TRABAJO COLABORATIVO 2 MÉTODOS NÚMERICOS ECUACIONES LINEALES E INTERPOLACIÓN
ESTUDIANTE MAURICIO ALBERTO CARDONA ZAPATA CÓD. 71371124 JUAN FERNANDO MARIN LONDOÑO COD. 1´027.964.419 DIANA PATRICIA ALVAREZ CÓD:43714721 BLADIMIR SUAREZ COD: 70755804 WILSON SMITH LOPERA CÓD: 98646149 GRUPO 100401_56
TUTOR DIANA YADITH RISCANEVO
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERA CEAD MEDELLÍN OCTUBRE 2017
Tabla de contenido
INTRODUCIÓN ......................................................................................................................................... OBJETIVOS ................................................................................................................................................
3 4
OBJETIVO GENERAL .................................................................................................................. 4 OBJETIVOS ESPECIFICOS ....................................................................................................... 4
TRABAJO No. 2
........................................................................................................................................ 5
INTRODUCIÓN El desarrollo de la unidad 2 se trata el tema de ecuaciones lineales e interpolación. Estas son muy importantes ya que en ciertos casos el usuario conoce el valor de una función f(x) en una serie de puntos x1, x2, · · ·, xN, pero no se conoce una expresión analítica de f(x) que permita calcular el valor de la función para un punto arbitrario. Un ejemplo claro son las mediciones de laboratorio, donde se mide cada minuto un valor, pero se requiere el valor en otro punto que no ha sido medido. La idea de la interpolación es poder estimar f(x) para un x arbitrario, a partir de la construcción de una curva o superficie que une los puntos donde se han realizado las mediciones y cuyo valor si se conoce. Teniendo en cuenta que el objetivo de los métodos numéricos es aproximar el valor numérico usando un número finito de operaciones aritméticas, en esta unidad hemos desarrollado los contenidos que se refieren Eliminación de Gauss, Gauss-Jordan, Método de Jacobi, Método de Gauss–Seídel, Polinomios de Lagrange, Diferencias Divididas, Aproximación Polinomial de Newton y Polinomio de Newton en diferencias finitas.
OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Comprender y aplicar los diferentes métodos que se utilizan en la solución de sistemas de ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones no lineales.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Realizar la lectura de los textos propuestos Comprender y realizar el método de eliminación de Gauss – Jordan Comprender y desarrollar el método de Jacobi Comprender y desarrollar el método de Gauss– Seidel
Comprender y desarrollar el método de Polinomios de Lagrange
Comprender y desarrollar el método Polinomio de Newton en diferencias
finitas
TRABAJO No. 2 1. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando los Método de eliminación de Gauss.
22 64 42 38 == 4066 7 7 5 7 = 92 9 9 9 7 = 32 2 2 64 42 83 4066 97 79 59 77 9232 1⁄21→1 1729 7934 952 733 437 409232 221→2 371→3 491→2 10 310 22 411 10633 00 3614 1927 4335 139329
Se busca que en la fila 1 exista un pivote
1⁄102→2 10 31 1⁄25 411⁄10 5333⁄5 0 14 19 35 47⁄5 (01 363 3142→3 4362→4 272 443 32933 ) 00 10 181⁄5⁄ 1198⁄10⁄ 4753⁄⁄5 0( 0 99⁄5 5 17⁄55 2635⁄5) 5⁄813→3 0(10 3010 15 4171110⁄⁄⁄54781 53533⁄⁄5) 263 991⁄⁄259881 499⁄53→4 10 31 1⁄25 411⁄10 5333⁄5 0 0 1 98⁄81 47⁄81 0 0 0 1859⁄ 3709⁄
Se obtiene que
9⁄1854→4 10 31 1⁄25 411⁄10 5333⁄5 = 2(0 0 10 9881⁄1 4781 2⁄ ) 9881 2= 4781 19681 = 4781 47 196 =1 811181 = 353 5 10 = 5 15 3 1110 2= 535 35 2210 = 535 = 3535 11 115 =53 35 =5 9
De la tercera fila se puede obtener
De la segunda fila obtenemos
De la primera fila se obtiene
3 2 4 =33 392342=33 2768=33 29=33 =3329 =4 =4 {=9 =3 =2
Verificamos, ponemos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos el cálculo.
