FISICA MODERNA Lic. Fis. Jorge Huayta
Fissic Fi icaa mod oder erna na Comienza a principios del siglo xx, cuando el alemán Max Planck, comienza a investigar sobre el “cuanto” de energía. Para Planck los cuantos son partículas de energía indivisibles, y que no son continuas continuas como en la física física clásica Por ello nace esta nueva rama de la física que estudia las manifestaciones que se producen en los átomos, los comportamientos de las partículas que forman la materia y las fuerzas que las rigen. (luego se llamara física cuántica).
Fissic Fi icaa mod oder erna na Comienza a principios del siglo xx, cuando el alemán Max Planck, comienza a investigar sobre el “cuanto” de energía. Para Planck los cuantos son partículas de energía indivisibles, y que no son continuas continuas como en la física física clásica Por ello nace esta nueva rama de la física que estudia las manifestaciones que se producen en los átomos, los comportamientos de las partículas que forman la materia y las fuerzas que las rigen. (luego se llamara física cuántica).
Teo eori riaa cu cuan anti tica ca
El Foton
La Luz: Onda y Partícula Einstein (1905) propone que la luz se comporta, en ocasiones, como onda y en otras como partícula
Propuso la existencia de Fotones: Paquetes de energía
El Fotón Es la partícula fundamental de las manifestaciones cuánticas del fenómeno electromagnético. • La radiacion electromagnetica esta formada por paquetes discretos de energia que se comportan como particulas, llamados fotones o cuantos. • Es la partícula portadora de todas las formas de radiación electromagnética: rayos gamma. Rayos X, la luz ultravioleta etc. •
El foton y sus propiedades • • •
• • • •
Su masa en reposo es cero, su energía es totalmente cinetica. Viaja a la velocidad de la luz y deja de existir tan pronto deje de moverse a velocidad c Se comporta como una onda en fenómenos como la refracción, sin embargo se comporta como una partícula cuando interacciona con la materia para transferir una cantidad fija de energía. Vida media estable No tiene antipartícula Tiene carga eléctrica. Einstein en 1905 basándose en el trabajo de Planck propuso que cada foton tiene una energía E que depende unicamente de la frecuencia υ de la radiacion y esta dada por E
h
h
c
Naturaleza de la luz: dualidad onda – fotón Equivalencia masa – energía:
E = m∙ c2 Sabiendo que la energía de un fotón: E
h
h
c
Por tanto, los fotones poseen un momento lineal igual a: mc
2
h
c
mc
h
p foton
h radiacion
La Luz presenta dualidad de comportamiento ONDA PARTICULA
Algunas conversiones y combinaciones 1eV= 1,602x10-19 J 1Ả = 10-10 m = 105 fm hc = 19,865x10-26 J·m =12,41x103 eV∙Ả = 1241 MeV∙fm k B =constante de Boltzman = 1,38x10 -23 J/K
h
2
e 2me
1,055 x10
34
J / s
0,658 x10
magneton de Bohr 9,27 x10
electron proton neutron
masa en reposo mo (kg) 9,109x10 -31 1,673x10 -27 1,675x10-27 1,661x10-27
15
eV s
24
J / T
moc2 (MeV) 0,511 938,3 939,6 931,5
Ejemplo Calcular la energía de fotones de rayos X cuya longitud de onda es de 0,60 nm.
Solucion La frecuencia de los rayos X, es:
8
3,00 x10 m / s
c
9
0,60 x10 m
17
5,0 x10 Hz
Luego, la energia del foton será: E h (6,625 x10
34
J s)(5,0 x10 Hz) 3,31 x10 17
16
J
Energia y Potencia del fotón •
La energía total de una determinada radiación es igual al número N de fotones que contiene, por la energía de cada uno de ellos: E
Nh
P
Nh
t
La potencia es igual a la energía de los fotones por unidad de tiempo Ppor la energía de uno de ellos. • La intensidad del haz será proporcional al numero de fotones que atraviesan la unidad de área en la unidad de tiempo. Luego, si el haz es monocromático, la intensidad I estará dado por: •
I
P A
( Energia de un foton numero de fotones ) / tiempo area
Ejemplo
Una estacion de radio con una frecuencia de 103,7 MHz con una potencia de salida de 200 kW . Calcular la tasa de emision de cuantos de la estacion.
