a las Pág. 1-81).

1.5.14 PERFILES COMBINADOS SC

S24 x 80

( S = SLOPE = Pendiente)

C12 x 20.7 C10 x 15.3

Figura 1-21.

(C = CHANNEL = Canal ) (C = CHANNEL = Canal )

Perfil S-Shapes Cap (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third Edition)

En Manual AISC-01 se puede observar los perfiles S-Cap. Son la combinación de un perfil S con un perfil C o MC, (Pág. 1-82 a las Pág. 1-83).

1.5.15 RIELES

Figura 1-22.

Dimensiones y propiedades de secciones riel (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third Edition)

En Manual AISC-01 se puede observar las dimensiones y propiedades de una variedad de secciones rieles, (Pág. 1-88).

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1.16 PERFILES DOBLADOS EN FRIO Los perfiles estructurales doblados en frío, son aquellos perfiles fabricados a base de planchas, tratados térmicamente (templados y revenidos) dándoles dureza y resistencia, para luego se proceda al doblado de las mismas mediante equipos sencillos de doblado en frío, la forma es según los requerimientos del diseñador y constructor. Los miembros formados en frío, a diferencia de las secciones laminadas en caliente, mas pesadas, se usan esencialmente en tres situaciones: 1) 2) 3)

Cuando cargas y claros moderados hacen antieconómicos a los gruesos perfiles laminados en caliente. Cuando, independientemente del espesor, se requieren miembros de configuraciones transversales que no pueden producir en forma económica por laminado en caliente o por soldado en placas planas. Cuando se busca que los miembros portadores de carga también proporcionen superficies útiles, como en paneles de piso y paredes, tableros de techo y similares y sean resistentes a la corrosión.

Se cuenta con una gran variedad de perfiles doblados en frío, los cuales pueden observarse en la Figura 1-23. Estos perfiles estructurales son resistentes, durables y ahorran tiempo y mano de obra, entre sus aplicaciones tenemos; galpones, porta techos de viviendas, carrocerías, estructuras metálicas, maquinarias y equipos, etc.

Figura 1-23.

De (a – e) son secciones simples para miembros estructurales, de (f – h) Secciones con refuerzo para miembros estructurales, de (i – k) secciones para cubiertas o paneles (Véase Cold-Formed

Members en Structural Steel Design de Lambert Tall ,Second Edition )

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Entre los perfiles mas usados en la industria de la construcción se tienen las dimensiones y características de los perfiles doblados en frío como ser perfil C, perfil costanera, angulares (véase Figura 1-24).

Figura 1-24.

Dimensiones y características de perfiles C, Costanera, Angulares (Véase LRFD Cold-Formed Steel

Design Manual of American Iron and Steel Institute AISI-1991)

Se tiene otra variedad de miembros a flexión que es la armadura prefabricada como los largueros del alma abierta y los largueros-trabes (Ver Anexo 1.1). Esos productos son regidos por la AISI (Specification for the Cold-Formed Steel Structural Members), pero el reglamento que se estudia en este documento no se aplica a los perfiles en frío, teniendo este su propio reglamento que es el Manual de Diseño de Aceros Laminados en Frío con el método LRFD, (LRFD Cold – Formed Steel Design Manual).

Ejemplo 1.1 Determinar: a) El Momento de Inercia del perfil W10 x 112 y cuanto resiste. Datos de ( Pág. 1-4 del AISC-01) :

bf = 10.4 in = 26.5 cm tf = 1.25

in = 3.18 cm

tw = 0.755 in = 1.92 cm d = 11.4 in = 28.96 cm AI = 32.9 in2 = 2118.8 cm2

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Entonces:

t w ·( d − t f )

2  t w ·( t f )3  d tf   Ix = + 2· + A· +   12  2 2    12 3 2  26.5·( 3.18 )3 3.18·( 28.9 − 2·3.18 )  28.9 3.18   Ix = + 2· + 2·( 26.5·3.18 )· +   12 12 2    2   4 I x = 31050cm 3

El módulo resistente elástico es:

Sx =

I x 31050 = = 2149cm3 h 28.9 2 2

b) Se tiene una sección rectangular de acero con dimensiones 30 x 13.87, hallar el módulo resistente ( S ), de la sección rectangular.

h

h

= 30.0 cm

b

= 14.32 cm

A = 416.10 cm2

b

b·h 3 b·h 2 14.32·302 = = 2148cm3 Sx = 12 = h 6 6 2

Conclusión : Haciendo una comparación entre las secciones anteriormente estudiadas, el perfil W resiste tanto como la sección rectangular ya que presentan el mismo módulo resistente, y solo varia en el área como se puede observar en el Ejemplo 1.1 inciso a) y b). El principio que el Ingeniero estructural persigue, es el de la seguridad y economía en el diseño y construcción de todo tipo de estructuras El peso de la sección rectangular de acero es mayor que del perfil W, por lo tanto el costo del perfil W es menor en comparación al de la sección rectangular.

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Cargas sobre las estructuras y métodos de diseño

2.1

CÓDIGOS DE CONSTRUCCIÓN

Los diseños de estructuras son generalmente controlados por códigos de construcción, teniendo en cuenta que estas no rigen el diseño, es decir que el proyectista las deberá tomar como una guía, en el código no encontrará todas las situaciones estructurales que se presentan al momento de diseñar y construir. Así también los diseñadores deben usar su propio juicio al seleccionar los criterios de diseño. Un código de construcción es una ordenanza legal establecida por entidades públicas, que establecen normas que rigen el diseño y la construcción de edificios, es un documento de consenso de otros códigos o especificaciones estándar reconocidos. Estos códigos sirven para proteger la salud, la seguridad y el bienestar público. No indican necesariamente la mejor manera de hacer un diseño eficiente o económico. La información generalmente obtenida en un código de construcción contempla todos los aspectos de diseño y la construcción de edificios. Un código de construcción adopta las provisiones de otros códigos o especificaciones que sean por referencia directa o con modificaciones.

2.2

ESPECIFICACIONES ESTÁNDAR

Las especificaciones estándar son documentos de consenso patrocinados por asociaciones profesionales o comerciales para proteger al publico y evitar el mal uso de un producto o método. Las especificaciones mas conocidas son, el diseño de esfuerzos permisibles (ASD) y el diseño con factores de carga y de resistencia (LRFD), del Instituto Americano de Construcción con Acero (AISC), la especificación para el diseño de miembros estructurales de aceros formados en frío (AISI). Otra clase de especificaciones estándar define las normas aceptables de calidad de los materiales de construcción, los métodos estándar de prueba, y la mano de obra necesaria en la fabricación y montaje. Muchas de estas especificaciones son desarrolladas por la ASTM, a medida que las necesidades y el avance de las nuevas tecnologías aplicadas en la

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construcción y resistencia de materiales la ASTM hace conocer y publica dichas investigaciones que son aplicadas en el campo de la construcción e investigación. Los diseños seguros y económicos de un edificio necesitan la aplicación de cargas de diseño prudentes y razonables.

2.2.1 CARGAS ESPECIFICADAS – CÓDIGOS DE CONSTRUCCIÓN Antes de realizar un diseño, los ingenieros deben familiarizarse con los requisitos que presentan los códigos de construcción local. Los códigos de construcción especifican cargas mínimas de diseño las cuales incluyen, cuando corresponde, cargas muertas, vivas, de viento, sísmicas, cambios de temperatura y de impacto, como también empujes de tierra, presión hidrostática. Hay tres diferentes tipos de cargas: cargas concentradas, cargas lineales, cargas en superficie.

Cargas concentradas son aplicadas sobre un área menor de relativa superficie; como ser el peso de las llantas de un vehículo, vehículos de alto tonelaje, particularmente en puentes. Cargas lineales son aplicados sobre una franja en la estructura; como ser los muros de partición de un edificio. Cargas en superficie son distribuidos sobre toda el área; como ser el peso de la losa de la terraza, el peso del techo, la presión del viento sobre la fachada de un edificio y la nieve sobre el techo1. Todos los códigos de construcción y especificaciones del proyecto exigen que una estructura tenga resistencia suficiente, para resistir las cargas impuestas sin sobrepasar la resistencia de diseño de la estructura en general. Por lo tanto la resistencia de diseño es el requisito de diseño que una estructura sea funcional como lo mandan las consideraciones de capacidad de servicio. Las exigencias de la capacidad de servicio dan como las máximas deflexiones permisibles, tanto verticales u horizontales o ambas. Como veremos, las cargas se clasifican en muertas y vivas.

2.2.2 CARGAS MUERTAS Las cargas muertas no varían con el tiempo en consideración con su posición y su peso, son de magnitud constante y permanecen fijas en un mismo lugar. Una carga que no esta solamente un intervalo de tiempo sino en toda la vida útil de la estructura es considerado una carga permanente o carga muerta. Es necesario determinar los pesos o cargas muertas de las partes de una estructura para su respectivo diseño, los pesos y tamaños de los elementos a ser diseñados no son conocidos hasta que se realice el análisis estructural y seleccionen los miembros de la estructura. Si se tiene grandes discrepancias entre una comparación con los pesos que son determinados del diseño con respecto a los pesos estimados, entonces se deberá repetir el análisis y efectuar el diseño, estimando las cargas de una manera mas precisa. 1

Cargas y efectos medioambientales (véase en Structural Steel Design LRFD APPROACH de J.C. Smith – Second Edition). PÁG. 25

CARGAS SOBTRE LAS ESTRUCTURAS Y METODOS DE DISEÑO

La carga muerta de una estructura incluye los pesos de: conductos de aire acondicionado, plomería, instalaciones eléctricas, los muros, escaleras, particiones permanentes, cubiertas, techos, entramados, equipo fijo de servicio o reparación y otras consideraciones permanentes, y estas pueden ser estimadas solamente con un pequeño margen de error. Los pesos de muchos materiales pueden ser hallados en la séptima parte del AISC-96 en Información Matemática y Misceláneos, también en el manual del ASCE 7-02 en la sección C3.0 de cargas muertas2. La Norma ASCE 7-02 (Minimum Design Loads for Buldings and Other Structures) de la Sociedad Americana de Ingenieros Civiles (ASCE 7-02), da la información detallada sobre cálculo de cargas muertas para consideraciones normales y especiales.

2.2.3 CARGAS VIVAS Las cargas vivas son aquellas que varían con el tiempo en consideración a su magnitud y su posición, son ocasionadas por la gente, camiones, grúas, automóviles, y todo tipo de cargas que se muevan bajo su propio impulso, el mobiliario, equipo movible, muros de partición provisionales, y toda carga que puede ser desplazada así como también cargas medioambientales como es el caso del carga de la nieve, presión del viento, cambios de temperatura, carga de lluvia, carga por reparación de cubierta de una estructura, sismo, presión del suelo.

2.2.3.1

Cargas de diseño para pisos en edificios (L)

Los códigos de construcción de edificios especifican los valores mínimos que deben ser usados para el diseño de edificios. El ingeniero encargado del diseño estructural deberá darse cuenta de que estas cargas mínimas que varían de acuerdo al tipo y el lugar donde se construirá la estructura. Para esto en la tabla 2.1 se pueden observar algunos valores que se usan para el diseño del la estructura, estos valores fueron tomados del código ANSI/ASCE - 02 3.

2.2.3.2

Cargas de diseño para puentes

Las cargas mínimas para puentes carreteros están dadas por Especificaciones Estándar para Puentes Carreteros, en la mayoría de los casos la especificación mas usada es la AASHTO, que considera una carga concentrada como ser el peso de las llantas de camiones estandarizados como ser:

Camiones sencillos:

Camiones con acoplado:

H20 - 44 H15 - 44

HS20 - 44 HS15 - 44 Las cargas mínimas para cada camión tipo se puede observar en la norma AASTHO. 2

Cargas Muertas (véase en ASCE 7-02, Minimum Design Loads for Buldings and other Structures, sección C3.0, tabla C3-1 a la C3-2 de la Pág. 246 – 253). 3

Cargas Vivas (véase en ASCE 7-02, Minimum Design Loads for Buldings and other Structures, sección 4, tabla 4-1 a la 4-2 de la Pág. 12 – 15).

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CARGAS VIVAS MÍNIMAS DE DISEÑO a) Cargas vivas de diseño uniformemente distribuidas Ocupación o uso Accesos a sistema de pisos Uso de Oficinas Uso de Computadoras Andenes, vías vehiculares y patios, sometido a a paso de camiones . Áreas de reunión y teatros Sillas fijas (aseguradas al piso) Pasillos Con sillas movibles Plataformas (de reunión) Escenarios Balcones (exterior) Únicamente en residencias uni o bi-familiares, que no excedan los 9.30 m2 Bibliotecas Salas de lectura b Salas de almacenamiento . Corredores por encima del primer piso Bodegas de almacenamiento Liviano Pesado Boliches, piscinas y áreas similares de recreación Comedores y restaurantes Corredores Primer Piso Otros pisos, igual a los del tipo de ocupación que sirven si no se indican otra cosa Cuarteles y cuartos de adiestramiento b Edificios de oficinas . Pasillos Oficinas Escaleras y salidas de emergencia Escuelas Salones de clase Corredor por encima del primer piso Fabricación Liviana Pesada Garajes (para autos de pasajeros únicamente) Para camiones y autobuses úsese las cargas a del carril de la AASTHO (véase tabla 6.2b para los requisitos de carga concentrada)

Cargas vivas, en (kg/m2) 244 488 1221 293 488 488 488 732 488 293 293 732 391 610 1221 366 488 488 488 732 488 244 488 195 391 610 1221 244

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Gimnasios, pisos principales y balcones Graderías de estadios y coliseos Hospitales Salas de cirugía, laboratorios Habitaciones privadas Pabellones Corredores por encima del primer piso Instituciones penales Bloques de celdas Corredores Marquesinas y Bóvedas Pasarelas y plataformas elevadas (distintas a las salidas de emergencia) Patios y terrazas (peatonales) Residencial Viviendas (de una y dos familias) Áticos no habitables sin depósito Áticos no habitables con depósito Áticos habitables y áreas de dormitorios Todas las demás áreas Hoteles y edificios multifamiliares Habitaciones privadas y corredores que les sirvan Salas públicas, corredores y pasillos que los sirven Salas de baile y de fiesta Salidas de incendio Solamente en viviendas de una sola familia Tableros (de patio y de cubierta) Igual que el área servida, o para el tipo de ocupación acomodada Tiendas Minoristas Primer piso Pisos superiores Mayoristas, todos los pisos Tribunas de escenarios e. e b) Cargas vivas concentradas (Lo) Ubicación Andenes (sobre un cuadrado de 0.76 m de lado) Escotillones, costillas de claraboya y cielos rasos accesibles (sobre un cuadrado de 0.76 m de lado) Garajes Autos de pasajeros Parqueo manual (sobre área de 129 cm2 ) Parqueo mecánico (sin losa) por rueda Camiones, autobuses (sobre un área de 129 cm2 ) por rueda

488 488 293 195 195 391 195 488 366 293 488 49 98 147 195 195 488 488 488 195

488 366 610 488

Cargas vivas, en (Kg) 3629 91 907 680 7258

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Peldaños de escalera (sobre un área de 26 cm2 en el centro del peldaño) Pisos de oficinas (sobre un cuadrado de 0.23 m ) Punto de panel de armadura de cubierta sobre pisos de garaje, de fabricación o de almacenamiento Rejilla del cuarto de máquinas de los ascensores (sobre un área de 26 cm2 ) Terminado, construcción de placa de piso liviana (sobre un área de 6.45 cm2 ) c)

136 907 907 136 91

Cargas mínimas de diseño para materiales Material

Acero Agua de mar Agua potable Aleaciones de magnesio Aluminio, colado Arena de río, seca Bronce, 8 a 14% de estaño Caliza, hidratada, compacta Caliza, hidratada, compacta Carbón, antracita, apilado Carbón, bituminoso o lignito, apilado Carbón, turba, seco, apilado Carbón vegetal Cascajo (no sumergido) de caliza de arenisca Cemento Pórtland, fraguado Cemento Pórtland, suelto Ceniza seca, a granel Cobre Grava, seca Hielo Hierro, fundición Latón, colado Mortero, endurecido de cemento de cal Oro, sólido Piedra, labrada de basalto, granito, gneis de caliza, mármol, cuarzo de arenisca de pizarra, esquisto

Cargas vivas, en (kg) 2392 313 305 547 806 518 2485 220 156 254 230 112 59 405 439 894 439 220 2715 508 279 2197 2607 635 537 5883 806 781 684 757 PÁG. 29


Plata Plomo Productos bituminosos Asfalto Petróleo, gasolina Brea Alquitrán Tierra (no sumergida ) Arcilla, seca Arcilla, húmeda Arcilla y grava, secas Limo, mojado, suelto Limo, mojado, compacto Arena y grava, secas, sueltas Arena y grava, secas, compactas Arena y grava, húmedas Yeso, suelto

3203 3467 396 205 337 366 308 537 488 381 469 488 586 586 342

Notas a Se debe considerar cuando corresponda las cargas de carril indicadas por la AASTHO (American Association of State Highway and Transportation Officials. b El diseño para las salas de archivos y computadoras deben diseñarse para cargas mas pesadas, dependiendo de las instalaciones previstas. Véanse Corredores. c Para recomendaciones a detalle, véase el American National Standard for Asembly Seating. Tents and Air Supported Structures,ANSI/NFPA 102. d Para el peso de los libros y estantes, supóngase una densidad de 1041kg/m3 conviértase a una carga uniformemente distribuida, y úsese el resultado si este sobrepasa 732 kg//m3. e En vez de carga viva uniformemente distribuida, excepto para armaduras de cubierta, si las cargas concentradas producen esfuerzos o deflexiones mayores. Añádase un factor de impacto para maquinaria y cargas móviles: 100% para ascensores, 20% para maquinas livianas, 50% para máquinas reciprocantes, 33% para péndolas de piso o de balcón. Para carrileras de grúas, añádase una fuerza vertical igual al 25% de la carga máxima de la rueda; una fuerza lateral igual al 10% del peso del tranvía y la carga levantada, en el tope de cada riel; y una fuerza longitudinal igual a 10% de las cargas máximas de rueda, actuando en el tope del riel. f Se debe considerar para cargas vivas verticales, que el diseño puede incluir debido a las fuerzas horizontales provocadas por el balanceo en cada fila de asientos como sigue: 11kg/ de carga lineal aplicados en dirección paralela a cada fila de asientos y 5kg/ de carga lineal aplicados en dirección perpendicular a cada fila de asientos. La fuerza perpendicular y paralela de balanceo no necesariamente deberá ser aplicado simultáneamente. Tabla 2-1. Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas y concentradas de diseño (Véase el SEI/ASCE 7– 02 Minimum Desing Loads for Buildings and Other Structures, Revision of ASCE 7 – 98, Pág. 12-14).

PÁG. 30


2.2.3.3

Cargas vivas de Techo (Lr)

En algunas de las combinaciones citadas en el método de diseño LRFD-Diseño por factores de carga y resistencia, una de las cargas independientes que se muestra se denota como Lr que es la carga viva de techo, que es usada como una superficie de trabajo durante la construcción, el peso de los trabajadores, el mantenimiento y reparación del techo por el personal capacitado, como también la instalación o reemplazo de el aire acondicionado en una vivienda, se debe considerar también que en edificios las terrazas pueden ser usadas como puertos para helicópteros, ambientes al aire libre en restaurantes. Algunos códigos y especificaciones dan las cargas vivas mínimas de techo, pero debe tomarse en cuenta que este varia según el tipo de cubierta y otras variables que influyen al momento del diseño. El AISCE – 02 (Sección 4.9 - Pág. 11), recomienda varias consideraciones que se hacen para usar las cargas vivas mínimas de techo.

2.2.3.4

Cargas de Hielo y Nieve (S)

Las cargas de nieve en ciertas ocasiones son importantes ya que estos en temporadas de invierno llegan a acumularse en los techos esto debido a la densidad de la nieve que llega a congelarse en los drenes de desagüe llegando a cerrarse, algunos casos en edificios debido al la dirección del viento la nieve se acumula en lugares localizados de la techumbre o terraza. Esta carga de nieve o los datos para calcularla deberá ser a partir de un análisis estadístico del valor extremo de los registros meteorológicos de la localidad geográfica. Debe tomarse en cuenta que esta carga por nieve varia según el lugar, tipo de cubierta, viento y otras variables que influyen al momento del diseño. Ya que no se conoce con exactitud la cantidad de nieve que puede darse en una ciudad o lugar especifico entonces se recomienda aumentar conductos secundarios al sistema principal de desagüe, aberturas en los parapetos, colocar conductos en los parapetos a un cierto nivel, esto para que a medida que la nieve se descongele el agua vaya desalojando la techumbre o terraza . El AISCE – 02 (Sección 7.6 - Pág. 79), recomienda varias consideraciones que se hacen para usar las cargas vivas mínimas de techo.

2.2.3.5

Cargas de Lluvia (R)

Las cargas de lluvia se presentan esencialmente en los techos de poca pendiente que se encuentran en lugares donde las precipitaciones pluviales son continuas, acumulándose el agua más rápidamente de lo que tarda en escurrir aunque se disponga de drenes para desagüe, esto ocasiona que la cubierta se deflexione, el proceso continua hasta que la estructura colapsa por el incremento de peso. Para prevenir la acumulación de agua, se debe proporcionar al techo una pendiente aproximada de 2.1 cm/m o mayor y el diseño de un sistema de drenaje pluvial secundario que no debe ser menor al sistema pluvial primario, según la ubicación de la estructura a ser construida. El AISCE – 02 (Sección 8.0 - Pág. 93), hace referencia y recomendaciones sobre las cargas ocasionadas por precipitaciones pluviales. PÁG. 31


2.2.3.6

Cargas de Viento ( W )

La cargas de viento son cargas dinámicas aplicadas sobre la superficie de la estructura y la intensidad depende de la velocidad del mismo, de la densidad del aire, de la orientación de la estructura, del área que está en contacto con la superficie, de la forma de la estructura, de la localidad geográfica, las alturas sobre el nivel del terreno, los terrenos que rodean a los edificios y su entorno. Debido a la complejidad que presenta la carga dinámica debida al viento y el comportamiento de una estructura de acero cuando esta sometida a cargas de viento, las consideraciones y criterios que adoptan los códigos y las normas de construcción se basan en la aplicación de una presión de viento estática equivalente. Estas hipótesis no son precisas ya que la presión del viento no es uniforme sobre grandes áreas. La presión dinámica esta en función de la masa y de la densidad del aire y la velocidad del viento y es: 1 q = ·ρ ·V 2 (2.1) 2 Donde: q = Presión dinámica [psf] ρ = Densidad del aire [slugs/cu] La conversión de una presión dinámica a una fuerza estática equivalente es complejo el calculo de la fuerza de fricción a la dirección del viento. Esta fuerza ( Fd , esta en libras) puede ser expresado en términos de la presión dinámica q por la siguiente expresión:

Fd = C d · q · A

Donde:

(2.2)

A = Área que esta en contacto con el área normal de la dirección del viento [ft] Cd = Es el coeficiente de fricción depende de la forma de la estructura y su orientación con respecto a la dirección del flujo de viento. Fd = Fuerza de fricción que se opone a la dirección del viento. La presión promedio estática esta dada por:

F p = d = Cd ·q A

(2.3)

El procedimiento estático que se usa para el diseño de estructuras de poca altura y para un aire estándar ( ρ = 0.765 pcf a 15ºC a nivel del mar), puede estimarse con la siguiente expresión 4 :

p = 0.002558 · C d · V 2

Donde : p = Cd = V = 4

(2.4)

Presión del viento [lb/ft2] Coeficiente de forma Velocidad del viento [mph]

Cargas de Viento (Véase en Structural Steel Desing de Lambert Tall Pág. 62, Eq. 3.5)

PÁG. 32


En la que p es la presión del viento que actúa sobre superficies verticales, Cd es un coeficiente que depende de la forma del techo y la estructura, para estructuras rectangulares cuya superficie es perpendicular a la dirección del viento Cd = 0.9 y para estructuras tipo caja Cd =1.3 (+0.8 para la presión de barlovento y -0.5 para succión de sotavento). Toda la carga de viento que es uniformemente distribuida en un área tributaria, transmite la carga de los muros, las vigas y las columnas a los nudos de la estructura. Para el diseño de techos de tejado de dos alas, los valores del coeficiente externo que recomienda el ASCE, el código Suizo y el código Danés esta dado por la Figura 2-1, las curvas indican si la carga de viento que incide en la cubierta sea lado del viento (barlovento) ó el lado contrario del viento (sotavento), una vez hallado el valor debe multiplicarse tanto a la presión del barlovento y del sotavento. Sin embargo un articulo del código Danés hace referencia que los muros y techos deberán resistir una succión de 0.8q y que deben estar anclados o empotrados.

Figura 2-1.

Coeficientes exteriores para presiones y succiones de viento en techos de tejado de dos alas (Véase Lateral Live loads en Structural Steel Desing de Lambert Tall)

El AISCE – 02 (Sección C6.0 - Pág. 171 Véase Anexo 2.1), para propósitos de diseño, las presiones de viento se determina de acuerdo con el grado al cual el terreno que rodea al edificio a construir lo expone al viento. Estas exposiciones del la estructura al viento se clasifica en : PÁG. 33


Exposición A que se aplica a los centros de las grandes ciudades. Exposición B se aplica a una zonas suburbanas y con la presencia de árboles o en áreas urbanas a estructuras con cierto espaciamiento. Exposición C se aplica para el terreno plano, campo abierto o terreno expuesto. Exposición D se aplica a áreas planas que están expuestas a vientos sin ninguna obstrucción. La determinación mas precisa de las cargas de viento y de que manera afectan estas presiones a una estructura es complejo, sin embargo en la actualidad se cuenta con información para obtener valores aproximados satisfactorios.

2.2.3.7

Cargas de Sismo (E)

Las fuerzas desarrolladas durante un sismo no son fuerzas físicas aplicadas a la estructura, pero son fuerzas inerciales resultante de la resistencia de la masa del sistema que provoca movimiento. Por tanto las fuerzas inerciales generadas debidas a la perturbación dinámica son dependientes del movimiento natural del sismo el cual puede describirse en términos de aceleración, velocidad, tiempo y dirección, la respuesta de la estructura la cual es definida por sus propiedades elásticas, de masa, su rigidez y su amortiguamiento. Un sismo consiste en movimientos horizontales y verticales del suelo. El efecto del sismo en un edificio es similar al efecto que un jugador de fútbol americano resiste cuando es interceptado por su oponente sin que el esté prevenido, consecuentemente sus pies van en dirección de su oponente, pero su cuerpo no se mueve hasta que la parte inferior de su cuerpo se inclina en la dirección del impacto que provocó su oponente. Este tipo de movimientos son determinados como una carga equivalente estática para simular el efecto de los sismos en edificios. Una carga equivalente estática está en base a la fuerza F= m·a y una modificación de los factores a causa de la zona sísmica, el tipo de estructura, características de cargaresistencia estructural y las condiciones que hay en la interacción suelo-estructura aplicada a cada piso de un edificio, como también en la dirección opuesta del movimiento del suelo desde la fundación de la estructura que permanece fija cuando se realiza un análisis estático. Estas fuerzas se representan como un porcentaje del peso de la carga de la estructura y de su contenido y dependen de la ubicación de la estructura en un mapa de probabilidad sísmica de Bolivia Fig. 2-2 5, del tipo de estructura y otros factores. Las fuerzas sísmicas usadas como incrementos porcentuales de carga de viento, es incorrecto, ya que la cargas sísmicas son diferentes en su acción y no son proporcionales al área de influencia, sino al peso del edificio. El AISCE – 02 (Sección 9.0 - Pág. 295), hace referencia y recomendaciones sobre el análisis de las cargas ocasionadas por sismo.

5

Resumen de estudios realizados por Salvador del Pozo [Ref.1], Ramón Cabré y Angel Vega [Ref. 2]

PÁG. 34


70

65

68º

60

SISMICIDAD DE BOLIVIA

10

10

MAPA DE MAGNITUDES MÁXIMAS ESCALA DE RICHTER

PANDO

66º

64º

60º

BOLIVIA ZONAS SÍSMICAS

BRASIL 10º

0

1

2

3

4

V

VI

VII

VIII

10º

ESCALA MERCALLI MODIFICADA

PANDO

Fuente: OBS. SAN CALIXTO ANGEL VEGA B.

62º

12º

12º Fuente : CERESIS Ing. S. del Pozo G.

4

14º

14º

TRINIDAD

15

TRINIDAD

15

3

6

16º

16º LA PAZ

PERÚ

4

COCHABAMBA

LA PAZ

Villa Tunari

COCHABAMBA

5

SANTA CRUZ

ORURO

ORURO SUCRE POTOSÍ

SUCRE

5 20

5

18º

Aiquile

6 20

SANTA CRUZ

18º

POTOSÍ

20º

20º

4

PARAGUAY

TARIJA

6

22º

22º

TARIJA

CHILE ARGENTINA 70

65

68º

60

a) Figura 2-2.

2.3

66º

64º

62º

60º

b)

Mapa de intensidades sísmicas de Bolivia: a) Escala de Richter [Ref.1] , b) Escala Mercalli Modificada [Ref.2]

METODOS DE DISEÑO (ASD y LRFD)

El instituto Americano de Construcción de Acero (AISC) recomienda que debe ejercerse un juicio profesional independiente al aplicar las especificaciones y que no se pretende cubrir los problemas encontrados en el ejercicio de la práctica del diseño estructural. En 1978 desarrolló especificaciones de diseño para el acero estructural en dos secciones: diseño por esfuerzos permisibles (ASD) y el otro definía los criterios para el diseño plástico (PD). En 1986 el diseño con factores de carga y resistencia (LRFD) es un método para el diseño de estructuras cuyo objetivo es hacer uso de la información de las pruebas que se realizan en lugares especializados, de la experiencia cuando se efectúa el diseño y del criterio ingenieríl, que se aplica por medio del análisis de probabilidades. En el ASD se establece esfuerzos admisibles que, no deben ser excedidos cuando las fuerzas en una estructura de acero son determinadas por un análisis estático. Los esfuerzos admisibles Fadm son : F Fadm = lí m FS

Donde

(2.5)

FS = Factor de seguridad Flím = Esfuerzo que indica el límite de utilidad PÁG. 35


El factor de seguridad es incorporado para compensar las incertidumbres en el diseño y la construcción, y el esfuerzo límite al igual que el esfuerzo de fluencia Fy, un esfuerzo crítico Fcr, el esfuerzo de tracción última Fu . Los esfuerzos reales, que no deben exceder los esfuerzos admisibles, son determinados por un análisis estático para las cargas de servicio sobre una estructura. El límite de utilidad estructural es una carga Pu que provocará la formación de un mecanismo plástico y es comparada con las cargas de trabajo factorizadas como se muestra:

( FC )·Pw ≤ Pu

(2.6)

Donde

Pw = Cargas de trabajo o servicio Pu = Cargas de trabajo o servicio FC = Coeficientes de carga o seguridad (FC = 1.7 para cargas gravitacionales y FC = 1.3 para cargas gravitacionales y de viento o sismo). Según los criterios del método LRFD exigen que se apliquen los factores tanto a las cargas de servicio como a la resistencia nominal de los miembros y conexiones, este método se basa en los conceptos de estado límite que es una condición en la que un miembro estructural, una conexión, o toda la estructura cesa de cumplir su función.

Estados límite de resistencia 6 se basa en la seguridad o en cuanto resiste la estructura incluyendo las resistencias plásticas, de pandeo, fractura de un miembro a tracción, de fatiga, etc. Estados límite de servicio 6 es el comportamiento de la estructura debido a cargas normales de servicio e implica el control de las deflexiones, vibraciones y deformaciones permanentes. El método LRFD es aplicado a cada estado límite y el diseñador no tiene que utilizar datos estadísticos, sino debe seguir reglas establecidas para la determinación de resistencias y usar diversos factores de carga y su respectiva verificación del diseño se lo realiza con la siguiente fórmula : n

∑ γ ·Q i =1

Donde

Qi γi Rn φ 6

i

i

≤ φ·R n

(2.6)

= Cargas de trabajo o servicio = Factores de carga o seguridad = Resistencia teórica o nominal = Factores de resistencia

Glosario del (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing 2001-Third Edition - AISC-01

Pág.16.1-xxvii)

PÁG. 36


El lado izquierdo de la desigualdad es referido a los efectos de las cargas en la estructura, y el lado derecho es la resistencia o capacidad que presenta el elemento estructural. En este método las cargas de servicio (Qi), para tener en cuenta las incertidumbres al estimar as cargas de servicio, se aplican a ellas factores de carga (γi), que generalmente son mayores que la unidad. Para mostrar la variación en las resistencias de un miembro o conexión, la resistencia nominal Rn se plica un factor de resistencia φ que es menor a la unidad. Los resultados de la ecuación factorizada ∑γi·Qi es entonces γD·QD + γL·QL donde QD y QL son las cargas muerta, viva y γD y γL son los factores de carga que multiplican a cada una de las cargas. El factor de resistencia φ tienen el propósito de transmitir un margen de seguridad entre Rn y Qn para tener cuidado cuando la carga real exceda el valor especificado y que la resistencia real sea menor que el valor especificado. Podemos ver fácilmente que tanto los efectos de carga como las resistencias tienen una forma de una distribución probabilística, determinada por una curva de campana que tiene un valor medio (Rm o Qm)y una desviación estándar. En resumen para simplificar la explicación de la teoría probabilística del método LRFD se tiene que el efecto de la carga Q y la resistencia R son asumidos por un análisis estadístico aleatorio de variables independientes con una distribución como se muestra en la Figura 2-3. dejando el margen de seguridad como ser:

M=R–Q

(2.7)

Como M es ancho y positivo entonces existe un margen de seguridad (R
Figura 2-3.

Distribución de probabilidad de la carga Q y resistencia R (Véase Structural Safely en Structural Steel Desing de J. C. Smith Pág. 38)

PÁG. 37


Figura 2-3.

Definición de índice de confiabilidad (Véase Structural Safely en Structural Steel Desing de J. C. Smith Pág. 39)

La distribución de ln(R/Q) se muestra en la figura 2-3. y es la representación correspondiente de la seguridad estructural, usado como modelo probabilístico del método LRFD. El estado límite se infringe si ln(R/Q) es negativo y la probabilidad de que esto ocurra esta representada por el área sombreada de la figura 2-3. Entre mas pequeña es esta área, mas confiable es el elemento estructural, el área sombreada varía en tamaño como la distancia del valor medio de ln(R/Q) al origen que depende de dos factores: del ancho de la curva de distribución, que es definida por su desviación estándar σln(R/Q) y de un factor β que se denomina como el índice de confiabilidad. Cuando sea mas grande β, es menor la probabilidad de exceder un estado límite. Usando la siguiente expresión se tiene:    β · σ  R  = β · V R 2 + VQ 2  ln    Q

  R   = ln    Q 

(2.8)

Donde

σ VR = R Rm

(2.9)

podemos obtener la fórmula sencilla para el índice β de confiabilidad.

β=

ln ( R m Q m VR 2 + VQ 2

(2.10)

PÁG. 38


Los valores de Rm y Qm son valores medios de la resistencia R y del efecto de carga Q, respectivamente, y VR y VQ son los factores de variación. Cuando se obtienen los datos probabilísticos apropiados y calculando entonces el valor de β, a este proceso se denomina calibración. En base a las muchas calibraciones hechas se seleccionaron para los criterios LRFD los valores de β = 2.6 para elementos estructurales, y β = 4.0 para conexiones. Pero debido a que se fueron desarrollando a través de muchos años de experiencia, se encontró alguna dispersión en el valor de β. El nuevo método LRFD eliminó esta dispersión obteniéndose así una confiabilidad mas uniforme y a partir del índice β especificado y de los datos estadísticos apropiados se puede tomar en cuenta adecuadamente seleccionando los factores γ de carga y los factores φ de resistencia. El método de diseño por esfuerzos permisibles (ASD) se usaba el mismo factor de seguridad tanto para las cargas muertas como para las vivas, mientras que en el método de diseño con factores de carga y resistencia (LRFD) se usa un factor de carga o de seguridad menor para las cargas muertas que en este caso si se pueden calcular con mayor exactitud que las cargas vivas. Por otra parte, en este documento solo se estudiará el método de Diseño con Factores de Carga y Resistencia (LRFD).

2.4

DISEÑO CON FACTORES DE CARGA Y RESISTENCIA (LRFD)

2.4.1 FACTORES DE CARGA Los tipos de cargas descritas anteriormente en las secciones 2.2.2 y 2.2.3 pueden actuar en forma simultánea. Entonces los, máximos esfuerzos o deformaciones pueden resultar de alguna combinación de cargas. Los códigos especifican una variedad de combinaciones que deben ser investigadas por el diseñador, dependiendo de si se usa el diseño por esfuerzos permisibles (ASD) o el diseño con factor de carga y resistencia (LRFD). Las cargas de diseño dependen de la precisión con que nosotros conocemos la carga, es decir cuanta certeza tenemos de la carga muerta comparada con la carga viva. Para la norma LRFD(Load and Resistence Factor Desing Specification), el AISC(American Instituteof Steel Construction), prescribe las siguientes cargas mayoradas 7 : U = 1.4D U = 1.2D + 1.6L + 0.5(Lr o S o R)

(1) (2)

U = 1.2D + 1.6(Lr o S o R) + (0.5L o 0.8W)

(3)

U = 1.2D + 1.6W + 0.5L + 0.5(Lr o S o R)

(4)

U = 1.2D ± 1.0E + 0.5L + 0.2S U = 0.9D ± (1.6W o 1.0E)

(5) (6)

Donde los coeficientes son los factores de carga. 7

Factores de carga y combinaciones de carga (Manual of Steel Construction Load an Resistance Factor Desing Third Edition (AISC-01) Pág.16.1-xxvii) PÁG. 39


D, L, W, Lr , S y R son cargas nominales (especificadas según la norma AISC-01). D = Carga muerta debido al peso de los elementos estructurales permanentes. L = Carga viva debido a la funcionalidad y todo equipo movible. W = Carga debido al viento. Lr = Carga debido a las cargas vivas de techo. S = Carga debido al hielo y nieve. R = Carga debido a las precipitaciones pluviales. E = Cargas debido a sismo. U = Carga última. La combinación (1) manda solamente cuando la carga muerta excede ocho veces toda la carga viva. Diseños con cargas que son encontrados infrecuentemente; un posible caso es una viga compuesta sin apuntalamiento durante la construcción ( cuando la viga de acero resiste todas las cargas de la construcción).

2.4.2 FACTORES RESISTENCIA Los factores de resistencia φ usados en el método LRFD se basan en las investigaciones, la experiencia8 y del dictamen del Comité sobre Especificaciones del AISC. Los factores de resistencia φ toman en cuenta las variaciones inevitables de las resistencias de los materiales, en las dimensiones, ecuaciones de diseño, y en la mano de obra. Para hacer esta estimación, se multiplica la resistencia nominal (Pn, Mn, Vn, etc.) de cada elemento por un factor φ, de resistencia o de sobrecapacidad que se obtiene de la fuerza de diseño de un elemento a tensión. En general el factor de resistencia φ es menor a la unidad. Para que se entienda mejor de las estimaciones para el diseño de un elemento a tracción se tiene la siguiente expresión:

φPn ≥ Pu

(2.10)

Donde

φ = Factor de resistencia (factor de reducción). Pn = Fuerza nominal (resistencia) para elementos a tracción. Pu = Fuerza requerida de tracción (fuerza máxima de tracción obtenida de un análisis elástico de cargas)

Algunos ejemplos de factores de resistencia para elementos de acero son como sigue:

φc = 0.85 para compresión axial φv = 0.90 para corte φb = 0.85 para flexión (Curvatura de Momento) φt = 0.90 para fluencia en un elemento a tracción. φt = 0.75 para fractura en un elemento a tracción. 8

T.V. Galambos, B Ellingwood, J.G. MacGregor y A.C. Cornell, “Probability-Based Load Criteria: Load Factor and Load Combinations”, ASCE Journal of the Structural Division, Vol. 108, Nº ST5, Mayo 1982.

