UNIDAD 2: FASE 3: DISEÑO Y CONSTRUCCIÓN ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
PRESENTADO POR: LUISA FERNANDA ARCE LINA MARCELA CASTAÑEDA GILBERTH CARDONA JAIRO FRASSER EDWIN OCHOA
GRUPO: 100412_27
TUTOR: EDSON DANIEL BENITEZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
ECUACIONES DIFERENCIALES IBAGUÉ-TOLIMA 2017
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CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ................................................. ...................................................................................................... ................................................................. ............ 3 OBJETIVOS ....................................................................................................................... .......................................................................................... ............................. 4 PARTICIPANTES .......................................................................................................... ............................................................................. ............................. 5 DESARROLLO EJERCICIOS ACTIVIDAD INDIVIDUAL ................................... 6 DESARROLLO EJERCICIOS ACTIVIDAD COLABORATIVA ...................... 22 CONCLUSIONES ............................................................................................. ......................................................... .................................... 31 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................... ................................ ........................... 32
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CONTENIDO
INTRODUCCIÓN ................................................. ...................................................................................................... ................................................................. ............ 3 OBJETIVOS ....................................................................................................................... .......................................................................................... ............................. 4 PARTICIPANTES .......................................................................................................... ............................................................................. ............................. 5 DESARROLLO EJERCICIOS ACTIVIDAD INDIVIDUAL ................................... 6 DESARROLLO EJERCICIOS ACTIVIDAD COLABORATIVA ...................... 22 CONCLUSIONES ............................................................................................. ......................................................... .................................... 31 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................... ................................ ........................... 32
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INTRODUCCIÓN El presente trabajo se refiere al tema de ecuaciones diferenciales, que se pueden definir como la igualdad entre dos expresiones que contienen una o más variables e involucra derivadas (o diferenciales) de una función desconocida; Si la función desconocida depende sólo de una variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial. (Suárez, s.f.) Las ecuaciones diferenciales son de gran utilidad en diferentes áreas de las matemáticas, ciencias, economía e ingeniería, ya que los distintos fenómenos de la vida diaria se pueden estudiar moldeándose a esta herramienta tan importante como lo son las ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones diferenciales se clasifican según su tipo (ordinarias, parciales); Orden (Primer orden, segundo orden); Grado (Lineal, no lineal) (García ( García Hernández, January 2014). Cumpliendo con los requerimientos de la guía de actividades del curso de ecuaciones diferenciales, los participantes del grupo colaborativo trabajaran en conjunto, analizando y solucionando algunos ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior, poniendo en práctica los conocimientos adquiridos a través de su aprendizaje autónomo y la asesoría y ayuda del tutor encargado.
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OBJETIVOS
Objetivo general Profundizar en la lectura de las referencias bibliográficas con el fin de dar solución asertiva a los ejercicios de Ecuaciones Diferenciales de orden Superior de la manera correcta alcanzando de esto modo, el resultado correcto.
Objetivos específicos •
Identificar el entorno de trabajo colaborativo con el fin de establecer el modo de trabajo.
•
Dar lectura a las referencias bibliográficas predispuestas para el desarrollo de las actividades individuales y colaborativas.
•
Dar solución a los ejercicios propuestos en la guía única de actividades.
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PARTICIPANTES
ESTUDIANTE
EJERCICIOS SELECCIONADOS
ROL ASUMIDO
GILBERTH CARDONA
5y6
Revisor
JAIRO FRASSER
3y4
Alertas
LINA MARCELA CASTAÑEDA
9 y 10
LUISA FERNANDA ARCE
7y8
Compilador
EDWIN OCHOA
1y2
Entregas
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DESARROLLO EJERCICIOS ACTIVIDAD INDIVIDUAL Primera actividad Individual: A continuación, se presentan un contexto generalizando la temática de las ecuaciones diferenciales de primer orden, en el que posterior a él, se presentan diez (10) preguntas tipo SABER PRO, de las cuáles cada integrante debe seleccionar dos y seleccionar la respuesta correcta justificándola con todo el procedimiento empleando el método adecuado para llegar a su solución general y/o particular. El estudiante debe garantizar que los ejercicios seleccionados sean diferentes a los de sus compañeros.
ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
Ejercicio 1. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables. 6
Con la tarea de encontrar la solución a la ecuación
4 ′′ −
′ + 4y = 2
− 1, Un estudiante
propone:
= B. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da = − − C. Hacer las sustituciones = , = − , =1− y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da = D. Hacer las sustituciones = , = − , =1− y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da = − − A. Resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da
Solución
4 ′′ −
′ + 4y = 2
−1
= la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea 4 será: 44=2 = 0 Tenemos dos raíces reales iguales con valores = 2 = , así que la solución de la Sea
′′ −
′+4=0
ecuación diferencial homogénea es:
= Ejercicio 2. Para resolver la ecuación diferencial de segundo orden, se halla primero la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada que se consigue mediante un cambio de variables, dependiendo del tipo de ecuación presentada, esto es, de si es de coeficientes constantes o variables.
