100412_31_Trabajo_Fase_2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ECUACIONES DIFERENCIALES Cód. 100412

ECUACIONES DIFERENCIALES

FASE DOS

Presentado a: Elber Fernando Camelo Tutor

Entregado por: Daniel Sebastin Cortes Pardo C!digo: "#"$"#%&%#'() *aren Lilibet+ Crdenas Angarita C!digo: "#$,'#,-,#&$.arlon /o+at+an Insuast0 .anri1ue C!digo: ,"#$")#&-' 2il3redo Caballero Pi4o C!digo: ,"#""(#)5" 6esi7a 6urle0 Serrano 89ia C!digo: "#"$"#%&%#'&'

8rupo: "$$-"(;5"

UNI UNAD ESCUELA DE CIENCIAS A8R?COLAS@ PECUARIAS 6 DEL .EDIO A.=IENTE PRO8RA.A DE IN8ENIERIA A.=IENTAL CEAD =UCARA.A8A /ULIO "$ DE ($"' =UCARA.AN8A@ SANTANDER


INTRODUCCIN

Las ecuaciones diferenciales facilitan una amplia gama de herramientas y de conocimientos fundamentales que son necesarios para que cada profesional aplique en su proceso de formación y desenvolvimiento como futuro profesional. El presente trabajo contiene los aportes individuales realizados por los compañeros del grupo con el objetivo de ampliar los conocimientos permitiendo interactuar de una manera oportuna a la temática presentada en la guía de aprendizaje del curso ecuaciones diferenciales de orden super superior ior.. e presen presenta ta el análi análisi siss y desar desarrol rollo lo de cada cada uno de los los ejerc ejercic icio ioss adem además ás el planteamiento y entendimiento de cada problema pro blema o enunciado! de la misma manera ocurre en la parte colaborativa donde cada uno hace la intervención correspondiente a el problema planteado.


O=/ETI
O=/ETI
"oner en práctica las temáticas de la unidad #! del curso de ecuaciones diferenciales.

O=/ETI
•

$dentificar ecuaciones diferenciales lineales homog%neas con coeficientes constantes y lineales no homog%neas.

•

olucionar ecuaciones diferenciales de orden superior usando las temáticas abordadas en la unidad $$ del curso.


DESARROLLO DE LA ACTI
Temática: Ecuaciones diferenciales de orden superior

"# $ndique cuáles de las siguientes ecuaciones son diferenciales lineales homog%neas con coeficientes constantes y cuáles son diferenciales lineales no homog%neas y resu%lvalas.

A# && '# & ( )  * + Respuesta Nombre estudiante 1ue realia el eBer4i4io: PROPOSICION ENUNCIADO O EPRESIN .ATE.TICA A. ´´ +2 ´ − 8  = 0 Donde y ( 0 )=0, y ´ ( 0 )=−1

2

m + 2 m− 8=0

( m + 4 ) ( m − 2 )= 0

m 1 x

+ c 2 e m 2 x

−4 x

y = c1 e

−4∗0

y =( 0 )=c 1 e

/orma original de la E.0 Esta ecuación es diferencial lineal homog%nea porque esta igualada a cero y con coeficientes constantes. Retomamos la ecuación original:

´´ +2 ´ − 8  = 0

y = c1 e

,esi-a ,urley errano uiza RAON O EPLICACION

+ c 2 e2 x

+ c 2 e2∗0 =0 & da c 1+ c 2=0

Esta ecuación diferencial es lineal homognea con coe!cientes constantes. "omen#amos la ecuación au$iliar:

Ahora a%licamos las condiciones iniciales a la solución general a la ecuación

Esto 'uiere decir 'ue son o%uestos.


