&È/&8/2'(&,5&8,7260$*1e7,&26 /HLGH+RSNLQVRQ Considere-se um circuito magnético tal como o da fig.12.1. Para obter-se um fluxo constante ao longo longo do circuito magnético deve-se usar maior número de Ampere-espiras por metro (maior intensidade de campo - H) nos trechos onde onde a permeabilidade permeabilidade seja menor. menor. Isto fará que o fluxo fique totalmente confinado dentro do núcleo, impedindo que existam linhas de indução passando por caminhos indeterminados.
µ1 > µ2 I n1
l1 n2 I
S2 l2 S1
Fig. 12.1 - Posição ideal das bobinas no circuito magnético Aplicando-se a lei de Ampère à Fig. 12.1 tem-se: m
∑ H .l j
j
= It
ou melhor:
H 1.l1 + H2.l2 = n1.I + n2.I
j=1
No entanto: H1 = B1 / µ1
B1 µ 1
l1 +
B2 µ 2
l2
Mas:
φ µ 1.S1
l1 +
= n. I B1
µ 2 . S2
onde: n = n1 + n2
=
l2
H2 = B2 / µ2 logo tem-se:
e
φ 1 S1
= n. I
=
φ 2
e
B2
ou
l φ 1 µ 1.S1
onde
S2
+ φ
l2
µ 2 .S2
φ1 = φ2 = φ = constante
= n. I
Agrupando as variáveis apropriadas têm-se:
φ.ℜ1 + φ.ℜ2 = ℑ
ou
φ =
ℑ ℜ1 + ℜ 2
(12.1)
XII - 2 Fundamentos do Eletromagnetismo ___________________________________________________________________________________________
O produto n.I é definido como força magneto-motriz por ser a responsável pela criação do fluxo no núcleo. Seu símbolo é ℑ ou M e a sua unidade é o Ampere-espira ( A.e ) ou simplesmente Ampere ( A ).
ℑ = n.I
(12.2)
O denominador da fração é definido como relutância por se comportar como uma oposição à passagem do fluxo magnético. A unidade de relutância é Ampère-espira por Weber (A.e/Wb)
ℜ=
l
(12.3)
µ .S
Com estas definições pode-se expressar a OHLGH+RSNLQVRQ que também é conhecida como OHLGH2KPGR(OHWURPDJQHWLVPR. Enunciado: O fluxo magnético num circuito é diretamente proporcional à f.m.m. e inversamente proporcional à relutância. φ =
ℑ ℜ
(12.4)
ou
ℑ=φ.ℜ
(12.5)
Na prática é geralmente impossível fazer uma distribuição de espiras como a mostrada na fig.12.1. A bobina geralmente é colocada em apenas num ou dois locais de forma a ser possível a sua construção de maneira simples. ( Ver fig. 12.2 )
Fig. 12.2 - Bobina de magnetização concentrada num local Este procedimento traz como resultado um fenômeno indesejável, que é a dispersão magnética, ou seja, certa quantia de linhas de força saem (vazam) do caminho limitado pelo núcleo fechando seu circuito através do ar. Na primeira abordagem, será desprezada a dispersão e tomado o fluxo como constante ao longo do circuito magnético.
Cálculo de circuitos magnéticos XII - 3 ___________________________________________________________________________________________
$QDORJLDHQWUHFLUFXLWRPDJQpWLFRHFLUFXLWRHOpWULFR Estes novos conceitos não existem por acaso. Eles foram criados justamente por analogia com o circuito elétrico a fim de melhorar a compreensão dos circuitos magnéticos.
φ
R1
I
ℜ1 ℑ
E
ℜ2
R2
ℜ3 R3
Fig. 12.3 - Circuito magnético e seu análogo elétrico No exemplo, para o circuito respectivamente:
I
=
elétrico
e
(12.6)
e
E R1 + R 2
+ R3
para
o
φ =
circuito magnético, têm-se
ℑ ℜ1 + ℜ2 + ℜ 3
(12.7)
Os outros equacionamentos usados em circuitos elétricos também podem ser usados quase que sem restrição. Deve-se salientar, no entanto, que o fluxo magnético não contém nenhum movimento físico de partículas ou algo semelhante. O fluxo é, na verdade, o produto da indução pela área da seção transversal e tem uma orientação dada pelo sentido das linhas de força. Como a permeabilidade dos materiais magnéticos depende da indução, a relutância é variável com a variação do fluxo. O conceito de relutância, portanto, é mais útil qualitativamente do que quantitativamente. Para o cálculo de circuitos magnéticos práticos, a lei de Ampère é mais rápida.
