TRILCE
Capítulo
1
ESTAD STI S TICA CA
L os antecedente antecedentess de la Esta E stadí dística stica son tan remotos como la propi a sociedad humana. humana. L a Estadística Descri ptiva tiene su ori origen gen mil mi l o dos miles años antes antes de C risto ri sto,, remont r emontánd ándose ose a las primeras pri meras civi civ i lizaciones en E gi pto, pto, C hina hi na y Mesopotamia, Mesopotamia, donde se hacían hacían censos para para la admin adminii stración de los los imperios. imperi os. Al A l parecer, parecer, los datos más antiguos corresponden a los censos chinos ordenados por el emperador Yao (hacia el año 2238 a.c.), así como otros censos de población y riqueza encontrados encontrados en Eg E g ipto y r elaci elaciona onados dos con la constr constr ucción de las pirámides. También ambién en E gi pto, pto, R amsés amsés II elaboró elaboró un censo de tier tierrr as para estab establece lecerr una nueva política de reparto de las mismas. Los egipcios tuvieron el barómetro económico más antig antiguo: uo: un instrumento i nstrumento llama llamado do «Ni lometro», lometro», que medía medía el caudal caudal Nilómetro
del Nilo y servia a definir un índice de fertilidad, a partir del cual se fijaba el monto de los los impuestos. impuestos. Posteri Posteri ormente, haci haci a el año año 555 a.c., a. c., podemos podemos citar citar los censos del Imperio Romano, destinados a la organización política y guerrera. E n la Eda E dad d Media, Medi a, se produce un consi considerable derable estanca estancamiento miento de la E stadí stadí stica y hay que esperar esperar al nacimiento nacimi ento de las escuelas mercantilistas de los siglos XVI, XVII y XVIII. En 1660, apareció la llamada “Aritmética Política”, destinada a la descripción descripci ón de sucesos propi propiam amente ente políticos. políti cos. E sta ciencia, cienci a, que nació en la universi univ ersida dad d alemana alemana de Haltustadt Haltustadt y pronto se extendió por di stintas universi univ ersidade dadess alema alemanas nas y suizas, fue ya denominada denominada Estadística por el alemá alemán n S chmeitzel. E n principio principio,, esta esta cienc ciencia ia ten tenía ía por por objet objeto o la mera mera de descripció scripción n numé numérica rica de las las cue cuest stione ioness pol política íticass de del Esta Estado, do, falt faltá ándol ndole e aún aún la la búsqueda de leyes leyes generales. L a gran transformación transformació n de la E stadí stadística stica surge surg e de su vinculación vi nculación al Análisis Análi sis Mate M atemát mático ico a través del Cálculo de Probabilidades, cuyos orígenes se sitúan hacia mediados del siglo XVII y cuyos principales impulsores fueron fueron los los mate matemá mátticos franc frances eses es Blaise Blaise Pa Pasca scal (1623-1662) (1623-1662) y Pierre de de Ferma Fermatt (1601-1665), junto junto con con el hola holand ndés és C hristian hristian H uygens uyg ens ( 162916 29-169 1695) 5).. E s entonces entonces cuando cuando apa aparecen recen las las pri primeras meras aportaciones aportaciones signi sig nificativas ficativas al al Cálculo de Probab Pr obabili ilida dades des como disciplina puramente matemática. A partir partir de est esta fech fecha a, esta esta cienc ciencia ia fue fue cons consttituyé ituyénd ndos ose e com como o ta tal y vinculá vinculánd ndos ose e fuerte fuerteme ment nte e a la teoría teoría de funcion funciones es duran durantte los siglos XVIII, XIX y principios del XX, gracias a los logros de figuras notables entre las que cabe destacar a Bernoulli, Leibnitz, Bayes, Laplace, Chebychev, Kolmogorov o Markov.
10 1
Aritmética
INT INTRODUCCIÓN RODUC CIÓN
Ejercicio :
E lestu d io d e la E stad ística es e s de d e car ca rácter in d ispen spe n sabl sab le p ara cual cua lqu ier p ro fesio nal na ld ebi eb id o a q ue es una un a herram ient en ta qu e
C ite alguno gu no s ejem p lo s en lo s cua cual les sea con veni ven ient en te to m ar u na m uest ue stra en e n vez de d e to d a p o blació n d ebi eb id o a la d ificultad q ue present presenta a su estu d io.
le será d e gra gra n u tilid ad p ara ara la to m a d e d ecisio n es sobr sob re asun asu n to s d iver ve rsos, tiene en e ap a p licació n en e n to to d o s lo s cam p o s d el saber sab er y pr p ro fesio n es. E s m u y d ifícilestab lecer un a cro n o lo gía exact exacta a d e lo s or o rígen es d e la estad ística. P arece arece ser q u e lo s dat da to s m ás an tiguo gu o s que qu e se con o cen son lo s censos chi chino no s o rd en ad os po r el em perado perado r Tao an tes del año 220 0 a.C . A lo largo d e la E d ad M ed ia y h asta pr p rin cip io s del de lsiglo X V II, la E stad ística er e ra pu p u ram ent en te d escri escrip tiva, va , B erno u illi (1 6 5 4 1 70 5 ) y sobr sob re to d o L apl ap lace (1 (1 74 9 - 1 8 27 ) d esarr esarro llaro aro n conce co ncept pto o s m atem atem á-tico s fu n d am en tales par pa ra la teo teo ría estad ística. E lp rim ero ero fo rm u ló la fam fam o sa ley d e lo s grand gran d es nú m ero ero s y el segun egu n d o pu so en evid enci en cia las ventaj ventajas que qu e p o d ría ap o rtar el cálcul cu lo d e p ro b ab ilid ad es en el estu d io d e lo s fenó en ó m eno en o s n atu rales de causas cau sas com co m plejas.
ESTADÍ ESTADÍ STIC STIC A DESC RIPTIVA RIPTIVA E s una ram a de la M atem ática aplicada que qu e no s prop prop orci orcion a lo s m éto d o s p ara ara rea real lizar un estud io d e un u n grupo grup o d e dat d ato s en cuan cu an to a su reco p ilació ació n , cla sificaci ca ció n , p resen taci ac ió n y d escr escripció pció n pa ra p o d er to m ar decisi decisio ne s o h acer con co n clu sio n es.
ETAPAS ETAPAS : R eco ecop p ilació n
C lasificación
P resen tació n
D escripci pció ón
POBLACIÓN
MUE M UE S TR A
TI P O S D E V A R I A B L E S Variable Cualitativa :
S o n aquel aq uellas qu e ind ind ican un a
cual cu alid ad :
Ejemplos : L a var va riab le cua cu alitativa sex o pued pu ede e serso lam ente ente masculi masculi no o femeni femenino no . L a var va riab le cu cu alita tiva turno pued p ued e ser ser mañana, tarde o noche. S o n tam b ién var va riab les cual cu alita tivas va s : la p ro fesió n d e tu s p ad res, el col co lo r d e tu s ojo s, la un u n iver ve rsid ad en la q u e pi p iensas en sas estu d iar, etc.
Observación Observación :
A este tip o d e vari v ariab les,se les pu ed e asi a signa gn ar val va lo res nu m éri éricos co s d e acue a cuer rd o a la m an era de d e ut u tilizar lo s d ato ato s. Po r ejem plo, siestam o s evaluand ua nd o per pe rso n al par pa ra trabaj ab ajar en u n a m in a a la var v ari iab le sexo se le p u ede ed e asi a signar gn ar 0 si es fem en in o y 1 si es m asculino, no , ind icand can d o q ue se pref prefi iere ere p erson ersonal al m asculino par pa ra d icho trabaj ab ajo.
