3 ())(* +) ,*+( 8+ .<+*7+ )(+*() 8+) )8 -.+ + =++ () *(* )( 4*(7( 8+ y =2 √ x E*+ 3 ! ()*+8+8* 8+) ++ y =2 √ x y = 4 x 3 ! 2
b
∫ f ( x) √ 1+ [ f ' ( x )]
2
A = 2
dx
a
y =2 x
8
∫ 2 √ x
A = 2
3
8
A = 4
∫ 3
1
1
y =2 √ x
√ ( ) 1
+
2
2
8
2
1
dx
√ x
√
∫ 2 √ x
2
3
8
x + 1 √ x x
dx
4
∫ 3
x
2
√
√ x x + 1 √ √ x
1
−1
1
+
1
2
√ x
dx
x
8
dx
4
8
∫ √ x +1
dx
3
8
4
∫
du =¿ dx
1
4
2
du
∗
4 2
3
3
8 3
[ ( a ) −( ) ] 3 2
8
3
4
2
A 159;1$ ≃ 159;2 u
3
=¿ u
[ 27− 8 ] 3 2
8
2
8 3
3
152
19
3
3
( x +1 )
∫ ( x ) 3
dx u=¿ x + 1
4
2
8 3
1 2
%(*( )( )4.8 8+ (*7 + ++ b
∫
s=
a
√ ( )
2
dy dx 1+ dx
A@ -.+ + 7()7.)( )( 8+*?(8( 8+ )( .7 2
dy x 1 = − 2 dx 2 2 x
C()7.)(8 +) 7.(8*(8 2∗ x
(
x
2
−
2
2 x
)
2
1 2
=
x
4
4
2
∗1
2
−
2 x
1
+
2
4 x
4
=
x
4
4
1
1
2
4 x
− +
4
A/*( + +) *(87()
√
1
+
x
4
4
1
− + 2
1 4 x
4
=
√
4
x
+
4
1 4 x
4
+
1 2
R+8.7+8 ) 8+(8*+ ( x + 1) x + 1 x + 1 + 2 x = =
√
8
√
4
4 x
4
4
4 x
2
4
4
2 x
2
A/*( + )( +4*() x + 1 x s =∫ dx =∫ dx +∫
( ) ( ) ( )
3
2 x
1
3
s=
3
4
3
6
1
2
2
1
(
− − 6
2
1
3
6
1
)
− = 2
3
1
26 6
1
2 x
( )
2
dx =
x
6
|
3
3
−
1 2 x
1
1 13 1 14 − − = + = =4.66666 u❑ 3
3
3
3
5 )( *+4 )(8( <* )( 4*,7( 8+ f ( x )= x y g ( x )=0 . 5 x C.() + +) ?).+ 8+) )8 -.+ *+.)( 8+ +( *(7 Y K 2 H K 2 K 2 # 0
2
4*( ()*+8+8* 8+) ++ H
H K #1 0 H 0 ; V; K #1 0 H 0 ; V; 2 L+ 0;2
x
0
1
F(x )
0
1
2
3
2
3
x
0
1
2
ʃ (x)
0
K
2
[ f ( x ) ] ¿
2
# 4 P2 8
b
V
∫¿ a
x
¿
V
2
2
– K 2 2P 8
∫¿ 0
( 2
V
Q0
∫❑
2 8# "8 P
(
x
3
3
)
V = π ¿
¿ ¿ ¿
8
8
3
5
V = π [ − ]
x
3
3
)
V = π ¿
¿ ¿ ¿
V =
16 15
π
x −1 6. La región limitada por las gráfcas de
¿ ¿ y =¿
se hace girar alrededor del eje X .
Hallar el volumen del solido resultante
y =1 + x alrededor del eje x
2
( x −1 ) =1 + x 2
x −2 x + 1=1 + x
2
2
x −2 x + 1−1 − x −0
x −3 x =0
x ( x −3 )=0 x = 0 x −3 =0
x = 0 x =3 b
∫
v = π [ R ( x ) −r ( x ) ] dx 2
2
a
2
2
y ( x −1 ) X y
0
1
2
3
!
