1300 MathS Formulas

1300 Math Formulas

fp_k= =VVQVNMTTQN= `çéóêáÖÜí=«=OMMQ=^KpîáêáåK=^ää=oáÖÜíë= `çéóêáÖÜí=«=OMMQ=^KpîáêáåK=^ää=oáÖÜíë=oÉëÉêîÉÇK= oÉëÉêîÉÇK=

qÜáë=é~ÖÉ=áë=áåíÉåíáçå~ääó=äÉÑí=Ää~åâK=

i

Preface

qÜá qÜáë= Ü~åÇÄ ~åÇÄçç ççâ= â= áë ~= Åçãé ÅçãéäÉ äÉíÉ íÉ ÇÉëâ ÇÉëâíç íçé= é= êÉÑÉ ÉÑÉêÉåÅ êÉåÅÉ= É= Ñçê Ñçê ëíìÇÉåí ÇÉåíë= ë= ~åÇ= ~åÇ= Éå ÉåÖá ÖáåÉ åÉÉê ÉêëK ëK fí Ü~ë= Ü~ë= Éî ÉîÉê Éêóí óíÜá ÜáåÖ åÖ Ñêçã Ñêçã Üá ÜáÖÜ ÖÜ ëÅÜç ëÅÜççä çä ã~íÜ=íç=ã~íÜ=Ñçê=~Çî~åÅÉÇ=ìåÇÉêÖ ã~íÜ=íç= ã~íÜ=Ñçê=~Çî~åÅÉÇ=ìåÇÉêÖê~Çì~ ê~Çì~íÉë=áå= íÉë=áå=ÉåÖáå ÉåÖáåÉÉêá ÉÉêáåÖI= åÖI= ÉÅçåçãáÅëI=éÜóëáÅ~ä=ëÅáÉåÅÉëI=~åÇ=ã~íÜÉã~íáÅëK=qÜÉ=ÉÄççâ= Åçåí Åçåí~á ~áåë åë ÜìåÇ ÜìåÇêÉ êÉÇë Çë çÑ Ñçêã Ñçêãìä ìä~ë ~ëI= I= í~Ää í~ÄäÉë ÉëI= I= ~åÇ= ~åÇ= ÑáÖì ÑáÖìêÉ êÉë= ë= Ñêçã Ñêçã kìãÄÉê= kìãÄÉê= pÉíëI ^äÖÉÄê~I= ^äÖÉÄê~I= dÉçãÉíêóI= dÉçãÉíêóI= qêáÖçåçãÉíê qêáÖçåçãÉíêóI= óI= j~íêáÅÉë= j~íêáÅÉë= ~åÇ aÉíÉêã aÉíÉêãáå~ áå~åíë åíëI= I= sÉÅíçê sÉÅíçêëI= ëI= ^å~äóí ^å~äóíáÅ= áÅ= dÉçãÉí dÉçãÉíêóI êóI `~äÅìä `~äÅìäìëI ìëI aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåëI=pÉêáÉëI=~åÇ=mêçÄ~Äáäáíó=qÜÉçêóK== qÜÉ= qÜÉ= ëíêì ëíêìÅí Åíìê ìêÉÇ ÉÇ í~Ää í~ÄäÉ= É= çÑ Åçåí ÅçåíÉå Éåíë íëI= I= äáåâ äáåâëI ëI ~åÇ= ~åÇ= ä~óç ä~óçìí ìí ã~âÉ ã~âÉ ÑáåÇ ÑáåÇáå áåÖ= Ö= íÜÉ= íÜÉ= êÉäÉ êÉäÉî~ î~åí åí áå áåÑç Ñçêã êã~íá ~íáçå çå èìáÅ èìáÅâ= â= ~åÇ= ~åÇ= é~áåä é~áåäÉë ÉëëI ëI ëç áí Å~å=ÄÉ=ìëÉÇ=~ë=~å=ÉîÉêóÇ~ó=çåäáåÉ=êÉÑÉêÉåÅÉ=ÖìáÇÉK===

ii

Contents

1 krj_bo=pbqp=

NKN= NKO= NKP= NKQ=

pÉí=fÇÉåíáíáÉë= 1 pÉíë=çÑ=kìãÄÉêë= 5 _~ëáÅ=fÇÉåíáíáÉë== _~ëáÅ=fÇÉåíáíáÉë==7 `çãéäÉñ=kìãÄÉêë== `çãéäÉñ=kìãÄÉêë==8

2 îdb_o^=

OKN= OKO= OKP= OKQ= OKR= OKS= OKT= OKU=

c~ÅíçêáåÖ=cçêãìä~ë= 12 mêçÇìÅí=cçêãìä~ë= 13 mçïÉêë== mçïÉêë==14 oççíë= 15 içÖ~êáíÜãë== içÖ~êáíÜãë==16 bèì~íáçåë== bèì~íáçåë==18 fåÉèì~äáíáÉë= 19 `çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~ë= 22

3 dbljbqov=

PKN= PKO= PKP= PKQ= PKR= PKS= PKT= PKU= PKV= PKNM= PKNN= PKNO=

oáÖÜí=qêá~åÖäÉ= 24 fëçëÅÉäÉë=qêá~åÖäÉ= 27 bèìáä~íÉê~ä=qêá~åÖäÉ= 28 pÅ~äÉåÉ=qêá~åÖäÉ= 29 pèì~êÉ= 33 oÉÅí~åÖäÉ= 34 m~ê~ääÉäçÖê~ã== m~ê~ääÉäçÖê~ã==35 oÜçãÄìë== oÜçãÄìë==36 qê~éÉòçáÇ= 37 fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ== fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ==38 fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ====40 fëçëÅÉäÉë=qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ====41 qê~éÉòçáÇ=ïáíÜ=fåëÅêáÄÉÇ=`áêÅäÉ

iii

PKNP= PKNQ= PKNR= PKNS= PKNT= PKNU= PKNV= PKOM= PKON= PKOO= PKOP= PKOQ= PKOR= PKOS= PKOT= PKOU= PKOV= PKPM= PKPN= PKPO= PKPP= PKPQ= PKPR= PKPS= PKPT= PKPU= PKPV= PKQM=

háíÉ== háíÉ==42 `óÅäáÅ=nì~Çêáä~íÉê~ä= 43 q~åÖÉåíá~ä=nì~Çêáä~íÉê~ä= 45 dÉåÉê~ä=nì~Çêáä~íÉê~ä= 46 oÉÖìä~ê=eÉñ~Öçå= 47 oÉÖìä~ê=mçäóÖçå= 48 `áêÅäÉ= 50 pÉÅíçê=çÑ=~=`áêÅäÉ== pÉÅíçê=çÑ=~=`áêÅäÉ==53 pÉÖãÉåí=çÑ=~=`áêÅäÉ= 54 `ìÄÉ== `ìÄÉ==55 oÉÅí~åÖìä~ê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= 56 mêáëã== mêáëã==57 oÉÖìä~ê=qÉíê~ÜÉÇêçå== oÉÖìä~ê=qÉíê~ÜÉÇêçå==58 oÉÖìä~ê=móê~ãáÇ= 59 cêìëíìã=çÑ=~=oÉÖìä~ê=móê~ãáÇ====61 cêìëíìã=çÑ=~=oÉÖìä~ê=móê~ãáÇ oÉÅí~åÖìä~ê=oáÖÜí=tÉÇÖÉ====62 oÉÅí~åÖìä~ê=oáÖÜí=tÉÇÖÉ mä~íçåáÅ=pçäáÇë== mä~íçåáÅ=pçäáÇë==63 oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê== oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê==66 oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê=ïáíÜ=~å=lÄäáèìÉ oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`óäáåÇÉê=ïáíÜ=~å=lÄäáèìÉ=mä~åÉ=c~ÅÉ =mä~åÉ=c~ÅÉ====68 oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ== oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ==69 cêìëíìã=çÑ=~=oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ====70 cêìëíìã=çÑ=~=oáÖÜí=`áêÅìä~ê=`çåÉ péÜÉêÉ== péÜÉêÉ==72 péÜÉêáÅ~ä=`~é== péÜÉêáÅ~ä=`~é==72 péÜÉêáÅ~ä=pÉÅíçê== péÜÉêáÅ~ä=pÉÅíçê==73 péÜÉêáÅ~ä=pÉÖãÉåí= 74 péÜÉêáÅ~ä=tÉÇÖÉ== péÜÉêáÅ~ä=tÉÇÖÉ==75 bääáéëçáÇ= 76 `áêÅìä~ê=qçêìë= 78

4 qofdlkljbqov=

QKN= QKO= QKP= QKQ= QKR=

o~Çá~å=~åÇ=aÉÖêÉÉ=jÉ~ëìêÉë=çÑ=^åÖäÉë==80 o~Çá~å=~åÇ=aÉÖêÉÉ=jÉ~ëìêÉë=çÑ=^åÖäÉë== aÉÑáåáíáçåë=~åÇ=dê~éÜë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë= 81 páÖåë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë====86 páÖåë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë=çÑ=`çããçå=^åÖäÉë====87 qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë=çÑ=`çããçå=^åÖäÉë jçëí=fãéçêí~åí=cçêãìä~ë= 88

iv

QKS= QKT= QKU= QKV= QKNM= QKNN= QKNO= QKNP= QKNQ= QKNR= QKNS= QKNT= QKNU= QKNV= QKOM= QKON= 5

oÉÇìÅíáçå=cçêãìä~ë== oÉÇìÅíáçå=cçêãìä~ë==89 mÉêáçÇáÅáíó=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë====90 mÉêáçÇáÅáíó=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë oÉä~íáçåë=ÄÉíïÉÉå=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë====90 oÉä~íáçåë=ÄÉíïÉÉå=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë ^ÇÇáíáçå=~åÇ=pìÄíê~Åíáçå=cçêãìä~ë====91 ^ÇÇáíáçå=~åÇ=pìÄíê~Åíáçå=cçêãìä~ë açìÄäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë== açìÄäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==92 jìäíáéäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë====93 jìäíáéäÉ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë e~äÑ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë== e~äÑ=^åÖäÉ=cçêãìä~ë==94 e~äÑ=^åÖäÉ=q~åÖÉåí=fÇÉåíáíáÉë====94 e~äÑ=^åÖäÉ=q~åÖÉåí=fÇÉåíáíáÉë qê~åëÑçêãáåÖ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=bñéêÉëëáçåë=íç=mêçÇìÅí= 95 qê~åëÑçêãáåÖ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=bñéêÉëëáçåë=íç=pìã====97== qê~åëÑçêãáåÖ=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=bñéêÉëëáçåë=íç=pìã mçïÉêë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë====98 mçïÉêë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë dê~éÜë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë====99 dê~éÜë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë mêáåÅáé~ä=s~äìÉë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêá mêáåÅáé~ä=s~äìÉë=çÑ=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë= ÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë= 102 oÉä~íáçåë=ÄÉíïÉÉå=fåîÉêëÉ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë= 103 qêáÖçåçãÉíêáÅ=bèì~íáçåë====106 qêáÖçåçãÉíêáÅ=bèì~íáçåë oÉä~íáçåë=íç=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë= 106

j^qof`bp=^ka=abqbojfk^kqp= RKN= aÉíÉêãáå~åíë= 107 RKO= mêçéÉêíáÉë=çÑ=aÉíÉêãáå~åíë= 109 RKP= j~íêáÅÉë== j~íêáÅÉë==110 RKQ= léÉê~íáçåë=ïáíÜ=j~íêáÅÉë= 111 RKR= póëíÉãë=çÑ=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë= 114

6 sb`qlop=

SKN= SKO= SKP= SKQ= SKR= SKS= SKT= 7

sÉÅíçê=`ççêÇáå~íÉë= 118 sÉÅíçê=^ÇÇáíáçå== sÉÅíçê=^ÇÇáíáçå==120 sÉÅíçê=pìÄíê~Åíáçå==122 pÅ~äáåÖ=sÉÅíçêë= 122 pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí= 123 sÉÅíçê=mêçÇìÅí= 125 qêáéäÉ=mêçÇìÅí 127

^kîvqf`=dbljbqov= TKN= låÉ=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã= 130

v

TKO= TKP= TKQ= TKR= TKS= TKT= TKU= TKV= TKNM= TKNN= TKNO=

qïç=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã= 131 píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=mä~åÉ= 139 `áêÅäÉ= 149 bääáéëÉ= 152 eóéÉêÄçä~= 154 m~ê~Äçä~= 158 qÜêÉÉ=-aáãÉåëáçå~ä=`ççêÇáå~íÉ=póëíÉã= 161 mä~åÉ= 165 píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=pé~ÅÉ= 175 nì~ÇêáÅ=pìêÑ~ÅÉë= 180 péÜÉêÉ= 189

8

afccbobkqfî=`î`rirp= UKN= cìåÅíáçåë=~åÇ=qÜÉáê=dê~éÜë= 191 UKO= iáãáíë=çÑ=cìåÅíáçåë== iáãáíë=çÑ=cìåÅíáçåë==208 UKP= aÉÑáåáíáçå=~åÇ=mêçéÉêíáÉë=çÑ=íÜÉ=aÉêáî~íáîÉ= 209 UKQ= q~ÄäÉ=çÑ=aÉêáî~íáîÉë== q~ÄäÉ=çÑ=aÉêáî~íáîÉë==211 UKR= eáÖÜÉê=lêÇÉê=aÉêáî~íáîÉë= 215 UKS= ^ééäáÅ~íáçåë=çÑ=aÉêáî~íáîÉ= 217 UKT= aáÑÑÉêÉåíá~ä= 221 UKU= jìäíáî~êá~ÄäÉ=cìåÅíáçåë= 222 UKV= aáÑÑÉêÉåíá~ä=léÉê~íçêë= 225

9

fkqbdoî=`î`rirp= VKN= fåÇÉÑáåáíÉ=fåíÉÖê~ä= 227 VKO= fåíÉÖê~äë=çÑ=o~íáçå~ä=cìåÅíáçåë fåíÉÖê~äë=çÑ=o~íáçå~ä=cìåÅíáçåë====228 VKP= fåíÉÖê~äë=çÑ=fêê~íáçå~ä=cìåÅíáçåë= 231 VKQ= fåíÉÖê~äë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë fåíÉÖê~äë=çÑ=qêáÖçåçãÉíêáÅ=cìåÅíáçåë====237 VKR= fåíÉÖê~äë=çÑ=eóéÉêÄçäáÅ=cìåÅíáçåë= 241 VKS= fåíÉÖê~äë=çÑ=bñéçåÉåíá~ä=~åÇ=içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë= 242 VKT= oÉÇìÅíáçå=cçêãìä~ë= 243 VKU= aÉÑáåáíÉ=fåíÉÖê~ä= 247 VKV= fãéêçéÉê=fåíÉÖê~ä= 253 VKNM= açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä= 257 VKNN= qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä= 269

vi

VKNO= iáåÉ=fåíÉÖê~ä= 275 VKNP= pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä= 285 10 afccbobkqfî=bnr^qflkp=

NMKN= cáêëí=lêÇÉê=lêÇáå~êó=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë= 295 NMKO= pÉÅçåÇ=lêÇÉê=lêÇáå~êó=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë= 298 NMKP= pçãÉ=m~êíá~ä=aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë= 302 11 pbofbp=

NNKN= NNKO= NNKP= NNKQ= NNKR= NNKS= NNKT= NNKU= NNKV= NNKNM= NNKNN= NNKNO= NNKNP=

^êáíÜãÉíáÅ=pÉêáÉë= 304 dÉçãÉíêáÅ=pÉêáÉë= 305 pçãÉ=cáåáíÉ=pÉêáÉë= 305 fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë= 307 mêçéÉêíáÉë=çÑ=`çåîÉêÖÉåí=pÉêáÉë= 307 `çåîÉêÖÉåÅÉ=qÉëíë= 308 ^äíÉêå~íáåÖ=pÉêáÉë= 310 mçïÉê=pÉêáÉë= 311 aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=~åÇ=fåíÉÖê~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë= 312 q~óäçê=~åÇ=j~Åä~ìêáå=pÉêáÉë====313 q~óäçê=~åÇ=j~Åä~ìêáå=pÉêáÉë mçïÉê=pÉêáÉë=bñé~åëáçåë=Ñçê= mçïÉê=pÉêáÉë=bñé~åëáçåë=Ñçê=pçãÉ=cìåÅíáçåë= pçãÉ=cìåÅíáçåë= 314 _áåçãá~ä=pÉêáÉë= 316 cçìêáÉê=pÉêáÉë= 316

12 mol_^_fifqv=

NOKN= mÉêãìí~íáçåë=~åÇ=`çãÄáå~íáçåë== mÉêãìí~íáçåë=~åÇ=`çãÄáå~íáçåë==318 NOKO= mêçÄ~Äáäáíó=cçêãìä~ë= 319

vii

qÜáë=é~ÖÉ=áë=áåíÉåíáçå~ääó=äÉÑí=Ää~åâK=

viii

Chapter 1

Number Sets

1.1 Set Identities pÉíëW=Î=_I=`= råáîÉêë~ä=ëÉíW=f= `çãéäÉãÉåí `çãéäÉãÉåí=W= =W= ^′ mêçéÉê=ëìÄëÉíW= ^ ⊂ _ == bãéíó=ëÉíW= ∅ råáçå çÑ ëÉíëW ^ ∪ _ fåíÉêëÉÅíáçå çÑ ëÉíëW ^ ∩ _ aáÑÑÉêÉåÅÉ çÑ ëÉíëW ^ y _

1.

^⊂f

2.

^⊂^

3.

^ = _ =áÑ= ^ ⊂ _ =~åÇ= _ ⊂ ^

4.

bãéíó=pÉí= ∅⊂^

5.

råáçå=çÑ=pÉíë== ` = ^ ∪ _ = { ñ ö ñ ∈ ^ çê ñ ∈ _}

.

1

CHAPTER 1. NUMBER SETS

Figure 1.

6.

`çããìí~íáîáíó= ^∪_ = _∪ ^

7.

^ëëçÅá~íáîáíó= ^ ∪ (_ ∪ ` ) = (^ ∪ _ ) ∪ `

8.

fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=pÉíë= ` = ^ ∪ _ = { ñ ö ñ ∈ ^ ~åÇ ñ ∈ _}

Figure 2.

9.

`çããìí~íáîáíó= ^∩_ = _∩ ^

10.

^ëëçÅá~íáîáíó= ^ ∩ (_ ∩ ` ) = (^ ∩ _ ) ∩ `

2


11.

aáëíêáÄìíáîáíó= ^ ∪ (_ ∩ ` ) = (^ ∪ _ ) ∩ (^ ∪ ` )I= ^ ∩ (_ ∪ ` ) = (^ ∩ _ ) ∪ (^ ∩ ` )K=

12.

fÇÉãéçíÉåÅó= ^ ∩ ^ = ^ I== ^∪^= ^

13.

açãáå~íáçå= ^ ∩ ∅ = ∅ I= ^∪f = f

14.

fÇÉåíáíó= ^ ∪ ∅ = ^ I== ^∩f = ^

15.

`çãéäÉãÉåí= ^′ = { ñ ∈ f ö ñ ∉ ^}

16.

`çãéäÉãÉåí=çÑ=fåíÉêëÉÅíáçå=~åÇ=råáçå ^ ∪ ^′ = f I== ^ ∩ ^′ = ∅

17.

aÉ=jçêÖ~å ë=i~ïë

18.

aáÑÑÉêÉåÅÉ=çÑ=pÉíë ` = _ y ^ = { ñ ö ñ ∈ _ ~åÇ ñ ∉ ^}

∞

(^ ∪ _ )′ = ^′ ∩ _′ I== (^ ∩ _ )′ = ^′ ∪ _′

3


Figure 3.

19.

_ y ^ = _ y (^ ∩ _ )

20.

_ y ^ = _ ∩ ^′

21.

^y^=∅

22.

^ y _ = ^ =áÑ= ^ ∩ _ = ∅

.

Figure 4.

23.

(^ y _ ) ∩ ` = (^ ∩ ` ) y (_ ∩ ` )

24.

^′ = f y ^

25.

`~êíÉëá~å=mêçÇìÅí ` = ^ × _ = {( ñ I ó ) ö ñ ∈ ^ ~åÇ ó ∈ _}

4


1.2 Sets of Numbers k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=k= tÜçäÉ=åìãÄÉêëW= kM fåíÉÖÉêëW=w= mçëáíáîÉ=áåíÉÖÉêëW= w + kÉÖ~íáîÉ=áåíÉÖÉêëW= w − o~íáçå~ä=åìãÄÉêëW=n= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=o== `çãéäÉñ=åìãÄÉêëW=`==

26.

k~íìê~ä=kìãÄÉêë `çìåíáåÖ=åìãÄÉêëW k = {NI OI PI K} K=

27.

tÜçäÉ=kìãÄÉêë `çìåíáåÖ=åìãÄÉêë=~åÇ=òÉêçW= kM = {MI NI OI PI K} K=

28.

fåíÉÖÉêë tÜçäÉ=åìãÄÉêë=~åÇ=íÜÉáê=çééçëáíÉë=~åÇ=òÉêçW= w + = k = {NI OI PI K}I= w − = {KI − PI − OI − N} I= w = w − ∪ {M}∪ w + = {KI − PI − OI − NI MI NI OI PI K} K=

29.

o~íáçå~ä=kìãÄÉêë oÉéÉ~íáåÖ=çê=íÉêãáå~íáåÖ=ÇÉÅáã~äëW== ~   n =  ñ ö ñ = ~åÇ ~ ∈ w ~åÇ Ä ∈ w ~åÇ Ä ≠ M K= Ä  

30.

fêê~íáçå~ä=kìãÄÉêë kçåêÉéÉ~íáåÖ=~åÇ=åçåíÉêãáå~íáåÖ=ÇÉÅáã~äëK

5


31.

oÉ~ä=kìãÄÉêë== råáçå=çÑ=ê~íáçå~ä=~åÇ=áêê~íáçå~ä=åìãÄÉêëW=oK=

32.

`çãéäÉñ=kìãÄÉêë ` = { ñ + áó ö ñ ∈ o ~åÇ ó ∈ o}I== ïÜÉêÉ=á=áë=íÜÉ=áã~Öáå~êó=ìåáíK

33.

k⊂ w⊂n⊂o⊂`

Figure 5.

6


1.3 Basic Identities oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å=

34.

^ÇÇáíáîÉ=fÇÉåíáíó= ~+M=~

35.

^ÇÇáíáîÉ=fåîÉêëÉ= ~ + (− ~ ) = M

36.

`çããìí~íáîÉ=çÑ=^ÇÇáíáçå= ~+Ä= Ä+~

37.

^ëëçÅá~íáîÉ=çÑ=^ÇÇáíáçå= (~ + Ä) + Å = ~ + (Ä + Å )

38.

aÉÑáåáíáçå=çÑ=pìÄíê~Åíáçå= ~ − Ä = ~ + (− Ä )

39.

jìäíáéäáÅ~íáîÉ=fÇÉåíáíó= ~ ⋅N = ~

40.

jìäíáéäáÅ~íáîÉ=fåîÉêëÉ= N ~ ⋅ = N I= ~ ≠ M ~

41.

jìäíáéäáÅ~íáçå=qáãÉë=M ~ ⋅M = M

42.

`çããìí~íáîÉ=çÑ=jìäíáéäáÅ~íáçå= ~ ⋅ Ä = Ä⋅~

7


43.

^ëëçÅá~íáîÉ=çÑ=jìäíáéäáÅ~íáçå= (~ ⋅ Ä)⋅ Å = ~ ⋅ (Ä ⋅ Å )

44.

aáëíêáÄìíáîÉ=i~ï= ~(Ä + Å ) = ~Ä + ~Å

45.

aÉÑáåáíáçå=çÑ=aáîáëáçå= ~ N = ~⋅

1.4 Complex Numbers k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= fã~Öáå~êó=ìåáíW=á= `çãéäÉñ=åìãÄÉêW=ò= oÉ~ä=é~êíW=~I=Å= fã~Öáå~êó=é~êíW=ÄáI=Çá= jçÇìäìë=çÑ=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêW=êI= êN I= êO ^êÖìãÉåí=çÑ=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêW= ϕ I= ϕN I= ϕO

46.

áN = á á O = −N á P = −á áQ = N

áR = á á S = −N á T = −á áU = N

47.

ò = ~ + Äá

48.

`çãéäÉñ=mä~åÉ=

á Q å+N = á á Q å+ O = −N á Q å + P = −á á Qå = N

8


Figure 6.

49.

(~ + Äá ) + (Å + Çá ) = (~ + Å ) + (Ä + Ç )á

50.

(~ + Äá ) − (Å + Çá ) = (~ − Å ) + (Ä − Ç )á

51.

(~ + Äá )(Å + Çá ) = (~Å − ÄÇ ) + (~Ç + ÄÅ )á

52.

~ + Äá ~Å + ÄÇ ÄÅ − ~Ç = O O + O O ⋅á Å + Çá Å + Ç Å +Ç

53.

`çåàìÖ~íÉ=`çãéäÉñ=kìãÄÉêë= |||||||

~ + Äá = ~ − Äá 54.

~ = ê Åçë ϕ I= Ä = ê ëáå ϕ ==

9


Figure 7.

55.

mçä~ê=mêÉëÉåí~íáçå=çÑ=`çãéäÉñ=kìãÄÉêë= ~ + Äá = ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)

56.

jçÇìäìë=~åÇ=^êÖìãÉåí=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê= fÑ= ~ + Äá =áë=~=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêI=íÜÉå= ê = ~ O + ÄO =EãçÇìäìëFI== Ä ϕ = ~êÅí~å =E~êÖìãÉåíFK= ~

57.

mêçÇìÅí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= ò N ⋅ ò O = êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) ⋅ êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) = êNêO [Åçë(ϕN + ϕO ) + á ëáå(ϕN + ϕO )]

58.

`çåàìÖ~íÉ=kìãÄÉêë=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= |||||||||| |||||||||| |

ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = ê[Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)] 59.

fåîÉêëÉ=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=áå=mçä fåîÉêëÉ=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íá ~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= çå= N N = [Åçë(− ϕ) + á ëáå(− ϕ)] ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ ) ê

10


60.

nìçíáÉåí=áå=mçä~ê=oÉéêÉëÉåí~íáçå= ò N êN (Åçë ϕN + á ëáå ϕN ) êN = = [Åçë(ϕN − ϕO ) + á ëáå(ϕN − ϕO )] ò O êO (Åçë ϕO + á ëáå ϕO ) êO

61.

mçïÉê=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê= å ò å = [ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ)] = ê å [Åçë(åϕ) + á ëáå(åϕ )]

62.

cçêãìä~=±aÉ=jçáîêÉ (Åçë ϕ + á ëáå ϕ)å = Åçë(åϕ ) + á ëáå(åϕ )

63.

kíÜ=oççí=çÑ=~=`çãéäÉñ=kìãÄÉê=

≤

å

 

ò = å ê(Åçë ϕ + á ëáå ϕ) = å ê  Åçë

ïÜÉêÉ== â = MI NI OI KI å − N K== 64.

bìäÉê ë=cçêãìä~= É áñ = Åçë ñ + á ëáå ñ ∞

11

ϕ + Oπâ å

+ á ëáå

ϕ + Oπâ   I== å 

Chapter 2

Algebra

2.1 Factoring Formulas oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å== k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=

65.

~ O − ÄO = (~ + Ä)(~ − Ä )

66.

~ P − ÄP = (~ − Ä)(~ O + ~Ä + ÄO )

67.

~ P + ÄP = (~ + Ä)(~ O − ~Ä + ÄO )

68.

~ Q − ÄQ = (~ O − ÄO )(~ O + ÄO ) = (~ − Ä)(~ + Ä )(~ O + ÄO )

69.

~ R − ÄR = (~ − Ä)(~ Q + ~ P Ä + ~ O ÄO + ~ÄP + ÄQ )

70.

~ R + ÄR = (~ + Ä)(~ Q − ~ P Ä + ~ O ÄO − ~ÄP + ÄQ )

71.

fÑ=å=áë=çÇÇI=íÜÉå= ~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å−O Ä + ~ å −P ÄO − K − ~Äå−O + Äå −N ) K==

72.

fÑ=å=áë=ÉîÉåI=íÜÉå== ~ å − Äå = (~ − Ä)(~ å −N + ~ å− O Ä + ~ å −P ÄO + K + ~Äå−O + Äå −N ) I==

12

CHAPTER 2. ALGEBRA

~ å + Äå = (~ + Ä)(~ å−N − ~ å−O Ä + ~ å −P ÄO − K + ~Äå−O − Äå −N ) K=

2.2 Product Formulas oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=Å== tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=â=

73.

(~ − Ä)O = ~ O − O~Ä + ÄO

74.

(~ + Ä)O = ~ O + O~Ä + ÄO

75.

(~ − Ä)P = ~ P − P~ O Ä + P~ÄO − ÄP

76.

(~ + Ä)P = ~ P + P~ OÄ + P~ÄO + ÄP

77.

(~ − Ä)Q = ~ Q − Q~ P Ä + S~ OÄO − Q~ÄP + ÄQ

78.

(~ + Ä)Q = ~ Q + Q~ P Ä + S~ OÄO + Q~ÄP + ÄQ

79.

_áåçãá~ä=cçêãìä~= (~ + Ä)å = å` M ~ å + å`N~ å−NÄ + å` O~ å −O ÄO + K + å` å−N~Äå−N + å`å Äå I å> ïÜÉêÉ= å ` â = =~êÉ=íÜÉ=Äáåçãá~ä=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK= â > (å − â )>

80.

(~ + Ä + Å )O = ~ O + ÄO + Å O + O~Ä + O~Å + OÄÅ

81.

(~ + Ä + Å + K + ì + î )O = ~ O + ÄO + Å O + K + ì O + î O + + O(~Ä + ~Å + K + ~ì + ~î + ÄÅ + K + Äì + Äî + K + ìî )

13

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.3 Powers _~ëÉë=EéçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëFW=~I=Ä== mçïÉêë=Eê~íáçå~ä=åìãÄÉêëFW=åI=ã=

82.

~ ã~ å = ~ ã+å

83.

~ã ã −å = ~ ~å

84.

(~Ä)ã = ~ ã Äã

85.

 ~  = ~ ã    Ä  Äã

86.

(~ ã )å = ~ ãå

87.

~ M = N I= ~ ≠ M

88.

~N = N

89.

~ −ã =

ã

90.

N ~ã

ã å

~ = å ~ã

14

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.4 Roots _~ëÉëW=~I=Ä== mçïÉêë=Eê~íáçå~ä=åìãÄÉêëFW=åI=ã= ~ I Ä ≥ M Ñçê ÉîÉå êççíë E å = Oâ I= â ∈ k F=

91.

å

~Ä = å ~ å Ä

92.

å

~ ã Ä = åã ~ ã Äå

93.

å

~ å~ = å I= Ä ≠ M Ä Ä

94.

~ åã ~ ã åã ~ ã I= Ä ≠ M K= = åã å = å ã Ä Ä Ä

95.

(~ )

96.

( ~)

å

å

ã

å

å

é

= å ~ ãé

=~ åé

å

~ã =

98.

å

~ =~

99.

ãå

100.

( ~)

97.

å

ã

~ ãé

ã å

~ = ãå ~ ã

= å ~ã

15

CHAPTER 2. ALGEBRA

N å ~ å−N I= ~ ≠ M K= 101. å = ~ ~

102.

103.

~ + ~O − Ä ~ − ~O − Ä ~± Ä = ± O O N ~± Ä

=

~m Ä ~−Ä

2.5 Logarithms mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=ñI=óI=~I=ÅI=â= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å== 104. aÉÑáåáíáçå=çÑ=içÖ~êáíÜã=

ó = äçÖ ~ ñ =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= ñ = ~ ó I= ~ > M I= ~ ≠ N K= 105. äçÖ ~ N = M 106. äçÖ ~ ~ = N

− ∞ áÑ ~ > N 107. äçÖ ~ M =  + ∞ áÑ ~ < N 108. äçÖ ~ ( ñó ) = äçÖ ~ ñ + äçÖ ~ ó

ñ 109. äçÖ ~ = äçÖ ~ ñ − äçÖ ~ ó ó

16

CHAPTER 2. ALGEBRA

110. äçÖ ~ ( ñ å ) = å äçÖ ~ ñ 111. äçÖ ~ å ñ =

N äçÖ ~ ñ å

112. äçÖ ~ ñ =

äçÖ Å ñ = äçÖ Å ñ ⋅ äçÖ ~ Å I= Å > M I= Å ≠ N K= äçÖ Å ~

113. äçÖ ~ Å =

N äçÖ Å ~

114. ñ = ~ äçÖ ~ ñ 115. içÖ~êáíÜã=íç=_~ëÉ=NM=

äçÖ NM ñ = äçÖ ñ

116. k~íìê~ä=içÖ~êáíÜã=

äçÖ É ñ = äå ñ I==

â

N   ïÜÉêÉ= É = äáã N +  = OKTNUOUNUOUK â →∞ â  117. äçÖ ñ =

118. äå ñ =

N äå ñ = MKQPQOVQ äå ñ äå NM

N äçÖ ñ = OKPMORUR äçÖ ñ äçÖ É

17

CHAPTER 2. ALGEBRA

2.6 Equations oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=éI=èI=ìI=î= pçäìíáçåëW= ñN I= ñO I= óN I= óO I= ó P

119. iáåÉ~ê=bèì~íáçå=áå=låÉ=s~êá~ÄäÉ=

Ä ~ñ + Ä = M I= ñ = − K== ~ 120. nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå=

~ñ + Äñ + Å = M I= ñ NI O = O

− Ä ± ÄO − Q~Å O~

121. aáëÅêáãáå~åí=

a = ÄO − Q~Å 122. sáÉíÉ ë=cçêãìä~ë= ∞

fÑ ñ O + éñ + è = M I=íÜÉå==  ñ N + ñ O = −é K=   ñ N ñ O = è 123. ~ñ O + Äñ = M I= ñ N = M I= ñ O

124. ~ñ O + Å = M I= ñ NI O

Ä ~

= − K=

Å ~

= ± − K=

125. `ìÄáÅ=bèì~íáçåK=`~êÇ~åç ë=cçêãìä~K== ∞

ó P + éó + è = M I==

18

K=

CHAPTER 2. ALGEBRA

N P (ì + î ) á I== ó N = ì + î I= ó OI P = − (ì + î ) ± O O ïÜÉêÉ== O

O

O

O

è è  è   é   è   é  ì = P − +   +   I= î = P − −   +   K== O O  O   P   O   P 

2.7 Inequalities s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò=

~I ÄI ÅI Ç oÉ~ä=åìãÄÉêëW=  I=ãI=å= ~N I ~ O I ~ P I KI ~ å aÉíÉêãáå~åíëW=aI= a ñ I= a ó I= aò ==

126. fåÉèì~äáíáÉëI=fåíÉêî~ä=kçí~íáçåë=~åÇ=dê~éÜë==

fåÉèì~äáíó ~ ≤ ñ ≤ Ä

fåíÉêî~ä kçí~íáçå [~I Ä]

~ < ñ ≤ Ä

(~ I Ä]

~ ≤ ñ < Ä

[~I Ä)

~ < ñ < Ä

(~I Ä)

− ∞ < ñ ≤ Ä I= ñ ≤ Ä − ∞ < ñ < Ä I= ñ < Ä ~ ≤ < ∞ I= ≥~ ~ < < ∞ I= >~

(− ∞I Ä] (− ∞I Ä)

[~I ∞ ) (~I ∞ )

19

dê~éÜ

CHAPTER 2. ALGEBRA

127. fÑ= ~ > Ä I=íÜÉå= Ä < ~ K= 128. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ − Ä > M çê Ä − ~ < M K= 129. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ + Å > Ä + Å K= 130. fÑ ~ > Ä I íÜÉå ~ − Å > Ä − Å K= 131. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ + Å > Ä + Ç K= 132. fÑ= ~ > Ä =~åÇ= Å > Ç I=íÜÉå= ~ − Ç > Ä − Å K= 133. fÑ ~ > Ä =~åÇ= ã > M I íÜÉå ã~ > ãÄ K= 134. fÑ ~ > Ä =~åÇ= ã > M I=íÜÉå=

~ Ä > K= ã ã

135. fÑ ~ > Ä ~åÇ ã < M I íÜÉå ã~ < ãÄ K= 136. fÑ= ~ > Ä ~åÇ ã < M I=íÜÉå=

~ Ä < K= ã ã

137. fÑ M < ~ < Ä ~åÇ å > M I=íÜÉå= ~ å

< Äå K=

138. fÑ M < ~ < Ä ~åÇ å < M I=íÜÉå= ~ å

> Äå K=

139. fÑ= M < ~ < Ä I=íÜÉå= å ~ < å Ä K=

~+Ä I== 140. ~Ä ≤ O ïÜÉêÉ ~ > M =I= Ä > M X=~å=Éèì~äáíó=áë=î~äáÇ=çåäó=áÑ= ~ = Ä K== 141. ~ +

N =~å=ÉÉèì~ä èì~äááíó=í íó=í~~âÉë=é Éë=éää~Å ~ÅÉÉ=çåä =çåäó= ó=~~í= ~ = N K= ≥ O I ïÜÉêÉ ~ > M X=~å= ~

20

CHAPTER 2. ALGEBRA

142.

å

~N + ~ O + K + ~ å ~N~ O K~ å ≤ I ïÜÉêÉ ~N I ~ O I KI ~ å > M K= å

143. fÑ= ~ñ + Ä > M ~åÇ ~ > M I=íÜÉå= ñ > −

Ä K= ~

Ä 144. fÑ= ~ñ + Ä > M ~åÇ ~ < M I=íÜÉå= ñ < − K== ~ 145. ~ñ O + Äñ + Å > M

~>M

~
ñ < ñ N I= ñ > ñ O

ñ N < ñ < ñ O

ñ N < ñ I= ñ > ñ N

ñ ∈ ∅

−∞< <∞

ñ ∈ ∅

a>M

a=M

a< M

21

CHAPTER 2. ALGEBRA

146.

~+Ä ≤ ~ + Ä

147. fÑ ñ < ~ I íÜÉå

− ~ < < ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K=

148. fÑ ñ > ~ I=íÜÉå= ñ < −~ =~åÇ= ñ > ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K= 149. fÑ= ñ O < ~ I íÜÉå ñ < ~ I=ïÜÉêÉ= ~ > M K= 150. fÑ ñ O

> ~ I íÜÉå ñ > ~ I ïÜÉêÉ ~ > M K=

Ñ ( ñ ) ⋅ Ö( ñ ) > M Ñ ( ñ ) 151. fÑ= > M I=íÜÉå=  K= Ö( ñ ) Ö( ñ ) ≠ M Ñ ( ñ ) ⋅ Ö( ñ ) < M Ñ ( ñ ) K= 152. < M I=íÜÉå=  Ö( ñ ) Ö( ñ ) ≠ M

2.8 Compound Interest Formulas cìíìêÉ=î~äìÉW=^= fåáíá~ä=ÇÉéçëáíW=`= ^ååì~ä=ê~íÉ=çÑ=áåíÉêÉëíW=ê= kìãÄÉê=çÑ=óÉ~êë=áåîÉëíÉÇW=í= kìãÄÉê=çÑ=íáãÉë=ÅçãéçìåÇÉÇ=éÉê=óÉ~êW=å= 153. dÉåÉê~ä=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~=

 ê  ^ = ` N +   å 

åí

22

CHAPTER 2. ALGEBRA

154. páãéäáÑáÉÇ=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=cçêãìä~=

fÑ=áåíÉêÉëí=áë=ÅçãéçìåÇÉÇ=çåÅÉ=éÉê=óÉ~êI=íÜÉå=íÜÉ=éêÉîáçìë= Ñçêãìä~=ëáãéäáÑáÉë=íçW= í ^ = `(N + ê ) K= 155. `çåíáåìçìë=`çãéçìåÇ=fåíÉêÉëí=

fÑ=áåíÉêÉëí=áë=ÅçãéçìåÇÉÇ=Åçåíáåì~ääó=E å → ∞ FI íÜÉå ^ = `Éêí K=

23

Chapter 3

Geometry

3.1 Right Triangle iÉÖë=çÑ=~=êáÖÜí=íêá~åÖäÉW=~I=Ä= eóéçíÉåìëÉW=Å= ^äíáíìÇÉW=Ü= jÉÇá~åëW= ã ~ I= ã Ä I= ã Å ^åÖäÉëW= α I β o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= ^êÉ~W=p=

Figure 8.

156.

α + β = VM°

24

CHAPTER 3. GEOMETRY

~ 157. ëáå α = = Åçë β Å 158. Åçë α =

Ä = ëáå β Å

159. í~å α =

~

160. Åçí α =

Ä = í~å β ~

161. ëÉÅ α =

Å

162. Åçë ÉÅ α =

= Åçí β

= Åçë ÉÅ β Å = ëÉÅ β ~

163. móíÜ~ÖçêÉ~å=qÜÉçêÉã=

~ O + ÄO = Å O 164. ~ O

= ÑÅ I ÄO = ÖÅ I==

ïÜÉêÉ=Ñ=~åÇ=Å=~êÉ=éêçàÉÅíáçåë=çÑ=íÜÉ=äÉÖë=~=~åÇ=ÄI=êÉëéÉÅíáîÉäóI=çåíç=íÜÉ=ÜóéçíÉåìëÉ=ÅK=

Figure 9.

25

CHAPTER 3. GEOMETRY

= ÑÖ I===

165. Ü O

ïÜÉêÉ=Ü=áë=íÜÉ=~äíáíìÇÉ=Ñêçã=íÜÉ=êáÖÜí=~åÖäÉK== ~O ÄO O O 166. ã = Ä − I= ã Ä = ~ − I=== Q Q ïÜÉêÉ= ã ~ =~åÇ= ã Ä =~êÉ=íÜÉ=ãÉÇá~åë=íç=íÜÉ=äÉÖë=~=~åÇ=ÄK== O ~

O

Figure 10.

Å O ïÜÉêÉ= ã Å =áë=íÜÉ=ãÉÇá~å=íç=íÜÉ=ÜóéçíÉåìëÉ=ÅK=

167. ã Å

= I==

168. o =

Å = ãÅ O

~ +Ä−Å ~Ä 169. ê = = O ~+ +Å 170. ~Ä = ÅÜ

26

CHAPTER 3. GEOMETRY

~Ä ÅÜ 171. p = = O O

3.2 Isosceles Triangle _~ëÉW=~= iÉÖëW=Ä= _~ëÉ=~åÖäÉW= β sÉêíÉñ=~åÖäÉW= α ^äíáíìÇÉ=íç=íÜÉ=Ä~ëÉW=Ü= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 11.

172.

β = VM° −

α O

~O 173. Ü = Ä − Q O

O

27

CHAPTER 3. GEOMETRY

174. i = ~ + OÄ

~Ü ÄO 175. p = = ëáå α O O

3.3 Equilateral Triangle páÇÉ=çÑ=~=Éèìáä~íÉê~ä=íêá~åÖäÉW=~= ^äíáíìÇÉW=Ü= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 12.

