1
เอกสารประกอบการทบทวนวิชา คณิตศาสตร์
ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย
ในโครงการติวเข้ม เติมเต็มความร้้ มุ่งสุ้ความ สำาเร็จ จังหวัดส่รน ิ ทร์
( Surin Tutor Camp Genius)
วันที่ 30 มกราคม 2555 2555
3 ก่มภาพันธ์
จำานวนเชิงซ้อน(Complex Number) เวกเตอร์(Vector) (Vector)
ฟั งก์ชันตรีโกณมิติ(Trigonometric (Trigonometric Function)
2
สถิติ(Statistic) (Statistic)
…
รวบรวมโดย
ภัทรา
ประดับศรี
ตำาแหนุง คร้ วิทยฐานะ ชำานาญ
การพิเศษ
สำานักงานเขตพื้ นที่การศึกษา มัธยมศึกษาเขต 33
จำานวนเชิงซ้อน Complex Number) จำำนวนเชิงซ้อน คือ จำำนวนที่เขียนในรูป a+bi เมื่อ a และ b
เป็ นจำำนวนจริง บทนิยาม i 2 = −1
เมื่อ
และ
และ
i 2 = −1
ให้
w = c+di
1.
กำรเท่ำกัน
2.
กำรบวก
a = c และ
(a+c,b+d)
z = a+bi =
z
b= d
(c,d) =
=
w
(a,b)
, c,d
, a,b
∈R
,
∈R
z+w = (a+c) +(b+d)i
ก็ต่อ =
3
3. กำรคูณ
zw
bd,ad+bc )
= (ac-bd) +(ad+bc)i
= (ac-
สังย่คของจำานวนเชิงซ้อน ให้
Z = a + bi
โดยที่ และ
เป็ นจำำนวนเชิงซ้อน a,b
∈R
สังยุคของจำำนวนเชิงซ้อน Z เขียนแทนด้วย Z
Z
= a − bi
Z Z = ( a + bi )(a − bi) = a 2 + b 2
คุาสัมบ้รณ์ของจำานวนเชิงซ้อน
ค่ำสัมบูรณ์ของจำำนวนเชิงซ้อน
a − bi
ไปยังจุด (a,b) ใด ๆ เขียนแทนด้วย
a + bi =
คือ ระยะจำกจุด (0,0) a,b
a 2 +b 2
∈R
ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย
1. PAT ตุลำคม 2553 พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้ ก.
ถ้ำ z เป็ นจำำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมกำร เมื่อ
ข.
แล้วค่ำสัมบูรณ์ของ z
เท่ำกับ
ถ้ำ x และ y เป็ นจำำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมกำร
แล้วค่ำของ x + y = 15
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
4
1.
ก. ถูก และ ข. ถูก
ก. ผิด และ ข. ถูก
วิธีทำา
4.
2.
ก. ถูก และ ข. ผิด
ก. ผิด และ ข. ผิด
3
จำกข้อควำม ก.
……………………………………………………………………… ……………………………….
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
5
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..………………….. จำก ข้อควำม ข.
……………………………………………………………………… ……………………………….
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
6
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..………………….. ดังนั้น
……………………………………………………………………… ………………………………….
2.
PAT ตุลำคม 2553 ถ้ำ
เมื่อ b, k เป็ น
จำำนวนจริง และ
แล้ว
เท่ำกับเท่ำใด
7
วิธี
คิด…………………………………………………………………… ………………………………….
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
8
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
9
……………………………………………………………………… …………..…………………..
3. PAT มีนำคม 2554 ถ้ำ แล้วค่ำของ 1.
เป็ นตัวประกอบของพหุนำม
เมื่อ a และ b เป็ นจำำนวนจริง
เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
17
2.
4.
13
3.
8
5
วิธี
คิด………………………………………………………………… …………………………
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
10
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
11
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
4. ANET 2549 จำำนวนเชิงซ้อน z = 1 + i เป็ นคำำตอบของสมกำร ในข้อใดต่อไปนี้ 1.
4
2
z + 2z − 4z = 0
วิธีคิด
4
2.
2
z − 2z + 4z = 0
4.
4
2
z + 2 z + 4z = 0
4
2
z − 2z − 4z = 0
3.