Vari able able C uantit uantitativa ativa :
S on aquellas que pued en tom tom ar
val va lo res num nu m éri éricos co s :
Por ejemplo ejemplo : CONCEPTOS PREVIOS : Población : E s
el co n ju n to u n iver ve rsal o referen cia l p a ra real ea lizar el estu d io esta d ístico, co , cuyo cu yo s elem en to s po seen la car ca racterística q u e se va v a a estu d iar.
E d ad , n ú m ero ero d e h ijo s, tiem po d e servi servicio, el coef co efi icient en te in telectu ectu al,n o tas, vid a m ed ia,carga electr ectró n ica, ca,h em ato cri crito, etc. Vari able le Cuant C uantitativa itativa Discreta Di screta : Tom * Variab To m a val va lo res que est están en co rrespo nd en cia biun biun ívo ca con lo lo s nú m ero ero s n atural aturales.
Muestr Mues tr a : E s un sub con jun to d e la po p o b lació n, lo s m ues ue streos eo s
Ejemplo :
se real ea lizan cuan cu an d o es di d ifícil o com co m p licad cad o estu d iar to d a la po b lació n, tam b ién se rea real liza con co n la fin alid ad d e o b tener en er resul esultad o s en m eno r tiem po y a m eno en o r costo, par pa ra ello es in d ispensabl spen sable elegir un a m uest ue stra ad ecuad ecu ad a, que repr ep resente esente a la p o b lació n , d e acu a cuerd erdo o a la car ca racterística q qu u e se estu d ia.
L a can ca n tid ad d e hi h ijo s,cant can tid ad d e in gresan gresant tes a la U N I, el nú m ero ero de em plead o s d e un a fábr áb rica, la cant can tida d de gló b u lo s ro jo s en u n a go g o ta d e sangre, san gre, etc. *
Variable Cuantitativa Continua : Tom a to d o s lo s valo res en algún gú n in terval erva lo.
Ejemplo : C onjun onjunt to d e alum nos no s del colegio T R IL C E
Ejemplo :
C onjun onjunt to d e alum nos no s de 5t 5 to de
Tem p erat eratu ra d e un u n gas, lo n gitu d d e un u n a p ared ared, , estatu atu ra d e u n estu d ian te, etc.
10 2
Po b laci ac ió n Pob secund ari aria M uest ue stra
TRILCE
ETAPAS ETAPAS D EL ESTUDIO ES TUDIO ESTAD ESTAD ÍSTICO : I . R EC E C OP O P IL I L A C IÓ IÓ N :
E sto se real ea liza m ed ian te en cuest cue stas y cuest cu estio n ario s. C u an d o se estu d ia to d a la po p o b lació n , se de no m ina censo censo y cuan d o se real realiza sob re u n subconj ub conjunt un to de la m ism a, se deno d eno m ina m uestreo.
I I . C L A SI S I F IC IC A C I Ó N :
C uan do la canti cantidad da d de dat da tos es gran gran d e, con con vien e clasificar ca rlo s y pa p ara sim p lificar ca rsu est e stu d io. E sta clasificaci cació n d eb e real rea lizarse teni en iend en d o en cuen cu ent ta la final na lid ad d el estud io y en m ucho uch o s casos casos depe d epend nd erá erá d el criterio d el p ro fesio n al q u e ha h ace di d icho ch o an álisis.
A con tin uaci ua ció n , se presen present tan las edad ed ad es d e un grup grup o d e 20 personas. 2 ; 3 ;5 ; 6 ;1 0 ;12 ;1 2 ; 14 ; 16 ; 16 ; 16 ;1 8; 21 ; 22 ; 2 3 ; 2 4 ; 2 5 ; 2 7 ; 2 9 ; 32 Tamaño de la muestra (n) : E s la can ca n tid ad to tal d e d ato ato s. n = 20
EJERCICIO :
D iscuta scuta en e n clase las vent ven tajas y d esven esve n tajas ajas d e agrup a grupar ar lo s dat da to s en in tervalo s de d e clase.
A ncho de clase ( w i ) :
clase. ase. S i to d o s lo s anch an cho o s d e clase so so n igu ales, se di d ice qu e el e lancho an cho d e clase es con co n stant an te y se pue p ued d e cal ca lcular de la sigui gu ient en te m an era : w =
[2 [7 [12 [17
In terval erva lo cerrad o cuyo cu yo s lím ites so so n el m enor y m ayor de los datos. datos. A = [2 ; 32]
E s la lo n gitu d d el alcan can ce, se calcula restand an d o el m eno en o r d ato ato d el m ayo r d ato. ato. R = 3 2 2 = 3 0
I ntervalo de clase ( I ) I i ) :
E s un in terva erval lo q u e se ob o b tiene en e
ald ivid irelalcance, can ce,p ara ara fo rm ar grupo up o s de m enor en or tam año. añ o. Po r ejem plo, d ivid am o s el alcance en 6 intervalos de clase del m ism o tam año. 2 ;7
;12 12 ;17 17 ;22
22 ;27
27 ;32
[22 [27
4 1 6 2 4 3
Marca Mar ca de clase ( x i ) :
E s un val va lo r q ue repr ep resenta a lo s d ato ato s d el in terva erval lo d e clase, se calcul cu la co m o la sem isum a d e lo s lím ites in ferio r y sup sup erio r del del in terval erva lo d e cl clase y est está ubi u bicado en el punt pu nto o m edio del m ism o. L
i
inf
L sup 2
Frecuencia absoluta simple ( f i ) : d ato ato s u o b servaci va cio n es en el cla se. Se cum ple que :
E s la can ca n tid ad d e
i- ésim o in tervalo d e
k f n i i1
K = 1 + 3,3 Log(n)
Frecuencia absoluta acumulada ( F i ) :
R egla de Joule : K n E jemplo jemplo :
7 12 17 22 27 32
Presentación Tabular :
Número de intervalos de clase (K):
R egla de S turges :
fi
S e pue p ued d en present presentar ar lo s d ato ato s en tab las d e fr frecuen ecu en cias o en e n gráficos. co s.
x
E s la can ca n tid ad d e in terval ervalo s de de clase en q u e se d ivid e el e l alcan ce, esto d epen ep en d e d e la ap licació n qu e tien e el e l estud io d e lo s d ato ato s. Po r ejem p lo, sise desea d esea con o cer la cant can tid ad d e alum no s apr ap ro bad ba d o s y des d esap apr ro bad ba d o s en el e lcolegio T R IL C E bas ba stará ará fo rm ar do d o s in tervalo s de clase. Observación : E xisten algun gu n as reglas que qu e se pue p ued d en to m ar com o referenci erencia par p ara a d eterm erm inar el núm nú m ero ero de in terval erva lo s de de clase.
Ii
I I I . P R E S E N TA TA C I Ó N :
32
2
R K
Tabla de distribución de frecuencias
A lcance lc ance ( A ) :
R ango o recorr recorr ido (R) :
E s la lo n gitu d d el in terval ervalo d e
Para n = 30
A p liqu em o s la regla d e S turges : K = 1 + 3,3 Log(30) Log(30) = 5,87 Q ue se se puede pu ede ap ro xim ar : K
6
E s la sum sum a
d e to to d as las frecuen ecu enci cias ab a b solu tas sim p les desd d esde e el e lp rim er in terval erva lo h asta el el i - ésim o in terva ervalo. Se cum ple : F
k
n
i
fj i
F
j1
10 3
Aritmética
Frecuencia relativa simple ( h i ): ) :
In d ica q u é p arte d el to tald e d ato ato s se en en cuen cu ent tran en e n el i - ésim o in terval erva lo. S e cal ca lcul cu la co m o elcoci co cient en te d e la fr frecuen ecu enci cia ab a b solu ta y el to tal d e d ato ato s. P a ra o b tener en er el tan to p o r cien to b a sta m u ltip licar car esta val va lo r po r 1 0 0 .