~ P 176. Ü = O

28

CHAPTER 3. GEOMETRY

O P

177. o = Ü =

~ P P

N ~ P o 178. ê = Ü = = P S O 179. i = P~

~Ü ~ O P 180. p = = O Q

3.4 Scalene Triangle E^=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=åç=íïç=ëáÇÉë=Éèì~äF= páÇÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW=~I=ÄI=Å= ~ +Ä+Å pÉãáéÉêáãÉíÉêW= é = == O ^åÖäÉë=çÑ=~=íêá~åÖäÉW= αI βI γ ^äíáíìÇÉë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= Ü ~ I Ü Ä I Ü Å jÉÇá~åë=íç=íÜÉ=ëáÇÉë=~I=ÄI=ÅW= ã ~ I ã Ä I ã Å _áëÉÅíçêë=çÑ=íÜÉ=~åÖäÉë= αI βI γ W= í ~ I í Ä I í Å o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= ^êÉ~W=p=

29

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 13.

181.

α + β + γ = NUM°

182. ~ + Ä > Å I==

Ä + Å > ~ I== ~ + Å > Ä K=

183.

~ − Ä < Å I== Ä − Å < ~ I== ~ − Å < Ä K=

184. jáÇäáåÉ=

~ è = I= è öö ~ K= O

Figure 14.

30

CHAPTER 3. GEOMETRY

185. i~ï=çÑ=`çëáåÉë=

~ O = ÄO + Å O − OÄÅ Åçë α I= ÄO = ~ O + Å O − O~Å Åçë β I= Å O = ~ O + ÄO − O~Ä Åçë γ K= 186. i~ï=çÑ=páåÉë=

~ Ä Å = = = Oo I== ëáå α ëáå β ëáå γ ïÜÉêÉ=o=áë=íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=Åá ïÜÉêÉ=o=áë=íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉK êÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉK==== ~ Ä Å ÄÅ ~Å ~Ä ~ÄÅ = = = = = = O ëáå α O ëáå β O ëáå γ OÜ ~ OÜ Ä OÜ Å Qp

187. o =

188. ê O

(é − ~ )(é − Ä)(é − Å )

=

é

I==

N N N N = + + K= ê Ü~ ÜÄ ÜÅ 189. ëáå

α O

ÄÅ

I=

é(é − ~ ) I= O ÄÅ α (é − Ä)(é − Å ) í~å = K= O é(é − ~ )

Åçë

α

=

(é − Ä)(é − Å )

=

O é(é − ~ )(é − Ä )(é − Å ) I= ~ O ÜÄ = é(é − ~ )(é − Ä )(é − Å ) I=

190. Ü ~

=

O ÜÅ = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) K= Å

31

CHAPTER 3. GEOMETRY

= Ä ëáå γ = Å ëáå β I= Ü Ä = ~ ëáå γ = Å ëáå α I= Ü Å = ~ ëáå β = Ä ëáå α K=

191. Ü ~

ÄO + Å O ~ O 192. ã = − I== O Q O O O ~ Å Ä + ã OÄ = − I== O Q ~ O + ÄO Å O O − K= ãÅ = O Q O ~

Figure 15.

O O O 193. ^j = ã ~ I= _j = ã Ä I= `j = ã Å =EcáÖKNRFK= P P P QÄÅé(é − ~ ) I== O (Ä + Å ) Q~Åé(é − Ä) í OÄ = I== O (~ + Å ) Q~Äé(é − Å ) O íÅ = K= O (~ + Ä)

194. í O~

=

32

CHAPTER 3. GEOMETRY

~Ü ~ ÄÜ Ä ÅÜ Å I== 195. p = = = O O O ~Ä ëáå γ ~Å ëáå β ÄÅ ëáå α p= I== = = O O O p = é(é − ~ )(é − Ä)(é − Å ) =EeÉêçå ë=cçêãìä~FI= p = éê I== ~ÄÅ p= I= Qo p = Oo O ëáå α ëáå β ëáå γ I= ∞

p = éO í~å

α O

í~å

β

γ

í~å K= O O

3.5 Square páÇÉ=çÑ=~=ëèì~êÉW=~= aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 16.

33

CHAPTER 3. GEOMETRY

196. Ç = ~ O == 197. o =

Ç ~ O = O O

198. ê =

~ O

199. i = Q~ 200. p = ~ O

3.6 Rectangle páÇÉë=çÑ=~=êÉÅí~åÖäÉW=~I=Ä= aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 17.

201. Ç = ~ O + ÄO ==

34

CHAPTER 3. GEOMETRY

Ç 202. o = O 203. i = O(~ + Ä) 204. p = ~Ä

3.7 Parallelogram páÇÉë=çÑ=~=é~ê~ääÉäçÖê~ãW=~I=Ä= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O `çåëÉÅìíáîÉ=~åÖäÉëW= αI β ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ ^äíáíìÇÉW=Ü== mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 18.

205.

α + β = NUM°

206. ÇNO + Ç OO

= O(~ O + ÄO )

35

CHAPTER 3. GEOMETRY

207. Ü = Ä ëáå α = Ä ëáå β 208. i = O(~ + Ä) 209. p = ~Ü = ~Ä ëáå α I==

N p = ÇNÇ O ëáå ϕ K= O

3.8 Rhombus páÇÉ=çÑ=~=êÜçãÄìëW=~= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O `çåëÉÅìíáîÉ=~åÖäÉëW= αI β ^äíáíìÇÉW=e= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 19.

36

CHAPTER 3. GEOMETRY

210.

α + β = NUM° =

211. ÇNO + Ç OO

= Q~ O

ÇNÇ O 212. Ü = ~ ëáå α = O~ 213. ê =

Ü ÇNÇ O ~ ëáå α = = O Q~ O

214. i = Q~ 215. p = ~Ü = ~ O ëáå α I==

N p = ÇNÇ O K= O

3.9 Trapezoid _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= ^êÉ~W=p=

37

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 20.

216. è =

~+Ä O

217. p =

~+Ä ⋅ Ü = èÜ O

3.10 Isosceles Isoscel es Trapezoid Trapezoid _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= iÉÖW=Å= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= ^êÉ~W=p=

38

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 21.

~+Ä 218. è = O 219. Ç = ~Ä + Å O 220. Ü = Å O −

N (Ä − ~ )O Q

Å ~Ä + Å O 221. o = (OÅ − ~ + Ä)(OÅ + ~ − Ä) 222. p =

~+Ä ⋅ Ü = èÜ O

39

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.11 3.11 Isosceles Isosceles Trapezoid with Inscribed Circle _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= iÉÖW=Å= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 22.

223. ~ + Ä = OÅ

~+Ä 224. è = =Å O 225. Ç O

= ÜO + Å O

40

CHAPTER 3. GEOMETRY

226. ê =

Ü ~Ä = O O

ÅÇ ÅÇ Å ÅO Å ~+Ä ~ Ä ÜO + Å O = 227. o = = = N+ = +S+ OÜ Qê O ~Ä OÜ U Ä ~ 228. i = O(~ + Ä) = QÅ

(~ + Ä) ~Ä ~+Ä iê 229. p = ⋅Ü = = èÜ = ÅÜ = == O O O

3.12 Trapezoid with Inscribed Circle _~ëÉë=çÑ=~=íê~éÉòçáÇW=~I=Ä= i~íÉê~ä=ëáÇÉëW=ÅI=Ç= jáÇäáåÉW=è= ^äíáíìÇÉW=Ü= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

41

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 23.

230. ~ + Ä = Å + Ç 231. è =

~+Ä Å+Ç = O O

232. i = O(~ + Ä) = O(Å + Ç )

~+Ä Å+Ç ⋅Ü = ⋅ Ü = èÜ I== O O N p = ÇNÇ O ëáå ϕ K= O

233. p =

3.13 Kite páÇÉë=çÑ=~=âáíÉW=~I=Ä= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O ^åÖäÉëW= αI βI γ mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

42

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 24.

234.

α + β + Oγ = PSM°

235. i = O(~ + Ä) 236. p =

ÇNÇ O O

3.14 Cyclic Quadrilateral páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= αI βI γ I δ o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p=

43

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 25.

237.

α + γ = β + δ = NUM°

238. míçäÉãó ë=qÜÉçêÉã= ∞

~Å + ÄÇ = ÇNÇ O

239. i = ~ + Ä + Å + Ç

N (~Å + ÄÇ )(~Ç + ÄÅ )(~Ä + ÅÇ ) I== 240. o = Q (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) i ïÜÉêÉ= é = K= O N O

241. p = ÇNÇ O ëáå ϕ I==

p = (é − ~ )(é − Ä)(é − Å )(é − Ç ) I== i ïÜÉêÉ= é = K= O

44

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.15 Tangential Quadrilateral páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p=

Figure 26.

242. ~ + Å = Ä + Ç 243. i = ~ + Ä + Å + Ç = O(~ + Å ) = O(Ä + Ç ) O O ÇNOÇ OO − (~ − Ä) (~ + Ä − é ) I== 244. ê = Oé i ïÜÉêÉ= é = K== O

45

CHAPTER 3. GEOMETRY

N 245. p = éê = ÇNÇ O ëáå ϕ O

3.16 General Quadrilateral páÇÉë=çÑ=~=èì~Çêáä~íÉê~äW=~I=ÄI=ÅI=Ç= aá~Öçå~äëW= ÇN I Ç O ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=Çá~Öçå~äëW= ϕ fåíÉêå~ä=~åÖäÉëW= αI βI γ I δ mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 27.

246.

α + β + γ + δ = PSM° =

247. i = ~ + Ä + Å + Ç

46

CHAPTER 3. GEOMETRY

N 248. p = ÇNÇ O ëáå ϕ O

3.17 Regular Hexagon páÇÉW=~= fåíÉêå~ä=~åÖäÉW= α pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p=

Figure 28.

249.

α = NOM°

250. ê = ã =

~ P O

47

CHAPTER 3. GEOMETRY

251. o = ~ 252. i = S~

~OP P I== 253. p = éê = O i ïÜÉêÉ= é = K= O

3.18 Regular Polygon páÇÉW=~= kìãÄÉê=çÑ=ëáÇÉëW=å= fåíÉêå~ä=~åÖäÉW= α pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= mÉêáãÉíÉêW=i= pÉãáéÉêáãÉíÉêW=é== ^êÉ~W=p=

48

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 29.

254.

α=

å−O ⋅ NUM° O

å−O 255. α = ⋅ NUM° O ~

256. o =

O ëáå

π å

O ~ 257. ê = ã = = oO − π Q O í~å å

~

258. i = å~

åo O Oπ 259. p = ëáå I== O å ~O O p = éê = é o − I== Q

49

CHAPTER 3. GEOMETRY

i ïÜÉêÉ= é = K== O

3.19 Circle o~ÇáìëW=o= aá~ãÉíÉêW=Ç= `ÜçêÇW=~= pÉÅ~åí=ëÉÖãÉåíëW=ÉI=Ñ= q~åÖÉåí=ëÉÖãÉåíW=Ö= `Éåíê~ä=~åÖäÉW= α fåëÅêáÄÉÇ=~åÖäÉW= β mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

260. ~ = Oo ëáå

α O

Figure 30.

50

CHAPTER 3. GEOMETRY

261. ~N~ O

= ÄNÄO

Figure 31.

262. ÉÉN = ÑÑ N

Figure 32.

263. Ö O

= ÑÑ N

51

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 33.

264.

β=

α O

Figure 34.

265. i = Oπo = πÇ 266. p = πo O

=

πÇ O Q

=

io == O

52

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.20 Sector of a Circle o~Çáìë=çÑ=~=ÅáêÅäÉW=o= ^êÅ=äÉåÖíÜW=ë= `Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ê~Çá~åëFW=ñ= `Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ÇÉÖêÉÉëFW= α mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 35.

267. ë = oñ 268. ë =

πoα NUM°

269. i = ë + Oo

oë o O ñ πo Oα 270. p = = = == O O PSM°

53

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.21 Segment of a Circle o~Çáìë=çÑ=~=ÅáêÅäÉW=o= ^êÅ=äÉåÖíÜW=ë= `ÜçêÇW=~= `Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ê~Çá~åëFW=ñ= `Éåíê~ä=~åÖäÉ=Eáå=ÇÉÖêÉÉëFW= α eÉáÖÜí=çÑ=íÜÉ=ëÉÖãÉåíW=Ü= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p=

Figure 36.

271. ~ = O OÜo − Ü O 272. Ü = o −

N Qo O − ~ O I= Ü < o O

273. i = ë + ~

54

CHAPTER 3. GEOMETRY

N o O  απ oO  274. p = [ëo − ~(o − Ü )] = − ëáå α  = ( ñ − ëáå ñ ) I==  O O  NUM°  O O p ≈ Ü~ K= P

3.22 Cube bÇÖÉW=~== aá~Öçå~äW=Ç= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉW=ê= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

Figure 37.

275. Ç = ~ P

~ 276. ê = O

55

CHAPTER 3. GEOMETRY

277. o =

~ P O

278. p = S~ O 279. s = ~ P ==

3.23 Rectangular Parallelepiped bÇÖÉëW=~I=ÄI=Å== aá~Öçå~äW=Ç= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

Figure 38.

280. Ç = ~ O + ÄO + Å O 281. p = O(~Ä + ~Å + ÄÅ ) 282. s = ~ÄÅ ==

56

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.24 Prism i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=ä= eÉáÖÜíW=Ü= i~íÉê~ä=~êÉ~W= pi ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

Figure 39.

283. p = p i + Op_ K== 284. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~=oáÖÜí=mêáëã=

p i = (~N + ~ O + ~ P + K + ~ å )ä

285. i~íÉê~ä=^êÉ~=çÑ=~å=lÄäáèìÉ=mêáëã=

p i = éä I== ïÜÉêÉ=é=áë=íÜÉ=éÉêáãÉíÉê=çÑ=íÜÉ= ïÜÉêÉ=é=áë=íÜÉ=éÉêáãÉíÉê=çÑ=íÜÉ=Åêçëë=ëÉÅíáçåK= Åêçëë=ëÉÅíáçåK=

57

CHAPTER 3. GEOMETRY

286. s = p_ Ü 287. `~î~äáÉêáDë=mêáåÅáéäÉ==

dáîÉå=íïç=ëçäáÇë=áåÅäìÇÉÇ=ÄÉíïÉÉå=é~ê~ääÉä=éä~åÉëK=fÑ=ÉîÉêó= éä~åÉ=Åêçëë=ëÉÅíáçå=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ÖáîÉå=éä~åÉë=Ü~ë=íÜÉ=ë~ãÉ= ~êÉ~=áå=ÄçíÜ=ëçäáÇëI=íÜÉå=íÜÉ=îçäìãÉë ~êÉ~=áå=ÄçíÜ=ëçäáÇëI=íÜÉå=íÜÉ=îçäìãÉë=çÑ=íÜÉ=ëçäáÇë=~ê =çÑ=íÜÉ=ëçäáÇë=~êÉ=Éèì~äK= É=Éèì~äK=

3.25 Regular Tetrahedron qêá~åÖäÉ=ëáÇÉ=äÉåÖíÜW=~= eÉáÖÜíW=Ü= ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

Figure 40.

288. Ü =

O ~ P

58

CHAPTER 3. GEOMETRY

P~ O 289. p_ = Q 290. p = P~ O

N ~P K== 291. s = p_ Ü = P S O

3.26 Regular Pyramid páÇÉ=çÑ=Ä~ëÉW=~= i~íÉê~ä=ÉÇÖÉW=Ä= eÉáÖÜíW=Ü= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã== kìãÄÉê=çÑ=ëáÇÉëW=å== pÉãáéÉêáãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=é= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ëéÜÉêÉ=çÑ=Ä~ëÉW=ê= ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

59

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 41.

~O 292. ã = Ä − Q O

QÄO ëáå O 293. Ü =

O ëáå

π å

− ~O

π å

N N 294. p i = å~ã = å~ Q ÄO − ~ O = éã O Q 295. p_

= éê

296. p = p_ + p i

N P

N P

297. s = p_ Ü = éêÜ ==

60

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.27 Frustum of a Regular Pyramid ~N I ~ O I ~ P IKI ~ å _~ëÉ=~åÇ=íçé=ëáÇÉ=äÉåÖíÜëW=  ÄN I ÄO I ÄP IKI Äå eÉáÖÜíW=Ü= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã== ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= pN I= pO i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i mÉêáãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉëW= mN I= mO pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â= qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

Figure 42.

298.

ÄN ÄO ÄP Ä Ä = = = K = å = = â ~N ~ O ~ P ~å ~

61

CHAPTER 3. GEOMETRY

pO 299. = â O pN 300. p i

=

ã(mN + mO ) O

301. p = p i + pN + pO 302. s =

Ü (pN + pNpO + pO ) P

O ÜpN  Ä  Ä   ÜpN [N + â + â O ] 303. s = N + +    = P  ~  ~   P

3.28 Rectangular Right Wedge páÇÉë=çÑ=Ä~ëÉW=~I=Ä= qçé=ÉÇÖÉW=Å= eÉáÖÜíW=Ü= i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

62

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 43.

N O 304. p i = (~ + Å ) QÜ O + ÄO + Ä Ü O + (~ − Å ) O 305. p_

= ~Ä

306. p = p_ + p i 307. s =

ÄÜ (O~ + Å ) S

3.29 Platonic Solids bÇÖÉW=~= o~Çáìë=çÑ=áåëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=ê= o~Çáìë=çÑ=ÅáêÅìãëÅêáÄÉÇ=ÅáêÅäÉW=o= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

63

CHAPTER 3. GEOMETRY

308. cáîÉ=mä~íçåáÅ=pçäáÇë=

qÜÉ éä~íçå éä~íçåáÅ= áÅ= ëçäáÇë ëçäáÇë ~êÉ ÅçåîÉñ ÅçåîÉñ éçäóÜÉ éçäóÜÉÇê~ Çê~ ïáíÜ= ïáíÜ= Éèìáî~ Éèìáî~äÉå äÉåí= í= Ñ~ÅÉë=ÅçãéçëÉÇ=çÑ=ÅçåÖêìÉåí=ÅçåîÉñ=êÉÖìä~ê=éçäóÖçåëK== pçäáÇ

kìãÄÉê çÑ=sÉêíáÅÉë qÉíê~ÜÉÇêçå Q `ìÄÉ U lÅí~ÜÉÇêçå S fÅçë~ÜÉÇêçå NO açÇÉÅ~ÜÉÇêçå OM

kìãÄÉê= çÑ=bÇÖÉë= S NO NO PM PM

Octahedron

Figure 44.

309. ê =

~ S S

~ O 310. o = O

64

kìãÄÉê= çÑ=c~ÅÉë= Q S U OM NO

pÉÅíáçå= PKOR PKOO PKOT PKOT PKOT

CHAPTER 3. GEOMETRY

311. p = O~ O P

~P O 312. s = P

Icosahedron

Figure 45.

~ P (P + R ) 313. ê = NO 314. o =

~ O(R + R ) Q

315. p = R~ O P

R~ P (P + R ) 316. s = NO

65

CHAPTER 3. GEOMETRY

Dodecahedron

Figure 46.

~ NM(OR + NN R ) 317. ê = O 318. o =

~ P (N + R ) Q

(

319. p = P~ O R R + O R

)

~ P (NR + T R ) 320. s = Q

3.30 Right Circular Cylinder o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o= aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç=

66

CHAPTER 3. GEOMETRY

eÉáÖÜíW=e= i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

Figure 47.

321. p i

= Oπoe

Ç   322. p = p i + Op_ = Oπo(e + o ) = πÇ e +   O  323. s = p_ e = πo O e

67

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.31 Right Circular Cylinder with an Oblique Plane Face o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o= qÜÉ=ÖêÉ~íÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= ÜN qÜÉ=ëÜçêíÉëí=ÜÉáÖÜí=çÑ=~=ëáÇÉW= Ü O i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i ^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= p_ qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

Figure 48.

324. p i

= πo(ÜN + Ü O )

ÜN − Ü O   O O p o o o 325. _ = π + π +   O 

68

O

CHAPTER 3. GEOMETRY

O  Ü Ü −  O  326. p = p i + p_ = πo ÜN + Ü O + o + o O +  N    O   

327. s =

πo O O

(ÜN + ÜO )

3.32 Right Circular Cone o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=o= aá~ãÉíÉê=çÑ=Ä~ëÉW=Ç= eÉáÖÜíW=e= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉW= p_ qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

Figure 49.

69

CHAPTER 3. GEOMETRY

328. e = ã O − o O 329. p i

= πoã =

330. p_

= πo O

331. p = p i + p_

πãÇ O

N Ç  ã = πo (ã + o ) = πÇ +   O  O 

N N O 332. s = p_ e = πo e P P

3.33 Frustum of a Right Circular Cone o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW=oI=ê= eÉáÖÜíW=e= pä~åí=ÜÉáÖÜíW=ã= pÅ~äÉ=Ñ~ÅíçêW=â= ^êÉ~=çÑ=Ä~ëÉëW= pN I= pO i~íÉê~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W= p i qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

70

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 50. O

333. e = ã O − (o − ê )

o 334. = â ê pO o O 335. = O = â O pN ê 336. p i

= πã(o + ê )

337. p = pN + pO + pi 338. s =

= π o O + ê O + ã(o + ê )

Ü ( pN + pNpO + pO ) P

ÜpN  o  o  339. s = N + +   P  ê  ê 

O

 ÜpN [N + â + â O ] =  P

71

CHAPTER 3. GEOMETRY

3.34 Sphere o~ÇáìëW=o= aá~ãÉíÉêW=Ç= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

Figure 51.

340. p = Q πo O

Q P N P N 341. s = πo e = πÇ = po P S P

3.35 Spherical Cap o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o= o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉW=ê= eÉáÖÜíW=Ü= ^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=Ñ~ÅÉW= p_ ^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=Å~éW= p` qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

72

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 52.

ê O + ÜO 342. o = OÜ 343. p_

= πê O

344. p`

= π(ÜO + ê O )

345. p = p_ + p` 346.

π

= π(Ü O + Oê O ) = π(OoÜ + ê O )

π ( ) s = Ü Po − Ü = Ü(Pê O + Ü O ) S

O

S

3.36 Spherical Sector o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o= o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉ=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=Å~éW=ê= eÉáÖÜíW=Ü= qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

73

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 53.

347. p = πo(OÜ + ê ) 348. s =

O O πo Ü P

kçíÉW=qÜÉ=ÖáîÉå=Ñçêãìä~ë=~êÉ=ÅçêêÉÅí=ÄçíÜ=Ñçê=±çéÉå =~åÇ= ±ÅäçëÉÇ =ëéÜÉêáÅ~ä=ëÉÅíçêK= ≤

≤

3.37 Spherical Segment o~Çáìë=çÑ=ëéÜÉêÉW=o= o~Çáìë=çÑ=Ä~ëÉëW= êN I= êO eÉáÖÜíW=Ü= ^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=ëìêÑ~ÅÉW= pp ^êÉ~=çÑ=éä~åÉ=ÉåÇ=Ñ~ÅÉëW= pN I= pO qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

74

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 54.

349. pp

= OπoÜ

350. p = pp + pN + pO 351. s =

= π(OoÜ + êNO + êOO )

N πÜ(PêNO + PêOO + ÜO ) S

3.38 Spherical Wedge o~ÇáìëW=o= aáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=áå=ÇÉÖêÉÉëW=ñ= aáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=áå=ê~Çá~åëW= α ^êÉ~=çÑ=ëéÜÉêáÅ~ä=äìåÉW= pi qçí~ä=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

75

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 55.

352. p i

=

πo O VM

353. p = πo

354. s =

O

+

πoP OTM

α = Oo O ñ πo O VM

α = πo O + Oo O ñ

O P

α = oP ñ

3.39 Ellipsoid pÉãá ~ñÉëW=~I=ÄI=Å= sçäìãÉW=s= -

76

CHAPTER 3. GEOMETRY

Figure 56.

Q 355. s = π~ÄÅ P

Prolate Spheroid pÉãá-~ñÉëW=~I=ÄI=Ä=E ~ > Ä F= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

 

356. p = OπÄ Ä +

~ ~êÅëáå É  I É 

~ O − ÄO ïÜÉêÉ= É = K= ~ Q O 357. s = πÄ ~ P

77

CHAPTER 3. GEOMETRY

Oblate Spheroid pÉãá-~ñÉëW ÉëW=~I =~I=ÄI =ÄI Ä=E Ä=E ~ < Ä F= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

ÄÉ      ~ ~êÅëáåÜ     ~   I 358. p = OπÄ Ä +   ÄÉ L ~     ÄO − ~ O ïÜÉêÉ= É = K= Q O 359. s = πÄ ~ P

3.40 Circular Torus j~àçê=ê~ÇáìëW=o= jáåçê=ê~ÇáìëW=ê= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

78

CHAPTER 3. GEOMETRY

==

Picture 57.

360. p = Q πOoê 361. s = OπOoê O

79

Chapter 4

Trigonometry

^åÖäÉëW= α I= β oÉ~ä=åìãÄÉêë=EÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=éçáåíFW=ñI=ó== tÜçäÉ=åìãÄÉêW=â=

4.1 Radian and Degree Measures of Angles 362. N ê~Ç =

363. N° =

364. N D =

NUM°

π NUM

π

≈ RT°NT DQR?

ê~Ç ≈ MKMNTQRP ê~Ç

π ê~Ç ≈ MKMMMOVN ê~Ç NUM ⋅ SM

π ê~Ç ≈ MKMMMMMR ê~Ç 365. N ? = NUM ⋅ PSMM 366.

^åÖäÉ= EÇÉÖêÉÉëF= ^åÖäÉ= Eê~Çá~åëF=

M M=

PM

QR

SM

VM

π

π

π

π

S

Q

P

O

80

NUM

OTM

PSM

π

Pπ O

Oπ

CHAPTER 4. TRIGONOMETRY

4.2 Definitions and Graphs of Trigonometric Functions

Figure 58.

367. ëáå α =

ó ê

ñ 368. Åçë α = ê 369. í~å α =

ó

ñ 370. Åçí α = ó

81


371. ëÉÅ α =

ê

372. ÅçëÉÅ α =

ê ó

373. páåÉ=cìåÅíáçå=

ó = ëáå ñ I= − N ≤ ëáå ñ ≤ N K=

Figure 59.

374. `çëáåÉ=cìåÅíáçå==

ó = Åçë I= − N ≤ Åçë ≤ N K=

82


Figure 60.

375. q~åÖÉåí=cìåÅíáçå=

π

ó = í~å ñ I= ñ ≠ (Oâ + N) I= − ∞ ≤ í~å ≤ ∞K O

Figure 61.

83


376. `çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ó = Åçí I= ñ ≠ â π I== − ∞ ≤ Åçí ≤ ∞ K

Figure 62.

377. pÉÅ~åí=cìåÅíáçå=

π

ó = ëÉÅ I= ñ ≠ (Oâ + N) K= O ==

84


Figure 63.

378. `çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

ó = Åçë ÉÅ I= ñ≠ â π K

Figure 64.

85


4.3. Signs of Trigonometric Functions 379.

nì~Çê~åí= f ff fff fs

páå

`çë

q~å

`çí

pÉÅ

`çëÉÅ=

H H  

H   H

H  H 

H  H 

H   H

H H  

α

α

380.

Figure 65.

86

α

α

α

α


4.4 Trigonometric Functions of Common Angles 381.

α°

α ê~Ç

M

M

PM= QR= SM= VM= NOM= NUM= OTM= PSM=

π S

π Q

π P

π O Oπ P

π Pπ O Oπ

í~å α M N P

Åçí α

O O P O

Åçë α N P O O O N O

N

N

P=

N

M

∞

ëáå α M N O

P O M=

N O −N

−

− P

∞ P=

−

ëÉÅ α N= O P

ÅçëÉÅ α

∞ O=

O

O

N P

O=

O P

M=

∞

N=

−O

O P

N P

M=

∞

−N

∞

−N

M=

∞

M=

∞

−N

M

N

M

∞

N=

∞

87


382.

α° NR= NU=

α ê~Ç π NO

ëáå α

Åçë α

í~å α

Åçí α

S− O Q

S+ O Q

O− P

O+ P

R −N Q

NM + O R Q

R−O R R

R+O R

π NM

π

R +N

R +N Q

NM − O R R +N

NM − O R

R +N

NM − O R R +N

R

NM − O R Q

RQ=

Pπ NM

R +N Q

NM − O R Q

TO=

Oπ R

NM + O R Q

R −N Q

R+O R

R−O R R

TR=

Rπ NO

S+ O Q

S− O Q

O+ P

O− P

PS=

4.5 Most Important Formulas 383. ëáå O α + Åçë O α = N 384. ëÉÅ O α − í~å O α = N 385. ÅëÅ O α − Åçí O α = N

ëáå α 386. í~å α = Åçë α

88

NM − O R


Åçë α 387. Åçí α = ëáå α 388. í~å α ⋅ Åçí α = N

N 389. ëÉÅ α = Åçë α 390. ÅçëÉÅ α =

N ëáå α

4.6 Reduction Formulas 391.

β −α VM° − α VM° + α NUM° − α NUM° + α OTM° − α OTM° + α PSM° − α PSM° + α

ëáå β − ëáå α + Åçë α + Åçë α + ëáå α − ëáå α − Åçë α − Åçë α − ëáå α + ëáå α

Åçë β + Åçë α + ëáå α − ëáå α − Åçë α − Åçë α − ëáå α + ëáå α + Åçë α + Åçë α

89

í~å β − í~å α + Åçí α − Åçí α − í~å α + í~å α + Åçí α − Åçí α − í~å α + í~å α

Åçí β − Åçí α + í~å α − í~å α − Åçí α + Åçí α + í~å α − í~å α − Åçí α + Åçí α


4.7 Periodicity of Trigonometric Functions 392. ëáå(α ± Oπå ) = ëáå α I éÉêáçÇ Oπ =çê= PSM° K= 393. Åçë(α ± Oπå ) = Åçë α I éÉêáçÇ Oπ =çê= PSM° K= 394. í~å(α ± πå ) = í~å α I éÉêáçÇ

π =çê= NUM° K=

395. Åçí(α ± πå ) = Åçí α I éÉêáçÇ

π =çê= NUM° K=

4.8 Relations between Trigonometric Functions 396. ëáå α = ± N − Åçë O α

=

O í~å

O

=±

N α (N + Åçë Oα ) = O Åçë O − N O O

α O

397. Åçë α = ± N − ëáå O α

=

α π  N (N − Åçë Oα ) = O Åçë O   −  −N O  O Q 

α

N + í~å O

N − í~å

=±

O

N + í~å O

α O

α O

ëáå α ëáå Oα N − Åçë Oα O 398. í~å α = = ± ëÉÅ α − N = = Åçë α N + Åçë Oα ëáå Oα

90


N − Åçë Oα =± = N + Åçë Oα

O í~å

α O

N + í~å O

α O

Åçë α N + Åçë Oα ëáå Oα O 399. Åçí α = = ± ÅëÅ α − N = = ëáå α ëáå Oα N − Åçë Oα

=±

400. ëÉÅ α =

401. ÅëÅ α =

N + Åçë Oα = N − Åçë Oα

N − í~å O O í~å

N = ± N + í~å O α = Åçë α

N = ± N + Åçí O α = ëáå α

α

α

O

O

α

N + í~å O

O

α

N − í~å O N + í~å O O í~å

O

α

α

O

O

4.9 Addition and Subtraction Formulas 402. ëáå(α + β) = ëáå α Åçë β + ëáå β Åçë α 403. ëáå(α − ó ) = ëáå α Åçë β − ëáå β Åçë α 404. Åçë(α + β ) = Åçë α Åçë β − ëáå α ëáå β 405. Åçë(α − β ) = Åçë α Åçë β + ëáå α ëáå β

91


í~å α + í~å β 406. í~å(α + β ) = N − í~å α í~å β 407. í~å(α − β ) =

í~å α − í~å β N + í~å α í~å β

408. Åçí(α + β ) =

N − í~å α í~å β í~å α + í~å β

N + í~å α í~å β 409. Åçí(α − β ) = í~å α − í~å β

4.10 Double Angle Formulas 410. ëáå Oα = O ëáå α ⋅ Åçë α 411. Åçë Oα = Åçë O α − ëáå O α = N − O ëáå O α = O Åçë O α − N 412. í~å Oα =

O í~å α O = N − í~å O α Åçí α − í~å α

Åçí O α − N Åçí α − í~å α 413. Åçí Oα = = O Åçí α O

92


4.11 4.11 Multiple Angle Formulas 414. ëáå Pα = P ëáå α − Q ëáåP α = P Åçë O α ⋅ ëáå α − ëáåP α 415. ëáå Qα = Q ëáå α ⋅ Åçë α − U ëáåP α ⋅ Åçë α 416. ëáå Rα = R ëáå α − OM ëáåP α + NS ëáå R α 417. Åçë Pα = Q ÅçëP α − P Åçë α = ÅçëP α − P Åçë α ⋅ ëáå O α 418. Åçë Qα = U Åçë Q α − U Åçë O α + N 419. Åçë Rα = NS Åçë R α − OM ÅçëP α + R Åçë α

P í~å α − í~å P α 420. í~å Pα = N − P í~å O α Q í~å α − Q í~å P α 421. í~å Qα = N − S í~å O α + í~å Q α í~å R α − NM í~å P α + R í~å α 422. í~å Rα = N − NM í~å O α + R í~å Q α Åçí P α − P Åçí α 423. Åçí Pα = P Åçí O α − N N − S í~å O α + í~å Q α 424. Åçí Qα = Q í~å α − Q í~å P α

93


N − NM í~å O α + R í~å Q α 425. Åçí Rα = í~å R α − NM í~å P α + R í~å α

4.12 Half Angle Formulas 426. ëáå

α O

=±

N − Åçë α O

α

N + Åçë α 427. Åçë = ± O O 428. í~å

α O

=±

N − Åçë α ëáå α N − Åçë α = = = ÅëÅ α − Åçí α N + Åçë α N + Åçë α ëáå α

α

N + Åçë α ëáå α N + Åçë α 429. Åçí = ± = = = ÅëÅ α + Åçí α O N − Åçë α N − Åçë α ëáå α

4.13 Half Angle Tangent Tangent Identities

430. ëáå α =

O í~å

α O

N + í~å O

α O

94


431. Åçë α =

N − í~å

α

O

O

α

N + í~å O

432. í~å α =

O í~å

O

α O

α

N − í~å O

433. Åçí α =

N − í~å O O í~å

O

α O

α O

4.14 Transforming of Trigonometric Expressions to Product 434. ëáå α + ëáå β = O ëáå

435. ëáå α − ëáå β = O Åçë

α +β O

α +β

436. Åçë α + Åçë β = O Åçë

O

Åçë

ëáå

α+β

437. Åçë α − Åçë β = −O ëáå

O

O

α −β

Åçë

α +β O

α −β

O

α −β

ëáå

95

O

α −β O


ëáå(α + β) 438. í~å α + í~å β = Åçë α ⋅ Åçë β 439. í~å α − í~å β =

ëáå(α − β) Åçë α ⋅ Åçë β

440. Åçí α + Åçí β =

ëáå(β + α ) ëáå α ⋅ ëáå β

441. Åçí α − Åçí β =

ëáå(β − α ) ëáå α ⋅ ëáå β

 π − α  = O ëáå π + α     Q Q    

442. Åçë α + ëáå α = O Åçë

 π − α  = O Åçë π + α     Q Q    

443. Åçë α − ëáå α = O ëáå

Åçë(α − β) 444. í~å α + Åçí β = Åçë α ⋅ ëáå β 445. í~å α − Åçí β = −

446. N + Åçë α = O Åçë O

447. N − Åçë α = O ëáå

O

Åçë(α + β ) Åçë α ⋅ ëáå β

α O

α O

96


 π − α   Q O  

448. N + ëáå α = O Åçë O 

 π − α    Q O 

449. N − ëáå α = O ëáå O 

4.15 Transforming of Trigonometric Expressions to Sum 450. ëáå α ⋅ ëáå β =

Åçë(α − β ) − Åçë(α + β ) O

Åçë(α − β ) + Åçë(α + β ) 451. Åçë α ⋅ Åçë β = O 452. ëáå α ⋅ Åçë β =

ëáå(α − β ) + ëáå(α + β ) O

í~å α + í~å β 453. í~å α ⋅ í~å β = Åçí α + Åçí β Åçí α + Åçí β 454. Åçí α ⋅ Åçí β = í~å α + í~å β 455. í~å α ⋅ Åçí β =

í~å α + Åçí β Åçí α + í~å β

97


4.16 Powers of Trigonometric Functions 456. ëáå O α =

N − Åçë Oα O

457. ëáåP α =

P ëáå α − ëáå Pα Q

458. ëáå Q α =

Åçë Qα − Q Åçë Oα + P U

NM ëáå α − R ëáå Pα + ëáå Rα 459. ëáå α = NS R

460. ëáå S α =

NM − NR Åçë Oα + S Åçë Qα − Åçë Sα PO

461. Åçë O α =

N + Åçë Oα O

P Åçë α + Åçë Pα 462. Åçë α = Q P

463. Åçë Q α =

Åçë Qα + Q Åçë Oα + P U

NM Åçë α + R ëáå Pα + Åçë Rα 464. Åçë α = NS R

465. Åçë S α =

NM + NR Åçë Oα + S Åçë Qα + Åçë Sα PO

98


4.17 Graphs of Inverse Trigonometric Functions 466. fåîÉêëÉ=páåÉ=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅëáå ñ I= − N ≤ ≤ N I= −

π O

π

≤ ~êÅëáå ñ ≤ K= O

Figure 66.

467. fåîÉêëÉ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅÅçë I= − N ≤ ≤ N I= M ≤ ~êÅÅçë ≤ π K=

99


Figure 67.

468. fåîÉêëÉ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅí~å I= − ∞ ≤ ≤ ∞ I= −

π O

π < ~êÅí~å ñ < K=

Figure 68.

100

O


469. fåîÉêëÉ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅ Åçí I= − ∞ ≤ ≤ ∞ I= M < ~êÅ Åçí < π K=

Figure 69.

470. fåîÉêëÉ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

π   π   ] [ = ∈ ( − ∞ − ∪ ∞ ) ∈ ó ~êÅëÉÅ ñ I ñ I N NI I ~êÅ ëÉÅ ñ MI  ∪  I πK  O   O 

Figure 70.

101


471. fåîÉêëÉ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

 π   π 

ó = ~êÅÅëÅ ñ I ñ ∈ (− ∞I − N] ∪ [NI ∞ )I ~êÅ ÅëÅ ñ ∈ − I M  ∪  MI K  O   O 

Figure 71.

4.18 Principal Princi pal Values Values of Inverse Trigonometric Functions Funct ions 472.

M= ~êÅëáå ñ ~êÅÅçë

~êÅëáå ñ ~êÅÅçë ñ

M° VM° N − O − PM° NOM°

N O PM° SM° O − O

O O QR° QR° P − O

− QR°

− SM°

NPR°

NRM°

102

P O SM° PM°

−N − VM° NUM°

N= VM° M°


473.

M=

P P

N=

~êÅí~å

M°

PM°

QR°

SM°

− PM°

~êÅ Åçí

VM°

SM°

QR°

PM°

NOM°

P= −

P P

4.19 Relations between Inverse Trigonometric Functions Funct ions 474. ~êÅëáå(− ñ ) = − ~êÅëáå ñ 475. ~êÅëáå ñ =

π O

− ~êÅÅçë ñ

476. ~êÅëáå ñ = ~êÅÅçë N − ñ O I= M ≤

≤ N K=

477. ~êÅëáå ñ = − ~êÅÅçë N − ñ O I= − N ≤ 478. ~êÅëáå ñ = ~êÅí~å

479. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí

480. ~êÅëáå ñ = ~êÅ Åçí

ñ

I=

N − ñ

O

N − ñ O

N − ñ O

O

≤ M K=

< N K=

I= M < ≤ N K=

− π I= − N ≤ < M K=

481. ~êÅÅçë(− ñ ) = π − ~êÅÅçë ñ

103

−N

− P

− QR° − ° SM NPR°

NRM°


482. ~êÅÅçë ñ =

π O

− ~êÅëáå ñ

483. ~êÅÅçë ñ = ~êÅëáå N − ñ O I= M ≤

≤ N K=

484. ~êÅÅçë ñ = π − ~êÅëáå N − ñ O I= − N ≤ 485. ~êÅÅçë ñ = ~êÅí~å

N − ñ O

487. ~êÅÅçë ñ = ~êÅ Åçí

I= M < ≤ N K=

N − ñ O

486. ~êÅÅçë ñ = π + ~êÅí~å

ñ N − ñ O

I= − N ≤ < M K=

I= − N ≤ ≤ N K=

488. ~êÅí~å(− ñ ) = − ~êÅí~å ñ 489. ~êÅí~å ñ =

π O

− ~êÅ Åçí ñ

490. ~êÅí~å ñ = ~êÅëáå

491. ~êÅí~å ñ = ~êÅÅçë

492. ~êÅí~å ñ = − ~êÅÅçë

ñ N + ñ O N N + ñ

O

≤ M K=

I= ≥ M K=

N N + ñ

O

I= ≤ M K=

104


493. ~êÅí~å ñ =

π O

494. ~êÅí~å ñ = −

N

− ~êÅí~å I= > M K= π O

N

− ~êÅí~å I= < M K=

495. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí

N

I= > M K=

496. ~êÅí~å ñ = ~êÅ Åçí

N

− π I < M K=

497. ~êÅ Åçí(− ñ ) = π − ~êÅ Åçí ñ 498. ~êÅ Åçí ñ =

π O

− ~êÅí~å ñ

499. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅëáå

N N + ñ

O

N

500. ~êÅ Åçí ñ = π − ~êÅëáå

N + ñ

O

I= < M K=

ñ

501. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅÅçë

502. ~êÅ Åçí ñ = ~êÅí~å

I= > M K=

N + ñ O N

I= > M K=

503. ~êÅ Åçí ñ = π + ~êÅí~å

N

I= < M K=

105


4.20 Trigonometric Trigonometric Equations tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å=

å

504. ëáå ñ = ~ I= ñ = (− N) ~êÅëáå ~ + πå 505. Åçë

= ~ I= = ± ~êÅÅçë ~ + Oπå

506. í~å

= ~ I= = ~êÅí~å ~ + πå

507. Åçí

= ~ I= = ~êÅ Åçí ~ + πå

4.21 Relations to Hyperbolic Functions fã~Öáå~êó=ìåáíW=á= 508. ëáå(áñ ) = á ëáåÜ ñ 509. í~å(áñ ) = á í~åÜ ñ 510. Åçí(áñ ) = −á ÅçíÜ ñ 511. ëÉÅ(áñ ) = ëÉÅÜ ñ 512. ÅëÅ(áñ ) = −á ÅëÅÜ ñ

106

Chapter 5

Matrices and Determinants

j~íêáÅÉëW=Î=_I=`= bäÉãÉåíë=çÑ=~=ã~íêáñW= ~ á I= Äá I= ~ áà I= Äáà I= Å áà aÉíÉêãáå~åí çÑ ~ ã~íêáñW ÇÉí ^ jáåçê=çÑ=~å=ÉäÉãÉåí= ~ áà W= jáà `çÑ~Åíçê=çÑ=~å=ÉäÉãÉåí= ~ áà W= ` áà ú qê~åëéçëÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= ^ q I = ^ ^Çàçáåí=çÑ=~=ã~íêáñW= ~Çà ^ qê~ÅÉ çÑ ~ ã~íêáñW íê ^ fåîÉêëÉ=çÑ=~=ã~íêáñW= ^ −N oÉ~ä=åìãÄÉêW=â= oÉ~ä=î~êá~ÄäÉëW= ñ á k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=å===

5.1 Determinants 513. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=

~N ÇÉí ^ = ~O

ÄN = ~ N Ä O − ~ O ÄN ÄO

107

CHAPTER 5. MATRICES AND DETERMIN DETERMINANTS ANTS

514. qÜáêÇ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=

~NN ~NO ~NP ÇÉí ^ = ~ ON ~ OO ~ OP = ~NN~ OO~ PP + ~NO~ OP~ PN + ~NP~ ON~ PO − ~ PN ~ PO ~ PP − ~NN~ OP~ PO − ~NO~ ON~ PP − ~NP~ OO~ PN 515. p~êêìë=oìäÉ=E^êêçï=oìäÉF=

Figure 72.

