E. Raffo Lecca
2 La programación lineal De todas las técnicas de la IO, es la programación lineal o PL ( Linear Linear Programming ) la más conocida y utilizada [SIM72]. La programación lineal nació hacia 1939 con los trabajos del matemático ruso Leonid V. Kantorovich (1912-1986), quien en 1976 recibiera el Premio Nobel de Economía por sus investigaciones. Su trabajo se mantuvo en secreto durante la segunda guerra mundial. En su obra “La Optimización de los
recursos óptimos”, Kantorovich presenta este pensamiento.
No en vano se trata de la teoría de cómo organizar de la mejor manera posible una cantidad limitada de recursos (o defensas)
para obtener de ellos el mayor mayor
rendimiento (o conseguir los mínimos daños).
2.1 El problema de la Programación Lineal George Dantzig crea el método simplex para la programación lineal, descrito por primera vez en su paper Program Programming ming in a linear structure (Programación en una estructura
lineal). El término Programm Programming ing o programación estaba referido a los
tipos de problemas Programm Programming ing
abordados
problems problems
por Dantzig Dantzig en aquellos años, denominados
(problemas
de
programación), relacionados
con
la
investigación en devise programs of activities for future conflicts del departamento de defensa de los Estados Unidos. Posteriormente se utiliza el término programación lineal en lugar de programación en una estructura estruc tura
lineal , y los problemas
pertenecientes pertenecie ntes a esta área reciben el nombre de problemas problemas de programación lineal . De esta forma se asocia el término programación con un tipo de problema matemático específico en la literatura de la Investigación de Operaciones.
Un modelo programación lineal se define como:
maxomin ⋯
E. Raffo Lecca Sujeto a las restricciones
≤ ⋯ {≥} 1,2,…, ≥0, 1,2,… ,
Con las restricciones de no negatividad:
Los siguientes problemas matemáticos corresponden a la programación lineal: P1:
max 3 ≤ 1 ≥0, ≥ 0 max ≤ 4 ≥0, ≥ 0 max 2 ≤ 0 2 ≤ 4 ≥0, ≥ 0 max ≤ 3 ≥ 4 ≥0, ≥ 0 Sujeto a
P2:
Sujeto a
P3:
Sujeto a
P4:
Sujeto a
2.2 Hipótesis de la PL Los PL descansan sobre 4 supuestos: ser determinístico, la proporcionalidad, aditividad y divisibilidad (ver la figura 2.1).
E. Raffo Lecca Sujeto a las restricciones
≤ ⋯ {≥} 1,2,…, ≥0, 1,2,… ,
Con las restricciones de no negatividad:
Los siguientes problemas matemáticos corresponden a la programación lineal: P1:
max 3 ≤ 1 ≥0, ≥ 0 max ≤ 4 ≥0, ≥ 0 max 2 ≤ 0 2 ≤ 4 ≥0, ≥ 0 max ≤ 3 ≥ 4 ≥0, ≥ 0 Sujeto a
P2:
Sujeto a
P3:
Sujeto a
P4:
Sujeto a
2.2 Hipótesis de la PL Los PL descansan sobre 4 supuestos: ser determinístico, la proporcionalidad, aditividad y divisibilidad (ver la figura 2.1).
E. Raffo Lecca
Figura 2.1: Supuestos en la programación lineal
Todo PL se construye haciendo uso de estas 4 hipótesis. Es la única guía en el arte de construir modelos lineales de programación o también conocida como formulación de PL.
Una mueblería produce sillas y mesas. Consta de dos departamentos: corte y acabado. En cada departamento existe un operario que trabaja 8 horas diarias, y 5 días a la semana. Cada silla deja una utilidad de $3 y cada mesa $5.
Producto Departamento
Silla
Mesa
Disponibilidad
Corte
1
1
40
Acabado
1
2
40
Utilidad
3
5
Tabla 2.1: Composición de ingredientes
En la tabla 2.1, se presentan los tiempos estándares para procesar cada producto en los dos departamentos.
Se está buscando la mejor combinación de productos a elaborar, con el objetivo de maximizar la utilidad semanal.
E. Raffo Lecca Los datos que se hacen uso para resolver un PL, asumen la completa certeza en la información. Esto es hipótesis de ser determinístico. Algún cambio por error en el ingreso de los datos o su posterior variación producto de los cambios genera el denominado análisis pos óptimo.
Como un PL se compone de decisiones, restricciones y objetivos. La primera pregunta es ¿Qué se necesita conocer?, la respuesta viene por el lado de las variables decisionales: Cuánto producir de sillas y mesa por semana.
Unidades ades a produci producir de sisil as Unidades a producir de mesas Sobre la segunda pregunta, ¿Cuál es el objetivo del PL? , se está buscando maximizar la utilidad.
Por un lado la proporcionalidad dice que si por una silla gana $3, por
gana 3
. Por otro lado si por una mesa se gana $5, por
sillas se gana 5
sillas
. Aquí no
existe la economía de escala; es decir no hay descuentos por vender por cantidad.
Por la aditividad se explica que la utilidad total es la suma de la contribución por las sillas mas la contribución por las mesas.