PÁG. 40


Muchas veces el ingeniero se pregunta que tan absurdo y antieconómico es diseñar estructuras con factores de carga tan grandes y factores de resistencia pequeños, pero con la experiencia adquirida al paso del tiempo se da cuenta que esos factores están gobernadas por tantas incertidumbres, que no dormirán tranquilos pensando si utilizaron los factores adecuados para el diseño que realizaron, hasta llegarán a estar de acuerdo con varios proyectistas y los denominarán factores de ignorancia. Esta incertidumbre pude ser por ejemplo la resistencia de los materiales que puede variar en forma notable respecto a los valores que la fabrica proporciona a los diseñadores, y esta variación será mayor al paso del tiempo debido a que se presenta una articulación plástica cuando un elemento es sometido a flexión pero esto se vera más adelante, entre otros esta la corrosión, etc., los esfuerzos residuales y concentraciones de esfuerzos que se presentan en la fabricación de los perfiles. El maltrato que los trabajadores dan a los perfiles tanto en la fabricación y montaje de los mismos, los errores que se cometen cuando se utilizan métodos de análisis, los fenómenos medioambientales como ser viento, nieve, precipitaciones pluviales, sismo, que son difíciles de predecir. A continuación se desarrollará un diseño con el método LRFD, de una estructura cualquiera, haciendo uso de los códigos: SEI/ASCE-02, ACI 318M-02, LRFD (AISC-01).

Ejemplo 2.1 Se tiene los planos arquitectónicos en Anexo 2.2 de la estructura, que se analizará a continuación.

1. Determinar la carga muerta Para determinar el espesor de la losa se tiene que hallar la siguiente relación:

a ≥ 2 b

Losa en una dirección, cuando las cargas se transmiten en a. Losa en dos direcciones, cuando las cargas se transmiten en a y b. Una losa de HºAº debe diseñarse para cargas que resistan durante su vida útil, existe un espesor de losa mínimo para que las estructuras no se deformen, que no dependen de la carga sino de las dimensiones de la misma.

PÁG. 41


Al realizar el diseño, el ingeniero debe pensar que sucederá con esta estructura dentro de 50 años, para esto su experiencia le ayudará a diseñar y construir una estructura económica y segura. La siguiente tabla 1.2 se utilizará para determinar el espesor mínimo para estructuras de HºAº en una dirección a menos que se calculen las deformaciones.

Tabla 1-2.

Espesores mínimos (Véase ACI 318RM-02 , tabla 9.5(c), Pág. 104)

Para losas comunes en dos direcciones el espesor mínimo se determinará con la ecuación 9-13 del ACI 318RM-02, Pág. 108.

h min =

Ln (800 + 0.071·f y ) 36000 + 5000· β

L β= l Lc Donde: [h] = [Ln] = Luz larga libre [cm] [fy] = [Kg/cm2] [Ll] = Longitud larga [Lc] = Longitud corta

PÁG. 42


Para el diseño de la losa se utiliza losa nervada en dos direcciones:

Figura 2-4.

Sistema losa en dos direcciones con viga (Véase ACI 318RM-02 , Art. R13.3, Pág. 217)

Geometría según el ACI-318R-01: El ancho de las nervaduras bw >10 cm y el peralte hw ≤3.5 bw El espaciamiento libre entre las nervaduras no debe exceder de 75 cm. El espesor de la losa de concreto sobre rellenos permanentes no debe ser menor de 4 cm ni menor que 1 ½ de la distancia libre de las nervaduras. Entonces :

h min =

90 0 ·( 800 + 0.071· 4200 ) = 23.50 cm 36000 + 5000 ·1.22

Pero como el valor es 23.50 cm el espesor mínimo será 25 cm. Asumir Vigas de W30x148

PÁG. 43


WViga

= 148 lb/ft

W(Piso + Contrapiso) = 0.05·2400

WVigueta = 0.10·2400 WCerámica W(Cielo+luminarias)

= 220 Kg/m = 120 Kg/m2 = 240 Kg/m2 = 8 Kg/m2 = 12 Kg/m2 2

380 Kg/m

Para determinar la carga de los muros de la segunda planta se debe considerar:

γ ladrillo =1800

kg m3

ton m ton Wmuro = 0.25·1800·( 3.2 − 0.4 )·9.0 =11.3 m ton Wmuro = 0.25·1800·( 3.2 − 0.4 )·5.10 = 6.4 m Wmuro = 0.25·1800·( 3.2 − 0.4 )· 2.4 = 3.0

De los cálculos se tiene:

Distribución de cargas PÁG. 44


El método de marco equivalente toma en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo de los ejes de los sistemas de vigas-losa y columna, donde se puede observar que en los diagramas de momentos las esquinas tienden a levantarse y es donde se presentan mayores momentos como se muestra en la Figura 2-5.

Figura 2-5.

Deflexión de una losa (Véase cálculo de deflexiones en Diseño de Estructuras de Concreto de Arthur H. Nilson, Pág. 435)

Cada marco equivalente se analiza en su totalidad o se puede hacer un análisis por separado para cargas gravitacionales de cada piso o techo, debiendo considerarse los extremos alejados de las columnas como empotrados. El método de diseño directo toma en cuenta los efectos de agrietamiento para losas rectangulares con una relación de claro mayor a menor, centro a centro de los apoyos dentro de un tablero, no mayor de 2. Las cargas son gravitacionales y uniformemente distribuidas a las vigas se determina mediante áreas tributarias como se muestra en la Figura 2-6.

Figura 2-6.

Área de corte tributaria (Véase Direct design method ACI 318RM-02 , Art. R13.6, Pág. 217)

Este método es una aproximación ya que el agrietamiento que se presenta en las losas no sigue una geometría igual en todos los casos, pero este tipo de análisis es práctico y nos dan resultados razonables, por este motivo se empleará este método para nuestro ejemplo. Entonces se tienen las siguientes formulas para la distribución de cargas a las vigas: PÁG. 45


Al ⋅ tramo ⋅ corto =

W · Ls 3

   3 −  Ls W · Ls   L l  Al ⋅ tramo ⋅l arg o = 3  2  

  

2      

Donde [LL] = Longitud larga [LS] = Longitud corta [W] = Carga distribuida muerta – viva [Kg/m2] Para determinar el peso por carga viva se empleará la Tabla 2.1 de Cargas vivas mínimas uniformemente distribuidas y concentradas de diseño de SEI/ASCE 7– 02 Para colegios con pasillos y laboratorios se tiene una carga viva de:

W L = 488

kg m2

Entonces se tiene:

Losa 1 WD s =

380 · 2.40 kg = 304 3 m

  2.40  2 3−  380 · 2.40   6.50  WD = · L 3 2    W Ls =

   kg  = 436 m   

488 · 2.40 kg = 391 3 m

  2.40  2 3−  488 · 2.40   6.50  W Ll = · 3 2   

   kg  = 559 m   

PÁG. 46


Losa 2 W Ds =

380 · 6.50 kg = 824 3 m

  6.50  2  3−  380 · 6.50   9.0  WD = · L 3 2    W Ls =

   kg  = 1021 m   

488 · 6.50 kg = 1058 3 m

  6.50  2  3−  488 · 6.50   9.0  WD = · L 3 2   

   kg  = 1310 m   

Para la carga muerta se adiciona el peso debido a los muros, en resumen se tiene:

PÁG. 47


Recomendación : Como se puede observar el cálculo de cargas muertas y cargas vivas no es muy exacto esto por las razones ya antes mencionado a lo largo del capitulo, pero lo importante es que el estudiante y el ingeniero no deberán olvidarse de ninguna carga que actúa en la estructura. Carga por Viento Para determinar la carga producida por el viento en la estructura se tiene:

p = 0.002558 · C d · V 2 V =120

Km = 74.6 mph m

C d = 1.0 p = 0.002558 ·1.0 · 74.6 2 =14.23 psf p = 69.40

kg kg = 70 m2 m2

Entonces:

Vista Lateral 3.2 9 Fwl = 70 · · = 504 kg 1 2 2 9 Fwl 2 = 70 ·3.2 · =1008 kg 2 9 Fwl 3 = 70 ·3.2 · =1008 kg 2

Vista Frontal

3.2 6.5 Fwf = 70 · · = 364 kg 1 2 2 Fwf 2 = 70 ·

(1.0 +1.0 ) ( 6.5 + 6.5 ) · = 910 kg 2 2

Fwf 3 = 70 ·

( 3.2 + 3.2 ) ( 7.4 + 7.4 ) · =1658 kg 2 2

PÁG. 48


Carga de la Techumbre El diseño de la techumbre es independiente al de la estructura, pero como esta se apoya en la estructura produce fuerzas que son transmitidas a las vigas y a su vez estas a los nudos o uniones columna – viga. Entre varias consideraciones que se deben tomar al momento de calcular las cargas se tiene: La geometría de la cercha deberá estar a escala para una mejor apreciación. Fijar elementos verticales donde se encuentran los apoyos. El ingeniero deberá adaptarse a lo que establecen los planos arquitectónicos. Hallar un perfil adecuado para determinar su peso. Realizar el descenso de cargas de la cercha a los apoyos. Considerar el peso de la cubierta considerando su traslape, este peso es transmitido a las correas y a su vez a la cercha. Se tiene los siguientes perfiles (Véase ANEXO CAP.1 TABLA PERFILES – PERFILTEC)

C

100 x 50 x 15 x 4 Perfil costanera Perfil costanera 200 x 50 x 4 Perfil Doble angular 2L 2” x 2” x 1/8” Cubierta

= = = =

6.35 9.01 4.97 14.0

Kg/m Kg/m Kg/m Kg/m PÁG. 49


La disposición de los perfiles es como se muestra en la siguiente figura:

Para la cuerda inferior y superior se tiene :

WPerfil = [(4.97·22) + 9.01· (2.80 + 12.3)] = 420 kg Considerar WPerfil ≈ 500 kg La disposición de las cerchas y su área tributaria será:

Nº DE CERCHAS = 8 Área tributaria = 2.20 m

PÁG. 50


Entonces con las consideraciones se procede al cálculo:

WCercha

= 500 Kg

WCorrea

=14 · 2.20 · 6.35

= 196 Kg

WTeja

=11.40 · 2.20 · 14 = 352 Kg WTotal = 1048 Kg

La carga muerta de techo será:

WD techo =

1048 kg = 41.78 2.20 ·11.40 m2

≈ 45

Kg m2

Cargas adicionales y de lluvia a) Peso de drenaje ( Canaletas )

Espesor

= 0.20 mm

WPeso Plancha

= 1.67 Kg/m2

Longitud total = 25 +15 +12 +1 +1= 54 cm P Plancha = 0.54 m ·2.20 m ·1.67 Kg/m2 = 2 Kg P H2O = 0.018 m2 ·2.20 m ·1000 Kg/m3 = 40Kg

a) Cumbrera

Espesor

= 0.06 m

WCerámica

= 2.2 Kg/m2

Long. Total = 2.18 + π ·18/2 = 64.27 cm P Cumbrera = 0.64 m ·2.20 m ·2.2 Kg/m2 = 3.1Kg

PÁG. 51


Considerando cargas puntuales en los nudos:

Carga muerta de Techo (Roof dead Load = Ld)

Para carga muerta se considera: C arg a ⋅ muerta = 45

kg m2

9   2.20  PD 1 =  + 0.6  ·   · 45 = 253 Kg 2   2  9 PD 2 =   · 2.20 · 45 =119 Kg 2  2.40  + 0.6  · 2.20 · 45 = 446 Kg PD 3 =   2 

Carga viva de Techo (Roof Live Load = Lr)

Para carga viva de techo se considera: C arg a ⋅ min ima = 58

kg m2

9   2.20  PLr1 =  + 0.6  ·   ·58 = 253 Kg 2   2  9 PLr 2 =   · 2.20 · 45 = 574 Kg 2  2.40  + 0.6  · 2.20 · 45 = 230 Kg PLr 3 =  2  

Carga de Nieve (Snow Load= S)

Para carga de nieve se considera: C arg a ⋅ m in im a = 4 0

kg m2

9   2 .2 0 Ps 1 =  + 0 .6  ·  2   2

  · 40 = 225 K g 

9 Ps 2 =   · 2 .2 0 · 4 0 = 3 9 6 K g 2  2 .4 0  + 0 .6  · 2 .2 0 · 4 0 = 1 5 9 K g Ps 3 =  2   PÁG. 52


Combinaciones de Carga método LRFD. Véase Diseño con Factores de carga y resistencia de la Pág. 16. Se utilizará las siguientes combinaciones : 1.4D

(1)

1.2 D + 1.6 L + 0.5(Lr o S o R)

(2)

1.2 D + 1.6 (Lr o S o R) + ( 0.5L o 0.8W) Representación: 1.2 D + 1.6 Lr + 0.5L 1.2 D + 1.6 Lr + 0.8 WIZQ 1.2 D + 1.6 Lr + 0.8 WDER 1.2 D + 1.6 Lr + 0.8 WFRON 1.2 D + 1.6 Lr + 0.8 WPOST 1.2 D + 1.6 S 1.2 D + 1.6 R

(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

1.2 D + 1.6 W + 0.5L + 0.5(Lr o S o R) Representación: 1.2 D + 1.6 WIZQ + 0.5L + 0.5Lr

(10)

1.2 D + 1.6 WDER + 0.5L + 0.5Lr

(11)

1.2 D + 1.6 WFRON + 0.5L + 0.5Lr

(12)

1.2 D + 1.6 WPOST + 0.5L + 0.5Lr

(13)

0.9 D ± (1.6W o 1.0E) Representación sin considerar efectos de sismo: 0.9 D + 1.6 WIZQ

(14)

0.9 D + 1.6 WDER

(15)

0.9 D + 1.6 WFRON

(16)

0.9 D + 1.6 WPOST

(17)

Con las anteriores combinaciones y con la ayuda de un programa computacional se podrá hallar los diagramas de momentos, cortantes, y axiales y así poder observar su variación según el tipo de combinación que se analiza. Nosotros siempre hacemos que las calculadoras electrónicas y ordenadores usen la máxima precisión disponible, pero eso no se aplica en la realidad, se recomienda que los valores hallados deberán tener como máximo 3 dígitos decimales significantes de precisión y cuando se de el caso redondear el siguiente dígito. Cuando la estructura presenta varias plantas, y sea de una altura considerable entonces los paquetes computacionales deberán usar mayor número de dígitos decimales significantes. PÁG. 53

Tracción

3.1 TRACCION PURA El elemento estructural mas simples que se utilizaba frecuentemente en el pasado es la barra de sección circular, que presentaba cierta dificultad para conectarse a otras estructuras. Actualmente se la utiliza en sistemas de arriostramiento, en las armaduras ligeras y en la construcción con madera, el poco uso que se le da ahora a estos elementos estructurales es debido a que presentan poca rigidez, generan mucha vibración en puentes y se flexionan fácilmente bajo su propio peso dando así una apariencia poco agradable a la estructura, es por esto y otros motivos en los cuales se hace el uso frecuente de perfiles laminados en caliente y perfiles laminados en frío para el diseño de estructuras de acero. Los elementos que están sujetos a tracción pura son las armaduras de las cubiertas, suspensores y elementos de cerchas. Cuando una fuerza es aplicada en el eje longitudinal de un elemento estructural, lo que se obtiene es una fuerza de tracción uniforme en cada sección transversal de la misma como se muestra en la Figura 3.1

Figura 3-1. Elemento estructural sometido a tracción pura

Pero las fuerzas de tracción axial no actúan directamente a lo largo del eje longitudinal ya que en las estructuras se presentan fuerzas laterales que hacen que el elemento este sometido a estas fuerzas y se presente el pandeo lateral, en consecuencia siempre hay momentos flexionantes. Para apreciar de mejor manera el efecto de la tracción en elementos estructurales entonces solo se estudiará el efecto de la tracción pura.

PÁG. 62

TRACCIÓN

Cuando se usen secciones armadas es importante recordar que se tendrán que realizar conexiones en campo y aplicar una o varias capas de pintura, por ello se deben situar de suficiente espacio para proceder con estos trabajos.

3.2 DISEÑO POR EL MÉTODO DE RESISTENCIAS EN ELEMENTOS A TRACCIÓN Para que todo el material en el elemento a tracción sea efectivo, las conexiones de extremo deben diseñarse mas fuertes que el cuerpo del miembro. Los miembros a tracción y sus conexiones de extremo deben diseñarse para que no se presente una falla por fatiga, en caso de que persistan cargas y descargas alternadas en ciclos con un gran numero de repeticiones como se verá en el Capitulo 10. Por otra parte, si tenemos un miembro a tracción con huecos para pernos, este puede fallar de uno de los tipos siguientes: a) Fluencia del área bruta b) Ruptura del área neta

3.2.1 FLUENCIA POR ÁREA BRUTA (Ag =AREA BRUTA =GROSS AREA) Para el estado límite de fluencia del área total de la sección transversal Ag (para prevenir el alargamiento desmedido del miembro y si falla Ag lo último que va a resistir será Tu), entonces se tiene la siguiente expresión:

Tu = φPn = φ·A g ·Fy

Donde:

Tu Ag Fy φPn φ

= = = = =

(3.1)

Fuerza de diseño requerida [klb]. Área total de la sección transversal (área bruta) [in2]. Esfuerzo de fluencia mínimo especificado del acero [klb/in2]. Resistencia del estado límite por el factor de resistencia [klb]. Factor de resistencia (φ = 0.9 para fluencia por área bruta).

3.2.2 RUPTURA POR ÁREA NETA (An = ÁREA NETA = NET AREA) Cuando se presenta una perforación en un elemento que esta en tracción incrementa los esfuerzos, aun si la perforación esta ocupado por un perno o remache, debido a esto se tiene menos área de acero sobre la que puede distribuirse la carga y habrá concentración de esfuerzos a lo largo del agujero que esta en contacto con el perno como se muestra en la Figura 3-2. El área neta de la sección transversal An es el área bruta de la sección transversal menos el área de los huecos cuyo eje es perpendicular al eje del elemento y se tiene: Entonces:

A n = A g − A hueco

(3.2)

A n = A g − #(e·φhueco ) Donde

e es el espesor de la plancha, y h es el ancho bruto de la sección. PÁG. 63


Figura 3-2. Diagrama de concentración esfuerzos en una sección.

En la construcción de estructuras de acero para que los elementos se conecten con pernos o remaches, los huecos deberán tener una holgura de 1/16 pulg mayor que el diámetro del perno o remache. Según el reglamento del AISC-011

φHuecos estándar = φperno + 1/16”

(3.3)

Para propósitos de diseño, considerando los daños del hueco debido a imprecisiones al momento de perforar los mismos se adicionara al diámetro del hueco estándar 1/16 pulg

Entonces :

φDiseño perno = φ Huecos estándar + 1/16”

(3.4)

φDiseño perno = φperno + 1/8”

(3.5)

Para el estado límite de ruptura del área neta An en los extremos de miembro a tensión será:

Tu = φPn = φ·A n ·Fu

(3.6)

Donde:

Tu Ae Fy φPn φ 1

= = = = =

Fuerza de diseño requerida [klb]. Área neta [in2]. Esfuerzo de fluencia mínimo especificado del acero [klb/in2]. Resistencia del estado límite por el factor de resistencia [klb]. Factor de resistencia (φ = 0.75 para fluencia por área neta).

Véase Requerimientos de diseño AISC-01, Pág. 16.1-10

PÁG. 64

TRACCIÓN

La falla por ruptura del área neta en elementos estructurales de acero, no se aplica a barras que en la línea de gramil están dos o mas filas de pernos y en forma alternada. Sin embargo la norma AISC-011 considera para una cadena de huecos esparcidos a lo largo de una sección en forma diagonal o zigzag como se muestra en la Figura 3-3. El método consiste en tener el ancho del miembro sin tomar en cuenta la dirección de la línea donde pueda ocurrir la falla, restar los huecos a lo largo de la sección en zigzag determinada, y adicionar por cada diagonal o espacio de gramil en la cadena el valor proporcionado por la siguiente expresión y elegir el valor predominante para hallar el área neta.

s2 4 ⋅g

(3.7)

Donde:

s = separación longitudinal o paso entre dos agujeros cualesquiera [in]. g = separación transversal de los mismos huecos [in].

Figura 3-3.

Definición de s y g

Cuando un elemento estructural de acero o una placa esta en tracción axial hasta que ocurra la falla en su sección neta a una corta distancia del final del elemento, el esfuerzo de falla por tracción generalmente es menor al que se obtiene de una probeta, el motivo para que esto ocurra es debido al efecto del retraso de la cortante que es la concentración de esfuerzos cortantes en todo el sector de la conexión a causa de la reducción de la resistencia del elemento. El área neta efectiva Ae se determina multiplicando su área neta An si tuviese pernos o remaches, y con su área total Ag si estuviese soldado, por un factor de reducción U que toma en cuenta de manera sencilla la distribución no uniforme del esfuerzo. El reglamento del AISC-011 establece que es área neta efectiva de un elemento de acero sometido a tracción se define como indica a continuación:

PÁG. 65


a)

Cuando la carga es introducida directamente por conectores en cada uno de los elementos de la sección transversal se tiene:

Ae = An b)

En una conexión empernada, cuando la carga se introduce en alguno pero no en todos los elementos de una sección transversal se tiene:

Ae = U·An c)

En una conexión soldada cuando la carga se introduce en algunos pero no en todos los elementos de una sección transversal se tiene:

Ae = U·Ag Donde :

U = (1- X /Lc) ≤ 0.9 U Lc X

(3.8)

= Factor de reducción = Longitud de la conexión paralelo a Tu [in]. = Excentricidad de la conexión (Distancia entre el plano de la conexión y el centroide del área de la sección total) [in], (Véase la Figura 3-4).

Figura 3-3.

Definición de s y g

Los valores de diseño para el factor de reducción U y el área neta efectiva Ae están dados por las especificaciones del AISC-01 LRFD capítulo B. Para perfiles W, M, o S y Tes estructurales como ser WT, MT y ST(Véase perfiles de acero, Cap. 1 Pág. 17).

PÁG. 66

TRACCIÓN

Criterio

U

a) Para perfiles W, M o S con alas ≥ 2/3 de la altura de la sección y para las tes estructurales obtenidas de estos perfiles WT, MT y ST si la conexión es la aleta. b) Para los perfiles W, M o S que no cumplen con las anteriores condiciones, para los tes estructurales obtenidos de estos perfiles WT, MT y ST y para todos los demás perfiles y secciones armadas. Las conexiones empernadas o remachadas deben tener por lo menos 3 conectores por línea en dirección de la fuerza aplicada. c) Para todos los miembros con conexiones empernadas o remachadas con solo dos conectores por línea en dirección de la fuerza aplicada.

Tabla 3-1.

0.90

0.85

0.75

Valores de U para perfiles W, M, S y tes estructurales WT, MT y ST (Véase el AISC-01 LRFD, Pág. 16.1-11 y Theory and Problems of Structural Steel Design-LRFD Abraham J. Rokach, MSCE Schaum’s Outline Series, Pág. 15 )

Las anteriores fórmulas son multiplicadas por ciertos factores de resistencia debido a que no conocemos con exactitud varios fenómenos que se presentan al momento de construir y estas son cuando: La carga no es aplicada al centro del elemento estructural de acero. Tanto la plancha como las secciones no son homogéneas es decir no son totalmente rectas. No todas las secciones son iguales. Las dimensiones son inexactas. Hay un mayor número de planchas en las uniones.

PÁG. 67


Ejemplo 3.1 Determinar a) Fluencia de la sección por área bruta Ag. b) Ruptura de la sección por área neta An. c) La carga de diseño para la sección. Datos:

Fy Fu

φPernos PL h

= 36 ksi ≈ 2500 Kg/cm2 = 58 ksi ≈ 4100 Kg/cm2 = 1¼“ = 5/16 “ = 6”

φHuecos estándar = 1 ¼ “ + 1/16” = 5/16” φDiseño perno = 1 ¼ “ + 1/8” = 3/8” a)

Fluencia de la sección por área bruta Ag.

Ag =2·

5 " " 15 " ·6 = = 24.19 cm 2 16 4

φ Pn = 0.9 · 24.19 · 2500 = 54428 kg b) Ruptura de la sección por área neta An. An =

1 "  " 3 "  21" 6 −2· = = 8.47 cm 2   4 8 16  

φ Pn = 0.75 ·8.47 · 4100 = 26046.............. Falla

PÁG. 68

TRACCIÓN

c) Carga de diseño Tu. Asumir : a) La mitad es la carga muerta (D) b) La mitad es la carga viva (V) COMB1 :

 T  1 .4 D = 1 .4   = 0 .7 T  2 

COMB2 :

T 1.2 D + 1.6 L = 1.2  2

 T  + 1.6   2

  = 1.4 T 

(desfavorable)

Entonces la carga de diseño será:

Tµ = 26046 = 1.4·T Tmáx =

26046 = 18605Kg 1.4

Ejemplo 3.2 Determinar la resistencia a la tracción de la unión de la figura. Asumir que los pernos no fallan y que T es solo carga muerta. Usar acero A36 con un Fµ = 58 ksi

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a)

Falla por fluencia en el área bruta "

3 A g = 17"x = 12.75·2.542 = 82.26cm 2 4 φPn = 0.9·82.26·( 36·70.31) = 187392Kg b) Ruptura del área neta "

"

7 1 φ = + = 1" 8 8 b.1) En ABCD o EFGH

Ancho neto = 17" − 2" = 15" b.2) En ABCGH

Ancho neto = 17" − 3·1" +

22 = 14.25" 4·4

b.3) En ABGH

Ancho neto = 17" − 2·1" +

22 = 15.14" 4·7

b.4) En EFBCD

Ancho neto = 17" − 3·1" +

22 = 14.25" 4·4

b.5) En EFCD

Ancho neto = 17" − 2·1" +

22 = 15.14" 4·7

b.6) En EFBCGH

22 22 + = 13.5" 4·4 4·4 El valor del ancho neto es Ancho neto = 13.5"

Ancho neto = 17" − 4·1" +

Entonces:

"

3 A neta = 13.5 · = 10.125·2.542 = 65.32cm 2 4 φPn = 0.75·65.32·( 58·70.31) = 199780Kg "

La resistencia a la tracción de la unión es:

φPn = 187392Kg 1.4·TD = 187392Kg TD =

187392 = 133851Kg 1.4 PÁG. 70

TRACCIÓN

PROBLEMAS

Problema 3.1 Determinar la resistencia a la tracción de la unión de la siguiente figura, asumir que los pernos no fallan y que T es solo carga muerta. Usar acero A36 con un Fµ = 58 ksi.

Problema 3.2 Determinar el numero de pernos requeridos a cada lado del empalme, usar pernos A325 de diámetro con agujeros de tamaño estándar y placas de acero A36 como se muestra en la siguiente figura. La fuerza no factorizada TL = 41 ton, es debida a carga viva.

PÁG. 71

Compresión Axial

4.1 COMPRESION AXIAL PURA La compresión axial se presenta en columnas, elementos de cerchas y se define como la carga que transmite una fuerza de compresión, produciéndose así a lo largo de la columna esfuerzos de compresión y la resultante de cada extremo que coincide aproximadamente con el eje centroidal longitudinal del elemento como se muestra en la Figura 4-1.

Figura 4-1. Elemento estructural sometido a compresión pura

Las diferencias que existen entre miembros a tracción y compresión son: Cuando son aplicadas las cargas de tracción en un elemento estructural, estas hacen que los elementos se mantengan rectos, mientras que las cargas de compresión hacen que el elemento se flexione hacia fuera del plano de simetría y este en una situación peligrosa. Cuando se presentan huecos para pernos o remaches en las uniones de los miembros a tracción, estas reducen las áreas útiles para resistir las cargas, mientras que en los elementos a compresión se considera que los pernos o remaches ocupan los huecos y por lo tanto estas resistirán las cargas.

PÁG. 72


La resistencia de un elemento a tracción es independiente de su longitud, mientras que para una columna, tanto la resistencia como el modo de falla son dependientes de la longitud. Al momento de flexionarse una columna y cuando falla se presenta un fenómeno denominado pandeo, su medición depende de la relación de esbeltez que es la relación entre la longitud del elemento y su radio de giro mínimo. Depende también de otros factores como ser: tipo de conexión en los extremos, excentricidad de la carga, imperfecciones del material de la columna, torsión inicial del elemento, esfuerzos residuales de fabricación, etc.

4.2 DESARROLLO DE LA FORMULA DE EULER PARA ELEMENTOS SOMETIDOS A COMPRESIÓN 2

La carga de pandeo se obtiene de la fórmula de Euler para una columna larga, recta, cargada axialmente, homogénea y con los extremos redondeados. La columna ha sido flexionada lateralmente y si se retirase la carga P la columna retornará a su posición original, según se incremente gradualmente la carga P, se llega a una situación de equilibrio neutro en la que la columna puede tomar una forma flexionada. Para este caso el valor correspondiente es la carga crítica Pcr como se muestra en la Figura 4-2.

a)

c)

b)

d)

Figura 4-2. Análisis de una columna sometida a compresión pura1 : a) columna ideal antes de la carga, b) perfil pandeado cuando se aplica la carga P, c) corte 1-1, d) diagrama de cuerpo libre de la sección 1-1 de la columna en z. 1

Véase Columns de Estructural Steel Design LRFD approach de J. C. Smith , Pág. 120 y Mecánica de Materiales de Gere Timoshenko, Pág. 594 PÁG. 73

COMPRESIÓN AXIAL

Los ejes z y y se sitúan como se indican en la Figura 4-1, inciso a). Se considera una distancia arbitraria z desde el origen del elemento, y el momento flexionante en cualquier punto de la columna es:

M = P· x

(4.1)

La ecuación diferencial de la elástica2 es:

 d2 x   M = E ·I y ·   dz 2   

(4.2)

Sustituir la ecuación (4.1) en (4.2) y se tiene:

d2 x P + · x =0 2 E ·I y dz Se tiene que x = sen ( k ) entonces:

k2 =

P E ·I y

(4.3)

Donde:

x = A ·sen

P · z + B ·cos E ⋅I y

P ·z E ⋅I y

(4.4)

Donde A y B son constantes que deben evaluarse a partir de las condiciones de borde o frontera de la columna. Utilizar condiciones de borde cuando x = 0 ; será z = 0, la primera condición da:

0 = A·sen 0 + B·cos 0 Entonces :

x = A ·sen

B=0

P ·z E ⋅I y

Utilizar condiciones de borde cuando x = 0 ; será z = L y la segunda condición da:

0 = B · sen

P ·L E ⋅I y

(4.5)

2

Leonhard Euler realizó un análisis teórico y experimental de carga critica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica, este análisis solo es valido hasta que los esfuerzos alcancen el límite de proporcionalidad.

PÁG. 74


De la ecuación (4.4) y (4.5), donde B = 0 se denomina solución trivial y no interesa porque en la condición de borde B = 0 y x = 0 no existe el pandeo, es decir que la columna permanece recta, entonces se tiene la siguiente expresión:

sen

P ·L =0 E ⋅I y

sen ( k )·L = 0

Esta ecuación se cumple cuando k L = 0, π, 2 π,... Como k L = 0 significa que P = 0, esta solución no es de interés. Por tanto las soluciones son:

n =1,2,3,....

k ⋅ L = n ⋅π El valor de la fuerza es:

P=

π2 ⋅E ⋅I y

n =1,2,3,.... L2 La menor carga critica para columnas se obtiene cuando n =1 : Pc r =

π 2 ⋅E ⋅I y

(4.6)

(4.7)

L2

En la ecuación (4.7), no aparece el esfuerzo de fluencia Fy, es decir que no aparece en el momento de la determinación de la resistencia de una columna muy larga. Por ejemplo una columna esbelta de aluminio, de acuerdo con la ecuación (4.7), se pandeará aproximadamente un tercio de la carga con respecto a una columna esbelta de acero, este fenómeno se presenta no debido a la debilidad que presenta alguno de los materiales sino porque el módulo elástico E del aluminio es aproximadamente la tercera parte del acero. La forma modal o pandeada correspondiente es :

x = A · se n

π ⋅z L

(4.8)

Entonces se tiene:

I y = A g · ry2

(4.9)

Donde:

Ag = Area bruta de la sección. ry = Radio de giro mínimo en el eje y. 2

Sustituir la ecuación Iy = Ag· ry en la ecuación (4.6) y luego dividir miembro a miembro el resultado de la ecuación por Ag , se obtiene el esfuerzo critico:

Pc r π2 Fc r = = Ag  L   ry 

⋅E 2    

(4.10)

PÁG. 75

COMPRESIÓN AXIAL

La ecuación (4.10), puede modificarse para aplicarla a distintas condiciones de extremo como borde libre o empotramiento. En las especificaciones de acero la longitud efectiva de una columna se denomina KL, donde K es el número por el cual debe multiplicarse la longitud de la columna para obtener su longitud efectiva y es denominada como factor de longitud efectiva o coeficiente de esbeltez. El resultado de la modificación de la ecuación (4.10) es:

Fcr =

π 2 ⋅E  K ·L   ry 

   

2

(4.11)

La esbeltez depende de las condiciones de borde, la longitud, el radio de giro, la inercia y el área del elemento y es: Es beltez =

K ·L ry

(4.12)

La Tabla 4-1., muestra los valores de K coeficiente de esbeltez o factor de longitud efectiva y da valores modificados que se recomienda para el uso en el diseño.

Tabla 4-1.

Valores de K de longitud efectiva para columnas cargadas axialmente con diversas condiciones 3

idealizadas de extremo .

3

Véase Diseño de Estructuras de Acero con LRFD de Theodore V. Galambos, Pág.89 y el AISC-01 LRFD, Pág. 16.1-189

PÁG. 76


Las columnas con las que el ingeniero trabajará no tienen extremos idealmente articulados y no pueden girar libremente porque sus extremos están empernados, remachados o soldados a otros elementos: zapatas de hormigón, etc., como se muestra en la Figura 4-3, por lo tanto tienen diversos grados de restricción a la rotación y también dependerá del tipo de suelo donde se ubicará las fundaciones, si es roca o suelo compresible.

Figura 4-3. Detalle de la unión columna-zapata

Las estructuras se dividen en dos grandes grupos: Estructuras indesplazables y entramados Estructuras desplazables.

k ≤ 1.0 K ≥ 1.0

Una estimación mas general de los coeficientes de esbeltez para columnas continuas en pórticos puede obtenerse por medio de los nomogramas del Consejo de Investigación sobre la Estabilidad Estructural (SSRC). Estos nomogramas están establecidos en base a los valores de I/L de las vigas que están conectadas rígidamente a las columnas por medio de uniones. Donde G es la relación entre las rigideces de las columnas conectadas en un nudo y la suma de vigas o trabes conectadas al mismo nudo, en los nomogramas los subíndices A y B indican los extremos de la columna que esta siendo analizada.

Ic Lc G = Ib ∑ Lb ∑

(4.12)

Donde:

Σ = Sumatoria de todos los miembros conectados rígidamente al nudo y localizados en el plano de pandeo de la columna considerada. Momento de Inercia de la columna.

Ic = Lc = Longitud no soportada lateralmente de la columna. Ib = Momento de Inercia de la viga o trabe. Lb = Longitud no soportada lateralmente de la viga u otro miembro restrictivo. Ic y Ib son respecto a los ejes perpendiculares al plano de pandeo que se considera. PÁG. 77

COMPRESIÓN AXIAL

Para la base de la columna conectada rígidamente a una zapata, diseñada apropiadamente con dimensiones que le ayuden a que el conjunto columna-zapata actúen como un empotramiento, el valor de G tiende a un valor teórico de cero, pero debe tomarse igual a 1.

Figura 4-4. Valor de G, en un empotramiento

Si la columna esta conectada a una zapata con dimensiones apropiadas y sobre en un suelo compresible, G es teóricamente infinita, pero en la práctica debe tomarse igual a 10.

Figura 4-5. Valor de G, en un apoyo fijo

En el manual del AISC-014 con LRFD se presentan dos nomogramas para estructuras indesplazables y estructuras desplazables entramadas. 4

Véase AISC-01 con LRFD, Pórticos Indeslazables Pág.16.1-191, Pórticos Desplazables Pág. 16.1-192

PÁG. 78


Una estimación mas general de los coeficientes de esbeltez para columnas continuas en pórticos puede obtenerse por medio de los nomogramas del Consejo de Investigación sobre la Estabilidad Estructural (SSRC). Estos nomogramas están establecidos en base a los valores de I/L de las vigas que están conectadas rígidamente a las columnas por medio de uniones. Antes de usar el monograma se debe hacer un diseño previo de cada uno de los miembros.

4.2.1 ESTRUCTURAS INDESPLAZABLES Son aquellas estructuras que presentan nudos rígidos es decir que giran y el ángulo del nudo (es 90º), antes de la aplicación de la carga es igual al ángulo después de la aplicación de la carga como se muestra en la Figura 4-7. Un pórtico es indesplazable cuando es simétrico y esta sometido a cargas simétricas verticales y el valor del coeficiente de esbeltez K ≤ 1.0 en los casos (a), (b) y (d) de la Figura 4-3.

Figura 4-7. Pórtico Indesplazable (Sidesway Inhibited)

Para hallar el valor de G en una estructura indesplazable se tiene la siguiente ecuación:

G A ·G B  π 2  G A + G B   (π /K ) ·  +  ·  1− 4 2 ta n ( π / K ) K    

 2 ta n ( π / K ) =1 + π /K 

(4.13)

PÁG. 79

COMPRESIÓN AXIAL

Para calcular el valor de K, cuando las condiciones de apoyo no son ideales en estructuras indesplazables se utilizará el siguiente monograma de la Figura 4-8., cuando es determinado GA y GB para una columna, K se obtiene trazando una línea recta entre los puntos anteriormente mencionados sobre las escalas de GA y GB. Por ejemplo si GA = 0.5 y GB = 1.0, entonces K es igual a 0.73.

Figura 4-8. Nomogramas para la longitud efectiva de columnas en pórticos continuos indesplazables. (Véase AISC-01, Pág. 16.1-191)

4.2.2 ESTRUCTURAS DESPLAZABLES Son aquellas estructuras que debido a cargas horizontales los nudos se pueden desplazar lateralmente (no mantienen el ángulo de 90º) y se pandean al igual que las columnas, es decir que no son nudos rígidos sino nudos desplazables como se muestra en la Figura 4-9.

PÁG. 80


Un pórtico es desplazable cuando es simétrico y asimétrico, estando sometido a cargas horizontales y cargas asimétricas, el valor del coeficiente de esbeltez K ≥ 1.0 en los casos (a), (b) y (d) de la Figura 4-3. Por lo tanto en la mayoría de los casos si no se tiene las condiciones ideales se tiene que calcular el valor de K.

Figura 4-9. Pórtico desplazable (Sidesway Uninbited)

Para hallar el valor de G en una estructura desplazable se tiene la siguiente ecuación:

G A ·G B ( π / K )2 − 36 (π / K ) − =0 6 (G A +G B ) ta n ( π / K )

(4.14)

Para calcular el valor de K, cuando las condiciones de apoyo no son ideales en estructuras desplazables se utilizará el siguiente monograma de la Figura 4-10, cuando es determinado GA y GB para una columna, K se obtiene trazando una línea recta entre los puntos anteriormente mencionados sobre las escalas de GA y GB. Por ejemplo si GA = 3.0 y GB = 5.0, entonces K es igual a 2.0

PÁG. 81

COMPRESIÓN AXIAL

Figura 4-10. Nomograma para la longitud efectiva de columnas en pórticos continuos desplazables. (Véase AISC-01, Pág. 16.1-191)

En caso de que se quiera cambiar un pórtico desplazable a uno indesplazable, se utiliza tensores para que los nudos actúen como nudos rígidos, estos tensores deben ser

Figura 4-10.