$SOLFDomRGDOHLGH$PSqUHDFLUFXLWRVPDJQpWLFRVSUiWLFRV &LUFXLWRPDJQpWLFRKRPRJrQHR Será suposto, inicialmente, que o circuito magnético seja homogêneo, isto é, que as seções transversais sejam constantes e que os materiais sejam os mesmos em toda a extensão do circuito. Isto implica na ausência de entreferros (frestas de ar) no caminho do fluxo. Outra suposição simplificadora é que o fluxo fica totalmente confinado no núcleo sem que haja dispersão de fluxo pelo ar. Como o fluxo é constante ao longo do circuito, isto fará que a indução ( B ) e a intensidade de campo (H ) sejam constantes.
XII - 4 Fundamentos do Eletromagnetismo ___________________________________________________________________________________________
Olhando-se o circuito magnético da fig.12.4 verifica-se ser razoável dividi-lo em quatro partes para aplicação da lei de Ampère como é mostrado a seguir. B
C
A
D
n.I
Fig.12.4 - Circuito magnético de material homogêneo 4
∑ H . ∆l j
j
= I t = n.I ⇒
n.I = HAB . lAB + HBC . lBC + HCD . lCD + HDA . lDA
j=1
Mas
HAB = HBC = HCD = HDA = cte = Hn
n.I = Hn. ln
e, por fim, tem-se:
assim
n.I = Hn ( lAB + lBC + lCD + lDA )
H n = n.I/ln
(12.8)
Onde: ln = comprimento magnético médio no núcleo A solução de um problema assim se assemelha ao cálculo de um toróide. Tanto pode-se fornecer a f.m.m. e buscar o fluxo produzido como pode-se procurar a f.m.m. necessária para a produção de um dado fluxo. Em ambos os casos deve-se calcular a indução ( B ) ou a intensidade de campo ( H ) e entrar na curva B-H ( ou tabela B-H ) a fim de encontrar o valor do outro. Caso a tabela não contenha exatamente os valores que se deseja, deve-se fazer uma interpolação.
([HPSOR UHVROYLGR O circuito magnético abaixo tem 1000 espiras e é feito de ferro forjado. Calcular a intensidade do campo, a indução e o fluxo para uma corrente de 10 A. 10 B
C
φ
10 20
n.I
A
10
D
20
10
10
Todas as dimensões estão em centímetros.
Cálculo de circuitos magnéticos XII - 5 ___________________________________________________________________________________________
Solução: Aplicando-se a lei de Ampère tem-se: n.I = HAB . lAB + HBC . lBC + HCD . lCD + HDA . lDA Como o fluxo e as seções são constantes têm-se: B = cte Como a indução e o material são constantes H = cte logo pode-se por H em evidência. n.I = Hn ( lAB + lBC + lCD + lDA )
n.I = Hn . ln
Hn = n.I / ln = 10 A . 1000 e / (0,30 m . 4) = 8.333 Ae/m Com o valor da intensidade de campo ( H ) entra-se na curva ( ou tabela ) do ferro forjado e obtém-se, por interpolação linear, o valor da indução B. B (T) B (T) 1,7 B 1,8
H (Ae/m) B − 1,7 1,8 − 1,7
=
8.333 − 6.000
2.333 ⇒ B = .0,1 + 1,7 ⇒ B = 1,758 10.000 − 6.000 4.000