A %artir de la deri(ada:

−4 x

y ´ = 4 c 1 e

+ 2 c2 e 2 x

Ahora& resol(emos alge)raicamente

y ´ ( 0 )= 4 c 1 + 2 c2 =−1

se tiene 'ue:

c 1+ c 2=0 y − 4 c 1 + 2 c2 =−1 1 −1 c 1= y c 2= 6 6

Entonces la ecuación del %ro)lema del (alor inicial es:

1 6

−4 x −¿ e2 x 1 6

y = e

¿

=# 1esolver y ´ ´ + 8 y ´ + 16 y =0

0onde y2+3 * +!y4 2+3 * 56

Respuesta Nombre estudiante 1ue realia el eBer4i4io: PROPOSICION ENUNCIADO O EPRESIN .ATE.TICA ''

7aren Lilibeth 8árdenas 9ngarita RAON O EPLICACION

'

y + 8 y + 16 y =0

1etomemos la ecuación original.

Donde y ( 0 )=0 @ y ´ (0 )=−1 :allamos la ecuación au;iliar 2

m + 8 m + 16 =0 m 1 , m2=

−8 ± √ 64 −64 −8 = =−4 2

2


Y H =C 1 e

m1 x

−4 x

y =C 1 e

+ C 2 xem x 1

+ C 2 xe−4 x

−4∗0

y ( 0 )=C 1 e

+ C 2 ( 0 ) e−4∗0= 0

y ( 0 )=C 1 e = 0 0

C 1∗1=0 − 4 x

y ´ =−4 C 1 e

− 4 C 2 e−4 x

9hora! aplicando las condiciones iniciales a la solución general de la ecuación. "rimero

y ´ ( 0 )=−4 C 1 e −4 C 2 e =−1 0

0

y ´ ( 0 )=−4 ( 0 ) e −4 C 2 e =−1 0

0

4 C 2=−1

C 2 =

−1 4

− 4 x

y =0 e

1 4

Entonces! la solución del problema de valor inicial es=

− x e−4 x

' ' ' C# 1esolver y + 2 y − y =0

0onde

y ( 0 )=0, y ´ ( 0 )=−1

Respuesta Nombre estudiante 1ue realia el eBer4i4io: PROPOSICION ENUNCIADO O EPRESIN .ATE.TICA

>arlon ?ohathan $nsuasty >anrique RAON O EPLICACION


' '

'

y + 2 y − y =0

Donde y ( 0 )=0 @ y ´ (0 )=−1 mx

"ara resolver este tipo de ecuaciones se propone la solución= mx y = e . e calculan sus

y = e '

mx

y =m e ''

2

y = m e 2

mx

mx

mx

derivadas. 1eemplazando en la ecuación original.

mx

m e + 2 m e −e =0

e

mx

/orma original de la E.0 Esta ecuación es diferencial lineal en ,! homog%nea porque esta igualada a cero y con coeficientes constantes.

( m +2 m−1 )=0

mx e factoriza el termino e .

2

mx

"uesto que e nunca va hacer cero para los valores de ; @ 1! se tiene que resolver la ecuación característica de la ecuación diferencial original.

2

m + 2 m −1

−2 ± √ 4 −4 (1 )(−1 ) −2 ± √ 8 m= =

9plicando la fórmula para solucionar ecuación cuadráticas! donde a*6! b*# y c*56.

m 1=−1+ √ 2 ; m2=−1−√ 2

e determinan las raíces reales de la ecuación cuadrática.

2

2

m1 x

y =C 1 e

+ C 2 em x 2

y =C 1 e(−1 +√ 2) x + C 2 e (−1−√ 2) x

y ( 0 )=0 =C 1 e (−1+ √ 2 )0 + C 2 e(−1−√ 2 )0

8omo se presenta el primer caso de solución! en el cual se tiene dos raíces reales! se escribe la forma de la solución de la ecuación diferencial. e reemplazan los valores de m6 y m# para tener la solución general. "ara determinar el valor de las constantes se aplican condiciones iniciales. y ( 0 )=0 . e determina


0 =C 1 + C 2

una relación entre las constantes 86 y 8#.

