Simulación Numérica de YN as de solución y solución analítica a la ecuac
0
4ndice Contenido Anexo de de ecuaciones ecuaciones y figuras............... figuras.......................................... ...................................................... ...................................................... .......................................... ............... ............ 3 Introducción................ Introducción........................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ........................................... ................ ............ 6 Modelo de Warren-Root............ Warren-Root....................................... ...................................................... ...................................................... ..................................................... .......................... ........... 6 Objetio............................ Objetio....................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... .................................................. ....................... ! "esarrollo............................. "esarrollo........................................................ ...................................................... ...................................................... ............................................................. .................................. ........... # "escri$ción del $royecto............................. $royecto........................................................ ...................................................... ........................................................................ ............................................. . # %s&ue'as %s&ue'as de solución................................................... solución.............................................................................. ...................................................... ....................................... ........................ ............... ... # (olución anal)tica.......................... anal)tica..................................................... ...................................................... ...................................................... ......................................................... .............................. # %s&ue'a %x$licito............................. %x$licito........................................................ ...................................................... ........................................................................ ............................................. ..... *0 %s&ue'a I'$l)cito............................. I'$l)cito........................................................ ...................................................... ...................................................... ................................................... ........................ ** Resultados.................... Resultados............................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ........................................... ................ ........ ** +o'$aración +o'$aración de es&ue'as es&ue'as $ara , nodos................................................... nodos................................................................................................ ............................................. ...** ... ** "t0.*/s.............................. "t0.*/s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... *1 "t0./s.............................. "t0./s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... *2 "t*/s................................... "t*/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... *, "t1/s................................... "t1/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... *# +o'$aración +o'$aración de es&ue'as es&ue'as $ara *00 nodos................................. nodos............................................................ ................................................................ ..................................... 11 "t0.*/s.............................. "t0.*/s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 11 "t0./s.............................. "t0./s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 12 "t*/s................................... "t*/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 1, "t1/s................................... "t1/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 1# %rrores , nodos.................................. nodos............................................................. ...................................................... ...................................................... ................................................... ........................ 31 "t0.*/s.............................. "t0.*/s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 31 "t0./s.............................. "t0./s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 33 "t*/s................................... "t*/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 32 "t1/s................................... "t1/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 3 %rrores *00 nodos............................. nodos........................................................ ...................................................... ...................................................... ...................................................... ........................... 36 "t0.*/s.............................. "t0.*/s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 36 "t0./s.............................. "t0./s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 3, "t*/s................................... "t*/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 3! "t1/s................................... "t1/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 3# *
resión de fondo fluyendo s t , nodos............................................. nodos........................................................................ .......................................................... ............................... 20 "t0.*/s.............................. "t0.*/s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 20 "t0./s.............................. "t0./s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 20 "t*/s................................... "t*/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 2* "t1/s................................... "t1/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 2* resión de fondo fluyendo s t *00 nodos......................................... nodos.................................................................... ............................................................ ................................. 21 "t0.*/s............................. "t0.*/s........................................................ ....................................................... ....................................................... ........................................................ ............................. ........... 21 "t0./s.............................. "t0./s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 21 "t*/s................................... "t*/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 23 "t1/s................................... "t1/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 23 resión de fondo fluyendo s 4og/t , nodos........................................... nodos.................................................................................... ......................................... .......... 22 "t0.*/s.............................. "t0.*/s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 22 "t0./s.............................. "t0./s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 2 "t*/s................................... "t*/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 2 "t1/s................................... "t1/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 26 resión de fondo fluyendo s 4og/t *00 nodos...................................... nodos.................................................................................. ............................................ .......... 26 "t0.*/s............................. "t0.*/s........................................................ ....................................................... ....................................................... ........................................................ ............................. ........... 26 "t0./s.............................. "t0./s......................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ..................................... .......... 