2 , un estudiante propone hacer las sustituciones = , = − , =1− y resolver la ecuación homogénea asociada, cuya solución da = − − En la intención de resolver la ecuación diferencial
′′ +
′+1=
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El proceso anterior es: A. Verdadero puesto que, por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación
21=0 cuyas soluciones son m=1 y m=-1
B. Verdadero puesto que, por ser ecuación no homogénea de segundo orden, primero se debe igualar a cero y al realizar las sustituciones propuestas se obtiene la ecuación
21=0 quien tiene una única solución real que es m=-1
C. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea
21=0 que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da = asociada es
D. Falsa, por ser de segundo grado con coeficientes constantes la ecuación homogénea
= que tiene una única solución real que es m=-1 y por lo tanto su solución da = − − asociada es
Solución Las sustituciones que se proponen en el ejercicio no son correctas, porque solo pueden utilizarse en ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables
,,
así que, para poder desarrollarla es necesario emplear la solución para una ecuación diferencial de segundo grado con coeficientes constantes. Resolviendo
2 ′′ +
′+1=
= , la ecuación auxiliar de la ecuación homogénea y′′ 2y′ 1 = 0 será: 21=1 = 0 Tenemos dos raices reales iguales con valores =1=, la solución de la ecuación Sea
homogénea será:
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= − − Ejercicio 3. Para encontrar la solución de una ecuación homogénea asociada diferencial de segundo orden con coeficientes variables se procede sustituir
= , = −, ′′ =
1− y luego se encuentran las raíces de la ecuación de segundo grado
originada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces la solución de la ecuación homogénea es:
= , = , = = ∝( cos), ∞ . Con base en lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación x2 y’’ + xy’ +y=2x
es:
= . B. = C. = D. = − A.
=2’’ ’ =2 La ecuación es homogénea
= ’’ ∝ ’ = 0 =’’ ∝ ’ =0 9
La Ecuación diferencial corresponde a una lineal ordinaria de segundo orden
’’ ’ 2 = 0 = (’’)’ 2 Multiplicar fraccionarios
1∗ = = 2 2 = ( 1) Multiplicar por el conjugado
1) ( = 1 = ( 1)( 1) 1 1 = Simplifica arriba usando (a+b)(a-b)= a2-b2
= ,= 1 1 = 1 = 1) 1 ( = = = dxx−d−x −+ Multiplicar por el mínimo común múltiplo 2 ) Ejercicio 4. La solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes constantes de la forma
= 10
= En donde ó ℎé = ∫ , = ∫ Es
Para ello, los wronskianos
0 |, = , = |
= | 0 | Con base en lo anterior, la solución de la ecuación 5 4=1 es: . = − − 121 . = . = 43 . =− − 13 Una Ecuación Diferencial homogénea, lineal de segundo orden de la forma ay''+by'+cy=0
5 4=1 5 4=0 Adoptar una solución con la proporcional para la constante Sustituir = en la ecuación diferencial. 5 4 = 0 Simplificar
= 11
Aplicar la regla de la cadena
Sea
= ∗
=
= Aplicar la regla de derivación
Sacar constante
Aplicar la regla de derivación
=1 =∗1 Simplificar
= Ahora sustituimos en la ecuación u
54 = 0
=
=
Factorizar
54=0 Ya que ≠0
Es equivalente a resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2+bx+c=0
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4 ±√ = 2 Aplicamos
414 5 5 = =4 21 414 5 5 = =1 21 = 4, =1 ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información:
Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez la seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique
Ejercicio 5. Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes
= se procede sustituir = , = − , =1 − Para, en primera instancia hallar variables de la forma
la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada de la forma:
= 13
luego, con la ayuda de los wronskianos
0 |, = , = |
= | 0 |
Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, las soluciones homogénea y particular de la ecuación x2 y’’ + xy’ = x
son: 1. 2. 3.
4.
