100problemaS

y la fterza sobreel hemisferioen contactocon el líquido es

k

f* k |

J*r'-dr:= R

De donde k : VoR,y el campo eléctricoes %R E:7,,

F, :

I nRzo? : I dF rcos? ;::L ¿O L |

(haciaabajo)

J

resultantesobre la esferatiende a La fuerzaeléctrica introducirlaen el líquido

Los vectoresdesplazamiento y las densidades de carga son: R e^V. Dr: eoVo,u:, o , : ( D,) ,:o.u,:1R D, : eoerVo,u,

-v

Análogamente

eoe,Vo or: (Dr),:p.u, ,R: -

F : F , - F t:

nR2(ol

a

\;

- ' í),\:

nt'oVl

- ;= G.- r )

La condiciónde equilibrio esque la sumade las fuerzaselectrostáticaF,pesoP y empujeE seaigual a cero:

La fuerzasobre cada hemisferiose obtiene a partir de la presiónelectrostática. Así sobreun elementode átea ds del hemisferiovacío. la fuerza es

F+P+E:0 es decir

dFr: ptds: { .oo

n'sen0d0dE

-Al

sumarlas fuerzaselementales, las componentes horizontalesse anulan y la fuerzaretultante es vertical: Rzoz f 2n

f'

r, : I dF,cos0: -;: | z ¿o J

Jo

_ nR2o? 1. Loo

(nt2

¿ , pI

s e n0 d 0 c o s 0 :

*,,,-

o 1)+ !,n'ao_lnR'6'o:

de donde se tiene

Jo

(haciaarriba)

rtz v o --

4R3g(6'- 26) 3eo(e"- 1)

59 100problemasde Electromagnetisml

Electrostática

\,

v\-------r'-.r-

no 3lmllamn

¿Ouécargadebe darsea una esferaconductorade radio R y densidadd para que se mantengasumergida hastala mitad en un líquidodieléctricode permitividadeléctricarelativae.y densidadó' (ó'> 26)?

l t:" -

nll2 2t,,

t!'!::

I

q2

l¡znnz¡ * r;.)12 12ftR2(l *

t_ l-

t:,)f2

q.-2

(¿. - 1) 8eonR2(1* e,)2

Solución Se resuelvedel mismo modo que el problema anterior. La única diferencia es que ahora hay que expresar las densidades de carga de los dos hemisferios o, y 02 en función de la carga q. Por conservación de la carga eléctrica (l )

o r2 n R 2 * o r2 nR 2:q

y su sentidoes tal que tiende a sumergirla esferaen el líquido.La condiciónde equilibrioesF * P + E : 0, es decir q- 2

21nR'6'o:0 ( e ,- 1 )+ | n n ' a o _

8eozR2(1+ e,)2

de donde se obtiene la carsa

s' :+ n2toRss*T@'- 26)

Como la componente tangencial del campo eléctrico se conserva en la superficiefrontera entre los dos medios, D t:D , 5

€o

60€,

rt

y por tanto ot _ o, to €o€"

(Z)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) se obtiene CI

o':ñFÍ+ü

oz:

Qt,

2nR2(l+ q)

La fuerzaeléctrica sobre la esfera,según vimos en el problemaanterior.es F :F r-F r:

* (:-"?)

60 100problemasde Electromagnetismo

Un sistemade tres conductoresestáformado por tres cilindroscoaxialesde longitud h. Los cilindros 1 y 3 de radiosR.,y R" (81< R3)constituyenun condensadorcilíndricoy el cilindro2 es un tubo de radios interior y exterior a y b, respectivamente (R.,< a < b <83). El cilindro 2 está conectadoa tierra y los cilindros 1 y 3 están conectados,respectivamente, a fuentes de potencialesV, y - V, Se desea calcular: .. a) La carga por unidad de longitud de cada uno de los cilindros,así como la energíapor unidad de longituddel sistemade los tres conductores. b) Si el cilindro2, manteniéndose coaxialconlos otros dos, se extrae del conjunto una distanciax, cafcúfeselafuerza que actúasobre é1. Se despreciael efecto de bordes.

61 Electrostática

)F-

l)cl nrisnlomoclosccalculanlascargasde la supcrficie inlcrnirclcltubo cilíndrico 'V, (f ,,:

''

1 -

tj v n _- .-

^2neoV,

A2i:

ZI | L I O Z|

''

''

In@lRr ) a

paraa
E:.0

parab(r{Rz

Er:2

I n( alRr \

t.

Solución a) La simetríadel problemaes cilíndrica,por lo que los camposvaríancon la distanciaal eje,r, de la forma E-llr parar
verificándose

v,

o+v,:f'bor:t,m\ ' b l" r

K.--

'

ln(R.lb)

E:0 el campo en esta región es I.

paraR,
Er--\

L.

Siendo

vt: -

fR,

- |

nrdr: k rln !

J"

a

t"(olR)';

0r - ¿ o h @l4

I

la densidad linealde carsadel cilindrointeriores _ ). :2 n R ,o .

62 100problemasde Electromagnetisml

2ntnV, : L ' ln(al R ,\

'

I nRt lb)

n

""" t--,

b

2neoV, -

ln( Rt lbl

I

y, por tanto, el campo enlazona Rr ( r < a y la densidad superficial de carga del cilindro interior son _ v 1 IVrl D-^_

-!

tn(Rrlb) r

soVt. 1 - ze

t--v 1 ^ t - l rq a ¡R r¡

-

'

Las cargasen la superficieexterior del tubo cilíndrico son

R1

se obtiene

',

v,

,:

r

La cargapor unidad de longitud delcilindro 2 es 1\ /1 Ár: ir.,* iro: 2reoV, h@l-)) \rrm;ay las cargasen la superficieinterna del cilindro de radio R,

' i:

-

toVt

1

t"(r-./d&

" : Lt

-

2neoV, h( NU

63 Electrostática I

l",ncucrgíapor unidadclclongituddcl sistcrnadc con' cluctorcs cs w, -

11V, ilrV,

-

: ZlrVt

;

(1' ^')

v? /t1 \ w : ; z" r" \,n 1 otn) .,r *r ^)

l,a f'ucrzasobrc la carga puntual 17cs la debidaal imágenes.Lasgglg$ @[; calnpocrcadopor las c¿Irgas gcres,situadasen el interiordel conductor,son las carjunto con la cargaq hacenque el potencialdel ffiu. En este caso,las cargasimágenes conductor sea cero... son q', e", Q"' q':--q

/tl\(v1+v)2 w: nt^v?f lth- *t+ nu, J - ' \/n(a/Rr) In(Rrlbl/ /r(R/&) "

F:-

'

-

d*

R

R2 b: -

q":

- 4, situada a una distancia -a del plano. q"': - - q': - q

I

Solución

situada a una distancia del centro de la esfera.-

y la fierza sobre el cilindro 2 es rt^4Vl

-/-''--.--.-/Y

Q,

b) La fuerzasobre el conductor 2 se calcula a partir del gradientede la energía.La energíadel sistemacuando el cilindro 2 se extraeuna distanciax es

dw

lP

R q

I

\ -/r-r-l _-^IlJ /n(R./R,) "oo" \1r1o7Rr¡' tn(Rrlb\)

situada a una distancia -b del centro de la esfera. La fuerua sobre la carga q es:

I

ffiffii#i Hi Una carga puntual q está situadafrente a un conductor unido a tierra. El conductortiene la forma que se muestraen la figura:una semiesferade radio R y el resto un plano indefinido.Hallarla fuerzasobre la carga q.

¡': '

I ot - l4tttol

"l

q. /

n q a _ _ (2a\2 ' / Rt\t

l a- - l a /

L \

q-

o . R'\'

l a+

\

Rl

, / ll

| I I

l

Su dirección es la de la recta qO y está dirigida hacia el conductor

Una esfera conductora de radio F,, está aisladay cargadacon una carga O. En el interiorde la esfera hay una cavidadesférica,no concéntrica,de radio R2 lR2< F.,),donde se coloca una carga puntual

100problemasde Electromagnetisml

Electrostática

q: OR a una distanciaa : R/2 del centrode la ca'vidad. Se pide: a) El potencialde la esferay su densidadsuperficial de carga. b) El valor del potencialy el campo en el centro de la cavidad.

qdlll.r,situadaa una dissicncf tr la clrga intagcn tal queu: Rrl2: n|l¿, tarrcia¿/clclcontrodc l¿rcavid¿rd sc ticnc d : 2R2y q' : - 2q, por tanto

uu:

2q 2q O 3nrnR,- 4n%Rr- 4.%rk:

1\ O ( | 3n%\o& - &/

Dado que la cargade la superficiedel conductorno crea calnpo en su interior, el campo eléctricoen O es sólo debido alas cargasq y q' qq'0 4ntoa2 4neodz 3neoRl 24neoRl

1Q 24tteoR)

que siendosu direcciónla de la rcctaqO y su sel{rtido.el vadeqaO.

Solución a) En la superficieinterior de la cavidad se induce vna carga - q y en la superficieexteriorde la esferahay una cargaQ + q.Como la esferaes equipotencial, esta cargaestarárepartidauniformementeen la superficieexterior, siendo su densidadde carga y su potencial

'

Q*q

O

Q+ q

v1

4neoR,

3neoR,

b) El potencial en el centro de la cavidad será el potencial de la esferamás la suma de los potenciales producidos por la cargaq y por la carga imagenq'

l\:V ,+

66 100problemasde Electronagnetismo

qq'

-

+

4neoa

4n4d

Una esferaconductorade radio F está conectada a tierra.Sobre un eje diametraly a ambos lados de fa esferase colocandos cargaspuntuales+ q Y - q, siendo sus distanciasal centro de la esferaiguales a I (l> F), calcúlense: 1. El momento p del dipolo que forman las cargas imágenesen el centro de la esfera. 2. El potencialVp que produce dicho dipolo en un punto P(r, 0l exterior a la esfera. 3. Si se hacentender a infinito ly q de modo tal que el cociente q/P se conserve constante,las cargas + q v - g, muy alejadas,produciránun campo uniforme Eoen la región donde está situada la esfera. ¿Cuáles el potencialtotal (el del dipolo más el del campo Eo)en el punto P(r,0l?

67 Electrostática

nrc cn di cha rcgir ln,cst á dir igido de q a - ¿l y su m ódul o cs

l'(t: 0\

ao2q rtolz

4renlz

-r-G

4neolz

que sustituido en (1), resulta Vo: Eo

Soluclón

R

R Y e'z

L

/ R3\ v : _Eor c os r l t_¡ /

respectivamente, situadasa la izquierday a la derecha del centro de la esfera,siendosusdistanciasa él b:

12

El potencial total en el punto P será la suma del potencial del dipolo y el potencial del campo Eo que, si se toma el origen de potenciales en el plano que pasa por el centro de la esfera,es Vo : - Eor cos 0. Por tanto

1, Las imágenes de las cargas +qy -qson

Ql:*e¡

R3 cos 0

R2

de una esfera que coincide con el potencial 0., ."-0" introduce en un campo uniforse la conductora cuando me Eo. (Véase problema 40.)

I

Por tanto, las cargasimágenesforman en el centro de la esferaun dipolo de momento

$rr f $ffi.Hffinffi$ u'

Un dipolo de momento dipolar p se colocaen el centro de una esferaconductorade radio R, unida a tierra.Hallar:

p : s+ za:q2# It' y sentidodirigido de q', a q'r.

a) El campo eléctricoen el interior de la esfera. b) La densidadsuperficialde carga en la superficie interna de la esfera.

2. El potencialdel dipolo en el punto P(r, 0) es

ve:'

pcos0

2qRrcos0

n%rr: i;V7

(1)

3. Si consideramoslas cargas +q y - 4 suficientementealejadas,el campo Eo que producenen la región donde estásituadala esferaouedeconsiderarseunifor-

68 | 0Aproblemasde Electromagnetismo

69 Electrostática

\

Y'\---r__-z-r_

Solución

l i s tc p l o b l c n ri l p fo s o n t¿lra si tLr¿rci rli nvcl n s¿ra l ¿rcl cl antcrior'. ¡rrrl[rlcnra a) lrl clipolo sc puc
-q ' -

R

L-_

a

^:

*^.

u

R2R

q ':-q;

DD

Teniendo en cuenta que si b --0, q'--+ cN))e --+oo, entonces las dos cargas imágenes * c1'crean en el interior de la esfera un campo en la dirección de p que se puede considerar uniforme, cuyo módulo es: 2q' _ 'o +nw'-

3pcos0

,

to E,) ,

R2

de donde se obtiene: a :,

l.a clousicl¿rd su¡rcr'licialclc carga cn la supcrficieinterna clc l¿rcslbracs:

2qb 4 r% R t

-

Una líneabifilarestáformadapor dos cablescilíndricos paralelosindefinidos,de radio R, separados una distanciaD (D >>F). La líneaestá situadaparalelamentea un plano conductorindefinidounido a tierra,a una distanciah (h>>R). Calcularla capacidad de la líneaen presenciadel plano conductor.

{x¡

p 4i r% R 3

El campo resultanteserá E : Eo * Eo, siendoE, el campo creadopor el dipolo. Suscomponentesradial y tangencialson E,:

Eocos0+

pcos0 ,2pcos0 4neor3 4"%N - 4"^¡

2p cos0

psen0 , psen0 4r%Rt - 4^¡

- E o : -E o se n0 -e f4 ;

Solución Suponiendolos hilos con cargas+ A y - 2, las cargas imágenesserán - )" y + A como seindicaen la figura.La capacidadpor unidad de longitud de la línea bifilar es

b) En la superficieinterior de la esferase trene E,),:a :

3pcos0 4neoR3

Eo)":^: 0

70 100problemasde Electromagnetisma

El potencialdel cablepositivo es la suma del producido por su propia cargay del creadopor las otras tres

71 Electrostática

r,*ll

carg¿ls Iincalmcntc distribuidas. Tomandocl origende potcncialcs cn cl plano unido a tierra,setiene v-:

,i H

)h^h In- - -ln2rcto R 2xeo D

iI

Ah^h ln_ + _ln_ 2neo"'" 2h 2rcen"' (D2+ 4h2¡ttz tl

*

,=

72Dh :_¡,,__:

2nto

:-

R (D' + 4h2)tt2

Solución

7DL 1..

2n4"'n * ¡1y ¡, 4h' / \

Se aplica el teorema de.reciprocidad

Tra'vi:Lq''v'

Análogamente se calcula el potencial del cable negativo, obteniéndose V -:

-V+

V la capacidad por unidad de longitud de la línea es

r -_L,-

'

irc

1

v , -v

frEo

D

ln

D2 \rt2

**) ^('

considerando las dos láminas y la carga como un sistema de tres conductores (la carga puntual un conductor esféricode radio despreciable),y teniendo en cuenta dos estados eléctricos del sistema: Primer estado lámina 1, potencial V, : 0, carga q1 lámina 2, polencial Vr: 0, carga q2 carga puntual 3, potencial Vr, carga %:

e

Segundoestado

Dos láminasconductorasde área S conectadasa tierraestánseparadasuna distanciad (d <<./Sl. e ntre las láminasy a una distanciaa de una de ellasse coloca una carga puntual g. Calcularla carga inducida en cada lámina.

72 100problemasde Electromagnet¡smo

lámina 1, potencial Vi, car5a e't lámina 2, potencial Vi, carga e', carga puntual 3, potencial V'r, carga 4'z: 0 Aplicando el teorema de reciprocidad, obtenemos e' tV t * e' zVzI e't Vz: qt Vi + ar Ví + qV; :

0

( 1)

73 Electrostática

a

.fó

'l'cnicndo quocÍl cl scgundo cstadocléctrico en cucnt¿r 'clcl sistcma,cl canrpocntre las lámin¿rs es uniforme,se vcrificit

v l - v ;:v ;- v ; da

L q,vi:L q,,v,

Primerestado

(3)

esfera,4: potencialV¿,: 0, cargaqA esferaC: potencialVc: 0, cargaqc cargapuntual B, potencialVu,catgaqB: q

Entre las ecuaciones(1), (2) y (3) se eliminan los potencialesV' y seobtienenlas cargasinducidasen las dos láminas: St :

-S

Segundoestado esfera,4.,potencial V), cargae'o esferaC, potencial V|, car5ae'c carga puntual B, potencial Vu, cargaq'r: 0

a d

dq2-

Solución

'considerando las dos esferasy la cargapuntual como un sistemade tresconductores(la cargapuntual un conducy teniendoen cuenta tor esféricode radio despreciable) dos estadoseléctricosdel sistema:

Q)

y en el primer estado,por la conservaciónde la carga eléctrica,se tiene Qt* qz: -4

_f.-_-.-"t¡z

Sc aplica cl tcorclna dc rcciprocidad

Aplicandoel teoremade reciprocidad,obtenemos

a

q u

* Q'Vn* e'cVc: Q,cV)+ qVj,+ q.V[: 0 e'tV.a.

(1)

Teniendoen cuentaque,en el segundoestadoeléctrico del sistema,el campo eléctricoentre las esferases de la forma Dos esferasconductoras,concéntricas,de radios a y c estánconectadasa tierra.Entre las esferasy a una distanciab h < b < c) de su centro se coloca una carga puntual q. Determínesela carga inducida en cada esfera.

L-

)

r-

se tiene

Vi_ Vi :

-

vi- vL-

- f,o#:r(::)

f,u!:u(; ;)

y las cargas del primer estado eléctrico verillcan q¿i

Q c: - q

Sustituyendoen (1) Q.E :

-Q-

Qc

75

74 100problemasde Electromagnet¡smo

Elecffostática i

L

tu

y tcnicndocn cucÍ¡l¿t la rolacióncntrc los potenciales V" sc obticncn

Tcnicndocn cucnta.lasinrctríadcl problema, el po_ tencialeléctricoes sólo función¿. lu uuriuble x la coor_ denadaperpendicular a los planos.S. ,"ru.lu" Ia ecua_ ción_deLaplaceen las distintu. ,.giln"r, uittiran¿o lus condicionesde contorno del problJma. Regióry(a) 0
ll

-affi: -aab ec: 1.1 ac

¡

'

l1

- affi: -n e.q: 1r ac bc

d,v . dx"" :0

--é Solución

V,(x): Arx * B,

Siendopanax : 0, Vo: 0 y para* : er, Vo: Vr, se obtienen Br :0

Ar:v' aL

Dos planos conducto.resparalelos 1 y 2 cuyos po_ y V, (V, >'V) seln"*ntr.n % situa_ i"::]::, ",on dos paralelamente entre otroi aos planos conducto_ res A y I conectadosa tierra. l_., á¡"iun"ias de los pfanos conductoresal plano A son a,(a,<
El potencialy el campo en esta regiónson Vo:!x

Región(b)

- "'o

E^ :

a 7 'd xe L a 1
Vo(x): Arx * B, , Siendo las condicio¡es contorno: para x: V6: Vy para x : a2,V6: _de Vr, se obtienen' ^-

v,-v" Qt-

- v2 a,

Bz: vt -v'

42--

Qz

a1,

a t- a z

Sustituyend o en V, se obtiene la expresióndel po_ tencial Vt:'

v,-v^

"(x-a,\*v.

at-az

I

y el campoen estaregiónes:

Et: - dl u:\- v , ax

az- at

76 100problemasde Electromagnetismo

77 Electrostática I

¡

siendo e la carga del electrónen valor absolutoy a el radio de la primeraórbita de Bohr. Calcule:

Ilegión(c) u2
-

At: "

a) La distribuciónde cargasque originan dicho potencial. b) La carga total asociadaa la distribución. c) El campo eléctrico creado por esta distribución de carga.

