CALCULO INTEGRAL CÓDIGO: 100411A_471
Unidad 3 - Fase 6 - Discusión Resolver problemas y ejercicios de las aplicaciones de las integrales.
Presentado a: Oscar Mauricio Mora Arroyo
Entregado por: Johnny Fernando Rivera. (1,5,9) 1.085.294.651 Robert Jonathan Villota. (2,6,10) xxxxxxxxx Jorge Parra Acosta. (3,7,11) 5.250.662 Jhoan Bayron Quintero. (4,8,12) 1.112.462.828 Eliana Elizabeth Morillo. (1,6,11) 1.086.299.099
Grupo: 100411_220 Grupo: 100411_220
Universidad Nacional Abierta Y A Distancia - Unad Escuela De Ciencias Básicas Tecnología E Ingeniería 03 de mayo 2018 Pasto
INTRODUCCIÓN El presente trabajo colaborativo se realizó con la finalidad de estudiar, comprender y solucionar problemas que involucran análisis de gráficas, volúmenes de superficies de revolución, mediante las aplicaciones de las integrales en las ciencias que permiten la comprensión de situaciones relacionadas con nuestra vida cotidiana y profesional. La aplicación de integrales en el cálculo de áreas sencillas limitadas por curvas contribuye a ayudar a los estudiantes a comprender la potencia del cálculo integral y a familiarizarse con aspectos prácticos del mismo. Además de servir como introducción para otras aplicaciones de las integrales en los diferentes campos de la ciencia: Física, Biología, Ingeniería o Economía. En ellas, la integral definida permitirá medir magnitudes a través de la medida de áreas.
Ejercicios propuestos Fase 6 Discusión –
Una vez estudiados los principios sobre integración y analizadas las diferentes técnicas de integración, se procede a desarrollar la parte práctica o de aplicaciones de las integrales como es el caso del análisis de gráficas (área de regiones planas, área entre curvas, áreas de superficie de revolución, longitud de una curva, longitud de un arco en forma paramétrica) Primera parte (punto 1 al 4) Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado. Johnny Fernando Rivera 1, 5, 9 1. Halle el area de la region comprendida entre la parábola 2 5. Elabore la gráfica para una x y x 3 y la recta y mejor comprensión del ejercicio y considere el área en unidades cuadradas. Solución:
y y
2
x
x
3
3
2). y x 5 Puntos de corte
y x
(
x
3
3)
0 x 2
5
( x 5)
x
2
3 x 2
x
y
10 x 25
10 x 25 x 3
0 x 2
11 x 28
Obtenemos dos números que multiplicados resulten 28 y sumados den 11 que son 7 y 4 y evaluamos x
y
7
x
4
2
y
(7 , 2 )
1
( 4, 1)
Hallar área: b
A ( f ( x) g ( x))dx a 4
A
( x 5) (
x 3 ) dx
7 4
A
( x 5)
2
(
x 3 ) dx 2
7 4
A
( x 2 10 x 25 x 3)dx
7 4
A
( x
2
11 x 28)dx
7 4
7
x 3 3
11 x 2 2
28 x
Evaluamos en 7 y 4 7 3 11(7) 2 4 3 11(4) 2 28(7) 28(4) 2 2 3 3
343 539 64 176 196 112 2 2 3 3 279 3
363
2
558 1089
6
84 504
27
6
9
2
4.5u
2
Eliana Elizabeth Morillo 1, 6, 11 1. Halle el área de la región comprendida entre la parábola 2 5. Elabore la gráfica para una x y x 3 y la recta y mejor comprensión del ejercicio y considere el área en unidades cuadradas.
SOLUCIÓN: Tenemos: Parábola=> Recta=>
= √ 3 =
Integramos en los intervalos que se verán reflejados en la gráfica:
1 = 3 Calcular la integral indefinida: 3 = 3 + Calcular los límites:
Sustituir la variable:
Simplificamos:
2 lim 2 3 → 32 3∗3 1 = 92 9 1 = 2 3 2 = 32 4 = 15 3 + = 1615√ 2 2 = 1, 5 = 2+1, = 1+2 5 = 3,5
Calcular la integral indefinida:
Hallar los límites
GRAFICA:
Robert Jonathan Villota 2, 6, 10 2. Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de f ( x) x 3 3x 2 y g ( x) x 2. Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio y considere el área en unidades cuadradas. y Encontrar los puntos de corte de las dos funciones solucionando el sistema por igualación:
= + = + 3 +2 = +2 3 = 0 4 = 0 4 = 0 2 +2 = 0 = 0; 2 = 0 +2 = 0 = 0; = 2 = 2
Las soluciones están dadas por:
;
y
Remplazando las respectivas x en cualquier de las anteriores ecuaciones se tiene respectivamente que:
