11.2. Problemas resueltos. PROBLEMA 1 Calcular la fuerza activa total que el terreno ejerce sobre el muro de hormigón en masa mostrado en la figura, utilizando: a) Teoría oría de Rank Rankin inee b) Teoría Teoría de Coulomb
γ= φ=
!"# $%&m' '(
c* (
Figura 11.1. Características del muro" Solución a) Según la eor!a eor!a "e Ran#ine +a fuerza total que el terreno ejerce sobre el muro est com-uesta -or la fuerza activa . P a) sobre un -lano vertical imaginario imaginario / -or el -eso del bloque bloque triangular sobrante" sobrante" +a fuerza activa -or metro de longitud de muro es: P a
=
0
. γ ). K a ). H )
0
1 -artir de la ecuación 23# del ane4o 2, se calcula el coeficiente de -resión lateral K a -ara una inclinación del terreno de # / ngulo de fricción interna de '(" K a * (,'5'
6e obtiene: .&0).!,#).(,'5').7,!8) 0 * 9(,# $%&m P a * .&0).!,#).(,'5').7,!8) l vector P a tiene una inclinación de # -aralelo a la su-erficie del terreno" n notación vectorial, utilizando los vectores unitarios i, -ara el eje horizontal, $, -ara el eje vertical, se obtiene: #!"7! i – #"99 #"99 $ P a * – #!"7! 1 continuación el -eso del bloque triangular de suelo -or metro de longitud ser igual a su rea multi-licada -or el -eso unitario" W * .,755).!,#) * 05,'0 $%&m
W * * – 05,'0 05,'0 $
+a suma de los vectores P a / W es: es: R * – #!,7! #!,7! i ; .#,99 < 05,'0) $
#!,7! i ; 70,8! $ R * – #!,7! =inalmente la magnitud de la fuerza resultante sobre el muro / su inclinación son: R * 50,#5 k%&m
%&'%(
.res-ecto a un eje horizontal)
b) Según la eor!a "e oulomb +a fuerza activa -or metro de longitud de muro es: P a
=
0
. γ ). K a ). H
0)
1 -artir de la ecuación 238 del ane4o 2, se calcula el coeficiente de -resión lateral $a -ara una inclinación del terreno de #, ngulo de fricción interna de '( / ngulo de fricción del muro estimado en 0( .≈(,95 ϕ)" K a * (,7!(7
6e obtiene: P a *
.&0).!,#).(,7!(7).7) .&0).!,#).(,7!(7).7) 0 * 5,( $%&m
>or lo tanto la magnitud de la fuerza resultante sobre el muro / su inclinación son: R *
+1', #-m %,',(
.res-ecto a un eje horizontal)
PROBLEMA 2 Calcular la fuerza total horizontal sobre el muro de hormigón mostrado en la figura" ?tilice el m@todo de Rankine"
γ = 8 $%&m' φ = '#
c = (
γ = 0("# $%&m' φ = '#
c = (
Figura 11.2. Aimesiones del muro" Solución σvB $>aD
'!"(
7!"5
Κa E σvB $>aD
u $>aD
"05
7"7#
8"!
Figura 11.%. >resiones actuante sobre el muro" +a fuerza horizontal sobre el muro est com-uesta -or la -resión del terreno / la -resión hidrosttica" +a -resión del terreno -uede ser calculada mediante el -erfil de esfuerzo efectivo sobre la -ared vertical del muro" 1 -artir de la ecuación 23# del ane4o 2, se calcula el coeficiente de -resión lateral del terreno como: K a * (,0895
+a resultante de la -resión del terreno -or unidad de longitud es igual al rea del -erfil de K a.σF′)" sta fuerza tiene una inclinación de # al igual que el terreno, entonces la fuerza horizontal del terreno ser: P a *
.(,#).,05).0) .(,#).,05).0) < .(,#).,05 .(,#).,05 < 7,7#).)