Luego la función objetivo es:
max3 5
El hecho que los recursos utilizados para producir un bien tienen un valor, se debe a que son limitados; de otro lado su abundancia traería como consecuencia un precio del recurso igual a cero. Se optimiza los recursos porque son escasos, en su abundancia no tendría sentido tanto desarrollo computacional. Las restricciones delimitan el espacio de solución a un PL, la acotan o restringen.
En el caso de este ejemplo “piloto”, se podría producir ingentes cantidades de
sillas y mesas, y sólo el mercado podría restringirlas. Aquí se supone que todo lo que
E. Raffo Lecca produce la mueblería tiene mercado. Las restricciones son las horas-hombres que se disponen en los departamentos de corte y acabado.
Restricción en el departamento de corte:
Horas-Hombre en procesar sillas más las H-H en procesar mesas NO EXCEDE de 40
≤40
Restricción en el departamento de acabado:
Horas-Hombre en procesar sillas mas las H-H en procesar mesas NO EXCEDE de 40
2 ≤40
Las soluciones al PL no pueden ser negativas; y como hacen usos de técnicas matriciales para dar solución al conjunto de ecuaciones, se asume la negatividad para las variables de decisión; aparte que pertenecen al conjunto de los números reales; y no reflejan la naturaleza del dominio de la variables, que sean sillas o gramos de alimentos.
El PL es:
max3 5 ≤40 2 ≤40 , ≥0 Sujeto a:
Esta estructura de PL es conocida como el problema de la mezcla óptima de productos.
2.3 Formulación de PL En esta sección se presenta un conjunto de plantillas o template a estructuras de problemas muy utilizados en los sectores económicos como públicos en la vida diaria.
2.3.1
Mezcla óptima de productos
E. Raffo Lecca El problema de la mezcla óptima de productos tiene como característica, un modelo que tiene como variables decisionales la cantidad a producir de los bienes o productos y se encuentra restringido por los recursos que utiliza, incluyendo la demanda que impone el mercado. Los recursos pueden ser identificados por las limitaciones en H-H en los departamentos, cantidad disponible de insumos, componentes o ingredientes; además de las limitaciones de la demanda del mercado. Muchas situaciones en el mundo real caen dentro de esta categoría de modelos.
La empresa PETFOOD, se dedica a la elaboración de alimentos para mascotas. Existen dos tipos de alimentos el dogfood y el catfood. El precio de venta para cada caja de alimentos con peso de una onza, es $ 10.5 y $14.5 respectivamente. El costo del envase es $1.5 por unidad.
Alimento
Ingredientes A
B
C
Dogfood
30
40
30
Catfood
25
50
25
1000
1400
900
$4
$3
$2
Disponibilidad Costo
Tabla 2.2: Composición de ingredientes
Cada uno de alimentos, contiene 3 ingredientes: A, B y C. En la tabla 2.2, se presenta la composición de ingredientes por cada onza de alimentos. Los costos de una onza de ingredientes son $4, $3 y $2 respectivamente.
La demanda del alimento dogfood es de 2000 unidades y 1500 unidades para catfood. La capacidad de producción se limita a solo 3000 unidades de producción total.
Presentar el PL para optimizar la utilidad total, sabiendo que existen limitaciones en la cantidad de onzas de ingredientes disponibles.
E. Raffo Lecca El interés es conocer cuántas cajas del alimento dogfood y de catfood se deben producir, para maximizar la utilidad. La utilidad viene como resultado de la diferencia entre el ingreso por la venta y los costos por las onzas de ingredientes utilizados y el de los envases.
Las variables de decisión vienen como:
Unidades a producir de dogfood Unidades a producir de catfood Las restricciones dadas por la demanda, así como la capacidad total de producción son:
≤2000 ≤1500 ≤3000
Las restricciones impuestas por la disponibilidad de ingredientes son:
0.30 0.25 ≤1000 0.40 0.50 ≤1400 0.30 0.25 ≤ 900 10.5 14.5 40.30 0.25 30.40 0.50 20.30 0.25 1.50 9 13 3 36 10 La función objetivo es
:
+
+
+
El PL es:
max6 10 ≤2000 Sujeto a:
E. Raffo Lecca
≤1500 ≤3000 0.30 0.25 ≤1000 0.40 0.50 ≤1400 0.30 0.25 ≤ 900 , ≥0 2.3.2
El problema de la dieta
El problema de la dieta fue analizado y resuelto en 1945 por George J. Stigler premio Nobel de Economía en 1982. Este problema se identifica porque se tienen alimentos a satisfacer, cumpliendo un peso determinado y satisfaciendo restricciones de contenidos nutricionales.
Las aplicaciones del problema de la dieta se presentan en una diversidad de situaciones de la vida real; no sólo en el balance dietético. A continuación se presenta una versión, aplicada a la mezcla de aceros con la finalidad de conseguir una orden de producción en una fundición.
Minerales
Acero A
B
C
D
5
4
3
6
Manganeso
0.5
0.6
0.8
0.7
Costo
$18
$20
$24
$22
Silicio
Tabla 2.3: Composición de los minerales
La empresa IRON se dedica a la fundición de aceros para conseguir un producto industrial. En el momento actual se cuenta con entregar una orden de 2000 libras la que debe cumplir con un contenido mínimo del 0.6% de manganeso; y el contenido de silicio encontrarse entre 4.4% y 5.5%.
