MODELO MATEMÁ MATEMÁTICO TICO DE UN MOTOR DE CORRIENTE CONTINUA SEPARADAMENTE EXCITADO
Resumen En este trabajo se presenta el modelo matemático de un motor de corriente continua. Se ha desarrollado el modelo matemático usando ecuaciones diferenciales y a su vez también se desarrollo el análisis respectivo en términos de las variables físicas que se tiene en el motor, como en la carga mecánica acoplada al mismo. dicionalmente se ha simulado y se ha obtenido la respuesta de control de la velocidad la cual puede ser en funci!n de la corriente de armadura y para esto se utilizo S"#$%"&', una herramienta del programa #(%).
INTRODUCCIÓN %os motores de corriente continua son los más comunes y econ!micos, y se pueden encontrar en la mayoría de los juguetes a pilas, constituidos, por lo general, por dos imanes permanentes fijados en la carcasa c arcasa y una serie de bobinados de cobre ubicados en el eje del motor, que habitualmente suelen ser tres y a su vez son ampliamente usados a nivel industrial. %os motores de corriente continua permiten un amplio rango de velocidad y pueden proporcionar un alto par*motor par*motor con control más sencillo y econ!mico que cualquier cualquier motor de corriente alterna. En la actualidad los métodos de control de velocidad se han ido desarro desarrolla llando ndo consid considerab erableme lemente nte y los mas comune comuness son el control control de veloci velocidad dad por corriente de campo y el control de velocidad por corriente de armadura, que son técnicas de control no lineal. +ara +ara poder poder analiz analizar ar estos estos método métodoss se requie requiere re del conocim conocimient iento o físico físico del sistem sistema, a, unidades de las constantes que aparecen en el modelo, selecci!n adecuada de las variables de estad estado o y cono conocim cimien iento toss de desar desarrol rollo lo de ecuaci ecuacion ones es difer diferen enci ciale aless utili utiliza zand ndo o la transformada de %aplace y a su vez para poder observar el comportamiento un simulador el cual para objeto de estudio se utiliza
S"#$%"&' una herramienta del programa #(%). %a selecci!n de variables no es evidente, sino más bien resulta de la eperiencia en el modelado de sistemas eléctricos y
mecánicos, y así como de la apropiada selecci!n de constantes físicas como de fricci!n, inercia y torque eléctrico. En esta propuesta, se desarrolla el modelo matemático de un método de control de velocidad el cual es- control de velocidad por corriente de armadura. +ara esto el motor a utilizar será un motor de ecitaci!n separada y se tendrá un análisis físico que eplota el conocimiento sobre los parámetros y las unidades físicas del motor de corriente continua, así como cierta eperiencia en identificar constantes de tiempo en sistemas eléctricos y mecánicos, y al mismo tiempo se tendrá un análisis matemático, pues se emplea la teoría de control para la selecci!n de las variables de estado. entro del trabajo se presenta una simulaci!n y se determina el comportamiento de la velocidad del motor con respecto a la corriente de armadura con condiciones iníciales establecidas. /inalmente se concluye analizando los resultados obtenidos de la simulaci!n con el modelo matemático determinado.
II. CARACTERÍSTICAS DEL MODELO $n motor de corriente continua está formado por un estator o inductor que es la parte fija del motor y un rotor o inducido que es la parte m!vil. El motor a utilizar es un motor de ecitaci!n separada, cuya característica principal es la bobina 0inductor1 que genera el campo magnético no se encuentra dentro del circuito del motor, es decir no eiste conei!n eléctrica entre el rotor y el estator como se muestra en la siguiente figura-
FIGURA 1. Esquema de un motor separadamente ecitado. El modelo ilustrado posee características eléctricas que consta de- Vi la tensi!n de alimentaci!n del rotor, Ii la corriente que va a circular por el rotor también conocida por corriente de armadura, Ri la resistencia del bobinado del rotor, Li la inductancia del
bobinado del rotor, es la fuerza contra*electromotriz del motor, Vf es la tensi!n de alimentaci!n del estator, If la corriente que va a circular por el estator, Rf la resistencia del bobinado del estator, Lf la inductancia del bobinado del estator.