Disposición de tensores en un pórtico indesplazable

PÁG. 82


dispuestos como se muestra en la Figura 4-10, y en estructuras de gran tamaño como ser edificios, se usa el cajón del ascensor (muros con tensores) para rigidizar la estructura como se muestra en la Figura 4-11.

Figura 4-11.

Edificio indesplazable

Las columnas se dividen en columnas largas, cortas e intermedias, a continuación se da una definición de esta clasificación.

Columnas Largas Son columnas donde la fórmula de Euler analiza la resistencia de las columnas largas en la que el esfuerzo axial de pandeo permanece por abajo del límite proporcional. La falla será en el estado elástico.

Columnas Cortas Las columnas cortas son aquellas donde el esfuerzo de falla será igual al esfuerzo de fluencia y no ocurrirá el pandeo. La formula de Euler no se emplea para su análisis.

Columnas Intermedias Son aquellas donde, algunas fibras alcanzarán el esfuerzo de fluencia y otras no; estas fallarán tanto por fluencia como por pandeo y su comportamiento en inelástico. Para que la formula de Euler se aplique en este tipo de columnas deberá tomarse en cuenta la presencia de esfuerzos residuales.

PÁG. 83

COMPRESIÓN AXIAL

4.3 FORMULAS DEL REGLAMENTO AISC PARA COMPRESIÓN, MÉTODO LRFD PARA COLUMNAS Las especificaciones del reglamento LRFD dan una fórmula para columnas largas con pandeo elástico y una ecuación para columnas cortas e intermedias. Estas ecuaciones determinan un esfuerzo critico Fcr para un elemento a compresión. De la formula (4.11), Fy π2 ·E (4.15) Fc r = = 2 2 λc L  K·  r   Se halla el Fcr que se puede observar en el manual AISC-015 y se tiene la siguiente expresión:

L  Fy ·  K ·  r  λc2 = 2 π ·E

2 (4.16)

Donde : λc =

K ·L π·r

Fy E

(4.17)

Entonces el esfuerzo critico será:  1 Fc r =  λ 2  c

  ·Fy  

(4.18)

Como se mostró en la sección 4.2 las columnas según el modelo matemático de Euler pero estas se comportan de una manera diferente siguiendo un modelo real , por lo tanto para el diseño será:  0 .8 7 7   · Fy Fcr =  (4.19)  λ 2   c  El diseño para esfuerzos críticos de elementos sometidos a compresión se clasifica en: a)

λc ≤ 1.5 (ecuación empírica)

2  φ Fcr = φ  0.658 λ c   b)

  · Fy  

(4.20)

φ = 0 .8 5

(4.21)

λc > 1.5 (de la ecuación de Euler)

 0 .8 7 7   · Fy φ Fc r = φ   λ 2   c  5

φ = 0 .8 5

Véase AISC-01 con LRFD, Capitulo E, Ecuación (E2-4), Pág. 16.1-27

PÁG. 84


Se debe considerar lo siguiente: Una columna se pandea cuando el factor de esbeltez es mayor y (K·L/r) sea mayor. Cuando la longitud efectiva y el factor de esbeltez K, de una columna sea igual en los dos planos, se pandeará donde el radio de giro sea menor Los esfuerzos críticos se encuentran tabulados en las especificaciones LRFD6 y proporciona los valores de φFcr para K·L/r de 1 a 200 para aceros con Fy = 36 ksi, como se muestra en la Tabla 4-2:

Tabla 4-2. 6

Valores de φFcr para aceros con Fy=36ksi. (Fuente: Ing. Alvarez Pommier)

Véase AISC-01 con LRFD, en Numerical Values, de la Pág. 16.1-46 a la Pág. 16.1-49 PÁG. 85

COMPRESIÓN AXIAL

Valores de φFcr para K·L/r con aceros Fy = 50 ksi., como se muestra en la Tabla 4-3:

Tabla 4-3.

Valores de φFcr para aceros con Fy=50ksi. (Fuente: Ing. Alvarez Pommier)

4.4 RELACIONES DE ESBELTEZ MÁXIMAS Los elementos sometidos a compresión y a tracción deben diseñarse con relaciones K·L/r que indican las especificaciones LRFD7 : 7

Véase AISC-01 con LRFD, Capitulo B, sección B7., en la Pág. 16.1-13

PÁG. 86


El propósito de dichas limitaciones para los elementos sometidos a tracción y compresión es garantizar que posean suficiente rigidez para prevenir deflexiones laterales o vibraciones excesivas.

K ·L ≤ 200 r

L <300 r

Elementos a compresión Elementos a tracción

La relación L/r en tracción no depende de las condiciones de borde y no es aplicable en varillas en tracción. Al momento de diseñar un elemento a compresión es necesario calcular (K·L/r)x como (K·L/r)y, no obstante en la mayor parte de las secciones de acero usadas como columnas, ry es mucho menor que rx, así para la mayoría de las columnas solo se calcula (K·L/r)y, para posteriormente usarse en las formulas anteriormente mencionadas.

Ejemplo 4.1 Determinar las longitudes efectivas, los factores G y K en el eje x, de cada columna del pórtico de la Figura 4-12, usando los monogramas de la Figura 4-8 y Figura 4-10.

Figura 4-11.

Elevación y Vista en Planta

PÁG. 87

COMPRESIÓN AXIAL

Factores de rigidez : Elemento

Perfil

Ix [in4]

Iy [in4]

L [in]

Ix / Lx

Iy / Ly

AB BC CD EF FG GH IJ JK KL MN NO OP BF CG DH FJ GK HL JN KO LP BB’ CC’ DD’ FF’ GG’ HH’ JJ’

W24X76 W24X68 W24X62 W24X76 W24X68 W24X62 W24X76 W24X68 W24X62 W24X76 W24X68 W24X62 W24X84 W24X84 W24X84 W24X84 W24X84 W24X84 W24X84 W24X84 W24X84 W24X104 W24X104 W24X104 W24X104 W24X104 W24X104 W24X104 W24X104 W24X104 W24X104 W24X104 W24X104

2100 1830 1560 2100 1830 1560 2100 1830 1560 2100 1830 1560 2370 2370 2370 2370 2370 2370 2370 2370 2370 3100 3100 3100 3100 3100 3100 3100 3100 3100 3100 3100 3100

82.5 704 34.5 82.5 704 34.5 82.5 704 34.5 82.5 704 34.5 94.4 94.4 94.4 94.4 94.4 94.4 94.4 94.4 94.4 259 259 259 259 259 259 259 259 259 259 259 259

126 126 126 126 126 126 126 126 126 126 126 126 256 256 256 79 79 79 291 291 291 354 354 354 354 354 354 354 354 354 354 354 354

16.7 14.5 12.4 16.7 14.5 12.4 16.7 14.5 12.4 16.7 14.5 12.4 9.3 9.3 9.3 30 30 30 8.1 8.1 8.1 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8 8.8

0.65 5.59 0.27 0.65 5.59 0.27 0.65 5.59 0.27 0.65 5.59 0.27 0.37 0.37 0.37 1.19 1.19 1.19 0.32 0.32 0.32 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73 0.73

KK’ LL’ NN’ OO’ PP’

Factores G, para cada nudo : Nudo

∑(Icx/Lc) / ∑(Ibx/Lb)

∑(Icy/Lc) / ∑(Iby/Lb)

GX

GY

A

Véase Figura 4-6.

Véase Figura 4-6.

10

10

B

1 6 .7 + 1 4 .5 9 .3

0 .6 5 + 5 .5 9 0 .7 3 + 9 .3

3.35

0.62

C

1 4 .5 + 1 2 .4 9 .3

5 .5 9 + 0.2 7 0 .7 3 + 9 .3

2.89

0.58

D

1 2 .4 9 .3

0 .2 7 0 .7 3 + 9 .3

1.33

0.03

E

Véase Figura 4-6.

Véase Figura 4-6.

10

10

PÁG. 88


F

16.7 +14.5 9.3 + 30

0.65 + 5.59 9.3 + 30 + 0.73

0.79

0.16

G

16.7+14.7 9.3+30

5.59 + 0.27 0.73 + 9.3 + 30

0.11

0.15

H

12.4 9.3+30

12.4 0.73 + 9.3 + 30

0.32

0.31

I

Véase Figura 4-6.

Véase Figura 4-6.

10

10

J

1 6 .7 + 1 4 .5 3 0 + 8 .1

0.65 + 5.59 0.73 + 30 + 8.1

0.82

0.16

K

14.5 +12.4 30 + 8.1

5.59 + 0.27 0.73 + 30 + 8.1

0.71

0.15

L

12.4 30+8.1

0.27 0.73 + 30 + 8.1

0.33

0.01

M

Véase Figura 4-6.

10

10

N

1 6 .7 + 1 4 .5 8 .1

0.65 + 5.59 0.73 + 8.1

3.85

0.71

5.59 + 0.27 0.73 + 8.1

3.32

0.66

0 .2 7 0 .7 3 + 8 .1

1.53

0.03

O

Véase Figura 4-6.

1 4 .5 + 1 2 .4 8 .1

12.4 8.1

p

Factores K según el monograma : Columna AB BC CD EF FG GH IJ JK KL MN NO OP

Valor de G en los extremos en eje x 10.0 3.35 2.89 10 0.79 0.11 10 0.82 0.71 10 3.85 3.32

3.35 2.89 1.33 0.79 0.11 0.32 0.82 0.71 0.33 3.85 3.32 1.53

Valor de G en los extremos de eje y 10.0 0.62 0.58 10 0.16 0.15 10 0.16 0.15 10 0.71 0.66

0.62 0.58 0.03 0.16 0.15 0.31 0.16 0.15 0.01 0.71 0.66 0.03

Kx

Ky

2.27 1.83 1.54 1.85 1.15 1.05 1.87 1.25 1.17 2.40 1.93 1.67

1.82 1.21 1.08 1.70 1.05 1.07 1.70 1.03 1.01 1.85 1.21 1.12

PÁG. 89

COMPRESIÓN AXIAL

Ejemplo 4.2 Diseñar la columna de la Figura 4-12, que soporta un tanque de agua con una carga muerta de 2000 Kg. La capacidad del tanque es de 35 m3, el acero es de A-50 ksi. Utilizar sección tubo, suponer que no exista carga horizontal.

a) Figura 4-11.

b)

a) Tanque de Agua, b) Modelo Matemático

De la Tabla 4-3 inciso (e) se tiene: VALOR TEÓRICO VALOR DE DISEÑO

K = 2.0 K = 2.1

Determinar Esbeltez :

K ·L ≤ 200 r 2.10 · 760 =143.39 ≤ 200......... O . K . 11.13 Donde:

λc =

K ·L π·r

Fy E

λc =

2.10 · 7.60 50 =1.895 >1.5 π ·11.13 29000 PÁG. 90


Entonces de la Pág. 13 de esfuerzos críticos inciso b) se tiene:

 0.877   · Fy φ Fcr = φ   λ 2   c   0.877  Kg φ Fcr = 0.85 ·   · 3500 = 726.55 2  1.895  cm 2 φ Pc r = A · φ Fc r

φPcr = 94.19 ·726.55= 68434 Kg Hallar las carga de Diseño : P =1 .2 · D + 1 .6 · L

P =1.2 · 2000 +1.6 ·35000 = 58400 Kg

P = 50400 Kg < 68434 Kg ... ............. O . K .

Usar Sección HSS 12”

PROBLEMA

Problema 4.1 Determinar la máxima carga P que resiste la columna sección cajón de acero A36, si la carga viva es el triple de la carga muerta como se muestra en la siguiente figura.

PÁG. 91

COMPRESIÓN AXIAL

4.5 TIPOS DE ARMADURAS Se denomina armadura a una estructura compuesta de elementos esbeltos unidos entre sí en sus puntos extremos. Estas conexiones en los nudos se los realiza, por lo general, empernando o soldando los extremos de los elementos a una placa, denominada placa de nudo, y son usadas para soportar cubiertas y puentes. Las cargas del techo se transmiten a la armadura a través de una serie de correas o largueros, como se observa en la Figura 4-12.

Figura 4-12.

Armadura de la estructura de un edificio

En la Figura 4-13, se muestra algunos de los tipos de armaduras mas utilizados en el campo de la construcción.

Figura 4-13.

Tipos de armaduras mas comunes. (Véase Análisis Estructural de R.C. Hibbeler)

PÁG. 92


Los tipos y formas de las armaduras usadas para soportar techos son escogidas dependiendo de la luz del claro del edificio o donde será ubicada la armadura, la pendiente y el tipo de material de la cubierta.

4.6 INTODUCCION AL DISEÑO DE LOS ELEMENTOS SOMETIDOS A TRACCIÓN Y COMPRESIÓN La elección del tipo de elemento se ve afectada por el tipo de conexiones usadas para la estructura. Ciertas secciones de acero no son adecuadas para empernarse a las placas usadas como nudo. Si bien el proyectista tienen plena libertad en la selección de los elementos escogidos deben tener las siguientes propiedades: (a) deberán ser compactos, (b) tener dimensiones que se ajusten a la estructura con una relación razonable a las dimensiones de otros miembros y (c) tener conexiones con la mayor parte de las secciones para minimizar el rezago de la cortante. Cuando no se hace caso de las recomendaciones de las normas y las especificaciones que han sido elaborados no para restringir al ingeniero sino con el propósito de proteger al público, hay desastres como se muestra en la Figura 4-14.

Figura 4-14.

Derrumbe de la cubierta del Coliseo de Hartfor E.U.A. (Véase Long Span Roof Strutures del ASCE-81)

Se procede a la introducción al diseño de una armadura con perfiles de acero, teniendo la siguiente armadura con las dimensiones que se muestra en la Figura 4-15.

Figura 4-14.

Figura 4-15.

Geometría de la cercha

Geometría de la armadura de la estructura de la Pág.26 del Cáp. 2 PÁG. 93

COMPRESIÓN AXIAL

Para el diseño se debe tomar en cuenta: La posición de los apoyos definen la forma de la armadura. Probar con varias armaduras y elegir la mas conveniente, la distancia ente elementos verticales deberá ser ≤ 2 m. Tratar que la armadura sea lo mas uniforme posible. La transmisión de cargas a la armadura se efectúa mediante las correas o largueros. Los criterios que se usaran para el diseño de la armadura es la siguiente: Definir el tipo de cubierta que se encontrara sobre la armadura. De una variedad de cubiertas se elige la cubierta Residencial – 10 con una Longitud de 2.44 x 1.05 m. Asumir una longitud de traslape de : LT = 20 cm.

Figura 4-14.

Disposición de los elementos de una armadura

Donde se considera : Longitud de traslape LT = 15 – 20 cm. Considerar la pendiente según el lugar donde se construya el techo. El alero deberá ser > 20cm. Según los detalles técnicos y el tipo de cubierta, utilizar una correa o larguero como apoyo intermedio de la cubierta. Si se elige que la correa trabaje como apoyo intermedio, entonces el elemento de la armadura deberá diseñarse a flexión. Se recomienda que las correas deben estar ubicadas en los nudos como se observa en la Figura 4-14. (Usar el método de los nudos). La separación entre armaduras deberá ser Aprox. = 5 m El diseño de las correas será a Torsión. Determinar la armadura mas solicitada, en la mayoría de los casos es donde el claro y su área tributaria serán mayores como se muestra en la Figura 4-15.

PÁG. 94


Figura 4-15.

Area tributaria y disposición de las armaduras

Carga Muerta

Cubierta

14 Kg/m2 · 2.60 · 2.20

= 80 Kg

Correa

6.35 Kg/m2 · 2.20

= 21 Kg

Pcielo

25 Kg + 30 Kg/m2 · 3.30 · 2.20

= 243 Kg

Peso Cercha 500 Kg / 18

= 28 Kg

 0.6   2.20  PAlero =  ·  ·50  2  2 

= 17 Kg

∑ PD = 489 Kg

Figura 4-15.

Carga muerta de la armadura PÁG. 95

COMPRESIÓN AXIAL

Carga Viva

Figura 4-15.

Carga muerta de la armadura

La carga mínima de techo es : LR = 58 Kg/m2 PLR = 58 Kg/m2 · 2.60 · 2.20 = 322 Kg La carga de viento en las cubiertas se determina según el coeficiente exterior correspondiente para succiones y presiones como se muestra en el ábaco de la Figura 2-1, del Cap. 2, Pág. 10. Usar la fórmula del ASCE-02, donde:

Entonces :

PW1 = 39 Kg/m2 · 1.10 · 2.20 = 94 Kg PW2 = 42 Kg/m2 · 2.60 · 2.20 = 240 Kg La carga de Nieve será: S = 200 Kg/m2 PS = 200 Kg/m2 · 2.60 · 2.20 = 1144 Kg

PÁG. 96


Se utilizará las siguientes combinaciones8 :

4.7

1.4D 1.2 D + 1.6 L + 0.5 S 1.2 D + 1.6 S + 0.5L 1.2 D + 1.6 S + 0.8 WIZQ 1.2 D + 1.6 S + 0.8 WDER 1.2 D + 1.6 WIZQ + 0.5L + 0.5S

(1) (2)

1.2 D + 1.6 WDER + 0.5L + 0.5S

(7)

0.9 D ± (1.6W o 1.0E) Representación sin considerar efectos de sismo: 0.9 D + 1.6 WIZQ

(8)

0.9 D - 1.6 WDER

(9)

(4) (5) (6)

0.9 D + 1.6 WFRON

(10)

0.9 D - 1.6 WPOST

(11)

UNIONES CON PERNOS

En la construcción de armaduras, los miembros a tracción y a compresión que se encuentran en un nudo pueden unirse por separado a través de sujetadores de una placa de nudo, si se usa soldadura no es necesario el empleo de una placa auxiliar. Para estos elementos, la línea de centros no coincide con el eje de gravedad, pero en la práctica se debe colocar los elementos en la unión de manera que los ejes de las hileras de conectores o líneas punteadas concurran en un solo punto, como se muestra en la Figura 4-16.

Figura 4-16.

8

Unión de una armadura

Combinaciones de Carga método LRFD. Véase Diseño con Factores de carga y resistencia Pág. 16 del Capítulo 2. PÁG. 97

COMPRESIÓN AXIAL

Existen dos tipos básicos de uniones de viga a columna: Uniones de contacto o parcialmente restringidos Uniones de fricción o totalmente restringidos

Uniones de contacto En las estructuras normalmente existe un pequeño aflojamiento entre el elemento y el perno, pero en las estructuras ese movimiento no es significativo y se ignoran los momentos ocasionales y la pequeña fluencia inelástica que pueda desarrollarse. Tienen ventajas técnicas, económicas y constructivas respecto a las uniones de fricción.

Uniones de fricción En las maquinas el aflojamiento entre el elemento y el perno es importante, ya que no es permitido ningún deslizamiento en la unión. En construcción es casi imposible fabricar una unión de fricción debido a que siempre tendrá un pequeño cambio en el ángulo original. Si se tiene una columna, unida a una zapata de hormigón mediante angulares, y actúa una fuerza horizontal H, produciendo un momento en una longitud M y este se descompone en una fuerza F1, que esta en tracción y la otra fuerza en compresión F1, como se muestra en la Figura 4-16, uno a simple intuición imagina que el perno esta a compresión pero no es cierto sino que los pernos y uniones trabajan solamente a tracción y a corte.

Figura 4-16.

Unión columna – zapata

En el AISC-019 se puede encontrar información de una variedad de pernos que se usan para conectar elementos de acero, entre los mas conocidos tenemos : Pernos ordinarios o comunes Pernos de alta resistencia 9

Véase Connections, Joints, and Fasteners, Capítulo J, Pág. 16.1-49 y Design Tables, Dimensions of High-Strength Fasteners, Pág. 16.1-19 en el AISC-01.

PÁG. 98


Pernos ordinarios o comunes Son aquellos que el ASTM los designa como pernos A307, con cabezas y tuercas cuadradas o hexagonales para reducir costos, sus resistencias son menores que las de los remaches o de los pernos de alta resistencia se usan para elementos de estructuras como ser: correas, riostras, armaduras, etc.

Pernos de alta resistencia Estos pernos son fabricados a base de carbono tratado térmicamente y de aceros aleados, los mas comunes son; A325 y los A490 y se usan para todo tipo de estructuras, como ser edificios y puentes, estos son mas eficaces porque cuando están sometidos a cargas vibratorias no se aflojan del lugar donde están fijadas. Para hallar la resistencia de diseño de pernos y remaches se tiene la siguiente tabla10.

Tabla 4-4.

10

Resistencia de diseño de pernos y remaches (Véase Design Stregth of Fasteners, Table J3.2, Pág. 16.1-61 en el reglamento del AISC)

Véase en el AISC-01, Desing Strength of Welds, Table J3.2, Pág. 16.1-61 PÁG. 99

COMPRESIÓN AXIAL

Hay disponibles muchos tamaños de pernos de alta resistencia, como se muestra en la Tabla 4-5, sin embargo los equipos de montaje y taller generalmente se ajusta para los pernos de ¾ y 7/8 pulgadas, y los trabajadores están familiarizados con ellos.

Tabla 4-5.

Dimensiones de los pernos mas usados (Véase Specification for Structural Joints Using ASTM A325 or A490 Bolts en AISC-01, Pág.16.4-10)

Figura 4-18.

Perno tuerca de acero estructural de alta resistencia

Se observa que en la Figura 4-19,los pernos con rosca incluida en los planos de corte y los pernos con rosca excluida en los planos de corte tienen la misma resistencia a la tracción. Estos se empernan con un instrumento denominado Tacómetro, que mide e indica hasta donde el obrero puede fijar el perno a un elemento estructural de acero. Cuando se va a construir, se recomienda hacer un dibujo en los planos constructivos especificando si la rosca esta o no incluida en los planos de corte. Se debe tomar en cuenta que los pernos con rosca incluida en los planos de corte son menos resistentes que los pernos en los que no esta incluida la rosca en los planos de corte.

Figura 4-19.

Pernos; a) Rosca incluida en el perno, b) Rosca no incluida en el perno

PÁG. 100


Actualmente el uso de pernos de alta resistencia se hace mas común, esto porque brinda un mayor rendimiento y economía; en comparación con los remaches, se requiere menor cantidad de pernos para dar la misma resistencia, no se necesita de hombres con mucho entrenamiento para llevar a cabo el empernado de un elemento estructural de acero, su fijado es menos ruidoso que con el remachado, su resistencia a la fatiga es mucho mayor a los otros tipos de uniones, cuando se quiera cambiar una conexión es mucho mas fácil desensamblar una unión empernada que una remachada.

4.8 DISEÑO DE LOS ELEMENTOS DE LA ARMADURA SOMETIDOS A TRACCIÓN Y COMPRESIÓN Para el análisis se usará el programa estructural SAP2000, y posteriormente realizar el diseño de los elementos de la armadura.

Figura 4-20.

Esquema de la salida de datos del programa SAP 2000

Una vez obtenido los valores de Fuerza Axial en el programa estructural SAP 2000, se procede con el diseño de los elementos de la armadura. Se procede con el diseño del elemento Nº 14, con una resistencia del acero de Fy = 50 ksi. C = 7210 Kg De la Tabla 1-2 del Cap. 1, para el esfuerzo último Fu A500 Gr C se tiene : Fu = 62 ksi PÁG. 101

COMPRESIÓN AXIAL

Asumir Falla por Fluencia del Área Bruta : φ P n = φ A g · Fy φ P n = 0.9 · A g ·( 50 ksi · 70.3 ) 7210 = 0.9 · A g ·( 50 ksi · 70.3 ) ( A g ) nec =

7210 = 2.28 in 2 0.9 · 50 · 70.3

El área necesaria (Ag)nec dividir entre 2 angulares: 2.27 =1.14 in 2 2 De las tablas (Anexo 4.2) se tiene: ( A g ) nec =

A = 2.25 in2 A = 1.46 in2 A = 1.36 in2

21/2 x 21/2 x 1/2 21/2 x 21/2 x 5/16 2 x 2 x 3/8 Probar 2 x 2 x 5/16

L = 334 cm A = 1.46 in2 = 9.42 cm2 r = 0.761 in = 1.93 cm El valor de K para Armaduras (Trusses) es : K = 1 .0 K · L 1 .0 · 3 3 4 = =1 7 3 < 2 0 0 r 1 .9 3 λc =

K ·L π ·r

Fy E

λc =

1 .0 · 3 1 7 π ·1 .9 3

3500 = 2 .1 6 0 2050000

Entonces : λ c > 1 .5  0 .8 7 7   · Fy φ Fc r = φ   λ 2   c   0 .8 7 7  φ Fc r = 0 .8 5 ·   ·3500  2 .1 6 2  φ Fc r = 5 5 9

Kg cm 2

PÁG. 102


Por lo tanto : φ Pcr = A g · φ Fcr φ Pcr = 9.42 · 559 = 5266 K g φ Pcr = 5266 < 7210

...... FALLA!

Entonces Probar 21/2 x 21/2 x 1/2

L = 334 A = 2.25 in2 = 14.51 cm2 r = 0.739 in = 1.88 cm El valor de K para Armaduras (Trusses) es : K =1.0

K · L 1.0 · 334 = =178 < 200 r 1.88 λc =

K ·L π·r

Fy E

λc =

1.0 · 317 π ·1.88

3500 = 2.217 2050000

Entonces de la Pág. 13 se tiene:

λ c >1.5  0.877   · Fy φFcr =φ   λ 2   c   0.877  φFcr = 0.85·   ·3500  2.217 2  φFcr = 531

Kg cm 2

Por lo tanto :

φ P cr = A g · φ Fcr φ P cr =14.51· 531= K g φ P cr = 7705 > 7210

.......O.K.

PÁG. 103

COMPRESIÓN AXIAL

Para el elemento Nº 12, con una resistencia del acero de Fy = 50 ksi. T = 2634 Kg De la Tabla 1-2 del Cap. 1, para el esfuerzo último Fu A500 Gr C se tiene : Fu = 62 ksi Asumir Falla por Fluencia del Área Bruta : φ P n = φ A g · Fy φ P n = 0.9 · A g ·( 50 ksi · 70.3 ) 2634 = 0.9 · A g ·( 50 ksi · 70.3 ) ( A g ) nec =

2634 = 0.83 in 2 0.9 · 50 · 70.3

El área necesaria (Ag)nec dividir entre 2 angulares: ( A g ) nec =

0.83 = 0.42 in 2 2

De las tablas se tiene:

13/4 x 13/4 x 3/16 11/4 x 11/4 x 1/8 1 x 1 x 1/4

A = 0.621 in2 A = 0.563 in2 A = 0.422 in2

Probar 13/4 x 13/4 x 3/16

L = 200 cm A = 0.621 in2 = 4.0 cm2 r = 0.537 in = 1.36 cm El valor de K para Armaduras (Trusses) es : K =1 .0 K · L 1 .0 · 2 0 0 = =1 4 7 < 2 0 0 r 1 .3 6 De la Tabla 4-3, de la Pág. 16 se tiene : Kg φ Fcr = 694 cm 2 Por lo tanto :

φPcr = A g ·φFcr φPcr = 4.0·649 = 2776Kg φPcr = 2776Kg > 2634Kg

......O.K.

PÁG. 104


Para el elemento Nº 16, con una resistencia del acero de Fy = 50 ksi. T = 3078 Kg De la Tabla 1-2 del Cap. 1, para el esfuerzo último Fu A500 Gr C se tiene : Fu = 62 ksi Asumir Falla por Fluencia del Área Bruta :

φ P n = φ A g · Fy φ P n = 0 .9 · A g ·( 5 0 k si · 7 0 .3 ) 3 0 7 8 = 0 .9 · A g ·( 5 0 k si · 7 0 .3 ) ( A g ) n ec =

3078 = 0 .9 7 in 2 0 .9 · 5 0 · 7 0 .3

El área necesaria (Ag)nec dividir entre 2 angulares: ( A g ) nec =

0.97 = 0.49 in 2 2

De las tablas (Anexo 4.2) se tiene:

2 x 2 x 5/16 11/4 x 11/4 x 1/4 1 x 1 x 1/4

A = 1.15 in2 A = 0.563 in2 A = 0.438 in2

Probar 2 x 2 x 5/16

L = 273 cm A = 1.15 in2 = 7.42 cm2 r = 0.601 in = 1.53 cm El valor de K para Armaduras (Trusses) es : K =1.0 K · L 1.0 · 273 = =178 < 200 r 1.53 De la Tabla 4-3, de la Pág. 16 se tiene : φ Fcr = 4 7 3

Kg cm 2

Por lo tanto : φ Pcr = A g · φ Fcr φ Pcr = 7.42 · 473 = 2928 Kg φ Pcr = 3500 > 3078

......O.K. PÁG. 105

COMPRESIÓN AXIAL

PÁG. 106


Introducción al diseño de las uniones de la armadura Las uniones en la armadura que se analizó anteriormente, se las considera como uniones articuladas de contacto, es decir que en las uniones entre el perno y el hueco existe un aflojamiento y pueden girar de una manera imperceptible y por lo tanto no admitir momentos. Si se tiene una cantidad adecuada de pernos, dispuestos de tal manera que no sean demasiados para que la unión no se comporte como una unión rígida como se muestra en la Figura 4-16.

Figura 4-22.

Detalle de una unión de la Armadura

Para que los elementos estén sometidos a compresión y tracción la fuerza debe pasar por el centro de gravedad de la sección como se muestra en la Figura 4-22, si no se da el caso entonces existirá una excentricidad la cual provocará momentos y torsión.

Figura 4-23.

Secciones sometidos a fuerzas de tracción y compresión PÁG. 107

COMPRESIÓN AXIAL

Para hacer el diseño del nudo, no es necesario cortar la sección en el centro de la unión sino poner la sección entera, el diseñador debe estar consiente de que el cálculo no es preciso, ya que el modelo que se elige para el análisis no es un modelo que se adecua totalmente a la realidad y lo se hace es interpretar esa realidad mediante un modelo matemático. A continuación se procederá con el diseño de los pernos. Para la sección 3 x 3 x 7/16 se tiene pernos A307 φ=0.75

Fu =φ · 24 ksi

Fu = 0.75 · 24 · 70.3 =1265 Kg / cm 2  π · 0.5 2 A Perno =   4 

  · 2.54 2 =1.27 cm 2  

Se tiene 2 planos de corte: Fresis = A Perno · Fu · N º PlanosCorte C = 2 ·1.27 ·1265 = 3213 Kg

El número de pernos será:

N Pernos =

9708 = 3.0 ....... Pernos 3212

Para la sección 21/2 x 21/2 x 1/2 con una fuerza de C= 7210 Kg el número de pernos será:

7210 = 2.24 ≈ 3.0....... Pernos 3212 Para la sección 11/4 x 11/4 x 1/8 con una fuerza de C= 1804 Kg el número de pernos será: N Pernos =

N Pernos =

1804 = 0.56 ≈ 2.0.......Pernos 3212

Para la sección 11/4 x 11/4 x 1/8 con una fuerza de T= 1141 Kg el número de pernos será: N Pernos =

1141 = 0.35 ≈ 2.0....... Pernos 3212

Entonces la distancia útil será:

3 y = 0.910 in − in = 0.535 in =1.36 cm 8

PÁG. 108


El detalle de los nudos de la armadura que se analizó anteriormente se puede observar en la Figura 4-24.

Figura 4-24.

Uniones, corte de Nudos de la armadura de la Fig. 21

Introducción al diseño de la plancha de unión Las dimensiones de las planchas de unión están determinados por las especificaciones LRFD11 se acuerda que las placas deben tener un espesor igual o por lo menos 1/50 veces la distancia entre las líneas de conectores, es decir que la distancia del perno al borde de 11

Véase Sección E, Pág. 16.1-29 en AISC-01 PÁG. 109

COMPRESIÓN AXIAL

la plancha es 2 veces el diámetro del perno y 1.5 del diámetro del perno hacia el centro de los ejes de gravedad. A continuación se procederá con el diseño de la plancha.

Figura 4-25.

Plancha de unión

Se tiene la siguiente ecuación:

φPn =φ · 2.4 · t ·d · Fu · N º per Donde :

Fu = 58 ksi ≈ 4077 kg / cm 2 φ= 0.75 Para la sección Nº12 se tiene: 2634 = 0.75 · 2.4 · t ·1.27 · 4077 · 3 t=

2634 = 0.09 0.75 · 2.4 ·1.27 · 4077 · 3

Para la sección Nº13 se tiene:

1804 = 0.75 · 2.4 · t ·1.27 · 4077 · 2 t=

1804 = 0.1 0.75 · 2.4 ·1.27 · 4077 · 2


3078 = 0.75 · 2.4 · t ·1.27 · 4077 · 2 t=

3078 = 0.17 0.75 · 2.4 ·1.27 · 4077 · 2 PÁG. 110


Para la sección Nº17 se tiene: 1156 = 0.75 · 2.4 · t ·1.27 · 4077 · 2 t=

1156 = 0.06 0.75 · 2.4 ·1.27 · 4077 · 2


742=0.75·2.4· t ·1.27·4077·3 t=

742 =0.03 0.75·2.4·1.27·4077·3

El espesor t de la plancha para la unión será:

t = 1.7 mm ≈ ⅛”

Verificación de Ruptura del Área Neta Para la verificación a la ruptura del área neta se tiene:

φ P n = φ A n · Fu 1" 8 " " 3 1 1" φ hue co = + = 8 8 2 φ hue co = φ perno +

A n = A Perfil − A hueco  1 " 1"  A n =  0.902 in 2 − ·  · 2.54 2 = 5.42 cm 2  2 8    φPn = 0.75 ·5.42 · 4077 =13500 kg

Frup =

Fuerza 2634 = = 439 Kg N º ang · N º pern 2 ·3

Frup <<<φ Pn ................O . K . Por lo tanto la sección para el elemento Nº12 será : 2Ls 11/2 x 11/2 x 1/8

PÁG. 111

COMPRESIÓN AXIAL

4.9

ARMADURAS ESPACIALES

Las armaduras espaciales, son miembros conectados entre si, en sus extremos para formar una estructura tridimensional, con una mayor estabilidad a las armaduras, además de poseer una gran rigidez, permiten cubrir grandes áreas de manera económica, ofreciendo gran flexibilidad de uso en el interior de la estructura al eliminar las columnas interiores. El elemento más simple de una armadura es el tetraedro como se muestra en la Figura 4-26.

Figura 4-26.

Armaduras espaciales

La mayor parte de las armaduras espaciales se ensamblan en el sitio pieza por pieza, o en el suelo por tramos que luego se montan a su posición en el entramado. En algunos casos se arma todo el entramado en el suelo y se hace el montaje respectivo a su posición definitiva. Los sistemas de uniones para este tipo de armaduras son variadas entre ellas tenemos; el sistema de uniones IBG, el sistema de uniones de potencia con apoyadero como se muestra en la Figura 4-27.

Figura 4-27.

a) a)

b)

Sistemas de uniones, a) Tipo IGB, b) de potencia con apoyadero. (Véase Long Span Roof Structures del ASCE-81, Pág.23-24)

PÁG. 112


4.10

MONTAJE DE ESTRUCTURAS DE ACERO

Los edificios y puentes de acero se montan generalmente con grúas giratorias o de mástil como se muestra en la Figura 4-28.

a)

b)

Figura 4-28.

Equipos de Montaje; a) Grúa de oruga, b) Grúa de camión.

Las grúas de oruga son máquinas más comunes para el montaje de estructuras de acero, son autopropulsadas, montadas sobre un móvil que tiene una cadena sin fin de orugas. La base de la grúa contiene una tornamesa que le permite rotar 360º . Las grúas vienen con soportes de hasta 140 m de altura y con capacidades de hasta 350 ton. Las grúas camión (Figura 4-28, inciso b) es similar a la grúa de oruga, pero su diferencia es que esta montada sobre llantas de caucho, y por tanto tienen mayor movilidad sobre superficies duras, como se muestra en la Figura 4-29.

Figura 4-29.

Equipo de camión, en montaje de la cubierta con secciones de acero PÁG. 113

COMPRESIÓN AXIAL

Las grúas torre son las que mayormente se las utilizan, en estructuras de gran tamaño como ser edificios y puentes. Cada tipo de apoyo mostrado en la Figura 4-30, puede tener la configuración de canguro o de cabeza de martillo con aguilón horizontal, grúa trepadora.

a)

b) Figura 4-30.

Tipos de grúas de torre; a) Tipo cabeza de martillo, b) grúa trepadora.

PÁG. 114


4.11

MONTAJE DE EDIFICIOS

El montaje de estructuras de acero por medio de pernos, es un proceso rápido, requiere mano de obra menos especializada que cuando se trabaja con remaches o soldadura. El montaje de edificios depende de muchos factores que deben ser estudiadas por el ingeniero de montaje mucho antes de que el acero empiece a llegar al sitio de montaje. La selección del equipo se basa en las condiciones del lugar, el peso y el alcance para los izajes pesados, y por supuesto la disponibilidad del equipo. Una estructura montada siempre tiene que ser estable antes de ser soltada de la grúa, por ejemplo, las armaduras de techos con pendientes altas son inestables bajo su propio peso, si no están arriostradas en su cuerda superior, y si estas son largas, por lo general se empalman en el suelo y se levantan a su sitio con una o dos grúas como se puede observar en la Figura 4-29. Para estructuras de varios pisos, que están fuera del alcance de las grúas oruga o camión, entonces se hace uso de las torres, en edificios de gran altura el uso mas común son las grúas trepadoras.

PROBLEMA

Problema 4.2 Determinar la máxima carga viva P que resiste la estructura de acero A529 Grado 50 con Fu = 70 ksi, y pernos A 490 con rosca excluida de los planos de corte, como se muestra en la siguiente figura.

PÁG. 115

Cortante de Flexión

5.1 CORTANTE PURO En este capítulo se considerará un tipo diferente de esfuerzo, cuyo análisis es complejo tanto en su teoría y en su aplicación, conocido como esfuerzo cortante, que actúa paralelo o tangencial a la superficie. La cortante se entiende como el efecto que tiende a deslizar un plano de una sección respecto del plano de la otra sección. Considerar una sección rectangular, en la que una fuerza T pasa por el centro de gravedad de la sección de tal manera que esta fuerza se distribuye uniformemente en toda el área de la sección, se procede a seccionar en un plano vertical y un plano inclinado al eje de la sección como se muestra en la Figura 5-1.

Figura 5-1.

Esfuerzos que actúan sobre un elemento rectangular; a) Esfuerzos normales sobre un elemento en un plano vertical, b) Esfuerzos sobre un elemento en un plano inclinado

PÁG. 116


En el inciso (b) de la Figura 5-1, se observa que debido a la fuerza T, la sección estará sometida a unos esfuerzos normales al plano vertical de la sección y en el inciso (c), se observa esfuerzos normales y tangenciales al plano inclinado de la sección. Los esfuerzos que actúan sobre planos inclinados respecto al eje de simetría de la barra, pueden determinarse si se considera el elemento (c) de la Figura 5-1, para propósitos de referencia, la figura se representa en los ejes x y y. Para tener los esfuerzos sobre un plano inclinado, se corta al elemento (a) de la Figura 5-1, a lo largo del plano abcd, que es perpendicular al plano de la figura y cuya normal esta inclinada a un ángulo θ respecto del eje x, luego se separa el elemento como se muestra en el inciso (c), de la Figura 5-1, en las caras de este elemento actúan fuerzas normales que producen esfuerzos normales y esfuerzos tangenciales. El área inclinada es: A incl =

A C os θ

El esfuerzo normal será:

σ

N

=

T ·Cosθ T = ·Cos 2θ A A Cosθ

Entonces: σ

N

= σ · Cos 2 θ

(5.1)

El esfuerzo tangencial será:

σ = T

T ·Senθ T = ·Senθ ·Cosθ A A Cosθ

Entonces :

σ = σ ·Sen θ ·Cosθ=λ T

(5.2)

El valor máximo del esfuerzo normal es cuando: Entonces :

θ=0 º

σN = σMAX Por lo tanto el valor de del esfuerzo tangencial o cortante será:

σT = τ = 0 PÁG. 117

CORTANTE DE FLEXIÓN

El esfuerzo tangencial o cortante alcanza un valor máximo cuando la ecuación (5.2) es:

dσ

T = σ [S en θ ( − S en θ ) + C o s θ C o s θ ] dθ

dσ

T = σ  − S en 2 θ + C o s 2 θ  = 0   dθ 2 2   T = σ  − S en θ + C o s θ  = 0  C os2θ C os2θ  dθ  

dσ

Entonces :

dσ

T = T a n 2 θ =1 dθ

θ=

π = 45 º 4

Luego se separa como cuerpo rígido un fragmento de la Figura 5-1a, y se toma una sección del cuerpo, es decir una cara donde los esfuerzos normales y tangenciales en las caras son iguales y así cumplir la condición de equilibrio donde la suma de las fuerzas y momentos son cero.