P a * 07,' $%&m
1 continuación: P ah * 0',' $%&m
+a -resión hidrosttica -roduce una fuerza horizontal igual a: P G0H * .(,#).8,!).) P G0H * 7,8 $%&m
=inalmente la fuerza total horizontal sobre el muro es: P * P ah < P G0H P *
2/'2 #-m
PROBLEMA % Calcular la -resión activa de Coulomb mediante la solución grfica -ara el muro de hormigón mostrado en la figura" l ngulo de fricción interna del relleno granular es de '# / la fricción en el muro de 0#"
γ = 5 $%&m'
c = ( φ = '# 1ngulo de fricción interna δ = 0# 1ngulo de fricción del muro
Figura 11.0. Aimisiones del muro / características del suelo" Solución +a solución del -roblema fue llevada a cabo segIn en m@todo de Cullmann, -ara lo cual se tiene que: φ * ( J δ * 0#
ψ * 8( ; ( ; 0# * ##
l relleno tras el muro fue dividido en bloques limitados -or su-erficies imaginarias de falla" l -eso de los mismos, se resume a continuación"
Bloue
rea' m2
1KC 1KC0 1KC' 1KC7 1KC#
#,77(! 8,87(! 7,77(! !,87(! 0',77(!
Peso unitario 3-m% 5 5 5 5 5
C
C0
C'
Peso' 380,# 98,( 07#,# '00,( '8!,#
C7
C#
1 7((
'((
0((
((
K
Figura 11.4. Aeterminación de la su-erficie crítica" =inalmente se obtiene que la fuerza activa -or unidad de longitud de muro que ser: P a *
51'4 #-
PROBLEMA 0 6e -ide dibujar la distribución de -resión lateral activa sobre el muro vertical mostrado en la =igura "9" +a masa de suelo tras el muro est conformada -or cuatro estratos / adems so-orta una carga distribuida -or unidad de rea en la su-erficie" l nivel de agua se encuentra a 0 m -or debajo de la su-erficie" q * !( $>a c*( φ * '( γ * 5 $%&m'
A
c * 5( $>a φ * ( γ * 8 $%&m'
B
c * '( $>a φ * ! γ * 8 $%&m'
C
c * 7( $>a φ * ( γ * ! $%&m'
D
Figura 11.&. Características de los estratos de suelo / el muro" Solución +a masa de suelo tras el muro est conformada -or cuatro estratos de suelo 1, K, C / A" 1 continuación se calculan los coeficientes de -resión lateral -ara cada uno de ellos" 6uelo 1: K a * tg0.7# – φ&0) * tg0.7# ; '(&0) * (,''''
6uelo K: K a * tg0.7# ; () *
6uelo C: K a * tg0.7# ; !&0) * (,#05!
6uelo A: K a *
6e sabe adems que el esfuerzo lateral varia segIn la siguiente ecuación: σ H = K a σ v − 0 K a c >ara determinar la -resión lateral, el esfuerzo efectivo vertical debe ser determinado -reviamente" +a siguiente tabla -resenta los resultados obtenidos de esfuerzo efectivo vertical, esfuerzo efectivo
horizontal .-resión lateral) / -resión hidrosttica -ara los límites su-erior e inferior de cada estrato / la figura ilustra su variación con la -rofundidad" 6uelo
K a
K a
1
(,''''
(,#55'
K
,(
,(
C
(,#05!
(,5097
A
,(
,(
73Pa8
6
!(,( 7,( 7,( 0',8 0',8 #(,59 #(,59 95,7
9
73Pa8
09,9 '!,( – 09,( – 9,! 0,7' '#,8! 5(,59 !5,7
: 73Pa8 ( ( ( 8,! 8,! '8,07 '8,07 #!,!9
A
B
C
D
sfuerzo efectivo vertical
sfuerzo efectivo horizontal
Figura 11.+. Aiagrama de -resiones actuantes en el muro"
>resión hidrosttica
PROBLEMA 4 Ferificar la estabilidad del muro de contención mostrado en la figura contra el volteo, deslizamiento / ca-acidad -ortante"
γ c * 07 $%&m'
γ * 5"# $%&m' φ * '7
+ínea de e4cavación
c*(
γ * 8 $%&m' φ * ! c * 7# $>a
Figura 11./. Características del muro / -armetros del suelo" Solución
0
1 2 %
)
Figura 11.5. 6istema dividido en fragmentos" >ara este efecto se utilizar la teoría de Rankine" l coeficiente de -resión lateral del terreno -ara un ngulo de fricción interna de '7 es igual a: K a * (,0!05
+a fuerza activa de Rankine sobre el -lano vertical mostrado en la figura es igual a: P a *
.&0).5,#).(,0!05).#) 0 * 9,!7 $%&m
Aebido a que la distribución de -resiones es triangular, la fuerza se encuentra a-licada a una altura de "99m -or encima del nivel de la base de la fundación"
Factor "e seguri"a" contra el ;olteo l factor de seguridad contra el volteo se define como la relación de los momentos resistentes / los momentos actuantes que inducen el vuelco" +a siguiente tabla resume el -roceso de clculo de momentos resistentes con res-ecto al -unto de rotación C"
Bloue
Area' m2
Peso' 3-
Bra6o' m
0 ' 7
,'# (,7# ,#( 8,(( ΣF
'0,7 (,! '9,( #5,# 0'9,5
(,!# (,9'' ,#( 0,(( ΣLr
Momento' 3-
l momento actuante que -roduciría el vuelco es: M v * .9,!7).,999) * (0,9# $%Em
ntonces el factor de seguridad contra el volteo es: FS V
=
7(','! (0,9#
= ',8 M 0 =eri>ica"o?