+ara que el motor cumpla su funci!n, normalmente se le coloca una carga mecánica en el eje del rotor y de esto dependerán las características mecánicas las cuales son- ω la velocidad angular de giro a la cual trabaja el rotor, J el momento de inercia equivalente del eje rotor con la carga que se desea colocar, B el coeficiente de rozamiento viscoso.
III. DETERMINACIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO El modelado matemático del motor de corriente continua requiere de dos ecuaciones, una ecuaci!n mecánica y otra ecuaci!n eléctrica. Estas ecuaciones están acopladas y se basan en las %eyes de la dinámica y de 'irchhoff, respectivamente. +or una parte, la ecuaci!n mecánica modela principalmente el movimiento del rotor, y por otra parte la ecuaci!n eléctrica modela lo que ocurre en el circuito eléctrico del inducido.
l aplicar una tensi!n Vi al inducido, circula por él una corriente Ii, y debido a esta corriente, por el rotor, se inducirá una fuerza contra electromotriz 0ley de %enz 2toda corriente se opone a la causa que la produce31 cuyo valor vendrá determinado por la epresi!n-
Ecuación (1) Siendo ' b la constante de fuerza contra*electromotriz. plicando la ley de 4hm, la tensi!n 5til será
Ecuación (2) 6emplazando la Ecuaci!n. 071 en la Ecuaci!n 081-
Ecuación (3)
El rotor realizara su movimiento debido al torque electromagnético generado por el campo magnético que se produce en el estator y a su vez este dependerá de la corriente que circula en la armadura, de esta manera la ecuaci!n es-
Ecuaci!n 091 Siendo ' p la constante de torque electromagnético. El motor en su movimiento giratorio arrastra una carga, creándose por lo tanto, un par* motor resultante
,
y a su vez se tiene fricci!n en el sistema que depende de la
velocidad a la cual gira el rotor y este causa un torque
que es en sentido opuesto al
movimiento, obsérvese esto en la siguiente figura.
FIGURA 2. iagramas de torques en el rotor. Se define a : como la aceleraci!n angular de la carga, de esta manera-
Ecuaci!n 0;1 %a ecuaci!n que describe a
es-
Ecuaci!n 0<1 %a ecuaci!n que describe a
es-
Ecuaci!n 0=1
hora se procede a realizar una sumatoria de torque y se obtiene la siguiente ecuaci!n-
Ecuaci!n 0>1 6emplazando las Ecuaci!n. 091, 0<1 y 0=1 en la Ecuaci!n. 0>1-
Ecuaci!n 0?1 espejando "@ 0t1 de la Ecuaci!n. 0?1 y luego derivándola con respecto al tiempo da como resultado-
Ecuaci!n 07A1
Ecuaci!n 0771
Sustituyéndola en la Ecuaci!n 07A1 y 0771 en la Ecuaci!n 0B1, quedará una ecuaci!n diferencial de segundo orden 0aparece la segunda derivada1, no homogénea, lineal y de coeficientes constantes C;D, como se muestra a continuaci!n-
Ecuaci!n 0781 e esta manera la Ecuaci!n
0781 describe el modelo matemático para un motor de
corriente continuo separadamente ecitado
III. SOLUCIÓN DEL MODELO MATEMÁTICO El modelo matemático ya fue descrito y para su soluci!n es necesario tener una consideraci!n de mucha importancia, el valor de la constante %@ para motores de corriente continua separadamente ecitado, es aproimadamente cero y siendo así la ecuaci!n diferencial se transforma en una ecuaci!n de primer orden, no homogénea, lineal y de coeficientes constantes.
Ecuaci!n 07B1 +ara el modelo se tiene como condici!n inicial que a tiempo igual cero 0es decir cuando el motor va arrancar1 el valor de la velocidad es cero-
Así,
ordenando,
arreglando
la
Ecuación
(13)
y
aplicando
la
transformada de La place a ambos miembros de la ecuación, se obtiene:
Ecuación (1)
Se define a las constantes y F como-
$na vez obtenida la ecuaci!n de la velocidad en funci!n del tiempo se procede a resolver mediante fracciones parciales la Ecuaci!n 0791.
