1001algebraytrigonometriaexcelentematerial-121118161524-phpapp01.pdf

ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA D E P A R T A M E N T O

D E

C I E N C I A S

B Á S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

Indice

Contenido Unidad N° " : Lógica y Cuantificadores Lógica Tablas de Verdad Conectivos Lógicos u Operadores Lineales Negación, Conjunción Disyunción, Condicional Bicondicional Ejercicios Tablas de Verdad para Proposiciones Compuestas Ejercicios ClasificacióndeProposicionesCompuestas Leyes del Algebra Proposicional Ejercicios Lógica Cuantificacional Ejercicios Valor de verdad funcion Proposicional Ejercicios Negación de Proposiciones Autoevaluación

& ' ( 7

98 9 "1 3 " 5" 16 19 19 21 24 29 32

Unidad N° 2: Conjuntos Conjuntos Formas de escribir un conjunto

35 36

Tipos de Conjuntos Subconjuntos Propiedades de los Subconjuntos Ejercicios Operaciones con conjuntos Ejercicios Figuras achuradas Propiedades de los Conjuntos Problemas de aplicación Autoevaluación

37 40 41 42 43 44 52 53 55 61

Unidad N° 3: Relaciones y Funciones Propiedades del Producto Cartesiano Relación Representación Gráfica Dominio y Recorrido

64 66 67 68

Plano Cartesiano Gráfico de algunas relaciones Ejercicios Función Ejercicios

70 71 72 83 84

Z E M O G O IN I G R I V


Tipos de funcion Función Inyectiva Función Sobreyectiva Función Biyectiva y Función Inversa Análisis Completo Autoevaluación

88 91 91 93 94 112

Unidad N° 4: Función Exponencial y Logarítmica Función exponencial y logarítmica Propiedades de la función Exponencial Aplicaciones de la Función Exponencial

106 108 109

Función Logarítmica Propiedades de la Función Logarítmica Logaritmos Decimales o Comunes Logaritmos naturales Propiedades de los Logaritmo Ecuaciones exponenciales Ecuaciones Logarítmicas Sistemas de ecuaciones logarítmicas y Exponenciales Autoevaluación

113 115 117 118 121 124 127 129 131

Unidad N° 5: Trigonometría Trigonometría Sistemas de Medida Angulos Cotermiales Angulo en posición estándar Velocidad angular Funciones trigonométricas Signos de la funciones trigonométricas

133 135 139 142 141 142 145

Problemas Angulos deaplicados elevación y depresión Gráfico de las funciones trigonométricas Gráfico de la función seno Identidades Ley de los Senos Ley de los Cosenos Ecuaciones Trigonométricas Funciones trigonométricas inversas

145 153 156 164 175 181 186 192 194

Unidad N° 6: Números Complejos Números Complejos Representación gráfica de los números Complejos Operaciones con complejos Forma polar de un número complejo Raíces de un número complejo

198 199 202 205 210

Unidad N° 7: Polinomios Polinomios Operaciones con Polinomios Teorema del cuociente y del resto Teorema fundamental del álgebra

216 216 218 220

2



Unidad N° 8: Inducción Matemática Inducción Matematica

225

Unidad N° 9: Teorema del Binomio Teorema del Binomio Fórmula general del Binomio

230 230

Bibliografía

235


3


Z E CAPITULO I LOGICA Y CUANTIFICADORES

4

M O G O IN I G R I V


LOGICA La Lógica Matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemática para demostrar teoremas; en Ciencias de la Computación para verificar si son o no correctos los Programas; en las Ciencias Físicas y Naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las Ciencias Sociales y en la Vida Cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente usamosnecesita en formatener constante el razonamiento para cualquier actividad. Toda estructura matemática un razonamiento válidológico a través derealizar un lenguaje que sea de uso universal. Proposición: Es una expresión con sentido en algún lenguaje que afirma o niega algo y que nos proporciona información. Las proposiciones se denotan con la letras

:ß ; ß <….etc..

Ejemplo 1: :À ;À < À

El pizarrón es verde # $œ( A ella le gusta la música Si observa las proposiciones, pueden ser

Verdaderas o Falsas , no aceptan ambigüedades.

No son proposiciones: a) el b) #Binterruptor  $œ ' c) ¿Qué hora es ? Estos enunciados no son proposiciones porque no tienen sentido, no afirman ni niegan. Valor de Verdad : Es una función que define una proposición. El valor de verdad puede ser Verdadero (V) o Falso (F).

Tablas de Verdad Una Tabla de Verdad es una forma de resumir el valor de verdad de las proposiciones. Esta se construye de acuerdo al número de proposiciones distintas que se den. El número de combinaciones posibles de valores de verdad se determina al resolver la expresión

representa el número de proposiciones dadas. 8

5



¡¡ Veamos cómo funciona !! 

Si hay una sola proposición, "œ8 #œ# , resolvemos " . Esto significa que se pueden dar y la tabla que resulta es: dos posibles valores de verdad : Z J



Si hay #

proposiciones distintas :#ß œ 8 ; ##

y ,

entonces resolvemos

œ%

Esto significa que se pueden dar cuatro combinaciones de valores de verdad y la tabla que resulta es : : Z Z J J 

; Z J Z J

Si hay tres proposiciones $ßœ8 ,

resolvemos

$

# œ ) Es decir, se pueden dar : Z Z Z Z J J J J

; Z Z J J Z Z J J

ocho combinaciones de valores de verdad y la tabla es:

< Z J Z J Z J Z J

...y así sucesivamente. Las proposiciones pueden ser en el ejemplo anterior : :À ;À <À

. Son proposiciones simples las que se dan simples o compuestas

El pizarrón es verde # $œ( A ella le gusta la música

6



Son

aquella que se unen mediante símbolos llamados Conectivos. compuestas

Conectivos Lógicos u Operadores Lógicos: Son símbolos que permiten relacionar una o más proposiciones. Los conectivos son: la negación ( µ), la conjunción • ( ),”disyunción Ä( bicondicional ( Ç ).

), condicional (

¡¡ Veremos cada uno de ellos a continuación!!

"Þ 

:: Negación µ Dado un enunciado :, se puede formar otro enunciado que se llama negación de : ß escribiendo "es falso que..." o "no..." antes de la proposición :. Simbólicamente se representa por µ:

Ejemplo 1: :: el día está nublado µ : : el día no está nublado

El valor de verdad de la negación depende del valor de verdad de la proposición srcinal. Si es : verdadero, entonces µes: falso y viceversa. La tabla de verdad que resume esto es: : Z J

#Þ 

µ: J Z

La Conjunción•:: ; Dos proposiciones simples cualquiera se pueden unir mediante la palabra "y" para formar una proposición compuesta, que se llama Conjunción. Simbólicamente se denota por :•;

Ejemplo 1: :Está À nublado ; Hace À frío : •: ; Está nublado y hace frío.

7

)y



La tabla de verdad es:

Z E

: ; :•; Z Z Z Z J J J Z J J J J

$Þ 

La Disyunción”::; Dos enunciados cualquiera se pueden combinar mediante la palabra "o" ( en el sentido y/o) para formar un nuevo enunciado que se llama disyunción de los dos enunciados previos. Simbólicamente se denota por: :”;

Ejemplo : :: La puerta se abre ;: La silla es de madera : ” ; : La puerta se abre o la silla es de madera

La tabla de verdad es: : ; :”; Z Z Z Z J Z J J %Þ 

Z J

Z J

:; La condicional:Ä Muchos enunciados en matemática son de la forma "si : entonces ; ". Estos se llaman condicionales y se les denota por: : Ä;

Ejemplo: :: son las 10 de la mañana ;: la clase es de matemática : Ä ; : Si son las 10 de la mañana entonces la clase es de matemática

La tabla de verdad es: : ; : Ä; Z Z Z Z J J J Z Z J J Z

8



&Þ 

La bicondicionalÇ :;: Otro enunciado muy usado es el de la forma " : sí y sólo si ;". Los cuales se llaman bicondicionales y se les denota por : : Ç;

Ejemplo : : Hoy voy a ir al cine ; À Hace calor : Ç ;: Hoy voy a ir al cine, sí y sólo si, hace calor

La tabla de verdad es: : ; : Z Z Z J J Z J J

;Ç Z J J Z

Ejercicios M) Þ 

Sean las proposiciones : ElÀ va a la fiesta ;Ella À es su polola

Escriba con palabras los siguientes enunciados: "Ñ

µ; : ............................................................................................................

#Ñ

; ” µ: À

$Ñ

µ µ:

………………………………………………………………...... : ……………………………………………………………………… : …………………………………………………………………….. ÞÞ

; %Ñ µ µ

: ………………………………………………………………….

&Ñ

µ:Ç;

'Ñ

Ð: • µ ;Ñ Ä :

(Ñ

: Ä µ;

: ................................................................................................

: ………………………………………………………………..........

MMÑ Þ  Sean las proposiciones: : À Tengo dinero ; À Hoy dejaré de fumar

9



Escriba los siguientes enunciados verbales en forma simbólica usando : y ;: "Ñ

No tengo dinero

#Ñ

Si tengo dinero entonces hoy no dejaré de fumar

$Ñ

Tengo dinero, sí y sólo si, hoy dejo de fumar

%Ñ

No es verdad que, hoy no dejaré de fumar

&Ñ

No es verdad que, no tengo dinero y que hoy no dejaré de fumar

'Ñ

Es falso que, no tengo dinero o que hoy dejaré de fumar

Respuesta MÑÞ ") Ella no es su polola #) Ella es su polola o él no va a la fiesta $) No es verdad que, él no va a la fiesta %) No es verdad que, ella no es su polola &) El no va a la fiesta, sí y sólo si, ella es su polola 'Ñ Si él va a la fiesta y ella no es su polola, entonces él va a la fiesta () Si él va a la fiesta, entonces ella no es su polola MMÞ "Ñ #Ñ $Ñ %Ñ &Ñ 'Ñ

µ: : Ä µ; :Ç; µ µ; µ Ð µ : • µ ;Ñ µÐ µ: ”; Ñ

USO DE PARENTESIS El uso de paréntesis es un símbolo que forma parte de la lógica secuencial, el uso de ellos es lógico y no retórico, sin los paréntesis las fórmulas o expresiones lógicas pueden carecer de sentido. En el siguiente ejemplo, puede observar que las expresiones son claramente distintas: +Ñ: Ä Ð; ” < Ñ ,ÑÐ: Ä ; Ñ ” <

10



TABLAS DE VERDAD PARA RESOLVER PROPOSICIONES COMPUESTAS Una manera de mostrar la relación entre el valor de verdad de una proposición es mediante TÐ:ß; ß ÞÞÞÑ y los valores de verdad de las proposiciones:ß;ß ÞÞÞ una tabla de verdad.

Ejemplo Sea la proposición

µÐ: • µ;Ñ

Primero: Se completan las dos primeras columnas correspondientes a las proposiciones : y ; : Z Z J J

; Z J Z J

Segundo: Se resuelve el paréntesis de la proposición, desde adentro hacia afuera: : Z Z J J

; µ; Z J J Z Z J J Z

Luego, se va completando la expresión que está dentro del paréntesis : Z Z J J

Z J Z J

; µ; Ð: • µ;Ñ J J Z Z J J Z J

ÞÞÞy por último : se completa toda la expresión en la tabla

11



: ; ZZJ Z JZ JZJ JJZ

µ ; Ð : • µ ;Ñ J Z Z J J Z J Z

Por lo tanto, la solución de

µ Ð : • µ ;Ñ

µ Ð : • µ ; Ñestá dada en la última columna.

Existe otra forma de completar la tabla de verdad de siguiente:

µ Ð : • µ ;yÑ es la

Se escribe toda la expresión en la tabla colocando cada parte de ésta en un cuadrado de la tabla : ;

µ Ð: •

µ; Ñ

Se va completando la tabla de la siguiente forma: : ; ZZ ZJ JZ JJ

µ Ð: • Z J Z Z J J J Z

µ; Ñ

: Z Z J J

µ Ð: Z J Z Z J J J J

µ; Ñ

; Z J Z J

• J Z J Z

La solución de µ Ð : • µ ; Ñ está dada en la columna de la n egaciónÐ µ Ñ . : ; ZZ ZJ JZ JJ

µ Ð: • µ ; Ñ ZZ J J JZ Z Z ZJ J J ZJ J Z

12



Ejercicios MÞ 

MMÞ

Construya la tabla de verdad de las siguientes expresiones lógicas: "Ñ

Ð : • µ ;Ñ Ä :

#Ñ

Ð µ : ” ;Ñ Ç µ ;

$Ñ

µ Ð: Ä ;Ñ • :

%Ñ

Ð: ” µ ;Ñ ” Ð µ : • µ ;Ñ

&Ñ

µ Ð: Ä <Ñ • ;

'Ñ

Ò µ : Ä Ð ; • <ÑÓ Ç µ ;

Si : Cecilia À Bolocco es Primera Dama ; À " " œ # < À # & Á %

Determine el valor de verdad de: "ÑÒ Ð< ” µ ;Ñ • :Ó ” µ

;

#Ñ µ ÒÐ µ ; Ä µ : Ñ ” µ < Ó Ç :

MMMÑÞ Si : À $B  $C œ * ; À &B  C œ ( < À& C  B œ ""

B œ "ß C Á#ß C −

Determine el valor de verdad de: "ÑÒ Ð: ”;Ñ • µ <Ó Ä

µ;

#Ñ µ ÒÐ µ ; Ä µ : Ñ ” µ <Ó $Ñ Ð µ : ” <Ñ Ä µ ;

13

‘



Respuesta "Ñ

: ; µ; : • µ; Ð: • µ;Ñ Ä: Z Z JJ Z Z JZZ Z J Z JJ Z JJZ J Z

#Ñ

: ; µ: Z Z JJ Z JJ Z JZ Z JZ JJZ Z

$Ñ

µ; Z J Z

µ:”; Ðµ:”; Ñ Ç µ; J J J Z

: ; Z ZZ Z JJ JZZ JJZ

: Ä; J Z J J

µ Ð: Ä ;Ñ J Z J J

µ Ð: Ä ;Ñ• :

: ; Z ZJ ZJJ JZZ JJZ

µ: µ; : ” µ; µ: • µ; J Z J Z Z Z J Z J J J J Z Z Z Z

%Ñ

&Ñ

‡‡

'Ñ

‡‡

MMÞ  "Ñ J

MMMÞ

#Ñ Z

Los valores de verdad de las proposiciones son: :ÀJ ;ÀJ
"ÑÒÒÐJ Ð: ”;Ñ <Ó J ÄÓ Ä µµ;J ” J• Ñ •µ µ Ò Ð J Ñ •Z Ó Ä Z J ÄZ Z

14

”



Z E

#Ñ µ ÒÐ µ ; Ä µ : Ñ ” µ <Ó µ ÒÐ µ J Ä µ J Ñ ” µ J Ó µ ÒÐZ Ä Z Ñ ” Z Ó µ ÒZ ”Z Ó µ ÒZ Ó J $Ñ Ð µ : ” <Ñ Ä µ ; ÐµJ ” JÑÄ µJ ÐZ ” J Ñ Ä Z ÐZ Ñ Ä Z Z

Clasificación de las Proposiciones Compuestas Tautología Una proposición T Ð:ß;ßÞÞÞÑ es una tautología si todos los valores de verdad de su última columna son Verdaderos, sean cuáles sean los valores de verdad de sus proposiciones. Contradicción Una proposición T Ð:ß;ßÞÞÞÑ es una Contradicción si todos los valores de verdad de su última columna son Falsos, sean cuáles sean los valores de verdad de sus proposiciones. Contingencia Una proposición T Ð:ß;ßÞÞÞÑ es una Contingencia si todos los valores de verdad de su última columna son Verdaderos y Falsos.

Ejemplo Demuestre que la siguiente proposición es una tautología µ Ð: ” µ ;Ñ Ç Ð µ : • ; Ñ

15



Respuesta

: ; ZZJ ZJJ JZZ JJZ

J Z J Z

µ: µ; :” µ; Z J Z J J Z Z J

Por lo tanto,

µÐ:” µ; Ñ µ:•; J Z J Z Z Z J Z

Ç

µ Ð: ” µ ;Ñ Ç Ð µ : •es; Ñuna Tautología.