Solucion La energia de cada foton o cuanto, es E h
( 6,626 10
34
6
J s )(103, 7 10 s
1
) 6,88 10
26
J
Asi, N t
numero de cuantos ( N ) tiempo
200 10 3 J / s
1 cuanto 6,88 10
26
J
2,91 10 30 cuantos / s
O también … : P
Nh
N
t
t
3
P
h
200 10 J / s 6,88 10
26
J
30
2,91 10 cuantos / s
INTERACCION RADIACION MATERIA
Procesos de interacción radiacion-materia Los procesos elementales de interacción de los fotones con la materia son fundamentalmente: FOTÓN
Electrón
ionización (absorción)
Fotones de E ≤ E (otra dirección)
Interacción fotoeléctrica Interacción Compton Creación de pares
efectos biológicos dispersión
Efecto fotoelectrico
Efecto fotoelectrico Es un fenómeno en el cual un fotón interactúa con un átomo y libera un electrón orbital del átomo. r-X característicos
En este proceso toda la energía hυ del fotón se transfiere al e- orbital.
e- Auger
La energía cinética del e- eyectado ( foto-electrón) es: E c h
Φ ≡ Eligadura, es la energía de ligadura del electrón
hυ
orbital Este efecto se produce con e- de las capas K, L, M y N
K L M
Átomo
Luego de que el e- es eyectado del átomo, se produce una vacancia en la capa, dejando al átomo en un estado excitado. e- de una capa más externa
Emisión de rayos X
e-
Grafico de fenómeno fotoelectrico
Puede someterse a una diferencia de potencial invertida hasta conseguir frenar a los electrones, al que se le llama potencial de frenado. A función de trabajo Φ le corresponde una frecuencia llamada umbral υumbral. Por debajo de ella, los fotones incidentes no
Efecto fotoelectrico La interacción fotoeléctrica es dominante a bajas energías, < 100 keV , en tejidos biológicos. L K Fotón γ ( hυ )
( hυ´) - Ee Núcleo
•
Los fotones con mayor energía (mayor frecuencia) generan electrones con mayor energía cinetica. Un haz muy luminoso (alta intensidad) de baja frecuencia puede no producir emisión luminosa
•
El fotón interacciona con un electrón ligado cediéndole toda su energía hν
•
Esa energía no esta determinada por la intensidad de la luz sino por la frecuencia de la luz.
•
El electrón invierte parte de la energía comunicada en romper la ligadura Eligadura con
Ejemplo Determinar la energía cinetica con la que será expulsado un electron de cesio al emplear una radiación de 850 nm si sabemos que la energía umbral del Cs es 6,22x10-19 J
f
3,00 x108 m / s
c
8,5 x10 7 m
E h (6,626 x10
34
3,5 x1014 Hz 14
J s )(3,5 x10 Hz )
2,34 x10 19 J
Como esta energía es inferior a la energía umbral del cesio, el electron no será expulsado.
Efecto Compton
Efecto compton En este proceso, el fotón interactúa con un electrón del átomo, como si este e fuera un electrón “libre” . (“Libre” significa que la energía de ligadura del electrón es mucho menor que la
del fotón incidente).
En esta interacción: El e- recibe una parte de la energía del fotón incidente y es emitido en un ángulo . El fotón , con energía reducida, es dispersado en un ángulo θ e- libre
h 0
Fotón incidente
e-
e- Compton
θ
h ’
Efecto compton La interacción Compton es dominante a energías є(100, 1000) keV , en tejidos biológicos. E e
mc
pe
mv
2
E ho p
h
E ´ h´ p´
h ´
El fotón interacciona con un electrón poco ligado cediéndole parte de su energía hνo En la interacción se produce un fotón dispersado de energía hν’< hνo El e- liberado lleva una energía: E ≈ h·νo- h·ν’ Algunas equivalencias:
1eV
1 6 10
,
19
J ,
1 MeV
10
6
eV
Efecto Compton Se puede analizar este proceso como una colisión entre dos partículas: un fotón y un electrón . Planteando conservación de la energía y del momento, se obtiene:
Energía del e- compton donde k
hυo me c
2
Energía del fotón dispersado
E h 0
k ( 1 cos ) 1 k ( 1 cos )
h' h 0
1 1 k ( 1 cos )
λ compton
Cambio de longitud de onda del foton dispersado 2
h me c
(1 cos )
Ejemplo En un experimento Compton, un electron alcanza una energía de 0,100 MeV cuando un haz de rayos X de 0,500 MeV incide sobre el. Calcular la longitud de onda del foton dispersado, si el electron estaba inicialmente en reposo. Solucion
E inicial E
E fina l
me c
2
E ´ ( K e
2 me c )
0,500 MeV E ´0,100 MeV E ´ 0,400 MeV
Por tanto ´
'
E
3
o
12,4 x10 MeV A
hc
0 400 MeV
31x10
3
o
A
MECANICA CUANTICA
PROPIEDADES ONDULATORIAS DE LA MATERIA
Hipotesis ondulatoria de De Broglie
Las hipotesis de Luis De Broglie El efecto Compton confirma la existencia de los fotones demostrando el choque entre fotones y electrones libres que cumple el P. de conservación p como cualquier choque. Esto demuestra que el fotón se comporta como una partícula. Así pues la luz está formada por fotones que transportan energía según su frecuencia. El fotón como partícula transporta no solo energía sino también cantidad de movimiento (p=m.v ).