Factor "e seguri"a" contra el "esli6amiento l factor de seguridad contra el deslizamiento se define como la relación entre las fuerzas horizontales resistentes / las fuerzas horizontales que tienden a des-lazar al muro" +a fuerza resultante resistente est com-uesta -or la fricción entre la base de la fundación / el suelo / -or la fuerza -asiva que se desarrolla en la -untera" +a fricción en la base de la fundación .=r) es estimada asumiendo un ngulo igual a 0&' ϕ / una adherencia .cohesión desarrollada entre el muro / el suelo) igual a 0&' c en todo el ancho de la fundación"
∑V ) tan 0' φ + . B) 0' c
Fr = .
Fr = . 0'9,5) tan.0 ) + .').'()
= 7(,'
%$+a fuerza -asiva en la -untera es determinada a -artir del coeficiente de -resión lateral: Kp * tan0 .7# < !&0 ) * ,!8 0 P K p γ H + 0 c K p H p = 0
P p
=
0
.,!8).8).,#) 0
+ . 0). 7#)(
)
,!8 .,#)
+a Inica fuerza que tiende a des-lazar al muro es la activa:
= 00#,8 KN
P a * 9,!7
%$ntonces el factor de seguridad contra el deslizamiento es: FS d
=
7(,' + 00#,8 9,!7
= #,8 M ,# =eri>ica"o?
Factor "e seguri"a" contra la >alla @or ca@aci"a" @ortante l factor de seguridad contra la falla -or ca-acidad -ortante se define como la relación de la ca-acidad Iltima de a-o/o / la -resión m4ima de contacto desarrollada en la base de la fundación" Nnicialmente debe verificarse que la resultante de fuerzas que actIan sobre el muro -ase -or un -unto dentro del nIcleo central de la fundación, esto -ara asegurar que el suelo -or debajo de misma est@ siendo sometido a com-resión" Ae la ecuación A3! del ane4o A se obtiene lo siguiente: e
=
B
e
=
' 0
0
−
∑ M − ∑ M ∑V
−
7(','! − (0 ,9# 0'9 ,5
r
v
= (,008 m
K&9 * (,#
Aebido a que la e4centricidad no es ma/or a un se4to del ancho de la fundación, queda verificada la -osición de la resultante dentro del nIcleo central" 1 continuación se -rocede a estimar los valores de -resión tanto en la -untera .m4imo) como en el talón .mínimo)" q puntera ,talón
=
∑ V ± .9).e) = 0'9,5 ± .9).(,008) B
B
'
'
q -untera * #,( $>a qtalón * 70,59 $>a +a ca-acidad Iltima de a-o/o -uede ser calculada a -artir de la ecuación general de ca-acidad -ortante .referirse al ca-ítulo res-ectivo)" >ara un ngulo de fricción de ϕ * !, los factores de ca-acidad -ortante son: N c * ',( N q * #,09 N γ * 7,(5
Considerando una longitud grande de muro en com-aración a su ancho, los factores de forma son iguales a " +os factores de -rofundidad -ara la condición A f & K O son:
D f
= + (,7 ,# = ,0
F cd
= + (, 7
F qd
= + 0 .tan φ )( − sin φ ) 0
F γ d
=
B
'
D f B
= + 0.tan(! ) )( − sin (! ) ) 0
,# '
l ngulo . β) de inclinación de la fuerza resultante es igual a: β = tan −
= V
Pa
∑
9,!7 = 7,97 0'9,5
tan −
+os factores de inclinación son: 0
7,97 = − = (,5(0 8(
F ci
= F qi
F γ i
7,97 = − = (,('7! !
0
l ancho efectivo de la fundación es B´ * B ; 0 e * ' ; 0.(,078) ≈ 0,# m =inalmente, la ca-acidad Iltima de a-o/o es: Pu * .7#).',().,0).(,5(0)<.,#).8).#,09).,##).(,5(0)<.(,#).8).0,#).7,(5).).(,('7!) Pu * 90,# $>a" =inalmente, el factor de seguridad contra falla -or ca-acidad -ortante es de: FS c
=
90,# #
= #,7
M ' =eri>ica"o?