i
cant can tid ad d e p ro b lem as pr p ro p uest ue sto s par pa ra est e ste cap ítulo p o r lo s p ro fesor eso res de d e A ritm éti ética. ca. C ant anti idad de pr p roblem as 50
Se cum ple que : h
Por ejemplo : E lsigui gu ient en te d iagr ag ram a d e barr b arras as gr gráfi áfica la
40 30
k
f
hi 1
i
n
20
i1
10 0
Frecuencia relativa acumulada ( H ) H i ) :
p arte del d el to tal d e dat d ato o s se encue en cuen n tra n d esde esd e el p rim er in terval erva lo d e clase ha hasta el e li - ésim o in terval erva lo. S e cal ca lcul cu la com o el cocient en te de d e la fr frecuen ecu enci cia ab a b so luta uta acum a cum u lad a y eln ú m ero to tal d e dat d ato o s. Para P ara ob o b tener en er eltan to p o r cient en to b asta m u ltip licar car esta val v alo r p o r 1 0 0 . Se cum ple que : H
i
E jemplo jemplo :
F
i
i
H
n
hj i
H
j1
k
C és ésar ar L au
In d ica q ué
1
Javi Jav ier E rn esto Ja vier Javi C arran anz za C ham or orr ro S ilva
C ant anti idad de p roblem as
D iagr ama de sectores sectores :
E n u n d iagram agram a de d e este tipo, po , lo s 360 36 0 º de d e un círculo se rep repar art ten p ro po rcio nal na lm ent en te a las frecuen recu en cia s de d e lo s di d istin to s val va lo res d e la variab le. R esul esultan m uy adecua a decuado do s cuando cuan do hay po cos valo res, es, o b ien cuan cu an d o el car carácter que qu e se est estu d ia es cua cu alitativo. vo .
Cantidad de problemas
L a tab la co n lo s dat da to s del de lejem p lo an teri erio r,
es :
10
C és ésar ar L au
x i
f i
F i
hi
H i
2 ;7
4,5 4, 5
4
4
0 ,2 0
0 ,20
7 ;12
9,5 9, 5
1
5
0 ,0 5
0 ,25
E rnes nest to C ham or orr ro
12 ; 17
1 4 ,5
6
11
0 ,3 0
0 ,55
Jav Ja vier Si Silva
17 ; 22
1 9 ,5
2
13
0 ,1 0
0 ,65
22 ; 27
2 4 ,5
4
17
0 ,2 0
0 ,85
27 ; 32
9,5 9, 5
3
20
0 ,1 5
1 ,00
Intervalo
Presentación Gráfica L o s gráficos co s so n m u y ut u tilizado zad o s por po r lo s p erio d istas par pa ra p resent esen tar d ato ato s en la televisi evisió n y p erió d icos, co s, son d e u tilid a d p ara lo s m éd icos, co s, in gen ge n ieros, ad m in istrad o res, econ eco n o m istas, p sicól có lo go s, p ro fesor eso res, etc. ya q u e p erm ite o bservar elcom po rtam iento ento d e una u na m uestra con co n respect respecto a al a lgu n a car característica, ca , d e un u n so lo vistazo. A lguno gu no s d e lo s gráf gráficos m ás usado s so n : D iagram agram a de de b arras, h isto gram as, p irám id es de p o b lació n , p o lígo n o s d e frecuen ecu enci cias, d iagr ag ram a d e secto res, p icto gram as.
D i agrama agrama de de barr barr as E n este ti tip o d e gr g ráfica, ca, sob sob re lo s val va lo res d e las var va riab les se levan ev an tan b arras estrechas ech as d e lo n gitu d es pr p ro p o rcio n ales a la s frecu en cia s co rrespo esp o n d ien te s. S e utilizan p a ra rep resent resen tar var va riab les cu cu an titativa s di d iscretas.
40
20
30
H istograma istogramas :
L o s hist histo gram as se ut u tilizan p ara
repr ep resentar esentar tab las de d e fr frecuen ecu enci cias con co n d ato ato s agru agru pad pa d o s en in terval erva lo s. S i lo s in tervaerva -lo s son so n to d o s igu ales, cad ca d a u n o d e ello s es la base b ase de d e un u n rectán gul gu lo cuya cuy a al a ltu ra es es p ro p o r-cio n a l a la frecuen ecu enci cia cor co rrespo n d ien te.
Políg ono de frecue frecuencias ncias :
S ise unen u nen lo s punt pu nto o s m edi ed io s d e la b a se superi sup erio r d e lo s rectán ectán gu lo s, se ob o b tiene en e el el po lígon go n o d e frecuen ecu enci cias. i
12 10 7
Po lígo no frecu en cias
5 4 2 0
10 4
Javi Jav ier C arra nza
5
10 15
rval lo s 20 25 30 In terva
TRILCE
O bserva bservación ción :
E l área d e la superf sup erficie lim itad a p o r el p o lígo n o d e frecu enci en cias y el e l eje h o rizon zon tal es igual gu al a la sum a d e las áreas áreas de lo s rectán gul gu lo s qu e fo rm an el his histo gram gram a.
Para datos agrupados : n F 2 m e1 M e L inf w fm e
D iagrama iagrama Escalona Escalonado : ( H istogr ama de fr ec uenc ue nc i as ac umul um ul adas ) S i se rep rep resen tan las frecuenci ecuen cias acum uladas ad as de un a tabl ab la d e d ato s agrup ad o s, se ob tiene en e el e l h isto gram gram a d e fr frecuenci ecue ncias acum acu m ulad as.
1 H m e1 2 M e L inf w hm e
Oj iva :
S e o b tiene en e al a lu n ir lo s extrem o s su su p erio res de d e las b arras d e u n h isto gram gram a d e f fr recu en cias ab solu tas acum uladas.
F i
Donde :
40 38
L
inf
: L ím ite in ferio r d e la clase m ed ian a.
w : A ncho d e clase ase
28
F
m e 1
: Frecuen Frecue n cia ab a b solu ta a cum u lad a d e la clase
an terio r a la clase m ed ian a.
O jiva 16
f
Frecuen enci cia ab a b solu ta sim p le de d e la clase m ed ian a. m e : Frecu
11
Moda Mo da : Para datos no agrupados :
4 0
5
10 15
rval los 20 25 30 In terva
I V. V. D E S C R I P C I Ó N : L a d escripció n d e lo s da d ato s se se real ea lizará zará
E s el valo r qu e ap a p arece arece con m ás frecuen cia. S i so n do d o s lo s nú m ero ero s qu e se se rep iten con co n la m ism a fr frecuen ecu en cia, el con co n ju n to tiene en e d o s m od as y se se d eno m ina bim o d al. O tros conjun conjun tos no tienen m od a.
m edi ed iant an te las m edi ed id as de d e tend en d enci en cia cen tral.
Medi a : Para datos no agrupados :
Ejemplo : E s la m edi ed ia aritm ética d e
L a m od a para para los datos : 3 ; 4 ; 6 ; 6 ; 6 ; 7 ; 1 0 ; 2 1 es 6
lo s dat da to s.
Para datos agrupados :
Para datos agrupados :
Mo
k
x
i1
fx
i i
n
k
x
1 L inf w 1 2
x ih i i1
Donde : L
Medi ana : Para datos datos no agr upados upados :
L a m ediana es aqu éldat da to q u e o cupa cup a la po sició n cent cen tral, cuan cua n d o lo s da to s est están o rd enad en ad o s y sila cant can tid ad d e dat d ato o s es par la m edi ed iana an a es el p ro m edi ed io d e lo s do d o s dat da to s centr centrales.