θ= 45 º σ σ

N

=σ · Cos 2 45 º

1 = σ N 2

Figura 5-2.

Elemento esforzado a θ = 4 5 º para cortante puro.

Para que el elemento esté en equilibrio requiere otro momento de igual magnitud y dirección resultante, en consecuencia son iguales las magnitudes de los esfuerzos cortantes en las cuatro caras del elemento, como se muestra en la Figura 5-2. Por lo que se establecen la siguiente conclusión: Si existiese esfuerzos cortantes en una superficie, implica que hay un esfuerzo cortante de igual magnitud en las caras opuestas y perpendiculares, tienen sentidos tales que las flechas tienden a juntarse o a separarse apuntando a la línea de intersección de las superficies.

PÁG. 118


5.2 CORTANTE DE FLEXIÓN EN UNA SECCIÓN RECTANGULAR Se considera una viga de sección transversal rectangular, donde tiene en uno de sus extremos un apoyo fijo y en el otro un apoyo móvil, con un ancho b y una altura h, como se observa en la Figura 5-3a, suponer que los esfuerzos cortantes son uniformes a lo ancho de la viga y actúan paralelos a la fuerza de corte V.

Figura 5-3.

Cortante de flexión en una viga de sección rectangular; a) Diagrama de Momentos, b) Viga simplemente apoyada, en equilibrio bajo una fuerza concentrada P, c) Flexión en la sección rectangular.

Supongamos que se corta la viga a una distancia dx, como se muestra en la Figura 5-1b, debido a la acción de la carga P, la viga experimenta efectos de tracción en las fibras inferiores donde esta se alarga y el efecto de compresión en la fibra superior se acorta como se muestra en la Figura 5-1c, pero hay un lugar geométrico donde no se alarga ni se acorta se denomina plano neutro, y se considera como línea neutra a la sección transversal klmn del plano neutro, donde los esfuerzos normales y las deformaciones en todos los puntos son cero.

PÁG. 119


5.3 RELACION ENTRE FUERZA CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE Esta relación entre la Fuerza cortante V y el momento flexionante M, son convenientes para la elaboración de los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante a lo largo de una viga, para esto se considera un elemento de una viga cortada entre dos secciones separada por una distancia dx como se muestra en la Figura 5-2, En la cara izquierda del elemento se observa la fuerza cortante V y el momento flexionante M, que actúan en dirección positiva. Si se designa incrementos de V y M por dV y dM, respectivamente como se muestra en la Figura 5-1, entonces la resultante de la cara derecha son V+dV y M+dM.

Figura 5-2.

Elementos de viga utilizados para obtener las relaciones entre fuerza cortante y momento flexionanate.

Se sabe que la parte superior esta sometido a compresión y la parte inferior esta sometido a tracción, y como en flexión asumimos que es valida la Hipótesis de Navier1, pero para vigas de secciones de gran canto esta hipótesis no funciona , los esfuerzos deben ser proporcionales a la línea neutra. Aplicando las condiciones de equilibrio de fuerzas estáticos con dirección vertical se obtiene:

∑ M A −A =0 M + (V + dV )· dx = M + dM V · dx + dV · dx =dM Entonces:

V=

dM dx

(5.3)

1

Luis Marie Henri Navier, 1785-1836, matemático, ingeniero francés, demostró: “Las secciones planas antes de la deformación y permanecen planas después de la deformación”.

PÁG. 120


Los esfuerzos normales en la viga se relacionan con el momento flexionante, y se tiene:

f=

M y I

(5.4)

Si se considera un elemento de área dA a una distancia y del eje neutro como se muestra en la Figura 5-3, se considera que la fuerza normal que actúa sobre este elemento es f·dA, en la cual f es el esfuerzo normal obtenido de la fórmula de flexión ecuación (5.4).

Figura 5-3.

Esfuerzos cortantes en una viga ; a) De sección transversal rectangular; b) Cara Lateral, c) Cara Frontal.

La fuerza horizontal F1 que actúa sobre la cara posterior es:

M dF = ·b·y·dy I 1 h/2 M F =∫ ·b· y·dy y I 1

(5.5)

La fuerza horizontal F1 que actúa sobre la cara frontal es:

M + dM ·b·y·dy I h / 2 M + dM F =∫ ·b·y·dy y I 2

dF = 2

(5.6)

Las fuerzas deben estar en equilibrio estático, donde la suma de las fuerzas en la dirección x es la siguiente expresión:

λ · b · d x = F2 − F1 PÁG. 121


o sea;

λ ·b ·d x =

h/2

∫y

M + dM ·b ·y ·d y − I

h/2

∫y

M ·b ·y ·d y I

donde

λ =

dM  1    d x  I·b 

∫

M ·b ·y ·d y I

(5.7)

Sustituir la ecuación (5.7) la ecuación (5.3), se obtiene:

λ=

V I·b

∫ y·dA

(5.8)

Esta ecuación es denominada como fórmula del cortante, y se emplea para determinar el esfuerzo cortante τ en cualquier punto de la sección transversal. Para determinar como varia el esfuerzo se tiene el siguiente análisis:

λ ·b ·d x =

h/2

∫y

M ·y ·b ·d y I

Se determina por integración:

V λ= I·b

h/2

∫y

V y·dy = 2·I

 h 2  2   − y    2  

Esta ecuación muestra que el esfuerzo cortante en una viga rectangular varía cuadráticamente con la distancia y desde el eje neutro como se observa en la Figura 5-3a. El esfuerzo cortante es cero τ =0 cuando y = ± h/2, y tiene su valor máximo en el eje neutro, donde y = 0, entonces:

λ=

V ·h2 3·V = 8·I 2·A

PÁG. 122


5.4 ESFUERZOS CORTANTES EN SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA Las vigas de sección transversal abierta de pared delgada tienen un espesor que es pequeño si se compara con su altura o ancho totales, y de sección abierta. Estas secciones son muy utilizadas en obras de ingeniería denominándose secciones estructurales o perfiles de acero.

Figura 5-4.

Esfuerzos cortantes en una; a) Ménsula, b) Sección abierta de pared delgada.

Se puede observar en la Figura 5-4, una viga cuya línea central de la sección es de forma arbitraria. Los ejes y y z, son ejes centroidales principales de la sección transversal y la carga P, actúa paralela al eje y y en el centro de cortante, no existirá torsión en la viga, la flexión ocurre en el plano xy y el eje z será el eje neutro. Se tiene un elemento cortado abcd entre dos secciones transversales separadas a una distancia dx, y que tiene una longitud s a lo largo de la línea central de la sección transversal. La resultante de los esfuerzos normales que actúan sobre la cara ad, se denota por FT1 y la resultante sobre la cara bc se denota por FT1, como se observa en la Figura 5-5 .El momento flexionante en la cara ad es mayor al momento flexionante en la cara bc como se muestra en la Figura 5-4a, entonces se tiene que:

M+dM > M

PÁG. 123


Por tanto:

FT1 > FT2 Entonces actúan esfuerzos cortantes τ a lo largo de la cara cd y son paralelos a la superficie superior e inferior del elemento, las cuales son superficies libres que no presentan esfuerzos.

Figura 5-5.

Sección transversal abcd de la viga de sección abierta de pared delgada.

Sumando fuerzas en dirección x para el elemento abcd, se tiene:

λ ·t ·d x = F −F T1 T2

(5.9)

Donde:

t = espesor variable de la sección transversal en cd. s = línea central de la sección transversal. Para FT1 se tiene:

dF = f ·dA T1 t s

s

F = T1

∫0 f t ·dA = ∫0

F = T1

∫0

s

M + dM ·y·dA I

M + dM ·t·y·ds I

Para FT2 se tiene:

dF

F

F

T2

T2

T1

= f ·d A t s

=

∫ 0 f t ·d A

=

∫0

s

=

s

∫0

M · y ·d A I

M · t · y ·d s I PÁG. 124


Entonces sustituyendo las expresiones para FT1 y FT2 en la ecuación (5.9) se tiene:

λ ·t ·d x =

λ ·t =

s

∫0

s

∫0

dM ·y ·t ·d s I

dM y · ·t ·d s dx I

Por tanto la ecuación para los esfuerzos cortantes es:

λ ·t =

V I

s

∫0 y ·t·d s

(5.10)

Proporciona los esfuerzos cortantes en cualquier punto de la sección transversal a una dirección s de la orilla libre y el área de la sección transversal es desde s = 0 hasta s = s. Los esfuerzos cortantes pueden tener un sentido al de las agujas del reloj o en sentido contrario pero deberá estar en dirección de s que es la línea central de la sección transversal. La ecuación (5.10), es válida solo para secciones de ejes principales, en caso de que la sección no presente ejes principales, estas deberán ser halladas. Los esfuerzos cortantes pueden estar a la izquierda o a la derecha del plano horizontal de una sección rectangular como se puede observar en la Figura 5-6, si se tiene una fuerza cortante aplicada verticalmente por tanto existirán esfuerzos cortantes en direcciones opuestas. Para describir de una manera sencilla este fenómeno entonces se asumirá que los esfuerzos cortantes hacia arriba son las reacciones y los esfuerzos cortantes hacia abajo son las acciones de la fuerza cortante vertical.

Figura 5-6.

Esfuerzos cortantes de una sección rectangular sometida a una carga vertical P.

Si se tiene una superficie de una sección de pared delgada y en la cara frontal actúa una fuerza de compresión en la parte inferior de la línea neutra Fc2 y se tiene una fuerza Fc1 en el corte de la sección, donde Fc1>Fc2, entonces haciendo un corte A-A en la sección klmn, se tiene que los esfuerzos de corte τ están orientadas a la derecha, por lo tanto las

PÁG. 125


flechas tienden a juntarse como se muestra en la Figura 5-7, en una sección de superficie cualquiera sometido a fuerzas de compresión.

Figura 5-7.

Sección transversal abcd de la viga de sección abierta de pared delgada.

Los esfuerzos cortantes en diferentes secciones de pared delgada :

Figura 5-8.

Esquemas de las direcciones del flujo de corte en perfiles L,W,C y Z

El comportamiento de los esfuerzos cortantes de las secciones de la Figura 5-8, se comportan análogamente con el flujo de un fluido que circula por una tubería . Donde:

 Kg  λ=    cm 

Cantidad de fuerzas cortantes que hay en una sección.

 lts  Q=   s

Cantidad de flujo de un fluido que circula en una sección

Por tanto se denomina al τ como Flujo de Corte, se comporta como un fluido la cantidad de flujo de corte que entra es igual a la cantidad de flujo de corte que sale y no así el esfuerzo cortante, este se mantiene.

PÁG. 126


5.5 ESFUERZOS CORTANTES EN SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA MÉTODO DE MOMENTO ESTÁTICO La deducción de este método es similar al de la sección 5.4, con la siguiente diferencia, donde el esfuerzo cortante horizontal viene dado por:

λ =

dM I·b·d x

s

∫0 y·d A

Y como, según la sección 5.3, la fuerza cortante vertical es:

V=

dM dx

Entonces el esfuerzo cortante se puede escribir de la siguiente forma:

λ =

V I·b

s

∫0 y·d A

=

V V ·A ′·y = ·Q I·b I·b

(5.11)

La integral, que representa la suma de los momentos con respecto al eje neutro, de las áreas diferenciales dA, por su equivalente A’· y , que es el momento estático, respecto a la línea neutra. La distancia desde esta al centro de gravedad de A’ es y. Este momento estático de área se puede representar por Q.

Figura 5-9.

Distribución parabólica del esfuerzo cortante de una sección rectangular.

De la Figura5-1, se toma momentos con respecto a un eje que pase por el punto A de la Figura 5-10, donde: Entonces:

∑ MA = 0 ( λ ·dx·dz)dy − ( λ ·dy·dz)dx = 0 h

v

(5.12)

Dividiendo entre dx dy dz se obtiene:

λ

h

=

λ

v

(5.13)

Un esfuerzo cortante actúa en la cara de un elemento, acompañado siempre de otro numéricamente igual en una cara perpendicular al primero. PÁG. 127


Figura 5-10.

Esfuerzos cortantes que actúan; a) Sobre un elemento, b) Esfuerzos, c) Fuerzas

Aplicando a una sección rectangular se tiene que la distribución de esfuerzo cortante se puede obtener aplicando la ecuación (5.11) en un plano a distancia y de la línea neutra cómo se observa en la Figura 5-9.

λ= Entonces,

V V ·A ′·y = I·b I·b

 h 1h    b  2 − y   y + 2  2 − y       

 V  h2 λ= − y2   2I  4 

(5.14)

(5.15)

Las limitaciones que tiene este método, solo se cumple en una sección rectangular y en perfiles estándar de sección abierta, no ocurre lo mismo con una sección circular y triangular.

5.6 CENTRO DE CORTE Y CENTRO DE TORSIÓN DE SECCIONES ABIERTAS DE PARED DELGADA El centro de corte es el punto a través del cual actúa la fuerza de corte resultante, para obtener fórmulas para ubicar el centro de corte de secciones abiertas de pared delgada, como ser una sección canal, como se muestra en la Figura 5-11, que esta sometida a flexión respecto al eje z y sometida a una fuerza cortante vertical Vy que actúa paralela al eje y.

Figura 5-11.

Centro de Corte; a) Sección canal, b) Diagrama de esfuerzos cortantes

PÁG. 128


Los esfuerzos de la sección canal se pueden observar en la Figura 5-11b, y son: El esfuerzo cortante τ1 en el patín es:

b·h ·V y

λ1 =

2· I z

(5.16)

De la misma forma, el esfuerzo τ1 en la parte superior del alma es:

λ2 =

b ·t f ·h ·V y 2· t w · I z

(5.17)

El esfuerzo en el eje nutro es:

 b ·t f h  h ·V y λ m ax =  +  4  2 ·I z  tw

(5.18)

Las fuerzas cortantes, se pueden determinar a partir de los diagramas del esfuerzo cortante como se observa en la Figura 5-11b. Cada fuerza es igual al área multiplicada por el espesor sobre el cual actúa el esfuerzo.

Figura 5-12.

Centro de corte en una sección canal; a) Fuerzas cortantes, b) Fuerza cortante resultante.

Entonces las fuerzas cortantes totales F1 en cualquier patín, pueden determinarse a partir de los diagramas triangulares de esfuerzo cortante.

F1 =

b·h 2 ·t f ·Vy 4·I z

(5.19)

La fuerza vertical F2 en el alma debe ser igual a la fuerza cortante Vy , considerando el diagrama parabólico de esfuerzos de la figura 5-11b, se observa que el diagrama se basa en dos partes; un rectángulo y un área parabólica. Para el rectángulo de dimensiones τ2 y h , y un área parabólica se tiene:

2 ( λ m ax − λ 2 ) h 3

(5.20) PÁG. 129


La fuerza cortante total F2 será igual al área del diagrama multiplicada por el espesor del alma y sustituyendo los valores de τ1 y τmax, se obtiene:

 b·h 2 ·t f t w ·h 3  V y + F2 =   2 12  I z 

(5.21)

Donde el momento de inercia es:

Iz =

b·h 2 ·t p 2

+

t p ·h 3 12

(5.22)

Sustituyendo Iz en la ecuación para F2, se obtiene que:

F2 = V y

(5.23)

Entonces el momento de la fuerza Vy, respecto a cualquier punto de la sección transversal es igual al momento de las tres fuerzas respecto al mismo punto, la cual proporciona una ecuación que determina el valor de e al centro de cortante y la ecuación de momentos es como sigue.

F1 ·h − F2 ·e = 0 Sustituyendo los valores de F1 y F2 y despejando e se tiene:

e=

b 2 ·h 2 ·t f 4·I z

(5.24)

Para todas las secciones abiertas transversales de pared delgada que consisten en dos o mas rectángulos angostos que se cruzan, como en los ejemplos de la Figura 5-13.

Figura 5-13.

Centros de corte y torsión C.C. de secciones abiertas de pared delgada.

Un ejemplo del porque debe hallarse el centro de corte es el uso que se da a los perfiles costanera, que mayormente se usan para rieles en puertas corredizas, guía para grúas,

PÁG. 130


etc. La ventaja de este perfil es que posee un tope para que la arandela no salga del patín del perfil y pueda desplazarse con normalidad como se muestra en la Figura 5-14.

Figura 5-14.

Perfil costanera de riel para un portón.

Pero se cree que cuando la arandela esta ubicada en uno de los ejes del perfil no existirá torsión, esa suposición es errónea ya que el centro de corte o torsión generalmente no se presenta en el centro de gravedad del perfil.

Ejemplo 5.1 Determinar los esfuerzos cortantes de una sección C de la Figura 5-15, y la distancia eo desde la línea central del alma hasta el centro de corte.

Figura 5-15.

Dimensiones del Perfil C.

PÁG. 131


a) En el ala A-B

Vy

λ·t f =

Iz

∫

B

A

Vy h B h ·t f ·ds = · ·t f ·s A 2 Iz 2

Si s = 0 , entonces τ = 0 Si s = bf , entonces en el punto B del ala es:

λ1 =

Vy h · ·b f Iz 2

b) En el punto B del alma

λ 2 ·t w = λ2 =

Vy h · ·t f ·b f Iz 2

Vy h t f · · ·b f Iz 2 t w

c) En el alma

λ·t w =

Vy h t f V · · ·b f + y Iz 2 t w Iz

∫

C

B

y·t w ·ds

Donde:

λ·t w =

Vy h t f V y2 · · ·b f + y ·t w · Iz 2 t w Iz 2

y h /2

Si y = 0, entonces :

λ·t w =

Vy  h h2  ·b ·t t · +  f f w  Iz  2 8

Vy  h tf h2  λ3 =  ·b f · +  Iz  2 tw 8  c) En el punto D del alma

Vy  h h 2  Vy λ ·t w =  ·b f ·t f + t w ·  + Iz  2 8  Iz λ ·t w =

∫

h/2

0

y·t w ·ds

Vy  h h 2  Vy h 2 + ·b ·t t · · ·t w f f w  − Iz  2 8  Iz 8

PÁG. 132


Si y = 0 , entonces:

λ ·t w =

Vy  h h2  ·b ·t t · + f f w   Iz  2 8 

Si y = -h/2 , entonces:

λ=

Vy h t · ·b f · f Iz 2 tw

..................O.K.

Los diagramas de cortante en un perfil de sección canal se puede observar en la siguiente Figura 5-16.

Figura 5-16.

Diagrama de corte en un perfil C.

d) Flujo de Corte El flujo de corte en una sección τ·t es constante, por lo tanto el flujo que entra es igual al flujo que sale como se puede observar. En el punto B del ala, se tiene:

λ ·t w =

Vy h · ·t f ·b f Iz 2

Flujo que entra

En el punto B del alma, se tiene:

λ ·t w =

Vy h t · ·b f · f ·t w Iz 2 tw

Flujo que sale

Entonces, el flujo que entra es igual al flujo que sale. PÁG. 133


Haciendo un análisis de una sección sometida tanto a compresión como a tracción, y para hallar la dirección del flujo de corte se puede observar en la Figura 5-17.

Figura 5-16.

e)

Fuerzas cortantes laterales en las alas de una viga de sección C.

Momento de Inercia Iz 2  b f ·t f 3 h3 h2 h3 h  + b f ·t f ·   + t w · = bf ·t f · + t w · Iz =  12 2 12  2    12

Figura 5-17.

Centro de corte de una sección canal

PÁG. 134


Para la fuerza cortante F1:

F1 = λ 1 · F1 = Para la fuerza cortante F2:

Vy h bf b ·t f = · ·b f · f ·t f 2 Iz 2 2

Vy h·b f 2 · ·t f Iz 4

2 F2 = λ 2 ·h·t w + ( λ 2 − λ1 ) ·h·t w 3 Vy  b f ·t f ·h 2 h 3 ·t w  F2 = +   Iz  2 2 

Sustituyendo el momento de inercia Iz en F2, se tiene:

F2 = f)

La distancia

∑M

C

Vy Iz

( Iz ) = Vy

eo, desde la línea central del alma hasta el centro de corte.

=0 h h F1 · + F1 · = F2 ·e 0 2 2 2 V y  h·b f ·t f  ·  ·h = V y ·e 0 Iz  2 

b f 2 ·h 2 ·t f e0 = 4·I z

PÁG. 135


Ejemplo 5.2 Determinar los esfuerzos cortantes de una sección C150x50x3 de la Figura 5-18 y la dirección del flujo de corte, con sus respectivos diagramas de esfuerzo cortante.

Figura 5-18.

a)

Dimensiones del Perfil Canal U.

Haciendo momentos en el punto D, el valor de y0, será:

∑M

D

=0 tf

(5 − y0 ) ·

2

·2

= 15 ( y 0 − 0.15 ) t f

( y − 0.3 ) + 0

2

·2

2 2 2 25 + 2.25 − 0.09 = 15·y 0 + 10·y 0 − 0.6·y 0 y0 =

·t f

27.16 = 1.11cm 24.4

b) Momento de inercia Iz

 t·53 15·t 3 2 2 + 5·t ( 7.5 − 0.15 )  ( 2 ) + + 15·t (1.11 − 0.15 ) Iz =  12  12  I z = ( 3.125 + 81.03 )( 2 ) + 0.034 + 4.15 = 172.50cm 4 c)

De A-B, se tiene:

λ ·t =

Vy Iz

∫

B

0

y·t·ds =

Vy Iz

∫

B

0

Vy

y2 y·t·dy = ·t· Iz 2

3.89 0

PÁG. 136


Donde,

Vy

λ ·t = λ1 =

Iz

·t·

3.89 2 2

Vy

15.13 = 0.044·t·V y · 172.50 2

d) De B-C, se tiene:

λ ·t = 0.044·t·V y + λ ·t = 0.044·t·V y −

Vy

∫

Iz Vy Iz

C B

·t·

− y·t·dy

y2 2

0 − 1.11

Vy

1.112 λ ·t = ·t· Iz 2 λ 2 = 0.044·t·V y − 0.0018·t·V y = 0.042·t·V y e)

De C-D, se tiene:

λ ·t = 0.042·t·V y + λ ·t = 0.042·t·V y +

Vy Iz Vy Iz

∫

D C

− y·t·ds

( − 1.11 )·t·s

λ 3 = 0.042·t·V y − 0.0064·t·7.35·V y = 0.005·t·V y λ3 = 0 La dirección del flujo de corte y el diagrama de esfuerzo cortante se puede observar en la Figura 5-19.

Figura 5-16.

Diagramas del esfuerzo de corte en una sección canal U. PÁG. 137


PROBLEMAS

Problema 5.1 Determinar el diagrama de flujo de corte de la sección de acero A50 y el valor del esfuerzo cortante en A, como se muestra en la figura.

Problema 5.2 Se tiene una sección soldada con las dimensiones que se muestran en la siguiente figura, se pide: a) Determinar el valor máximo de bf para que la sección sea compacta. b) Determinar el diagrama de flujo de corte.

PÁG. 138

Flexión y Torsión

6.1 ESFUERZOS FLEXIÓN Una viga constituye un elemento estructural diseñado para soportar fuerzas que actúan transversalmente a su eje. En estructuras de acero las secciones W que resultan más económicas al utilizarse como vigas ya que estos perfiles tienen una mayor cantidad de acero en sus patines, por lo tanto poseen mayores momentos de inercia y momentos resistentes para un mismo peso. Si se considera una viga de sección rectangular donde se aplica una fuerza vertical P como se observa en la Figura 6-1, y el material cumple la ley de Hooke1, hasta que se de el esfuerzo de fluencia y después cede plásticamente bajo un esfuerzo constante.

Figura 6-1. 1

Flexión en una viga; a) Sección rectangular; b) Diagrama de Momentos.

Véase la sección 1.3 Diagrama de esfuerzo deformación del acero estructural, Cáp. 1, Pág. 5

PÁG. 139


El comportamiento de una viga en flexión plástica depende del perfil del diagrama esfuerzo-deformación2, por tanto si se conoce este diagrama, siempre es posible determinar los esfuerzos, deformaciones y deflexiones de la viga, en la Figura 6.2 se puede observar la variación lineal de esfuerzos, y esta variación se mantendrá cuando se incrementa el momento y la carga P es menor al Py, hasta que alcanza el esfuerzo de fluencia en las fibras superiores e inferiores donde P es igual al Py.

Figura 6-2.

Diagramas de esfuerzos de una sección rectangular.

Si la viga esta sujeta a momento flexionante el esfuerzo en cualquier punto se puede calcular con la siguiente expresión.

fb =

M·y I

(6.1)

Esta expresión es aplicable solamente cuando el máximo esfuerzo calculado en la viga es menor que el límite elástico, donde este análisis se basa en el hecho de que las secciones transversales planas de una viga permanecen planas bajo la flexión pura. El valor I/y es una constante para una sección determinada, y se puede denotar como sigue:

S= Donde:

I y

(6.2)

S = Módulo resistente elástico. I = Momento de Inercia. y = Distancia desde la superficie neutra hasta la fibra superior de la sección. Por tanto la fórmula de la flexión puede escribirse entonces de la siguiente manera:

M (6.3) S Si el momento de una viga de acero dúctil se incrementa mas que el momento de fluencia, las fibras superiores e inferiores sufren cambios en la variación en esfuerzos. Analizando la sección central de la viga en la Figura 6-1. En estado de fluencia y el momento resistente adicional proporcionará a las fibras más cercanas al eje neutro un incremento del momento de fluencia, este proceso continuará con cada una de las partes de la sección transversal de la viga, alcanzado el esfuerzo de fluencia como se muestra en los diagramas de esfuerzos a-‘a y b-b’ hasta que finalmente fb =

2

Véase en Introducción al diseño de estructuras de acero, Cáp. 1, Figura 1-1, Pág. 5.

PÁG. 140

FLEXIÓN Y TORSIÓN

se alcanza la distribución plástica total mostrada en c-c’ de la Figura 6-3, y se dice que se ha formado una articulación plástica.

Figura 6-3.

Variación de esfuerzos en el rango elástico y plástico desde el eje neutro hasta las fibras superior e inferior de la sección rectangular.

Cuando la deformación se hace infinito (ε = ∝), entonces toda la sección fluye en el rango plástico y gira sin ninguna restricción formándose como un elemento que gira libremente y se dice que es una articulación plástica. Si se incrementa una pequeña cantidad de momento en la sección rectangular, se producirá la rotación de la viga.

6.2 ARTICULACIÓN PLÁSTICA La carga concentrada P aplicada en el punto intermedio de la viga, que se observa en la Figura 6-4, crece en magnitud hasta que se alcanza el momento de fluencia con las fibras superiores e inferiores sometidas al esfuerzo Fy, donde el diagrama del momento flexionante es de forma triangular con un momento flexionante máximo Mmáx.

Figura 6-4.

Articulación plástica. PÁG. 141


Para propósitos de análisis la articulación3 plástica esta concentrada en una sola sección, Figura 6-3, y si el momento máximo Mmáx es mayor que My, pero igual al momento plástico Mp, en la parte central de la viga, el flujo será completamente plástico, como se observa en la Figura 6-4. Los elementos se diseñaban de manera que los esfuerzos de flexión calculados para cargas de servicio no excedieran el esfuerzo de fluencia dividido entre un factor de seguridad4, sin embargo se sabe que los elementos dúctiles no fallan sino hasta que la sección presenta regiones plásticas después que alcanza el esfuerzo de fluencia.

6.3 MODULO PLÁSTICO RESISTENTE Si la fuerza de compresión y tracción esta siendo aplicada como se observa en la Figura 63, el momento elástico viene dado por la siguiente expresión, donde:

h ·b 2 h T = F y · ·b 2 C = Fy ·

El área del diagrama en el rango elástico será:

h1 A DIAG = Fy · · ·b 2 2 Entonces el momento elástico es:

h 1 2 M E = Fy · · ·b· ·h 2 2 3 b·h 2 M E = Fy · 6

(6.4)

El momento resistente plástico Mp se determina de manera análoga, entonces:

h 1 M P = Fy · ·b· ·h 2 2 b·h 2 M P = Fy · 4

(6.5)

De las expresiones (6.1) y (6.2), se puede escribir de la siguiente manera:

M E = Fy ·S

(6.6)

M P = Fy ·Z

(6.7)

Donde los módulos resistentes para una sección rectangular son: S= 3 4

b·h 2 6

Módulo resistente elástico

Una articulación es un vinculo que permite girar a una sección libremente sin restricciones y no tiene la capacidad de resistir momento. Véase Cargas sobre las estructuras y métodos de diseño, Cáp. 1, sección 2.3, Pág. 12

PÁG. 142

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Z=

b·h 2 4

Módulo resistente plástico

Cuando el módulo resistente elástico es igual al módulo resistente plástico S = Z, y si la viga esta sometida a una carga que va incrementándose, este elemento estructural colapsa, por tanto la sección resiste hasta que Me = MP. El factor de forma es la razón Z/S y caracteriza el incremento de la capacidad de momento debido a la plastificación. Los valores típicos de los factores de forma son: Sección Sección Sección Sección

transversal circular sólida, Z/S = 1.7 rectangular, Z/S = 1.5 W compacta, flexión respecto al eje mayor, Z/S = 1.12 (promedio) W compacta, flexión respecto al eje menor, Z/S = 1.60 (promedio)

6.4 TORSION DE BARRAS CIRCULARES Cuando una barra de sección transversal circular, está sujeta a un fenómeno denominado torsión debido a pares de fuerzas T aplicados en sus extremos como se observa en la Figura 6-5, se dice que esta sometida a torsión pura.

Figura 6-5.

Barra circular sometida a torsión pura

Las secciones transversales de la barra circular giran alrededor de su eje longitudinal, de un extremo de la barra respecto al otro permanecen rectos los radios y la sección plana y circular. Si se considera un elemento dx de la sección, fijando los extremos de la sección gira un pequeño ángulo φ y se conoce como ángulo de torsión, como se ve en la Figura 66.

Figura 6-6.

Sección de la barra cilíndrica a una distancia dx. PÁG. 143


Durante la torsión la sección transversal derecha gira con respecto a la cara opuesta, y los puntos c y d se trasladan a c ’ y d ’ , las longitudes de los lados del elemento no varia durante esta rotación, pero los ángulos y esquinas ya no miden 90º, donde la reducción del ángulo es como sigue.

Figura 6-5.

Esfuerzos en una barra circular; a) Deformación plana, b) Porción discoide de la barra circular sometida a torsión.

A causa de la rotación, un elemento infinitesimal rectangular, como se muestra en la Figura 6-7a, adquiere la forma de un romboide. De la Figura 6-7b, se tiene que:

CC ' = r·d θ = donde:

d ·d θ 2

CC ' AC d dθ γ = · 2 dx tan γ =

(6.8)

Entonces, sustituir la ecuación (6.3) en (6.4):

γ=

τ G

(6.9)

se tiene la siguiente expresión:

τ = ρ·G·θ

(6.10)

CORTANTE DE TORSIÓN

Figura 6-6.

Esfuerzos cortantes en una sección circular interior.

Mediante el diagrama de esfuerzos triangular cortante, se puede establecer sobre las deformaciones y el esfuerzo cortante en la barra circular que varia linealmente con un radio ρ desde el centro de la sección circular. La fuerza cortante que actúa sobre el elemento de área dA, como se muestra en la Figura 6-6, es igual a:

PÁG. 144

FLEXIÓN Y TORSIÓN

T = λ ·d A

(6.11)

y el momento de esta fuerza respecto al eje de la barra es:

dM t = λ ·dA·ρ = ρ 2 ·G·θ·dA donde,

(6.12)

2π

Mt =

∫ρ

2

·G·θ·dA

0

2π

M t = G·θ ∫ ρ 2 ·dA 0

Entonces se tiene la siguiente expresión:

M t = G ·θ ·I P En la cual,

I P = ∫ ρ2 ·dA θ=

32·M t G·π·d 4

(6.13)

(6.14)

(6.15)

Para una sección circular el momento de inercia polar es;

π·d 4 IP = 32

(6.16)

Para hallar la Torsión Uniforme en una sección circular, sustituir las ecuación (6.8) en (6.15), donde se tiene la siguiente expresión:

λ=

32·M t ρ π ·d 4

(6.17)

6.5 ANALOGIA DE LA MEMBRANA La torsión uniforme de secciones abiertas de paredes delgadas es un fenómeno complejo de estudiar debido al problema existente entre la torsión y la deformación que un elemento estructural experimenta cuando es sometido a torsión. Por tanto para tratar de explicar el efecto de la torsión uniforme en secciones de paredes delgadas se empleará el principio de la analogía de la membrana5. Este principio consiste en el efecto que existe cuando se fija una membrana en una sección como se observa en la Figura 6-7. 5

Véase en Structural Members and Frames de Theodore V. Galambos , Cap. 2-Torsional Stresses and Deformations, Pág.33. PÁG. 145


Figura 6-7.

Analogía de la membrana; a) Membrana en una sección circular, b) Corte Longitudinal.

Para que la membrana no se eleve debido a las fuerzas de levante constantes, existen fuerzas que estiran para que el elemento en su conjunto este en equilibrio. El primer principio de la analogía de la membrana, es que el esfuerzo cortante en un punto es igual a la pendiente de la membrana en ese punto. Los esfuerzos que actúan de modo tangencial a la superficie de la curva, se conocen como esfuerzos de membrana, como se observa en la Figura 6-8. El nombre surge del hecho de que los esfuerzos de este tipo existen en membranas verdaderas, tales como películas de jabón o delgadas hojas de caucho, o hule.

Figura 6-8.

Principio de la analogía de la membrana.

PÁG. 146

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Donde la ecuación de la parábola es:

z = α ·y 2

(6.18)

Si pasa por A’ se tiene que,

d z 0 = α ·  2

Despejando,

2

4·z 0 d2

α =

(6.19)

Sustituyendo la ecuación (6.13) en (6.12), se halla la siguiente expresión:

z =

4 ·z 0 2 y d2

Para obtener la pendiente de la membrana en

d d  A '  , z 0  y con λ = ·G ·θ , se tiene: 2 2 

8·z 0 dz y = dy d2 4·z 0 dz = dy d Igualando, se obtiene:

(6.20)

4·z 0 d = G · ·θ d 2 G ·d 2 ·θ z0 = 8

(6.21)

Sustituir la ecuación (6.15) en (6.12), teniendo como resultado la siguiente expresión:

z=

G ·θ 2 y 2

(6.22)

A continuación se examinará la membrana, teniendo en cuenta que las unidades son:

[q ] =  kg / cm 2  [ F] = [ kg / m] Del equilibrio de fuerzas,

∑F

VERT

q

=0

π·d 2 = π·d ( F·Senα ) 4

(6.23) PÁG. 147


Como se observa en la Figura 6-8, se halla la siguiente relación : Si α es pequeño, entonces: Sen α = Tan α = α

 dz  d ta n α =   = G ·θ · 2  dy A '

Figura 6-8.

Principio de la analogía de la membrana.

Sustituyendo la ecuación (6.17) en la (6.16), y se halla la siguiente expresión:

q

d π ·d 2 = F ·G · θ · π ·d 4 2 q = 2 G ·θ F

(6.24)

Donde: q = Presión perpendicular a la membrana. F = Fuerza circunferencial. θ = Angulo de torsión por unidad de longitud. G = Módulo de corte.

6.6 TORSIÓN EN UNA SECCION RECTANGULAR DE PARED DELGADA APLICANDO EL PRINCIPIO DE LA ANALOGÍA DE LA MEMBRANA Para determinar las fuerzas que actúan en una sección rectangular de pared delgada como se observa en la Figura 6-9, se usará el principio de la analogía de la membrana y para aplicar las ecuaciones anteriormente deducidas se debe tomar en cuenta las siguientes asunciones: 1. El material es elástico 2. Los elementos son prismáticos y rectos. 3. La sección es de pared delgada y abierta. 4. Las secciones planas permanecen planas y no alabean después de la torsión. 5. Las deformaciones son pequeñas. 6. Las deformaciones por corte no son tomadas en cuenta. 7. La forma de la sección debe ser inalterada. La lista de asunciones puede parecer demasiado restrictivo, pero no es así, porque muchos problemas prácticos pueden ser resueltos con esta teoría, que conocemos y que

PÁG. 148

FLEXIÓN Y TORSIÓN

es usada en diferentes aplicaciones como ser determinación de los esfuerzos en los materiales.

Figura 6-9.

Sección rectangular de pared delgada aplicando el principio de la analogía de la membrana.

Utilizando el principio de la analogía de la membrana en secciones rectangulares de pared delgada se tiene que: La ecuación que describe la membrana se ajusta a la ecuación de una parábola,

z=

4·z 0 ·y 2 t2

(6.25)

Entonces de la Figura 6-9, se tiene la siguiente expresión;

q·b·t = 2·b·FSenα

q 2Sen α = F t

Figura 6-10.

(6.26)


PÁG. 149


Si α es pequeño, entonces;

 dz  tan α =    dy  ta n α = t 2

8·z 0 ·y t2

(6.27)

 

En A  , z 0  y sustituyendo la ecuación (6.20) en (6-19):

q 2 4·z 0 = · F t t 8·z 0 2 2 G ·θ = t2 z0 =

G ·θ ·t 2 4

(6.28)

Entonces, la ecuación de la parábola será:

 G·θ·t 2  2 4 ·y 4   z= t2

z = G ·θ · y 2

(6.29)

Según el primer principio de la analogía de la membrana,

λ =

dz dy

λ = 2 G ·θ ·y

(6.30)

Para

y= t

2 y=− t

2

Según la Figura 6-11, se tiene los siguientes esfuerzos cortantes;

λ m in = G ·θ ·t λ m ax = G ·θ ·t

PÁG. 150

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Figura 6-11.


Como se observa en la Figura 6-11, los esfuerzos cortantes a Torsión Uniforme, ya no son constantes en el espesor.

6.7 TORSIÓN UNIFORME (SAINT VENANT) Al igual que el principio de torsión en barras circulares en el inciso 6.4, la torsión debido a un momento de torsión uniforme aplicado a la sección circular solo produce esfuerzos tangenciales y tienen la dirección de la circunferencia como se observa en la Figura 6-12.

Figura 6-12.

Torsión uniforme en una sección circular.

El segundo principio de la analogía de la membrana es cuando el momento torsor (MSV), es igual al doble del volumen comprendido entre la membrana y la sección. Entonces se tiene la siguiente expresión:

Donde el momento torsor es,

 2  V =  ·t ·z 0  ·b  3  3 b ·t V = ·G · θ 6 M SV =

b·t 3 G ·θ 3

(6.31)

PÁG. 151


La constante de torsión de St. Venant6 depende de la sección y es:

b ·t 3 J = 3

Si se introduce la constante de torsión, la relación entre el momento torsor aplicado y el ángulo torsor resultante por unidad de longitud, viene a ser:

M S V = G ·J·θ Para secciones rectangulares compuestas por varios rectángulos, es igual a la suma de los valores de las constantes de torsión de cada elemento.

J =

1 3

i= n

∑

i =1

b ij ·t ij 3

(6.32)

En el manual del AISC-01 la constante de torsión uniforme para distintas secciones se encuentra calculada a partir de la página 1-89.