Ejercicios De las expresiones lógicas dadas, determine cuál de ellas es Tautología, Contradicción o Contingencia. +Ñ Ð µ : • ;Ñ Ä µ ;

,Ñ: ” Ò µ Ð: • µ ;Ñ Ç < Ó

Observación 1: Cuando las proposiciones que se relacionan por el conectivo Ädeterminan una Tautología, entonces la expresión es una implicancia lógica y el conectivo cambia a Ê Ejercicio Demuestre que la siguiente expresión es una implicancia lógica Ð: •; Ñ Ä Ð: Ç ;Ñ

Observación 2: Cuando las proposiciones que se relacionan por el conectivo Çdeterminan una Tautología, entonces la expresión es una equivalencia lógica y el conectivo cambia a Í Ejemplo En el ejercicio anterior, la expresión µ Ð: ” µ ;Ñ Ç Ð µ : • ; es Ñ una Tautología, por lo tanto la escribimos: µ Ð: ” µ ;Ñ Í Ð µ : • ; Ñ

Un ejemplo de equivalencia lógica son las

leyes Proposicionales .

Leyes del Algebra Proposicional "Þ 

Idempotencia +Ñ: • : Í : ,Ñ : ” : Í :

16



#Þ 

$Þ 

No Idempotencia +Ñ:• JÍJ

.Ñ:” Z ÍZ

,Ñ:” J Í:

/Ñ:• µ:ÍJ

-Ñ :• Z Í:

0 Ñ:” µ:ÍZ

Conmutatividad +Ñ : • ; Í ; • : ,Ñ: ” ; Í ; ” :


-Ñ : Ç ; Í ; Ç : %Þ 

Asociatividad +Ñ Ð: • ; Ñ • < Í : • Ð; • < Ñ ,Ñ Ð: ” ; Ñ ” < Í : ” Ð; ” < Ñ

&Þ 

Distributividad +Ñ Ð: • ;Ñ ” < Í Ð: ” <Ñ • Ð; ” < Ñ ,Ñ Ð : ” ;Ñ •< Í Ð : •< Ñ ”Ð ; • <Ñ

'Þ 

Absorción +Ñ : ” Ð: • ;Ñ Í : ,Ñ : •Ð: ”; Ñ Í :

(Þ 

Negación +Ñ µ J Í V ,Ñ µ Z Í J -Ñ µ Ð µ Z Ñ Í Z

)Þ 

De Morgan +Ñ µ Ð: • ; Ñ Í µ : ” µ ; ,Ñ µ Ð: ” ; Ñ Í µ : • µ ;

*Þ 

Z E

Condicionales +ÑÐ : Ä ;Ñ Í µ : ” ; ,ÑÐ: Ä ;Ñ Í µ ; Ä µ :

17


"!Þ 

Doble Implicación Ð: Ç ; Ñ Í ÒÐ : Ä ;Ñ • Ð; Ä :ÑÓ

Usando las leyes proposicionales también es posible encontrar otra expresión equivalente a la que se da, esto se hace simplificando la proposición compuesta dada. Ejemplo Simplifique la expresión Respuesta

Ð : ” ; Ñ Ä µ :e indique cada paso que realizó

Ð: ” ; Ñ Ä µ: µ Ð : ” ; Ñ ” Por µ :Condicional Ð µ : • De µ ;Morgan Ñ” µ: µ: ”Ðµ:• µ; Ñ Conmutatividad µ : Absorción

Por lo tanto: Ð:” ; Ñ Ä µ: Í µ :

Ejercicios I)

II)

Simplifique las siguientes expresiones, justifique cada paso: "Þ

: Ä Ò ; Ä Ð: • ;ÑÓ

#Þ

: ”Ð µ ; Ä :Ñ

$Þ

Ð: •; Ñ Ä Ð µ : ”; Ñ

%Þ

µ : Ä Ð; Ä µ :Ñ

Niegue las siguientes expresiones, justifique cada paso: "Ñ µ : • ; #Ñ Ò: ” Ð ; • µ :Ñ Ó $Ñ Ð: ” ; Ñ Ä Ð µ : • ; Ñ %Ñ: Ä Ð µ : Ä ; Ñ

III)

Demuestre que, justifique cada paso: 1Ñ

Ò µ : Ä Ð µ ; •: Ñ Ó Í :

#Ñ

Ò Ð: Ä ;Ñ ”Ð µ : Ä µ ;Ñ Ó Í Z

$Ñ

Ò: ” Ð; • µ :ÑÓ Í Ð: ”;Ñ

18



%Ñ

ÒÐ: Ä µ ;Ñ ” µ ; Ó Í Ð µ : ” µ ;Ñ

&Ñ

ÒÐ: ” µ ;Ñ Ä Ð µ : •; ÑÓ Í µ : •;

Respuesta I)

"Þ 

II)

"Ñ:” µ;

Z

#Þ :”;

$Þ 

#Ñµ:•µ;

Z

%Þ 

$Ñ :

Z

%Ñ J

LOGICA CUANTIFICACIONAL Es una rama de la lógica que utiliza determinados símbolos llamados CUANTIFICADORES, los cuales permiten indicar el número de elementos de un conjunto que al ser sustituidos en un enunciado hacen de él una proposición verdadera. Función lógica o proposicional Es una afirmación que contiene una o más variable. Las funciones proposicionales se denotan por letras minúsculas, y las variables se escriben dentro de un paréntesis, por ejemplo: :,ÐBÑ ; ÐBÑ ß<ÐCÑson funciones proposicionales, B e C son variables.

Ejemplo 1: Sea

E œ Ö"ß#ß$× y la función proposicional :ÐB Ñ : B  # Ÿ & , B − E

Determine qué valores cumplen la función. Respuesta Sustituiremos cada elemento de Een la función proposicional: ÐBÑ . Sea B œ " Ê Sea B œ # Ê

:Ð "Ñ œ "  # Ÿ & $

Ÿ&

V

:Ð# Ñ œ #  # Ÿ & %

Ÿ&

V

Sea B œ $ Ê :Ð$ Ñ œ $  # Ÿ & &

V

Ÿ&

19



"

Observe que : todos los elementos que están en A cumplen la proposición : ÐB Ñ ",esto se puede simbolizar por el cuantificador: a y es el Cuantificador Universal. a se lee " para todo " , " todo"

Simbólicamente escribimos todo el enunciado de la siguiente forma: Ð a B − E ÑÐ : ÐB Ñ À B  # Ÿ &Ñ

Esta función lógica es cuantificada. Ejemplo 2: Sea

y "ß! ß"× E œ Ö

;ÐBÑ À lBl  $ œ %

Determine qué valores del conjunto A cumplen con la proposición

Respuesta Sustituiremos todos los elementos B œ "

Bœ! ß

Bœ" ß

,

;Ð  "Ñ À

l " l $ œ % " $œ % %œ%

;Ð! Ñ À

l ! l $ œ % ! $ œ

;Ð " Ñ À

Z

% $œ%

J

l " l$ œ % "  $œ% %œ%

Z

Observe que sólo algunos elementos de A cumplen la proposición ;ÐBÑ , esto se simboliza por otro cuantificador: b , llamado Cuantificador Existencial. b se lee "existen " , "algunos elementos " o " existe al menos un …"

Simbólicamente escribimos todo el enunciado de la siguiente forma: Ð b B − EÑ Ð; ÐB Ñ À l Bl  $ œ % Ñ

bB ß B − Eß ; ÐB Ñ À lB l  $ œ %

Ejemplo 3: Sea = E, Ö #

È

$ßy$ ×

< Ð B Ñ À B  '# œ B

%

Determine qué valores del conjunto A cumplen con la proposición

20



Respuesta

Z E

Sustituiremos cada elemento en <ÐBÑ B œ #

Bœ

% , <Ð #Ñ À Ð  #Ñ #' œ Ð# Ñ %  ' œ "' "! œ "'

È ÈÈ $ ß <Ð

È

È È

% $ Ñ À Ð $ Ñ  ' #œ Ð $Ñ $  ' œ Ð $Ñ Þ Ð# $Ñ * œ *

Bœ  $ , < ( $

F #

% ) +œ6# $( ) *  ' =)" 15 = F )"

V

): ($

En este ejemplo, de todos los elementos de A , sólo simboliza por b!, el cual es otro Cuantificador Existencial.

È

$cumple con la proposición, esto se

b! se lee "existe un único "

Del ejemplo anterior:

# 'œB ß E % œ Ö  #ß b! B − , E <ÐB Ñ À B 

È

$ß  $×

Ejemplo Sea :ÐBÑ una función proposicional, sobre el conjunto ‘ , use cuantificadores para escribir: Todo real cumple con :ÐBÑ Respuesta a Bß B − ‘ ß :ÐBÑ

21



Ejercicios Sea :ÐBÑ una función proposicional, sobre el conjunto siguientes enunciados.

, use cuantificadores para escribir los ‘

a)

Existe un real que cumple con :ÐBÑ : ……………...............………………….

b)

Algún real cumple con :ÐBÑ : ………………………………………..……….

c)

Todo real al cuadrado es positivo o cero : ……………………………………….

d)

La ecuación #B  $ œ !

e)

ÞÞÞÞÞ......................................………………………………………………. Existe por lo menos un real tal que su raíz cuadrada no es real : .............................…………………………………………………………..

0)

tiene solución única en ‘ :

No todos los números enteros son positivos : ........................................................................................................................

22



Respuesta a) b) c) d) e) f)

b Bß B − b Bß B − a B ß B− b x BßB − b B ßB − b Bß B −

Z E

‘ :Ð, BÑ ‘:Ð, BÑ ‘ B, #! , ‘ :ÐBÑ À #B  $ œ ! , Â ‘ B ‘ ™ß B Ÿ !

È

Pero, ¿Se podrán agrupar de alguna forma todos los elementos de un conjunto que cumplen con una proposición

Si, en un conjunto llamado Conjunto de Validez. Por lo tanto, el conjunto de validez es aquel en el cual están todos lo valores para los cuales la proposición es verdadera. Su notación es

Z ,: :indica la proposición.

¡¡ Veamos un ejemplo de esto !! Ejemplo Sea E œ Ö #ß $ß %× ß =Ð BÑ À B  "  # Respuesta Sea B œ #

=Ð #Ñ À #  "  #

B œ $ ( = ) $: B œ % ( ): = %

=ÐBÑ .

 "#

J

##

J

 $#

Z

$  " # %  " #

Es decir, el conjunto de Validez es Z==Ö % × , ya que sólo% el

23

cumple con la proposición



Valor de Verdad de una función proposicional El valor de verdad de una función proposicional depende del cuantificador y del conjunto de validez. ¡¡ Más ejemplos !! Ejemplo Sea

E œ Ö "ß# ßy$×la función: a B ,B − E ß :ÐBÑ Respuesta:

#B : "œ &

Si sustituimos cada elemento de Een: Ð B Ñ , se observa que sólo cuando œ B # cumple, es decir:

, la proposición se

:Ð #Ñ : #Ð #Ñ  " œ & %  "œ& & œ& Z : œ Ö# ×

Como la función lógica decía que: Para todos los elementos de A se cumple la proposición :ÐBÑ , obviamente esto es FALSO, ya que sólo se cumple para un elemento. Porlotanto:

, a B ,B − E: :ÐBÑ #B es "œ &

falso

Ejercicios Determine el conjunto de validez y el valor de verdad para cada función lógica dada: Sea E œ Ö  #ß  "ß!ß" ß# × a)

a B , B − E , :ÐBÑ À B  # Ÿ "

b)

, b B ,B − E ;ÐBÑ À lB l "  "

c)

bx B , B − E , <ÐBÑ À B  "  #

d)

a B , B − E , :ÐBÑ À  B  # Ÿ $

e)

b ,B B ,− E =ÐBÑ À $lB l  "   "

24



Respuesta a)

Z E

Z : œ Ö #ß " ×

Valor de verdad : Falso b)

Z ; œ Ö  #ß  "ß! ß" ß#×

Valor de verdad : Verdadero c)

d)

Z

<

œ Ö #ß " ß !×

Valor de verdad : Falso Z : œ Ö "ß !ß "ß #× Valor de verdad : Falso

e)

Z

=

œ Ö  #ß  "ß !ß "ß #×

Valor de verdad : Verdadero Ahora, recurriremos a las tablas verdad vistas anteriormente, pero las llamaremos Tablas de doble Entrada para resolver las siguientes funciones lógicas: Ejemplo Determine el valor de verdad de: a B ,B − E :ÐBÑ Ç Ò:ÐB Ñ Ä ;ÐBÑÓ ,

con : E œ Ö "ß!ß"ß#× :ÐBÑ :#B  " Ÿ % ;ÐBÑ :B  $  B

#

Respuesta: Se construye la tabla de doble entrada: :ÐBÑ

;ÐBÑ

:ÐBÑ Ä ;ÐBÑ

:ÐBÑ Ç Ò:Ð BÑ Ä ;ÐBÑÓ

" ! " #

25



Luego, se sustituyen los elementos de E, en cada una de las proposiciones, para determinar cuáles de ellos cumplen con la proposición dada: :ÐBÑ ;ÐBÑ  "Z Z Z !Z Z Z "Z Z Z #J Z Z

:ÐBÑ Ä ;ÐBÑ Z Z Z J

:ÐBÑ Ç Ò:Ð BÑ Ä ;ÐBÑÓ

Conjunto de Validez Z Ð:ß ;Ñ œ Ö "ß !ß "× Valor de verdad: Falso ¿Y qué pasa si el conjunto es el de los números reales? Veamos un ejercicio en el cuál el conjunto es el de los números reales. Ejemplo: , b B B 1− +ß‘B

 ! ” B  $ "

3ÑPara determinar el Conjunto de Validez, se resuelven las inecuaciones y se determina la solución Total: B  "! B  "

”

” B $" B%

Recuerda que los conjuntos soluciones en los reales se representan con intervalos. La solución es :

Conjunto de validez :

Ó _ß  "ÒY Ó% ß  _Ò

33ÑPara determinar el Valor de verdad, se lee el cuantificador y se compara con el Conjunto de

Validez. Valor de Verdad : Verdadero Ejercicios En cada uno de los siguientes ejercicios , determine: a) b) c)

Tabla de verdad Conjunto de validez Valor de verdad

26



"ÞSea

E œ Ö #ß " ß !ß" ß #×y la función proposicional:

b B ,B − E µ , :ÐBÑ Ç Ò;ÐB Ñ • µ <ÐBÑÓ :ÐBÑ À B

#

 #B  " œ !