Ejemplos : L a m ed ian a d e lo s dat da to s :2 ;3 ;4 ;5 ;5 ;6 ;8 ,9 ;2 0 ;2 4 ; 25 es 6
inf
: L ím ite in ferio r d e la clase m o d al.
w : A ncho d e clase ase
1 fm o fm o 1 2 fm o fm o 1 f
mo
: frecuen ecu enci cia ab a b solu ta sim p le d e la clase m o d al.
f
m o 1
: frecuen ecu enci cia ab sol solu ta sim p le d e la clase p o sterio r
a la clase m o d al. f
m o 1
: frecu enci en cia ab sol solu ta sim p le d e la clase an a n terio r a
la clase m o d al. L a m edi ed iana an a p ara ara lo s dato dato s : 4 ; 5 ; 12 ; 20 ; 10 0 ; 13 2 es es la m edi ed ia ari aritm ética de d e 12 1 2 y 20 2 0 q ue so n lo s dos do s térm érm ino s cent cen trales, es deci de cir la m ed ian a es 1 6 .
10 5
Aritmética
E J E R C I C I O S P R O P U E S TO TO S E N U NC NC I A D O : S e ana a nal lizan las no tas de d e 20 2 0 al a lum no s en el e lcurso curso de d e A ritm ética reco giénd én d o se lo s sigui gu ient en tes d ato s : 3 , 4 , 8 , 2 ,11 , 7 , 10 , 12 , 16 , 15 7 , 11 , 10 , 6 , 9 , 9 , 10 , 13 , 13 , 14
a) 9 5 d ) 100
b) 9 7 e) 1 2 0
c) 9 8
0 7 . E lsigui gu ient en te pi p icto gram gram a m uest ue stra las preferen erenci cias d de e 880 8 80 estud iant an tes so so bre lo s cu cu rso s de M atem atem áti ática (A (A , X , G , T ) y cienci en cias (F y Q ). C alcule : (a+ b 3c + d)
01 . ¿C uánt uá nto o s est estud iant an tes apro apro ba ro n el curs curso según lo s d a to s or o rigin ales? a) 4 d) 0
b) 6 e) 1 2
G
X
c) 8
a % 2 c% 60º
02 .C alcular la m o d a p ara ara lo s dat da to s si sin agr ag rup ar: a) 1 d ) 16
b ) 10 e) 1 3
dº T
c) 1 2
b ) 1 0 ,2 e) 1 2 ,7
F
0 4 . C alcular la m edi ed iana an a par p ara a lo s d ato s sin agr a grup up ar : a) 9 ,5 d ) 10
b ) 9 ,8 e) 1 0 ,5
Q a) 1 4 0 d ) 110
c) 9 ,5
b) 1 1 6 e) 9 8
c) 1 0 4
0 8 . S ise tiene en e la sigui gu ient en te di d istrib u ció n d e frecuen ecu enci cias sob re las estaturas aturas (en m etro s) d e un u n gr g ru po d e 50 5 0 jó venes. ven es.
c) 9 In terva erval lo d e C lase
0 5 . D e la sigui gu ient en te ta b la d e d istrib ució ució n d e frecuen ecu en cias,
fi
Hi
5
0 ,9 6
1 ,5 5 ; 1 1, ,6 0
cal ca lcul cu lar : f f n 2
bº 30º
0 3 . C alcular la m edi ed ia par p ara a d ato s sin agr a grup up ar : a) 1 0 ,5 d ) 1 9 ,8
A
a%
1 ,6 0 ; 1, 1,6 65
1
1 ,6 5 ; 1, 1,7 70 1 ,7 0 ; 1 1, ,7 5 C lases
f
h
i
[10 , 20
F
i
i
H
1 ,7 5 ; 1 1, ,8 0
i
0,1
[20 , 30 [30 , 40
D eterm erm ina r qu é po rcentaj centaje d e jó venes ven es pos po seen un a est estatura ura no m enor de 1,70m . S i se sabe que q ue :
0,3
[40 , 50
25
[50 , 60
20
0,8
h
a) 1 0 2 d ) 10 5
b ) 1 03 e) 1 0 6
3
a) 1 2 % d ) 20 %
4
I
i
h5
y
h
f
i
[10 , 20
F
i
h
i
H
i
0,1
b) 1 4% e) 2 4 %
10 6
h4
c) 1 8 %
0 9 . E lp ro fesor eso r L au tiene en e 6 h ijo s,d e lo s cua cu ales 3 son so n tr trillizos y 2 m ellizo s. S i al calcular la m edi ed ia, m edi ed iana an a y m o d a d e estas estas ed ad es resul result taron 1 0 ; 11 y 1 2 respect espe ctivam va m ent en te. H alle la di d iferen erenci cia ent en tre la m áxi áx im a y m ín im a ed ad .
[20 , 30 [30 , 40
24
[40 , 50
30
[50 , 60
2
c) 1 0 4
0 6 . D ad a la sigui gu ient en te d istribu ció n d e frecuen ecu enci cia. H allar : f f F 1
1
0,3 0, 3 0,85
a) 1 0 d) 7
b) 6 e) 9
c) 8
TRILCE
1 0 . D e la sigui gu ient en te di d istrib u ció n d e frecuen ecu enci cias de d e las no tas d e 25 alum no s se se pi p id e com pletar etar el tabl ab lero ero con un ancho an cho d e clase const co nstant an te igual gu al a 2 y f4 f5
es d de e 56 5 6 m illo n es d de e sol so les, q u e la am a m p litu d d e lo s in terva erval lo s es de d e 8 m illo n es de d e sol so les, qu e las fr frecuen ecu en cias ab a b solu tas cor co rrespo esp o n d ien tes a lo s in terval ervalo s so n :
.
1 ; 16 ; 21 ; 9 ;8 ; 3 ; 2 Ii
Fi
fi
x ifi
13 . ¿Q ué porc p orcent entaj aje de com co m pañí pa ñías inviert erten 24 2 4 m illon es com o m ínim o?
15 [ 6 ,
20 14 25
S i la m ínim nim a no n o ta aprob a probat ato o ria es 10. 10 . ¿Q ué tan tant to po r ciento ento d e lo s alum no s d esap esapr ro bar ba ro n?
a) 38 2 % 3 1 c) 38 % 3 e) 32 6 % 3
b) 78 2 % 3 d) 36 2 % 3
1 4 . H allar la in vers versió n m ás frecuent ecue nte. e. a) 7 2 % d ) 78%
b) 7 5% e) 8 0 %
c) 7 6 % a) 1 8 ,3 5 d ) 2 0 ,5
11 . C o m plet pletar ar la sigu ien te tab tab la d e d istribu ció n d e frecuen ecu enci cia s sobr sob re la can ca n tid ad d e per p ers so n as aten atend d id as po r lo s em plead o s d e un u n ban b anco co d uran urant te 1 d ía e ind icar q ué tant an to po r cient en to d el to tal d e em e m p lead ea d o s atiend en d en de 2 0 a 33 pers person as. as.
b ) 20 e) 1 8
c) 1 8 ,5
1 5 . H allar la inver nve rsió n pr p ro m edi ed io en so les : a) 2 0 ,4 d ) 2 0 ,5
b ) 2 3 ,5 3 e) 2 3 ,2
c) 2 4 ,5
1 6 . H allar la m edi ed iana an a d e lo s dat da to s clasificado cad o s (en m illo nes) ne s) d e las co co m pañí pa ñías.
C anti antidad d e
f
h
p er ers so n as aten end d id as i
i
[12 , 18
H
i
0 ,1 0 0,30
[
, 24
[
, 30
42
[
, 36
18
a) 2 0 ,5 d ) 1 8, 8,3 5
b ) 2 0 ,9 5 e) 2 2, 2,3 5
c) 2 3 ,5 3
17 . Ind icar el va lo r d e v erd erd ad d e l las as sigu ien tes prop o sicio nes ne s : I. L a m o d a sólo se calcula par p ara a d ato s d iscreto s. II. E lárea d el h isto gram a es e s igual gu al al área d el p o lígo n o
a) 7 0 % d ) 74%
b) 7 2% e) 7 5 %
d e frecuen ecu enci cias.
c) 7 3 %
III. L a o jiva es un u n a curva trazad a a p artir del de lh isto gram gram a d e fr frecuen ecu enci cia ab solu ta.
1 2 . L a sigui gu ient en te tab la no n o s m u estra lo s in terva erval lo s d e clase y la frecu enci en cia relativa d e u n a ta ta b la d e d istrib u ció n d e frecuencias del d el núm nú m ero ero de pant pa ntal alo nes qu e p ro d ucen lo s em plead o s en u na fábr áb rica.
a) F V F d) V FF
b) F F F e) V V F
c) F F V
1 8 . S e tiene en e la sigui gu ient en te tab la d e frecuen ecu enci cias in com co m p leta :
C alcular que qu e tan tan to p o r ciento ento d e p ers erso nas na s pro pro d ucen d e 5 a 8 pant pa ntal alo nes.
