UNIDAD 1. ERROR Y ECUACIONES NO LINEALES FASE 1. TRABAJO COLABORATIVO 1 - ERROR Y ECUACIONES NO LINEALES
TATIANA CERQUERA MENSA CC 1.079.508.908 YESICA ALEJANDRA ALVIRA CC 1.081.415.263 LINA MAYRENA LOPEZ CC 1.081.4062.53 GUSTAVO ADOLFO PRECIADO CC
ESTUDIANTES DEL CURSO MÉTODOS NUMÉRICOS GRUPO COLABORATIVO 100401_33
TUTOR JOSÉ ADEL BARRERA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD) ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERA LA PLATA - HUILA 2018
INTRODUCCIÓN Este trabajo se realizará con el fin de cumplir las actividades de la fase 1 de Métodos numéricos, solucionando los ejercicios del tema Tipos de Error, Exactitud, Redondeo, Método del punto fijo, Método de Newton- Raphson, Método de la Secante, Método de la Regla falsa y Método de Bisección. Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y ocasionalmente, son la única opción posible de solución. Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas, tediosos cálculos aritméticos. Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que asume la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado. Es por ende que por medio del presente trabajo se pretende aplicar las temáticas del curso correspondientes a la Unidad 1 y acercarnos un poco más a los métodos propuestos para solucionar problemas.
Aportes 1: Solucionar. 1. Desde su campo de formación plantee y de solución a dos ejemplos sobre los tipos de errores (error absoluto, relativo, error relativo aproximado, error por truncamiento y por redondeo), teniendo en cuenta la precisión y exactitud de los mismos. a. La información de una carpeta de archivos nos dice que su contenido (en unidades de medida en el sistema binario) tiene un tamaño de 5,7 Mb, al ingresar encontramos tres ficheros con los siguientes tamaños 200 Kb, 1500 Kb, 4050 Kb respectivamente. Calcular el error absoluto, error relativo y el error porcentual del tamaño mostrado por la información de la carpeta.
Como el tamaño de los archivos está en Kb que es una medida más pequeña que los Mb (ósea más exacta) sumamos el tamaño de los tres ficheros y esta la tomamos como el valor real (V)
V= 200 Kb + 1500 Kb + 4050 Kb V= 5750 Kb
Luego pasamos los Mb de la medida del tamaño de los archivos que realizó el sistema (x) a Kb para manejar las mismas unidades
1 Mb = 1024 Kb 5,7 * 1024 = 5836,8 Kb; x = 5836,8
Ahora se utiliza la fórmula = para hallar el valor absoluto −
=5836,8 5750 =, −
Con la siguiente fórmula se encuentra el error relativo
= = 86,8 5836,8 = 0,01
Lo que equivaldría porcentualmente a un 1%
b. Se sabe que el valor exacto de los ficheros de un directorio son: 3,65345 Kb; 0,87345 Kb; 1,56023 Kb; 45,98234 Kb, para lo cual se requiere conocer los aproximaciones por redondeo y truncamiento, teniendo en cuenta la cuarta cifra significativa.
VALOR REAL 3,65355 0,87345 1,56093 45,98234
REDONDEO 3,654 0,873 1,561 45,98
TRUNCAMIENTO 3,653 0,873 1,560 45,98
EJEMPLO 2 Y persona tiene en su habitación un internet con velocidad de 4mbps y estima que su velocidad de descarga de contenidos sea de 500 kilobits por segundo, pero al investigar se da cuenta que su velocidad de descarga real es de 512 kilobits.
Error Absoluto: = | | Reemplazamos
=
512 500 12 =
Error Relativo: =
∗100
Reemplazamos
=
12/ ∗ 100 = 2,34 % 512/
Error Relativo Aproximado: = ∗ 100
n y tiempo el valor del dólar estaba en 2850, actualmente está en 3050 pesos.
=
3050 2850 ∗ 100 = 6,5% 3050
Error Por Truncamiento: Aproximaremos la siguiente ecuación por truncamiento.