;ÐB Ñ À B  "  ! <Ð BÑ À

È

#Þ

Sea E œ Ö!ß" ß# ß$ ß% ×

B$ −

‘

y la función proposicional:

b B ,B − E ÒÐ, µ ;ÐB Ñ • µ :ÐB ÑÑ Ä <ÐBÑÓ :Ð BÑ À #B  " Ÿ % ;Ð BÑ À B  $  ! < Ð B ÑÀB

es divisible#por

$Þ  E œ Ö!ß" ß#ß$ ß% × y la función proposicional:

, b B ,B − E :ÐB Ñ Ç Ò Ð µ :Ð BÑ ”< ÐB ÑÑ Ä ; ÐBÑ Ó :ÐBÑ À B  $  & ;ÐB Ñ À B # " Ÿ $ <ÐBÑ À B  ! %Þ b B , B − ‘ ß # B1 + Ÿ " • # B  $  &

, ß B‘# Ÿ + &Þ  bx B B − "”

'Þ aB ß B − ß‘$B #  " •

Z E

#B  $ & % &B  (  * %

27



Respuesta "Þ 

a) "  #J  "Z !J "J #J

b) c)

: ÐBÑ ; ÐBÑ J Z Z J Z J J Z Z Z Z Z Z Z Z

<ÐBÑ µ :ÐBÑ J J J J J J J J J J

µ <ÐBÑ ;ÐBÑ • µ <ÐBÑ J Z J J J

µ :ÐBÑ Ç Ò "Ó

Z Ð:ß;ß<Ñ =Ö  "× Verdadero

#Þ 

a) Z ! Z " J # J $ J %

:ÐBÑ Z Z Z J Z Z Z J Z Z

;ÐBÑ J J Z Z Z

<ÐBÑ µ :ÐBÑ J J J J J J J J J J

b)

Z Ð:ß;ß<Ñ = Ö !ß "ß #ß $ß % ×

c)

Verdadero

µ ;ÐBÑ Z Z Z Z Z

" µ ;ÐBÑ • µ : ÐBÑ " Ä <ÐBÑ

$Þ 

a) !Z "Z #J $J %J

:ÐBÑ Z J Z Z J Z J Z J Z

;ÐBÑ J J Z Z Z

<ÐBÑ J Z Z Z Z

" # µ :ÐBÑ µ :ÐBÑ ” <ÐBÑ " Ä ;ÐBÑ : ÐBÑ Ç # Z Z Z Z J Z J Z J Z

b)

Z Ð:ß;ß<Ñ œ Ö!ß "ß# ß$ ß% ×

4)

Z œ Ó _ß !Ó

5) 'Ñ

Z œ Ó  _ß #$Î#Ò Z œ Ó% $Î&ß " Ò ,

d) Verdadero Falso Falso

28

Verdadero



NEGACION DE PROPOSICIONES QUE CONTIENEN CUANTIFICADORES Para negar una proposición cuantificada hay que cambiar el cuantificador y negar la función proposicional reduciéndola al máximo usando las leyes proposicionales. Por ejemplo: b Bß B − Eß :ÐBÑ Ä ;ÐBÑ

E es un conjunto numérico cualquiera

La negación es :

Z E

µ Ð b B ß B − E ß : Ð B Ñ Ä ;ÐBÑ Ñ

La negación de b es a La negación de a es b La negación de : Ð BÑ Ä ; ÐBÑ la desarrollaremos aparte: µ Ò : Ä; Ó µ Òµ: ” ; Ó : •µ ;

Por lo tanto, la expresión negada de: b Bß B − Eß :ÐB Ñ Ä ;Ð BÑ

resulta À

a B ß B − E ß : Ð BÑ • µ ; ÐBÑ

Es incorrecto escribir:

BÂ E

La negación de:

29



Z E y viceversa. Ejercicios Sean las siguientes proposiciones, encuentre su negación: "Þ 

b Bß B − Eß :ÐB Ñ ” ;Ð BÑ

#Þ

a Bß B − Eß µ :ÐB Ñ Ä ;Ð BÑ

$Þ 

b Bß B − Eß ÒÐ µ :Ð BÑ ” ; ÐBÑÑ Ä : ÐB ÑÓ

%Þ

a B , B − ß‘#1B+

&Þ

b Bß B − Eß &B  "  B ” 'B "  $

Ÿ " • #B  $  &

30



Respuesta "Þ

a B ß B − Eß Ð µ :ÐB Ñ • µ ;Ð BÑÑ

#Þ 

b B ß B − Eß Ð µ :ÐB Ñ • µ ;Ð BÑÑ

$Þ

a Bß B − Eß µ :ÐBÑ

4. 

b B, B − ß1‘#+B

&Þ

a Bß B − Eß &B  "  B • 'B "  $

Z E

" ” # B  $ &

Un poco de historia... George Boole (1815-1864), hombre modesto y autodidacta, hijo de un humilde zapatero inglés, publicó The Mathematical Analysis of Logic. Este y otros trabajos fueron motivo de su nombramiento como profesor de matemáticas (pese a carecer de títulos universitarios) del Queens College (hoy University College) de Cork, en Irlanda. Allí escribió su tratado An Investigation of the Laws of Thought, on Which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities (Londres, 1854). La idea fundamental —sustituir por símbolos todas las palabras utilizadas en lógica formal—

31



AUTOEVALUACION "Ñ

Demuestre que Ð : Ä ;ÑÄ µ; Íµ;

#Ñ

Si :À # $ß

;À  %!

ß

.Jusqtifique cada paso <À

El fútbol es un paso de baile

Determine el valor de verdad de µ :ÐB Ñ Ç Ò; ÐB Ñ • µ <ÐB ÑÓ $Ñ

Determine en el siguiente ejercicio: Tabla de verdad Conjunto de validez Valor de verdad

a) b) c)

bx B ,B − E ,ÒÐ µ :Ð BÑ • ;ÐBÑÑ Ä :ÐBÑÓ • µ ; ÐB Ñ E œ Ö  #ß con "ß! : ß"ß#× :ÐB Ñ :#lBl  " Ÿ % ;ÐBÑ :B #  B  $

Sean las proposiciones

%Ñ

on

:À # $œ  "ß ;À&Cœ % < À $ $  $  "!

c CÁ " ß C −

‘

Determine el valor de verdad de Ð µ < • µ : Ñ ” Ò µ Ð: Ä ; Ñ Ç µ ;Ó

32



RESPUESTAS "Ñ

Ð : Ä ;ÑÄ µ; Í µ; Ðµ : ” ; ÑÄ µ; µÐµ : ” ; Ñ ” µ ; : •µ ;Ñ”µ ; µ;

( 2)

Condicional Condicional LeydeMorgan Absorción

Z

$Ñ

 #Z  "Z !Z "Z #Z

:ÐBÑ ;ÐBÑ µ :ÐBÑ Z J J J J J Z J J JZ J J JZJ J JZJ

V de Verdad : F %Ñ

JÀ:

Ð"Ñ Ð#Ñ µ : ÐB Ñ • ;ÐBÑ Ð"Ñ Ä :ÐBÑ Ð#Ñ • µ ; ÐB Ñ Z J Z Z Z Z Z Z Z Z

µ ;ÐBÑ

ZE À Ö  "ß! ß" ß# × JÀ;

JÀ<

Ð µ < • µ : Ñ ” Ò µ Ð: Ä ; Ñ Ç µ ;Ó Ð Z • Z Ñ ” Ò µ ÐJ Ä J Ñ Ç Z Ó Z ”Ò µ Z Ç ZÓ Z ” J Z

33



Z E CAPITULO II CONJUNTOS

34



CONJUNTOS

Z E

En el lenguaje cotidiano, decimos un curso de Algebra, un montón de libros de matemática, un cajón de ropa, la ciudad de Concepción , etc., es decir, usamos muchas palabras para expresar una misma idea. Los matemáticos prefieren la palabra Conjunto para expresar lo mismo.

Por lo tanto, podemos definir Conjunto como sigue:


Un conjunto es una colección de objetos que está bien definido y se denotan por letras mayúsculas. Estas letras pueden ser A, B, C, etc. Algunos ejemplos de conjuntos son : Ejemplo 1 : A œ ÖJugadores de la Selección chilena año 1999 × Ejemplo 2 : B œ Ö+ß /ß 3ß 9ß ? × Ejemplo 3 : CÖ œ números naturales mayores que # × 'y menores que

¿...Pero , sabes cómo se llaman los objetos de un conjunto ?

Cada objeto de un conjunto se llama elemento del conjunto. Y si el elemento está en el conjunto se dice que pertenece al conjunto en caso contrario se dice no pertenece, esto se simboliza − o Â Observe que los elementos de un conjunto se escriben entre llaves Ö× En la siguiente tabla se muestra un paralelismo entre este lenguaje simbólico y cotidiano. Lenguaje Cotidiano Lenguaje Simbólico Marcelo Salas integra la Selección Chilena del año 200 $ Marcelo Salas −A El Chino Ríos (que es tenista), no integra la Selección Chilena Chino Ríos Â A

En matemática, los elementos de un conjunto, se designan por B ,C D , +, , ß, ß .... etc, es decir, cualquier letra minúscula.

¿Te has dado cuenta que en ocasiones es más fácil interpretar las cosas cuando se presentan en forma gráfica ? ... en los conjuntos pasa algo similar, de ahí que es útil el uso de Diagramas de Venn.

35


Z E

Los Diagrama de Venn-Euler nos permiten visualizar en forma sencilla e instructiva los conjuntos y sus relaciones, presentan por ejemplo las siguientes formas:

Formas de escribir un conjunto: Usualmente un conjunto se escribe de dos maneras: 1)

Por Comprensión : En esta forma se escribe una característica de los elementos

Por ejemplo: 2)

˜ ˜

es un árbol autóctono de Chile E œ BÎB

™ ™

Por Extensión : Escritura en la cual los elementos se identifican.

Por ejemplo:

E œ Raulí, Avellano, Coihue, Roble, ...

Ejercicios

I) Sea G el conjunto de numeros naturales menores que 5: a) Escriba el conjunto por Comprensión b) Escriba el conjunto por Extensión

36



Respuestas a) G œ ÖB − ÎB  &× b) G œ Ö "ß #ß $ß % ×

Algunos tipos de Conjuntos son:

Conjunto Vacío

este conjunto es aquel que no tiene elementos. Se simboliza por g 9

Z E

Ö×

Ejemplo 1 : Conjunto de canciones rancheras interpretadas por el grupo Kiss Ejemplo 2 : Önúmeros que pertenezcan al conjunto de los números naturales y que sean negativos ×

Conjunto Universo : Es el conjunto que contiene todos los elementos a los cuales pudiéramos hacer referencia en un momento dado, estos pueden ser infinitos o finitos. Ejemplo 1: El conjunto de jugadores de un equipo de fútbol es finito Ejemplo 2: El conjunto de los números Enteros es infinito

Conjuntos Disjuntos: Son aquellos conjuntos que no tienen ningún elemento en común Ejemplo 1 : El conjunto de alumnos aprobados en Algebra es un conjunto disjunto con el de los alumnos reprobados E œ Ö"ß #ß $ ×y Ejemplo 2 : Sea elemento en común

F œ Ö%ß &ß '×. Los conjuntos A y B no tienen ningún

Son Conjuntos Numéricos : aquellos conjuntos formados por números y que tienen un número infinito de elementos

37



Ejercicios

Z E

1) De los conjuntos dados, indique cuál de ellos es o son vacíos: a)A

œ ÖB / −  ! B " ×

b)B

œÖB / − ™ ! B " ×

c) C

œ ÖB / − ‘ ! B " × #ÑDetermine en qué caso, el par de conjuntos dados es disjunto:

a) A b) A

œ, Ö," # $ × œ Ö" ß #ß $×B

B

œ Ö &, *,! × œ Ö" ß #ß &×

c) AÖ œ Tenistas Top Ten Ranking Ö ATP ×œ tour × B

Tenistas chilenos

3) Determine a qué conjunto pertenece el número dado. Marque con una

38

ww

Bww



Respuesta 1) Son conjuntos vacíos A y B 2) Son disjuntos los conjuntos dados en (a) y en (c) Para escribir un conjunto existen ciertas reglas universalmente aceptadas. 3)

¿ Existen otros conceptos importantes de conocer en los conjuntos ?


Si, en los conjuntos podemos definir otros conceptos, los cuales nos servirán para resolver más problemas. Estos son los de Igualdad y Subconjuntos, que se definen a continuación. Dados dos conjuntos cualquiera A y B

ì Igualdad: Decimos que dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, no importa el orden de éstos. La igualdad se representa por A œ B

Ejemplo 1: Sean los conjuntos

E œ Ö" ß# ß$× ß F œ yÖ# ß" ß$×

39

G œ ÖB − ÎB Ÿ $×


Respuesta

Z E

Los conjuntos A y B muestran claramente que ambos tienen los mismos elementos aunque en distinto orden. El conjunto C está escrito por comprensión y dice que los elementos de este conjunto son números naturales menores o iguales a 3, es decir, quienes cumplen esta condición son los números ", # y $. Por lo tanto: EœFœG

Ejemplo 2: Sean los conjuntos A

œ ÖB − ™Î#  B Ÿy!×B

œ Ö" ß! ×

Respuesta Estos conjuntos son iguales, porque A tiene elementos del conjunto ™ y estos son Ö  "ß !× Por lo tanto, A œ B


ì Subconjunto:Decimos que A es subconjunto de B si cada elemento del conjunto A es también un elemento del conjunto B, es decir, A está contenido en B.

Simbólicamente: A ©B significa " A es un subconjunto de B o igual a B" Gráficamente, esto se muestra en la figura:

Si un conjunto no es subconjunto de otro se denota por:

Ejemplo 1: La sección 1 de Construcción Civil es un subconjunto de toda la carrera de Construcción Civil. Ejemplo :2 Sea A œ Ö"ß #ß $× A, por lo tanto , B ©A

y Bœ

1 , el conjunto B tiene un sólo elemento y éste está en el conjunto

˜™

Ahora bien , los subconjuntos cumplen ciertas propiedades que conviene saber, ya que nos facilitan la comprensión de los conjuntos y sus problemas.

40


Z E Propiedades de los subconjuntos: Estas propiedades se cumplen para cualquier conjunto A 1) El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto: g ©A 2) Todos los conjuntos son subconjuntos de sí mismo :

A©A 3) Todos los conjuntos son subconjuntos del conjunto Universo U : A©U


Todas estas propiedades son útiles para un conjunto denominado conjunto de las partes o conjunto potencia.

Curioso nombre, pero se llama Conjunto de las Partes porque está formado por todos los subconjuntos de un conjunto dado. El número de elementos (o cardinalidad ) de él está dado por la solución de la expresión: # 8 , donde " 8 " indica la cardinalidad del conjunto srcinal. Su notación es TÐEÑ. Ejemplo: Sea

Q œ Ö+ ß ,ß .-×Determinar su Conjunto Potencia.

Respuesta: $œ8 El conjunto M tiene $elementos, es decir #$ œ )elementos y estos son:

, por lo tanto el conjunto potencia tiene

š

TÐQÑ œ gß Ö+×ßÖ ,×ß Ö - ×ßÖ+ ß , ×ßÖ ,ß- ×ß Ö+ß -×ß Ö+ß,ß-×

41

›


Observe que los elementos deQT ( ) se escriben entre × Ö llaves determinados por las propiedades de los subconjuntos dadas anteriormente. Ejercicios I)

Sean E œ Ö  $ß ! ß & ×ß F œ Ö!ß &ß  $ ×ß G œ Ö !ß & ×Þ Determinar si las siguientes proposiciones son Verdaderas ( V ) o Falsas ( F ). En el caso de que sean falsas indique la razón: a) C

A© ..........

b) A c) C

Bœ.......... A−..........

d) C

B©..........

e) A

CÁ..........

f)

g.......... œ Ög ×

g) A h)

B©........... ........... gB ©

II)

Sea A œ Ö+ß , ×ÞEncontrar T ÐEÑ y luego determine si las siguientes proposiciones son Verdaderas ( V ) o Falsas ( F ). En el caso de que sean falsas indique la razón:

a)

+..... © TÐ........ EÑ

Þ

Ö+×............. − TÐEÑ

b) c)

Ö+× © TÐ........ EÑ ......ÞÞ

d)

ÖÖ+×× ............. © TÐEÑ

e)

Ö+ß,× .............. © TÐEÑ

Respuesta I) a) V b) V c) F ßC no es un elemento de A. d) V e) V f) F, la expresión Ög×, representa un conjunto que tiene un elemento yg este es g) V h) V II)

42

Z E

y algunos de los subconjuntos fueron



El Conjunto Potencia tiene

š

## œ %elementos y es T ÐE Ñ œ g ß Ö+×ß Ö,× ß Ö+ß ,×

›

a) F, porque " +" es un elemento y la notación ©representa subconjunto b) V c) F, porque Ö+× representa un elemento de T ÐEÑ d) V e) F, porque Ö+ß,×es un elemento de T ÐEÑ

Z E

¿Hay más que saber de los conjuntos ? Por ¡¡ supuesto que sí !!. Y son las operaciones que se realizan con ellos.

