12-Coord Polares.pdf

12 CAPÍTULO

MATEMÁTICAS SIMPLIFICADAS

Sistema polar El sistema polar es similar al cartesiano, su objetivo es la representación grá�ca de elementos geométricos utilizando pares coordenados de magnitud y dirección, mediante un segmento y un ángulo, tal segmento recibe el nombre de radio vector y el ángulo argumento. La recta OA y el punto P forman un marco de referencia, como los ejes coordenados en el sistema cartesiano.

L P

(r , q )

OP

= r : radio vector

: Argumento O: polo OA : Eje polar u

r

O

L: Eje

A

p

2

Gráfi ca de un punto en coordenadas polares Un punto P(r , q ) en coordenadas polares se gra�ca a r unidades unidades del polo sobre un rayo que se llama lado terminal conocido también como radio vector que forma el argumento a rgumento q . El argumento de un punto cuyas coordenadas son polares, se considera positivo si es en sentido contrario a las manecillas del reloj y negativo si es en el mismo sentido de las manecillas del reloj.

Ejemplos P(4, 30°)

P(3, −135°) r = 3

r = 4 q

=

30° q

135°

= −

P(5, 240°) q

=

P(3, −45°)

240° q

r = 5

r = 3

1076

45°

= −

CAPÍTULO 12

GEOMETRÍA ANALÍTICA • Coordenadas polares

La representación grá�ca de un par de coordenadas polares, no son únicas, es decir, hay otros valores coordenados que de�nen este mismo punto. Como verás a continuación: P(4, 60°)

P(4, −300°)

r = 4

r = 4

q

=

60°

q

P(4,

300°

= −

420°)

r = 4

420° Hay puntos cuya coordenada r se se extienden en sentido opuesto al lado terminal del ángulo, que se denota como – r , entonces las coordenadas del punto tendrán la forma P(–r , q ), ), cabe mencionar que esto no signi�ca que r sea sea negativa, sólo se designa de este modo a la distancia del lado terminal en esta dirección. q

=

Ejemplos: P(–5, 45°)

P(–4, –120°)

r = 5 q

r = −4 =

45°

r = 4

r = −5

1077

q

120°

= −

12 CAPÍTULO


Conversión de un punto en coordenadas polares Sea el punto (r, u) , entonces su equivalente es ( – r, u + π ) II. Sea el punto ( – r, u) , entonces su equivalente es (r, u – π ) I.

EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Determina un punto equivalente a (– 2, 45°), cuyo radio vector sea positivo. Solución

Se aplican las equivalencias, (– 2, 45°) = (2, 45° – 180°) = (2, – 135°) = (2, 225°)

2

Encuentra un punto equivalente a (3, 215°), cuyo radio vector sea negativo. Solución

Se aplican las equivalencias, (3, 215°) = (– 3, 215° + 180°) = (– 3, 395°) = (– 3, 35°) 3

Calcula un punto equivalente a (–5, – 60°), cuyo radio vector sea positivo. Solución

Se aplican las equivalencias, (– 5, – 60°) = (5, – 60° – 180°) = (5, – 240°) = (5, 120°)

Relación entre las coordenadas rectangulares y polares Las coordenadas polares representan a los puntos del plano en función de su distancia al origen y su ángulo de inclinación medido respecto a la horizontal. P(r , u) Donde r : distancia del punto al origen. : Ángulo de inclinación.

u

Las coordenadas rectangulares ( x, y) y las polares (r, u) de un punto P se relacionan como sigue: Por el teorema de Pitágoras Y r 2 = x 2 + y2 S r = ± x 2 + y2

En el triángulo rectángulo OAP

P( x, y) P(r, q )

cos u =

r

y

sen u = q

O

x

A

X

tan u =

1078

x r y r y x

x = r cos u

S

y = r sen u

S

S

u =

 y  tan – 1  x  

CAPÍTULO 12


Transformación de un punto en coordenadas polares a rectangulares EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Determina las coordenadas rectangulares del punto P(6, 150º). Solución

Las coordenadas polares del punto P son: r = 6 y u = 150º Se sustituyen los valores de r y u: x = r cos u x = 6 cos 150º x = 6 x =

  −

−3

y = r sen u y = 6 sen 150º

3  2

y = 6

 

 1   2  

y = 3

3

Por tanto, las coordenadas de punto en el sistema de coordenadas rectangulares son: ( −3 3, 3)

Grá�ca

90°

r=6

y = 3

x = – 3

q=

150°

Eje polar

3

Transformación de un punto en coordenadas rectangulares a polares EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Transforma a coordenadas polares el punto A(– 4, – 7). Solución