5567 √345 = 16, 1362318
Error Por Redondeo: Aproximaremos la siguiente ecuación por redondeo. 5567 √345 = 16, 1362318 = 16,14
2. Usar el Método de Punto Fijo para aproximar la raíz de () = , comenzando con xo=0, con 5 iteraciones. Se despeja la del termino lineal, se nota que la ecuación equivale a −
= de donde, () =
− ,
en este caso, se tiene que ´() =
Aplicando la formula iterativa para la ecuación, 1 = valor inicial para = 0 se tiene: = ( ) = 0.2 relativo aproximado del 100%.
− y
−
con el
con un error
Aplicando de nuevo en una segunda iteración la formula, se tiene: = = = ( ) = 0.1557461506 con un error relativo aproximado del 28.41%. En este ejemplo, el método solo necesita de 5 iteraciones para reducir el error relativo menor al 1%. Se resumen los resultados en la siguiente tabla, con correspondiendo al número de la iteración, el valor asumido como raíz 1 como valor calculado aplicando el modelo y el error relativo para cada calculo o iteración. Grafica
Función
= 1:0.1:1; = (2 ∗ exp()/5; (, );
2x ´() = 5
+
0
-0.2
100.00%
-0.2
-0.1557461506
28.41%
-0.1557461506
-0.1663039075
6.34%
-0.1663039075
-0.163826372
1.51%
-0.163826372
-0.164410064
0.35%
0 1 2 3 4
SOLUCION 2 El método del punto fijo se aplica, primero igualando a cero la función y luego despejando x en términos de otra x para fijarla, se puede determinar la raíz de la función. NO obstante, pueden existir funciones con varios ceros o raíces de una función. En efecto, sea () = 2
5
−
−
Igualémosla a cero: 0 = 2 5 −
= (
−
−
5)
Se puede determinar x de varios modos:
Modo 1
El cálculo de cada iteración se resume en la siguiente tabla. Iter.
Valor x de iteración
1 2
0 = 0 1
=
0,2
−
−
5 -0,2 -0,157
3 4 5
2 3 4
-0,166 -0,164 -0,164
0,157 0,166 0,164
=
−
=
−
=
−
El valor de la función se acerca a -0,164
Modo 2 = ln[(
−
5)]
Como aquí el punto inicial es x=0 entonces si evaluamos en la representación del modo 2, claramente se puede ver que números mayores a 0 arrojarán logaritmos de números negativos, los cuales no están definidos para variable real. Es decir que solamente el numero x=0 sería capaz de cumplir con la igualdad. Por tanto, una raíz sería 0, y no habría necesidad de recurrir a ninguna iteración.
Modo 3
Nuevamente, como el punto inicial es 0 = 0 entonces hay una indeterminación para el primer término. En conclusión, las raíces serían -0,164 y 0.
Aporte 2: Solucionar. 3. Determine la raíz de la función = −,usando el Método de Newton-Raphson con xo= -2. Realice 3 iteraciones. Calcule el error relativo porcentual en la última iteración, con base en el hecho de que la raíz es 0,70346742250. Solución Por el método de Newton-Raphson tenemos que
( )
+ = ( ), ′
Donde
() = ² − y ′ () = 2 − , Como = 2se tiene:
( ) = 1 () ( ) = = 1.392211191 ′ () ( ) = = 0.8350875294 ′ ( ) =
′
Por otro lado, se tiene que el error relativo porcentual es:
=
0.70346742250 0.8350875294 × 100 = 18.71 0.70346742250
4. Aproxime con 10-4de precisión la raíz de la ecuación , ,() = en el intervalo [0,1/2ϖ] utilizando el método de la secante. Solución: Por el método de la secante tenemos que −
+ = ( )−( ( ), )
Donde
() = 0.8 0.2(),
Tenemos que = 0 Entonces
y
= 1⁄2,
( ) = 0.8 0.2( ) = 0.8 ( ) = 0.8 0.2( ) = 0.3017453071 = ( ) = 0.802802273 ( ) ( )
Como | | = 0.302802273no es menor a 10−se continúa con el proceso
( ) = 0.8 0.2( ) = 0.00000005612 = ( ) = 0.8028022167 ( ) ( )
Como | | = 0.00000005632 < 10 −se termina el proceso y se tiene que la solución es ≈ 0.8028022167.
Aporte 3: Solucionar. 5. Determine las raíces reales de () = , , - , usando el Método de la Regla Falsa aproximar en el intervalo [0.5 , 1] con ξa = 0,1%
Solución () = 26 82,3 88 45,4 9 0,65 En el intervalo [0.5 , 1].