OPERACIONES CON CONJUNTOS


Los conjuntos nos permiten resolver problemas cotidianos a través de las operaciones que se pueden definir con ellos. Tomemos dos conjuntos cualquieras, a los cuales llamaremos A y B La Unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos de A o B o ambos. La unión de A y B se representa simbólicamente por A B

˜

A  B œ BÎB − E”B − F

™

A continuación, se presentan tres formas gráficas distintas de cómo se pueden relacionar los conjuntos, lo achurado representa la unión de ellos.

Ejemplo 1: Sean

EœÖ+ß ,× ß F œDetermine Ö+ß -ß .× A

B

43




Respuesta El conjunto A

B  œ Ö +ß,ß-ß. ×es el conjunto que tiene los elementos de A o B.

Nótese que cada elemento se escribe una sola vez aunque se haya repetido más de una, como es el caso de la letra " +" que aparece dos veces. Ejemplo 2: y C.

Z E

Un ejemplo gráfico se presenta a continuación con los conjuntos A, B y C. Se achuró la unión del conjunto A

AC

¡¡ PERO, HAY MAS ....!!.


Si, la Intersección de los conjuntos A y B se define como el conjunto formado sólo por los elementos que tienen en común A y B. La intersección se representa por A B Simbólicamente, se escribe: A

˜

B œ BÎ A B − •B B−

™

Gráficamente, lo achurado representa en cada caso la intersección de A y B.

44


Z E

Ejemplo 1: Sean E œ Ö +ß ,× ß F œ Ö +ß- ß . ×Þ El conjunto A Bœ Ö+× repite, que en este caso es la letra " +". Ejemplo 2: En la figura lo achurado representa A C

... Porque es lo que te falta para formar un todo.

es el conjunto formado por el elemento que se


Se define Complemento de un conjunto de la siguiente forma: sea A un conjunto cualquiera, el complemento de A son todos aquellos elementos que están en el Universo, pero que no están en A. Simbólicamente, se representa por A -o A

w

-

A œ B − Y ÎB Â E

˜

™ 45


Consecuencias de esta definición

Z E

Gráficamente, A- se representa en lo achurado

Consecuencias de esta definición

Ejemplo 1:

˜

˜™

™

Sean Y œ ", #, $,% ,& ', (, ), *, ß E œ B − YÎB Determine

esunnúmeropar

E-

Respuesta: %ß 'ß )

™

están en E.

El conjunto Eestá formado por los números pares que están en el conjunto #ß œUniverso YE Luego,

-

M O G O IN I G R I˜ V

dado:

, es decir, son todos aquellos elementos que están en el Universo y que no

E œ "ß $ß &ß (ß *

˜

™ 46


Ejemplo 2:

Z E

En la figura lo sombreado representa E-

... Y por último, podemos definir otro concepto.....


La Diferencia entre dos conjuntos A y B, la cual se denota por E  F, es el conjunto formado por todos lo elementos que están en A y no están en B. La Diferenciaentre B y A laß cual se denota por están en B y no están en A Þ

F  Ees el conjunto formado por todos los elementos que

Pero ¡¡ OJO !! E  F ÁF  E

Por ejemplo: E œ "ß #ß y$

Dados los conjuntos: La diferencia La diferencia

F œ #ß %ß '

˜ ™ ˜ ™

E  F œ Ö" ß $× F  E œ Ö%ß '×

Por lo tanto,

E  FÁ F E Ö"ß $ × Á Ö%ß ' ×

Simbólicamente: E  F œ ÖB − E • B Â F ×

47


Gráficamente, se representa en lo achurado:

Z E

Ejemplo 1: Sean

E œ Ö +ß,× ß F œDetermine Ö +ß- ß. ×Þ

y EF

FE

Respuesta


Para determinar la diferencia entre A y B, al conjunto A se le quitan los elementos que tenga de B, lo cual da como resultado la letra " , "ß es decirß E  F œ Ö,× De igual forma se determina el conjunto F  E œ Ö-ß . × Esto muestra claramente que:

E F Á F E

Ejemplo 2: En la figura, lo achurado representa A C

Como consecuencia de estas definiciones, tenemos las siguientes propiedades con respecto al conjunto Universo y al conjunto Vacío:

48


Ejercicios Sea el conjunto U œÖB−

"Þ 

A C

œÖB−U : $B( × œÖ B−U: Bmayorque

 $™Ÿ : B( ×

y sean los conjuntos:

œÖB− B œÖ!×

%×D

U: es divisible # × por

Determinar: A

B

C

+Ñ

C

A

B -ÑÐ  Ñ 

A

B

C /ÑÐ  Ñ 

#Þ 

SeaU

D -

A C

,Ñ - -

.ÑÐ  Ñ

D) 0 ÑÒ ÐC B  Ð - ÑÓ

A

-

œ Ö B − ™Î  "  B Ÿ ( ×

A œ Ö B − UÎ B  #× B œ Ö B − UÎ % Ÿ B  (× C œ Ö B − UÎ B  $× Encuentre: A A

B +ÑÐ C Ñ 

C

-

A ,ÑBÐ  ÑC Ð A Ñ

-Ñ ÐA BÑ  -Ð  Ñ /Ñ Ð C A Ñ

A

-

BC .Ñ Ò  Ð  ÑÓ

B-

Con A œÖ +ß ,ß Ö-× × . E ncuentre el conjunto Potencia de A

$Þ

Sean los conjuntos:

%Þ 

A

B (× œ Ö"ß# ß %ß &ß

C

, œ Ö( ß )ß *×

œ Ö" ß #ß $ %×

¿Es verdad que: A

A+ÑÐ B Ð  A ÑÑ œ B

-



-

- AC

A ,Ñ)Ð  A ÐB  Ñ©

-Ñ A B Ð BÑÐA  AÑ œ-

Sea Uœ ‘ ysean:

&Þ 

A C

œ ÖU:B − œ ÖUB: −

B B"!× U œ : ÖB− B  ! ” B  $ ×

$ Ÿ B  $Þ&×

Determinar : A

B A

C

+Ñ -

A

-ÑÐ  Ñ  F -

AB

Z E

C

,Ñ ÐF Ñ 

C .Ñ Ò  Ð  ÑÓ

49

-



Z E

Respuesta "Þ 

A

B

U œ Ö  $ß  #ß  "ß !ß "ß #ß $ß %ß &ß '× A œ Ö%ß & ß ' × B œ Ö  #ß #ß %ß ' × C œ Ö&ß '× D œ Ö! ×

+Ñ  œÖ %ß' × C A ,Ñ  œÖ%ß &ß '× - C A -Ñ ÐB  Ñ  œÖ&× D .Ñ CÐ  U Ñ œ (A B) /Ñ C  U œ  Ö &ß '[×(A 0 Ñ D CÑ - B Ð  Ñ ÓœÖ ! ×#Þ 

U œ Ö! ß "ß #ß $ß %ß &ß 'ß (× A œ Ö$ß %ß &ß 'ß (× B œ Ö %ß &ß ' × C œ Ö$ß %ß &ß 'ß (× A +ÑBÐ C Ñ  A B ,ÑCÐ A Ñ Ð -  Ñ œ Ö! ß "ß #× œ Ö! ß "ß#× -B A C Ð  AÑ Ð -Ñ  Ñ œ Ö! ß "ß#× .Ñ Ò AÐ B C ÑÓ œ Ö! ß "ß #× /Ñ Ð C A Ñ B œ Ö% ß &ß '×

$Þ 

$ #œ )

T ÐAÑ œ

š

Ö+×ßÖ,× ß ÖÖ-××ß Ö+ß ,×ß Ö+ß Ö-××ßÖ,ßÖ-×× ß Ö+ß ,ß Ö-××ß 9

%Þ  +Ñ ÐA  ÐA Ñ BÑ œ - A  A C A ,ÑBÐ  AÑÐ  Ñ © AB BA-Ñ Ð  A ÑÐ  Ñ œ&Þ 

-B

-

›

Si,ambosconjuntossoniguales Si Si

Uœ ‘ A œ Ó  _ß "!Ò B œ Ò  $ß $Þ& Ò C œ Ó _ß $ Ò Ó! ß _ Ò

A A

C

B+Ñ -  œ Ò "!ß _ ÒÒ$ B ß $Þ&Ò A C ,Ñ Ð  Ñ œ - 9 B -Ñ Ð  Ñ  - œ C .ÑÒ  Ð  Ñ Ó œÒ  $ß-! Ó  Ò "!ß  _ Ò ‘ AB


Pero, todo esto también se puede resolver usando diagramas de Venn, achurando lo que se pide, veamos un ejemplo.

50


Ejemplo:

Z E

Achurar la solución de A Ð B  Ñ C i) Primero achuramos A  B, como se ve en la figura

ii) Luego, a la figura achurada le quitamos C ÐA ÑB C

Ejercicios Achure lo que se pide en cada ejercicio, en la figura dada:

+ÑÐ AÑ  C

A

B

B

C-Ñ  Ð  Ñ

,ÑÐ  Ñ -

A

/)Ð AÑ BÐ - Ñ C 1Ñ Ð A B Ñ C

B

A

B A .Ñ  Ð Ñ 0 Ñ  Ð  BÑ

B

-

-

-

AC

A

51

-



Respuesta


-Ñ

g)

9

52


Z E

Los conjuntos también cumplen ciertas reglas, las cuales rigen a sus operaciones. A continuación se da una lista de estas reglas o propiedades y luego unos ejercicios en los cuales serán utilizadas éstas con la forma de resolución.


Propiedades de los Conjuntos Sean tres conjuntos cualquieras A, B y C: 1) Asociatividad a) A Ð B  ÑC  Aœ B C Ñ Ð b)A BÐ  CÑ  Aœ  B Ð CÑ #Ñ Conmutatividad

a)A B B œA  b)A B B œA  3) Distributividad a)A B CÐ  A ÑœÐ B ÑA Ð C Ñ b)A B CÐ A ÑœB Ð  ÑA Ð C Ñ %Ñ De Morgan

a) A BÐ  ÑAœ - B b) A BÐ  ÑAœ - B

-

-

-

-

5) Absorción a)A b)A

A ÐB  AÑœ A  ÐB  AÑœ 6) No Idempotencia

a) A  g œ g b)A A g œ ) A c U A œ ) Ad U U œ ) A eA  - œg ) Af A  U - œ 7Ñ Involución

53


Z E

Ð A- Ñ - œ A

8) Diferencia a)A

B A œB 

-

9) Idempotencia a)A A A œ b)A A A œ

resolver ejercicios en loscada cuales se usan las propiedades, conviene desarrollar el lado de la expresión que presentaPara mayor dificultad justificando paso. Ejemplo 1: Usando las propiedades dadas, demostrar que: E œ E  ÐE - FÑ

Respuesta: Desarrollaremos la segunda parte de la expresión para llegar a la primera parte: EÐE FÑ - Ñ De - - Morgan EÐE F EÒÐE - Ñ- ÐF De--Morgan ÑÓ E Ð E  F Ñ E

Involución Absorción

Luego: E ÐE - F Ñ œ E Ejemplo 2: Usando las propiedades dadas demuestre que Ð E  FÑ  ÐF  E - Ñ œ E Respuesta Desarrollaremos la primera parte de la expresión para llegar a la segunda parte:

)

ÐE  FÑ  ÐF  E -Ñ - Morgan ÐE  FÑ  Ò ÐF  E ÑÓ- De ÐE( FÑ Ò F - E Ñ- Ó - De Morgan ÐE FÑ ÐF - E Involución E ÐF F -Ñ No Idempotencia E9 No Idempotencia E

Luego:

Distributividad

E œ ÐE  FÑ  ÐF  E Ñ-

54



Z E ¿ Y puedo aplicar todo esto en algún problema real .... ?


Si, los Problemas con enunciados son un buen ejemplo de la utilización de las operaciones de conjuntos. Para resolverlos, el lenguaje cotidiano es transformado a lenguaje matemático.

Ejemplo " En el diagrama que colocamos a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, a las que se les preguntó si tomaban té o café. Los números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café , ninguna de las dos bebidas , etc.

Observe las preguntas y sus respectivas respuestas 1) ¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas. 2) ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas. $Ñ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas. %Ñ¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona. &Ñ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas. 'Ñ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas. (Ñ ¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas. )Ñ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas. *Ñ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas. Rta. 11 person "!Ñ¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas?

55


Ejemplo #

Z E

En una encuesta realizada a '#consumidores de comida rápida se revela que: "!comen sólo papas fritas y hamburguesas, "# comen %sólo completos, $comen sólo papas fritas, comen los tres tipos de alimentos, $$ comen al menos dos de estos tipos de comida #& y comen papas fritas. Si todos nombran alguna de las alternativas, encuentre:

a) ¿Cuántas personas comen completos y hamburguesa? b) ¿Cuántas personas comen sólo completos? c) ¿Cuántas personas comen exactamente dos tipos de esta comida? Respuesta: Se designa cada conjunto del problema con una letra mayúscula convenientemente. Llamaremos U al conjunto universo el cual está formado por el total de consumidores de Comida Rápida dados en el problema, los cuales son '#, P será el conjunto de consumidores de Papas Fritas, H el conjunto de consumidores de Hamburguesas y C los consumidores de Completos. Esto en notación conjuntista es: U P H C

ÖB œB Î consumidores de Comida ×Rápida ÖB œ − Î B U consumidores de Papas × Fritas consumidores de Hamburguesa ÖB œ −BÎ U × ÖB œ− Î B U consumidores de Completos ×

Las "! personas que consumen sólo Papas Fritas y Hamburguesas indica que no consumen Completos, es decir, es PÐ  HÑ C œ "! Los "#consumidores de Completos no consumen ninguna de las otras comidas rápidas, sólo Completos, es decir, C  PÐ  HÑ Los %consumidores de sóloPapas Fritas tampoco consumen las otras comidas rápidas, es decir, P  ÐHC Ñ . Las $personas que consumen los tres tipos de comidas están dados por la solución del conjunto ÐP H Ñ C Las $$personas que consumen al menos dos de los tres tipos de comida rápida significa que consumen como mínimo dos tipos distintos, es decir, P HÐ  ÑÐ H C ÑP Ð C Ñ PÐ  H CÑœ"$ Los #&consumidores de Papas Fritas también son consumidores de Hamburguesas y Completos, es decir, es todo el conjunto P. Completaremos la información en la figura dada a continuación:

56



Z E Las respuestas al problema planteado son: a) C H œ "& personas comen completos y hamburguesas. "& b) C Ð P  HÑ œ "# "# personas comen sólo completos. c) Ò ÐP HÑ C ÓÒ Ð  H Ñ C ÓÒP Ð  PÑ C Ó œ $! H $!personas comen exactamente dos tipos de esta comida.

Problemas con enunciados "Þ 

En una investigación a mil estudiantes de un Instituto se determinó que 720 tenían cassettes, 670 poseían CD y 540 tenían ambas cosas. Determinar: a) ¿Cuántos estudiantes tienen cassettes o CD? b) ¿Cuántos estudiantes no tienen cassettes ni CD? c) ¿Cuántos estudiantes tienen sólo CD? d) ¿Cuántos estudiantes tienen sólo cassettes?

#. 

Se investigó un grupo de 5500 personas en relación con la estrategia a seguir con objeto de conservar el combustible. De éstas, 2000 opinaron que lo aceptable era el racionamiento, 1500 dijeron que lo apropiado sería fijar un impuesto adicional por litro, y 750 personas indicaron que lo apropiado sería la aplicación de ambos procedimientos. El resto de las personas no aceptan ninguno de los dos sistemas. Determinar: a) Un diagrama de Venn, que resuma lo anterior. b) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria el racionamiento pero no el impuesto? c) ¿Cuántas personas aceptarían en forma voluntaria el impuesto, pero no el racionamiento? d) ¿Cuántas dos cursos de personas acción? no aceptarían en forma voluntaria ninguno de los

57



$Þ 

En una elección de directorio de una empresa asistieron 595 de un universo de 703 accionistas. Según los estatutos de la empresa cada accionista recibe una papeleta con los nombres de todos los candidatos y en donde el accionista marcará, si lo desea, hasta dos preferencias. De los resultados de la elección se determinó la siguiente información referente a las tres primeras mayorías. El candidato A obtuvo 324 preferencias, 47 de los accionistas sólo votaron por A, 203 votaron por A y no por B, 164 votaron por C y B, 358 votaron por C y 42 votaron sólo por B. Determinar: a) ¿Quién obtuvo la primera mayoría? b) ¿Quién obtuvo la segunda mayoría? c)d)¿Cuántos por dos candidatos? De todos votaron lo asistentes, ¿cuántos no votaron por C? e) ¿Cuántos sólo votaron por C? f) ¿Cuántos de los asistentes no votaron por ninguno de los tres? g) ¿Cuántos accionistas no se hicieron presente? h) ¿Cuántos accionistas votaron por los tres candidatos?