= 2; = 4; = 0
Jorge Parra Acosta 3, 7, 11
4/
3. Determine la longitud de arco de la gráfica 0) al punto (1, 4) y elabore la respectiva gráfica.
== , = , = +′ / = = +/ = √ + = +
= = √ ∕ = = + ∕ = ≅ .
Del Origen (0,
Jhoan Bayron Quintero 4, 8, 12 4. Halle el área S de la superficie de revolución que se forma al girar x sobre el intervalo cerrado [1, 4] alrededor del la gráfica de y eje x. Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos)
b
2 del sólido resultante es: S 2 f ( x) 1 ( f ' ( x)) dx a
De la función
= √
encontramos su derivada
Reemplazando tenemos
= 2√ 1
1 = 2 √ 1 +2√ = 2 √ 1 + 41 4 +1 = 2 4 = 2 21 √ 4 +1 = √ 4 +1
Realizando una sustitución simple
= 4 +1 = 4
Recalculando los límites de integración
La integral nos queda
= 4 = 17 = 1 =5 = 4 √ = 4 23 | = 6 17 5 = 30,8465
Para los extremos simplemente averiguamos los radios en los puntos extremos, evaluamos en la función dada
= √ 1 = 1 = = √ 4 = 2 = = 30,8465+1 + 2 = 46,5545
Segunda parte (punto 5 al 8)
Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución utilizando diferentes técnicas, momentos y centros de masa. Johnny Fernando Rivera 1, 5, 9 5. Determine el volumen del sólido de revolución al rotar la región 2 encerrada por la función f ( x) 4 x entre x = 0 y x = 2, alrededor del eje x. Elabore la respectiva gráfica y considere el volumen en unidades cúbicas.
Solución:
b
f ( x)2dx
a
2
0
16 x 4 8 x 2 dx
2
(16 x 0
x
5
5
8 x 3 3
Evaluamos en (X=2) (32 (
32
64
5 3 480 96 320 15
256 15
u
3
Robert Jonathan Villota 2, 6, 10 6. Encuentre el volume del sólido que se genera al girar la región plana y x R : alrededor del eje y 4. Elabore la gráfica y considere y 8 x el volumen en unidades cúbicas 2
= √ 8 = √ 8 =
eje
=
=
Puntos de corte por igualación: 8x
= 8 = 8 = ±√ 8 = ±2 =2 x=4yx=0
Remplazando x=2 y x=0 en ecuaciones anteriores se tiene que:
Grafica 2. Representación gráfica de las funciones. Aplicando la fórmula para el cálculo de volumen se tiene:
= (
= = = 4 4
)
=
= 4√ 8 = 4 4√ 8 = 168 + 168√ 8 +8 = 168 + 16+8√ 8 8 = (8 + + 8√ 8√ 8) 8 = 3 + 5 + 28√ 3 8 / 4/
Evaluando se tiene que:
8 2 3 2 + 5 + 163 2/ 42 0 = 11.73 Eliana Elizabeth Morillo
1, 6, 11 6. Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región y x plana R : alrededor del eje y 4. Elabore la gráfica y y x 8 considere el volumen en unidades cúbicas. 2
SOLUCIÓN y x 2 R : y 8 x
Igualamos y de las 2 ecuaciones para hallar los Puntos de corte:
= √ 8 = 8 = 8 = 8 = √ 8 =2 y = x =2 =4 y = x =0 =0
Remplazando x=2 y en una de las ecuaciones anteriores se tiene que:
Remplazando x=0 y en una de las ecuaciones anteriores se tiene que:
GRAFICA:
Calculamos el volumen mediante:
= = = = = 4 = 4 8 √ = 4 4√ 8 = 168 + 168√ 8 +8 (
)
4
= 168 + 16+8√ 8 8 = (8 + + 8√ 8√ 8) 8 = 3 + 5 + 28√ 3 8 / 4/ 8 2 3 2 + 5 + 163 2/ 42 0 = 11.73
Jorge Parra Acosta 3, 7, 11 7. Una varilla de 18 cm de longitud tiene una densidad lineal, medida en g/cm, dada por . Halle su centro de masa (Ce).