C 1 =−C 2 Ecuacion 1

y =(−1+ √ 2 ) C 1 e (−1 +√ 2 ) x + (−1−√ 2 ) C 2 e(−1−√ 2 ) x '

y ( 0 )=−1 =(−1+ √ 2 ) C 1 e (−1+ √ 2 ) 0+ (−1 −√ 2 ) C 2 e (−1−√ 2) 0 '

−1 =(−1 + √ 2 ) C 1 +(−1− √ 2 ) C 2 Ecuacion 2

−1 =−( −1 + √ 2 ) C 2 + (−1−√ 2 ) C 2 C 2 =

−1 −1 √ 2 = = (−1− √ 2 ) −(−1 + √ 2 ) −√ 2 2 C 1 =−C 2=

R / y =

−√ 2 2

(−1+√ 2) x

e

3 y ´ ´ + 14 y ´ + 58 y =0

D.

3m

2

+ 14 m+ 58 =¿ 0

−7 ± 5 √ ( 14 ) 2 −4 (3 ) (58 ) m= 2 (3 ) m=

−7 5 √ 5 3

±

3

⥿

−√ 2

e calcula la derivada de la solución y se aplican condiciones ' iniciales. y ( 0 )=−1 . e determina una relación entre las constantes 86 y 8#.

1eemplazando la ecuación 6 en la ecuación #. e despeja 8#. e despeja 86.

2

+ √ e (−1−√ 2) x 2 2

→

e reemplazan las constantes y se determina la solución de la ecuación diferencial.

Homogénea con coeficientes constantes


*= e

−7

x c, cos3

5 √ 5 5 √ 5 x ¿+ c 2 sen ( x)  3 3

/usti!cación: Es homognea %or'ue esta igualada a 0& con coe!cientes constantes %or'ue las deri(adas estn acom%a1adas %or nmeros sacando un %olinomio& rem%la#ando cada deri(ada %or la m& como la *& no es deri(ada solo coloco el numero rem%la#ando en la forma del Euler el seno * el coseno. Estudiante: Wilfredo Caballero Pico

E.

y ´ ´ − 4 y ´ + 4 y =0 Donde y(1)=1, y´(1)=1

m2 - 4m + 4 = 0 (m - 2) (m - 2) = 0 m=2

m=2

y =¿ c e 2 x 1 1=¿ c e 2 1

y ´

2

xe + c2 + c2

¿ 2c1 e 2 x

1=¿ 2c c 2 1

+

e

2

+

2 x 2c2 x e

2 2c2 e

c1+ c2 = 1 (-2) 2c1+ 2c2 = 1 -2c1 - 2c2 = -2 2c1+ 2c2 = 1 0=1 Es inconsistente paa esas condiciones in!cia"es Estudiante:

Danie" #e$asti%n &otes

.


0emostrar X 3 y ∨ x ¿3 son soluciones linealmente independientes de la siguiente ecuación (# − ∞∠x∠∞

dy 2 ' ' diferencial x y −4 x dx + 6 y = 0

en el intervalo

Respuesta Nombre estudiante 1ue realia el eBer4i4io: PROPOSICION ENUNCIADO O EPRESIN .ATE.TICA 3

3

y =C 1 x + C 2 ∨ x ¿ =

y =

{

3

3

3

3

uponiendo que ;A y B;AB no son linealmente independientes! quiere decir que la ecuación 3 3 y =C 1 x + C 2 ∨ x ¿ no es