%Þ 

De una encuesta a 200 personas que compran pasta de dientes 80 compran Pepsodent, 60 compran solamente Odontine, 20 compran solamente Signal, 14 compran Pepsodent y Odontine, 20 compran Odontine y Signal, 12 compran Pepsodent y Signal y 10 compran todos. El resto compra otra marca. a) ¿Cuántos compran al menos una de estas marcas? b) ¿Cuántos no compran estos dentríficos? c) ¿Cuántos compran solamente Pepsodent? d) ¿Cuántos compran Signal? e) ¿Cuántos no compran Odontine? f) ¿Cuántos compran Signal u Odontine?

&Þ 

Se realizó una encuesta a 200 en alumnos de Ingeniería en Ejecución disciplinas acerca de la forma que ocupaban su tiempo libre, en diversas 30 dicen que sólo leen, 60 dicen que sólamente escuchan música, 20 dicen que sólo estudian, 16 dicen que leen y escuchan música, 50 dicen que estudian, 16 dicen que escuchan música y estudian y 8 hacen las tres cosas . De acuerdo a la encuesta, responda las preguntas dadas: a) Grafique la información. b) ¿Cuántos sólo leen o estudian? c) ¿De los que opinan, cuántos dicen que no leen? d) ¿Cuántas personas no contestan alguna de estas tres alternativas? e) ¿Cuántas personas escuchan música, pero no leen? f) ¿Cuántas personas estudian y escuchan música, pero no leen?

6)

Un grupo de jóvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertos medios de transporte (bicicleta,motocicleta y automóvil). Los datos de la encuesta fueron los siguientes: Motocicleta solamente: 5, Motocicleta: 38, No gustan del automóvil: 9, Motocicleta y bicicleta, pero no automóvil:3, Motocicleta y automóvil pero no bicicleta: 20, No gustan de la bicicleta: 72, Ninguna de las tres cosas: 1, No gustan de la motocicleta: 61 . 1.¿Cuál fue el número de personas entrevistadas? 2.¿A cuántos le gustaba la bicicleta solamente? 3.¿A cuántos le gustaba el automóvil solamente?

58



4.¿A cuántos le gustaban las tres cosas? 5.¿A cuántos le gustaba la bicicleta y el automóvil pero no la motocicleta? (Ñ

Durante el mes de abril, una empresa ha fabricado diariamente productos del tipo A o del tipo B (o ambos), excepto 4 domingos durante los cuales no ha fabricado nada. Sabiendo que 15 días del mes ha fabricado A, y 20 días ha fabricado B, +Ñ ¿cuántos días del mes ha fabricado ambos productos? ,Ñ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo A? -) ¿cuántos días del mes ha fabricado sólo productos del tipo B?

II) a)

Demuestre que: ( Justifique cada paso ) Ð E -FÑE œ E F

b)

ÐE FÑ E

c)

ÐEF

d)

ÐE - F -ÑE œ

e)

-

-œ F

- Ñ -ÐEFÑ


E œ F E

9

EÐ E FÑ

-

f)

ÒEÐE FÑÓ

- œY

g)

ÐEFÑ E

-

h)

ÒÐEF Ñ - EÓ -E œ E

œ 9

œ EF

Respuesta "Þ 

+Ñ )&! -Ñ "$!

,Ñ "&! .Ñ ")!

#Þ  +Ñ

,Ñ "#&! .Ñ#(&!

-Ñ (&!

$Þ 

+Ñ G .Ñ #$( 1Ñ "!)

,Ñ F /Ñ $) 2Ñ ninguno

-Ñ %%" 0 Ñ #(

%Þ 

+Ñ "(!

,Ñ $!

-Ñ '%

Z E

59


&Þ

.Ñ %# +Ñ

/Ñ ""'

0 Ñ "!'

,Ñ '% /Ñ ')

-Ñ )) 0Ñ )

.Ñ &#

'Ñ 99 "Ñ personas. 46 personas. $Ñ 14&Ñ personas. (Ñ +

) 9 días;

Z E

#Ñ ninguna. 10 %Ñ personas. ,

-

) 6 días;

60

) 11 días.



AUTOEVALUACION "Ñ

Una encuesta sobre 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C : 5 personas consumían sólo A ß 25 personas consumían sólo B ß "0 personas consumían sólo C ß 15 personas consumían A y B, pero no C ß 80 personas consumían B y C, pero no A ß 8 personas consumían C y A, pero no B ß17 personas no consumían ninguno de los tres productos. +Ñ ¿Cuántas personas consumían A?. ¿Cuántas ,Ñ personas consumían B? ¿Cuántas personas consumían C? -Ñ .Ñ.¿Cuántas personas consumían A, B y C? . /Ñ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? 0¿Cuántas Ñ personas consumían A o B? 1Ñ¿Cuántas personas no consumían C ? 2Ñ¿Cuántas personas no consumían ni C ni A?

#Ñ

Dada la siguiente figura, achure lo que se pide

E G  ÒÐG  EÑ  ÐFY E ÑÓG $Ñ

Demuestre que, Justifique cada paso ÐE  FÑ  F

%Ñ

Sea E œÖgß !×

Gœ g

. Determine si las siguientes proposiciones son V o F

+ÑÖ!× © T ÐEÑ ,Ñ Ög× © T ÐE Ñ -Ñ g © T ÐEÑ .Ñ Ög× − T ÐEÑ 0Ñ ! − E

Respuestas "Ñ

+Ñ 68 personas. -Ñ 138 personas. 183personas. /Ñ 621Ñpersonas.

160 personas. .Ñ 40 personas. 173 0 Ñ personas. 2Ñ42 personas.

,Ñ

61



#Ñ

$Ñ

(

%Ñ

Z E ÐE  FÑ  F œGg ÐE  F GÑ  F G Diferencia Diferencia ÐE  F GÑ  F G E)  F  F Asociatividad Eg No Idempotencia g No Idempotencia +Ñ Z Z-Ñ 0Ñ Z

,Ñ J .Ñ Z

62




CAPITULO III RELACIONES Y FUNCIONES

63


RELACIONES Y FUNCIONES Uno de los aspectos más importantes en la ciencia es establecer relaciones entre varios tipos de fenómenos. Una vez que se conoce la relación es posible hacer predicciones. Por ejemplo, a un economista le gustaría ser capaz de predecir las tasas de interés, un ingeniero puede usar una fórmula para predecir las desviaciones de una viga sujeta a diferentes cargas.

Veamos particularmente qué ocurre con la matemática. Considere el conjunto A = Ö"ß#ß$ß%ß& ×ß la representación gráfica del producto ‚ A A que se llama Producto Cartesiano, y se lee " A cruz A " se hace mediante un diagrama cartesiano, como se ve en la figura:

Cada elemento de A ‚ A es un par ordenado de la forma Ð+ß ,Ñ

PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO Para todo A, B y C conjuntos cualquiera se tiene: "Ñ

AB

Asociatividad ‚Ð C‚ Ñ œAÐ ‚BCÑ‚

64



Z E

Distributividad

#Ñ

Respecto de la Intersección 3Ñ A

B‚Ð C ÑœAÐ ‚B Ñ ÐA ‚ CÑ 33Ñ Respecto de la Unión

A

$Ñ

B‚Ð C ÑœAÐ ‚B Ñ ÐA ‚ CÑ

El Producto Cartesiano No es Conmutativo ABBA ‚ Á ‚ Volvamos al ejercicio anterior:

Suponga que de todos los puntos de A ‚A sólo necesitamos a aquellos que cumplen la siguiente condición:

"La suma de sus componentes es 8 o mayor en lenguaje que 8matemático "ß decimos:

š

A ‚ A œ Ð"ß "Ñß Ð"ß #Ñß Ð"ß $Ñß Ð"ß %Ñß Ð"ß &Ñß Ð#ß "Ñß Ð#ß #Ñß Ð#ß $Ñß Ð#ß%Ñ ß Ð#ß&Ñ ß ($ß"ÑßÐ$ß#ÑßÐ$ ß $Ñß Ð$ß %Ñß Ð$ß &Ñß Ð%ß "Ñß Ð%ß #Ñß Ð%ß $Ñ,Ð%ß %Ñß Ð%ß &Ñß Ð&ß"ÑßÐ&ß#ÑßÐ&ß$ÑßÐ&ß%ÑßÐ&ß&Ñ

›

Es decir, los siguientes pares cumplen con V : V œ ÖÐ$ß &Ñß Ð%ß%Ñß Ð%ß&ÑßÐ&ß$ÑßÐ&ß%ÑßÐ&ß&Ñ×

¿Qué puede decir de R?

Si observa, V es un subconjuntode A ‚A, es decir, que también es un conjunto de pares ordenados y que además cumplen una condición.

65



Vamos a llamar a ,V Relación Binaria , la cual defininiremos de la siguiente forma:

Esto se representa graficamente en la figura :

Si Ð+ß ,Ñ es un elemento de A‚ A yÐ+ß ,Ñ−V

, entonces lo escribimos:

+ V , ÍÐ+ ,Ñ−V

Si el par Ð+ß,Ñno está en la relación, entonces: + VÎ , Í Ð + , Ñ Â V

Ejemplo de Relaciones: +Ñ Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y su número de matrícula. ,Ñ Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y las materias que cursa -Ñ Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y su calificación en el PrimerSemestre . ) Correspondencia o relación entre el nombre de un estudiante y su número de teléfono

66



Ejercicios Sea A œ Ö"ß #ß $ ×ß determine las siguientes relaciones: 1Ñ V " =Ö Ð+ß, Ñ A − ‚ A Î+ Ÿ , × 2ÑV # œ Ö Ð+ß,AÑ − A ‚ Î+  , × $ÑV $ œ Ö Ð+ß,Ñ − A‚ A Î+  " œ , × %ÑV % œ ÖÐ +ß, Ñ − A‚ AÎ+  # Ÿ $ × &ÑV & œ ÖÐ+ß, Ñ − A‚ AÎ+ œ "× 'ÑV ' œ ÖÐ+ß,Ñ − A‚ AÎ, œ %×

Respuesta

a ba ba ba ba ba b aabb ab ab a abab b

"Ñ V " œ Ö "ß" ß "ß# ß "ß$ ß #ß# ß #ß$ ß $ß$ × #Ñ V #œ Ö #ß " ß $ß " ß $ß # ×

$Ñ V œ ÖÐ"ß $ #Ñß #ß $ ×

%ÑV % œ ÖÐ"ß" Ñß Ð"ß# Ñß " ß$ ×

&ÑV œ Ö& "ß" ß " ß# ß "ß$ ×

'Ñ g

Representación Gráfica Generalmente una relación se representa por el Método de la flecha, en forma de tabla, como conjunto de pares ordenados, en forma gráfica o en forma de Ecuación. El primero como su nombre lo dice se traza una flecha deldominio al Codominio. En forma de tabla se escribe el dominio en la primera columna y el Codominio en la segunda. Como conjunto de pares ordenados de números reales, se escribe el conjunto de puntos separados por una coma. Y en forma gráfica, se marcan los correspondientes puntos del conjunto en el plano cartesiano ésta recibe el nombre de gráfica de la relación. Ejemplo : Forma de Flechas SeaA

œ Öy"ß #ß $ß %×

VAœ Ö A Ð+ß,Ñ −

‚ Î+ œ , ×

67



Z E Esta forma de diagrama indica que la Relación es una Correspondencia de A en A. Una relación Vde un conjunto A sobre el conjunto A también se puede escribir como: V À A ÄA

Suponga otra relación Vque va de un conjunto A a un conjunto B, como el siguiente ejemplo: V À A ÄB

La Relación V es: V œ ÖÐ +ß, Ñ − V Î+  ,× y los pares que la forman son: V œ Ö Ð"ß #Ñß Ð"ß%Ñß Ð" ß 'Ñß Ð#ß%Ñß Ð#ß'Ñß Ð$ ß %Ñß Ð$ß'Ñß Ð% ß 'Ñ ×

El conjunto A se llama de PARTIDA El conjunto B se llama de LLEGADA Se llama DOMINIOde la relación al conjunto de los elementos de A que están relacionados con losdeB, sonlos primeros elementos delparordenado. Ejemplo 1: En la relación V el Dominio es el conjunto: Dom V œ Ö"ß #ß $ß %× Se llama RECORRIDO de la relación V al conjunto de aquellos elementos de B con los que se han relacionados los elementos de A, son los segundos elementos del par ordenado.

68



Z E

Ejemplo 2: En la Relación V el Recorrido es el conjunto: Rec V œ Ö#ß % ß ' × Ejercicios MÑ

Determine el Dominio y Recorrido de las siguientes relaciones:

1)

V " œ Ö Ð"ß #Ñß Ð#ß$Ñ ×

2) 3)

V $ œ Ö Ð"ß #Ñß Ð#ß"Ñ ×

4)

V % œ Ö Ð"ß "Ñß Ð#ß$Ñß Ð# ß %Ñ ×

5)

V & œ Ö Ð"ß "Ñß Ð#ß#Ñß Ð$ ß $Ñß Ð%ß%Ñ ×

V # œ Ö Ð+ß ,Ñß Ð+ß-Ñß Ð +ß.Ñ ×

È

# es una semicircunferencia con centro en#ßel srcen y radio MMÑ La gráfica œ%  Cde B se ve en la figura. ¿Cuál es du dominio ?

69

como



Respuesta MÑ 1)

H97 V " œÖ "ß # ×

2)

H97V œ # Ö+×

3)

H97 V $œÖ "ß # ×

V/- V œ$Ö "ß # ×

4)

H97 V % œÖ "ß # ×

V/-V œ% Ö "ß $ß % ×

5)

H97V & œ Ö "ß#ß $ß %× V/- V &œ Ö"ß#ß $ß % ×

V/-V œ"Ö #ß $ × V/-V œ # Ö, ß -ß .×

MMÑ

[# ß #Ó Observación: Para los ejercicios que desarrollaremos a continuación usaremos el par ÐBßCÑ en vez del Ð+ß,Ñ usado anteriormente. Una relación también puede describirse enunciando una regla que defina la correspondencia entre B e C , si no se especifica ninguna restricción para el dominio, entonces se supone que es el conjunto de todos los números reales Ð‘ Ñ para los que el par ÐBß CÑ es real. Ejemplo: V œ ÖÐB ßCÑÎ C œ B  &×

Otra forma de representar graficamente una relación es a través de un Plano Cartesiano.

Plano Cartesiano El Plano Cartesiano está formado por dos rectas perpendiculares entre sí llamada cada una Eje, y que se intersectan en un par común llamado Origen, el cuál es Ð!ß !Ñ. Cada par ÐBßse CÑllama Punto ÐBß .CÑ

Ejemplo : En el siguiente ejemplo graficaremos el punto T Ð$ß  %Ñ

70



Z E Ejercicios Marque los siguientes puntos en el plano cartesiano dado: A Ð"ß  "Ñ B Ð$ß!Ñ C Ð#ß#Ñ D Ð!ß  #Ñ

ALGUNAS RELACIONES IMPORTANTES Veámos cómo se grafican algunas relaciones en ‘Þ Ejemplo: Grafique la relación: V œ ÖÐ BßC ÑÎC œ

 B $ $× %

71



Respuesta Esta Relación representa todos los puntos en ‘que cumplen la condición $ Para graficar la Relación sólo es necesario asignar dos valores B arbitrarios a y % reemplazarlos en la relación Ðpara este tipo de relación, es más práctico asignar los valores Bœ! Cœ! e ) . Con esto obtenemos dos puntos, los cuáles unimos con una línea continua, obteniendo así la LINEA RECTA.