= ,##
PROBLEMA & Calcular la fuerza horizontal total actuante en el muro que se muestra en la figura" l suelo tiene las siguientes -ro-iedades: cQ * ( k>a, φQ * '0, δ * 0' / γ = ! k%&m'J el suelo 0 -resenta los siguientes -armetros: cQ * ( k>a, φQ *0!, δ * ! / γ * 0( k%&m'" Considere que el nivel fretico se encuentra entre el suelo / el suelo 0" l suelo tiene un es-esor de 9 m" mientras que el suelo 0 -resenta una altura de 7 m"" +a inclinación del muro con res-ecto a la horizontal es 7#"
Figura 11.1,. Características -articulares del -roblema" Solución >rimero se encuentra la fuerza total que actIa en el muro como resultado de la acción del suelo : P a
=
0
a
γ H 0 sin 0 . β + φ )
a = sin
0
. β ) sin. β − δ ) +
sin. β − δ ) sin.α + β ) sin.φ + δ ) sin.φ − α )
0
Reordenando se tiene que: sin.φ + δ ) sin.φ − α )
+
sin. β − δ ) sin.α + β )
a =
* +
sin.'0 + 0') sin.'0) sin.7# − 0') sin.7#)
sin 0 . 7# + '0) sin 0 7# sin. 7# − 0'). 0"0!(7 ) 0
= (,85#
1sí, se obtiene: P a
= .(,#).(,85#).!).9) 0 = '#,8 N
+a com-onente horizontal es: P a. ! )
= cos. 7# + 0').'#,8) = !,' N
+a fuerza que actIa en el muro debido al suelo 0 es:
= 0,0!(7
P a 0
=
a 0
= a 0 γ eq H 00 0
sin 0 . β + φ )
sin 0 . β ) sin. β − δ ) + sin.φ + δ ) sin.φ − α )
+
sin. β − δ ) sin.α + β )
sin. β − δ ) sin.α + β ) sin.φ + δ ) sin.φ − α )
* +
sin.0! +!) sin.0!) sin.7# −!) sin.7#)
sin 0 . 7# + 0!)
a 0
=
γ eq
β 0 q = γ 0 + sin cos α H + sin. β α ) 0
0
sin 0 7# sin. 7# − !). 0"(0#95 ) 0
= 0,(0#95
= (,8!0
>or otra -arte:
6e conoce que: q = . 9).!) = (! Pa
Reem-lazando se tiene que:
sin 7# .0).(!) = 0( + cos ( = 57 N & m 7 sin 7#
γ eq
1sí, se obtiene: P a 0
= .(,#).(,8!0).57).7) 0 = #!,' N
+a com-onente horizontal es:
= cos.7# + !).#!,') = 09',8 N
P a 0 . ! )
1hora calculamos la fuerza causada -or el agua:
µ = γ " P "
! p
= .8,!).7) = '8,0 Pa
= .#,99)[ .7).8,!)] = (,87 N 0
+a com-onente horizontal es: P ". ! )
= .cos 7#).(,87) = 5!,7# N
ntonces la fuerzo horizontal total que actIa sobre el muro es calculada como la sumatoria de las acciones del suelo , suelo 0 / el agua, obteni@ndose: P !