V,a" 4:-"

a t-a z

at-& z

Solución

Y por tanto las expresionesdel potencial y el campo

en estaregiónson

v,-

V ,:

Qz-

dV^

(a r-x )

F

:

V" o

-----::

dx

az

a) La distribuciónde cargase obtienea partir de la ecuaciónde Poisson,

at*

az

P vzv: -

8o

Las cargasde las cuatro láminasconductorasson qo: eoS4o:

P:

V, - jc oS a7

4r : sos(-E,+ Eb): r"s(! * \4r

4,:sos( - E o*E "):(-v r-v r* \

4a:

az-

Tomando el laplaciano en coordenadas cilíndricas y teniendo en cuenta que Ves sólo función de r, se tiene:

Y' - Y') ez - at,/

!!0, Y2v:++(,'5: raror/ r'or\

u, at

at-

- eoY2V

)

az/

y la distribución de carga es

-eoSE": - toS-Jaz- az

o

(

/P_ztto\

i- 1oV' ( +'rEal \

-

r

)

: | + V'e-z'iot, ) /

- r) : _ " fro, 11\* or,(e-r,t" + y,"_ra,] 4nal

El potencialmedio temporal de un átomo de hidrógeno neutro en el estado fundamental viene dado por V(rl:

la \ I-+1le-2tu 4neoa\r /

| 00 problemasde Electromagnetismo

e

- -: p '

\t/

\

r

/

)

4 (1\"-2'¡ta,-"'o ¡ * {-a6(r)4n " Q r '! r \ a"/ 4na ( 4) *\¿-z'r"f a-

:eó(r) )

'1"-",o rEa-

Electrostática

l¿t fitncitlrr r)(r) vcrifica: r)(r # 0) : 0 y !ó(r)dV : I si el volumcn V cncicrra el origen de r. Es decir el potencial dado cst¿ioriginado por una carga * e (núcleo)colocada en r : 0 y la nube electrónicade densidad

p :1

b)

7ra'

Una esferaconductora,descargada,de radio a se introduceen un campo eléctricouniformeEo.Hallar las expresionesdel potencialy el campo despuésde introducir la esfera,el potencialde la esferay las cargasinducidasen su superficie.

i# $lt*Hffi?.3

,- t' to

La carga de la nube electrónica es

-e f*

: Qclccr r ó ¡ r ica

"",

e - zr ta \ftr z

dr:

-

4n f-

,'n

o, )o

)"

"1" d,

siendo

Solución

:1 f*,,,-,*d,: +[* *,"-'o* do n d e o ' r: x y a :-

Antes de introducir la esfera, el campo eléctrico es uniforme, Eo, y el potencial en un punto P(r, 0) es

2

Vtlr, 0) :

4e2 4elecr r ónica:

-

=

Cuando se introduce la esferacoqductora, el campo deja de ser uniforme en sus proximidades ya que, al ser la superficie esféricauna superficie equipotencial, las líneas del campo son perpendiculares a ella. Eligiendo como origen de coordenadas el centro de la esferay el eje polar paralelo al campo Eo, tanto el potencial como el campo en el exterior de la esfera tienen simetría esférica y no dependen del ángulo E; el problema consiste en hallar V(r,0) en puntos exteriores (r > a), ya que en el interior de la esfera conductora (r < a) el potencial es constante e igual al valor en la superficie. La solución de la ecuación de Laplace en este caso es

-g

/ 1\3:

" (:l \a/

de modo que la carga total de la distribución es cero. c) En este caso el campo sólo tiene componente en la dirección radial y se calcula a parlir del gradiente del potencial como

E(r)--

E (,):

óvb) * e

- Eoz I const : Vo - Eor cos 0

a

or

¡ ,¡i

.1,';j,: 'i

,, ,.,.,1i.{.,.

@@

-l I v(r,0\ : 1" A,r"P,10¡ /

+Ttor' -l t \

/r\

/r\2\

\4/

\a/

¿= O

+ zl - I * z ¡ - ¡ le- z' r o

siendo P,(0) los polinomios de Legendre, y los coeficien-

/

80 100problemasde Electromagnetismo

Bnr-{"*1)P"(0) (1)

¿= O

81

i

A

Electrostática

La soluciónbuscadapara el potenciales

tcs zl,,y 8,, dcbendcterminarse a partir de las condicioncsdc contornodel problema.

V(r,0) : Vo- Eorcos0 I Eoa3r-2cos?

: Vo- Eorcos,lt - 4) V(r,0) r-./ \

Las componentesradial y tangencialdel campo son E,:

V(r, 0\ : Vo - Eorcos0

AV U:

2a3\ / Eo (t + . /cos0

ldv

Primeracondíción. A distanciasgrandesde la esfera,el potencialdebeser el del campo uniformeEo, es decir si r -+ oo,

-

/

a3\

E0:-;,,0:- " .( t- F ) '" " e

Sobre la superficieesféricaEo: 0 y el campo solamentetienecomponenteradial "

(2)

para r --+oo, el segundosumatorio del potencial(1) se anula e identificandolos términosdel primer sumatorio con el segundomiembro de (2),se tiene

3Eocosg

ln,),(.:

El campo eléctrico induce sobre la superficie de la esferaconductora cargaseléctricas,cuya densidades

,{\ ¿o: %')\

A r: -ryl o " '" 6 /r: A+ :...: o

o : to(n)":": 3eoEocosg es decir,que la densidadpositivaesmáxima para 0 : 0 mientras que la densidadnegativaes máxima cuando 0 : n. Se comprueba que la carga total sobre la esfera es cero.

Segundacondíción.Como el conductor está descargado Bo : 0, pues el término Bor- 1 es el potencial que produciría en el punto P el conductor si estuvieracargado.

f, ff"^:

Terceracondícíón.Para r : a debeser V(a,0) : cte. Identi{icandocoeficientes. se tiene

de : 0 oaz2nsene

Ao: Vo ,Xb-Eoacos 0 + Bp-z tose: ffi Bz: Bz

Bn:0

y de aquí

"

i'."^t B r:

E o a3

ffilü

K4l iD .Jb

Un condensadorplano paralelode área S: a x b y distanciaentre placash tiene el espacioentre las placas ocupado por dos dieléctricosde permiti-

,

Srt

83

82

Electrostática

100problemasde Electromagnetismo

't'I

vidades t1 y t:2,que llenan cada uno la mitad del espacio,como se indica en la figura. El condensador se mantiene conectadoa una bateríade diferenciade potencialVo,mientrasse extraeel dieléctrico de permitividade, con velocidadconstantey. Obtener: a) El balanceenergéticodel proceso. b) La corrienteeléctricaque circulaentre la bateríay el condensadorduranteel procesode extracción del dieléctrico. Se desprecianefectosde borde y rozamiento.

con la batcríacn csteprol,a cncrgíaintcrcambiacla ccsocs

: vfi! 6o- er) Lwb: voLq: zSLC - zn Cuando la lámina está a una distancia x de su posición inicial, la expresión de la energía del condensador cn función de x, es

,,7*,,i(;,::ril,,#,* -)) La fuerzasobre la lámina es

.',orT, : (*),:*,É41', X*,,0i ")]l= : Tb - tz ) r v í ¡ Go Solución a)

wt:

La energía inicial del condensadores

) r,r*: ) r,(',#.', *) : ) r,fi ,,,* u,¡

y la energía final, despuésde extraer la lámina de dieléctrico, es

1 rl

ab

ab\

wr:iC,v6: ué[', t 2h* 'o n ):

I

-ab

¡v ( ¡@,

La variación de energía electrostática es

Lw: wz - wt:)rt* (e o

84 | 00problemasde Electromagnetismo

- e,)

Esta fuerzatiende a introducir la lámina en el condensador;luego es necesarioaplicar una fuerzaigual y de sentido contrario para extraerla.El trabajo necesario para extraerla lámina es a

L W ^ : o.t=

L

^ab - er ) tv á n( eo

el trabajo es negativo, ya que se realiza en contra de las fuerzas del campo. El balance energético del proceso es

+ to)

LWb: LW + AW^ - t): V(^sb *(eo

1 ^ab 1 ^ab - e r )+ - er) V( Z ¡Go tVá Znleo

b) En un cierto instantef, el dieléctricode permitividad e, estará a una distanciax: Dt de su posición

85 Electrostática

\_^--_.-.-

i¡ricill,dc lnockrquc lir clrga irrstanthnca dcl condcnsador os:

cxtcriora la csfcracs l,)lcirrupocléctricocu cl cs¡racio raclialy dc la l'rrrma

\l but b/a , t ab c -r c -f _-0r) Q: CVo: VoI c, -+ "o ' | "')l ", h h\Z L 2h' y la intensidadeléctricaduranteesteprocesoes I:

dq

bu

ü:Vo

h

E,:

Solución

r-,

rRk k V: - | ^dr:R )*r' setienek: VR. La densidadde corrienteen el medio es j:on:o

Una esferaconductorade radio B, sumergidaen un medio dieléctricoimperfectode conductividado y permitividad e, está conectadaa una batería que suministra un potencial V. Calcúleseel trabajo por unidad de tiempo realizadopor la bateríapara mantener el potenc¡alde la esfera V.

a

y, teniendoen cuentaque el potencialde la esferaes V,

bu (eo-¿r):-Vo¡bz-A)

el signonegativosignificaque la direcciónde la corriente es desdeel condensadorhacia labatería.

_,r-.,--:----l'

YR r-"

y la intensidad r:

f( lli-ds: tt

oVR ,4nr2:4novR r-

La potenciasuministrada'porla bateríaserá P : VI: 4noRVz

\ Un electrodode cobre acabadoen punta semiesférica de radio r, : 1 cm se introduce en el agua contenidaen un depósitode grandesdimensiones. La corriente en el electrodo es de 1 A. Calcularen cuántotiempo se disiparán5 kw.h en el agua.Conductividaddel agua o: 10-3Q-1m 1.

86 100problemasde Electromagnetismo

87 Electrostática

Ef espacio2a entrelas placas,de área S, de un condensadorplanoparaleloestá ocupadopor dos lámináe de dieléctricosimperfectosde permitividadese.' sieno1\ o2,respectivamente, y r;,y conductividades do las láminasde espesoresigualesa la mitad de la dietanciaentre las placas.Si el condensadorestá conectadoa una bateríade potencialV, calcular: a) Los camposen las dos regiones,la resistencia aléctricay la intensidadde la corrienteque, en régicirculaentre las placas' men estacionario, de carga libre. Las densidades b)

Solución Para calcular la resistenciadel agua se toman elementos de volumen semiesféricos,concéntricos con el electrodo de cobre, de área 2nr2 y longitud dr; la resistencia elemental es

dR:]- i\

o 2nrt

Por tanto, la resistenciatotal es

R:

|

(-dr

1[

1 l*

1

2noJ ,, * : ,"rL-;1,,: 2"r\

RIz

La energíadisipadaes R12r.Sustituyendolos datos del problema,se obtiene 5 .1 0 3 :

2 n I0 -3 .1 0 -2

t : 0,31 horas.

88 100problemasde Electromagnetismo

a) Como la corriente es estacionariaV' j : 0, es decir,el flujo de j a travésde cualquiersuperficiecerrada es cero, y la componentenormal de j se conserva.Entonces I jr : 1: j,s: jrs r:/: Aplicandola ley de Ohm, se tiene:

Siendola potenciadisipada P : VI:

Solución

. 1 .r (enhoras)

j

It

Et :

-o1

,

otEt:

L2-

o2

y se verifica (1)

ozEz

Siendola d.d.p.entrelas placas V:

Er a *

aI

1\

E,a:T /l GJ ¿)

(2)

89 Electrostática

sc ()bticnc

a) La resistenciaeléctricaentre los dos conductores, b) Las densidadesde carga libre en el sistema cuandose aplicauna d.d.p. Ventre los conductores.

VSoro,

,

a\o, 'f o r) y la resistenciaeléctrica V

^

a ( or* or)

t\:-

I

So ro, ,l tf

De las ecuaciones(1) V Q) se obtienen los campos

o"V

o.V Ez: ---j-

E, : L- , ^ 6r * or a'

Dt:f

o7t02Q

t 16.

V

tt6"

-,

Dz : --? '

01- r 02a

Solución V

ort02a

b) Suponiendoque la placa 1 estáa mayor potencial que la placa2,las densidades de cargalibre en las placas t

l

y la densidadde carga libre en la superficiede

separación entrelos dos medios! ,on' S t,O,

4--:D. t

S

'

V

or*ora

?: r,-- D,: S

a) Considerandoel dieléctricodividido en elementos es de volumende áreazrh y espesordr, cvya resistencia las resistende es la suma equivalente dR, la resistencia colocadasen serie ciaselementales

q"

ct,

I

^

tzot !o rl o ra

Q,

=: J

-D,:

dr

_ onrh

(bdr

dr

R:l

knr2h

e1o,

V

í:-

o r *o r a

a \

or* o,

)

El espacioentredos semicilindrosconductoresde radios a y b (a < bl y longitud h está lleno de un dieléctricoimperfectode permitividade y conductividad o : k4 siendo k una constantey r la distancia al eje de los cilindros.Determínese:

Vknh 1\ lt

G-r)

- t t o r\ tro, Y : Y (q o , o rl ora

)" khnrz

l\ lll l--:l . knh\a b/

la intensidadentrelos dos electrodoses -

-

dR:

Suponiendoque el cilindro interior estáa mayor potencial que el exterior,la densidadde corriente,Y Por tanto el campoeléctrico,tienenla direccióny sentidodel vector unitario u" de las coordenadascilíndricas.Sus módulosson:

r vkl.iv l l:¿:/r

\;:" E

l;-¡)

E:k r :7fi

t\

\;-¡) 91

100problemasde Electromagnetismo

Electrostática

2

b) En cstccasohabrácargaslibresde volumeny de superlicie.[,a dcnsidadde cargade volumen,utilizando la expresiónde la divergenciaen coordenadascilíndricas,es: c,V

p:V.D:

'

l0/r\ __t_l:__

t

(i^ _1\r0r\r 2 ) \;- b)

Magnetostática

eV

" / 1\ ;_- 1 i) \

y las densidadesde cangaoay oben las superficiesconductoras de radios a y b son, respectivamente,

oo:D f,-o: t ; i\ l--;l \4

bl

cb:_D],=u: #n__ \;-

¡)

Puedecomprobarseque la carga libre total es iguál a cero

r

I

de radios Entredos esferasmetálicasconcéntricas R, = 2 cin y & : 4 cm se aplica una diferencia de potencialde 1.000 V. ¿Cuáles la energía,expresada an eV, que deberíatener un electrónpara que permanezcamoviéndoseen un plano que pase por el centro de las esferasdescribiendouna órbita de radio F: 2,5 cm?

p dV + oonah* ounbh: 0

JV

(Nota: No confundir conductividades con densidades de carga, aunque se utilice el mismo símbolo en ambas.)

92 100problemas de Electromagnetismo

93

Solución

Conlo cl cilrnpoclCctrict¡ cntrelas esfcrases radial"la lucrzasobrcel clectróntambiénlo es,verificándose: m02 F: eE

R

La energíacinética del electrón es

de módulo A que es perpendicularal plano del haz. ¿Qué velocidadesdeben tener los protones para que produzcanimpactoen la lámina de longitud d, colocadaa una distanciaB de la entrada del haz, como se indica en la figura? Aplicaciónnumérica: 8 * 0,1T, R : 10Cm,d : 2 cm, e/mo:9,58.107C/kg. haz

1^e

W":

:;ER

(1)

¡mu'

, ""*"t **

Expresandoel campo, pata r: d.d.p. entre las esferas

X

R, en función de la ,r^

, ***

t

¡t

dr l\ v, - vr: - fR 'q0" ro 7: O /r : 4"%\& J*, &/ r:R

Solución

v,- v.

o 4ne^Rz "R'

É¿) y sustituyendoE en (1) resulta

Al entrar los protonesen el campo magnéticoexperimcntan una fuerzaF : 4v x B que es,en cadainstante, pcrpendiculara v y a B, por 1oque los protonesdescriben arcos de circunferenciade radio r, de modo que se vcrifica

f,rsFv)

e(Vt - V2)R1R2 '

SU B

:;

mD-

2 R (R 2 - R l )

cs decir Sustituyendo los datos del problema, se tiene la energía del electrón

w": €.r6'v-?L-:8oo¿v

qBr Para que se produzca el impacto en el punto 1 la vclocidadde los protonesdeberáser ul

-

SBR m¿

y para que se produzca el impacto en el punto 2, la velocidadde los protonesdeberáser Un estrechohaz de protones de diferentesvelocidades penetra en un campo magnético uniforme,

94 | 00problemasde Electromagnetismo

qB (R+ d) u2-

m¿

95 Magnetostática

l=E;'--

do en el contro de la tierra y momento magnético m7=8,2.1022Am2, El radio de la tierra es r9= = 6.370km (m/e : 0,57'10 11kgC-1).

Aplicaciónnumdric¿r ur :

9,58 l0'C/kg.0,[T.10-1 m :4,97.10sms-1 ¿ ^

uz:

9,58 n 10'C/kg.0,1T.1,2.I0-Lm:5,75.10s ms-l

Solución EI campo creado por el dipolo en el punto 1 (polo) sólo tienecomponenteradial y en el punto 2 (ecuador) sólo tiene componenteazimuta| siendosusmódulos

Los protonescon velocidadescomprendidasentre ul y u, produciránimpactosen la lámina.

'

i l n 2m.