Bœ $ ÞC

Si Bœ!ß Si Cœ! ß

Cœ $ Bœ  %

Dos pares de la relación son T "Ð! ß  $Ñ yT Ð # %ß! Ñ La gráfica resultante es una LINEA RECTA.

Ejercicios Grafique +Ñ

" V "œ ÖÐ BßC ÑÎ C œ  B% # ×

,Ñ

V "œ ÖÐBß CÑ Î C œ #B" ×

-Ñ

V œ ÖÐ#Bß CÑ Î #CB œ % ×

.Ñ

V $œÖ ÐBß CÑ Î CB œ! ×

/Ñ

V œÖ ÐBß % CÑ Î #CB œ $ ×

72



0Ñ

V &œ ÖÐ BßC ÑÎ" œ #C B× Respuesta

Z E

+Ñ

M O G O IN I G R I V 73


GRAFICO DE OTRAS RELACIONES Existen muchas relaciones que tienen otras formas. Por ejemplo :

V = {(B C, ) /C œ +B # ,B -×

# -× V œ ÖÐBßC ÑÎB œ +C ,C

Ambas relaciones al representarlas gráficamente generan una Parábola.

Z E

Analizaremos los dos tipos: I)

La gráfica de una función cuadrática de ésta forma es una parábola que se abre hacia abajo o hacia arriba, como se muestra a continuación :

Una forma de graficarla es asignando varios valores a B para así obtener C , lo cual es poco práctico de hacer. Otra forma es considerando los siguientes puntos: "Ñ

Eje de simetría

El gráfico de relaciones de la forma C œ + B #,B -, tienen un Eje de Simetría, el cual es , una recta paralela al eje C o el eje y que se obtiene al resolver la expresión: C œ  #+ #Ñ

Análisis de concavidad Si el valor de +  ,!entonces el gráfico es cóncavo hacia arriba. Si el valor de +  ,!entonces el gráfico es cóncavo hacia abajo.

$Ñ

Intersección con el eje X Para determinar los puntos que intersectan al eje B, se utiliza la ecuación cuadrática: Bœ

È

# %+, „ ,  #+

74



De aquí obtenemos los puntos %Ñ

ÐB"ß! Ñy

ÐB ß! # Ñ

Intersección con el eje Y Determinamos la ordenada (que corta al eje C) , cuando Bœ! el punto Ð!ßCÑ .

&Ñ

, y así obtenemos

Vértice Determinamos el vértice de la parábola a través de la expresión: ß,C #+

Œ

Zœ 

El valor de



Cse obtiene al reemplazar el valor  encontrado œ B en

obteniéndo así C.

, en la expresión srcinal #+

Ejemplo 1: # %B  $× V œ Ö ÐBßCÑÎ C œ B 

Grafique la relación Respuesta "Ñ #Ñ

$Ñ

El eje de simetría es paralelo # œalBCeje : es decir, se cumple +!ß arriba.

+œ"ß

por lo tanto, la parábola es cóncava hacia

Para esta relación, tenemos que+œ"ß,œ %ß-œ$

, reemplazamos en

la ecuación cuadrática: œ B" œ B#

Ð % Ñ Ð % Ñ

Por lo tanto, %Ñ

È È

Ð %Ñ #% Ð$Ñ $ œ # Ð %Ñ #% Ð$Ñ " œ #

los puntos son Ð$ß!Ñ y Ð"ß!Ñ

Veamos la intersección con elC!ejeœ B(cuando CœB

#

%B $ œ !

# 

):

!  $œ$

Luego, el punto es: Ð!ß $Ñ

&Ñ

El vértices es:œB œ

 ,  Ð  %Ñ œ#œ #+ #Ð"Ñ

% #

C œ # # %Ð#Ñ  $ œ %  )  $ œ  "

Por lo tanto,

Z œ Ð#ß  "Ñ

75



Considerando todos estos valores tenemos la gráfica de la relación: C œ B # %B $

II)

Estudiemos la relación que presenta la siguiente forma:

La gráfica de una función cuadrática de ésta forma es una parábola que se abre hacia la derecha o hacia la izquierda, como se muestra a continuación :

76



Z E 1)

Eje de Simetría

El gráfico de esta relación también es una parábola, sólo que su eje de simetría es el eje B , una , recta paralela al eje B , y que se obtiene al resolver B œ  #+

Análisis de Concavidad

2) Si Si $Ñ

+ , !la parábola es cóncava hacia la derecha. es cóncava hacia la izquierda. +  la ! parábola ß

Intersección con el eje ] Para determinar los puntos que cortan al eje Cse resuelve la ecuación cuadrática: Cœ

È

# , „ , % +#+

Los puntos que se obtienen son %Ñ

&)

Ð!ßC "Ñy

Ð!ßC #Ñ

Intersección con el eje \ Determinamos el punto que corta al eje B, cuando Cœ! ÐBß !Ñ

, es decir, el punto

Vértice Determinamos el vértice de la parábola a través de la expresión:

Œ

Z œ Bß 

El valor de obteniéndo así B.

, #+



Bse obtiene al reemplazar el valor  encontrado œ C en

Ejemplo 2: Grafique la relación

V œ Ö ÐBßCÑÎ B œ C # )C  "& ×

Respuesta

77

, en la expresión srcinal #+



Del ejemplo, se tiene: "Ñ

El eje de simetría es paralelo % œalCBeje :

#Ñ

+ œ "  !ß

$Ñ

+ œ "ß , œ ) ß - œ "& Cœ

entonces la parábola es cóncava hacia la derecha.

Ð )Ñ„

C"œ$

È

Ð )Ñ #% Ð"&Ñ #

C œ&

#

Por lo tanto, los puntos son Ð!ß $Ñ C Ð! ß & Ñ %Ñ

En la expresión: BœC )C# "& Bœ!

#  )Ð!Ñ

reemplazamos Cœ!

obteniéndose:

 "& œ "&

Luego, el punto de intersección con el eje Bes: Ð"& ß !Ñ &Ñ

Del ejemplo, obtenemos que el vértice es: Cœ

, œ #+

 Ð  )Ñ ) œ œ% #Ð"Ñ #

B œ % # )Ð%Ñ  "& œ "'  $#  "& œ  "

Por lo tanto,

Zœ

Z E

a" ß% b

Luego, la gráfica de la relación

B œ C # )C  "& es:

Problema de Aplicación Una pelota es lanzada verticalmente hacia arriba desde lo alto de un edificio. La altura que alcanza viene dada por la fórmula h = 80 + 64t – 16t 2 (t en segundos y h en metros). a) Dibuja la gráfica en el intervalo [0, 5]. b) Halla la altura del edificio. c) ¿En qué instante alcanza su máxima altura?

78



Respuesta

b) 80 metros.

Z E c) 2 segundos.

Ejercicios Realice un análisis completo de las siguientes relaciones y grafíquelas: 1)

8 0" œ ÖÐ BßCÑÎC œ B # B×

2)

0# œ ÖÐB ßCÑÎ C œ #B # 'B×

$)

0 $œ ÖÐ BßC ÑÎC œ B # 'B  )×

%)

# C " !"#× V $œ ÖÐ BßC ÑÎB œ C (

&)

# C $× V &œ ÖÐ BßC ÑÎB œ #C &

¿ Y qué pasa en los casos en que la Parábola no corta al eje B?. Observe el siguiente ejemplo V' œ ÖÐB ßCÑÎ B œ #B # "#B  #$×

79



Z E Observe que, la Parábola no corta el eje \. Esto ocurre siempre cuando la expresión , # % +-  ! Þ

Respuesta

80



Z E

Volvamos nuevamente al concepto estudiado anteriormente: Dominio y Recorrido de una Relación.

81



¿existe otra forma de determinar dominio y recorrido de una relación?

Sí, a través del gráfico de éstas.

Ejemplo Dado el siguiente gráfico:

En esta relación C œ # B  $ß la gráfica representa una línea recta y como no hay restricciones en el dominio, ni en el recorrido se tiene que: H97 Vœ ‘

V/- Vœ

‘

82



Ejercicios Determine en los siguientes gráficos, el dominio y recorrido de las siguientes relaciones:

Respuesta "Þ

H97V œ Ò# ß' Ó

V/-V œ Ö$×

#Þ 

H97V œ Ò  &ß  _Ò

V/- V œ

$Þ

H97 V œÒ "ß " Ó

%Þ  H 97 Vœ

‘

&Þ 

H97V œ Ò %ß _Ò

'Þ 

H97 V œÓ _ ß & Ó

‘

V/-V œÒ "ß " Ó V/- VœÓ  _ß & Ó V/- V œ Ò #ß  _Ò V/- V œ

‘

observe que los siguientes diagramas representan relaciones:

83



En estas relaciones sólo algunas de las relaciones cumplen la siguiente condición:

Estas relaciones que cumplen la condición mencionada reciben el nombre específico de: FUNCION

Una definición alternativa es:

Del ejemplo anterior, observe que: V " œ Ö Ð+ß"Ñ ß Ð+ß #Ñ × V # œ Ö Ð+ß#Ñ ß Ð,ß "Ñ × V $ œ Ö Ð+ß"Ñ ßÐ,ß"Ñ×

84



V % œ Ö Ð+ß"Ñ ß Ð+ß #Ñß Ð,ß "Ñ ×

Lo cual reafirma que sólo son funciones V #y V $ Ejercicios I)

II)

Determine en los siguientes diagramas, cuáles de las relaciones dadas son funciones:

Determine en los siguientes conjuntos cuáles representan funciones:

1) Ö Ð"ß#ÑßÐ"ß$Ñ ß Ð"ß %Ñß Ð"ß &Ñ × 2) Ö Ð"ß#ÑßÐ#ß#ÑßÐ$ß#Ñ × 3) Ö Ð"ß+ÑßÐ# ß +Ñß Ð$ß +Ñ × 4) Ö Ð"ß#ÑßÐ#ß$ÑßÐ%ß&Ñ × III) Determine en los siguientes gráficos, cuáles de las relaciones dadas son funciones:

85



Z E

Respuesta I) Son funciones las relaciones V" y V # III) Son funciones ")ß% ) C 5)

II) Son funciones los ejercicios 2), 3) y 4)

86



Notación: Usualmente las funciones se denotan con las letras 0ß 1ß 2ÞÞ.ß ,etc. y la función 0 \ a uno ] se representa por medio de la notación:

de un conjunto

0 À\Ä ]

Los elementos de \ se llaman preimagen. La variable B se llama variable independiente . Los elementos de ]que están relacionados con \se llaman imagen.La variable Cse llama variable dependiente. A menudo una función se define por medio de una fórmula explícita. Se puede pensar en una función 0como en una máquina. El dominio es el conjunto de entradas (la materia prima)para la máquina, la regla describe la forma de procesar la entrada y los valores de la función son las salidas de la máquina. Ejemplo Si

0 Ð BÑœ B  ", evaluar con Bœ$ en una máquina-función

87



Ejemplo 1: Sea la función definida por la expresión: 0 ÐBÑ œ B # La función está definida de ‘en ‘! , ya que el cuadrado de un número real es un número real positivo o cero. Para hallar los valores de C , le asignamos valores a B y los reemplazamos en la fórmula 0ÐBÑ : Sea

Bœ $

Ê 0 Ð$Ñ œ Ð$Ñ œ *#

Sea

B œ %

# Ê 0 Ð% Ñ œ Ð% Ñ œ "'

Sea

Bœ!

Ê 0 Ð!Ñ œ Ð!Ñ œ !#

Luego, se tiene que:

H97 0œ ‘

La representación gráfica de

V/- 0œ

0 ÐBÑ œ Bes# una Parábola.

‘ !

¡¡¡Grafíquela Ud. !!!

Ejemplo 2: Estudios empíricos indican que el período de vida de un mamífero en cautiverio está relacionado con el tamaño del cuerpo por medio de la función potencia: !ß#

PÐQÑ œ Ð""ß)ÑQ

¿Qué predice esta función para el período de vida de un elefante de %Þ!!!kg en un zoológico? Respuesta Se tiene que

Q œ %Þ!!!

P Ð%Þ!!!Ñ œ Ð ""ß )Ñ %Þ!!! !ß# P Ð%Þ!!!Ñ œ '"ß *)'

Por lo tanto, un animal en cautiverio vive aproximadamente '#años. Ejercicios 1)

De la misma pregunta ¿Qué predice esta función para el período de vida en un hombre de )!kg recluido en una prisión?

#Ñ

La distancia en pies que un objeto recorre el vacío está dada "' por =Ð>Ñ œ> donde es > tiempor en . =Encuentre +Ñ =Ð!Ñ ,Ñ =Ð"Ñ -Ñ =Ð#Ñ .Ñ =Ð$Ñ

$)

#

La velocidad del sonido en el aire varía con la Temperatura según el modelo: @ÐX Ñ œ $$ß "%&

È

XÎ#( $

donde @ es la velocidad del sonido en centímetros por segundo y X es la temperatura del aire en grados Kelvin . ¿En qué día viaja más rápidamente el sonido de fuegos artificiales detonadores: 18 de septiembre o ( X œ$"! Oo )o1°deenero ( X œ#(! O )?

88



%Ñ La función que transforma la temperatura de grados Fahrenheit a grados Celsius está dada por G œ &*ÐJ  $#Ñ +ÑDetermine cuantos grados Celsius son 80 grados Fahrenheit ,ÑDetermine cuántos grados Faherenheit son 30 grados Celsius

Respuesta #)ß $ años +Ñ !

"Ñ #Ñ $Ñ %Ñ

,Ñ "'

18 de septiembre +Ñ#( G 9

-Ñ'% ,Ñ )' J

.Ñ "%%

9

TIPOS DE FUNCIONES Función Par

0 espar Í 0 Ð BÑ œ 0 ÐBÑ ß a B−

Dom Ð0 Ñ

Función Impar

0 esi mpar Í 0 Ð BÑ œ 0 ÐBÑ ß a B−

Dom Ð0Ñ

Las funciones pares son simétricas respecto del eje y. Las funciones impares . simétricas respecto del srcen de coordenadas

Nota: son

Ejercicios Dtermine si las siguientes funciones son Paor Impar +ÑCœl B l -Ñ 0 ÐBÑ œ B # " Respuesta

,Ñ Cœ .Ñ 1ÐBÑœ B

Z E

" B %

SonPar Ð+Ñß Ð-Ñy Ð.Ñ Es Impar Ð,Ñ

Función por tramos Una regla que defina una función puede incluir más de una fórmula. Una función definida de esta manera se llama Función definida por Tramos.

89



Ejemplo: 1ÐBÑ œ

œ

B # BŸ! B" B  !

Esta función es una sola,pero se da en dos partes o tramos. Si queremos determinar 1Ð  #Ñ reemplazamos Bœ # 1Ð  #Ñ œ Ð  #Ñ #œ %

en el primer tramo, es decir, que

Para determinar 1Ð&Ñ, consideramos el segundo tramo, es decir, 1Ð&Ñœ&  "œ' La gráfica de la función

1ÐBÑ es:

Función Constante Si - representa un elemento de cualquier conjunto, entonces la función 0 - definida œ 0 ÐBÑ por para todos los B del dominio de 0 se llama función constante. El gráfico de una función constante es:

Ejemplo: Sea la función constante definida por:

0 ÐBÑ œ &

Suponga que el dominio de 0es el conjunto ‘de números reales, entonces: 0Ð$ Ñ œ &ß

0Ð #Ñ œ &ß

È

0Ð $Ñ œ &ß

etc.

90

¡¡Grafïquela Ud.!!