Ecuaci!n 07;1 %os valores de y ) que satisfacen la ecuaci!n es-
e esta forma la ecuaci!n queda descrita-
Ecuaci!n 07<1
esde este punto la soluci!n del modelo matemático ya es evidente, pues se procede aplicar la transformada de %a place inverso a la Ecuaci!n. 07<1.
Ecuaci!n 07=1 %a Ecuaci!n 07=1 describe el comportamiento de la velocidad de rotor en funci!n tiempo, siendo así la soluci!n del modelo matemático para un motor de corriente continua separadamente ecitado.
IV. SIMULACIÓN A. SIMLULINK una e!!am"en#a $e MATLA% %a simulaci!n es parte fundamental dentro del desarrollo del tema, pues de esta manera se podrá verificar gráficamente el comportamiento de las variables físicas que se desean analizar, que para este caso será la velocidad en funci!n del tiempo. +ara la simulaci!n se utiliz! S"#$%"&', que es un es un paquete de softGare para modelar, simular y analizar sistemas dinámicos. Soporta sistemas lineales y no lineales, modelados en tiempo continuo, muestreados o un híbrido de los dos. %os sistemas pueden ser también multi frecuencia, es decir, tienen diferentes partes que se muestrean o actualizan con diferentes velocidades. +ara modelar, S"#$%"&' proporciona una interfaz de usuario gráfica 0H$"1 para construir los modelos como diagramas de bloques, utilizando operaciones con el rat!n del tipo pulsar y arrastrar. Ion esta interfaz, puede dibujar los modelos de la misma forma que lo haría con lápiz y papel 0o como lo representan la mayoría de los libros de teto1. Esto es un cambio radical respecto a los paquetes de simulaci!n previos que requieren que formule las ecuaciones diferenciales y las ecuaciones en diferencia en un lenguaje o programa.
S"#$%"&' incluye una amplia biblioteca de bloques de sumideros, fuentes, componentes lineales y no lineales y conectores. +uede también personalizar y crear sus propios bloques. %os modelos son jerárquicos, es decir, puede construir modelos utilizando una metodología descendente y ascendente. +uede visualizar el sistema en un nivel superior, desde donde mediante un doble clic sobre los )loques puede ir descendiendo a través de los niveles para ver con más detalle el modelo. Esto le proporciona una comprensi!n de c!mo se organiza un modelo y c!mo interact5an sus partes. espués de definir un modelo, puede simularlo utilizando cualquiera de los métodos de integraci!n que tiene a su disposici!n o bien desde el men5 de S"#$%"&' o introduciendo !rdenes desde la ventana de !rdenes de #(%). %os men5s son apropiados para un trabajo interactivoJ mientras que el enfoque de línea de orden es muy 5til para ejecutar un lote de simulaci!n. $tilizando bloques Scopes y otros bloques de visualizaci!n, puede ver los resultados de la simulaci!n mientras se está ejecutando. demás, puede cambiar los parámetros y ver de forma inmediata lo que sucede en eploraciones del tipo Kque sucede siK. %os resultados de la simulaci!n se pueden transferir al espacio de trabajo de #(%) para su posterior post*procesamiento y visualizaci!n. %as herramientas de análisis de modelo que incluyen linealizaci!n y determinaci!n de estados estacionarios pueden ser accedidas desde la línea de orden de #(%), así como las muchas utilidades que #(%) y sus toolboes de aplicaci!n poseen y como #(%) y S"#$%"&' están integrados, pueden simular, analizar y revisar sus modelos en uno u otro entorno en cualquier momento.
%. Des&!"'&"(n $e )*s e)emen#*s +ue &*n*!man e) m*$e)* 'a!a )a s"mu)a&"(n En el siguiente grafico se muestra el modelo realizado en S"#$%"&' de un motor de de corriente continua de ecitaci!n separada y se describe cada elemento del sistema.
!"#$%A 3& Es'uema del motor de corriente contina de ecitación separada reali*ado en +"$L"-.&