H (Ae/m) 6.000 8.333 10.000
T
Para calcular o fluxo deve-se conhecer a área da seção transversal que, neste caso, é um quadrado com 10 cm de lado. S = lado = 10 cm x 10 cm = 100 cm = 100 x 10
2
2
-4
φ = B.S = 1,758 T x 100 x 10-4
= 17,58x10
2
m = 175,8 x 10
-4
2
m
-3
Wb = 17,58 mWb
([HPSORUHVROYLGR Calcular o fluxo no caso anterior com a lei de Hopkinson. 6ROXomR Deve-se, obrigatoriamente, entrar na curva BH para obter B ou H, um em função do outro e com isto conhecer a permeabilidade absoluta do ferro forjado. Para a intensidade de campo H criado pela corrente de 10 A tem-se:
µ = B/H = 1,758 T/8.333 Ae/m
-3
= 0,211x10 H/m
µr = 0,211x10-3H/m/4πx10-7H/m = 167,9
Agora pode-se calcular a relutância do circuito magnético. 1,20P O ℜ= = −3 − 4 2 = 568.700 Ae/wb µ .6 0,211 [10 + / P.100 [10 P Aplicando a lei de Hopkinson tem-se: ℑ 1000H [10 $ φ = = = 17,58x10-3 Wb ℜ 568.700 $H / :E
=
17,58 mWb
XII - 6 Fundamentos do Eletromagnetismo ___________________________________________________________________________________________
([HPSORUHVROYLGR Seja mesmo circuito o magnético do exemplo anterior. Calcular a corrente necessária para a produção de um fluxo de 16,6 mWb. 6ROXomR Para entrar na curva de magnetização, deve-se conhecer B ou H e, neste caso, pode-se calcular a indução B a partir do fluxo e da área da seção transversal. B=
φ/S
= 16,6 x 10
-3
/ 100 x 10
-4
= 1,66 T
B (T) B (T) 1,6 1,66 1,7
1,66
H (Ae/m) Hn H − 35000 1,66 − 1,6 6000 − 3500
=
1,7 − 1,6
0,06
⇒H=
0,10
n.I = Hn . ln = 5000Ae/m . 1,2 m= 6000 Ae
.2500 + 3500 ⇒ H
I = 6000Ae / 1000e
H (Ae/m) 3.500 Hn 6.000
= 5000
Ae / m
I = 6,0 A
([HPSORUHVROYLGR Calcular a corrente do caso acima usando a lei de Hopkinson. 6ROXomR
µ
Aproveitando alguns valores já calculados tem-se: -3
= B / H = 1,66 T/ 5000 Ae/m = 0,332x10
ℜ=
O µ .6
=
1,20P −3
−
0,332 [10 + / P.100 [10 4 P 2
H/m
= 361.400 Ae/Wb
ℑ = φ . ℜ =16,6 x 10-3 Wb. 361.400 Ae/Wb = 6000 Ae I = ℑ / n = 6000 Ae/ 1000e
I = 6,0 A
&LUFXLWRPDJQpWLFRQmRKRPRJrQHR Quando o circuito magnético contém entreferros, seções variáveis e/ou materiais diferentes, o valor da intensidade de campo H é variável ao longo do circuito. Desta forma não se pode, analiticamente, calcular o valor do campo H a partir de um valor dado de corrente, porque a lei de Ampère apresentaria vários valores incógnitos ( H1 , H2, H3 ,etc. ). Neste caso, pode-se apenas calcular o valor da corrente ( ou f.m.m. ) necessária à produção de uma dada indução ( ou de um dado fluxo ). Pela consideração de que não há dispersão todo o fluxo é confinado no núcleo sendo, portanto, constante ao longo do circuito magnético.