516. k-íÜ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí=

ÇÉí ^ =

~NN ~ ON

~NO K ~N à K ~Nå ~ OO K ~ O à K ~ Oå

K

K

K

K

K

K

~ áN

~ áO

K

~ áà

K

~ áå

K

K

K

K

K

K

~ åN ~ å O K ~ åà K ~ åå 517. jáåçê=

qÜÉ=ãáåçê= jáà =~ëëçÅá~íÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉåí= =~ëëçÅá~íÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉåí= ~ áà =çÑ= =çÑ=å å-íÜ=çêÇÉê= ã~íêáñ=^=áë=íÜÉ= (å − N) -íÜ=çêÇÉê=ÇÉíÉêãáå~åí=ÇÉêáîÉÇ=Ñêçã= íÜÉ=ã~íêáñ=^=Äó=ÇÉäÉíáçå=çÑ=áíë=á-íÜ=êçï=~åÇ=à-íÜ=ÅçäìãåK===

108


518. `çÑ~Åíçê=

` áà = (− N) á + à jáà 519. i~éä~ÅÉ=bñé~åëáçå=çÑ=å-íÜ=lêÇÉê=aÉíÉêãáå~åí= i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=á-íÜ=êçï=

ÇÉí ^ =

å

∑~ ` áà

áà

I á = NI OI KI å K=

à=N

i~éä~ÅÉ=Éñé~åëáçå=Äó=ÉäÉãÉåíë=çÑ=íÜÉ=à-íÜ=Åçäìãå= ÇÉí ^ =

å

∑~ ` á =N

áà

áà

I à = NI OI KI å K==

5.2 Properties of Determinants qÜÉ==î~äìÉ==çÑ=~=ÇÉíÉêãáå~åí=êÉã~áåë==ìåÅÜ~åÖÉÇ=áÑ=ê åë==ìåÅÜ~åÖÉÇ=áÑ=êçïë=~êÉ= çïë=~êÉ= 520. qÜÉ==î~äìÉ==çÑ=~=ÇÉíÉêãáå~åí=êÉã~á ÅÜ~åÖÉÇ=íç=Åçäìãåë=~åÇ=Åçäìãåë=íç=êçïëK= ~N ~ O ~N ÄN == = ÄN ÄO ~ O ÄO fÑ=íïç==êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áåíÉêÅÜ~åÖÉ ãåëF=~êÉ==áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI=íÜÉ=ëáÖå=çÑ= ÇI=íÜÉ=ëáÖå=çÑ= 521. fÑ=íïç==êçïë==Eçê=íïç=Åçäì íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí=áë=ÅÜ~åÖÉÇK= ~N ÄN ~ O ÄO =− ~ O ÄO ~N ÄN fÑ=íïç=êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF=~êÉ==áÇÉåíáÅ~äI= ~êÉ==áÇÉåíáÅ~äI=íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ= íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ= 522. fÑ=íïç=êçïë==Eçê=íïç=ÅçäìãåëF= ÇÉíÉêãáå~åí=áë=òÉêçK= ~N ~ N =M ~O ~O

109


fÑ==íÜÉ===ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó=êçï==Eçê=ÅçäìãåF=~êÉ=ãìäíáéäáÉÇ=Ä ãåF=~êÉ=ãìäíáéäáÉÇ=Äó===== ó===== 523. fÑ==íÜÉ===ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó=êçï==Eçê=Åçäì ~==Åçããçå==Ñ~ÅíçêI==íÜÉ==ÇÉíÉêãáå~åí==áë ~==Åçããçå==Ñ~ÅíçêI==íÜÉ==ÇÉíÉêãáå~åí==áë==ãìäíáéäáÉÇ==Äó== ==ãìäíáéäáÉÇ==Äó==íÜ~í= íÜ~í= Ñ~ÅíçêK= â~ N âÄN ~N ÄN = â ~ O ÄO ~ O ÄO fÑ==íÜÉ==ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó==êçï==Eçê==ÅçäìãåF=~êÉ=áåÅêÉ~ë ÅçäìãåF=~êÉ=áåÅêÉ~ëÉÇ=Eçê= ÉÇ=Eçê= 524. fÑ==íÜÉ==ÉäÉãÉåíë==çÑ==~åó==êçï==Eçê== ÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó=Éèì~ä=ãìäíáéäÉë=çÑ=íÜÉ=Åçê ÇÉÅêÉ~ëÉÇFÄó=Éèì~ä=ãìäíáéäÉë=çÑ=íÜÉ=ÅçêêÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë= êÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë= çÑ=~åó=çíÜÉê=êçï==Eçê=ÅçäìãåFI==íÜÉ=î~äìÉ= çÑ=~åó=çíÜÉê=êçï==Eçê=ÅçäìãåFI==íÜÉ=î~äìÉ=çÑ=íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí= çÑ=íÜÉ=ÇÉíÉêãáå~åí= áë=ìåÅÜ~åÖÉÇK= ~N + âÄN ÄN ~N ÄN = ~ O + âÄO ÄO ~ O ÄO

5.3 Matrices 525. aÉÑáåáíáçå=

^å= ã × å =ã~íêáñ=^=áë=~=êÉÅí~åÖìä~ê=~êê~ó=çÑ=ÉäÉãÉåíë=Eåìã ÄÉêë=çê=ÑìåÅíáçåëF=ïáíÜ=ã=êçïë=~åÇ=å=ÅçäìãåëK==  ~ NN ~ NO K ~ Nå  ~  ~ ~ K OO Oå  ^ = [~ áà ] =  ON ==

 M M  ~ ãN ~ ã O

  ~ ãå  M

K

=áë=~=ã~íêáñ=çÑ=çêÇÉê= å × å K== 526. pèì~êÉ=ã~íêáñ =áë=~=ã~íêáñ=çÑ=çêÇÉê= ëóããÉíêáÅ==áÑ== ==áÑ== ~ áà = ~ àá I==áKÉK==áí==áë= 527. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ== ~ áà áë ëóããÉíêáÅ ëóããÉíêáÅ=~Äçìí=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äK== ëóããÉíêáÅ=áÑ= =áÑ= ~ áà = −~ àá K== 528. ^=ëèì~êÉ=ã~íêáñ= ~ áà áë ëâÉï-ëóããÉíêáÅ

110

-


==áë==~=ëèì~êÉ==ã~íêáñ=ïáíÜ=~ää==ÉäÉãÉåíë== ~ää==ÉäÉãÉåíë==òÉêç= òÉêç= 529. aá~Öçå~ä=ã~íêáñ ==áë==~=ëèì~êÉ==ã~íêáñ=ïáíÜ= ÉñÅÉéí=íÜçëÉ=çå=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äK== ==áë==~=Çá~Öçå~ä==ã~íêáñ==áå=ïÜáÅÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉ áå=ïÜáÅÜ=íÜÉ=ÉäÉãÉåíë=çå= åíë=çå= 530. råáí=ã~íêáñ ==áë==~=Çá~Öçå~ä==ã~íêáñ== íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~ä=~êÉ=~ää=ìåáíóK íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~ä=~êÉ=~ää=ìåáíóK=qÜÉ=ìåáí=ã~íêáñ=á =qÜÉ=ìåáí=ã~íêáñ=áë=========== ë=========== ÇÉåçíÉÇ=Äó=fK== ^=åìää=ã~íêáñ =áë=çåÉ=ïÜçëÉ=ÉäÉãÉåíë=~êÉ=~ää=òÉêçK= =áë=çåÉ=ïÜçëÉ=ÉäÉãÉåíë=~êÉ=~ää=òÉêçK= 531. ^=åìää=ã~íêáñ

5.4 Operations with Matrices qïç=ã~íêáÅÉë=^=~åÇ=_=~êÉ=Éèì~ä=áÑI=~åÇ=çåäó=áÑI=íÜÉó= =~åÇ=çåäó=áÑI=íÜÉó=~êÉ=ÄçíÜ= ~êÉ=ÄçíÜ= 532. qïç=ã~íêáÅÉë=^=~åÇ=_=~êÉ=Éèì~ä=áÑI çÑ íÜÉ ë~ãÉ ëÜ~éÉ ã × å ==~åÇ=ÅçêêÉëéçåÇáåÖ=ÉäÉãÉåíë=~êÉ= Éèì~äK=

qïç=ã~íêáÅÉë==^=~åÇ=_==Å~å=ÄÉ=~ÇÇÉÇ=Eçê=ëìÄíê~ÅíÉÇF=çÑI=~åÇ= Eçê=ëìÄíê~ÅíÉÇF=çÑI=~åÇ= 533. qïç=ã~íêáÅÉë==^=~åÇ=_==Å~å=ÄÉ=~ÇÇÉÇ= çåäó=áÑI=íÜÉó=Ü~îÉ=íÜÉ=ë~ãÉ=ëÜ~éÉ= ã × å K=fÑ==  ~NN ~NO K ~Nå  ~ ~ OO K ~ Oå  ON  I== ^ = [~ áà ] = 

 M   ~ ãN  ÄNN Ä _ = [Äáà ] =  ON  M   Ä ãN

M

  ~ ãå  ÄNå  Ä Oå   I== M   Äãå  M

~ ãO K ÄNO K ÄOO K M

Äã O K

111


íÜÉå==

 ~NN + ÄNN ~NO + ÄNO ~ +Ä ~ OO + ÄOO ON ON  ^+_=  M M  + ~ ãN ÄãN ~ ã O + Äã O

K K

K

~ Nå + ÄNå  ~ Oå + ÄOå 

 K=  M  ~ ãå + Äãå 

534. fÑ=â=áë=~=ëÅ~ä~êI=~åÇ= ^ = ~ áà =áë=~=ã~íêáñI=íÜÉå=

 â~NN â~NO  â~ â~ OO ON  â^ = [â~ áà ] =  M M  â~ ãN â~ ã O

â~Nå   K â~ Oå K

K

 K= M   â~ ãå 

535. jìäíáéäáÅ~íáçå=çÑ=qïç=j~íêáÅÉë=

qïç= qïç= ã~íê ã~íêáÅ áÅÉë Éë Å~ Å~å= å= ÄÉ ãìäí ãìäíáé áéäá äáÉÇ ÉÇ íçÖÉ íçÖÉíÜ íÜÉê Éê çåäó çåäó ïÜÉå ïÜÉå íÜ íÜÉ= É= åìãÄÉê=çÑ=Åçäìãåë=áå=íÜÉ=Ñáêëí=áë=Éèì~ä=íç=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ= êçïë=áå=íÜÉ=ëÉÅçåÇK== fÑ=

 ~NN ~ ^ = [~ áà ] =  ON  M   ~ ãN  ÄNN Ä _ = [Äáà ] =  ON M   Ä åN

~NO ~ OO M

~Nå   K ~ Oå  K

M

Äå O K

  ~ ãå  ÄNâ  ÄOâ   I= M   Äåâ  M

~ ãO K ÄNO K ÄOO K

I==

112


íÜÉå==

 ÅNN ÅNO Å Å OO ON  ^_ = ` =  M M  Ä ãN Å ãO

ÅNâ   K Å Oâ K

K

 I== M   Å ãâ 

ïÜÉêÉ== Å áà = ~ áNÄN à + ~ á O ÄO à + K + ~ áå Äåà =

å

∑~

áλ

Äλ à

λ =N

E á = NI OI KI ã X à = NI OI KI â FK== qÜìë=áÑ=

~ NN ~ NO ^ = [~ áà ] =  ~ ON ~ OO

 ÄN  ~ NP  Ä  I== I= [ ] _ Ä = = á  O ~ OP  ÄP 

íÜÉå==

~NN ~NO ~ ON ~ OO

^_ = 

 ÄN  ~NP     ~NNÄN ~ NO Ä O ~ NP ÄP  K== ⋅ ÄO  =    ~ OP  ~ ONÄN ~ OO ÄO ~ OP ÄP   ÄP 

536. qê~åëéçëÉ=çÑ=~=j~íêáñ=

fÑ=íÜÉ=êçïë=~åÇ=Åçäìãåë=çÑ=~=ã~íêáñ=~êÉ=áåíÉêÅÜ~åÖÉÇI=íÜÉå= íÜÉ=åÉï=ã~íêáñ=áë=Å~ääÉÇ=íÜÉ=íê~åëéçëÉ íÜÉ=åÉï=ã~íêáñ=áë=Å~ääÉÇ=íÜÉ= íê~åëéçëÉ=çÑ=íÜÉ=çêáÖáå~ä=ã~íêáñK=== =çÑ=íÜÉ=çêáÖáå~ä=ã~íêáñK=== fÑ=^=áë=íÜÉ=çêáÖáå~ä=ã~íêáñI=áíë=íê~åëéçëÉ=áë=ÇÉåçíÉÇ= ^ q =çê= ú ^ K== qÜÉ=ã~íêáñ=^=áë=çêíÜçÖçå~ä áÑ ^^ q 537. qÜÉ=ã~íêáñ=^=áë=çêíÜçÖçå~ä

= f K==

538. fÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=éêçÇìÅí=^_=áë=ÇÉÑáåÉÇI=íÜÉå==

(^_ )q = _ q ^ q K=

113


539. ^Çàçáåí=çÑ=j~íêáñ=

fÑ=^=áë=~=ëèì~êÉ= å × å ã~íêáñI=áíë= ~Çàçáåí ~ÇàçáåíI=ÇÉåçíÉÇ=Äó= I=ÇÉåçíÉÇ=Äó= ~Çà ^ I= áë=íÜÉ=íê~åëéçëÉ=çÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=çÑ=ÅçÑ~Åíçêë=`áà =çÑ= =çÑ=^W ^W ~Çà ^ = [` áà ]q K==

540. qê~ÅÉ=çÑ=~=j~íêáñ=

fÑ= ^= ^= áë áë= ~= ~= ëè ëèì~êÉ å × å ã~íêáñI=áíë= íê~ÅÉ íê~ÅÉII= ÇÉ ÇÉåçíÉÇ= Äó Äó íê ^ I=áë =á ë ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==íÜÉ=ëìã=çÑ==íÜÉ=íÉêãë=çå= ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ==íÜÉ=ëìã=çÑ==íÜÉ=íÉêãë=çå=íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~ íÜÉ=äÉ~ÇáåÖ=Çá~Öçå~äW= äW= íê ^ = ~NN + ~ OO + K + ~ åå K=

541. fåîÉêëÉ=çÑ=~=j~íêáñ=

fÑ=^=áë=~=ëèì~êÉ= å × å ã~íêáñ=ïáíÜ=~=åçåëáåÖìä~ê=ÇÉíÉêãáå~åí= ÇÉí ÇÉí ^ I=íÜ I=íÜÉå Éå=á =áíë íë áåîÉêëÉ ^ −N =áë=ÖáîÉå=Äó= ~Çà ^ ^ −N = K= ÇÉí ^

542. fÑ=íÜÉ=ã~íêáñ=éêçÇìÅí=^_=áë=ÇÉÑáåÉÇI=íÜÉå==

(^_ )−N = _ −N^ −N K= ==ã~íêáñI==íÜÉ==ÉáÖÉåîÉÅíçêë==u===ë~íáëÑó= u===ë~íáëÑó= 543. fÑ ^ áë ~ ëèì~êÉ å × å ==ã~íêáñI==íÜÉ==ÉáÖÉåîÉÅíçêë== íÜÉ=Éèì~íáçå= û = λu I== ïÜáäÉ=íÜÉ=ÉáÖÉåî~äìÉë= ïÜáäÉ=íÜÉ=ÉáÖÉåî~äìÉë= λ =ë~íáëÑó=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçå= ^ − λf = M K===

5.5 Systems of Linear Equations

s~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=òI= ñN I= ñ O I K oÉ~ä=åìãÄÉêëW= ~ N I ~ O I ~ P I ÄN I ~ NN I ~ NO I K

114


aÉíÉêãáå~åíëW=aI= a ñ I= a ó I= aò == j~íêáÅÉëW=Î=_I=u=

544.

~N ñ + ÄN ó = ÇN I==  ~ O ñ + ÄO ó = Ç O aó añ ñ = I= ó = =E`ê~ãÉê ë=êìäÉFI== a a ïÜÉêÉ== ~ ÄN a= N = ~NÄO − ~ O ÄN I== ~ O ÄO ÇN ÄN a ñ = = ÇNÄO − Ç O ÄN I== Ç O ÄO ~N ÇN a ó = = ~NÇ O − ~ OÇN K== ~ O ÇO ∞

545. fÑ= a ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW==

aó añ ñ = I= ó = K= a a fÑ= a = M ~åÇ a ñ ≠ M Eçê a ó ≠ M FI=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë==åç== ëçäìíáçåK= fÑ a = a ñ = aó = M I= íÜ íÜÉå Éå íÜ íÜÉ= É= ëóëí ëóëíÉã Éã Ü~ Ü~ë= ë= áåÑá áåÑáåá åáíÉ íÉäó äó ã~åó ã~åó==== ëçäìíáçåëK=

~N ñ + ÄN ó + ÅNò = ÇN  546. ~ O ñ + ÄO ó + Å Oò = Ç O I== ~ ñ + Ä ó + Å ò = Ç P P P  P aó añ a I= ó = I= ò = ò =E`ê~ãÉê ë=êìäÉFI== ñ = a a a ∞

115


ïÜÉêÉ== ~N ÄN a = ~ O ÄO ~ P ÄP ~N a ó = ~ O ~P

ÅN ÇN Å O I= a ñ = Ç O ÅP ÇP

ÇN ÇO ÇP

ÅN ~N Å O I= aò = ~ O ÅP ~P

ÄN ÄO ÄP ÄN ÄO ÄP

ÅN Å O I= ÅP ÇN Ç O K== ÇP

547. fÑ a ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã=Ü~ë=~=ëáåÖäÉ=ëçäìíáçåW==

aó añ a ñ = I= ó = I= ò = ò K= a a a fÑ= a = M ~åÇ a ñ ≠ M Eçê a ó ≠ M çê aò ≠ M FI=íÜÉå=íÜÉ=ëóëíÉã= Ü~ë=åç=ëçäìíáçåK= fÑ a = a ñ = a ó = aò = M I íÜÉå íÜÉ ëóëíÉã Ü~ë áåÑáåáíÉäó ã~åó=ëçäìíáçåëK= j~íêáñ=cçêã=çÑ=~=póëíÉã=çÑ=å=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë= åÉ~ê=bèì~íáçåë=áå=========== áå================= ====== 548. j~íêáñ=cçêã=çÑ=~=póëíÉã=çÑ=å=iá å=råâåçïåë= qÜÉ=ëÉí=çÑ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçåë== ~NN ñ N + ~NO ñ O + K + ~Nå ñ å = ÄN ~ ñ + ~ ñ + K + ~ ñ = Ä  ON N OO O Oå å O

 KKKKKKKKKKKK ~ åN ñ N + ~ åO ñ O + K + ~ åå ñ å = Äå

Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=ã~íêáñ=Ñçêã=  ~ NN ~ NO K ~ Nå   ñ N   ÄN         ~ ON ~ OO K ~ Oå   ñ O   ÄO 

 M M   ~ åN ~ åO

K

⋅   =   I==  M M M      ~ åå   ñ å   Ä å 

áKÉK== ^ ⋅ u = _ I==

116


ïÜÉêÉ==  ~ NN  ~ ON  ^= M

~ NO K ~ Nå   ~ OO K ~ Oå  M

  ~ åN ~ å O

K

 ñ N   ÄN      ñ O  ÄO    I= u =   I= _ =   K==  M M M      ~ åå   ñ å   Äå 

pçäìíá íáçå çå=ç =çÑ= Ñ=~= ~=pÉ pÉí= í=çÑ çÑ=i =iáå áåÉ~ É~ê= ê=bè bèì~ ì~íá íáçå çåë= ë= å × å 549. pçäì u = ^ −N ⋅ _ I== ïÜÉêÉ= ^ −N =áë=íÜÉ=áåîÉêëÉ=çÑ=^K=

117

Chapter 6

Vectors

r

r

r

r r

r

r

→

sÉÅíçêëW= ì I= î I= ï I= ê I= ^_ I=£= I=£= r r sÉÅíçê sÉÅíçê=äÉ =äÉåÖí åÖíÜW= ÜW= ì I= î I=£= råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= à I= â r kìää=îÉÅíçêW=M r `ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê=ì W= uN I vN I wN r `ççêÇáå~íÉë=çÑ=îÉÅíçê= î W= uO I vO I wO pÅ~ä~êëW= λ I µ aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I Åçë β I Åçë γ ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=îÉÅíçêëW= θ

6.1 Vector Vector Coordinates Coordinates 550. råáí=sÉÅíçêë= r

á = (NI MI M ) I=

r

à = (MI NI M ) I= r

â = (MI MI N) I= r

r

r

→

r

á = à = â = N K= r

551. ê = ^_ = ( ñ N − ñ M ) á

r

r

+ ( ó N − ó M ) à + (ò N − ò M ) â

118

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 73.

552.

→

r

ê = ^_ = ( ñ N − ñ M )O + ( ó N − ó M )O + (òN − ò M )O →

r

→

r

553. fÑ ^_ = ê I íÜÉå _^ = − ê K=

Figure 74.

r

554. u = ê Åçë α I= r

v = ê Åçë β I= r w = ê Åçë γ K=

119

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 75.

r

r

555. fÑ= ê (uI v I w ) = êN (uN I vN I wN ) I=íÜÉå==

u = uN I= v = vN I= w = wN K== ==

6.2 Vector Addition r

r

r

556. ï = ì + î

== Figure 76.

120

CHAPTER 6. VECTORS

== Figure 77.

r

r

r

r

r

557. ï = ìN + ì O + ìP + K + ì å

== Figure 78.

558. `çããìí~íáîÉ=i~ï= r

r

r

r

ì + î = î + ì

559. ^ëëçÅá~íáîÉ=i~ï= r

r

r

r

r

r

r

r

(ì + î ) + ï = ì + ( î + ï )

560. ì + î = (uN + u O I vN + vO I wN + wO )

121

CHAPTER 6. VECTORS

6.3 Vector Vector Subtraction Subtr action r

r

r

r

r

r

561. ï = ì − î áÑ î + ï = ì K=

Figure 79.

== Figure 80.

r

r

r

r

r

r

r

562. ì − î = ì + (− î ) 563. ì − ì = M = (MI MI M ) r

564.

M =M r

r

565. ì − î = (uN − uO I vN − vO I wN − w O ) I==

6.4 Scaling Scali ng Vectors Vectors r

r

566. ï = λì

122

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 81.

r

r

= λ⋅ì

567. ï r

568.

λì = (λuI λv I λw)

569.

λ ì = ìλ

570.

(λ + µ ) ì = λì + µì

571.

λ(µì ) = µ(λì ) = (λµ )ì

572.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

λ(ì + î ) = λì + λî

6.5 Scalar Product r

r

573. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë= ì =~åÇ î r r

r

r

ì ⋅ î = ì ⋅ î ⋅ Åçë θ I== r r ïÜÉêÉ= θ =áë=íÜÉ=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=îÉÅíçêë= =áë=íÜÉ=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=îÉÅíçêë= ì ~åÇ ~åÇ î K====

123

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 82.

574. pÅ~ä~ê=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= r

r

fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I=íÜÉå== r r ì ⋅ î = uNu O + vNvO + wNw O K=

575. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë== r

r

fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I=íÜÉå== uNu O + vNvO + wNw O K= Åçë θ = O O O O O O uN + vN + wN u O + vO + w O

576. `çããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó= r r

r r

ì ⋅ î = î ⋅ ì

577. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó= r

r

r r

(λì ) ⋅ (µ î ) = λµì ⋅ î

578. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó= r

r

r

r r

r r

ì ⋅ ( î + ï ) = ì ⋅ î + ì ⋅ ï r r

r r

579. ì ⋅ î = M =áÑ= ì I î =~êÉ=çêíÜçÖçå~ä=E θ = r r

580. ì ⋅ î > M =áÑ= M < θ <

π O

K=

124

π O

FK=

CHAPTER 6. VECTORS

r r

581. ì ⋅ î < M =áÑ=

π O

r r

r

r

r r

r

r

< θ < π K=

582. ì ⋅ î ≤ ì ⋅ î r r

~êÉ=é~ é~êê~ääÉä ääÉä E θ = M FK= 583. ì ⋅ î = ì ⋅ î =áÑ=ì I î ~êÉ= r

584. fÑ= ì = (uN I vN I wN ) I=íÜÉå== r r

r

rO

r r

r r

r r

r r

r r

r r

ì ⋅ ì = ì O = ì = uNO + vNO + wNO K= 585. 586.

á ⋅ á = à ⋅ à = â ⋅ â = N á ⋅ à = à ⋅ â = â ⋅ á = M

6.6 Vector Vector Product P roduct r

r

587. sÉÅíçê=mêçÇìÅí=çÑ=sÉÅíçêë= ì =~åÇ î r

r

r

•

ï = ì ⋅ î ⋅ ëáå θ I=ïÜÉêÉ= M ≤ θ ≤

ì × î = ï I=ïÜÉêÉ==

• •

r

r

r

r

r

r

r

π O

X=

~åÇ ï ⊥ î X= ï ⊥ ì r r r =sÉÅíçêë= ì I= î I= î I= ï I= ï =Ñçêã=~=êáÖÜí-Ü~åÇÉÇ=ëÅêÉïK=

125

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 83.

r

á r r r 588. ï = ì × î = u N uO

r

r

à vN vO

â wN wO

 vN wN uN wN uN vN   589. ï = ì × î =  I− I  vO wO u O w O u O vO  r

r

r

r

r

r

590. p = ì × î

r

= ì ⋅ î ⋅ ëáå θ =EcáÖKUPF=

591. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=sÉÅíçêë=EcáÖKUPF= r

r

ì × î ëáå θ = r r ì ⋅ î 592. kçåÅçããìí~íáîÉ=mêçéÉêíó= r

r

r

r

ì × î = −( î × ì ) ==

593. ^ëëçÅá~íáîÉ=mêçéÉêíó= r

r

r

r

(λì )× (µ î ) = λµì × î

126

CHAPTER 6. VECTORS

594. aáëíêáÄìíáîÉ=mêçéÉêíó= r

r

r

r

r

r

r

r

r

ì × ( î + ï ) = ì × î + ì × ï r

r

r

=~åÇ î =~êÉ =~êÉ=é =é~~ê~ää ê~ääÉÉä=E ä=E θ = M FK= 595. ì × î = M =áÑ=ì =~åÇ 596. 597.

r r

r r

r

r

r

r r

r

r

r

r

á × á = à × à = â × â = M r

r

r

r

r

á × à = â I= à × â = á I= â × á = à

6.7 Triple Triple Product P roduct 598. pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí= rr r

r

r

r

r

r

r

r

[ì î ï ] = ì ⋅ ( î × ï ) = î ⋅ ( ï × ì ) = ï ⋅ (ì × î )

599.

rr r

r rr

rr r

rr r

r rr

rrr

[ì î ï ] = [ ïì î ] = [ î ïì] = −[ îì ï ] = −[ ï îì ] = −[ì ï î ] r

r

r

rr r

600. â ì ⋅ ( î × ï ) = â [ì î ï ] 601. pÅ~ä~ê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=

uN vN wN r r r ì ⋅ ( î × ï ) = u O vO w O I== uP vP wP ïÜÉêÉ== r r r ì = (uN I vN I wN ) I= î = (u O I vO I w O ) I= ï = (uP I vP I wP ) K== 602. sçäìãÉ=çÑ=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= r

r

r

s = ì ⋅ ( î × ï )

127

CHAPTER 6. VECTORS

Figure 84.

603. sçäìãÉ=çÑ=móê~ãáÇ=

s=

Nr r r ì ⋅ ( î × ï ) S

Figure 85.

604.

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

fÑ== ì ⋅ ( î × ï ) = M I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë==ì I= î I=~å I=~åÇ= Ç= ï =~êÉ=äáåÉ~êäó= =~êÉ=äáåÉ~êäó= r r r ÇÉéÉåÇÉåí=I=ëç= ÇÉéÉåÇÉåí= I=ëç= ï = λì + µ î =Ñçê=ëçãÉ=ëÅ~ä~êë= λ =~åÇ= µ K==

I=~åÇ= Ç= ï =~êÉ=äáåÉ~êäó= =~êÉ=äáåÉ~êäó= 605. fÑ== ì ⋅ ( î × ï ) ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=îÉÅíçêë==ì I= î I=~å áåÇÉéÉåÇÉåíK=K= áåÇÉéÉåÇÉåí

128

CHAPTER 6. VECTORS

606. sÉÅíçê=qêáéäÉ=mêçÇìÅí= r

r

r

r r r

r r r

ì × ( î × ï ) = (ì ⋅ ï ) î − (ì ⋅ î ) ï ï ==

129

Chapter 7

Analytic Geometry

7.1 One-Dimensional Coordinate System mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ñN I= ñO I= ó M I= óN I= ó O oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ == aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç= 607. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=

Ç = ^_ = ñ O − ñ N = ñ N − ñ O

Figure 86.

608. aáîáÇáåÖ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=áå=íÜÉ=o~íáç= λ

ñ M =

ñ N + λ ñ O ^` I= λ = I= λ ≠ −N K= N+ λ `_

Figure 87.

130

CHAPTER 7. ANALYTIC GEOMETRY

609. jáÇéçáåí=çÑ=~=iáåÉ=pÉÖãÉåí=

ñ N + ñ O ñ M = I= λ = N K= O

7.2 Two-Dimensional Coordinate System mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñ M I= ñN I= ñO I= ó M I= óN I= ó O mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= êI ϕ oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ == mçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI== aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç= ^êÉ~W=p= 610. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë= O O Ç = ^_ = ( ñ O − ñ N ) + ( ó O − ó N )

Figure 88.

131



ñ N + λ ñ O ó N + λ ó O ñ M = I= ó M = I== N+ λ N+ λ ^` λ= I= λ ≠ −N K= `_

Figure 89.

132


Figure 90.


ñ M =

ñ N + ñ O ó + ó O I= ó M = N I= λ = N K= O O

613. `ÉåíêçáÇ=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=jÉÇá~åëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=

ñ N + ñ O + ñ P ó + ó O + ó P I= ó M = N I== P P ïÜÉêÉ== ^( ñ N I ó N ) I _( ñ O I ó O ) I ~åÇ `( ñ P I ó P ) ==~êÉ=îÉêíáÅÉë=çÑ= íÜÉ=íêá~åÖäÉ= ^_` K= ñ M =

133


Figure 91.

614. fåÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^åÖäÉ=_áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=

~ñ N + Äñ O + Åñ P ~ó N + Äó O + Åó P ñ M = I= ó M = I== ~+ +Å ~+ +Å ïÜÉêÉ ~ = _` I Ä = `^ I Å = ^_ K==

Figure 92.

134


`áêÅìãÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=páÇÉ=mÉêéÉåÇáÅìä~ê==== ÉêéÉåÇáÅìä~ê================= ================== ===== 615. `áêÅìãÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=páÇÉ=m _áëÉÅíçêëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ= ñ NO + ó NO ó N N ñ N ñ NO + ó NO ñ OO + ó OO ó O N ñ O ñ OO + ó OO ñ PO + ó PO ó P N ñ P ñ PO + ó PO ñ M = I= ó M = ñ N ó N N ñ N ó N O ñ O ó O N O ñ O ó O ñ P ó P N ñ P ó P

== Figure 93.

135

N N N N N N


616. lêíÜçÅÉåíÉê=EfåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=^äíáíìÇÉëF=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=

ñ M =

ó N ñ O ñ P + ó NO N ó O ñ P ñ N + ó OO N ó P ñ N ñ O + ó PO N ñ N ó N N ñ O ó O N ñ P ó P N

I= ó M =

ñ NO + ó O ó P ñ N N ñ OO + ó P ó N ñ O N ñ PO + ó N ó O ñ P N ñ N ó N N ñ O ó O N ñ P ó P N

Figure 94.

617. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=

ñ N ó N N N N ñ O − ñ N ó O − ó N p = (± ) ñ O ó O N = (± ) O O ñ P − ñ N ó P − ó N ñ P ó P N

136


618. ^êÉ~=çÑ=~=nì~Çêáä~íÉê~ä=

N p = (± ) [( ñ N − ñ O )( ó N + ó O ) + ( ñ O − ñ P )( ó O + ó P ) + O + ( ñ P − ñ Q )( ó P + ó Q ) + ( ñ Q − ñ N )( ó Q + óN )]

Figure 95.

kçíÉW=få=Ñçêãìä~ë=SNTI=SNU=ïÉ=ÅÜççëÉ=íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F=ëç= íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíáîÉ=~åëïÉê=Ñçê=~êÉ~K== 619. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

Ç = ^_ = êNO + êOO − OêNêO Åçë(ϕ O − ϕN )

137


Figure 96.

620. `çåîÉêíáåÖ=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

= ê Åçë ϕ I= =óê ëáå ϕ

K

Figure 97.

621. `çåîÉêíáåÖ=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=íç=oÉÅí~åÖìä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

ê = ñ + ó I= í~å ϕ = O

O

ó

K=

138


7.3 Straight Line in Plane mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=uI=vI=ñI= ñM I= ñ N I== óM I= ó N I= ~N I= ~ O I=£== oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=~I=ÄI= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=~I=ÄI=éI=íI=Î=_I=Ì éI=íI=Î=_I=Ì ^N I= ^ O I=£= ^åÖäÉëW= α I= β ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW= ϕ r kçêã~ä=îÉÅíçêW=å r r r mçëáíáçå=î mçëáíáçå=îÉÅíçê ÉÅíçêëW= ëW= ê I= ~ I= Ä 622. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=

^ñ + _ó + ` = M

623. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=píê~áÖÜí=iáåÉ= r

qÜÉ=îÉÅíçê= å(Î _ ) áë åçêã~ä íç íÜÉ äáåÉ ^ñ + _ó + ` = M K=

Figure 98.

624. bñéäáÅáí=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ=EpäçéÉ-fåíÉêÅÉéí=cçêãF=

ó = âñ + Ä K==

139


qÜÉ=Öê~ÇáÉåí=çÑ=íÜÉ=äáåÉ=áë= â = í~å α K=

Figure 99.

625. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=iáåÉ==

â = í~å α =

ó O − ó N ñ O − ñ N

Figure 100.

140


bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=dáîÉå=~=mçáåí=~åÇ=íÜÉ=dê~ÇáÉåí= í=~åÇ=íÜÉ=dê~ÇáÉåí= 626. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=dáîÉå=~=mçáå

ó = ó M + â ( ñ − ñ M ) I== ïÜÉêÉ=â=áë=íÜÉ=Öê~ÇáÉåíI= m( ñ M I ó M ) áë ~ éçáåí çå íÜÉ äáåÉK

Figure 101.

627. bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=qÜ~í=m~ëëÉë bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ=qÜ~í=m~ëëÉë=qÜêçìÖÜ=qïç=mçáåíë= =qÜêçìÖÜ=qïç=mçáåíë=

ó − ó N ñ − ñ N = == ó O − ó N ñ O − ñ N çê= ñ ó N ñ N ó N N = M K= ñ O ó O N

141


Figure 102.

628. fåíÉêÅÉéí=cçêã=

ñ ó + =N ~

Figure 103.

142


629. kçêã~ä=cçêã=

ñ Åçë β + ó ëáå β − é = M

Figure 104.

630. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=

ñ − ñ N ó − ó N I== = u v ïÜÉêÉ= (uI v ) áë íÜ íÜÉ=Çá É=ÇáêêÉÅíá ÉÅíáçå çå çÑ íÜ íÜÉÉ äáåÉ äáåÉ ~åÇ mN ( ñ N I ó N ) äáÉë çå=íÜÉ=äáåÉK=

143


Figure 105.

631. sÉêíáÅ~ä=iáåÉ=

=~

632. eçêáòçåí~ä=iáåÉ=

ó = Ä

633. sÉÅíçê=bèì~íáçå=çÑ=~=píê~áÖÜí=iáåÉ= r

r

r

ê = ~ + íÄ I== ïÜÉêÉ== l=áë=íÜÉ=çêáÖáå=çÑ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉëI= u=áë=~åó=î~êá~ÄäÉ=éçáåí=çå=íÜÉ=äáåÉI== r =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=^=çå=íÜÉ=äáåÉ=I= íÜÉ=äáåÉ=I= ~ =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~=âåçïå=éçáåí=^=çå= r Ä =áë=~=âåçïå=îÉÅíçê=çÑ=ÇáêÉÅíáçåI=é~ê~ =áë=~=âåçïå=îÉÅíçê=çÑ=ÇáêÉÅíáçåI=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI= ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI= í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêI== r

→

ê = lu =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~åó=éçáåí=u=çå= =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê=çÑ=~åó=éçáåí=u=çå=íÜÉ=äáåÉK== íÜÉ=äáåÉK==

144


Figure 106.

634. píê~áÖÜí=iáåÉ=áå=m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã=

 ñ = ~N + íÄN I==   ó = ~ O + íÄO ïÜÉêÉ== ( Iñ ó ) ~êÉ=íÜÉ=Å ~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇá ççêÇáå~íÉë å~íÉë=çÑ= =çÑ=~åó=ì ~åó=ìåâåçï åâåçïå=éçá å=éçáåí=çå= åí=çå=íÜÉ=ä íÜÉ=äáåÉI áåÉI==== (~N I ~ O ) =~êÉ=í =~êÉ=íÜÉ= ÜÉ=Åçç ÅççêÇá êÇáå~í å~íÉë Éë=çÑ =çÑ=~= =~=âåç âåçïå= ïå=éçá éçáåí= åí=çå= çå=íÜÉ íÜÉ=äá =äáåÉI åÉI==== (ÄN I ÄO ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=îÉÅíçê=é~ê =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~=îÉÅíçê=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI= ~ääÉä=íç=íÜÉ=äáåÉI= í=áë=~=é~ê~ãÉíÉêK=

145


Figure 107.

635. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=iáåÉ=

qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= m(~ I Ä) =íç=íÜÉ=äáåÉ= ^ñ + _ó + ` = M =áë== ^~ + _Ä + ` Ç= K= O O ^ +_

Figure 108.

146


636. m~ê~ääÉä=iáåÉë=

qïç=äáåÉë= ó = â N ñ + ÄN =~åÇ= ó = â O ñ + ÄO =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== â N = â O K= qïç äáåÉë ^N ñ + _N ó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _O ó + ` O = M ~êÉ é~ê~ääÉä=áÑ= ^N _N = K= ^ O _O

Figure 109.

637. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë=

qïç=äáåÉë= ó = â N ñ + ÄN =~åÇ= ó = â O ñ + ÄO =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ== N â O = − çêI Éèìáî~äÉåíäóI â Nâ O = −N K= â N qïç äáåÉë ^N ñ + _N ó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _O ó + ` O = M ~êÉ éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ= ^N^ O + _N_O = M K=

147


Figure 110.

638. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=iáåÉë=

í~å ϕ = Åçë ϕ =

â O − â N I== N + â Nâ O ^N^ O + _N_O

^ +_ ⋅ ^ +_ O N

O N

O O

O O

K=

148


Figure 111.

639. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë=

fÑ íïç äáåÉë ^N ñ + _N ó + `N = M ~åÇ ^ O ñ + _ O ó + ` O = M =áåíÉê=áåíÉêëÉÅíI=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=éçáåí=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= − `N_ O + ` O_N − ^NÒ + ^ O`N ñ M = I= ó M = K= ^N_ O − ^ O_N ^N_ O − ^ O_N

7.4 Circle o~ÇáìëW=o= `ÉåíÉê=çÑ=ÅáêÅäÉW= (~ I Ä) mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI= ñ N I= ó N I=£= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI=bI=cI=í= =bI=cI=í=

149


bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~ê íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ= Ç= 640. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í= cçêãF= ñ O + ó O = o O

Figure 112.

641. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=^åó=mçáåí= (~I Ä)

( ñ − ~ )O + ( ó − Ä)O = o O

Figure 113.

150


642. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã

ñ O + ó O ñ ó ñ NO + ó NO ñ N ó N ñ OO + ó OO ñ O ó O ñ PO + ó PO ñ P ó P

N N =M N N

Figure 114.

643. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã

 ñ = o Åçë í I= M ≤ í ≤ Oπ K   ó = o ëáå í 644. dÉåÉê~ä=cçêã

^ñ O + ^ó O + añ + bó + c = M E^ åçåòÉêçI aO + b O > Q ^c FK== qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= (~ I Ä) I=ïÜÉêÉ== a b ~=− I= Ä = − K= O^ O^ qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ÅáêÅäÉ=áë

151


aO + b O − Q ^c o= K O^

7.5 Ellipse pÉãáã~àçê=~ñáëW=~= pÉãáãáåçê=~ñáëW=Ä= cçÅáW= cN (− ÅI M ) I= cO (ÅI M ) aáëí~åÅÉ=Ä aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉ ÉíïÉÉå=íÜÉ å=íÜÉ=ÑçÅáW =ÑçÅáW=OÅ= =OÅ= bÅÅÉåíêáÅáíóW=É== oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI=bI=cI=í= =bI=cI=í= mÉêáãÉíÉêW=i= ^êÉ~W=p= 645. bèì~íáçå=çÑ=~å=bääáéëÉ=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF

ñ O ó O + O =N O ~

Figure 115.

152


646. êN + êO = O~ I=

ïÜÉêÉ== êN I= êO ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó==éçáåí== m( ñ I ó ) ==çå= íÜÉ=ÉääáéëÉ=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK=

Figure 116.

