MODUL MATEMATIKA
MATRIKS
( M A T 12.1 12.1.3 .3 ) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003
PEMERINTAH KOTA MALANG DINAS PENDIDIKAN SMA NEGERI 6 Jalan Mayjen Sungkono No. 58 Telp. (0341) 752036 Malang
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
1
STANDAR KOMPETENSI: 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : 3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain 3.2 Menentukan determinan dan invers matriks
2x2
3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel
KOMPETENSI : MENERAPKAN KONSEP MATRIKS
SUB
KRITERIA
KOMPETENSI (J)
KINERJA
1. Mendeskripsikan
macam-macam
Matriks dibedakan
LINGKUP MATERI
Macam-
menurut jenisnya
operasi matriks
Operasi matriks
SIKAP
BELAJAR
matriks
2. Menyelesaikan
MATERI POKOK PEMBELAJARAN
Teliti dan
Pengertian matriks,
macam
cermat dalam
notasi matriks, baris,
matriks
menerapkan
kolom, elemen dan
konsep matriks
ordo matriks
Operasi
diselesaikan
PENGETAHUAN
Jenis-jenis Jenis-jenis matriks
Penyelesaian operasi
matriks
KETERAMPILAN Mengoperasikan
matriks
matriks:
dengan
menggunakan
Penjumlahan dan pengurangan
aturan yang
Transpos matriks
berlaku
Perkalian skalar dengan matriks
Perkalian matriks dengan matriks
3. Menentukan
Determinan dan
Determinan
determinan dan
invers matriks
dan invers
invers matriks
ditentukan dengan
matriks
Determinan matriks
Minor, kofaktor dan adjoin matriks
aturan yang
Invers matriks
berlaku
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
2
A. Deskripsi Dalam modul ini anda akan mempelajari Pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks. Anda juga mempelajari penyelesaian operasi matriks: penjumlahan, dan pengurangan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks, determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks dan invers matriks. Anda juga mempelajari penyelesaian sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.
B. Prasyarat Prasyarat untuk mempelajari modul ini adalah anda harus sudah mempelajari relasi dan fungsi, persamaan serta operasi pada bilangan real. Semua materi prasyarat tersebut terdapat dalam modul Relasi dan Fungsi, persamaan dan pertidaksama an dan bilangan real.
C. Petunjuk Penggunaan Modul a. Pelajari daftar isi serta skema kedudukan modul dengan cermat dan teliti karena dalam skema modul akan nampak kedudukan modul yang sedang Anda pelajari ini antara modul-modul yang lain. b. Perhatikan langkah-langkah dalam melakukan pekerjaan dengan benar untuk mempermudah dalam memahami suatu proses pekerjaan, sehingga diperoleh hasil yang optimal. c. Pahami setiap teori dasar yang akan menunjang penguasaan materi dengan membaca secara teliti. Bilamana terdapat evaluasi maka kerjakan evaluasi tersebut sebagai sarana latihan. d. Jawablah tes formatif dengan jawaban yang singkat dan jelas s erta kerjakan sesuai dengan kemampuan Anda setelah mempelajari modul ini. e. Bila terdapat penugasan, kerjakan tugas tersebut dengan baik dan bilaperlu konsultasikan hasil penugasan tersebut kepada guru/instruktur. f. catatlah semua kesulitan Anda dalam mempelajari modul ini untuk ditanyakan pada guru/instruktur pada saat tatap muka. Bacalah referensi l ain yang ada hubungan dengan materi modul ini agar Anda mendapatkan pengetahuan tambahan.
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
3
D. Tujuan Akhir Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat: 1. Memahami pengertian matriks, notasi matriks, baris kolom, elemen dan ordo matriks, jenis-jenis matriks, kesamaan matriks, tranpose matriks. 2. menyelesaikan operasi matriks: penjumlahan, dan pengurangan, perkalian skalar dengan matriks, perkalian matriks dengan matriks, determinan matriks, minor, kofaktor dan adjoin matriks dan invers matriks. 3. Menyelesaikan sistem persamaan linier dengan menggunakan matriks.
1. Kegiatan Belajar 1 ( Pengertian Matriks )
a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan : 1) Memiliki pemahaman mengenai pengertian matriks 2) Dapat membedakan antara baris dan kolom matriks 3) Mengetahui elemen-elemen suatu matriks 4) Dapat menuliskan notasi-notasi matriks 5) Dapat menyebutkan ordo suatu matriks
b. Uraian Materi NOTASI MATRIKS
Bentuk umum matriks: Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom/lajur. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur .
1) Pengertian Matriks Dalam kehidupan sehari-hari dan dalam matematika, berbagai keterangan seringkali disajikan dalam bentuk matriks. Contoh 1.
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
4
Keadaan Siswa Kelas 1 pada tanggal 1 Maret 2004 k o l o m
S = Sakit
I = Ijin
T = Tanpa Keterangan
Kelas I A
2
1
1
Kelas I B
1
3
2
Kelas I C
3
2
1
baris
Contoh 2. Daftar Campuran Bahan untuk Membuat Kue
Gula
Mentega
Tepung
Roti I
1
2
3
Roti II
1
2
5
Roti III
2
3
7
Roti IV
2
4
6
Apabila dari daftar tabel Contoh 1 dan 2 tersebut, kepala kolom dan baris dihilangkan, kemudian susunan lambang bilangan itu diberi tanda kurung atau kurung siku, maka susunan itu disebut matriks.
2 1 1 Matriks contoh 1 ialah 1 3 2 3 2 1 k o l o m
1 1 Matriks contoh 2 ialah 2 2
k o l o m
k o l o m
2
3
2
5
3 4
baris baris baris
7 6
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
5
Jadi, matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilanganbilangan yang diatur pada baris dan kolom (lajur) dan diletakkan di dalam dua kurung biasa atau kurung siku. 2) Elemen Suatu Matriks
1 Pada matriks 5 9 dinamakan
4
2
3
6
7
10
11
elemen
, setiap bilangan dalam matriks diatas 12 8
matriks.
Setiap
elemen
ditentukan
dengan
menyatakan baris dan kolom yang memuat bilangan itu. Pada matriks di atas bilangan 7 adalah elemen baris kedua kolom ketiga. Elemen-elemen pada kolom kedua adalah bilangan-bilangan 2, 6 dan 10. Bentuk umum sebuah matriks adalah :
a11 a 21 a m1
a12
a1n
a 22
a 2n
am 2
a mn
amn adalah elemen atau unsur pada matriks yang terletak pada baris ke m dan kolom ke n
3) Notasi Matriks Suatu matriks dinyatakan dengan sebuah huruf kapital.
8 5 3 , B = 2 3 6
Misalnya A =
4 5 2 1
4) Ordo Matriks Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris diikuti banyaknya kolom. Contoh :
8 5 3 , B = 2 3 6
A =
4 5 2 1
Matriks A mempunyai 2 baris dan 2 kolom, maka dikatakan ordonya 2 3 (dibaca “2 kali 3”) dan ditulis A2 3 atau A(2
3).
Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan banyaknya kolom, maka matriks itu disebut matriks bujur sangkar. Karena istilah bujur
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
6
sangkar disesuaikan menjadi persegi, maka dapat pula disebut dengan matriks persegi. Matriks B adalah matriks persegi dengan ordo 2.
b. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 1
Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilanganbilangan-bilangan yang diatur pada baris dan kolom (lajur), serta diletakkan di dalam dua kurung biasa atau kurung siku
Bentuk umum sebuah matriks adalah :
a11 a 21 a m1
a12
a1n
a 22
a 2n
am 2
a mn
amn adalah elemen atau unsur pada matriks yang terletak pada baris ke m dan kolom ke n
Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris diikuti dengan banyaknya kolom. Matriks A mempunyai 2 baris dan 3 kolom, maka dikatakan ordonya 2×3 (dibaca “2×3”) dan ditulis A2×3 atau A(2×3) Jika banyaknya baris suatu matriks sama dengan banyaknya kolom, maka matriks itu disebut matriks persegi. Contoh :
a b adalah matriks persegi dengan ordo 2 c d
B =
B. Kegiatan Modul 12.1.3.1
Kerjakan soal-soal berikut supaya anda lebih memahami uraian materi kegiatan belajar 1. Jangan membaca/melihat petunjuk mengerjakan latihan ( kunci jawaban ) sebelum anda coba mengerjakannya. Petunjuk untuk mengerjakan latihan hanya sebagai panduan bila anda mengalami kesulitan menjawab soal berikut ini.
