Kontras Ortogonal
Metoda analisis ragam berguna dan merupakan alat yang handal untuk membandingkan beberapa rata-rata perlakuan. Dalam membandingkan t perlakuan, perlakuan, hipotesis null menyatakan menyatakan bahwa semua semua rata-rata perlakuan tidak berbeda (H0: µ 1 = µ2 = ... = µ t). Apabila uji F nyata, maka HA diterima, yang menyatakan bahwa tidak semua rata-rata perlakuan sama atau adalah salah satu rata-rata perlakuan yang berbeda dengan yang lainnya.
Selanjutnya dilakukan dilakukan perbandingan untuk menentukan menentukan
perlakuan mana yang berbeda dengan mengurai Jumlah Kuadrat Perlakuan untuk pengujian F tambahan untuk menjawab menjawab beberapa pertanyaan yang sudah direncanakan. Metoda kontras atau orthogonal untuk memisahkan rata-rata memerlukan tingkat pengetahuan tertentu yang bersifat a priori , baik berdasarkan pertimbangan keilmuan tertentu atau berdasarkan hasil penelitian
sebelumnya. Hal inilah yang menyebabkan metode ini disebut juga dengan Uji F yang terencana. terencana. Jika peneliti punya pertanyaan spesifik yang perlu dijawab, perlakuan dirancang untuk menyediakan informasi dan uji statistik statistik yang akan menjawab pertanyaan tersebut. Peneliti yang berpengalaman akan memilih perlakuan sehingga Jumlah Kuadrat Perlakuan bisa diurai untuk menjawab beberapa pertanyaan bebas sesuai dengan nilai derajat bebas perlakuan yang terdapat pada analisis ragam. Konsekuensinya, nama lain dari uji ini adalah uji derajat bebas tunggal. Apabila perbandingan saling bebas, maka dikatakan orthogonal. Definisi Kontras dan Keortogonalan
Kontras adalah jumlah linier dalam bentuk: m
m
i =1
i =1
Q = ∑ c i Y i . ; dengan∑ c i = 0 Jumlah koefisien dalam setiap perbandingan harus bernilai nol, Y i . adalah rata-rata perlakuan(bisa juga dalam bentuk jumlah perlakuan), dan m≤ t, adalah banyaknya perlakuan yang akan dibandingkan. Untuk kemudahan kemudahan dalam perhitungan, nilai nilai koefisien ci biasanya bilangan bulat. Kontras selalu mempunyai derajat bebas tunggal (derajat bebas = 1). m
m
i =1
i =1
Misalkan Qc = ∑ c i Y i . ; dan Qd ∑ d i Y i . adalah dua kontras. Keduanya bersifat bersifat orthogonal apabila jumlah hasil kali koefisien-koefisien yang sesuai pada dua atau lebih perbandingan bernilai nol. m
∑ c d = 0 i
i =1
i
m
(atau ∑ c i d i / ni = 0 untuk rancangan yang tidak seimbang) i =1
Tujuan utama dari kontras orthogonal adalah untuk memisahkan Hipotesis null menjadi beberapa kombinasi perbandingan perbandingan rata-rata. Sifat keortogonalan sangat penting karena alasan berikut: untuk t-1 pembanding yang saling orthogonal dari t buah perlakuan, maka jumlah kuadrat dari semua pembanding tersebut (t-1 buah) akan sama dengan jumlah kuadrat perlakuan aslinya. Hal ini berarti perlakuan percobaan dapat diurai menjadi t-1 buah percobaan yang bebas dan terpisah, satu untuk setiap pembanding.
Contoh
Misalkan kita ingin menguji tiga perlakuan, T1, T2 dan T3 (kontrol), sehingga terdapat 2 derajat bebas dari perlakuan. Perlakuan tersebut kita nyatakan dengan dengan μ1, μ2,, dan μ3. Hipotesis nullnya:
H0: μ1 = μ2 = μ3. Karena derajat bebasnya = 2, maka terdapat dua jenis jenis perbandingan yang mungkin mungkin dibuat. Misalnya untuk menguji menguji hipotesis apakah T1 dan T2 tidak berbeda nyata dengan kontrol (T3): μ1 = μ3. dan μ2 = μ3. Untuk μ1 = μ3 (1μ1 + 0μ2 -1μ3= 0) koefisiennya adalah : c 1 = 1, c2 = 0, c3 = -1 Untuk μ2 = μ3 (0μ1 + 1μ2 -1μ3= 0) koefisiennya adalah: d1 = 0, d2 = 1, d3= -1
Kombinasi linier rata-ratanya merupakan kontras jika jumlah dari semua c i sama dengan nol: m
∑c
= 0 : (1 + 0 + (-1) = 0).