Irn ffrr

B.::' ' 4n R"

B,:j-+ 4nR"

Los electronesque semuevenen el campomagnético describirántrayectoriascirculareso helicoidalescuyo periodo en los polos es Zr. Se verifica

En la atmósfera se encuentran electrones cuyo movimiento está influido por el campo magnético terrestre.Dete¡.minarel periodo de un ciclo del movimiento de un electrónen el ecuadory en los polos. El campo magnét¡coterrestre puede aproximarse al producidopor un dipolo magnéticositua-

eur Br :

jmu? r

rr:

erB,

uL:

m

2nr

,,

-

:

2nm

l;

siendou, la componentede la velocidadperpendicular al campo magnéticoy r el radio de la trayectoria del electrón.Análogamente,en el ecuador el periodo del movimiento del electrónes 2nm Bze

Teniendoen cuentaque Br: 2Br,

96

Tt :

2Tt

97

100problemasde Electromagnetismo

Magnetostática

I

A¡rlictrciórrn u móric¿r Tl _

Tr:

3 ,5 7 . 10- 11 kgc- 1 4 ft2 .(6 ,3 7 )3 1 0 1 8 m.0 4 n .I0 -7

H m-r

8 .2 .1022 A mz

: 0,565¡rs

b) Simplifiquela expresiónobtenidaen el caso €n que b sea mucho menor que el radio de la trayectoriacircular de los electronesen el campo magnético.

l,1.3ps

Solución lt) Los electrones acelerados por el potencial Vo adquicren una energía cinéfica

Se coloca un tubo de rayos catódicosentre las piezasde un electroimán,de modo que el campo magnético B, que es uniforme a lo largo de una longitud b del hazy nulo fuera de estalongitud,sea perpendicularal haz catódico.Si c es la distancia entre el borde del campo magnéticoy la pantalla fluorescentedel tubo, Vola diferenciade potencial aceferadorade los electronesy e/m la carga específicadel electrón:

1^

i

xa

m

Al entrar en el campo magnéticocon la velocidadv experimentanuna fuerzaperpendiculara v y a B; esta fucrzada lugar a una trayectoriacircular de radio R de los electronesmientrasestándentro del campo B

a) Calcule la desviaciónó del impacto de los electronesen la pantalla.

__ r*ET ________(_____ I* x¿ ;

?*,

evo

tmD":

euB:-

muz R

R:-:

2V" -----¡ 11) (elm)B' /

mu eB

De la geometríadel problema se tiene 6 : (c +-AB)tgo

AB:

'

....1.

R(1 - cosa) R - u l n z ' 6 2 tga btJN - b'

u: ( , *

R- ulnz - 6z

/

ah

_ \h

,/R, _ b2l:: " / JR2-b'z ._\

: l- - + + R - , / R 2 - "b ' l v"

\7 n ' - Y

")

98 | 00problemasde Electronagnetismo

Magnetostática

Sustituycndo I{ por su valor (l)

¿:

cb

l *, I | 1e¡m¡n2

1 -r-

B

m

el elcnlentolx es Lu corricntcquc tr¿tnsporta

lN,

Jktd-,lon*- "

(.

y crca en el punto P, un campo magnético

b) sib<
cb ó:-+RR

^-v

Solución

,l"J .\¿t:'d* t.2a.

R:cbB

"l*

2Vo

2n(2a- x)

El campo producido por toda la lámina en el punto P¡ es

B ' : fu^I fi Una lámina metálicalargay delgadade ancho 2a y espesordespreciableestá recorridapor una corriente / uniformementerepartidaen su sección recta. Calcúleseel campo magnéticoB en los puntosP,' y P, que distan2a del eje de la láminay estánsituados en el plano de la láminay en el plano mediatriz, respectivamente.

l to d l

("

dx

unl

) - "r "- . : f i t ' s

su direcciónes perpendiculara la lámina y su sentido lraciadentro del papel. La direccióny sentidodel campo creadopor un elemento de lámina en el punto P, estáindicado en la figura y su módulo es

dBr :

ttndl

poldx

'f

4nal ef¡ pl u, ^:

El camporesultanteserála sumade todaslas componentes paralelas a Ia lámina. ya que las componentes perpendicularesa la lámina se anulan. Br:

f ldBrcos*: J

f" u^I dx2a I )-"4nal(2a)'+xzf

I x l' :- Fol arctg; :, trolarctg-l * " 2 2o l-" 2na 4ra su direóciónes paralelau'lu lá*inu y el sentidoel indicado en la hgura.

100 | 00problemasde Electromagnetismo

101 Magnetostática

tr

Dos alambres verticales,indefinidos,recorridos por corrientesigualesy opuestas/, estánseparados una distancia3a. En un plano perpendicularal formado por los alambresse encuentraun circuitorectangufar de base a y altura2a, como se indicaen la figura. Determinar: 1. El campo magnéticoB y el potencialvectorA en los puntos P V R. 2. El flujo magnéticoa travésdel circuito. 3. La fuerzasobre el circuitocuando por él pasa una corriente/'en el sentidoque se indicaen la figura.

I

Aniilogrnrcrrtc, cl campocn cl punto /l cs 3u^l

/ u^l n^I \ Bo:(=+i;lj:-j ¿ft¿a/

\¿TA

+ftQ

El potencialmagnéticovector creado por dos hilos paraleloscon corrientesigualesy opuestasen un punto c¡ucdista rr y rz de ambases u"I r, A:'-:-ln-1 ¿Tt

11

&t-&*u wffit

siendosu direcciónla de 1oshilos y sentidoel mismo de la corrientedel hilo que distarr. En nuestrocasosetiene ltnl.ari'i, i¿¿nl .5. A":iln-: 4x 2 2n or/2-k:-i-/n:k 2a

u^l

A" : j-

¿'n

LtnI

ln- k: l- In2k a zft

2. El flujo a través del circuito se calcula como la circulacióndel potencialvector

r f( o:l l B .ds:Qn.ot JJ

Solución

Como la circulaciónen los lados horizontaleses nula por ser perpendiculares A y.dl, se tiene

1. El campo magnéticoen el punto P es la sumade los camposcreadospor cadahilo. Tomando los.ejqsindicadosen la figura ,l \

2au^I (ln2 _ 0,51n2,5) @ : 2a(A^_ Ar¡ : _? zn

' )( u,: - 2naJ2\z ^ uo' i ( +t.* r ) ¿ / B-z:.

unl

/

nl-

2nan15\

t

,i- ;ll

../5

J

3. Las fuerzassobrelos ladoshorizontalesson igualesy opuestas.Las fuerzassobrelos ladosverticalesson, respectivamente,

2\

,/ 5 /

Bp :B,* Bz:f f it t * t : l

Fr:

102

3u^lI' - I'2akx B":*(3i102

j)

103

100problemasde Electromagnetisml

Magnetostática a\

F n : I'2 u k*B ^ : Y!!

._i)

¿n

La fuerzaresultantees

e) El campo magnéticoproducido por un carrete glrcular de radio a y N espirasrecorrido por una corriente ^Ien un punto del eje que dista b del centro del carretetiene la direccióndel eje y su módulo es

u:

3u^II'

F:FprFn:fr( - 2 i- j)

^-g

Solución

l oN I(

^'= 2@2+ 6z¡trz

En este caso, el campo producido por el sistemade oarretesen un punto que dista de cada carrefe

Dos carretescircularesigualesde radio a y N espiras,recorridospor corrientesiguales/, son coaxiales y éstán separadosuna distancia4 calcular:

(;-i es respectivamente,

a) El campo magnético B en un punto det eje común que dista x del centro del sistema b) Demostrarque si r: a (carretesde Helmholtz), d2B d.'

(;.')

'

+

*o,f','

:'0 pargx: 0 1

c) Calcular,en el caso en que r: a, el cociente entre los valores del campo para x: a/4 y para x: 0.

(;.')'* o'f'' b)

dB _ _! poMto' dx22

-,G--)

t(i.)'**f' ,G.-)

+

[(;.')'* o'f'' 104

| 00problemasde Electromagnetismo

hx*,

105 Magnetostática

w

' -^'--@

y, p¡rr¿l.x : uf4: ,l ' U dxz

:

_ 3 l to N l a z 2

5

+2

-'

/r (.; -

(

t(; *)'* o'f'''

-") ,.X;

B ¡* ' ut+_

poNluz

l=

-13l2 o ')

IL ,I . *)'J l(;.i)' 2

(;-:)'

*

r^l{1 :0,714 L

+

\ 2

l(; ')'* o')''

l,-,., ).*l ,,Gi(;..¡

1sl2

'l(..')'*o'f''

q

lo=uLt: o.ggj B*=o esdecir,que para x : al4el campoes =99,1 oA del campo en el centro.De modo que los carretesde Helmholtz producenun campomuy uniformeen su regióncentral.

sir:aypanx:0:

(a'A1-=oZ¡rrNn'lt \dr'),=,

2

+ " (5or¡r,,

j/sat¡tr,

[(z/ (-i

Sobre un tronco de cono de basescircularesde radiosby bl2 se disponeun arrollamientoregularde n espiraspor unidadde longitudy recorridopor una corrientede intensidad/. Estetronco de cono pertenecea un cono de alturaa y basecircularde radio b. Calcularelcampo magnéticoB en elvérticedel cono.

.\ a'l

1 l

+_ lra'\''' I- l \4 / c)

-5

ql

I

¡: g (-ro'\"' I

\+/

I

l

El valor del campo para r : a y x:

O

u^N Ia2i ,-l -: ;tz p o NI : , , . , r u u o * 8 ;:' B " : o: o wi ) ' \r\Ti

10 6

107

100problemasde Electromagnetismo \

Magnetostática

w

Solución

t^ 3

l.il vcctor lf tcndr¿1 la'clircccióndcl cje del cono y su scnticlocs el cle av¿rnce de un tornillo que gira en el scntidode la corriente.Para calcularel módulo de B se divide el tronco de cono en elementosde longitud dx; cada uno de ellos crea en el vértice del cono, del que dista x, un campo magnéticodB como el de un carrete plano de ndx espirasy radio r. dB:

ponldx

12

2

(*' r rz¡ztz

siendo

b

r:xtga:x-

Solución

a

La carga'puntual q giando alrededor de la esfera equivalea una corrienteeléctricacircular,de radio Ro, cuyaintensidades

se tiene

dB:

'- "b, e2

ltonl

2^

/

x'

a0J

dx

h2\3t2

i I:;

ft+;¡ \

a'/

La cargaimagen de la carga q es cI' y está situadaa una distanciar del centro de la esfera

lntegrandopara todo el solenoide

dx

":ryT+wf '

.

\t

l a t2 ;:;

F)

q' :_'Ro s+

' b2

h2

ú

Ltonl

61uztn2 / ll+ ;f a-/ \

Como q' gfta a la misma velocidadque la cargaq equivalea una corrientecircular,de radio r y de intensidad ,, _ 4 '@ '2n-

. Una carga puntual q gira con velocidadangular cr; alrededorde una esferaconductoraconectadaa tierra, manteniéndoseen un plano ecuatorialy a una distanciaFo del centro de la esfera.!l radio de la esferaes F,,< Bo.Calcularel campo magnéticoen el centro de la esfera.

ic.,

\1.,, '/

1 08

, ":Ro5

4@ Rt 2 xR 6

El campo magnéticocreadopor ambascorrientesen el centro de la esferatiene la direcciónde or y su módulo es _

¡o[1 ,11 2 LRo rl

ó:-I-r

poqa/Rt-Ro\ 4n \ RtRo ,

lo que indica que el sentidode B es opuestoal de to.

109

| 00problemasde Electromagnet¡smo \r.

Magnetostática

v Un arrollamientotoroidal,de radios interiory exterior a y b, respectivamente, tiene N espirasrecorridaspor una corriente/. Calcular:

y la rclircitln ltfu ¡tirt'ttc¡uc cl nrrldulo clo /J no varíc rn¿ls dcl 20(Zr cu l¿rsccciclndcl toro cs

g¿ :b_100_5

A

1

El valor del campo B en un punto de la sec( ") rectacirculardel arrollamientoque ci6n dista r del eje(a
(B*)u ¿

80

c) Para calcularel flujo a travésde la secciónrecta dc arrollamientotoroidal sedivide la secciónen elementos de áreads:2J(, - a)(r- b)dr,el flujo elementala travésde ds es

da: B,2J? - 4(b - r)dy: ' poNIJ-ab+(a*b)r-rz-

dr

n y el flujo total u^NI lb

o :' "

n

It^

J-ob*(a'rb)r*r2

dr:

:#r,t= "b + ( "+ b r r - r ' l :

-sb + (a + blr - r'l--+

Solución Por razón de simetría,las líneasvectorialesde B son circunferenciasde radio r con centro en el eje del toro. Para calcularel valor de B se aplicael teoremade Ampére tomando como línea de circulaciónuna de estas circunferencias: Br2 n r :

¡to N I,

b) Los camposenr: (Br)o :

B r:

11 0 100problemasde Electromagnetismo

2nr

ay r : b son

tu^lú1 -,z Ía

ttoNI

( 8 , ) b : ':

u^NI , ZTED

2r-(a+b) . /¿oNI(a+bf it larcsen -,.\ " , / ( o*b) 2- 4ab

-

'b +[u..r.o lab L

(a+b\r-2ab

]"

r)

,Jto + a Y- + o a

.:ryw

\/ ab

Siendoel coefientede autoinduccióndel arrollamiento L:-

NO I

111 Magnetostática

F

sc ltct.lc

u,,N2fu+b

,-l

, - j"u]

' :;1 5S fFroblema

Un solenoidelargo y estrecho,de seccióncircular de radío B, tiene n espiraspor unidad de longitudy está recorrido por una corriente /. a) Calcularla circulacióndel potencialmagnético vector A a lo largo de la línea 1-2-3-4y el flujo de B a través de la superficielimitada por dicha línea. b) Si la líneafuese un circuitorecorridopor una corriente l', hallar la fuerza sobre el circuito.

y lircraclclsolcnoiclc. l)aracllo sc tomancomo líncasde ccntradasen el eje del solecirculacióncircunfbrcncias de A noidcque coincidencon las líneasvectoriales

J-\--,'-\t/

^a

ponlr

< n) f- {r

Ar2nr: Bnr2

Br , '- a22

1".,(r > R)

A*2nr : BnR"

BR2 ¡tonlR2 . : Aa: - , 2r

Teniendoen cuentaque en los tramos 2-3 y 4-l A y y no contribuyena la circulación, dl son perpendiculares lu circulación del potencial vector a lo largo de la línea l-2-3-4es I

9A

u^nlR2

u^nIR,

dl : ftR z - r k f z R ,'T :

:to*g#:ii- r, b) Sólo hay fuerzasen los tramos del circuito que cstán dentro del campo magnético.La dirección y el scntidode las fuerzasestánindicadosen la figura y los módulosson Ftz:0 Ft.:1'(R-Rt)B

r r ^: Solución

:21'BR t : r 'u [an14c os d l " _l _r R ,dac os a

F¿r :1'(R - Rt)B a) Las líneasvectorialesdel potencialvectorson circunferencias cuyo centroestáen el eje del solenoide.Sabiendoque el flujo de B a travésde una superficieabierta es igual a la circulaciónde A a lo largo de la línea que limita dicha superficie,secalculael módulo de A dentro

Como las fuerzassobre todos los tramos tienenla mismadireccióny sentido,el módulo de la fuerzaresultantees F:

Frr +

F. , . + F34+ F4r : 2ponI I 'R

-l

112 100problemasde Electromagnetismo/

,

113 Magnetostática

Un cilindrode radio F y longitud h, que tiene una cargaeléctricadistribuidauniformementeen su superficiecon densidado, gira alrededorde su eje con velocidadangulara;. Si su densidadde rnasaes ó, calcúlesela relaciónentre el momento magnéticoy el momento angular.

de las bas¿s:se dividen en elementosde Superflcles ie 2nr dr, que al estarcargadasy moviéndosecon idad angular co,equivalena circuitos elementales momento magnético d m..2n : SdI

: ir r '- ^

2nr droa

cada una de las bases con un momento

rcRao m r : 4@ <-h-

El momentomasnéticototal es

Solución ffi :hr

Calculamosel momentomagnéticodel cilindro considerandodos zonas: Superficíelateral:'se divide en elementosde área 2nRdzque, al tener una cargao y moversecon veloci- dad a, equivalena circuitoscon corrienteselementales

t

2m r :

nR3ci( , . ; )

El mornento angular es L :

.'

[,,,a^

l'R -

L : <' r I r ' 6 2 n r d r h : Jo

zRahó z"

.

y su relaciónes dI

2n

mo L6

El momento magnéticoelementales

i:; rj

d mr:

.*i¡ illt ¡r:

'

mr:

i,i,

# gt

$l

Rh

- o2nRdza Sd I : n R ¿ 2"

y el momento magnético del área lateral es

$,

2h T

1 14 | 00 problemasde Electromagnetismo

n R3oha

'

Una esferade radio Rtiene una carga O repartida uniformementeen la superficie.Si la semiesferasuperior:gira alrededordel diámetroverticalcon velocidad angular a;,k y la semiesferainferior gira con

115 Magnetostática

qFF-

vefocidadangular -tork alrededordel mismo diámetro vertical,calcúlese: a) El momento magnéticodel sistema. b) ¿Cómo debería distrjbuirse la carga entre los dos hemisferios para que el momento magnético del sistemasea cero?

clcla cslbrainl'criorcs cl nlorrrcrtto Anrllogutttcrttc, 'oR2

ñ z: _ 1 _ r r u pl rnomcnto magnético del sistemaes

ffl -ffi r-| m::

R2/ O O \ or lk: ar - i {; z J" \ r /

O R2 . ( ar - ar ) k o

tr) Para que m sea cero, Ia carga debe distribuirse en Itts scmiesferasde modo que ( l)

Q t +Q t : Q Q t @t -

Q r a. r : 0

(2)

é'

se obtienenlas cargas Rcsolviendoestasecuaciones, superiore inferior clclas semiesferas

Solución

o": o a) Se divide la esfera en elementos de área 2nR2sen0d0 que constituyencircuitosde intensidad 6-\ d

^

O

a ) t ')

' =*' dI' =\ !'2nR2senld0 !' \ o v¡ ¡ - -' 4nR t

2n

rysenr

\

gdgk

El momentomagnéticode la semiesfera superiores Q.R2¡0D, l"t2 oR2 : -Jsen'0dOk: =U .rU J" -,

116 100problemasde Electromagnetisml

0)r -r o)2

'r

y superficieS : z(R sen0)2.El momentomagnéticoelemental de estecircuito es

dm,: sdlk:

(D t

Un largo tubo cilíndricode un materialmagnéticamente lineal de permeabilidad¡.r tiene radios lnterior y exterior R,,y R, respectivamente.Si en el eje del tubo hay un hilo recto, indefinido, recorrido por una corriente /, hallar: ,i\

y regiones del ft) .t-o"camposB H enlasdistintas o$¡ecro. f bD Las corrientesde imanaciónen el tubo, utilizaYdodichascorrientesparacomprobarel valor obtenido del campo magnéticoB. i lc) La energíamagnét¡caalmacenadaen el tubo por unidad de longitud.