I
5 7 ,
h
2k
i i
7 ,9
9 , 12
k+ 0 ,0 2
0 ,0 8
12 ,15 3 k 2
N otas
hi
[ 0 , 4
0 ,18
[4 , 8
b) 7 1 e) 5 1
c) 7 3
0,12 0,91
[16 , 20
ENUNCIADO
H alle la n o ta prom edi ed io.
(Para ejercicios del 613 al 616)
a) M ayor ayor que 10 c) M en or or q ue ue 7 e) 7 7, ,8
S e clasificó la inv inver ersi sió n d e un u n gru gru po d e com co m p añí añ ías m in eras eras en un a tabl ab la de d e frecuenci ecue ncias. Se sabe ab e que q ue la m áxim áxim a in versi versió n
0 ,4 4
[8 , 12 [12 , 16
a) 6 9 d ) 75
Hi
b) 9,8 d ) 8 ,7 2
10 7
Aritmética
1 9 . E n la sigui gu ient en te tabl ab la, se m ues ue stra la can ca n tid ad d e d in ero ero
2 2 . E lsigui gu ient en te gr g ráfi áfico m u estra las pr p referen erenci cias d e un u n grup grup o
qu e gas ga stan sem an alm en te lo s alum no s d el colegio
d e N alum no s so bre bre los curs curso s: M atem atem áti ática (M (M );
TR ILC E.
E stad ística (E ), F ísica (F ) y D ib u jo (D ).
H alle la m edi ed iana. an a.
D eterm erm in ar cu cu ánt án to s prefieren eren M atem atem áti ática si lo s qu e p refieren E stad ística son so n 1 0 0 p erso erson n as.
N º de soles N º de alum nos [ 0 , 20
400
[20 , 40
300
[40 , 60
250
[60 , 80
150
[80 10 , 0
a) 31,6 d ) 4 0 ,3
b ) 3 2 ,3 e) 3 8 ,6
E
6nº
M
5nº 72º
50
a) 1 4 0 d ) 150
c) 3 3 ,3
20 . D e la sigu ien te tab tab la d e frecu en cias, calcu calcul le qu qué po rcentaj centaje de d e per pe rso nas na s tiene po r lo m eno en o s 20 año añ o s,
b) 1 2 0 e) 1 3 0
c) 1 8 0
2 3 . D e la sigui gu ient en te di d istrib u ció n d e frecuen ecu enci cias:
sabiend abiend o que qu e hay h ay tantas antas pers person as de p or lo m eno s 25 m enos 30 añ os, os, pero m enos de 40 años. x i
f
i
i
H
i
3K
[15 20 , [20 25 ,
F
5K 5K
[25 30 , [30 40 , [40 45 ,
a) 5 5 ,5 % d ) 8 8, 8,8 %
b ) 6 6 ,6 % e) 4 4, 4,4 %
14K K
4
280 ; 3 20
16
320 ; 3 80 380 ; 5 40
36 88
540 ; 60 0
40
600 ;1000
16
D eterm erm inar na r la d iferen erenci cia ent en tre la m edi ed ia y la m edi ed iana an a m ues ue stral. a) 1 2 ,2 d ) 1 8 ,2
b ) 1 5 ,2 e) 2 0 ,2
c) 1 2
2 4 . S i el sigui gu ient en te cuad cu ad ro d e d istrib u ció n es si sim étrica y tiene un u n ancho a ncho de clase com com ún. ún .
in terval erva lo s de de clase cuya cu yas s frecu ecu en cias relativas va s son son :
2k 2k k 2 3 k k 1 ; ; ; ; 5 5 5 5 5
D eter eterm m in ar lo s val va lo res de k q u e h aga n cier ciert to el enun en un ciad o an teri erio r. a) k R b) k R
x /x 0 ; 2 3 1 d) k R x /x ; 3 2 e) k R x /x ; 0 2 ; 3
Ii
fi
[20 ,
12
Fi
[ 36 ,
respect espe ctivam va m ent en te".
10 8
200 ; 2 80
c) 7 7 ,7 %
2 1 . "S e tiene en e u n a d istrib u ció n d e fr frecuen ecu en cias con cin co
c) k R
fi
N otas
año s y m enos de 30 a ños com com o p ersona s de p or lo
I i [ 5 ,15
F
D
[
,
[
,
[
,
hi 0 ,15
]
60
C alcule la m od a. a) 4 0 d ) 49
b) 4 5 e) 5 0
c) 4 6
2 5 . E l sigui gu ient en te cuad cua d ro m ues ue stra la o jiva d e las frecuenci ecue ncias relati ativas acum ulad as de las no tas de un exam en de ingreso ngreso a la U .N .M .S .M . D eterm erm inar na r q ué tant an to p o r cient en to d e alum n o s tuvi uv iero ero n un a no n o ta ent en tre 9 y 1 5.
TRILCE
H i% 100 95 65 50 30 4
8
10
a) 3 2 ,2 5 %
b ) 3 3 ,2 5% 5%
d) 33,75%
e) 32,75%
16 20
N ota
a) 2 5 d ) 65
c) 3 2, 2,5 0% 0%
Edad
n
[10 14
5
[14 18
10
[18 22
20
[22 26
25
[26 30
15
[30 34
5
b ) 50 e) 4 5
c) 3 0
29 . C o m p letar etar el sigu ien te cua d ro d e d istrib ució n d e frecuenci ecuen cias d e las no tas de 16 alum no s en u n exam exa m en d e M atem ática I.
26 . C o m plet plete e el sigu ien te cua d ro d e d istribu ció n d e frecuen ecu enci cias, si tiene en e an a n cho d e clase com co m ú n .
Ii
Xi
30 ; 50
b
; c
fi a
Hi
hi 0,20
20 0,90
;
d
;
hi
fi
[3 , 6
4
q
[6 , 9
m
[9 , 12
4
0,25 p
[12 , 15
n
0,12 0, 12 5
[15 ,18
Q
0,12 0, 12 5
To tales
Fi
Hi
N o tas (I) i
a d
b
50
Total
C alcular : (a + b + d) C alcule elvalor de la M ediana m ás la sum a d e (a (a + b + c + d) a) 2 0 1, 1,5 0
b ) 2 02 02 ,2 0
d) 205,10
e) 206,50
c) 2 03 03 ,6 0
a) 1 5 d ) 1 4 ,5
b ) 1 1 ,5 e) 1 6 ,5
c) 1 7 ,5
3 0 . D e la sigui gu ient en te di d istrib u ció n d e frecuen ecu enci cias:
27 . E n un a prueba prueba d e A ptitud A cadém ica se se evaluó a
n
In terva erval lo d e Ing ngr res eso o m en ens sual
fi
Hi
;
1/K
K
estu d ian tes y las no tas ob ob teni en id as se clasificar caro n en u n a tab la de d e di d istrib u ció n d e frecuen ecu enci cias com co m o se m u estra a
800
; 1100
2/K
con tin uaci ua ció n :
1100 ; 1400
9/K
1400 ; 1700
3/K
55
65
75
3K K Frec ecu u en cia relativa 100 50
2K 25
3K K 50 100
M ar arca ca de d e clas ase e
45
85
¿Q ué po rcentaje d e estud iantes antes obt ob tuvo una un a n ota ota m eno r que qu e 60 p unt un tos o m ayor ayo r igual que qu e 80 p unt un to s? a) 7 0 %
b) 2 5%
d ) 15%
e) 3 0 %
c) 2 0 %
2 8 . E n la sigui gu ient en te tab tab la d e fr frecuen ecu enci cias,se reg regi istra el e ln ú m ero de pers person as po r rango de ed ad. ad . ¿C uán tas pers person as son m ayor ayo res a 21 año s?
