UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD –
CÁLCULO INTEGRAL FASE 6 _ DISCUSIÓN
RODOLFO LÓPEZ GARIBELLO TUTOR
NATHALY JIMENEZ MARTINEZ COD: 1110537733 VIVIAN CAMILA CORREALES GARCÍA CÓD: 1105690677 VIVIANA BERRIO COD: GRUPO: 100411_142
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA MAYO 09 DEL 2018
INTRODUCCIÓN
El cálculo integral, es una rama de las matemáticas en el proceso de integración o antiderivación. Su uso ha pasado por grandes maestros y científicos como Arquímedes, René Descartes, Isaac Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los trabajos de este último y los aportes de Newton generaron el teorema fundamental del cálculo integral, que propone que la derivación y la integración son procesos inversos El calculo integral se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución es por esa razón que en el presente trabajo colaborativo Fase_6 realizado por el grupo 142 se evidencia el desarrollo de problemas de calculo integral aplicando los conocimientos adquiridos de la Unidad 3.
OBJETIVOS
Objetivo General Solucionar problemas relacionados con la realización y el análisis de gráficas, volúmenes de superficies de revolución y aplicaciones de las integrales
en
situaciones cotidianas
Objetivos Específicos
Apropiar los temas en teoría y en práctica de los ejercicios a realizar.
Evaluar y analizar áreas de regiones y volúmenes.
Aprender a formular las áreas de superficie y longitud de arco mediante integrales definidas e indefinidas teniendo en cuenta teoremas y propiedades del cálculo integral.
Comprender el concepto de integral de una función, manejar los métodos de integración y aplicarlos a cálculos geométricos y a problemas de Física
Calcular el área encerrada por una función y el eje OX en un determinado intervalo.
Hallar la superficie encerrada entre dos curvas.
Calcular volúmenes de revolución engendrados por el giro alrededor del eje x,y del recinto limitado por una o dos funciones.
Consolidar los aportes individuales.
DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Nombre estudiante
Puntos a realizar
Estudiante 1
Nathaly Jimenez
1
5
9
Estudiante 2
Camila Correales
2
4-6
10
Estudiante 3
Viviana Berrio
3
7
11
Primera parte (punto 1 al 4) Primera parte (punto 1 al 4) Cada ejercicio se debe resolver paso por paso, sin omitir ninguno, cuando se utilice una propiedad, definición o ley por favor enunciarla, así se fortalece el procedimiento utilizado.
1. Halle el área de la región comprendida entre la parábola recta
y
x
5. Elabore
NATHALY JIMENEZ M.
Para hallar el aréa y comprender limites debemos despejar.
Despenjando y
2
x
3 y
la
la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio y
considere el área en unidades cuadradas.
= =√ 3 = 3 = =5
y
= 3
=5
3=5 2=0 21 =0
=2 =1
Limite inf. = -1 Limite Sup. = 2
− = −5 3 = − 2 = 2 2
3 2 1 =83 42 413 12 2= 3 32 2= 12 Grafica:
2. Encuentre el área de la región limitada por las gráficas de
2 =2
= 3
. Elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio y
considere el área en unidades cuadradas. Vivian Camila Correales
El área entre las curvas es el area entre una curva f(x) y una curba g (x) en un intervalo
, = ∫| | = 32 =2 32=2 32=2∶=0,= 2,=2 32=2 322=22 3= 3= 4=0 4∶ 22 4 : 4 4
Primero, para encontrar los puntos de intersección resolver f(x) = g (x).
Se resta 2 de ambos lados.
Se simplifica
Se resta x de ambos lados.
Se simplifica.
Se resuelve mediante factorización.
ú
+ = = = 4 = 4 4∶ 22 = 4 = 2 2 = 22 = 22 =22 22=0
Se aplica las leyes de los exponentes:
Se factoriza el termino común x
Factorizar
Aplicar la regla para binomios al cuadrado:
Se utiliza el principio de la multiplicación por cero: x=0 Se resuelve x+2=0 x= -2
Se resta 2 de ambos lados.
2=0 22=02
Simplificar. X= -2 Se resuelve
x-2=0 : x=2
Sumar 2 a ambos lados
Se simplifica.