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
7
1. Diketahui matriks
1 3 5
2
4
8
7
2
6
1
9
0
a) Sebutkanlah banyaknya baris dan kolom b) Sebutkanlah elemen-elemen baris kedua c) Sebutkanlah elemen-elemen kolom ketiga d) Tulislah elemen matriks yang seletak pada baris kedua dan kolom keempat e) Nyatakanlah baris dan lajur yang menentukan letak elemen 4, 7 dan 2
2. Hasil pertandingan sepak bola adalah sebagai berikut : Memasukkan
Kemasukan
Gol
Gol
2
15
15
5
1
2
12
11
5
2
2
1
13
12
6
5
2
0
3
13
16
4
PSM Makassar
5
3
0
2
16
11
6
PSS Sleman
5
2
0
3
12
16
4
Kesebelasan
Main
Menang
Seri
Kalah
Persija Jakarta
5
2
1
5
2
5
Persib Bandung PSMS Medan Persebaya Surabaya
Nilai
Dari matriks yang diperoleh : a) Berapa banyaknya baris dan banyaknya kolom ? b) Pada baris atau kolom mana :
Semua elemennya sama
Semua elemennya lebih dari 11
Semua elemennya genap
3. Diketahui matriks P=
3
-2
9
7
11
11
5
0
-4
2
3
7
3
5
-1
a. Berapakah ukuran matriks P? b. Tentukan mana yang merupakan baris 1, baris 2, baris 3 kolom 4, kolom 5 baris 1 c. Tentukan P11, P31, P23, P15, P35
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
8
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 1 cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 1 Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang pengertian
matriks, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang pengertian matriks. Jika nilai perolehan
berikut ini.
≥
75 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
Kegiatan Belajar 2 ( Macam-macam Matriks)
1. Tujuan Kegiatan Belajar 2 Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini diharapkan anda : 1) Dapat menyebutkan macam-macam matriks (matriks baris, matriks kolom, matriks persegi/bujursangkar, matriks segitiga) 2) Dapat mengidentifikasi dua matriks yang sama 3) Memiliki kemampuan untuk menunjukkan transpos suatu matriks
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 2 a. Macam-macam matriks
Matriks dibedakan berdasarkan berbagai susunan entri dan bilanganpada entrinya. Sehingga matriks dibedakan sebagai berikut:
Matriks Baris
Matriks yang hanya memiliki elemen satu baris Contoh :
0 1 1, 3 2
5
1
Matriks Kolom (Lajur) Matriks yang hanya memiliki elemen satu kolom
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
9
a Contoh : b , c
1 1 1 1
Matriks Persegi (Bujursangkar) Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom
3
4
5
6
Contoh :
,
a b c d e f g h i j k l m n o p
Matriks Segitiga Matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal, dengan
elemen-elemen 0
pada separuh bagiannya
3
4
5
0
Contoh :
, ( Matriks segitiga atas )
0 0 0 d 0 0 g h 0 j k l m n o p (Matriks segitiga bawah )
Matriks Diagonal Matriks persegi berordo n dengan elemen-elemen matriks dibawah dan diatas diagonal utama bernilai 0 Contoh :
I =
2 0 0
0 3 0
0 0 4
Matriks Identitas/Matriks Satuan (I)
1 0
0
1
1 I = 0 0
0
0
1
0
0
1
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
10
b. Kesamaan Matriks Dua matriks A dan B disebut sama, jika
Ordonya sama, dan
Elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama Contoh :
12 4 2 3 1 3 1
4
2 , tetapi 6
2
4 1
2
2 3 4
1
sebab walaupun elemen-elemen
3
kedua matriks itu sama, tetapi letak elemen-elemen itu berbeda, sehingga elemen-elemen yang bersesuaian tidak sama.
c. Transpos suatu Matriks Dari matriks A dapat di bentuk matriks baru dengan cara
baris 1 matriks A
ditulis menjadi kolom 1 matriks baru, baris 2 matriks A dijadikan kolom 2 matriks baru, dan seterusnya. Matriks baru yang diperoleh disebut transpos dari matriks A
dan dinyatakan
dengan AT (di baca “transpos A”). Baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT, dan kolom-kolom matriks A menjadi baris-baris matriks AT.
