11_Duyarl²l²k_Analizi_1

SAKARYA ÜNİVERSİTESİ

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN

1/36

Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN

Yöneylem Araştırması - I


Yöneylem Araştırması - I İçerik

• Duyarlılık Analizi • Optimalliği etkileyen değişimler

2/36




Yöneylem Araştırması - I Duyarlılık Analizi

Duyarlılık Analizi (Optimallik Sonrası Analiz):

• Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler meydana gelirse optimal çözüm değişecek midir? • Problemin çözümü tamamen bozulmadan yeni optimum çözümü hesap edebilir miyiz?

3/36





Modeldeki değişimin sonucu dört başlık altında toplanabilir: 1. 2. 3. 4.

Mevcut çözüm değişmez, Mevcut çözümün olurluluğu bozulur, Mevcut çözümün optimalliği bozulur, Mevcut çözümün hem olurluluğu hem optimalliği bozulur.

4/36





Modeldeki değişimin sonucu dört başlık altında toplanabilir: 1. Mevcut çözüm değişmez, Herhangi bir işlem yapılmaz. 2. Mevcut çözümün olurluluğu bozulur, Dual simpleks uygulanır. 3. Mevcut çözümün optimalliği bozulur, Primal simpleks uygulanır. 4. Mevcut çözümün hem olurluluğu hem optimalliği bozulur. Primal ve Dual simpleks uygulanır. 5/36





Duyarlılık analizi 3 kategoriye indirgenebilir:

1. Amaç fonksiyonu katsayılarının (cj) değişmesi sadece optimalliği etkileyebilir. 2. Sağ taraf değerlerindeki (bj) değişimler sadece olurluluğu etkileyebilir. 3. Amaç fonk. ve sağ taraf değerlerindeki değişimler hem optimalliği hem olurluluğu etkileyebilir.

6/36






1. Amaç fonksiyonu katsayılarının (cj) değişmesi sadece optimalliği etkileyebilir. Optimallik bozulursa optimalliğe ulaşıncaya kadar (veya yeni çözümün optimalliği sınırsız olduğu görülünceye kadar) yeni tabloya primal simpleks uygulanır.

7/36






2. Sağ taraf değerlerindeki (bj) değişimler sadece olurluluğu etkileyebilir. Olurluluk bozulursa olurluluk tekrar elde edilinceye (veya yeni çözümün olursuz kaldığı görülünceye) kadar yeni tabloya dual simpleks uygulanır.

8/36






3. Amaç fonk. ve sağ taraf değerlerindeki değişimler hem optimalliği hem olurluluğu etkileyebilir. Eğer hem optimallik hem de olurluluk bozulduysa olurluluk gözardı edilerek önce primal simpleks daha sonra dual simpleks uygulanır. Aslında bu, 1. ve 2. işlemlerin sırasıyla uygulanmasıdır. 9/36




Yöneylem Araştırması - I Duyarlılık Analizi Optimalliği Etkileyen Değişimler

A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:

Temelde olmayan değişkenlerin amaç fonksiyonu satırının (zj – cj) yeniden hesaplanması gerekir; 1. Y = CBB-1 dual fiyat vektörü hesaplanır. 2. Temelde olmayan xj’lerin tümü için zj – cj = YAj – cj hesaplanır.

10/36





A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse:

Bu işlemlerin sonucu iki durum ortaya çıkabilir; 1. Optimallik bozulmamışsa mevcut çözüm aynı kalır, ancak amaç fonksiyonu değeri (Z) değişir. 2. Optimallik bozulmuşsa optimalliği sağlamak için primal simpleks yöntem uygulanır.