6.8 TORSIÓN NO UNIFORME (TORSIÓN DE ALABEO) Si la sección es cuadrada y aplicando un momento torsor, esta se alabea, para que se entienda de mejor manera este fenómeno se hace la analogía entre la trayectoria de un proyectil que sigue un recorrido en un plano, mientras que la trayectoria que hace una mosca al momento de volar, tiene un recorrido cualquiera es decir que a cada momento que se desplaza en el espacio no se encuentra en un plano sino en varios planos, entonces una sección plana es alabeada cuando es influida por el momento torsor y no permanece plana, por lo tanto la torsión no es uniforme es decir que la superficie es alabeada como se observa en la Figura 6-13.

Figura 6-13.

Torsión no uniforme de una sección rectangular.

La torsión no uniforme, no solo produce esfuerzos cortantes sino también produce esfuerzos normales perpendiculares que hace que la sección plana ya no sea mas plana sino que sea una superficie alabeada. Para la torsión de alabeo también se determina una constante de torsión denominada constante de torsión de alabeo (Cw = Warping Constant7 ), pero esta torsión de alabeo se presenta solo en ciertas secciones, excepto los perfiles de sección tubo, y se estudia para cada sección como se observa en la Tabla 7.1 6

Adéhmar Jean Claude Barré, Count de Saint Benant, connotado analista de la elasticidad, nacido en Paris (1797-1886), concluyó sobre la teoría general de la torsión para barras de cualquier sección. 7

Véase Dimensions and properties en el AISC-01, Pág. 1-89;1-1-110.

PÁG. 152

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Tabla 7-1.

Propiedades de Torsión no uniforme de varias secciones (Véase Structural Members and Frames en Theodore V. Galambos, Pág. 51-52)

PÁG. 153


Ejemplo 6.1 Determinar los valores de Sx, Sy, Zx y Zy de un perfil W 6x4x5/16

Los esfuerzos de Compresión y Tracción será: 5 (6 − y p )·Fy 16 5 T1 = y p ·Fy 16 5  5  T2 =  4 − Fy  16  16  C=

C = T1 + T2

Determinar el área del perfil:

A = 6·0.3125 + ( 4 − 0.3125)( 0.3125) = 3.027in 2 A = 19.53cm 2 Determinar el centro de gravedad:

y=

1.875·3in + 1.152· 3.027

0.3125 2 = 1.918in

y = 4.87 cm

PÁG. 154

FLEXIÓN Y TORSIÓN

0.3125  4 − 0.3125  + 1.152· + 0.3125  2 2   = 0.917in x= 3.027 x = 2.33cm 1.875·

Determinar los momentos de inercia y radio de giro en x : Ix =

( 4 − 0.3125 )( 0.3125 ) 12

3

2

3

0.325  0.3125·6 2  + ( 4 − 0.3125 )( 0.3125 )  1.918 − + 0.3125·6 ( 3 − 1.918 )  + 2  12 

I x = 11.41in 4 = 47.5cm 4 = 4.75x106 mm 4 Ix 11.41 = = 1.94in A 3.027 rx = 4.93cm rx =

Determinar los momentos de inercia y radio de giro en y :

0.3125 ( 4 − 0.3125 ) 6·0.3125 3 0.3125   Iy = + 6·0.3125  0.917 −  + 12 2 12   2

3

2

 4 − 0.3125  + ( 4 − 0.3125 )( 0.3125 )  + 0.3125 − 0.917  = 4.176in 4 2  

I y = 1.74cm 4 = 1.74x106 mm 4 Iy

ry =

=

A ry = 2 .9 8cm

4 .1 7 6 = 1 .1 7 4in 3 .0 2 7

Hacer momentos en cada sección rectangular respecto al eje y:

( 6 − y ) ( 0.3125)·F = ( 4 − 0.3125)( 0.3125)·F p

y

y

+ y p ·0.3125·Fy

6 − 3.6875 = 1.156in 2 y p = 2.94cm yp =

Determinar el módulo resistente plástico en x:

0.3125  1.156  ZX = ( 4 − 0.3125 )( 0.3125 ) 1.156 −  + 1.156·0.3125· 2  2   6 − 1.156  3 + ( 6 − 1.156 )( 0.3125 )   = 5.027in 2  

ZX = 82.4cm3 = 82.4x103 mm3 PÁG. 155


El momento plástico en el eje x será:

M

p

= Z x ·Fy

Entonces:

M p = 5.027·Fy

Hacer momentos en cada sección rectangular respecto al eje x:

6·x p = 1 .8 7 5 − 6·x p + 1 .1 5 2 1 .8 7 5 + 1 .1 5 2 = 0 .2 5 2in 12 x p = 0 .6 4 cm xp =

Determinar el módulo resistente plástico en y:

Z y = 6·0.252·

0.252  0.3125 − 0.252  + 6 ( 0.3125 − 0.252 )   2 2  

 4 − 0.3125  + ( 4 − 0.3125 )  + 0.3125 − 0.252  ( 0.3125 ) = 2.396in 3 2   3 3 3 Z y = 39.3cm = 39.3x10 mm El momento plástico en el eje y será:

M p = Z y ·Fy Entonces:

M

p

= 2 .3 9 6·F y

PÁG. 156

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Determinar el módulo resistente elástico en x:

Entonces:

y 6−y 0.3125·( 6 − y )   = 0.3125·y· + ( 4 − 0.3125 )( 0.3125 )( y − 0.3125 ) 2  2  y = 1.92in El momento de inercia con respecto al eje x será:

I x = ∑ I0 + A·d 2 Ix =

0.3125·63 0.31253 + 0.3125·6·1.08 2 + 3.6875· + 3.6875·0.3125·1.764 2 12 12

I x = 11.407in 4 El módulo resistente elástico respecto al eje x será:

IX = 2.795in 3 6 − 1.918 S X = 45.8cm 3 = 45.8x10 3 m m 3 SX =

PÁG. 157


Determinar el módulo resistente elástico en y:

Entonces:

4−x  0.3125   x − 0.3125    = ( x − 0.3125 )( 0.3125 )   + ( 6·0.3125 )  x −  2 2   2    

( 4 − x )( 0.3125)  x = 0.9175in

El momento de inercia con respecto al eje y será:

Iy =

∑I

0

+ A ·d 2 2

3 3.68753  3.6875  6·0.3125 + 0.3125·3.6875· − 0.605  + + 6·0.3125·0.75612 I y = 0.3125· 12 12  2 

I y = 4.176in 4 El módulo resistente elástico respecto al eje y será:

Iy

4 .1 7 6 = 1 .3 5 6 in 3 4 − 0 .9 1 7 4 − 0 .9 1 7 3 S y = 2 2 .2 c m = 2 2 .2 x1 0 3 m m 3 Sy =

=

PÁG. 158

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Ejemplo 6.2 Hallar el coeficiente de torsión de la sección W44x335 y verificar este valor de J según la Norma AISC-01.

Usando la ecuación (6.24), se obtiene el siguiente valor:

(15.95·1.77 )·2 + ( 44.02 − 2·1.77 )·1.02 J= 3

3 J = 73.33in 3

3

3

Según el AISC-01, Pág. 1-89, el coeficiente de torsión es:

J = 74.4in 3 El valor es mayor al hallado por la ecuación (6.24), esto debido a que los puntos de unión entre el alma y el ala de la sección son áreas con cierta curvatura determinada por las especificaciones de la AISC.

PÁG. 159


6.9 MODULO CORTANTE Se considera una sección de tal manera que se asume una fuerza de compresión que actúa perpendicular a las caras de la sección y fuerzas axiales de tracción, se toma un plano P-P’ que corta a la sección formando un ángulo θ, encontrando las fuerzas que existen en este plano y descomponiendo las fuerzas de compresión y tracción se observa en la siguiente Figura 6-13.

Figura 6-13.

Sección de área A, donde actúan en el centro de gravedad fuerzas de compresión y tracción

Las componentes de las fuerzas de compresión y tracción se traslada al centro de la sección y el plano que forma el ángulo θ, como se observa en la Figura 6-14.

FN = C N − TN = C·Cosθ − T·Senθ FT = CT − TT = C·Senθ + T·Cosθ

Figura 6-14.

Componentes de las fuerzas de tracción y compresión.

Caso particular de la variación de FN y FT que forman con el ángulo θ, donde : C = T = F.

FN = F(Cosθ − Senθ) FT = F(Senθ + Cosθ) Entonces derivando para encontrar los valores máximos y mínimos:

dFT = F(Cosθ − Senθ) dθ Cosθ Senθ − =0 Cosθ Cosθ Tanθ = 1 ⇒ θ = 45º Por lo tanto FT es máxima

PÁG. 160

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Para θ= - 45º,

 2 2 FT = F  + =F 2 2   2  2 2 FN = F  − =0 2   2 Por lo tanto en el plano a 45º solo se tiene fuerzas tangenciales y no las fuerzas normales, donde las fuerzas tangenciales son fuerzas cortantes que actúan en todo el área del plano que corta a la sección, como se observa en la Figura 6-15.

Figura 6-15.

Fuerzas tangenciales o cortantes en el plano P-P’ a 45º.

Se divide entre el área de la misma se tienen esfuerzos cortantes, Figura 6-16.

τ=

FT A P−P '

F 2 F T C = = = A 2 A A A τ = σC = σT τ=

Figura 6-16.

Esfuerzo cortante a un infinitésimo del centro del plano P-P’ a 45º.

Si se tiene un estado de esfuerzos donde en el eje x se tiene esfuerzos de tracción σT y en el eje y se tiene esfuerzos de compresión σC , estos esfuerzos son iguales por tanto en un PÁG. 161


plano a 45º actúan solo esfuerzos cortantes puros8 τ, que son iguales a σT y σC y los esfuerzos perpendiculares o esfuerzos normales son FN = 0. Este esfuerzo cortante deforma al elemento denotado por las letras A,B,C,D siguiendo el contorno de línea segmentada A’,B’,C’,D’, como se observa en la Figura 6-17.

Figura 6-17.

Esfuerzo cortante puro y deformación angular.

Los esfuerzos cortantes puros hacen que la sección cuadrada sea un rombo, donde una diagonal se estira o alarga y la otra diagonal se acorta, y solo existen esfuerzos cortantes y no esfuerzos normales. Considerar que AB =1 y así sucesivamente en las otras caras, por lo tanto la distancia AD no se acorta ni se alarga porque no hay fuerzas normales de compresión y tracción, entonces la distancia en AB y DC mantienen su longitud entonces A’B’ = D’C’=1. Sin necesidad de alargarse y acortarse ha cambiado de dirección, es decir que el ángulo recto de A ha aumentado, es decir que ha cambiado de dirección en (90º+ γ), donde γ es la deformación angular, y el ángulo de 90º en B ha disminuido en γ, entonces (90º- γ). Análogamente al diagrama de esfuerzo-deformación, se tiene la recta de esfuerzo cortante-deformación angular como se observa en la Figura 6-18.

Figura 6-18. 8

Diagramas de esfuerzo-deformación, esfuerzo cortante puro y deformación angular.

Véase Cortante Puro del Cáp. 5, Pág.3. y Resistencia de Materiales de Ferdinand L Singer, Pág. 333.

PÁG. 162

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Para determinar la recta esfuerzo cortante-deformación angular, se tiene:

OB = 1  π γ  OB' OB + BB' tan  +  = =  4 2  OA ' OA − AA '

(6.33)

Donde OA = OB = OC = OD = 1, entonces:

 π γ  1 + BB' 1 + ε x tan  +  = =  4 2  1 − AA ' 1 − ε y π γ tan  +  =  4 2 εx = εy =

λ (1 + µ )

λ (1 + µ ) E λ (1 + µ ) 1− E

1+

E λ (1 + µ ) E

π γ γ λ 1+ µ) tan   + tan   1 + ( 1 + tan   4 2 = 2 E = λ (1 + µ ) π γ γ 1 − tan  ·tan   1 − 1 − tan   E 4 2 2  γ  λ (1 + µ ) tan   = E 2  γ  γ λ (1 + µ ) tan   ≈ = E 2 2

γ ≈ es muy pequeño

Por tanto la relación entre la deformación producida por el esfuerzo cortante y la deformación angular es:

γ=

λ  E     2 (1 + µ ) 

(6.34)

Cuando se tiene esfuerzos normales entonces:

ε=

f E

(6.35)

Donde el módulo de elástico para todos los aceros es:

E = 29000ksi PÁG. 163


En cortante se tiene:

λ G

(6.36)

E 2 (1 + µ )

(6.37)

γ= G=

El módulo de poison nos da la relación del alargamiento en dirección del eje x y el acortamiento en dirección del eje y. El módulo cortante (shear modulus), para todos los aceros9 es:

G = 11200ksi Un pórtico conformado por vigas y columnas rellenadas por un muro, cuando es sometida a cargas horizontales éste se desplaza lateralmente presentando así esfuerzos cortantes puros, para ilustrar este efecto, considere el pórtico mostrado en la Figura 6-19.

Figura 6-19.

Deformación angular debido a esfuerzos cortantes en un pórtico.

Los muros están sometidos a fuerzas cortantes, para que los muros resistan los esfuerzos cortantes debidos a las fuerzas laterales entre las columnas y las vigas se denominan muros de corte (Shear Walls), se usan para que las deformaciones no sean demasiado grandes. De los diagramas de la Figura 6-18, los esfuerzos normales producen : Alargamiento en la dirección x debido a σT : ε x =

σT E

Alargamiento en la dirección x debido a σC : ε x = µ· 9

σC E

Véase AISC-01, Loas and Resístanse Factor Design, Pág. 16.1-xvii, en simbología.

PÁG. 164

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Entonces se tiene lo siguiente:

εx =

σ σT + µ· C E E

(6.38)

σT E

Acortamiento en dirección y debido a

σT : ε y =

Acortamiento en dirección y debido a

σC : ε y = µ·

σC E

Entonces se tiene lo siguiente:

εy =

σC σ + µ· T E E

(6.39)

Reemplazando τ = σT = σC , igual a θ = 45º, en las ecuaciones (6.38) y (6.39) se tiene:

τ τ τ + µ· = (1 + µ ) E E E τ τ τ ε y = + µ· = (1 + µ ) E E E εx =

6.10

(6.40)

ESFUERZOS RESIDUALES

Los esfuerzos residuales en un elemento estructural son el resultado de las deformaciones plásticas que existen en la sección en la mayoría de las veces antes de la aplicación de cargas externas, debido al enfriamiento desigual que sufren los perfiles después de haber sido laminados en caliente. Es decir que en un perfil W, si se toma un punto exterior de las alas del perfil y de la parte media del alma se enfrían rápidamente, mientras que un punto en el centro del ala del mismo perfil se enfría más lentamente y desarrolla esfuerzos residuales de tensión que se equilibran con esfuerzos de compresión en otra parte de la sección transversal, como se observa en la Figura 6-20.

Figura 6-20.

Vaciado del Acero en un molde de Sección W.

PÁG. 165


Los puntos que se encuentran al exterior en áreas que se enfriaron más rápidamente quedan con esfuerzos residuales de compresión, y los puntos que se encuentran al medio de las alas en áreas de enfriamiento más lento quedan con esfuerzos residuales de tensión10. Durante el proceso de fabricación se producen esfuerzos residuales, es decir que se quedan de la fabricación. Para perfiles laminados en caliente mediante moldes de acero se tiene un esfuerzo residual de Fr =10 ksi. Las distribuciones de esfuerzos residuales en perfiles laminados en caliente, se pueden observar en la siguiente Figura 6-21.

Figura 6-21.

10

Diagrama de esfuerzo residual de una sección W (el signo + indica tracción, y el signo – indica compresión)

En un elemento soldado, también se desarrollan esfuerzos residuales de tracción cerca de la soldadura y los esfuerzos de compresión proporcionan el equilibrio, como se puede observa en la Figura 6-22.

(a)

Figura 6-23.

(b)

Diagrama de esfuerzo residual10 a) de una sección W soldada, b) de una sección soldada cajón(el signo + indica tracción, y el signo – indica compresión)

10

Véase Esfuerzos Residuales en el Manual de Diseño de Estructuras de Acero de Roger L Brockenbrough and Frederick S. Merritt, Tomo I, Pág.1-24 y Diseño de Estructuras de Acero, Método LRFD de Jack C. McCormac, Pág. 97.

PÁG. 166

FLEXIÓN Y TORSIÓN

Los esfuerzos residuales pueden causarse por procesos de fabricación en secciones soldadas posterior a la aplicación de la soldadura, para perfiles soldados el esfuerzo residual es de Fr =16.5 ksi. Este tipo de esfuerzos son muy importantes porque afectan a la resistencia de las columnas de acero cargadas axialmente, además en miembros a flexión la presencia de esfuerzos residuales no tiene efecto sobre el momento plástico, por tanto, en el diseño de elementos cargados estáticamente, por lo general no es necesario considerar los esfuerzos residuales.

PROBLEMAS

Problema 6.1 Determinar los valores de S, Z y el factor de forma respecto a los ejes x, y de la sección mostrada en la siguiente figura.

Problema 6.2 Determinar los valores de S, Z y el factor de forma respecto al eje x, y hallar el coeficiente de torsión de la sección mostrada en la siguiente figura.

PÁG. 167

++ Flexo-Tracción (Continuación)

7.1 PANDEO LATERAL La flexión de la viga que se observa en la Figura 7-1, produce esfuerzos de compresión en la parte superior por encima de la línea neutra de la sección transversal de la viga y esfuerzos de tensión en la parte inferior.

Figura 7-1.

Viga de sección W, sometida a una carga P.

A medida que la carga P se va incrementando entonces el perfil desciende, este proceso continuará con cada una de las partes de la sección transversal de la viga, alcanzado el esfuerzo de fluencia como se muestra en los diagramas de esfuerzos 1 en rango elástico, en 2 el rango plástico, hasta que finalmente se alcanza la distribución plástica total mostrada en 3 de la Figura 7-2, y se dice que se ha formado la articulación plástica.

Figura 7-2.

Viga de sección W, sometida a una carga P

PÁG. 168


Toda el ala superior esta sometida a una fuerza de compresión en la viga como se observa en la Figura 7-1, entonces presenta un comportamiento similar al de una columna que se pandea en la dirección donde la esbeltez es mayor, por tanto la viga puede sufrir falla por pandeo lateral, pero como la viga también esta sometida a tracción tiende a restringir la traslación lateral del miembro. Este fenómeno es por una combinación de torsión y flexión hacia fuera del plano, y si se incrementa una pequeña cantidad de momento en la sección W se producirá la rotación de la viga, entonces la viga falla por un pandeo lateral de torsión1 como se observa en la Figura 7-3.

Figura 7-3.

Pandeo lateral elástico de la viga de sección W, sometida a momentos iguales en los extremos

El pandeo lateral de torsión depende de las distancias de los apoyos laterales, por tanto si a la viga de sección W se pone apoyos laterales entonces la viga no sufre el efecto de la torsión, como se observa en la Figura 7-4.

Figura 7-4.

Apoyos laterales en un perfil de sección W

En caso de las vigas de acero en una estructura, como se observa en la Figura 7-5, las secciones W de menor tamaño apoyadas sobre la viga de sección W, donde sus alas se encuentran en compresión y se dice que esta apoyada lateralmente en los puntos donde 1

Véase LBT (Lateral Torsional Buckling) en AISC-01, Capítulo F, Pág. 16.1-32. PÁG. 169

FLEXO-TRACCIÓN (Continuación)

se encuentran las secciones de menor tamaño, entonces la longitud entre apoyos laterales se denota como Lb, que impiden que el ala en compresión de la viga se desplace a fuera del plano hasta que alcance la articulación plástica.

Figura 7-5.

Viga de sección W con apoyos laterales

Para determinar cuanto resiste un elemento sometido a flexión se tiene que considerar la distancia entre apoyos laterales, según el reglamento AISC-01 se tiene las siguientes condiciones2: a)

Si Lb ≤ Lp se desarrolla la articulación plástica. Para secciones de forma I y C flexados con el eje mayor el valor de Lp es:

Lp = 1.76·ry Lp =

E Fy

(7.1)

300·ry Fy

Para secciones Cajón y secciones rectangulares sólidas el valor de Lp es:

Lp = Lp =

0.13·ry ·E Mp 3750·ry Mp

J·A

(7.2)

J·A

Entonces la capacidad de momento nominal es igual al momento plástico, se tiene:

φMn = φMp 2

(7.3)

Véase Beams and Other Flexural Members en AISC-01, Capítulo F, Pág. 16.1-32 y Clasificación de secciones transversales en Diseño de estructuras de Acero con LRFD de Theodore V. Galambos, Pág. 60.

PÁG. 170


b)

Si Lb = Lr toma en cuenta los esfuerzos residuales Para secciones de forma I, secciones con dos ejes de simetría, secciones con un eje de simetría con el ala en compresión mayor o igual al ala en tracción y secciones C cargadas en el plano del alma el valor de Lr es:

Lr = Donde:

ry ·X1

1 + 1 + X 2 ( Fy − Fr )

Fy − Fr X1 =

π SX

X2 = 4

2

E·G·J·A 2

C w  SX    I y  G·J 

(7.4)

(7.5)

2

Para secciones Cajón cargadas en el eje mayor y secciones rectangulares sólidas el valor de Lr es:

Lr = Lr =

2·ry ·E J·A

(7.6)

Mr 57000·ry J·A

(7.7)

Mr

Entonces la capacidad de momento nominal es: (7.8)

φMn = φS·(Fy − Fr ) c)

Si Lb > Lr se pandea la sección lateralmente por torsión Para secciones de forma I con dos ejes de simetría y secciones C cargadas en el eje del alma, el valor de φMr es: 2

 πE  E·I y ·G·J +   I y ·C w L  b

π φMcr = Cb Lb φMcr =

Cb ·SX ·X1 2 X12 X 2 1+ 2 L b / ry 2 ( L b / ry )

(7.9)

(7.10)

Para secciones Cajón simétricas y secciones rectangulares sólidas, φMr es:

φMcr =

57000·Cb J·A L b / ry

Entonces la capacidad de momento nominal es igual al momento critico, se tiene:

φMn = φMcr

(7.11) PÁG. 171


c)

Si Lp < Lb < Lr Cuando la longitud entre apoyos laterales es mayor a la longitud donde se desarrolla el momento plástico y menor al limite de la longitud entre apoyos laterales que toma en cuenta los esfuerzos residuales. Entonces para hallar la capacidad del momento nominal φMn, entonces se hace una interpolación lineal3 para cualquier valor intermedio entre Lp y Lr.

Entonces se tiene que:

φMn = φMp − AD

(7.12)

DC = L b − L p

(7.13)

Donde:

AD DC = φMp − φMr L r − L p  L − Lp  AD = ( φMp − φMr )  b  L − L  p   r

(7.14)

Sustituir la ecuación (7.3) en (7.1), se tiene:

 Lb − Lp  φMn = φMp − ( φMp − φMr )   L r − L p   

3

(7.15)

Véase Beams and Other Flexural Members, Capítulo F, Pág. 16.1-32 y Design of Flexural Members Pág. 5-8, en AISC-01

PÁG. 172


Las ecuaciones de flexión (pandeo lateral de torsión), fueron deducidas considerando un momento constante entre puntos con apoyo lateral. El coeficiente de flexión Cb toma en cuenta el efecto de diferentes gradientes de momento sobre el pandeo de torsión lateral, es decir que el pandeo lateral se ve afectado considerablemente por las restricciones en los extremos y las condiciones de carga del elemento por tanto este coeficiente se aplica para momento variable entre puntos arriostrados lateralmente y es:

Cb =

12.5·M max ≤ 1.5 2.5·M max + 3·M A + 4·M B + 3·M C

(7.16)

Donde:

Mmax= Valor absoluto del momento máximo dentro de la longitud no arriostrada [Kip-in] MA = Valor absoluto del momento a ¼ de la longitud no arriostrada [Kip-in] MB = Valor absoluto del momento al centro de la línea de longitud no arriostrada [Kip-in] MC = Valor absoluto del momento a ¾ de la longitud no arriostrada en [Kip-in] Para vigas simplemente apoyadas y vigas en voladizo sin soporte lateral, el valor del coeficiente de flexión es Cb =1.0, en tanto que para una viga con empotramiento lateral se considera mayor que 1.0 Las fórmulas básicas de capacidad de momento vistas en el inciso 7.1, se dedujeron para vigas sin soporte lateral sujetas a curvatura simple con Cb =1.0

7.2 PANDEO LOCAL Si se tiene una sección con un alma considerable de espesor pequeño y está apoyada lateralmente, no se desarrolla la articulación plástica sino que el alma de la sección sufre un pandeo local es decir no toda la sección se pandea solo el alma y en caso contrario se pandean las alas, como se observa en la Figura 7-6.

Figura 7-6.

Secciones con pandeo local en; a) Alma de la sección, b) Alas de la sección PÁG. 173


El pandeo local depende de la relación de b/t y no así de las dimensiones de la sección, si esta relación es muy grande entonces existe pandeo local como se indica en la Figura 7-7.

Figura 7-7.

Falla en pandeo local de secciones en Compresión y Tracción pura

Cuando se fabrica un perfil con planchas y mientras mas separadas las alas del centro entonces el momento de Inercia es mayor, los módulos resistentes plástico y elástico son mayores uno presume que la sección resistirá a mayores cargas pero esta suposición no es cierta, porque que al momento de cargar la sección, esta fallará al pandeo local.

PÁG. 174


Cuando la relación es muy grande (b/t > λp), hay pandeo local para determinar si la sección resiste al pandeo lateral la relación b/t, tiene que tener las siguientes condiciones mostradas en la Tabla 7-1:

Relación Base-Espesor, λ

Elemento Viga Perfiles de sección W laminadas o secciones de forma I soldadas y canales. Elementos de secciones estructurales huecas cuadradas y rectangulares; alas y alma de secciones formadas por placas remachadas o soldadas. Alas en flexo-compresión Tabla 7-1.

General

b t

65

Fy

b t

190

Fy

hC tW

640

Fy

Relación límite Base-Espesor, λp Acero A36 Acero A50

10.8

9.19

31.7

26.9

106.7

90.5

Relación límite entre Base-Espesor para Vigas de Acero

Para determinar el ancho b y la profundidad hc que es la parte recta del alma de las secciones que se observan en la Figura 7-8. Los valores de hc para perfiles estándar laminados en caliente se encuentran en el manual de LRFD del AISC-014.

Figura 7-8.

4

Definiciones de b, hc y t del alma y alas de secciones laminadas en caliente y secciones fabricadas y soldadas (Véase Structural Steeel Design de Abraham J. Rokach, MSCE)

Véase Dimension and Properties en el AISC-01, Pág.1-4 a 1-71. PÁG. 175


7.2.1 SECCIONES COMPACTAS, NO COMPACTAS Y ESBELTAS Una sección compacta es cuando las alas están unidas al alma de forma continua, que sea capaz de desarrollar una distribución total de esfuerzos plásticos antes de pandearse y cuando todas las relaciones de λ (ancho/ espesor) son menores a λp. Las secciones no compactas son aquellas en las que el esfuerzo de fluencia alcanza a ciertos elementos a compresión antes de que ocurra el pandeo, es decir que si uno o mas elementos tienen la relación λ (ancho/ espesor) mayor a λp pero menor a λr son secciones no compactas. En este caso pueden fluir algunas secciones pero no se desarrolla el momento plástico total (no puede fluir la sección completa), por tanto la sección falla por fluencia y no por pandeo local. Las secciones de elementos esbeltos son aquellos que tienen uno o más de sus elementos la relación λ (ancho/ espesor) mayor que λr. En este caso no fluye ninguna sección. En resumen hay pandeo local : Si λ < λp Si λ < λ < λp Si λ > λp

la sección es COMPACTA (Flexión-Vigas) la sección es NO COMPACTA (Compresión-Columnas) la sección es ESBELTA

7.2.2 ELEMENTOS NO RIGIDIZADOS Y RIGIDIZADOS Para establecer los límites de las relaciones ancho-espesor, en el manual LRFD del AISC015, se establecen bajo dos amplias categorías, los elementos rigidizados y no rigidizados. Los elementos no rigidizados son aquellos que están soportados (unidos) a lo largo de un solo borde paralelo a la dirección de fuerza de compresión, véase la Figura 7-8.

Figura 7-8.

Secciones no rigidizadas (N.R.), en las alas del ; a) perfil W, b) perfil C, c) perfil L, c) perfil Z.

Los límites b/t (ancho/ espesor), de secciones compactas no rigidizadas están definidas por el AISC, véase límites de profundidad-espesor para elementos a compresión en el Anexo 7.1. 5

Véase Proportions of Beams and Girders, Local Buckling, Pág. 16.1-12, Table B5.1 y Table B5.1 (Cont.), Págs. 16.1-14 y 16.1-15, en el AISC-01.

PÁG. 176


Los elementos rigidizados son aquellos que están soportados (unidos) a lo largo de dos bordes paralelos a la dirección de la fuerza de compresión, véase la Figura 7-9.

Figura 7-9.

Secciones rigidizadas (N.R.), en las alas y alma del; a) perfil W, b) perfil C, c) perfil Z, d) perfil T, d) perfil Cajón, d) perfil Canal

Los límites b/t (ancho/ espesor), de secciones compactas rigidizadas están definidas según el AISC, véase límites de profundidad-espesor para elementos a compresión Anexo 7.2.

Ejemplo 7.1 Determinar si una sección estructural W33x387 es compacta, usar acero A50 (Fy = 50Ksi), como se observa en la siguiente figura.

PÁG. 177


Para que la sección sea compacta, todos los elementos deben cumplir que λ < λp. Para el Ala de la sección:

λ=

b b 16.2 = f = = 3.55 t f 2·t f 2·2.28

Para hallar el valor de λp véase la tabla 7.1 de la Pág. 8, entonces:

λ < λp

...... O.K.

Para el alma de la sección, del manual AISC-01, Pág.1-6, en Dimensiones y propiedades:

λ=

h = 23.7 tw


λ < λp

...... O.K.

LA SECCIÓN ES COMPACTA

Ejemplo 7.2 Determinar si una sección Tubo HSS4X10X1/8 es compacta, usar acero A50 (Fy = 50Ksi), como se observa en la siguiente figura.

Para el Ala :

b = b f − 3·t

b = 4 − 3·(1/ 8 ) = 3.625in

PÁG. 178


Donde:

λ=

b 3.625 = = 29 t 1/ 8


λ > λp

...... FALLA (Pandea el ala)

LA SECCIÓN ES NO COMPACTA

Para el alma:

h C = h w − 3·t

b = 10 − 3·(1/ 8 ) = 9.625in Donde:

λ=

h C 9.625 = = 77 t 1/ 8


λ > λp

...... FALLA (Pandea el alma)

LA SECCIÓN ES NO COMPACTA

Usar las dimensiones del anterior ejercicio y fabricar una sección que no falle al pandeo local cuando trabaje como viga y este sometida a cargas verticales. Se tiene λp de la tabla 7.1 de la Pág. 8, entonces:

λ p = 26.97 =

h w − 3·t t

Despejar el espesor,

10 − 3·t = 26.97 t 1 t = 0.3336 ≈ p lg 3 Por tanto la sección debe ser diseñado con el espesor hallado para vigas.

PÁG. 179


Ejemplo 7.3 Determinar si una sección W24x370, sufre pandeo lateral de torsión, con acero A36, el valor del coeficiente de flexión Cb = 1.0

a)

Si Lb ≤ Lp se desarrolla la articulación plástica, por lo tanto de las ecuaciones (7.1) y (7.3), donde:

Lp = 1.76·ry

E 290000 = 1.76·3.27· Fy 36

Lp = 163.3in = 4.15m El valor del la capacidad de momento, donde el valor de Zx se obtiene del AISC-01, en Dimensiones y propiedades, Pág. 1-17, es:

φMn = φMp 0.9·11.30·2.543 ·2500 φMn = φMp = 0.9·Z·Fy = 100 φMn = 416641Kg·m = 416.64ton·m b)

Lr =

Si Lb = Lr toma en cuenta los esfuerzos residuales y se pandea la sección lateralmente por torsión, por lo tanto de las ecuaciones (7.4) y (7.5):

ry ·X1 Fy − Fr

1 + 1 + X 2 ( Fy − Fr )

2

Donde:

π X1 = SX

E·G·J·A π = 2 957in 3

29000ksi·11200ksi·201in 4 ·109in 2 2

X1 = 6189 2

 C S  185000in 6  957in 3 X2 = 4 w  X  = 4 4  4  I y  G·J  1160in  11200ksi·201in 

2

X 2 = 1.15x10−4 = 115x10−6

PÁG. 180


El valor de X1 y X2 también puede obtenerse del AISC-01, en Dimensiones y propiedades, Pág. 1-17, y se denota como:

X 2 x10−6 = 115 ⇒ X 2 = Entonces:

115 = 1.15x10−4 106

3.27in·6189 2 1 + 1 + 115x106 ( 36ksi − 10ksi ) 36ksi − 10ksi Lr = 1111.2in = 28.22m Lr =

El valor del la capacidad de momento, donde el valor de Sx se obtiene del AISC-01, en Dimensiones y propiedades, Pág. 1-17, es:

φMn = φMr = φS·(Fy − Fr ) = 0.9·957·2.543 (36 − 10)·70.3 φMn = 257978Kg.m = 258ton·m c)

Si Lb > Lr se pandea la sección lateralmente por torsión, por lo tanto de las ecuaciones (7.10) y (7.11), y el valor de la longitud entre dos apoyos laterales es Lb = 30m:

φMcr =


1·957·6189 2 61892 ·1.15x10−4 φMcr = 1+ 2 1378 / 3.27 2 (1378 / 3.27 ) 19999Kip·in = 1666Kip·foot 12 φMcr = 1666·138 = 230046Kg·m φMcr =

Entonces:

φMn = φMcr = 230ton·m c)

Si Lp < Lb < Lr , hacer una interpolación lineal.

Se tiene que: Si Lb ≤ Lp = 4.15 m Si Lb = Lp = 28.22 m Si Lb = 35.0 m

φMn = φMp = 416ton·m φMn = φMr = 258ton·m φMn = φMcr = 230ton·m

Si la longitud entre apoyos laterales es menor Lb=20m, entonces:

Lp < Lb < Lr PÁG. 181


De la ecuación (7.15), se tiene que:

 Lb − Lp  φMn = φMp − ( φMp − φMr )   L r − L p     20 − 4.15  φMn = 416 − ( 416 − 258 )   = 312ton·m  28.22 − 4.15  Para determinar los valores de φbMn = φbMcr, cuando Lb > Lr que normalmente son usadas como vigas, están calculados para varias longitudes sin soporte lateral con sus respectivos diagramas, en la Parte 5 del manual LRFD en AISC-01, Págs. 5-37 al 5-131, y estos diagramas son de gran ayuda permitiendo así hacer un prediseño de la viga eligiendo la más conveniente y económica. Los valores no solo se encuentran en el intervalo elástico sino también en el intervalo plástico, los momentos están graficados para valores de Fy = 36 Klb/plg2 y para un Fy = 50 klb/plg2 y para un Cb = 1.0. Se puede observar en la Figura 7-10, que los valores de Lp para una sección W se indica con un punto sólido y el valor de Lr para la misma sección se denota por un circulo hueco. Observamos a la izquierda de la gráfica en el eje de las ordenadas que están los valores de la capacidad del momento de diseño y en el eje de las abscisas los valores de la longitud no arriostrada, para determinar el perfil a ser diseñado subir desde la parte inferior de la gráfica a lo largo del valor de la longitud deseada hasta cortar la línea que termina en el marco horizontal del conjunto de curvas. Cualquier sección a la derecha y arriba de la intersección tendrá una longitud sin no arriostrada es decir sin soporte lateral mayor, así como una mayor capacidad de momento.

Ejemplo 7.5 Determinar las posible secciones para el diseño de una viga, si la longitud no arriostrada Lb = 7.0 m, con un φbMn = 40000 Kg·m, para un Fy = 36ksi y Fy = 50 ksi Conociendo las conversiones siguientes,

1Kg·m = 0.00723kip − ft. 1kip − ft. = 138Kg·m Se tiene los siguientes valores para usar los diagramas de flexión:

L b = 7.0m = 22.97ft

φMn = 40000 [ Kg·m ]·0.00723 = 281.3kip − ft. De los Abacos en el Anexo 7.3 y Anexo 7.4, se tiene: Para Fy = 36 klb/plg2 (A36 ksi), se tiene los siguientes perfiles W: 2

W14x74 con un φbMn = 284.2 klb/plg

2

W21x73 con un φbMn = 285.5 klb/plg

PÁG. 182


Para Fy = 50 klb/plg2 (A50 ksi), se tiene los siguientes perfiles W: W14x61 con un φbMn = 289 klb/plg

2

W21x73 con un φbMn = 302 klb/plg

2

Ejemplo 7.6 Una viga simplemente apoyada con un claro simple es de L = 6.0m. La sección mostrada es de acero A50. la carga viva de servicio que puede soportar la viga es wL = 200 Kg/m y la carga muerta considerando su peso propio es de wD = 400 Kg/m. Tiene apoyos laterales (del ala en compresión) en los apoyos y el centro de la viga Lb=3.0m. a) Verificar si la sección (fabricada) de la figura es adecuada para flexión y corte. b) Seleccionar un perfil W adecuado.

a)

Solución:

1º Momento de Diseño Para determinar el valor del momento último en vigas mediante diagramas y fórmulas para varias condiciones de carga estática6, véase Anexo 7.4.

L2 Mµ = (1.2·w D + 1.6·w L )· 8 62 Mµ = (1.2·400 + 1.6·200 )· 8 Mµ = 3600Kg·m 2º Compacidad Para el ala superior:

6

Véase Beam and Girder Design del Manual AISC-01, Pág. 5-162 a 5-1677, Condición 29 PÁG. 183


λ=

bf 9 = = 9.0 2t f 2·0.5

λp =

65 65 = = 9.19 Fy 50

λ < λp

.......O.K.

Para el ala inferior:

λ=

bf 5 = = 8.33 2t f 2·0.3

λ < λ p .......O.K. Para el alma:

h C 35 = = 87.5 t w 0.4 λp =

640 640 = = 90.5 Fy 50

λ < λ p .......O.K. LA SECCIÓN ES COMPACTA

2º Centroide y Momentos de Inercia

De la figura se tiene:

y  35 − y  9·0.5 ( 35 − y + 0.25 ) + ( 35 − y )( 0.4 )   = 5·0.3 ( y + 0.15 ) + y·0.4· 2  2  y = 20.17m

PÁG. 184


9·0.53 0.5·0.33 0.4·353 + 9·0.5·15.082 + + 5·0.3·20.322 + + 0.4·35·2.67 2 12 12 12 I x = 3171.76cm 4 Ix =

0.5·93 0.3·53 3·0.43 + + = 33.7cm 4 12 12 12

Iy =

3º Calcular Radios de giro, Módulos resistentes elásticos

A = 9·0.5 + 5·0.3 + 35·0.4 = 20cm 2 rx =

3171 = 12.59cm 20

ry =

33.7 = 1.30cm 20

Ix 3171 = = 154.9cm3 y 20.17 + 0.3 I y 33.7 Sy = = = 7.49cm3 x 4.5 SX =

4º Constantes de Torsión Uniforme Según el inciso 6.7 Torsión uniforme (Saint Venant) del Cáp. 6 Flexión y Torsión.

0.5 0.3  3  35 + +  ·0.4 b·t 9·0.5 5·0.3  2 2  J=∑ = + + 3 3 3 3 4 J = 1.175cm 3

3

3

5º Constante de Alabeo (Cw) Según la Tabla 7-1 del inciso 6.8 Torsión no uniforme (Torsión de alabeo) del Cáp. 6 Flexión y Torsión.