Cálculo de circuitos magnéticos XII - 7 ___________________________________________________________________________________________
Através das seções transversais de cada trecho obtêm-se as induções respectivas. No caso do trecho ser de material ferromagnético entra-se com a indução (B) na curva B-H do mesmo e encontra-se a intensidade de campo (H) correspondente. Se o material for não-magnético a relação entre indução e a intensidade de campo é dada pela permeabilidade absoluta do vácuo e, portanto, nenhuma curva é consultada. Tem-se assim: H = B / µ0 = B / (4π x 10 H/m) -7
(12.9)
Agora é só aplicar a lei de Ampère, considerando o comprimento de cada trecho do circuito e obtém-se a f.m.m.. ([HPSORUHVROYLGR Seja um circuito magnético com as dimensões do exemplo anterior com exceção de que tenha um entreferro numa perna com 2 mm. Calcular a corrente necessária para produzir um fluxo de 14,4 mWb. 10 Material do núcleo: Lâmina de ferro normal -4
A
φ
2
B
C
S =100 x 10 m B = 1,44 T
n.I
10 9,9 0,2
D Dimensões em cm. F
E
9,9 10
10 20 10 Entrando com a indução B = 1,44 T na curva de ferro normal obtém-se a intensidade de campo H que será válido para todos os trechos do circuito com exceção do entreferro. B = 1,44 T (Tabela Lâmina de ferro normal)
⇒
H = 1530 Ae/m
No trecho CD tem-se ar, logo: H = 1,44 T / 4πx10 H/m= 1,146x10 Ae/m -7
6
Aplicando-se a lei de Ampère tem-se:
ℑ = n.I = HAB.lAB + HBC.lBC + HCD.lCD + HDE.lDE + HEF.lEF + HFA.lFA ℑ = 1530 Ae/m.(0,30+ 0,149+ 0,149+ 0,30+ 0,30)m + 1,146x106 Ae/m.0,002m ℑ = 1530 Ae/m (1,198)m + 1,146x106 Ae/m x 0,002m ℑ = 1833 Ae + 2292 Ae = 4125 Ae i = ℑ / n = 4125 Ae / 1000 e = 4,125 A Pode-se observar que o entreferro, apesar de muito pequeno, consome a maior parte da f.m.m. produzida pela bobina. Por isto, os entreferros, em quase todos os equipamentos eletromagnéticos, são feitos com o menor tamanho possível.
XII - 8 Fundamentos do Eletromagnetismo ___________________________________________________________________________________________
Um método bastante utilizado para aplicar a lei de Ampère é o preenchimento do quadro abaixo. Este quadro organiza os resultados e dá uma boa visão do problema. Trecho AB BC CD DE EF FA
Material Fe normal Fe normal ar Fe normal Fe normal Fe normal
2
φ (Wb) -3
14,4 x10 -3 14,4 x10 -3 14,4 x10 -3 14,4 x10 -3 14,4 x10 -3 14,4 x10
S (m ) -4 100 x 10 -4 100 x 10 -4 100 x 10 -4 100 x 10 -4 100 x 10 -4 100 x 10
B (T) 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44 1,44
H (Ae/m) 1530 1530 1.146.000 1530 1530 1530
l (m) 0,30 0,149 0,002 0,149 0,30 0,30
H.l (A.e) 459 228 2292 228 459 459 ℑ = 4125
'LVSHUVmRPDJQpWLFDIDWRUGHHPSLOKDPHQWRHHVSUDLDPHQWR Os métodos de cálculo que foram utilizados desprezavam certos fenômenos os quais serão agora examinados com maior cuidado. 'LVSHUVmRPDJQpWLFD Até o presente momento supunha-se que todo o f luxo ficava confinado dentro do núcleo de material ferromagnético e, portanto, todo o fluxo gerado pela bobina atingia a região de interesse. Isto é uma realidade nos circuitos toroidais porém é uma aproximação nos circuitos reais. A região de interesse pode ser o entreferro ou o local onde está um segundo enrolamento, como nos transformadores. Na realidade, parte do fluxo gerado pela bobina fecha-se pelo ar, enlaçando apenas a bobina que lhe deu origem e, portanto, não alcançando a
Fig.12.5 - Circuito magnético com dispersão magnética
φb
φd
φu
Se
região de interesse. Considerando-se que o fluxo na região de interesse (fluxo útil) seja tomado como referência (100%) a bobina deverá produzir um pouco mais de fluxo para suprir o fluxo disperso. (12.10) φb = φu + φd φb = (1,10 a 1,25) φu Tem-se, então, uma dispersão magnética numa faixa de 10% a 25%, sendo que o valor preciso só é obtido para casos bastante particulares onde já haja grande experiência anterior. Dependendo do grau de saturação do ferro, pode acarretar na forte saturação do trecho onde está a bobina levando a grandes erros de cálculo. Na prática, deve-se multiplicar o fluxo útil (a princípio, o fluxo do entreferro) por um coeficiente entre 1,10 e 1,25 para obter o fluxo no trecho de circuito onde está a bobina magnetizadora.