Ejercicios

Z E

Determina el valor de la función para el punto señalado:

2) Sea 0 ÐBÑ œ

œ

#B %B B&

#

B Ÿ" B"

Hallar: +Ñ0 Ð!Ñœ -Ñ 0Ð&Ñ œ

3) Sea 0 ÐBÑ œ

,Ñ0 Ð  $Ñœ

ÚÝ ÛÝ Ü

B%  " B Á „" B#  " B# Bœ " B $ Bœ "

Hallar: a) 0 Ð  $Ñœ -Ñ0 Ð"Ñœ

,Ñ0 Ð'Ñœ . 0 Ð ) "Ñœ

El precio del metro cuadrado de un material plástico para suelos depende de la cantidad que %Ñ compremos,C B, es el precio en $ y viene dado por la 0funcion definida ÐBÑ

0ÐBÑ œ

Ú ÛÜ

"!  !ß !& B (ß&! ß! #Ð B &!Ñ 'ß&  !ß! !#Ð B  "!!Ñ

¿Cuál será el precio si compro $!!7 # ?

91

si !ŸB Ÿ&! si &! Ÿ B Ÿ "!! si "!! Ÿ B Ÿ &!!



Respuesta

Z E

1)

#) a) !

b) "&$

$) a)"! $( b) %Ñ $ 'ß"

"!c) $ c)

 %d)

FUNCION INYECTIVA Una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde un sólo elemento del recorrido

En otras palabras,

Ejemplos Los siguientes conjuntos son funciones que van de los conjuntos Qa Rcon ß Q œ Ö #ß$ ß% × y R œ Ö "ß#ß$ß % × , pero sólo algunos cumplen la condición descrita anteriormente. Determine cuál (es) es (son ) inyectiva (s): 1) E œ Ö Ð#ß" ÑßÐ $ß# ÑßÐ %ß" Ñ ×

2)

F œ Ö Ð#ß" ÑßÐ $ß# ÑßÐ %ß$ Ñ×

3) G œ Ö Ð#ß#ÑßÐ$ß$Ñ × Respuesta Son inyectivas F y G .

92



FUNCION SOBREYECTIVA Unafunciónessobreyectivasi

. todas las imágenes tienen preimagen

Z E

Es decir, todos los elementos del conjunto de llegada están relacionados con un elemento del dominio, no sobra ningún elemento. El conjunto de llegada se denomina también

CODOMINIO de la función.

Luego, se puede escribir que una función 0es sobreyectiva si:

Ejemplo Determine cuál(es) de la(s) siguiente(s) funciones son sobreyectiva(s):

Respuesta: Sólo el ejemplo 2) es una función sobreyectiva. Ejercicios I) Determine cuáles de las siguientes funciones son inyectivas y/o sobreyectivas si: 0 À Q ÄR Q œ Ö #ß$ß% × R œ Ö "ß#ß$ß% × E œ Ö Ð#ß"ÑßÐ$ß#ÑßÐ%ß#Ñ × F œ Ö Ð #ß#ÑßÐ$ß$ÑßÐ% ß %Ñ× G œ ÖÐ#ß"ÑßÐ$ß"ÑßÐ%ß"Ñ×

93



H œ ÖÐ#ß"ÑßÐ$ß$ÑßÐ%ß#Ñ×

II) Determine en cuál de los siguientes diagramas se presenta una función sobreyectiva:

Respuesta I) Es inyectiva F y H II) Son sobreyectivas 1) ß 2) ß 3) y 5) FUNCION BIYECTIVA Una función es biyectiva si es

inyectiva y sobreyectiva a .la vez

Por ejemplo, en el diagrama y en el sistema cartesiano se muestran funciones biyectivas:

94



FUNCION INVERSA Una función

Z E

, sí y sólo si, es biyectiva. tiene inversa

Ejemplo :

Si una función es 0ÐBÑ su inversa:

Para obtener la inversa de una función, primero se debe determinar si esta es biyectiva y luego la forma de la inversa, para ésto se despeja la variable ww B ww Ejemplo: Sea

Forma de la función Inversa

0Ð BÑ œ ÖÐ BßCÑÎ C. œDetermine # B  & × la

Respuesta Como la ecuación de esta función es una línea recta, la función es biyectiva. Su inversa se obtiene despejando B de la ecuaciónC œ #B  & C  #B œ & # B œ & C ÎÞ" #B œ C  &

Luego, se intercambian las variables C por B:

Por lo tanto:

0 "ÐBÑ œ

šÐBßC ÑÎC œ 95

B& #

›



Ejercicios Dadas las siguientes funciones, determine "Þ

J œ ÖÐ BßC ÑÎB #C œ "!×

#Þ

K œÖ ÐBß CÑ Î C œ

$Þ

L œ ÖÐ BßC ÑÎ$B &C œ "×

%Þ

M œÖÐ Bß CÑ Î

sóla lo forma que tiene su

#B$ × &

B  #C œ "! × &

Respuesta "

"Þ

J

œ ÖÐ BßC ÑÎC œ # B "!×

#Þ

" & K œ ÖÐ BßC ÑÎC œ B #

$Þ

L

%Þ

M

& œ ÖÐ BßC ÑÎ C œ B $

"

"

$ × # ×

" $

œ ÖÐ BßC ÑÎC œ #B &!×

Sea 0 : A Ä B una función, entonces: Resumiendo ")

0 se dirá inyectiva si:

Es decir, a imágenes iguales, preimágenes iguales.

96

funcióninvers:a



0 sedirásobreyectivaoepiyectivasi:

#)

,A

−Ca b−B 0œ B CÐBÑ ,

Z E

En forma equivalente V/- 0 œ B

333)

0 se dirá biyectiva, sí y sólo si, es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Observación : Si :0 A Ä B no es Inyectiva, ni Sobreyectiva se puede encontrar una restricción sobre A y B de modo que 0 : A' Ä B' sea Inyectiva y Sobreyectiva, es decir, redefinir la función 0 Þ

¡¡ Ahora, hagamos un análisis algebraíco completo para un ejercicio en particular !! emploEj :

"

Determine si la función es biyectiva( de no serlo redefínala ): 0 : ‘Ä‘ B Ä 0 (B )œ B

#

Respuesta Dominio de la función: Codominio de la función: Recorrido de la función:

H97 0 œ ‘ G9 . 0 œ ‘  V/- 0 œ ‘ !

G9. Á V/-0

Por lo tanto,

. 0 no es sobreyectiva 

Restricción: Se cambia el codominio ‘por el recorrido ‘! 0 : ‘ Ä ‘!+ Sólo resta analizar su inyectividad: ( 0 B) 12œ0(B )

Ê B œB 1

2

Sea ( ) 0 B(1 œ) 0 B 2 ) ( )B" # œ B# # B1 œ B#

¸¸ ¸¸

Luego:

óB1œB

Por lo tanto,

#

B œ1 B

#

0 no es inyectiva .

Restrinjamos el dominio de la función de ‘a ‘!para hacerla inyectiva.

97



Z E

Ahora, 0 es inyectiva y sobreyectiva:

Redefinida , se tiene:

Por lo tanto, 0 es biyectiva. emploEj :

#

Sea : 0 ‘Ädefinida ‘ por: su inversa 0  1

( 0)Bœ#B  "

¿Es

una 0 función biyectiva? . Si lo es, determine

Respuesta: ")

Inyectividad: () 0 B 1( œ)0 B # #B1" œ#B " Î " # # B1œ# B # ÎÀ# Bœ B" ¾0 # es inyectiva.

#)

Sobreyectividad:

Para determinar el recorrido de 0, despejamos Ben función de C. Luego, analizamos las posibles restricciones para la variable C : C œ #B  " C  " œ #B C  " œ B No existen restricciones para . #

Por lo tanto,

V/-0œ œ‘G9. 0 y se tiene que0

98

C

es sobreyectiva.



Como 0es inyectiva y sobreyectiva, se tiene que 0es Biyectiva. Luego, existe la función inversa de 0 y se define de la siguiente forma:

Observación: El estudio de una función debe considerar los siguientes pasos: 1)

Para determinar el DOMINIO de una función se analizan las posibles indeterminaciones que puede tener la fórmula que define a dicha función:

2)

Para determinar RECORRIDO de una función, primero se debe despejar B en función de Cen laelfórmula que define la función. Luego, se verifican para la expresión que resulta de lo anterior:

3)

Graficar la función para verificar el Dominio y Recorrido encontrados.

4) Para verificar inyectividad, además,aldel analítico (visto anteriormente) está el método gráfico que consiste en la trazar una recta paralela ejemétodo B.  Si la recta corta a la gráfica de la función en un solo punto a lo largo de toda su gráfica, entonces la función es inyectiva.

99



Si la recta corta a la gráfica de la función en dos o más puntos entonces la función no es inyectiva. Para redefinir la inyectividad se debe restringir el dominio de la función.

5) Para verificar la sobreyectividad basta comparar el Recorrido encontrado con el Codominio de la función. Esto es: Si G9. 0 œV/entonces 0 es 0sobreyectiva. Si no G9. 0 ÁV/-entonces 0 0 es sobreyectiva. Si el codominio no está dado en forma explícita se supone que G9 . 0 œ ‘ . Para redefinir la sobreyectividad se cambia el codominio dado por el recorrido que se ha determinado. 6) dada.

Para determinar la función inversa se debe cumplir la condición de biyectividad de la función Luego de esto, se define la función inversa 0 " À V/- 0 Ä H970 B Ä C œ 0 "ÐBÑ La fórmula de la inversa se obtiene despejando Ben funciónCde , luego seBCcambia C por e por B en la expresión que resulta del despeje anterior.

Ejemplos a desarrollar en clases: Realice un análisis completo de la función definida por: Ejercicios

È

0 ÐBÑ œ

B$ "#B

MÑ

Indique si los valores dados para B: pertenecen al dominio de estas funciones: Bœ! à # à $ß & à #à ! ß #&

MMÑ

Determine el Dominio de las siguientes funciones:

a)

C œ %B  &

b)

$ 0 (B )œ B ( B #

c)

1( +) œ

+$ + "

d)

:( B) œ

(B B#  $

e) f)

() < > œ  %#> =(> ) œ > #% > $

g)

1(2)œ

È È

&2 $

100



Ê

:( ,) œ

II)

Determine el Recorrido de las siguientes funciones:

a)

0(B ) œ )B  $

b)

; (B )œ #B #%

c)

<( B) œ $B # "#B

d)

=( >) œ >  & #>%

e)

=(2 )œ 

f)

:(; )œ

g)

7( -) œ

È

Z E

,$ ,#

h)

È

2 $

; &

& $ #-  "

III) Analice Inyectividad, Sobreyectividad y Biyectividad para las siguientes funciones y luego determine la función inversa ( restrinja si es necesario): a)

0 : ‘Ä 

‘

;

0Bœ%( ) #B

;

1BœB ( *)

b)

1 : ‘!Ä

c)

::[ #,  _ [ Ä

d)

= : ‘ Ö"× Ä

e)

7: ‘Ä[ %, _ [

‘

È



‘! ;

 ‘ Ö$×

#

:BÑ( œ  & B  "!

;

=> œ( )

;

$ > # >" #

7>œ>(  ) %

Respuesta MÑ

MM )

a) ‘ ‘ ‘ ‘ #> f) e) Ÿ

b) ‘

c)  2 g)

Ö 1 d) × $ , # h) & 

 $,

II)

101

ó



a) ‘ 

e) ‘!

b)

C %

f)

‘!

c)C "#



g)

d)  Ö×

‘

" #

$ #

‘ Ö  ×

III) a)

0  1 :Ä‘

b)

1" ÀÒ  * , _Ò Ä

c)

:": ‘!Ä[ #, _ [ ;

d)

=" : ‘ Ö$×Ä  ‘ Ö"×

e)



‘! ;



[" :

7

[Ä , % _

 1(

;0B œ

‘

1 B œ1( )B * : Bœ()

; 

; ‘!

%B #

)

B # "! &

1

># >$

1( ) = > œ

( " )

È

< >œ >  %

È

Un poco de historia..... El término Función fue usado por primera vez en 1637por el matemático francés René Descartes para designar una potencia B8 de la variable B. En 16el94matemático alemán GottfriedWilhelmLeibnutilizó iz el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G.Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello. Dos variables B e C están asociadas de tal forma que al asignar un valor a B entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a C , se dice C que es una función B (unívoca) B de . La variable , a la que se C , cuyosel valores asignan libremente se llama dependientes. variable independiente, mientras que ladevariable dependen de la B, sevalores, llama variables Los valores permitidos dominio de B constituyen definición de la función y los valores que toma C constituye su recorrido".

102



AUTOEVALUACION "Ñ

Sea0 ÐBÑ œ

œ

%B B"

#

si# Ÿ B  # si# Ÿ B  %

determine +Ñ0 Ð  #Ñß ,Ñ 0Ð# Ñß -Ñ0 Ð%Ñ #Ñ

Grafique la siguiente relación, analizando concavidad, Eje de Simetría, Intersección con ejes X e Y y vértice

Z E

V œ ÖÐ BßCÑ − ‘#ÎB œ  C # %C  &×

$Ñ

Sea0 ÀE© Ä ‘

‘

B Ä 0Ð BÑ œ

B# $B

Determine: Dominio de 0 ÐBÑ +Ñ Recorrido ,Ñ de 0 ÐBÑ c) Inyectividad .Ñ Sobreyectividad /ÑFunción Inversa (restrinja si es necesario %Ñ

0 Ñ Ð0  &Ñ 1Ñ Ð0$Ñ 2Ñ0 "Ð$ Ñ " 0Ð%Ñ 3Ñ

En 1897 un profesor de Física propuso que la temperatura X en grados Fahrenheit, en un termómetro "criquet" está dada por B  %! % donde B es el número de chillidos del grillo por minuto. Si el número de chillidos se aumenta en 10, determine en cuánto aumentó la temperatura X ÐBÑ œ

103



Respuesta 0Ð %Ñ œ no está definido en la función

"Ñ

+Ñ 0Ð# Ñ œ ! , Ñ 0Ð #Ñ œ "

#Ñ

Concavidad hacia la izquierda + œ  "  Concavidad !Ê Eje de Simetría Cœ ß

, #+

Cœ#

\ Intersección eje B œ & Ê Ð&ß!Ñ

Intersección eje Y  C #  %C  & œ ! C "œ Los C œpuntos & son: #  "ß " #

T Ð!ß  "ÑßT Ð!ß &Ñ

Vértice Z ÐB ß 

, Ñß Z Ð*ß# Ñ #+

Gráfico

$Ñ

+Ñ Dom0 œ  ‘Ö$× ,Ñ Rec0 œ ‘ Ö"× -Ñ 0ÐB "Ñ œ 0Ð B Ñ# B" # B ## œ $  B" $B

#

ÐB"  #ÑÐ$##B Ñ œ ÐB"  #ÑÐ$  B Ñ &B" œ &B # B" œ B#

Por lo tanto .Ñ G9. 0 œ

0es Inyectiva ‘ ß

Rec 0 œ  Ö"× ‘

104



0No es Sobreyectiva, luego restrinjimos 0 À ‘Ä

Z E

‘  Ö"×

B Ä 0Ð BÑ œ

B# $B

función Inversa 0 " À ‘ Ö"× Ä ‘ $B  # B Ä 0Ð BÑ œ B" 0 Ñ 0Ð  &Ñœ  $Î) 2Ñ 0 "Ð$ Ñ œ ""Î# %Ñ

si X œ ! X, Ð!Ñ œ X œ "! , X Ð!Ñ œ

1Ñ 0Ð $Ñ œ 3Ñ" 0 Ð%Ñ œ#

! % ! œ %! % "!  %! œ %! œ %#ß& %

%#ß &  %!œ#ß.& Por lo tanto aumentó #ß &º F

105

indeterminación



Z E CAPITULO IV FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA

106



FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA Este tipo de funciones nos permiten representar situaciones de la vida real. UN EJEMPLO REAL Algunos tipos de bacterias se reproducen por "mitosis" , dividiéndose la célula en dos, en espacios de tiempo muy pequeño, en algunos casos cada 15 minutos. ¿Cuántas bacterias se producen en estos casos, a partir de una célula, en un día? tiempo (min) bacterias 15 738ß B œ " 2 30 738ß B œ # 45 738ß B œ $ 60 738ß B œ %

4 8 16

Es decir, las bacterias crecen a razón de # BÞ si B son los intervalos de 15 minutos: en una hora hay"'2 % = decir, en un día , 2 #%Þ % œ #*' = (ß* ·"!#) . ¡bacterias!

bacterias , en dos horas 2 )= #&'ß

es

Esto nos da idea del llamado ¡crecimiento exponencial!, expresión que se utiliza cuando algo crece muy deprisa Una función exponenciales una función definida por una ecuación de la forma: 0 ÐBÑ,œen , laB cual

,! C ,Á"

 Para que la función tenga sentido y se, pueda ß ß dibujar la base debe ser ,  ! ¿por qué? " " Por ejemplo si œ, # , ¿cómo se definiría ) ?# Seguro que sabrás que es #( # la raiz cuadrada de  #, la cuál no existe. Lo mismo pasaría con otros valores de B, por lo que la función no tendría sentido.  Es claro que!œ,si

, se trata de la función 0, sin interés.