= P a. ! ) + P a 0. ! ) + P ". ! )
P 9 *
0&,'&4 #-
PROBLEMA + Aemostrar que la ecuación de esfuerzo activo .Rankine) sobre un muro vertical sin fricción tiene la siguiente forma: σ a
= σ v K a − 0 c
K a
Aonde: σa es el esfuerzo total activoJ σv vertical totalJ c la cohesión del suelo .-armetro de resistencia)J / $ a el coeficiente de -resión activa de Rankine"
Solución 4
σv σh
Figura 11.11. lemento de suelo"
τ ϕ σv − σa 2
ϕ
c σh * k o σv
σa σa + σv 2
4
Figura 11.12. Tra/ectoria de esfuerzos en el es-acio τ, σ" Ae la definición de tangente se tiene: tan ϕ =
c #
⇒
# =
c tan ϕ
σv
σ
6eno del ngulo ϕ es igual al cateto o-uesto sobre la hi-otenusa, entonces se obtiene:
σ v − σ a 0 sin ϕ = σ a + σ v + # 0 Reem-lazandoJ se tiene que: σ v − σ a sin ϕ =
0
σ a + σ v 0
+
c tan ϕ
Aesarrollando la e4-resión se obtieneJ σ a
+ σ v 0
0 0
0
sin ϕ +
c sin ϕ
tan ϕ
=
σ v
− σ a 0
0
0
σ a sin ϕ + σ v sin ϕ + c cos ϕ =
+
σ a
=
( sin ϕ + )σ a =
sin ϕ σ a
0
0
0
σ v
−
0
σ v
−
0
σ a
σ v sin ϕ − c cos ϕ
( − sin ϕ )σ v − c cos ϕ
?tilizando relaciones trigonom@tricas se tieneJ σ a
1dems
=
− sin ϕ + sin ϕ
σ v
− 0c
cos ϕ + sin ϕ
sin ϕ = cos( 8( − ϕ )
/
cos 0α = cos 0 α − sin 0 α
cos( 8( − ϕ )
>or lo tanto:
ϕ ϕ = cos 0 7# − − sin 0 7# − 0 0
sin ϕ = cos 0 7# −
1dems:
sin 0 7# −
ϕ
ϕ
ϕ − sin 0 7# − 0 0
ϕ + cos 0 7# − = 0 0
D
Reem-lazando se tiene que:
ϕ + sin 0 7# − ϕ 0 sin 0 7# − ϕ − sin ϕ 0 0 0 = = ϕ ϕ + sin ϕ ϕ 0 0 + cos 7# − − sin 7# − 0 cos 0 7# − 0 0 0 − cos 0 7# −
6im-lificando se obtiene la ecuación 0J que ser: − sin ϕ
ϕ = tan 0 7# − = K a + sin ϕ 0
0D
1dems se sabe que: cos ϕ = sin ( 8( − ϕ )
ϕ ϕ = 0 sin 7# − cos 7# − 0 0
>or lo tanto reem-lazando / desarrollando se tiene la ecuación 'J que ser:
ϕ cos 7# − ϕ ϕ ϕ 0 sin 7# − cos 7# − cos ϕ 0 0 0 0 = = + sin ϕ ϕ ϕ ϕ + cos 0 7# − − sin 0 7# − 0 cos 0 7# − 0 0 0 0 sin 7# −
ϕ = tan 7# − = + sin ϕ 0 cos ϕ
K a
Reem-lazando la ecuación 0D / 'D en D se obtiene: σ a
= σ v K a − 0 c
Ka
'D
PROBLEMA / 6e desea verificar la estabilidad de un muro de gravedad utilizando el m@todo de Rankine" l contratista ha -edido al laboratorio de geotecnia ?L66 que se mida los ngulos de fricción entre concreto / suelo de relleno / concreto / suelo de fundación" Cul de los valores utilizaríaS, AóndeS / >or qu@S
Solución
>lano donde actIa la fuerza activa de Rankine
ΣF
GQ
>a
G&'
Figura 11.1%. =uerzas que actIan en el muro de gravedad" 6e su-one que no e4iste fricción .hi-ótesis), -or lo tanto no se requiere del ngulo de fricción entre muro / relleno"
=eri>icación al "esli6amiento. 6e debe utilizar el ngulo de fricción suelo de fundación3concreto -ara calcular el ="6" contra deslizamiento tal cual se muestra en la ecuación" FS =
R
R Pa ⋅ H
J R
= ' ⋅ F . en la %a&e)
= $ a ⋅ B + ΣV ⋅ tan δ = K ⋅ $ ⋅ B = K ⋅ $ ⋅ B + ΣV ⋅ tan K 0 ⋅ ϕ
δ = K 0 ⋅ ϕ
PROBLEMA 5 >ara la =igura "7 se -ide determinar la fuerza activa actuante"
0
(,'
'( c * ( k>a φ = 32° ' γ = 20 k%&m δ = 25°
#
5!
5!
0,#
Figura 11.10. Características del muro" Solución >ara este caso se tiene que: θ = 8( − 5! = 0° ψ ψ
= 8( − θ − δ = 8( − 0 − 0# = #'°
C0
C'
C
C7
cQ7
(,' cQ'
A
cQa c7
cQ0
c'
ca
# c0
cQ 5!
5!