2, "t*/s................................... "t*/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 2, "t1/s................................... "t1/s.............................................................. ...................................................... ...................................................... .............................................................. ................................... 2! 5olu'en 5olu'en de aceite s nodos.................................. nodos............................................................. ...................................................... ...................................................... .................................. ....... 2! , nodos................................. nodos............................................................ ...................................................... ...................................................... ............................................................. .................................. 2! *00 nodos................................. nodos............................................................ ...................................................... ...................................................... ........................................................... ................................ 2# Anlisis de de Resultados................ Resultados........................................... ...................................................... ....................................................... ....................................................... .................................... ......... 0 +onclusiones................ +onclusiones........................................... ...................................................... ...................................................... ........................................................................... ................................................ ... * 4anderos 4anderos Ra')re7 8os9 4uis.......................................................... 4uis..................................................................................... .................................................... ......................... .............. ............ .. * Mart)ne7 5elasco 5elasco Abel Is'ael................................... Is'ael.............................................................. ...................................................... ............................................................ ................................. . * Resu'en......................... Resu'en.................................................... ...................................................... ...................................................... ................................................................. ...................................... .......... 1 :ibliograf)a;................ :ibliograf)a;........................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ...................................................... ........................... 1
1
'ne5o de ecuaciones y fi!uras &cuación 1: 5ariables adi'ensionales en unidades de "arcy &cuación : Modelo doble $orosidad de Warren < Root &cuación 6: (olución anal)tica al 'odelo doble $orosidad de Warren < Root &cuación 7: %s&ue'a ex$licito de solución al 'odelo de doble $orosidad W
ar$lus +riterio de estabil estabilidad idad $ara el es&ue'a es&ue'a i'$lico i'$lico /obtenid /obtenido o con el criterio criterio de 5on 5on &cuación 12: +riterio ?eu'ann
Fi!ura 1: Resultados de la solución anal)tica $ara , nodos y dt0.*/s Fi!ura : Resultados del es&ue'a ex$licito $ara , nodos y dt0.*/s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura 6: Resultados del es&ue'a i'$l)cito $ara , nodos y dt0.*/s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura 7: Resultados de la solución anal)tica $ara , nodos y dt0./s Fi!ura 3: Resultados del es&ue'a ex$licito $ara , nodos y dt0./s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura 8: Resultados del es&ue'a i'$l)cito $ara , nodos y dt0./s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura /: Resultados de la solución anal)tica $ara , nodos y dt*/s Fi!ura 9: Resultados del es&ue'a ex$licito $ara , nodos y dt*/s su$erior fractura@ inferior 'atri7 Fi!ura : Resultados del es&ue'a i'$l)cito $ara , nodos y dt*/s su$erior fractura@ inferior 'atri7 Fi!ura 12: Resultados de la solución anal)tica $ara , nodos y dt1/s Fi!ura 11: Resultados del es&ue'a ex$licito $ara , nodos y dt1/s su$erior fractura@ inferior 'atri7 Fi!ura 1: Resultados del es&ue'a i'$l)cito $ara , nodos y dt1/s su$erior fractura@ inferior 'atri7 3
Fi!ura 16: Resultados de la solución anal)tica $ara *00 nodos y dt0.*/s Fi!ura Fi!ura 17: Resultados del es&ue'a ex$licito $ara *00 nodos y dt0.*/s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura Fi!ura 13: Resultados del es&ue'a i'$l)cito $ara *00 nodos y dt0.*/s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura 18: Resultados de la solución anal)tica $ara *00 nodos y dt0./s Fi!ura Fi!ura 1/: Resultados del es&ue'a ex$licito $ara *00 nodos y dt0./s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura Fi!ura 19: Resultados del es&ue'a i'$l)cito $ara *00 nodos y dt0./s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura 1: Resultados de la solución anal)tica $ara *00 nodos y dt*/s Fi!ura 2: Resultados del es&ue'a ex$licito $ara *00 nodos y dt*/s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura 1: Resultados del es&ue'a i'$l)cito $ara *00 nodos y dt*/s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura : Resultados de la solución anal)tica $ara *00 nodos y dt1/s Fi!ura 6: Resultados del es&ue'a ex$licito $ara *00 nodos y dt1/s su$erior fractura@ inferior 'atri7
Fi!ura 7: Resultados del es&ue'a i'$l)cito $ara *00 nodos y dt1/s su$erior fractura@ inferior 'atri7 +o'$aración ión del error error del es&ue'a es&ue'a ex$licito ex$licito /su$erior /su$erior e i'$l)cit i'$l)cito o /inferio /inferior r $ara , Fi!u Fi!ura ra 3: +o'$arac nodos y dt0.*/s +o'$aración ión del error del es&ue'a es&ue'a ex$lici ex$licito to /su$erior /su$erior e i'$l)cito i'$l)cito /inferio /inferior r $ara , Fi!ura 8: +o'$arac nodos y dt0./s +o'$aración ión del error del es&ue'a es&ue'a ex$lici ex$licito to /su$erior /su$erior e i'$l)cito i'$l)cito /inferio /inferior r $ara , Fi!ura /: +o'$arac nodos y dt*/s +o'$aración ión del error del es&ue'a es&ue'a ex$lici ex$licito to /su$erior /su$erior e i'$l)cito i'$l)cito /inferio /inferior r $ara , Fi!ura 9: +o'$arac nodos y dt1/s +o'$aración del error del es&ue'a es&ue'a ex$licito ex$licito /su$erior /su$erior e i'$l)cito /inferior /inferior $ara *00 Fi!ura : +o'$aración nodos y dt0.*/s +o'$aración del error del es&ue'a es&ue'a ex$licito ex$licito /su$erior /su$erior e i'$l)cito /inferior /inferior $ara *00 Fi!ura 62: +o'$aración nodos y dt0./s 2
Fi!ura 61: +o'$aración del error del es&ue'a ex$licito /su$erior e i'$l)cito /inferior $ara *00 nodos y dt*/s
Fi!ura 6: +o'$aración del error del es&ue'a ex$licito /su$erior e i'$l)cito /inferior $ara , nodos y dt1/s
Fi!ura 66: resión de fondo fluyendo s tie'$o $ara dt0.*/s y , nodos Fi!ura 67: resión de fondo fluyendo s tie'$o $ara dt0./s y , nodos Fi!ura 63: resión de fondo fluyendo s tie'$o $ara dt*/s y , nodos Fi!ura 68: resión de fondo fluyendo s tie'$o $ara dt1/s y , nodos Fi!ura 6/: resión de fondo fluyendo s tie'$o $ara dt0.*/s y *00 nodos Fi!ura 69: resión de fondo fluyendo s tie'$o $ara dt0./s y *00 nodos Fi!ura 6: resión de fondo fluyendo s tie'$o $ara dt*/s y *00 nodos Fi!ura 72: resión de fondo fluyendo s tie'$o $ara dt1/s y *00 nodos Fi!ura 71: resión de fondo fluyendo s 4og/tie'$o $ara dt0.*/s y , nodos Fi!ura 7: resión de fondo fluyendo s 4og/tie'$o $ara dt0./s y , nodos Fi!ura 76: resión de fondo fluyendo s 4og/tie'$o $ara dt*/s y , nodos Fi!ura 77: resión de fondo fluyendo s 4og/tie'$o $ara dt1/s y , nodos Fi!ura 73: resión de fondo fluyendo s 4og/tie'$o $ara dt0.*/s y *00 nodos Fi!ura 78: resión de fondo fluyendo s 4og/tie'$o $ara dt0./s y *00 nodos Fi!ura 7/: resión de fondo fluyendo s 4og/tie'$o $ara dt*/s y *00 nodos Fi!ura 79: resión de fondo fluyendo s 4og/tie'$o $ara dt1/s y *00 nodos Fi!ura 7: "istribución del olu'en de aceite $ara una 'alla radial de , nodos Fi!ura 32: "istribución del olu'en de aceite $ara una 'alla radial de *00 nod
ntroducción 4os yaci'ientos de $orosidad si'$le son estudiados bajo l a si'$lificación de &ue el 'edio es =o'og9neo y las $ro$iedades $etrof)sicas bsicas tales co'o la $orosidad y la $er'eabilidad sie'$re estn asociadas a una tendencia. n yaci'iento natural'ente fracturado es un un 'edio $oroso conteniendo $lanos discontinuos /fracturas naturales y &ue afectan el flujo de fluidos. %n los yaci'ientos natural'ente fracturados existen discre$ancias y discontinuidades a lo largo del 'is'o@ co'o resultado el siste'a $resenta dos $orosidades $ara una 'is'a for'ación@ esto se debe a la existencia de dos 'edios@ 'atri7 y fractura.