Las coordenadas rectangulares del punto A son: x = – 4; y = – 7 Los valores se sustituyen en las fórmulas que determinan la longitud del radio vector y el argumento. r = ± x 2 + y2

 y 

2

2

= ± ( −4 ) + ( −7 ) = ±

16 + 49

= ±

65

 −7 

–1 –1 = tan– 1  x   = tan  −4   = tan (1.75) = 60° 15’ 18’’

u

Finalmente, las coordenadas del punto A en coordenadas polares son:

(

65 , 240° 15 ' 18 ''

) = (−

65 , 6 0° 15 ' 18 ''

)

Grá�ca

90° q

Eje polar r

( 65 , 240º 15' 18" ) 1079

12 CAPÍTULO


EJERCICIO

55

Transforma a coordenadas rectangulares los siguientes puntos:

1. A(6 , 45º)

9. N ( – 10 , 225°)

2. R(4 , 300º)

10. S (15 , – 210°)

3. P( 4



o

2 ,135 π

)

11. T ( – 3 , 120°)





 

5. B  10,

5π 



π



12. A  −2, −   3 

4. A  8,   6 

3

 

π



13.

 − 1 , − π   2 6  

S

 

3, −

 

3 π  ,  4 12 

6. C  4, −   2 

14. C 

7. Q(5 , 60°)

15. B  −

11

  

π

6

8. M ( – 7 , 315°) Transforma a coordenadas polares los siguientes puntos:

 1

16. A(5 , 12)

24. D 

17. P( – 6 , – 4)

25. F (24 , 7)

18. C (4 , – 3)

26. Z  − 

19. B(9 , – 12)

27. Q (5 , – 3)

20. C (4 , 0)

28. L ( – 3 , 0)

21. W (0 , – 6)

29. J  , − 2  2 

22. M (3 ,– 4)

30. K (0 , 5)





Verifica tus resultados en la sección de soluciones correspondiente

1080

2  2

3 1  ,  2 2 

 1

23. Q ( – 12 , 5)

Ú

2

,−



  

CAPÍTULO 12


Distancia entre dos puntos en coordenadas polares Dado P1(r 1, q 1) y P2(r 2, q 2) puntos en el sistema polar: 2

De la grá�ca se tiene el triángulo OP1P2 del cual se desea determinar la distancia d , esto se obtiene aplicando la ley de los cosenos

P2

d 2 = r12 + r2 2 − 2 r1 r2 c os (θ 2 − θ 1 )

d

r 2 q q 2

2

d = r12 + r2 2 − 2 r1 r2 c os (θ 2 − θ 1 )

P1

q

1

q 1

r 1

O

A

EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Obtén la distancia entre los puntos A(3, 90o) y B(– 2, 30o). Solución

Se sustituyen los valores r 1 = 3, u1 = 90o, r 2 = – 2 y u2 = 30o, en la fórmula, para obtener: d =

2

2 ( 3) + (− 2 ) − 2 ( 3)(− 2) cos ( 30o − 90o )

 1   =  2 

d = 9 + 4 +12 cos (− 60°) = 9 + 4 + 12 cos ( 60°) = 13+ 12 

Por consiguiente, la distancia entre los puntos es de

19

13+ 6

=

19 u

unidades.

Área de un triángulo en coordenadas polares Sea el triángulo determinado por los puntos O(0, 0), P1(r 1 , u1) y P2(r 2 , u2), en el sistema polar: El área del triángulo OP1P2 es: 2

P2 r 2 q 2

A

=

1

=

1

h P1

q 1

A

r 1

2

2

r 1 ⋅ h , pero h = r 2 sen (u2 – u1)

r1 ⋅ r 2 ⋅ sen (θ2 − θ 1 )

A

O

EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Determina el área del triángulo formado por los puntos O (0, 0) A (7, 10°) y B (4, 40°). Solución

Se sustituyen los valores r 1 = 7, u1 = 10o, r 2 = 4 y u2 = 40o, en la fórmula, para obtener: A

1 1  = ( 7) ( 4 ) sen ( 40 − 10 ) = 14 sen ( 30º ) = 14  = 7u    o

o

2

2

Finalmente, el área del triángulo es de 7u2.