2∗2∗ 446∗4∗ 99 4∗2∗338∗3∗22 == 885436126 16 6= =4066 7∗9∗44 9∗7∗ 99 5∗9∗33 7∗7∗22 == 2836638115271414==9232
2. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Gauss-Jordán.
Se busca un pivote
51 26 45 56 == 10490 3 5 7 3 = 63 2 5315 5269754356 91049063 = 108 2 5 9 9 108 15 1→ 1 11 2⁄65 41 65⁄5 10418 63 32 5313→3 12→2 97 93 108 214→4 10 282⁄⁄5 51 316⁄⁄5 12218 0(0 2919⁄⁄55114 357⁄55⁄ 1449 ) 5 5 285 2 → 2
10 2⁄15 −1 6−⁄5 18 0(0 2919⁄⁄5 114 573⁄⁄5 1449 ) 5 5 219295523→3 21→1 5 24→4 10 01 191425 231431 1873057 28 28 14 207 101 1285 00 00 45328 49928 378514 ) 28207283→ 328 14 10 10 251914 231431 1873057 28 28 14 101 2570 00 0 0 4531 207499 3785207 ( 1928 28 14 ) 31→1 45325281432→2 34→4
10 1 0 00 203207139 2042 207 2215 207207 00 00 01 685207101207 2570 479569 ) ( 69 69 10 1 0 06850 4→ 2032074139 2042 207 2215 207 207 101 2570 0 00 20300 1 1 207 2077 ) 139207 41→1 207 10142→2 43→3 2070 0 0 3 1 00 0 10 0 00 1 01 0 976 3= 6= 0 10 1 00 0 01 0 00 9= 0 0 0 1 7=
Verificamos, ponemos la solución obtenida en la ecuación del sistema y realicemos el cálculo.
5·33 26 ·6·6 54··99 6·5 ·77 == 153 36 12 36453 542==10490 3·3 5 ·6 7 ·9 3 ·7 = 9 30 63 2 1 = 63 2·3 5 ·6 9 ·9 9 ·7 = 6 30 8 1 63 = 108
3. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Jacobi 3x - y - z = 1 -x + 3y + z = 3 2x + y + 4z = 7
Utilizar un
< 1%
El método Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo: Ax = b
132 131 114 =⏟137
Para el método Jacobi escribimos nuestra matriz: A= D-L-U D=
3 3 4
L=
1 21
Fórmula para el método Jacobi
+ =−
U=
1 1 1
Calculamos
−− 1 ⁄3 1 1 ⁄ 3 − ( 13⁄ 14⁄ ) (37) 74⁄1 ) 1 1 1 ⁄ ⁄ ⁄ 3 3 1 1 − 1 1 1 = ( ⁄3 1⁄4) 21 1 1 = ( 1⁄⁄32 1⁄4 ⁄33) ++ 17⁄13 1⁄3 1⁄3 11⁄⁄33 + ⁄4 1⁄ 1⁄ 13 7( ⁄14) ((131)⁄⁄2 ( 2 113⁄⁄4 4 ) = )( 131⁄7⁄4 13⁄1⁄2 113⁄⁄4 ) = =
=
Sustituimos en la fórmula del método Jacobi
=
+
=
+
El resultado obtenido se le conoce como formular para iteración según método de Jacobi.