12
……………………………………………………………………… …………………………
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
13
……………………………………………………………………… …………..………………….. 5. ANET 2549
กรำฟของจุด z ทั้งหมดในระนำบเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับสมกำร เป็ นรูปใดต่อไปนี้ 1.
เส้นตรง
4. พำรำโบลำ
2.
วงกลม
3.
วงรี
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
14
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
เวกเตอร์(Vector) (Vector)
ปริมำณสเกลำร์ คือ ปริมำณที่ระบุเฉพำะ ขนำด เพียงอย่ำงเดียว เช่น ควำมกว้ำง ควำมยำว เวลำ
อุณหภูมิ เป็ นต้น
ปริมำณเวกเตอร์ คือ ปริมำณที่มีท้ งั ขนำดและทิศทำง เช่น ควำมเร็ว ควำมเร่ง แรง และโมเมนตัม ผลค้ณเชิงสเกลาร์ นิยำม กำำหนด
u
u ⋅v =u ⋅ v cos θ
เรียก
u ⋅v
และ
v
ทำำมุม θ โดยที่
ว่ำผลคูณเชิงสเกลำร์ของ
u
บทนิยำม
กำำหนด ถ้ำ
แล้ว
1 i = 0
u =ai +b j
u ⋅v
และ กำำหนด ถ้ำ
=
v =ci +d j
ac + bd
1 i = 0 0
,
u = a1 i + b1 j + c1 k
u ⋅ v = a1 a 2 + b1b2 + c1c 2
ผลค้ณเชิงเวกเตอร์
v
0 j = 1
และ
v = a 2 i + b2 j + c 2 k
แล้ว
และ
0 ≤ θ ≤ 180°
0 j = 1 0
และ
,
0 k = 0 1
กำำหนด
15
ผลคูณเชิงเวกเตอร์ เป็ นผลคูณของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ใน
ระบบพิกัดฉำกสำมมิติ ซึ่งมีผลลัพธ์เป็ นเวกเตอร์ ถ้ำ
u
และ
เป็ นเวกเตอร์ในระนำบพิกัดฉำกสำมมิติ ผลคูณ
v
เชิงเวกเตอร์ของ
u
บทนิยำม
และ
เขียนแทนด้วย
v
a1 u = b1 c1
กำำหนด ถ้ำ
i u × v = a1 a 2
j b1 b2
b1
จะได้ u × v = b
ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย
1. A-net 50
ให้
u =a i +bj +2 k
เป็ นจำำนวนเต็มบวก และ และ
cos θ =
1.
1 3
แล้ว
6i +8 j −10 k
−12i −4 j +10k
θ
u ×v
2.
a 2 v = b2 c 2
k c1 c 2
c1 a1 i− c 2 a 2
2
,
u ×v
c1 a j+ 1 c2 a 2
และ
เป็ นมุมระหว่ำง
b1 k b2
u
และ
มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ −6i −8 j +10 k
โดยที่ a,b
v =2a i −3bj
3.
v
ถ้ำ
12i +4 j −10k
u = 3
4.
16
2. A-net 49 กำำหนด ทิศทำงเดียวกับ
u
และ
u =3i +4 j w = 10
ถ้ำ
แล้ว
w =a i +bj
โดยที่
a + b เท่ำกับเท่ำใด
w
มี
17
18
3. Entrance48 สมกำร ถ้ำ
θ
กำำหนด
u + 5v − 2 w = 0
เป็ นมุมระหว่ำง
u , v,w
โดยที่ u
เป็ นเวกเตอร์ท่ส ี อดคล้องกับ
u =3i +4 j
และ
และ w แล้ว ค่ำของ
u
ตั้งฉำกกับ
v
เท่ำกับเท่ำใด
w cos θ
19
3. Entrance1/48 5 1 −8 3 = b 4 + c a
แล้ว
cos 2 θ
กำำหนดเวกเตอร์ และ
θ
เท่ำกับเท่ำใด
1 4
เป็ นมุมระหว่ำง
−8 a และ a b เวกเตอร์ 0 และ c
ตั้งฉำกกับ
20
4. . Entrance1/46 กำำหนด u ⋅v
มีค่ำเท่ำใด
u =4i +3 j
,
u =v
และ
u +v =8
แล้ว
21
5. . Entrance2/42 กำำหนด ,
u −v = 13
แล้ว
1. 37
u +v
5
4.
u
และ
v
มีค่ำเท่ำใด
ทำำมุม
2. 7
50
60°
และ
u +v = 37
3.