11/36





A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse: Örnek: Max Z = 3.X1+2.X2+0.X3+0.X4+0.X5+0.X6 X1 + 2X2 + X3 =6 2X1 + X2 + X4 =8 -X1 + X2 + X5 =1 X2 + X6 = 2 X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0 Z = 3X1 + 2X2 yerine Z = 5X1 + 4X2 12/36





Optimalliği Etkileyen Değişimler

A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse: Örnek: Optimum Tablo Temelde değil

Temel Z X2 X1 X5 X6

X1 0 0 1 0 0

X2 0 1 0 0 0

X3 1/3 2/3 -1/3 -1 -2/3

X4 4/3 -1/3 2/3 1 1/3

X5 0 0 0 1 0

X6 0 0 0 0 1

Çözüm 38/3 4/3 10/3 3 2/3

XB = (X2, X1, X5, X6)T = (4/3, 10/3, 3, 2/3)T 13/36






A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse: Örnek: XB = (X2, X1, X5, X6) CB = (C2, C1, C5, C6) = (4, 5, 0, 0) Y=(y1, y2, y3, y4) = CBB-1 (y1, y2, y3, y4) = (4, 5, 0, 0)

2/3 -1/3 0 0 -1/3 2/3 0 0 -1 1 1 0 -2/3 1/3 0 1

Y = (y1, y2, y3, y4) = (1, 2, 0, 0) 14/36





A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse: Örnek: Optimal tabloda =0 olan Z3-C3 ve Z4-C4’ün yeni değerlerini hesaplayalım. Temel X1 X2 X3 X4

ZJ-CJ=YA-CII

1 0 YA-CII = (1, 2, 0, 0) 0 0

0 1 0 - (0, 0) 0

Z X3 X4 X5 X6

-3 1 2 -1 0

-2 2 1 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

X5 0 0 0 1 0

X6 0 0 0 0 1

Çözüm 0 6 8 1 2

(Z3-C3, Z4-C4) = (1, 2) 15/36





A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse: Örnek: (Z3-C3, Z4-C4) = (1, 2)

Değerler non-negatif olduğundan Xj çözüm değerleri değişmez ancak Z amaç fonksiyonu değeri değişir.

Yeni amaç fonk. değeri: Z = 5X1 + 4X2 = 5(10/3) + 4(4/3) = 22 Z değeri 38/3’ten 22’ye yükseldiği için bu değişiklik olumludur. 16/36






A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse: Örnek 2: Yeni amaç fonksiyonu Maks. Z=4X1+1X2 XB = (X2, X1, X5, X6) CB = (C2, C1, C5, C6) = (1, 4, 0, 0) Y=(y1, y2, y3, y4) = CBB-1 (y1, y2, y3, y4) = (1, 4, 0, 0)

2/3 -1/3 0 0 -1/3 2/3 0 0 -1 1 1 0 -2/3 1/3 0 1

Y = (y1, y2, y3, y4) = (-2/3, 7/3, 0, 0) 17/36





A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse: Örnek 2: Yeni amaç fonksiyonu Maks. Z=4X1+1X2

ZJ-CJ=YA-CII

1 0 YA-CII = (-2/3, 7/3, 0, 0) 0 0 (Z3-C3, Z4-C4) = (-2/3, 7/3)

0 1 0 - (0, 0) 0

18/36






A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse: Örnek 2: Yeni amaç fonksiyonu Maks. Z=4X1+1X2 (Z3-C3, Z4-C4) = (-2/3, 7/3)

Non-negatif değer olduğundan Primal Simpleks uygulanır. Yeni Z değeri de değişecektir.