√ ,0 18 ∫ = ∫ == √ √ ∫ = = ∫ √ / ∫ = ∫ / ⁄ [ ] = ⁄| = = = = .
Considere el centro de masa:
Jhoan Bayron Quintero 4, 8, 12 2
8. Halle el centro de la región acotada por las gráficas de f ( x) x 3 y g ( x) x 2 2x 1 , entre x = -1 y x = 2. Considere las fórmulas del centro de la región en el plano:
b
__
Ce( x ) x
M y A
x[ f ( x) g ( x)]dx a b
[ f ( x) g ( x)]dx a
;
1 __
Ce( y ) y
M x A
b
[ f 2
2
( x) g 2 ( x)]dx
a b
[ f ( x) g ( x)]dx a
Primero hallamos el área A
= − + 3 2 1 = −2 + 2 +4 = 23 + + 4|− = 23 2 + 2 + 42 23 1 + 1 + 41
Y ahora
= 230 73 = 9
= − + 3 2 1 = −2 + 2 +4 = −2 + 2 + 4 = 12 + 23 + 2|− = 12 2 + 23 2 + 22 12 1 + 23 1 + 21 Y ahora
= 92
1 = 2 − + 3 2 1
1 = 2 −2 + 2 +4 = 12 23 + + 4|− = 12 23 2 + 2 + 42 23 1 + 1 + 41 = 12 203 73 = 92 ̅ = = 99/2 = 12 = = 99/2 = 12
Ahora podemos hallar el centro
Tercera parte (punto 9 al 12) Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales. Johnny Fernando Rivera 1, 5, 9
= = = ′
9. La ecuación de movimiento de un móvil está dada por la velocidad instantánea está dada por y la aceleración instantánea por
= =
.
Teniendo en cuenta lo anterior, considere la siguiente situación:
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una velocidad inicial de (ver figura) Considere como aceleración de la gravedad .
/ = /
a. ¿Cuál es la ecuación de la velocidad V (t) en un instante de tiempo (t)?
v f
Solución:
2at vi
Ecuación: x
v f
0
v0
adx vdv
ax
x 0
v 2 v f 2 v0 v f
a ( x 0) ax
v f
2
2
2
vi
vi
2
2
2
2 vi
2
2ax vi
2
2ax v f v f
2
2
Sustituimos x x 2 2ax vi t t f x t
(2(ax) vi 2 t
v f
x
2
i
x 2axt
x t x x v t t v
vi 2 t x
v 2at vi f
b. ¿Cuál es la ecuación del movimiento S (t)? Sugerencia: Observe que en el tiempo cero el desplazamiento es nulo (S(t)=0, cuando t=0) Solución:
S (t ) s (0) v 0 * t
1
S (t ) 0 25 * t
2
1 2
* g * t 2 2
* 10 * t
S (t ) 25 * t 5 * t 2
c. ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo? Sugerencia: Note que el desplazamiento es nulo cuando la piedra toca nuevamente el suelo (S(t)=0) Solución: S (t )
0 25 * t
0 0 25 * t
1 2
1 2
*10 * t 2
*10 * t 2
2
t 25 5 * t t
25 5
5 seg
Robert Jonathan Villota 2, 6, 10 10. En un laboratorio de física se hace una prueba con un resorte cuyo coeficiente de elasticidad es de y de longitud inicial de 1, 4 metros. a. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte hasta una longitud de 1,8 metros? b. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte desde una longitud de 2,0 metros hasta otra de 2,4 metros? A.
= .
=
Teniendo en cuenta que f=kx y k=5.2, además que el resorte tiene una longitud natural de 1.4 metros se obtiene que:
. −. . w = = 5.2 = 5.2 = 5.2 2 /.
Evaluamos:
B.
0. 4 5.2 2 = 0.416 . −. w = = −. 5.2 = 5.2. = 5.2 2 /. 1 0. 6 = 5.2 2 2 = 1.664
Evaluamos:
Jorge Parra Acosta 3, 7, 11 11. Las funciones de la demanda y de la oferta de cierto producto están dadas por hallar
7 2 1 = = + =+ + + + + + = = = = = = =+ = , + ± = ± = +
a. El Punto de equilibrio.