++ = 1⁄3 1 1⁄3 1 1⁄3 + =17 ⁄13 ⁄31 = ⁄4 ⁄2 ⁄4
=0=1 = 1⁄3 0.33333 =1.25 =0.9537 =0 =1 =0.527778 =0.97222 = 1 =0 =74⁄ =1.33333 =0.97222 =1 …
4. Solucione el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el Método de Gauss-Seidel. 0.1x1 + 7x2 – 0.3x3 = -19.3 3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 0.3x1 – 0.2x2 – 10x3= 71.4 Utilizar un ξ < 1%
Lo expresamos de forma matricial
0.0.313 0.0.7 12 0.1023=19.7.71.8543 0.0.313 0.0.7 12 0.0.1023 0.0.313 0.0.7 12 0.0.1023 =19.7.71.8543 =
Llevamos a la matriz a ser una matriz de diagonal dominante
Para este método se expresa la matriz A como
Donde
=300 0.70 1 0.0.1023 =0.0.0 13 0.002 000 3+0.=1−0.2 −−7.85 −=00 70 0.103 ∗19.71.43= 13 0.00476 0.00681 7.85 2.0404 −= 0 17 0.004291 ∗19.71.43=3.7.063414 (0 0 10 ) La fórmula del método gauss
–
Seidel
0681 ∗0.0.0 13 0.02 00=0.0.00.0157031300 0.0.000858 013602 00 −= 130 0.0047617 0.00429 (0 0 101 ) 0136 00∗ +++=3.2.7.0040463414 0.0.00.0157031300 0.0.0.0000858 02 0 Resolvemos la segunda parte de la suma
0.0.00.0157031300 0.0.000858 013602 0∗ 0 =0.0.00157 0.13003 0.000858 20136
0136 0.0.0000858 130 +++=3.2.7.0040463414 0.0.000157 0.0157 03 0. 0.0200136 2. 0 4040. 0 =3.06340. 7.140.013003 0.0.00200858 + =2.04040.00157 0.00136 + =3. + 0=7.63410.40.013003 0.000858 2 =0, =0, =0 =2.0404 =3.0634 =7.14 Se asume que
Comprobando
=3. =2. 0=7.6340. 4040.140.0130015703 22..200.4040. 04040. 4040.0000858 020136 3. 0 634= 634=2. 3. 0 477 0 872 3.0634= 7.0175 =2.04772. 2.04770404 ∗100=0.356% Comparando:
|| ||=| |=|7.|=|01687896 3.20. 87094 459722.7.03.46003 87081|=0.| |=0.0=0.00031000013 001687829 00000067
Se cumple la condición por lo tanto el resultado es:
=2.04597158 =3.08709440 =7.0168789642 5. Determine el Polinomio de Interpolación de La grange para la siguiente tabla.
x y
1 -2
3 1
5 2
Polinomio según La grange:
7 -3
=⋯ = 1 331 551 77 = 531548 7 15 4871105 = 7 5 35348 2115105 = = 3 113 553 77 = 5516 7 = 7 5 3516 7535 = 13 164735 1 3 7 33 7 5 7= = 16 11 16 3121 = 7=35121165 37321 Se inicia hallando
Se halla
Se halla
= 7 117 337 55 = 3348 5 5 3 15 5315 9 2315 = 48 = 48 15 71105 2 13 4735 1 =11 48 16 3121 9 2315 16 2 48 3 Se halla
Ahora se reemplazan estos valores en el polinomio de Lagrange y se multiplica por el respectivo f(x)
Simplificando se tiene:
= 15 71105 13 4735 11 3121 924 162315 16 8 15 71105 313 4735 6 11 3121 2 3 9482315 = 66 1861263 2= 30 1422103 3927 1411056 6945 48 28144 4 24 = 48 =4 648 736 Sumando se obtiene:
Sacando 4 como factor común y simplificando se obtiene
= 612 736 1= 1 61 7136 = 24 =2 3= 3 612312 7336 =1212 =1
Se puede comprobar evaluando con los diferentes valores de x de la tabla:
6. Determine el Polinomio de Interpolación Usando la Interpolación de Diferencias Divididas de Newton, e interpole en el punto x = 5 x y
7 1430
6 908
4 278
2 40
-4 -242
Primero se genera la tabla de diferencias divididas
7
1430
6
908
4
278
2
40
-4
- 242
− − =522 − =69 − − − =315 − =49 − − − =119 − −− =9 −− −− =47
− − =4 − = =0 −− − − =4 −−
Ahora para aproximar el polinomio, se escribe el polinomio de la forma:
= Dónde: ⋯ ⋯ − =[]= =1430 =[=[, , , ]=522 Es l a pri m er a di f e r e nci a di v i d i d a ]=69 Es la segunda diferencia dividida =[=[,, ,, ,, ,]=4]=0 EsEslaltaercuarceratadidifefrerncienciaadidiv:vidididaa =1430522 769 7 64 7 6 40 Ahor a s e eval ú a en x=5 5=1430522 5 769 5 7 5 64 5 7 5 6 5 40 0 55=1430522 269 2 14 2 1 1 =1430 0 1044 138 1 8 1 1 5=1430 104413818110 5=1430 104413880=532
7. Dados los puntos: (-4.5, 0.7), (-3.2, 2.3), (-1.4, 3.8), (0.8, 5.0), (2.5, 5.5), (4.1, 5.6) determine los polinomios de grado 3 y 4. Graficar para determinar la curva más aproximada.