Estudiando las analogías entre la mecánica clásica de las partículas y el de las ondas, De Broglie propuso en 1923 una relación entre magnitudes consideradas corpusculares como la velocidad (v), la cantidad de movimiento (p) y la energía (E), y magnitudes propias de las ondas como la longitud de onda ( ), o la frecuencia angular ( )
Partiendo de la expresión para la energía de una partícula: E = m · c2 y p = m·v Combinando ambas expresiones: E = pc
La energía de los fotones considerados como ondas, es: Igualando ambas energías: h
p c
h
c
p
E
h
h
h p
h
c
h mv
Hipótesis de De Broglie La teoría de los cuantos de Einstein es más general es decir, no solo la luz tiene propiedades particulares y ondulatorias, sino que cualquier partícula tiene asociada una onda. • Cualquier objeto en movimiento, no importa su masa, tiene asociada una longitud de onda dada por la ecuación de De Broglie. •
h mv
• Para cualquier partícula: p = mv • Longitud de onda de De Broglie
“Dualidad Onda-Partícula”
La confirmación de la hipótesis de De Broglie acabó con la polémica de si los electrones y los fotones eran partículas u ondas. • Cualquier objeto tiene propiedades de onda (como la λ ) y propiedades de partícula (como la masa m). •
Ejemplo Calcular la longitud de onda de De Broglie asociada, en los siguientes casos: a) Una persona de 70 kg moviéndose a 2 m/s b) Un electrón de 9,1×10-31 kg de masa moviéndose a 1000 m/s
Solucion a) Para la persona
h mv
6,625 10 70 . 2
34
4,7 10
36
m
Mucho menor que el tamaño de la persona; luego los efectos ondulatorios serán imperceptibles
b) Para el electrón
34
h mv
6,625 10 31 9,1.10 .1000
7,2 10
7
m
Unas 130000 veces mayor que el radio de la primera órbita de Böhr; luego producirá fenómenos ondulatorios que impedirán la localización del
Una interpretacion de las ondas materiales Las ondas de De Broglie permiten relacionar: una propiedad típica de las partículas: p con una propiedad típica de las ondas: λ
La magnitud variable que caracteriza estas ondas es llamada función de onda , y no puede observarse por carecer de significado físico directo
Si se considera el electrón como una onda, no será posible precisar con certeza la posición donde se encuentra En 1926, Max Born interpretó esta cuestión en términos de probabilidad de encontrar la partícula en un espacio igual a su longitud de onda de De Broglie asociada
Max Bo rn , p rem io No bel (1954) po r la interpretación probabilística de la mecánica cuántica
Interpretacion probabilistica de la mecanica cuantica
50 % 99,9 %
La probabilidad (P) de que un objeto se encuentre en un sitio determinado siempre es positiva y varía entre 0 (certeza de su ausencia) y 1 (certeza total de su presencia)
El término 2 conocido como densidad de probabilidad, es positivo y cuando se aplica al electrón, tiene el significado físico de densidad electrónica La probabilidad de encontrar el cuerpo descrito por la función de onda en un punto del espacio (x, y, z) y en un instante t es proporcional al valor de 2 en ese punto y en ese momento
Principio de incertidumbre de Heisenberg
Principio de Incertidumbre
•
Werner Heisenberg (1901-1976). Premio Nóbel en 1932
Principio de incertidumbre de Heisenberg Fotón
Electrón con cantidad de movimiento inicial
Fotón reflejado en función de su interacción con el electrón
Electrón excitado
Determinación de la posición de un electrón mediante un fotón
Electrón con cantidad de movimiento final en función de su interacción con el fotón