La empresa vende a $0.40 la libra de material fundido, y hace uso de cuatro tipos de aceros con el contenido de silicio (por cada 1000 libras de acero) y manganeso (en
E. Raffo Lecca porcentaje) dado en la tabla 2.3. El costo de los tipos de acero viene dado para miles de libras.
Formular un PL para ayudar a IRON a optimizar la presente orden de producción, sabiendo que se puede comprar manganeso a un precio de $8 la libra.
El interés es conocer cuántas libras de acero en los diferentes tipos, y libras de manganeso se deben utilizar, para maximizar la utilidad. La utilidad viene como resultado de la diferencia entre el ingreso por la venta y los costos por las libras de acero y manganeso utilizados.
Las variables de decisión vienen como:
Miles de libras a utilizar del acero tipo A Miles de libras a utilizar del acero tipo B Miles de libras a utilizar del acero tipo C Miles de libras a utilizar del acero tipo D Libras a utilizar de manganeso 0.402000 800 18 2024 22 8 800 18 2024 228
La función objetivo es maximizar la
(
:
)
La restricción del peso del producto fundido:
10001000 1000 1000 2000
La restricción impuesta para el contenido de manganeso, viene de 5 libras de manganeso están presentes en 1000 libras del acero A, 6 libras de manganeso están presentes en 1000 libras del acero B, etc. Luego:
5 6 8 7 ≥0.006 2000
E. Raffo Lecca
5 6 8 7 ≥12
Las restricciones impuestas por el contenido de silicio:
50 40 30 60 ≥88 50 40 30 60 ≤110 El PL es:
min18 2024 228 10001000 1000 1000 2000 5 6 8 7 ≥12 50 40 30 60 ≥88 50 40 30 60 ≤110 ,,,, ≥0 Sujeto a:
2.3.3
Planeación de cartera de inversiones
Una empresa acaba de obtener $500,000 y está buscando oportunidades de inversión para los fondos. Se ha recomendado invertir en la industria Pesquera, minera o en agroindustrias. Las inversiones y tasas de rendimiento se muestran en la tabla 2.4.
Se imponen los siguientes lineamientos de inversión:
Ninguna industria recibirá más de $250,000. La inversión en agroindustrias deberán ser al menos 25% de las inversiones mineras.
La inversión en Fondo Pesquero, no excederá del 60% de la inversión pesquera.
Inversión Fondo Pesquero Pesca Corp. BISA Mining Corp. Agroindustrias
Tasa de rendimiento (%) 8.0 11.0 9.0 8.0 5
E. Raffo Lecca
Tabla 2.4
¿Qué recomendaciones de inversiones y cantidades deberán hacerse?
Variables
Descripción Inversión en Fondo Pesquero Inversión en Pesca Corp. Inversión en BISA Inversión en Mining Corp. Inversión en Agroindustrias
Función objetivo = maximizar el interés total del portafolio
0.08 0.11 0.09 0.08 0.05
La inversión en Fondo pesquero genera: La inversión en Pesca Corp. genera: La inversión en BISA genera:
La inversión en Mining Corp. genera:
La inversión en Agroindustrias genera:
Max z=
0.08 0.11 0.09 0.08 0.05 ≤500000
El presupuesto disponible es de $500,000, que se invierte en los proyectos:
La restricción para la industria pesquera:
≤250000 ≤250000 ≤250000
La restricción para la industria minera:
La restricción para Agroindustrias:
La inversión en Agroindustrias al menos 25% de las inversiones mineras:
≥.25 0.25 0.25 ≥0
, equivalente a
La inversión en Fondo Pesquero, no excederá del 60% de la inversión en pesca:
≤0.60
, equivalente a
E. Raffo Lecca
El PL: Max z=
0.40 0.60 ≤0 0.08 0.11 0.09 0.08 0.05 ≤250000 ≤250000 ≤250000 ≤500000 0.25 0.25 ≤0 0.60 0.40 ≤0 ,,, ≥0 Sujeto a:
Inversión
Fondo Pesquero Pesca Corp. BISA Mining Corp. Agroindustrias
2.3.4
Cantidad
0 250,000 200,000 0 50,000
Un problema de comunicación
Un sistema de comunicación como el que se muestra en la figura 2.2, mide su capacidad en llamadas-kilómetros. Dos llamadas entre los puntos A y B, utiliza 2 enlaces entre A y el switch o intercambio, del mismo modo 2 enlaces entre el switch y B. Su capacidad es
2
.
Presentar un PL que maximice la capacidad del sistema de comunicación; asumiendo que el número de líneas de enlaces es 8, 14 y 8 para A, B y C respectivamente; y las distancias
50, 200 150
.
E. Raffo Lecca d AC A
C
Switch d AB
dBC
B
Figura 2.2: Sistema de comunicación
Las variables de decisión vienen dadas por las llamadas en simultáneo que se dan entre A-B, como A-C y B-C :
Llamadas entre Llamadas entre Llamadas entre El sistema de comunicación se encuentra restringido por el número de enlaces que existe entre cada punto y el switch.