α=

1 3

b  t  1 +  1  · 1   b2   t 2 

1 9 1+   5

3

 0.5  ·   0.3 

= 0.093

( d`) ·b13 ·t1·α = ( 35.4 ) ( 9 ) ·0.5·0.093 = 2

Cw

=

2

12

3

12

C w = 35.40cm 6 PÁG. 185


6º Módulos Resistentes Plásticos y Momentos Plásticos En el eje x:

De la figura:

C1 = 9·0.5·Fy

T1 = 5·0.3·Fy

C2 = (35 − y p )·0.4·Fy

T2 = y p ·0.4·Fy

Entonces:

C1 + C 2 = T1 + T2 9·0.5·Fy + (35 − y p )·0.4·Fy = 5·0.3·Fy + y p ·0.4·Fy yp =

4.5 + 14 − 1.5 = 21.25cm 0.8

El momento plástico en el eje x es:

13.75 21.25 M px = 9·0.5·Fy·14 + 13.75·0.4·Fy· + 5·0.3·Fy·21.40 + 0.4·21.25·Fy· 2 2 M px = 223.2·Fy Entonces el máximo momento que puede resistir la sección:

13.75 21.25 M px = 9·0.5·Fy·14 + 13.75·0.4·Fy· + 5·0.3·Fy·21.40 + 0.4·21.25·Fy· 2 2 M px = 223.2·Fy φb M px = 0.9·223.2·50·72.3 = 726181.2Kg·cm φb M px = 726.2Kg·m

PÁG. 186


En el eje y:

4.5 2.5 0.4 0.2   M py =  4.5·0.5·Fy· + 2.5·0.3·Fy· + 35· ·Fy· ·2 2 2 2 2   M py = 13.4·Fy φb M py = 13.4·50·72.3 = 48441Kg·cm φb M py = 48.4Kg·cm Entonces el cálculo de X1 y X2, es:

1.30 ·1250 2 Lr = 2.54 1 + 1 + 0.0587 ( 50 − 16.5 ) 50 − 16.5 Lr = 57.85in = 1.47m φMn = φMr = φSX ·(Fy − Fr ) = 0.9·154.9·(50 − 16.5)·70.3 φMn = 328317Kg.cm = 3283Kg·m L p = 1.76·ry

E 1.3 29000 = 1.76· Fy 2.54 50

L p = 21.7in = 0.55m Se tiene que: Si Lr = 1.47 m Si Lp = 0.55 m

φMr = φMp =

328.3 Kg·m 7031 Kg·m

Entonces: Si Lb = 3.0 m > Lr = 1.47 m

φMn = φMcr PÁG. 187


φMcr =


1.0·154.9·1250 2 12542 ·0.0587 φMcr = 0.9· 1+ 2 2.543 ·230.8 2 ( 2·230.8 ) 9876Kip·in = 8.23Kip·foot 12 φMcr = 8.23·138 = 1135Kg·m φMcr =

6º Momento y Cortante Máximo

wD = 400 Kg/m wL = 200 Kg/m Del Cáp. 2 Cargas Sobre Estructuras y Métodos de Diseño, Pág. 30.

w µ = 1.4·w D = 1.4·400 = 560

Kg m

w µ = 1.2·w D + 1.6·w L = 1.2·400 + 1.6·200 = 800

Kg m

Verificación al momento será:

( Mµ )max = M max = 800· ( Mµ )max > φMcr

6.02 = 3600Kg·m 8

…….EL PERFIL FALLA A FLEXIÓN

Verificación al corte será:

h C 35 = = 87.5 t w 0.4 523 523 = = 73.9 50 Fy EL cortante máximo es:

( Vµ )max = 800·

6.0 = 2400Kg 2

Como,

h C 523 > tw Fy

PÁG. 188


Entonces:

φVn = 0.9·0.6 ( 35 + 0.5 + 0.3)· φVn > ( Vµ )max b)

4.52·2050000

(87.5)

2

= 15598Kg

......O.K.

Solución:

Si el momento máximo y la longitud entre apoyos laterales es:

( Mµ )max = M max = 3600·0.00723 = 26Kip − foot L b = 3.0m = 118in = 9.8ft Del diagrama, en la Parte 5 del manual LRFD en AISC-01, Pág. 5-102 y para los valores de Lr, Lp, φbMr y φbMp, Pág. 5-102, el perfil W adecuado es: Lr = 7.93 ft

W10x15

Lp = 7.93 ft Entonces:

ØbMr = 41.4 kip-ft ØbMp = 60 kip-ft

Lp < Lb < Lr

De la ecuación (7.5), Pág.15 se tiene:

 9.8 − 2.86  φMn = 60 − ( 60 − 41.4 )    7.93 − 2.86  φMn = 34.54kip − ft φMn > ( Mµ )max

......O.K.

Verificación al corte:

hC = 15.8 < 59 tw Vn = 0.6 ( 0.23·4 ) 2.542 ·50·70.31 = 12520Kg φVn = 0.9·12520 = 11268Kg φVn > 2400Kg ......O.K. USAR W10x15

PÁG. 189


7.3 DISEÑO A CORTANTE Las vigas se eligen de acuerdo a la capacidad por flexión y luego se revisan por su capacidad a cortante, como se observó en el ejercicio 7.6. La capacidad de diseño por cortante7 en perfiles con un eje de simetría, dos ejes de simetría o perfiles C, es φvVn, donde φv = 0.9, como se muestra en la Figura 7-10. Si se quiere hacer un diseño a corte con mayor precisión véase Cortante por Flexión Capítulo 5, para secciones de forma I y secciones estándar.

Figura 7-9.

a) Para

Definición de h para varias secciones

h E ≤ 2.45 tw Fyw

Entonces:

φVn = 0.6·Fyw ·A w Donde:

Aw = d·tw (Area del alma de la sección). b)

Para

2.45

Entonces:

E h E < ≤ 3.07 Fyw t w Fyw  2.45 E Fyw φVn = 0.9·0.6·Fyw ·A w   h tw 

c)

Para

3.07

   

E h < ≤ 260 Fyw t w

Entonces:

 4.52·E   φVn = A w   ( h t )2  w   7

Véase Design for Shear, Cáp. F del manual AISC-01, Pág. 16.1-35

PÁG. 190


Ejemplo 7.7 Determinar la capacidad a cortante de la sección de la siguiente figura, con un acero A50

h 35 = = 87.5 t w 0.4 Entonces:

2.45

E 29000 = 2.45 = 59.0 Fyw 50

3.07

29000 = 73.9 50

Del inciso (c) de Diseño a cortante, se tiene la siguiente expresión: Si la relación (ancho/espesor) esta en intervalo de:

3.07

E h < ≤ 260 Fyw t w

Entonces la capacidad a cortante es:

 4.52·2050000   φVn = 0.9·0.6(35 + 0.5 + 0.3)   ( 87.5 )2    φVn = 15598Kg

PÁG. 191


PROBLEMAS

Problema 7.1 Diseñar la viga de sección MC de acero A50 como se muestra en la siguiente figura, y verificar a corte . Despreciar el peso propio de la viga.

Problema 7.1 Determinar la máxima carga viva P que puede resistir una viga de acero A36 y sección soldada C como se muestra en la siguiente figura. El peso de la viga es de 12 Kg/m. a) La viga tiene apoyos laterales en A y B. b) La viga tiene apoyos laterales en A, B y C.

PÁG. 192

Flexo-Compresión

8.1 ELEMENTOS SUJETOS A FLEXION Y COMPRESION COMBINADAS Las columnas que son parte de una estructura de acero, soportan en la mayoría de las veces, momentos flexionantes, además de sus cargas usuales de compresión. El montaje de los elementos estructurales es impreciso, porque las cargas axiales no se encuentran exactamente sobre las columnas, esto debido a que los elementos estructurales no permanecen estacionarias, en adición a la carga axial, deben soportar cargas laterales y transmitir momentos entre sus extremos quedando sometidos a esfuerzos combinados debidos a carga axial y a momentos. Para estructuras aporticadas, donde la columna es parte del pórtico la solución ideal es analizar toda la estructura, pero se analiza según el método tradicional que consiste en aislar el miembro individual como base para el diseño, como se muestra en la Figura 8-1.

Figura 8-1.

Flexo compresión de una sección de forma I, a) Simple curvatura, b)Doble curvatura

Un elemento estructural para carga que induce tanto flexión como compresión axial, debe tener en cuenta no solamente los esfuerzos primarios debidos a la carga combinada sino también los efectos secundarios denominados efectos P-delta, que son el resultado de:

PÁG. 193


1)

Incremento de los momentos de flexión ocasionados por el pandeo del elemento que crea una excentricidad δ de la carga de compresión axial con respecto al eje neutro.

2)

Los momentos secundarios producidos en un elemento en un pórtico rígido debido al desplazamiento lateral del pórtico que crea una excentricidad ∆ de la carga de compresión axial con respecto al eje neutro.

8.2 DISEÑO MEDIANTE FÓRMULAS DE INTERACCIÓN Las especificaciones LRFD presenta dos ecuaciones de interacción para determinar la resistencia de un elemento sometido a flexión y compresión axial combinadas. La ecuación a usarse para el diseño depende de la relación entre la resistencia a compresión necesaria Pu , para resistir la carga mayorada y la resistencia nominal a compresión φPn, de la siguiente expresión: a) Para

Pu ≥ 0.2 (φc Pn ) M uy Pu 8  M ux +  + φPn 9  φb M nx φb M ny

b) Para

  ≤ 1.0 

(8.1)

 M ux M uy  Pu + +  ≤ 1.0 2φPn  φb M nx φb M ny 

(8.2)

Pu < 0.2 ( φPn )

Donde:

φ = φc = Coeficiente de resistencia para la compresión = 0.85 x, y Mu Mn

φb

= = = =

Ejes de flexión con respecto a los cuales se aplica un momento Resistencia necesaria a la flexión para resistir la carga mayorada. Resistencia nominal a la flexión Coeficiente de resistencia a la flexión = 0.9

Los momentos pueden determinarse para un miembro en un pórtico rígido mediante análisis de primer y segundo orden.

Análisis de primer orden es cuando una columna como se observa en la Figura 8-2, suponiendo que esta arriostrada contra el ladeo, pero se flexiona lateralmente una cantidad δ como se muestra, esto generará un momento secundario Pu·δ, donde las especificaciones del LRFD indican que el momento M1 es igual al momento debido a cargas por gravedad Mnt mas el momento debido al momento secundario Pu·δ. Para hallar la suma de los dos valores el LRFD asigna un factor de amplificación B1 ≥ 1.0 que estima el efecto de Pu·δ para que una columna este o no soportado en el marco contra el ladeo, el valor de B1 se debe multiplicarse por Mnt

PÁG. 194

FLEXO-COMPRESIÓN

Figura 8-2.

Columna arriostrada contra ladeo

Análisis de segundo orden1 es cuando los extremos de la columna pueden moverse lateralmente entre si como se observa en la Figura 8-3, desplazándose una cantidad ∆ y apareciendo momentos secundarios adicionales Pu·∆ y Mlt. El momento M2 es igual a la suma de estos momentos y al igual que el análisis de primer orden el LRFD asigna un factor de amplificación B1 ≥ 1.0 que estima el efecto de Pu·∆ para que una columna este o no soportado en el marco contra el ladeo, el valor de B1 se debe multiplicarse por Mlt.

Figura 8-3.

Columna no arriostrada

La resistencia Mu debe determinarse considerando los momentos secundarios y para un miembro en un pórtico rígido mediante un análisis de segundo orden es:

M u = B1M nt + B2 M lt 1

Véase Frames and others Structures, en Capitulo C del AISC-01, Pág. 16.1-17. PÁG. 195


Cuando el momento máximo en cualquiera de los extremos es B1 = 1.0, es decir que no hay momento mayor que en los extremos en toda la longitud de la columna , de otra manera se tiene la siguiente expresión para determinar el valor de B1:

B1 = Entonces,

Cm  Pu 1 −  Pe

Pe = Donde:

  

≥1

A g ·Fy λc

(8.3)

(8.4)

2

Pu = Resistencia axial que necesita la columna Pe = Resistencia al pandeo de Euler2 La fórmula para B2 proporcionada por el LRFD, propone que se pueden usar cualquiera de las dos expresiones siguientes:

1  ∆  1 − ∑ Pu  oh   ∑ HL    1 B2 = ∑ Pu 1− ∑ Pe B2 =

Donde:

(8.5)

(8.6)

ΣPu = Resistencia axial necesaria por todas las columnas de un piso. ∆oh = Deflexión de traslación del piso en consideración (∆oh/L = indice de ladeo). ΣH = Suma de todas las fuerzas horizontales del piso que produce ∆oh. L = Altura del piso.

En la expresión (8.3) se adiciona un término denominado factor de reducción, y su objetivo es reducir el valor de B1 cuando es muy grande. Para los miembros en compresión restringidos en pórticos arriostrados contra traslación de las uniones y no sometidos a carga transversal entre sus apoyos en el plano de flexión.

Cm = 0.6 − 0.4

M1 M2

(8.7)

Donde M1/M2 es la relación entre el momento menor y el mayor en los extremos sin soporte lateral en el plano de flexión que se este considerando. La relación es negativa si los momentos generan curva simple en el elemento y positiva si generan curvatura doble, como se observó en la Figura 8.1. Según las especificaciones del LRFD3 el valor del factor de reducción para elementos con extremo restringido es Cm = 0.85 y para elementos con extremo no restringido Cm = 1.0. 2

Véase Fórmulas del reglamento AISC para compresión método LRFD para columnas, Capítulo 4, Pág.13

PÁG. 196

FLEXO-COMPRESIÓN

8.3 METODO DE LA CARGA AXIAL DE COMPRESION EQUIVALENTE Este método es un procedimiento de tanteos para escoger desde el principio una sección no exacta y adecuada haciendo uso de las cargas tabuladas y proporcionada por las fórmulas de interacción del LRFD. Igualar la ecuación (8.1), se tiene:

M uy  Pu 8  M ux +  +  = 1.0 φc Pn 9  φb M nx φb M ny 

(8.7)

Entonces:

Pu +

8 φc Pn 9 φb

M M uy   ux +  = φc Pn = Pef  M nx M ny 

Por lo tanto la ecuación se puede escribir como sigue:

Peq = Pu + m·M ux + m·U·M uy

(8.8)

El factor m y U están tabulados en la Tabla 3.2 del AISC-96, Pág.3-12, para hacer el primer tanteo se tiene la Tabla 8-1, con los perfiles mas económicos pero no para la sección más ligera.

m KL, ft

10

12

14

16

18

20

≥ 22

U

W4 W5 W6 W8 W10 W12 W14

4.3 4.7 3.8 3.6 3.1 2.5 2.2

3.1 3.8 3.2 3.5 3.0 2.5 2.0

2.3 2.9 2.8 3.4 3.0 2.4 2.0

1.9 2.3 2.4 3.1 2.9 2.4 2.0

1.8 2.3 2.8 2.8 2.4 2.0

1.7 1.9 2.4 2.5 2.4 2.0

1.8 2.4 2.4 2.4 2.0

1.4 1.3 1.9 1.5 1.5 1.5 1.5

Tabla 8-1.

Valores de m y U de la ecuación (8.8), con Fy = 36 ksi.

Para aplicar este método, primero se tiene que obtener la primera aproximación en función de las fórmulas de interacción, si el valor de m es igual a 2, se despeja el Pef de la ecuación, seleccionar una de las columnas de la tabla, luego se halla el valor de U. Se elige otro perfil y continuar el proceso hasta que m y U se equilibren. Luego de elegir el perfil adecuado, es necesario revisar la columna con las ecuaciones de interación (8.1) o la (8.2). En el manual del AISC-01, existen tablas para columnas cargadas axialmente y nos indican otra manera de hallar un perfil aproximado, mediante la ecuación (8.8) hallando el valor de Pef y el valor de KL se va a las Tablas de diseño para columnas cargadas axialmente buscando la intersección de los valores calculados hallando el perfil indicado. 3

Véase Design by Elastic Analysis en AISC-01, Pág. 16.1-18, inciso b). PÁG. 197


8.4 PLACAS BASE PARA COLUMNAS Tres son los casos que se consideran para el diseño de placas base para columnas, cada uno de ellos encierra diferentes cargas. Estas se muestran en la Figura 8.4. El primero es una columna cargada axialmente, mostrada en la Figura 8.4a, donde la carga es perpendicular a la placa y pasa por el eje centroidal de la columna. Es usada en elementos donde las bases de las columnas se asume que son fijas a la fundación. El segundo caso como se muestra en la Figura 8.4b, son incluidos la carga axial y un momento. Esta clase de conexión es usada con frecuencia cuando la carga es excéntrica a la columna y el momento resultante debe ser resistido por la base de la conexión. Si el momento es pequeño, conexión puede ser diseñado sin el uso de pernos de anclaje. El caso mas común involucra el uso de uno o mas pernos que resisten la tensión resultante del momento. El tercer caso que se muestra en la Figura 8.4c, es una placa base con una carga horizontal o carga cortante. Este caso ocurre en elementos rígidos. A menudo la componente de la fuerza de corte es pequeño en relación a la fuerza de fricción desarrollada entre la placa base y la fundación.

Figura 8-4.

Casos de placa base para columnas: a) Carga Axial, b) Carga Axial y Momento, c) Carga Axial y Cortante

8.4.1 DISEÑO A CARGA AXIAL DE PLACAS BASE El método usado para el diseño de placas sometidas a una carga axial, según el manual del LRFD, la carga sobre la columna Pu , es la siguiente:

Pu = φc Pp = 0.85·φc ·f c′

A2 ≤ 0.70·f c′ A1

Donde: φc = Factor de resistencia del concreto igual a 0.6 Pp = Estado límite del concreto en la conexión.

PÁG. 198

FLEXO-COMPRESIÓN

En el LRFD el momento plástico es usado para determinar la capacidad de la plancha, y es igual a Z·Fy , donde Z es el módulo plástico de la sección, y es igual al tp2/4 para 1.0 pulgada.

Figura 8-5. a) Columna sometida a carga axial, b) Sección Crítica, c) Determinación del canto útil

El procedimiento para el diseño de placas para columnas sigue el siguiente procedimiento: 1. Determinar el valor de Pu 2. El área requerida de la placa cuadrada es:

A1 =

Pu 1.7·φc ·f c′

Donde Pu es la carga mayorada. Para placas de sección rectangular se tiene:

 Pu 1  A1 =   A 2  ( 0.6·0.85·f c′ )  3.

2

Las dimensiones de la placa, B y N, deben ser determinados los valores de m y n :

N = A1 + ∆ PÁG. 199


Donde:

∆ = 0.5 ( 0.95·d − 0.8·b f ) A B= 1 N 4.

Determine m y n.

m=

(N − 0.95·d) 2

n=

(B − 0.8·d) 2

5. Determine el espesor requerido tp basado en m y n (elegir el mayor valor):

t p = ( m..ó..n )

2·Pu 0.9·Fy ·B·N

6. Las dimensiones mínimas del pedestal de concreto son determinados por:

A 2 = 4·N·B 8.4.2 DISEÑO A MOMENTO DE PLACAS BASE En el diseño a momento de placas base, dos son las condiciones que se deben considerar, la carga axial conjuntamente con un momento. Uno se basa en el comportamiento elástico y el otro en el estado último de rotura. Para el diseño según el método elástico existen tres diferentes variaciones, como se muestra en la Figura 8.7.

Figura 8-5. Análisis elástico para carga axial y momento a) Fuerzas resultantes de la distribución de esfuerzos, b) Caso General entre la placa y la fundación de concreto.

PÁG. 200

FLEXO-COMPRESIÓN

Si la excentricidad equivalente e es igual o menor que N/6, existe en toda la superficie de contacto un apoyo compresivo. Esta distribución de esfuerzos se observa en la Figura 8.5c.

e=

M N ≤ P 6

Figura 8-5c. Análisis para pequeña o moderada excentricidad.

Los esfuerzos son calculados mediante la siguiente expresión4:

f1,2 =

P Mc ± BN I

Donde : B y N = Dimensiones de la placa. c = N/2 I = Es el momento de Inercia, BN3/12 Cuando se usa el método LRFD, el diseño se basa en el comportamiento elástico, donde el máximo esfuerzo f1 no debe exceder la siguiente expresión:

0.85·φc ·f c′

A2 ≤ 1.7·φc ·f c′ A1

Si la excentricidad equivalente e esta entre N/6 y N/2, y la distribución de esfuerzos solo se da en una porción de la placa, como se muestra en la Figura 8.5a. El máximo esfuerzo f1 se expresa como:

f1 =

2·P A·B

Donde: A = Distancia de la distribución de esfuerzos. A= 3(N/2 - e). 4

Design of Base Plates with moments de Column Base Plates, Pág. 18 PÁG. 201


El procedimiento para el diseño de placas para columnas sigue el siguiente procedimiento: 1. Determinar la carga y momento mayorados. 2. Determinar el máximo esfuerzo admisible.

Fp = 0.85·φc ·f c′

A2 ≤ 1.7·f c′ A1

3. Asumir dimensiones de la Placa, N y B. 4. Determinar la excentricidad equivalente, e = M/P, y la máxima distribución de esfuerzos. Si cumple el paso 2, ir al siguiente paso, de otra forma retornar al paso. 5. Determinar el espesor de la placa, basado en una distribución elástica de esfuerzos, usando la sección critica como sigue:

tp =

4·M plu 0.9·Fy

Donde Mplu es el momento para 1 pulgada de ancho de faja.

8.4.3 DISEÑO A CORTE DE PLACAS BASE Para el diseño a corte de placas base, el LRFD considera una carga muerta y una porción de la carga viva generando la fuerza de corte. El cortante de diseño se basa en 0.85· φc· fc’ con φc = 0.60. En la mayoria de los casos se hace uso de conectores de corte.

Figura 8-6. Conector de corte.

PÁG. 202

FLEXO-COMPRESIÓN

El procedimiento para el diseño de placas para columnas sigue el siguiente procedimiento: 1. Determinar la porción de esfuerzo el cual pude ser tranferido por fricción igual a µ multiplicado por la carga por cortante última, adicionando la carga viva que genera la fuerza de corte. 2. El área requerida para el conector de corte es:

A lg u =

Vlg u 0.85·φc ·f c′

3.

Determinar las dimensiones del conector de corte asumiendo que la cortante acurre en debajo en la unión de la placa con la fundación. 4. El momento Mlgu actua en una unidad de longitud del conector de corte y es:

 Vlg u M lg u =   W

 (H + G)    2  

Donde: W = El ancho del conector de corte [cm] H = La profundidad del conector de corte [cm] G = Espesor del concreto donde se ubica el conector de corte [cm] como se muestra en la Figura 8.6. 5. Para determinar el espesor del conector de corte el LRFD se basa en una expresión usada para placas sujeta a momentos.

t lg =

4·M lg u 0.9·Fy

PÁG. 203


Ejemplo 8.1 De la estructura que se muestra en la figura seleccione un perfil W económico y adecuado que satisfaga las condiciones de resistencia de un elemento sometido a flexión y compresión axial combinadas. Usar acero A36.

Del Ejemplo 2.1, Capitulo 2, para determinar las fuerzas axiales y momentos de toda la estructura puede usarse un método numérico con ayuda de una computadora para obtener una evaluación más precisa de la resistencia última de la viga-columna. Luego analizar una columna IJ de 3.20 m de largo que está sometida a una carga axial de compresión de P = 120 ton y Momentos como se muestran en la figura. Dirección X M1x = 12 ton·m M2x = 15 ton·m Dirección Y M1y = 2 ton·m M2y = 8 ton·m

PÁG. 204

FLEXO-COMPRESIÓN

Donde: M1 es el menor momento M2 es el mayor momento Si se pandea en doble curvatura entonces:

M1 >0 M2

Positivo

Si se pandea en doble curvatura entonces:

M1 Negativo <0 M2 1º Calcular el factor de reducción Cmx y Cmy Cmx = 0.6 − 0.4

M1x  12  = 0.6 − 0.4  −  = 0.92 M 2x  15 

Cmy = 0.6 − 0.4

M1x  2 = 0.6 − 0.4  +  = 0.50 M 2x  8

2º Determinar el valor de Pelas mediante la fórmula de Euler Los valores del coeficiente de esbeltez5 fueron hallados en el ejercicio 4.1 del Capitulo.4 y son los siguientes:

Kx = 1.87 Ky = 1.70

5

Véase Fórmula de Euler para elementos sometidos a compresión, Cáp. 4, Pág. 5 PÁG. 205


Probar un perfil w24x76, de la tabla del Anexo 8.2 y Anexos 8.4-8.5 se tiene:

Lr = 23.4 ft = 7.13 m Lp = 8.0 ft = 2.44 m Lb = 3.20 m 4

φMr = 343 Kip-ft = 47334 Kg·m φMp = 540 Kip-ft = 74520 Kg·m A = 22.4 in2 = 144.52 cm2 rx = 9.69 in = 24.61 cm ry = 1.92 in = 4.88 cm 3 3 Zx = 200 in = 3277.40 cm

4

Ix = 2100 in = 87408.60 cm 4 4 Iy = 82.5 in = 3434 cm 3 3 Zy = 28.6 in = 468.70 cm

Como Lp < Lb < Lr , hacer una interpolación lineal.

 Lb − Lp  φMn = φMp − ( φMp − φMr )   L r − L p     3.20 − 2.44  φMn x = 74520 − ( 74520 − 47334 )    7.13 − 2.44  φMn x = 70114.60Kg·m φMn y = φMp y = φ·Z y ·Fy = 0.9·468.70·(36·70.31) φMn y = 1067719Kg·m Entonces:

PelasX = PelasX = PelasY =

π2 ·E·I x

( K x ·L )

2

=

π2 ·2050000·87408.6

(1.87·320 )

= 4938836Kg

4938836 = 10888Kips 453.6 π2 ·E·I y

( K ·L )

2

=

π2 ·2050000·3434

y

PelasY =

2

(1.70·320 )

2

= 234777.30Kg

234777.30 = 517.6Kips 453.6

3º Cálculo del factor de amplificación

B1x =

B1y =

Cm  Pu 1 −  PelasX Cm  Pu 1 −  PelasY

     

=

=

0.92 = 0.94 ≤ 1.0 120000   1 −   4938836  0.50 = 1.0 ≤ 1 120000   1 −   234777.30 

B1x = 1.0

B1y = 1.0

M ux = B1M nt = 1.0·15000 = 15000Kg·m M uy = B2 M lt = 1.0·8000 = 8000Kg·m PÁG. 206

FLEXO-COMPRESIÓN

4º Cálculo de φPn = φPcr

K x ·L x 1.87·320 = = 24.32 rx 24.61 K y ·L y ry

=

1.70·320 = 111.48 4.88

Usar

K·L = 111.50 r

De la tabla 4.2 del Capitulo 4, interpolando se tiene:

φc Fcr = 1118

Kg cm 2

Entonces:

φc Pcr = φc Pn = A·φc Fcr = 144.52·1118 φc Pcr = 161573.36Kg Pu 120000 = = 0.74 > 0.2 ( φPn ) 161573.36

Usar la ecuación (8.2)

De la ecuación (8.2), se tiene la siguiente expresión:

M uy  Pu 8  M ux +  +  ≤ 1.0 φPn 9  φb M nx φb M ny  8  15000 8000  0.74 +  +  = 0.93 ≤ 1.0 9  70114.60 1067719 

.....CUMPLE

Se recomienda que el valor hallado sea en un rango de 0.8-0.95 para que sea considerado como adecuado y económico, en caso contrario del perfil asumido probar con otro perfil de sección adecuada y económica.

Método de la carga axial de compresión equivalente El método de la carga axial de compresión equivalente se obtiene de una aproximación de los posibles perfiles que se usan para diseñar columnas sometidas a flexo-compresión. Para el ejercicio anterior,

120000 = 265Kips 453.6 150000 M µx = = 109Kip − ft 138 8000 M µy = = 58Kip − ft 138

P=

PÁG. 207


K x ·L x = 1.87·320 = 598.4cm = 19.6ft

K x ·L x = 19.6ft

K y ·L y = 1.70·320 = 544cm = 17.85ft Primera Aproximación

De la tabla del Anexo 8.1 se tiene los siguientes valores,

m = 1.52 U = 2.0 entonces:

Peq = Pu + m·M ux + m·U·M uy Peq = 265 + 1.52·109 + 1.52·2.0·58 = 607Kips Según la tabla en el Anexo 8.1 se halla los posibles perfiles para diseño: W10x112 W12x96 W12x106

Pu = 671 kips Pu = 636 kips Pu = 706 kips

Siguiente Aproximación De la tabla del Anexo 8.1 se tiene los siguientes valores,

U = 1.54 m = 1.44 entonces:

Peq = Pu + m·M ux + m·U·M uy Peq = 265 + 1.44·109 + 1.44·1.54·58 = 551Kips Según la tabla del Anexo 8.3, se hallan los posibles perfiles para diseño: W10x100 W12x87

Pu = 594 kips Pu = 575 kips

Una vez determinado los posibles perfiles para de diseño de la columna, verificar cada una de las secciones siguiendo el diseño mediante las fórmulas de interacción, se recomienda elegir el perfil de menor peso y que su sección sea semejante a la sección de la viga que conecte a la columna para que la unión sea adecuada y segura.

PÁG. 208

FLEXO-COMPRESIÓN

Ejemplo 8.2 Determinar si la columna EO de acero A36, resiste las cargas PD = 15 ton y PL = 10 ton, como se muestra en la siguiente figura. En el extremo O y E se tiene :

M Dx = +3000Kg·m

M Dy = −6000Kg·m

M Lx = +2750Kg·m

M Ly = −4875Kg·m

AO : BO : CO :

L = 4.50 m L = 5.00 m L = 4.00 m

C 200x50x15x4 HSS 6x4 6x4x7/8

L DO : L = 6.50 m U C12x30 FO : L = 6.00 m H W4x13 EO : L = 5.00 m I W14x90 Para el elemento AO: C 200x50x15x4 , se tiene: I x = 641.5cm 4 I 641.5 = = 1.43 L 650 Para el elemento DO: U C12x30, se tiene:

I y = 5.12in = 213.1cm 4 I 213.1 = = 1.43 L 500 PÁG. 209


Para el elemento CO: L 6x4x7/8, se tiene:

I x = 27.6in = 1148.8cm 4 I 1148.8 = = 2.87 L 400 Para el elemento FO:

H

W4x13, se tiene:

I y = 3.86in = 160.7cm 4 I 160.7 = = 0.27 L 600 Para el elemento BO: % HSS 6x4 , se tiene:

I x = 34in = 1415.2cm 4 I 1415.2 = = 2.18 L 650 I y = 17.8in = 740.9cm 4 I 740.9 = = 1.14 L 650 Para el elemento EO:

I

W14x90, se tiene:

I x = 999in = 41582cm 4 I 41582 = = 83.2 L 500 I y = 362in = 15068cm 4 I 15068 = = 30.1 L 500 Del capítulo 4, compresión axial en columnas, entonces: En el plano x-z:

1.14 + 30.1 = 16.8 1.43 + 0.43 G E = 10 GO =

De la Figura 4-106, para pórticos desplazables, el valor del coeficiente de esbeltez es

Kx = 3.35

6

Véase Nomograma para la longitud efectiva de columnas en pórticos continuos desplazables en el AISC-01, Pág. 16.1-191 y en la Figura 4-10, Pág. 11, Compresión Axial en el Capítulo 4.

PÁG. 210

FLEXO-COMPRESIÓN

En el Plano y-z:

218 + 83.2 = 27.2 2.87 + 0.27 G E = 10 GO =

De la Figura 4-87, para pórticos indesplazables, el valor del coeficiente de esbeltez es Ky = 0.98. La carga a la compresión mayorada, es:

Pµ = 1.2·PD + 1.6·PL Pµ = 1.2·15 + 1.6·10 = 34ton Entonces: En X :

K·L 3.35·500 = = 178 < 200 ry 3.7·2.54

......O.K.

En Y :

K·L 0.98·500 = = 31.4 < 200 rx 6.14·2.54

......O.K.

De la Tabla 4-3, se tiene que el valor del esfuerzo de diseño es φcFcr = 473 Kg/cm , entonces: 2

φPcr = φPn = AS ·φc Fcr = 473·26.5·2.542 = 80868Kg De la relación Pu y φPn, se tiene la siguiente expresión:

Pµ φPn

=

34000 = 0.43 > 0.2 80868

Usar la ecuación (8.1)

Calcular el factor de reducción Cmx y Cmy

Cmx = Cmy = 0.6 Pel·x = Pel·y =

7

π2 ·E·I y

( K·L )

2

π2 ·E·I x

( K·L )

2

= =

(M

1x

= M1y = M E = 0 )

π2 ·2050000·15068

( 0.98·500 )

2

π2 ·2050000·41582

( 3.35·500 )

2

= 1268459Kg = 299563Kg

Véase Nomograma para la longitud efectiva de columnas en pórticos continuos indesplazables en el AISC-01, Pág. 16.1-191 y en la Figura 4-8, Pág. 9, Compresión Axial en el Capítulo 4. PÁG. 211


Cálculo del factor de amplificación Cmx 0.6 B1x = = = 0.68 < 1.0  Pµ   1 − 34000  1 −   299563    P el·y   Tomar B1x = 1.0

B1y =

Cmy Pµ   1 −   Pel·x 

=

0.6 = 0.62 < 1.0 34000   1 −   1268459 

Tomar B1y = 1.0 Probar un perfil w14x90, de la tabla del AISC-01 se tiene los siguientes valores:

Lr = 15.4 ft = 4.69 m Lp = 54.1 ft = 16.49 m Lb = 5.0 m 3

φMr = 279 Kip-ft = 38502 Kg·m φMp = 424 Kip-ft = 58512 Kg·m 3

Zy = 75.6 in = 1239 cm

Para un Lb = 5.0 m la capacidad del momento nominal Capítulo 7, es:

φMn,

de la ecuación (7.15) del

 Lb − Lp  φMn = φMp − ( φMp − φMr )   L r − L p     5.0 − 4.69  φMn y = 58512 − ( 58512 − 38502 )   = 57986Kg·m  16.49 − 4.69  φMn x = φZ y ·Fy = 0.9 ( 75.6·2.543 ) ( 36·70.31) = 2822182Kg·m De la ecuación (8.1)

M µy  8  M µx +  +  ≤ 1.0 φPn 9  φb M nx φb M ny  8  5750 10875  0.43 +  +  = 0.6 ≤ 1.0 9  2822182 57986  Pµ

...... CUMPLE

PÁG. 212

FLEXO-COMPRESIÓN

Ejemplo 8.3 Diseñar una placa para una columna de sección W10x100 (del AISC se tiene: d = 11.10 in, bf = 10.34 in), que soporta una carga muerta de 85.28 Ton y una carga viva de 153.31 Ton, soportada sobre un pedestal de 64x64 cm. La resistencia del concreto es de fc’= 210 Kg/cm3 y la fluencia del acero es de Fy = 36 ksi 1. Determinar el valor de Pu

Pu = 1.2 ( 85.28 ) + 1.6 (153.3) = 347.62Ton 2. El área requerida de la placa es:

A 2 = 64x64 = 4096cm 2 2

 1  347620 2 A1 =   = 2572cm 4096  ( 0.6·0.85·2100 )  3.

Las dimensiones de la placa, B y N, deben ser determinados los valores de m y n :

∆ = 0.5 ( 0.95·11.10 − 0.8·10.34 ) = 1.13in ≈ 2.87cm Entonces:

N = 2572 + 2.87 = 53.58cm Usar 54 cm. Luego se tiene que :

2572 = 47.63cm ≈ 48cm 54 Determine m y n. B=

4.

m=

(54 − 0.95·28.19) = 13.61cm 2

n=

(48 − 0.8·26.26) = 13.5cm 2

5. Determine el espesor requerido tp basado en m y n (elegir el mayor valor):

t p = 13.61 Usar : 1

2·347620 = 4.7cm 0.9·2500·48·54

7/8

in.

PÁG. 213


Ejemplo 8.4 Diseñar la placa base para una carga muerta de 22.68 Ton y una carga viva de 40.82 Ton, respectivamente, con un momento de carga viva de 115.21 Ton·cm y un momento por carga muerta de 207.38 Ton·cm, respectivamente, el valor de d es 28.2 cm. La razón A1/A2 de las areas tanto del concreto como de la placa es unitario. La resistencia del concreto es de fc’= 210 Kg/cm3 y la fluencia del acero es de Fy = 36 ksi. 1. Determinar la carga y momento mayorados.

Pu = 1.2 ( 22.68 ) + 1.6 ( 42.82 ) = 95.73Ton

M u = 1.2 (115.21) + 1.6 ( 207.38 ) = 470.10Ton·cm 2. Determinar el máximo esfuerzo admisible.

Fp = 0.85·0.60·210 1 = 107.10Kg / cm 2 ≤ 357Kg / cm 2 3. Asumir dimensiones de la Placa, N = 40.5 cm y B= 30.5 cm. 4. El valor de la excentricidad equivalente es:

 M + M L   115.21 + 207.38  e= D =  = 5.0cm  PD + PL   22.68 + 42.82  Este valor es menor que:

e = 5.0cm ≤

40.5 = 6.8cm 6

Entonces la distribución de esfuerzos ocurre en toda la placa como se muestra en la Figura 8.5c.

f1,2

 40.5  470100·  95730  2  = 133.87, 21.12 Kg = ± 30.5·40.5  30.5·( 40.5 )3  cm 2     12  

El esfuerzo admisible es excedido.

5. Asumir dimensiones de la Placa, N = 43.2 cm y B= 35.6 cm. 6. 43.2/6 = 7.2 cm, la distribución de esfuerzos ocurre en toda la placa como se muestra en la Figura 8.5c.

f1,2

 43.2  470100·  95730  2  = 104.7,19.8 Kg = ± 35.6·43.2  35.6·( 43.2 )3  cm 2     12  

La dimensión es satisfactoria.

PÁG. 214

FLEXO-COMPRESIÓN

7.

La sección crítica es (43.2 - 0.95·28.2)/2 = 8.21 cm del eje. Donde el momento Mplu a 1 plg. del canto de la sección es de:

M plu

 87.18·( 8.21)2   15.47·( 8.21)2 ·1.70  +  = 3.82Ton·cm =     2 2    

Entonces:

tp =

4·3824 = 2.59cm ≈ 1.0in 0.9·2530

Usar 14 in x 1.0 in x 1.0 ft 5 in.

Ejemplo 8.5 Diseñar un conector de corte para una placa de 35.6 cm2, sujeta a una carga muerta de 54.43 Ton y una carga viva de 68.04 Ton, y una fuerza de corte de 25 Ton, que resulta de una carga de viento. La placa base y el conector de corte tienen una fluencia del acero es de Fy = 36 ksi y fc’= 210 Kg/cm3. 1. El plano de contacto entre el concreto y la placa base existe un valor de µ =0.55.

A lg u = 1.3 ( 25000 ) − 0.55 0.90 ( 54430 )  = 5557.15

Kg cm 2

2. El área requerida para el conector de corte es:

A lg =

5557.15 = 51.89cm 2 0.85·0.60·210

3. Asumir un ancho del conector de corte W = 21 cm, entonces:

H−G =

51.89 = 2.47cm ≈ 2.5cm 21

Asumir una profundidad de H de 5 cm y G de 2.5 cm. 4. El momento Mlgu actua en una unidad de longitud del conector de corte y es:

 5557.15   ( 5.0 + 2.5 )  M lg u =   = 992.35Kg·cm / cm  2  21    5. El espesor del conector de corte es:

t lg =

4·992.35 = 1.33cm ≈ 0.53in 0.9·2500

Usar un conector de 8 in x 2 in x 9/16 in.

PÁG. 215


PROBLEMAS

Problema 8.1 Determinar la máxima carga viva PL que puede resistir la columna AB de la figura. La carga muerta PD = 80 ton. El acero usado es A36. En la dirección del eje x, los perfiles C tienen el alma dirigida perpendicularmente al plano x-y y en dirección del eje y, se encuentran con el ala perpendicular al plano x-y, como se muestra en el detalle del nudo A.