647. ~ O = ÄO + Å O 648. bÅÅÉåíêáÅáíó

Å É =
~ ~O ñ = ± = ± É Å 650. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã

 ñ = ~ Åçë í I= M ≤ í ≤ Oπ K   ó = Ä ëáå í

153


651. dÉåÉê~ä=cçêã

^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ= _O − Q ^` < M K= dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ ä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñÉë ñÉë 652. dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉ ^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ ^` > M K 653. `áêÅìãÑÉêÉåÅÉ

i = Q~b(É ) I== ïÜÉêÉ==íÜÉ==ÑìåÅíáçå=b==áë==íÜÉ=ÅçãéäÉíÉ==ÉääáéíáÅ=áåíÉÖê~ä==çÑ= íÜÉ=ëÉÅçåÇ=âáåÇK==

654. ^ééêçñáã~íÉ=cçêãìä~ë=çÑ=íÜÉ=`áêÅìãÑÉêÉåÅÉ

i = π (NKR(~ + Ä) − ~Ä ) I== i = π O(~ O + ÄO ) K=

655. p = π~Ä

7.6 Hyperbola qê~åëîÉêëÉ=~ñáëW=~= `çåàìÖ~íÉ=~ñáëW=Ä= cçÅáW= cN (− ÅI M ) I= cO (ÅI M ) aáëí~åÅÉ=Ä aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉ ÉíïÉÉå=íÜÉ å=íÜÉ=ÑçÅá =ÑçÅáW=OÅ W=OÅ bÅÅÉåíêáÅáíóW=É== ^ëóãéíçíÉëW=ëI=í= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI=bI=cI=íI=â= bI=cI=íI=â=

154


656. bèì~íáçå=çÑ=~=eóéÉêÄçä~=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF=

ñ O ó O − O =N O ~

Figure 117.

657.

êN − êO = O~ I= ïÜÉêÉ== êN I== êO ==~êÉ==Çáëí~åÅÉë==Ñêçã==~åó=éçáåí== m( ñ I ó ) çå íÜÉ=ÜóéÉêÄçä~=íç=íÜÉ=íïç=ÑçÅáK=

155


Figure 118.

658. bèì~íáçåë=çÑ=^ëóãéíçíÉë=

Ä ó = ± ñ ~ 659. Å O

= ~ O + ÄO

660. bÅÅÉåíêáÅáíó

É=

Å >N ~

661. bèì~íáçåë=çÑ=aáêÉÅíêáÅÉë

~ ~O ñ = ± = ± É Å

156


m~ê~ãÉíêáÅ=bèì~íáçåë=çÑ=íÜÉ=oáÖÜí=_ê~åÅÜ=çÑ=~=eóéÉêÄçä~= çÑ=~=eóéÉêÄçä~= 662. m~ê~ãÉíêáÅ=bèì~íáçåë=çÑ=íÜÉ=oáÖÜí=_ê~åÅÜ=

 ñ = ~ ÅçëÜ í I= M ≤ í ≤ Oπ K   ó = Ä ëáåÜ í 663. dÉåÉê~ä=cçêã

^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ _ O − Q ^` > M K= dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñ =íç=íÜÉ=`ççêÇáå~íÉ=^ñÉë Éë 664. dÉåÉê~ä=cçêã=ïáíÜ=^ñÉë=m~ê~ääÉä ^ñ O + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ ^` < M K= 665. ^ëóãéíçíáÅ=cçêã=

ÉO ñó = I== Q çê== â ÉO ó = I=ïÜÉêÉ= â = K= Q få= íÜ íÜááë= Å~ Å~ëÉ ëÉ I íÜ íÜÉÉ ~ëóãé ëóãéíç íçíÉ íÉëë Ü~ Ü~îÉ îÉ Éèì Éèì~íáçå íáçåëë ó = M K==

157

= M ~åÇ


Figure 119.

7.7 Parabola cçÅ~ä=é~ê~ãÉíÉêW=é= cçÅìëW=c= sÉêíÉñW= j( ñ M I ó M ) oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI=bI=cI=éI= bI=cI=éI=~I=ÄI=Å= ~I=ÄI=Å= 666. bèì~íáçå=çÑ=~=m~ê~Äçä~=Epí~åÇ~êÇ=cçêãF

ó O = Oéñ

158


Figure 120.

bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ é ñ = − I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë= é   c I M  I=  O  `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ= j(MI M) K= 667. dÉåÉê~ä=cçêã

^ñ O + _ñó + `ó O + añ + bó + c = M I== ïÜÉêÉ _ O − Q ^` = M K= N K= O~ bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ

668. ó = ~ñ O I= é =

159


é ó = − I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë= é   c MI  I=  O  `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ= j(MI M) K=

Figure 121.

669. dÉåÉê~ä=cçêãI=^ñáë=m~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáë==

^ñ O + añ + bó + c = M =EÎ=b=åçåòÉêçFI== N ó = ~ñ O + Äñ + Å I= é = K== O~ bèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíêáñ é ó = ó M − I= O `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=ÑçÅìë=

160


é   c ñ M I ó M +  I= O   `ççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=îÉêíÉñ= Ä Q~Å − ÄO O ñ M = − I= ó M = ~ñ M + Äñ M + Å = K= O~ Q~

Figure 122.

7.8 Three-Dimensional Coordinate System mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW= ñM I= óM I=ò M I= ñN I= óN I= ò N I=£= oÉ~ä=åìãÄÉêW= λ == aáëí~åÅÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=éçáåíëW=Ç= ^êÉ~W=p= sçäìãÉW=s=

161


670. aáëí~åÅÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mçáåíë=

Ç = ^_ = ( ñ O − ñ N )O + ( ó O − ó N )O + (ò O − ò N )O

Figure 123.


ñ N + λ ñ O ó + λ ó O ò + λò O I= ó M = N I= ò M = N I== N+ λ N+ λ N+ λ ïÜÉêÉ= ^` I= λ ≠ −N K= λ= `_ ñ M =

162


Figure 124.

Figure 125.

163



ñ N + ñ O ó N + ó O òN + ò O ñ M = I= ó M = I= ò M = I= λ = N K= O O O

673. ^êÉ~=çÑ=~=qêá~åÖäÉ=

qÜÉ=~êÉ~=çÑ=~=íêá~åÖäÉ=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= mN ( ñ N I ó N I ò N ) I= mO ( ñ O I ó O I ò O ) I=~åÇ= mP ( ñ P I ó P I ò P ) áë ÖáîÉå Äó

ó N N p= ó O O ó P

O

O

O

òN N ò N ñ N N ñ N ó N N ò O N + ò O ñ O N + ñ O ó O N K= òP N ò P ñ P N ñ P ó P N

674. sçäìãÉ=çÑ=~=qÉíê~ÜÉÇêçå=

qÜÉ=îçäìãÉ=çÑ=~=íÉíê~ÜÉÇêçå=ïáíÜ=îÉêíáÅÉë= mN ( ñ N I óN I ò N ) I= mO ( ñ O I ó O I ò O ) I= mP ( ñ P I ó P I ò P ) I ~åÇ mQ ( ñ Q I ó Q I ò Q ) áë ÖáîÉå Äó ñ N ó N òN N N ñ O ó O ò O N s=± I== S ñ P ó P ò P N ñ Q ó Q ò Q N çê= ñ N − ñ Q ó N − ó Q òN − ò Q N s = ± ñ O − ñ Q ó O − ó Q ò O − ò Q K= S ñ P − ñ Q ó P − ó Q ò P − ò Q kçíÉW=tÉ=ÅÜççëÉ kçíÉW=tÉ=ÅÜççëÉ=íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F =íÜÉ=ëáÖå=EHF=çê=E¥F=ëç=íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíá =ëç=íÜ~í=íç=ÖÉí=~=éçëáíáîÉ= îÉ= ~åëïÉê=Ñçê=îçäìãÉK==

164


Figure 126.

7.9 Plane mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ M I= ó M I= ò M I= ñ N I= óN I= ò N I=£= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI= ^N I= ^ O I=~I=ÄI= I=~I=ÄI=ÅI= ÅI= ~N I= ~ O I= λ I=éI=íI=£== r r r kçêã~ä=îÉÅíçêëW= å I= åN I= å O aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I Åçë γ aáëí~åÅÉ=Ñêçã=éçáåí=íç=éä~åÉW=Ç= 675. dÉåÉê~ä=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=

^ñ + _ó + `ò + a = M

165


676. kçêã~ä=sÉÅíçê=íç=~=mä~åÉ= r

qÜÉ=îÉÅíçê= å (Î _I ` ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉ= ^ñ + _ó + `ò + a = M K=

Figure 127.

677. m~êíáÅìä~ê=`~ëÉë=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=

^ñ + _ó + `ò + a = M

fÑ ^ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñ -~ñáëK= fÑ _ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ó-~ñáëK= fÑ= ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ò-~ñáëK= fÑ a = M I=íÜÉ=éä~åÉ=äáÉë=çå=íÜÉ=çêáÖáåK== fÑ= ^ = _ = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK= fÑ= _ = ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=óò-éä~åÉK= fÑ= ^ = ` = M I=íÜÉ=éä~åÉ=áë=é~ê~ääÉä=íç=íÜÉ=ñò-éä~åÉK=

166


678. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=

^( ñ − ñ M ) + _( ó − ó M ) + ` (ò − ò M ) = M I== ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= m( ñ M I ó M I ò M ) =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=~åÇ=íÜÉ=îÉÅ =äáÉë=áå=íÜÉ=éä~åÉI=~åÇ=íÜÉ=îÉÅ-íçê= (Î _I ` ) =áë=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK===

Figure 128.

679. fåíÉêÅÉéí=cçêã=

ñ ó ò + + =N ~ Å

167


Figure 129.

680. qÜêÉÉ=mçáåí=cçêã=

ñ − ñ P ñ N − ñ P ñ O − ñ P çê== ñ ó ñ N ó N ñ O ó O ñ P ó P

ó − ó P ò − ò P ó N − ó P òN − ò P = M I== ó O − ó P ò O − ò P ò òN òO òP

N N = M K= N N

168


Figure 130.

681. kçêã~ä=cçêã=

ñ Åçë α + ó Åçë β + ò Åçë γ − é = M I== ïÜÉêÉ==é==áë==íÜÉ==éÉêéÉåÇáÅìä~ê==Çáëí~åÅÉ==Ñêçã==íÜÉ=çêáÖáå=íç= íÜÉ=éä~åÉ=I=~åÇ= Åçë α I= Åçë β I= Åçë γ =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë= çÑ=~åó=äáåÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=éä~åÉK==

169


Figure 131.

682. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã=

 ñ = ñ N + ~Në + ~ Oí   ó = óN + ÄNë + ÄOí I== ò = ò + Å ë + Å í  N N O ïÜÉêÉ= ( ñ I ó I ò ) =~êÉ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=~åó=ìåâåçïå=éçáåí=çå= íÜÉ=äáåÉ=I=íÜÉ=éçáåí= m( ñ N I ó N I ò N ) äáÉë áå íÜÉ éä~åÉI íÜÉ îÉÅíçêë (~N I ÄN I ÅN ) ~åÇ (~ O I ÄO I Å O ) ~êÉ é~ê~ääÉä íç íÜÉ éä~åÉK

170


Figure 132.

683. aáÜÉÇê~ä=^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=mä~åÉë=

fÑ=íÜÉ=éä~åÉë=~êÉ=ÖáîÉå=Äó== ^N ñ + _N ó + `Nò + aN = M I== ^ O ñ + _O ó + ` Oò + aO = M I== íÜÉå=íÜÉ=ÇáÜÉÇê~ä=~åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íÜÉã=áë== r r åN ⋅ å O ^N^ O + _N_ O + `N` O Åçë ϕ = r r = K= O O O O O O åN ⋅ å O ^N + _N + `N ⋅ ^ O + _ O + ` O

171


Figure 133.

684. m~ê~ääÉä=mä~åÉë=

qïç=éä~åÉë= ^N ñ + _N ó + `Nò + aN = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== ^N _N `N = = K= ^ O _O Ò

685. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=mä~åÉë=

qïç éä~åÉë ^N ñ + _N ó + `Nò + aN = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ== ^N^ O + _N_O + `N` O = M K=

686. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= m( ñ N I ó N I ò N ) ~åÇ m~ê~ääÉä qç

íÜÉ=sÉÅíçêë= (~N I ÄN I ÅN ) ~åÇ (~ O I ÄO I Å O ) EcáÖKNPOF

172


ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N ~N ÄN ÅN = M ~O ÄO ÅO 687. bèì~íáçå=çÑ=~=mä~åÉ=qÜêçìÖÜ= mN ( ñ N I ó N I ò N ) =~åÇ= mO ( ñ O I ó O I ò O ) I=

~åÇ=m~ê~ääÉä=qç=íÜÉ=sÉÅíçê= (~ I ÄI Å ) ñ − ñ N ó − ó N ò − òN ñ O − ñ N ó O − ó N ò O − ò N = M ~ Ä Å

Figure 134.

688. aáëí~åÅÉ=cêçã=~=mçáåí=qç=~=mä~åÉ=

qÜÉ=Çáëí~åÅÉ=Ñêçã=íÜÉ=éçáåí= mN ( ñ N I ó N I òN ) íç íÜÉ éä~åÉ ^ñ + _ó + `ò + a = M =áë==

173


Ç=

^ñ N + _ó N + `òN + a ^ +_ +` O

O

O

K=

Figure 135.

689. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=mä~åÉë=

fÑ íïç éä~åÉë ^N ñ + _N ó + `Nò + aN = M =~åÇ= ^ O ñ + _ O ó + ` Oò + aO = M áåíÉêë áåíÉêëÉÅí ÉÅíI=I= íÜÉ áåíÉêë áåíÉêëÉÅí ÉÅíáçå áçå ëíê~áÖ ëíê~áÖÜí= Üí= äáåÉ=áë=ÖáîÉå=Äó=  ñ = ñ N + ~í   ó = óN + Äí I== ò = ò + Åí  N çê== ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N I== = = ~ Å ïÜÉêÉ==

174


~=

_N `N ` I= Ä = N _O ` O Ò

ñ N =

ó N =

òN =

aN Ä aO aN Å aO aN ~ aO

`N aN −Å Ò aO ~ O + O + ÅO ^N aN −~ Ô aO ~ O + O + ÅO _N aN −Ä _O aO ~ O + O + ÅO

^N ^ I= Å = N Ô Ô _N _O `N Ò ^N Ô

_N I== _O

I==

I==

K==

7.10 Straight Line in Space mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñ N I= ó N I= ò N I=£= aáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉëW= Åçë α I= Åçë β I Åçë γ oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=aI=~I=ÄI=ÅI= ~I=ÄI=ÅI= ~N I= ~ O I=íI=£ I=íI=£==== r r r aáêÉÅíáçå=îÉÅíçêë=çÑ=~=äáåÉW= ë I= ëN I= ëO r kçêã~ä=îÉÅíçê=íç=~=éä~åÉW= kçêã~ä=îÉÅíçê=íç=~=éä~åÉW= å ^åÖäÉ=ÄÉíïÉÉå=íïç=äáåÉëW= ϕ 690. mçáåí=aáêÉÅíáçå=cçêã=çÑ=íÜÉ=bèì~íáçå=çÑ=~=iáåÉ==

ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N = = I== ~ Å ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= mN ( ñ N I óN I ò N ) =äáÉë=çå=íÜÉ=äáåÉI=~åÇ= (~ I ÄI Å ) =áë= íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉK==

175


Figure 136.

691. qïç=mçáåí=cçêã=

ñ − ñ N ó − ó N ò − òN == = = ñ O − ñ N ó O − ó N ò O − òN

Figure 137.

176


692. m~ê~ãÉíêáÅ=cçêã==

 ñ = ñ N + í Åçë α   ó = óN + í Åçë β I== ò = ò + í Åçë γ  N ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçáåí= mN ( ñ N I óN I ò N ) =äáÉë=çå=íÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉI= =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë=çÑ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå= ÉÅíáçå= Åçë α I= Åçë β I Åçë γ =~êÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=ÅçëáåÉë=çÑ=íÜÉ=Çáê îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉI=íÜÉ=é~ê~ãÉíÉê=í= îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=äáåÉI=íÜÉ=é~ê~ãÉíÉê=í=áë=~åó=êÉ~ä=åìãÄÉ áë=~åó=êÉ~ä=åìãÄÉêK== êK==

Figure 138.

693. ^åÖäÉ=_ÉíïÉÉå=qïç=píê~áÖÜí=iáåÉë= r

Åçë ϕ =

r

ëN ⋅ ëO ~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O = r r ëN ⋅ ëO ~NO + ÄNO + ÅNO ⋅ ~ OO + ÄOO + Å OO

177


Figure 139.

694. m~ê~ääÉä=iáåÉë=

qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== r r ëN öö ëO I== çê== ~N ÄN ÅN = = K= ~ O ÄO Å O 695. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉë=

qïç=äáåÉë=~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ== r r ëN ⋅ ëO = M I== çê== ~N~ O + ÄNÄO + ÅNÅ O = M K= 696. fåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=qïç=iáåÉë=

ñ − ñ N ó − ó N ò − òN qïç=äáåÉë= =~åÇ= = = ~N ÄN ÅN

178


ñ − ñ O ó − ó O ò − ò O =áåíÉêëÉÅí=áÑ== = = ~O ÄO ÅO ñ O − ñ N ó O − ó N ò O − ò N ~N ÄN ÅN = M K= ~O ÄO ÅO 697. m~ê~ääÉä=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ==

ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N = = =~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ= ~ Å ^ñ + _ó + `ò + a = M =~êÉ=é~ê~ääÉä=áÑ= r r å ⋅ ë = M I== çê== ^~ + _Ä + `Å = M K=

qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ=

Figure 140.

179


698. mÉêéÉåÇáÅìä~ê=iáåÉ=~åÇ=mä~åÉ==

ñ − ñ N ó − ó N ò − ò N qÜÉ=ëíê~áÖÜí=äáåÉ= =~åÇ=íÜÉ=éä~åÉ= = = ~ Å ^ñ + _ó + `ò + a = M =~êÉ=éÉêéÉåÇáÅìä~ê=áÑ= r r å öö ë I== çê== ^ _ ` = = K= ~ Å

Figure 141.

7.11 7.11 Quadric Quadri c Surfaces Sur faces mçáåí=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=èì~ÇêáÅ=ëìêÑ~ÅÉë mçáåí=ÅççêÇáå~íÉë=çÑ=íÜÉ=èì~ÇêáÅ=ëìêÑ~ÅÉëW=ñI=óI=ò= W=ñI=óI=ò= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=_I=Ì=~I=ÄI=ÅI= â N I â O I â P I=£=

180


699. dÉåÉê~ä=nì~Çê~íáÅ=bèì~íáçå=

^ñ O + _ó O + `ò O + Ocóò + Odòñ + Oeñó + Omñ + Onó + Ooò + a = M 700. `ä~ëëáÑáÅ~íáçå=çÑ=nì~ÇêáÅ=pìêÑ~ÅÉë= `~ëÉ N O P Q R S T U V NM NN NO NP NQ NR NS NT

o~åâEÉF P P P P P P O O O O O O O N N N N

o~åâEbF Q Q Q Q P P Q Q P P P O O P O O N

∆ M >M
â ëáÖåë p~ãÉ p~ãÉ aáÑÑÉêÉåí aáÑÑÉêÉåí aáÑÑÉêÉåí p~ãÉ p~ãÉ aáÑÑÉêÉåí p~ãÉ p~ãÉ aáÑÑÉêÉåí aáÑÑÉêÉåí p~ãÉ

M

qóéÉ çÑ pìêÑ~ÅÉ oÉ~ä bääáéëçáÇ fã~Öáå~êó bääáéëçáÇ eóéÉêÄçäçáÇ çÑ N pÜÉÉí eóéÉêÄçäçáÇ çÑ O pÜÉÉíë oÉ~ä nì~ÇêáÅ `çåÉ fã~Öáå~êó nì~ÇêáÅ `çåÉ bääáéíáÅ m~ê~ÄçäçáÇ eóéÉêÄçäáÅ m~ê~ÄçäçáÇ oÉ~ä bääáéíáÅ `óäáåÇÉê fã~Öáå~êó bääáéíáÅ `óäáåÇÉê eóéÉêÄçäáÅ `óäáåÇÉê oÉ~ä fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë fã~Öáå~êó fåíÉêëÉÅíáåÖ mä~åÉë m~ê~ÄçäáÅ `óäáåÇÉê oÉ~ä m~ê~ääÉä mä~åÉë fã~Öáå~êó m~ê~ääÉä mä~åÉë `çáåÅáÇÉåí mä~åÉë

eÉêÉ==

 ^   ^ e d    e  É =  e _ c  I= b =  d  d c `      m

e n m   _ c n I= ∆ = ÇÉí(b ) I==  c ` o  n o a  â N I â O I â P =~êÉ =~êÉ íÜ íÜÉ= É=êç êççí çíë= ë=çÑ çÑ=í =íÜ ÜÉ=Éè É=Éèì ì~íáçå íáçåII== ^ − ñ e d e _ − ñ c = M K= d c ` − ñ

181


701. oÉ~ä=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=NF=

ñ O ó O ò O + O + O =N O ~ Å

Figure 142.

702. fã~Öáå~êó=bääáéëçáÇ=E`~ëÉ=OF=

ñ O ó O ò O + O + O = −N O ~ Å 703. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=N=pÜÉÉí=E`~ëÉ=PF=

ñ O ó O ò O + O − O =N O ~ Å

182


Figure 143.

704. eóéÉêÄçäçáÇ=çÑ=O=pÜÉÉíë=E`~ëÉ=QF=

ñ O ó O ò O + O − O = −N O ~ Å

Figure 144.

183


705. oÉ~ä=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=RF=

ñ O ó O ò O + O − O =M O ~ Å

== Figure 145.

706. fã~Öáå~êó=nì~ÇêáÅ=`çåÉ=E`~ëÉ=SF=

ñ O ó O ò O + O + O =M O ~ Å 707. bääáéíáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=E`~ëÉ=TF=

ñ O ó O + O −ò =M O ~

184


Figure 146.

708. eóéÉêÄçäáÅ=m~ê~ÄçäçáÇ=E`~ëÉ=UF=

ñ O ó O − O −ò = M O ~

Figure 147.

185


709. oÉ~ä=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=VF=

ñ O ó O + O =N O ~

Figure 148.

710. fã~Öáå~êó=bääáéíáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NMF=

ñ O ó O + O = −N O ~ 711. eóéÉêÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NNF=

ñ O ó O − O =N O ~

186


Figure 149.

712. oÉ~ä=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=E`~ëÉ=NOF=

ñ O ó O − O =M O ~ 713. fã~Öáå~êó=fåíÉêëÉÅíáåÖ=mä~åÉë=E`~ëÉ=NPF=

ñ O ó O + O =M O ~ 714. m~ê~ÄçäáÅ=`óäáåÇÉê=E`~ëÉ=NQF=

ñ O − ó = M O ~

187


Figure 150.

715. oÉ~ä=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=E`~ëÉ=NRF=

ñ O =N O ~ 716. fã~Öáå~êó=m~ê~ääÉä=mä~åÉë=E`~ëÉ=NSF=

ñ O = −N O ~ 717. `çáåÅáÇÉåí=mä~åÉë=E`~ëÉ=NTF=

ñ O = M

188


7.12 Sphere o~Çáìë=çÑ=~=ëéÜÉêÉW=o= mçáåí=ÅççêÇáå~íÉëW=ñI=óI=òI= ñN I= óN I=ò NI=£= `ÉåíÉê=çÑ=~=ëéÜÉêÉW= (~ I ÄI Å ) oÉ~ä=åìãÄÉêëW=Î=aI=bI=cI=j= bèì~íáçå=çÑ=~=péÜÉêÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~ í=íÜÉ=lêáÖáå=Epí~åÇ~êÇ= êÇ= 718. bèì~íáçå=çÑ=~=péÜÉêÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~ cçêãF= ñ O + ó O + ò O = o O

Figure 151.

719. bèì~íáçå=çÑ=~=`áêÅäÉ=`ÉåíÉêÉÇ=~í=^åó=mçáåí= (~ I ÄI Å )

( ñ − ~ )O + ( ó − Ä )O + (ò − Å )O = o O 720. aá~ãÉíÉê=cçêã

( ñ − ñ N )( ñ − ñ O ) + ( ó − ó N )( ó − ó O ) + (ò − òN )(ò − ò O ) = M I==

189


ïÜÉêÉ== mN ( ñ N I ó N I ò N ) I= mO ( ñ O I ó O I ò O ) ~êÉ íÜÉ ÉåÇë çÑ ~ Çá~ãÉíÉêK 721. cçìê=mçáåí=cçêã=

ñ O + ó O + ò O ñ NO + ó NO + ñ NO ñ OO + ó OO + ñ OO ñ PO + ó PO + ñ PO ñ OQ + ó OQ + ñ OQ

ñ ñ N ñ O ñ P ñ Q

ó ò ó N ò N ó O ò O ó P ò P ó Q ò Q

N N N =M N N

722. dÉåÉê~ä=cçêã

^ñ O + ^ó O + ^ò O + añ + bó + cò + j = M =E^=áë=åçåòÉêçFK== qÜÉ=ÅÉåíÉê=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=Ü~ë=ÅççêÇáå~íÉë= (~ I ÄI Å ) I ïÜÉêÉ a b c ~=− I= Ä = − I= Å = − K= O^ O^ O^ qÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=íÜÉ=ëéÜÉêÉ=áë aO + b O + cO − Q ^ Oj o= K O^

190

Chapter 8

Differential Calculus

cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î= ^êÖìãÉåí=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉFW=ñ= oÉ~ä=åìãÄÉêëW=~I=ÄI=ÅI=Ç= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= ^åÖäÉW= α fåîÉêëÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ −N

8.1 Functions and Their Graphs 723. bîÉå=cìåÅíáçå=

Ñ (− ñ ) = Ñ ( ñ )

724. lÇÇ=cìåÅíáçå=

Ñ (− ñ ) = −Ñ ( ñ )

725. mÉêáçÇáÅ=cìåÅíáçå=

Ñ ( ñ + åq ) = Ñ ( ñ )

726. fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå=

ó = Ñ ( ñ ) =áë=~åó=ÑìåÅíáçåI= ñ = Ö( ó ) =çê= ó = Ñ −N ( ñ ) =áë=áíë=áåîÉêëÉ= ÑìåÅíáçåK==

191

CHAPTER 8. DIFFERENTIAL CALCULUS

Figure 152.

727. `çãéçëáíÉ=cìåÅíáçå=

ó = Ñ (ì ) I= ì = Ö( ñ ) I= ó = Ñ (Ö( ñ )) =áë=~=ÅçãéçëáíÉ=ÑìåÅíáçåK=

728. iáåÉ~ê=cìåÅíáçå=

ó = ~ñ + Ä I ∈ o I= ~ = í~å α ==áë ==áë=íÜ =íÜÉ=ëä =ëäçéÉ=çÑ =çÑ=íÜ =íÜÉ=äá =äáåÉI==Ä==á ==Ä==áëë íÜÉ=óíÜÉ=ó-áåíÉêÅÉéíK=

192


Figure 153.

729. nì~Çê~íáÅ=cìåÅíáçå==

ó = ñ O I= ∈ o K=

Figure 154.

193


730. ó = ~ñ O + Äñ + Å I=

∈ o K=

Figure 155.

731. `ìÄáÅ=cìåÅíáçå==

ó = ñ P I= ∈ o K=

194


Figure 156.

732. ó = ~ñ P + Äñ O + Åñ + Ç I=

∈ o K=

195


== Figure 157.

733. mçïÉê=cìåÅíáçå==

ó = ñ å I= å ∈ k K=

196


Figure 158.

Figure 159.

197


734. pèì~êÉ=oççí=cìåÅíáçå==

ó = ñ I= ñ ∈ [MI ∞ ) K=

Figure 160.

735. bñéçåÉåíá~ä=cìåÅíáçåë=

ó = ~ ñ I= ~ > M I= ~ ≠ N I= ó = É ñ =áÑ= ~ = É I= É = OKTNUOUNUOUQSK

Figure 161.

198


736. içÖ~êáíÜãáÅ=cìåÅíáçåë=

ó = äçÖ ~ ñ I= ñ ∈ (MI ∞ ) I= ~ > M I= ~ ≠ N I= ó = äå ñ =áÑ= ~ = É I= > M K=

Figure 162.

737. eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå==

É ñ − É − ñ ó = ëáåÜ ñ I= ëáåÜ ñ = I= ∈ o K= O

199


Figure 163.

738. eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==

É ñ + É − ñ ó = Åçë Ü ñ I= Åçë Ü ñ = I= ∈ o K= O

Figure 164.

200


739. eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ëáåÜ ñ É ñ − É − ñ ó = í~åÜ ñ I= ó = í~åÜ ñ = = ñ − ñ I= ∈ o K= ÅçëÜ ñ É + É

Figure 165.

740. eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ÅçëÜ ñ É ñ + É − ñ = ñ − ñ I= ∈ o I= ≠ M K= ó = Åçí Ü ñ I= ó = Åçí Ü ñ = ëáåÜ ñ É − É

201


Figure 166.

741. eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

ó = ëÉÅ Ü ñ I= ó = ëÉÅ Ü ñ =

N O = ñ − ñ I= ∈ o K= ÅçëÜ ñ É + É

Figure 167.

202


742. eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

N O = ñ − ñ I= ∈ o I= ≠ M K= ó = ÅëÅÜ ñ I= ó = ÅëÅÜ ñ = ëáåÜ ñ É − É

Figure 168.

743. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=páåÉ=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅëáåÜ ñ I= ∈ o K=

203


Figure 169.

744. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëáåÉ=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅÅçëÜ ñ I= ñ ∈ [NI ∞ ) K=

Figure 170.

745. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=q~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅí~åÜ ñ I= ñ ∈ (− NI N) K=

204


Figure 171.

746. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çí~åÖÉåí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅÅçíÜ ñ I= ñ ∈ (− ∞I − N) ∪ (NI ∞ ) K==

205


Figure 172.

747. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=pÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅëÉÅÜ ñ I= ñ ∈ (MI N] K=

206


Figure 173.

748. fåîÉêëÉ=eóéÉêÄçäáÅ=`çëÉÅ~åí=cìåÅíáçå==

ó = ~êÅÅëÅÜ ñ I= ∈ o I= ≠ M K==

Figure 174.

207


8.2 Limits of Functions cìåÅíáçåëW= Ñ ( ñ ) I= Ö( ñ ) ^êÖìãÉåíW=ñ= oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=~I=â= 749. äáã[Ñ ( ñ ) + Ö ( ñ )] = äáã Ñ ( ñ ) + äáã Ö ( ñ ) ñ →~

ñ →~

ñ →~

750. äáã[Ñ ( ñ ) − Ö ( ñ )] = äáã Ñ ( ñ ) − äáã Ö ( ñ ) ñ →~

ñ →~

ñ →~

751. äáã[Ñ ( ñ ) ⋅ Ö ( ñ )] = äáã Ñ ( ñ ) ⋅ äáã Ö ( ñ ) ñ →~

ñ →~

ñ →~

Ñ ( ñ ) Ñ ( ñ ) ñ äáã →~ = I=áÑ= äáã Ö( ñ ) ≠ M K= 752. äáã ñ →~ Ö ( ñ ) ñ →~ äáã Ö( ñ ) ñ →~

753. äáã[âÑ ( ñ )] = â äáã Ñ ( ñ ) ñ →~

ñ →~

754. äáã Ñ (Ö ( ñ )) = Ñ äáã Ö ( ñ ) ñ →~

ñ →~

755. äáã Ñ ( ñ ) = Ñ (~ ) I=áÑ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ ( ñ ) =áë=Åçåíáåìçìë=~í= ñ = ~ K= ñ →~

756. äáã ñ →M

757. äáã ñ →M

758. äáã ñ →M

ëáå ñ

=N

í~å ñ

=N

ëáå −N ñ

=N

208


759. äáã

í~å −N ñ

ñ →M

760. äáã

=N

äå(N + ñ )

ñ →M

=N

ñ

 N  = É  ñ → ∞ ñ 

761. äáã N +

ñ

â   äáã N 762. +  = É â  ñ →∞  ñ  763. äáã ~ ñ = N ñ →M

8.3 Definition and Properties of the Derivative cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=óI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= oÉ~ä=Åçåëí~åíW=â= ^åÖäÉW= α

764. ó′( ñ ) = äáã

∆ ñ →M

Ñ ( ñ + ∆ ñ ) − Ñ ( ñ )

∆

∆ ó Çó = == ∆ ñ →M ∆ Çñ

= äáã

209


== Figure 175.

Çó 765. = í~å α == Çñ 766.

Ç(ì + î ) Çì Çî = + Çñ Çñ Çñ

767.

Ç(ì − î ) Çì Çî = − Çñ Çñ Çñ

768.

Ç(âì ) Çì = â Çñ Çñ

769. mêçÇìÅí=oìäÉ=

Ç(ì ⋅ î ) Çì Çî = ⋅ î + ì ⋅ == Çñ Çñ Çñ

210


770. nìçíáÉåí=oìäÉ=

Çì Çî ⋅ î − ì ⋅ Ç  ì  Çñ Çñ  = Çñ  î  î O 771. `Ü~áå=oìäÉ=

ó = Ñ (Ö( ñ )) I= ì = Ö( ñ ) I== Çó Çó Çì = ⋅ K= Çñ Çì Çñ

772. aÉêáî~íáîÉ=çÑ=fåîÉêëÉ=cìåÅíáçå=

Çó N = I== Çñ Çñ Çó ïÜÉêÉ= (ñ ó ) áë=íÜÉ áë=íÜÉ=áå =áåîÉê îÉêëÉ= ëÉ=Ñìå ÑìåÅíá Åíáçå= çå=çÑ= çÑ=ó( ñ ) K 773. oÉÅáéêçÅ~ä=oìäÉ=

Çó Ç  N    = − Çñ Çñ  ó  ó O 774. içÖ~êáíÜãáÅ=aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=

ó = Ñ ( ñ ) I= äå ó = äå Ñ ( ñ ) I== Çó Ç = Ñ ( ñ ) ⋅ [äå Ñ ( ñ )]K= Çñ Çñ

8.4 Table of Derivatives fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=Ì=~I=ÄI=Å= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å=

211


Ç (` ) = M 775. Çñ 776.

Ç ( ñ ) = N Çñ

Ç (~ñ + Ä) = ~ 777. Çñ 778.

Ç (~ñ O + Äñ + Å ) = ~ñ + Ä Çñ

Ç å ( ñ ) = åñ å−N 779. Çñ 780.

Ç −å ( ñ ) = − åå+N Çñ

781.

Ç  N  N = −   Çñ  ñ  ñ O

Ç N ( ñ ) = 782. Çñ O ñ Ç å N ( ñ ) = 783. Çñ å å ñ å−N 784.

Ç N (äå ñ ) = Çñ

Ç N (äçÖ ~ ñ ) = 785. I= ~ > M I= ~ ≠ N K= Çñ äå ~

212


Ç ñ (~ ) = ~ ñ äå ~ I= ~ > M I= ~ ≠ N K= 786. Çñ 787.

Ç ñ (É ) = É ñ Çñ

Ç (ëáå ñ ) = Åçë ñ 788. Çñ 789.

Ç (Åçë ñ ) = − ëáå ñ Çñ

Ç N (í~å ñ ) = O = ëÉÅ O ñ 790. Çñ Åçë 791.

Ç N (Åçí ñ ) = − O Çñ ëáå

= − ÅëÅ O ñ

Ç (ëÉÅ ñ ) = í~å ñ ⋅ ëÉÅ ñ 792. Çñ 793.

Ç (ÅëÅ ñ ) = − Åçí ñ ⋅ ÅëÅ ñ Çñ

794.

Ç N (~êÅëáå ñ ) = Çñ N − ñ O

Ç N (~êÅÅçë ñ ) = − 795. Çñ N − ñ O Ç N ( ) ~êÅí~å ñ 796. = Çñ N+

O

213


Ç N (~êÅ Åçí ñ ) = − 797. Çñ N+

O

798.

Ç N (~êÅ ëÉÅ ñ ) = Çñ ñ ñ O − N

799.

Ç N (~êÅ ÅëÅ ñ ) = − Çñ ñ ñ O − N

800.

Ç (ëáåÜ ñ ) = ÅçëÜ ñ Çñ

801.

Ç (ÅçëÜ ñ ) = ëáåÜ ñ Çñ

802.

Ç N (í~åÜ ñ ) = Çñ ÅçëÜO

803.

Ç N O (ÅçíÜ ñ ) = − ÅëÅÜ ñ = − O Çñ ëáåÜ

804.

Ç (ëÉÅÜ ñ ) = −ëÉÅÜ ñ ⋅ í~åÜ ñ Çñ

805.

Ç (ÅëÅÜ ñ ) = −ÅëÅÜ ñ ⋅ ÅçíÜ ñ Çñ

= ëÉÅÜO ñ

Ç N (~êÅëáåÜ ñ ) = O 806. Çñ ñ + N 807.

Ç N (~êÅÅçëÜ ñ ) = O Çñ ñ − N

214


Ç N (~êÅí~åÜ ñ ) = 808. Çñ N− 809.

Ç (~êÅÅçíÜ ñ ) = − Çñ

O

I= ñ < N K=

N O

−N

I= ñ > N K=

Ç î Çî î −N Çì î (ì ) = îì ⋅ + ì äå ì ⋅ 810. Çñ Çñ Çñ

8.5 Higher Order Derivatives cìåÅíáçåëW=ÑI=óI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= 811. pÉÅçåÇ=ÇÉêáî~íáîÉ=

Çó  ′ Ç  Çó  Ç O ó  ′ Ñ ′′ = (Ñ ′) =   =  = O  Çñ  Çñ  Çñ  Çñ

eáÖÜÉê-lêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉ= 812. eáÖÜÉêå Ç ó Ñ (å ) = å = ó (å ) = (Ñ (å −N) ) ′ Çñ

813.

(ì + î )(å ) = ì (å ) + î (å )

814.

(ì − î )(å ) = ì (å ) − î (å )

815. iÉáÄåáíò ë=cçêãìä~ë= ∞

(ìî )′′ = ì′′ î + Oì′ î′ + ìî′′

215


(ìî )′′′ = ì′′′ î + Pì′′ î′ + Pì′ î′′ + ìî′′′ å(å − N) (å −O ) (ìî )(å ) = ì (å ) î + åì (å−N) î ′ + ì î ′′ + K + ìî (å ) N⋅ O ã (å )

ã> ñ ã −å = (ã − å )>

816.

( ñ )

817.

( ñ å )(å ) = å>

818.

(å )

(äçÖ ~ ñ ) = (å )

(− N)å −N (å − N)> äå ~

(− N)å−N (å − N)>

819.

(äå ñ ) =

820.

(~ ñ )(å ) = ~ ñ äåå ~ ñ (å )

å

å

821.

(É )

822.

(~ ãñ )(å ) = ã å~ ãñ äåå ~

823.

åπ  (ëáå ñ )(å ) = ëáå ñ +   O  

824.

åπ  (Åçë ñ )(å ) = Åçë ñ +   O  

= É ñ

216


8.6 Applications of Derivative cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ó= mçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ë== sÉäçÅáíóW=î= ^ÅÅÉäÉê~íáçåW=ï= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= qáãÉW=í= k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= 825. sÉäçÅáíó=~åÇ=^ÅÅÉäÉê~íáçå=

ë = Ñ (í ) =áë=íÜÉ=éçëáíáçå=çÑ=~å=çÄàÉÅí=êÉä~íáîÉ=íç=~=ÑáñÉÇ= ÅççêÇáå~íÉ=ëóëíÉã=~í=~=íáãÉ=íI== î = ë′ = Ñ ′(í ) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=îÉäçÅáíó=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI= ï = î′ = ë′′ = Ñ ′′(í ) =áë=íÜÉ=áåëí~åí~åÉçìë=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ= íÜÉ=çÄàÉÅíK==

826. q~åÖÉåí=iáåÉ=

ó − ó M = Ñ ′( ñ M )( ñ − ñ M )

217


Figure 176.

827. kçêã~ä=iáåÉ=

ó − ó M = −

N ( ñ − ñ M ) =EcáÖ=NTSF= Ñ ′( ñ M )

828. fåÅêÉ~ëáåÖ=~åÇ=aÉÅêÉ~ëáåÖ=cìåÅíáçåëK==

fÑ= Ñ ′( ñ M ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖ=NTTI= ñ < ñ N I= ñ O < ñ FI= fÑ= Ñ ′( ñ M ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖ=NTTI= ñ N < ñ < ñ O FI= fÑ= Ñ ′ ( ñ M ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉ =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK== å=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK==

218


Figure 177.