La función objetivo es maximizar la capacidad del sistema:
max50 200 150 Las restricciones vienen dadas por el balance entre las llamadas que hacen uso de cada uno de los enlaces y el total de líneas de enlaces disponibles:
El PL resultante es:
≤8 ≤14 ≤8 max50 200 150 Sujeto a:
E. Raffo Lecca
≤8 ≤14 ≤8 ,, ≥0 2.3.5
El problema de mezcla de crudos
Las operaciones en una refinería producen gasolina, petróleo, butano, etc. desde crudos a través de una serie de operaciones. En la figura 2.3 se presenta una visión muy simple de estas operaciones mediante la desintegración catalítica.
Una refinería posee tres procesos para elaborar varios tipos de gasolina. Los diferentes crudos se mezclan en un desintegrador catalítico.
Crudo 1
Gasolina 1
Gasolina 2
Crudo 2
Gasolina 3
Desintegrador
Figura 2.3: Operación en una refinería
El proceso 1, cuesta $4 y tiene como entrada 2 barriles de crudo 1 y 3 barriles de crudo 2. El producto que se obtiene es 2 barriles de gasolina 1 y 2 barril de gasolina 2.
El proceso 2, cuesta $5 y tiene como entrada 2 barriles de crudo 1 y 3 barriles de crudo 2. El producto que se obtiene es 3 barriles de gasolina 2.
El proceso 3, cuesta $6 y tiene como entrada 2 barriles de crudo 1 y 3 barriles de crudo 2. El producto que se obtiene es 3 barriles de gasolina 3.
E. Raffo Lecca Cada semana se podrían comprar 300 barriles de crudo 1 a 3$ por barril y 300 barriles de crudo 2 a $2 por barril. Los 3 tipos de gasolina se pueden vender por barril: $15 la gasolina 1, $10 la gasolina 2 y $20 la gasolina 3. Cada proceso se ejecuta durante una hora.
Formular un PL que optimice la utilidad, suponiendo que la planta trabaja 24 horas por día y 5 días por semana.
Procesos
$4/hr
Crudo 1 2, 3
2 $15
1 2
a1 , $3
Gasolina 1
$5/hr 2, 3
2
$10 3 Gasolina 2
Crudo 2 $6/hr 2, 3
3 3
a2 , $2
$20 Gasolina 3
Desintegrador
Figura 2.4: Descomposición de los procesos
Las variables de decisión vienen como:
Horas del proceso 1 Horas del proceso 2 Horas del proceso 3 Barriles del crudo 1 Barriles del crudo 2 La restricción del total de horas en proceso, contando con 24(5)=120 horas a la semana:
≤120
E. Raffo Lecca La restricción del total de barriles de crudos a utilizar:
≤300 ≤300 2 2 2 3 3 3 152102 3203 50 30 60 4 5 63 2
Relación de la cantidad de crudos utilizados, desde las horas de proceso:
La función objetivo es maximizar la
:
El PL resultante es:
max46 25 54 3 2 ≤120 ≤300 ≤300 2 2 2 3 3 3 ,,,, ≥0 Sujeto a:
2.3.6
El problema de la composición de productos
Una variedad de problemas están relacionados con la composición de los productos a través de sus insumos. Por ejemplo para producir envasados de jugo de naranjas, se necesitan como insumos grados de naranjas. De la misma forma a partir de los químicos se producen los fármacos, los dulces se hacen a base de azúcar, nuez y chocolates; y finalmente diversos tipos de leche son la base para producir los quesos. Inclusive los grados de crudos son la base para formar los productos gasolinas y aceites y las cosechas de uvas son la base para producir los vinos. Ver la figura 2.5
E. Raffo Lecca La característica de los modelos de PL para composición de productos es identificar cuánto de cada insumo se asigna
a cada producto; satisfaciendo las
condiciones de constitución de la “fórmula química” del producto.
1 1
2
2
Insumos
Productos
Figura 2.5: Composición de productos
La empresa FANIA tiene su giro de negocios en torno a producir salsas para gourmet.
Para el presente periodo, tiene que producir salsa DURA y salsa SENSUAL, éstas tienen como insumo ajís y tomates. Se dispone en el almacén de 40 libras de ajís y 50 libras de tomates. El costo de estos insumos es $2 y $3 por libra respectivamente para cada uno de los insumos.
En la tabla 2.4 se presenta la fórmula química para cada una de salsas en mención; obteniéndose un ingreso de $4 y $5 por cada libra para cada una de las salsas producidas respectivamente.
Presentar un PL para optimizar la producción de salsas a partir de ajís y tomates para el presente periodo.
Insumos
Salsa DURA
SENSUAL
E. Raffo Lecca Ají
Tomate
Por lo
Por lo
menos 25%
menos 40%
A lo sumo 70%
Tabla 2.4: Composición de las salsas
Las variables de decisión vienen como:
Libras del insumo asignadas al producto A partir de la tabla 2.5.