117 Magnetostática

F|F--

son devolumen doimunación k¡ e€rrlonto¡ aM - \ | /0 fr h - ( v x M ) ,' ; ( .; QM ,)- ü) :, de corrientede imanaciónen ruperficiules

son laterales :uparfloloc lu \ 1 K¡¿r: (,^- - t/ znRru"

= (Ml,=n,x nr

ftt

,,,'r' r

le¡ eorricntesde imanaciónen las superficies

y exterlor deltubo Iy1'2nR1Ky1 \-..-'

'*"YlY (:-')'

'f

w'

:(t-'),

cl teorema de Ampére para el campo B' las corrientesde conduccióny las corrien-

Solución a) Seaplica el teoremade Ampére para el campo H en las distintas regiones,tomando como líneasde circulación circunferenoiascentradasen el hilo

losmódulosdeloscampos lFlu¿ción,seobtienen dl¡tlnta¡ regiones

.N 2nr ¡rof + I i"t)

(Rr
, . [ ' * H -' ) ' ] pr

H2

l,-M!#M

/t, Mr:l-\l¿o (r > Rr)

H¡ :

I znr "_'.

u,

v\-trT,, \

?¡

--t

100problemasde Electromagnetismo

h'

%t Magnetostática

c) La energfamagnéticaalmaccnada por unidadde longitudcs

,":)jiJ" "dv:;r; pl z

Pn¡

t n ' o, ' :

LtI' , R z

G'nl

Los corrientesde imanaciónde volumenson i¡l:VxM , Como M* sólo dependede r, la ú4ica componentedel tgtacionaldistinta de cero es la comportentez, es decir,

ür)'

-w" \\uffb

Un cilindrohomogéneoindefinidode radio a está imanadocon imanaciónazimutal,que se expresaen coordenadascilíndricassiendo el eje z el eje del cifindro, como M: Molr/alur. a) Calcularlas corrientesequivalentesde imanación. / b) Hallar B V H en las distintasregionesdel espacio. c) Verificarlas condicionesde los campos en la superficiefrontera.

tf a .- - . a M ,1 ( iu\,:fV t M )' ": - | ; ( r M * -) T | : r l dr \oy )

tt

-

Mo 0'(r2\ zto : -; la r- 0r \a /

|4"#

La densidadsuperficialde corriente de imanación es (Kñ,:(M),:,

x n:

-Mo

b) El campo magnético B se obtiene aplicando el

r

teoremade Ampéreq B' dl : l"tolu ,t

,I

Ba:

Mnr t t o;

(r < a)

B*2nr: Faiunr2

(r > ¿)

B*2nr : Fojuftaz * K*2na) :'Q

Bt :

0

En todos los puntos del espacio se verifiba

B H:--M=0 lLo

c) Para r : a se conservanlas componentesnormalcs de B, ya que ambasson cero.Lo mismo sucedecon de H. las componentestangenciales

120 100problemasde Electromagnetismo

te,"

121 Magnetostática

fw--

Un disco ferromagnéticomuy delgadode radio a y espesor e está imanado uniformemente en la direccióndel eje del disco con imanaciónM.

9'

\\W'"

a) Calcularlos campos B y H en el interior del disco (se desprecianefectosde borde). b) Calcularel campo H en el eje del discoen puntos exteriores. c) Hallar la expresión del potencial magnético escalaren cualquierpunto del espacioPen función del ángulo sólido subtendidopor el disco desde el punto P.

Iil ctrnrpol/ ctr urt ¡runtodcl cjc dcl disco que x dc la basepositiva,sicndox no pequeñofrente ¡.4t$ sccalculacomola sumade los campos rndioclctclisco, 7el de área bases.Tomandoelementos por dos las ere$dos en Ia campo del * componentes las y sumando drda r els componentes que otras ya las disco, del eje del dirección ¡o flnulan,secalculael campocreadopor la distribución ¡b)

de polos positivaH. :

cosE' Siendo I dH*

cos(p:@;W y dH*:#fA to tiene

n+

_H

H.: *L"i,

-F{

o*ds cosE : ;-;:-; \r'+ x-)

+

+ -n -n+

:+,[:"1:

+

II -¡ +

Mrxdadr

.

, , t,¡/? v '+ x - r '-

(a)

_x-l ,.:+lt Jx' + R tl

Solución a) En el interior del discoel campoI{ estáproducido por los polos magnéticoso. : * M distribuidosen las dos basesdel disco. Suponiendoque a >>e, el campo -El es el creado por dos planos indefinidos con densidades de polo magnéticoigualesy opuestas,es decir: H¡:

-M

B¡: /¿o(M+ H):0

En esta aproximación(a>>e), los camposen puntos exteriores,en las proximidadesdel disco y lejos de los bordesson

H":0

122 | 00 problemasde Electromagnetismo

B":0

El campo total H, creado por las dos basessiendo Ax=¿es aH,,rLx-H*:-

H,:H*-

rJ:_

"t

Me

0H u A*"

R2

2 $2+Rz¡tlz

Y como son Puntosexteriores Dt -

u^Me 2

¡: _l R2)3t2 @,

123 Magnetostática

c) H potcncialmagnéticocscalarcn un puÍlto ex&rior P sc calculadividiendoel disco en elementos te\il volumencrls,cuyo momentomagnéticoes dm : Meds dv^:

dm.r Me ds-r qnr':G ,'

El potencialmagnéticoescalares l'^: '

!F 6l mismo número N de espiras,¿qué corriente tendrfaque pasar por las espiraspara conseguirel mlrmo valor del campo B" en el entrehierro?¿Cuánto vale M

Solución Aplictrcmoslas dos ecuaclones fundamentales de la m¿rgÍ!et()st¿ftica

Me f ds.r Me | . : , (-Q) ^ J" 4T r' 4r'

I H'dt : NI, c|> J

siendoO el ángulo sólido con el cual se ve el área del disco desdeel punto P.

Un toroidecuyacircunferencia media mide /:50 cm estáformado por un material.magnéticamente lineal de permeabilidadp.: 100y un entrehierrode longitud e: 2 cm. Cuandoel materialestá rodeadode N espiras recorridaspor una corriente I : 200 mA, el campo obtenidoen el entrehierroes B": 10 mL Si se duplicala longituddel entrehierromanteniéndo-

ff"

(! * \r9- e): NI -/

ds:o B,:B.

Llamundoa los camposen el materialy en el entrehierro en las condicionesiniE^, H^y 8", H", respectivamente, clglcssc verifica H^.0,48+ H".0,02: N.0,2 : H-oH: ¡to)00H- 0,017 " se tiene rcsolviendoestastres ecuaciones, H,,: 7,96.103Am-',

H^:

79,6Am-1

¡\r : 987 espiras Si sc duplica la longitud del entrehierro¿: 4 cm y I'.: e = 46 cm. se verifica H;.0,46 * H"'0,04: NI' siendoB": l0 mT;H^y H"fendrán el valor calculado ¿lntosy se obtiene I'=

124 100problemasde Electromagnetismo

+ 7,96.103'0,04 79,6.0,46 :0,36A: 987

360mA

125 Magnetostática

Una esferaferromagnéticade radio a está imanada uniformementecon imanaciónM. Hallarel campo magnéticodentro y fuera de la esfera.

utniliciótt:litl el illtcrirll dr¡lit cslbritel p()lcllSe¡¡undtt ) clcinfinito,cs tlccir,¡¡i¡ --r0, {,f # 'x',dc rlistinto olnlós dontlcsc obticnc:

P(r 0)

ffi

_./"\ /' - ,

Czo: Czr: Crr: Cz.r: "':0 se reducena de los potenciales l,ttscxprcsiones t ) P, ( 0) Vft(r,0): v ¿-¿Cr nr - 0+ ¡= 0 @

vf)v,o): \-/-/

Ar,rnPn(0)

n=O

Solución Como no hay¡corrientes H : -VV^y tambiénse verihca V.H : Oy'yaque al estarla esferauniformemente imanada V.M : 0. Por tanto, el potencial magnético escalarverificala ecuaciónde LaplaceYzV-:0 dentro y fuerade la esfera.Tomandocoordenadas esféricas con origenen el centrode la esfera,siendola direcciónpolar definida por el vector imanación M, el potencial sólo dependede las coordenadasr y 0. Las solucionespara el potencialson de la forma (véaseproblema40):

t¿-¿Ar,r'P,(0) * T ¿-/ crnr-{ ' + l tP ,(o)

n=0

o r,r,r,( o) +i

A to :

r 00 f,=o

¡=0

A tt : A tz:

126 100problemasde Electromagnet¡smo

A tz:...

: 0

Bz,) ,=o

f,="

r,\ -,,ry), =.:uo {-ry),= "*

cr nr - @+r r p,(r o)
Primera condición: El efecto de la esfera es despreciable para distancias alejadas, es decir, si r -+ oo, Iff) : 0, de donde se obtiene

Bt) ,=o :

_1ry\ : -i avf' \ r A0

r > a.

Los coeficientesconstantes A1n, A2,, C 1n,Cr, se determinan a partir de las condiciones de contorno del problema.

H ze ) ,=o

o cn funciónde los Potenciales

r:o

¿=O

vff)(r,o ):i

H r o \,=o :

@

@

V$t(r,0¡ :

'l'art'aray cuartacondiciones: En la superficiede la es= de 0) seconservanlas comvalor y cualquier forn1r a H y las componenlos campos de tangenciales poncntes se verifica decir, B, es campos los de io¡ normales

¡¡iendoM,: Mcosg. Teniendoen cuentalas expresiose verifica: lresde los potenciales, "' |

( Cr ,a - h 'L \

il-O

T ( Cr , ( n r ,=0

- Azn a ") o - t

dPñ :,

t ) P" - M cos0 : 0 l) a- @+zt r Ar , na"-

127 Magnetostática

scdcducequeel potcncialcxtc' t gstasexpresioncs potencial creadopor un dipolocolocadoen el 0t ol y de momentodiPolar esfera dc la

Como un polinomio de Legendre,Pn(0),no puedeexpresarsecomo combinaciónlineal de los otros; para que se satisfaganestasecuaciones,cada uno de loS términos dP_ que multiplican a p" o debe anularseindividualñ mente.Para cada valor de n" se tienen dos ecuaciones. Las ecuacionescorrespondientesa n : 0 son:

4, m=¡narM que el potencial interior es el potencial de un

(Croa-z - ,+roa-\.ff:O

Csa-zPr:

uniforme.

g

obtiene el campo H, fuera y dentro de la esfera,

ndo H - -VV^

'como Po : 1, es

Ma3

dpo:O

¡10

Ht e:

:

y se obtiene Cro :0 y Aro indetetminado,se toma Azo: 0, ya que al ser el término cotistante sólo afecta ál origen del potencial, no a los valoresdel campo. Las ecuaciones correspondientes a n: 1 son: Ctta-t - Ar,

H,':

2Ma3

3¡

cxteriora la mismaes:

H , =#( 24c os g * ur s eng) En puntos interiores las componentesdel campo son

de donde se obtienen H?,: -

Hze:{r"ne

c , , : Y !- v A ,,:Y De las ecuacionespara n : 2,3,..., r?,se obtienen

coso

ü, y üelos vectoresunitarios, radial y azimutal, H, creado por la esferaimanada en un punto

0

zCta-t+A)t-M:0

3¡

seno

M ,

cos9

'Campo magnético H, en el interior de la esfera es O?ucstoa la imanación y se llama campo desimanador:

Ctz: CLt: Ct+: ... : Crn.: 0

M H2

Azz: Azs: Az+: .-. : Azn: 0 Los potencialesen el exterior y en el interior de la esferason

,4lrt,0):H*:U

vf)(r,0):!"o"e

[ , El campo magnéticoB, en el interior de la esferatiene l'lf dirección y pntido de la imanación ¡

+ H,): ro(rvr- T) :', uo*' i $'' t, : ro(M ¡ ,,.j {.

\

J

/

129 100problemasde Electromagnet¡sml

Magnetostática *f

FFF u) lil cittn¡roll en ln csl'eru cs únic¿rrncnte cl produsitundoscn la supcrficic eldo por los polosmagnéticos (cnnrpoclcsimanudor). [:s un campouniformedc valor

"=

- TM

B es Itor tanto,el campomagnético lM \ * * B : r o ( H+ M ) : r . ( 1 ): Severifica

2 roM t

B" -: -2u^

( l)

H

Una esferaferromagnéticade radio B está unifor_ memente imanada.La curva de desimanacióndel material ferromagnético que constituye ta esfera está representadaen la gráfica de la figura. Utilizandoel valor del campo desimanadordó la esfera, hallar:

La recta (1) corta a la curva de desimanación en el punto de trabajo del imán: trtoH:200 mT,

b) La imanaciónde la esferaes B M --Ito

a) El punto de trabajo del imán. B(7) 1,0

0,4 0.2 ¡aH(m7)

150 100.

b) El valor de la imanaciónde la esfera,la den_ sidad de polos magnéticos y las corrientes de ima_ nación.

130 100problenas de Electromagnet¡smo

0.2 H---Am-| 4n. lO- -:1.59.105 '

La densidadsuperficialde polos magnéticoses ou:

0,8 0,6

B:0,4 T

M cos0: 1,59'lOscos 0

La densidadsuperficialde corrientesde imanaciónes K, : M x u,,

Ku)r: y*ú

: 1,59.10ssen0

--t --J

Un circuito magnético está formado por un núcleo ferromagnéticoen forma de toroide de sección s:2 cm?,longitud/: 60 cm y un entrehierroe: 2

131

Magnetostática

IW mm, rodeado de N: 300 espiras recorridas por una corrientede 2,5 A. Determinarlos campos en el entrehierrosi la curva de primera imanacióndel mater¡alferromagnéticose correspondecon la si_ guientetabla. BIT) H(Nml

0 0,120 0,325 0,550 0,690 0,720 0,740 0 200 400 600 BOO 1.000 1.200

(r/r,-- 0 Afnt, 8,,:0,470 7') de estarcctacon la curvade primcra l,t intcrsccción dctcrminael punto de trabajodel núclcofcImnll¿tción que corresponde a los campos fromugnético, H¡:400 Alm,

Bn:0,325 T

0,8

En cl entrehierrose tiene

0,6 0,4

B": Bn: 0,325T

^) 600

800 1.000 r.2ffi t.4N

H(Am-t\

B^ H.:t:259' trto

10'A/m

Solución Llamando B¡ y Hn a los campos en el hierro y B" y H" en el entrehierro,las dos ecuaciones fundamenialei del circuito magnéticoson: Hr(l - e) I H"e: NI 11,,0,598 + H"2'10-3 :750A l-toH : B¡ " Eliminando .Ef,entre estasdos ecuaciones.se tiene: B, Hh0,s98*;r.10-3:750 ecuaciónde una recta,que corta a los ejesdel diagrama de la figura en los puntos (Hn:1.254 Afm, Br:0 ?)

132 100problemasde Electromagnetismo

Problemr 6e ($F Un circuitomagnéticoconsisteen un toroide forlineal mado por 25 cm de materialmagnéticamente de permeabilidadrelativdFr:100 y un trozo de longitud 5 cm de un materialferromagnéticoimanado, cuyacurvade desimanaciónse da en la tabla adjunta, La seccióndel toro es de 3 cm2.Calcular: a) La imanaciónde ambos materiales. b) El valor de los camposen el circuitomagnético si, en las condicionesdel apartadoa), se abre un entrehierrode longitud0,2 cm y sección1 cm2en el materialferromagnético.

0'60 o'90 1'20 o'30 o 81(n -55x 10-3-53,1 x 10-3-50x 10-3 -45x 10 3 0 poHrlTl

133 Magnetostática

lll * Br: ¡rnl00/I, : 6,9,,t

€btlenen ll,=7'16'l,tA¡m B. M2=-1 - I-lz=7,09.105Alm /{o poH(mT) -50 -40 -30 -20 -10 (a)

Buprniendoque no hay fugas,es decir,que se que deben ol flujo magnético,las ecuaciones lon eamposen las tres regionesson

(b)

Ot:{Dr:
Solución a) Siendo Bt y Ht los campos en el material ferromagnéticoimanado y Bz y ,EI,los camposen el material lineal y aplicandolas ecuacionesfundamentalesde los campos,se obtiene Br: 82, f

Q H .ar:o

tto(Ht t Mr):

¡toI}}H,

H r 5. 10-2 + H 225. 10-2 : 0

I

(c)

Entre estasdos ecuacionesse elimina .Ef, resultando

!::

-ro

(r)

UoH t

Esta ecuacióndeterminala recta (1) que corta a la curvade desimanación en el punto (8, : 0,90T, poHt. : : -45.10-3 z). De

nr':L - n' Fo

siendo 45. 10-3 Hr--d:-3,58'l\aAlm ' 4n.10-' se obtiene M r:

7,52'105Alm

134

| 00problemas de Electromagnetismo

Br . 3. 10- 4 : Bt : l-toHz

82. 3. 10- 4 : 83. 10- 4 Bz : l-roltrHz

€omo no hay corrientes,la circulaciónde I{ esigual *l0l ¡{r4,8.10-2 + H225-10-2 + H30,2.10-2:0 se tiene Snlngndo Hz! Ht entreestasecuaciones,

B' 3Bt - 2 5 . 1 0 - 2+ o,2.ro-2:e Ht4,t'l0-' + ------i-00 tro

¡¡ deeh B,

4.8

ItoHt

0,85

135 Magnetostática

ccuaciónde l¿ recta(2) que corta a la curva de desimanaciónen el punto

en el interiorde la esferaesuni' El campomagnético y ouvalores

2 B=¡ eoM .* {*

(8, : 0,30Z, FoHt: -53,1.10-3 Z) Los camposen el entrehierro son .

€n puntos exterioresel campo magnéticoes el que

un {!ru!e degrg{re¡to

Br: 3Bt : 0,90T B^ H^: " -: lto

0.g0 .-:--:7,16'105 4n. IO- '

Soluclón

4,

m:¡na5M

Am-l

en el centro de la esfera. Por tanto, el flujo magnéticoen la primera posiciónes .2 Qt:

Una esferaferromagnéticade radio a está ¡manada uniformementecon imanaciónM. Si una espira de radio a se coloca inicialmenteen el círculo máximo de la esfera,perpendiculara la imanación,y después se desplazaparalelamentea sí misma una distancia d ld> a). calcular la variación del flujo. magnético a través de la espira al pasar de la posición iniciala la final.