1081

2

12 CAPÍTULO


EJERCICIO

56

Determina la distancia entre los siguientes pares de puntos:

1. A(2 , 30°) y B( – 1 , 120°) 2. C ( – 6 , 0°) y D( – 3 , 90°) 3. E (12 , 150°) y F (5 , – 30°) 4. G( – 4 , – 60°) y H (2 , 240°) 5. I (5 , 45°) y J (8 , 15°) Obtén el área del triángulo determinado por los puntos:

6. O(0 , 0) , A(6 , 0°) y B(12 , 90°) 7. O(0 , 0) , R(4 , 30°) y S (3 , 120°) 8. O(0 , 0) , A( – 8 , 135°) y B(8 , 45°)

Ú


Transformación de una ecuación rectangular a polar Para transformar una ecuación en coordenadas rectangulares a una ecuación en coordenadas polares se utilizan las siguientes fórmulas: x = r cos u ; y = r sen u; x 2 + y2 = r 2

EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Transforma la ecuación dada a su forma polar. x 2 – y2 = 16

Solución

Se sustituyen x = r cos u, y = r sen u en la ecuación rectangular. x 2 – y2 = 16 S (r cos u)2 – (r sen u)2 = 16 r 2 cos2 u – r 2 sen2 u = 16

Se factoriza r 2

r 2 (cos2 u – sen2 u) = 16

Pero cos2 u – sen2 u = cos 2u sustituyendo, r 2 cos 2u = 16

Se despeja r 2 r 2 =

16 cos 2θ

1

, por identidad recíproca

cos

2θ

= sec 2θ , entonces

r 2 = 16 sec 2u

Finalmente, la transformación en coordenadas polares de la ecuación x 2 – y2 = 16, es: r 2 = 16 sec 2u

1082

CAPÍTULO 12

GEOMETRÍA ANALÍTICA • Coordenadas polares Transforma a su forma polar la ecuación 4 x 2 + 4 y2 –2 x –16 y + 13 = 0.

2

Solución

Al sustituir x = r cos u, y = r sen u en la ecuación rectangular se obtiene: 4(r cos u)2 + 4(r sen u)2 – 2(r cos u) – 16(r sen u) + 13 = 0 4r 2cos2 u + 4r 2sen2 u – 2 r cos u – 16 r sen u + 13 = 0 4 r 2 (cos2 u + sen2 u) – 2 r cos u – 16 r sen u + 13 = 0 Pero cos2 u + sen2 u = 1 4r 2 – 2 r cos u – 16 r sen u + 13 = 0

EJERCICIO

57

Transforma a ecuaciones polares las siguientes expresiones: 2

1. y = – 3

2 y − 1) 21. x − ( =1

2. x = 5

22. ( x 2 + y2 – x )2 = x 2 + y2

3. y =

4

9

23. xy = – 4

3 x

4. 2 x – 3 y = 6

24.

5. y = – x + 2

25.

4 x

2

− 4y = 2x + 2y 2

xy

( x + y ) 2

2

3

2

=1

2

6. x cos w + y sen w – p = 0

26. x 2 y – 2 x 2 – 16 y = 0

7. x 2 + y2 = 16

27. y2 = 12 x

8. x 2 + y2 + 4 x = 0

28. 4 x – 3 y + 12 = 0

9. x 2 + y2 – 2 y = 0

29. x 2 – 4 y2 = 16

10. x 2 + y2 – 4 x – 6 y – 12 = 0

30. x 2 + 4 y – 8 = 0

11. y2 = – 8 x

31. ( x 2 + y2 + 3 y)2 = 4 x 2 + 4 y2

12. y2 – 12 x – 36 = 0

32. 4 x 2 +9 y2 = 36

3

13. ( x 2 + y 2 ) 2 = 2 xy

33. x 2 + y2 – 2 x – 8 = 0

14. x 2 – 2 x – 4 y – 3 = 0

34. 3 x 2 + 4 y2 – 6 x – 9 = 0

15. 9 x 2 + 4 y2 = 36

35. 4 y2 – 5 x 2 – 8 y – 6 = 0

16. 16 x 2 + 25 y2 = 400

36. x 2 – 5 y +15 = 0

17. 9 x 2 – 72 y + 25 y2 – 81 = 0 2 2 x ( y + 2 ) + =1 18.

37. 3 y2 + 4 x – 2 y = 0

19.

39. y = x 3 – 2 x 2

38. x 2 + 3 xy – y2 = 4

9 4 2 2 x – y = 9

20. 16 x 2 – 9 y2 = 144

Ú

2

40. y =


1083

3 x − 2

x − 1

12 CAPÍTULO


Transformación de una ecuación polar a rectangular De las fórmulas: x = r cos u , y = r sen u y x 2 + y2 = r 2, se aplican los despejes respectivos: x y cos u = , sen u = r r

y r = x 2 + y 2

EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Determina la ecuación rectangular del lugar geométrico, cuya ecuación es: r =

1 1 − 2 sen θ

Solución

Se elimina el denominador. r (1 − 2

) = 1

sen θ

S

r – 2r sen u = 1

Y al sustituir en la ecuación y = r sen u y r = x 2 + y2 , se obtiene: x

2

+ y – 2 y = 1 2

Al despejar el radical y elevar al cuadrado resulta la ecuación en su forma rectangular.

