Calculo Diferencial Código 100412-33
Anexo 3. Descripción detallada actividades discusión Unidad 3- Fase 5: Discusión Resolver problemas y ejercicios por medio de series y funciones especiales
Realizado por: Mauricio David Pérez Danilo Rafael Núñez Cod. 1066095551
Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Escuela de Ciencias Básicas Tecnologías e Ingeniería – ECBTI Junio 2017
INTRODUCCION A continuación se presentaran la resolución de ejercicios de ecuaciones diferenciales por medio de series y funciones especiales, a través de la discusión e interacción con los compañeros del grupo colaborativo.
OBJETIVO GENERAL Resolver diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS Adquirir y desarrollar mediante la resolución de problemas los siguientes temas: -
Estudio de series y funciones especiales Generalidades del estudio de series Solución de ecuaciones diferenciales mediante serie de potencias Funciones especiales y series matemáticas.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD EJERCICIO #5
Al emplear el método de series de potencia, la solución del problema de valor inicial de la ecuación dada
̈ 2̇ 8 0; 0
3,̇ 0 0 es:
1. 2. 3. 4.
312 4 312 4 312 3 312 3
Consideramos
∞ ∑= Derivamos
∞
` ∑− =
∞
`` ∑ 1− =
Sustrayendo la ecuación en (1), tenemos:
∞
∞
∞
=
=
=
∑ 1− ∑− 8 ∑ 0 ∞
∞
∞
=
=
=
∞
∞
∞
=
=
=
∑ 1− 2∑− 8 ∑ 0 ∑ 1− 2∑ 8 ∑ 0
2 0 1 0 2 ∞
∞
∞
=
=
=
∑ 2 21++− 2∑ 8 ∑ 0 ∞
∞
∞
2 8 ∑ 2 1++− 2∑ 8 ∑ 0 = ∞
= = 2 8 ∑[ 2 1+ 2 8 ] 0 = ∞ 2 8 ∑[ 2 1+ 2 8 ] 0 = 2 8 0 → 4
2 1+ 2 8
=0
4, , 2 1+ 2 8 2 1+ 2 8 Tenemos,
=0
8 1,2,… + 2 2 1 Solución 1.
Si elegimos
1 1
4 66 0 122 0 0 … 4 124 44 12 3 0 442 0 0 … ... 14 34 30. 12 312 3 312 3
Ejercicio # 2
Al emplear el método de series de potencia, la solución del problema de valor inicial de la ecuación dada es:
3,̇ 0 0 A. B. C. D.
312 4 312 4 312 3 312 3
̈ 2̇ 8 0; 0
8, Los puntos singulares de la ecuación diferencial: son:
1̇ 2 0 1. 1 2. 2 3. 1 4. 2
2̈
Segunda Actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el
grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
La solución de la Ecuación Diferencial con coeficientes no polinomiales + ̈ ( dada así: Usando la serie de Maclaurin para
0, : =∑
∞
) y = 0 , Esta
, junto con la suposición usual
=0 Tenemos que.
La solución de la ecuación diferencial con coeficientes no polinomiales
̈
Usando la serie de Maclaurin para senx, junto con la suposición usual
∞
∑ =
∞
∞ ̈ ∑1 − 1 2! 4! 6! ⋯∑ = = ̈ 2 6 12 20 ⋯1 1 2! 4! 6! ⋯ ⋯..
̈ 2 6 (12 12 ) (20 12 ) ⋯ 0 2 0 6 0 12 12 0 0 12 0
Resolviendo tenemos:
12 16 121 301
⋯ ⋯
Agrupando los términos llegamos a la solución general = 0 1 ( ) + 1 2 ( ), donde
1( )=1−
+
4−
2( )=
−
3 +
5 −
La ecuación diferencial no tiene puntos singulares finitos, ambas series de potencia
convergen para | | < ∞
CORRECCIÓN Es importante tener en cuenta que una serie de Maclaurien es una serie de Taylor cuando se hace la aproximación alrededor de
0
, para poder calcular la serie de Maclaurien se
tiene que evaluar las diferentes derivadas de La primera derivada de
´ ´´ ´´´ ´´´´ Ahora evaluemos estas derivadas en
0
0 para
´0 cos0 1 ´´0 0 0 ´´´0 1 ´´´´0 0 0 1 Ahora el polinomio p(x) de Sen x es el siguiente
3! 5! 7! 9! Ahora bien
∞
∑− − ⋯….−−
=
Ahora
∞
∑ 1− 2 6 12 20 ⋯…. = 2 6 12 20 3! 5! 7! 9! ⋯ 1. 2. 3. 4.
2.
! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
! ! !
3. ! ! ! 4. ! ! !
" (3! ) (3! ) (5! 3!) (5! 3! ) (7! 5! ) (7! 5! ) 7! 7! 2 6 12 (6 20) ) ( ) (6 ) (120 6 120 6 (5040 120) (5040 120) 5040 5040 Ahora tenemos lo siguiente:
2 0 → 0 6 0 → 6 → 16 12 0 → 12 → 121 20 0 → 6 120 0 6 6 6 120 0 120 6 6 120 0 → ∗ Pero
6 0 → 6 6 0 → 6 0 → 6 6 6 Por lo tanto
Por lo tanto la solución general
:
1 121 ⋯…. …….