4a 'atri7 contiene $oros 'uy finos y $osee una alta ca$acidad de al'acena'iento $ero una ca$acidad de flujo baja@ se interconecta con la red de fracturas &ue $osee una baja ca$acidad de al'acena'iento $ero una ca$acidad de flujo eleada.
ara el uso adecuado de los 'odelos $ro$uestos se debe dis$oner de una 'ayor cantidad de infor'ación@ esta infor'ación debe contener la $orosidad y la $er'eabilidad de a'bos 'edios@ la distribución de los 'is'os as) co'o la distribución de las fracturas.
Modelos $ro$uestos $ara el estudio de yaci'ientos natural'ente fracturados;
•
Warren-Root
•
ollar
•
>a7e'i
•
"e (Baan
•
?ajureita
6
,odelo de ;arren0*oot
Re$resenta al yaci'iento co'o un siste'a ideali7ado for'ado $or $aralele$)$edos rectangulares id9nticos se$arados $or una red ortogonal de fracturas. %l flujo =acia el $o7o tendr lugar en el 'edio fracturado 'ientras &ue la 'atri7 ali'enta al 'edio fracturado continua'ente@ el siste'a de fracturas se encuentra bajo condiciones cuasi-estacionarias de flujo. :ajo condiciones transitorias@ se =a desarrollado una función de res$uesta de la $resión co'o una función de dos nueos $ar'etros adi'ensionales C y D.
%stos $ar'etros caracteri7an la relación entre las dos regiones de diferentes $orosidades@ C es la relación de flujo entre las dos regiones y D ex$resa la ca$acidad relatia de al'acena'iento de los dos 'edios. 4os resultados de este 'odelo al ser graficados en $a$el se'ilogar)t'ico de log /t s $resión reela la $resencia de dos l)neas rectas $aralelas en lugar de una co'o se obsera en los yaci'ientos de si'$le $orosidad.
4a se$aración te'$rana o tard)a de las rectas $aralelas de$ende de la ca$acidad de al'acena'iento relatia /D y el $eriodo de transición de la $resión de$ender de la relación de flujo entre los dos 'edios /C@ la $endiente de las dos l)neas rectas $aralelas es una función directa de la ca$acidad de flujo y la red de fracturas inde$endiente'ente de la $orosidad intergranular.
4as ariables adi'ensionales en unidades de "arcy se definen de la siguiente 'anera;
P D
2π K h = [ P − p(r , t )] q µ
r D
=
t D
=
2
0
r r w K 2 t
[ ( C φ + C φ ) µ ⋅ r ] 1 1
λ = ϖ =
2
2
2 w
< 2=
α K 1 r w2 K 2
( C 2φ 2 ) ( C 1φ 1 + C 2φ 2 ) ,
.
"onde;
> +orres$onde a la iscosidad del fluido /c$ t +orres$onde al tie'$o /s q +orres$onde al gasto olu'9trico /c' 3Es . +orres$onde al es$esor /c' P2 +orres$onde a la $resión inicial cuando t0 /at' p
∂ ∂ P 2 D ∂ P 2 D ∂ P 1 D r D − ϖ − (1 − ϖ ) =0 r D ∂r D ∂r D ∂t D ∂t D ∂ P (1 − ϖ ) 1 D − λ ( P 2 D − P 1 D ) = 0 ∂t D 1
< 2=
!
Eb)etio Fue el alu'no genere un $rogra'a en lenguaje Gortran &ue si'ule el co'$orta'iento de $resión $ara un 'odelo de doble $orosidad =o'og9neo e isótro$o con flujo en una di'ensión@ saturado co'$leta'ente de aceite@ con caracter)sticas de fluido y roca inco'$resibles@ cuya distribución de $resiones al tie'$o cero $/r @t0 obedece a condiciones de e&uilibrio graitacional. +on $ro$iedades del fluido constantes a lo largo del yaci'iento. %l co'$orta'iento si'ulado tendr &ue obtenerse 'ediante la solución anal)tica de la corres$ondiente ecuación de difusión de este yaci'iento y deber ser co'$arada con los es&ue'as de solución $or a$roxi'aciones en diferencias finitas /%s&ue'a I'$l)cito y %x$l)cito.