22
ฟั งก์ชันตรีโกณมิติ
วงกลมหนึ่งหนุวย
เป็ นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลำงอยู่ท่จ ี ุด (0,0) และรัศมียำว 1
หน่วย เขียนเป็ นควำมสัมพันธ์ คือ
{( x, y ) ∈ R / x
2
}
+ y2 = 1
ฟั งก์ชันไซน์และฟั งก์ชันโคไซน์
เมื่อ (x,y) เป็ นจุดปลำยส่วนโค้งที่ยำว θ หน่วย ฟั งก์ชันไซน์ (sine) คือ {(θ , y ) / y = sin θ }
และฟั งก์ชันโคไซน์(cosine)คือ {(θ , x) / x = cos θ } จำก
x2 + y 2 =1
จะได้
cos 2 θ + sin 2 θ = 1
ฟั งก์ชันตรีโกณมิติของผลบวกหรือผลตุางของจำานวนจริงหรือม่ม ถ้ำ A และ B เป็ นจำำนวนจริงหรือมุมใด ๆ 1. sin(A+B) 2. sin(A-B)
= sinA cosB + cos A sin B = sinA cosB
- cos A sin B
3. cos ( A+B) = cos A cos B – sinA sin B 4. cos ( A-B) = cos A cos B + sinA sin B 5. 6. 7. 8.
tan A + tan B 1 − tan A tan B tan A − tan B tan( A − B ) = 1 + tan A tan B cot A cot B −1 cot( A + B ) = cot B + cot A cot A cot B + 1 cot( A − B ) = cot B − cot A tan( A + B ) =
ฟั งก์ชันตรีโกณมิติของสองเทุาของจำานวนจริงหรือม่ม ถ้ำ A เป็ นจำำนวนจริงใด ๆ
23
1.
sin 2 A = 2 sin A cos A
2.
sin 2 A =
.
3
2 tan A 1 + tan 2 A
cos 2 A = cos 2 A − sin 2 A
4.
cos 2 A = 2 cos 2 A − 1
5 .
cos 2 A = 1 − 2 sin 2 A
1 − tan 2 A 1 + tan 2 A 2 tan A tan 2 A = 1 − tan 2 A
6.
cos 2 A =
7. 8.
cot 2 A =
cot 2 A −1 2 cot A
ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย
1. PAT มีนาคม 2554 และ
ให้ ABC เป็ นรูปสำมเหลี่ยม โดยที่ ค่ำของ cos
C
เท่ำกับ
ข้อใด
ต่อไปนี้ 1.
2.
3.
4.
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
24
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
25
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
……………………………………………………………………… …………..…………………..
2. ANET 2549 1. 4.
1 2
−
1 2
sin ( arctan 2 + arctan 3 ) เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 2.
−
1 2
3.
1 2
26
27
3. ANET 2549 ต่อไปนี้
1.
4.
(
2 1− 2 3 −1
ถ้ำ
)
sec θ + cos ecθ = 1
2.
2 ( 2 −1)
แล้ว
มีค่ำเท่ำกับข้อใด 3.
1− 3
28
4. ANET 2550 พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้ ก.
tan14o + tan 76o = 2 cos ec 28o
ข.
ถ้ำ x > 0 และ
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
(1)
sin(2 arctan x) =
ก. ถูก และ ข. ถูก
ก. ผิด และ ข. ถูก
4.
2.
4 1 x ∈ ,3 ÷ แล้ ว 5 3
ก. ถูก และ ข. ผิด
ก. ผิด และ ข. ผิด
3.
29
5. ANET 2550 กำำหนดให้ ABC เป็ นรูปสำมเหลี่ยมซึ่งมีด้ำนตรง ข้ำมมุม
ยำว 2a, 3a, 4a ตำมลำำดับ
= k แล้ว cot B + cot C มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
ถ้ำ sin A
30
1.
1 6k
4.