Cálculo de circuitos magnéticos XII - 9 ___________________________________________________________________________________________
)DWRUGHHPSLOKDPHQWR Quando é usado núcleo laminado, a isolação entre as lâminas e o empilhamento nãoperfeito do pacote de lâminas faz com que a seção geométrica do núcleo seja ligeiramente superior à seção líquida de ferro ou seção magnética. A relação entre a seção magnética e a seção geométrica do núcleo é chamada de fator de empilhamento. O fator de empilhamento é fornecido pelo fabricante de aço para uso magnético e sempre recai no entorno de 0,90 a 0,95. Na prática, multiplica-se a seção geométrica do núcleo por um fator entre 0,90 e 0,95 para obter a área real de ferro. Sm = Sg . k e ,
Sm = (0,90 a 0,95) S g
(12.11)
(VSUDLDPHQWR A seção real do entreferro é um pouco maior do que a seção das faces de ferro, que o limitam. Isto se deve ao fato de o fluxo procurar um caminho de menor relutância o que é obtido pelo alargamento das linhas de força ao passar no entreferro. Quanto maior o entreferro maior é o espraiamento. N
φb
φd
φu
Se S
Fig. 12.6 - Fenômeno do espraiamento Este fato vem reduzir a relutância do entreferro e deve ser levado em conta. Se o entreferro for pequeno, descobre-se a sua área efetiva acrescentando o comprimento do entreferro (nas mesmas unidades ) nos lados do retângulo que o delimita Se = (a + le ) . (b + le)
(12.12)
Se o entreferro for grande (alguns centímetros) não há nenhum equacionamento confiável. Deve-se usar métodos de cálculo de campo computacionais.
([HPSOR UHVROYLGR Seja o mesmo circuito magnético do exemplo 12.5. Deseja-se calcular a corrente na bobina para obter um fluxo de 14.4 mWb no entreferro. Considerar o espraiamento, . que o fluxo disperso é 15% do fluxo útil (do entreferro) e que o fator de empilhamento é 0,90.
B
A
φb
F
φd
φu
C D
E
XII - 10 Fundamentos do Eletromagnetismo ___________________________________________________________________________________________
6ROXomR O fluxo no núcleo sob a bobina será:
φb = φu .1,15 = 14,4x10-3 Wb x 1,15 = 16,56x10-3
Wb
No resto do circuito magnético será considerado o fluxo aproximadamente igual ao fluxo do entreferro. Isto é uma aproximação, pois o fluxo vai diminuindo desde a bobina até o entreferro. A seção efetiva do entreferro será calculada por: 2
Se = (10,0 + 0,2)cm .(10,0 + 0,2)cm = 104,0 cm = 104,0 x 10 A seção magnética do ferro é calculada pela empilhamento. -4
2
-4
-4
2
m
seção geométrica e pelo fator de
2
Sm = 100 x 10 m x 0,90 = 90 x10 m
Dividindo-se os fluxos pelas áreas das seções transversais, obtém-se as densidades magnéticas nos diversos trechos. Com as induções no ferro entra-se na tabela B-H do ferro normal e obtém-se os valores das intensidades de campo. B = 1,6 T B = 1,84 T
=====> =====>
Tabela: lâmina de ferro normal Tabela: lâmina de ferro normal
=====> =====>
H = 3.100 Ae/m H = 11.320 Ae/m
Conhecidos os comprimentos de cada trecho pode-se montar a tabela abaixo a qual é muito própria para circuitos mais complexos. Trecho AB BC CD DE EF FA
Material Fe normal Fe normal ar Fe normal Fe normal Fe normal
2
φ (Wb) -3
14,4 x10 -3 14,4 x10 -3 14,4 x10 -3 14,4 x10 -3 14,4 x10 -3 16,56x10
S (m ) -4 90 x 10 -4 90 x 10 -4 104 x 10 -4 90 x 10 -4 90 x 10 -4 90 x 10
B (T) 1,6 1,6 1,38 1,6 1,6 1,84
H (Ae/m) 3100 3100 1.098.000 3100 3100 11320
l (m) 0,30 0,149 0,002 0,149 0,30 0,30
H.l (A.e) 930 461,9 2196 461,9 930 3396 ℑ = 8375,8
No exemplo 12.5, sem estas considerações, a f.m.m. seria 4125 Ae o que corresponde a uma enorme diferença. Neste caso, foi mostrada uma situação bastante extrema, pois o fluxo disperso elevou a indução no trecho dentro da bobina a ponto de saturá-lo acentuadamente.