1 Contoh : Jika A = 2 3
4
T 5 , maka A = 6
1 2 3 4 5 6
Dari matriks tranpose ini, muncul istilah matriks simetrik (setangkup). Hal ini terjadi misalkan A suatu matriks, jika A = simetrik/setangkup.
maka A disebut matriks
3. Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 2
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai elemen satu baris
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai elemen satu kolom
Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom
Matriks segitiga adalah matriks persegi yang dipisahkan oleh diagonal dengan elemen bilangan-bilangan nol pada separuh bagiannya
Dua matriks A dan B disebut sama, jika :
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
11
Ordonya sama, dan
Elemen-elemen yang bersesuaian (seletak) sama
Transpos suatu matriks adalah matriks baru yang baris-barisnya merupakan kolom-kolom matriks semula
4. Kegiatan Modul 12.1.3.2
1. Matriks-matriks berikut ini manakah yang sama ? A =
1
B=
3
1 2 F = 3 4
1 2
2
3
E =
2
1
3
4
C=
1
2
3
1
3
2
4
G =
1
2
3
4
D =
2. Tentukanlah x dan y berikut ini
x a)
2 y
1 3 0
0
8
3
x 3 5 y 2 1
b) c)
3 x y 12 2
3. Tulislah transpose dari setiap matriks pada soal no. 1 dan sebutkan ordo setiap matriks transpose itu
x 5 y 3 dan Q = 4. P =
4 3 5 2
Jika PT = Q, tentukanlah x dan y.
5. Diketahui persamaan matriks sebagai berikut : 4
5
3
2
x1
6
-1
2
x2+3
=
x3+1
5
3
2
4
1/2x4
-1
2
5
Carilah x1 , x2 , x3 , x4
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
12
6. Carilah AT jika A a.
-2
4
7
1
3
0
d.
5
1
b.
1
-1
3
5
1
-3
-5
-1
3
5
0
-2 -1
3
c.
-2
3
1
0
0
2
-1
0
2
7
1
2
3
5
1
6
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 2 cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 2
Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang macam-macam matriks dan operasinya, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang macam-macam matriks dan operasinya.
Jika nilai perolehan berikut ini.
≥
75 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
3. Kegiatan Belajar 3 ( Penjumlahan dan Pengurangan Matriks) a. Tujuan Kegiatan Belajar 3
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan : 1) Memahami pengertian dan syarat penjumlahan matriks 2) Memahami pengertian lawan suatu matriks 3) Mengenal definisi penjumlahan matriks
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3
Agar pengertian dan syarat penjumlahan dua buah matriks dapat dipahami dengan baik, simaklah persoalan berikut :
Dewi dan Budi adalah calon siswa teladan dari SMA Negeri 6 Malang. Penentuan siapa yang berhak mengikuti seleksi pelajar teladan tingkat kota didasarkan pada jumlah nilai mata pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris pada semester I dan semester II. Nilai kedua mata pelajaran yang dicapai oleh Dewi dan Budi diperlihatkan pada tabel di bawah ini : Tabel 1. Semester 1
Semester 2
Jumlah
Dewi
Budi
Dewi
Budi
Dewi
Budi
82
86
80
80
162
166
ModulBhs Matriks Prijono 145 – SMA Negeri Inggris 72 6 Malang 78 By Drs. 73Pundjul74
152
Matematika
13
Dari tabel 1 di atas terlihat bahwa jumlah nilai semester I dan II untuk mata pelajaran Matematika dan Bahasa Inggris yang dicapai Budi lebih tinggi dibandingkan yang dicapai oleh Dewi. Dengan demikian, Budi lebih berhak mengikuti seleksi pelajar teladan tingkat kota untuk mewakili SMA Negeri 6 Malang. Sekarang kita akan melihat bagaimana proses penjumlahan nilai-nilai tersebut dilakukan dengan menggunakan matriks. Bila data atau informasi pada tabel 1 disajikan dalam bentuk matriks, maka dapat dituliskan sebagai berikut
+
=
A
B
C
Dari uraian diatas didapat :
a) Penjumlahan Dua Matriks Definisi. A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka jumlah A + B adala h matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaia n dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan. Dari definisi di atas, dapat dikatakan bahwa dua matr iks dapat dijumlahkan jika ordonya
sama, penjumlahan dilakukan pada elemen yang seletak. Jadi dapat dituliskan dalam rumus:
+
=
Contoh :
A
a b c d
B +
p q = a p b q r s c r d s
Contoh :
Diketahui Hitung
A+B
A=
0 1
3 10 dan B = 4 2
5 1
: A + B = ... B + A = ...
A+B=
0 1
3 10 + 4 2
5 1
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
B+A
=
10 2
0 5 + 1 1
3 4
14
=
Contoh :
Diketahui
:P=
Hitung
2 4
10 3
5 1
8 5
1 0
: P+Q+R
Q=
0 1
=
3 1
5 2
R=
3 5
10 3
8 5
3 7
4 1
= ...
P + ( Q + R ) = ... (P + Q) + R
= ...