C alcul cu lar : ¿cuán ¿cuá n tas per pe rsonas son as gan ga n an ent en tre S /. 8 4 0 y S /. 1480 14 80 m ensual ensua les, ad em ás deter determ m inar na r el valo r d e F ? 4
a) 1 3 5 ; 2 2 5 c) 1 7 3 ; 2 2 5 e) 13 5 ; 25 0
b) 60 ; 2 25 d ) 12 0 ; 2 25
31 . U san d o lo lo s d ato ato s d e la tab tab la, qu e rep rep resenta esenta las velo cid ad es registrad as po r 3 0 au a u to s qu e pasar p asaro on p or un m ism o punt pu nto o de contr contro l de velocidad. da d. Ii
10 ,26
26 ,42
42 ,58
58 ,74
74 ,90
90 ,106
fi
4
12
7
4
2
1
D avid calculó la m edi ed ia ar a rm ó n ica y obt o btuv uvo o : (apr ap ro x.) a) 3 5 d ) 39
b ) 33 e) 3 1
c) 3 7
10 9
Aritmética
32 . D el siguiente cuadr cuad ro :
C lase
3 5 . D ad o el e l sigui gu ient en te histo gram gram a de d e frecuen ecue n cias absol abso lu tas:
fi
Fi
hi
5
0 ,20
fi
Hi
30 [20 30 , [ ,40 30 [40 ,50
25 0 ,4 4
20
8
15
[50 ,60
10
C alcule la d iferen erenci cia ent en tre la m edi ed iana an a y la m o d a. 50 100 150 200 250 300
a) 3
b ) 3 ,5
d ) 3 ,1 25 25
e) 3 ,6 25 25
Ii
c) 3 ,5 2 C alcular el n úm ero ero d e dat d ato o s q ue se encuen en cuen tran ent en tre 75 y 125 y sum sum ar con el núm ero ero d e datos datos que se se
3 3 . L a sigui gu ient en te tab tabl la no n o s m uest ue stra la d istribu ció n d e sueld o s
encuen en cuent tran entr entre 16 0 y 260 2 60 .
de una em pres presa. a. H allar |a b|, b| , si se sabe ab e que q ue el sueld o p ro m edi ed io d e
a) 8 8
b) 4 8
lo s trab ajad o res de la em p resa es S/ S /. 5 8 0 .
d ) 68
e) 7 8
c) 5 8
3 6 . S e real realizó una un a encu e ncues est ta d e las pref preferenci erencias de un grup grup o
S ueldo
Frecuen Frecu enci cia R elat ati iva
300 ; 50 0
a
500 ; 70 0
b
700 90 ; 0
0,2 0, 2
d e per p ers so n as so so b re 3 bebi be bid d as gaseosas gaseo sas x, y,z y se se o btuv btuvo o el sigui gu ient en te d iagr ag ram a: x
z a
c
a) 0
b ) 0 ,2
d ) 0 ,4
e) 0 ,6
c) 0 ,3 b y
3 4 . L a tab tab la m u estra la d istrib ució n d el in greso greso fa m iliar cor co rrespo n d ient en te a 8 0 fam ilias. F
i
D o nd e : a, b y c repres represent entan an nú m ero ero s d e perso nas na s y
frecuen ecue n cia ab solu ta acum a cum u lad a.
están relacio n ad o s de la m an era era sigui gu ient en te :
210 21 0 a 210 21 0 a
f fr frecuen ecu enci cia ab solu ta sim p le. i
h
i
frecuen ecu enci cia rel relativa sim p le en tan to p o r u n o.
24 0 b 150 15 0 c 240 K 240 24 0 b 150 15 0 c
S abi ab iend o q ue : K es ent en tero ero y a , b y c lo s m eno res ent en tero ero s posi po sitivo s (K > 0 ).
In terva erval lo de In greso
In d iq u e q u é tan tan to p o r cient en to d el to tal, tiene en e la b ebi eb id a fi
Fi
48
60
hi
gaseosa d e m ayo r pref preferenci erencia.
[160 ,170 [170 ,180 [180 ,190
0,12 0, 12 5
[190 ,200
0,07 0, 07 5
[200 ,210
b ) 76 e) 5 4
b) 6 0%
d ) 55 %
e) 6 5 %
c) 4 0 %
37 . E n un saló n d e la A cadem ia "T "T R IL C E ", se tiene lo s siguient guientes es dat da to s del peso d e un u n grup grup o d e al a lum no s :
D eterm erm inar el núm nú m ero ero de fam ilias que gan an m eno s de 200 20 0 n uevo s soles. es. a) 6 6 d ) 50
a) 2 0 %
c) 7 0
Peso Peso m ínim o : 25 kg Peso Peso m áxim o : 75 kg H
4
0,92 ; f4 6 ; n = 50 ; h1 h 5 y h 2 h 4
C alcular la m edi ed iana. an a. D ar com o res respu pues est ta la sum sum a de d e la m ediana y elnúm nú m ero de alum nos cuyo cuyo p eso eso es m enor que 65 .
11 0
TRILCE
a) 4 8 d ) 96
b) 4 6 e) 9 0
c) 4 4
% 16%
3 8 . L o s si siguient guientes es dat da to s represen epresent tan el sueld o m ensual en
15 %
d ó lares ares d e 18 1 8 tr trabaj ab ajad o res de la A cadem cad em ia "T "T R IL C E " : 40 0 ;45 0 ;43 5 ;38 0 ;420 42 0 ; 430 43 0 ; 328 32 8 ; 35 0 ; 41 0 ; 40 0
13% 12%
12%
10 %
; 43 0 ; 42 0 ; 45 0 ; 42 0 ; 39 5 ; 415 41 5 ; 400 40 0 ; 420. 42 0. S i p o r "Fiest "Fiesta a s Pat Pa tria s" cad ca d a tr tra b ajad ajad o r recib ecib e un un
1999 2000 2001 2002 2003 2004
aum au m ent en to d el21 % en lo s sueld o s m ás una b o nificació n d e $25 $ 25 y a la vez v ez este aum a um ento ento está af a fectad o po r un im pues pu est to d el 2,8% 2,8% . ¿C u ál es el n u evo ev o coef co eficient en te d e vari v ariab ilid ad ? a ) 0 ,0 0 73 73 2 b ) 0 ,3 21 21 d) 0,0732
a) 1 ,4 1 d ) 2 ,5 0
b ) 1 ,9 2 e) 2 ,2 0
c) 0 ,0 0 32 32
39 . R e co n stru ir la sigu ien te d istrib u ció n sim étr étrica y d eterm erm inar na r la m edi ed ia y la m edi ed iana an a m uestral.
[10 , 12
fi
Fi
7
Hi 0 ,14
c) 1 ,9 3
4 2 . D eterm erm ine la vari v arianz an za d e lo s sigui gu ient en tes dat da to s :
e) 0,3274
Ii
A ño
xi
fi
2
10
4
20
7
30
9
20
a) 4
b) 5
c) 2 ,2 5
d ) 2 ,3 68 68
e) 5 ,6 09 09
0,24
[12 , 14 [14 , 16
4 3 . S e tiene en e el sigui gu ient en te cuad cu ad ro estad ístico referen erent te a las
[16 , 18
edad es de abc personas.