Insumos Ají Tomate
Salsa DURA
SENSUAL
Tabla 2.5: Variables de decisión
La relación de la cantidad de libras de insumo utilizados para el presente periodo:
í
La relación de la cantidad de libras de salsa producidos para el presente periodo:
4 5 4 4 5 5 2 í 3 2 2 3 3
La función objetivo es maximizar la
:
E. Raffo Lecca
2 3 2 La restricción del total de libras de insumos a utilizar:
≤40 ≤50
La restricción de la composición de las libras de insumos por producto:
[ í ] ≥0.25 [ í ] ≥0.40 [ ] ≤0.70
El PL resultante es:
max2 3 2 ≤40 ≤50 0.75 0.25 ≥0 0.60 0.40 ≥0 0.70 0.30 ≤0 ,,, ≥0 Sujeto a:
2.3.7
El problema del inversionista
A pesar que este problema se presenta con diversas variantes, existe características comunes que los hacen identificable a un problema donde se desea invertir capitales dada una cantidad disponible. Esto se da al principio del proyecto.
Al inicio se propone elegir desde un monto disponible, cuánto invertir en cada una de las alternativas; sin excederse de la cantidad total.
El objetivo es encontrar la cantidad máxima que se puede arribar en el último periodo; producto de la ganancia en intereses.
E. Raffo Lecca
Se dispone para invertir de $1000, y se tiene tres acciones a invertir a lo largo de 4 periodos. En la Tabla 2.6 se detallan los intereses a ganar en cada una de las acciones y el periodo al cual están colocados.
Acción
Periodo
Tasa
de
interés (%) A
1
4
B
2
9
C
3
13
Tabla 2.6: Acciones a invertir
Se quiere maximizar la cantidad que se llega al final del periodo 4.
Las variables de decisión para A, vienen a continuación; y para B y C se presentan en la figura 2.6:
Cantidad a invertir de A en el periodo 1 Cantidad a invertir de A en el periodo 2 Cantidad a invertir de A en el periodo 3 Cantidad a invertir de A en el periodo 4 xC1
xB1
xB2
x A2
x A1 0
xC2
1
xB3
x A3 2
x A4 3
4
Inversión
Figura 2.6: Variables de decisión
La función objetivo es maximizar la total que se consigue al fin del periodo último. Esto es
0.04 0.09 0.13 más
más
:
E. Raffo Lecca
max1.04 1.09 1.13 La restricción del total a invertir en las diversas acciones:
≤1000 ≤1.04 ≤1.04 1.09 ≤1.04 1.09 1.13
La restricción a invertir en el periodo 2:
La restricción a invertir en el periodo 3:
La restricción a invertir en el periodo 4:
El PL resultante es:
max1.04 1.09 1.13 ≤1000 1.04 ≤0 1.04 1.09 ≤0 1.04 1.09 1.13 ≤0 ,,,,,,,, ≥0 Sujeto a:
El problema del inversionista a menudo aparece como el nivel a invertir en cada uno de los proyectos. Este nivel se encuentra entre 0 y 1(100%).
El balance de la cantidad a invertir, se encuentra restringido al ingreso de los flujos. En cada periodo El flujo de ingreso es igual al flujo de salida, incluyendo la inversión de la cantidad remanente a cierta tasa de interés.
2.4 Análisis gráfico en un PL Un PL con dos variables decisionales es resuelto fácilmente usando el análisis gráfico. Este no es un método para resolver un PL, sólo es una manera de visualizar las relaciones existentes entre las restricciones.
2.4.1
Usando el plano cartesiano
E. Raffo Lecca El PL formulado para la mueblería es:
max3 5 ≤40 2 ≤40 , ≥0 Sujeto a:
En el análisis gráfico, se trata de resolver el conjunto de desigualdades o inecuaciones que definen el espacio de solución factible o BFS. Condicionado al concepto que tienen los economistas sobre las isocuantas o curvas de indiferencia.
Primero se numerarán las restricciones de 1 al 4 incluyendo las restricciones de no negatividad:
1: ≤40 2: 2 ≤40 3: ≥0 4: ≥0 ,
Como estas desigualdad se visualizan como el área que se encuentra bajo (o arriba) de la línea; entonces la línea se grafica tomando puntos de intercepción con los ejes cartesianos.
Para la recta Para la recta Para la recta Para la recta
1: 40 0, 40 1: 40 40, 0 2: 2 40 0, 20 2: 2 40 40, 0 ,
.
,
.
,
.
,
.
E. Raffo Lecca
x2
40
1
30 20
2
10 3 4 10
30
20
x1
40
Figura 2.7: Espacio de solución factible
En la figura 2.7 se observa que el BFS corresponde al área común para todas las restricciones.
Sea la curva de indiferencia que produce el valor
,
, para diferentes
valores de k . De todas las curvas de indiferencia en la región factible, el punto óptimo se encuentra en aquella cuyo valor k es el mejor (sea mínimo o máximo).
x2
40
1
30
z
Optimo PL
3
20
2
5
10 3 4
10
20
30
40
x1
Figura 2.8: El óptimo PL de la MUEBLERIA
En la figura 2.8, la línea
tiene como pendiente,
E. Raffo Lecca
35 40, 0,120
Para el PL de la mueblería la solución óptima es
. Este
es el punto más alto en el espacio de solución factible. El concepto de curva de indiferencia dice que todos los puntos en
(en el BFS) son igualmente seleccionados.