2. k 3
k 6
(3)
1 3k
31
สถิติ ข้อม้ล
หมำยถึง ข้อเท็จจริงที่อำจเป็ นตัวเลขหรือข้อควำมได้ โดยทัว่ ไป
แล้วข้อมูลมักจะอยู่ในรูปตัวเลขซึ่งมีหลำยๆ จำำนวนที่อำจนำำมำเปรียบ เทียบกันได้ ถ้ำมีเพียงหน่วยเดียวไม่ถือว่ำเป็ นข้อมูลสถิติ สถิติ
เป็ นข้อเท็จจริงหรือตัวเลขที่อยู่ในลักษณะสรุป
เป็ น ระเบียบวิธีกำร ได้แก่ กำรเก็บรวบรวมข้อมูล กำรนำำเสนอ
ข้อมูล กำรวิเครำะห์ข้อมูล และกำรตีควำมหมำยข้อมูล ข้อสอบคณิตศาสตร์เรื่องสถิติ 1.
O-net 50
ห้องหนึ่งเป็ นดังนี้
กำำหนดตำรำงแจกแจงควำมถี่สะสมของนักเรียน
32
ช่วง
ความถี ่
คะแนน
สะสม
30-39
1
40-49
11
60-69
20
50-59
18
ข้อสรุปใดถูกต้อง
1. นักเรียนที่ได้คะแนน 40-49 คะแนน มีร้อยละ 22 2. นักเรียนส่วนใหญ่ได้คะแนน 60-69 คะแนน
3. นักเรียนที่ได้คะแนนมำกกว่ำ 53 คะแนน มีจำำนวนน้อยกว่ำ นักเรียนที่ได้คะแนน 40-49 คะแนน
4. นักเรียนที่ได้คะแนนน้อยกว่ำ 47 คะแนน มีจำำนวนมำกกว่ำ นักเรียนที่ได้คะแนนมำกกว่ำ 50 คะแนน
33
2.
(O-net51) ในกำรสอบควำมถนัดของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง มีตำรำง
แจกแจงควำมถี่ของผลกำรสอบดังนี้ ช่วง คะแนน
ความถี ่(ค น)
0-4
4
10-14
x
5-9
15-19
5 7
ถ้ำค่ำเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบเท่ำกับ 11 แล้ว
นักเรียนสอบได้คะแนนในช่วง 5-14 คะแนน มีจำำนวนคิดเป็ นร้อยละ ของนักเรียนในกลุ่มนี้ เท่ำกับข้อใด ต่อไปนี้ 1. 46.67 %
63.33 %
4. 73.33 %
2. 56.67 %
3.
34
3. ( ()-net 51)กำำหนด แผนภำพต้น-ใบ ของข้อมูลชุดหนึ่ง ดังนี้ 0 1 2
3 6
7
5
4
3
2
1
2
35
3
0 0
1
สำำหรับข้อมูลชุดนี้ ข้อใดเป็ นจริง
1. มัธยฐำน < ฐำนนิยม < ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต
มัธยฐำน < ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต < ฐำนนิยม
3. ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต < ฐำนนิยม <
ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต< มัธยฐำน < ฐำนนิยม
มัธยฐำน
2. 4.
36
4. ( ()-net 50)
คะแนนของผู้เข้ำสอบ 15 คน เป็ นดังนี้
45 , 54, 59 , 60 , 62 , 64 , 65 , 68 , 70 , 72 , 73 , 75
, 76 ,80 , 81
ถ้ำเกณฑ์ในกำรสอบผ่ำน คือ ต้องได้คะแนนไม่ตำ่ำกว่ำเปอร์เซ็น ไทล์ท่ี 60 1.
คะแนน
5.
68
EN 46
เป็ นดังนี้
แล้ว ข้อใดต่อไปนี้เป็ นคะแนนตำ่ำสุดของผู้สอบผ่ำน
คะแนน 4.
73
2.
คะแนน
70 คะแนน
3. 72
กำำหนดตำรำงแจกแจงควำมถี่ของนักเรียนห้องหนึ่ง
37
ช่วง
ความถี ่
คะแนน 16-18
a
19-21
2
25-27
6
22-24 28-30
3 4
ถ้ำ ควอร์ไทล์ท่ี 1 ( Q1 ) เท่ำกับ 18.5
คะแนน
มัธยฐำนของคะแนนสอบวิชำคณิตศำสตร์ของนักเรียนห้องนี้เท่ำกับ เท่ำใด
38
1. ANET 2550 z1−1 = cos
ให้
π π − i sin 6 6
3 z1 + z2 2
1.