(

x

2

+y

2

)

2

2

x 2 + y2 = 1 + 4 y + 4 y2

= (1 + 2 y )

S

x 2 + y2 – 1 – 4 y – 4 y2 = 0 x 2 –3 y2 – 4 y – 1 = 0

2

Transforma la ecuación r =

4 1 − senθ

a coordenadas rectangulares.

Solución

Se elimina el denominador de la ecuación. r (1 − sen θ ) = 4

S

r – r sen u = 4

Y al sustituir y = r sen u y r = x 2 + y2 , se obtiene: r – rsen u = 4 S

x

2

+ y – y = 4 2

x 2 + y2 = (4 + y)2 x 2 + y2 = 16 + 8 y + y2 x 2 – 8 y – 16 = 0

1084

CAPÍTULO 12


3

Convierte la ecuación r = 5 cos 2u a coordenadas rectangulares. Solución

Se sabe que cos 2u = cos2 u – sen2 u, entonces: r = 5 cos 2u = 5(cos2 u – sen2 u)

Y al sustituir, r =

x

2

x

+ y , cos u = 2

x

+y

2

2

y

y sen u = x

+y

2

2

Se obtiene �nalmente:

r = 5(cos2 u – sen2 u) S

x

2

x

2

x

2

x

2

+y

 = 5   

2

2

x x 2

+y

2

   −   

( x + y ) 2

2

+y +y

2

x 2

+y

 x  y = 5 −   x + y x + y  2

2

2

2

2

2

2

x − y  = 5   x + y  2

2

2

2

+ y = 5( x − y ) 2

2

2

3

( x 4

Convierte r =

3sen θ 2 − 3cos θ

2

+ y ) = 5(x − y ) 2

2

2

2

a coordenadas rectangulares.

Solución 2

Si cos θ ≠ , entonces la ecuación se puede representar como: 3

2r – 3r cos u = 3 sen u

Al sustituir r = x 2 + y2 , x = r cos u y 2r − 3r cos θ

y

=

sen θ

x

= 3sen θ

2

S

+y

2

2 x

se obtiene:

2

+ y − 3x =

( + y ) − 3x

2 x

2

2

3y

2

x 2 + y2

x

2

+y

1085

2

2

2

= 3y

( + y ) = 3y + 3x

2 x

      2

y

x 2 + y2

2

12 CAPÍTULO


EJERCICIO

58

Transforma a su forma rectangular las siguientes ecuaciones polares.

1. r =

5

20. r =

sen θ

21. r =

2. r = – 8 sec u 3. r =

4 cos θ 2

23. r =

5 2 sen

24. r =

+3

4 2 − cosθ cos 2θ

6 sec θ 2 sec θ + 3 2 csc θ 1 − csc θ

16

26. r 2 – 5r cos u + 3r sen u – 8 = 0

1 + sen θ 2

8. r (1 – cos u) = 5

27. r 2 cos2 u + r ( 3 cos u – 2 sen u) + 4 = 0

9. r = 2 – cos u

28. r = 12 cot u csc u 1

10. r – cos u = 4

29. r =

11. r = 4(1 – cos u)

30. r cos (u – 60°) = – 4

12. r 2 sen 2u = 9

31.

13. r (1 + sen u) = – 3

32. r = cos 3u

14. r (2 +2 cos u) = 8

33. r sec 3u = 2

15. r = 4 cos 2u

34. r = 5 cos 4u

16. r =

sen θ

35. r = 3u

17. r =

6

18. r = 19. r =

Ú

+2

25. sen2 u – 4r cos3 u = 0

6. r = sen 2u 7. r =

cos θ

22. r = 4

2 − cos θ

4. r = 4 sen u 5. r =

1

cos 2θ

1  = ar c t an   3  

θ

36. r = 3 sen

3 + sen θ 2

θ

2

37. r = 2 cos 2

2 − cos θ 3 1 − 2 cos θ


1086

θ

4

CAPÍTULO 12


Identificación de una cónica en su forma polar Sean las ecuaciones de las cónicas: Horizontales r =

ke

1 ± e cos θ

; Verticales r =

ke

1 ± esen θ

Entonces, la ecuación representa: Ú Parábola si e = 1 Ú Elipse si 0 < e < 1 Ú Hipérbola si e > 1

EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Identi�ca la naturaleza de la siguiente ecuación r =

4 1 − cos θ

.

Solución

Se compara la ecuación r =

4 1 − cos θ

con la ecuación de la cónica r =

ke

1 − e cos θ

, se obtiene que e = 1, por con-

siguiente, la ecuación representa una parábola horizontal. 2


3 5 + 2 sen θ

.