X Y
-4,5 0,7
-3,2 2,3
-1,4 3,8
0,8 5,0
2,5 5,5
4,1 5,6
Vamos a resolverlo por el método Interpolación de Diferencias Divididas de Newton Xn
F(Xn) F(Xn), F(Xn+1) F(Xn), F(Xn+1),F(Xn+2) F(Xn), F(Xn+1),F(Xn+2),F(Xn+3)
X0 -4,50 0,700 X1 - 3,20 2,300 X 2 - 1, 40 3,800 X3
0,80 5,000
X 4 2,50 5,500 X 5 4,10 5,600
1,231 0, 833 0, 545 0, 294 0, 062
F(Xn), F(Xn+1),F(Xn+2),F(Xn+3),F(Xn+4) F(Xn), F(Xn+1),F(Xn+2),F(Xn+3),F(Xn+4),F(Xn+5)
Tabla de diferencias divididas - 0,128 - 0,072 - 0,064 - 0,070
0, 011 0, 001 - 0, 001
- 0,001 0, 000
0,000
=0,7 =1,231 =0,128 =0,011 =0,001 =0 = ⋯ ⋯ − La fórmula del polinomio es
Sustituyendo
Como vamos a determinar el polinomio de grado tres debemos tomar, entonces cuatro puntos
=0,70,0111,2314,54,53,2 0,1,1284 4,5 3,2 4,53953,20,11,2847,0,7814, 4 =0,71,0,0012315, 17, 00,010,01216, 0, 8,9,25760, 0,1028083 0,0110179 =0,0,0,7101,001 0,00020, 001112315, 390, 1 3 25, 1 28 1 9 820, 9 6 8561, 8 430, 2 2170, =, ,01612 , ,,
= /
8. Para la siguiente tabla obtenga el Polinomio de Interpolación de diferencias finitas de Newton e Interpole en el punto
X Y
0 -2
-1 -4
-1/3 -2/3 -8/3 -32/9
Antes de iniciar debemos organizar los valores de X, en este caso lo organizaremos de menor a mayor: Ptos 1 2 3 4
X -1,0 -0,67 -0,33 0
F(x) -4,0 -3,6 -2,7 -2,0
Antes de continuar se debe confirmar que sean los puntos equidistantes, y se confirma que hay la misma distancia de un punto al otro:
Ahora realizamos la tabla con los valores organizados Ptos 1 2 3 4
X F(x) ∆f(X1) ∆2f(X1) ∆3f(X1) -1,0 -4,0 -0,67 -3,6 0,444 -0,33 -2,7 0,889 0,444 0 -2,0 0,667 -0,222 -0,667
Aplicamos la fórmula:
= ∆ 2!1 ∆.. 1 2! 1 ∆ =40,44 12!0,44 123! 0,667 =40,44 12 0,44 126 0,667 =4 0,44 3 10,4461 20,667 =4 0,44 130,446 20,667} =4 6671,334334}} ,44 1 11,312,320,660,671, =40,404 } = , ,, −,−,=/ −,} = ,, ,,−,−,,, } = ,, = , ,,} =,,=,
CONCLUSIONES En lo que respecta a ecuaciones lineales e interpolación son de mucha ayuda, el momento de conocer el valor de una f(x) en una serie de puntos, pero no se conoce una expresión de f(x) que permita conocer el valor de la función para un punto arbitrario. Se logró comprender cuando un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss. Se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. El método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior. Al desarrollar el método de Jacobi se puede observar a efectos prácticos que si el algoritmo se detiene después de un número finito de pasos se llega a una aproximación al valor de x de la solución del sistema. Al conocer el polinomio de Lagrange donde este interpola un conjunto de puntos dados para tener una sola solución. Pero Si se aumenta el número de puntos a interpolar (o nodos) con la intención de mejorar la aproximación a una función, también lo hace el grado del polinomio interpolador así obtenido, por norma general. De este modo, aumenta la dificultad en el cálculo, haciéndolo poco operativo manualmente a partir del grado 4
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