= = = =
La respuesta correcta es la 2: La solución homogénea asociada es
[1−] [−] = 0 1 = 0 1 = 0 = 0 ===> = 0 = 0 = 0 = Hallando la solución particular con Wronskiano
1 0 = 0 , = , = 10 0 Para •
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′ = = − = = ∫ = Para ′ = = 1 = = = 3 •
Entonces
= ∗1 ∗ln = Ejercicio 6. Una ecuación lineal de orden n es de la forma
−− …´ = . Esto es, todos los coeficientes son solamente funciones de x y además, la variable y y todas sus derivadas están a la primera potencia. Por otro lado, si la expresión
−− … Es su respectivo Operador diferencial de orden n, entonces, la ecuación diferencial lineal no homogénea puede escribirse simplemente de la forma
= Por lo anterior, de la ecuación diferencial 2 y’’ + 5y =senx se puede afirmar que: 1. Es lineal de segundo orden con coeficientes variables 2. El operador diferencial que anula a g(x) es
12 5 = 0 15
3. El operador diferencial que anula a g(x) es
1 5 = 0
4. Es lineal de segundo orden con coeficientes constantes La respuesta es: Ninguna El enunciado muestra parcialmente la respuesta debido a que la ED es de segundo orden con coeficientes constantes pero el operador diferencial que anula a g(x)=sen(x) no es ninguna de las soluciones planteadas debido a que su operador anulador correcto es:
1 =- =0 Ejercicio 7. ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN
Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y seleccionar su respuesta de acuerdo con la siguiente información
Seleccione A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Seleccione B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Seleccione C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA.
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Seleccione D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. Recuerde que seleccionada la respuesta debe especificar el procedimiento que la justifique
Ejercicio 8. La solución particular de la ecuación
3 11 5=0 es = √ √
PORQUE su ecuación asociada tiene raíces imaginarias. Solución: La ecuación planteada es:
3 11 5=0 La solución general para la ecuación se puede escribir:
= ó ℎ = 0 Se puede escribir de la siguiente forma:
3 11 5=0 3 115=0 Hallando las raíces por la cuadrática: Sea
= 3, = 11 = 5 Teniendo en cuenta la cuadrática:
4 ∓√ , = 2 Reemplazando
435 11∓ 11 , = 23 17
435 11∓ 11 , = 23 , = 11∓√ 162160 61 , = 11∓√ 6 Siendo,
61 = 11√ 6 Y
= 116√ 61 Y por lo tanto su solución da
= +√ −√ Teniendo en cuenta lo anterior concluye que la afirmación es VERDADERA. Pero la razón es FALSA ya que la ecuación asociada que es
, = 11∓6√ 61 No tiene raíces imaginarias. En este caso la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA, la respuesta sería la opción C.
Ejercicio 9. Un operador anulador para la función
= 5 6 es 32
PORQUE la función f(x) es no lineal. R/=
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Seleccione D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. Debemos hallar cada operador
5 Definimos:
su operador es + En este caso
5 3+ =3 6 Definimos:
Su operador es + Para este caso:
6 2+ =2 El operador de toda la función
3 =2 = 0 Ejercicio 10.
3 10=0, 0 = 1 , 0 =12 = 2 = 1 PORQUE la solución particular de la ecuación es =2 − La solución del problema de valor inicial
es
R/=
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Seleccione A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación.
3 10=0
=0 adopta solución de la forma = . 3 =10=0 3 =10=0 3 10 = 0 Una ecuación de la forma
Resuelve
= =
Reescribimos
3 = 10 = 0 Factorizando
310 = Como ≠ 0 entonces resolvemos la ecuación cuadrática de la ecuación − − ±√ = Reemplazamos valores
= 1 −− + −− − = 5 4 1 10 3 3 =2 =2 21 20
Para dos raíces reales
= −
1≠2 la solución queda =
Reemplazamos los valores
=2 −
1 = 2 2 = 1 obtenemos como solución particular
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DESARROLLO EJERCICIOS ACTIVIDAD COLABORATIVA Ejercicio 1. Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden.
