110-S16 13 SEPTIEMBRE 2004
WILLIAMS J. BRUMS JR. SUSAN S. HARMELING
Buying Time El concepto de interés compuesto permite a los financieros conectar efectivo con el tiempo. Los administradores cuyas organizaciones carecen del flujo de efectivo para realizar proyectos deseables, pueden aceptar pagar intereses intereses a terceros por el uso de su capital durante un periodo periodo de tiempo. Las personas que disponen de efectivo no necesariamente deben pensar en que el prospecto de cobrar intereses sea atractivo porque signifique que la cantidad cobrada será mayor en una fecha futura. Las tasas de interés altas proporcionarán más efectivo disponible a los que lo utilicen con mayor eficiencia en diferentes periodos de tiempo. Suponga que usted necesita $1,000 dólares para adquirir un software nuevo con el que está seguro aumentará su productividad al doble. Usted proyecta que con ese aumento de productividad, en un año a partir de ahora va a disponer de un monto mayor de efectivo, aunque por ahora no cuente con suficiente. El distribuidor que espera venderle el software le ofrece crédito por la cantidad que necesita para la compra, condicionado a que acepte pagarle intereses a una tasa de 10% anu al. Acepta usted el trato, recibe el software y paga el crédito un año después. Con esto, ha usado el capital del distribuidor y compra el uso de ese dinero por un periodo de un año. En términos monetarios, la operación puede esquematizarse como sigue:
Pagar al final de un año
Crédito Original Tasa de Interés
$1,000 x 10% anual
$1,000 100 $1,100
Usted pagó $100 por usar por un año el efectivo que necesitó para incrementar su productividad. Este fue el interés sobre el efectivo del distribuidor. Otro distribuidor le propone una impresora nueva a $1,000. Con esa impresora, usted obtendrá impresiones con mayor nitidez y eficiencia. También este distribuidor le ofrece crédito para la _____________ _____________ ______________ ______________ _____________ ______________ ______________ _____________ ____ El caso de LACC número 110S16 es la versión en español del caso de HBS número 192045. Los casos de HBS se desarrollan únicamente para su discusión en clase. No es el objetivo de los casos servir de avales, fuentes de datos primarios, o ejemplos de una administración buena o deficiente. Copyright 2013 President and Fellows of Harvard College. No se permitirá la reproducción, almacenaje, uso en planilla de cálculo o transmisión en forma alguna: electrónica, mecánica, fotocopiado, grabación u otro procedimiento, sin permiso de Harvard Business School. This document is authorized for use only in Leswin Valenzuela's Valenzuela's Matematicas Financiera course at UTH, from November 2017 to May 2018.
110-S16
Buying Time
compra de este equipo, pero el 10% de interés se resta del crédito al momento de la compra. De la misma manera, usted está usando efectivo del distribuidor y debe pagar por el uso de ese efectivo durante un año. En términos monetarios, el esquema es el siguiente: Pagar al final de un año
Crédito Original Tasa de Interés
$909
$909
x 10% anual
91 $1,000
Note que en este caso usted obtiene un monto menor de crédito y aun así paga 10% de interés. El costo del interés es menor porque el crédito fue menor. Podemos ver cada uno de estos créditos utilizando los términos que usan los gerentes para describir los costos de pagar por tiempo de uso del efectivo de terceros por un periodo de tiempo. El valor presente del crédito es la cantidad recibida o acreditada a la venta el día en que se efectúa la compra del software o la impresora. El valor futuro del crédito es la cantidad a la que ha aumentado la cantidad por pagar el día de vencimiento del crédito. En nuestros ejemplos, podemos expresarlo en los términos siguientes: Valor Presente
Valor Futuro
Crédito del Distribuidor # 1
$1,000
a un interés de 10% =
$1,100
Crédito del Distribuidor # 2
$ 909
a un interés de 10% =
$1,000
La tasa de interés liga el valor presente del dinero con su valor futuro. Nuestro ejemplo muestra que podemos ver un crédito o préstamo de $1,000 tanto hacia adelante o hacia atrás. Es como si los valores presente y futuro del dinero representaran la misma cantidad de dinero en dos momentos de tiempo, conectados por una tasa de interés que determina lo que el receptor del crédito pagará por usar el dinero por un periodo específico de tiempo. Para resolver la mayoría de problemas de las empresas en los que se involucran dinero y tiempo, se cuenta con dos fórmulas algebraicas. El valor futuro de una cantidad ganando interés compuesto puede calcularse con la fórmula: VP (1 + i) n = VF En la que: VP = valor presente del capital i = Tasa de interés n = número de periodos en los que se acumulará el interés VF = Valor Futuro 2
This document is authorized for use only in Leswin Valenzuela's Matematicas Financiera course at UTH, from November 2017 to May 2018.