2

3 c 1−c 2 ) x , si x < 0 6 ( c1 + c 2 ) x , si x≥ 0

solución de la ecuación diferencial 2 x y ´ ´ − 4 xy ´ + 6 y =0 Cerifican

6 c 1−c 2 ) x , si x < 0

do
{(

2

3

2

3 ( c 1 + c 2 ) x , s i x ≥ 0

6 x ( c 1 + c 2 ) x −4 x .3 ( c 1+ c 2) x

6 ( c 1 + c 2 ) x

3

c 1 x − c 2 x =( c 1− c 2) x ,six < 0

{(

y =

3

c 1 x + c 2 x =( c 1+ c2 ) x , s i x ≥ 0

7aren Lilibeth 8árdenas 9ngarita RAON O EPLICACION

2

+ 6 ( c 1 + c 2 ) x 3= 0

−12 ( c 1 + c 2 ) x3 + 6 ( c 1+ c2 ) x 3=0

"ara ; D + tenemos lo siguiente=

0 =0

6 x ( c 1− c2 ) x − 4 x .3 ( c 1− c2 ) x 2

6 ( c 1−c 2 ) x

3

2

+ 6 ( c 1−c 2 ) x3 =0

−12 ( c 1−c 2 ) x 3 + 6 ( c1 −c 2 ) x 3=0

"ara ; +! tenemos lo siguiente=

0 =0

{

3

3

3 3 3 c 1 x + c 2 x = ( c 1+ c 2) x , s i x ≥ 0 ( 1 ) 9hora! y =C 1 x + C 2 ∨ x ¿ y =C 1 x + C 2 ∨ x ¿ = 3 3 3 c 1 x − c 2 x =( c 1− c 2) x ,six < 0 ( 2 3

3

es la

solución de la ecuación diferencial! por tanto contradice la implicación! 3 y se concluye que x y ∨ x ¿ son


linealmente independientes. Ftra manera de demostrarlo es de la siguiente forma= 0e igual forma la ecuación 2#3! sea para ; + la ecuación es solamente cero cuando c# * c6 G +! pero usando este hecho la ecuación 263 3 da como resultado y ¿ 2 c1 x ! lo 9quí se denota que para 263! sea ; D + es igual a cero cual no es cero siempre! entonces solamente cuando c# * 5c6 *+! pero si esto sucede en la no e;isten constantes distintas de 3 ecuación 2#3 da como resultado y ¿ 2 c1 x ! lo cual no cero tal que la función sea cero para todo ; en los reales! luego es cero y no cumple. concluimos que son linealmente independientesH adicionalmente como vimos anteriormente 3 3 y =C 1 x + C 2 ∨ x ¿ es solución de la ecuación diferencial.

5# 1esolver la siguiente ecuación diferencial por el m%todo de variación de parámetros.

' '

2

y + y = sec ( x )

Respuesta Nombre estudiante 1ue realia el eBer4i4io: PROPOSICION ENUNCIADO O EPRESIN .ATE.TICA ' '

2

y + y = sec ( x )

y + f ( x ) y + g ( x ) y = h ( x ) ' '

'

>arlon ?ohathan $nsuasty >anrique RAON O EPLICACION /orma original de la E.0 Esta ecuación se debe resolver por el m%todo de variación de parámetros. /orma general de la ecuación


diferencial. La solución de esta ecuación se presenta como la suma de la solución de la homog%nea y la particular.

Solu4i!n de la E4ua4i!n di3eren4ial +omognea "ara resolver esta ecuación! primero se resuelve la ecuación diferencial homog%nea asociada con coeficientes constantes. e supone la solución de la forma mx y = e resultando la presente

' '

y + y = 0

2

m + 1 =0

2

ecuación característica. 2 e reemplaza '6 por −i ! resultando en una diferencia de cuadrados! a partir de la cual se obtienen dos raíces complejas ( m=α ± i β ) .

2

m −i = 0

( m − i ) ( m + i )= 0 m 1=im 2=−i

y H =e

αx

[ C cos ( βx )+ C sen ( βx )] 1

2

y H =C 1 cos ( x )+ C 2 sen ( x )

0e

lo

anterior se tiene α =0 y β =1 ! entonces se tiene la solución de la ecuación diferencial homog%nea.

Solu4i!n de la E4ua4i!n di3eren4ial parti4ular ea y 1=cos ( x ) * y P =u ( x ) y 1 + v ( x ) y2

'

'

u y 1 + v y 2=0 '

'

'

'

u y 1 + v y 2 = h ( x )

y 2= sen ( x ) .