Fue formulado por el físico alemán W. Heisenberg en 1927, para una partícula que se mueve en la dirección del eje x. Este principio es inherente a los números cuánticos y no depende del proceso de medida En 1927 Heisenberg establece que “ es imposible en un instante dado determinar
simultáneamente la posición y el momento lineal de una partícula”
Al efectuar la medida simultánea de la posición x y del momento lineal p de una
Principio de Incertidumbre •
Por lo tanto, el producto de las incertidumbres en la posición y el momentum es: p x x (
•
h
)( )
Relación de Incertidumbre de Heisenberg
Δ p x ·Δ x h Mas precisamente: x p x
h 4
Principio de Incertidumbre Tambien se puede expresar como: px
2 p x
Otra de las formas alternativas de este Principio es la indeterminacion tiempo-energia
E t
---------------------------------h
h
2
2
Ejemplo Supongamos que nos satisface conocer la posición de un electrón en un átomo de 1 Ǻ de diámetro con un 50% de error, o sea 0.5 Ǻ de exactitud. Entonces ¿cual seria la incertidumbre de su velocidad?
Solucion Nos satisface conocer la posicion de un electron con una precisión de la mitad del diámetro, es decir: Δ x = (1/2)Å = 0,5x10-10 m Entonces requeriremos un fotón que produzca un cambio mínimo en el momentum Δ p x tal que: x p x
h 4
x mv x
h 4
siendo Δ p = mΔv; y la masa del electrón me- = 9,1 10-31 kg
v x
h
4 (m x)
6,63 x10 34 J s 4 (9,1 x10
31
kg 0,5 x10
10
m)
1,2 x10
Que es una incertidumbre de velocidad increíblemente grande
6
m/ s
MODELOS ATOMICOS: modelo de Bohr
Modelo de Thomson Luego del descubrimiento del electrón en 1897 por Joseph John Thomson, se determinó que la materia se componía de dos partes, una negativa y una positiva. La parte negativa estaba constituida por electrones, los cuales se encontraban según este modelo inmersos en una masa de carga positiva a manera de pasas en un pastel.
Experimento de Rutherford El modelo de Thomson se abandonó en 1911, cuando Rutherford bombardeó una delgada hoja metálica con un haz de partículas alfa cargadas positivamente.
La mayoría de las partículas pasan a través de la hoja de oro, pero unas cuantas se dispersan en una dirección hacia atrás. Experimento de dispersión de Rutherford
Fuente alfa
Hoja de oro
Pantalla
Si los electrones se distribuyeran uniformemente, las partículas pasarían rectas a través de un átomo. Rutherford propuso un átomo que es de espacio casi vacio y con carga positiva concentrada en un núcleo muy denso.
Modelo de Rutherford Propuesto por el físico Ernest Rutherford a partir de los resultados obtenidos de lo que hoy conocemos como el experimento de Rutherford. Mantiene que el átomo se compone de una parte positiva y una negativa, sin embargo, a diferencia del modelo anterior, postula que la parte positiva se concentra en un núcleo, el cual también contiene virtualmente toda la masa del átomo, mientras que los electrones se ubican en una corteza orbitando al núcleo en órbitas circulares o elípticas con un espacio vacío entre ellos.
A pesar de ser un modelo obsoleto, es la percepción más común del átomo del
Órbitas electrónicas Considerando el modelo planetario para los electrones que se mueven en un círculo alrededor del núcleo positivo. La figura siguiente es para el átomo de hidrógeno.
F C
r
-
eLey de Coulomb:
+
F C
Núcleo
mv
2
1 4
e
2 2
e
FC centrípeta:
2
F C
2
4 0 r
r
1
mv
e2
4 mv 2
2
r
2
Fallas del modelo Rutherford Por desgracia, el modelo atómico de Rutherford presentaba varias incongruencias:
v + Núcleo
-
e-
•
Cuando un electrón se acelera por la fuerza central, debe radiar energía.
•
La pérdida de energía debe hacer que la velocidad v disminuya, lo que envíara al electrón a chocar en el núcleo.