Solución 3

La ecuación r =

3 5 + 2 sen θ

se representa como r =

5 2

1+

, comparando con la ecuación r =

sen θ

ke

1 + e sen θ

, se de-

5

2

termina que e = ; este resultado indica que se trata de una elipse vertical. 5

3


4 2 − 3 cos θ

.

Solución

La ecuación r =

4 2 − 3 cos θ

se representa como r =

1−

2 3

cos θ

2

esto indica que se trata de una hipérbola horizontal.

1087

, la cual es de la forma r =

ke

1 − e cos θ

, donde e =

3 2

;

12 CAPÍTULO


EJERCICIO

59

Identifica la naturaleza de las siguientes ecuaciones:

1. r = 2. r = 3. r = 4. r = 5. r = 6. r = 7. r =

Ú

8 1 + cos θ 2 1 − cos θ 8 2 + 2 sen θ 20 3 − 3 sen θ 20 5 − 4 sen θ 16 4 − 5 sen θ 15 3 + 2 cos θ

8. r = 9. r = 10. r = 11. r = 12. r = 13. r = 14. r =

21 3 − cos θ 18 2 − 5 cos θ 36 4 + 9 cos θ 4 3 sen θ − 1 2 1 − sen θ

−8 3 − 4 cos θ

15. r = 16. r = 17. r = 18. r = 19. r = 20. r =

4 1 + cos θ 16 cos θ

−2

−12 7 − 4 cos θ 6 4 − 3 sen θ 5 1 + sen θ

−10 3 − 2 sen θ

45 5 + 4 cos θ


Gráfica de una ecuación en coordenadas polares La grá�ca de una ecuación en coordenadas polares (r , u), es el conjunto de los puntos que tienen por lo menos un par de coordenadas polares (r , u) y que satisfacen la ecuación r = f (u).

Análisis de una ecuación en coordenadas polares p

1. Una curva es simétrica respecto a la recta , si se cumple que: 2

f ( π – u) = f (u)

Esto es, se sustituye el punto (r, π – u) por (r, u) 2. Una curva es simétrica con el polo si se cumple que: f ( π + u) = f (u)

Esto es, se sustituye el punto (r, π + u) por (r, u) 3. Una curva es simétrica con el eje polar si se cumple que: f ( – u) = f (u)

Esto es, se sustituye el punto (r, – u) por (r, u) Si una curva cumple con dos de los casos anteriores, se deduce que el tercer caso también se cumple.

1088

CAPÍTULO 12

GEOMETRÍA ANALÍTICA • Coordenadas polares EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Traza la grá�ca de la ecuación r = 4 cos 2u. Solución Paso I. Se analizan las simetrías de la ecuación: p

1. Simetría con el eje 2 Se sustituye el punto (r ,

π

– u), entonces, r = 4 cos 2 ( π – u)

Se aplican las identidades, r = 4 cos 2( π – u) = 4 cos (2 π – 2u) = 4[cos 2 π cos 2u + sen 2 π sen 2u] = 4[(1) cos 2u + (0) sen 2u] r = 4 cos 2u p

La ecuación es idéntica a la original, por consiguiente, es simétrica respecto a . 2 2. Simetría con el polo. Se sustituye el punto (r , π + u), entonces, r = 4 cos 2( π + u) Se aplican las identidades, r = 4 cos 2( π + u) = 4 cos (2 π + 2u) = 4[cos 2 π cos 2u – sen 2 π sen 2u] = 4[(1) cos 2u – (0) sen 2u] r = 4 cos 2u La ecuación no se alteró, por tanto, es simétrica con el polo. 3. Simetría con el eje polar. Se sustituye el punto (r , – u), entonces, r = 4 cos 2(– u) = r = 4 cos (– 2u) = 4 cos 2u La ecuación no se alteró, por consiguiente, es simétrica con el eje polar. Paso II. Se una tabla de valores. u

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

r = 4 cos 2u

4

2

0

–2

–4

–2

0

2

4

Gráfica

4

p

2

2

Eje polar

–6

– 4

2

–2

4

6

–2

–4 Rosa de cuatro pétalos

1089

12 CAPÍTULO


2

Construye la grá�ca de la ecuación r = 2 – 2 cos u. Solución Paso I. Se analizan las simetrías de la ecuación: p