Cálculo de circuitos magnéticos XII - 11 ___________________________________________________________________________________________
7LSRVEiVLFRVGHHOHWURtPmV &DPSDLQKD A campainha ou cigarra contém uma lâmina de ferro, que é atraída quando circula corrente na bobina. A mais comum usa corrente alternada para que haja vibração naturalmente. As campainhas de C.C. devem ter um contato automático para produzir o ruído.
Bobina com núcleo de ferro Fig.12.7 - Campainha
&KDYHVPDJQpWLFDV As chaves magnéticas, contatores e relés são chaves que são comandadas à distância através da alimentação de sua bobina com corrente elétrica. Enquanto houver corrente na bobina existe força de atração sobre a âncora, vencendo as molas, e fechando os contatos elétricos. Quando a corrente cessa, as molas afastam imediatamente a âncora do núcleo desligando o circuito elétrico que estava sendo comandado pelo dispositivo magnético Contatos
Bobina com núcleo de ferro
Fig.12.8 - Relé
XII - 12 Fundamentos do Eletromagnetismo ___________________________________________________________________________________________
6HSDUDGRUPDJQpWLFR O separador magnético é usado em esteiras transportadoras para separar materiais ferrosos de não-ferrosos num processo contínuo. Uma polia sobre a qual se apoia a polia transportadora, possui ímãs ou eletroímãs que atraem pedaços de ferro para junto da correia que os arrastam e os largam em outro local.
Ferrosos
Não-ferrosos
Fig.12.9 - Separador magnético *XLQGDVWHPDJQpWLFR
O guindaste magnético é muito usado nas usinas siderúrgicas para transportar sucatas de ferro dentro do seu pátio de estocagem. Consta de um poderoso eletroímã cujo circuito magnético completa-se através do núcleo do eletroímã e através dos pedaços de ferro a serem transportados.
material a ser movido
Fig.12.9 - Guindaste magnético
Cálculo de circuitos magnéticos XII - 13 ___________________________________________________________________________________________
)RUoDGHDWUDomRGRVHOHWURtPmV
Apesar dos eletroímãs serem equipamentos muito comuns e das mais diversas formas, seu equacionamento analítico é bastante limitado. As equações disponíveis sempre fazem uma série de restrições para que permaneçam confiáveis. A seguir será apresentada uma equação de força de atração cuja dedução é baseada na variação da energia magnética armazenada em função da variação do comprimento do entreferro. (Resende, Materiais usados em Eletrotécnica, p.188, Fitzgerald, Máquinas Elétricas, p.89; Martignoni, Eletrotécnica, p.104) f =
B2 . S
(12.13)
2. µ 0
onde: f = Força numa face polar com área S e indução B; ( N ) S = Área de um face polar ( m 2 ); B = Indução no entreferro ( T ); Esta equação foi deduzida levando em conta as seguintes simplificações: a) a relutância do ferro é considerada desprezível em comparação com a do ar, ou seja, após a atração, a equação deixa de ser precisa. b) a indução deve ser constante em toda a área do entreferro, ou seja, o entreferro não deve exceder alguns milímetros a fim de que o espraiamento e a dispersão magnética sejam desprezíveis. Bobina com 1000 espiras e corrente de 1 A
Desprezando espraiamento, dispersão magnética e a relutância do ferro, calcular a força de atração sobre a âncora do eletroímã: a) devido a cada uma das pernas; b) devido às duas pernas. ([HPSOR
:
UHVROYLGR
( Todas as medidas em cm ) 0,5 6ROXomR S = 2x10
-2
2
m x 2x10-2 m = 4x10-4 m2 2
2
?
Como a relutância do ferro é desprezível basta calcular o comprimento do caminho magnético nos entreferros: l = 0,5x10-2m x 2 = 1x10-2 m
ℜ= φ =
−
O µ 0. 6
Q. , O
a) I =
=
=
1.10 2 P −7
−4
4π .10 + / P. [ 4.10 P 1000H.1 $ +
1,99.10 7 $H / :E
% 2 .6 2. µ 0
= 1,99 .10 +7 Ae/Wb % =
= 50,25 µ :E
− − ( 125,6.10 7 ) .4.10 = 3
2
2
2.4π .10 −7 + / P
4
P2
= 2,51 N
φ
6
=
50,25.10 −6 :E −
4.10 4 P 2
b) f t = 5,02 N
= 125,6 mT
XII - 14 Fundamentos do Eletromagnetismo ___________________________________________________________________________________________
4XHVW}HVSURSRVWDV&iOFXORGHFLUFXLWRVPDJQpWLFRV 12.1. Deduza a lei de Hopkinson a partir da lei de Ampère.