0,#
c '0 #'
Figura 11.14. =ragmentación" 1 -artir de la =igura ("# se tiene que: P a
= ca caQ × scala ado-tada
a@!tulo 11 Presión lateral del suelo
P a
= #( N
PROBLEMA 1, >ara la =igura "9 se -ide determinar la fuerza horizontal actuante"
q * #( k>a ' c * ( k>a φ = 30° ' γ = 18 k%&m δ = 20°
m m
c * ( k>a φ = 30° ' γ = 20 k%&m δ = 20°
Figura 11.1&. Características del muro de contención" Solución l -roblema es dividido en tres -artes como muestra la =igura "5, donde se considera la influencia del suelo , 0 / el agua" q * #( k>a ' c * ( k>a δ
90 − β
m
φ = 30° ' γ = 18 k%&m δ = 20°
m c * ( k>a δ
90 − β
β
φ = 30° ' k%&m γ = 20 δ = 20°
Figura 11.1+. Aivisión del -roblema -or -artes" Para el suelo 1 +a fuerza activa -ara el suelo ser: 7
P a
=
K aγ eq H 0 0
6e determinan los valores de: sin 0 ( β + φ )
=
K a
sin 0 β sin ( β − δ ) +
sin( β − δ ) sin (α + β ) sin (φ + δ ) sin (φ − α )
0
= ("#58
γ eq
sin 5#"897 0 × #( sin β 0q cosα = ! + cos!"7'# = γ + sin( β + α ) H sin 87"'88 7
γ eq
= 0'"(! N & m '
+a fuerza activa -ara el suelo ser: P a
= × ("#58 × 0'"(! × 7 0 = (9"8 N 0
+a com-onente horizontal es: P a H
= P a cos ( δ + 8( − β ) = (9 "8 × cos ( '7 "('9 ) = !! "9 N = P a H
Para el suelo 2.
'
= q + γ H q0 = #( + ! × 7 q0 = 00 Pa
q0
G 0* 7 m β
Figura 11.1/. Nnfluencia del suelo 0" +a fuerza activa -ara el suelo 0 ser: P a 0
= K a 0 γ eq H 00 0
6e determinan los valores de: K a
γ eq
= K a 0 = ("#58
sin 5#"897 0 × #( sin β 0q cos α = ( 0( − 8"!) + = γ Q+ 7 cos!"7'# sin 87 " '88 sin( β + α ) H
a@!tulo 11 Presión lateral del suelo γ eq 0
= 99"# N & m '
+a fuerza activa -ara el suelo 0 ser:
= × ("#58 × 99"#× 7 0 = '(!"N
P a 0
0
+a com-onente horizontal es: P a 0 H
= P a 0 cos ( δ + 8( − β ) = '(! " × cos '7"('9 = 0## "' N
Para el agua.
?
β
90− β
+
Figura 11.15. Nnfluencia del agua" Con los valores de: ( u
= 0 + 7 0 = 7"0' m = '8"0 Pa
6e tiene que: ) = )
( u 0
= × 7"0' × '8"0 0
= !("! Pa
+a com-onente horizontal ser: ) !
= ) × cos ( 8( − β ) = 5! "7 Pa
+a fuerza horizontal es: P aH
= P aH + P aH 0 + ) !
P aH
= 700"' N
9
PROBLEMA 1, >ara la =igura "0( se -ide determinar: a) =actor de seguridad contra el volteo" b) =actor de seguridad contra el deslizamiento" c) =actor de seguridad contra falla -or ca-acidad de a-o/o, utilizar el m@todo de Gansen" =N2?R1 CmD
γ c*07 k%&m'
8 !
γ *0( k%&m' φQ*'(
δ *0(
5 9
cQ*(
# 7
γ *00 k%&m' φQ*'9
δ *07
'
cQ*(
0 ("#
γ *! k%&m' φ Q*'0 cQ*( δ *00
( (
0
'
7
#
9 CmD
Figura 11.2,. Características del muro de contención" Solución Clculo del coeficiente de -resión activa segIn Coulomb"
Suelo 1. l coeficiente de -resión activa ser: a
cos 0 .φ − θ )
= cos
a
0
θ ⋅ cos.δ + θ ) ⋅ +
&en .δ + φ ) ⋅ &en .φ − α ) cos.δ + θ ) ⋅ cos.θ − α )
0
cos 0 .'( − 5"#8# )
= cos
0
. 5"#8# ) ⋅ cos. 0( + 5"#8# ) ⋅ +
a
= ("'#9
a 0
= ("08'
Suelo 2.
cos. 0( + 5"#8# ) ⋅ cos. 5"#8# ) &en. 0( + '( ) ⋅ &en.'( )
0
a@!tulo 11 Presión lateral del suelo +a fuerza -a actIa de la manera como muestra la =igura "0"
>a m ( , !