"or variación de parámetros se propone la presente como solución de la ecuación diferencial no homog%nea. Esta solución propuesta debe satisfacer el presente sistema de ecuaciones.


1esolviendo el sistema usando la regla de 8ramer se tiene.

| || | ||

 =

y 1

y2

'

' 2

y2

0

'

u=

h ( x )

y2

v=

'

=



|

y 1

'

y 1

| |

= cos ( x ) sen ( x ) = cos2 ( x )+ sen 2( x )=1 −sen ( x ) cos( x ) y

y 1

0

'

2



||

h ( x ) 

∫

sen ( x ) sec ( x ) cos ( x ) 0

=

=

−sec2 x sen( x ) 1

|

cos ( x ) 0 −sen ( x ) sec 2 ( x )



2

sec x cos ( x ) = = sec2 ( x ) cos ( x ) 1

"ara calcular u ( x ) y v ( x ) se integra lo obtenido en el paso anterior. 8alculo de u ( x )

2

u ( x ) =− sec ( x ) sen ( x ) dx

[

∫

[

∫ sen( x )dx ]

=−sec2 ( x ) sen ( x )

u ( x ) =− sen ( x ) tan ( x )− cos ( x ) tan ( x ) dx

u ( x ) =− sen ( x ) tan ( x )−

]

e integra por partes

∫ " a dx = a"−∫ a " dx '

'

a =sen ( x ) , " = sec ( x ) dx '

u ( x ) =−[ sen ( x ) tan ( x ) + cos ( x ) ]

∫

! donde

2

v ( x )= sec ( x ) cos ( x ) dx

2

8alculo de v ( x )

∫ sen ( x ) tan ( x )dx

e integra por partes

v ( x )=cos ( x ) tan ( x )+

∫ " a dx = a"−∫ a " dx '

'

! donde


∫

v ( x )=cos ( x ) tan ( x )+

sen ( x ) dx =cos ( x ) tan ( x ) + cos ( x ) 2

∫ 1−c

∫ sec ( x ) dx −∫ cos ( x ) dx

v ( x )=cos ( x ) tan ( x )+

a =cos ( x ) ," =sec ( x ) dx '

2

v ( x )=cos ( x ) tan ( x )+ ln [ sec ( x )+ tan ( x ) ] −sen ( x )

u ( x ) y v ( x ) ! se determina la solución particular de la ecuación

Ina vez calculado diferencial.

y P =u ( x ) y 1 + v ( x ) y2

[

]

y P =−[ sen ( x ) tan ( x ) + cos ( x ) ] cos ( x )+ cos ( x ) tan ( x ) + ln [ sec ( x ) + tan ( x ) ] − sen ( x ) sen( x )

[

]

y P =− sen ( x )+ cos ( x ) + sen ( x ) + sen ( x ) ln [ sec ( x ) + tan ( x ) ] − sen ( x ) 2

2

2

2

y P =sen ( x ) ln [ sec ( x )+ tan ( x ) ] −1

La solución general es= y = y H + y P

R / y =C 1 cos ( x )+ C 2 sen ( x )+ sen ( x ) ln [ sec ( x )+ tan ( x ) ] −1

-# 1esolver la siguiente ecuación diferencial por el m%todo de coeficientes indeterminados= ,esi-a errano 33 + 4 3 + 2  = 3 + ,