Buying Time
110-S16
En realidad, los gerentes no necesitan memorizar esta u otras fórmulas de interés compuesto, ya que existen tablas que facilitan la tarea de calcular valores presentes y futuros. Muchas decisiones de negocios incluyen la comparación del valor presente de la cantidad de dinero que se recibirá con el precio real del derecho a obtener el pago en el futuro. El valor presente de una cantidad que se recibirá en n periodos en el futuro puede calcularse simplificando la fórmula mostrada antes:
Para facilitar el cálculo de valores presentes, las tablas existentes se han elaborado tomando como base esta fórmula. En la Tabla 1 se muestra un ejemplo: Tabla 1 Valor presente de $1 Periodo
8%
10%
12%
1
.9259
.9091
.8929
2
.8573
.8264
.7972
3
.7938
.7513
.7118
4
.7350
.6830
.6355
5
.6806
.6209
.5674
6
.6302
.5645
.5066
Al usar la tabla para encontrar el valor presente de cualquier pago futuro, se multiplica la cantidad mostrada para el número de periodos y la tasa de interés deseada por la cantidad del pago. Por ejemplo, el valor presente de $1,000 para ser pagados o recibidos en tres años al 10% de interés, es $751.30:
Valor Presente
0 $751.30
Valor Futuro
1
2
3 $1,000
3
This document is authorized for use only in Leswin Valenzuela's Matematicas Financiera course at UTH, from November 2017 to May 2018.
110-S16
Buying Time
Al proceso de calcular el valor presente de una cantidad de dinero en el futuro se le llama descuento. Muchas inversiones generan una serie de recibos de efectivo en un número de periodos futuros. Si la cantidad de dinero a recibir en cada periodo es la misma, algunas veces se le llama anualidad (A). La fórmula para calcular el valor presente de una anualidad para recibirse por n periodos es:
Se han preparado tablas para calcular el valor presente de una anualidad, basadas en esta fórmula, como se muestra en la Tabla 2.
Tabla 2 Valor presente de una anualidad ordinaria de $1 Periodo
8%
10%
12%
1
.9259
.9091
.8929
2
1.7833
1.7355
1.6901
3
2.5771
2.4869
2.4018
4
3.3121
3.1699
3.0373
5
3.9927
3.7908
3.6048
6
4.6229
4.3553
4.1114
Se puede usar la Tabla 2 para encontrar el valor presente de una corriente de pagos fturos iguales en efectivo para ser pagados o recibidos por un número de periodos a una tasa de interés seleccionada. Por ejemplo, el valor presente de $1,000 para ser pagados o cobrados por tres años a un interés del 10% será de $2,486.90. Esta es la suma de los valores presentes de cada uno de los tres pagos para ser recibidos al vencimiento de cada uno. Utilizando la Tabla 1, el cálculo es:
4
This document is authorized for use only in Leswin Valenzuela's Matematicas Financiera course at UTH, from November 2017 to May 2018.
Buying Time
110-S16
Valor Presente
0
Valor Futuro
1
$909.10
2
3
$1,000
826.40
$1,000
751.30
$1,000
$2,486.80
La pequeña discrepancia entre las dos respuestas se debe al redondeo en las tablas de valor presente. Esto ocurre con frecuencia, aunque es raro que represente un problema en situaciones reales. Si se desea mayor precisión, es recomendable utilizar una calculadora o software en lugar de las tablas.
Uso del Interés Compuesto y el Valor Presente en Contabilidad Las empresas celebran muchos contratos en los que se pactan recibos de pago futuros. Algunos ejemplos son los pagos de préstamos con diferentes fechas de vencimiento, contratos financieros con pagos en diferentes periodos y vencimiento del principal después de un tiempo (un bono), pagos pactados con contratos de alquiler (un arrendamiento), o pagos para empleados cuando se retiran del servicio activo (una pensión). Cuando los recibos o pagos tienen un periodo corto de vencimiento --por ejemplo, cuentas por cobrar o por pagar --- pocas veces se descuentan al valor presente. Sin embargo, casi todas las cantidades con vencimiento a un año o más, se descuentan de su valor presente. El gasto (o ingreso) por los intereses se acumula entonces a la tasa de interés del descuento original.