[1 8 , 2 0
a) 1 5 ; 1 5 c) 1 5 ; 1 5 ,5
Ii
b) 14 ; 1 5 d ) 1 4 ; 1 5 ,5
fi
15 ; 25
ab
25 ; 35
bc ca
40 . E n el sigui gu iente ente cua d ro m uestra la frecuen cia d e las
35 ; 45 45 ; 55
ac
ed ad es de u na m uestra d e gen te jo ven . C alcule el
55 ; 65
cb
tam año añ o d e la m u estra así com co m o la frecuen ecue n cia relati ativa
65 ; 75
ba
e) 14, 14 ,5 ; 1 5
d el in terval ervalo n úm ero ero 5 . S i se ob o b serva q u e to to d as las fr frecuen ecu enci cias ab a b solu tas son Frecue ncia Frecuenci a Frecuenci Frecuencia a Frecuen Frecu en cia Rel R elativa A bso bsol luta R elativa A cum ulada
núm nú m ero ero s pares pares. . C alcular cu cu ánt án tas per pe rsonas son as tienen en en ent en tre 30 3 0 y 60 6 0 año añ o s.
[0 , 4 [4 , 8 [8 , 12 [12 , 16 [1 6 , 20
a) E s un núm ero capi capicúa.
0,3 0, 3 20 30
0 ,85
b ) E s una un a canti cantidad da d cuadr cuad rada ad a per p erf fecta. c) Es m ayor ayor que 110.
a) 2 00 00 ; 0 ,2 0
b ) 3 00 00 ; 0 ,3 0
d ) H ay 2 respuest respuestas co co rrectas.
c) 2 00 00 ; 0 ,0 5
d ) 1 30 30 ; 0 ,1 5
e) H ay 3 respuest respuestas co co rrectas.
e) 1 8 0 ; 0 ,1 0
4 4 . D e la sigui gu ient en te oj o jiva, va , calcule la m edi ed ia y la m o d a. Fi
4 1 . E l grá grá fico m o strad o in d ica la var va riació n p o rcentu centu al d e cada cad a año a ño d el precio d el d ó lar (tipo d e cam b io ). S i al fin alizar el añ o 2 0 0 4 , el d ó lar se cot co tizará a S /. 3 ,6 5 . D eterm eterm in e la co tizació n al fin alizar el añ o 1 9 9 9 .
100 72 60 42 12 4 5 1 5 2 5 35 35 4 5 5 5 65 65
Ii
11 1
Aritmética
a) 39,7 ; 31,5
b) 39,7 ; 30
c) 4 1 ; 3 1 ,5
d ) 4 1 ; 3 0, 0,5
4 7 . S egún egú n el gráf gráfi ico sigui gu ient en te : (% )
e) 3 8 ; 3 0 45 . E n un u n club d epo ep o rtivo, se tienen en en las ed ad es d e lo s h in chas cha s di d istrib u id as segú seg ú n el sigu ien te h isto gram a d e
a+ 6
frecu en cias.
a+ 4 a 4
0
5a
8 12
16 20
Prom edio Prom d e las not n otas as
E n el cua l se m u estran las n o tas d el curso curso d e M AT E M Á TIC TIC A I de un grupo grupo de est estud iantes antes u n iversi versitario s, ¿qu é p o rcent cen taje ap a p ro b ó si el p ro m ed io aprob aprob atori orio es m ayor ayo r que qu e 10? 10 ?
4a 3a 2a a Edades n
r
a) 4 7 % d ) 52 %
b) 5 0% e) 5 1 %
c) 5 3 %
48 . D ad o el sigui gu iente ente his histo gram gram a, con an cho d e clase con co n stan te.
D on d e n y r son d os nú m eros, eros, cuya sum a, diferenci erencia y
fi
elprod u cto, están en la m ism a rel relació n qu e lo s núm ero ero s 30 ; 12 ; 18 9 respe respect ctivam ent en te. A dem ás : a
dc
nr 10
ea b
C alcule la ed ad p ro m ed io d e lo s h inch as, sabien sabiend do q u e la d istrib u ció n se realiza en e n in terval ervalo s de d e igual gu alan cho ch o d e clase.
a0
a) 2 1
b ) 17
d ) 23
e) 2 4
c) 1 9
46 . S i la m o d a de d e la variabl ab le aleato ria x es un n úm ero ero im p ar, ar, h allar la M .A .
xi
fi
3
10
4
12
5
1 8+ x
6 7
1 8+ y 4
8
8
9
15
10
10
Tot To tal
100
11 2
bc
bd
de
Ii
S eñale la sum sum a de d e la m od a y la m ediana. a) 1 4 7 d ) 150
b) 1 4 8 e) 1 5 0 ,7
c) 1 4 9 ,7 4
49 . D e u na d istribu ció n sim étr étrica d e an cho d e clase co n stan te, se o b tien e e l sigu ien te p o lígo n o d e frecuen ecu en cia. S e sabe sabe que qu e 6 A
1
el to tal d e d ato s es 54. 54 . 17 A 2 y el
A1 A2 Ii
S eñ a le la d iferenci eren cia en tre las fr frecu en cias d e la cla se m ediana y la clase ase m od al.
|x y| y| = 1 a) 5 d) 7
aa
b) 4 e) 6 ,3
c) 6
a) 7 d ) 15
b) 8 e) 6
c) 9
TRILCE
50 . E l área área de d e la regi regió n som bread breada a es igual a la sum sum a d e 2
to d as las áreas de lo s rectángu án gul lo s m eno en o s 45 u . H allar el m eno r valo r que qu e pued p ued a to m ar la m edi ed iana, an a, si adem ás : f
4
f2 18 y f1 6 fi f4
a) 7 4 0 0 d ) 8 10 0
b ) 6 00 0 e) 7 0 0 0
53 . Para Para est estim ar el peso peso prom prom edio edio d e los alum no s del C o legi eg io Trilce, "X A V " eligió u n a m u estra aleat ea to ria d e 1 0 0 alu m n o s; lo s pesos peso s obt ob teni en id o s se clasificaron en 5 inter nterval valos de ancho com ún, ún , luego Y IL D IR AY le ayudó ayu dó a d eterm erm in ar la o jiva cuya cuy a gráfica se rep repr resent esen ta según segú n la fu fu n ció n :
f3
3 x 45 v .x 5 a .x 30 F i(x) n .x 75 x 35
f2 f1 3
a) 5 ,1 2 d ) 7 ,1 2
4
5
6
7
b ) 7 ,0 8 e) 7 ,1 0
8
9
10
b ) f3
fi
1
4
; xI
5
h 2 x3
a) 9 d) 6
A5 n p (m + 2)n
Ii
b) 8 e) 5
c) 7
5 4 . S e elabo ab o ró el e l sigui gu ient en te his histo gram gram a con co n la in fo rm ació n que qu e se se obt o btuvo uvo d e las edades edad es de un grup grupo o de pers person as. as. fi
Se cum ple : A
3
; xI
D é com o respu respu est esta la sum a d e cifras del de lm ayo ay o r resultad o o bten bteni id o :
A2 A3 A4 7m
2
; xI
an
c) H 4
nm
1
; xI
av
a) x 2
5 1 . S egún egú n el siguiente ente histo gram gram a :
m n 20
;xI
D eterm erm inar na r :
c) 6 ,8 2
A1
c) 8 4 0 0
A2 A4 A5
Tam bién bién elárea área baj ba jo elpo lígono go no d e fr frecuenci ecue ncia es 3 A . 3
4(3x-1)
H alle la m edi ed iana. an a.
(3 v)v a) 2 2 d ) 25
b ) 2 2 ,5 e) 2 6
c) 2 3
a(4a) a(a+ 3)
52 . E n el siguiente histogram ogram a de d e ancho de clase ase com ún, ún , se m u estra lo s resultad o s de d e u na encuest en cuesta. S e pi p id e estim ar la cant can tid ad d e per p ers so nas na s qu e hay h ay en el in terval rvalo
2 b c ; 2e f , sila p o b lació n es de d e 90 9 000 3 3
personas.