Rta: 33 + 4 3 + 2  = 3 + ,

y P = #X + $

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ECUACIONES DIFERENCIALES Cód. 100412 2

m + 3 m + 2 =0

( m + 2 ) ( m + 1 )= 0 m1=2 m2 =1 x

2

y H =c 1 e x + c 2 e m1

m2

y H =c 1 e x + c 2 e x y } rsub {p} =0 y P = # ¿ 0 + 3 # + 2 ( #x + $ )=3 x + 1

3 # + 2 #x + 2 $ =3 x + 1 2 # =3 % # =

2 $ +3

( )= 3 2

3 2

1 % 2 $ =5,5 % $ =

5,5 2

3 5,5 y P = x + 2 2

y &= y H + y  x

y &= c 1e x + c 2 e + 2

3 2

x +

5,5 2

'# 1esolver la siguiente ecuación diferencial= '2y+ 'y+y=0 aia$"es m

'

y = x % y = mx

→

m−1

inea" *omogénea con coeficientes

→ y= m (m-1)

x

m− 2


m ( m− 1 ) + m+ 1 m =0 x ¿ 2

m −m + m + 1=0 2

m + 1 =0

.= ±

⥿

y=c1cos ("n') + (c2 sen ("n')

?ustificación= es una ecuación diferencial lineal porque tiene forma lineal! homog%nea porque esta igualada a +! con coeficientes variables por lo que acompaña a las y! no son nJmeros si no variables tambi%n se le llama a este tipo de ecuación 2ecuación Euler auss3! derivando dos veces obteniendo las derivadas! remplazando y despejando la m! sacando el desarrollo de la ecuación dada. Estudiante: Wilfredo Caballero Pico


DESARROLLO DE LA ACTI
Primera A4tiGidad

Ina masa que pesa ) lb se sujeta a un resorte suspendido del techo. 8uando la masa queda en reposo en equilibrio! el resorte ha sido estirado K pulgadas. Luego se tira de la masa A pulgadas abajo del punto de equilibrio y se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba! de +! piesMseg. 0espreciando todas las fuerzas de amortiguación o e;ternas que puedan estar presentes! determine la ecuación de movimiento de la masa! junto con su amplitud! periodo y frecuencia natural.
PROPOSICIN ENUNCIADO O EPRESIN .ATE.TICA 2

d x m 2 = ) ; Ecuaci*n 1 d (

RAN O EPLICACIN e desprecia todas las fuerzas de amortiguación o e;ternas que puedan estar presentes.


) =−+x ; Ecuaci*n 2 2

d x + + x =0 ; Ecuaci*n 3 2 d ( m

0e acuerdo a la segunda ley de NeOton se tiene la ecuación 6. 0e acuerdo a la ley de :oo-e se tiene la ecuación #. 2El signo menos porque se considera positivo en la dirección hacia abajo3. 9l dividir todo entre m e igualar a cero se tiene la ecuación A. +

2

d x + 2 x =0 2 d ( 2

2

m +  =0

2

m =−

2

2 ea  = m . 0onde O es la frecuencia

angular. e identifica la ecuación característica para encontrar la solución a la ecuación diferencial. e resuelve la ecuación característica y se encuentran las dos raíces imaginarias.

m 1 , m2=± i x ( ( )= e ( C 1 cos ( β( ) + C 2 sen ( β( )) α(

e reemplaza α =0 y β = .

x ( ( )=C 1 cos ( ( ) + C 2 sen ( ( )

e encuentra la ecuación del movimiento de la masa! con las constantes desconocidas.

x ( 0 )=0,25= C 1 cos ( 0 ) + C 2 sen ( 0 )

8omo el resorte se tira A pulgadas 2+!# pies3 hacia debajo de la posición de equilibrio! se tiene la condición inicial a ( =0, x ( 0 ) =0,25 f(

C 1 =0,25

e halla la constante C 1 . x ( ( )=−C 1 sen ( ( ) + C 2  cos ( ( ) '

x ( 0 )=−0,5 =−C 1  sen ( 0 ) + C 2  cos ( 0 ) '

−0,5=C 2 

e deriva la ecuación del movimiento para encontrar la ecuación de la velocidad de la masa. 9 ( =0 se le aplica una velocidad dirigida hacia arriba! de +! piesMseg. e tiene la condición inicial


C 2 =

f( ' ( =0, x ( 0 )=−0,5 s

−0,5 

e halla la constante C 2 . x ( ( )=0,25 cos ( ( )−

0,5



sen ( ( ) ; Ec 4

"ara determinar O primero se halla la constante - empleado la ley de :oo-e. e conoce que la masa genera una fuerza de ) lb que estira el resorte K pulgadas 2+! ft3.