(0.5) = 26 82.3(0.5) 88(0.5) 45.4(0.5) 9(0.5) 0.65(0.5) = 1.71 (1) = 26 82.3(1) 88(1) 45.4(1) 9(1) 0.65(1) = 5.35
Formula de iteración =
() () () ()
Iteración 1.
=
(0.5)(5.35) (1)(1.71) = 0.62 5.35 (1.71)
(0.62) = 26 82.3(0.62) 88(0.62) 45.4(0.62) 9(0.62) 0.65(0.62) = 0.74 ( ) ∗ ( ) = 0.62 ∗ 0.74 = 0.4588 Como ( ) ∗ ( ) > 0 Error relativo:
=
|0.74 1| ∗ 100 = 35.13% 0.74
Iteración 2.
=
(0.62)(5.35) (1)(0.7485) = 0.5581 5.35 0.7485
(0.5581) = 26 82.3(0.5581) 88(0.5581) 45.4(0.5581) 9(0.5581) 0.65(0.5581) = 0.4240 ( ) ∗ ( ) = 0.5581 ∗ 0.4240 = 0.2366
Como ( ) ∗ ( ) < 0 Error relativo:
=
|0.5581 0.62| ∗ 100 = 11.09% 0.5581
Iteración 3.
=
(0.62)(0.4240) (0.5804)(0.7485) = 0.5804 0.4240 0.7485
(0.5804) = 26 82.3(0.5804) 88(0.5804) 45.4(0.5804) 9(0.5804) 0.65(0.5804) = 0.020
( ) ∗ ( ) = 0.5804 ∗ 0.020 = 0.0116
Como ( ) ∗ ( ) > 0 Error relativo:
=
|0.5804 0.5581| ∗ 100 = 3.84% 0.5804
La raíz de la función usando el método de regla falsa es de es 0.5804
6. Demostrar que f(x) = x 3 + 2x2 – 6 tiene una raíz en[1, 2] y utilizando el Método de bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10-4. Solución: () = 2 6 Entonces Tenemos: 1. ITERACCION: Primer paso:
( ) ∗ ( ) < 0 (1) = (1) 2(1) 6 = 3 (2) = (2) 2(2) 6 = 10
Segundo Paso:
=
( ) 1 2 3 = = = 1.5 2 2 2
Tercer Paso:
(1) = (1) 2(1) 6 = 3
(1.5) = (1.5) 2(1.5) 6 = 1.87 ( ) ∗ ( ) = 5.625
Como ( ) ∗ ( ) < 0 entonces = Se realiza el mismo proceso en cada paso y esta descrito en la siguiente tabla. Iteración 1 2 3 4 5 6 7
1 1 1 1.2187 1.3281 1.3281 1.3281
2 1.875 1.4375 1.4375 1.4375 1.3828 1.3554
1.5 1.4375 1.2187 1.3281 1.3828 1.3554 1.3417
( )
( )
-3 -3 -3 -1.2194 -0.1297 -0.1297 -0.1297
1.875 1.1032 -1.2194 -0.1297 0.4683 0.1642 0.01559
Raíz de la función usando el método de bisección es 1.3417
Conclusiones
Es importante antes de iniciar un trabajo colaborativo, conocer e identificar la temática planteada, los objetivos esperados y las actividades a desarrollar; esto con el fin de profundizar e indagar en el contenido y establecer un cronograma de trabajo que asegure el cumplimiento de las metas estipuladas. Conocer nuestros compañeros de curso e interactuar con ellos, asegurar una buena dinámica para el desarrollo y construcción de los trabajos colaborativos, ya que logra romper los paradigmas iniciales y propicia un reconocimiento de los roles del equipo. Se profundizo en temas como Exactitud y Raíces de Ecuaciones. Se desarrollaron los contenidos de: Exactitud, Precisión y Redondeo, Método de bisección, Método de la regla falsa, Método de NewtonRaphson, Método iterativo de punto fijo. Se desarrollaron los 6 ejercicios programados en la guía de actividades correspondiente al Trabajo Colaborativo No. 1. Se participó de forma individual y colaborativa en la planeación y construcción del Trabajo propuesto en el entorno de aprendizaje colaborativo.
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