"
0
1
2
3
#
$
"
y =1 + x X y
3
∫ [(1 + x ) −(( x −1 ) ) ] dy 2
y = π
2 2
0
3
∫ [ 1 +2 x + x −( x − 4 x +6 x −4 x +1)] dx 2
v =π
4
3
2
0
+
2
4
+ x − x + 4 x −6 x (¿+ 4 x −1) dx
1 2 x
2
3
∫
v =π ¿ 0
4
3
− x + 4 x (¿−5 x + 6 x ) dx 2
3
∫
v =π ¿ 0
[
5
4
3
]∫
− x + 4 x − 5 x + 6 x v =π
v =π
[
5
4
3
2
2
3
❑
0
−1 ( ) ( ) 5 ( ) 3 + 3 − 3 + 3 (3 ) 5
5
4
3
3
2
]
v =π [ −48.6 + 81 −69 + 67 ] =14.4 π unidades cubicas %. Hallar el centroide de la región limitada por la gráfca de recta ()#
y = x
2
& el eje X ' la
∫ f ( x ) dx
A =
2
∫
2
A = x dx = 0
x
3 2
1 8 ¿ (2 ) = ∫ 3 3 3 3
0
A =
8 3
2
∫
2
My = x − x dx 0
2
xy My = x dx = y 0
∫
3
2
∫ ¿ 14 (2 ) = 14 ( 16 )= 164 =4 4
0
My = 4
Mx =
1
2
∫ x 2 0
4
dx
x
2
5
Mx = −
Mx=
1 10
5 2
1
∫❑ 0
2
x
5
=3.2 ∫ ¿ 101 (2) = 22 10 5
0
My x = A 4
x =
1 8 3
x =
4 2.66
x =1.5
y =
My A 3.2
y =
1 8 3
y =1.2
*. Hallar el centro de masa
x p ( x )= + 2 para 6
0 ≤ x ≤6
C (¿¿ e )
¿
de un o+jeto cu'a ,unción densidad es
0 ≤ x ≤6
b
∫ xρ ( x ) dx ∫ ρ ( x ) dx
∂=
b
a
a
x 6 6
∫ (¿+2 ) dx 0 6
∂=
∫ ( x ) ( x6 +2) dx 0
¿ x 6
x
2
(¿+ 12 x ) dx x ( x + 12 ) +2 1 dx = ∫ ¿ ( x )(¿ ) dx =∫ 6
y
6
6
0
6
0
6
∫¿ 0
1 6
1 6
[
x
3
+
3
] [
2 x 2
2
6
1 1 x
∫¿ 6 0
+ 6 x
3
] [ 6
3 2
∫ ¿ 16 0
1 3
× 216 + 216
[ 72+ 216 ] = 288 =48 6
x 6
(¿+ 2 )dx =
1 6
6
6
1 x
2 6
6
0
0
∫ xdx+∫ 2 dx = 6 2 ∫ +¿ 2 x ∨∫ ❑ 0
0
6
∫¿ 0
1 12
x
6
6
0
0
∫ +2 x∫ ¿ 121 [ 36 ] +12 3 +12=15
2
]
∂=
48 15
=3.2
-. un o+jeto se empuja en el plano desde () ! & hasta ()! & pero de+ido al viento la ,uera de+e aplicarse en el punto ( es :
( x )=3 x − x + 10 / 0ual es el tra+ajo 2
realiado al recorrer esta distancia1 f ( x )=3 x − x + 20 2
∫ f ( x ) dx
! = " !=
3 x
2 3
(¿− x + 10 ) dx =
3 x 3
−
x
2
2
10
+ 10∫ ❑ 0
10
∫¿
!=
0
3
x −
1 x
1000
2
2
10
1 + 10 x ∫ ¿ ( 10 ) − ( 10 ) + ( 10 ) ( 10 )=¿ 3
0
2
2
1
− ( 100 ) + 100 =1000−50 + 100=1050 2
! =1050 #ulios !. 2n resorte tiene una longitud natural de * pulgadas .Si una ,uera de #! li+ras estira el resorte 3 pulgada& determinar el tra+ajo realiado al estirar el resorte de * pulgadas a pulgadas. 11
∫ 40 x dx
!=
8
11
∫
! =40 xdx = 8
40 x 2
2 11
∫❑ 8
11
! =20 x
∫ ¿ 20 [ 11 −8 ]
2
2
2
8
! =121−64 =57 lb / pulg
f = $x
20 0.5
% =40
. 4adas las ,unciones demanda
= $
lb pulg
& ( x )= 50−
x
2
' la o,erta S5( )#67( & el
2
e(cedente del consumidos en el punto de e8uili+rio es :
x &eanda & ( x )=50 −
2
2
(fer)a * ( x )=26 + x ,
∫
+c = & ( x ) dx −,o
9unto de e8uili+rio
−
50
x
2
0 28
2
x x
2
−26 = + =
50
1
48
2
+ x
24 1
=2 x + x
x x
= + 1
2
2
2
x + 2 x − 48=0 ( x + 8 ) ( x −6 ) =0 2
x + 8=0 x =−8 x −6 =0 x =6
. +=6 -un)o de e/uilibro=6.32 * ( 6 )=26 + x =26 + 6 =32