i
i =1
Meskipun demikian, kontras tersebut tidak bersifat saling orthogonal karena: m
∑ c d i
i
≠ 0 (c1d1 + c2d2+ c3d3 = 0 + 0 + 1 = 1).
i =1
Hal ini menunjukkan bahwa tidak setiap pasangan hipotesis bisa diuji dengan menggunakan pendekatan ini. Sebagai tambahan, agar penjumlahan penjumlahan bernilai 0, koefisien koefisien ci hampir selalu bernilai integer (bilangan bulat). Untuk t = 3, misalnya misalnya pasangan koefisiennya koefisiennya adalah c1 = 1, c2 = 1, c3 = -2; and d1 = 1, d2 = -1, d3 = 0. Hipotesis didefinisikan berdasarkan berdasarkan koefisien koefisien orthogonal adalah 1) ratarata dua perlakuan tidak berbeda dengan kontrol, 2) μ1 tidak berbeda nyata dengan μ 2. Kedua
pembanding tersebut adalah kontras karena (1 + 1 + (-2) = 0 dan 1+ (-1) + 0= 0) dan bersifat orthogonal karena (c1d1 + c2d2+ c3d3 = 1 + (-1) + 0 = 0).
Perbandingan Grup
Penerapan pertama pertama dari kontras orthogonal adalah untuk pembandingan dalam grup. Ini adalah Analisis Ragam pada grup rata-rata.
Untuk memudahkan memudahkan pemahaman penggunaan kontras
orthogonal dalam perbandingan grup, kita akan menggunakan contoh data pada Tabel berikut. Analisis ragamnya diberikan pada Tabel berikutnya. Tabel 1.
Hasil (mg berat tanaman bagian atas, shoot ) percobaan RAL untuk menentukan pengaruh perlakuan benih oleh berbagai jenis asam pada tahap pembenihan.
Perlakuan 1
Control *) HCl **) Propionic **) Butyric
2
4.23 3.85 3.75 3.66
4.38 3.78 3.65 3.67
Ulangan 3
4.1 3.91 3.82 3.62
4
Jumlah (Y i.)
5
3.99 3.94 3.69 3.54
4.25 3.86 3.73 3.71
20.95 19.34 19.34 18.64 18.64 18.2
Rataan
Y i . 4.19 3.87 3.73 3.64
Y.. = 77.13 Y .. = 3.86 * = anorganik, ** = organik
Tabel 2.
Analisis Ragam
Sumber Ragam
db
JK
KT Fhit
Total Treatment Exp. Error
19 3 16
1.0113 0.8738 0.1376
0.2912 0.0086
33.87
Untuk percobaan tersebut, peneliti mungkin mempunyai beberapa pertanyaan yang sudah dirancang untuk menjawab: 1. Apakah perlakuan asam menurunkan pertumbuhan benih? 2. Apakah asam organik berbeda dibandingkan dengan asam anorganik? 3. Apakah terdapat perbedaan pengaruh diantara kedua asam or ganik? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, tabel koefisien pembandingan linier diantara perlakuan disajikan pada tabel berikut. Tabel 3.
Koefisien orthogonal untuk memisahkan jumlah kuadrat perlakuan perlakuan pada Tabel Analisis Ragam Ragam ke dalam tiga uji yang saling bebas.
Perbandingan Control vs. acid Inorganic vs. organic Between organics
Jumlah Rata-rata
Control 20.95 4.19 +3 0 0
HC1 19.34 3.87 -1 -2 0
Propionic Prop ionic 18.64 3.73 -1 +1 +1
Butyric 18.2 3.64 -1 +1 -1
Koefisien bisa digunakan untuk membagi Jumlah Kuadrat Perlakuan (JKP) ke dalam tiga komponen, masing-masing dengan satu derajat bebas yang akan digunakan pada Uji F untuk setiap perbandingan. Nilai kritis F berdasarkan pada 1 derajat bebas untuk pembilang pembilang dan db galat untuk pembagi (Uji F dengan derajat bebas tunggal). Aturan untuk menentukan nilai koefisien pada perbandingan grup (Little &Hills p 66).