) =+x + =

e determina la ecuación del movimiento de la masa.

8 -" -" =16 0,5 f( f(

e despeja -.  =mg m=

8onociendo

 8 = =0,25 s-ug g 32 2

 =

=

que

g=32

f( seg

2

y

 =8 -" ! se halla m.

e halla O.

+ m

√ √

16 + = =8 0,25 m

1 4

x ( ( )= cos ( 8 ( )−

√

( )

# = √ C 1 + C 2 = 0,25 + 2

2

# =

. =

RH e determina la ecuación del movimiento de la masa reemplazando O en la ecuación P.

1 sen ( 8 ( ) 16

2

−1 16

2

RH e determina la amplitud 293 del movimiento.

√ 17 =0,258 16

2 / 2 / = = / / 4 8  1 4 f = = . /

RH e determina el periodo 2<3 del movimiento. RH e determina la frecuencia natural 2f3 del movimiento.


RH ráfica del movimiento armónico simple. 1 1 x ( ( )= cos ( 8 ( )− sen ( 8 ( ) 4 16

;A< 0.4 0.2 0.,

>osición& ft

0

0 , 2 4 5 6 7  8 9 ,0 ,, ,2 ,4 ,5 ,6 ,7 , ,8 ,9

0., 0.2 0.4

iem%o& seg

Segunda A4tiGidad

O=SER
.ODIFICACIONES A LA SOLUCIN PLANTEADA

Enunciado=

8onforme al desarrollo de la situación En el estudio de un resorte vibratorio con planteada 2izquierda3 se realiza las siguientes amortiguación se llega a un problema de valor correcciones y observaciones. inicial de la forma= a# "ara determinar la ecuación del ' ' ' movimiento o solución general! se m y ( ( ) + " y ( ( ) + +y ( ( ) =0 reemplazan los valores en la ecuación diferencial 2e corrige la ecuación En donde


planteada3= y ( 0 )= y 0 ; y ( 0 )=v 0 '

36 y ( ( ) + 12 y ( ( ) + 37 y ( ( )=0 ''

'

i se tiene que= •

•

•

•

•

•

e identifica que la ecuación anterior es una y (( )=¿ desplazamiento medido a partir ecuación diferencial lineal homog%nea con coeficientes constantes. "ara su resolución! se de la posición de equilibrio en un instante t escribe la ecuación característica asociada. m=¿ masa sujeta al sistema 2 " =¿ constante de amortiguación 36 m +12 m + 37 =0 + =¿ constante del resorte e resuelve la ecuación anterior utilizando la y 0=¿ desplazamiento inicial fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas! v 0 =¿ velocidad inicial donde a =36, " =12 y c =37 =

a# 0eterminar la ecuación del movimiento del sistema cuando m=36 +g," =

12 +g

s

2

, + =

37 +g

s

2

−"± √ ( " ) − 4 ac 2

m=

2a

, y 0 =70 cm,

b# 8alcular el desplazamiento cuando han transcurrido #+ segundos

1eemplazando se determinan las raíces de la ecuación característica= −12 ± √ ( 12 ) − 4∗36∗37 m= 2∗36 2

Solu4i!n: a# "ara determinar la ecuación del movimiento o solución general! se reemplazan los valores en la ecuación diferencial=

m=

−12 ± √ 144 −5328

m=

−12 ± √ −5184

m=

−12 ± 72 i −1 = ±i

72

72

36 y ( ( ) + 12 y ( ( ) + 37 y ( ( )=10 ' '

'

La ecuación característica es= 36 m

2

+ 12 m + 37 =10

8uyas raíces son!