Desarrollo
Descripción del proyecto (e considerara flujo $referencial de aceite en un 'edio $oroso =o'og9neo e isótro$o en la dirección r ade's de tratarse de un 'odelo unidi'ensional =ori7ontal@ el 'odelo 'ate'tico $ara utili7ar ser el de Warren-Root.
&squemas de solución 4os es&ue'as &ue se utili7aran $ara este trabajo se describen a continuación; • • •
(olución anal)tica /%xacta %s&ue'a %x$licito %s&ue'a i'$l)cito
Solución analítica ara un yaci'iento finito Warren y Root $ro$usieron la siguiente solución anal)tica;
PD
2 1 (1 − ϖ ) = + t + 4 r − 1 λ 2
D
D
− ⋅ − 1 − e 0 < r < L
ϖ )
λ t D
2
ϖ (1
D
3 r − 4 r ln(r ) − 2 r − 1 − 4( r − 1) t > 0 4
4
D
D
2
D
2
D
< 2=
2
D
#
+o'o se $uede a$reciar se encuentra en ariables adi'ensionales@ basta con utili7ar la definición de ariable adi'ensional $ara conertir los resultados a ariables reales.
&squema &5plicito A$licando diferencias finitas centrales al niel de tie'$o n $ara el t9r'ino de flujo y diferencias $rogresias al t9r'ino de acu'ulación el siguiente arreglo &ue brinda una solución nu'9rica $ara el niel de tie'$o nH* y la $osición i.
n +1
P D f ( i )
= cP
n
− aP
n
D f ( i −1)
+ bP
D f ( i )
1 P + + 1 − 1 P − − 1 n 1
n
D f ( i +1)
ϖ
∆t 1 c= r ∆r ∆r − ∆t r 1 + b= r ∆r ∆r + a = c + b + ϖ r D
D
1 (i − ) 2
D( i )
D( i )
D 1 (i ) 2 D( i )
D 1 (i ) 2
D
D( i )
D 1 (i ) 2
n
Dm ( i )
ϖ
Dm ( i )
< 2=
< 2=
"ebido a la $resencia de un t9r'ino de la $resión de la 'atri7 a un niel futuro $ara $oder encontrar la $resión en la fractura se utili7ara el co'$le'ento de (c=ur.
n+1
P Dm ( i )
t λ ∆ P = 1 − ϖ D
n
D f ( i )
t λ ∆ − − 1 P 1 − ϖ D
n
< 2=
Dm ( i )
*0
&squema mplícito A$licando diferencias finitas centrales al niel de tie'$o nH* $ara el ter'ino de flujo y diferencias $rogresias al ter'ino de acu'ulación el siguiente arreglo &ue brinda una solución nu'9rica $ara el niel de tie'$o nH* $ara tres $osiciones@ i-*@i@iH* es decir@ un siste'a de ecuaciones.
cP D f +( i−1) n 1
− aP + + bP + n 1
n 1
D f ( i )
− (1 − ϖ ) P + = −(1 − ϖ ) P n 1
D f ( i +1)
n
Dm ( i )
− ϖ P
n
Dm ( i )
D f ( i )
< 2=
"ebido a la $resencia de un t9r'ino de la $resión de la 'atri7 a un niel futuro $ara $oder encontrar la $resión en la fractura se utili7ara el co'$le'ento de (c=ur.
n+1
P Dm ( i )
=
(1 − ϖ )
n
(1 − ϖ ) + (∆t D λ )
P Dm ( i )
∆ t λ + P (1 − ϖ ) + (∆t λ )
n
D
< 2=
D f ( i )
D
ara $oder llegar a la solución de dic=o siste'a@ al tratarse de una 'atri7 tridiagonal se $ro$one el uso del algorit'o de J=o'as.
*esultados Comparación de esquemas para /3 nodos DtG2"1
'nalitico /3 nodos 300
dt0.*
10 dt0.1
dt0.3
dt0.2
dt0.#
dt*
dt0.
dt0.6
100
Presion <'H,=
*0 *00
dt0.,
dt0.! 0 0 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
Fi!ura < 2= **
&5plicto Fractura /3 nodos 300 1#0 dt0.*
dt0.1 1!0
dt0.3
dt0.2
dt0.#
dt*
dt0.
dt0.6
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt0.,
110 dt0.! 1*0 100 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
Nodo
&5plicito ,atri% /3 nodos 300 1#0 dt0.* dt0.1 1!0 1,0 160 10 Presion <'H,= 120 130 110 dt0., dt0.! 1*0 100 *
**
dt0.3
dt0.2
dt0.#
dt*
1*
3*
2*
dt0.
*
dt0.6
6*
,*
Nodo
Fi!ura < 2=
*1
mplicito fractura /3 nodos 300 1#0 dt0.*
1!0 dt0.1
dt0.3
dt0.2
dt0.#
dt*
dt0.
dt0.6
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt0.,
110 dt0.! 1*0 100 *
6
** *6 1* 16 3* 36 2* 26 * 6 6* 66 ,*
Nodo
mplicito matri% /3 nodos 300 1#0 dt0.* dt0.1 dt0.3 dt0.2 dt0. dt0.6 1!0 1,0 160 10 Presion <'H,= 120 130 110 dt0., dt0.! dt0.# dt* 1*0 100 * 6 ** *6 1* 16 3* 36 2* 26 * 6 6* 66 ,*
Nodo
Fi!ura < 2=
*3
DtG2"3
'nalitico /3 nodos 300 10 dt*
dt0.