Esto es, contradecía las leyes del electromagnetismo. Según las leyes de Maxwell, una carga eléctrica en movimiento (en este caso el electrón) debería emitir energía constantemente en forma de radiación y llegaría un momento en que el electrón caería sobre el núcleo y la materia se destruiría. Todo ocurriría muy brevemente.
No explicaba los espectros atómicos. Esto NO ocurre y el átomo de Rutherford falla.
Modelo de Bohr •
Este modelo es estrictamente un modelo del átomo de hidrógeno tomando como punto de partida el modelo de Rutherford.
• Niels Bohr trata de incorporar los fenómenos de absorción y emisión de
los gases, así como la nueva teoría de la cuantización de la energía desarrollada por Max Planck y el fenómeno del efecto fotoeléctrico observado por Albert Einstein.
•
De acuerdo a esto, el Modelo de Bohr consiste en un núcleo de hidrógeno alrededor del cual gira en órbitas circulares un electrón, ocupando la órbita permitida de menor energía , es decir, la más cercana al núcleo.
•
El número de órbitas permitidas para el electrón se encuentra restringido por su nivel energético, y el electrón puede pasar a una órbita de mayor energía solamente absorbiendo una cantidad de energía específica (cuanto). El proceso inverso también es posible, que un electrón pase de una órbita de mayor energía a una de menor, liberando una cantidad específica de energía.
Modelo de Bohr
Un electrón sólo puede tener ciertas órbitas y el átomo debe tener niveles de energía definidos. Los espectros atómicos indican que los átomos emiten o absorben energía en cantidades discretas.
Análisis ondulatorio de órbitas n=4
Existen órbitas estables para múltiplos enteros de longitudes de onda de De Broglie.
e-
2 r = n n = 1,2,3, …
+
2 r
Órbitas de electrón
n
h mv
Al recordar que la cantidad de movimiento angular es mvr, se escribe: L
mvr
n
h
2
;
n
1, 2, 3, . . .
El átomo de Bohr Un electrón sólo puede tener aquellas órbitas en las que su cantidad de movimiento angular sea:
Niveles de energía, n
+
L
n
h 2
;
n
1, 2, 3, . . .
El átomo de Bohr
Postulado de Bohr : Cuando un electrón cambia de una órbita a otra, gana o pierde energía igual a la diferencia en energía entre los niveles inicial y final.
Átomo de Bohr y radiación Emisión
Cuando un electrón cae a un nivel inferior, se emite radiación; cuando absorbe radiación, el electrón se mueve a un nivel superior.
Energía: hυ = E f - E i Absorción Al combinar la idea de niveles de energía con la teoría clásica, Bohr fue capaz de predecir el radio del átomo de hidrógeno.
Radio del átomo de hidrógeno Radio como función del nivel energético: L
mvr
n
h
2
n
;
1, 2, 3, . . .
El momento angular L del electron esta cuantizado. El numero entero n se denomina numero cuantico principal
Radio de Bohr
n r
Radio clásico
mv
r
2
1
e
4 o
mv
2
Al eliminar r de estas ecuaciones, se encuentra la velocidad v; la eliminación de v da los posibles radios r n: vn
e
2
2 0 nh
r n
n
2
h 0
me
2
2
Ejemplo Encuentre el radio del átomo de hidrógeno en su estado más estable (n = 1).
Solucion r n
n
2
h 0
me
2
m = 9,1x10-31 kg e = 1,6x10-19 C
2
2
r
(1)2 (8.85 x 10-12 Nm )(6.63 x 10 C2 -31
(9.1 x 10
34
-19
J s)2
2
kg)(1.6 x 10 C)
r = 5.31 x 10-11 m
r = 53.1 pm
El estado de energía minima (n = 1), se denomina estado fundamental
Energía total de un átomo La energía total en el nivel n es la suma de las energías cinética y potencial en dicho nivel. E
K
U
;
K
Pero recuerde que: 2 vn
e
2 0 nh
r n
n
2
1 2
0
mv
h
me
2
2
Energía total del átomo de hidrógeno para el nivel
2
;
U
e
2
4 0 r
Al sustituir v y r se obtiene la expresión para la energía total.