829. içÅ~ä=ÉñíêÉã~=

^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã ^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= =~í= ñ N =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñN =ëìÅÜ=íÜ~ =ëìÅÜ=íÜ~í= í= Ñ ( ñ N ) ≥ Ñ ( ñ ) =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK== ^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã ^=ÑìåÅíáçå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= =~í= ñ O =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ= íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=Åçåí~áåáåÖ= ñO =ëìÅÜ= =ëìÅÜ=íÜ~ íÜ~í= í= Ñ ( ñ O ) ≤ Ñ ( ñ ) =Ñçê=~ää=ñ=áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä=EcáÖKNTTFK= 830. `êáíáÅ~ä=mçáåíë=

^=ÅêáíáÅ~ä=éçáåí=çå=ÑEñF=çÅÅìêë=~í= ñ M =áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=ÉáíÜÉê= Ñ ′ ( ñ M ) =áë=òÉêç=çê=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ=ÇçÉëå í=ÉñáëíK= ∞

831. cáêëí=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K=

fÑ=ÑEñF=áë==áåÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ ( ñ ) > M F=Ñçê==~ää==ñ==áå==ëçãÉ==áåíÉêî~ä= (~I ñ N ] ==~åÇ==ÑEñF==áë==ÇÉÅêÉ~ëáåÖ==E Ñ ′ ( ñ ) < M F==Ñçê=~ää==ñ=áå=ëçãÉ= áåíÉêî~ä== [ ñ N I Ä) I==íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~==äçÅ~ä=ã~ñáãìã==~í== ñ N EcáÖKNTTFK==

219


832. fÑ=ÑEñF=áë=ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ ( ñ ) < M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ=áåíÉêî~ä=

(~I ñ O ]=~åÇ=ÑEñF=áë=áåÅêÉ~ëáåÖ=E Ñ ′ ( ñ ) > M F=Ñçê=~ää=ñ=áå=ëçãÉ= áåíÉêî~ä= [ ñ O I Ä) I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= ñ O K== EcáÖKNTTFK= 833. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=içÅ~ä=bñíêÉã~K=

fÑ= Ñ ′ ( ñ N ) = M =~åÇ= Ñ ′′( ñ N ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã= ~í== ñN K= fÑ= Ñ ′ ( ñ O ) = M =~åÇ= Ñ ′′( ñ O ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã= ~í= ñO K=Ecá K=EcáÖKN ÖKNTTF TTF

834. `çåÅ~îáíóK==

ÑEñF=áë==ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í== ñ M ==áÑ==~åÇ==çåäó==áÑ== Ñ ′ ( ñ ) áë======= áë=========== ==== áåÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M =EcáÖKNTTI= ñ P < ñ FK=== ÑEñF=áë==ÅçåÅ~îÉ==Ççïåï~êÇ=~í== ñ M ==áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== Ñ ′ ( ñ ) ==áë=============== ÇÉÅêÉ~ëáåÖ=~í= ñ M K=EcáÖKNTTI= ñ < ñ P FK===

835. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=`çåÅ~îáíóK==

fÑ= Ñ ′′( ñ M ) > M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=ìéï~êÇ=~í= ñ M K== fÑ= Ñ ′′( ñ M ) < M I=íÜÉå=ÑEñF=áë=ÅçåÅ~îÉ=Ççïåï~êÇ=~í= ñ M K= fÑ= Ñ ′′( ñ ) =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå= =ÇçÉë=åçí=Éñáëí=çê=áë=òÉêçI=íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK= íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK=

836. fåÑäÉÅíáçå=mçáåíë=

fÑ== Ñ ′ ( ñ P ) ==Éñáëíë==~åÇ== Ñ ′′( ñ ) ==ÅÜ~åÖÉë=ëáÖå=~í= ñ = ñ P I==íÜÉå= íÜÉ=éçáåí= ( ñ P I Ñ (ñ P )) =áë=~å= áåÑäÉ áåÑäÉÅíáçå Åíáçå éçáåí éçáåí=çÑ=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ= =çÑ=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ= Ñ ( ñ ) K=fÑ= Ñ ′′( ñ P ) =Éñáëíë=~í=íÜÉ=áåÑäÉÅíáçå=éçáåíI=íÜÉå= Ñ ′′( ñ P ) = M EcáÖKNTTFK=

837. i eçéáí~ä ë=oìäÉ= ∞

∞

M Ñ ( ñ ) Ñ ′( ñ ) äáã =áÑ= äáã Ñ ( ñ ) = äáã Ö ( ñ ) =  K== = äáã ñ →Å Ö ( ñ ) ñ →Å Ö ′( ñ ) ñ →Å ñ →Å ∞

220


8.7 Differential cìåÅíáçåëW=ÑI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉW=ñ= aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′( ñ ) I= Ñ ′( ñ ) oÉ~ä=Åçåëí~åíW=`= aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ ( ñ ) W=Çó= aáÑÑÉêÉåíá~ä=çÑ=ñW=Çñ= pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=ñW= ∆ pã~ää=ÅÜ~åÖÉ=áå=óW= ∆ ó 838. Çó = ó′Çñ 839. Ñ ( ñ + ∆ ñ ) = Ñ ( ñ ) + Ñ ′( ñ )∆ñ

Figure 178.

221


840. pã~ää=`Ü~åÖÉ=áå=ó=

∆ ó = Ñ ( ñ + ∆ ñ ) − Ñ ( ñ )

841. Ç(ì + î ) = Çì + Çî 842. Ç(ì − î ) = Çì − Çî 843. Ç(`ì ) = `Çì 844. Ç(ìî ) = îÇì + ìÇî

ì  îÇì − ìÇî  845. Ç  = î O  î 

8.8 Multivariable Functions cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= ò ( ñ I ó ) I= Ñ ( ñ I ó ) I= Ö( ñ I ó ) I= Ü( ñ I ó ) == ^êÖìãÉåíëW=ñI=óI=í= pã~ää=ÅÜ~åÖÉë=áå=ñI=óI=òI=êÉëéÉÅíáîÉäóW= ∆ I= ∆ó I= ∆ò K=

846. cáêëí=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë=

qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ñ= ∂Ñ ∂ò = Ñ ñ =E~äëç= = ò ñ FI=

∂

∂

qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉ=ïáíÜ=êÉëéÉÅí=íç=ó= ∂Ñ ∂ò = Ñ ó =E~äëç= = ò ó FK= ∂ ó ∂ ó

222


847. pÉÅçåÇ=lêÇÉê=m~êíá~ä=aÉêáî~íáîÉë=

∂  ∂Ñ  ∂ OÑ   = O = Ñ ññ I== ∂ ñ  ∂ ñ  ∂ ñ ∂  ∂Ñ  ∂ OÑ   = O = Ñ óó I== ∂ ó  ∂ ó  ∂ ó ∂  ∂Ñ  ∂ OÑ = Ñ ñó I==  = ∂ ó  ∂ ñ  ∂ ó∂ ñ ∂  ∂Ñ  ∂ OÑ   = = Ñ óñ K== ∂ ñ  ∂ ó  ∂ ñ ∂ ó fÑ=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉë=~êÉ=ÅçåíáåìçìëI=íÜÉå== ∂ OÑ ∂ OÑ K== = ∂ ó∂ ñ ∂ ñ ∂ ó 848. `Ü~áå=oìäÉë==

fÑ= Ñ ( ñ I ó ) = Ö(Ü( ñ I ó )) =EÖ=áë=~=ÑìåÅíáçå=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉ=ÜFI=íÜÉå== ∂Ñ ∂Ü ∂Ñ ∂Ü = Ö′(Ü( ñ I ó )) I= = Ö′(Ü( ñ I ó )) K== ∂ ∂ ∂ ó ∂ ó fÑ= Ü(í ) = Ñ ( ñ (í )I ó (í )) I=íÜÉå= Ü′(í ) =

∂Ñ Çñ ∂Ñ Çó K== + ∂ ñ Çí ∂ ó Çí

fÑ= ò = Ñ ( ñ (ìI î )I ó (ìI î )) I=íÜÉå== ∂ò ∂Ñ ∂ ñ ∂Ñ ∂ ó ∂ò ∂Ñ ∂ ñ ∂Ñ ∂ ó I= = K== = + + ∂ì ∂ ñ ∂ì ∂ ó ∂ì ∂ î ∂ ñ ∂ î ∂ ó ∂ î 849. pã~ää=`Ü~åÖÉë=

∆ò ≈

∂Ñ ∂Ñ ∆ ñ + ∆ ó ∂ ñ ∂ ó

223


850. içÅ~ä=j~ñáã~=~åÇ=jáåáã~=

Ñ ( ñ I ó ) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ã~ñáãìã =Ü~ë=~= äçÅ~ä=ã~ñáãìã=~í= =~í= ( ñ M I ó M ) =áÑ= Ñ ( ñ I ó ) ≤ Ñ ( ñ M I ó M ) Ñçê=~ää= ( Iñ ó ) =ëìÑ =ëìÑÑá ÑáÅá ÅáÉå Éåíä íäó= ó=Åä Åäçë çëÉ= É=íç íç( ñ M I ó M ) K== =Ü~ë=~= äçÅ~ä=ãáåáãìã=~í= =~í= ( ñ M I ó M ) =áÑ= Ñ ( ñ I ó ) ≥ Ñ ( ñ M I ó M ) Ñ ( ñ I ó ) =Ü~ë=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã Ñçê=~ää= ( Iñ ó ) =ëìÑ =ëìÑÑá ÑáÅá ÅáÉå Éåíä íäó= ó=Åä Åäçë çëÉ= É=íç íç( ñ M I ó M ) K=

851. pí~íáçå~êó=mçáåíë=

∂Ñ ∂Ñ = = M K= ∂ ñ ∂ ó

içÅ~ä=ã~ñáã~=~åÇ=äçÅ~ä=ãáåáã~=çÅÅìê=~ içÅ~ä=ã~ñáã~=~åÇ=äçÅ~ä=ãáåáã~=çÅÅìê=~í=ëí~íáçå~êó=éçáåíëK= í=ëí~íáçå~êó=éçáåíëK= == 852. p~ÇÇäÉ=mçáåí= ^=ëí~íáçå~êó==éçáåí==ïÜáÅÜ==áë==åÉáíÜÉê==~==äçÅ~ä==ã~ñáãìã= åçê=~=äçÅ~ä=ãáåáãìã= 853. pÉÅçåÇ=aÉêáî~íáîÉ=qÉëí=Ñçê=pí~íáçå~êó=mçáåíë=

iÉí= ( ñ M I ó M ) ÄÉ ~ ëí~íáçå~êó éçáåí E a=

Ñ ññ ( ñ M I ó M ) Ñ ñó ( ñ M I ó M ) Ñ óñ ( ñ M I ó M ) Ñ óó ( ñ M I ó M )

∂Ñ ∂Ñ = = M FK== ∂ ñ ∂ ó

K==

fÑ a > M I= Ñ ññ ( ñ M I ó M ) > M I== ( ñ M I ó M ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ãáåáã~K= fÑ= a > M I= Ñ ññ ( ñ M I ó M ) < M I== ( ñ M I ó M ) ==áë=~=éçáåí=çÑ=äçÅ~ä=ã~ñáã~K= fÑ= a < M I= ( ñ M I ó M ) =áë=~=ë~ÇÇäÉ=éçáåíK= fÑ a = M I=íÜÉ=íÉëí=Ñ~áäëK= 854. q~åÖÉåí=mä~åÉ=

qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=éä~åÉ=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ò = Ñ ( ñ I ó ) ~í= ( ñ M I ó M I ò M ) =áë== ò − ò M = Ñ ñ ( ñ M I ó M )( ñ − ñ M ) + Ñ ó ( ñ M I ó M )( ó − ó M ) K=

224


855. kçêã~ä=íç=pìêÑ~ÅÉ=

qÜÉ=Éèì~íáçå=çÑ=íÜÉ=åçêã~ä=íç=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=ò = Ñ ( ñ I ó ) =~í= ( ñ M I ó M I ò M ) =áë== ñ − ñ M ó − ó M ò − òM K= = = Ñ ñ ( ñ M I ó M ) Ñ ó ( ñ M I ó M ) −N

8.9 Differential Operators r

r

r

råáí=îÉÅíçêë=~äçåÖ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=~ñÉëW råáí=îÉÅíçêë=~äçåÖ=íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=~ñÉëW á I= à I= â pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåë=EëÅ~ä~ê=ÑáÉäÇëFW= Ñ ( ñ I ó I ò ) I= ì( ñ N I ñ O I KI ñ å ) dê~ÇáÉåí çÑ ~ ëÅ~ä~ê ÑáÉäÇW Öê~Ç ì I ∇ì ∂Ñ aáêÉÅíáçå~ä=ÇÉêáî~íáîÉW= ∂ä r sÉÅíçê=ÑìåÅíáçå=EîÉÅíçê=ÑáÉäÇFW= c (mI nI o ) r

r

aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Çáî c I= ∇ ⋅ c r

r

`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Åìêä c I= ∇ × c i~éä~Åá~å=çéÉê~íçêW= ∇ O 856. dê~ÇáÉåí=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=

 ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ  Öê~Ç Ñ = ∇Ñ =  I I  I==  ∂ ñ ∂ ó ∂ò   ∂ì ∂ì ∂ì   K= Öê~Ç ì = ∇ì =  I IKI ∂ñ å   ∂ ñ N ∂ ñ O 857. aáêÉÅíáçå~ä=aÉêáî~íáîÉ=

∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ ∂Ñ = Åçë α + Åçë β + Åçë γ I== ∂ä ∂ ñ ∂ ó ∂ò

225


ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÇáêÉÅíáçå=áë=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê= r ä (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) I= Åçë O α + Åçë O β + Åçë O γ = N K== 858. aáîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ= r

r

Çáî c = ∇ ⋅ c =

∂m ∂n ∂o + + ∂ ñ ∂ ó ∂ò

859. `ìêä=çÑ=~=sÉÅíçê=cáÉäÇ= r

r

Åìêä c = ∇ × c =

r

r

r

á

à

â

m

n

o

∂ ∂ ∂ ∂ ñ ∂ ñ ∂ ñ

 ∂o ∂n r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r =  −  á +  −  à +  − â  ∂ ó ∂ò   ∂ò ∂ ñ   ∂ ñ ∂ ó  860. i~éä~Åá~å=léÉê~íçê=

∂ OÑ ∂ OÑ ∂ OÑ ∇ Ñ = O + O + O ∂ ñ ∂ ó ∂ò O

(

r

861. Çáî Åìêä c

r

) = ∇ ⋅ (∇ × c) ≡ M

862. Åìêä(Öê~Ç Ñ ) = ∇ × (∇Ñ ) ≡ M 863. Çáî (Öê~Ç Ñ ) = ∇ ⋅ (∇Ñ ) = ∇ OÑ

(

r

864. Åìêä Åìêä c

r

r

r

r

) = Öê~Ç(Çáî c)− ∇ c = ∇(∇ ⋅ c) − ∇ c O

226

O

Chapter 9

Integral Calculus

cìåÅíáçåëW=ÑI=ÖI=ìI=î= fåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëW=ñI=íI= ξ

∫

∫

fåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= Ñ ( ñ )Çñ I= Ö( ñ )Çñ I=£= aÉêáî~íáîÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= ó′( ñ ) I= Ñ ′( ñ ) I= c′( ñ ) I=£= oÉ~ä=Åçåëí~åíëW=Ì=~I=ÄI=ÅI=ÇI=â= k~íìê~ä=åìãÄÉêëW=ãI=åI=áI=à=

9.1 Indefinite Integral 865.

∫ Ñ ( ñ )Çñ = c( ñ ) + ` =áÑ= c′( ñ ) = Ñ ( ñ ) K=

866.

(∫ Ñ ( ñ )Çñ ) ′= Ñ ( ñ )

867.

∫ âÑ ( ñ )Çñ = â ∫ Ñ ( ñ )Çñ

868.

∫ [Ñ ( ñ ) + Ö( ñ )]Çñ = ∫ Ñ ( ñ )Çñ + ∫ Ö( ñ )Çñ

869.

∫ [Ñ ( ñ ) − Ö( ñ )]Çñ = ∫ Ñ ( ñ )Çñ − ∫ Ö( ñ )Çñ

870.

N Ñ (~ñ )Çñ = c(~ñ ) + ` ~

∫

227

CHAPTER 9. INTEGRAL CALCULUS

871.

872.

873.

N Ñ (~ñ + Ä)Çñ = c(~ñ + Ä) + ` ~

∫

N Ñ ( ñ )Ñ ′( ñ )Çñ = Ñ O ( ñ ) + ` O

∫

Ñ ′( ñ ) Çñ = äå Ñ ( ñ ) + ` Ñ ( ñ )

∫

874. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå=

∫ Ñ ( ñ )Çñ = ∫ Ñ (ì(í ))ì′(í )Çí áÑ ñ = ì(í ) K= 875. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë=

∫ ìÇî = ìî − ∫ îÇì I

ïÜÉêÉ= ì( ñ ) I= (î ñ ) =~êÉ=Ç =~êÉ=ÇáÑÑ áÑÑÉêÉ ÉêÉåíá åíá~Ää ~ÄäÉ=Ñ É=ÑìåÅ ìåÅíáç íáçåëK åëK====

9.2 Integrals of Rational Functions 876.

877.

878.

879.

∫ ~Çñ = ~ñ + ` ñ O ñÇñ = +` O

∫

ñ P ñ Çñ = +` P

∫

O

ñ é+N + ` I= é ≠ −N K= ñ Çñ = é +N

∫

é

228


(~ñ + Ä)å+N + ` I= å ≠ −N K= 880. ∫ (~ñ + Ä ) Çñ = ~(å + N) å

881.

882.

883.

884.

885.

886.

887.

888.

889.

Çñ

∫

= äå ñ + `

Çñ N = äå ~ñ + Ä + ` ~ñ + ~

∫

~ñ + Ä ~ ÄÅ − ~Ç Çñ = ñ + äå Åñ + Ç + ` O Å Å Å ñ + Ç

∫

Çñ N ñ + Ä = + ` I= ~ ≠ Ä K= äå ( ñ + ~ )( ñ + Ä) ~ − Ä ñ + ~

∫

ñÇñ N = O (~ + Äñ − ~ äå ~ + Äñ ) + ` ~ + ñ

∫

ñ OÇñ N  N = P  (~ + Äñ )O − O~(~ + Äñ ) + ~ O äå ~ + Äñ  + ` ~ + Äñ Ä  O 

∫

Çñ N ~ + Äñ = äå +` ñ (~ + Äñ ) ~ ñ

∫

Çñ N Ä ~ + Äñ = − + O äå +` O ñ (~ + Äñ ) ~ñ ~ ñ

∫

ñÇñ N  ~  = + + äå ~ Äñ +` O O  ~ + Äñ  (~ + Äñ ) Ä 

∫

229


890.

891.

892.

893.

894.

895.

896.

897.

898.

899.

ñ OÇñ N  ~ O   + ` = P  ~ + Äñ − O~ äå ~ + Äñ − O ~ + Äñ  (~ + Äñ ) Ä 

∫

Çñ N N ~ + Äñ = + O äå +` O ñ ñ (~ + Äñ ) ~ (~ + Äñ ) ~

∫

Çñ N ñ − N äå = +` O ñ − N O ñ + N

∫

Çñ N N + ñ = äå +` O N − ñ O N − ñ

∫

Çñ N ~ + ñ = +` äå O O ~ − ñ O~ ~ − ñ

∫

Çñ N ñ − ~ = +` äå O O O~ ñ + ~ ñ − ~

∫

Çñ

∫ N + ∫ ~ ∫

O

= í~å −N ñ + `

Çñ O

+

O

N ~

ñ ~

= í~å −N + `

ñÇñ N O O ( )+ ` äå ñ ~ = + O O +~ O

 Ä  Çñ N ~êÅí~å ñ  + ` I= ~Ä > M K= = O ~ + Äñ ~Ä  ~ 

∫

230


900.

901.

902.

903.

ñÇñ N ~ O äå ñ = + +` O ~ + Äñ OÄ Ä

∫

Çñ N ñ O = äå +` O O ñ (~ + Äñ ) O~ ~ + Äñ

∫

Çñ N ~ + Äñ = +` äå O O O ~ − Ä ñ O~Ä ~ − Äñ

∫

Çñ N O~ñ + Ä − ÄO − Q~Å äå = O + ` I= O O ~ñ + Äñ + Å Ä − Q~Å O~ñ + Ä + Ä − Q~Å

∫

ÄO − Q~Å > M K= 904.

Çñ O O~ñ + Ä ~êÅí~å = + ` I= O O O ~ñ + Äñ + Å Q~Å − Ä Q~Å − Ä ÄO − Q~Å < M K=

∫

9.3 Integrals of Irrational Functions 905.

∫

Çñ O = ~ñ + Ä + ` ~ñ + Ä ~

906.

∫

~ñ + Ä Çñ =

∫

ñÇñ O(~ñ − OÄ) ~ñ + Ä + ` = O P~ ~ñ + Ä

907.

P O (~ñ + Ä) O + ` P~

231


908.

909.

910.

911.

912.

P O(P~ñ − OÄ) (~ñ + Ä) O + ` ñ ~ñ + Ä Çñ = O NR~

∫

Çñ N ~ñ + Ä − Ä − ~Å äå = + ` I== ( ñ + Å ) ~ñ + Ä Ä − ~Å ~ñ + Ä + Ä − ~Å Ä − ~Å > M K=

∫

Çñ N ~ñ + Ä ~êÅí~å = + ` I== ~Å − Ä ( ñ + Å ) ~ñ + Ä ~Å − Ä Ä − ~Å < M K=

∫ ∫

∫

~ñ + Ä N (~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) − Çñ = Åñ + Ç Å ~Ç − ÄÅ äå ~(Åñ + Ç ) + Å(~ñ + Ä ) + ` I= ~ > M K= − Å ~Å ~ñ + Ä N (~ñ + Ä)(Åñ + Ç ) − Çñ = Åñ + Ç Å

−

913.

914.

915.

~Ç − ÄÅ ~(Åñ + Ç ) ~êÅí~å + ` I=E ~ < M I= Å > M FK== Å(~ñ + Ä) Å ~Å

O(U~ O − NO~Äñ + NRÄO ñ O ) P ( ) ñ ~ + Äñ Çñ = ~ Äñ + +` P NMR

∫ ∫

O

ñ OÇñ O(U~ O − Q~Äñ + PÄO ñ O ) = ~ + Äñ + ` P NRÄ ~ + Äñ

Çñ N ~ + Äñ − ~ = äå + ` I= ~ > M K= ñ ~ + Äñ ~ ~ + Äñ + ~

∫

232


916.

917.

918.

919.

920.

921.

922.

923.

924.

Çñ O ~ + Äñ ~êÅí~å = + ` I= ~ < M K= −~ ñ ~ + Äñ −~

∫ ∫

~ − ñ ñ + Ä +` Çñ = (~ − ñ )(Ä + ñ ) + (~ + Ä )~êÅëáå Ä + ñ ~+Ä

∫

~ + ñ Ä − ñ +` Çñ = − (~ + ñ )(Ä − ñ ) − (~ + Ä )~êÅëáå Ä − ñ ~+Ä

∫

N + ñ Çñ = − N − ñ O + ~êÅëáå ñ + ` N − ñ

∫

Çñ ñ − ~ = O ~êÅëáå +` Ä−~ ( ñ − ~ )(Ä − ~ )

∫

OÅñ − Ä ~ + Äñ − Åñ Çñ = ~ + Äñ − Åñ O + QÅ ÄO − Q~Å OÅñ − Ä + +` ~êÅëáå P O U Å Ä + Q~Å O

∫

Çñ

∫

Çñ

~ñ O + Äñ + Å ~ > M K=

∫

~ñ O + Äñ + Å

=

N äå O~ñ + Ä + O ~ (~ñ O + Äñ + Å ) + ` I== ~

=−

N O~ñ + Ä O ~êÅëáå Ä − Q~Å + ` I= ~ < M K= Q~ ~

ñ O O ~ O ñ + ~ Çñ = ñ + ~ + äå ñ + ñ O + ~ O + ` O O O

O

233


N O O PO ñ ñ + ~ Çñ = ( ñ + ~ ) + ` P

925.

∫

926.

∫

O

O

ñ O ñ O + ~ O Çñ =

ñ O O (O ñ + ~ ) ñ O + ~ O − U

~Q − äå ñ + ñ O + ~ O + ` U 927.

928.

929.

930.

931.

932.

933.

934.

∫

ñ O + ~ O

Çñ = −

O

Çñ

∫ ñ

O

∫

ñ O + ~ O ñ Çñ = ñ O + ~ O + ~ äå +` O O ñ ~ + ñ + ~

∫ ñ + ~ O

= ñ O + ~ O + `

O

ñ OÇñ

ñ O O ~ O ñ + ~ − äå ñ + ñ O + ~ O + ` = O ñ O + ~ O O Çñ

∫ ñ ñ + ~ O

∫

+ äå ñ + ñ O + ~ O + `

= äå ñ + ñ O + ~ O + `

+ ~O

ñÇñ

∫

ñ O + ~ O

O

N ~

= äå

ñ ~ + ñ + ~ O

O

+`

ñ O O ~ O ñ − ~ Çñ = ñ − ~ − äå ñ + ñ O − ~ O + ` O O O

O

N O O PO ñ ñ − ~ Çñ = ( ñ − ~ ) + ` P

∫

O

O

234


935.

936.

937.

938.

939.

940.

941.

942.

943.

944.

∫ ∫

ñ O − ~ O

Çñ = ñ O − ~ O + ~ ~êÅëáå

ñ O − ~ O

Çñ = −

O

Çñ

∫ ñ

O

ñÇñ O

∫

+`

+ äå ñ + ñ O − ~ O + `

= äå ñ + ñ O − ~ O + `

− ~O

∫ ñ − ~

ñ O − ~ O

~

= ñ O − ~ O + `

O

ñ OÇñ

ñ O O ~ O = ñ − ~ + äå ñ + ñ O − ~ O + ` O ñ O − ~ O O Çñ

∫ ñ ñ − ~ O

O

N ~

Çñ

∫ ( ñ + ~ ) ñ − ~ O

O

Çñ

∫ ( ñ − ~ ) ñ − ~ O

~ ñ

= − ~êÅëáå + `

O

=

N ñ − ~ +` ~ ñ + ~

=−

N ñ + ~ +` ~ ñ − ~

ñ O − ~ O = +` O O O O ~ ñ ñ ñ − ~ Çñ

∫

Çñ

∫ ( ñ − ~ ) O

O

P

=− O

ñ ~ ñ − ~ O

O

O

+`

235


945.

∫ ( ñ

O

−~

O

P

)

O

ñ O Çñ = − (O ñ − R~ O ) ñ O − ~ O + U

P~ Q äå ñ + ñ O − ~ O + ` + U 946.

947.

948.

949.

950.

951.

952.

953.

954.

∫

ñ O ~O ñ O ~ − ñ Çñ = ~ − ñ + ~êÅëáå + ` O O ~ O

O

P N O O O ñ ~ − ñ Çñ = − (~ − ñ ) + ` P

∫

O

O

ñ O O ~Q ñ O O ñ ~ − ñ Çñ = (O ñ − ~ ) ~ − ñ + ~êÅëáå + ` U U ~

∫ ∫ ∫

O

O

O

~ O − ñ O ñ Çñ = ~ O − ñ O + ~ äå +` O O ñ ~ + ~ − ñ ~ O − ñ O O

Çñ

∫ N − ñ

O

∫

∫ ∫

Çñ = −

~ O − ñ O

~ O − ñ O

ñ ~

− ~êÅëáå + `

= ~êÅëáå ñ + `

Çñ

ñÇñ

~ O − ñ O

ñ ~

= ëáå + `

= − ~ O − ñ O + `

ñ OÇñ

O ñ O ~ ñ ~ − ñ O + ~êÅëáå + ` = − O O ~ ~ O − ñ O

236


955.

956.

957.

958.

Çñ

∫ ( ñ + ~ )

~ O − ñ O

Çñ

∫ ( ñ − ~ )

~ O − ñ O

=−

N ~ − ñ +` O ~ + ñ

=−

N ~ + ñ +` O ~ − ñ

Äñ + ~ O = O O ~êÅëáå + ` I= Ä > ~ K= O O ~( ñ + Ä) ( ñ + Ä) ~ − ñ Ä −~ Çñ

∫

N

Çñ

∫ ( ñ + Ä)

~ − ñ O

O

N

=

~ −Ä O

O

äå

ñ + Ä ~ −Ä O

O

~ − ñ + ~ + Äñ O

O

O

Ä < ~ K= 959.

960.

961.

~ O − ñ O =− +` O O O O ~ ñ ñ ~ − ñ Çñ

∫

Q ñ P ~ ñ O O O O O (~ − ñ ) Çñ = (R~ − O ñ ) ~ − ñ + ~êÅëáå + ` U U ~

∫

O

∫ (~

O

P

Çñ O

P

− ñ O ) O

=

ñ ~

O

~ − ñ O

O

+`

9.4 Integrals of Trigonometric Functions 962.

∫ ëáå ñÇñ = − Åçë ñ + `

963.

∫ Åçë ñÇñ = ëáå ñ + ` 237

+ Ì


ñ N ëáå ñ Çñ = − ëáå O ñ + ` O Q

964.

∫

965.

∫

966.

967.

968.

969.

970.

971.

972.

973.

974.

O

Åçë O ñ Çñ =

ñ N + ëáå O ñ + ` O Q

N P N P ëáå ñ Çñ = Åçë ñ − Åçë ñ + ` = Åçë P ñ − Åçë ñ + ` P NO Q

∫

P

N N P ÅçëP ñ Çñ = ëáå ñ − ëáåP ñ + ` = ëáå P ñ + ëáå ñ + ` P NO Q

∫

Çñ ñ = ÅëÅ ñ Çñ = äå í~å + ` ëáå ñ O

∫

∫

Çñ ñ π  = ëÉÅ ñ Çñ = äå í~å  +  +` Åçë ñ  O Q 

∫

∫

Çñ O ÅëÅ ñ Çñ = − Åçí ñ + ` = O ëáå

∫

∫

Çñ O ëÉÅ ñ Çñ = í~å ñ + ` = O Åçë

∫

∫

Çñ Åçë ñ N ñ P = ÅëÅ ñ Çñ = − + äå í~å + ` P O ëáå ñ O ëáå ñ O O

∫

∫

Çñ ëáå ñ N  ñ + π  + ` P ëÉÅ ñ Çñ äå í~å = = +   ÅçëP ñ O Åçë O ñ O O Q  

∫

∫

N ëáå ñ Åçë ñ Çñ = − Åçë O ñ + ` Q

∫

238


975.

976.

N P ëáå ñ Åçë ñ Çñ = ëáå ñ + ` P

∫

O

N ëáå ñ Åçë O ñ Çñ = − ÅçëP ñ + ` P

∫

ñ N ëáå ñ Åçë ñ Çñ = − ëáå Q ñ + ` U PO

977.

∫

978.

∫ í~å ñÇñ = − äå Åçë ñ + `

979.

O

O

ëáå ñ N Çñ = + ` = ëÉÅ ñ + ` O Åçë Åçë

∫

ëáå O ñ  ñ π  Çñ = äå í~å +  − ëáå ñ + ` Åçë ñ  O Q 

980.

∫

981.

∫

982.

∫ Åçí ñÇñ = äå ëáå ñ + `

983.

í~å O ñ Çñ = í~å ñ − ñ + `

Åçë ñ N Çñ = − + ` = − ÅëÅ ñ + ` O ëáå ëáå

∫

Åçë O ñ ñ Çñ = äå í~å + Åçë ñ + ` ëáå ñ O

984.

∫

985.

∫

986.

Åçí O ñ Çñ = − Åçí ñ − ñ + ` Çñ = äå í~å ñ + ` Åçë ëáå

∫

239


987.

988.

989.

Çñ N  ñ + π  + ` äå í~å = − +   ëáå O ñ Åçë ñ ëáå ñ O Q  

∫

Çñ N ñ = + äå í~å + ` O ëáå ñ Åçë ñ Åçë ñ O

∫

Çñ ëáå O Åçë O

∫

= í~å ñ − Åçí ñ + `

ëáå(ã + å ) ñ ëáå(ã − å ) ñ 990. + + ` I= ëáå ãñ ëáå åñ Çñ = − O(ã + å ) O(ã − å ) ã O ≠ å O K=

∫

991.

∫

ëáå ãñ Åçë åñ Çñ = −

Åçë(ã + å ) ñ Åçë(ã − å ) ñ − + ` I= O(ã + å ) O(ã − å )

ã O ≠ å O K= 992.

∫

Åçë ãñ Åçë åñ Çñ =

ëáå(ã + å ) ñ ëáå(ã − å ) ñ + + ` I= O(ã + å ) O(ã − å )

ã O ≠ å O K= 993.

∫ ëÉÅ ñ í~å ñÇñ = ëÉÅ ñ + `

994.

∫ ÅëÅ ñ Åçí ñÇñ = − ÅëÅ ñ + `

995.

996.

Åçë å +N ñ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = − +` å +N

∫

å

ëáå å +N ñ ëáå ñ Åçë ñ Çñ = +` å +N

∫

å

240


997.

∫

998.

∫

999.

~êÅëáå ñ Çñ = ñ ~êÅëáå ñ + N − ñ O + ` ~êÅÅçë ñ Çñ = ñ ~êÅÅçë ñ − N − ñ O + ` N ~êÅí~å ñ Çñ = ñ ~êÅí~å ñ − äå( ñ O + N) + ` O

∫ ∫

1000. ~êÅ Åçí ñ Çñ = ñ ~êÅ Åçí ñ +

N äå( ñ O + N) + ` O

9.5 Integrals of Hyperbolic Functions

∫

1001. ëáåÜ ñÇñ = ÅçëÜ ñ + `

∫

1002. ÅçëÜ ñÇñ = ëáåÜ ñ + `

∫

1003. í~åÜ ñ Çñ = äå ÅçëÜ ñ + `

∫

1004. ÅçíÜ ñ Çñ = äå ëáåÜ ñ + `

∫

1005. ëÉÅÜ O ñÇñ = í~åÜ ñ + `

∫

1006. ÅëÅÜ O ñÇñ = − ÅçíÜ ñ + `

∫

1007. ëÉÅÜ ñ í~åÜ ñÇñ = −ëÉÅÜ ñ + `

241


∫

1008. ÅëÅÜ ñ ÅçíÜ ñÇñ = −ÅëÅÜ ñ + `

9.6 Integrals of Exponential and Logarithmic Functions

∫

1009. É ñ Çñ = É ñ + `

~ ñ 1010. ~ Çñ = +` äå ~

∫

ñ

~ñ É 1011. É ~ñ Çñ = +` ~

∫

É ~ñ 1012. ñÉ Çñ = O (~ñ − N) + ` ~

∫

~ñ

∫

1013. äå ñ Çñ = ñ äå ñ − ñ + `

1014.

∫

Çñ = äå äå ñ + ` äå

 äå ñ N  − +` O  å + N (å + N) 

∫

1015. ñ å äå ñ Çñ = ñ å +N 

~ ëáå Äñ − Ä Åçë Äñ ~ñ É +` 1016. É ëáå Äñ Çñ = O O ~ +

∫

~ñ

242


~ Åçë Äñ + Ä ëáå Äñ ~ñ É +` 1017. É Åçë Äñ Çñ = O O ~ +

∫

~ñ

9.7 Reduction Formulas

∫

1018. ñ å É ãñ Çñ =

1019.

N å ãñ å ñ É − ñ å −NÉ ãñ Çñ ã ã

É ãñ É ãñ ã É ãñ + Çñ = − Çñ I= å ≠ N K= å å −N å −N å − N ñ ñ (å − N) ñ

∫

∫

∫

1020. ëáåÜ å ñÇñ =

1021.

∫

N å −N ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ñ − ëáåÜ å −O ñÇñ å å

∫

Çñ ÅçëÜ ñ å−O Çñ I= å ≠ N K= = − − å å −N å −O (å − N) ëáåÜ ñ å − N ëáåÜ ñ ëáåÜ ñ

∫

∫

N å −N å −N ÅçëÜ å −O ñÇñ 1022. ÅçëÜ ñÇñ = ëáåÜ ñ ÅçëÜ ñ ÅçëÜ ñ + å å

∫

1023.

∫

å

Çñ ëáåÜ ñ å−O Çñ I= å ≠ N K= = − + å å −N å −O (å − N) ÅçëÜ ñ å − N ÅçëÜ ñ ÅçëÜ ñ

∫

∫

ëáåÜ å +N ñ ÅçëÜ ã −N ñ 1024. ëáåÜ ñ ÅçëÜ ñÇñ = å+ã ã −N ëáåÜ å ñ ÅçëÜ ã −O ñÇñ + å+ã

∫

å

ã

∫

ëáåÜ å −N ñ ÅçëÜ ã +N ñ 1025. ëáåÜ ñ ÅçëÜ ñÇñ = å+ã

∫

å

ã

243


å −N ëáåÜ å −O ñ ÅçëÜ ã ñÇñ − å+ã

∫

∫

1026. í~åÜ å ñÇñ = −

∫

1027. ÅçíÜ ñÇñ = − å

N å −N N å −N

∫

í~åÜ å −N ñ + í~åÜ å −O ñÇñ I= å ≠ N K=

∫

ÅçíÜ å −N ñ + ÅçíÜ å − O ñÇñ I= å ≠ N K=

å −O ëÉÅÜ ñ í~åÜ ñ å − O ëÉÅÜ å −O ñÇñ I= å ≠ N K= 1028. ëÉÅÜ å ñÇñ = + å −N å −N

∫

∫

N å −N å −N ëáå å −O ñÇñ 1029. ëáå ñÇñ = − ëáå ñ Åçë ñ + å å

∫

1030.

∫

å

Çñ Åçë ñ å−O Çñ = − + I= å ≠ N K= å å −N å−O (å − N) ëáå ñ å − N ëáå ñ ëáå ñ

∫

∫

∫

1031. Åçë å ñÇñ =

1032.

N å −N ëáå ñ Åçë å −N ñ + Åçë å − O ñÇñ å å

∫

Çñ ëáå ñ å−O Çñ I= å ≠ N K= = + å å −N å −O Åçë ñ (å − N) Åçë ñ å − N Åçë ñ

∫

∫

ëáå å +N ñ Åçë ã −N ñ 1033. ëáå ñ Åçë ñÇñ = å+ã ã −N ëáå å ñ Åçë ã − O ñÇñ + å+ã

∫

å

ã

∫

ëáå å −N ñ Åçë ã +N ñ 1034. ëáå ñ Åçë ñÇñ = − å+ã

∫

å

ã

244


å −N ëáå å −O ñ Åçë ã ñÇñ + å+ã

∫

∫

1035. í~å å ñÇñ =

∫

N å −N

1036. Åçí ñÇñ = − å

∫

í~å å −N ñ − í~å å −O ñÇñ I= å ≠ N K=

N å −N

∫

Åçí å −N ñ − Åçí å −O ñÇñ I= å ≠ N K=

å −O ëÉÅ ñ í~å ñ å − O ëÉÅ å −O ñÇñ I= å ≠ N K= 1037. ëÉÅ å ñÇñ = + å −N å −N

∫

∫

ÅëÅ å −O ñ Åçí ñ å − O ÅëÅ å −O ñÇñ I= å ≠ N K= 1038. ÅëÅ ñÇñ = − + å −N å −N

∫

∫

å

ñ å +N äå ã ñ ã ñ å äå ã −N ñÇñ 1039. ñ äå ñÇñ = − å +N å +N

∫

1040.

å

∫

ã

äå ã ñ äå ã ñ ã äå ã −N ñ + Çñ = − Çñ I= å ≠ N K= å å −N å å − N ñ (å − N) ñ ñ

∫

∫

∫

∫

1041. äå å ñÇñ = ñ äå å ñ − å äå å −N ñÇñ

∫

∫

∫

∫

∫

∫

1042. ñ å ëáåÜ ñÇñ = ñ å ÅçëÜ ñ − å ñ å −N ÅçëÜ ñÇñ 1043. ñ å ÅçëÜ ñÇñ = ñ å ëáåÜ ñ − å ñ å −N ëáåÜ ñÇñ 1044. ñ å ëáå ñÇñ = − ñ å Åçë ñ + å ñ å−N Åçë ñÇñ

∫

∫

1045. ñ å Åçë ñÇñ = ñ å ëáå ñ − å ñ å−N ëáå ñÇñ

245


ñ å +N N ëáå −N ñ − 1046. ñ ëáå ñÇñ = å +N å +N

∫

−N

å

ñ å +N

∫ N − ñ Çñ O

ñ å +N N Åçë −N ñ + 1047. ñ Åçë ñÇñ = å +N å +N

∫

−N

å

ñ å +N

∫ N − ñ Çñ O

å +N ñ å +N N ñ N í~å − ñ − Çñ 1048. ñ í~å ñÇñ = O å +N å + N N+

∫

∫

−N

å

ñ å Çñ ñ Ä Çñ 1049. = − ~ ~ ~ñ å + ~ñ å +

∫

∫

− O~ñ − Ä 1050. ∫ = å O (~ñ + Äñ + Å ) (å − N)(Ä O − Q~Å )(~ñ O + Äñ + Å )å−N O(Oå − P)~ Çñ I= å ≠ N K= − O å −N ∫ O (å − N)(Ä − Q~Å ) (~ñ + Äñ + Å ) Çñ

1051.

Çñ

∫ ( ñ + ~ )

O å

O

=

ñ O(å − N)~ ( ñ + ~ O

O

O å −N

)

+

Oå − P O(å − N)~ O

å ≠ N K= 1052.

Çñ

∫ ( ñ − ~ ) O

ñ

=−

å −N

O(å − N)~ O ( ñ O − ~ O ) Oå − P Çñ I= å ≠ N K= − O å −N O O O(å − N)~ ( ñ − ~ ) O å

∫

246

∫ ( ñ

O

Çñ

+~

O å −N

)

I


9.8 Definite Integral Ä

∫

Ä

∫

aÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= Ñ ( ñ )Çñ I= Ö( ñ )Çñ I £ ~

å

oáÉã~åå=ëìãW=

∑ Ñ (ξ )∆ñ == á

á

á =N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ ñ á == ^åíáÇÉêáî~íáîÉëW= c( ñ ) I= d( ñ ) == iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI=ÅI=Ç= Ä

∫

1053. Ñ ( ñ )Çñ = ~

å

äáã

∑ Ñ (ξ )∆ ñ I==

å →∞ ã~ñ ∆ ñ á →M á =N

á

á

ïÜÉêÉ== ∆ ñ á = ñ á − ñ á −N I== ñ á −N ≤ ξ á ≤ ñ á K==

Figure 179.

247

~


Ä

∫

1054. NÇñ = Ä − ~ ~

Ä

Ä

∫

∫

1055. âÑ ( ñ )Çñ = â Ñ ( ñ )Çñ ~

1056.

1057.

~

Ä

Ä

Ä

~

~

~

Ä

Ä

Ä

~

~

~

∫ [Ñ ( ñ ) + Ö( ñ )]Çñ = ∫ Ñ ( ñ )Çñ + ∫ Ö( ñ )Çñ ∫ [Ñ ( ñ ) − Ö( ñ )]Çñ = ∫ Ñ ( ñ )Çñ − ∫ Ö( ñ )Çñ ~

∫

1058. Ñ ( ñ )Çñ = M ~

Ä

~

∫

∫

1059. Ñ ( ñ )Çñ = − Ñ ( ñ )Çñ ~

Ä

∫

Ä

Å

∫

Ä

∫

1060. Ñ ( ñ )Çñ = Ñ ( ñ )Çñ + Ñ ( ñ )Çñ Ñçê ~ < Å < Ä K= ~

~

Å

Ä

∫

1061. Ñ ( ñ )Çñ ≥ M =áÑ= Ñ ( ñ ) ≥ M =çå= [~ I Ä]K= ~

Ä

∫

1062. Ñ ( ñ )Çñ ≤ M =áÑ= Ñ ( ñ ) ≤ M =çå= [~ I Ä]K= ~

248


1063. cìåÇ~ãÉåí~ä=qÜÉçêÉã=çÑ=`~äÅìäìë= Ä

∫

Ä

Ñ ( ñ )Çñ = c( ñ ) ~ = c(Ä) − c(~ ) =áÑ= c′( ñ ) = Ñ ( ñ ) K=

~

1064. jÉíÜçÇ=çÑ=pìÄëíáíìíáçå==

fÑ= ñ = Ö(í ) I=íÜÉå== Ä

Ç

~

Å

∫ Ñ ( ñ )Çñ = ∫ Ñ (Ö(í ))Ö′(í )Çí I ïÜÉêÉ= Å = Ö −N (~ ) I= Ç = Ö −N (Ä) K= 1065. fåíÉÖê~íáçå=Äó=m~êíë= Ä

Ä

∫ ìÇî = (ìî ) − ∫ îÇì Ä

~

~

~

1066. qê~éÉòçáÇ~ä=oìäÉ= Ä

å −N Ä−~   ( ) ( ) Ñ ( ñ )Çñ = Ñ ñ Ñ ñ O Ñ ñ ( ) + + å á   M O å = á N   ~

∑

∫

249


Figure 180.

1067. páãéëçå ë=oìäÉ== ∞

Ä

Ä−~ [Ñ ( ñ M ) + QÑ ( ñ N ) + OÑ ( ñ O ) + QÑ ( ñ P ) + Ñ ( ñ )Çñ = På ~ + OÑ ( ñ Q ) + K + QÑ ( ñ å−N ) + Ñ (ñ å )] I== ïÜÉêÉ== Ä−~ ñ á = ~ + á I= á = MI NI OI KI å K== å

∫

250


Figure 181.