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
100
Presion <'H,=
*0 *00
dt2
dt2. 0
dt
0 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
Fi!ura < 2=
&5plicto Fractura /3 nodos 300 1#0 dt0.
dt* 1!0
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt2
110 dt2.
dt
1*0 100 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
Nodo
*2
&5plicito ,atri% /3 nodos 300 1#0 dt0.
dt* 1!0
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130 110 dt2.
dt2
dt
1*0 100 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
Nodo
Fi!ura < 2=
mplicito fractura /3 nodos 300 1#0 dt0.
dt* 1!0
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt2
110 dt2.
dt
1*0 100 *
6
** *6 1* 16 3* 36 2* 26 * 6 6* 66 ,*
Nodo
*
mplicito matri% /3 nodos 300 1#0 dt0.
dt* 1!0
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130 110 dt2.
dt2
dt
1*0 100 *
6
** *6 1* 16 3* 36 2* 26 * 6 6* 66 ,*
Nodo
Fi!ura < 2=
DtG1
'nalitico /3 nodos 300
dt*
10 dt1
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
100
Presion <'H,=
*0 *00
dt#
dt*00 0 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
Fi!ura < 2=
*6
&5plicto Fractura /3 nodos 300 1#0 dt*
dt11!0
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt#
110 dt*0 1*0 100 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
Nodo
&5plicito ,atri% /3 nodos 300 1#0 dt* dt11!0 1,0 160 10 Presion <'H,= 120 130 110 dt# dt*0 1*0 100
dt3
*
**
dt2
1*
dt
3*
dt6
2*
*
dt,
6*
dt!
,*
Nodo
Fi!ura < 2=
*,
mplicito fractura /3 nodos 300 1#0 dt*
dt11!0
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt#
110 dt*0 1*0 100 *
6
** *6 1* 16 3* 36 2* 26 * 6 6* 66 ,*
Nodo
mplicito matri% /3 nodos 300 1#0 dt* dt11!0 1,0 160 10 Presion <'H,= 120 130 110 dt# dt*0 1*0 100
dt3
*
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
6 ** *6 1* 16 3* 36 2* 26 * 6 6* 66 ,*
Nodo
Fi!ura < 2=
*!
DtG
'nalitico /3 nodos 300 10 dt2
dt1
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
100
Presion <'H,=
*0 *00
dt*6
dt*! 0
dt10
0 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
Fi!ura < 2=
&5plicto Fractura /3 nodos 300 1#0 dt1
dt2 1!0
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt*6
110 dt*!
dt10
1*0 100 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
Nodo
*#
&5plicito ,atri% /3 nodos 300 1#0 dt1
dt2 1!0
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130 110 dt*!
dt*6
dt10
1*0 100 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
Nodo
Fi!ura < 2=
mplicito fractura /3 nodos 300 1#0 dt1
dt2 1!0
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt*6
110 dt*!
dt10
1*0 100 *
6
** *6 1* 16 3* 36 2* 26 * 6 6* 66 ,*
Nodo
10
mplicito matri% /3 nodos 300 1#0 dt1
dt2 1!0
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt*6
110 dt*!
dt10
1*0 100 *
6
** *6 1* 16 3* 36 2* 26 * 6 6* 66 ,*
Nodo
Fi!ura < 2=
Comparación de esquemas para 122 nodos DtG2"1
'nalitico 122 nodos 300 dt0.*
10 dt0.1
dt0.3
dt0.2
dt0.#
dt*
dt0.
dt0.6
100
Presion <'H,=
*0 *00
dt0.,
dt0.! 0 0 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
#0
*00
Nodo
Fi!ura < 2=
1*
&5plicito fractura 122 nodos 300 1#0 dt0.*
1!0 dt0.1
dt0.3
dt0.2
dt0.#
dt*
dt0.
dt0.6
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt0.,
110 dt0.! 1*0 100 *
10
3#
!
,,
#6
Nodo
&5plicito matri% 122 nodos 300 1#0 dt0.* dt0.1 1!0 1,0 160 10 Presion <'H,= 120 130 110 dt0., dt0.! 1*0 100 *
**
dt0.3
dt0.2
dt0.#
dt*
1*
3*
2*
*
dt0.
6*
,*
dt0.6
!*
#*
Nodos
Fi!ura < 2=
11
mplicito fractura122 nodos 300 1#0 dt0.*
1!0 dt0.1
dt0.3
dt0.2
dt0.#
dt*
dt0.
dt0.6
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt0.,
110 dt0.! 1*0 100 *
10
3#
!
,,
#6
Nodo
mplicito matri%122 nodos 300 1#0 dt0.* dt0.1 1!0 1,0 160 10 Presion <'H,= 120 130 110 dt0., dt0.! 1*0 100 *
dt0.3
dt0.2
dt0.#
dt*
10
3#
dt0.
!
,,
dt0.6
#6
Nodo
Fi!ura < 2=
13
DtG2"3
'nalitico 122 nodos 300 10 dt*
dt0.
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
100
Presion <'H,=
*0 *00
dt2
dt2. 0
dt
0 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
#0
*00
Nodo
Fi!ura < 2=
&5plicito fractura 122 nodos 300 1#0 dt0.
dt* 1!0
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt2
110 dt2.
dt
1*0 100 *
10
3#
!
,,
#6
Nodo
12
&5plicito matri% 122 nodos 300 1#0 dt0.
dt* 1!0
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130 110 dt2.
dt2
dt
1*0 100 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodos
Fi!ura < 2=
mplicito fractura122 nodos 300 1#0 dt0.
dt* 1!0
dt*.
dt1
dt1.
dt3
!
,,
dt3.
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt2
110 2.
dt
1*0 100 *
10
3#
#6
Nodo
1
mplicito matri% 122 nodos 300 1#0 dt0.
dt* 1!0
dt*.
dt1
dt1.
dt3
!
,,
dt3.