AB : CA :

L = 8.50 m L = 4.00 m

12x8x1/2 U C10x25

DA :

L = 3.00 m

FA :

L = 5.00 m

EA :

L = 5.00 m

U C10x30 C C12x30 C C12x25

Problema 8.2 Diseñar la columna EF del pórtico que se muestra en la siguiente figura. El acero tiene una 2 fuerza Fy = 3500 Kg/cm . Donde el Pu =120 ton: En el plano ABEF se tiene los siguientes momentos:

φMx F = 120ton·m φMx E = 96ton·m

En el plano EFGH se tiene los siguientes momentos:

φMy F = 80ton·m φMy E = 80ton·m

PÁG. 216

FLEXO-COMPRESIÓN

BD :

L = 6.00 m

BF :

L = 10.0 m

DH :

L = 10.0 m

EO :

L = 6.00 m

I I I I

W21x62 W21x132 W21x132 W21x62

PÁG. 217

Uniones Soldadas

9.1 CONEXIONES SOLDADAS Las conexiones soldadas se usan frecuentemente en estructuras de acero debido a su simplicidad de diseño, tienen la ventaja de ser económicas porque el uso de soldadura permite grandes ahorros en el peso de acero utilizado y elimina las placas de unión y de empalme usadas en las estructuras remachadas o atornilladas, requiere menor personal al momento de hacer las uniones, la zona de aplicación de la soldadura es mucho mayor que los pernos por ejemplo en una sección tubo es difícil conectar con pernos a otra sección, pero una conexión soldada no presenta dificultades, se pueden hacer cambios y correcciones de diseño durante el montaje a un costo menor si se usa soldadura, si la estructura de acero se encuentra cerca de hospitales, escuelas, oficinas, es irritante escuchar el sonido ensordecedor de las máquinas perforadoras, trabajo de remachado, etc., otra ventaja es el escaso sonido al momento de construir con soldadura. Una soldadura debe protegerse utilizando un electrodo recubierto con ciertos compuestos minerales. Las soldaduras hechas con arco eléctrico1 hacen que el recubrimiento se funda, creando un gas inerte o vapor alrededor del área que se suelda. Este vapor alrededor del metal fundido actúa como un protector y lo protege de quedar en contacto directo con el aire que circula alrededor de del área soldada como se observa en la Figura 9-1.

Figura 9-1. 1

Proceso de soldadura de arco metálico protegido.

Sir Humphry Dhabi en 1801 descubrió con su ayudante Michael Faraday como crear un arco soldado.

PÁG. 218

UNIONES SOLDADAS

9.2 TIPOS DE SOLDADURA Los principales tipos de soldadura mas usados en estructuras de acero son la soldadura de tope, soldadura de filete longitudinal y transversal, soldadura de punto o de ranura.

9.2.1 SOLDADURA TOPE DE PENETRACIÓN COMPLETA (COMPLETE JOINT PENETRATION GROOVE WELD) Es cuando la soldadura está sujeta a tracción o compresión axial y el material de la soldadura se fusionan con el metal base a través de la profundidad de la unión, preparando la plancha haciendo un bisel. La soldadura de penetración completa2 se lo realiza soldando dos lados de la junta, esta soldadura se observa en la Figura 9-2.

Figura 9-2.

Soldaduras Tope de Penetración completa en doble-V.

9.2.2 SOLDADURA TOPE DE PENETRACIÓN PARCIAL (PARTIAL JOINT PENETRATION GROOVE WELD) La soldadura de penetración parcial se usan cuando las fuerzas que actúan en la soldadura son pequeñas, la profundidad de la soldadura puede ser menor que el espesor de la unión soldada. Las soldaduras de surco hechas desde un lado sin una placa son también soldaduras de penetración parcial como se muestra en la Figura 9-3. Se usan para empalmes en columnas de edificios de acero con cargas axiales puras

Figura 9-3. 2

Soldaduras Tope de Penetración parcial en V.

Véase Design Considerations for Welds, Part 8, Pág. 8.1 en el AISC-01.

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9.2.3 SOLDADURA DE FILETE (FILLET WELDS) Las soldaduras de filete son de dos tipos: soldadura de filete longitudinal y de filete transversal, se usan para unir dos superficies aproximadamente en ángulos rectos entre sí, estos tipos de soldadura son más resistentes a tracción y compresión que al corte .

Figura 9-5.

Soldadura de filete longitudinal; a) vista en planta, b) vista transversal, c) vista isométrica.

La soldadura de filete transversal al igual que la soldadura de filete longitudinal, se usan para unir dos superficies la diferencia es que la soldadura se ubica transversal a la sección de la plancha, estas uniones pueden ser traslapadas, junta en T, soldaduras de surco para reforzar uniones de esquina como se observa en la Figura 9-5.

Figura 9-4.

Soldaduras de filete transversal; a) traslapada transversal, b) Junta en T, c) Junta de esquina.

El tamaño de la soldadura esta determinada por el espesor de la garganta teórica, la distancia más corta de la raíz (intersección de los catetos) a la cara (hipotenusa) de la soldadura, si el tamaño de los catetos son desiguales, el tamaño nominal de la soldadura (D), será el más corto de ellos. Cuando las soldaduras de filete están sometidas a ruptura fallan por corte en ángulos aproximados de 45º a través de la garganta teórica como se observa en la Figura 9-6a, para filetes de lados iguales y la garganta teórica a 45º, el espesor de la garganta teórica es t = 0.707·D. Si las soldaduras son cóncavas tienden a agrietarse por la tracción existente en su cara debido al efecto del enfriamiento, entonces la garganta teórica disminuye y ocurre lo mismo con la resistencia como se observa en la Figura 9-6b, y si es

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UNIONES SOLDADAS

convexa, la contracción debida al enfriamiento no provoca tracción en la cara de la soldadura, sino al contrario, se produce compresión.

Figura 9-6.

Soldaduras de; a) superficie convexa, b) soldadura cóncava.

La garganta y la cara teórica, en (b) de la Figura 9-6, no debe sobrepasar la cara de la soldadura, si esta sobrepasase entonces la soldadura no sirve. La garganta teórica también es denominada como garganta efectiva (effective Thoat), y por tanto para el diseño no interesa que clase de esfuerzo se tenga en la soldadura de filete se diseña para que el área efectiva resista al corte y es:

A ef = G ef ·L

Donde:

Aef = Area efectiva de la soldadura. Gef = Garganta efectiva de la soldadura. L = Longitud de la soldadura. 9.2.4 SOLDADURA DE PUNTO O DE RANURA (PLUG OR SLOT WELDS) Este tipo de soldaduras se realizan con las partes traslapadas en contacto, depositando la soldadura en agujeros de punto circulares o de ranura en una parte. Estas aberturas pueden rellenarse parcial o totalmente, dependiendo de su profundidad, se usan para transmitir el esfuerzo cortante en uniones traslapadas y para impedir el pandeo de las partes traslapadas3, como se observa en la Figura 9-7.

Figura 9-7.

Soldadura de Punto y Ranura a) vista en planta, b) vista transversal, c) vista isométrica.

Para asegurarse de una buena soldadura en un trabajo determinado, en estructuras de acero se debe considerar lo siguiente: establecer buenos procedimientos de soldadura, 3

Véase Connections, Joints, and Fasteners, Pág. 16.1-230, en el reglamento del AISC-01.

PÁG. 221


usar soldadores calificados y emplear inspectores competentes en el taller y en la obra, los pasos que se mencionaron son muy importantes para cuando se hacen soldaduras de tope que es la mas peligrosa, porque la tracción esta directamente en la soldadura, para este tipo de soldaduras se usan electrodos precisos (Matching electrode), dependiendo de la resistencia del acero donde se realiza la soldadura. Para denotar o identificar los tipos de soldaduras se lo realiza mediante símbolos4, desarrollados de acuerdo a normas, con este sistema toda la información necesaria sobre el tipo de soldadura que se debe construir se lo realiza con esquemas ocupando espacios reducidos en los planos y dibujos de ingeniería, eliminando la necesidad de dibujos de soldadura, y hacer extensas notas de ingeniería. En la Figura 9-8, se observa diferentes procesos de soldadura en edificios de acero.

Figura 9-8.

a) Soldadura vertical de una unión viga-columna , b) Soldadura de empalme de una columna

9.3 ESFUERZO RESULTANTE Referente a la garganta efectiva (t), se considera equivalente al esfuerzo cortante al determinar la fuerza permisible sobre una longitud unitaria de soldadura, donde el eje z es arbitrario a lo largo de la garganta del filete y los eje x y y están comprendidos en los planos superficiales de la junta T como se muestra en la Figura 9-9b, la región arriba de las líneas A-A-A es removida como se observa en la Figura 9-9a. El esfuerzo resultante fr, con componentes fx, fy, fz debe ser inferior a φ·FExx entonces esfuerzo resultante es:

fr = fx 2 + f y2 + fz2 El uso del criterio del esfuerzo resultante es adecuado en muchas pruebas de conexiones soldadas, incluso en las cargas excéntricas.

4

Véase Design Tables, Precualified Welded Joints, Table 8-3, Pág. 8-31 del AISC-01.

PÁG. 222

UNIONES SOLDADAS

Figura 9-9.

Criterio de esfuerzo resultante; a) componentes de esfuerzo y esfuerzo resultante, b) junta T.

9.4 RESISTENCIA DE LAS SOLDADURAS En soldaduras el electrodo deberá tener las propiedades del metal base, para cada tipo de acero hay un electrodo que se usa en soldadura, la resistencia de los electrodos puede denotarse como Exxx, de acuerdo con su nomenclatura el electrodo tiene cierta resistencia a la tracción y se muestran en la Tabla 9.1. Electrodos

Resistencia a la Tracción

E60XX E70XX E80XX E90XX E100XX E110XX

60 ksi 70 ksi 80 ksi 90 ksi 100 ksi 110 ksi

Tabla 9-1.

Electrodo para arco metálico

Los electrodos de la Tabla 9-1, se usarán en todo tipo de soldaduras, excepto en el caso de la soldadura de tope completa o parcial, se debe usar electrodos precisos (Matching electrode), requiriendo una mano de obra especializada, como se explicó anteriormente, si se utiliza una soldadura de mayor resistencia y que sea compatible al material base entonces la soldadura será de menor sección.

9.5 RESISTENCIA DE DISEÑO DE SOLDADURAS CON LRFD Para determinar la resistencia de diseño de la soldadura, primero las propiedades del electrodo deben ser compatibles con el material base, la Tabla 9-25 indica las resistencias nominales de varios tipos de soldadura, incluyendo las de tope con penetración completa o parcial, de filete, de punto o ranura. 5

Véase Table J2.5 Design Strength of Welds, Pág. 16.1-57, del AISC-01

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Tabla 9-2.

Resistencia de diseño de soldaduras.

Existen recomendaciones del LRFD que se aplican y son distintas para cada tipo de soldadura, por tanto se recomienda leer cuidadosamente el reglamento del AISC-016, la mas utilizada es la soldadura de filete, por tanto se hará el análisis solo de esta soldadura. 6

Véase Conections, Joints, and Fasteners, Pág. 16.1-49, del AISC-01

PÁG. 224

UNIONES SOLDADAS

9.6 RESISTENCIA DE DISEÑO DE LA SOLDADURA DE FILETE La resistencia de diseño de una soldadura expuesta en la Tabla 9-2, se toma como el menor de los valores entre:

φFBM ·A BM φFW ·A W

Donde: BM W

FBM ABM FW AW φ

= Metal Base (Base Metal). = Soldadura (Weld). = Resistencia nominal del metal base, ksi. = Area del metal base, in2. = Resistencia a la soldadura, ksi. = Area efectiva de la soldadura (Aef) , in2. = Factor de resistencia

En caso de soldadura de filete la resistencia nominal de diseño, se toma como el menor de los valores entre:

Donde: FEXX Fy φPn Aef

φPn = φ·0.60·FEXX ·A ef

valor de φ = 0.75

φPn = φ·Fy ·A ef

valor de φ = 0.90

= Resistencia por clasificación del metal base, ksi. = Resistencia de fluencia del metal base, ksi. = Resistencia nominal, ksi. = Area efectiva de la soldadura, in2.

Algunas de los más importantes requisitos que deben cumplir las soldaduras son las siguientes.

9.6.1 TAMAÑO MÍNIMO DE LA SOLDADURA DE FILETE Los tamaños permisibles mínimos de los filetes según las especificaciones del LRFD se dan en la Tabla 9-37, donde los valores varían de ⅛ hasta 5/16 de pulgada.

Tabla 9-3.

7

Tamaños mínimos para la soldadura de filete.

Véase Table J2.4 Minimum Size of Fillet Welds, Pág. 16.1-54, del AISC-01

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9.6.2 TAMAÑO MÁXIMO DE LA SOLDADURA DE FILETE El tamaño máximo de la soldadura de filete según las especificaciones del LRFD se dan en la Tabla 9-48.

Tabla 9-4.

Tamaños máximos para la soldadura de filete.

Donde para t menor a ¼ de plg., el Dmax debe ser menor e igual a t y para t mayor a ¼ plg., el Dmax debe ser menor e igual a t – 1/16 plg., como se muestra en la Figura 9-10.

Figura 9-10.

Tamaño máximo de la soldadura de filete

9.6.3 LIMITACIONES DE LA SOLDADURA DE FILETE 1. Para determinar la longitud máxima de la soldadura de filete las especificaciones LRFD9, establecen que la longitud de una soldadura de filete no deben ser menores que la distancia perpendicular entre ellas, por tanto la longitud mínima será:

L min = 4·D Si L < 4·D entonces el valor del tamaño máximo es:

D max =

L 4

La longitud máxima de soldadura en la dirección de la longitud de la soldadura es:

L max = 70·D 2. La longitud de taslape LT, en una soldadura de filete es igual a 5 veces el espesor de la parte más delgada t1 conectada, pero no debe ser menor de 1.0 in, y entre las dos condiciones se elige el mayor valor, impidiendo la rotación excesiva de la conexión 8 9

Véase Section 2b-Limitations, The máximum size of fillet welds, Pág. 16.1-54, del AISC-01 Véase Section 2a-Effective Area, Pág. 16.1-54, del AISC-01

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UNIONES SOLDADAS

cuando esta sometida a cargas de tracción o compresión, como se observa en la Figura 9-11.

t1 < t 2 LT ≥ 5·t1 LT ≥ 1.0in

Figura 9-11.

Longitud mínima de traslape en una soldadura de filete

En la unión traslapada de la Figura 9-11, usar siempre soldadura en A y B. 3. La terminación de la soldadura de filete, debe realizarse con vueltas en el extremo, como se observa en la Figura 9-12. La longitud de estas vueltas no debe ser menor a 2 veces el espesor nominal de la soldadura.

L ≥ 2·D

Figura 9-12.

Longitudes en los extremos de la soldadura de filete.

9.7 CONEXIÓN SOLDADA RESISTENTE A MOMENTO Las conexiones entre vigas y columnas son conexiones rígidas en estructuras contiguas de acero que resisten fuerzas laterales causadas por el viento o sismo, este tipo de conexiones tienen que ser lo bastante fuertes para desarrollar un momento de fluencia en las articulaciones plásticas contiguas, siendo su característica proporcionar una resistencia residual antes de su colapso y las conexiones semirrígidas son usadas en la construcción semicontinua, en edificios de oficinas. En la Figura 9-13, se muestra una conexión entre viga y columna por momento y cortante soldada que puede diseñarse como conexión semirrigida o como rígida, el momento flexionante (M) se transmite al ala de la columna por medio de un perfil W, sobre las alas de la sección la unión esta sometida a cargas de compresión y tracción (H), la carga cortante (V) es transmitida a la columna.

PÁG. 227


Figura 9-13.

Conexión por momento y fuerza cortante; a) Vista lateral, b) Vista frontal.

Entonces de la fuerza H, se tiene la siguiente expresión:

H=

M d

Donde:

H = Fuerza de compresión o tracción de la viga. M = Momento flexionante debido cargas en la viga. d = Altura de la viga. Las limitaciones que tienen estos tipos de soldaduras son: 1. El ancho del ala de la viga debe ser menor al de la columna. 2. Ubicar una plancha en la unión entre columnas. 3. No afecta la dirección de la fuerza H, a la soldadura. 4. La soldadura que resiste la fuerza cortante V, esta ubicada en todo el alma de la sección, en caso que no sucediese aquello, entonces llenar de soldadura a toda la conexión como se muestra en la Figura 9-13.

PÁG. 228

UNIONES SOLDADAS

Ejemplo 9.1 En la unión de la Figura 9-14, el material base es acero A36, de longitud L = 8 in, con planchas de t1 = 1.0 in y t2 = ¾ in. Diseñar la soldadura para resistir la carga viva de TL = 15 ton. a) Con electrodos E60 b) Con electrodos E70

Figura 9-14

a) Solución con electrodos E60 La longitud de traslape es:

t1 = 3 / 4" 3 LT = ·5 = 3.75in 4 LT = 1.0in

Usar el mayor valor LT = 3.75 in

Tamaño de la soldadura,

D min = 5 /16 " de la tabla 9-4, Pág. 9, se tiene:

D max

3 1 11 = − = 4 16 16

"

Entonces la fuerza de diseño es:

TDiseño = 1.6·15 = 24ton

PÁG. 229


La falla de la plancha de ¾” , es:

φPn = φ·Fy ·A ef

3 φPn = 0.9·( 36·70.31)· ·3·2.542 = 33068Kg 4 φPn = 33068Kg > 24000Kg .......O.K. Diseñar la soldadura para que resista T = 24 ton.

G ef = D·Cos45º = D·

2 2

2 ·20 2 A ef = 14.1·D A ef = D· φPn = φ·0.6·FEXX ·A ef φPn = 0.75·0.6·(60·70.31)·14.1·D φPn = 26767·D Despejando el valor del tamaño de la soldadura de la anterior ecuación:

26767·D = 24000 3 D = 0.90cm ≈ in 8 3 5 .........O.K. D= > 8 16

Usar tamaño de soldadura D = 3/8 in

b) Solución con electrodos E70

φPn = φ·0.6·FEXX ·A ef

φPn = 0.75·0.6·( 70·70.31)·14.1·D = 31228·D Despejando el valor del tamaño de la soldadura de la anterior ecuación:

31228·D = 24000 5 D = 0.77cm ≈ in 16

.........O.K.

Usar tamaño de soldadura Dmin = 5/16 in

Terminación de la soldadura será:

PÁG. 230

UNIONES SOLDADAS

Ejemplo 9.2 En la unión de la Figura 9-15, ambas planchas son de ¾“. El material base es acero A36, determinar la resistencia de la unión si se usa soldadura de filete, asumir que T es carga viva. a) Con el tamaño mínimo de soldadura de filete y electrodos E60. b) Con el tamaño mínimo de soldadura de filete y electrodos E70. c) Con el tamaño máximo de soldadura de filete y electrodos E70.

Figura 9-15

El tamaño mínimo de la soldadura de filete según la Tabla 9-3, es:

1 D min = in 4 1 2 = 0.177in G ef = D·Cos45º = · 4 2 A ef = 2·3·0.177 = 1.06in 2 1) La resistencia de la soldadura con tamaño mínimo 1.a) Para electrodos E60 es:

φFW = 0.75·( 0.60·FEXX ) φFW ·A W = 0.75·( 0.6·60·70.31)·1.06·2.542 φFW ·A W = 12982Kg 1.6·TL = 12982Kg TL =

12982 = 8114Kg 1.6

Resistencia de la unión con electrodos E60.

PÁG. 231


1.b) Para electrodos E70 es:

φFW ·A W = 0.75·( 0.6·70·70.31)·1.06·2.542 φFW ·A W = 15146Kg TL =

15146 = 9466Kg 1.6

Resistencia de la unión con electrodos E70.

1.c) Resistencia del metal base para un acero A36.

φFBM = 0.9·Fy ·A ef 3 φFBM ·A BM = 0.9·( 36·70.31)· ·3·2.542 = 33068Kg 4 33068 Resistencia del material base (plancha) TL = = 20668Kg 1.6 c) El tamaño máximo de la soldadura de filete según la Tabla 9-4, es: "

3 1 11 − = = 0.6875in 4 16 16 11 2 G ef = D·Cos45º = · = 0.486in 16 2 A ef = 2·3·0.486 = 2.916in 2 D max =

1.a) Para electrodos E70 es:

φFW = 0.75·( 0.60·FEXX ) φFW ·A W = 0.75·( 0.6·70·70.31)·2.916·2.542 φFW ·A W = 41666Kg La resistencia de la unión a un tamaño máximo es 20668 Kg.

PÁG. 232

UNIONES SOLDADAS

Ejemplo 9.3 Diseñar la soldadura para la ménsula que se muestra en la Figura 9-16, y determinar el tamaño de la soldadura de filete requerido usando electrodos E70.

Figura 9-16.

a) Centro de gravedad de la soldadura

2·x 2 (12.5 − x ) = 25·x + ( 2) 2 2 25·x + x 2 = 156.25 − 25·x + x 2 2

x=

156.25 = 3.125cm 50

b) Momento de Inercia Polar

1·253 I x = 12.5·12.5 ·2 + = 5208cm 4 12 3 12.5 2 Iy =  + 12.5·( 2.875 ) ·( 2 ) + 25·3.1252 = 776.3cm 4  12  2

I P = I x + I y = 5984cm 4 c) Esfuerzo de corte

f Vy =

Pu 20000 Kg = = 400 2 A 12.5·2 + 25 cm

d) Esfuerzos de torsión máximas

e = 30 − 3.125 = 26.875cm PÁG. 233


f ty =

Pu ·e 20000·26.875 Kg ·x A = ·9.375 = 336 2 IP 5984 cm

f tx =

Pu ·e 20000·26.875 Kg ·y A = ·12.5 = 1122 2 IP 5984 cm

e) Esfuerzo máximo

f max = f tx 2 + f ty 2 f max =

( 400 + 336 )

2

+ 11222 = 1342

Kg cm 2

Para electrodos E70.

φFW ·A W = 0.75·0.6·0.70·70.31 = 2214

Kg cm 2

El tamaño de la soldadura de filete y la garganta efectiva necesaria es:

D = 0.606· 2 = 0.86cm 1342 G ef = = 0.606cm 2214 Usar D = 3/8”

PROBLEMAS

Problema 9.1 Determinar el valor máximo de T. Usar electrodos E60. La plancha de 4” x 3/8” tiene un Fy = 50 ksi con un Fu = 70 ksi La plancha de 2” x 5/16” tiene un Fy = 36 ksi con un Fu = 58 ksi

PÁG. 234

UNIONES SOLDADAS

Problema 9.2 Una placa de acero A36 se conecta a una placa de nudo con filetes de 5/16 in, como se muestra en la siguiente figura. Determine la longitud LT necesaria para que soporte la resistencia total de la placa usando electrodos E70.

PÁG. 235

Diseño a la Fatiga

10.1

DISEÑO POR CARGA REPETIDA

En los elementos de un edificio, maquinarias, grúas, y otros equipos móviles que soportan cambios de cargas sufren daño por fatiga, por tanto si las vibraciones debidas a este fenómeno son mínimas, el daño no es probable que ocurra, pero si son frecuentes o existen inversiones de esfuerzos entonces se los deberá tomar en cuenta para el diseño por cargas de fatiga. En caso de que los elementos de acero estén sujetos a cargas que se aplican y luego se remueven o cambian muchos miles de veces, el metal puede desarrollar grietas que a la larga se propagan y causan la falla por fatiga. Estas grietas de fatiga generalmente se presentan cuando la carga repetida es principalmente de tracción, es decir que tienden a presentarse en lugares donde existe una concentración de esfuerzos como en huecos, en cantos dañados, soldaduras mal construidas. Las especificaciones del LRFD1, indican un método simple de diseño que considera las cargas repetidas. Este método considera el número de ciclos de esfuerzos, el rango de esfuerzo esperado que es la diferencia algebraica entre el esfuerzo máximo y mínimo esperado en cualquier ciclo de carga, el tipo de carga y la ubicación del miembro. Para el diseño por fatiga según las especificaciones del LRFD, se tiene lo siguiente: No se considera la fatiga si la resistencia requerida es menor que el rango critico de esfuerzo FTH , como se muestra en la Tabla A-K3.1 del AISC-01. No se considera la fatiga para menos de 20000 ciclos, pero en caso de que exceda este valor, el rango critico de esfuerzos se determinan, las categorías de esfuerzos varían de A a F, como se muestra en la Tabla A-K3.12 del AISC-01. Para cada caso se tiene ejemplos ilustrados, que se muestran en la continuación de la Tabla A-K3.1

1 2

Véase Concentrated Forces, Ponding, and Fatigue, Apendix J, inciso K3., Pág.16.1-115 en el AISC-01. Véase Table A-K3.1 y Table A-K3.1 (Cont`d), de la Pág. 16.1-126 a la Pág. 16.1-139, del reglamento AISC-01.

PÁG. 236

DISEÑO A LA FATIGA

Después de establecer esa condición de carga y categoría del esfuerzo, se lee el rango permisible de esfuerzo FSR. La resistencia de la carga repetida o fatiga es determinada en el reglamento LRFD1 y es aplicable en estructuras con una adecuada protección a la corrosión o sujetos a una ligera corrosión atmosférica en condiciones normales. Según el reglamento LRFD, la resistencia por fatiga se aplica solo a estructuras sujetas a temperaturas que no excedan a 150ºC. La fatiga es una consideración principal del diseño de puentes, en las especificaciones AASHTO de 1996, en su articulo 10.3, dan intervalos permisibles de esfuerzo, determinadas similar a las del reglamento del LRFD.

a) Caso 1 Para entender de mejor manera el efecto de falla por fatiga, se tiene que considerar un alambre, sostener con ambas manos y doblar el alambre hacia arriba y hacia abajo con toda amplitud posible, como se muestra en la Figura 10-1.

Figura 10-1.

Esquemas; a) Alambre en tracción, b) Posición 1, c) Posición 2.

El punto A del inciso (b) Posición 1, de la Figura 10-1, esta traccionado y que el mismo punto en el inciso (c) Posición 2 esta comprimido, por tanto este fenómeno indica que al doblar el alambre hacia arriba y hacia abajo existe una reversión de esfuerzos del acero en el punto A. Si la operación de doblar el acero hacia abajo y hacia arriba muchas veces hasta que el acero se rompa entonces se produce una falla por fatiga. Los esfuerzos a los que ha estado sometido el punto A en el primer alambre, se representa de la siguiente manera, como se observa en la Figura 10-2.

Figura 10-2.

Diagrama del rango de esfuerzos del caso1. PÁG. 237


b) Caso 2 Ahora se toma otro alambre doblando muchas veces tal como el primer alambre, pero esta vez solo se doblará hacia abajo como se indica en la Figura 10-3.

Figura 10-3.

Esquemas del alambre; a) Posición 1, b) Posición 2, c) Posición 3.

Repetir el procedimiento igual que con el primer alambre hasta que el acero se rompa, entonces la falla por fatiga se producirá con un número de ciclos de carga mayor al primero. Los esfuerzos a los que ha estado sometido el punto A en el segundo alambre, se representa de la siguiente manera, como se observa en la Figura 10-4.

Figura 10-4.

Diagrama de rango de esfuerzos del caso 2.

Del los diagramas podemos concluir que el primer alambre falló a fatiga con un número de ciclos de carga menor que el segundo alambre, porque el rango de esfuerzos del caso 1 es mayor que el rango de esfuerzos del caso 2.

c) Caso 3 Para este caso se usara un tercer alambre y lo doblamos de tal manera que el punto A, este sometido a un rango menor de esfuerzos como indica la Figura 10-5.

Figura 10-5.

Esquemas del alambre; a) Posición 1, b) Posición 2, c) Posición 3..

El elemento fallará por fatiga a un número mayor de ciclos de carga que el segundo alambre.

PÁG. 238

DISEÑO A LA FATIGA

Entonces, se puede afirmar que el número de ciclos para la falla por fatiga es inversamente proporcional al valor del rango de esfuerzos. A mayor rango de esfuerzos

menos número de ciclos de carga, para que se de la falla por fatiga.

10.2

DISEÑO DEL RANGO DE ESFUERZOS (FSR)

El reglamento establece el rango de esfuerzos máximo de acuerdo con el número de ciclos de carga con las siguientes fórmulas. El rango de esfuerzos para cargas de servicio puede no exceder el rango crítico de esfuerzos y puede ser determinada como sigue: a) Para las categorías A, B, B’, C, D, y E’ el diseño del rango de esfuerzos FSR, puede ser determinado por la siguiente expresión:

C  FSR =  f  N

0.333

≥ FTH

Para unidades métricas:

 C ·327  FSR =  f   N 

0.333

≥ FTH

Donde:

FSR = Diseño del rango de esfuerzos, ksi. Cf = Constante de categoría, Tabla A-K3.12 N = Número de variaciones del rango de esfuerzos por día x365xaños de vida útil. FTH = Rango de esfuerzos crítico, ksi. b) Para la categoría F, el diseño del rango de esfuerzos FSR, puede ser determinado por:

C  FSR =  f  N

0.167

≥ FTH

Para unidades métricas:

 C ·11·104  FSR =  f  N  

0.167

≥ FTH

PÁG. 239


Ejemplo 10.1 Un elemento tiene una longitud de 8 m y esta sometido a una carga móvil PL, como se observa en la siguiente figura. Se pide determinar si la viga de una sección W resiste a la falla por fatiga.

Del diagrama de momentos para la carga de servicio se tiene:

M max = 15000Kg·m M diseño = 1.6·15000 = 24000·0.00723 = 173.52Kip·ft Vmax = 15000Kg Vdiseño = 15000·1.6 = 24000Kg La longitud entre apoyos laterales es:

L b = 4.0m = 13.12ft Entonces: Para

M = 10000Kg·m f max =

Para

M 1000000 Kg = = 1186 2 S 843 cm

M = −7500Kg·m f max =

−750000 Kg = −890 2 843 cm

PÁG. 240

DISEÑO A LA FATIGA

La reversión de esfuerzos será:

M = −15000Kg·m −1500000 Kg f max = = −1779 2 843 cm

El rango de esfuerzos es:

R E = 1186 + 896 = 2076

Kg cm 2

El número de ciclos de carga es:

N º Ciclos = 30

veces ·20años·365dias = 219000 Ciclos de carga día

Entonces: 1. Si N < 20000 no se necesita verificar a la fatiga (No hay falla por fatiga). 2. Si FSR < FTH se necesita verificar a la fatiga. El rango de esfuerzos es:

FSR = 2076

Kg cm 2

Del Anexo 10.1 y Anexo 10.2 se toma el caso 1.1, donde:

Categoría : A Constante Cf : 250x108 Rango Critico FTH : 24 Ksi (1687 Kg/cm2) Entonces: 0.333

 250x108  FSR =  = 48.5Ksi 3   219x10  Kg Kg FSR = 3410 2 ≥ FTH = 2076 2 cm cm

El perfil W no falla a la fatiga. PÁG. 241


Ejemplo 10.2 En la viga de la figura la carga P se mueve de A a C y de C a A 20 veces al día durante 15 años. El acero tiene Fy = 50 Ksi. Se pide:

a) b) c)

Diseñar la viga utilizando un perfil W considerando solo la carga viva (despreciar la carga muerta), elegir el perfil mas liviano. Verificar al corte la sección elegida. Verificar la sección a la falla por fatiga, usar el inciso 1.4 de la tabla de parámetros de diseño a la fatiga.

Solución. Del Anexo B - Cáp. 7, se tiene3:

3

Tabla 5-17, Nº 30, Pág. 5-172 en el AISC-01

PÁG. 242

DISEÑO A LA FATIGA

Entonces:

13 13 ·P·L = ·15·6 64 64 = 18281Kg·m

M max( + ) = M max( + )

3 3 ·P·L = ·15·6 32 32 = 8438Kg·m

M max( − ) = M max( − ) a)

La distancia entre apoyos laterales es:

L b = 3.0m = 9.84ft El momento de diseño,

M diseño = 1.6·18281 = 29249.6Kg·m M diseño = 211.4Kip·foot De la Tabla de Diseño de elementos a flexión, Pág. 5-96 en el AISC-01, se tiene los siguientes perfiles: W16X36 W18x40 W10x49

b) El valor de la cortante de diseño es:

Vdiseño = 1.6·15000 = 24000Kg Se elige el perfil mas liviano W16x36, de la Tabla 1-1, Pág. 1-18 en el AISC-01 se tiene lo siguiente:

A w = d·t w = 15.9·0.295 = 4.69in 2 h = 48.1 tW Sx = 56.5in 3 = 925.87cm3 Del Capítulo 7, inciso 7.3 Diseño a Cortante4, Pág. 23, se tiene: Para

2.45

h E ≤ 2.45 tw Fyw E 29000 = 2.45 = 59 Fyw 50

48.1 ≤ 59 4

.....

O.K.

Véase Design for Shear, Pág. 16.1-35 en el AISC-01 PÁG. 243


Entonces se tiene la siguiente expresión:

φVn = 0.6·Fyw ·A w Vn = 0.9·0.6·( 50·70.31)·30.26 = 57444.7Kg Vn = 57444.7Kg > Vdiseño = 24000Kg

.....

O.K.

La sección W16x36 resiste a la fuerza de corte por lo tanto cumple. c)

De la Tabla A-K3.1 Parámetros de diseño por fatiga, Pág. 16.1-126, en el AISC-01, se tiene lo siguiente:

Categoría de Esfuerzos : C Constante Cf : 44x108 Rango Crítico FTH : 10 Ksi (703 Kg/cm2) El rango máximo de momentos es:

R M = 18281 + 4219 = 22500Kg·m Entonces el rango máximo de esfuerzos es:

RE =

2250000 Kg = 2430 2 925.87 cm

El número de ciclos de carga es:

N º Ciclos = 20

veces ·15años·365dias = 109500 Ciclos día

Entonces:

C  FSR =  f  N

0.333

≥ FTH 0.333

 44x108  FSR =  = 34.13Ksi 4   10.95x10  Kg Kg FSR = 2400 2 ≥ FTH = 703 2 cm cm

El perfil W16x36 no falla a la fatiga.

PÁG. 244

DISEÑO A LA FATIGA

PROBLEMAS

Problema 10.1 Una viga de sección de acero A50 como se muestra en la siguiente figura, esta sometida a una carga viva de PL = 1.5 ton, se mueve a lo largo de A a B, 120 veces al día durante 50 años. Determinar si la sección de la figura es adecuada sin considerar el pandeo local. Considerar el peso propio de la sección y usar el ejemplo ilustrativo Nº 11 del AISC.

Problema 10.2 Diseñar la viga de la figura, usando un perfil W de acero A36; despreciar el peso propio de la viga, la carga viva puntual de PL = 6000 Kg se mueve de A a D y retorna de D a A 150 veces al día durante 40 años. Usar el ejemplo ilustrativo Nº 4 del AISC.

PÁG. 245

Deformaciones

12.1

DEFORMACIONES EN ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE ACERO

El reglamento del AISC-011 indica que las deformaciones en elementos estructurales y sistemas estructurales debidas a cargas de servicio no deben dañar o perjudicar la serviciabilidad de la estructura. No establece ningún límite o cantidad específica de deformación, los límites o valores máximos de las deformaciones en elementos estructurales de acero pueden ser determinados de acuerdo a la función que cumple la estructura. Las deformaciones deben ser consideradas en el diseño de casi todas las estructuras. Si este diseño no es considerado las deformaciones, en caso de un edificio este sufrirá un considerable daño en el cielo raso de la cubierta provocando grietas debido a la deformación de las viguetas que soportan el techo, en las instalaciones sanitarias, en los marcos de las ventanas que llegan a obstruirse, etc. Las personas que utilizan una estructura no confían si se presentase deformaciones en la misma, aún si existiese una completa seguridad de resistencia. En la construcción la consideración de las deformaciones puede ser hechas sin ningún límite de tolerancia, esto por ejemplo cuando se construyen columnas no están perfectamente en niveladas y las fundaciones no son emplazadas perfectamente ya que la vista en planta no es generalmente igual a la vista en elevación. Las deformaciones pueden ocurrir también durante el montaje en estructuras de acero, debido al efecto de viento que actúa en la estructura, cambios de temperatura, a fallas debido al personal que se encarga del montaje de la estructura, y el público. El colapso total de la estructuras de acero generalmente ocurre durante el montaje si no se hace un adecuado control de la verticalidad en la estructura o un adecuado apuntalamiento en dirección de las deformaciones durante la construcción.

1

Véase Serviceability Design Considerations, Chapter L, Pág. 16.1-79 en el AISC-01

PÁG. 271

DEFORMACIONES

12.2

TIPOS DE DEFORMACIONES POSIBLES EN EDIFICIOS DE ACERO

Las cargas en un edificio de acero puede clasificarse en tres tipos básicos y sus posibles deformaciones como se observa en la Figura 12.1, donde los elementos pueden ser sujetos a cargas gravitacionales verticales distribuidas uniformemente sobre toda la estructura como se indica en el inciso (a), cargas gravitacionales verticales distribuidas concurrentemente sobre toda la estructura como se indica en el inciso (b), cargas gravitacionales verticales distribuidas uniformemente y cargas laterales por viento sobre toda la estructura como se indica en el inciso (c).

Figura 12-1.

Tipos de carga y deformaciones en un edificio

Las deformaciones según el AISC2 y Jack C. McCormac3 es limitar la deformación debida a carga viva,

∆ LL ≤

L 360

(12.1)

Para situaciones donde se soportan máquinas o equipos delicados la máxima deformación esta comprendida entre:

L L ≤∆≤ 1500 2000

2 3

(12.2)

Véase Beams and Girder Design, Vertical Deflexión, Pág.4-30, en el AISC-94 Véase Diseño de Estructuras de Acero Método LRFD, de Jack C . McCormac, Pág. 283 a 287

PÁG. 272


Para la deflexión en el centro del claro de una viga simple con carga uniformemente repartida es:

∆má x =

5·w·L4 384·E·I

(12.3)

El manual del LRFD4 da la siguiente fórmula, para determinar las deformaciones máximas en vigas con secciones W, M, HP, S, C, y MC para diferentes condiciones de carga:

∆ LL = Donde:

M·L2 C1 ·I x

(12.4)

M = Momento por carga uniformemente distribuida de servicio, kip-ft C1 = Constante (Véase la Figura 12.2) Ix = Momento de Inercia, in4 L = Longitud del la luz, ft ∆ = Deformación máxima vertical, in.

Figura 12-2.

Constantes de carga

La norma AASHTO sugiere que la relación altura de la viga a la luz de la viga sea por lo menos:

h viga =

L viga 25

También se puede utilizar una altura menor siempre que se proporción una rigidez suficiente para limitar la deformación a la deformación equivalente a la altura obtenida anteriormente. Por tanto la solución más satisfactoria para determinar el límite de deformación debe basarse en el juicio serio de ingenieros calificados. Como una guía se sugiere las siguientes reglas: 1. La altura de las vigas en pisos esforzadas completamente, no debe ser menor que, Fy/800 veces la luz. Si se utiliza elementos con una altura menor, el esfuerzo de flexión debe reducirse en proporción directa a la reducción de altura. El ejemplo 10.1 aclara este concepto. 4

Véase Other Specification Requirements and Design Considerations, Serviceability, Pág.5-11, en el AISC-01

PÁG. 273

DEFORMACIONES

2. La altura de correas esforzadas completamente, siempre que sea practicable no debe ser menor que Fy/800 veces la luz, excepto en el caso de cubiertas planas. 2

Para Fy = 36 Ksi ≈2500 Kg/cm

Fy

L 800 22 Fy L = 1000 28 =

2

Para Fy = 50 Ksi ≈3500 Kg/cm

Fy

L 800 16 Fy L = 1000 20 =

Ejemplo 12.1 Del ejemplo 11.1, donde una losa de hormigón esta apoyada en vigas W de acero A36, separadas a una distancia de 3.0 m entre si. La luz de las vigas es de 9.0 m y son vigas simplemente apoyadas. La máxima altura del perfil a usarse es 18 in. La carga viva es CV = 700 Kg/cm2 . Determinar la deformación por carga viva de servicio. La deformación máxima por carga viva es:

∆=

L 29.53 = ·12 = 0.98in 360 360

El valor de la constante de carga es C1 = 161, de la Figura 12-2, entonces: Para W18x65, entonces:

lb ft w·L2 65·29.532 = = = 7085.2lb·ft 8 8 = 85022.4lb·in

w = 65 M LL M LL

El límite inferior I con los siguientes valores,

AS = 19.1 in2 d = 18.35 in

PÁG. 274


IX = 1070 in2 YPNA = 0 Y2 = 12.5 - 2.87 = 9.63 cm Entonces:

2 d   ∑ Qn  I = I x + A s  YENE −  +  2   Fy 

 2  ( d + Y2 − YENE ) 

2

2  18.35   30289  4 I = 1070 + 19.1  +  (18.35 + 9.63) = 661363in  2   36 

La deformación por carga viva de servicio

M·L4 85022.4 ( 22.86 ) = = = 0.42in C1 ·I x 161( 661363) 2

∆ LL

∆ LL = 0.42in < ∆ máx = 0.98in .......O.K. El perfil W18x65 es correcto.