2=0 22=02 =2
Las solución final:
Por lo tanto
= 2,=2
=0,= 2,=2 = −| 322| −| 322| =8
El área es: 8.
3. Determine la longitud de arco de la gráfica punto (1, 4) y elabore la respectiva gráfica.
y
4 x
3/ 2
del origen (0, 0) al
Viviana Berrio
Fórmula para longitud de curva
= 1 =6
=36
Reemplazando en la integral del punto 0 hasta el punto 1
= √ 1 36 Usando el método de sustitución simple
Entonces
=136→→=36 = 361 √ = 361 23= 541 136/ = 541 37 1 =4.1493
4. Halle el área S de la superficie de revolución que se forma al girar la gráfica de
= √
sobre el intervalo cerrado [1, 4] alrededor del eje x.
Vivian Camila
Correales
= √ =1,=4 = √ √ Se eliminan absolutos. Se debe encontrar las expresiones equivalentes a
√ 1≤≤4sin . = (√ ) (√ ) = 143 √ Se calcula la integral indefinida:
2 √ = 3 √ √ = = ∫ = + ,≠ 1
Se aplica la ley de los exponentes:
Se aplica la regla de la potencia:
1 + 2 1 Se simplifica
Se simplifica
1 :
Convertir a fracción
1 + : 23 2 1 + 12 1
ó
1=
12 1 = 12 11
Se encuentra el mínimo común denominador para
:2; es 2.
Se reescribe las fracciones basandose en el mínimo común denomiandor
= 12 1∗22 Ya que los denominadores son iguales, se combinan las fracciones:
= 11∗2 2 11∗2=3 = 32 = 3+ 2 + =
± = ±
+
1 : , se encuenra el mínimo común denominador para :2. Se simplifica
ó
Se reescribe las fracciones basandose en el mínimo común denominador.
= 32 = = 3 2 Se aplica las propiedades de las fracciones:
2 =3 = 23 2= 3
= ∗
Se agrega una constante a la solución.
Se calculan los limites:
(√ ) : (√ ) = 163 23 lim →123 = 23 2 lim →13 Se sustituye la variable.
Se simplifica
=
2 = 3 ∗1
2 lim →43 = 163
Se sustitye la variable.
= ∗ 4
4 =8
8= 23
Se multiplica las fracciones.
Se simplifica
El área es:
=
= 2∗83 = 163 = 163 23 = 143
Segunda parte (punto 5 al 8) Por medio de las integrales podemos hallar volúmenes de sólidos de revolución utilizando diferentes técnicas, momentos y centros de masa.
5. Determine el volumen del sólido de revolución al rotar la región encerrada por la función f ( x)
4
x 2 entre x = 0 y x = 2, alrededor del eje x. Elabore
la respectiva gráfica y considere el volumen en unidades cúbicas. NATHALY JIMENEZ M.
Se utiliza la fórmula general de velocidad
=
=
Limite inf. = 0 Limite Sup. = 2
= = 168 8 = 16 2
3 5 0 = 32 643 325 = 32 643 325 =15∗325∗643∗32 15 =48032096 15
= =. ú
Grafica
6. Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
= = √ 8
alrededor del eje y= 4. Elabore la gráfica y considere el volumen en
unidades cúbicas.
Para la región mostrada en la figura, el radio exterior es
√ 8 =
=
Integrando entre 0 y 4.
= √ 8 = (√ 8) = 8
=
8 = = =
= = 8 [ ] → = 64 →= 64 1 4 16 = 64 5 2 →= 320 2 →= 1024 320 2 0 = 565 R=
r=
7. Una varilla de 18 cm de longitud tiene una densidad lineal, medida en g/cm, dada por
( x )
x
, 0 x 18 . Halle su centro de masa (C e). Viviana Berrio b
Considere el centro de masa: C e
M y m
x ( x) dx
a b
( x) dx a
Fórmula de centro de masa
∫ = = ∫ VALOR DE My
VALOR DE m
= ∗ = 2 =5 2 = 5 18 0 2 = 5 1889568
= 2 =3 = 23 18 0 2 = 5832
3
VALOR DE CENTRO DE MASA
2 1889568 5 = = 2 5832 =10.8 3 El centro de masa de la varilla se encuentra a 10.8 cms de su origen
8.