Bn a 2 :1 ¡ to n a 2 M ? '"

En la segundaposición

., :ff B .ds:fot:A * 2na ,dendo A, tangente a la espira, el potencial magnético vGctorcreado por el dipolo: A :;-

lomxr +n

r-"

$ f

, "e

Iromsen 0 : - ¡toma 4nr2 4nrj

(Dr: A r2 n a : 'l,lnffl0 # 2na:

2¡tonasM 3(a2 + dz¡ttz

y la variaciónde flujo es

@,- o, :luono'tt(t-@fñ)

136 100problenasde Electronagnetismo

m,,

137 Magnetostática

w Un imán permanentetiene la forma de una esfera de radio F, siendosu imanaciónuniformeM. Hallar la energíamagnéticaalmacenadaen el campo magnéticocreadopor el imán en el espacioexterior.

$

3 Electromagnetismo

Solución Los camposexterioresson igualesa los que produciría un dipolo magnéticocolocadoen el centrq.de la

y demomento esfera dipolar

(fri

I

I

m:M1"^. l;Jqlry íg es decir, las componentesradial y azimutal¿.\H*""rff ' lH¿ ,:

2mcos9

msen9 l H ")o:

il +fir-

J +nr-

3cos20+1

^m 2

H;:

r6

@ü

Siendo du : 12 sen? d0 dE dr, la energía almacenada en el esoacio exterior es

'":[f1"2 '?o':

Un circuito magnéticoes un toroide de material magnéticamentelineal de permeabilidad¿r,de sección circularde radio R,,siendoel radio de la circunferenciamedia del toro R2(R2tt B'). El toroidetiene un entrehierrode longitud e, que está ocupadopor un disco conductorde radio a (a > R,) y espesore colocadosimétricamenteen el entrehierro.La permeabilidaddel disco es po y su conductividado. El circuito magnéticoestá alimentadopor un arrollamiento de N espiras recorrido por una corriente / - kf. Se pide: a) Calcularlos camposB y H en las dos regiones del circuitomagnético. b) Hallarla potenciadisipadaen el discoconductor.

:ffiL" nrJ"{:.o,'g* 1)sen t* I:ry w ":

4npoR3M2 an

LI

(b)

138 100problemasde Electromagnetismo

139

Solución

a) Aplicando las ecuacionesfundamentalesde los campos al circuito magnéticoformado por el toroide (Ilr, Br) y el disco(Hz, Bz),se tiene:

OB,

2nR,* C- )"

P

{H.at

: rr

Hr(2nR,- e)+ Hre: NI

(t)

fr p n ds : 0 Bt : Bz esdecir, FHt : ltoHz e)

pNk

El campo eléctricose calcula en las dos zonasdel disutilizando la ecuación (3) en su forma integral. Los eléctricosson azimutalesv sus módulos son:

resolviendoel sistemade ecuaciones(l) y (2) (0
H t:

2nR, * (#- t),

(Rr
2nR,+ (L Bt: Bz =

I

i,

'),

ttNI

znn,+ (fr- ,)"

140 100problemas de Electromagnetismo

eB" 0t

Er2nr: -

aB, É

"Oí

aBzR1 -E L2: 2, Se toman elementosde volumen de disco (figura b)

b) Los camposenlazona central del disco, Hz! Bz, varfan en el tiempo, ya que ¡ = kt, por lo que se induci un campo eléctricoen el disco y, por tanto, una corriente eléctrica. ' La tercera ecuación de Maxwell relaciona el campo eléctricoinducido con la variación en el tiempo del campo magnético

V xE

oBr,

) - --:-- TErót

08. r rr: Éi

u r- N/ Fo

Hz:

fr

Er2nr:

(3)

ilu : 2nr dr. e y la potencia disipada en el disco es

* oEl2nerár nerdr: f*,o"tr ": J^'

:ry(+)' [#.-''"&] 141

Electromagnetismo

Una espirade radio F situadaen un plano vertical gira alrededorde su diámetroverticalcon velocidad angular ro, dentro de un campo magnéticoB horizontal uniforme y constanteen el tiempo. Halle la f.e.m,inducidaen la espiraen el sistemade referencia fijo y en el sistemade referenciaque se mueve solidarioa la espira.

ctr Slslttttttdc relcrenciutlul lul¡t¡rutot'io.lil obscrv¿tclor €l Inbol atori o.vc la cs¡ r ir a m oviéndoscct "¡ul't c¿I m po nngnético c()llstatrtc

f+:') \d¡

V x E":V

/

ó8, x (v x Br) -;:V

x (v x Br)

La f,e.m.inducida se calculacomo la circulacióndel ettmpoelectromotorE" : v x B¿ a 1olargo de la circunferenciadel circuito E.:

uBsenúlf : rrrRBseno(sencof

oRB sendsen ¿t,lRdasenu : ,: $""ut:.|."

: arR2Bsenú f

sen2uda:

SarBsenc0,

Solución Sistemade referencíade la espira.

VXE" : - +o t El observador en la espira ve un campo magnético giratorio (8"),:

B seno¡l

(8")r:

Bcosruot

La f.e.m.inducida en Ia espira es debida a la variación del flujo magnético 6:

-

d@d : -; dt

'/42 100problemasde Electromagnetismo

(BScos rtt):

Strsenúof

Sobre dos carrilesconductoresy paralelos,separadosuna distanciaa, se puedemover sin rozamiento una barra metálicade masa rn, perpendiculara los carriles.En un extremode los carrilesy conectado entre ambos hay un resistor de resistencia8, siendo la resistenciade los carrilesy la barra despreciablefrente a R. Perpendicularal plano de los carrileshay un carnpomagnéticoB uniforme.Si en el instantef :0 se le da a la barra una velocidadvo perpendiculara ella y en sentidotal que se alejedel resistor,se deseacalcular: a) El tiempo que tarda en pararsela barra. b) La distanciaque recorreantesde pararse.

143 Electromagnetismo

c) En qué se transformala energíacinéticaque se le suministróa la barra. XX

xx

u282

mR

XX

xrxx

,xx

aiendcr

x x rx x "x

x x xX

XX X XX

Integrando la ecuación diferencial siendo u : Do para = 0, se tiene u : uo€-kt,1o que significa que la barra f t&rda en pararse un tiempo infinito. b) El espacio recorrido por la barra hasta pararse es

X

J; Il'o':',

e ^'dt

Solución

auB

IaB

a"B'

por lo que Iaenergíaque sedisipaen calor durantetodo el procesoes

R

w:J-RIzdt:ry1:

cuyo sentidoes el indicadoen la figura,para oponersea la causaque la produce.Al estarla barra recorridapor una corriente1 y dentro de un campo magnéticoB, experimentauna fuerzaF : Ia x B que seoponea su movimiento.El módulo de la fuerzaes F:

uomR

k

c) La energíapor segundo disipada en calor es R12; en el instante / la intensidad que pasa por el resistor es

a) En un instantet la barra tendrá una velocidadv y, como estádentro de un campo magnéticoB, hay un campoelectromotorE : v x B en la batra. La f.e.m.inducida E : auB origina una corrientea travésdel circuito, 1:

to

1. -)Vt e - "'a t :

a2B2uf;1, _m u2o R

2k2

que es igual a la energíacinéticainicial de la barra.

a282

R

La ecuacióndel movimientode la barra es du

a2B2u

dt

R

Un circuito plano, deformable,tiene la forma de un triángulo isósceles,cuyos lados son dos barras y una tercerabarra MN que se fijas perpendiculares a sí misma con velodesplazaperpendicularmente cidad constantev como se indica en la figura. El circuitoestá colocadoen un campo magnéticouniforme B que forma un ángulo a con la normal al plano del circuito.Sabiendoque la resistenciaeléc-

es decir du umR

a2B2 _ dt:

_kdt

& 144 | 00problemasde Electromagnetismo .ih

{

1 Electromagnetismo

trica de las barras por unidad de longitud es 4 determínese: a) La potencia necesariapara desplazarla barra MN y la potenciadisipada en calor en función de la posiciónde dicha barra. b) El trabajo que debe realizarsepara desplazar la barra móvil desde la posición inicial hasta una posición en la cual los lados del circuito se han duplicado.

d aignosignificaque la corrientecrea un campoque se oponc al aumentode flujo producido por el movimiento de la barra y la fuerzaque actúa sobre la barra es gpucsta a la velocidad, o sea, una fuerza de freriado F - Il x B, cuyo módulo es F: '

Datos: xo:1tTt, v:10

m/s, a:45", B:0,5 T, r:3Nm.

2B2vxcos2a íIx../2Bcosd: .

e + Jz)r

En un cierto instante,la potencia necesariapara movcr la barra y la potencia disipada en calor son, respec-

; tivamente,

Fu

P.:

2B2u2xcos2a ^ Rr=- : ----------=-

-

l.rl ' .w. ffi ¡!h

a 2B2uzxcos2

F-: -.

(2+ J2)r (2 + J2)r

b) El trabajo que hay que realizar para desplazarla ,, barra desdesu posición inicial xo hasta la posición co! rrespondientea 2xo es

#p,

?

I

f2xo

dx

2B2ucos2ü

l2'o

'= J'^o':J*"'^,,Jt: e* Jt\4t)," Solución

a 2B2ucosz La f.e.m.inducida en el circuito es E: -

d0 : dt

-! (" f *,t : -B*,Jicoso

e + J2)rJ2

xdx:

(T)

Sustituyendolos datqs del problema, se tiene

P:2,5x,

T : 0 , 3 5J

a) Siendo la resistenciaeléctricadel circuito

R :4 2 + ufZ¡ x la intensidad inducida en el circuito es

Un hilo rectilíneoindefinidorecorridopor una coEl son coplanarios' rriente/y un circuitorectangular se deformaya rectangular, circuito,manteniéndose

146

problemas 1,00 de Electromagnetisml

147

Electromagnetismo

que sus ladosparalelosal hilo rectilíneo,de longitud h, se desplazancon velocidadesperpendicularesal hifo v, y vr(v, < vr). Hallar: 1. La fuerzaelectromotrizinducidaen el circuito: a) si / es constante, b) si / varía con el tiempo /(t). 2. El campo electromotor de inducción en los dos casos.

cn el circuitocs e) La f,c.m.inducid¿t

{ )= -

dq,

poth ( t,,

3)

,tr:

2" \;r-

uz/

b) Si I : I(¿),la f.e.m.es dA t::

"

-

dt

¡ t olh ( u, 2n \ o,

uz\

Poh dl , u, 2n dt ul

t---Iii-

uz/

2. El campo electromotor en el primer caso es [-vxB ^ : Er

ttol ut . _ LtLuT

Lz

ttol '2na,

la circulacióndel campo eléctricose toma en el sentido de las agujasdel reloj, de acuerdocon el sentidopositivo del flujo elegidoantesy la f.e.m.inducidaes

r:$ " .dr:E th-E ,h:* e ?) es casoel campoelectromotor En el segundo Solución

E-1. Llamando ai, j az a las distanciasentrelos lados móvilesdel rectánguloy el hilo, el flujo que atraviesael circuito es

. : f f B. dr,,' # n a *:ffn 2 s: donde se ha tomado como positivo el flujo hacia dentro del papel.Como aty azvaúan con el tiempo,siendo dat d t:"

148 | 00 problemasde Electromagnetisml

dot

t

*:u,

AA ^ f vxB 0t

El potencial magnético vector de un hilo indefrnido recorrido por una corriente f en un punto que dista r del hilo tiene la direccióny sentidode la corrientedel hilo y su módulo es

e : !¿nr m2 siendo¿ la distanciaal hilo del punto que setoma como referenciapara los potenciales.Se tiene

149 Electromagnetismo

E r: -+*

Er: -+

oA,

v , x B , , s ie n d o

o- :t ^ l n -

oA,

t v, x Br, siendo

E:

l' u

AI ü,

¿ft

po

a ur

AI

2"

ar, a t"o,

La f.e.m.en el circuito es isual a la circulacióndel campo electromotor:

e: E,h- E,h:+! * {4¡,u lr - t) 2n \o, az/ 2n dt a2

(' u¡tndr l lir cs¡ r it 'ircit c vit t iit cl llr r . jot t t it g, t t dlico r ¡ uc lit , t t cdit lugit r it attttvi csny sc ir t cluccc¡ t cllr t r t ¡ llt l. c. t r l. c¡ lirlil . scr t t idoclc l¿tcol'r iclllccs lit l c U nn u()r' r'icntinclucit allr€ticn(lc ¿roponct'sc¿tl¿tc¿tttsacyuclit prttclttcc.¡ror lo qtte el rl om cnt o r naguót icoc¡ ucadc¡ uicr cla cspir it cst i't tl l ri ¡l i tl o hacia ar r iba. l ,n cs¡ r ir aont oncessc pucdc considcr arcom r . >un clipttlo rnagnéticoque, en prcscnciade un camptl rto uuiforntc,cstá sometido a un¿lfuerza F : (m.V)8, quc ticnde ¿rlrcnar la caída de la espira. Esta fuerz¿tdc frcnadrl es proporcional a la velocidadde caída.Cuando las fucrzrts(pcso de la espira y fuerzaelectromagnética)se cquilibrcn, cl anillo caerá con velocidad uniforme. lil tlujo que atraviesa la espira es

Solución

BS : Bo( l + kz) S

O:

Una espiracircular,cuya resistenciaeléctricaes F y su masa m, cae librementedesde una gran altura en un campo magnético vertical no uniforme B,: Boll + kz), siendo k una constante positiva y z la altura respecto al suelo. Siendo S el área de la espiray suponiendoque se mantienesiempreparalefaaf plano horizontalxy, calculela velocidadfinal de la espira en su caída.Despréciesela resistencia del aire.

-/\,-¿".

La f.e.m. y la corriente inducidas en la espira son proporcionalesa la velocidad u:

€:

-

dt

o f t-

-

dA dQ dz _;;: ,. :

-BoftuS

dz dt

BokuS

--

R

Lafuerza magnéticasobrela espiraestádirigida hacia arriba y su módulo es

F^"": ¡¡' d é m

aB: lSE"k: ,^ j- B^k us d^z

vv

SBok

R

Se calcula el valor de u cuando esta fuerza equilibra al peso de la espira BnkuS , _ L SB^k: m a R

150 | 00problemasde Electromagnetismo

m gR ü __ ^__: _ B3k2S2

151 Electromagnet¡smo

Otro n ro d o d c rc s ol vclcl ' probl crrracs uti l i zar cl pri ncipio de conservaciónde la energía:la disminución de la energíapotencial es igual a la energíadisipada en calor: mg A ,z : R I2 L I. u :ñ :

A,z

RIz

Bf,kzu252

It

Rmg

*: de donde u:

cs¡ r it 'itt ccr lr lidt t ¡ r or t ¡ t lit cr lr r iclr t c/ l , t , t t ¡ r cc¡ t t cñit C()nto urr dipol0 d0 tlltttrlctrto trritgttótictt t€ eOntlt()1,tfl nritgnéticoct'cttdtl¡rot m = tS. sicttdoS ' nuz,l¡,1ciltrlp() el rl i ¡lr lo ct t los pt t t t t osdcl cir cuit t t cs

mgR Brot¿y,

3( m 'r ) \ *=r') l: ' 15 r '1

m

tt,,/ '" l 4n \

lr , , m -4nr j

: El lltritr tttagnétictla través dcl clemcnto ds nr dr cs positivo cl flu¡o como = tlnr dr, clondese ha tomado il@ circuito dcl a travós total papel. El flujo hacirttlcntro del y In i ndt r ct at t ciam ut ua son

.r,:& \" f' Y !!' :b+ I(!-l l c/ 4 4nJu r z \b o

En la figura se muestrandos circuitoscoplanarios: una pequeñaespirade radio a y un circuifoformado por dos semicircunferenciasde radios b y c cuyos centros coincidencon el de la espira (a <
l\

unna2 / l

M:j:-r[;-;/

Otro modo de calcularel flujo a travésdel circuito es

o:

$n

ar

riendo A el potencialvector del dipolo: Fo m x r tr: ^ 4n t' Su nróduloen los puntosdel circuitoes nA--* -

Fom 4nt

lu circulaciónes nula en los tramos rectos,ya que A y sólo contribuyenios lados curdl son perpendiculares, y tiene se vos, Q: Arnb - A,nc Q:

152 100problemasde Electromagnet¡smo

rb

I,I¡l7l

4nb'

:ry(;): :*y(;) ilon

4Ttc

153

Electronagnetism

S c h a to ma d o l a c i rc u l aci óncn cl scl l ti cl odc gi ro dc l as agujas del reloj para ser consistcntccon cl scntido del flujo positivo elegido antes. La inductancia mutua entre los dos circuitos es

S r l t l l 'c l o s l t'i tl l tr l s r e cto s /) ,'l y l l ( ' l r ts h l cl 'zl ts s( ) l l l l .l tl l l l e ; y t i c r r en l i r d i l cce i d r l l tl c X

l"t,.t o ^ I* --:'I"

l\

u^na2 l l f4 \ó

c/

2. Como la corriente que pasa por la espira de radio avaría en el tiempo se induce una f.e.m.,y.por tanto una corriente I 2, en el otro circuito: do

t:-

I,- :

dI, M-::-Ml outcos(D / dr

dt

M l^u.¡ - --L -c o sl .,,/R r* L 2a2

/ \

tco\ : o¡ - arctg "R/ |

_ M Io a (,L r\

i T-artg _ I 'R/

^ -cosl u-tt* \ v /R 2 + L " ' t2

3. La fuerza sobre cada elemento del circuito en el campo creado por la espira de radio a es dF : I rdl.-x g. La fuerza en un cierto instante sobre un elemento del tramo AB fiene la dirección y sentido indicados en la figura. La fuerza total sobre dicho tramo será la suma de las componentes según el eje X, ya que las componentes según el eje I se anulan u^m I d F o e : Irb d a ' ," -:# d a " i t^m + ftD"

f "lz

Fou: I u

) 11.