El PL para PETFOOD es:
max6 10 1: ≤2000 2: ≤1500 3: ≤3000 4: 0.30 0.25 ≤1000 5: 0.40 0.50 ≤1400 6: 0.30 0.25 ≤ 900 7: ≥0 8: ≥0 Sujeto a:
,
x2 1
4000
6 10
4
3000
5 2000
Optimo PL 3
2
1000
7
6 x1
8 1000 2000 3000
Figura 2.9: El óptimo del PL PETFOOD
E. Raffo Lecca Para encontrar la solución óptima, el análisis gráfico permitirá visualizar entre otras las restricciones activas y las redundantes. Las restricciones 4 y 5 son redundantes, toda vez que se pueden eliminar y no cambia la solución. Se observa el BFS está definido por las otras restricciones. De este conjunto de restricciones, las restricciones 2 y 3 son las activas (por definir la solución óptima) y las restricciones 1, 6,7 y 8 son las no activas.
La solución óptima es
2.4.2
1,500, 1,500, 24,000
.
Casos en PL
A continuación se presentan algunos casos de PL, para mostrar la importancia del análisis gráfico. El objetivo es conocer las distintas geometrías con que se presenta un PL.
Sea el PL P2 definido a principio de capítulo, se observa que la línea de la función objetivo es paralela a la restricción activa; en consecuencia toda la línea 1, constituye la solución óptima; se dice que existen soluciones alternativas. Ver figura 2.10. PL
max 1: 2: ≥0 ≤4 3: ≥0
Análisis gráfico x2
Sujeto a
Optimo PL
4 3
1
z 1
2
1 1 2 3
1
2
3
Figura 2.10: Soluciones alternativas
4
x1
E. Raffo Lecca En el PL P3, se observa que la región de solución factible BFS no se encuentra acotada; en consecuencia el óptimo se encuentra en el infinito; se dice que la solución óptima está no acotada. Ver figura 2.11.
En el PL P4, se observa que la región de solución factible BFS no existe; se dice que la solución es no factible. Ver figura 2.12.
max Sujeto a
1: ≤3 2: ≥4 3: ≥0 4: ≥0 PL
max 1:2: 2 2 ≤0 ≤4 3:4: ≥0, ≥0
Análisis gráfico
Sujeto a
x2
Optimo PL
4 2 3 2
1
1 3 4
1
2
3
4
Figura 2.11: Optimo no acotado
x1
E. Raffo Lecca
x2
1 4 z
3 2
2 1 3 4 1
2
3
x1
4
Figura 2.12: Solución no factible
2.5 Algebra lineal La programación lineal está íntimamente ligada a la solución de sistema de ecuaciones lineales. Esto significa un conocimiento en álgebra lineal, en temas sobre matrices, combinación lineal, dependencia lineal, independencia lineal, bases y soluciones básicas.
2.5.1
Combinación lineal
Sea la matriz
⋮ ⋯⋱ ⋮ ( ⋯ ) (⋮ )
Donde cada columna de la matriz se define como:
Sea un conjunto de vectores
,,…,
, ,… ,
y un conjunto de escalares
, se define la combinación lineal (ver la figura 2.13):
∑= ⋯
E. Raffo Lecca Z =2 X +3Y
X
Z
Y
Figura 2.13: Combinación lineal
Un conjunto de vectores
, ,… ,
, se dice que es linealmente
dependiente, si alguna combinación lineal de estos, es con al menos un escalar
,,…,
, diferente de cero.
La combinación lineal es linealmente dependiente si se cumple:
∑= ⋯ ,∃ algún 0 En la siguiente matriz
(111 010 101) ⋯ = ⋯ ⋯ , 0 1 ≠ 1 1 1 = 1 0 0 (00 10 01)
En la siguiente matriz
E. Raffo Lecca
0
Se observa que está constituida por vectores unitarios, luego
La solución
, se dice que existe independencia lineal. Los vectores unitarios
son linealmente independientes.
2.5.2
Bases e independencia lineal
A continuación se presentan las propiedades para la combinación lineal:
⋯
1.
es una matriz de orden mxn ,
es un vector columna de n componentes,
. Con
2.
la columna j de
.
Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si uno de ellos es combinación lineal de los otros.
3.
El conjunto de los vectores unitarios el espacio Euclidiano n.
,,…,
constituyen una base en
4.
La representación de cualquier vector en una combinación lineal es única.
5.
Cualquier base es una independencia lineal en el espacio n.
Si cualquiera de las columnas de una matriz cuadrada , desde la independencia
lineal,
y las columnas de
son linealmente
donde las filas de
son linealmente
tiene inversa; entonces las filas de
independiente.
Sea un sistema de ecuaciones
independientes; con una matriz de orden m x n, con
Teorema Si
es una matriz de orden m x n, con
≤
independientes, entonces existen m columnas de
≤
.
y las filas de
son linealmente
son linealmente independientes.
⋯ = 2 11 4
E. Raffo Lecca
+,+,..,
Sean m columnas de (n-m) valores
que son linealmente independientes, lo que significa que sean cero.
⋯
Una solución básica
10 01 ,10 01 ,
Con las variables no básicas de cero).