1068. ^êÉ~=råÇÉê=~=`ìêîÉ= Ä

∫

p = Ñ ( ñ )Çñ = c(Ä) − c(~ ) I== ~

ïÜÉêÉ= c′( ñ ) = Ñ ( ñ ) K=

251


Figure 182.

1069. ^êÉ~=_ÉíïÉÉå=qïç=`ìêîÉë= Ä

∫

p = [Ñ ( ñ ) − Ö ( ñ )]Çñ = c(Ä) − d(Ä) − c(~ ) + d(~ ) I== ~

ïÜÉêÉ= c′( ñ ) = Ñ ( ñ ) I= d′( ñ ) = Ö ( ñ ) K=

252


Figure 183.

9.9 Improper Integral Ä

∫

1070. qÜÉ=ÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä== Ñ ( ñ )Çñ áë Å~ääÉÇ ~å áãéêçéÉê=áåíÉÖê~ä ~

áÑ== ~=çê=Ä=áë=áåÑáåáíÉI= Ñ ( ñ ) ==Ü~ë==çåÉ==çê==ãçêÉ=éçáåíë=çÑ==ÇáëÅçåíáåìáíó= =====áå=íÜÉ=áåíÉêî~ä= [~I Ä]K= 1071. fÑ= Ñ ( ñ ) =áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= [~I ∞ ) I=íÜÉå== ∞

å

∫ Ñ ( ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ ( ñ )Çñ K= ~

å →∞

~

253


Figure 184.

1072. fÑ= Ñ ( ñ ) =áë=~=Åçåíáåìçìë=ÑìåÅíáçå=çå= (− ∞I Ä] I=íÜÉå== Ä

Ä

∫ Ñ ( ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ ( ñ )Çñ K=

−∞

å→ −∞

å

Figure 185.

254


kçíÉ=W=qÜÉ=áãéêçéÉê=áåíÉÖê kçíÉ=W=qÜÉ=áãéêçéÉê=áåíÉÖê~äë=áå=NMTNI=NMTO=~êÉ ~äë=áå=NMTNI=NMTO=~êÉ ÅçåîÉêÖÉåí áÑ=íÜÉ=äáãáíë=Éñáëí=~åÇ=~êÉ=ÑáåáíÉX=çíÜÉêïáëÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=~êÉ= ÇáîÉêÖÉåíK=K= ÇáîÉêÖÉåí 1073.

∞

Å

∞

−∞

−∞

Å

∫ Ñ ( ñ )Çñ = ∫ Ñ ( ñ )Çñ + ∫ Ñ ( ñ )Çñ

Figure 186.

fÑ=Ñçê=ëçãÉ=êÉ~ä=åìãÄÉê=ÅI=ÄçíÜ=çÑ=íÜÉ=áåíÉÖê~äë=áå=íÜÉ=êáÖÜí= ∞

ëáÇÉ áÇÉ ~êÉ Åçåî ÅçåîÉÉêÖÉ êÖÉåíI= åíI= íÜ íÜÉÉå= íÜ íÜÉÉ áåíÉÖ åíÉÖêê~ä

∫ Ñ ( ñ )Çñ

áë ~äëç

−∞

ÅçåîÉêÖÉåíX=çíÜÉêïáëÉ=áí=áë= ÅçåîÉêÖÉåí X=çíÜÉêïáëÉ=áí=áë=ÇáîÉêÖÉåí ÇáîÉêÖÉåíK=K= 1074. `çãé~êáëçå=qÜÉçêÉãë=

iÉí== Ñ ( ñ ) =~åÇ== Ö( ñ ) ==ÄÉ==Åçåíáåìçìë==ÑìåÅíáçåë==çå=íÜÉ=ÅäçëÉÇ= áåíÉêî~ä= [~I ∞ ) K pìééçëÉ íÜ~í M ≤ Ö( ñ ) ≤ Ñ ( ñ ) Ñçê ~ää ñ áå [~I ∞ ) K=

255


∞

•

∞

∫

∫

fÑ= Ñ ( ñ )Çñ áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå Ö( ñ )Çñ áë ~äëç ~

~

=====ÅçåîÉêÖÉåíI= ∞

•

∞

∫

∫

fÑ= Ö( ñ )Çñ áë ÇáîÉêÖÉåíI íÜÉå Ñ ( ñ )Çñ áë ~äëç ÇáîÉêÖÉåíK ~

~

1075. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ= ∞

∞

∫

∫

fÑ= Ñ ( ñ ) Çñ =áë=ÅçåîÉêÖÉåíI=íÜÉå=íÜÉ=áåíÉÖê~ä Ñ ( ñ )Çñ =áë=~Äëç=áë=~Äëç~

~

äìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK=== 1076. aáëÅçåíáåìçìë=fåíÉÖê~åÇ=

iÉí= Ñ ( ñ ) =ÄÉ=~=ÑìåÅíáçå=ïÜáÅÜ=áë=Åçåíáåìçìë=çå=íÜÉ=áåíÉêî~ä== [~I Ä) =Äìí =Äìí=á =áë= ë=Çá ÇáëÅ ëÅçå çåíá íáåì åìçì çìë= ë=~í ~í ñ = Ä K=qÜÉå== Ä− ε

Ä

∫ Ñ ( ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ ( ñ )Çñ ~

ε →M +

~

Figure 187.

256


=ÄÉ=~=Åçåíáåìç íáåìçìë=Ñ ìë=ÑìåÅíáç ìåÅíáçå=Ñçê å=Ñçê=~ää =~ää=êÉ~ =êÉ~ä=åìã ä=åìãÄÉêë ÄÉêë==ñ= ==ñ==áå= =áå= 1077. iÉí= Ñ ( ñ ) =ÄÉ=~=Åçå íÜÉ=áåíÉêî~ä== [~ I Ä]==ÉñÅÉéí==Ñçê==ëçãÉ=éçáåí==Å==áå= (~ I Ä) K=qÜÉå= Å −ε

Ä

Ä

∫ Ñ ( ñ )Çñ = äáã ∫ Ñ ( ñ )Çñ + äáã ∫ Ñ ( ñ )Çñ K= ~

ε →M +

δ →M +

~

Å +δ

Figure 188.

9.10 Double Integral cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= Ñ ( ñ I ó ) I= Ñ (ìI î ) I=£= açìÄäÉ=áåíÉÖê~äëW=

∫∫ Ñ ( ñ I ó )ÇñÇó I= ∫∫ Ö( ñ I ó )ÇñÇó I £ o

ã


o

å

∑ ∑ Ñ (ì I î )∆ ñ ∆ó á

à

á =N à=N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ ñ á I= ∆ ó à oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=oI=p== mçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ

257

á

à


^êÉ~W=^= pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=p= sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= j~ëë=çÑ=~=ä~ãáå~W=ã= aÉåëáíóW= ρ( ñ I ó ) cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñ I= j ó jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñ I= f ó I= fM `Ü~êÖÉ=çÑ=~=éä~íÉW=n= `Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ( ñ I ó ) `ççê `ççêÇá Çáå~ å~íÉ íÉë= ë=çÑ çÑ=Å =ÅÉå ÉåíÉ íÉê= ê=çÑ çÑ=ã =ã~ë ~ëëW ëW ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=ÑìåÅíáçåW= µ

I= ó

1078. aÉÑáåáíáçå=çÑ=açìÄäÉ=fåíÉÖê~ä=

qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~= =çîÉê=~=êÉÅí~ êÉÅí~åÖäÉ= åÖäÉ= [~I Ä]× [ÅI Ç] =áë=ÇÉÑáåÉÇ= íç=ÄÉ== Ñ ( ñ I ó )Ç^ = ∫∫ ][ ]

[~ I Ä × Å I Ç

ã

äáã

å

∑ ∑ Ñ (ì I î )∆ ñ ∆ ó

ã~ñ ∆ ñ á →M ã~ñ ∆ ó à →M á =N à=N

á

à

á

à

I==

ïÜÉêÉ= ì á I î à =áë= =áë=ëç ëçãÉ ãÉ=é =éçá çáåí åí=á =áå= å=íÜ íÜÉ= É=êÉ êÉÅí~ Åí~åÖ åÖäÉ äÉ ( ñ á −N I ñ á ) × ó à−N I ó à I=~åÇ= ∆ ñ á = ñ á − ñ á −N I= ∆ ó à = ó à − ó à−N K=

Figure 189.

258


qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=ÖÉåÉê~ä= qÜÉ=ÇçìÄäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=ÖÉåÉê~ä=êÉÖáçå=o=áë== êÉÖáçå=o=áë== Ñ ( ñ I ó )Ç^ = Ö ( ñ I ó )Ç^ I

∫∫ o

∫∫ ][

[~ I Ä × Å I Ç ]

ïÜÉêÉ=êÉÅí~åÖäÉ= [~I Ä]× [ÅI Ç] =Åçåí~áåë=oI== Ö( ñ I ó ) = Ñ ( ñ I ó ) =áÑ= Ñ ( ñ I ó ) =áë=áå=o=~åÇ= Ö( ñ I ó ) = M =çíÜÉêïáëÉK=

Figure 190.

1079.

∫∫ [Ñ ( ñ I ó) + Ö ( ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ö( ñ I ó )Ç^ o

1080.

o

∫∫ [Ñ ( ñ I ó ) − Ö( ñ I ó )]Ç^ = ∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ − ∫∫ Ö( ñ I ó )Ç^ o

1081.

o

o

o

∫∫ âÑ ( ñ I ó )Ç^ = â ∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ I o

o

ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK= 1082. fÑ= Ñ ( ñ I ó ) ≤ Ö ( ñ I ó ) =çå=oI=íÜÉå=

∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ö( ñ I ó )Ç^ K= o

1083. fÑ= Ñ ( ñ I ó ) ≥ M =çå=o=~åÇ= p ⊂ o I=íÜÉå=

259

o


∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ ≤ ∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ K= p

o

Figure 191.

=çå=o=~åÇ=o=~åÇ=p=~êÉ=åçå--çîÉêä~ééáåÖ= 1084. fÑ= Ñ ( ñ I ó ) ≥ M =çå=o=~åÇ=o=~åÇ=p=~êÉ=åçå êÉÖáçåëI=íÜÉå=

∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ = ∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ + ∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ K

o ∪p

o

p

eÉêÉ= o ∪ p =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=o=~åÇ=pK=

Figure 192.

260


1085. fíÉê~íÉÇ=fåíÉÖê~äë=~åÇ=cìÄáåá ë=qÜÉçêÉã= ∞

Ä è ( ñ )

∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ ( ñ I ó )ÇóÇñ == o

~ é ( ñ )

Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=fI== o = {( ñ I ó ) ö ~ ≤ ñ ≤ ÄI é( ñ ) ≤ ó ≤ è ( ñ )} K=

Figure 193. Ç î ( ó )

∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ ( ñ I ó )ÇñÇó == o

Å ì ( ó )

Ñçê=~=êÉÖáçå=çÑ=íóéÉ=ffI= o = {( ñ I ó ) ö ì( ó ) ≤ ñ ≤ î ( ó )I Å ≤ ó ≤ Ç} K=

261


Figure 194.

1086. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=oÉÅí~åÖìä~ê=oÉÖáçåë=

fÑ=o=áë=íÜÉ=êÉÅí~åÖìä~ê=êÉÖáçå= [~I Ä]× [ÅI Ç] I=íÜÉå== Ç Ä  Ç    Ñ ( ñ I ó )ÇñÇó = ∫  ∫ Ñ ( ñ I ó )Çó Çñ = ∫  ∫ Ñ ( ñ I ó )Çñ Çó K ∫∫ o ~  Å Å  ~   Ä

få=íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ=ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ= Ñ ( ñ I ó ) = ÅÅ~~å= ÄÉ ÄÉ= ïê ïêáííÉå=~ë= Ö( ñ )Ü( ó ) ïÉ Ü~îÉ

 Ä   Ç     Ñ ( ñ I ó )ÇñÇó = ∫∫ Ö ( ñ )Ü( ó )ÇñÇó =  ∫ Ö ( ñ )Çñ   ∫ Ü( ó )Çó  K ∫∫ o o  ~   Å  1087. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=

∫∫

Ñ ( ñ I ó )ÇñÇó =

o

∫∫

Ñ [ ñ (ìI î )I ó (ìI î )]

p

∂( ñ I ó ) ÇìÇî I== ∂(ìI î )

∂ ñ ∂ ñ ∂( ñ I ó ) ∂ì ∂ î ïÜÉêÉ= íÜÉ= É= à~ÅçÄá~å à~ÅçÄá~å çÑ íÜÉ íê~åë= ó ó ≠ M áë íÜ ∂ ∂ ∂(ìI î ) ∂ì ∂ î Ñçêã~íáçåë= ( ñ I ó ) → (ìI î ) I=~åÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Å I=~åÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=o= â=çÑ=o=ïÜá ïÜáÅÜ= ÅÜ=

262


Å~å=ÄÉ=ÅçãéìíÉÇ=Äó= ñ = ñ (ìI î ) I= ó = ó (ìI î ) =áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåá=áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåá íáçå=çÑ=oK== 1088. mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

=ñê Åçë θ

I=óê ëáå θ

K

Figure 195.

1089. açìÄäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=

qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇó=Ñçê=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë=áë== ∂( ñ I ó ) ÇñÇó = ÇêÇθ = êÇêÇθ K ∂(êI θ) iÉí=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW= M ≤ Ö(θ) ≤ ê ≤ Ü(θ ) I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ K qÜÉå== β Ü (θ )

∫∫ Ñ ( ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K= o

α Ö (θ )

263


Figure 196.

fÑ=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=íÜÉ=éçä~ê=êÉÅí~åÖäÉ fÑ=íÜÉ=êÉÖáçå=o=áë=íÜÉ=éçä~ê=êÉÅí~åÖäÉ=ÖáîÉå=Äó== =ÖáîÉå=Äó== M ≤ ~ ≤ ê ≤ Ä I= α ≤ θ ≤ β I=ïÜÉêÉ= β − α ≤ Oπ I=== íÜÉå== β Ä

∫∫ Ñ ( ñ I ó )ÇñÇó = ∫ ∫ Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θ)êÇêÇθ K o

α~

Figure 197.

264


1090. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå= Ä Ñ ( ñ )

^=

∫ ∫ ÇóÇñ EÑçê ~ íóéÉ f êÉÖáçåFK ~ Ö ( ñ )

Figure 198. Ç è ( ó )

^=

∫ ∫ ÇñÇó EÑçê ~ íóéÉ ff êÉÖáçåFK Å é ( ó )

Figure 199.

265


1091. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=

s=

∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ K o

Figure 200.

fÑ=o=áë=~=íóéÉ=f=êÉÖáçå=ÄçìåÇÉÇ=Äó= ñ = ~ I= ñ = Ä I= ó = Ü( ñ ) I= ó = Ö( ñ ) I=íÜÉå== Ä Ö ( ñ )

s=

∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ ( ñ I ó )ÇóÇñ K o

~ Ü ( ñ )

fÑ=o= Ñ=o=áë áë=~ =~ íóé íóéÉ=ff =ff=êÉÖ =êÉÖááçå=Ä çå=Äçì çìåÇ åÇÉÇ ÉÇ=Ä =Äó= ó= ó = Å I= ó = Ç I= ñ = è( ó ) I= ñ = é( ó ) I=íÜÉå= Ç è ( ó )

s=

∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ = ∫ ∫ Ñ ( ñ I ó )ÇñÇó K o

Å é ( ó )

266


fÑ== Ñ ( ñ I ó ) ≥ Ö ( ñ I ó ) ==çîÉê==~==êÉÖáçå==oI==íÜÉå==íÜÉ==îçäìãÉ==çÑ= íÜÉ= íÜ É= ëçäá ëçäáÇ= Ç= ÄÉíï ÄÉíïÉÉ ÉÉå= å= òN = Ñ ( ñ I ó ) ~åÇ ò O = Ö( ñ I ó ) çîÉê o áë ÖáîÉå=Äó= s = [Ñ ( ñ I ó ) − Ö ( ñ I ó )]Ç^ K

∫∫ o

1092. ^êÉ~=~åÇ=sçäìãÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= fÑ=p=áë=~=êÉÖáçå=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=ÄçìåÇÉÇ=Äó= θ = α I= θ = β I=

ê = Ü(θ) I= ê = Ö(θ) I íÜÉå== β Ö (θ )

∫∫ Ç^ = ∫ ∫ êÇêÇθ I s = ∫∫ Ñ (êI θ)êÇêÇθ K ^=

p

α Ü(θ )

p

Figure 201.

1093. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~=

p=

∫∫ o

O

O

∂ò   ∂ò   N +   +   ÇñÇó  ∂ ñ   ∂ ó 

267


1094. j~ëë=çÑ=~=i~ãáå~=

ã=

∫∫ ρ( ñ I ó )Ç^ I o

ïÜÉêÉ==íÜÉ==ä~ãáå~==çÅÅìéáÉë==~==êÉÖáçå==o=~åÇ==áíë==ÇÉåëáíó==~í= ~=éçáåí=EñIóF=áë= ρ( ñ I ó ) K=== 1095. jçãÉåíë=

qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ==ñ -~ñáë==áë=ÖáîÉå=Äó=Ñçê~ñáë==áë=ÖáîÉå=Äó=Ñçêãìä~= j ñ = óρ( ñ I ó )Ç^ K

∫∫ o

qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=íÜÉ=ä~ãáå~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë= j ó = ñ ρ( ñ I ó )Ç^ K=

∫∫ o

qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ -~ñáë=áë= f ñ = ó Oρ( ñ I ó )Ç^ K

∫∫ o

qÜÉ=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ó-~ñáë=áë= f ó = ñ Oρ( ñ I ó )Ç^ K

∫∫ o

qÜÉ=éçä~ê=ãçãÉåí=çÑ=áåÉêíá~=áë= fM = ( ñ O + ó O )ρ( ñ I ó )Ç^ K

∫∫ o

1096. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=

=

j ó ã

ñ ρ( ñ I ó )Ç^ ∫∫ N ñρ( ñ I ó )Ç^ = = ∫∫ ñ ã ∫∫ ρ( ñ I ó )Ç^ o

o

o

268

I


=

j ñ ã

óρ( ñ I ó )Ç^ ∫∫ N = ∫∫ óóρ( ñ I ó )Ç^ = ã ∫∫ ρ( ñ I ó )Ç^ o

K

o

o

1097. `Ü~êÖÉ=çÑ=~=mä~íÉ=

n=

∫∫ σ( ñ I ó )Ç^ I o

ïÜÉêÉ=ÉäÉÅíêáÅ~ä=ÅÜ~êÖÉ=áë=ÇáëíêáÄìíÉÇ=çîÉê=~=êÉÖáçå=o=~åÇ=áíë= ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíó=~í=~=éçáåí=EñIóF=áë= σ( ñ I ó ) K=== 1098. ^îÉê~ÖÉ=çÑ=~=cìåÅíáçå=

N p

∫∫ Ñ ( ñ I ó )Ç^ I== ïÜÉêÉ= p = ∫∫ Ç^ K µ=

o

o

9.11 Triple Integral cìåÅíáçåë=çÑ=íÜêÉÉ=î~êá~ÄäÉëW= Ñ ( ñ I ó I ò ) I= Ö( ñ I ó I ò ) I £ qêáéäÉ=áåíÉÖê~äëW=

∫∫∫ Ñ ( ñ I óIò )Çs I= ∫∫∫ Ö( ñ I óIò )Çs I £ d

ã


d

å

é

∑ ∑ ∑ Ñ (ì I î I ï )∆ ñ ∆ ó ∆ò á

à

â

á =N à=N â =N

pã~ää=ÅÜ~åÖÉëW= ∆ ñ á I= ∆ ó à I= ∆ò â iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=~I=ÄI=ÅI=ÇI=êI=ë= oÉÖáçåë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåW=dI=qI=p== `óäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëW= ê I= θ I=ò= péÜÉêáÅ~ péÜÉêáÅ~ä=Åççê ä=ÅççêÇáå~í Çáå~íÉëW= ÉëW=êê I= θ I= ϕ sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s=

269

á

à

â


j~ëë=çÑ=~=ëçäáÇW=ã== aÉåëáíóW= µ( ñ I ó I ò ) `ççê `ççêÇá Çáå~ å~íÉ íÉë= ë=çÑ çÑ=Å =ÅÉå ÉåíÉ íÉê= ê=çÑ çÑ=ã =ã~ë ~ëëW ëW I= ó I= ò cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñó I= f óò I= f ñò I= f ñ I= f ó I= fò I= fM

1099. aÉÑáåáíáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~ä=

qÜÉ=íêáéäÉ=áåíÉÖê~ä=çîÉê=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~I Ä]× [ÅI Ç]× [êI ë ] áë=ÇÉÑáåÉÇ=íç=ÄÉ== Ñ ( ñ I ó I ò )Çs = ∫∫∫ ][ ][ ]

[~ I Ä × Å I Ç × ê I ë

ã

äáã

é

å

∑ ∑ ∑ Ñ (ì I î I ï )∆ ñ ∆ ó ∆ò

ã~ñ ∆ ñ á →M ã~ñ ∆ ó à →M á =N à=N â =N ã~ñ ∆ò â →M

á

à

â

á

à

â

I

ïÜÉêÉ= ì á I î à I ï â =áë= =áë=ëëçãÉ= çãÉ=éç éçáå áåí= í=áå áå íÜ íÜÉ= É=é~ é~êê~ääÉä ääÉäÉÉéáéÉ éáéÉÇ= Ç= ( ñ á −N I ñ á ) × ó à−N I ó à × (ò â −N I ò â ) I=~åÇ= ∆ ñ á = ñ á − ñ á −N I= ∆ ó à = ó à − ó à−N I= ∆ò â = ò â − ò â −N K= 1100.

∫∫∫ [Ñ ( ñ I óI ò ) + Ö( ñ I óI ò )]Çs = ∫∫∫ Ñ ( ñ I óI ò )Çs + ∫∫∫ Ö( ñ I óI ò )Çs d

1101.

d

∫∫∫ [Ñ ( ñ I ó Iò ) − Ö( ñ I óIò )]Çs = ∫∫∫ Ñ ( ñ I óIò )Çs − ∫∫∫ Ö( ñ I óIò )Çs d

1102.

d

d

d

∫∫∫ âÑ ( ñ I óI ò )Çs = â ∫∫∫ Ñ ( ñ I óIò )Çs I d

d

ïÜÉêÉ=â=áë=~=Åçåëí~åíK= 1103. fÑ== Ñ ( ñ I ó I ò ) ≥ M =~åÇ=d=~åÇ=q=~êÉ=åçåçîÉêä~ééáåÖ=Ä~ëáÅ=

êÉÖáçåëI=íÜÉå== Ñ ( ñ I ó I ò )Çs =

∫∫∫

d∪ q

∫∫∫ Ñ ( ñ I óIò )Çs + ∫∫∫ Ñ ( ñ I óIò )Çs K d

q

eÉêÉ d ∪ q =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=êÉÖáçåë=d=~åÇ=qK=

270


bî~äì~íáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=Äó=oÉéÉ~íÉÇ=fåíÉÖê~äë= éÉ~íÉÇ=fåíÉÖê~äë= 1104. bî~äì~íáçå=çÑ=qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=Äó=oÉ fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= ( ñ I ó I ò ) =ëìÅÜ=íÜ~í= ( ñ I ó )∈ oI χN ( ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O ( ñ I ó ) I=íÜÉå==

χ ( ñ I ó )  Ñ ( ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫∫  ∫ Ñ ( ñ I ó I ò )Çò  ÇñÇó I== ∫∫∫  d o   χ ( ñ I ó ) O

N

ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK= fÑ=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=íÜÉ=ëÉí=çÑ=éçáåíë= ( ñ I ó I ò ) =ëìÅÜ=íÜ~í= ~ ≤ ñ ≤ ÄI ϕN ( ñ ) ≤ ó ≤ ϕO ( ñ )I χN ( ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O ( ñ I ó ) I=íÜÉå==

ϕ ( ñ )  χ ( ñ I ó )    Ñ ( ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫  ∫ Ñ ( ñ I ó I ò )Çò Çó Çñ == ∫∫∫ ∫  χ ( ñ I ó )   d ~  ( ñ ) ϕ     Ä

O

O

N

N

1105. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=çîÉê=m~ê~ääÉäÉéáéÉÇ=

fÑ=d=áë=~=é~ê~ääÉäÉéáéÉÇ= [~ I Ä]× [ÅI Ç ]× [êI ë ] I=íÜÉå=

 Ç  ë   Ñ ( ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = ∫ ∫  ∫ Ñ ( ñ I ó I ò )Çò Çó Çñ K== ∫∫∫ d ~    Å  ê Ä

få==íÜÉ=ëéÉÅá~ä=Å~ëÉ==ïÜÉêÉ=íÜÉ=áåíÉÖê~åÇ== Ñ ( ñ I ó I ò ) ==Å~å=ÄÉ= ïêáííÉå=~ë= Ö( ñ ) Ü( ó ) â (ò ) ïÉ Ü~îÉ

 Ä  Ç  ë        K ( ) ( ) ( ) ( ) Ñ ñ I ó I ò ÇñÇóÇò Ö ñ Çñ Ü ó Çó â ò Çò = ∫∫∫  ∫  ∫  ∫ d   ~  Å  ê 1106. `Ü~åÖÉ=çÑ=s~êá~ÄäÉë=

∫∫∫ Ñ ( ñ I óIò )ÇñÇóÇò = d

= ∫∫∫ Ñ [ ñ (ìI î I ï )I ó (ìI î I ï )I ò (ìI î I ï )] p

271

∂( ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇòI ∂(ìI î I ï )


∂ ñ ∂ ñ ∂ ñ ∂ì ∂ î ∂ ï ∂( ñ I ó I ò ) ∂ ó ∂ ó ∂ ó ïÜÉêÉ== ==áë==íÜÉ== à~ÅçÄá~å==çÑ= ==çÑ= = ≠ M ==áë==íÜÉ== à~ÅçÄá~å ∂(ìI î I ï ) ∂ì ∂ î ∂ ï ∂ò ∂ò ∂ò ∂ì ∂ î ∂ ï íÜÉ= íê~åëÑçêã~ íê~åëÑçêã~íáçåë= íáçåë= ( ñ I ó I ò ) → (ìI î I ï ) I ~åÇ p áë íÜÉ éìääÄ~Åâ çÑ d ïÜáÅÜ Å~å ÄÉ ÅçãéìíÉÇ Äó ñ = ñ (ìI î I ï ) I= ó = ó (ìI î I ï ) ò = ò (ìI î I ï ) =áåíç=íÜÉ=ÇÉÑáåáíáçå=çÑ=dK= 1107. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=

qÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~ qÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉë=áë== íÉë=áë== ∂( ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇò = êÇêÇθÇò K== ∂(êI θI ò ) iÉí=íÜÉ=ëçäáÇ=d=áë=ÇÉíÉêãáåÉÇ=~ë=ÑçääçïëW= ( ñ I ó )∈ oI χN ( ñ I ó ) ≤ ò ≤ χ O ( ñ I ó ) I= ïÜÉêÉ=o=áë=éêçàÉÅíáçå=çÑ=d=çåíç=íÜÉ=ñó-éä~åÉK=qÜÉå== Ñ ( ñ I ó I ò )ÇñÇóÇò = Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θI ò )êÇêÇθÇò

∫∫∫

∫∫∫

d

p

χ (ê Åçë θIê ëáå θ )  Ñ (ê Åçë θI ê ëáå θI ò )Çò  êÇêÇθ K= = ∫∫  ∫  o ( ê Iθ )   χ (ê Åçë θIê ëáå θ ) O

N

eÉêÉ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=Åóä eÉêÉ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ÅóäáåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK áåÇêáÅ~ä=ÅççêÇáå~íÉëK 1108. qêáéäÉ=fåíÉÖê~äë=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=

qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=péÜÉêá qÜÉ=aáÑÑÉêÉåíá~ä=ÇñÇóÇò=Ñçê=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=áë Å~ä=`ççêÇáå~íÉë=áë==== ∂( ñ I ó I ò ) ÇñÇóÇò = ÇêÇθÇϕ = ê O ëáå θÇêÇθÇϕ == ∂(êI θI ϕ)

∫∫∫ Ñ ( ñ I óIò )ÇñÇóÇò = d

272


========= =

∫∫∫

Ñ (ê ëáå θ Åçë ϕI ê ëáå θ ëáå ϕI ê Åçë θ) ê O ëáå θÇêÇθÇϕ I

p

ïÜÉêÉ=íÜÉ=ëçäáÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ= ïÜÉêÉ=íÜÉ=ëçäáÇ=p=áë=íÜÉ=éìääÄ~Åâ=çÑ=d=áå=ëéÜÉêáÅ~ä= d=áå=ëéÜÉêáÅ~ä=ÅççêÇá ÅççêÇá-å~íÉëK=qÜÉ=~åÖäÉ== θ ==ê~åÖÉë==Ñêçã==M=íç== Oπ I==íÜÉ I==íÜÉ==~ ==~åÖä åÖäÉ== É== ϕ ê~åÖÉë=Ñêçã=M=íç= π K==

Figure 202.

1109. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=

s=

∫∫∫ ÇñÇóÇò d

1110. sçäìãÉ=áå=`óäáåÇêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=

s=

∫∫∫ êÇêÇθÇò

p ( ê I θ Iò )

1111. sçäìãÉ=áå=péÜÉêáÅ~ä=`ççêÇáå~íÉë=

s=

∫∫∫

ê O ëáå θÇêÇθÇϕ

p ( ê Iθ Iϕ )

273


1112. j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ=

ã=

∫∫∫ µ( ñ I óIò )Çs I d

ïÜÉ ïÜÉêêÉ= íÜ íÜÉ= É= ëçäáÇ çäáÇ çÅÅì çÅÅìéá éáÉÉë= ~= êÉÖá êÉÖáçå çå d= ~åÇ ~åÇ áíë áíë ÇÉåë ÇÉåëáí áíó= ó= ~í== ~í====================== ~=éçáåí= ( ñ I ó I ò ) =áë= µ( ñ I ó I ò ) K=== 1113. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pçäáÇ=

j óò

j ñó j ñò ñ = I= ó = I= ò = I== ã ã ã ïÜÉêÉ== j óò = ñ µ( ñ I ó I ò ) Çs I

∫∫∫ = ∫∫∫ óµ( ñ I ó I ò ) Çs I = ∫∫∫ òµ( ñ I ó I ò ) Çs d

j ñò

d

j ñó

d

~êÉ= ~êÉ==í =íÜÉ ÜÉ====Ñá Ñáêë êëí= í==ã =ãçã çãÉå Éåíë íë====~Ä ~Äçì çìí= í==í =íÜÉ ÜÉ====Åçç ÅççêÇ êÇáå áå~í ~íÉ= É=éä éä~å ~åÉë Éë = M I= ó = M I= ò = M I=êÉëéÉÅíáîÉäóI== µ( ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK== jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí==íÜÉ==ñó--éä~åÉ=Eçê= ò = M FI=óòFI=óò-éä~åÉ== 1114. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí==íÜÉ==ñó E = M FI=~åÇ=ñòFI=~åÇ=ñò-éä~åÉ E ó = M F=

∫∫∫ = ∫∫∫ ñ µ( ñ I ó I ò ) Çs I = ∫∫∫ ó µ( ñ I ó I ò ) Çs K

f ñó =

ò Oµ( ñ I ó I ò ) Çs I

d

f óò

O

d

f ñò

O

d

~ñáëI=ó -~ñáëI=~åÇ=ò~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= 1115. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ -~ñáëI=óf ñ = f ñó + f ñò =

O O ( )µ( ñ I óI ò ) Çs I ò ó + ∫∫∫ d

f ó = f ñó + f óò =

O O ( )µ( ñ I ó I ò ) Çs I ò ñ + ∫∫∫ d

274


fò = f ñò + f óò =

O O ( )µ( ñ I ó I ò ) Çs K + ó ñ ∫∫∫ d

1116. mçä~ê=jçãÉåí=çÑ=fåÉêíá~=

fM = f ñó + f óò + f ñò =

O O O ( )µ( ñ I óI ò ) Çs ñ ó ò + + ∫∫∫ d

9.12 Line Integral pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= c( ñ I ó I ò ) I= c( ñ I ó ) I= Ñ ( ñ ) pÅ~ä~ê=éçíÉåíá~äW= ì( ñ I ó I ò ) `ìêîÉëW=Ì= `N I= ` O iáãáíë=çÑ=áåíÉÖê~íáçåëW=~I=ÄI= α I= β m~ê~ãÉíÉêëW=íI=ë= mçä~ê=Åççê mçä~ê=ÅççêÇáå~ Çáå~íÉëW íÉëW ê I= θ r sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c (mI nI o ) r mçëáíáçå=îÉÅíçêW= ê (ë ) r

r

r

r

råáí=îÉÅíçêëW= á I= à I= â I= τ ^êÉ~=çÑ=êÉÖáçåW=p= iÉåÖíÜ=çÑ=~=ÅìêîÉW=i= j~ëë=çÑ=~=ïáêÉW=ã= aÉåëáíóW= ρ( ñ I ó I ò ) I= ρ( ñ I ó ) `ççê `ççêÇá Çáå~ å~íÉ íÉë= ë=çÑ çÑ=Å =ÅÉå ÉåíÉ íÉê= ê=çÑ çÑ ã~ëë ã~ëëW=W= I= ó I= ò cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñ I= f ó I= fò sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= tçêâW=t= r j~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇW=_ `ìêêÉåíW=f= bäÉÅíêçãçíáîÉ=ÑçêÅÉW= ε j~ÖåÉíáÅ=ÑäìñW= ψ

275


1117. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=

r

r

iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ê = ê (ë ) I= M ≤ ë ≤ p I=~åÇ=~=ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå I=~åÇ=~=ëÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçå=c=áë=ÇÉÑáåÉÇ=çîÉê=íÜÉ=ÅìêîÉ=`K== =c=áë=ÇÉÑáåÉÇ=çîÉê=íÜÉ=ÅìêîÉ=`K== qÜÉå== p

r

∫ c(ê (ë ))Çë = ∫ c( ñ I óI ò )Çë = ∫ cÇë I== M

`

`

ïÜÉêÉ=Çë=áë=íÜÉ=~êÅ=äÉåÖíÜ=ÇáÑÑÉêÉåíá~äK==

∫ c Çë = ∫ c Çë + ∫ c Çë

1118.

`N ∪` O

`N

Ò

Figure 203. r

r

1119. fÑ=íÜÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó= ê = ê (í ) I=

α ≤ í ≤ β I íÜÉå β

∫

∫

c( ñ I ó I ò )Çë = c( ñ (í )I ó (í )I ò (í )) ( ñ ′(í ))O + ( ó′(í ))O + (ò′(í ))O Çí K= α

`

fÑ=`=áë=~=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=áå=íÜÉ=ñó--éä~åÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= 1120. fÑ=`=áë=~=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=áå=íÜÉ=ñó ó = Ñ ( ñ ) I= ~ ≤ ñ ≤ Ä I=íÜÉå==

∫

Ä

∫

c( ñ I ó )Çë = c( ñ I Ñ ( ñ )) N + (Ñ ′( ñ ))O Çñ K==

`

~

iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= 1121. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=

276


β

O

 Çê  Çθ I== O ( ) ( ) = θ θ + c ñ I ó Çë c ê Åçë I ê ëáå ê   ∫ ` ∫ α  Çθ  ïÜÉ ïÜÉêÉ êÉ=í =íÜÉ ÜÉ=Å =Åìê ìêîÉ îÉ=` =`=á =áë= ë=ÇÉ ÇÉÑá ÑáåÉ åÉÇ= Ç=Äó Äó=í =íÜÉ ÜÉ=é =éçä çä~ê ~ê=Ñ =Ñìå ìåÅí Åíáç áçå= å= êEθF K= 1122. iáåÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇ=

r

r

iÉí=~=ÅìêîÉ=`=ÄÉ=ÇÉÑáåÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå= ê = ê (ë ) I= M ≤ ë ≤ p K=qÜÉå== r Çê r = τ = (Åçë αI Åçë βI Åçë γ ) == Çë áë=íÜÉ=ìåáí=îÉÅíçê=çÑ=íÜÉ=í~åÖÉåí=äáåÉ=íç=íÜáë=ÅìêîÉK==

Figure 204. r

iÉí= iÉí= ~= îÉ ~= îÉÅíç Åíçê= ê= ÑáÉ ÑáÉäÇ äÇ c (mI nI o ) áë ÇÉÑá ÇÉÑáåÉ åÉÇ= Ç= çîÉ çîÉê= íÜ íÜÉÉ Åìêî ÅìêîÉÉ `K r

qÜÉå=íÜÉ=äáåÉ qÜÉå=íÜÉ=äáåÉ áåíÉÖê áåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=îÉÅíç ~ä=çÑ=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ ê=ÑáÉäÇ c =~äçåÖ=íÜÉ=ÅìêîÉ= `=áë== p

∫ mÇñ + nÇó + oÇò = ∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çë K `

M

277


1123. mêçéÉêíáÉë=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë=çÑ=sÉÅíçê=cáÉäÇë= r

r

r

r

∫ (c ⋅ Çê ) = −∫ (c ⋅ Çê ) I==

−`

`

ïÜÉêÉ= ïÜÉêÉ=-`=ÇÉåçíÉ==íÜÉ=ÅìêîÉ=ïáíÜ=íÜÉ=çééçëáíÉ=çêáÉåí~íáçåK= r

r

r

r

r

r

r

r

∫ (c ⋅ Çê ) = ∫ (c ⋅ Çê ) = ∫ (c ⋅ Çê ) + ∫ (c ⋅ Çê ) I== `N ∪ ` O

`

`N

Ò

ïÜÉêÉ=`=áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=íÜÉ=ÅìêîÉë= `N=~åÇ= ` O K== r

1124. fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó= ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò(í ) I=

α ≤ í ≤ β I íÜÉå ∫ mÇñ + nÇó + oÇò = `

β

Çó Çñ Çò  ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) m ñ í I ó í I ò í n ñ í I ó í I ò í o ñ í I ó í I ò í = ∫  + +  Çí Çí Çí Çí  α 

fÑ=`=äáÉë=áå=íÜÉ=ñó-éä~åÉ=~åÇ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ó = Ñ ( ñ ) I= 1125. fÑ=`=äáÉë=áå=íÜÉ=ñóíÜÉå== Ä

 ∫ ~ 

∫

mÇñ + nÇó =  m( ñ I Ñ ( ñ )) + n( ñ I Ñ ( ñ ))

`

ÇÑ  Çñ K== Çñ 

1126. dêÉÉå ë=qÜÉçêÉã= ∞

 ∂n ∂m   − ÇñÇó = ∫ mÇñ + nÇó I== ∫∫ ∂ ó  o  ∂ ñ ` r r r ïÜÉêÉ= c = m( ñ I ó )á + n( ñ I ó ) à áë ~= Åçåí Åçåíáå áåìç ìçìë ìë îÉÅí îÉÅíçê çê ÑìåÅ ÑìåÅ-∂m ∂n íáçå=ïáíÜ==Åçåíáåìçìë==Ñáêëí=é~êíá~ä==ÇÉêáî~íáîÉë= I= =áå=~= ∂ ó ∂ ëçãÉ ëçãÉ Ççã~ Ççã~áå áå oI ïÜáÅ ïÜáÅÜ= Ü= áë Äçìå ÄçìåÇÉ ÇÉÇ= Ç= Äó ~= Åäçë ÅäçëÉÇ ÉÇI=I= éáÉÅ éáÉÅÉï Éïáë áëÉ= É= ëãççíÜ=ÅìêîÉ=`K==

278


1127. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=o=_çìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=`ìêîÉ=`=

p=

∫∫

ÇñÇó =

o

N ñÇó − óÇñ O`

∫

1128. m~íÜ=fåÇÉéÉåÇÉåÅÉ=çÑ=iáåÉ=fåíÉÖê~äë=

r

r

r

r

qÜÉ= äáåÉ qÜÉ= äáåÉ áåíÉ áåíÉÖê Öê~ä ~ä çÑ ~= îÉÅí îÉÅíçê çê ÑìåÅ ÑìåÅíá íáçå çå c = m á + n à + oâ =áë= ë~áÇ=íç=ÄÉ=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåí ë~áÇ=íç=ÄÉ= é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåíI=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=mI=nI=~åÇ=o=~êÉ= I=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ=mI=nI=~åÇ=o=~êÉ= Åçåíáåìçìë=áå=~=Ççã~áå=aI=~åÇ=áÑ=íÜÉêÉ=Éñáëíë=ëçãÉ=ëÅ~ä~ê= ÑìåÅíáçå== ì = ì( ñ I ó I ò ) ==E~==ëÅ~ä~ê==éçíÉåíá~ä ==E~==ëÅ~ä~ê==éçíÉåíá~äF==áå==a==ëìÅÜ=íÜ~í= F==áå==a==ëìÅÜ=íÜ~í= r ∂ì ∂ì ∂ì c = Öê~Ç ì I çê = m I= = n I= = o K== ∂ ∂ ó ∂ò qÜÉå== r r r c(ê ) ⋅ Ç ê = mÇñ + nÇó + oÇò = ì(_ ) − ì(^ ) K==

∫

∫

`

`

1129. qÉëí=Ñçê=~=`çåëÉêî~íáîÉ=cáÉäÇ= r

^ îÉÅíçê ÑáÉäÇ çÑ íÜÉ Ñçêã c = Öê~Ç ì =áë=Å~ääÉÇ=~=ÅçåëÉêî~íáîÉ= =áë=Å~ääÉÇ=~= ÅçåëÉêî~íáîÉ= r

r

r

r

ÑáÉäÇK=qÜÉ äáåÉ áåíÉÖê~ä çÑ ~ îÉÅíçê ÑìåÅíáçå c = m á + n à + oâ ÑáÉäÇK=q áë=é~íÜ=áåÇÉéÉåÇÉåí=áÑ=~åÇ=çåäó=áÑ== r

r

r

á

à

â

m

n

o

∂ ∂ ∂ r = M K== Åìêä c = ∂ ñ ∂ ó ∂ò r

fÑ=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=áå=ñó-éä~åÉ=ëç=íÜ~í== fÑ=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=áå=ñómÇñ + nÇó = ì(_ ) − ì(^ ) I==

∫ `

íÜÉå=íÜÉ=íÉëí=Ñçê=ÇÉíÉêãáåáåÖ=áÑ=~=îÉÅíçê=ÑáÉäÇ=áë=ÅçåëÉêî~íáîÉ= Å~å=ÄÉ=ïêáííÉå=áå=íÜÉ=Ñçêã== ∂m ∂n K== = ∂ ó ∂ ñ

279


1130. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ= r

β

β

O

O

O

Çê Çñ   Çó   Çò  (í ) Çí =  i = Çë =   +   +   Çí I=  Çí   Çí  ` α Çí α  Çí  ïÜÉêÉ=`= ïÜÉêÉ=`=á~=~=éáÉÅÉïá á~=~=éáÉÅÉïáëÉ=ëãççíÜ ëÉ=ëãççíÜ=ÅìêîÉ=ÇÉëÅêáÄ =ÅìêîÉ=ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=éçëá ÉÇ=Äó=íÜÉ=éçëá-r íáçå=îÉÅíçê= ê (í ) I= α ≤ í ≤ β K=

∫ ∫

∫

fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íïçfÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íïç-ÇáãÉåëáçå~äI=íÜÉå= r

β

β

O

O

Çê Çñ   Çó  (í ) Çí =  i = Çë =   +   Çí K==  Çí  ` α Çí α  Çí 

∫ ∫

∫

fÑ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=íÜÉ=Öê~éÜ=çÑ=~=ÑìåÅíáçå= ó = Ñ ( ñ ) =áå=íÜÉ=ñó=áå=íÜÉ=ñóéä~åÉ= (~ ≤ ñ ≤ Ä) I=íÜÉå== Ä

i=

∫ ~

O

 Çó  N +   Çñ K==  Çñ 

1131. iÉåÖíÜ=çÑ=~=`ìêîÉ=áå=mçä~ê=`ççêÇáå~íÉë= β

O

 Çê  i =   + ê O Çθ I== α  Çθ  ïÜÉêÉ=íÜÉ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ê = ê(θ) I= α ≤ θ ≤ β =áå=éçä~ê=ÅççêÇáå~íÉëK===

∫

1132. j~ëë=çÑ=~=táêÉ=

∫

ã = ρ( ñ I ó I ò )Çë I `

ïÜÉêÉ= ρ( ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ã~ëë=éÉê=ìåáí=äÉåÖíÜ=çÑ=íÜÉ=ïáêÉK= fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=é~ê~ãÉíêáòÉÇ= fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=é~ê~ãÉíêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå Äó=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑìåÅíáçå r ê (í ) = ñ (í )I ó (í )I ò (í ) I==íÜÉå==íÜÉ==ã~ëë==Å~å==ÄÉ==ÅçãéìíÉÇ=Äó= íÜÉ=Ñçêãìä~=

280


β

O

O

O

 Çñ   Çó   Çò  ã = ∫ ρ( ñ (í )I ó (í )I ò (í ))   +   +   Çí K==  Çí   Çí   Çí  α fÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=áå=ñófÑ=`=áë=~=ÅìêîÉ=áå=ñó -éä~åÉI=íÜÉå=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=ïáêÉ=áë=ÖáîÉå= Äó== ã = ρ( ñ I ó )Çë I=

∫ `

çê= β

O

O

 Çñ   Çó  ã = ρ( ñ (í )I ó (í ))   +   Çí =Eáå=é~ê~ãÉíêáÅ=ÑçêãFK=  Çí   Çí  α

∫

1133. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=táêÉ=

j óò

j ñó j ñò ñ = I= ó = I= ò = I= ã ã ã ïÜÉêÉ== j óò = ñ ρ( ñ I ó I ò )Çë I

∫ = ∫ óρ( ñ I ó I ò )Çë I = ∫ òρ( ñ I ó I ò )Çë K= `

j ñò

`

j ñó

`

1134. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=

qÜÉ=ãçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ -~ñáëI=óqÜÉ=ãçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ ~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò~ñáëI=~åÇ=ò -~ñáë= ~êÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~ë= f ñ = ( ó O + ò O )ρ( ñ I ó I ò )Çë I

∫ = ∫ ( ñ + ò )ρ( ñ I ó I ò )Çë I = ∫ ( ñ + ó )ρ( ñ I ó I ò )Çë K `

f ó

O

O

O

O

`

fò

`

281


1135. ^êÉ~=çÑ=~=oÉÖáçå=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ=

∫

∫

p = ñÇó = − óÇñ = `

`

N ñÇó − óÇñ K== O`

∫

Figure 205.

fÑ=íÜÉ=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉ=`=áë=ÖáîÉå=áå=é~ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã= r ê (í ) = ñ (í )I ó (í ) I=íÜÉå=íÜÉ=~êÉ~=Å~å=ÄÉ=Å~äÅìä~íÉÇ=Äó=íÜÉ=Ñçê I=íÜÉå=íÜÉ=~êÉ~=Å~å=ÄÉ=Å~äÅìä~íÉÇ=Äó=íÜÉ=Ñçê-ãìä~= β β β Çó Çó Çñ N  Çñ  ( ) ( ) − p = ñ (í ) Çí = − ó (í ) Çí = ñ í ó í  Çí K== Çí Çí O α  Çí Çí  α α

∫

∫

∫

1136. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=cçêãÉÇ=Äó=oçí~íáåÖ=~ sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=cçêãÉÇ=Äó=oçí~íáåÖ=~=`äçëÉÇ=`ìêîÉ= =`äçëÉÇ=`ìêîÉ= ~Äçìí=íÜÉ=ñ -~ñáë=

∫

∫

s = − π ó OÇñ = −Oπ ñóÇó = − `

`

282

π

∫

O`

O ñóÇó + ó OÇñ ==


Figure 206.