( Cobalah sendiri ) Dari contoh diatas diperoleh Sofat-sifat :
1.A+B=B+A
( Sifat Komutatif )
2. (A + B) + C = A +( B + C)
( Sifat Assosiatif )
b) PENGURANGAN MATRIKS Apabila kita perhatikan, elemen-elemen yang seleta k dari matriks B dan matriks A saling berlawanan. Matriks B yang bersifat seperti itu disebut lawan atau negatif dari matriks A, dan ditulis sebagai - A. Sehingga pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatip B. A - B = A + (-B) Contoh :
Jika
− −− −− =
1 3
2 dan 4
5 7
=
Maka P – Q = P + (- Q ) =
1 3
6 8
2 4
5 7
6 = 8
4 4
4 4
Rangkuman Uraian Kegiatan Belajar 3
Jika A dan B adalah dua matriks yang berordo sama, maka jumlah matriks A dan B ditulis: (A + B) adalah sebuah matriks baru yang didapat dengan cara menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan matriks B.
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
15
Setiap matriks mempunyai lawan atau negatif, misalkan matriks A mempunyai lawan matriks - A.
Pengurangan matriks A oleh matriks B dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan matriks A dengan lawan matriks B. Pengurangan matriks A oleh matriks B dapat juga dinyatakan sebagai berikut, yaitu jika matriks A dan matriks B adalah dua matriks yang berordo sama, maka pengurangan matriks A oleh matriks B ( ditulis: A – B) Kegiatan Modul 12.3.3
1. Diketahui matriks : 1 4 1 A = B= 2 3 5
4 2
C=
3 1
2 1
Carilah : a) A + B b) B + C
c) (A + B) + C d) A + (B + C) e) Apakah (A + B) + C = A + (B + C) 2. Jika
A
2 4 6 - 3 1 7 0 4 dan B =
B
3 5 2 7 9 1 6 3
Tentukan : a. A + B
b. A – B Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 3 cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 3
Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang penjumlahan matriks , lawan suatu matriks dan pengurangan matriks, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang penjumlahan matriks , lawan suatu matriks dan pengurangan matriks.
Jika nilai perolehan berikut ini.
≥
75 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
16
4. Kegiatan Belajar 4 ( Perkalian Matriks dengan skalar , Matriks dengan Matriks) a. Tujuan Kegiatan Belajar 3
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan : 1) Memahami pengertian perkalian matriks dengan skalar 2) Memahami pengertian perkalain suatu matriks dengan matriks
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4
Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan k.
a b c d
A
Contoh : Diketahui A = Hitung
k .a k .b k .c k .d
k . A
1 2
4 3
2A = ….
1 2
2A = 2 =
2 4
4 3
8 6
PERKALIAN MATRIKS DENGAN MATRIKS a. Perkalian Matriks dengan skalar Matriks A dikalikan dengan c suatu bilangan/skalar maka cA diperoleh dari hasilkali setiap elemen A dengan c. Dengan demikian, matriks – A dapat dipandang sebagai hasil kali matriks A dengan skalar ( – 1). Jadi – A = ( – 1)A. Berikut ini adalah contoh perkalian matriks dengan bilangan skalar,
Contoh: 3 8 = 5 1
maka
4 = 4
3 5
8 = 1
12 20
32 4
Jika p dan q bilangan real dan B, C dua matriks dengan ordo sedemikian hingga dapat dilakukan operasi hitung berikut, maka berlaku sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar : 1) p (B+C) = pB + pC 2) p (B−C) = pB − pC 3) (p + q) C = pC + qC 4) (a – b) C = pC − qC 5) (pq) C = p (qC) 6) (pB) T= pBT
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
17
b. Perkalian matriks dengan matriks Untuk memahami perkalian matriks dengan matriks, kita perhatikan pernyataan berikut. Dua matriks AB dapat dikalikan bila dan hanya bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Jadi Am×n × Bn× p bisa didefinisikan, tapi Bn× p × Am×n tidak dapat didefinisikan.
A mxn
x
B n x p =
A B mxp
Perhatikan bahwa hasil kali matriks AB berordo m x p Untuk menguji apakah dua matriks dapat dikalikan atau tidak dan juga untuk menentukan ordo hasil perkaliannya, dapat juga menggunakan aturan memasang kartu domino sebagai berikut :
Elemen-elemen dari AB diperoleh dari hasil kali setiap baris pada matriks A dengan setiap kolom pada matriks B, kemudian dijumlahkan menjadi satu elemen. Untuk lebih jelasnya, berikut ini diberikan contoh- contoh perkalian matriks dengan matriks.
