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Ensembles de Cantor Jean-Marie Exbrayat et Alain Pommellet Lycée Joffre, Montpellier, et lycée Saint-Louis, Paris
Résumé: Construction et propriétés des ensembles de Cantor
z z z
1 Parties élémentaires 2 Construction et propriétés des compacts 3 L'ensemble triadique de Cantor
.
1 Parties élémentaires 1.1 Vocabulaire. Dans tout ce qui suit, par segment nous entendons segment d'intérieur non vide; une partie élémentaire est par définition une réunion finie et non vide de segments et l'on note l'ensemble des parties élémentaires. Les adjectifs ouvert et fermé sont toujours relatifs à la topologie de . Soit dans . On vérifie sans peine que que est réunion disjointe de segments et ce de façon unique : ces segments sont aussi les composantes connexes de ; est bien sûr compact. Un trou de est une composante connexe bornée du complémentaire de , c'est donc un intervalle ouvert borné contigu à . Le nombre de trous de est le nombre de composantes connexes de , moins un. Enfin l'ordre de , noté est le nombre de composantes connexes de
.
1.2 Bissection On fixe ici un nombre
, et l'on définit une application
de
dans
de la façon
suivante : -- Lorsque
est un segment de
,
est l'ensemble élémentaire
où
Ainsi,
est le trou de
. Lorsque l'ensemble
est élémentaire, avec
composantes
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connexes
,
l'application
est l'ensemble élémentaire
est appelée bissection d'ordre
Le nombre de composantes connexes de connexes de
; en désignant par
partie élémentaire
sur
.
est alors le double du nombre de composantes la somme des longueurs des segments composant une
on a :
2 Construction et propriétés des compacts Dans ce qui suit, on se donne une suite quelconque
.
à valeurs dans
. On définit
alors une suite d'ensembles élémentaires par
et l'on pose
2.1 L'essentiel. est un compact non vide, parfait, d'intérieur vide, égal à sa frontière Théorème 1 Chaque et a la puissance du continu. La mesure de Lebesgue de est
Démonstration On rappelle que l'on note
la mesure de Lebesgue ; pour un intervalle ,
est d'intérieur vide. En effet, la suite de donc , l'ordre de
est sa longueur.
est une suite décroissante de compacts non vides
est compact et non vide. Une récurrence facile montre alors que, pour tout entier est , et que chaque composante connexe de est un segment de longueur . De ce fait, si
est un intervalle de
contenu dans
,
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,
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est contenu dans
donc dans l'une de ses composantes connexes, ce qui impose :
Il en résulte que
est vide ou un singleton. Ainsi :
-- les seuls connexes non vides contenus dans discontinu, d'intérieur vide; -- la frontière de
sont les singletons ;
est
est totalement
.
est parfait. Faisons encore une observation utile : Soient connexes de
. Par définition des bissections,
de l'un des segments constituant
et donc
longueur éléments de
. De là :
appartient à
et
. Choisissons
donc à une composante connexe
tel que de
, ici de
. D'après la remarque précédente, les deux extrémités de
sont des
appartenant à
: le fermé
l'extrémité de l'une des composantes
est aussi extrémité de l'une des composantes
. Donnons-nous ensuite . Le point
de
et
, ce qui montre que
est un point d'accumulation
est parfait.
possède la puissance du continu. Classiquement, continu. Nous allons construire une bijection de A chaque suite
possède la puissance du
sur
.
, on associe une suite
de segments telle que tout
une composante connexe de
, à l'aide de la récurrence suivante :
-- Les composantes connexes
de
soit
étant énumérées dans l'ordre naturel, on
pose : si -- Les divers nouvelle bissection
;
si
étant des composantes connexes de
,
, partant de la
nous posons
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si
;
si
.
En termes imagés, après bissection, on choisit le segment de gauche si droite si
. Manifestement, la suite
emboîtés, et
pour tout
, et celui de
vérifie les hypothèses du théorème des segments
; de ce fait, l'intersection
est un singleton
et l'on pose :
Lemme. L'application
est injective. Soient
ainsi définie est une bijection de
et
Par construction des suites
des éléments distincts de
et
est surjective. Rappelons que
-- Si
on pose
( ; a fortiori
par .
,
. ; si
on pose
.
, on dispose d'une composante connexe
; la n-ième bissection donne si
Il est clair que
si
est la réunion disjointe des segments
-- Ayant choisi que
.
; posons
on a :
convention), et donc à l'étape suivante :
. Soit
sur
de
telle
et l'on pose ;
est un point commun à tous les
si , donc que
. . Le lemme donne
immédiatement le dernier résultat souhaité :
Mesure de . Rappelons que la mesure d'un ensemble élémentaire après bissection de rapport est Il vient alors, par une récurrence immédiate,
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Comme la suite
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est décroissante et contenue dans un ensemble de mesure finie, le résultat
annoncé suit. Remarque. En choisissant convenablement la suite il est facile de faire en sorte que la mesure de soit strictement positive ; on dispose ainsi d'un fermé de , parfait, totalement discontinu, et de mesure non nulle.
3 L'ensemble triadique de Cantor On désigne usuellement par
l'ensemble obtenu avec la suite constante
Dans ce cas la bissection "au tiers médian"
transforme le segment
. en
. Ainsi, les premiers ensembles élémentaires relatifs à ; L'ensemble
sont
; possède bien évidemment les propriétés classiques des ensembles de Cantor :
est compact, parfait, totalement discontinu et a la puissance du continu. Le résultat suivant précise la structure arithmétique de
. Notons que nous acceptons, dans ce qui suit, les
développements triadiques impropres. Théorème 2 Tout élément
de l'ensemble triadique de Cantor s'écrit d'une façon et d'une
seule comme une somme triadique somme de cette forme est un élément de
, où chaque
appartient à
; et toute
.
Démonstration L'unicité est un résultat classique de la théorie du développement d'un nombre réel en base . Prouvons l'existence d'une telle représentation. Les notations sont celles du théorème de structure des ensembles de Cantor ci-dessus. Soit donc la bijection issue de une suite
définie au paragraphe précédent. Il existe, et de façon unique, telle que :
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Il suffit alors de prouver que
Nous allons en fait montrer, par récurrence sur i)
est l'extrémité gauche de
ii)
, que ;
.
Il est clair, par construction de
, que i) et ii) sont vérifiées pour
deux propriétés vraies pour
; écrivons
. Supposons donc ces
, avec
;
on distingue deux cas : Premier cas.
; c'est-à-dire
Deuxième cas.
. Alors
; c'est-à-dire
, et
. Alors ;
;
Les propriétés i) et ii) sont donc démontrées, ce qui visiblement donne le théorème : tout élément de
possède un développement triadique de la forme
voulue, et à toute suite de
correspond un élément de
.
Théorème 3 Tout élément de
est somme de deux éléments de
; l'inclusion réciproque
étant évidente, on a
En effet, soit
; le nombre De là,
lors, il est clair que l'on peut écrire
admet un développement triadique , la suite
où
prenant ses valeurs dans
comme somme de deux suites
et
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. Dès à valeurs
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dans
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; les nombres réels
l'ensemble de Cantor tels que
et
sont deux éléments de
, comme voulu.
Remarque. Il est possible - c'est l'une des variantes usuelles de l'exposé -- de montrer directement que l'application
est une bijection, par exemple en prouvant que la description de
est
L'étude plutôt géométrique que nous avons développée semble cependant plus claire, et nous servira de base pour de nombreuses avancées ultérieures.
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