4
4.
แบบทดสอบ
z1 , z2
เป็ นจำำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง
z1 z2 = 2i
และ
2
มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 2.
8
5
3
7
2. ANET 2551 ถ้ำ z เป็ นจำำนวนเชิงซ้อน ที่สอดคล้องกับสมกำร แล้ว
ส่วนจินตภำพของ z มีค่ำเท่ำกับข้อใด 1.
-1
2.
3.
4. 3. PAT มีนำคม 2552 กำำหนดให้ S เป็ นเซตคำำตอบของสมกำร เมื่อ z เป็ นจำำนวนเชิงซ้อน
เซตในข้อใด
ต่อไปนี้ เท่ำกับเซต S 1. 2. 3. 4.
4. PAT มีนาคม 2552 กำำหนดให้ จำำนวนเชิงซ้อนซึ่ง ค่ำของ
และ
และ
เป็ น
เท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
39
1.
4.
1
2.
4
5. ANET 2551 ถ้ำ
3.
3
เป็ นคำำตอบที่ไม่ใช่จำำนวนจริงของสมกำร
แล้ว มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้ 1.
3
2.
3
3.
–
4.
6. Entrance1/47 ให้ A ,B, C เป็ นจุดสำมจุดซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรง เดียวกัน และ D เป็ นจุดบนเส้นตรง BC ที่ทำำให้ ถ้ำ
AD
2
=a AB
แล้ว
AB ⋅ AC ≠ 0
3.
2
1.
+b AC
2
+c AB ⋅AC
2.
31 81
4.
a =4i −2 j
c =2
ถ้ำ
,
32 81
11 27
7 . Entrance2/46 กำำหนด
และ
โดยที่ a,b,c เป็ นจำำนวนจริง และ
มีค่ำเท่ำกับข้อใดต่อไปนี้
a 2 + b2 + c2
10 27
และ
2
BD : DC = 2 : 1
a , b, c
ดังนี้
a +b =6i +4 j
โดยที่
c = c1 i + c 2 j
c1 > 0, c 2 > 0
17
c
ตั้งฉำกกับ
(a −b
) แล้ว
c1 + c 2
มีค่ำเท่ำใด
8. . Entrance2/46 กำำหนด ABC เป็ นรูปสำมเหลี่ยมด้ำนเท่ำ และ D เป็ นจุดบนด้ำน BC ซึ่ง่ทำำให้ ไปนี้
ก.
3AD = 2AB + BC
BD : BC = 1: 3
พิจำรณำข้อควำมต่อ
40
ข.
AD ⋅ BC = −
ข้อใดถูก 1.
3.
ก ผิด
9. Anet 2551
2 1 BC 6
ก ถูก
ข ถูก
ข ถูก
และ
2. ก ถูก ข ผิด
4. ก ผิด
ข ผิด
ให้ A, B, C เป็ นจุดยอดของรูปสำมเหลี่ยม ABC โดยที่
และ พิจำรณำข้อควำมต่อไปนี้ ก.
ข.
ข้อใด ต่อไปนี้ถูก
1.
ก. ถูก และ ข. ถูก
ก. ผิด และ ข. ถูก
4.
2.
ก. ถูก และ ข. ผิด
ก. ผิด และ ข. ผิด
10. ANET 2552 กำำหนดให้ ถ้ำ
แล้ว
ข้อใดต่อไปนี้ 4.
1.
2.
11. ค่ำของ ก. 12.
ค.
tan[2 arcsin(−
1 )] 5
3.
เท่ำกับ
3.
เท่ำกับข้อใด
−1 4 3
(สมำคมคณิตศำสตร์ฯ 41)
ข. ง.
2 −
4 3
จำกตำรำง
ค่ำเฉลี่ยเลขคณิต
ของคะแนนเท่ำกับ 94.5 อันตรภำคชั้นที่มีควำมถี่สะสม P มีควำมถี่ เท่ำกับข้อใด
41
ช่วง
ความถี ่
คะแนน
สะสม
100-104
20
90-94
45
95-99 85-89 80-84 75-79
1. 4
2. 24
35 53 P
60
3. 53
ขอให้นักเรียนท่กคน จงโชคดี
4. 57