Figura 11.21. =orma en que actIa la fuerza pa" Aes-reciando el efecto del talón / tacón, la fuerza activa ser: P a
= ⋅ γ ⋅ a ⋅ H 0 = ("# U 0( U ("'#9 U 7 0 = #9"89 N 0
cos.δ + θ )
Q
P a!
P a!
P a
= cos. 05"#8#) ⋅ P a = #("7! N
= &en.05"#8#) ⋅ P a = 09"'! N
P av
P a 0
=
= ⋅ γ eqQ ⋅ a0 ⋅ H 00
γ eqQ
0
= γ Q + sin β ⋅ 0 q ⋅ cos α = γ Q + 0 q H 0 β + α H 0
Q γ eq
= .00 − 8"!) +
0 ⋅ 0( ⋅ 7 7
= #0"0
N m
'
ntonces: ) =
0
⋅ l ⋅ u
Con los valores de: l =
70
+ ("795 0 = 7"(05 m
u = γ " ⋅ ! p
= 8"! U 7 = '8"0
N m
0
6e tiene que: ) = ("# ⋅ 7"(05 ⋅ '8 "0
= 5! "8' N
+as com-onentes horizontal / vertical sern: ) !
= cos.'"#8#) ⋅ ) = '5"0' N
) v
= &en.'"#8#) ⋅ ) = 7"'# N !
+a ubicación de los fuerzas con res-ecto a H es: #
= 0"'#9 m
*
= #"''' m
#0
= 0"!!8 m
* 0
= "''' m
a) Factor "e seguri"a" contra el ;olteo. l factor de seguridad ser: FS =
∑ M ∑ M
R +
Con los valores de:
∑ M
= P 'H E * + P aQ 0! E * 0 + ) ! E * 0 + F
+
Aonde: = * >resión de levante
∑ M
+
=#("7!E#"''' + (7"00E"''' + 95"0'E"''' +
l valor de V 0 ' 7
∑ M
R
Wrea '"5# 5"#( '"(( "((
: es obtenido de la
X 07 07 07 07 >av >Za0v ?v
siguiente tabla"
Y 8("(( !("(( 50"(( 07"(( 09"'! 97" 7"'# [F*785"!7
4 0"'' 0"#( '"(( 0"#( 0"'#9 0"!!8 0"!!8
>or lo tanto, el factor de seguridad ser: FS =
'(0"58 8'!"5#
= "'8
b) Factor "e seguri"a" contra "esli6amiento Con los valores de: R
= τ E B = $ a E B + σ QE BEtan δ = .σ − u )E BEtan δ
∑V = 785"!7 N u
=
u
+ u0 0
J B = 9 m
= 8"! . + 7) = 07"# 0
J δ = 00
N m0
8 "! U + 8 "! U 7
LR 0(8"85 7#("(( 09"(( 9("(( 90"# !#"0 8"79 [LR *'(0"58
0
E9E'
a@!tulo 11 Presión lateral del suelo
R
V 785"!7 − 07"# E9Etan 00 = 7"5# N E BEtan δ = = ∑ − u 9 U B
P pQQ = p Eγ QE D0 0
γ Q = ! − 8"!
) = γ " E D0
J
0
= ! "0
N m'
l coeficiente de -resión -asiva ser: p
φ = tan 0 7# + = '"0## 0
Con los valores de:
= ("#E'"0##E!"0E0 0 = #'"'! ) p = ("#E8"!E0 0 = 8"9 N
Q P p
N
+a sumatoria de fuerza actuantes es:
∑ F = P (
a!
+ P aQ 0 ! + ) !
∑ F =#("7! + (7"00 + 95"0' = 00"8' N (
l factor de seguridad ser:
∑ F FS = ∑ F
S
+
R + P P + ) P Q
=
∑ F
+
=
7"5# + #'"'! + 9"8 00"8'
FS = ( "85
c) Factor "e seguri"a" contra >alla @or ca@aci"a" "e a@oo.
