1. Al lanzar cuatro monedas ¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente dos caras? Solución:
P
(E) =
=
=
=
15. El 10% de los artículos producidos mediante cierto proceso son defectuosos( no aceptables).Si se toma , al azar, una muestra de cuatro artículos, ¿Cuál es la probabilidad de que contengan: a) ninguno defectuoso b) al menos uno defectuoso c) menos de dos defectuosos
DATOS: 10% son defectuosos p = 0.1 y n=4 X~B(4,0.1) SOLUCION: a) P(X=0) = 0.6561 b) P(X≥1) = 1-P(X≤0) = 1- 0.6561 = 0.3439 c) P(X<2) = P(X ≤1) = 0.9477
29. De los 6.000 estudiantes matriculados en la universidad, se sabe que 4.800 se trasladan al claustro utilizando el transporte urbano (servicio público).Si se selecciona una muestra de ocho estudiantes .cual es la probabilidad de que:
a) b) c) d)
no más de dos utilicen dicho servicio por lo menso tres no lo utilicen exactamente dos no lo utilicen exactamente dos lo utilicen SOLUCION: P=
= 0.8
X= número de estudiantes que se trasladan por transportes urbanos X~ (8; 0.8) a) p(x≤2) =0.0012 b) p(no utilizan)=0.2 → X~ B(8; 0.2) p(x≥ 3) = 1- p(x≤2) = 1 – 0.7969 = 0.2031 c) p(x=2) =
(
= 0.2936
d) p(x=2) =
(
= 0.0011
43. Se sabe que el 70% de los miembros de la universidad son fumadores; en una muestra aleatoria de 18 fumadores ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente 16 fumadores? (utilizar tabla) DATOS: X: Fumadores P= 70% =0.7
;
n=18
SOLUCION: X~ B (18; 0.7) P(X = 16) =
(
=0.0458
58. Si el 3% de las bombillas fabricadas por una compañía son defectuosas, hallar la probabilidad de que en una muestra de 100 bombillas: a) 0; b)1; c)2; d)3; e) 4; f) 5, sean defectuosos
DATOS: P=3% =0.03 N =100 X : bombillas defectuosas λ =np → λ =100(0.003) =3 Solución:
a) b) c) d) e) f)
p(x=0)=0.0498 p(x=1)=0.149 p(x=2)=0.229 p(x=3)=0.224 p(x=4)=0.168 p(x=5)=0.101
72. La probabilidad de que un cajero se equivoque en el pago de un cheque es de 0.0005 ¿Cuál es la probabilidad de que en 800 cheques pagados por dicho cajero: a) por lo menos se equivoque en el pago de tres cheques? b) Por lo menos se presentan dos demandas? DATOS: P =0.0005 n= 800 λ= np=0.4 SOLUCION: a) P(x≥3) =1 – p(x≤2) = 1 – 0.992=0.008 b) P(x≤2) = 0.992
91. Una variable aleatoria Z tiene distribución normal reducida (media 0 y varianza 1). Determinar las probabilidades utilizando la tabla de áreas bajo curva: a) b) c) d) e) Solución: a) b) c) d) e)
P(x<0) =f(0) =0.5 P(13= = 1 – p(z<3) = 1- F83) =0.0013 P(z = -1) = p(z<-1) – p(z<-2) = 0.158 – 0.023 =0.136 P(-2
105. Dos estudiantes fueron informados de que habían recibido referencias tipificadas de 0.8 y -0.4, respectivamente, en un examen de ingles. Si sus puntuaciones fueron de 88 y 64, respectivamente, hallar la media yd desviación estándar típica de puntuaciones del examen. (NOSE RESUELVE)---ASI DIJO LA PROFE..^^!