72

6

Las raíces son de la forma m=α ± β i ! por tanto! la solución general 2ecuación de movimiento3 tiene la forma=


−12 ± √ ( 12 ) −5328 −1 m= = ±1

y (( )= e [C 1 cosβ( + C 2 senβ( ] α(

2

72

6

α =

"or tanto! la solución general 2ecuación de iendo movimiento3 tiene la forma= y (( )=C 1 e

−1 ( 6

cos( + C 2 e

− 1 ( 6

y (( )=C 1 e

sen(

0erivando se obtiene= −1

( 1 y ( ( )= C 1 e 6 cos( −C 1 e 6 '

− 1 ( 6

−1

( 1 sen( + C 2 e 6 c 6

−1

y β =1 se tiene=

6

−1 (

cos( + C 2 e

6

−1 ( 6

sen(

"ara calcular los valores de las constantes se deriva la ecuación anterior y se obtiene 2e corrige la ecuación3= '

y ( ( )=

−1 6

C 1 e

−1 (

cos( −C 1 e

6

−1 ( 6

−1 (

sen( + C 2 e 6 c

ustituyendo los valores iniciales! •

70=C 1

"ara y ( 0 )=70 cm ! resulta=

ustituyendo los valores iniciales! •

cm

•

"ara v 0 =10 s

cm

"ara y ( 0 )= y 0 =70 cm ! se tiene

' *Q y ( 0 )=10 s

y ( 0 )=70 =C 1 e

−1 (0 ) 6

cos ( 0)+ C 2 e

−1 ( 0 ) 6

sen ( 0 )

1esulta= 10=

−1 6

C + C 2

*Q

1

70=C 1

65 C 2 = 3

cm

•

8omo

C 1 =70

y

C 2 =

65 3 ! la ecuación

'

y ( 0 )=10=

de movimiento tiene la forma= y (( )=70 e

− 1 (

65 sen( + e 3

6

y (20 )=70 e

6

−1 6

C 1 e

− 1 ( 0) 6

! se tiene

cos ( 0 )−C 1 e

− 1 ( 0) 6

sen (

− 1 ( 6

cos(

10=

b# 8uando han transcurrido #+ segundos se tiene que= − 1 ( 20)

' "ara y ( 0 )=v 0 =10 s

65 sen ( 20 ) + e 3

− 1 ( 20) 6

8omo

−1 6

C 1 + C 2

C 1 =70

y

*Q

C 2 =

C 2 =

65 3

65 3 ! la ecuación

cos ( 20 )=2 de movimiento tiene la forma 2e corrige la

ecuación3=


−1 (

R / y ( ( )=70 e

6

65 cos( + e 3

− 1 ( 6

sen(

b# 8uando han transcurrido #+ segundos se tiene que 2e reemplaza en la ecuación corregida3= y (20 )=70 e

R /¿

− 1 ( 20 ) 6

65 e cos (20 )+ 3

−1 ( 20 ) 6

sen ( 20 )=

8uando han transcurrido #+ segundos se tiene un desplazamiento de #!K6 cm.

CONCLUSIONES


Las ecuaciones y ejercicios propuestos en esta actividad nos permite cumplir con los objetivos mencionados por el curso! beneficiando a los integrantes del grupo en adquirir competencias en el ámbito matemático aplicándolo al desarrollo de problemas de manera autónoma! lo cual implica que todos estemos en la capacidad de identificar planear y resolver los diferentes tipos de problemas! aplicando el procedimiento más eficaz para su solución. Es importante entender de manera clara los problemas relacionados con las ecuaciones diferenciales para de esta forma escoger un buen m%todo de solución y así llegar a conseguir las respuestas requeridas a diferentes problemas que en el ámbito profesional se puedan presentar. 1ecalcar la buena disposición que se debe tener al momento de solucionar los ejercicios planteados consultando las temáticas por entorno de conocimiento y demás fuentes que nos permita despejar dudas facilitando el desarrollo de las actividades.

REFERENCIAS =I=LIO8RFICAS


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0elta

"ublicaciones.

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100412_31_Trabajo_Fase_2

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