Ejemplo de Práctica # 1: Rent-a-Lemon, Inc. Hank Ford, fundador de Rent-a-Lemon, Inc., necesitaba conseguir dinero prestado y pronto. Era pionero en el negocio de comprar autos usados para rentárselos a estudiantes universitarios que visitaban el sur de Florida durante el receso de primavera. La rápida expansión de sus locales de renta era necesaria para disuadir a que otros competidores entraran al negocio. Esperaba abrir dos oficinas nuevas en Daytona Beach. Para lograrlo, Rent-a-Lemon requeriría alrededor de $2.5 millones de dólares para el desarrollo de puntos de renta y compra de una flotilla de autos en buenas condiciones de uso.
5
This document is authorized for use only in Leswin Valenzuela's Matematicas Financiera course at UTH, from November 2017 to May 2018.
110-S16
Buying Time
La asistente personal de Ford, Sra. I. Countem le dijo que Rent-a-Lemon podría conseguir el dinero de Money-for-Nothing, Inc. (MFNI), un prestamista local. Le sugirió que Rent-a-Lemon le ofreciera a MFNI tres pagos anuales de $1 millón de dólares cada uno, el primero con vencimiento un año después de obtener el préstamo y el segundo y tercero a intervalos subsecuentes de un año. Countem dijo que Rent-a-Lemon recibiría un préstamo de $2,486,900 dólares si MFNI aceptaba una tasa de interés del 10%. Le explicó también que durante el primer año, el total de pago por intereses del préstamo sería de $248,690 dólares y cuando se efectuara el pago del primer millón de dólares, se reduciría el principal de la deuda por la diferencia entre el millón de dólares pagado y el costo del interés.
Preguntas 1. ¿Cómo sabía Countem que Rent-a-Lemon obtendría $2.5 millones de dólares si MFNI les prestaba con un interés del 10%? 2. Asuma que Countem está en lo correcto y que MFNI acepta prestarles en base a la promesa del Sr. Ford de pagarles un millón de dólares cada año por los siguientes tres años. ¿Cuánto deberá Rent-a-Lemon el día en que reciba el préstamo? ¿Cuánto deberá un año después, inmediatamente antes de pagar el primer millón de dólares a MFNI? ¿Cuál será el pasivo de Rent-a-Lemon inmediatamente después de hacer el primer pago de un millón de dólares a MFNI?
3. Calcule el costo de los intereses para Rent-a-Lemon por el segundo año del préstamo y el pasivo al final de ese año después de hacer el pago anual de un millón de dólares. Repita el ejercicio para el tercer año. ¿Qué es lo que MFNI da a entender cuando dicen que quieren ganar un interés del 10%? 4. Countem le aclaró al Sr. Ford que podría estar equivocada acerca del interés que aceptaría MFNI. Podría ser tan bajo como 8% o tan alto como 12%. Con estos extremos, si Rent-aLemon ofrece efectuar los tres pagos anuales de un millón de dólares, ¿Cuánto le prestaría MFNI a Rent-a-Lemon y cuál sería el costo de los intereses en cada año del préstamo?
Ejemplo de Práctica # 2: Alternativa de I. Countem Countem le comentó a Hank Ford que existía una alternativa a la de negociar con los usureros locales. Ella pensaba que Rent-a-Lemon podría hacer una emisión de bonos. Le sugirió vender 2,500 bonos con valor a la vista de $1,000 dólares cada uno y un cupón a una tasa de interés del 10% para ser pagados anualmente. El principal de los bonos, $2.5 millones de dólares se terminaría de pagar al final del tercer año.
Preguntas 5.
Si Rent-a-Lemon decide emitir los bonos sugeridos por I. Countem y los inversionistas desean ganar exactamente 10% de interés sobre su inversión, ¿Cuánto obtendrá Rent-a-
6
This document is authorized for use only in Leswin Valenzuela's Matematicas Financiera course at UTH, from November 2017 to May 2018.
Buying Time
110-S16
Lemon por la venta de los bonos? El día que se emitan los bonos, ¿es este el pasivo total de Rent-a-Lemon? ¿Por qué sí o por qué no? 6.
¿Cuál será el pasivo total de Rent-a-Lemon al final del primer año exactamente antes de pagar los intereses? ¿exactamente después? ¿al final del segundo año? ¿el tercer año?
7. ¿Cuál sería el resultado de la emisión de bonos al 10% si los inversionistas aceptaran ganar un interés de 8%? ¿Cómo afectaría esto al costo de los intereses cada año? ¿Qué sucedería si los inversionistas demandaran ganar 12% de interés?
7
This document is authorized for use only in Leswin Valenzuela's Matematicas Financiera course at UTH, from November 2017 to May 2018.