Yeni amaç fonk. değeri: Z = 4X1 + 1X2 = 4(10/3) + 1(4/3) = 44/3

19/36






A. Amaç fonksiyonu katsayıları değişirse: Örnek 2: Yeni amaç fonksiyonu Maks. Z=4X1+1X2 Temel Z X2 X1 X5 X6

X1 0 0 1 0 0

X2 0 1 0 0 0

X3 -2/3 2/3 -1/3 -1 -2/3

X4 7/3 -1/3 2/3 1 1/3

X5 0 0 0 1 0

X6 Çözüm 0 44/3 0 4/3 0 10/3 0 3 1 2/3

20/36







X1 0 0 1 0 0

X2 0 1 0 0 0

X3 -2/3 2/3 -1/3 -1 -2/3

X4 7/3 -1/3 2/3 1 1/3

X5 0 0 0 1 0

X6 Çözüm 0 44/3 0 4/3 0 10/3 0 3 1 2/3

21/36







X1 0 0 1 0 0

X2 1 3/2 1/2 3/2 1

X3 0 1 0 0 0

X4 2 -1/2 1/2 1/2 0

X5 0 0 0 1 0

X6 Çözüm 0 16 0 2 0 4 0 5 1 2

Z değeri 38/3’ten 16’ya yükselmiştir. 22/36






B. Kısıt katsayıları değişirse: Örnek: Amaç fonksiyonu Maks Z = 4X1 + X2 iken (son yaptığımız örneğe göre), 2 nolu iç boya faaliyetinin hammadde kaynaklarındaki 2 ve 1 tonluk kullanımları yerine 4 ve 3 tonluk kullanımlar olsun. Bu durumda optimum çözüm etkilenecek midir, araştıralım.

23/36






B. Kısıt katsayıları değişirse: Örnek: Modelin eski kısıtları: X1 + 2X2 + X3

2X1 + 1X2 -X1 + X2 X2

Modelin yeni kısıtları: =6

+ X4

X1 + 4X2 + X3

=8

2X1 + 3X2

=1

-X1 + X2

+ X6 = 2

X2

+ X5

X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0

=6

+ X4

=8

+ X5

=1

+ X6 = 2

X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0 24/36






B. Kısıt katsayıları değişirse: Temel Örnek: Z Maks Z = 4X1 + X2’ye göre Optimum tablo sağdadır.

X3 X1 X5 X6

X1 0 0 1 0 0

X2 1 3/2 1/2 3/2 1

X3 0 1 0 0 0

X4 2 -1/2 1/2 1/2 0

X5 0 0 0 1 0

X6 0 0 0 0 1

Çözüm 16 2 4 5 2

CB = (C3, C1, C5, C6) = (0, 4, 0, 0) Y=(y1, y2, y3, y4) = CBB-1 ifadesinden; (y1, y2, y3, y4) = (0, 4, 0, 0)

1 -1/2 0 0 0 1/2 0 0 0 1/2 1 0 0 0 0 1

Y = (y1, y2, y3, y4) = (0, 2, 0, 0) 25/36






B. Kısıt katsayıları değişirse: Örnek:

Modelin yeni kısıtları: X1 + 4X2 + X3 2X1 + 3X2

Y = (y1, y2, y3, y4) = (0, 2, 0, 0) Z2-C2 = 4y1 + 3y2 + y3 + y4 – 1

-X1 + X2 X2

=6

+ X4

=8

+ X5

=1

+ X6 = 2

X1, X2, X3, X4, X5, X6>=0

Z2-C2 = 4(0)+3(2)+1(0)+1(0)-1 = 5

Bu değer ≥0 olduğundan (maks için) optimalliği etkilemez, çözüm aynı kalır. 26/36






B. Kısıt katsayıları değişirse: Örnek: A ve B hammadde kullanımları 2 ve 1 yerine 2 ve 1/4 olursa çözüm etkilenir mi? Y = (y1, y2, y3, y4) = (0, 2, 0, 0) olarak bulunmuştu Z2-C2 = 2y1 + 1/4y2 + y3 + y4 – 1 Z2-C2 = 2(0)+1/4(2)+1(0)+1(0)-1 = -1/2 Bu değer negatif olduğundan (maks için) optimallik bozulur, primal simpleks uygulanmalıdır. 27/36





C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse:

A ve B`nin birleşmesiyle hem amaç hem kısıt değişir, optimallik değişebilir.

28/36





C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse: Örnek: Orijinal RMC modelinde, dış boyanın daha ucuz bir markasını üretmek isteyelim. Bu yeni boyanın her bir tonu için A ve B ham maddelerinin her birinden 3/4'er ton kullanılacak olsun. Yeni boyanın ton başına karı 3/2 (1000$)’dır. 3. kısıtı oluşturan iç boyanın dış boyaya göre talebinin en çok bir ton fazla olması şartına yeni boya ilave edilerek durum değerlendirilmelidir. X7, yeni boyanın üretim miktarını (ton olarak ) göstersin. 29/36