+ftD '

I I zltom dFoucos o: ft -u^m sendn 2,r: 47tb' znD'

Análogamen te,la fuerzasobreel arco CD es I , ltnnl aCD^ zlLC-

154 100problemasde Electromagnet¡smo ,

)

.-,'l'J' (; ,:,)

f' ltt)n /'r, ' I I-,,1, n-,,., atLl

|

^

|

t#

dc X y stt l,u l\terzittttt¿tlticncla dircccióny scnl"iclo cs tllrldulo 3u,,ml,/l

lt . t| ¡ B+¡ - B(+. F c D +F D A:tr '

3u112^lt t u2lzut /l

l\

r c " ¡ n + t'o,'\A'

c ')

/tr\/La\ ttn u-rrcos - arctg I \cot [n ;/

( ;;

n

-

l\

¡7

")

fil valor medio delafuerza en un periodo es

,:###,(;r(;:) Problomr7t Un disco metálicode radio R, espesore y conduca un tividad o está colocado perpendicularmente en el que es variable campo magnético uniforme y f elt¡empo. tiempo B: Kt,siendoKuna constante Calcule: a) Las corrientesinduciilasy la potenciadisipada en el disco. b) El campo magnéticocreadopor las corrientes inducidasen el centro del disco. c) El momento magnéticoinducidoen el disco.

155

Electromagnetismo

ilmpo inducidoos

¡, = i dB,=l^ J- - ' Jo

PooKerilr =uooftR 4 4r

danlugara un momento inducidas Lasoorrientes

en el disco,que es la suma de los momentos Su sende los circuitosantesmencionados. B' aplicado del campo al !| también opuesto

:+ dm,=¿7nr2 Solución

f .

edrnr2 lRonKe

* ,:J O^t:) o- 2 a) Por simetría las líneasdel campo inducido E son circunferenciascuyo centro esel centro del disco.Seconsidera una circunferenciade radio r (r < R) y se aplica la ley de Faraday Er2nr:

- ! 6tn'¡ dt

j*

onKeRa

,

Un eolenoidelargo y estrecho,de radio R' tiene n

El campo eléctrico y la densidadde corriente inducidos son, respectivamente

Kr E r: -T

r ^, " Or :

por ,ltplras por unidadde longitudy estárecorrido y en un zona central la l: lo(Ud.En Unl COrriente se sitúa de solenoide del perpendicular eje al phno

oKr

La potencia disipada e4 el disco es

, :

f

J" r,o r:

fR oK2r2

)o

4

oK2enRa

2nr dr e:

8

b) Las corrientes inducidas constituyen circuitos concéntricosque crean en el centro del disco un campo magnético de sentido opuesto al campo aplicado. Un circuito de radio.r y sección edr tiene una intensidad u^dl dI : jredr, y produceun campodBr:'-7 .

167 100problenasde Electronagnetismo

Electromagnetismo .

manerasimétrica,como se indica en la figura, una varifla metálicade longitud2L, que distaa del centro del solenoide(a > B). Hallela circulacióndel campo electromotorentre los extremos de la varilla.

,, J'n,u' R¿ tB '-':21 2 ítt

Solución En el interior del solenoidehay un campo magnético uniforme en la direcciónaxial B : ¡tonl. En el exterior no hay campomagnético,pero hay potencialmagnético vector A, que debido a la simetríadel problema tiene sólo componenteA, Utilizando la expresión

f' /t'' r/J

I J2

y tomando como línea c una circunferenciade ra R)

Ar2nr:BnRz,

¡/,rcos a

ft cosa uda - ---;-c()so¿: Jo c cos'a AB . L R'arctg* dt

^AB R';a:

tftl¡tlc sr:ha hechoel cambiode variablex : atgq. ada

dx:

I I.a .:Ja a r

2r dt

, cos-0(

Y lt flc.m.cs ¿:

ltanlo

R' arctgL

TA

O-:U+

Pro¡lrmrif: y el campo eléctricoinducido es E.^: ' 0t

aA^ *

R2 dB 21 6t

El signomenosindica que el sentidode E es opuesto al del potencialvector A. La varilla metálica aparecerá cargadapositivamenteen su extremo1 y negativamente en el 2. Esto significaque el punto 1 está a mayor potencialque el punto 2, de modo que si seunenlos puntos I y 2 por un hilo conductor querodeeel solenoide(sólo en ese caso)pasaríacorrientepor el hilo. Es decir, la varilla secomportacomo una pila, cuya f.e.m.es igual a la circulaciónde E a 1olargo de la longitud de la varilla:

158 100problemasde Electromagnetismo

Un solenoidede radio a y longitud / (l>>a) tiene Nospirasrecorridaspor una corrientede intensidad l:

lo- kt,

siendo f el tiempo y k una constante.En'9u zona al eje del solenoidese centraly perpendicularmente colocauna chapa metálicade resistividadp que tiene la forma de una corona circularde radio'sa y b la < bl y espesorc. Determínese: 1. Lascorrientesinducidasy la potenciadisipada en el conductor. 2. El campo magnéticocreado por las corrientes inducidasen el centro del conductor.

159

Electromagnetismo

fh [t/( 1 /J\¿ P .1,,'*",n,"' / J,,+¡,r,(.,.,,

Zntrtr

J \---/' -

^ffi

)'

",,r:1," (#)'

n¡ ( , N2k2uac, l, ,b tn tn -. : ---;-_/.1)tu u

?, lil campomagnéticocreadopor las corricntcsindilcicltscn cl centrodel conductorse obtienesumando que los cunrposproducidospor los circuitoselementales ellas dc uno de inducidas cada lascorrientes eon$tituycn El campo dI: e intensidad cdr tnelicrr, sección i*cdr. es cretclo por uno de estoscircuitoselementales u^ dl :l'd*'d' 2r

dB,":' i ,

: -

poca2dr 08" 4pr'

at

lil campoinducidototal tienesentidoopuestoa B,es:

Solución

unca' oB. fb dr PzoNkca? Br": - -^, (;;) 4pl l^ r-

t;

1. El campomagnéticoen el interior del solenoidees uniformeB": ¡to(Nll)1.Como B" es variableen el tiempo se induce en el conductor un campo eléctricoE*, ! por tanto una densidadde corrientejr. Aplicandoel teorema de Ampére, tomando como línea de circulación una circunferenciade radio r > a centradaen el eie del solenoide,se tiene:

E *2x r: -

dBno' i

LDQ-- -dB " !' i l 2r az

; l
La potencia disipada en el conductor es

160 | 00problemasde Electromagnet¡smo

-

Probbmr?fi Un largo cilindroconductorde longitudh, radio F y conductividado está rodeadopor un solenoidede igualesdimensionesque tiene n espiraspor unidad de longitud y está recorrido por una corriente l= losenrof.Suponiendoque la corrientees lentamente variable,halle: a) Lascorrientesinducidasen el cilindroy la potenciadisipadapor unidad de volumen. b) El campo magnéticocreadopor las corrientes inducidas. c) La f.e.m. inducidaen el solenoide.

161 Electromagnetismo

l,tt dcnsidird dc crlrticlrtu crrcl cilindrocolrdr¡clor. cs .¡,n'- oli,,,':

.

-.--r,--.rd

¡tuotrl,r<,t I ctrr,,rt z

h) tJn clcmcntodc cilindrodc cspcsorr/r y longitutl /l rcctlrridoporl, crcacn su intcriorun campout¿lgcomocl dc un solenoide, f'trilictr sustituyenclo nl pt'tr. .j,,dr tlB,. : ltoirdr : - Uf;ontoa

l"ort,l;t

a,

lil campodebidoa lascorrientes inducidasen un punto ticl cilindro que dista r del eje es el creadopor krs solenoides equivalentes comprendidos entrer y R

Br": - ttfonlococos@/ L ;"

: - eI"

:

(R2- r2)cos,t

Solución c) El flujo del campoinducidoa travésde una de las espirasdel solenoidees a) El campo magnéticocreadopor el solenoidees

o, :

B : ponl osen¿0t

fR

I B¡2nrdr:

Jo

Al ser variablecon el tiempo se induce un campo eléc_ trico azimutal,cuyo módulo se obtieneaplicand-ola ley de Faradav:

:

-

1^

fR

t p( onnloacor r t

1 Er2nr: -

Et :

-

AB ot

ABr

162 100problemasde Electromagnetismo

8

nr2

At2

- ¡tonloa

,cos

at

( Rt r - r 3) dr :

Jn

cos(rl/ ilf,onnl ocoRa

El flujo a travésdel solenoidees N : nh vecesmayor; por tanto, la f.e.m.inducida en el solenoidedebida al campode las corrientesinducidasen el cilindro conductor es

163

Electromagnet¡smo

t ¿ :- ' h + dt

1 t¡: -g tt2oonn2hloazRasenilt

.

a) La autoinduccióndsl arrollamisnto' b) La energlamagnéticaalmacenadaen el arrollamiento y la fuerza que actúa sobre cada espira cuando están recorridaspor una corrienteL Datos: l: 1A' ¡t,= 300, a: 10 cm, R: 20 cm, N: 104,

dt

tl

ei: - ¡tonn2hlouR2coscr-rf

iu'oo"r't

toco2Rasenoú

Hr:

Hr2nr: Nl.

N1 ñ

El flujo magnéticoque atraviesael arrollamientosicttdop:lol,es

O:N

Un toroide de seccióncuadradade lado a y radio interior R está hecho de un material magnéticamente lineal de permeabilidad¡.r,.Sobre el toroide hay un arrollamientode Nespiras repartidasuniformemente.Halle:

^a

D'

n) El campomagnéticoen el interiordel matcrialsc obticneaplicandoel teoremade Ampéreen una cllctltlfercnciade radio r (R < r < R'l a)

Al introducir el cilindro conductor,la f.e.m.inducida en el solenoidees t+

\-'

Soluclón

si no hubieracilindro conductor,la f.e.m.inducidaen el solenoidesería d_ : - ¡tonnzhloaR2cosat € : - nh ; (nn2po,4/osent.:ot)

J/.-\

fR +a

I

NI

p*.adr:u

N zIa

2n "-

2nr

JR

R*a

ln-

R

ta autoinduccióny la energíamagnéticaalmacenada, son respectivamente. Nza R*a

O L:j:tt

2n,n ^ Nzlza- R*a A,r,n O

I ^ W:_Ll,:t,

b) Tambiéh se puede calcular la energíaen función de los campos 1'

flrl

w : l l l ;pu'au:;u L Z JJJ

: l't

164 100problemasde Electromagnetisml

fo*'/¡ü1\'

|

( ;)

2nar dr :

\L1.,/

JN

N2I 2a, R * a 4rE 'n

R

165

Electromagnetism

ftF-

\

-{-/-\___/-\

p ¿ u ' ¿hl¿ rl l ¿ lua' f' u c rz as.o b rc un¿rcs¡l i rl cl l cul i rrrrosl a ¡rr.csión magnetostática sobrc un clcmcnto dc ¿lrca, dS : adl, de la cara interior del arrollamiento. Se tiens dF^

los t lit t os,sc liule S ttsti tr r yer t t kl

t.'.243il,

W , . ,t 2 2 . t ,

/f ,.'s,ry

Frobbmrüt

l @ra),= R

o": ¿S t

/N I\, :r Ip \z" Á)

t,

1

/¡/1\2 dFR:; adt " 2 ul *l \2trR/ el número de espirascorrespondiente al elementodl de la cara interior del arrollamientoes Ndt

dN:

2TLR

por lo que el módulo de la fuerzasobreel lado interno de una espiraes

Un solenoide!argo y estrecho,de secciónS, longitud /y Nespiras tiene una autoinducciónL y una F. Si estácolocadoen una región donde reaistencia existeun campo magnéticoB: Bocoscr.¡f en la dirección del eje del solenoidey la frecuenciar¿ es lo auficientementebaja para considerarque las corrientesson lentamentevariables,calcúlese: a) La corrienteinducidaen el solenoide,así como el flujo total que lo atraviesa. b) Lo mismo en el caso en que la resistenciaR frente a Lro. del solenoidesea despreciable

Solución

¡tN 12a

P ^:

n¡4

a) El flujo que atraviesael solenoidey la f.e.m.inducida son

y tiene dirección radial dirigida hacia el eje. Análogamente se calcula la fuerza sobre el lado externo de la espira

(D : NBS : NSB. cos (r-lt

da

F o *o

:

t:- ,:N SBn @se n @f dt

pN12a

4n(R + a) La corrienteeléctricainducidaes

que tiene sentido opuesto a la anterior. Teniendo en cuentaque las fuerzassobrelos lados superiore inferior sumanceropor serigualesy de signocontrario,la fuerza total sobreuna espiraes

r-:

uNI2a/1

I

\

4, l¡-^."/

y está dirigidahacia el eje del arrollamiento.

166 100problemasde Electromagnetisml

NSB"a.r I : -==: _sen(¿or - E) t L'a' R' J

La tg(D : R

Esta corrierrte inducida cÍea a su vez un campo mag" nético Br, y por tanto un flu.jo en el solenoide

ü"1ü1
poN3S2Boc,.r sen(ú0¿- q)

t JN+

L,r'

167 Electromagnetismo

TrF' I

,1

El Ilujo total quc atraviesacl solcnclidcos r^N3S2B^a-r O, : @+ Or : NSB. cos rr-rr+ -: sen (cr.r/- rp) lr/ Rz -l L2at2 b)

Si R <
R

$

b) La energfasuministradapor la baterfahasta eie instante. c) La energíadisipadapor efectoJoule hastaese lnetante. d) Comprobarque la energíasuministradapor la bateríaes la suma de la energíamagnéticaalmacenada y la energíadisipadaen calor

-/-'\--/

^ffi

\ ,:

ft

+ @

2

y la intensidad inducida es . t:

rVSBoro / "\ s e n\@ r-t):L,

NSB. L

cosúl f

El flujo total en el solenoide en este caso es

Soluclén @, : O + O : NSBocos rt -

u^l ü3s28,, -tL_jcosal/

La intensidad del circuito 1 verifica la ecuación difcrencial

y siendo la autoinducción del solenoide

L:

V- L

loN'S

AI RI ,,t:

T cuya soluciónes

el flujo total a través del solenoide es cero.

r: r.(r- "-:) siendo f

En el instante f:0 se conecta un carrete de autoinducciónI y resistenciaB a una bateríade diferenciade potencialconstanteVy resistenciainterna despreciable. Calcúlese: a) La energíamagnéticaalmacenadaen el carrete en el instantef : L

168 | 00problemasde Electromagnetismo

"

--

VL R'

R

a) La energía magnéticaalmacenadaen el instante ü:Zes Rr\ 2

w^ue:)'u

:;.

(í)'('

*e-T)

169 Electromagnetismo

-

w rd,

b) La cncrgíasuministracl¿r csc ¡ror'la b¿rtclíalrast¿r instantees

wau,: L r,": I

v/

- I\

u¡(t-e,)dt:

:T(, -,)l *,":-,):r?.i("Y c) La enetgía disipada en calor desde ¿: 0 hasta /:Z e s

w"uto,: f' ^r'or: v2f L/ :-lT+-l2e RL R\

lr

J.

Un carrete plano circulardo N ospiras,radio a, resistenciaR y autoinducciónL gira alrededorde un diámetro verticalcon velocidadangular or dentro de un campo magnéticohorizontaluniforme Bo. Halle:

,8 Probhmrtf

a) La potencianecesariapara mantenerel carrete en movimiento y compruebeque es igual a la potenciadisipadaen la resistencia. b) El valor medio de las componentes(paralela y perpendiculara Bo)del campo magnético,creado por la corrienteinducidaen el centro del carrete, c) Si se colocaen el centrodel carreteuna pequeña aguja magnéticaque es libre de girar en el plano horizontal,¿queánguloformarácon el campo Bo?

t\2

* *v2/ (t

*e;)

-Rr I -'z!! L --s 2

at:

3\l

' -t))

d) Se comprueba que la energía suministrada por la batería es la suma de la energía magnética almacenada en la bobina y la energía disipada en calor

W

mag

+W

RZ¡ z

lv2 L c a t o¡

v2f L/ +-lTI-l2e RL R\

2RR

('

-Rr 1 L --e 2

_e

2RT

'

v2f L / -! l \t :-lT+-le L RL R\ ')):

1.70 100problemasde Electromagnetismo

L)+

-

Solución

a\ --l J\ I

,)):

**,

a)

E:

La f.e.m. inducida en el carrete es

-

dad ;:

¿( Xno. r "at

cosco/ ): NBoana2 sen¿Df

171

Electromagnetism

la corriente eléctricainduclda en cl carrcto cs N Bnu¡xa2 I : --=: _sen J R' * L' a'

(cr.rt* g)

siendo

tgE:

/ 1, clcloit t t t ¡ 'r o l ,o s vir lr lr csnlcr liosclc lit s colt t ¡ r olt ct lt os y parnlclit itl citttr¡ro/1,, en las clircccioncs¡'ror'¡-rondicul¿tl son. rcspccttv¿Ilnctrtc,

( B,t:

La

¡toN2Butttnu2

zalnz

sen(ral - rp)scn rr.rl:

+ L2ot2

i ¡tN2Botona2R

pLrN2Boi.:onaz

el momento magnético inducido en el carrete tiene la dirección de la normal (dirección y sentido del eje x positivo) y su valor es m: Nlnaz. Al estar dentro de un campo magnético, el carrete experimentará un par I : m x Bo gue tiene sentido opuesto a to (par de frenado): N 2 B1(Ta2l2 ut | : mBosentot : *;ft sen(cof-
::úUSU_/:

Zr/n'*

---

^

-

("J :

poNz Bocona2

2oJN + ür'

sen(roú- E) cos arf :

poNzBoa2na2L

poN2Boanaz

senE:

4o!/N + L'of

4a(R2 + L2a2)

c) La agujamagnéticasecolocaráen la direccióndcl campo magnéticoresultanteB* + Bo, es decir,formará un ángulo a con la direcciónde Bo fod:-

Bo + (B*)

2(Rz + L2a2)

N2 Bzoaf (na2)2

sen ú0Ísen (a-rl- d : la /----^---:---= JR' I L'a'

b) El campo magnético en el centro del carrete creado por la corriente inducida tiene la dirección de la normal (eje x) y su módulo es

U-:ry | 00problemasde Electromagnetismo

4a(R2 + L2ut2)

4aln2 I L2o¡2

N2Bf;1na2)2Ra2

Por otra parte,la potenóia media disipada en calor en el carrete es

172

/D :

(BJ.

por Io que la potencia media necesariapara mantener el carrete en movimiento es

P:eI:

cos

21R2+ L2a2)

L2a2

P:fr¿:

^#

t-

ProblamrE* Un hilo rect¡líneoindefinidorecorridopor una corriente/y un circuitocuadradode lado a, resistencia R y autoinduccióndespreciableestán en el mismo plano y colocadoscomo se indicaen la figura: a) Halle,en función de la posición,la fuerzaque hay que aplicaral circuito para que se mueva con velocidadv constanteperpendicularal hilo, alejándose del mismo. b) Calculela potenciaeléctricadisipadaen el circon la potenciamecánica. cuito relacionándola

173

Electromagnet¡sm

F*,

(il\

\

+i

Y\_---____,,_\

,!i

X

X X

¡X

x

)t'

en el ci lcuilo h¿r ciirder r t r o del ¡ lr ¡ r el,¡ r or lo c¡ r r clr r corticnte inrluciclasro¿rL¡no¿ul)p()lt¿tcirclcrrtrodcl ¡lrpcl p¡rr¿ll r, ur cr 'r l. ar l, l pot cnciaclóct r icl clisip¿r dicho 11r r . lo. cl¡rcs

X X X XX

D -- tr '/o* c: t '

t

F'

XX X

R

4n'x'(x*a)'R

La fuerzasobrela espirase oponeal movimicnto,cs una fuerzade frenado.Su módulo es ,/., I \ unl unl u^lI'a / I ( F:=at'-------:--"-ul':':^ I t t q)

x

¿ft\x

¿nx

poIa2u F:

Solución a) El campo creadopor el hilo es perpendicularal plano del circuito y haciadentro del papel.Su módulo,a una distanciar del hilo, es B:;

u^I

: u:tal.+"4! :':'o h* t o . : ii B cts ¿7t r ¿ft x

¿7t

pola'

2nx(x 1- a\R 2n(x i a)x

\x

x

u/

pf;Izaau (2n)2x2(x + a)2R

b) Como la fuerua sobre la espira es una fuerza quc se opone al movimiento, deberá aplicarse una fuerza igual y de sentido contrario para que se mueva con velocidad constante o y la potencia necesariaes

¡

Tomando como elementode áreadS : adr. el fluio a travésdel circuito es

JJ

Lt 2ol2'aa ,,, -

:

D ¡rnec-¡u-

F,.-

itfl2 aau2 4n2x2(x * a)zR

Peléct¡ica

que es igual a la potencia disipada en calor en la resistencia de la espira.