Problema: Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m
Solución Datos
, =30
;
=70 ; = 8
;
=350
Ya que es un movimiento de caída libre, podemos definir la ecuación de la siguiente forma:
= 0 350 70 = 0 5 = 0 = 5 = ±√ 5 Solución general
= cos sin 22
Reemplazamos
= cos√ 5 sin√ 5 Analizando las condiciones iniciales tenemos Para t=0
8 = cos 5 0 sin 50 = 8 Derivamos la solución general
, = 5 sin√ 5 5 cos√ 5 30= 5 sin 50 5 cos 50 30= 5 = 30 √ 5 =13.4 Solución final
=8cos√ 5±13.4sin√ 5 Ejercicio 2 Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben
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realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:
Situación y solución planteada: Un sistema vibratorio que consiste en una masa unida a un resorte como se muestra en la figura
Se suelta desde el reposo a unidades debajo de la posición de equilibrio. La masa es de
= 2 . El movimiento es amortiguado (=1,2 y está siendo impulsado por una fuerza periódica externa = , comenzando en =0. Dicha fuerza está definida como =5cos4. Para esta situación, procedemos a encontrar la ecuación y la constante elástica es
diferencial que describe el movimiento En los sistemas físicos acelerados la sumatorio de fuerzas se expresa de acuerdo a la formulación de la segunda ley de Newton:
∑ =
De acuerdo al problema planteado se tiene un Movimiento forzado con amortiguamiento. En concordancia con la ley anterior:
= Donde la aceleración y la velocidad están dadas por = y = 24
Transponiendo términos en la ecuación:
= Y reemplazando los valores dados en esta se tiene:
1 1,2 2=5cos4 0 = 1 ´0 = 0 5 2 4 5=25cos4 Equivalente a: Se hace = 0 para convertir la ecuación a una homogénea: = Se escribe la ecuación característica y se resuelve:
45=0 Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones:
=2, =2 Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como:
= − cos sin Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:
=cos4sin4 ´ =4sin44cos4 ´´ =16cos416sin4 4 5=0 Sustituyendo en la ED 16cos416sin444sin44cos4 5 cos4sin4 =25cos4 Operando: 25
16cos416sin416sin416cos45cos45sin4 =25cos4 Reuniendo términos semejantes:
11cos411sin416sin416cos4=25cos4 Factorizando:
1116 cos4 1611 sin4=25cos4 El sistema de ecuaciones resultante: 1116=25 1611=0 Se cumple que: = = Reescribiendo: =cos4sin4 25 cos4 50 sin4 = 102 51 La solución sería: = 25 cos4 50 sin4 = − cos sin 102 51 Haciendo = 0 25 cos40 50 sin40 0 = −[ cos0 sin0] 102 51 1 = −[ cos0 sin0] 25 cos40 50 sin40 2 102 51 25 = 12 102 = 3851 Derivando la expresión y haciendo = 0 26
= 8651 Por lo tanto la ecuación de movimiento es:
25 4 50 4 = − 3851 8651 102 51 Solución:
1 1,2 2=5cos4 0 = 1 ´0 = 0 5 2 Se multiplica por 5 a ambos lados de la igualdad:
1 55 1,2 2=55cos4 1 5∗ 5 5∗1,2 5∗2=25cos4 = En la solución anterior se encuentra un errar en esta parte del procedimiento (Esta resaltada en negrilla). Se debe plantear a partir de aquí todo el desarrollo del problema pro el error encontrado anteriormente. Se hace
= 0 para convertir la ecuación a una homogénea: 6 10=0
Se escribe la ecuación característica y se resuelve:
610=0 Solucionándola por fórmula cuadrática se tienen las siguientes soluciones:
=3, =3 27
Cuando las raíces son complejas, la solución se escribe como:
= − cos sin Con el Método de coeficientes indeterminados, se supone una solución particular de la forma:
=cos4sin4 ´ =4sin44cos4 ´´ =16cos416sin4 Sustituyendo en la ED
6 10=0 16cos416sin464sin44cos410 cos4sin4 =25cos4 Operando:
16cos416sin424sin424cos410cos410sin4 =25cos4 Reuniendo términos semejantes:
6cos46sin424sin424cos4=25cos4 Factorizando:
624cos4624sin4=25cos4 Igualando términos semejantes:
624 cos4 = 25cos4 1 624sin4=0 2 Solucionando la ecuación (1)
624 cos4 = 25cos4 28
624 = 25 6=2524 2524 = 2524 = 6 6 = 2524 6 4 Solucionando la ecuación (2)
624 sin4=0 0 624 = sin4 624 =0 4 Se reemplaza (3) en (4)
624=0 6242524 6 =0 6242524 6 =0 642524 = 0 610096=0 102100=0 102=100 = 100 102 = 5051 Se reemplaza B en la ecuación (4):
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= 2524 6 5051 2524 = 6 1200 12751200 75 25 = 6 51 = 516 = 516 1 75 = 75 = 51∗6 306 Simplificando entre 3
25 = 75 = 306 102 =cos4sin4 Reemplazando:
= R/= El desarrollo del error que existía en el ejercicio era por el factor exponente, ya que era el -3 y no -2 como estaba en la guía de actividades
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CONCLUSIONES Las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se pueden clasificar en homogéneas (igual a cero) y no homogéneas (igual a una función de x). La solución de la ecuación diferencial homogénea depende del grado de la derivada, es decir si en nuestra ecuación diferencial el mayor grado de la derivada es dos, la solución de la ecuación
y su solución estará representada como, = siempre y cuando sean linealmente independientes, es homogénea asociada tendrá dos resultados
decir que sean diferentes. En el presente trabajo se evidencia los conocimientos adquiridos por parte delos estudiantes del curso respecto a las ecuaciones diferenciales de orden superior, cuyo objetivo fue de facilitar el reconocimiento de los diferentes elementos que se deben tener en cuenta para el cumplimiento de los objetivos cognitivos del curso.
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