ΣF 4
G e
Figura 11.22. =uerzas que causan momento" Con los valores de: 0(
M net,
= ∑ M R − ∑ M + = '(0"58 − 8'!"5# = '97"(7 N Em
∑ V = M
#E
e
net,
⇒
#
=
M net,
∑ V
= B − # = 9 − ("5' = "098 0
0
= '97 "(7 = ("5' m 78' "!7
m
+a ca-acidad de carga m4ima ser: q ma4
V 9e = ∑ E + = B B
785"!7 9E"098 + = !!"05 Pa 9 9
l factor de seguridad se determina con la e4-resión: FS =
qu qma4
Ae la fundación se tiene que: B Q = B
− 0e = 9 − 0E"098 = '"790
m
L@todo de Gansen" KZ / +Z: >ara los factores de forma" K / +: >ara los factores de -rofundidad" >ara este -roblema se conoce que: cZ* ( g*b* +a ca-acidad Iltima de a-o/o es: qu
= qUQE NqE & q Ed q Eiq + ("#Eγ QE BQE N γ E &γ Ed γ Eiγ
+a efectiva es: qUQ = .! − 8"!)E = !"0
>ara los valores de:
N m0
a@!tulo 11 Presión lateral del suelo φ Q = '0
N q S q
= 0'"0 = J
J
N γ
= 0("!
=
S γ
D = = ("95 9 B d q = + 0 tan φ . − &enφ ) 0 E =
= + 0 tan.'0 )[ − &en .φ )] 0 E("95 = "(79 d γ = d q
H B =
∑ F
+
= 00"8' N
("# H B iq = − V + ' f Eca Ecot φ
J
H ( = (
α 0
J
ca = ( J
("# H B iq = − V
0 "#
0 "#
("#E00 "8' = ("#'0 iq = − 785 "!7 ' "#
'"#
("5 H B = − ("5E00 "8' = ("05( iq = − 785 "!7 V
+a ca-acidad Iltima de a-o/o ser: qu
= !"0 U 0'"0 UU"(79 U ("#'0 + ("# U (! − 8"0) U '"790 U 0("! UU ("05(
qu
= 8 "7 N 0 m
l factor de seguridad ser: FS =
qu qma4
= 8"7 = "(0 !! "05
00
PROBLEMA 11 >ara los datos de la =igura ("0' se -ide utilizar el m@todo de Rankine / determinar: a) =actor de seguridad contra volteo" b) =actor de seguridad contra deslizamiento" =N2?R1 mD
γ c*07 k%&m'
(
γ *0( k%&m' φQ*0!
0
cQ*(
'
γ *0 k%&m' 0
φQ*'(
7
cQ*(
#
γ *00 k%&m' φQ*'0 '
9
cQ*(
5
γ *0( k%&m' 7
!
φ Q*0! cQ*( δ *0(
(
0
'
7
#
9
5
!
mD Aistribución de -resión de -oros 7( k%&m0
Figura 11.2%. Condiciones generales del -roblema" Solución >ara el clculo del coeficiente de -resión activa segIn Ranking, se tiene que: 6uelo :
a
φ 0! = tan 0 7# − = tan 0 7# − = ("'9 0 0
6uelo 0:
a
= tan 0 7# −
6uelo ':
a
'0 = tan 0 7# − = ("'(5 0
'( 0
= ("'''
n la =igura "07 se muestran los diagramas corres-ondientes al esfuerzo vertical total, efectivo / la -resión lateral del suelo"
a@!tulo 11 Presión lateral del suelo
(,#5 (,#5
(,!9
σv
σvQ
u
k aσvQ
7 #
>Qa 9(
(
9(
0"99 8"#!
9
0
>Qa0
5 (0
8"9
!0"7
05"77 0#"'(
!
'
8
>Qa7
(
0
9!
'
7
#
9
>Qa'
5
!
78
8
'9"#'
>Qa#
mD
7( k%&m0 =*9( k%
Figura 11.20. Aivisión del -roblema en fragmentos" Ae la =igura "07 se tiene que la fuerza que ejerce el suelo ser: P Q a =
P Q a 0
U ' U 0"99 = '0"78 N 0 = 0 U8"8! = '8"89 N
P Q a '
=
P Q a 7
U 0 U ( 05"77 − 8"8!) 0 = ' U 0#"' = 5#"8 N
P Q a #
=
0
U ' U ( '9"#' − 0#"'( )
= 5"79 N = 9"!# N
>or lo tanto se tiene que: ) =
U # U 78 0
= 00 "# N
a) Factor "e seguri"a" contra ;olteo. l factor de seguridad ser:
FS =
∑ M ∑ M
R +
6e toman en cuenta los momentos generados -or las fuerzas activas calculadas en la -arte su-erior, la fuerza hidroesttica lateral detrs del muro / de levante en la base del muro" ntonces se escribe:
∑ M
+
= '0"78 U 9 + '8"89 U 7 + 5"79 U '"99 + 5#"9 U "# + 9"!# U + 00"# U"95 + 9( U #"'' ∑ M + = #98"5 N U m 07