12.2. Uma bobina de 1000 espiras está enrolada sobre um núcleo toroidal de seção transversal circular e cujo raio interno é 10 cm e o externo é 14 cm. O material do núcleo é ferro-silício. Calcule a corrente necessária à produção de uma indução de 0,8 T no raio médio.
Ri
Re
Resposta: i = 0,188 A
12.3. Calcule o problema 12.2 usando obrigatoriamente a lei de Hopkinson, ou seja, use o conceito de relutância magnética e de f.m.m.. Resposta: ℜ = 187.505 Ae/Wb,
ℑ = 188 Ae, i = 0,188 A
12.4. O circuito magnético abaixo tem 800 espiras e pode-se considerar que o fluxo fica totalmente confinado dentro do núcleo de ferro forjado. 8 B
C
φ
5
10
n.I
A 5
D 10
Todas as dimensões estão em centímetros.
5
5
a) Calcular a intensidade de campo, a indução e o fluxo quando o núcleo for de ferro forjado com uma corrente de 11 A na bobina. Resposta: l = 0,60 m, H = 14.667 Ae/m, B = 1,88 T, φ = 7,52 mWb b) Calcular a corrente necessária para a produção de um fluxo de 4.7 mWb. Resposta: B = 1,175 T, H = 590 Ae/m ,i = 0,443 A c) Refaça a letra d) usando a lei de Hopkinson. Resposta: µr = 1584,8, ℜ = 75.320 Ae/Wb, ℑ= 354 Ae, i = 0,443 A
Cálculo de circuitos magnéticos XII - 15 ___________________________________________________________________________________________
12.5. Calcular a corrente necessária à produção de 1,65 mWb sabendo que existe um entreferro de 2 mm. 0 núcleo tem as mesmas dimensões daquele do problema 12.4 porém o material é lâmina de ferro-silício. Resposta: i = 0,935 A
12.6. Calcule a f.m.m. necessária para Calcule também a força sobre a âncora.
produzir um fluxo de 0,77 mWb nos entreferros. mat 1
Bobina com 1500 espiras
G
Mat. 1 = Ferro forjado Mat. 5 = Ar Profundidade: 4 cm
F
4
10 H
E mat 5
0,5
Resposta: ℑ = 3926 Ae, F = 294,9 N
A B 4
12.7. Calcule a f.m.m. necessária à produção de 1 mWb na perna central. Calcule também a força sobre a âncora.
2
Mat. 3 = Lâmina de ferro normal Profundidade = 2 cm
4
D C
mat 1
4
4
10
G
F
H
E
A
D
B
C
0,5 Resposta: ℑ = 10157 Ae, F = 994,7 N
2
2
2
4
2
2
XII - 16 Fundamentos do Eletromagnetismo ___________________________________________________________________________________________
12.8. Refaça o problema 12.6 considerando a dispersão laminar de 10% (ou fator de empilhamento de 90%), dispersão magnética de 15% e o espraiamento nos entreferros. Para o problema abaixo faça uma tabela conforme exemplo 12.6. mat 1
Bobina com 1500 espiras
G
Material: Lâminas de Ferro Silício Profundidade = 4 cm
F
4
10 H
E mat 5
0,5
Trecho ABCD DE EF FG GH HA
Material
φ (Wb)
2
S (m )
A B 4 B (T)
D C
mat 1
4
4
10 H (Ae/m)
l (m)
H.l (A.e)
ℑ= Resposta: ℑ = 3129 Ae, F = 233 N
12.9. O eletroímã abaixo assemelha-se a um automático de motor de arranque de veículos automotores. Seu êmbolo tem seção transversal circular com raio ( r ) de 1,0 cm. Calcule a força de atração para um entreferro de 10 mm. Desprezar dispersão magnética, relutância do ferro e espraiamento. Resposta: B = 0,625 T, f = 48,8 N
Bobina com 500 espiras I = 10 A le êmbolo Se
r