119. En una distribución normal, con media 72 y desviación estándar 12 existen 220 observaciones entre 42 y 90 ¿Cuántas observaciones comprende toda la distribución? DATOS: ; X ˜ N (µ,
)
SOLUCION: P (42
P(
≤z≤
σ =12
P (-2.5≤Z≤ 1.5) =
F (1.5) – F (-.25) =
→ 0.9332 – 0.0062 =
→total=237 133. Si la distribución de X es normal, con media µ = 1 y σ=0.4; Hallar: a) a) b) DATOS: µ =1
; σ = 0.4
X ˜ N (1,
)
Solución: a) P(x>0) = p(x≥0) = p(z≥-2.5) = 1- F (-2.5) = 1- 0.0062 =0.9938 b) P(0.2
147. El gerente de crédito de un almacén de artículos electrodomésticos estima las perdidas por malos clientes durante el año, en la siguiente forma: la perdida tiene distribución normal con media de $50 000; además, la probabilidad de que sea mayor de $ 60 000 y menor de $40000 es de 0.40 ¿Cuál es la desviación estándar? Solución:
50 000 p (40 000< x< 60 000) = 0.40 p(
Si
) = 0.40
=a
F(-a < z < a) = 0.40
F(a) – F(-a) = 0.40 F(a) –(1- F(-a)) = 0.40 F(a) –1 + F(-a) = 0.40 2F(a) =1.40 F(a)=0.7 a = 0.53 → σ = 18867.92
157. Si la estatura promedio de un grupo de 1000 personas fueron de 160 centímetros y la varianza de 100; además se sabe que se distribuyen normalmente, ¿Cuántas personas miden? a) entre 140 y 165 centímetros? X
N (µ,
)
Para nuestro caso, se tiene: µ = 160 = 100 = 10 Luego, reemplazando que: X
N (160, 10)
Con estos valores, podemos hallar el valor de “z” para ser buscado en tablas, mediante: z = Nos piden: P (140
Para x = 140:
z =
z = -2
z =
Para x = 165:
z =
z = 0.5 Luego lo que se pide equivale a obtener el resultado de: P (140
b) entre 170 y 180 centímetros?
Nos piden: P (170
z =
Para x = 170:
z = z = 1
z =
Para x = 180:
z =
z = 2 Luego lo que se pide equivale a obtener el resultado de: P (170
c) 185 y mas?
Nos piden: P (x>185) Cálculo de z: z =
Para x = 185:
z =
z = 2.5 Luego lo que se pide equivale a obtener el resultado de: P (x > 185) = 1 - P (x < 185) = 1 - P (z < 2.5) Buscando en la TABLA, se tiene: P (x > 185) = 1 – 0.994 P (x > 185) = 0.006
c) 130 y menos?
Nos piden: P (x<130) Cálculo de z: z =
Para x = 130:
z =
z = -3
Luego lo que se pide equivale a obtener el resultado de: P (x < 130) = P (z < -3) Buscando en la TABLA, se tiene: P (x < 130) = 0.0013
161. Si la vida media de una batería de 12 voltios, es de 30 meses , con una desviación típica de 6 meses: a) Determine qué porcentaje de baterías dura menos de 18 meses b) Si la garantía establece el cambio de la batería, si su duración es menor de 18 meses ¿Cuántas baterías tendrá que cambiar un almacén, de 360 vendidas en el trimestre? DATOS: σ =6
;
µ=30
Solución: a. P(x<18 ) = p(z<
=p(z<-2) = 0.0228
b. P(x<18) =
175. La duración de ciertas pilas de radio transistor, están distribuidas normalmente. Si el 2,30% duran menos de 3,8 meses y 54,8% más de 4,34 meses. a) ¿Cuál es la media y desviación estándar? b) Si se tienen 2 000 pilas ¿Cuántas esperamos que tengan una duración superior a los 5 meses? Solución: a) P(x<3.8) =0.023 P (z<(
) = 0.023 →
P(x> 4.36) = p ( z >
1 – (z<
) =0.548
= -2
)=0.54
P (z <
)= 0.452
=0.12
→ 3.8 - µ = -2σ
-2σ + µ = 3.8
4.36 - µ = 0.12σ
→
0.12σ - µ = -4.36 σ= 0.298 µ =4.346
b) P(x>5) = P(z>
)=
P(z >2.03 ) = 1 - F(2.03) = 1 – 0.9788 = 0.0212 = a= 42