Tercera parte (punto 9 al 12) Existen numerosas aplicaciones del cálculo integral a las ciencias como en la física (trabajo y movimiento), en la hidráulica (bombeo de líquidos), en la estadística, en la economía y en las ciencias sociales.
9. La ecuación de movimiento de un móvil está dada por instantánea está dada por
′′
.
NATHALY JIMENEZ M.
= = ′
=
la velocidad
y la aceleración instantánea por
= =
Teniendo en cuenta lo anterior, considere la siguiente situación:
Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo, con una
/ = /
velocidad inicial de gravedad
(ver figura) Considere como aceleración de la
.
a. ¿Cuál es la ecuación de la velocidad V (t) en un instante de tiempo (t)? b. ¿Cuál es la ecuación del movimiento S (t)?
Sugerencia: Observe que en el tiempo cero el desplazamiento es nulo (S(t)=0, cuando t=0) c. ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al suelo?
Sugerencia: Note que el desplazamiento es nulo cuando la piedra toca nuevamente el suelo (S(t)=0)
= = = = = = =25 / =10 / =∗ ´
´´
=∗ 12 a. ecuación de velocidad
b. Ecuación de movimiento
=∗ =2510 = =2510 =25 5
c. Tiempo en tardar la piedra en llegar al suelo Cuanto t = 0 s=0
0=255 0 0=5 5 =5
Grafica
10. En un laboratorio de física se hace una prueba con un resorte cuyo coeficiente de elasticidad es de
=5. 2 1,4 .
a. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte hasta una longitud de 1,8 metros?
b. ¿ Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte desde una longitud de 2,0 metros hasta otra de 2,4 metros?.
Por la ley de Hooke, la fuerza f(x) requerida para estirar el resorte en unidades de x (de su longitud natural), es F(x)= Kx Usando los datos dados se sigue que F(x)= kx F(x)= 5,2 x Como se muestra en la figura. Para encontrar el incremento de trabajo, asumir que la fuerza requerida para estirar el resorte sobre un pequeño incremento
∆ . ∆= = 5,2∆ Asi que, el incremento de trabajo es:
Porque el resorte es estirado de 1,4 a 1,8 mts más de su longitud inicial, el trabajo requerido es:
, = = , 5,2 ó . , , 5, 2 =2, 6 =2, 6 1, 8 2, 6 1, 4 = 2 , =8,,4245,096=3,328 = , b. = ∫ = ∫, 5,2 ó , , 5, 2 =2, 6 2, 4 2, 6 2, 0 = 2 , = 2,6 , =14,97610,4 =4,576 . 11. Las funciones de la demanda y de la oferta de cierto producto están dadas por
x
D x
7
2
y
x 2 2 x 1, Viviana Berrio
S x
hallar a. El punto de equilibrio b. El excedente del consumidor E. C en el punto de equilibrio c. El excedente del productor E. P en el punto de equilibrio A) Encontrando el punto de equilibrio
7 = 21 1449= 21 1648=0 =3 3=37 =4 =16 =3,16
Imagen del punto de equilibrio
B) Fórmula de excedente del consumidos
.= .= 7 16 144916 .= .= 1433 1 .=3 7 33 .=13 3 73 33313 0 70 330=45
c) Fórmula excedente del productor
.= .= 16 21 2 .=15 1 .=15 2 .=153 12 3 3150 12 0 0=27 12.
CONCLUSIONES
La integral definida es aplicable en el cálculo de áreas de una funcion en relación al a un eje del plano cartesiano o en su relación con otra función, y está delimitada por el dominio de ‘’a’’ y ‘’b’’ los cuales condicionan los valores de ‘’x’’. 2.
La superficie encerrada en dos curvas se halla por medio de la integral definida en una diferencia de funciones considerando como minuendo la mayor función en un intervalo dado.
El cálculo del volumen de un sólido de revolución es factible por medio de la integral de finida de una manera sencilla y práctica, considerando diferentes métodos que están clasificados según las Funciones con las que se forme el sólido al girar en el plano cartesiano.
REFERENCIAS BIBLIOGRAFÍCAS
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