Contoh :
a 1. A c
a
AxB
c
b
x dan B y d b x ax by x cx dy d y 2x2
2x1
=
2x1
Ket :
Perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB X BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC).
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
18
Contoh : A=
≠ 1 2
0 1 ; B = 3 3
2 0
Hitung : A x B dan B x A bagaimana hasil Ax B dan B x A ? AxB =
1 2
0 3
1 3
2 1 = 0 11
BxA =
1 3
2 0
1 2
0 5 = 3 3
2 4
6 0
Dari hasil terlihat bahwa A x B
B x A
Sifat-sifat perkalian matriks dengan matriks : 1) A(BC) = (AB)C 2) A(B+C) = AB + AC 3) (B+C)A = BA + CA 4) A(B C) = AB AC 5) (B C)A = BA CA 6) a(BC) = (aB)C = B(aC) 7) AI = IA = A
Perlu diingat bahwa bila AB dapat didefinisikan, maka BA belum tentu dapat didefinisikan, sehingga AB belum tentu sama dengan BA. Jika AB = - BA maka matriks A dan B disebut Anti Komutasi Matriks A dengan sifat 1 sehingga
=
2
+1
=
dengan k bilangan positip maka disebut periodik , jika k =
, maka disebut idempoten
5. Kegiatan Modul 12.1.3.4 Kerjakan soal-soal berikut untuk menguji kemampaun dan pemahamanmu 1. Misalkan (mxn) menyatakan ukuran matriks. Cari hasil perkalian (kalau terdefinisi) dari ukuran-ukuran berikut. a. (2x1)(1x3) b. (4x5)(2x3) c. (1x1)(1x3) d. (3x3)(3x4) e. (2x2)(3x2) 2. Carilah AB dan BA jika a. A=
2
1
2
3
2
-1
b. A=
B=
1
-2
0
4
5
3
2
0
-4
3
-2
6
B=
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
19
3. Diketahui A=
-1
3
2
2
0
7
-2
3
1
B=
2
-1
-3
4
1
0
1
3
2
Tentukan a. 2A, 3B, 2A-B, 3B-A b. (2A-B)(3B-A) 4. Selidikilah bahwa ABBA untuk A=
5. Matriks A=
1
3
1
2
B=
5
13
4
10
2
1
3
1
1
0
0
2
1
dan B=
1
1
0
2
1
3
0
2
1
Carilah matriks P sedemikian sehingga AP=B.
2
2
0
1
-1
2
6. Carilah 3A +2A-3I , jika A=
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 4 cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 4
Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang perkalian matriks, maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang perkalian matriks.
Jika nilai perolehan berikut ini.
≥
75 maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
C. Determinan Matriks a. Tujuan Kegiatan Belajar 5
Setelah mempelajari uraian kegiatan belajar ini, anda diharapkan : 1) Memahami pengertian Determinan suatu matriks 2) Memahami pengertian determinan matriks ordo 2x2 3) Memahami pengertian determinan matriks ordo 3x3
b. Uraian Materi Kegiatan Belajar 5
Untuk setiap matriks persegi terdapat suatu bilangan tertentu yang disebut determinan. Pengertian Determinan matriks adalah jumlah semua hasil perkalian elementer yang bertanda dari A dan dinyatakan dengan det(A) . yang diartikan dengan sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari suatu matriks A adalah sebuah hasil perkalian elementer pada suatu
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
20
kolom dengan +1 atau −1. Untuk lebih jelasnya, berikut ini diuraikan cara mencari determinan matriks berordo 2 x 2 dan matriks berordo 3 x 3. 1. Determinan matriks berordo 2 x 2
Jika matriks A = maka det (A) = Contoh: P =
8 3
= ad – bc
4 , maka det(P) = 4
− = 8.4
3.4 = 20
2. Determinan matriks berordo 3 X 3
Untuk mencari determinan matriks berordo 3 x 3 dapat digunakan dua metode, sebagai berikut : a. Metode Sarrus Jika matriks B =
maka det (B) = -
-
-
+ +
+
= ptx+quv+rsw-qsy-puw-rtv Perlu diperhatikan bahwa cara demikian tidak berlaku bila matriks berordo 4x4 dan yang lebih tinggi lagi. 2 4 6 2 4 6 2 4 Contoh: Q = 1 3 5 , maka det Q = adalah 1 3 5 1 3 7 8 9 7 8 9 7 8