La submatriz
, 0
y las variables básicas
(diferentes
cuadrada de orden m define una base, de las
! !!
Combinaciones existentes. (Para el caso
Para
,
3 2
, Entonces como
solución a la base se tiene que:
son 6 bases).
define una base, es invertible y
es la
−114
0, 11, 4 ⋯ [,] 10 01, [,] 12 11 00 .
De
se tiene,
,
,
,
, Con
,
En general:
−−
− −− = , ∈ N á Los hiperplanos y los conjuntos convexos son conceptos segmento de línea es la distancia más corta entre dos puntos
algebraicos. Un
y
en el espacio
euclidiano n. La línea que pasa a través de los dos puntos, es el conjunto de puntos el espacio euclidiano que satisface
.
en
E. Raffo Lecca
Desde el sistema de ecuaciones:
1 1 Define un segmento de línea que conecta los dos puntos:
1 0≤≤1 ,
Un hiperplano en el espacio euclidiano n, es el conjunto de todos los puntos
{
,,…,
} que satisfacen:
⋯ , ,≤ ,≥ , ℎ ,
Suponga que
se encuentra entre
:
1 [1] 1
La combinación convexa es una clase de combinación lineal
⋯ , ≥0, 1 = =
E. Raffo Lecca Un punto extremo de un conjunto convexo X , es un punto expresado como:
1 , con
y
que no puede ser
dos puntos diferentes en X.
2.6 Análisis de sensibilidad en modo gráfico Investigar el impacto que se tiene al hacer cambios en los parámetros del modelo, con respecto a la solución óptima.
Cambios en los coeficientes de la FO.
Cambio en el valor de disponibilidad del recurso.
Se aprovecha el análisis gráfico para realizar el análisis de sensibilidad, cuando ocurren cambios en la función objetivo y la disponibilidad de los recursos.
2.6.1
Cambios en los coeficientes de costos
Sea el PL:
max 1: ≤6 2: 2 ≤10 ≥0, ≥0 Sujeto a
Se observa en la figura 2.14, que la pendiente de la línea 1 es menor o igual que la pendiente de la FO y esta menor igual que la pendiente de la línea 2.
De la relación:
z 11 ≤ ≤ 12
E. Raffo Lecca
x2 10 8 Pendiente = -c1/c2
6
1
4 2
2
2
4
6
10
8
x1
Figura 2.14: Variación de los costos
La relación entre los coeficientes es como sigue:
c
12 ≤ cc ≤ 11 ,c 0 1≤ cc ≤2,c 0 c
El rango de sensibilidad del costo
se encuentra entre 0.5 y 1; del mismo modo
se encuentra entre 1 y 2. Ver tabla 2.7.
Costo
c c
Valor
Incremento
Incremento
1
0.5
0
1
0
1
Tabla 2.7: Rango de sensibilidad para los costos
2.6.2
Cambios en la disponibilidad de recursos
Al observar la restricción 1 en la figura 2.15, se encuentra que puede pasar por lo menos en el punto (0,5) y llegar hasta el punto (10,0).
≤6 0,5, 0 55 10,0, 10 0 10
10
=
E. Raffo Lecca
5≤ ≤10 Puede bajar el recurso de la restricción, 1 unidad o subir 4 unidades por ser
6
.
x2 10 8 6
z
1
1
1
4 2
2
2
6
4
10
8
x1
Figura 2.15: Variación de los recursos
El valor de un recurso, es resultado de su valor marginal:
∆∆
Por ejemplo para el recurso 1: la restricción 1
≤6 606 Un incremento de una unidad en el recurso, se encuentra que
≤7 707 ∆∆ 76 76 1
7
:
En la tabla 2.8, se presenta los valores marginales para cada uno de los recursos.
Recurso
Valor
Marginal
6
1
10
0
Tabla 2.8: Rango de sensibilidad para los costos
E. Raffo Lecca
Finalmente considere el PL:
max ≤6 2 ≤10 ≥0, ≥0 Sujeto a
Realizar el análisis para los casos:
Para
>0
>0 <0 y
.
, revisando las intersecciones:
6 ⟶ ℒ 2 10 ⟶ ℒ ℒ ⋂ ℒ 2,4 z24 6,0 z6 0,5 5 24,6,56 12 ≤ ≤ 11 , 1, 1 <0 max 6,0 z0 0,5 5 0,5 5 ,
Para
,
Problemas propuestos 1.
Una compañía produce A, B, C y D, y puede vender estos bienes en cantidades
ilimitadas a los siguientes precios unitarios: A, $15; B, $30; C, $40, D, $50. Producir una unidad de A requiere 1 h. de mano de obra; una unidad de B, 2 h. de mano de obra más 2 unidad de A; una unidad de C, 3 h. de mano de obra más 1 unidad de B; y una unidad de D, 2 h. de mano de obra más 1 unidad de C. Cualquier unidad A, que se usa para producir B no se puede vender. Cualquier unidad de B que se utiliza para producir C no se puede vender; y de igual manera cualquier unidad de C que se utiliza en D no se puede vender. Se dispone de un total de 120 h. de mano de obra. Plantee un PL para maximizar los ingresos de la compañía.