1137. tçêâ=

r

tçêâ=ÇçåÉ=Äó=~=ÑçêÅÉ= tçêâ=ÇçåÉ=Äó=~=ÑçêÅÉ= c =çå=~å=çÄàÉÅí=ãçîáåÖ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ= `=áë=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä= r r t = c ⋅ Ç ê I=

∫ `

r

r

ïÜÉ ïÜÉêÉ êÉ c =áë=íÜÉ =áë=íÜÉ=îÉÅ =îÉÅíç íçê=Ñç ê=ÑçêÅ êÅÉ=Ñá É=ÑáÉä ÉäÇ=~Å Ç=~Åíá íáåÖ åÖ=çå=íÜ =çå=íÜÉ=çÄ É=çÄàÉ àÉÅí ÅíI=I= Ç ê =áë= íÜÉ=ìåáí=í~åÖÉåí=îÉÅíçêK==

Figure 207.

283


fÑ=íÜÉ=çÄàÉÅí=áë=ãçîÉÇ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ= fÑ=íÜÉ=çÄàÉÅí=áë=ãçîÉÇ=~äçåÖ=~=ÅìêîÉ=`=áå=íÜÉ=ñó `=áå=íÜÉ=ñó--éä~åÉI=íÜÉå= r r t = c ⋅ Çê = mÇñ + nÇó I==

∫

∫

`

`

fÑ ~= é~ é~íÜ íÜ `= áë ëé ëéÉÉÅáÑá ÅáÑáÉÉÇ= Äó ~= é~ é~ê~ ê~ãÉ ãÉíÉ íÉêê í= Eí çÑíÉ çÑíÉå= å= ãÉ~ ãÉ~åë íáãÉFI=íÜÉ=Ñçêãìä~=Ñçê=Å~äÅìä~íáåÖ=ïçêâ=ÄÉÅçãÉë= β Çñ Çó Çò   t = ∫ m( ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + n( ñ (í )I ó (í )I ò (í )) + o( ñ (í )I ó (í )I ò (í ))  ÇíI Çí Çí Çí  α ïÜÉêÉ=í=ÖçÉë=Ñêçã= α =íç= β K== r

fÑ ~=îÉÅíç ~=îÉÅíçê=ÑáÉ ê=ÑáÉäÇ äÇ c =áë=ÅçåëÉêî~íáîÉ=~åÇ= ì( ñ I ó I ò ) = áë áë= ~= ~= ëÅ ëÅ~ä~ê éçíÉåíá~ä=çÑ=íÜÉ=ÑáÉäÇI=íÜÉå=íÜÉ=ïçêâ=çå=~å=çÄàÉÅí=ãçîáåÖ= Ñêçã=^=íç=_=Å~å=ÄÉ=ÑçìåÇ=Äó=íÜÉ=Ñçêãìä~= t = ì(_ ) − ì(^ ) K== 1138. ^ãéÉêÉ ë=i~ï= r

∞

r

∫ _ ⋅ Çê = µ f K== M

`

r

qÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=çÑ=~=ã~ÖåÉíáÅ=ÑáÉäÇ= _ =~êçìåÇ=~=ÅäçëÉÇ=é~íÜ= `= áë Éèì~ Éèì~ä= ä= íç íÜ íÜÉ= É= íçí~ íçí~ä= ä= Åìêê ÅìêêÉå Éåí= í= f= Ñäçï Ñäçïáå áåÖ= Ö= íÜ íÜêç êçìÖ ìÖÜ= Ü= íÜ íÜÉ= É= ~êÉ~ ~êÉ~ ÄçìåÇÉÇ=Äó=íÜÉ=é~íÜK==

Figure 208.

284


1139. c~ê~Ç~ó ë=i~ï= ∞

Çψ ε = b ⋅ Çê = − Çí ` r

∫

r

qÜÉ=ÉäÉÅíêçãçíáîÉ=ÑçêÅÉ=EÉãÑF= ε =áåÇìÅÉÇ=~êçìåÇ=~=ÅäçëÉÇ= äççé=`=áë=Éèì~ä=íç=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~åÖÉ=çÑ=ã~ÖåÉíáÅ=Ñäìñ= ψ é~ëëáåÖ=íÜêçìÖÜ=íÜÉ=äççéK===

Figure 209.

9.13 Surface Integral pÅ~ä~ê=ÑìåÅíáçåëW= Ñ ( ñ I ó I ò ) I= ò( ñ I ó ) r r mçëáíáçå=îÉÅíçêëW= ê (ìI î ) I= ê ( ñ I ó I ò ) r

r

r

råáí=î råáí=îÉÅí ÉÅíçêë çêëW=W= á I= à I= â pìêÑ~ÅÉW=p= r sÉÅíçê=ÑáÉäÇW= c (mI nI o )

r

r

aáîÉêÖÉåÅÉ çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Çáî c = ∇ ⋅ c

285


r

r

`ìêä çÑ ~ îÉÅíçê ÑáÉäÇW Åìêä c = ∇ × c == r

sÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW= Çp r kçêã~ä=íç=ëìêÑ~ÅÉW=å pìêÑ~ÅÉ=~êÉ~W=^= j~ëë=çÑ=~=ëìêÑ~ÅÉW=ã= aÉåëáíóW= µ( ñ I ó I ò ) `ççê `ççêÇá Çáå~ å~íÉ íÉë= ë=çÑ çÑ=Å =ÅÉå ÉåíÉ íÉê= ê=çÑ çÑ ã~ëë ã~ëëW=W= I= ó I= ò cáêëí=ãçãÉåíëW= j ñó I= j óò I= j ñò jçãÉåíë=çÑ=áåÉêíá~W= f ñó I= f óò I= f ñò I= f ñ I= f ó I= fò sçäìãÉ=çÑ=~=ëçäáÇW=s= r cçêÅÉW= c dê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíW=d= r r cäìáÇ=îÉäçÅáíóW= î (ê ) cäìáÇ=ÇÉåëáíóW= ρ r mêÉëëìêÉW= é(ê ) j~ëë=ÑäìñI=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñW= Φ pìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉW=n= `Ü~êÖÉ=ÇÉåëáíóW= σ( ñ I ó ) r

j~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇW= b 1140. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=~=pÅ~ä~ê=cìåÅíáçå=

iÉí=~=ëìêÑ~ÅÉ=p=ÄÉ=ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê= r r r r ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I== ïÜÉêÉ= (ìI î ) ê~åÖÉë çîÉê ëçãÉ Ççã~áå a(ìI î ) = çÑ çÑ= íÜ íÜÉ= ìî ìîéä~åÉK= qÜÉ== qÜ É== ëìêÑ ëìêÑ~Å ~ÅÉ== É== áåíÉ áåíÉÖê Öê~ä ~ä çÑ ~== ëÅ ëÅ~ä ~ä~ê ~ê ÑìåÅ ÑìåÅíá íáçå== çå== Ñ ( ñ I ó I ò ) çîÉê íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÇÉÑáåÉÇ=~ë== r r ∂ê ∂ ê Ñ ( ñ I ó I ò )Çp = Ñ ( ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) × ÇìÇî I== ∂ì ∂ î p a (ì I î )

∫∫

∫∫

r

r

∂ê ∂ê ïÜÉêÉ=íÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë= =~åÇ= =~êÉ=ÖáîÉå=Äó== ∂ì ∂ î

286


r

r r ∂ ó r ∂ê ∂ ñ ∂ò = (ìI î )á + (ìI î ) à + (ìI î )â I== ∂ìr ∂ì ∂ì ∂ì r r ∂ ó r ∂ò ∂ê ∂ ñ = (ìI î )á + (ìI î ) à + (ìI î )â ∂ î ∂ î ∂ î ∂ î r r ∂ê ∂ ê ~åÇ= × =áë=íÜÉ=Åêçëë=éêçÇìÅíK== ∂ì ∂ î

fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó==íÜÉ=Éèì~íáçå= å=Äó==íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò( ñ I ó ) =ïÜÉêÉ= 1141. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉ ò ( ñ I ó ) ==áë== ==áë==~== ~==ÇáÑ ÇáÑÑÉê ÑÉêÉåí Éåíá~Ä á~ÄäÉ= äÉ==Ñì =ÑìåÅí åÅíáçå áçå==á ==áå=í å=íÜÉ= ÜÉ=Ççã Ççã~á ~áå= å= a( ñ I ó ) I= íÜÉå==

∫∫ Ñ ( ñ I óI ò )Çp = p

O

O

∂ò   ∂ò   ( ( ) ) + Ñ ñ I ó I ò ñ I ó N   +   ÇñÇó K== ∫∫  ∂ ñ   ∂ ó  a( ñ I ó ) r

pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= c =çîÉê=íÜÉ=pìêÑ~ÅÉ=p= 1142. pìêÑ~ÅÉ=fåíÉÖê~ä=çÑ=íÜÉ=sÉÅíçê=cáÉäÇ= fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=çìíï~êÇ fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=çìíï~êÇI=íÜÉå== I=íÜÉå== r r r r ( ) ( ) ===== c ñ I ó I ò ⋅ Çp = c ñ I ó I ò ⋅ åÇp •

∫∫

∫∫

p

p

r

r

r

r

∂ê ∂ê = ∫∫ c( ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K==  ∂ì ∂ î  a( ì I î ) r

======

fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=áåï~êÇ fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=áåï~êÇI=íÜÉå== I=íÜÉå== r r r r ===== c( ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = c( ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp •

∫∫

∫∫

p

p

∂ê ∂ê = ∫∫ c( ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) ⋅  ×  ÇìÇî K==  ∂ î ∂ì  a( ì I î ) r

====== r

r

îÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉK==açí= Çp = åÇp ==áë==Å~ääÉÇ==íÜÉ== îÉÅíçê=ÉäÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉK==açí= ãÉ~åë==íÜÉ==ëÅ~ä~ê==éêçÇìÅí==çÑ==íÜÉ==~ééêçéêá~íÉ==îÉÅíçêëK= r r ∂ê ∂ê qÜÉ=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉë= =~åÇ== =~êÉ=ÖáîÉå=Äó== ∂ì ∂ î

287


r

r r ∂ ó r ∂ò ∂ê ∂ ñ = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î )⋅ â I== ∂ìr ∂ì ∂ì ∂ì r r ∂ ó r ∂ò ∂ê ∂ ñ = (ìI î ) ⋅ á + (ìI î ) ⋅ à + (ìI î )⋅ â K== ∂ î ∂ î ∂ î ∂ î

fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉå=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= å=Äó=íÜÉ=Éèì~íáçå= ò = ò ( ñ I ó ) I=ïÜÉêÉ= 1143. fÑ==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==áë==ÖáîÉ ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå==áå==íÜÉ=Ççã~áå= =áå==íÜÉ=Ççã~áå= a( ñ I ó ) I= ò( ñ I ó ) ==áë==~==ÇáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ==ÑìåÅíáçå= íÜÉå== ìéï~êÇI=áKÉK=íÜÉ=â I=áKÉK=íÜÉ=â -íÜ=ÅçãéçåÉåí=çÑ=íÜÉ= • fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ= ìéï~êÇ åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=éçëáíáîÉI=íÜÉå=== r r r r ===== c( ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = c( ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp

∫∫

∫∫

p

p

 ∂ò r ∂ò r r  = ∫∫ c( ñ I ó I ò ) ⋅  − á − à + â ÇñÇó I==  ∂ ñ ∂ ó  a( ñ I ó ) r

======

fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ=Ççïåï~êÇ fÑ=p=áë=çêáÉåíÉÇ= Ççïåï~êÇI=áKÉK=íÜÉ=â I=áKÉK=íÜÉ=â -íÜ=ÅçãéçåÉåí=çÑ=íÜÉ= åçêã~ä=îÉÅíçê=áë=åÉÖ~íáîÉI=íÜÉå=== r r r r ===== c( ñ I ó I ò ) ⋅ Çp = c( ñ I ó I ò ) ⋅ åÇp •

∫∫

∫∫

p

 ∂ò r ∂ò r r  = ∫∫ c( ñ I ó I ò ) ⋅  á + à − â ÇñÇó K==  ∂ ñ ∂ ó  a( ñ I ó ) r

======

1144.

p

r r

∫∫ (c ⋅ å)Çp = ∫∫ mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó = ∫∫ (m Åçë α + n Åçë β + o Åçë γ )Çp I p

p

p

ïÜÉêÉ= m( ñ I ó I ò ) I= n( ñ I ó I ò ) I= o( ñ I ó I ò ) =~ê =~êÉ=íÜ =íÜÉ=Åç =ÅçãéçåÉåíë=çÑ =çÑ r

íÜÉ=îÉÅíçê= ÑáÉäÇ= c K== ==~êÉ=íÜÉ íÜÉ ~åÖäÉë= ÄÉíïÉÉå=íÜÉ=çìíÉê=ìåáí= Åçë α I= Åçë β I Åçë γ ==~êÉ= r åçêã~ä åçêã~ä îÉÅíçê îÉÅíçê å =~åÇ=íÜÉ=ñ -~ñáëI=ó~ñáëI=ó-~ñáëI=~åÇ=ò~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáëI=êÉëéÉÅí~ñáëI=êÉëéÉÅí áîÉäóK=

288


fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÖáîÉå=áå=é~ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã=Äó=íÜÉ= ê~ãÉíêáÅ=Ñçêã=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê= îÉÅíçê= 1145. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=ÖáîÉå=áå=é~ r

ê ( ñ (ìI î )I ó (ìI î )I ò (ìI î )) I==íÜÉå==íÜÉ==ä~ííÉê=Ñçêãìä~=Å~å=ÄÉ= ïêáííÉå=~ë==

m n o r r (c ⋅ å)Çp = mÇóÇò + nÇòÇñ + oÇñÇó = ∂ ñ ∂ ó ∂ò ÇìÇîI ∂ì ∂ì ∂ì p p a(ì I î ) ∂ ñ ∂ ó ∂ò ∂ î ∂ î ∂ î ïÜÉêÉ= (ìI î ) ê~åÖ ê~åÖÉë Éë çîÉê çîÉê ëçãÉ ëçãÉ Ççã~ Ççã~áå áå a(ìI î ) =çÑ=íÜÉ=ìî=çÑ=íÜÉ=ìîéä~åÉK=

∫∫

∫∫

∫∫

1146. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã= r

r

r

∫∫ c ⋅ Çp = ∫∫∫ (∇ ⋅ c)Çs I== p

d

ïÜÉêÉ== r c( ñ I ó I ò ) = m( ñ I ó I ò )I n( ñ I ó I ò )I o ( ñ I ó I ò ) === áë==~==îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ==o==Ü~îÉ== Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI== r ∂m ∂n ∂o ∇⋅c = + + == ∂ ñ ∂ ó ∂ò r

r

áë==íÜÉ==ÇáîÉêÖÉåÅÉ áë==íÜÉ==ÇáîÉêÖÉåÅÉ==çÑ==c ==çÑ==c I ~äëç ÇÉåçíÉÇ Çáîc K==qÜÉ==ëóãÄçä= =áåÇáÅ~íÉë==íÜ~í=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=áåíÉÖê~ =áåÇáÅ~íÉë==íÜ~í=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=~ ä=áë=í~âÉå=çîÉê=~=ÅäçëÉÇ= =ÅäçëÉÇ=

∫∫

ëìêÑ~ÅÉK== 1147. aáîÉêÖÉåÅÉ=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã=

 ∂m ∂n ∂o  + + ÇñÇóÇò K== mÇóÇò + nÇñÇò + oÇñÇó = ∫∫∫  ∫∫ ∂ ñ ∂ ó ∂ò  p d  1148. píçâÉ ë=qÜÉçêÉã= r

∞

r

r

r

∫ c ⋅ Çê = ∫∫ (∇ × c)⋅ Çp I== `

p

289


ïÜÉêÉ== r c( ñ I ó I ò ) = m( ñ I ó I ò )I n( ñ I ó I ò )I o ( ñ I ó I ò ) === áë==~=îÉÅíçê==ÑáÉäÇ==ïÜçëÉ==ÅçãéçåÉåíë==mI==nI==~åÇ=o==Ü~îÉ= Åçåíáåìçìë=é~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëI== r

r

r

á

à

â

m

n

o

∂ ∂ ∂  ∂o ∂n  r  ∂m ∂o  r  ∂n ∂m  r ∇×c= =  −  á +  −  à +  − â ∂ ñ ∂ ñ ∂ ñ  ∂ ó ∂ò   ∂ò ∂ ñ   ∂ ñ ∂ ó  r

r

r

áë=íÜÉ=Åìêä áë=íÜÉ=Åìêä=çÑ= =çÑ= c I ~äëç ÇÉåçíÉÇ Åìêä c K== qÜÉ=ëóãÄçä==

∫ =áåÇáÅ~íÉë=íÜ~í=íÜÉ=äáåÉ=áåíÉÖê~ä=áë=í~âÉå=çîÉê=

~=ÅäçëÉÇ=ÅìêîÉK== 1149. píçâÉ ë=qÜÉçêÉã=áå=`ççêÇáå~íÉ=cçêã= ∞

∫ mÇñ + nÇó + oÇò `

 ∂o ∂n   ∂n ∂m  ∂m ∂o   − ÇñÇó = ∫∫  − ÇóÇò +  − + ÇòÇñ   ∂ ó ∂ò   ∂ò ∂ ñ   ∂ ñ ∂ ó  p  == 1150. pìêÑ~ÅÉ=^êÉ~= ^ = Çp

∫∫ p

fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=é~ê~ãÉíÉêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê= íÉêáòÉÇ=Äó=íÜÉ=îÉÅíçê= 1151. fÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=áë=é~ê~ãÉ r

r

r

r

ê (ìI î ) = ñ (ìI î )á + ó (ìI î ) à + ò (ìI î )â I== íÜÉå=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=~êÉ~=áë== r r ∂ê ∂ê × ÇìÇî I== ^= ∂ì ∂ î a(ì I î )

∫∫

r

ïÜÉêÉ== a(ìI î ) ==áë==íÜÉ==Ççã~áå==ïÜÉêÉ==íÜÉ=ëìêÑ ==áë==íÜÉ==Ççã~áå==ïÜÉêÉ==íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= ~ÅÉ= ê (ìI î ) =áë= ÇÉÑáåÉÇK==

290


1152. fÑ=p=áë=ÖáîÉå=ÉñéäáÅáíäó=Äó=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= ò ( ñ I ó ) I íÜÉå íÜÉ ëìê-

Ñ~ÅÉ=~êÉ~=áë== O

O

 ∂ò  +   ÇñÇó I  ∂ ó 

 ∂ò   ∫∫ ∂ ñ   a ( ñ I ó ) ïÜÉêÉ= a( ñ I ó ) =áë=íÜÉ=éêçàÉÅíáçå =áë=íÜÉ=éêçàÉÅíáçå=çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ =çÑ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=p=çåíç=íÜÉ=ñó ÅÉ=p=çåíç=íÜÉ=ñó-^=

N+ 

éä~åÉK== 1153. j~ëë=çÑ=~=pìêÑ~ÅÉ=

ã=

∫∫ µ( ñ I óIò )Çp I p

ïÜÉêÉ= µ( ñ I ó I ò ) áë íÜ íÜÉ= É= ã~ëë ã~ëë éÉê éÉê ìåáí= åáí= ~êÉ~ êÉ~ EÇÉå EÇÉåëëáíó ÑìåÅ ÑìåÅ-íáçåFK= 1154. `ÉåíÉê=çÑ=j~ëë=çÑ=~=pÜÉää=

j óò

j ñó j ñò ñ = I= ó = I= ò = I== ã ã ã ïÜÉêÉ== j óò = ñ µ( ñ I ó I ò )Çp I

∫∫ = ∫∫ óµ( ñ I ó I ò )Çp I = ∫∫ òµ( ñ I ó I ò )Çp p

j ñò

p

j ñó

p

~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí===íÜÉ ~êÉ==íÜÉ==Ñáêëí==ãçãÉåíë==~Äçìí===íÜÉ=ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= =ÅççêÇáå~íÉ=éä~åÉë= = M I= ó = M I= ò = M I==êÉëéÉÅíáîÉäóK== µ( ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK= 1155. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñó jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñó--éä~åÉ Eçê ò = M FI==óòFI==óò-éä~åÉ==

E = M FI=~åÇ=ñòFI=~åÇ=ñò-éä~åÉ E ó = M F=

∫∫ = ∫∫ ñ µ( ñ I ó I ò )Çp I

f ñó =

ò Oµ( ñ I ó I ò )Çp I

p

f óò

O

p

291


∫∫

f ñò = ó Oµ( ñ I ó I ò )Çp K= p

~ñáëI=ó -~ñáëI=~åÇ=ò~ñáëI=~åÇ=ò-~ñáë= 1156. jçãÉåíë=çÑ=fåÉêíá~=~Äçìí=íÜÉ=ñ -~ñáëI=óf ñ =

O O ( )µ( ñ I ó I ò )Çp I ó ò + ∫∫ p

f ó =

O O ( )µ( ñ I ó I ò )Çp I ñ ò + ∫∫ p

fò =

O O ( )µ( ñ I óI ò )Çp K ñ ó + ∫∫ p

1157. sçäìãÉ=çÑ=~=pçäáÇ=_çìåÇÉÇ=Äó=~=`äçëÉÇ=pìêÑ~ÅÉ=

s=

N P

∫∫ ñÇóÇò + óÇñÇò + òÇñÇó == p

1158. dê~îáí~íáçå~ä=cçêÅÉ= r

r

∫∫

c = dã µ( ñ I ó I ò ) p

ê Çp I= P ê

ïÜÉêÉ=ã=áë=~=ã~ëë=~í=~=éçáåí= ñ M I ó M I ò M =çìíëáÇÉ=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉI== r

ê = ñ − ñ M I ó − ó M I ò − ò M I== µ( ñ I ó I ò ) =áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåI== ~åÇ=d=áë=Öê~îáí~íáçå~ä=Åçåëí~åíK= 1159. mêÉëëìêÉ=cçêÅÉ= r

c=

r

r

∫∫ é(ê )Çp I== p

r

ïÜÉêÉ=íÜÉ=éêÉëëìêÉ== é(ê ) ==~Åíë==çå==íÜÉ==ëìêÑ~ÅÉ==p==ÖáîÉå==Äó= r íÜÉ=éçëáíáçå=îÉÅíçê= ê K= 1160. cäìáÇ=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF= r r

r

Φ = ∫∫ î (ê ) ⋅ Çp I== p

292


r r

ïÜÉêÉ= î (ê ) =áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=îÉäçÅáíóK= == 1161. j~ëë=cäìñ=E~Åêçëë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=pF= r r r Φ = ρ î (ê ) ⋅ Çp I==

∫∫ p

r

r

ïÜÉêÉ c = ρî =áë=íÜÉ=îÉÅíçê=ÑáÉäÇI= ρ =áë=íÜÉ=ÑäìáÇ=ÇÉåëáíóK= 1162. pìêÑ~ÅÉ=`Ü~êÖÉ=

n=

∫∫ σ( ñ I ó )Çp I p

ïÜÉêÉ= σ( ñ I ó ) =áë=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ=ÅÜ~êÖÉ=ÇÉåëáíóK= 1163. d~ìëë =i~ï= ∞

qÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=Ñäìñ qÜÉ= ÉäÉÅíêáÅ=Ñäìñ =íÜêçìÖÜ=~åó=ÅäçëÉÇ=ëìêÑ~ÅÉ =íÜêçìÖÜ=~åó=ÅäçëÉÇ=ëìêÑ~ÅÉ=áë=éêçéçêíáçå~ =áë=éêçéçêíáçå~ä=ä= íç=íÜÉ=ÅÜ~êÖÉ=n=ÉåÅäçëÉÇ=Äó=íÜÉ=ëìêÑ~ÅÉ= r r n Φ = b ⋅ Çp = I==

∫∫ p

εM

ïÜÉêÉ== Φ =áë=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑäìñI== r b =áë=íÜÉ=ã~ÖåáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=ÉäÉÅíêáÅ=ÑáÉäÇ=ëíêÉåÖíÜI= c ε M = UIUR × NM −NO =áë=éÉêãáííáîáíó=çÑ=ÑêÉÉ=ëé~ÅÉK== ã

293

Chapter 10

Differential Equations

cìåÅíáçåë=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉW=óI=éI=èI cìåÅíáçåë=çÑ=çåÉ=î~êá~ÄäÉW=óI=éI=èI=ìI=ÖI=ÜI=dI =ìI=ÖI=ÜI=dI=eI=êI=ò== =eI=êI=ò== ^êÖìãÉåíë=EáåÇÉéÉåÇÉåí=î~êá~ÄäÉëFW=ñI=ó= cìåÅíáçåë=çÑ=íïç=î~êá~ÄäÉëW= Ñ ( ñ I ó ) I= j( ñ I ó ) I= k( ñ I ó ) Çó cáêëí=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉW= cáêëí=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉW= ó ′ I= ì′ I= ó& I= I=£= Çí Ç Of pÉÅçåÇ=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉëW= pÉÅçåÇ=çêÇÉê=ÇÉêáî~íáîÉëW= ó ′′ I= &ó& I= O I=£= Çí ∂ì ∂ Oì m~êíá~ä=ÇÉêáî~íáîÉëW= I= O I=£= ∂í ∂ k~íìê~ä=åìãÄÉêW=å= m~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçåëW= óN I= ó é oÉ~ä=åìãÄÉêëW=âI=íI=Ì= `N I= ` OI=éI=èI= α I= β oççíë=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåëW= λN I= λ O qáãÉW=í= qÉãéÉê~íìêÉW=qI=p= mçéìä~íáçå=ÑìåÅíáçåW= m(í ) == j~ëë=çÑ=~å=çÄàÉÅíW=ã= píáÑÑåÉëë=çÑ=~=ëéêáåÖW=â= aáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=ÉèìáäáÄêáìãW=ó= ^ãéäáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW=^= cêÉèìÉåÅóW= ω a~ãéáåÖ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíW= γ mÜ~ëÉ=~åÖäÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíW= δ ^åÖìä~ê=Çáëéä~ÅÉãÉåíW= θ mÉåÇìäìã=äÉåÖíÜW=i=

294

CHAPTER 10. DIFFERENTIAL EQUATIONS

^ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=Öê~îáíóW=Ö= `ìêêÉåíW=f= oÉëáëí~åÅÉW=o= fåÇìÅí~åÅÉW=i= `~é~Åáí~åÅÉW=`=

10.1 First Order Ordinary Differential Equations 1164. iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=

Çó + é( ñ ) ó = è( ñ ) K== Çñ qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ì( ñ )è ( ñ )Çñ + ` ó = I== ì( ñ ) ïÜÉêÉ== ì( ñ ) = Éñé é( ñ )Çñ K=

∫

∫

1165. pÉé~ê~ÄäÉ=bèì~íáçåë=

Çó = Ñ ( ñ I ó ) = Ö( ñ )Ü( ó ) Çñ qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë=ÖáîÉå=Äó= Çó = Ö( ñ )Çñ + ` I== Ü( ó ) çê= e( ó ) = d( ñ ) + ` K=

∫

∫

295


1166. eçãçÖÉåÉçìë=bèì~íáçåë=

Çó qÜÉ ÇáÑÑÉê ÇáÑÑÉêÉåí Éåíá~ á~ä= ä= Éèì~íá Éèì~íáçå= çå= ÜçãçÖÉ ÖÉåÉ åÉçì çìëI ëI áÑ = Ñ ( ñ I ó ) áë Üçãç Çñ íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ ( ñ I ó ) áë=Ü áë=Üçã çãçÖ çÖÉå ÉåÉÉçìë çìëI=íÜ~ =íÜ~í= í=ááë= Ñ (íñ I íó ) = Ñ ( ñ I ó ) K== qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå= ò =

ó

EíÜÉå ó = òñ F=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=ëÉé~ê~ÄäÉ=

Éèì~íáçå= Çò ñ + ò = Ñ (NI ò ) K== Çñ 1167. _Éêåçìääá=bèì~íáçå=

Çó + é( ñ ) ó = è( ñ ) ó å K== Çñ qÜÉ=ëìÄëíáíìíáçå= ò = ó N−å =äÉ~Çë=íç=íÜÉ=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå== Çò + (N − å )é( ñ ) ò = (N − å )è( ñ ) K== Çñ 1168. oáÅÅ~íá=bèì~íáçå=

Çó = é( ñ ) + è( ñ ) ó + ê ( ñ ) ó O Çñ fÑ=~=é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= óN =áë=âåçïåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäì=áë=âåçïåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=Å~å=ÄÉ=çÄí~áåÉÇ=ïáíÜ=íÜÉ=ÜÉäé=çÑ=ëìÄëíáíìíáçå= N ò= I=ïÜáÅÜ=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=Ñáêëí=çêÇÉê=äáåÉ I=ïÜáÅÜ=äÉ~Çë=íç=íÜÉ=Ñáêëí=çêÇÉê=äáåÉ~ê=Éèì~íáçå== ~ê=Éèì~íáçå== ó − ó N Çò = −[è( ñ ) + O ó Nê( ñ )] ò − ê( ñ ) K== Çñ

296


1169. bñ~Åí=~åÇ=kçåÉñ~Åí=bèì~íáçåë=

qÜÉ=Éèì~íáçå== j( ñ I ó )Çñ + k( ñ I ó )Çó = M == áë=Å~ääÉÇ=Éñ~Åí áë=Å~ääÉÇ=Éñ~Åí=áÑ== =áÑ== ∂j ∂k = I== ∂ ó ∂ ñ ~åÇ=åçåÉñ~Åí ~åÇ=åçåÉñ~Åí=çíÜÉêïáëÉK= =çíÜÉêïáëÉK= qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== j( ñ I ó )Çñ + k( ñ I ó )Çó = ` K==

∫

∫

1170. o~Çáç~ÅíáîÉ=aÉÅ~ó=

Çó = −âó I== Çí ïÜÉêÉ= ó (í ) =áë=íÜÉ=~ãçìåí=çÑ=ê~Çáç~ÅíáîÉ=ÉäÉãÉåí=~í=íáãÉ=íI=â= áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=ÇÉÅ~óK== qÜÉ=ëçäìíáçå=áë== ó (í ) = ó M É −âí I=ïÜÉêÉ= ó M = ó (M ) =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=~ãçìåíK= 1171. kÉïíçå ë=i~ï=çÑ=`ççäáåÖ= ∞

Çq = −â (q − p) I== Çí =áë=íÜÉ=íÉãéÉê~íìêÉ ~íìêÉ=çÑ=~å=çÄà =çÑ=~å=çÄàÉÅí=~í ÉÅí=~í=íáãÉ=íI =íáãÉ=íI=p=áë=íÜÉ= =p=áë=íÜÉ= ïÜÉêÉ= q(í ) =áë=íÜÉ=íÉãéÉê íÉãéÉê íÉãéÉê~íì ~íìêÉ= êÉ= çÑ= íÜÉ ëìêêçì ëìêêçìåÇá åÇáåÖ= åÖ= Éåîáêç ÉåîáêçåãÉ åãÉåíI åíI â= áë=~= áë= ~= éçëá éçëáíáîÉ=Åçåëí~åíK== qÜÉ=ëçäìíáçå=áë= q(í ) = p + (qM − p) É −âí I== ïÜÉêÉ= qM = q(M) =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=íÉãéÉê~íìêÉ=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅí=~í= íáãÉ í = M K==

297


1172. mçéìä~íáçå=aóå~ãáÅë=EiçÖáëíáÅ=jçÇÉäF=

Çm m  N = âm −   I== Çí  j  ïÜÉêÉ= m(í ) áë=éçéìä~í áë=éçéìä~íáçå áçå ~í=íáãÉ íI=â=áë=~=éçëáí íI=â= áë=~=éçëáíáîÉ áîÉ Åçåëí~ Åçåëí~åíI åíI j=áë=~=äáãáíáåÖ=ëáòÉ=Ñçê=íÜÉ=éçéìä~íáçåK== qÜÉ=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçå=áë== jmM m(í ) = I=ïÜÉêÉ= mM = m(M ) =áë=íÜÉ=áåáíá~ä=éçéì=áë=íÜÉ=áåáíá~ä=éçéì− âí mM + (j − mM )É ä~íáçå ~í íáãÉ í = M K===

10.2 Second Order Ordinary Differential Equations eçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí=`çÉÑÑáÅáÉåíë== `çåëí~åí=`çÉÑÑáÅáÉåíë== 1173. eçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=

ó′′ + é ó′ + èó = M K== qÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçå=áë== λO + éλ + è = M K==

fÑ= λN ~åÇ λ O ~êÉ= ~êÉ= Çáëí Çáëíáå áåÅí Åí êÉ~ä êÉ~ä êççí êççíë= ë= çÑ íÜ íÜÉ= É= ÅÜ ÅÜ~ê ~ê~Å ~ÅíÉ íÉêá êáëí ëíáÅ áÅ Éèì~íáçåI=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ó = `NÉ λN ñ + ` OÉ λ O ñ I=ïÜÉêÉ== `N =~åÇ= ` O =~êÉ=áåíÉÖê~íáçå=Åçåëí~åíëK== == é fÑ= λN = λ O = − I=íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== O ó = (`N + ` O ñ )É

é O

− ñ

K==

fÑ= λN =~åÇ= λ O =~êÉ=ÅçãéäÉñ=åìãÄÉêëW=

298


λN = α + βá I= λ O = α − βá I=ïÜÉêÉ== Qè − é O é α = − I= β = I== O O íÜÉå=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ó = É α ñ (`N Åçë β ñ + ` O ëáå β ñ ) K== fåÜçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïáíÜ=`çåëí~åí========= íÜ=`çåëí~åí====================== ============= 1174. fåÜçãçÖÉåÉçìë=iáåÉ~ê=bèì~íáçåë=ïá `çÉÑÑáÅáÉåíë== ó′′ + é ó′ + èó = Ñ ( ñ ) K== qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë=ÖáîÉå=Äó== ó = ó é + ó Ü I=ïÜÉêÉ== óé =áë==~=é~êíáÅìä~ê==ëçäìíáçå=çÑ==íÜÉ =áë==~=é~êíáÅìä~ê==ëçäìíáçå=çÑ==íÜÉ=áåÜçãçÖÉåÉçìë=Éèì~ =áåÜçãçÖÉåÉçìë=Éèì~íáçå= íáçå= ~åÇ= ó Ü =áë=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=~ëëçÅá~íÉÇ=ÜçãçÖÉåÉ =áë=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=çÑ=íÜÉ=~ëëçÅá~íÉÇ=ÜçãçÖÉåÉ-çìë=Éèì~íáçå=EëÉÉ=íÜÉ=éêÉîáçìë=íçéáÅ=NNTPFK= fÑ=íÜÉ=êáÖÜí=ëáÇÉ=Ü~ë=íÜÉ=Ñçêã== Ñ ( ñ ) = É α ñ (mN ( ñ )Åçë β ñ + mN ( ñ )ëáå β ñ ) I== íÜÉå=íÜÉ==é~êíáÅìä~ê=ëçäìíáçå= óé =áë=ÖáîÉå =áë=ÖáîÉå=Äó= =Äó= ó é = ñ â É α ñ (oN ( ñ )Åçë β ñ + o O ( ñ )ëáå β ñ ) I==

ïÜÉêÉ=íÜÉ=éçäóåçãá~äë= oN ( ñ ) =~åÇ= o O ( ñ ) =Ü~îÉ=íç=ÄÉ=ÑçìåÇ= Äó=ìëáåÖ=íÜÉ=ãÉíÜçÇ=çÑ=ìåÇÉíÉêãáåÉÇ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíë Äó=ìëáåÖ=íÜÉ=ãÉíÜçÇ=çÑ=ìåÇÉíÉêãáåÉÇ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëK== K== • fÑ= α + βá =áë=åçí=~=êççí=çÑ=íÜÉ=ÅÜ~ê~ÅíÉêáëíáÅ=Éèì~íáçåI=íÜÉå= íÜÉ=éçïÉê= â = M I= • fÑ= α + βá =áë=~=ëáãéäÉ=êççíI=íÜÉå= â = N I= • fÑ α + βá áë ~ ÇçìÄäÉ êççíI íÜÉå â = O K== 1175. aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë=ïáíÜ=ó=jáëëáåÖ=

ó′′ = Ñ ( ñ I ó′) K== pÉí ì = ó′ K=qÜÉå=íÜÉ=åÉï=Éèì~íáçå=ë~íáëÑáÉÇ=Äó=î=áë== ì′ = Ñ ( ñ I ì ) I== ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçåK=

299


1176. aáÑÑÉêÉåíá~ä=bèì~íáçåë=ïáíÜ=ñ=jáëëáåÖ=

ó′′ = Ñ ( ó I ó′) K== pÉí ì = ó′ K=páåÅÉ== Çì Çì Çó Çì ′ ′ ó = = = ì I== Çñ Çó Çñ Çó ïÉ=Ü~îÉ= Çì ì = Ñ ( ó I ì ) I== Çó ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=É ïÜáÅÜ=áë=~=Ñáêëí=çêÇÉê=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~íáçåK== èì~íáçåK==

1177. cêÉÉ=råÇ~ãéÉÇ=sáÄê~íáçåë=

qÜÉ=ãçíáçå=çÑ=~=j~ëë=çå=~=péêáåÖ=áë qÜÉ=ãçíáçå=çÑ=~=j~ëë=çå=~=péêáåÖ=áë=ÇÉëÅêáÄ =ÇÉëÅêáÄÉÇ=Äó=íÜÉ=Éèì~ ÉÇ=Äó=íÜÉ=Éèì~-íáçå== && + âó = M I== ã ó ïÜÉêÉ== ã=áë=íÜÉ=ã~ëë=çÑ=íÜÉ=çÄàÉÅíI= â=áë=íÜÉ=ëíáÑÑåÉëë=çÑ=íÜÉ=ëéêáåÖI= ó=áë=Çáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=É ó=áë=Çáëéä~ÅÉãÉåí=çÑ=íÜÉ=ã~ëë=Ñêçã=ÉèìáäáÄêáìãK= èìáäáÄêáìãK= qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== ó = ^ Åçë(ωM í − δ ) I== ïÜÉêÉ== ^=áë=íÜÉ=~ãéäáíìÇÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíI=