C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse: Örnek: Maks Z = 3X1 + 2X2 + 3/2X7 X1 + 2X2 + 3/4X7 ≤ 6 2X1 + 1X2 + 3/4X7 ≤ 8 -X1 + X2 - X7 ≤ 1 X2 + 0X7 ≤ 2 X1, X2, X7>=0

30/36






C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse: Örnek: 1) X7 faaliyetinin optimum tablodaki amaç katsayısı: Y = CBB-1

Temel Z X2 X1 X5 X6

X1 0 0 1 0 0

X2 0 1 0 0 0

CB = (C2, C1, C5, C6) = (2, 3, 0, 0) 2/3 -1/3 0 0 Y=(y1, y2, y3, y4) = CBB-1 (y1, y2, y3, y4) = (2, 3, 0, 0) -1/3 2/3 0 0 -1 1 -2/3 1/3

Y = (y1, y2, y3, y4) = (1/3, 4/3, 0, 0) Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN

X7

X3 1/3 2/3 -1/3 -1 -2/3

X4 4/3 -1/3 2/3 1 1/3

X5 0 0 0 1 0

X6 0 0 0 0 1

Çözüm 38/3 4/3 10/3 3 2/3

1 0 0 1 31/36





C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse: Örnek: 1) X7 faaliyetinin optimum tablodaki amaç katsayısı: Temel Z X2 X1 X5 X6

X1 0 0 1 0 0

X2 0 1 0 0 0

X7

X3 1/3 2/3 -1/3 -1 -2/3

X4 4/3 -1/3 2/3 1 1/3

X5 0 0 0 1 0

X6 0 0 0 0 1

Çözüm 38/3 4/3 10/3 3 2/3

Z7-C7 = (3/4)y1 + (3/4)y2 - (1)y3 + (0)y4 - 3/2 =(3/4)(1/3)+(3/4)(4/3)-(1)(0)+(0)(0)-3/2= -1/4 Z7-C7= -1/4

optimallik bozulmuştur. 32/36






C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse: Örnek: 2) X7’ye ait optimal tablo kısıt katsayıları sütunu: Temel Z X2 X1 X5 X6

2/3 -1/3 0 0 B-1A7 = -1/3 2/3 0 0 -1 1 1 0 -2/3 1/3 0 1

3/4 3/4 -1 0

X1 0 0 1 0 0

X2 0 1 0 0 0

X7 -1/4

X3 1/3 2/3 -1/3 -1 -2/3

X4 4/3 -1/3 2/3 1 1/3

X5 0 0 0 1 0

X6 0 0 0 0 1

Çözüm 38/3 4/3 10/3 3 2/3

1/4 = 1/4 -1 -1/4 33/36






C. Yeni bir faaliyet (değişken) eklenirse: Örnek: Temel

X1

X2

X7

X3

X4

X5

X6

Çözüm

Z

0

0

-1/4

1/3

4/3

0

0

38/3

X2

0

1

1/4

2/3

-1/3

0

0

4/3

X1

1

0

1/4

-1/3

2/3

0

0

10/3

X5

0

0

-1

-1

1

1

0

3

X6

0

0

-1/4

-2/3

1/3

0

1

2/3

34/36







X1

X2

X7

X3

X4

X5

X6

Çözüm

Z

0

0

-1/4

1/3

4/3

0

0

38/3

X2

0

1

1/4

2/3

-1/3

0

0

4/3

X1

1

0

1/4

-1/3

2/3

0

0

10/3

X5

0

0

-1

-1

1

1

0

3

X6

0

0

-1/4

-2/3

1/3

0

1

2/3

35/36







X1

X2

X7

X3

X4

X5

X6

Çözüm

Z

0

1

0

1

1

0

0

14

X7

0

4

1

8/3

-4/3

0

0

16/3

X1

1

-1

0

-1

1

0

0

2

X5

0

4

0

5/3

-1/3

1

0

25/3

X6

0

1

0

0

0

0

1

2

Z değeri 38/3’ten 14’e yükselmiştir. 36/36




TEŞEKKÜRLER

SORULAR! [email protected]

37/36



11_Duyarl²l²k_Analizi_1

Recommend Documents