Ejemplo 12.2 Una viga simplemente apoyada de 10.0 m de luz, esta sometida a una carga muerta (incluyendo el peso de la viga) de 1500 Kg/m y una carga viva de 4000 Kg/m, ambas uniformemente distribuidas. Usar un perfil W asumiendo que el ala en compresión esta arriostrada lateralmente en toda su longitud. Es un acero A50, y por razones arquitectónicas la altura de la viga está restringida a 27 cm.

w µ = 1.2w D + 1.6w L w µ = 1.2·1500 + 1.6·1500 = 7100

Kg m

El momento ultimo es:

w·L2 7100·102 = 88750Kg·m 8 8 M µ = 887.5Kg·cm Mµ =

Entonces:

φ = 0.9

M µ = φ·ZX Zreq =

Mµ φ

=

887.5 = 986.1cm3 0.9

Zreq = 60.16in 3

PÁG. 275

DEFORMACIONES

El valor de la altura requerida es:

h req =

L 1000 = = 40cm 25 25

Del AISC-01, Pág. 5-47 se tiene:

h= 15.7 in 3

Usar W14x38

Zx = 61.1 in

Como hreq no puede ser mayor a 25 cm, entonces:

L 1000 = = 40cm 25 25 40cm = = 1.48 27cm

h req = h req h prov

Zreq = 1.48·986.1 = 1459cm3 Zreq = 89.10in 3 h= 18.1 in Zx = 90.7 in3

Usar W18x46

Nótese que para cumplir el requisito de deformación máxima se tiene que usar un perfil que pesa 46 lb/ft en lugar del perfil de 38 lb/ft que era suficiente para resistir las cargas.

PROBLEMAS

Problema 12.1 Una viga de acero A36 soporta una carga muerta de 1.80 Kg/m y una carga viva de servicio de 4.5 Kg/m en un claro de 9.0 m. La sección tendrá soporte lateral a lo largo de su patín de compresión y la deformación máxima por carga total de servicio no debe exceder el valor de 1/1500.

Problema 12.2 Determine la máxima deformación a una carga viva de 240 Kg/m2 de unas vigas de sección W18x35, que soportan a una losa de 9.0 m de longitud, las secciones de acero están separadas a 3.0 m de su eje.

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Secciones Compuestas

11.1

VIGAS COMPUESTAS

En construcciones de edificios, puentes que incluyan vigas de acero en su estructura es común que trabajen en acción compuesta con el hormigón, es decir que los elementos compuestos de acero y hormigón, trabajan en acción conjunta para que el hormigón resista la compresión axial y la viga de acero resista los máximos momentos positivos. Las vigas de acero de un tablero compuesto pueden estar embebidas en el hormigón, en caso contrario tendrá conectores de fuerza cortante, como se observa en la Figura 11-1.

Figura 11-1.

Viga compuestas, con conectores de fuerza cortante.

Una ventaja de vigas compuestas es que utilizan la alta resistencia de hormigón a la compresión, haciendo que toda la losa o tablero trabaje a compresión, al mismo tiempo la sección de acero (viga principal), trabaje a tracción. Las secciones compuestas presentan mayor rigidez y menores deformaciones que los elementos separados.

PÁG. 246

SECCIONES COMPUESTAS

La desventaja que se puede apreciar en una viga compuesta es la posibilidad de tener menores espesores del tablero, lo cual es de gran importancia en edificios altos y el costo de la elaboración e instalación de conectores de fuerza cortante.

11.2

SECCION TRANSVERSAL DE LA VIGA Y EL TABLERO DE HORMIGÓN

El comportamiento de una losa conectada a una sección de acero a través de conectores de corte, puede describirse como sigue. La carga uniforme vertical que actúa sobre la losa causa lo siguiente: 1. Fuerzas de compresión en la dirección vertical entre la losa y la viga de acero. 2. Fuerzas cortantes longitudinales actuantes en el conector de corte que es el vinculo entre la losa de hormigón y la viga de acero. Las especificaciones LRFD1 establecen que para la determinación del ancho efectivo be del hormigón y para hallar este valor a partir del eje vertical central de la viga, como se observa en la Figura 11-2.

Figura 11-2.

Ancho efectivo de la losa; a) Sección compuesta interior, b) Sección compuesta exterior.

Se debe considerar lo siguiente: 1. b1 = L/8, Donde L = Longitud entre apoyos. 2. b1 = S/2, Donde S = Distancia desde el eje vertical central de la viga. 3. b2 = distancia al canto de la losa al eje vertical central de la viga (voladizo). Para una viga compuesta en el interior de la losa de hormigón, el ancho efectivo es:

b e = b1L + b1R Para una viga compuesta en el canto exterior de la losa de hormigón, el ancho efectivo es:

be = b 2 + b1R 1

Véase Composite Members, I3. Flexural Members, 1. Effective Width, Pág. 16.1-217 en el AISC-01.

PÁG. 247


11.3

FUERZA CORTANTE LONGITUDINAL EN UNA SECCIÓN COMPUESTA

La fricción y adherencia generalmente no proporcionan una acción compuesta confiable entre la losa de hormigón y la viga, excepto en el caso de un embebido completo, por tanto se usan conectores de cortante para proporcionar una conexión confiable y resistente a fuerzas cortantes entre la losa y la viga. Se han usado muchos tipos de conectores de corte como ser: barras, espirales, canales y espárragos, como se observa en la Figura 11-3.

Figura 11-3.

11.4

Conectores de cortante; a) Conector espárrago, b) Conector en espiral, c) Conector Canal.

DISEÑO DE LOS CONECTORES POR CORTANTE

Los conectores están soldados en la parte superior del ala de la viga de acero y quedan embebidos en la losa de hormigón de peso normal, con agregados especificados en la norma ASTM-C33, donde se mantienen adheridos por medio de ganchos o cabezas. Los conectores de cortante más económicos, fáciles de instalar y de mayor uso son los pernos de cabeza redonda o espárragos, disponiéndose con diámetros de ½ a 1 pulgada y en longitudes de 2 a 8 pulgadas, la especificación LRFD2 establece que sus longitudes no deben ser menores que 4 veces su diámetro. 2

Véase Shear Conectors, Pág. 16.1-226, en el AISC-01

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11.4.1 PERNOS DE CABEZA REDONDA O ESPÁRRAGOS El diseño de los conectores por cortante según el AISC-943, indica que la fuerza nominal de corte en un conector de cortante embebido en la losa de hormigón es: Donde:

Q n = 0.5·A sc f c′·E c ≤ A sc ·Fµ

(11.1)

Asc = Area de la sección transversal del mango del conector, in2 fc’ = Esfuerzo de compresión especificado del hormigón, klb/ft2 Fµ = Resistencia mínima a tracción especificada del conector, klb/ft2 Ec = Módulo de elasticidad del hormigón, klb/ft2 = ( w1.5 ) f ′ c w = Peso unitario4 del concreto, lbs/ft3.

11.4.2 CONECTORES CANAL La resistencia nominal a cortante de un conector canal se determina con la siguiente fórmula:

Q n = 0.3·( t f + 0.5·t w ) Lc f c′·E c

(11.2)

Donde:

tf = Espesor del ala de la sección de acero, in tw = Espesor del alma de la sección de acero, in Lc = Longitud del conector de corte, in fc’ = Esfuerzo de compresión especificado del hormigón, klb/ft2 Ec = Módulo de elasticidad del hormigón, klb/ft2 = ( w1.5 ) f ′ c w = Peso unitario4 del hormigón, lbs/ft3. En caso que se usen otro tipo de conectores, el reglamento LRFD establece que sus resistencias nominales deben determinarse a través de pruebas adecuadas.

11.4.3 NÚMERO DE ESPÁRRAGOS DE CORTANTE La fuerza cortante horizontal C en la sección compuesta entre la viga de acero y la losa de hormigón es transmitida por los conectores de corte, por tanto el número de dichos conectores requeridos para la acción compuesta es:

Ns = Donde:

C Qn

(11.3)

Qn = Resistencia nominal de un conector de corte, klb Ns = Número de espárragos de cortante entre el punto de máximo momento positivo y el momento nulo a cada lado del momento máximo positivo. 3 4

Véase Composite Design, Shear Conectors, Pág. 5-8, AISC-94. Véase Curvas Típicas de esfuerzo-deformación para aceros estructurales y concreto, Capitulo 1, Pág.10

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11.4.4 ESPACIAMIENTO MÁXIMO Y MÍNIMO DE LOS ESPÁRRAGOS El reglamento LRFD5 establece que la separación máxima entre los conectores no debe exceder de 8 veces el espesor total de la losa y permite un espaciamiento mínimo entre centros de conectores a lo largo del eje longitudinal de vigas compuestas es de 6 veces su diámetro y en la dirección transversal es de 4 veces su diámetro como se observa en la Figura 11-4a. Cuando el alma de la sección de acero de la viga es muy estrecho dificultando la instalación simétrica de los conectores en la viga, estos se colocan alternados como se muestra en la Figura 11-4b.

Figura 11-4.

11.5

Espaciamiento de los conectores; a) Sección compuesta, b) y c) Tipos de arreglos.

RESISTENCIA POR MOMENTO DE LAS SECCIONES COMPUESTAS

De acuerdo con las especificaciones del LRFD, las vigas compuestas pueden diseñarse por métodos de diseño elástico o plástico. Pero el método usual de diseño es determinar los momentos por análisis elástico y la sección adecuada según su capacidad plástica, es posible también determinar los momentos en una sección compacta por un análisis plástico en vigas estáticamente determinadas. Para determinar el método de diseño de una sección compuesta se deben cumplir las siguientes condiciones: 1. Determinar una distribución plástica de esfuerzos si la sección compuesta a flexión cumple la siguiente relación6 y la resistencia por flexión positiva es φbMn con φb = 0.85

h c 640 ≤ tw Fy

(11.4)

Donde:

hc = Es la distancia de la parte recta del alma, in tw = Espesor del alma de la sección de acero, in Fy = Esfuerzo de fluencia del ala de la sección, in Ec = Módulo de elasticidad del concreto, klb/ft2 5 6

Véase Shear Conectors, I6. Special Cases, Pág. 16.1-229, en el AISC-01 Véase Pandeo Local, Capitulo 7, Pág. 8

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2. Determinar sobreponiendo los esfuerzos elásticos si la sección compuesta cumple la relación y el valor de la resistencia por flexión positiva es φbMn con φb = 0.9, tomando en cuenta los efectos del apuntalamiento.

h c 640 > tw Fy

(11.5)

Para el diseño de acción compuesta total, son posibles tres ubicaciones del eje neutro plástico (PNA = Plastic neutral axis), y depende de la relación Cconc y la resistencia de cedencia del alma, Cconc = As·Fy y Ctot.

11.6

TEORIA PLÁSTICA

Los experimentos realizados en vigas compuestas muestran que la teoría elástica es muy conservadora al momento de predecir la capacidad por momento, donde la verdadera capacidad por momento puede obtenerse en forma muy precisa suponiendo que la sección de acero ha fluido totalmente y que la parte comprimida del tablero de hormigón esta sometida uniformemente a un esfuerzo de 0.85 f’c, por tanto para hacer el análisis plástico se debe considerar la sección transversal efectiva de la viga de acero y el tablero.

11.6.1 CASO 1 (EJE NEUTRO PLASTICO EN LA LOSA DE HORMIGÓN) La fuerza resultante de los esfuerzos en el concreto es 0.85 fc’· be·a y actúa a una distancia de a/2 desde la parte superior de la losa. La fuerza resultante de los esfuerzos en el acero es Fy·As y actúa en el centroide de la viga de acero y el eje neutro plástico está localizado en la losa de hormigón. Este caso ocurre cuando Cc ≥ Ctot ,la tensión en el hormigón por debajo del eje neutro plástico se desprecia, de la Figura 11-5.

Figura 11-5.

Distribución de esfuerzos supuestos para el diseño plástico de una viga compuesta, donde su eje neutro plástico (PNA) esta en la losa de hormigón.

Por equilibrio, esas fuerzas deben ser iguales, es decir.

Fy ·A s = 0.85·f c′·b e ·a Donde:

(11.6)

As = Area de la sección transversal de la sección de acero, in2 fc’ = Esfuerzo de compresión especificado del hormigón, klb/ft2

PÁG. 251


Fy = Esfuerzo de fluencia de la sección de acero, in. be = Ancho efectivo, in. El valor de a se determina con la siguiente expresión;

a=

Fy ·A s 0.85·f c′·b e

Si a es igual o menor al espesor de la losa, el eje neutro plástico recae en la losa, es decir que si el eje neutro plástico estará en el concreto si;

Fy ·A s ≤ 0.85·f c′·b e ·t s

(11.7)

y la capacidad por momento plástico o nominal de la sección compuesta puede expresarse como la tracción total o la compresión, multiplicada por la distancia entre sus centros de gravedad, y el momento de las fuerzas resultantes para una sección compuesta en la que el eje neutro plástico recae dentro de la losa de hormigón es:

M µ = φb M n = φb M p =

Fy ·A s ·d 2

a  + 0.85·f c′·b e ·a  t s −  2 

(11.8)

11.6.2 CASO 2 (EJE NEUTRO PLASTICO EN EL ALA SUPERIOR DE LA VIGA) La fuerza resultante en el concreto es 0.85 fc’· be·ts y el valor correspondiente a la viga de acero es Fy·As – 2·Fy·bf ·yp, donde yp es distancia desde la parte superior del ala de la viga donde se localiza el eje neutro plástico, como se observa en la Figura 11-6.

Figura 11-6.

Distribución de esfuerzos supuestos para el diseño plástico de una viga compuesta, donde su eje neutro plástico (PNA) esta en la parte superior del ala de la viga de acero.

Por equilibrio de fuerzas:

0.85·f c′·b e ·t s = Fy ·As − 2·Fy ·b f ·y p

(11.8)

PÁG. 252


De la ecuación 11.9, el valor de yp es como sigue

yp =

Fy ·A s − 0.85·f c′·b e ·t s 2·Fy ·b f

(11.9)

El eje neutro permanecerá en el patín si 0 ≤ yp ≤ tf , es decir:

0.85·f c′·b e ·t s ≤ Fy ·A s ≤ 0.85·f c′·b e ·t s + 2·Fy ·b f ·t f

(11.10)

Haciendo momentos respecto al punto A:

 yp  t   d  M µ = φb M n = φb M p = 0.85·f c′·b e ·t s  y p + s  + 2·Fy ·b f ·t f   + Fy ·As  − y p  2 2    2 

(11.11)

11.6.3 CASO 3 (EJE NEUTRO PLASTICO EN EL ALMA DE LA VIGA) Este caso ocurre cuando la fuerza de compresión sobre el hormigón es menor que la fuerza de tracción entonces el eje neutro plástico esta situado en el alma de la sección de acero, entonces de la Figura 11-7.

Figura 11-7.

Distribución de esfuerzos supuestos para el diseño plástico de una viga compuesta, donde su eje neutro plástico (PNA) esta en el alma de la sección de acero.

Por equilibrio de fuerzas se tiene:

0.85·f c′·b e ·t s + 2·Fy ·b f ·t f + 2·Fy ·t w ( y p − t f ) = Fy ·As

(11.12)

Equilibrio de momentos respecto al punto A:

t  t    M µ = φb M n = φb M p = 0.85·f c′·b e ·t s  y p + s  + 2·Fy ·b f ·t f  y p − f  2 2   2 d  + Fy ·t w ( y p − t f ) + Fy ·A s  − y p  2 

(11.13)

PÁG. 253


11.7

RECOMENDACIONES PARA EL DISEÑO DE SECCIONES COMPUESTAS

El reglamento LRFD7 hace las siguientes recomendaciones sobre el diseño de secciones compuestas, tales como apuntalamiento, arriostramiento lateral, peso estimado de la viga de acero y límite inferior del momento de inercia.

11.7.1 APUNTALAMIENTO Una vez hecho el montaje de las vigas de acero, se ubica sobre ellas la losa de hormigón, las vigas resistirán el peso de hormigón fresco, el peso del encofrado, los obreros, el equipo de construcción y su propio peso. La viga solo debe soportar las cargas de construcción cuando el diseño es mediante el método de la resistencia plástica, por tanto no se usan puntales temporales. En el caso de que el diseño sea mediante el método de resistencia elástica, los esfuerzos deben ajustarse tomando en cuenta la secuencia de la construcción y para garantizar que la viga de acero no quede sobre-esforzada durante la construcción existen dos maneras de resolver esta dificultad. La primera consiste en fijar puntales temporales, manteniendo en su lugar hasta que el concreto ha alcanzado el 75% de su resistencia a los 28 días, donde la sección ya trabaja como compuesta y todas las cargas son resistidas por tal sección, pero a menudo es inadecuado y caro usar puntales, es ahí donde surge la segunda opción que es de usar vigas de acero sin apuntalamiento en ese caso los esfuerzos por carga muerta deben ser menores que φFy = 0.9φFy.

11.7.2 ARRIOSTRAMIENTO LATERAL Luego de que el hormigón ha fraguado, esta transmite suficiente soporte lateral al ala de la viga de acero que esta en compresión, pero durante la construcción la sección compuesta muchas veces el soporte lateral que tiene es escaso, por tanto su resistencia de diseño tiene que reducirse. El encofrado de madera o formaletas dan a la sección suficiente soporte lateral.

11.7.3 PESO ESTIMADO DE LA VIGA DE ACERO Cuando se hace uso de las tablas8 para vigas de sección compuesta del AISC-01, una manera de aproximar el peso de una viga por unidad de longitud requiere varias profundidades que pueden ser calculadas según la siguiente ecuación9:

  12·M µ Peso EST.VIGA =   3.4  ( d 2 + Ycon − a 2 ) φFy 

7 8 9

(11.14)

Véase Flexural Members, Págs. 16.1-217 a 16.1-226 en el AISC-01 Véase Table 5-14 Composite W-Sapes, Págs. 5-136 a 5-146, en el AISC-01 Véase Composite Beams, Pág. 5-11, en el AISC-96.

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Donde:

Mu = Resistencia a la flexión requerida por la sección compuesta, kip-ft d = Profundidad nominal de la viga de acero, in. Ycon = Distancia entre la parte superior de la viga de acero y la parte superior de la losa de concreto, in.

a

φ

= Espesor efectivo de la losa de hormigón, in. = 0.85

11.7.4 LIMITE INFERIOR DEL MOMENTO DE INERCIA El reglamento del LRFD10, contiene tablas con valores del límite inferior de momentos de inercia que se utilizan para calcular las deformaciones bajo carga de servicio de secciones compuestas.

Figura 11-8.

Diagrama para calcular el límite inferior del momento de inercia

Según la Figura 11-8, se tiene la siguiente expresión: 2 d   ∑ Qn  I = I x + A s  YENE −  +  2   Fy 

 2  ( d + Y2 − YENE ) 

(11.15)

Donde los valores de la ecuación (11.15) es en base al área de la viga de acero y un área de concreto equivalente igual a ΣQn / Fy . El límite inferior del momento de inercia se calcula con la expresión siguiente en la que YENA es la distancia entre el fondo de la viga y el eje neutro elástico (ENA).

11.7.5 REFUERZO ADICIONAL Se presentan en las vigas momentos negativos que tienden a agrietar la losa debido a que las vigas no presentan una forma plana en sus extremos, por tanto según el reglamento ACI11 para prevenir el agrietamiento se coloca refuerzo adicional por temperatura y contracción en la parte superior de la losa.

10 11

Véase Table 5-15 Lower Bound Elastic Moment of Inertia for Plastic Composite Sections, Págs. 5-147 a 5-159, en el AISC-01 Véase Building Code Requirements for Reinforced Concrete, sección 7.12, en el ACI 318-02

PÁG. 255


11.8

COLUMNAS COMPUESTAS

El diseño de una columna compuesta sometida a compresión es similar a una columna no compuesta como se estudió en el Capitulo 8, por tanto los criterios que deben revisarse para el diseño de columnas compuestas cuando se desprecia el acero de refuerzo se dan a continuación. 1. Definir resistencias de fluencia modificadas Fmy 2. Módulos de elasticidad modificados Em Para tubos circulares o rectangulares rellenos de hormigón:

Fmy = Fys + 0.85 E m = Es +

f c′·A c As

0.4·E c ·A c As

(11.16)

(11.17) (11.18)

r = rs Para perfiles revestidos de concreto:

f c′·A c As

(11.19)

0.2·E c ·A c As

(11.20)

Fmy = Fys + 0.6 E m = Es +

r = máx ( rs , 0.3h 2 ) Donde:

(11.21)

Fys = Esfuerzo de fluencia del acero, klb/ft2 fc’ = Esfuerzo de compresión especificado del hormigón, klb/ft2 Ac = Area del hormigón As = Area del acero Es = Módulo de elasticidad del acero, Es = 29000 klb/ft2 Ec = Módulo de elasticidad del hormigón, klb/ft2 = ( w1.5 ) f c′ w r rs h2

= Peso unitario12 del concreto, lbs/ft3. = Radio de giro = Radio de giro de la sección de acero = Dimensión del revestimiento rectangular de hormigón perpendicular a la dirección del pandeo.

11.8.1 RESTRICIONES EN COLUMNAS COMPUESTAS SEGÚN EL REGLAMENTO DEL LRFD a)

12

El área de la sección de acero estructural debe ser As ≥ 4 en porcentaje del área total de la sección compuesta.

Véase Curvas Tipicas de esfuerzo-deformación para aceros estructurales y concreto, Capitulo 1, Pág.10

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b)

La columna de hormigón puede estar revestido con barras de acero longitudinal y estribos laterales. El espaciamiento máximo entre estribos debe ser 2/3 de la menor dimensión de la sección compuesta. El área mínima del refuerzo longitudinal y transversal de acero en la sección compuesta debe ser 0.007 in2. El recubrimiento de la sección deberá ser como mínimo 4 cm en todo el perímetro.

c)

La mínima resistencia cilíndrica a la compresión es ƒC’= 210 Kg/cm2; la máxima es ƒC’= 560 Kg/cm2; y para hormigones livianos es de ƒC’= 280 Kg/cm2.

d)

Diseñar la sección de acero estructural y el refuerzo de acero del hormigón con un Fy = 55 ksi ≈ 3800 Kg/cm2.

Ejemplo 11.1 La losa de hormigón de la Figura 11-8, esta apoyada en vigas W de acero A36, separadas a una distancia de 3.0 m entre si. La luz de las vigas es de 9.0 m y son vigas simplemente apoyadas. El hormigón tiene una resistencia cilíndrica a la compresión fc’=350 Kg/cm2 y la armadura de refuerzo de hormigón tiene un punto de fluencia Fy = 4200 Kg/cm2. La máxima altura del perfil a usarse es 18 in. La carga viva es CV = 700 Kg/cm2 . 1. 2. 3. 4. 5.

Diseñar la losa de hormigón. Diseñar las vigas asumiendo que la sección no es una sección compuesta. Diseñar las vigas asumiendo que la sección es una sección compuesta. Diseñar los conectores de corte. Verificar la necesidad de apuntalamiento o arriostramiento lateral durante la construcción.

Figura 11-9.

Losa de hormigón apoyada en vigas de sección W.

1. Diseño de la losa Del reglamento del ACI 318-02R/318R-02 8.3.3 (e), se tiene que:

h min =

L 300 = = 12.5cm 24 24 Usar h =12.5

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w D = 0.125·2400 = 300 w L = 700

Kg m2

Kg m2

w µ = 1.2·300 + 1.6·700 = 1480

Kg m2

El momento máximo en la viga de acero es:

M máx =

1 1 w·L2 = 1480·3.02 = 1332Kg·m 10 10

Entonces el canto útil del espesor del hormigón será de:

d = 12.5 − 2.0 − 0.6 = 9.9cm Con

b e = 100cm d = 9.9cm Kg f c′ = 350 2 cm Kg f y = 4200 2 cm M = 1332Kg·m

Según el reglamento del ACI 318-02R/318R-02 10.3, Requerimientos y Principios Generales, se tiene que:

0.85·f c′·β1 ·b·c = AS ·fS 0.85·f c′·β1 ·b·c AS = fy

( AS )min = 0.795 ( AS )min =

f c′ fy

14 ·b w ·d fy

Refuerzo de acero máximo.

·b w ·d Refuerzo de acero mínimo (Usar el mayor).

Se tiene el área de la armadura de acero que se requiere para la losa de hormigón:

AS = 4.0cm 2 φ10 c 19

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La armadura máxima y mínima es:

( A )máx = 2.5cm 2 ( A )min = 0.0018·100·12.5 = 2.25cm 2 φ8c 34 en 2 capas Para momentos positivos el momento máximo es:

M(+) ⇒ ( Mµ )

máx

=

1 1 w·L2 = 1610·3.02 = 1035Kg·m 14 14

AS = 2.83cm 2 φ8c 17 Para momentos negativos en el apoyo exterior es:

1 1 w·L2 = 1610·3.02 = 604Kg·m apoyo − exterior 24 24 2 2 AS = 1.63cm < ( A )min = 2.25cm M(−) ⇒ ( Mµ )

Usar

=

( A )min = 2.25cm 2 ⇒ φ8c

20

Esquema del corte transversal de la sección losa de hormigón.

2. Diseño de las vigas sin considerar la sección compuesta

Según el reglamento del ACI 318-02/318R-02 8.3.3 (e), se tiene que la fuerza cortante en el punto (B) es:

PÁG. 259


L 3.0 = 1.15·1480 = 2553Kg 2 2 L 3.0 Vµ 2 = w µ = 1480 = 2220Kg 2 2 ( R µ ) = Vµ1 + Vµ 2 = 2553 + 2220 = 4773Kg Vµ1 = 1.15·w µ

B

Entonces en la viga (B) se tiene:

Probar W18x60, donde:

w = 60

lb Kg ·1.49 = 89.4 ft m

w µ = 4773 + 1.2·89.4 = 4880

Kg m

El momento último es:

w·L2 4880·9.02 = = 49410Kg·m 8 8 M µ = 49410·0.00723 = 357Kip − foot Mµ =

M µ = 357·12 = 4287Kip − in Entonces el momento nominal o de diseño es igual a:

φM n = φM p

Toda el ala de la sección de acero esta en compresión y arriostrada lateralmente Lp =0

Determinar el módulo resistente plástico13 φZx :

φM p = φZX ·Fy = 0.9·ZX ·36 4287 = 0.9·ZX ·36 ZX =

4287 = 132in 3 0.9·36

El valor de Zx para W18x60 del AISC es:

ZX = 123in 3 13

Véase Módulo plástico resistente, inciso 6.3, Pág. 5, del Capítulo 6.

PÁG. 260


Entonces:

ZX = 123in 3 < ZX = 132in 3

El perfil W18x60 no resiste

Probar W18x65, donde:

w = 65

lb Kg ·1.49 = 94 ft m

w µ = 4773 + 1.2·94 = 4886 El momento último es:

Kg m

w·L2 4886·9.02 Mµ = = = 49470Kg·m 8 8 M µ = 49470·0.00723 = 358Kip − foot M µ = 358·12 = 4296Kip − in Determinar el módulo resistente plástico13 Zx :

φM p = φZX ·Fy = 0.9·ZX ·36 4296 = 0.9·ZX ·36 4296 = 132.6in 3 0.9·36 El valor de Zx para W18x60 del AISC14 es: ZX =

ZX = 133in 3 Entonces el valor del módulo plástico provisto es :

ZX = 133in 3 > ZX = 132.6in 3 ...... O.K. Usar W18x60

3. Diseño de las vigas considerando la sección compuesta Verificar compacidad del perfil W18x40, entonces: Compacidad en el ala de la sección de acero:

 b   2·t f

  = 5.1 

b 65 = 10.8 > 5.1   = Fy  t f max

Compacidad en el alma de la sección de acero:

h   th 14

  = 35.7 

 h  640 = 106.7 > 35.7   = Fy  t w  max

Véase Dimensions and Properties, Pág. 1-32, en el AISC-94

PÁG. 261


Asumir que el PNA cae en la losa de hormigón, Cconc < 12.5 cm, como se observa en la siguiente figura:

El ancho efectivo be, se determina como sigue:

a) b1 = L/8, entonces: b 1 = ·9.0 = 1.125m 2 2 b) b1 = S/2, Donde S = Distancia desde el eje vertical central de la viga. b = 1.50m 2 c) NA (No Aplicable) Se toma el menor ancho efectivo:

b = 2·1.125 = 2.25m Del inciso 11.5, se tiene que: 1.

φMn = φMp

h 640 640 = 51 < = = 106 tw Fy 36

Se toma

φ = 0.85

Entonces:

Tacer = AS ·Fy = 11.8·2.542 ·36·70.31 = 192694Kg Cconc = 0.85·f c′·b e ·a = 0.85·350·225·a = 66937.5·aKg Cconc = Tacer a=

192667 = 2.87cm 66937.5

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Según el reglamento del ACI 318-02/318R-02 10.2.7.1, se tiene que el valor de a es:

Canto útil

a = β1 · c

Coeficiente

β1

Resistecia cilíndrica a la compresión 2

ƒC’ [psi] – [Kg/cm ]

β1 = 0.85

ƒC’ ≤ 4000 psi ƒC’ ≤ 280 Kg/cm2

β1 = 0.80

ƒC’ = 4000 psi ƒC’ = 350 Kg/cm2

β1 = 0.75

ƒC’ = 6000 psi ƒC’ = 420 Kg/cm2

De la Tabla se tiene:

c=

a 2.87 = = 3.6cm < t = 12.5cm ......O.K. β1 0.80 El eje neutro plástico cae en la losa tal como se asumió.

Entonces el momento nominal es:

   a φb M n = φb M p = 0.85· C  c −  + T ( 22.73 + 12.5 − c )  2      2.87   φb M n = 0.85·192667  3.6 −  + 192694 ( 22.73 + 12.5 − 3.6 )  2     φb M n = 55352Kg·m El peso propio de la viga:

PPV = 40·1.49 = 60

Kg m

w µ = 4773 + 1.2·60 = 4845

Kg m

El momento último resistente de la viga de acero es:

4845·9.02 = 49056Kg·m 8 M µ = 49056Kg·m < φb M n = 55352Kg·m .…… O.K. Mµ =

4. Diseño de conectores de corte

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Longitud máxima del conector:

LC.máx = 12.5 − 2.0 − 1.0 − 0.8 = 8.7cm Diámetro máximo del conector:

DC.máx =

8.7 = 2.175cm 4

7 D = in = 2.22cm > 2.175cm 8 3 D = in = 1.91cm < 2.175cm 4

Usar conectores

Determinar la separación máxima y mínima de los conectores de corte:

3 Smin = 6· = 11.43cm 4 Smax = 8·12.5 = 100cm Máxima fuerza horizontal que deben resistir los conectores de corte

Vh = 0.85·f c′·A c Vh = 0.85·350·2.87·225 = 192111Kg Según el inciso 11.4.1, el valor de la cortante para conectores de cabeza redonda o espárragos a cortante es:

Q n = 0.5·A sc f c′·E c ≤ A sc ·Fµ El área del conector de corte,

π·φ2 π·( 3 / 4 ) A sc = = = 0.44in 2 4 4 2

Según el reglamento15 del ACI 318-02/318R-02 8.5, se tiene que el valor del módulo de elasticidad es: 15

Véase Modulos of elasticity, Part 4, Chapter 8, en el inciso 8.5 del ACI 318-02/318R-02

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Kg = 4800psi cm 2 E c = 57000 f c′ = 57000 4800 = 3949076psi

f c′ = 350

Entonces:

Q n = 0.5·0.44 4800·3949076 = 30289lb Q n = 13751Kg De la tabla 1-1 del Capitulo 1, se tiene que para un acero estructural ASTM A36 la resistencia última es Fµ = 58 ksi, entonces:

A sc ·Fµ = 0.44·0.0069·58 = 255520lb A sc ·Fµ = 11580Kg El número de conectores de corte necesarios:

Ns =

C 192111 = = 16.6 Q n 11580 Usar Ns = 17 conectores a cada lado

La separación entre conectores de corte es:

450 = 26.5cm 17 3 6·d = 6· ·2.54 = 11.43cm 4 6·d = 11.43cm < S = 26.5cm ......O.K.

S=

Usar 34 conectores de corte a cada lado del centro del claro en toda la longitud de la viga. Las dimensiones de los conectores de corte de cabeza redonda se observa en la figura.

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5. Verificación de apuntalamiento o apoyos laterales durante el hormigonado

w D = 0.125·2400 = 300 w L = 100

Kg m2

Kg m2

w µ = 1.2·300 + 1.6·100 = 520

Kg m2

Según el reglamento del ACI 318-02/318R-02 8.3.3 (e), se tiene que la fuerza cortante en el punto (B) es:

L 3.0 = 1.15·520 = 897Kg 2 2 L 3.0 Vµ 2 = w µ = 520 = 780Kg 2 2 ( R µ ) = Vµ1 + Vµ 2 = 897 + 780 = 1667Kg Vµ1 = 1.15·w µ

B

Entonces:

w µ = 1667 + 1.2·89.4 = 1774

Kg m

El momento último resistente es:

w·L2 1774·9.02 = = 17962Kg·m 8 8 M µ = 1332·0.00723 = 130Kip − foot Mµ =

La longitud entre apoyos laterales es:

L b = 9.0m = 29.5ft = 354in Para un perfil W18x40, de la Tabla del AISC16 se tiene los valores de:

L r = 15.7ft L p = 5.3ft φM r = 133Kip − ft φM p = 212Kip − ft 16

V éase Load Factor Design Selection Table, Pág. 4-19, en el AISC-94

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Los valores de J y Cw para un perfil W18x40, de la Tabla del AISC17, son:

J = 0.81in 4 C w = 1440in 6 Los valores de X1, X2, Sx y ry, de la Tabla del AISC18 para un perfil W18x40, son:

X1 = 1810Ksi X1 = 17200x10−6 = 0.0172Ksi Sx = 68.4in 3 ry = 1.27in Si Lb > Lr se pandea la sección lateralmente por torsión:

φM n = φMcr =


φM n = φMcr =

1.0·68.4·1810 2 18102 ·0.0172 1+ 2 354 /1.27 2 ( 354 /1.27 )

φMcr = 43.2Kip − foot << 130Kip − foot

.......O.K.

Se necesita arriostramiento lateral Probar con un arriostramiento lateral al centro de la viga de acero

Lp =

29.5 = 14.75ft 2

 Lb − Lp  φM n = φM p − ( φM p − φM r )   L r − L p     14.75 − 5.3  φM n = 212 − ( 212 − 133)    15.7 − 5.3  φM n = 140.2Kip − foot > 130Kip − foot ......O.K. Usar un arriostramiento lateral hasta que el hormigón alcance el 75% de su 2 resistencia ( ƒC’ = 0.75·350 = 262.5 Kg/cm ).

17 18

V éase Torsión Properties W shapes, Pág. 1-148, en el AISC-94 V éase Dimensions and Properties, Pág. 1-33, en el AISC-94

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Ejemplo 11.2 Determine la capacidad de una columna W18x31 de acero A36, contenido en una sección de 16x16 in como se observa en la Figura, la resistencia cilíndrica a la compresión del 2 hormigón es ƒC’= 280 Kg/cm ; el refuerzo de acero longitudinal es ø = 7/8 in y para estribos un diámetro de ø = 3/8 in con una separación entre estribos de 10 in, y una longitud Ky Ly = Kx Lx = 15 in.

a) Verificar las restricciones en columnas compuestas 2

2

Para W18x31, del AISC As = 11.7 in , el area total es ATotal = 16·16 = 256 in , entonces:

11.7in 2 = 4.6% > 4% 256in 2

......O.K.

b) El espaciamiento entre estribos es:

2 S = 10in < ·16in = 10.7in 3 El recubrimiento = 1.5 in El refuerzo horizontal

......O.K. ......O.K.

ø = 1/8 in tiene un área Ar = 0.11 in2, entonces:

A r = 0.11in 2 > 0.007in 2 ·10 = 0.07in 2 El refuerzo vertical

......O.K.

ø = 5/8 in tiene un área Ar = 0.11 in2, entonces:

A r = 0.60in 2 > 0.007in 2 ·11.4 = 0.08in 2

......O.K.

c) La resistencia cilíndrica mínima a la compresión es:

ƒC’= 210 Kg/cm2 < ƒC’= 250 Kg/cm2 < ƒC’= 560 Kg/cm2 ......O.K.

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SECCIONES COMPUESTAS 2

d) Usar Fyr = 55 ksi ≈ 3800 Kg/cm , Determinar Fmy y Em, donde:

A c = 16·16 − (11.7 + 2.4 ) = 242in 2 A c = 614.4cm 2

El módulo de elasticidad del hormigón con ƒC’= 3.5 ksi ≈ 280 Kg/cm es:

E c = ( w1.5 ) f c′ = (1451.5 ) 3.5 = 3266.52ksi Entonces:

E c = ( w1.5 ) f c′ = (1451.5 ) 3.5 = 3266.52ksi Fmy = Fys + 0.6 E m = Es +

f c′·A c 3.5·242 = 36 + 0.6 = 79.44ksi As 11.7

0.2·E c ·A c 0.2·3266.52·242 = 29000 + = 42513ksi As 11.7

El radio del perfil W18x31 es

ry = 2.04 in, entonces el radio de giro modificado:

rm = 2.04 ≥ 0.3·16 = 4.80in rm = 2.04 ≥ 4.80in

Tomar el mayor valor

Esfuerzo crítico19 de la sección sometida a compresión, considerando los parámetros modificados, entonces:

λc =

K·l Fmy 15·12 79.44 = = 0.52 rm ·π E m 4.80·π 42513

λ c = 0.52 < 1.5 El esfuerzo crítico es:

2  Fcr =φ 0.658λc  ·Fmy    

2  Fcr =0.85 0.6580.52  ·79.44=60.3ksi     Fcr = 60.3

kips in 2

La capacidad de la columna W18x31, es: 19

Véase Formulas del Reglamento AISC para compresión, método LRFD, inciso 4.3, Capitulo 4

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φc Pcr = φc As ·Fcr φc Pcr = 0.85·11.7·60.3 = 600kips φc Pcr = 600kips ≈ 272160Kg El valor de la capacidad de la columna de sección W18x31 es φPcr = 600 kips, con este mismo valor y las mismas condiciones de la tabla del AISC20 se tiene una sección W8x40 (Véase Anexo 11.1).

PROBLEMAS

Problema 11.1 Determine el Mµ para la sección mostrada en la siguiente figura, suponiendo que se tiene suficientes conectores de cortante que garanticen una acción compuesta entre la sección de acero con A36 y la losa de hormigón con una resistencia cilíndrica a la compresión de ƒC’= 280 Kg/cm2 . Usar las fórmulas y revisar con las tablas del AISC.

Problema 11.2 Determinar φPcr para las columnas compuestas indicadas, usando las fórmulas apropiadas del método LRFD. Las secciones son de acero A36 y la resistencia cilíndrica a compresión 2 del concreto es ƒC’= 250 Kg/cm . Las longitudes efectivas de la columnas es KL = 3.70 m como se muestra en la siguientes figuras.

20

Véase Composite Design, Composite Columns W Shapes, Pág. 5-85, en el AISC-94

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