El punto de equilibrio:
b. El excedente Del consumidor E. C en el punto de equilibrio.
=
= = = + + = = → () → + → + = ∗ + ∗ = → + = + ∗ ∗=+∗ ± =± = + + , ≠ = + + = + = = =
c. El excedente Del productor E. P en el Punto de equilibrio.
= + = + : = = → () → + → + = + ∗ = → + = + ∗ = +∗ Eliana Elizabeth Morillo 1, 6, 11 11. Las funciones de la demanda y de la oferta de cierto producto están dadas por D x x 7 y S x x 2 2 x 1, hallar 2
a. El punto de equilibrio
= 7 = + 2 +1 7 = + 2 +1 1416 +49==48 + 2 +1 = 4168 =3 = 37= =16942+49
Punto de equilibrio:
= 3, 16 +4916 14 ± = ± = 14+33 = 3 14 = 7 33 = 33 = 3 7 + 33 + = = → () → + → 3 7 + 33 = 03 7∗0 + 33∗0 = 0 → 3 7 + 33 = 33 3 + 33∗3 3 3 ∗=7+3∗33 45
b. El excedente del consumidor E. C en el punto de equilibrio
c. El excedente del productor E. P en el punto de equilibrio
16 2 1
± =±
= 2 +15 = +1 + 1 , ≠ 1 = 2+1 + 1 = 3 2 = 15 = 15 = 3 + 15 = + 15 3 16 2 1: 16 2 1 = = → () → + → 3 + 15 0 = 3 0 + 15∗0 = 0 → 3 + 15 3 = 3 3 + 15∗3 3 3= +2715∗3 Jhoan Bayron Quintero 4, 8, 12 12. Se recibe un cargamento de 18.000 kg de arroz que se consumirán en un período de 6 meses a razón de 3.000 kg por mes. Si el costo de almacenamiento mensual por cada kilogramo es $400, ¿cuánto se debe pagar en costos de almacenamiento en los próximos 6 meses?
Considere C (t) como el costo total de almacenamiento durante t meses, además se sabe que en el momento en que llega el cargamento (cuando t = 0), no hay costos de almacenamiento; es decir, C (0) = 0. Usaremos las cantidades en miles para mayor facilidad al realizar los cálculos. Sea Sea
costo total de almacenamiento durante t meses
= ∗0,4 = 183 = 1830,4 = 356 65
la cantidad de arroz en t meses transcurridos
Ahora usando integrales para conocer el precio total a pagar durante los 6 meses
365 65 365 106 | 365 6 106 6365 0 106 0 = 21,6
Recordando que los cálculos se realizaron en miles el costo total de mantenimientos nos queda
$
=
Conclusiones: 1. El calculo integral es una herramienta que facilita la solución de muchos problemas de la vida cotidiana que sin el uso de este concepto es difícil de abordar. Hay un sin número de aplicaciones que encierra están amplia rama de las matemáticas que son de uso cotidiano dentro de otros campos de conocimiento como física, química, economía, bilogía entre otras. 2. Es de vital importancia el conocimiento de conceptos previos para el desarrollo óptimo de la temática desarrollada puesto que la falta de estos conceptos básicos nos dirige a cometer diferentes tipos de errores. 3. El entorno grafico de GeoGebra nos brinda una visión mas clara de el tipo de problemas que se está abordando para llegar a la correcta solución con ayuda de la representación grafica de los diferentes tipos de problemas en especial el cálculo de áreas y volumen por medio de la integral definida.
Bibliografía
Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales. Alicante: Digitalia. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true& db=nlebk&AN=318092&lang=es&site=ehostlive&ebv=EB&ppid=pp_Cover Ortiz, C. F. J., & Ortiz, C. F. J. (2014). Cálculo integral. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action ?ppg=1&docID=11046762&tm=1460996791877 Benítez, E. (2014, mayo, 12). Sólidos de revolución – Método de discos. [Video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/7144 Segura, V. A. (2014). Matemáticas aplicadas a las ciencias económico-administrativas: simplicidad matemática. México: Larousse - Grupo Editorial Patria. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Recuperado de http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action ?ppg=1&docID=11028658&tm=1460996983691