J,

La f.e.m.y la intensidadinducidasson: t:

,. I' :-

--

dó

dQ dx.

pola,

dt

dx dt

2nx& * a\-

E

usla2

R

Z n * & + o\R '

La corriente es tal que se opone a la causa que la produce; en este caso la causa es la disminución del fluio

174 100problemasde Electromagnetismo

Froblsmn tu (t En un solenoidede longitud/ y secciónS que tiene n espiras por unidad de longitud se introduce una barracilíndrica'deun materialmagnéticolineal de permeabilidadrelativau,que tiene la misma sección S. Si la corriente del solenoide se mantiene constantee igual a l, halle la fuerzasobre la barra

175 Electromagnet¡smo

punrrientosigualesy on sentidosopuestos/' Por el entre distancia mínima to medio O del segmonto ambos conductoresse traza una perpendicularal plano de los conductores.Esta recta perpendicular i" tornu como eie x con origenen el punto O' Según la direcciónxse puedemover una esferitaparamagX y de volumen v muy penéticade susceptibilidad queño.

cuando se ha introducidouna distanciax en el solenoide.

'li',,',

id

a) Hallarla expresiónde la fuerzaque actúa sobre la esferita,en funeión de x' b) Calcularel valor de x para el cual la fuerzaes máxima y dicho valor máximo'

Solución : El campo H en el interior del solenoidees H nI es sistema del la energíamagnética I I ^^ w:;¡ton2l2s1l -x) * 2FoF,n'I's Como se mantienela intensidaddel solenoideconstante,la fuerzasobrela barra es

12 s t . : (ry), : i r, - ¡to)n2 '

F,:

1l )uo{u,

- I\n2I2S:

Soluclón a) El campocreadopor un hilo en el punto P tienela diróccióny sentidoindicadosen la figuray su módulo E S

,uoxn'I'S

siendo X la susceptibilidadmagnética del material' Se puedenconsiderardos casos:si el materiales paramagnéti"o, X > 0, la fierza F tiendea introducir la barra; si el mateiial es diamagnético,X < 0, la fuetzaF tiende a expulsarlabarra.

LI -lr 1 -

)t

t---:-------"/vt*n'

El campocreadopor los dos hilos en el punto P tiene la direccióndel eje x Y su módulo es aaI

H: 2 H r co sE: ;F - ¡ F A Dos hilos conductoresparalelos,indefinidosy separados una distancia 2a están recorridos por co-

Al ser el volumenpequeño,la esferitase puedeconsi-

177 176

Electromagnet¡sm

100problemasde Electromagnetismo ,¡r"-

derarcomoun dipolo de momentom = Mu = XHu.Como el campo resultantetiene la direcciónde x, el momento magnéticoque adquierela sustanciatiene también la direcciónde x. La fuerzasobre la sustanciaes n : (m.V)B y sólo tendrácomponente x F " :^

la

l toüX^ (H ' ) zox (' 2u^uyaz12

r--

- x- t

a) Loscamposen sl intarlordel condensador. b) La densidadde carggen las placasdel condensador.

T2

x

(x2 + a2)3

b) Secalculala posiciónxpana la cual estafuerzaes máxima d F ,:

E-

_2pouxa2l2

x2+ a2* 6x2

.f

qx'+¡'r1

a

:_nv

Soluclón a) Los camposeléctricosen el interior del condensador son Vn t

F-___:_

Para la posición *:

R

la fueruaes máxima y su

dt

valor es

D,:t,-l-

Vn t

(0
AT

^ 'F máx

2youxa2l2 "lr/a ft2

16a2¡5¡3

louXl2 a3

Un condensadorplanoparalelode placascirculares de radio b separadasuna distanciadtiene en su interior dos dieléctricosde permitividadese, y ezy permeabilidad¡roocupandotodo el espacioentrelas placasdel condensador:el dieléctricode permitividad e, ocupa el espaciode un cilindro de radio a (a < bl coaxialcon el condensadory el dieléctricode permitividade, ocupa el resto del espacio.El con-¡ densadorse conectaa una bateríaque proporciona una d.d.p. V: Volt. Se pide calculai:

178 100problemasde Electromagnetismo "&lri,

Dz:

tz

v o! dr

(a
Las líneas del campo magnético son circunferencias con centro en el eje del condensador y su valor se calcula aplicando la cuarta ecuación de Maxwell, conociendo las densidadesde corriente de desplazamiento en las dos zonas del interior del condensador

6D, _erVo ) At dt

0D, _erVo ^. dt At

parar
: H,2nr -

ttlo d'c

nr',

I r Vn r l{. : --:"- dr z

179

Electromagnetismo

b) El flujo magnéticoque atraviesauna espira de ladob cuandose colocaen lasdos pocuadrada s ic io n e isn d i c a d aesn l a f i g u r a .

paraa
H,2nr 'drdt

tr Vn

^

Soluclón H.: J-lt,v o n o , + t , v o (n rz' 2nrldt dr ""')]

a) Mientras el condensadorestácargándose, su carga vaúa de la forma

Las densidadesde carga en las placas son

b)

-e

q:v " c ( t lvl o ¡¡

-r. E , - at

o, :

(0
_\ RCI

siendo ne2

V nt o ,:*e ,i-

, : t oi

(a
UL

La corriente de desplazamiento en el interior del condensador es AD

l1q Vo _: _e S dr na'R

ót

Un condensadorplano-paralelo de placascirculares de rad¡o a y distanciaentre placas d se conecta a una batería de potencial Voa través de una resistencia R. Duranteel periodode cargadel condensador, calcule:

t RC

El campo magnético en el interior del condensador, 11,es azimutal y se calcula aplicando la cuarta ecuación de Maxwell, tomando como línea de.circulación una circunferencia centrada en el eje del condensador y radio f< a

a) El campo magnéticoen el condensador. - aDa H¡2nr --

xxxrxxX a.ta"

o'

o

a

o

I

aaaa raaa

. :'

.

: .. :...:

XXXX X X x XX X -X X-X -";',¡";';

X

:p

ot

nr"

óDr H ,:

'

-

dt 2

| 00problemasde Electromagnetismo

Vn

RC

2xa'R

En puntos exteriores r > a, e7campo magnético -É1"se calcula del mismo modo

X

H"2nr:

180

r

------Le

AD no" A,

181 Electromagnetismo

0Di

I V,,

t

___ H .:_ t,/(( ' At 21 2nr Il.

l i l er t t t ¡ r ot nir gnCt icosc obt ict t cit ¡ r licit t t dol¡ t cct t it cir lt t

,8

¿rt)

V x ll -, 0t

b) El flujo a través de la espira en las distintas pt-rsicioneses posición1

(D l :0

cilí nclr icas,la únicit colllll( ) I l lilizr r r r r hreor lt dcr l¿t das ntrttlct lcl cit t lt pr tcs / / , , ,

posición 2

*r:

+ f,-o,r¡toH,bdr f,.

¡roHnbdr :

:*+"-ñÉ{'-('-* )'1. ''('.*)l

kt D-:

t:,r ';

r AD.

T T'¿ot , , : zn ;

-

:;

r enk

,

lir iulan¿rcióndcl toroide es

En un condensadorplanoparalelo de placascircularesde radio F y separadasuna distanciah se introduceun toroide de seccióncuadrada,siendo sus radios interior y exterior R. y R, (R> R2> R,), respectivamente. El toroide es de un mater¡almagnéticamentelinealde susceptibilidad magnéticaX y está simétricamentecolocado respectoal condensador. Si al condensadorse le aplicauna d.d.p. V: kt, determinar las corrientesde imanaciónque aparecen en el toroide.

M*:

e^Kr

xHr:

x

Zh

de corrientede imanaciónsuperficialcs l,asdensidades en las distintas caras del toroide, numeradascomo sc indicaen la figura,son K¡rr : Mr x ur: r(

t okr 2h ''

Ku z:M r x¡ ":- "1 # r ,

K¡¡¡:M.x(-u,):-rt*,,

: K*o--Mn ' (-u,) xff

182 | 00problemasde Electromagnetismo

u"

183

Electromagnetis

La densidad decorriente de imanación dc volumen es j¡¿:V xM .

ra

: , ! ! (^ . e o k r2 \ : e o k l" : ; ¡(rM*) ; Ar\, ;) XT

El c¿lmpo lnugnético crendoporcl solenoiclc ,--.uI, ensu * B.:. ¡rnal.Sicncto la intcnsiduJ l:l.t:,tl-rr tlempo,tumbiénlo escl cafp.onragnCtico, ";;i;;i;;;';j por lo que, rogrlnIn leydo l,'urntlay, sc inrtuc.,in .urpn cléctrico

^^é

Soluclón

¿B

VxE:

ot

Un solenoide larqo y estrecho de radio B tiene n espiras por unida-do" rá"éiü.; i;'intensidad que pasa por las espiras. ¿el-sotenoJde-aumenta -'-"v'|vv ! l¡_ nealmentesegún la iunción

Selplicu la ley de Faradayen forma integral, . tomando como lfneasde circulación.ir"unf"r.*i-as de radio r (r < R y r > R) con centroen el eje del soieno¡¿e:

( r < R) E r.2nr:-nr#

E r: -i r"r,t

(r>R) Er.2nr:-o^r#

E,: -#r"?

t

t: t"; se desea calcular:

a) El campo eléctrico en puntos interioresy ex_ teriores del solenoide. b) Ef flujo det vr

¿,e araürai l, . ;""jlÍj,:: j;lJ;*ff ji?#:" fl"j ", ",

b) El vectordePoyntingtS : E x H, enIa superficie Iateraldel.solenoide, tieneáireccionruJiuit u"iu dentro del solenoide y su móduloes

de Poynting.

:; S: (E-FI),=^

R .LL

I t or"' I-? t-

flujo por unidad de longitud a través del área late_ ral-El del solenoidees

O: - S.2nR: -npzrorzlS! .L

el signo menos indica que el flujo es hacia dentro der solenoide.

784

100problenasde Etrrtrorrg*tirñ

185 Electromagnetismo

La derivada coÍl respectoal ticm¡r dc ll cncrgía rnagnética por unidad de longitud almacenadacn el solenoi_ de es

#: Í,ftu,*,3(;)' '^']: ponznR2 + C) verificándose el teoremade Poynting: dW, ;+
sc uplicitel lcorcrtr¡r Pttfttcnlct¡lurcl cutttpotttrrgnélico uttttcireleAmpérclornu¡tdocornrllfneudc circul¿tcirlrr iu dc litditl r ccntr¿tcla cn cl cic dcl condcllsudor cunl'erene

$no': ll,,oII,,2nr:1"* o-:2; constanteen cl ticmpo. ol ctrnpo magnéticopermanece

Dos condensadoresplanoparalelosde placascircularesde área S y separadasuna distanciad, uno de ellosvacíoy el otro con un dieléctricoimperfectode permitividade y conductividado, estánconectados independientemente a sendasfuentesde intensidad constantede valor /0.Estudie la evolución temporal de los campos eléctricosy magnéticosentre las placas en ambos condensadores.

cnlrc b) Condensadorcon un dieléctricoimperfec:lo sus¡rlrtca.s. Dcbido a la conductividado del dieléctrico,entrc las óhmicaIi. del condensador hay una resistencia arrn¿rduras Sc vcrificala ecuación

v : R r +Q( t) C

donde R es la resistencia,V iá diferenciade potencial entre las placasy C la capacidaddel condensador. R:-

Solución a) Condensador uacío. La cargaen las armadurasdel condensadorvaríaen el tiempo,ya que la intensidadIn semantieneconsrante QQ): Iot.Estacargacreaun campoeléctrico.

aD(r) aE(4 ro . Jo : a r:eo 0l:So,

186 100problemasde Electromagnet¡smo ¡-

oSd

C:-

Tomando como condicionesiniciales0(0): 0 y sabiendo que I :

d¿ o

que varía linealinentecon el tiempo. La corrientede desplazamiento es

deS

V: I^R:l-9! ". "S

E@ : y o, : # o" u60

-t---' 'e

dO(tl' -' dt

la soluciónde la ecuacióndiferenciales I^t / --L\ Q( n:y c ( 1 _, or ) :;( t_" /

d'\

e 'l

187

Electromagnetism

El campoeléctricoentrelas placasdel condensador es I"/ Qftl E (r):;u ,:r;( t- ' ,' ) u"

-9,\

E(r) tiende asintóticamenteen el tiempo a un valor constante. El campomagnéticoesdebidoa las corrientesde conduccióny de desplazamiento,

j .:o E (r)=*( r - "

i' ) u.

D\

/

dE(r) Iñ -!r

.

ro :e ;:;i e,

Si la ¡hndo r la dietanciaal eje del condensador' placas potencial del conden' entrelas dlf¡rcnciade ¡rdor varlasegún

- f) v: v^l'' " r) \

slendo Voy r constantes,halle: a) Los campos eléctrico y magnético en el interiordel condensador. b) El flujo del vector de Poynting a través del área lateraldel condensador. c) Compruebeel teoremade Poynting.

u. Soluclón

Aplicandoel teoremade Ampére a) Los camposen el interior del condensadorson '

I

ff

QH .d r: llt¡ ,+ j.) .ds J

JJ

H ( r ) : ! ,u25v

I1(r) es constanteen el tiempo.

v v"/

E,:;:;(t-;,)

r\ v^/ r\/ t\ V^/ -;) * D ":,f (' ;):'"f (' ^ )(' la fuentedel camsiendola corrientede desplazamiento pomagnéticoVr.H:Q

aD": Un condensadorplanoparalelode placascirculares de radio Ry distanciaentre placash tiene en su interiorun dieléctricono homogéneocuya permitividad está dada por

':*('.i) 18 8 100problemasde Electromagnetismo

¿\

At

Hr2nr:

Hr:

At

-',2('.;) -ryi; ('.i),*0,

-#('.#)

189

Electromagnetism

b) El vectorde Poyntingen el árealateraldel condensadores (SJ,=^: E"(- H,),=n:

: #('-)+(^.T)

:# 3 ()';-.

y el flujo del vectorde Poynting a través del árealateral es positivo (saliente)

Un condeneadorcilfndricode radios a y b la < bl tlenc entre eue armadurasun dieléctricoimperfecto dc permitividadc y conductividado. Si el condensador ee carga con una carga por unidad de longitud lo v a continuaciónse alsla de la fuente, se desea calcularduranteel procesode descargadel condeneador: a) El valor del campo magnéticoen el dieléctrico. b) La potenciadisipadapor unidad de longitud en el dieléctricoy la derivadacon respectoaltiempo de la energíaeléctricaalmacenada,comprobandoel teoromade Poynting

( t *1 ) I r D: s l , =.n2 n Rh : "+/rbr \ r/ 5 ^ , c) Cornoel campomagnéticono esfuncióndel tiempo, la derivadarespectoal tiempo de la energíamagnética almacenadaen el condensadores cero. La enersía eléctricaes

* ":)[,"

r0 ,

Soluclón a) Por la simetríadel problema,los camposE y D, en la regiónentre las armaduras,tienenla direcciónradial de las coordenadascilíndricas.Debido a la conductividad del dieléctricohabrá una densidadde corriente en la direccióndel campo E. Susvaloresson Dr:

-:)'J, *":ffi(, ('.'i),,,,0,:

)

D

^'IET Z

-_

^

¿,IEET

A i , : o .^/.ntr

El condensadorse descargaa través del dieléctrico, siendola expresiónde la cargaen función del tiempo t

). : )oe-i

R 2\

:*('-;)'(*,

+2n;l

r/

y su derivadacon respectoa1tiempo es

T: -üb('-) ^l^'

donder:

tlo. La corrientede desplazamiento es

aD a( ) ,\ E: ;l t\* ) :

-

7 'z * :

-

o) . '2*

Teniendoen cuentaque la corrientede desplazamiento es igual y de signocontrario que la corrientede conducción,la cuarta ecuaciónde Maxwell es

verificándose el teoremade Poynting

aw^

@+;:0

V xH :¡+9:o ot

de modo que no hay campo lI en el dieléctrico.

190 | 00problemasde Electromagnetismo

191

Electromagnetism

b) La potenciadisipadapor unidadde longitudes I

lb

/

1\2

o)2

----é

b

P : I oE 2dr: I o l= L l 2 n rd r: : -" ; ln \ 2n* o J J, \2ntr) La energíaeléctrica almacenadapor unidad de longitud es

1 r ). 2 12 b It ^ W t: l;eE zdu:;¿ I 2 n rd r: . ln z 4 ne a J¿ )(2 n r)" y su derivadacon respectoal tiempo es AW,

at

:

A /12

t \*

b\

*;)

,r4 ''"

0t

4*

b

In;: -

o72 b

znu,tn;

por lo que severifica el teoremade Poynting que en este casose expresa

OW, P:0 0t

I

Un condensadorplano paralelode placascirculares de radio F, separadasuna distanciad, tiene el espacio entre ellas lleno con una sustanciade permitividade,y conductividado. Estandoinicialmente descargado,el condensadorse carga medianteuna corriente eléctrica de valor constante /0. Se desea conocer: . a) La ecuacióndiferencialque describela evolución temporal de la carga eléctricaen una de sus placas. b) El valor del vector de Poynting en un punto cualquieradef interiordel condensadory el flujo de este vector a través de la superficie lateral del condensador. c) La comprobacióndel teorema'dePoynting.