1. Simetría con el eje . 2 Se sustituye el punto (r , π –u), entonces, r = 2 – 2 cos ( π –u) Se aplican identidades trigonométricas, r = 2 – 2cos ( π – u) = 2 – 2[ cos π cos u + sen π sen u] = 2 – 2[(– 1) cos u + (0) sen u] = 2 – 2[– cos u] r = 2 + 2 cos u p La curva no es simétrica respecto al eje . 2 2. Simetría con el polo. Se sustituye el punto (r , π + u), entonces, r = 2 – 2 cos ( π + u) Se aplican identidades, r = 2 – 2cos ( π + u) = 2 – 2[ cos π cos u – sen π sen u] = 2 – 2[(– 1) cos u – (0) sen u] = 2 – 2[– cos u] r = 2 + 2cos u La curva no es simétrica respecto al polo. 3. Simetría con el eje polar. Se sustituye el punto (r, – u), entonces, r = 2 – 2 cos (–u) = 2 – 2 cos u Por tanto, la curva es simétrica respecto al eje polar. Paso II. Se construye una tabla de valores. u

0°

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

r = 2 – 2 cos u

0

0.26

0.58

1

2

3

3.41

3.73

4

Gráfica

4 90°

2

Eje polar

0 –6

–4

–2

0

2

4

6

–2

–4 Cardioide

1090

CAPÍTULO 12


3

Gra�ca la ecuación r = 4 + 5 sen u. Solución Paso I. Se analizan las simetrías de la ecuación. p 1. Simetría con el eje . 2 Se sustituye el punto (r , π – u), entonces, r = 4 + 5 sen ( π – u)

Se aplican identidades trigonométricas, r = 4 + 5 sen ( π –u) = 4 + 5[ sen π cos u – cos π sen u] = 4 + 5[(0) cos u – ( – 1) sen u] = 4 + 5[sen u] r = 4 + 5 sen u p De acuerdo con el resultado, la curva es simétrica respecto al eje . 2 2. Simetría con el polo. Se sustituye el punto (r , π +u), entonces, r = 4 + 5 sen ( π +u) Se aplican identidades, r = 4 + 5sen ( π +u) = 4 + 5[sen π cos u + cos π sen u] = 4 + 5[(0) cos u + (– 1) sen u] = 4 + 5[– sen u] r = 4 – 5 sen u Por tanto, la curva no es simétrica respecto al polo. 3. Simetría con el eje polar. Se sustituye el punto (r , – u), entonces, r = 4 + 5 sen (–u) = 4 – 5 sen u Por consiguiente, la curva no es simétrica respecto al eje polar. Paso II. Se construye una tabla de valores. u

0°

30°

45°

60°

90°

r = 4 + 5 sen u

4

6.5

7.53

8.3

9

Gráfica

120° 135° 150° 180° 210°

240°

270°

8.3

– 0.33

–1

7.53

6.5

4

1.5

10 90°

5

Eje polar

0 –15

–10

–5

0

5

10

15

–5

–10 Caracol de Pascal

1091

12 CAPÍTULO


EJERCICIO

60

Traza la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones.

1. r = 3 sen u 2. r = 3. r = 4. r = 5. r =

3 1 + sen θ 6 4 − 3 sen θ 4 2 − 3 cos θ 2 sen θ

+ cos θ

(Circunferencia) (Parábola) (Elipse) (Hipérbola) (Recta)

6. r = sen 3u

(Rosa de 3 pétalos)

7. r = 4 cos 3u


8. r = 2 – 3 cos u

(Caracol con lazo)

9. r = 3 cos 3u


10. r 2 = 16 cos 2u

(Lemniscata)

11. r = 2u

(Caracol)

12. r = 3 sen 2u


13. r = 3(1 + cos u)

(Cardioide)

14. r = 2 sen 4u


15. r 2 = – 4 cos 2u

(Lemniscata)

16. r 2 = 25 sen 2u

(Lemniscata)

17. r = 4 – 2 sec u

(Concoide de Nicomedes)

18. r = 3 + csc u

(Concoide de Nicomedes)

2p

19. r =

θ

(Espiral recíproca)

20. r = u (1 – cos u)

Ú


1092

CAPÍTULO 12


Ecuación polar de la recta Dados los puntos P(r, u) y P1(r 1 , u1) sobre la recta £ en el sistema polar: Del triángulo rectángulo OPP1 se tiene que:

p

P

2

P1

( − θ 1 ) =

cos θ

r r 1 q

r 1 r

Entonces, la ecuación polar de la recta es:

q 1

£ : r ⋅ cos (θ − θ 1 ) = r 1

£

O

A

Casos particulares Caso I.

Si u1 = 0° entonces r cos u = r 1

La recta es perpendicular al eje polar y se encuentra a r 1 unidades a la derecha del polo.

Caso II.

Si u1 = 180° entonces r cos u = – r 1

La recta es perpendicular y está a r 1 unidades a la izquierda del polo.

Caso III.

Si u1 = 90° entonces r sen u = r 1

La recta es paralela al eje polar a r 1 unidades por arriba del eje polar.

Caso IV.

Si u1 = 270° entonces r sen u = – r 1

La recta es paralela al eje polar a r 1 unidades por debajo del eje polar.

EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Determina la ecuación de la recta en su forma polar, que pasa por el punto P(6, 90°) y es paralela al eje polar. Solución

En la grá�ca se observa que la recta es paralela al eje polar y está por arriba 6 unidades, entonces se aplica el caso III. Entonces r 1 = 6, al sustituir este valor en la fórmula resulta la ecuación: r sen u = r 1 S r sen u = 6

Por tanto, la ecuación de la recta en su forma polar es £ : r sen u = 6. Gráfica p

2 P1

P

£

q

r 1

6

r q

O

A

1093

12 CAPÍTULO


2

Determina la ecuación de la recta en su forma polar, que pasa por el punto Q (5, 15°) y forma un ángulo de 135° con el eje polar. Solución

Se realiza una grá�ca con los datos. p

2 P

r

P1 q − 45

30 o

o

r 1 15 o

Q 5

O

135 o £

A

Luego, de la grá�ca se tiene que u1 = 45º y en el triángulo OQP1, r 1 = 5 cos 30º =

5 2

3 , estos valores se

sustituyen

en la fórmula r cos (u – u1) = r 1 para obtener la ecuación de la recta, por tanto, la ecuación de la recta £ es: r cos (u – 45º) =

EJERCICIO

5 2

3

61

Determina la ecuación polar de las siguientes rectas:

1. Perpendicular al eje polar y se encuentra a 5 unidades a la derecha del polo. 2. Horizontal y está a 7 unidades por debajo del eje polar. 3. Horizontal, pasa por el punto (5 , 90°). 4. Vertical, pasa por el punto ( – 1 , 0°). 5. Pasa por el punto (10 , 30°) y forma un ángulo de 150 ° con el eje polar. 6. Pasa por el punto (8 , 30°) y forma un ángulo de 165 ° con el eje polar. 7. Pasa por el punto (2 , 150°) y es perpendicular a la recta que une el punto (2 , 150°) con el polo. 8. Pasa por el punto (5 , 135°) y es perpendicular a la recta que une el punto (2 , 135°) con el polo.

Ú


1094

CAPÍTULO 12


Ecuación polar de la circunferencia Sea el punto P1 ( r 1 , u1) el centro de una circunferencia, P(r, u) un punto de la circunferencia y la distancia entre los puntos el radio a, su ecuación está determinada por la fórmula: p

2 P a P1 r

a2 = r 2 + r 21 – 2rr 1 ? cos (u – u1)

q − q 1

r 1

O

A

EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

Determina la ecuación polar de la circunferencia con centro en el punto (4, 30°) y de radio 1 unidad. Solución

Los valores de a = 1, r 1 = 4 y u – u1 = u – 30°, se sustituyen: a

2

= r + r − 2 rr ⋅ cos (θ − θ ) 2

2 1

2

1

p

1

2

2

(1) = r 2 + ( 4 ) − 2 r ( 4 ) ⋅ cos (θ − 30° ) 1= r

r

2

2

+ 16 − 8r ⋅ cos (θ − 30° )

P

1

+ 16 − 8 r ⋅ cos (θ − 30° ) − 1= 0

Por tanto, la ecuación de la circunferencia es: r

EJERCICIO

2

− 8 r ⋅ cos (θ − 30° ) + 15 = 0

P1

r

4 30 o

O

A

62

Determina la ecuación polar de las siguientes circunferencias.

1. 2. 3. 4. 5.

Ú

Centro el punto (3 , 30°) y radio 9 unidades. Centro el punto (5 , 120°) y radio 1 unidad. Centro el punto (10 , 45°) y radio 4 unidades. Centro el punto (7 , 90°) y radio 7 unidades. Centro el punto (0 , 0°) y radio 6 unidades.


Intersección de curvas en coordenadas polares Al resolver un sistema de ecuaciones en coordenadas rectangulares, se obtienen los puntos de intersección de las curvas. Estos puntos satisfacen recíprocamente el sistema. En coordenadas polares no siempre se cumple la segunda a�rmación, ya que un punto en coordenadas polares tiene más de un par de coordenadas polares. 1095

12 CAPÍTULO


EJEMPLOS

s o 1 l p m e j E

{ == r r

Resuelve el sistema de ecuaciones y traza la grá�ca de

4 cos θ 4 sen θ

Solución

Se igualan las ecuaciones. 4 cos u = 4 sen u Se dividen ambos miembros entre cos u, si cos u ≠ 0, entonces, 4 cos θ cos θ

=

4 sen θ cos θ

→ 4 = 4 t an θ

S

tan u = 1

= arc tan (1) u = 45°, 225° Se sustituyen los ángulos encontrados en cualquiera de las ecuaciones para determinar el valor del radio vector r . u

Si u = 45° = r = 4 cos

π

4

, en consecuencia,

 π  = 4  2  = 2  4   2   

Si u = 225° = r = 4 cos

Se generan dos puntos de intersección ( 2

2

5π 4

 5π  = 4  −  4   

, 45°) y ( −2

2

2

2.8

≈

, entonces, 2  2

= − 2  

2

–2.8

≈

, 225°).