= (2x3x9) + (4x5x7) + (6x1x8) − (6x3x7) − (2x5x8) − (4x1x9) = 242 −242 = 0
b. Metode Kofaktor Minor suatu matriks A dilambangkan dengan Mij adalah matriks bagian dari A yang diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemennya pada baris ke-i dan elemen elemen pada kolom ke-j. 2 4 6 Contoh: Q = 1 3 5 , maka 7 8 9
2 M11 = 1 7
4 3 8
6 3 5 = 8 9
5 9
2 M12 = 1 7
4 3 8
6 1 5 = 7 9
5 9
2 M13 = 1 7
4 3 8
6 1 5 = 7 9
3 8
M11, M12 dan M13 merupakan submatriks hasil ekspansi baris ke-1 dari matriks Q. Kofaktor suatu elemen baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dilambangkan dengan
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
21
K ij = (−1) i j M ij = (−1) i+ j det (Mij ) Untuk mencari det(A) dengan metode kofaktor cukup mengambil satu ekspansi saja misal ekspansi baris ke-1 +
2 4 6 Contoh: Q = 1 3 5 , untuk mendapatkan det Q dengan metode kofaktor adalah 7 8 9 mencari terlebih dahulu determinan-determinan minornya yang diperoleh dari ekspansi baris ke-1 diatas, yaitu det(M11)= −13 , det(M12 )= −26 dan det(M13 ) = −13, maka : Q = q11.k 11 − q12 .k 12 + q13 .k 13 = q11.(−1)1 1 det(M11) − q12 (−1)1 2 det(M12 ) + q13 (−1)1 3 det(M13 ) +
+
+
= 2.13 − 4.26 + 6.13 = 0 Suatu matriks yang nilai determinannya = 0 disebut matriks singular .
3. Adjoin Matriks Adjoin matriks A adalah transpose dari kofaktor-kofaktor matriks tersebut, dilambangkan dengan adj A = (k ij ) t
2 4 6 Contoh: Q = 1 3 5 telah diketahui dari hitungan sebelumnya bahwa k 11 = 13, 7 8 9 k 12 = 26 dan k 13 = 13 sekarang kita hanya mencari kofaktor dari ekspansi baris ke-2 dan ekspansi baris ke-3, yaitu :
k 21= (−1) 2 1 4 6 = 12 ; k 22 =(−1) 2 2 2 6 = - 24 ; k 23 = (−1) 2 3 2 4 = 12 +
8
+
9
7
k 31= (−1) 3 1 4 6 = 2 +
11
Adj A =
12 13
3
;k
5
21
31
22
32
23
33
32
+
9
7
8
= (−1) 3 2 2 6 = - 4 ; k 33 = (−1) 3 3 2 4 = 2 +
1
5
−
13 = 26 13
12 24 12
+
1
3
2 4 2
Hal yang menarik dalam mencari adjoin matriks berordo 2x2 ditunjukkan sebagai berikut : Jika A =
, maka kofaktor-kofaktornya adalah k 11 = d , k 12 = - c , k 21 = - b , dan k 22 =
a . kemudian Adj A =
11 12
− − 21
=
22
Hal ini sama artinya dengan menukarkan elemen-elemen pada diagonal utamanya dan mengubah tanda pada elemen-elemen pada diagonal lainnya
D. Invers Matriks Untuk menjelaskan invers matriks, perhatikan pengertian berikut:
−
Invers matriks adalah lawan atau kebalikan suatu matriks dalam perkalian yang dilambangkan dengan
1
Definisi:
Jika matriks A dan B sedemikian sehingga A x B = B x A = I , dimana I matriks identitas
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
22
maka B disebut invers dari A dan A invers dari B . Karena invers matriks A dilambangkan dengan A−1 maka berlaku :
− − =
=
dimana I = matriks Identitas
Contoh :
7 3
Diberikan matriks A =
9 dan B = 4
( diskusikan dengan teman-teman mu )
− − 4 3
9 apakah B adalah invers matriks A ? 7
Cara mencari invers matriks berordo 2 x 2 dan invers matriks berordo 3 x 3 dipaparkan berikut ini. 1. Invers matriks berordo 2x2
− − − − − − − − − − ≠ Jika A =
1
maka
=
1
≠
; syarat det (A) 0
det ( )
Contoh :
5 3
Diketahui matriks A =
3 tentukan 2
1
Det (A) = (5x2) – ( 3 x 3 ) = 1 1
=
1 1
2 3
3 = 5
2 3
3 5
2. Invers matriks berordo 3x3
Jika B3x3 maka
1
1 Contoh : B = 0 0
2 4 0
=
1
det ( )
.