N º de pers persona onas s 15n
x 2
x
(xx-1 1 )0 (v+ 3)a C alcule la varianza an za y la m edi ed iana. an a. D ar la sum a, (apr ap ro x.) a) 1 2 4 ,8 d ) 1 33 33 ,7
7n 4n 3n n S u eldo a
b
c
d
e
f
b ) 1 2 9 ,6 e) 1 35 35 ,4
xi
c) 1 3 1 ,4
5 5 . E n una u na em presa, se real realizó un censo a lo s trabaj ab ajad o res sob re sus su s año añ o s de servi servici cio, result esultan d o en tre 4 y 3 4 año añ o s. Y IL D IR A Y, un alum no Tri Trilce, se da d a cuen ta que q ue al al ha cer el h isto gram gram a las ba rras po seen ee n can ca n tid ad es de de trab ajad ajad o res que qu e fo rm an u n a pr p ro gresi gresió n ar a ritm éti ética cuya razón es 2, un a d e las bar ba rras pos po see u n área área d e 60 u
2
y la cantidad de intervalos es m ínim a, adem ás el
11 3
Aritmética
ancho an cho d e clase es con stant an te y po p o see 2 d iviso res. D eterm erm inar la m od a y la m ediana. ana . D é com co m o respu espu est esta la sum a d e ello s, si se sabe qu e :
U n alum no d istraíd o elabo ab o ra la m ism a tab tabl la, pero al al hacer ha cerl lo com co m ete el err erro r d e aum au m entar entar cada cad a dat d ato en 5 u n id ad es,sialelab o rar dicha dicha tab la o b serva q u e o b tiene: en e:
k
fi es m ínim o..
Ii
i1
10 ; 20
(k : n ú m ero ero d e in terva erval lo s) a) 5 1 ,3 b ) 3 5 ,6 0 c) 4 5 ,3 2 d ) 4 7, 7,3 0 e) 5 4, 4,2 1
20 ; 30 30 ; 40
56 . "X A V " ha elabo rado ad o una un a tabl ab la d e frecuencias con con las sigu ien tes ca caract racterísticas: ca s: *
A lcance : [2 ; 20]
*
Ancho Ancho de de clase : w = v + 2
*
N ú m ero d e d at ato s :
n *
F
f *
1
f
2
(v 3)a ; F 60 ; F5 3,3F3 3
7 ; ad em ás la d istribució n es sim étr étrica. ca. 8
C alcular la d esviació n stánd án d ar y la m o d a, sabiend en d o q ue: ue :
N
3 15 k y N (N ) 2 3 3 k 3 5 k 1
a) 3 ,7 5 y 13 13 c) 14, 14,08 y 13 13 e) 8 y 13
b ) 3 ,0 8 y 11 11 d) 2,83 y 11 11
57 . D ado ad o el siguiente conj con junt un to de dat da tos : 12 0 ; 11 5 ; 70 ; 50 ; 63 ; 12 0 ; 75 ; 10 3 ; 11 9; 11 7 ; 9 5 ; 8 9 ; 5 7 ; 7 3 ; 85 ; 98 ; 10 2 ; 1 05 ; 63 ; 65 . S ise or o rd enan en an en 7 in terva erval lo s de d e clase igual gu ales,se pi p id en: en : A . L a sum sum a del d el rango y el ancho de clase. ase. B . E l po rcentaje de d e dat da tos que qu e hay entre 50 y 90. 90 . a) 8 0 ; 7 0 % c) 7 0 ; 6 0 % e) 9 0 ; 50% 50 %
hi
20 ; 30
20
40 ; 50 50 ; 60 ]
11 4
Y con gran gran so rpres presa, a, o bserva q ue un a vez m ás las frecuen ecu enci cias se en e n cuen cue n tran en p ro gresi gresió n aritm ética. D eterm erm inar na r la sum a d e las do d o s m edi ed ias ari aritm éticas. b) 7 6 e) 8 6
c) 8 2
59. U na com pa ñía ñía ti tiene 1 00 tr trab ajad ajad o res entr entre n o m b rad o s, con co n tratad atad o s y practican tes. Pa ra lo s no m brad brad os, el sueldo m áxim o es de S/. S/. 70 00 y el m ínim o d e S/. S/. 2000 20 00 m ensuales. es. E l4% so n pr p racticantes cantes que qu e reci reciben pro pro pinas m eno res de S /. 800 80 0 y el 26% 26 % de lo s trabaj ab ajad o res son con tratad atad o s qu e p erci erciben be n habe ha ber res m ayor ayo res o igual que qu e S/ S /.800 80 0 per p ero o m eno res d e S/ S /.2000 20 00; ; 20 trabaj aba jador ad ores es nom brad brados os per p erciben hab eres eres m eno res q u e S /. 3 5 0 0 y el e l 8 0 % d el to tal d e trab ajad o res tienen en en h ab eres in ferio res a S /. 5 0 0 0 . C a lcul cu la r: i) ¿Q ué p o rcentaje de tr traba jador ad ores es ganan gan an d esd esd e S/ S /. 35 00 has ha sta S/ S /. 70 00 ? ii) ¿Q ué cantid ad de trabaj aba jador ad ores es ganan sueld os m eno res de S /. 35 00 ? a) 4 8 % ; 5 2 % c) 5 0 % , 5 0 % e) 48% , 51%
b) 4 9% ; 5 1% d ) 49 % , 5 0%
6 0 . E n u n cuad ro d e di d istribu ció n d e 4 inter nterval valo s de igual gua l
f 45 , h1 h 3 0,25 2 S ien to tal h ay 1 2 0 d ato ato s, calcular su m ed ia ar a ritm ética.
10 ; 20 30 ; 40
50 ; 60 ]
3
5 8 . S e tien e el sigui gu ient en te cuad cua d ro estad ístico, en el cual cu al las frecuen ecu enci cias ab solu tas fo rm an u n a p ro gresi gresió n aritm ética.
fi
0,24
an cho d e clase, se sab sab e q ue : x 12 , x 28 , 1
b ) 70 ; 50 % d ) 8 0 ; 5 0%
Ii
40 ; 50
a) 7 9 d ) 84
Lo gC A (N ) N 10 0 xav
2
hi
fi
0,24
a) 1 8 d ) 10
b) 2 2 e) 1 5
c) 1 2
TRILCE
Claves l ave ves s 0 1.
c
31. 3 1.
c
0 2.
b
32. 3 2.
d
0 3.
c
33. 3 3.
b
0 4.
d
34. 3 4.
b
0 5.
d
35. 3 5.
c
0 6.
e
36. 3 6.
c
0 7.
d
37. 3 7.
d
0 8.
b
38. 3 8.
d
0 9.
c
39. 3 9.
a
1 0.
a
4 0.
c
1 1.
d
4 1.
c
1 2.
e
4 2.
e
1 3.
d
4 3.
e
1 4.
a
4 4.
c
1 5.
e
4 5.
b
1 6.
b
4 6.
e
1 7.
c
4 7.
c
1 8.
d
4 8.
c
1 9.
a
4 9.
c
20. 2 0.
b
50. 5 0.
b
21. 2 1.
e
51. 5 1.
e
22. 2 2.
b
52. 5 2.
a
23. 2 3.
a
53. 5 3.
d
24. 2 4.
a
54. 5 4.
e
25. 2 5.
c
55. 5 5.
e
26. 2 6.
d
56. 5 6.
a
27. 2 7.
e
57. 5 7.
d
28. 2 8.
b
58. 5 8.
b
29. 2 9.
a
59. 5 9.
b
30. 3 0.
c
6 0.
b
11 5