192 100problemasde Electromagnetismo

Soluclón a) Para estudiarcómo varía Ia czÍga en una de las placas,se aplica la ecuaciónde continuidadescritaen forma integral a la superficie cerrada X que rodea l¿t placa positiva: ldq

* J , l ' a ' *: o es decir

-.r^+ ¡s+9: o dt donde

j:

or,: o 4, , ¿S

s: zR2

La ecuacióndiferencialbuscadaes -Io*

qdq

o:,+¡:0

193

Electromagnetism

ffiat

Se resuelvetomandocomo condicióninicial q(t)= 0 paral:0 q -- 9 loÍ - e-@t)t) 6

b) El campo eléctricoentrs las placases

secalcu' de Poynting el teoreme c) Paracomprobsr electromogné' ltr energfa de en el tiempo le le variación y,'portanto,la energfa magtlce,El cempomagnético no varfanen el tiempo.La néticaen el condensador y su variación en el tiemalmacenada eléctrica eü€rgfe po con

nn'¿ w ": !2 4 tS"

--brr-e-@t¿ttl E-:-q " eS So' El campo magnéticoes producido por las corrientes de conduccióny de desplazamiento.Tomando como línea de circulaciónuna circunferenciade radio r (r < R), se tiene H,2nr:

(, .*)

r / AD-\ H': -¡V. *)

*'

siendolas corrientesde conduccióny desplazamiento /^ i: _:(I_ "S?tS

dD-

e-@t,nl

se obtiene el campo magnético ur:

-

In _i1e-r"rcn,

dWu d dq dt r,S ' dt

elod - ( ot e\:t !, ¿S

- e- @t ', t )e- @t c\ t

La potenciadisipadaes :2

12)

o

p :r - nR 2d:T tr - ,- i ') , o6J De modo que se verifica

O+P+dW"ldt:0

-:

*'o

El vector de Poynting en el interior del condensador esS:ExH

s,:-++( 1 - ¿- r or "v , 25 So ' El flujo del vectorde Poyntinga travésde la superficie lateral del condensadores

Una varillalargay delgadatiene una carga distribuida uniformementeen la superficiesiendo )" la cargapor unidad de longitudy a la vez está recorrida por una corrientede intensidad/ uniformemente distribuidaen el interior.Hallela velocidadde la varilla en los sistemasde referenciadonde existasólo campo eléctricoo bien sólo campo magnético. AI -.>v

I?d O: S"l":n.2nRd: _¡}. (l _ e-totun¡ El signo negativo significaque el flujo es hacia dentro del condensador.

194 | 00problemas de Electromagnetismo

Solución En el sistema de referenciapropio de la varilla, los camDosson

195

Electromagnetismo,

E',

1 2nt,or

B'^:

ItoI 2nr

En un sistemade referenciaen el cual la varilla se muevecon velocidadu en la direcciónde la intensidad ,f,los camposson

Un haz de partlculasde carga g, gu6 Bo mueven oon velocidadv, tiene forma cilfndricade radio F. Si n'c! sl número de partlculaspor unidadde volumen on ol sistemade referenciaen el que las partfculas cargadasestánen reposo,calcularla fuerzaque actúa eobreuna cargade la periferiadel hazen los doe ¡lstemasde referencia: a) Sistema S' en el que las cargasestán en repo8o. b) SistemaS en el que las partículasse mueven con velocidadv.

E:?(E,_vxB,) /

B :7 1 B' +

vxE'\

\c-/

,

I

---=-___------l

+

Teniendoen cuentalas direccionesde los camposy que la velocidad u se ha tomado en la dirección del eje z, resulta

/ u^I 3 -¿-\ B*,:rl ;-+ \2nr

I

c2 2neor)

La velocidad de la varilla en el sistema de referencia en el que el campo eléctrico es cero se obtiene haciendo E,: O

Solución a)

D:

--C-

^" I

c2I eo¡to

I 19 6

I

100problemasde Electromagnet¡smo

SístemaS'

El campo eléctrico creado por las cargas en reposo, dentro y fuera delhaz de cargas, es

Del mismo modo, haciendoB*:0, se obtienela velocidad de la varilla en el referencialen el que el campo magnéticoes igual a cero

I

l"

¿o t ¡O ... t ---p\

E,:,(* .H ):* ('.#) I

I

I

(r
n'qr E',: ;zto

(r>R)

Dt_

n'qR2 ' ¿eot

197 Electromagnetismo

Un condensadorplanoparalelode placascuadradas de la.doa y distanciaentreplacasdestá cargado con una cargag. Hallarlos camposy los potenciales en el interiordel condensadorcuando éste se mueve con una velocidadu

Como lascargasestánen reposo,cl campomagnético es cero B' : 0. La fuerzasobreuna cargade la periferiadel haz es F'r: b)

n'a2R

q(E'r)r=^ :

;:-.oo

a) En direcciónparalelaa las placas. b) En direcciónnormal a las placas.

Sistema S

En estesistemade referencialas cargassemuevencon velocidadu en la dirección del eje del haz cilíndrico. Aplicando las ecuacionesde transformaciónde los campos obtenemos I

n:y(8,_vxB,) n,qR n,: yE',: ! .^ Loo

I

/

vxE'\

\

c-/

B :? l B,+

,

i

-:-¿

!

.v

t/

2

I

Br: v' 2eoc2 Y4 La fuerzasobre una carga de la periferia del haz es F:48

Soluclón

* qvxB

SistemaS' (condensadoren reposo) Tomando los ejesque se indican en la figura

n'o2R uzn'o2R : F,: qE, - eDBq: y ,^ - | -;7* .oO LoOv

Oo'

: t,(t-+\ry:! \

"

En este sistemael número de cargaspor unidad de volumen n verifica fl: n'y, ya que la longitud paralela a la velocidad sufre la contracción de Lorentz. La relación entrelas fuerzasen los dos sistemasde referenciaes

F| "v d

, t-

-F ' , -- rr,I

v

/1

-

VN ..:

B':0 VI:

I

to

E|: f', - g

/to

c-/

toa"

R,

-v ,vo d

A': O

19 8 100problemasde Electromagnetismo

t

t

199 Electromagnetismo

a) SistemaS (velocidadparalelaa las placas:, = ,,)

En:),E'r:, #

perpendicular b) Sistemu S (velociducl a las plaoas: u = u r) lasecuaciones de transformación, seobtieAplicando nenloscampos

n:r L I E '

E,: E',

c-

Er :

B:0

Er : 0

siendo

p o r ta n to uE'..

,':y(y-ut)

uO

B ":r-.' : y c-

c-toq-

Transformandolos potenciales,se tiene

Teniendo en cuenta que o : 7o', se tiene

V: yV' : -y20 - ,rl*

Oo Lv-

f

'

7

toa-

uo

B":

c-to "

to

'' u A,:y_V,: " c-

: lloou

En cuanto a los potenciales, se transforman del modo siguiente

V :y V: '-r+ y :' -r2 , A" :T

uV'

uVo y;y' :-y

c-

c'd

1t2uvn (y_ut) c-a

Puedenobtenerselos camposa pafiir de los potenciales

_

D Dr-

--

dv

aA, -

'óyEtd

|

u2\v" ^/ :Y',1--); c-.r \

uVo hy c'd

, "Vo

"vo

lt

c- a

:FI

B:0 A' -- A": g Se compruebanlos camposobtenidosa travésde los potenciales F:__* "t

"oyot

av aA., r :" ,p1 r ..

dA" ^ t,:----:y ox

r,

AA,

200 | 00 problemasde Electromagnetismo

oy

I" y

uVo uo :uoou \ c-a c-to

Un solenoidelargo y estrechode radio a tiene n espiraspor unidad de longitudy está recorridopor una corriente/. Calcularlos campos y los potenciales dentro y fuera del solenoide,medidos por un observadoren reposocuando el solenoidese mueve con velocidadvperpendicularmente a su eje.

201

Electromagnetismo

-F--

son; l,os poturrcillcscrr ltls closrefbrcrrci¡rlcs

a

J'\-,/'-'-tJ¡'

(r < a) lln purrtosintcriorcs dcl solcnoiclc Iiist¿naS' B'-v' B'-.x' "'i+---j-¡. 22

A':*

V':0

SistcmaS u -..\ / | \O',* 7V' ): \C'/L

A, :

-y;

p.nl B',y' : -y; y

B',x' ltonl An:A',:;:;7(x-ur) A": A'": 0

Solución Los camposelectromagnéticos en el sistemade referencia propio del solenoidey en el sistemadel laboratorio son: S' Sistemade referenciapropio del solenoide

I

' (r < a) (r>a)

B'.: psnl, B':0

AA.,

AA-

unnl

unnl

uunnl AV OA,, DHnnI E ,,: - ^ - - : - : - t - - Ty: - : yuyonl

E':0

' 0y 0 t 2 2

u")

campos, se tiene I

A partir de los potencialesse obtienen los campos

B":É-,,:r;+y;:rtlonr

Aplicando las ecuacionesde transformaciónde los

B ,:

: - y 'L'" ;ty

E' : 0

B',: B'":0,

S Sistemade referenciadel laborutorio(u:

(r < a )

' uA',) :- r g{ v : y ( v+

(r > a) En puntosexteriores al solenoide SistemaS'

y B' " : l 4onl , B:

B r:

B r:0

'

A' :

_yv x B ,

es decir

B'-a2

x'j) y'')(- Y'i-r

Ñ;+

V,:O

SistemaS

Er: yuB'": yu¡tonl,

E " : E " -0 -

(r>a\

B:0

E:O

^^x -

" ,Át

I^x-

-

_

y¡tonla2y

2ly'(*-ut)2+y21

202 | 00 problemasde Electromagnetismo I

k-.

203

Electromagnetismo *

!!|qFF-_ I

Á

ny-

-

tt

¡tonla2y(x - ut)

-

^y-

2ly'(*-ut)2*y2f

$) Clorrtlcido cl fndicccletcl'r.¿rccit1n, scobticlrcla ¡rcrmitividadrclativ¿r clclrncdio

yu¡tonla2y 2ly'(x-ut)2+yzl

V: yuA'"

A partir de los potencialesse obtienen los campos

,[rl,: 'fr,: t,s

ox

E ,: -

E-0 ,: yat-

oy

av-^-jaA, :0

" 0x

r' = ??5

y lu impedancia del medioes

aA.. aA-

t . : ; J- ^ - j : 0

-'---'é

Soluclón

E L:-:

H

li

t-:

t/ e

i¡,

t-:

T- 4"to-

i-_

l0 V u,¿o ! 2,25.8,85. :2.51.1020

ot

av aA,.

- = -¿ : 0 ^

Los camposelectromagnéticos en la onda, suponicndo que se propagaen la direccióndel eje z, se expt.cs¿tn:

E(2,t) : Eocos,

C-

t) t:

:2.1.0-s cos(nI}-zz- 2nl06t)i (Vlm) En un medio dieléctricode permitividadpose propaga una onda electromagnética, plana y planopolarizadacuya frecuenciaes f : 106 Hz. Siendo el índice de refracción del medio para esta frecuencia n:1,5 y la amplitud del campo eléctrico Eo: 2.10-5 Vm-1, se deseaconocer: a) La impedanciaintrínsecadel medio, los valores instantáneos del campo eléctrico, del campo magnético,del vector de Poynting y de la densidad de energíaelectromagnética en el medio, b) La energía media transportadapor la onda y la energíamedia almacenadaen el medio. c) Si se coloca un carrete plano de 100 espirasy 0,5 m de lado con su plano paraleloa la dirección del campo eléctrico,¿cuántovale la f.e.m. inducida en el mismo? d) Discutirqué valor tomará la f.e.m.inducidaen elcarrete si la frecuenciade la onda fuese f : 10eHz.

204 100problemasde Electronagnet¡smo

H ( z,t) : t) t: ,\"o r r C : 0,8.10-7cos(210-22 - 2nt06t)i (Alm) El vector de Poynting S : E x H tiene la dirección perpendiculara los camposeléctricoy magnéticoy el sentidode propagaciónde la onda (vector unitario k). Su módulo es

:':: l s l: l Etl ¡ 11

Z

: 1, 6. 10- 12cos2( nI \ - 22 - 2nl06t ) ( Wlm r ) La densidad de energía de los campos electromagnéticos es

205

Electromagnetismo

,.#-

tE 2 : poH z :

w:

t;'

:8 ,0 4 .1 0 -2 1 c o s 2(T1,0-22 - 2n106t) (Jl mr)

/o ttt

f:I{ } ,5

- 6,32.f0'¿.0,5 |I

b) Los valores medios del vector de Poynting y de la densidad de energía son

E? :7,9 7 . 1 0 -1 3 (Wlmr) s: 2Z eoe,Ez _ --v:1-9.: w: 3,98. t0- 2r U l*t)

-/\,-.tf

ill

N,t,)lt'l' scn(lOnz* 2n'l(\qtlilz

JZ

I

r;

I

. , , ¡.l. .l ' " ' ' ' - 2n. ^ l}"t

3.f 6. l0 2 | - ; - co. ( l}nz

| tor L

: 0,5'10-3 cos(10n2- 2n'10')t)

(Vl

Probhmrl0ü c) La longitud de onda de la onda electromagnética es

:

D

c

3.108

2oom ^ j: l¡: t,s. to,-: que es muy grandefrentea las dimensionesdel circuito, por lo que el campo magnéticopuedeconsideraseuniforme en toda el área del circuito cuando se calcula el flujo

Consideremosla propagaciónde una onda electromagnéticaen un medio conductor: a) Demostrarque para conductividadespequeñas, al aumentarla frecuencia,la constantede atenuaciónse aproximaa un límite superior, b) Compararla atenuaciónde una radiaciónde longitudde onda 10 cm en agua dulce (o : 10 3 O 1 m 1)y en agua salada(o: 4 Q-l m-1). c) Hallar la velocidad de fase en el medio de mayor conductividad.

d@ dB ----:-: -Ns-dt dt

t:

: L,57. 10- s sen(210- 22 - 2nt06t) (W d) Si/: te es

10eHz, la longitud de onda correspondien-

Soluclón a) La expresióndel coeficientede atenuaciónen un medioconductoren funciónde la conductividaddel mcdio y la frecuenciade la onda es ,-/

;:

u 'c _": _: nf f

3.10s __________:.:9.2 m 1,5.10e

de modo que no esdespreciable frentea las dimensiones del circuito, por lo que el campo magnético no es uniforme en toda el área del circuito, es función de z_ La fixrza electromotrizinducidaes

206 100problenas de Electromagnet¡smo

1

1

|

o,

0: .,/rr,(_, * r.l t,* r+, )'''

(1)

En el caso de baja conductividad, cuando aumenta la frecuencia se tiene 02 0)-- t<<1

207 Electromagnetismo *-*¡¡r{

r-.w

Htt cstc crtsocl uguirsitludrrse conll)ortil c()lilo un ( l) sc corlvr cÍ t o cn y la expresirlrt buenconcluctor

y desarrollandoen serie de potenciasla cxprcsión antcrior se obtiene un valor límite que no depende de la frecuencia

F:

1 ll I , f | + -a " ,/tU l -- -t-r

¡

2' 2\'

2

IIII

' V2

o2\11/2 | |

b)

lzx.l.lo".4. 4n' l(l

2

V

' " ' ))

"1

==n1l\

I

:220m

:"/'t'( q'' :i 14 \+*a')'\''' 2 tl ' ),:

It,ntt

;8

y lu profundidadde penetraciónen cl agua salacl¿r clc cs turirorrcladc dichafrccuencia

La frecuencia correspondiente a una onda de l 0 c m: 1 0 -l n z e s

ó :1 : o.oo5 m 13

3 . 108 f:-:3 . 10,s-, " l 0-'

c) La velocidad de fase o velocidad con que sc pr()¡rugan los planos de fase constante es o)

Si se toma la conductividad del agua dulce, se tiene

"fase

/ oY \.;/ ''

A

clonde a es la constantede propagación de la onda, I'in cl caso de buenos conductores, es decir

y, por tanto,seutilizala expresión de B calculada antes

(r)'-' se tiene

y la profundidadde penetraciónes

a:

1 ):;:5p

de donde se obtiene la velocidad de fase

@

En el casode agua salada,parala frecuenciadada se tiene / o\ 2

/

(;l:('

2 n .3 . I}e' 8,85' 10- 12)'-

u,".": - : d.

ir,

l-

\l ou

:0.5' l0o m¡s a

o ,g .l 0p- l s

,

209

208 100problemasde Electromagnetismo

lrou

B: I ,V2

I

Electromagnetismo

tilF'F-

Operadores diferencia les vectoria les

'

v'r/r

ln/ r t r p\

li¿t p

-/\*¿'--

ilt p

, | , n, (r a,,) ,,r,.,¿, ,..,r,

csf'óric¿rs 3, C'otlrclcn¿rclns

'1!{, -)** !:t * u,, Ye'* u"1t " r A0n ,,, 0r "' rscn()?tf I a I d v' i' : -; ; ("h-,) ( t r ( rr scnu t u

r

1. Coordenadasrectangulares

dF*^ aF, + Ax óy

V x F:i(

/0r\oy -^t

Ytrp : 2.

o-(p 0x' -

+

^) o-(p

I

dF,

ay-

1

AF,

(aF., aF"\ aF-\ l+k[--I ox/ oy/ \ox

O(rFa\]

dó-

. *u 'r1lf Oa( r,F )-

Az

I

r scnu t t <|,

-pl _r V x l/=ü,-![*,",senrr) * 'rsenúl dól tu ' r L [*"0

aF.,\ /dF.- l+jt ;'-oz/ \az

dt'^

Ld]'

0
I

a, l*

AF,f

', , , l

| a' u' \* t,t Y'' ,,::!(,' Y \ (t""u r" or o, t""o* t-, \

^) o-E ^ ) oz'

/

1 0'E , - r'z seft;'z e aó'z

Coordenadas cilíndricas Yq' -u .

| 0o A
ld V.F :_ ;(rF ,) rd r'

'

0ro -dz

I.A F^ dF* _ _:. f :r A0 óz

lt aF. aF,\ /0r" - ar"\ vxF :u ,(:+-= . l+ur ( , or/ l+ du 0z/ \r

\02

* ".i (*,0r,,'*) 210

211 0peradores diferenciales vectoriales I .,o,4-

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212