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130 110 2.
dt2
dt
1*0 100 *
10
3#
#6
Nodo
Fi!ura < 2=
DtG1
'nalitico 122 nodos 300
dt*
10 dt1
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
100
Presion <'H,=
*0 *00
dt#
dt*00 0 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
#0
*00
Nodo
Fi!ura < 2=
16
&5plicito fractura 122 nodos 300 1#0 dt*
dt11!0
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt#
110 dt*0 1*0 100 *
10
3#
!
,,
#6
Nodo
&5plicito matri% 122 nodos 300 1#0 dt* dt11!0 1,0 160 10 Presion <'H,= 120 130 110 dt# dt*0 1*0 100
dt3
*
**
dt2
1*
3*
dt
2*
dt6
*
6*
dt,
,*
!*
dt!
#*
Nodos
Fi!ura < 2=
1,
mplicito fractura122 nodos 300 1#0 dt*
dt11!0
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt#
110 dt*0 1*0 100 *
10
3#
!
,,
#6
Nodo
mplicito matri% 122 nodos 300 1#0 dt* dt11!0 1,0 160 10 Presion <'H,= 120 130 110 dt# dt*0 1*0 100
dt3
*
dt2
10
dt
3#
dt6
!
dt,
,,
dt!
#6
Nodo
Fi!ura < 2=
1!
DtG
'nalitico 122 nodos 300 10 dt2
dt1
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
100
Presion <'H,=
*0 *00
dt*6
dt*! 0
dt10
0 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
#0
*00
Nodo
Fi!ura < 2=
&5plicito fractura 122 nodos 300 1#0 dt1
dt2 1!0
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt*6
110 dt*!
dt10
1*0 100 *
10
3#
!
,,
#6
Nodo
1#
&5plicito matri% 122 nodos 300 1#0 dt1
dt2 1!0
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130 110 dt*!
dt*6
dt10
1*0 100 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodos
Fi!ura < 2=
mplicito fractura122 nodos 300 1#0 dt1
dt2 1!0
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
1,0 160
Presion <'H,=
10 120 130
dt*6
110 dt*!
dt10
1*0 100 *
10
3#
!
,,
#6
Nodo
30
mplicito matri% 122 nodos 300 1#0 dt1
dt2 1!0
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
1,0 160 10
Presion <'H,=
120 130 110 dt*!
dt*6
dt10
1*0 100 *
10
3#
!
,,
#6
Nodo
Fi!ura < 2=
&rrores /3 nodos DtG2"1
&rror e5plicito /3 nodos *0000 !000 dt0.*6000
dt0.1
dt0.3
dt0.2
dt0.!
dt0.#
dt*
dt0.
dt0.6
2000 1000
&rror
0 -1000 -2000
-6000 dt0., -!000 -*0000 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
3*
&rror mplicito /3 nodos 0 -*000 dt0.* -1000
dt0.1
dt0.3
dt0.!
dt0.#
dt0.2
dt0.
dt0.6
-3000 -2000
&rror
-000 -6000 -,000
-!000 dt0., -#000 -*0000 0
1
2
6
!
*0
*1
Nodo
Fi!ura < 2=
DtG2"3
&rror e5plicito /3 nodos *0000 !000 dt0.6000 dt*
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
2000 1000
&rror
0 -1000 -2000
dt2 -6000 dt2.
dt
-!000 -*0000 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
31
&rror mplicito /3 nodos 0 -*000 dt0.-1000 dt*
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
-3000 -2000
&rror
-000 -6000 -,000
dt2 -!000 dt2.
dt
-#000 -*0000 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
Fi!ura < 2=
DtG1
&rror e5plicito /3 nodos *0000 !000 dt*
dt1 6000
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
2000 1000
&rror
0 -1000 -2000
dt# -6000 dt*0 -!000 -*0000 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
33
&rror mplicito /3 nodos 0 -*000 dt* -1000 dt1
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
-3000 -2000 -000
&rror
-6000 -,000
dt# -!000 dt*0 -#000 -*0000 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
Fi!ura < 2=
DtG
&rror e5plicito /3 nodos *0000 !000 dt1
6000 dt2
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
2000 1000
&rror
0 -1000 -2000
dt*6-6000 dt*!
dt10
-!000 -*0000 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
32
&rror mplicito /3 nodos 0 -*000 dt1 -1000 dt2
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
-3000 -2000
&rror
-000 -6000 -,000
dt*6-!000 dt*!
dt10
-#000 -*0000 0
*0
10
30
20
0
60
,0
!0
Nodo
Fi!ura < 2=
&rrores 122 nodos DtG2"1
&rror e5plicito 122 nodos *0000 !000 dt0.*6000
dt0.1
dt0.3
dt0.2
dt0.!
dt0.#
dt*
dt0.
dt0.6
2000 1000
&rror
0 -1000 -2000
-6000 dt0., -!000 -*0000 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodo
3
&rror implicito 122 nodos 0 -*000 dt0.* -1000
dt0.1
dt0.3
dt0.2
dt0.!
dt0.#
dt*
dt0.
dt0.6
-3000 -2000
&rror
-000 -6000 -,000
-!000 dt0., -#000 -*0000 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodo
Fi!ura < 2=
DtG2"3
&rror e5plicito 122 nodos *0000 !000 dt0.6000 dt*
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
2000 1000
&rror
0 -1000 -2000
dt2 -6000 dt2.
dt
-!000 -*0000 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodo
36
&rror implicito 122 nodos 0 -*000 dt0.-1000 dt*
dt*.
dt1
dt1.
dt3
dt3.