1. Pada perbandingan rata-rata dari dua grup, masing-masing grup yang mempunyai perlakuan yang sama diberi koefisien yang sama, sama, +1 untuk salah satu grup dan -1 untuk untuk grup lainnya. Kasus
2. Dalam membandingkan grup yang jumlah perlakuannya berbeda, pada grup pertama berikan nilai koefisien yang sama dengan banyaknya grup kedua, dan pada grup kedua berikan koefisien yang bernilai seragam sampai sampai jumlahnya sama dengan dengan jumlah grup yang pertama. pertama. Contohnya, apabila ada 5 perlakuan yang akan dibandingkan, grup pertama ada 2 buah perlakuan dan grup kedua ada 3 perlakuan. Nilai koefisien untuk grup yang pertama harus bernilai bernilai 3 (sama dengan banyaknya grup kedua, 3 buah perlakuan) dan nilai koefisien untuk masing-masing perlakuan pada grup kedua harus bernilai -2 (kenapa -2? jumlah koefisien ketiga perlakuan harus sama dengan jumlah grup yang pertama, 3+3=6, hanya saja tandanya harus “-“) , sehingga koefisien untuk masing-masing perlakuan perlakuan seharusnya: +3, +3, +3, -2, -2, -2. 3. Koefisien untuk setiap perbandingan sebisa mungkin bilangan bulat terkecil untuk setiap perhitungan. Misalnya koefisien: +4, +4, -2, -2, -2, -2, -2. seharusnya seharusnya disederhanakan (semuanya dibagi 2) menjadi bilangan bulat terkecil : +2, +2, -1, -1, -1, -1. 4. Unsur-unsur perbandingan perbandingan mungkin terdapat interaksi dari dua dua atau lebih perbandingan. Nilai koefisien untuk perbandingan interaksi tersebut ditentukan dengan cara multiplikasi (perkalian) dari koefisien-koefisien yang bersesuaian dari kedua perbandingan (Tabel 4). 4). Tabel 4.
Percobaan pemupukan pemupukan dengan 4 perlakuan, perlakuan, 2 taraf taraf untuk N dan 2 taraf untuk P. N0P0
di antara N di antara P Interaksi NP
N0P1
-1 -1 1
N1P0
-1 1 -1
1 -1 -1
N1P1
1 1 1
Koefisien untuk untuk 2 perbandingan pertama pertama diperoleh dari aturan pertama.
Koefisien interaksi interaksi
merupakan jumlah perkalian antara nilai koefisien dari kedua baris tersebut. Catatan, jumlah koefisien pada masing-masing perbandingan harus bernilai nol dan jumlah hasil kalinya (cross products )juga harus bernilai nol. Apabila kedua persyaratan tersebut tersebut dipenuhi, maka perbandingan tersebut dikatakan orthogonal, sehingga kesimpulan yang diambil pada salah satu perbandingan tidak tergantung pada perbandingan grup lai nnya. Perhitungan jumlah kuadrat untuk Uji F dengan derajat bebas tunggal untuk kombinasi linier ratarata perlakuan adalah sebagai berikut: JK (Q) = KT (Q) =
(∑ c i Y i . ) 2
∑
1 / r
2
c i
atau
(∑ c i Y i . ) 2
∑
2
c i
/ r i
untuk rancangan yang tidak seimbang 2
JK1 (control vs. acid)
= [3(4.19) – 3.64 – 3.73 – 3.87] / [(12)/5] = 0.74
JK1 (Inorg. vs. org.)
= [3.64 + 3.73 – 2(3.87)] / [(6)/5] = 0.11
JK1 (antara org.)
= [-3.64 + 3.73] / [(2)/5] = 0.02
Tabel 5.
2
2
Penguraian Jumlah Kuadrat Perlakuan pada Perbandingan ortogonal.