E
me
4
Energía para un estado particular Será útil simplificar la fórmula de energía para un estado particular mediante la sustitución de constantes. o = 8.85 x 10--12 C 2 /Nm2
m = 9.1 x 10-31 kg e = 1.6 x 10-19 C
E n
me
E n
4
2 2 2 0 n h
8
h = 6.63 x 10-34 J s (9.1 x 10-31kg)(1.6 x 10-19 C)4
2
2 2 -34 C 8(8.85 x 10-12 Nm Js)2 2 ) n (6.63 x 10
2.17 x 10
n
2
-18
J
o E n
13.6 eV n
2
Ecuacion de Balmer 4 Energía total del me Negativa debido a energía E átomo de hidrógeno n 2 2 2 externa para elevar el nivel n. 8 0 n h para el nivel n. Cuando un electrón se mueve de un estado inicial ni a un estado final n f , la energía involucrada es: c 1 1 E i - E f E γ hυ h (E 0 E f ) λ λ hc
E
hc
E0 E f ;
1
4 1 me
2 2 2 2 2 2 hc 8 0 h n0 8 0 h n f me 4
1 1 me 4 2 3 2 2 2 ; If R 2 3 2 8 0 h cn f n f ni 8 0 h cn f 1
me 4
Ecuación de espectros atomicos
1 1 R 2 2 ; R 1.097 x 107 m -1 1
Niveles de energía Ahora se puede visualizar al átomo de hidrógeno con un electrón en muchos niveles de energía posibles. Emisión
Absorción
La energía del átomo aumenta en la absorción (n f > ni) y disminuye en la emisión ( n f < ni).
Energía del nésimo nivel:
E
13.6 eV
n
2
El cambio en energía del átomo se puede dar en términos de los niveles inicial ni y final n f : 1 1 E 13.6 eV 2 2 n n
Ejemplo ¿Cuál es la energía de un fotón emitido si un electrón cae del nivel n = 3 al nivel n = 1 para el átomo de hidrógeno?
¿Cuál es la energía de un fotón emitido si un electrón cae del nivel n = 3 al nivel n = 1 para el átomo de hidrógeno?
Solucion 1 1 E 13.6 eV 2 2 n n 0 f
1 1 E 13.6 eV 1 3 2
2
12.1 eV
Cambio en energía del átomo.
E = -12,1 eV
La energía del átomo disminuye por 12,1 eV conforme se emite un fotón de dicha energía. Se puede demostrar que se requieren 13,6 eV para mover un electrón de n = 1 a n =
Teoría moderna del átomo El modelo de un electrón como partícula puntual que se mueve en una órbita circular ha experimentado un cambio significativo. •
El modelo cuántico ahora presenta la ubicación de un electrón como una distribución de probabilidad , una nube alrededor del núcleo .
•
Se agregaron números cuánticos adicionales para describir caracteristicas como forma, orientación y espín magnético.
•
El principio de exclusión de Pauli mostró que dos electrones en un átomo no pueden existir en el mismo estado exacto.
Teoría atómica moderna (Cont.)
El átomo de Bohr para el berilio sugiere un modelo planetario que no es estrictamente correcto.
Aquí el nivel n = 2 del átomo de hidrógeno se muestra como una distribución de probabilidad.
¿ preguntas ? …
…. GRACIAS
Ejercicios Fisica moderna 1 Las energias cineticas de los fotoelectrones varian entre cero y 4x10-19 J cuando la luz que incide sobre la superficie tiene una longitud de onda de 3000 Å. Cual es el potencial de frenado para este haz.
2 Cual es la longitud de onda umbral para la superficie del problema anterior 3 Calcular la fraccion de cambio en la longitud de onda de un haz de rayos X de longitud de onda 0,400 Å, si el haz sufre una dispersion de Compton de 90°. 4 Hallar las energias de los dos fotones que se producen cuando se efectua una aniquilacion entre un electron y un positron que se encuentran inicialmente en reposo 5.Calcular el espesor de valor medio (capa hemirreductora) del aluminio μ = 0,070 mm-1.
6 Los coeficientes de absorcion de dos materiales A y B son 0,044 mm-1 y 0,056 mm-1, respectivamente. Si al atravesar ambos materiales la intensidad I o se convierte en I o /5. Cuales son los espesores de A y B sabiendo que el espesor de A es el doble que la de B. 7 Hallar la longitud de onda De Broglie para un perdigon de 0,01 kg que viaja a 10 m/s 8. Cual es la minima energia que debe tener el foton utilizado cuando se desea observar un