-3000 -2000
&rror
-000 -6000 -,000
dt2 -!000 dt2.
dt
-#000 -*0000 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodo
Fi!ura < 2=
DtG1
&rror e5plicito 122 nodos *0000 !000 dt*
dt1 6000
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
2000 1000
&rror
0 -1000 -2000
dt# -6000 dt*0 -!000 -*0000 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodo
3,
&rror implicito 122 nodos 0 -*000 dt* -1000 dt1
dt3
dt2
dt
dt6
dt,
dt!
-3000 -2000 -000
&rror
-6000 -,000
dt# -!000 dt*0 -#000 -*0000 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodo
Fi!ura < 2=
DtG
&rror e5plicito 122 nodos *0000 !000 dt1
6000 dt2
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
2000 1000
&rror
0 -1000 -2000
dt*6-6000 dt*!
dt10
-!000 -*0000 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodo
3!
&rror implicito 122 nodos 0 -*000 dt1 -1000 dt2
dt6
dt!
dt*0
dt*1
dt*2
-3000 -2000
&rror
-000 -6000 -,000
dt*6-!000 dt*!
dt10
-#000 -*0000 *
**
1*
3*
2*
*
6*
,*
!*
#*
Nodo
Fi!ura < 2=
Presión de fondo fluyendo s t /3 nodos DtG2"1
PIf s t 1#0 1!#. 1!# 1!!.
PIf
1!! 1!,. 1!, 1!6. 1!6 0.*
0.1
0.3
0.2
0.
0.6
0.,
0.!
0.#
*
t
3#
Fi!ura <66=
DtG2"3
PIf s t 1!# 1!, 1! 1!3
PIf
*
*.
1
1.
3
3.
2
2.
6
,
!
#
*0
t
Fi!ura <67=
DtG1
PIf s t 1#0 1! 1!0
PIf
1, 1,0 16 *
1
3
2
t
Fi!ura <63=
20
DtG
PIf s t 1! 1!0 1, 1,0 16
PIf
160 1 10 12 120 1
!
**
*2
*,
10
*2
*,
10
t
Fi!ura <68=
Presión de fondo fluyendo s t 122 nodos DtG2"1
PIf s t 1! 1!0 1, 1,0 16
PIf
!
**
t
Fi!ura <6/=
2*
DtG2"3
PIf s t 1! 1!0 1, 1,0 16
PIf
160 1 10 12 120 1
!
**
*2
*,
10
*2
*,
10
t
Fi!ura < 69=
DtG1
PIf s t 1! 1!0 1, 1,0 16
PIf
160 1 10 12 120 1
!
**
t
Fi!ura <6=
21
DtG
PIf s t 1! 1!0 1, 1,0 16
PIf
160 1 10 12 120 1
!
**
*2
*,
10
t
Fi!ura <72=
Presión de fondo fluyendo s #o!
PIf s lo!
PIf
1!,. 1!, 1!6. 1!6 0.*
*
#o!
Fi!ura <71=
23
DtG2"3
PIf s lo!
PIf
1!* 1,# 1,, 1, 0.
lo!
Fi!ura <7=
DtG1
PIf s lo!
PIf
1, 1,0 16 160 *
*0
#o!
Fi!ura <76=
22
DtG
PIf s lo!
PIf
162 1# 12 12# 122 1
10
#o!
Fi!ura <77=
Presión de fondo fluyendo s #o!
PIf <'H,= 160 1 10 12 120 13
#o!
Fi!ura <73=
2
DtG2"3
PIf s #o!
PIf <'H,=
160 1 10 12 120 13
#o!
Fi!ura <78=
DtG1
PIf s #o!
PIf <'H,=
120 130 110 1*0 100 *#0
#o!
Fi!ura <7/=
26
DtG
PIf s #o!
PIf <'H,=
*#0 *,0 *0 *30 **0 1
6
*!
#o!
Fi!ura <79=
-olumen de aceite s nodos /3 nodos 00.02 20.02 200.02 30.02 300.02 10.02
-olumen de a ceite
100.02 *0.02 *00.02 0.02 0.02
1
6 1 0 3 1 # * 3 3 , 2 2 - * ! 6 - ,
Nodo
Fi!ura <7=
2,
122 nodos 200.02 30.02 300.02 10.02 100.02
-olumen de a ceite
1 * * 1 # 3 ! 2 , 6 6 - , 2 ! 0 1 3 # 1
Nodos
Fi!ura <32=
'n(lisis de *esultados
*. K+ó'o se co'$aran las soluciones obtenidas 'ediante cada uno de los '9todos con la solución exactaL or 'edio del anlisis de error@ dado &ue la solución anal)tica es la solución exacta al $roble'a $ode'os co'$robar &ue tan $reciso es un es&ue'a de solución@ si el alor del es&ue'a $ro$uesto esta 'uy lejano de la solución anal)tica el error ser 'uy grande y la $recisión de dic=o es&ue'a ser 'uy baja.
1. K+ul de los '9todos $roduce la 'ejor soluciónL +on base en los resultados obtenidos $ode'os obserar &ue el es&ue'a &ue genera la solución 'as exacta es el i'$l)cito@ debido al error ')ni'o $resente en los alores otorgados $or el 'is'o. %sto se relación a la estabilidad &ue ofrece cada es&ue'a de solución@ si el es&ue'a es estable el error ser $e&ueo. 2!
3.