ωM =áë=íÜÉ=ÑìåÇ~ãÉåí~ä=ÑêÉèìÉåÅóI=íÜÉ=éÉêáçÇ=áë= q = δ =áë=éÜ~ëÉ=~åÖäÉ=çÑ=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåíK= qÜáë=áë=~å=Éñ~ãéäÉ=çÑ=ëáãéäÉ=Ü~êãçåáÅ=ãçíáçåK== 1178. cêÉÉ=a~ãéÉÇ=sáÄê~íáçåë=

&& + γ ó & + âó = M I=ïÜÉêÉ== ã ó γ =áë=íÜÉ=Ç~ãéáåÖ=ÅçÉÑÑáÅáÉåíK== qÜÉêÉ=~êÉ=P=Å~ëÉë=Ñçê=íÜÉ=ÖÉåÉê~ qÜÉêÉ=~êÉ=P=Å~ëÉë=Ñçê=íÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçåW= ä=ëçäìíáçåW=

300

Oπ

ωM

I=


`~ëÉ NK γ O > Qâã =EçîÉêÇ~ãéÉÇF= ó (í ) = ^É λNí + _É λ Oí I== ïÜÉêÉ==

λN =

− γ − γ O − Qâã Oã

I= λ O =

− γ + γ O − Qâã Oã

K==

`~ëÉ OK γ O = Qâã EÅêáíáÅ~ääó=Ç~ãéÉÇF= ó (í ) = (^ + _í )É λí I== ïÜÉêÉ==

λ=−

γ

Oã

K=

`~ëÉ PK γ O < Qâã =EìåÇÉêÇ~ãéÉÇF== ó (í ) = É

−

γ Oã

í

^ Åçë(ωí − δ ) I=ïÜÉêÉ==

ω = Qâã − γ O K== 1179. páãéäÉ=mÉåÇìäìã=

Ç Oθ Ö + θ = M I= O Çí i ïÜÉêÉ= θ áë íÜ íÜÉ= É= ~åÖì ~åÖìä~ ä~ê= ê= Çáëé Çáëéä~ ä~ÅÉ ÅÉãÉ ãÉåí åíI=I= i= áë íÜ íÜÉ= É= éÉåÇ éÉåÇìä ìäìã ìã äÉåÖíÜI=Ö=áë=íÜÉ=~ÅÅÉäÉê~íáçå=çÑ=Öê~îáíóK= qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=Ñçê=ëã~ää=~åÖäÉë= θ =áë== Ö i θ(í ) = θã~ñ ëáå í I=íÜÉ=éÉêáçÇ=áë= q = Oπ K== i Ö 1180. oi`=`áêÅìáí=

Ç Of Çf N i O + o + f = s′(í ) = ωb M Åçë(ωí ) I= Çí Çí `

301


ïÜÉêÉ=f=áë=íÜÉ=ÅìêêÉåí=áå=~å=oi`=ÅáêÅìáí=ïáíÜ=~å=~Å=îçäí~ÖÉ= ëçìêÅÉ= s(í ) = b M ëáå(ωí ) K=== qÜÉ=ÖÉåÉê~ä=ëçäìíáçå=áë== f(í ) = `NÉ êNí + ` OÉ êOí + ^ ëáå(ωí − ϕ) I= ïÜÉêÉ== Qi − o ± oO − ` I== ê NI O = Oi ωb M ^= I== O  iωO − N  + o OωO   `   iω N  ϕ = ~êÅí~å −  I  o o`ω  `N I= ` O =~êÉ=Åçåëí~åíë=ÇÉéÉåÇáåÖ=çå=áåáíá~ä=ÅçåÇáíáçåëK=

10.3. Some Partial Differential Equations 1181. qÜÉ=i~éä~ÅÉ=bèì~íáçå=

∂ Oì ∂ Oì + O =M O ∂ ñ ∂ ó ~ééäáÉë=íç=éçíÉåíá~ä=ÉåÉêÖó=ÑìåÅíáçå= ì( ñ I ó ) ==Ñç ==Ñçê==~==Å ==~==Åç çåëÉê î~íáîÉ=ÑçêÅÉ=ÑáÉäÇ=áå=íÜÉ=ñó--éä~åÉK=m~êíá~ä=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~ î~íáîÉ=ÑçêÅÉ=ÑáÉäÇ=áå=íÜÉ=ñó éä~åÉK=m~êíá~ä=ÇáÑÑÉêÉåíá~ä=Éèì~-íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=ÉääáéíáÅ íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ= ÉääáéíáÅK== K== 1182. qÜÉ=eÉ~í=bèì~íáçå=

∂ O ì ∂ O ì ∂ì + O= O ∂ ñ ∂ ó ∂í

302


~ééäáÉ ~ééäáÉë= ë= íç= íÜÉ íÉãéÉê íÉãéÉê~íì ~íìêÉ= êÉ= Çáëíêá ÇáëíêáÄìí Äìíáçå áçå ì( ñ I ó ) = áå áå= íÜ íÜÉ= ñó ñ óéä~åÉ=ïÜÉå=ÜÉ~í=áë=~ää éä~åÉ=ïÜÉå=ÜÉ~í=áë=~ääçïÉÇ=íç=Ñäçï=Ñêçã çïÉÇ=íç=Ñäçï=Ñêçã=ï~êã=~êÉ~ë =ï~êã=~êÉ~ë=íç=Åççä= =íç=Åççä= çåÉëK=qÜÉ=Éèì~íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ=é~ê~ÄçäáÅ çåÉëK=qÜÉ=Éèì~íáçåë=çÑ=íÜáë=íóéÉ=~êÉ=Å~ääÉÇ= é~ê~ÄçäáÅK== K== 1183. qÜÉ=t~îÉ=bèì~íáçå=

∂ Oì ∂ Oì ∂ O ì + O= O O ∂ ñ ∂ ó ∂í ~ééäáÉë=íç=íÜÉ=Çáëéä~ÅÉãÉåí= ì( ñ I ó ) =çÑ=î =çÑ=îáÄ áÄêê~íáåÖ íáåÖ=ã =ãÉã ÉãÄê Äê~~åÉë= åÉë= ~åÇ= ~åÇ= çíÜÉ çíÜÉê= ê= ï~îÉ ï~îÉ ÑìåÅ ÑìåÅíá íáçå çåëK ëK qÜ qÜÉ= É= Éèì~ Éèì~íá íáçå çåë= ë= çÑ íÜ íÜáë áë íóéÉ íóéÉ ~êÉ= ~êÉ= Å~ääÉÇ=ÜóéÉêÄçäáÅ Å~ääÉÇ=ÜóéÉêÄçäáÅK== K==

303

Chapter 11

Series

11.1 Arithmetic Series fåáíá~ä=íÉêãW= ~N kíÜ=íÉêãW= ~ å aáÑÑÉêÉåÅÉ=ÄÉíïÉÉå=ëìÅÅÉëëáîÉ=íÉêãëW=Ç= kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å= pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= på 1184. ~ å

= ~ å−N + Ç = ~ å−O + OÇ = K = ~N + (å − N)Ç

1185. ~N + ~ å 1186. ~ á

=

= ~ O + ~ å−N = K = ~ á + ~ å+N−á

~ á −N + ~ á +N O

~N + ~ å O~N + (å − N)Ç 1187. på = ⋅å = ⋅å O O

304

CHAPTER 11. SERIES

11.2 Geometric Geometri c Series Ser ies fåáíá~ä=íÉêãW= ~N kíÜ=íÉêãW= ~ å `çããçå=ê~íáçW=è= kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å= pìã=çÑ=íÜÉ=Ñáêëí=å=íÉêãëW= på pìã=íç=áåÑáåáíóW=p=

1188. ~ å

= è~ å−N = ~Nè å−N

1189. ~N ⋅ ~ å 1190. ~ á

= ~ O ⋅ ~ å−N = K = ~ á ⋅ ~ å+N−á

= ~ á −N ⋅ ~ á +N

~ å è − ~N ~N (è å − N) 1191. på = = è −N è −N ~N 1192. p = äáã på = å →∞ N− è cçê è < NI=íÜÉ=ëìã=p=ÅçåîÉêÖÉë=~ë= å → ∞ K=

11.3 Some Finite Series kìãÄÉê=çÑ=íÉêãë=áå=íÜÉ=ëÉêáÉëW=å=

305

CHAPTER 11. SERIES

å(å + N) 1193. N + O + P + K + å = O 1194. O + Q + S + K + Oå = å(å + N) 1195. N + P + R + K + (Oå − N) = å O 1196. â + (â + N) + (â + O) + K + (â + å − N) =

å(Oâ + å − N) O

å(å + N)(Oå + N) 1197. N + O + P + K + å = S O

O

O

O

 å(å + N)  1198. NP + OP + PP + K + åP =   O 

O

å(Qå O − N) 1199. N + P + R + K + (Oå − N) = P O

O

O

O

P

1200. NP + PP + RP + K + (Oå − N)

= å O (Oå O − N)

N N N N 1201. N + + + + K + å + K = O O Q U O 1202.

N N N N + + +K+ +K = N N⋅ O O ⋅ P P ⋅ Q å(å + N)

N N N N 1203. N + + + + K + +K = É (å − N)> N> O> P>

306

CHAPTER 11. SERIES

11.4 Infinite Infi nite Series pÉèìÉåÅÉW= {~ å } cáêëí=íÉêãW= ~N kíÜ=íÉêãW= ~ å 1204. fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë= ∞

∑~

å

= ~N + ~ O + K + ~ å + K

å =N

1205. kíÜ=m~êíá~ä=pìã=

på =

å

∑~

å

= ~N + ~ O + K + ~ å

å =N

1206. `çåîÉêÖÉåÅÉ=çÑ=fåÑáåáíÉ=pÉêáÉë= ∞

∑~

å

= i I áÑ äáã på = i å →∞

å =N

1207. kíÜ=qÉêã=qÉëí= ∞

•

fÑ=íÜÉ=ëÉêáÉë=

∑~ å =N

•

å

áë ÅçåîÉêÖÉåíI íÜÉå äáã ~ å = M K== å →∞

fÑ äáã ~ å ≠ M I=íÜÉå=íÜÉ=ëÉêáÉë=áë=ÇáîÉêÖÉåíK= å→∞

11.5 Properties of Convergent Series ∞

`çåîÉêÖÉåí pÉêáÉëW

∑~ å =N

∞

å

= ^ I= ∑ Äå = _ å =N

oÉ~ä=åìãÄÉêW=Å=

307

CHAPTER 11. SERIES

∞

1208.

∑ (~ ∞

∑ Å~ å =N

∞

å =N

å =N

+ Äå ) = ∑ ~ å + ∑ Äå = ^ + _

å

å =N

1209.

∞

∞

å

= Å∑ ~ å = Å^ K== å =N

11.6 Convergence Tests 1210. qÜÉ=`çãé~êáëçå=qÉëí= ∞

iÉí=

∑~

∞

~åÇ

å

å =N

∑Ä

å

=ÄÉ=ëÉêá =ÄÉ=ëÉêáÉë=ë Éë=ëìÅÜ=íÜ ìÅÜ=íÜ~í= ~í= M < ~ å ≤ Äå =Ñçê=~ää=åK==

å =N

∞

•

fÑ=

∑Ä

∞

å

áë=ÅçåîÉêÖ áë=ÅçåîÉêÖÉåí=í Éåí=íÜÉå= ÜÉå=

å =N

fÑ=

∑~ å =N

å

áë=~äëç=Å áë=~äëç=ÅçåîÉê çåîÉêÖÉåíK ÖÉåíK====

å =N

∞

•

∑~

∞

å

áë=ÇáîÉê áë=ÇáîÉêÖÉåí= ÖÉåí=íÜÉå= íÜÉå=

∑Ä å =N

å

áë=~äëç=Ç áë=~äëç=ÇáîÉêÖ áîÉêÖÉåíK= ÉåíK=

1211. qÜÉ=iáãáí=`çãé~êáëçå=qÉëí= ∞

iÉí=

∑~ å =N

∞

å

~åÇ

∑Ä å =N

å

=ÄÉ=ëÉêáÉ =ÄÉ=ëÉêáÉë=ëìÅ ë=ëìÅÜ=íÜ~ Ü=íÜ~í= í= ~ å =~åÇ= Äå =~êÉ=éçëá=~êÉ=éçëá-

íáîÉ=Ñçê=~ää=åK== ∞ ∞ ~å ~êÉ= ÉáíÜ ÉáíÜÉê Éê ÄçíÜ ÄçíÜ < ∞ íÜÉå ~ å ~åÇ Äå ~êÉ= • fÑ= M < äáã å →∞ Ä å =N å =N å ÅçåîÉêÖÉåí=çê=ÄçíÜ=ÇáîÉêÖÉåíK= ∞ ∞ ~å ÅçåîÉêÖÉåí=áãéä í=áãéäáÉë=í áÉë=íÜ~í= Ü~í= ~ å áë = M =íÜÉå= Äå ÅçåîÉêÖÉå • fÑ äáã å →∞ Ä å =N å =N å ~äëç=ÅçåîÉêÖÉåíK=

∑

∑

308

∑

∑

CHAPTER 11. SERIES

~ fÑ= äáã å = ∞ íÜÉå å →∞ Ä å ~äëç=ÇáîÉêÖÉåíK=

•

1212. é-ëÉêáÉë=

∞

∑Ä å =N

∞

å

ÇáîÉêÖ ÇáîÉêÖÉåí Éåí áãéäáÉ áãéäáÉë=íÜ~í ë=íÜ~í

∑~ å =N

å

=áë =áë

∞

N é-ëÉêáÉë= ÅçåîÉêÖÉë Ñçê é > N =~åÇ=ÇáîÉêÖÉë=Ñçê= é å =N å M < é ≤ N K=

∑

1213. qÜÉ=fåíÉÖê~ä=qÉëí=

iÉí= Ñ ( ñ ) ÄÉ ~= ÑìåÅ ÑìåÅíá íáçå çå ïÜáÅ ïÜáÅÜ= Ü= áë Åçåí Åçåíáå áåìç ìçìë ìëI=I= éçëá éçëáíá íáîÉ îÉI=I= ~åÇ= ~åÇ= ÇÉÅêÉ~ëáåÖ Ñçê ~ää ≥ N K=qÜÉ=ëÉêáÉë== ∞

∑ Ñ (å) = Ñ (N) + Ñ (O) + Ñ (P) + K + Ñ (å ) + K å =N

∞

∫

ÅçåîÉêÖÉë=áÑ= Ñ ( ñ )Çñ Åçåî ÅçåîÉÉêÖÉ êÖÉëI=~ ëI=~åÇ åÇ=Ç =ÇááîÉêÖ îÉêÖÉÉë=á ë=áÑ= N

å

∫ Ñ ( ñ )Çñ → ∞ ~ë å → ∞ K= N

1214. qÜÉ=o~íáç=qÉëí= ∞

iÉí=

∑~

å

=ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉ =ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK= êãëK=

å =N

•

•

•

∞ ~ å+N fÑ äáã áë=ÅçåîÉê îÉêÖÉå ÖÉåíK= íK= < N =íÜÉå= ~ å áë=Åçå å →∞ ~ å =N å ∞ ~ å+N fÑ äáã =áë=ÇáîÉê îÉêÖÉå ÖÉåíK= íK= > N =íÜÉå= ~ å =áë=Çá å →∞ ~ å =N å ∞ ~ å+N = N =íÜÉå= ~ å =ã~ó=ÅçåîÉêÖÉ=çê=ÇáîÉêÖÉ=~åÇ= fÑ äáã å →∞ ~ å =N å íÜÉ= íÜ É= ê~íá ê~íáç= ç= íÉëí íÉëí áë áåÅçå áåÅçåÅä Åäìë ìëáî áîÉX ÉX ëçãÉ ëçãÉ çíÜÉê çíÜÉê íÉëí íÉëíë= ë= ãìëí ãìëí ÄÉ ìëÉÇK==

∑ ∑

∑

309

CHAPTER 11. SERIES

1215. qÜÉ=oççí=qÉëí= ∞

iÉí=

∑~

å

=ÄÉ=~=ëÉêáÉë=ïáíÜ=éçëáíáîÉ=íÉêãëK=

å =N

•

•

•

fÑ äáã å ~ å < N =íÜÉå= å →∞

∞

∑~

å

=áë=Åç =áë=ÅçåîÉ åîÉêÖÉ êÖÉåíK åíK

å

=áë=Çá =áë=ÇáîÉê îÉêÖÉå ÖÉåíK= íK=

å =N

fÑ äáã å ~ å > N =íÜÉå= å →∞

∞

∑~ å =N

fÑ äáã å ~ å = N =íÜÉå= å →∞

∞

∑~

å

ã~ó= ã~ó=Åç Åçåî åîÉê ÉêÖÉ ÖÉ çê ÇáîÉ ÇáîÉêÖ êÖÉI ÉI Äìí= Äìí=

å =N

åç=ÅçåÅäìëáçå=Å~å=ÄÉ=Çê~ïå=Ñêçã=íÜáë=íÉëíK=

11.7 Alternating Series 1216. qÜÉ=^äíÉêå~íáåÖ=pÉêáÉë=qÉëí=EiÉáÄåáò ë=qÜÉçêÉãF= ∞

iÉí= {~ å }=ÄÉ=~=ëÉ =ÄÉ=~=ëÉèìÉåÅ èìÉåÅÉ=çÑ= É=çÑ=éçëáí éçëáíáîÉ= áîÉ=åìãÄÉ åìãÄÉêë=ë êë=ëìÅÜ=í ìÅÜ=íÜ~í= Ü~í= ~ å+N < ~ å =Ñçê=~ää=åK= äáã ~ å = M K== å→∞

∞

qÜÉå qÜ Éå íÜ íÜÉ= É= ~äíÉ ~äíÉêå êå~í ~íáå áåÖ= Ö= ëÉêáÉ ÉêáÉë= ë=

∑ (− N) ~ å ~åÇ å =N

å

∞

å −N ( ) N ~å − ∑ å =N

ÄçíÜ=ÅçåîÉêÖÉK==== 1217. ^ÄëçäìíÉ=`çåîÉêÖÉåÅÉ= ∞

•

^= ëÉê ëÉêáÉë áÉë

∑~

å

áë ~Äë ~Äëçäì çäìíÉä íÉäó= ó= Åçå ÅçåîÉê îÉêÖÉå ÖÉåíí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë

å =N

∞

∑~

å

=áë=Åç =áë=ÅçåîÉ åîÉêÖÉ êÖÉåíK åíK====

å =N

310

CHAPTER 11. SERIES

∞

fÑ=íÜÉ=ëÉêáÉë=

•

∑~

å

áë=~ÄëçäìíÉä áë=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉê ó=ÅçåîÉêÖÉåí=íÜÉ ÖÉåí=íÜÉå=áí=áë=Åçå å=áí=áë=Åçå--

å =N

îÉêÖÉåíK= 1218. `çåÇáíáçå~ä=`çåîÉêÖÉåÅÉ= ∞

^= ëÉêá ëÉêáÉë Éë

∑~

å

áë ÅçåÇáí ÅçåÇáíáçå~ä áçå~ääó= äó= ÅçåîÉ ÅçåîÉêÖÉåí êÖÉåí áÑ íÜÉ ëÉêáÉë áë

å =N

ÅçåîÉêÖÉåí=Äìí=áë=åçí=~ÄëçäìíÉäó=ÅçåîÉêÖÉåíK=

11.8 Power Series oÉ~ä=åìãÄÉêëW=ñI= ñ M ∞

mçïÉê=ëÉêáÉëW=

∑

å

~ å ñ I=

å=M

∞

∑

~ å ( ñ − ñ M )å

å=M

tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉW=o= 1219. mçïÉê=pÉêáÉë=áå=ñ= ∞

∑

~ å ñ å = ~ M + ~ N ñ + ~ O ñ O + K + ~ å ñ å + K

å =M

1220. mçïÉê=pÉêáÉë=áå= ( ñ − ñ M ) ∞

∑

å

O

å

~ å ( ñ − ñ M ) = ~ M + ~ N ( ñ − ñ M ) + ~ O ( ñ − ñ M ) + K + ~ å ( ñ − ñ M ) + K

å =M

1221. fåíÉêî~ä=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉ===

qÜÉ=ëÉí=çÑ=íÜçëÉ=î~äìÉë=çÑ=ñ=Ñçê=ïÜáÅÜ=íÜÉ=ÑìåÅíáçå= Ñ ( ñ ) =

∞

∑

å

~ å ( ñ − ñ M ) áë ÅçåîÉêÖÉåí áë Å~ääÉÇ íÜÉ áåíÉêî~ä=çÑ=

å =M

ÅçåîÉêÖÉåÅÉK=K= ÅçåîÉêÖÉåÅÉ

311

CHAPTER 11. SERIES

1222. o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉ=

fÑ=íÜÉ=áåíÉêî~ä=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉ=áë== ( ñ M − oI ñ M + o ) ==Ñçê==ëçãÉ= I=íÜÉ=o=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉK==fí=áë=ÖáîÉå= K==fí=áë=ÖáîÉå= o ≥ M I=íÜÉ=o=áë=Å~ääÉÇ==íÜÉ=ê~Çáìë=çÑ=ÅçåîÉêÖÉåÅÉ ~ë= N ~å =çê= o = äáã K== o = äáã å →∞ å ~ å →∞ ~ å +N å

11.9 Differentiation and Integration of Power Series `çåíáåìçìë=ÑìåÅíáçåW= Ñ ( ñ ) ∞

mçïÉê=ëÉêáÉëW=

∑ ~ ñ

å

å

å=M

tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= o~Çáìë=çÑ=`çåîÉêÖÉåÅÉW=o= 1223. aáÑÑÉêÉåíá~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë=

iÉí= Ñ ( ñ ) =

∞

∑

~ å ñ å = ~ M + ~N ñ + ~ O ñ O + K Ñçê ñ < o K==

å=M

qÜÉåI Ñçê ñ < o I= Ñ ( ñ ) =áë=ÅçåíáåìçìëI=íÜÉ=ÇÉêáî~íáîÉ= Ñ ′( ñ ) Éñáëíë=~åÇ= Ç Ç Ç ′ Ñ ( ñ ) = ~ M + ~N ñ + ~ O ñ O + K Çñ Çñ Çñ ∞

= ~N + O~ O ñ + P~ P ñ + K = ∑ å~ å ñ å−N K= O

å =N

312

CHAPTER 11. SERIES

1224. fåíÉÖê~íáçå=çÑ=mçïÉê=pÉêáÉë=

iÉí= Ñ ( ñ ) =

∞

∑ ~ ñ = ~ å

å

M

+ ~N ñ + ~ O ñ O + K Ñçê ñ < o K==

å=M

∫

qÜÉåI Ñçê ñ < o I=íÜÉ=áåÇÉÑáåáíÉ=áåíÉÖê~ä= Ñ ( ñ )Çñ Éñáëíë ~åÇ

∫

∫

∫

∫

Ñ ( ñ )Çñ = ~ M Çñ + ~N ñÇñ + ~ O ñ OÇñ + K ∞ ñ O ñ P ñ å+N = ~ M ñ + ~N + ~ O + K = ~ å + ` K= O P å +N å =M

∑

11.10 Taylor and Maclaurin Series tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= aáÑÑÉêÉåíá~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ ( ñ ) oÉã~áåÇÉê=íÉêãW= o å 1225. q~óäçê=pÉêáÉë=

Ñ ( ñ ) =

∞

∑ Ñ ( ) (~ ) å

Ñ ′′(~ )( ñ − ~ ) = Ñ (~ ) + Ñ ′(~ )( ñ − ~ ) + +K O>

( ñ − ~ )å

å =M

O

å>

Ñ (å ) (~ )( ñ − ~ ) + + o å K== å> å

1226. qÜÉ=oÉã~áåÇÉê=^ÑíÉê=åHN=qÉêãë=áë=ÖáîÉå=Äó==

Ñ (å +N) (ξ )( ñ − ~ )å +N I ~ < ξ < ñ K= oå = (å + N)> 1227. j~Åä~ìêáå=pÉêáÉë=

313

CHAPTER 11. SERIES

ñ å Ñ ′′(M ) ñ O Ñ (å ) (M ) ñ å Ñ ( ñ ) = Ñ (M ) = Ñ (M ) + Ñ ′(M ) ñ + +K+ + oå å> O> å> å =M ∞

∑

(å )

11.11 Power Series Expansions for Some Functions tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å= oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ=

O P å ñ ñ ñ 1228. É ñ = N + ñ + + +K+ +K O> P> å>

( ñ äå ~ )å ñ äå ~ ( ñ äå ~ )O ( ñ äå ~ )P 1229. ~ = N + + + +K+ +K N> O> P> å> ñ

(− N)å ñ å+N ñ O ñ P ñ Q 1230. äå(N + ñ ) = ñ − + − +K+ ± K I= − N < ≤ N K= O P Q å +N  N + ñ  ñ P ñ R ñ T  1231. äå = O ñ + + + + K I= ñ < N K= N − ñ  P R T   ñ − N N  ñ − N P N  ñ − N R  1232. äå ñ = O +   +   K I > M K=  ñ + N P  ñ + N  R  ñ + N   å

(− N) ñ Oå ñ O ñ Q ñ S 1233. Åçë ñ = N − + − +K+ ±K (Oå)> O> Q> S>

314

CHAPTER 11. SERIES

(− N) ñ Oå+N ñ P ñ R ñ T 1234. ëáå ñ = ñ − + − +K+ ±K (Oå + N)> P> R> T> å

ñ P O ñ R NT ñ T SO ñ V π 1235. í~å ñ = ñ + + + + + K I= ñ < K= P NR PNR OUPR O

 N  ñ ñ P O ñ R O ñ T  1236. Åçí ñ = −  + + + + K I= ñ< π K ñ  P QR VQR QTOR  ñ P N ⋅ P ñ R N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N) ñ Oå +N 1237. ~êÅëáå ñ = ñ + + +K+ + K I= O⋅P O⋅Q ⋅R O ⋅ Q ⋅ S K (Oå )(Oå + N) ñ < N K=

 N ⋅ P ⋅ RK (Oå − N) ñ Oå+N π  ñ P N ⋅ P ñ R 1238. ~êÅÅçë ñ = −  ñ + + +K+ + KI O  O ⋅ P O ⋅ Q ⋅ R O ⋅ Q ⋅ SK (Oå )(Oå + N)  ñ < N K=

(− N)å ñ Oå+N ñ P ñ R ñ T 1239. ~êÅí~å ñ = ñ − + − +K+ ± K I= ñ ≤ N K= P R T Oå + N ñ O ñ Q ñ S ñ Oå 1240. ÅçëÜ ñ = N + + + +K+ +K (Oå )> O> Q> S> ñ P ñ R ñ T ñ Oå +N 1241. ëáåÜ ñ = ñ + + + +K+ +K (Oå + N)> P> R> T>

315

CHAPTER 11. SERIES

11.12 Binomial Bi nomial Series tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã= oÉ~ä=åìãÄÉêW=ñ= `çãÄáå~íáçåëW= å ` ã

å

1242. (N + ñ )

= N + å`N ñ + å` O ñ O + K + ã` å ñ ã + K + ñ å

å(å − N)K[å − (ã − N)] I= ñ < N K= 1243. ` ã = ã> å

1244.

1245.

N N+ N N−

= N − ñ + ñ O − ñ P + K I= ñ < N K= = N + ñ + ñ O + ñ P + K I= ñ < N K=

ñ ñ O N⋅ P ñ P N⋅ P ⋅ R ñ Q 1246. N + ñ = N + − + − + K I= ñ ≤ N K= O O⋅Q O⋅Q ⋅S O⋅Q ⋅S⋅U O P Q ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ñ N O ñ N O R ñ N O R U ñ 1247. P N + ñ = N + − + − + K I= ñ ≤ N K= P P⋅S P⋅S⋅V P ⋅ S ⋅ V ⋅ NO

11.13 Fourier Series fåíÉÖê~ÄäÉ=ÑìåÅíáçåW= Ñ ( ñ ) cçìêáÉê=ÅçÉÑÑáÅáÉåíëW= ~ M I= ~ å I= Äå tÜçäÉ=åìãÄÉêW=å==

316

CHAPTER 11. SERIES

~M ∞ 1248. Ñ ( ñ ) = + (~ å Åçë åñ + Äå ëáå åñ ) O å=N

∑

1249. ~ å

=

N

π

Ñ ( ñ )Åçë åñ Çñ == ∫ π −π

1250. Äå

=

N

π

Ñ ( ñ )ëáå åñ Çñ == ∫ π −π

317

Chapter 12

Probability

12.1 Permutations and Combinations å

mÉêãìí~íáçåëW= mã å

`çãÄáå~íáçåëW= ` ã tÜçäÉ=åìãÄÉêëW=åI=ã=

1251. c~Åíçêá~ä=

å> = N ⋅ O ⋅ PK(å − O)(å − N)å M> = N

1252. å må = å> 1253. å mã =

å>

(å − ã )>

1254. _áåçãá~ä=`çÉÑÑáÅáÉåí= å

 å  å> ` ã =   =  ã  ã> (å − ã )>

1255. å ` ã = å ` å −ã 1256. å ` ã + å ` ã +N = å +N ` ã +N

318

CHAPTER 12. PROBABILITY

1257. å ` M + å `N + å ` O + K + å ` å

= Oå

1258. m~ëÅ~ä ë=qêá~åÖäÉ= ∞

oçï M oçï N oçï O oçï P oçï Q oçï R oçï S

N N N N N

Q R

S

O P

N N

N N P S

NM NR

N Q

NM OM

R NR

12.2 Probability Formulas bîÉåíëW=Î=_= mêçÄ~ÄáäáíóW=m= o~åÇçã=î~êá~ÄäÉëW=uI=vI=w= s~äìÉë=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëW=ñI=óI=ò= bñéÉÅíÉÇ=î~äìÉ=çÑ=uW= µ ^åó=éçëáíáîÉ=êÉ~ä=åìãÄÉêW= ε == pí~åÇ~êÇ=ÇÉîá~íáçåW= σ s~êá~åÅÉW= σ O aÉåëáíó=ÑìåÅíáçåëW= Ñ ( ñ ) I= Ñ (í )

1259. mêçÄ~Äáäáíó=çÑ=~å=bîÉåí=

m(^ ) =

ã I== å

ïÜÉêÉ== ã=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=éçëáíáîÉ=çìíÅçãÉëI== å=áë=íÜÉ=íçí~ä=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=çìíÅçãÉëK=

319

N N S

N


1260. o~åÖÉ=çÑ=mêçÄ~Äáäáíó=s~äìÉë=

M ≤ m(^ ) ≤ N

1261. `Éêí~áå=bîÉåí=

m(^ ) = N

1262. fãéçëëáÄäÉ=bîÉåí=

m(^ ) = M

1263. `çãéäÉãÉåí=

m(^ ) = N − m(^ )

1264. fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë=

m(^ L _ ) = m(^ ) I== m(_ L ^ ) = m(_ )

1265. ^ÇÇáíáçå=oìäÉ=Ñçê=fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë=

m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ )

1266. jìäíáéäáÅ~íáçå=oìäÉ=Ñçê=fåÇÉéÉåÇÉåí=bîÉåíë=

m(^ ∩ _ ) = m(^ ) ⋅ m(_ )

1267. dÉåÉê~ä=^ÇÇáíáçå=oìäÉ=

m(^ ∪ _ ) = m(^ ) + m(_ ) − m (^ ∩ _ ) I== ïÜÉêÉ== ^ ∪ _ =áë=íÜÉ=ìåáçå=çÑ=ÉîÉåíë=^=~åÇ=_I== ^ ∩ _ =áë=íÜÉ=áåíÉêëÉÅíáçå=çÑ=ÉîÉåíë=^=~åÇ=_K=

1268. `çåÇáíáçå~ä=mêçÄ~Äáäáíó=

m(^ L _ ) =

m(^ ∩ _ ) m(_ )

1269. m(^ ∩ _ ) = m(_ ) ⋅ m(^ L _ ) = m(^ )⋅ m (_ L ^ )

320


1270. i~ï=çÑ=qçí~ä=mêçÄ~Äáäáíó=

m(^ ) =

ã

∑ m(_ )m(^ L _ ) I== á

á

á =N

ïÜÉêÉ= _ á =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíëK== 1271. _~óÉë =qÜÉçêÉã= ∞

m(^ L _ ) ⋅ m(_ ) m(_ L ^ ) = m(^ )

1272. _~óÉë =cçêãìä~= ∞

m(_ á L ^ ) =

m(_ á ) ⋅ m(^ L _ á )

ã

∑ m(_ ) ⋅ m(^ L _ ) á

â =N

I

á

ïÜÉêÉ== _ á =áë=~=ëÉí=çÑ=ãìíì~ääó=ÉñÅäìëáîÉ=ÉîÉåíë=EÜóéçíÜÉëÉëFI= ^ =áë=íÜÉ=Ñ =áë=íÜÉ=Ñáå~ä áå~ä=ÉîÉ =ÉîÉåíI== åíI== m(_ á ) =~êÉ =~êÉ=í =íÜÉ ÜÉ=é =éêá êáçê çê=é =éêç êçÄ~ Ä~Äá Äáäá äáíá íáÉë ÉëI=I= m(_ á L ^ ) =~êÉ=íÜÉ=éçëíÉêáçê=éêçÄ~ÄáäáíáÉëK= 1273. i~ï=çÑ=i~êÖÉ=kìãÄÉêë=

 på  m − µ ≥ ε  → M =~ë= å → ∞ I  å   p  m å − µ < ε  → N =~ë= å → ∞ I  å  ïÜÉêÉ== på =áë=íÜÉ=ëìã=çÑ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉëI= å =áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëëáÄäÉ=çìíÅçãÉëK= 1274. `ÜÉÄóëÜÉî=fåÉèì~äáíó=

m( u − µ ≥ ε ) ≤

s(u )

ε

O

I==

ïÜÉêÉ= s(u ) =áë= =áë=íÜ íÜÉ= É=î~ î~êá êá~å ~åÅÉ ÅÉ=ç =çÑ= Ñ=uK uK

321


1275. kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå= ( ñ −µ ) O − O É Oσ

N I== σ Oπ ïÜÉêÉ=ñ=áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉK=

ϕ( ñ ) =

1276. pí~åÇ~êÇ=kçêã~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå= òO O

N É Oπ ^îÉê~ÖÉ î~äìÉ µ = M I ÇÉîá~íáçå σ = N K= −

ϕ(ò ) =

Figure 210.

1277. pí~åÇ~êÇ=w=s~äìÉ=

w=

u−µ

σ

1278. `ìãìä~íáîÉ=kçêã~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå= ñ

c( ñ ) =

( í −µ ) O − O É Oσ Çí I==

N σ Oπ −∞

∫

322


ïÜÉêÉ== ñ=áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI== í =áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK= =áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK=

 α − µ  − c β − µ  I=    σ σ    

1279. m(α < u < β ) = c

ïÜÉêÉ= u=áë=åçêã~ääó=ÇáëíêáÄìíÉÇ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI= c=áë=Åìãìä~íáîÉ=åçêã~ä=ÇáëíêáÄìíáçå=ÑìåÅíáçåI== m(α < u < β ) áë áåíÉêî~ä éêçÄ~ÄáäáíóK 1280. m( u − µ

ε  < ε ) = Oc  I  σ 

ïÜÉêÉ== u=áë=åçêã~ääó=ÇáëíêáÄìíÉÇ=ê~åÇçã=î~êá~ÄäÉI= c=áë=Åìãìä~íáîÉ=åçêã~ä=ÇáëíêáÄìíáçå=ÑìåÅíáçåK= 1281. `ìãìä~íáîÉ=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå= ñ

∫

c( ñ ) = m(u < ñ ) = Ñ (í )Çí I −∞

ïÜÉêÉ=í=áë=~=î~êá~ÄäÉ=çÑ=áåíÉÖê~íáçåK= 1282. _Éêåçìääá=qêá~äë=mêçÅÉëë=

µ = åé I σ O = åéè I== ïÜÉêÉ== å =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ÉñéÉêáãÉ =áë=~=ëÉèìÉåÅÉ=çÑ=ÉñéÉêáãÉåíëI== åíëI== é =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëë=çÑ=É =áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëë=çÑ=É~ÅÜ=ÉñéÉêáãÉåíë ~ÅÜ=ÉñéÉêáãÉåíëI=I= è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K= 1283. _áåçãá~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=======

 å  â å−â Ä(åI éI è ) =   é è I==  â 

323


µ = åé I σO = åéè I= ñ å Ñ ( ñ ) = (è + éÉ ) I== ïÜÉêÉ== å=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=íêá~äë=çÑ=ëÉäÉÅíáçåëI= é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=çÑ=ëìÅÅÉëëI= è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K= 1284. dÉçãÉíêáÅ=aáëíêáÄìíáçå=

m(q = à) = è à−Né I== N è µ = I= σO = O I== é é ïÜÉêÉ== q=áë=íÜÉ=Ñáêëí=ëìÅÅÉëëÑìä=ÉîÉåí=áë q=áë=íÜÉ=Ñáêëí=ëìÅÅÉëëÑìä=ÉîÉåí=áë=íÜÉ=ëÉêáÉëI =íÜÉ=ëÉêáÉëI à=áë=íÜÉ=ÉîÉåí=åìãÄÉêI= é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=íÜ~í=~åó=çåÉ=É é=áë=íÜÉ=éêçÄ~Äáäáíó=íÜ~í=~åó=çåÉ=ÉîÉåí=áë=ëìÅÅÉëëÑìäI= îÉåí=áë=ëìÅÅÉëëÑìäI= è áë íÜÉ éêçÄ~Äáäáíó çÑ Ñ~áäìêÉI è = N − é K= 1285. mçáëëçå=aáëíêáÄìíáçå=

m(u = â ) ≈

λâ â >

É −λ I λ = åé I==

µ = λ I= σO = λ I== ïÜÉêÉ== λ =áë=íÜÉ=ê~íÉ=çÑ=çÅÅìêêÉåÅÉI= â=áë=íÜÉ=åìãÄÉê=çÑ=éçëáíáîÉ=çìíÅçãÉëK= 1286. aÉåëáíó=cìåÅíáçå== Ä

∫

m(~ ≤ u ≤ Ä) = Ñ ( ñ )Çñ == ~

1287. `çåíáåìçìë=råáÑçêã=aÉåëáíó=

Ñ =

N

−~

I= µ =

~+Ä I== O

324


ïÜÉêÉ=Ñ=áë=íÜÉ=ÇÉåëáíó=ÑìåÅíáçåK= 1288. bñéçåÉåíá~ä=aÉåëáíó=cìåÅíáçå=

Ñ (í ) = λÉ −λí I= µ = λ I= σ O = λO ïÜÉêÉ=í=áë=íáãÉI= λ =áë=íÜÉ=Ñ~áäìêÉ=ê~íÉK= 1289. bñéçåÉåíá~ä=aáëíêáÄìíáçå=cìåÅíáçå=

c(í ) = N − É −λí I== ïÜÉêÉ=í=áë=íáãÉI= λ =áë=íÜÉ=Ñ~áäìêÉ=ê~íÉK= 1290. bñéÉÅíÉÇ=s~äìÉ=çÑ=aáëÅêÉíÉ=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë= å

µ = b(u ) = ∑ ñ á éá I á =N

ïÜÉêÉ= ñá =áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI=é á =áë=áíë=éêçÄ~ÄáäáíóK= 1291. bñéÉÅíÉÇ=s~äìÉ=çÑ=`çåíáåìçìë=o~åÇçã=s~ bñéÉÅíÉÇ=s~äìÉ=çÑ=`çåíáåìçìë=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë= êá~ÄäÉë= ∞

µ = b(u ) = ∫ ñÑ ( ñ )Çñ == −∞

1292. mêçéÉêíáÉë=çÑ=bñéÉÅí~íáçåë=

b(u + v ) = b(u ) + b(v ) I== b(u − v ) = b(u ) − b(v ) I= b(Åu ) = Åb(u ) I== b(uv ) = b(u ) ⋅ b (v ) I== ïÜÉêÉ=Å=áë=~=Åçåëí~åíK=

1293. b(u O ) = s(u ) + µ O I==

ïÜÉêÉ== µ = b(u ) =áë=íÜÉ=ÉñéÉÅíÉÇ=î~äìÉI=== s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉK=

325


1294. j~êâçî=fåÉèì~äáíó=

b(u ) m(u > â ) ≤ I== â ïÜÉêÉ=â=áë=ëçãÉ=Åçåëí~åíK= 1295. s~êá~åÅÉ=çÑ=aáëÅêÉíÉ=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë= å

σ = s(u ) = b[(u − µ ) ] = ∑ ( ñ á − µ )O éá I O

O

á =N

ïÜÉêÉ== ñá =áë=~=é~êíáÅìä~ê=çìíÅçãÉI= é á =áë=áíë=éêçÄ~ÄáäáíóK= 1296. s~êá~åÅÉ=çÑ=`çåíáåìçìë=o~åÇçã=s~êá~ÄäÉë= ∞

σO = s(u ) = b[(u − µ )O ] = ∫ ( ñ − µ )O Ñ ( ñ )Çñ == −∞

1297. mêçéÉêíáÉë=çÑ=s~êá~åÅÉ=

s(u + v ) = s(u ) + s(v ) I== s(u − v ) = s (u ) + s (v ) I= s(u + Å ) = s (u ) I= s(Åu ) = Å O s(u ) I= ïÜÉêÉ=Å=áë=~=Åçåëí~åíK=

1298. pí~åÇ~êÇ=aÉîá~íáçå=

[

a(u ) = s(u ) = b (u − µ )O

]

1299. `çî~êá~åÅÉ=

Åçî(uI v ) = b[(u − µ(u ))(v − µ(v ))] = b(uv ) − µ(u )µ(v )I== ïÜÉêÉ== u =áë=ê~åÇç =áë=ê~åÇçã=î~ê ã=î~êá~Ää á~ÄäÉI== ÉI== s(u ) =áë= =áë=íÜ íÜÉ= É=î~ î~êá êá~å ~åÅÉ ÅÉ=ç =çÑ= Ñ=uI uI==== µ =áë=íÜÉ=ÉñéÉÅíÉÇ=î~äìÉ=çÑ=u=çê=vK=

326


1300. `çêêÉä~íáçå=

ρ(uI v ) =

Åçî (uI v ) I== s(u)s(v )

ïÜÉêÉ== s(u ) =áë=íÜÉ=î~êá~åÅÉ=çÑ=uI== s(v ) =áë= =áë=íÜ íÜÉ= É=î~ î~êá êá~å ~åÅÉ ÅÉ=ç =çÑ= Ñ=vK vK

327

iççâ=Ñçê=çíÜÉê=Ü~åÇÄççâë=~åÇ=ëçäîÉÇ=éêçÄäÉã=ÖìáÇÉë=~í= ïïïKã~íÜ-ÉÄççâëKÅçã ÉÄççâëKÅçãK=K=

1300 MathS Formulas

Recommend Documents