Tabulación: u

0°

30°

45°

60°

90°

120° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 330°

r = 4 cos u

4

3.4

2.8

2

0

–2

–3

–4

–3.4

–2.8

–2

0

2

3.4

r = 4 sen u

0

2

2.8

3.4

4

3.4

2

0

–2

–2.8

–3.4

–4

–3.4

–2

Se traza la grá�ca de las ecuaciones polares. 90º

4

2

–6

–4

0

–2

Eje polar

0

2

4

6

–2

En la grá�ca se observa que existe un punto de intersección en el polo; sin embargo, para r = 4 sen u el punto que determina el polo es (0, 0°), y para la ecuación r = 4 cos u el punto que determina el polo es (0, 90°), entonces el origen (polo) no tiene ningún par de coordenadas que satisfagan el sistema. 1096

CAPÍTULO 12


2

Resuelve el siguiente sistema y traza la grá�ca de

{ ==

r 5 cos θ r 5 sen 2θ

Solución

Se igualan las ecuaciones. 5 sen 2u = 5 cos u Y al sustituir sen 2u = 2 sen u cos u y despejar u, se obtiene: 5 sen 2u = 5 cos u S 5(2 sen u cos u) = 5 cos u 10 sen u cos u = 5 cos u 10 sen u cos u – 5 cos u = 0 5 cos u (2 sen u – 1) = 0 cos u = 0; 2 sen u – 1 = 0 u

=

π

,

2

3π 2

o u =

π

,

6

5

π

6

Se sustituyen los ángulos encontrados en cualquiera de las ecuaciones para determinar el valor del radio vector r . Si u = Si u = Si u = Si u =

π

6

5 π 6 π

2

entonces r = 5 cos u = 5 cos

3  5

= 3 ≈ 4.3   2  5π  = 5  − 3  = − 5 3 ≈ –4.3  6    2   2 2

π  entonces r = 5 cos u = 5 cos  = 5(0) = 0  2  

3 π 2



 π 

entonces r = 5 cos u = 5 cos   = 5   6  

 3π 

entonces r = 5 cos u = 5 cos   = 5(0) = 0  2 

 5  2

Por consiguiente, las curvas se intersecan en los puntos 

3,

 ,  6 

π

 − 5  2

3,

5π  6

 ,  0,   

 y  0, 3π  .    2   2 

π

Tabulación: u

0°

30°

60°

90°

120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330°

r = 5 cos u

5

4.3

2.5

0

–2.5

–4.3

–5

–4.3

–2.5

0

2.5

4.3

r = 5 sen 2u

0

4.3

4.3

0

–4.3

–4.3

0

4.3

4.3

0

–4.3

–4.3

Gráfica

4

90°

2 Eje polar

0 –6

–4

–2

0

–2 –4

1097

2

4

6

12 CAPÍTULO


63

EJERCICIO

Determina los puntos de intersección y traza la gráfica de los siguientes sistemas de ecuaciones.

2r cos θ = − 3 1.  r = 2 cos θ − (1 +

3

r = 5 sen 1 θ 11.  2 r = 5 cos θ

)

4  r =  2.  1 + sen θ r sen θ = −4

12.

r 1 − sen θ r 1 − sen 2θ

r = 3(1 + sen θ ) r = 3(1 + cos θ )

3.

{=

13. 

4.

{ ==

14.

5.

{ == −−

6.

r 4 sen θ r sen θ = 1 r 2 r 4 r r

{

sen θ

{ ==

r 6 cos 4θ r 3

r = 2 (1 + sen 2θ ) r = 2 (1 + sen θ )

2 sen θ 2 cos θ

15. 

r = 2 cos 2θ r = 1

16. 



r = 7. 

r = 6θ π r = 2

1

17.

sen θ

r sen 2θ = 1

{

r = 1 + 4 cos 2θ r = 3

r = 4 − 2 cos θ 16 r =  4 + 2 cos θ

8. r = 3(1 + cos θ )

18. 

r = 6 cos θ

r = 6  9.  1 + sen θ r = 2  sen θ r = 3 cos 2θ 10. r = 3 sen θ

{

Ú

{ ==


1098

r = 4 − 4 r = 4 − 4

19.

{

20.

{ ==

sen 2θ sen θ

r 2 − sen θ r 2 + cos 2θ

12-Coord Polares.pdf

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