K+ul es el efecto de Nx y Nt sobre el dese'$eo nu'9rico de los '9todos y sobre la soluciónL
Recordando lo isto en clase@ se tiene &ue el es&ue'a ex$licito es condicional'ente estable@ es decir bajo ciertas condiciones de o$eración brindara resultados correctos. ara un Nx $e&ueo y un Nt grande el es&ue'a ex$licito ser estable@ $or el contrario@ Nx $e&ueo y un Nt grande el es&ue'a ex$licito ser inestable. "ic=o criterio de estabilidad es el siguiente;
1 ∆t ≤ ∆ x 2 sin p∆ x 2
2
∆t 1 ≤ ∆ x 2
< 2=
2
2
+on lo cual se confir'a su estabilidad condicional. %l es&ue'a i'$l)cito es incondicional'ente estable y su criterio es el siguiente;
γ n+1 γ n
=
1
4∆t sin p∆ x 1+ 2 ∆ x 2
si
γ n +1 γ n
<1
< 2=
2
"onde nH*E n %s el 'odulo del factor de a'$lificación de 5on ?eu'ann. 4os efectos de Nx y Nt en su dese'$eo se ern reflejados en &ue tan r$ido se acerca a la solución@ es decir &ue tan cercanos son los alores de la iteración $resente con la iteración $asada@ entre 'enor Nx y Nt los alores sern 's cercanos@ a 'ayor Nx y Nt sern ligera'ente distantes.
Conclusiones 4anderos Ra')re7 8os9 4uis +on base en los resultados obtenidos =e reafir'ado las bases teóricas ad&uiridas durante el curso@ $ues co'o se en en la co'$aratia de error el es&ue'a 's inestable es el ex$licito@ co'$robando su criterio de estabilidad; inersa'ente $ro$orcional a Nx y directa'ente $ro$orcional a Nt. %n ca'bio el es&ue'a i'$l)cito es el 's cercano a la solución real /anal)tica inde$endiente'ente de las condiciones de trabajo dado &ue es incondicional'ente estable con base en el criterio de 5on ?eu'ann.
2#
"ado la naturale7a de los yaci'ientos natural'ente fracturados se re&uieren 'odelos nu'9ricos 's co'$lejos diferentes a un yaci'iento conencional@ una de esas a$roxi'aciones es el 'odelo de Warren and Root $ara un 'odelo de doble $orosidad. %ste trabajo 'e ayudo a co'$render 'ejor las bases teóricas &ue rigen el co'$orta'iento de un yaci'iento natural'ente fracturado asi co'o la diferencia entre los es&ue'as de solución y el co'$orta'iento de la $resión s tie'$o en dic=os yaci'ientos /dos rectas y una 7ona de transición entre ellas@ la $ri'era de ellas re$resenta al flujo en la 'atri7@ la segunda a la fractura y la 7ona de transición a la relación de flujo.
Mart)ne7 5elasco Abel Is'ael 4os '9todos $ara resoler la ecuación de difusión considerando un yaci'iento finito y un siste'a de doble $orosidad $ro$uesto $or Warren < Root@ son =erra'ientas Ptiles en la ingenier)a de yaci'ientos@ es i'$ortante $oder contar con infor'ación sólida de $er'eabilidad y $orosidad@ as) co'o las distribuciones de nuestro siste'a de al'acena'iento y nuestro siste'a de flujo@ dado &ue la incertidu'bre a de la 'ano con el trabajo de ca'$o en la industria $etrolera@ debido a la dificultad en las 'ediciones de $ar'etros co'o los ya 'encionados@ la incertidu'bre de nuestros resultados au'enta y con ella el error de los clculos@ $or 'edio de la co'$aración de los es&ue'as anal)tico@ ex$l)cito e i'$l)cito@ se logra@ ade's de obtener una 'ejor idea de los co'$orta'ientos &ue se $resentan en estos es&ue'as@ obtener el error &ue =ubo en el clculo de las $resiones@ as) $oder o$ti'i7ar el código@ anali7ar $osibles soluciones y llegar al 'as ó$ti'o $osible desenlace $ara el $royecto &ue este'os trabajando. Al co'$arar los es&ue'as se obsero &ue el es&ue'a ex$licito $resentó 'enor error
*esumen %l estudio de los yaci'ientos natural'ente fracturados es de gran i'$ortancia debido a sus discre$ancias de los yaci'ientos conencionales y su alta co'$lejidad. ara ello se tienen diersos 'odelos &ue se a$roxi'an 'ejor al co'$orta'iento de los ca'$os en estudio. "entro de los 'odelos de doble $orosidad se encuentra el de Warren-Root@ &ue =ace uso de ariables adi'ensionales $ara facilitar el $roceso de estudio. ara darle una solución al $roble'a es necesario a$roxi'ar el 'odelo $or lo cual en este trabajo se $ro$usieron 3 es&ue'as de solución@ anal)tico@ ex$licito e i'$l)cito as) co'o la co'$aración entre los 'is'os. Ja'bi9n se =i7o un anlisis de error $ara los es&ue'as $lanteados en diferencias finitas
0
en relación a la solución exacta@ de'ostrando as) la estabilidad de dic=o es&ue'as ante diferentes condiciones de o$eración. "es$u9s se co'$aro co'o es el ca'bio de $resión en los yaci'ientos natural'ente fracturados co'$arados con
los yaci'ientos conencionales /la grafica se'ilog es una recta@ en los
yaci'ientos natural'ente fracturados se a$recian 1 l)neas rectas en una grafica se'ilog as) co'o una 7ona de transición entre las 'is'as@ acorde a lo establecido $or el 'odelo de Warren-Root.
Jiblio!rafía: "onald W. eace'an/*#,,.Gunda'entals of ?u'erical Reseroir (i'ulation. ?et=erlands; %lseier. $ 2-6. J.". 5an Qolf-Rac=t/*#!1.Gunda'entals of fractures reseroir engineering. ?et=erlands; %lseier. $ 33-2*#
*
1