Sumber Ragam Perlakuan Control vs. acid Inorg. vs. Org. Antara Org. Galat
db 3 1 1 1 16
JK 0.8738 0.7415 0.1129 0.0194 0.1376
Total
19
1.0113
KT 0.2912 0.7415 0.1129 0.0194 0.0086
Fhitung 33.87 ** 86.22 ** 13.13 ** 2.26 tn
F0.05 3.239 4.494 4.494 4.494
F0.01 5.292 8.531 8.531 8.531
Dari analisis di atas kita bisa menyimpulkan bahwa ketiga perlakuan asam sangat nyata mengurangi pertumbuhan benih, asam organik menyebabkan penurunan pertumbuhan benih yang lebih besar dibandingkan dengan asam anorganik, dan tidak terdapat perbedaan di antara perlakuan asam organik. Jumlah derajat bebas bebas tunggal perbandingan grup sama dengan db perlakuan. perlakuan. Hal tersebut akan terjadi apabila masing-masing masing-masing perbandingannya bersifat bersifat orthogonal. Banyaknya perbandingan grup orthogonal sama sama dengan dengan derajat bebas perlakuannya.
Apabila perbandingan perbandingan tidak bersifat
orthogonal, jumlah kuadrat untuk perbandingan grup tertentu mungkin mewakili (atau diwakili oleh) bagian jumlah kuadrat perbandingan grup yang lainnya. Oleh karena itu, kesimpulan yang diperoleh dari salah satu uji mungkin dipengaruhi oleh uji perbandingan lainnya dan jumlah kuadrat dari masing-masing perbandingan tidak akan sama dengan jumlah kuadrat perlakuan. Tips dalam Pembandingan rata-rata
1. Pilih perbandingan berpasangan apabila tidak ada perlakuan yang akan dibandingkan dengan kontrol. 2. Gunakan perbandingan dengan kontrol apabila kita akan membandingkan perlakuan dengan kontrol (Dunnet). Penyajian Tabel Rata-rata Perlakuan
Selain cara yang sudah disebutkan di atas, terdapat beberapa cara dalam penyajian perbedaan diantara rata-rata perlakuan, yaitu dalam bentuk crosstabulasi selisih rata-rata atau peluang, pemberian garis yang sama untuk rata-rata perlakuan yang tidak berbeda, dan dalam bentuk grafik. Dalam Selisih perbedaan nilai rata-rata perlakuan: Perlakuan 3Dok1 3Dok5 3Dok4 3Dok7 3Dok13 Gabungan
Rataan 28.82
28.82
23.98
4.84 14.18 8.9 15.56 10.12
14.64 19.92
13.26 18.7
23.98
14.64
19.92
13.26 13.26
18.7
4.84
14.18 9.34
8.9 4.06 5.28
15.56 10.72 1.38 6.66
10.12 5.28 4.06 1.22 5.44
9.34 4.06 10.72 5.28
5.28 1.38 4.06
6.66 1.22
5.44
Keterangan: apabila perbedaan rata-ratanya >4.482 mg, maka kedua perlakuan tersebut berbeda nyata
Dalam bentuk peluang: Perlakuan 3Dok1 3Dok5 3Dok4 3Dok7 3Dok13 Gabungan
Rataan 28.82
{1}
23.98
0.035 0.000 0.000 0.000 0.000
14.64 19.92
13.26 18.7
{2} 0.035
0.000 0.074 0.000 0.023
{3} 0.000 0.000 0.023 0.531 0.074
{4} 0.000 0.074 0.023
0.005 0.579
{5} 0.000 0.000 0.531 0.005
{6} 0.000 0.023 0.074 0.579 0.019
0.019
Keterangan: apabila nilai peluangnya < α=0.05, maka kedua perlakuan tersebut berbeda nyata
Dalam bentuk notasi: No 5
Perlakuan 3Dok13
Rataan 13.26
3
3Dok4
14.64
6
Gabungan
18.70
4
3Dok7
19.92
2
3Dok5
23.98
1
3Dok1
28.82
1 13.26 14.64
2 14.64 18.70
3
18.70 19.92
4
5
19.92 23.98 28.82
Notasi a ab bc cd d e
Setelah urutannya dikembalikan berdasarkan urutan perlakuan: No 1 2 3 4 5 6
Perlakuan 3Dok1 3Dok5 3Dok4 3Dok7 3Dok13 Gabungan
Rataan 28.82 23.98 14.64 19.92 13.26 18.70
e d ab cd a bc
Keterangan: angka yang diikuti dengan huruf yang sama pada satu kolom tidak berbeda nyata pada taraf nyata 5% menurut uji LSD
© 2011 http://www.smartstat.info | Perbandingan Rata-rata
52