; syarat det (B)
0
3 5 , tentukan invers dari matriks segitiga tersebut . 6
Untuk mencari determinan matriks B, cara paling praktis adalah dengan metode kofaktor dengan mengekspansi baris yang memuat nol terbanyak yaitu baris ke-3, maka 1 2 det (Q) = = b31.k 31 – b32.k 32 +b33.k 33 = 0 – 0 + 6 (- 1 ) 3+3 = 24 0 4
− − − −
4 0 0 adj (B) = 0 0 + 0 +
5 6 5 6 4 0
2 0 1 + 0 1 0
3 6 3 6 2 0
2 4 1 0 1 + 0 +
3 6 3 5 2 4
− − − 24 = 0 0
12 6 0
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
2 5 4
23
−
1
maka
=
1 24
− − − 24 0 0
12 6 0
− − −
1
2 5 = 4
1
2
12 5
1
0
4
0
Contoh Soal Aplikasi Matriks
1
24 1
0
6
Dewi dan teman-temannya memesan 3 mangkok bakso dan 2 gelas es jeruk di kantin sekolahnya. Tak lama kemudian, datang Doni dan teman-temannya memesan 5 mangkok bakso dan 3 gelas es jeruk. Dewi meminta Amir, untuk menentukan harga bakso per mangkok dan harga es jeruk per gelas jika Dewi harus membayar Rp. 7000,00 untuk semua pesanannya, dan Doni harus membayar Rp.11.500,00 untuk semua pesanannya itu. Maka berapakah harga bakso per mangkok dan es jeruk per gelasnya? Petunjuk : Buatlah sistem persamaan linearnya lalu selesaikan dengan matriks. Jawab : Misalkan x = harga bakso per mangkok y = harga es jeruk per gelas Sistem persamaan linearnya : 3x + 2y = 7000 5x + 3y = 11500 Dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut : 3 2 7000 = 5 3 11500
− − − − − − − − − 1
Atau A.x = B maka x = 1
=
=
1
3.3
5.2
3 5
2 3
3 5
.
2 = 3
3 5
2 3
7000 2000 = 11500 500
Harga bakso Rp. 2000,00 per mangkok dan harga es jeruk Rp. 500,00 per gelas. Contoh penyelesaian aplikasi matriks pada soal-soal di atas bukanlah satu-satunya cara. Siswa hendaknya diperbolehkan mencari penyelesaian lain selama penyelesaian dibuat dengan logis dan mengikuti kaidah aljabar matriks serta memperoleh hasil sama. Untuk tahap selanjutnya kepada siswa dapat diajarkan tentang persamaan dan pertidaksamaan, baik yang linear atau kuadrat, juga relasi dan fungsi. Penyelesaian Sistem Persamaan Liniear Tiga Variabel (Aturan Cramer) ax by cz p dx ey fz q ditentukan oleh gx hy iz r a
b
c
D d
e
f
g
h
i
,
p
b
c
Dx q
e
f
r
h
i
,
x
Dx
a
p
c
Dy d
q
f
g
r
i
D
, y
Dy
,
, z
Dz
a
b
p
Dz d
e
q
g
h
r
D
untuk D ≠ 0, dengan
D
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
24
Kegiatan Modul 12.1.3.5 1. Tunjukan bahwa matriks A idempoten jika A=
-1
3
5
1
-3
-5
-1
3
5
2. Periksalah apakah matriks A dan B berikut ekuivalen a. A=
b. A=
3
1
2
3
1
2
4
2
0
1
3
1
1
3
1
4
2
0
3
5
1
3
5
1
2
0
3
2
0
3
5
5
4
0
0
0
3. Diketahui
dan B=
dan B=
2
2
2
2
6
0
4
2
1
2
3
1
Matriks B diperoleh dari A dengan sederetan transformasi elementer H 12, H31(1), K13, K2(2). Carilah B
4. Diketahui sistem persamaan linear sbb
− 3 + 2 + 3 = 0 + 2 + = 0 2 + 2 + 3 = 0
Tentukan nilai dari
+
dengan aturan Cramer
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 6 cocokkan jawaban anda pada kunci jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan 6
Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang invers matriks , maka anda harus mengulang kembali membaca dan memahami konsep tentang invers matriks.
Jika nilai perolehan Modul.
≥
75 maka anda boleh mempersiapkan untuk Tes Akhir
Modul Matriks – SMA Negeri 6 Malang By Drs. Pundjul Prijono
25