E. Raffo Lecca 2.
La empresa de saneamiento de agua potable, está programando la construcción
de nuevas plantas a 5, 10 y 15 años, con la finalidad de responder a las necesidades de agua para la ciudad de Lima.
Puede comprar sólo tres tipos de acciones, con un valor de acción de $1000,000 por unidad. Estas acciones producen ingresos en los años 5, 10 y a 15; las que son utilizadas para cubrir los requerimientos mínimos de desembolso en esos años.
La tabla 2.9 presenta la cantidad de ingresos por cada acción en los años 5, 10 y 15; además del requerimiento mínimo de requerido en cada uno de los años.
Plantee un PL para determinar las inversiones en las acciones, con la finalidad cubrir los requerimientos de efectivos, optimizando la cantidad total invertida.
Año
Ingreso por acción
Requerimiento
Acción 1
Acción 2
Acción 3
mínimo
2
1
2
$200 M
10
0.5
1
2
$400 M
15
0
0.5
1
$300 M
5
Tabla 2.9: Retorno de las acciones por año
3.
Una mueblería produce sillas y mesas. Cada silla y cada mesa requieren 2 y 3
horas-hombre respectivamente. Se tienen dos operarios que trabajan 8 horas diarias, y 5 días a la semana. Cada silla deja una utilidad de $4 y cada mesa $5. El mercado limita la venta de sillas a 16 unidades. Cada silla requiere 4 pies2 de madera y cada mesa 4 pies2 de madera. Se dispone de 120 pies2 de madera
Usando análisis gráfico, responder:
a) ¿Cuánto producir de sillas y mesas y cuánto es la utilidad? b) ¿Hasta cuánto puede subir la utilidad por cada silla, para que la solución óptima continúe?
E. Raffo Lecca c) De ser posible comprar el recurso madera, ¿hasta cuánto puede comprar y cuánto pagaría por cada pie2, sin cambiar la mezcla óptima de producción?
4.
Sea el PL:
max4 2 3 2 ≤9 2 ≤7 ≤7 ≥0, ≥0 Sujeto a
Usando análisis gráfico, responder:
a) ¿Cuánto es
,
y cuánto la utilidad?
b) ¿Hasta cuánto puede subir la utilidad por cada continúe?
, para que la solución óptima
c) De ser posible comprar el recurso primero, ¿hasta cuánto puede comprar y cuánto pagaría, sin cambiar la mezcla óptima de producción?
5.
Los oficiales del Serenazgo distrital, tienen que cumplir diariamente 12 horas de
labor. Existen 4 turnos de 6 horas, los que son en el siguiente orden: 22:00 a 4:00, 4:00 a 10:00, 10:00 a 16:00 y 16:00 a 22.00. Los oficiales pueden cumplir las 12 horas continuas o repartirlas en dos turnos. El salario para los turnos continuos es de S/. 15 la hora, y el de turnos repartidos es de S/. 18 la hora.
Para la siguiente semana las necesidades mínimas de oficiales en los turnos son: 20, 15, 10 y 18 respectivamente.
Presentar un PL que optimice la planilla diaria de los oficiales del Serenazgo en el distrito.
6.
La compañía química FLOGISTO, elabora tres productos: A, B y C. Los precios
de venta son de sus productos son: $20, $25 y $35 por libra, respectivamente.
E. Raffo Lecca Por cada libra de materia prima se elabora una libra del producto A o una libra del producto B. La materia prima tiene un costo de $10 por libra.
Con un proceso adicional una libra del producto A, se convierte en 0.7 libras del producto B y 0.3 libras del producto C. El costo del proceso adicional para A es de $6 la libra; De la misma manera, una libra de B mediante un proceso adicional se convierte en 0.7 libras de C y residuos, a un costo de $4 por libra.
Para la siguiente semana se tiene que cumplir la entrega de sus productos en las cantidades de: 40, 50 y 60 libras respectivamente.
Presentar el PL que optimice las utilidades semanales de la compañía química FLOGISTO.
Solución a propuestos 1.
Sea la variable de decisión:
Producción de ; ,,, $15
A
1h x1
2 de A $30 2 h.
B 1 de B
x2
Venta $40
3 h.
C x3
1 de C 50 2 h.
D x4
E. Raffo Lecca La función objetivo es maximizar la totalidad de ingresos por venta de los productos. Esto es,
max15 230 40 50
La restricción del total horas a utilizar en mano de obra:
2 3 2 ≤120
El PL resultante es:
max15 10 10 2 3 2 ≤120 ,,, ≥0 Sujeto a:
3.
El PL es:
max4 5 2 3 ≤80 4 4 ≤120 ≤16 , ≥0 Sujeto a:
a) Sillas = 10 y mesas = 20, z = 140. b) c)
≤ 5 20 330 90 908010,4 0 5 30 − 1 150 − ,
. Se puede pagar hasta
5.
.
E. Raffo Lecca
6.
Sea la variable de decisión:
Venta de ; 1,2,3 Producción de , , $ 20 x1 y1
FLOGISTO
A
0.3
$6 0.7
x
$ 25
B
x2 $10
y2
Materia prima
0.7
$4 $35
C
Relaciones:
0.7 0.3 0.7
x3