 Habrás observado también que " la función  ,cuando es muy distinta que cuando  ", , y además que cuando œ ", se trata de una recta , es decir, de la función y = 1, que es una recta horizontal.

107



Gráfica de funciones exponenciales Para graficar estas funciones se construye una tabla de valores conveniente para By se determinan los valores de C al haber reemplazado B en la ecuaciónÞ La función es siempre creciente o siempre decreciente (para cualquier valor de B), dependiendo de los valores de la base " ,".

Ejemplo À

$œC Grafique

B

Respuesta Haga una tabla de valores de la función C œ $ B y a partir de ella, grafíquela En este ejemplo , œ $ , es decir, la función es creciente.

Ejemplo Grafique C œ

Œ $ &

B

Respuesta En este ejemplo

$ , œ por ß lo tanto la función es &

108

decreciente .



Z E Si observa las gráfica vistas en los ejemplos dados notará que se mantienen características comunes, de aquí obtenemos las propiedades siguientes: Propiedades de la función Exponencial * La función existe para cualquier valor de B. El dominio de la función exponencial es el conjunto de los números reales. * Los valores de C son siempre positivos (prueba cuantos valores desees para B). Por tanto: LA FUNCIÓN SIEMPRE TOMA VALORES POSITIVOS para cualquier valor de B. El recorrido de 0 es el conjunto de los números reales positivos. * En todos los casos la función pasa por un punto fijo, la gráfica de la función intersecta al eje ] cuando Bœ! . Generalmente, el punto Ð!ß "Ñ * El eje \ es una asíntota horizontal para la gráfica de la función exponencial, es decir, se acerca al eje X tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia la derecha en el caso en que  "!, y hacia la izquierda en  ," caso de . * La función 0 es inyectiva. Ejercicios MÑ

Grafique las siguientes funciones, determine, además cuáles son crecientes y cuáles decrecientes:

"Þ 

0 ÐBÑœ

$Þ 

0 ÐBÑœ

MMÑ

Œ Œ " #

B

" %

B#

#Þ 

0 ÐBÑœ$

B

%Þ 

0 ÐBÑœ%

B

Las amebas, son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos (bipartición). Esto se

realiza más o menos rápidamente según las condiciones del medio en que se encuentren (cultivo). Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora y que, inicialmente, hay una ameba.

109



a) Calcule el número aproximado de amebas que habrá según pasan las horas y complete la tabla .

b) Represente gráficamente estos datos c) Cambie los ejes y represente la función cuyas variables sean, ahora: : número B de amebas : tiempo C (en horas) MMMÑ

Las sustancias radiactivas se desintegran transformándose en otras sustancias y lo hacen con

mayor o menor según trate. radiactiva que se desintegrareduciéndose a la mitad cada Supongamos querapidez, tenemos 1 kgde decuál una se sustancia año. El resto de la masa no desaparece, sino que se transforma en otro componente químico distinto. a) Complete la tabla siguiente (utilize la calculadora para obtener los valores con tres cifras decimales):

b) Represente gráficamente los datos c) Cambie los ejes y represente la función cuyas variables son, ahora, B: peso de la sustancia radiactiva (en kg)ß C: tiempo transcurrido (en años) Respuesta MÑ

110



Z E MMÑ


+Ñ

MMMÑ

111


Z E APLICACIONES DE LA FUNCION EXPONENCIAL Muchos Modelos matemáticos que se presentan en ciencias y matemática se pueden representar por funciones exponenciales. Por ejemplo: La función exponencial se aplica a la química y física. En algunos elementos radioactivos son de tal naturaleza que su cantidad disminuye con respecto al tiempo, se cumple la ley exponencial y se dice que el elemento decrece o decae. El Polonio (elemento radioactivo) descubierto por Marie Curie en 1 898 decae exponencialmente de acuerdo a la función: /7œ7 7! !ß!!&> , donde ! es la masa 7 inicial del Polonio, es la masa al cabo de un tiempo y > es el tiempo en días. El crecimiento poblacional (Demografía) de una región o población en años, parece estar sobre una curva de característica exponencial que sugiere el modelo matemático dado por: RœR / ! 5 > , R donde ! es la población inicial, > es el tiempo transcurrido en años y 5 es una constante. (En 1798, el economista inglés 5 > Thomas Malthus observó que la relación era válida para determinar el crecimiento de la R œcomo R /!la cantidad de alimentos crecía de manera lineal, el población mundial y estableció, además, que mundo no podía resolver el problema del hambre. Esta lúgubre predicción ha tenido un impacto tan importante en el pensamiento económico, que el modelo exponencial de crecimiento poblacional se conoce con el nombre de modelo Malthusiano). En la medicina, muchos medicamentos son utilizados para el cuerpo humano, de manera que la cantidad presente sigue una ley exponencial de disminución. Observación: La función exponencial obedece a todas las leyes de los exponentes.

EL NUMERO e Quizás ya conozcas un número muy especial llamado número " /". Si no lo conocías, se trata de un número irracional, por tanto con infinitas cifras decimales y no periódico, cuyo valor es / œ #ß (")#)")ÞÞÞÞÞ en sus seis primeras cifras decimales. Evidentemente /  ", luego la función ya es conocida, siempre creciente.

112



Además de escribirse como Cœ/ exponencial más utilizada

B

, también se escribe como Cœ/B:ÐBÑ ß

por tratarse de la función

Debido a su importancia muchas calculadoras con funciones científicas tienen una tecla / B que nos permite calcular los valores de / B directamente. La función exponencial que tiene por base el número / tiene un especial interés que conocerás mejor cuando se estudien los límites y los logaritmosÞ Por ejemplo, en Cálculo el número / surge del estudio de la función 0 definida por:

Œ 

" 8 en donde 8es un entero positivo. 8

0 Ð8Ñœ " 

Puede probarse que los valores de la función 0 Ð8Ñse acercan al número/ß aumenta de valor, es decir:

Œ  "

" 8 Ä/ 8

a medida 8que

cuando 8Ä _

Ejercicios Usando su calculadora (tres decimales aproximado) determine:

"Ñ $

&

+Ñ /œ

,Ñ /œ

-Ñ / œ%

# ' .Ñ /  /œ

La curva adoptada por un cable o una cuerda larga que cuelga sobre su propio peso entre dos #Ñ soportes fijos se llama catenaria. Puede probarse que bajo ciertas condiciones un cable colgante asume la forma de la gráfica de la función: 0ÐB Ñ œ -

/ BÎ-  / BÎ#

Determine , si - œ # Ðtres decimales aproximado):

+Ñ 0 Ð#Ñ ,Ñ 0 Ð&Ñ -Ñ 0 Ð$ Ñ

Respuesta "Ñ +Ñ# !ß! )'ÞÞ

,Ñ" %)ß% "$ÞÞÞ

-Ñ! ß! ")ÞÞÞ

113

.Ñ% !$ß& '%ÞÞÞ



+Ñ Para

#Ñ

- œ # y Bœ#

0 Ð#Ñœ #

se tiene:

/ #Î#  / #Î# œ$ß !)'ÞÞ #

,Ñ 0 Ð&Ñ œ "#ß# ' 5

-Ñ 0 Ð$ Ñ œ %ß( !&

Ejemplos de aplicación !ß!#%)>

El estroncio *!se usa en reactores nucleares y se desintegra de acuerdo / Ta laœecuación E

T es la cantidad ! presente œ > en > y lanuclear. cantidad que queda después de de años. Si se colocandonde deEestroncio en un reactor ¿Cuánto quedará años? &!! milígramos *! "!después (Exprese la solución con dos decimales)

Respuesta: El modelo es

EœT/

!ß!#%)> , se

reemplazan los datos dados: Tœ&!! œ >"!

y

Luego: E œ &! ! /  !ß!#%)Ð"!Ñ E ¸ $*!ß") Después de

"! años quedan aproximadamente$*!ß ") miligramos de estroncio *!

Ejercicios: (dos decimales aproximado) "Ñ

a) b)

Para el mismo ejercicio dado anteriormente, considere y , determine T œ"&!! >œ ) E Eœ "& !!!ßmeses, >œ") determine T

2) Si el monto generado por un capital G colocado a una tasa de interés compuesto 3 al cabo de 8 períodos de capitalización es: Q œ G Ð"  3Ñ

8

a) Determine el Monto que se obtendrá al cabo de &años al depositarse $"&Þ!!! a una tasa de interés de &% anual. b) Si el Monto obtenido es de $ #!!Þ!!!, la tasa de interés de $ % anual y el tiempo transcurrido "& años. ¿Cuál fue el capital? $Ñ La población mundialT "*(% en era aproximadamente $ß * de miles de millones y la tasa de !ß!#> crecimiento anual del #%. Si se supone un crecimiento continuo entonces $ß œ * /T > , donde es el tiempo en años después de "*(%. Suponga que no ocurren cambios en la tasa de crecimiento. Calcule +Ñ la poblaciónpa ra #!!$ . b) En cuánto tiempo la población aumenta al doble 4) En condiciones ideales el número de bacterias presentes en un cultivo en > horas está dada por el modelo R Ð>Ñœ"Þ!!! / 5 5> , es la tasa de crecimiento y es el número de bacterias en el tiempo "Þ!!! > œ !Þ a) ¿ Cuántas bacterias habrá a las $ horas si 5œ!ß !!"

?

114



b) ¿ Cuántas bacterias habrá a las $ horas si 5œ  !ß !#

?

&Ñ Se sabe que la concentración de un fármaco en sangre viene dado por "!!Ð!ß œC *% Cß Ñ miligramos, > en horas).

a) ¿Cuál es la dosis inicial? b) ¿Qué cantidad de ese fármaco tiene el paciente al cabo de " hora? ¿Y de tres horas? c) Represente la función. Respuesta 1) +Ñ"Þ #$!

>en

Z E

,Ñ"& &'ß)&


2) +Ñ $ "*Þ"%% ,Ñ $ "#)Þ$(# $Ñ+Ñ 'ß*( miles de millones ,Ñ $%ß '' años %Ñ +Ñ "Þ!!$ ,Ñ *%" ß (' &Ña) > = 0 Ä C œ "!!7 1 b) > œ " Ä y = 94 mg en 1 hora > œ $ Ä y = 83 mg en 3 horas

115


Otra función muy importante que tiene relación con la función exponencial es la función logarítmica, la cual vamos a estudiar a continuación

FUNCION LOGARITMICA  Ya que la función exponencial porœ esB biyectiva, tiene en À0Ä‘ ‘definida ,C consecuencia una función inversa. Para encontrarla, haremos lo siguiente: Intercambiamos las variables B e C para Þ , obtener œB BC Esta fórmula define C a como una función de :

Ces el exponente al que se eleva la base ,para obtener B

Reemplazando la palabra exponente por la palabra logaritmo podemos reformular la definición así:

" C es el logaritmo en la base y abreviarla , de B " utilizando la fórmula:

Esto nos relaciona la función logarítmica con la exponencial. Por lo tanto, la función logarítmica con base ,se escribe:

Es la función inversa de la función exponencial con base , .

116



GRAFICO DE LA FUNCION LOGARITMO La gráfica de esta función es simétrica a la gráfica de la función exponencial. Cobtenemos valores Para graficar le asignamos valores a Cy al remplazarlas en la , función œ B de B. Si la base es mayor que 1, la gráfica de la función es siempre creciente, (se puede observar como crece "más deprisa", cuanto más pequeña es la base del logarítmo). Ejemplo:

Z E

C

Graficar: 0Ð BÑ œ 691 #B Í # œ B

Ahora grafique usted las siguientes funciones logarítmicas:

Ejercicios +Ñ 0 ÐBÑœ691 B $ -Ñ 0Ð BÑ œ 691 Ð#B " Ñ

,Ñ 0 ÐBÑœ691 B .Ñ 0Ð BÑ œ 691 Ð" & BÑ

¿Qué puede observar que tienen en común estas gráficas?

117

" #



Z E Algunas aplicaciones de la función logarítmica Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud. En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación P= 10 † 691 M( / M ! ) , donde M es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), M ! es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles. La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud V de un terremoto está definida como691 œ V ÐE Î E Ñ E donde es la E intensidad y ! esEuna constante. ( es la ! en la escala de Richter, amplitud de un sismógrafo estándar, que está a "!! kilómetros del epicentro del terremoto). De la función logarítmica se puede decir que: ‡‡El recorrido dominio eseselelconjunto conjuntode detodos todoslos losnúmeros númerosreales reales.positivos. ‡La gráfica pasa por el puntoÐ"ß !Ñ Si ‡ ,", la función es creciente. Si‡ !  ,  ", la función es decreciente. ‡ 691 B, œ691 A, sí , y solo si, BœA * El eje Y es una Asíntota vertical , ya que se acerca al eje Y tanto como se desee, sin llegar a cortarlo, hacia abajo en el caso en que ,  " y hacia arriba en caso de ,  ("SIEMPRE POR LA DERECHA") "

En la expresión:

C œ 691 ,Bse tiene que

118



La siguiente tabla muestra el paralelismo entre la forma logarítmica y la forma exponencial:

Ejemplo: Calcule los logaritmos siguientes: a)

691"' #œ ?

b) 691 œ) #

%

, la solución es% , porque #œ "' ?

, la solución $ )es œ # , porque

$

Ejercicios Encuentre los siguientes logaritmos: ) log

)log ) log log

, ) log

+œ"#& &

œ

&œ /" 1Ñ

.

" #&

œ

œ

(

"'

)log

œ 0 $ ) log

'

log

'Ð"Î&Ñ #& œ

$

2Ñ œ(

%*

Respuesta +Ñ$ /Ñ!

,Ñ # 0 Ñ"

-Ñ "Î#

.Ñ$Î%

1Ñ %

2Ñ"Î#

Consecuencias de la definición NOTA: Lo siguiente es válido para cualquier base ,  ! , , Á 1 "Ñ

El logaritmo de " en cualquier base es "cero" 691 , " œ !

119

Š ‹ " %* " )

Š‹



Z E

Si la base y el argumento son iguales, el logaritmo es "

#Ñ

691 , , œ 1

El logaritmo de ww ceroww no está definido

$Ñ

no 691está , ! definido %Ñ

El logaritmo de un número negativo no está definido

&Ñ

El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es el exponente de la potencia 691 , , -œ -

Ejercicios Encuentre los siguientes logaritmos: +Ñ691 ##œ

,Ñ691 #(œ $

-Ñ691 "œ%

.Ñ691 +

/Ñ691 !$œ

+œ

Ð7"Ñ

0 Ñ691 Ð  "!Ñ & œ

Respuesta +Ñ "

,Ñ $

-Ñ !

.Ñ 7  "

No/Ñestá definido

No 0 Ñ está definido

LOGARITMOS DECIMALES O COMUNES La base de una función logarítmica puede ser cualquier número real positivo diferente de ". En la práctica, sin embargo dos son las bases más importante cuando , œ "! y , œ / (#ß(")ÞÞÞÞÑ

Cuando la base es "! se escribe 691

y se subentiende que la base "! es

Ejemplo 691 se "! escribe "!!

691 "!!

120

.



Ejercicios "Ñ

Z E

Encuentre Ud. el valor de los siguientes logaritmos (use su calculadora, # decimales):

a)

691!ß !"

b)

691"!Þ!!!

c)

691!ß !!!!"

d)

691 &  691 $

e)

#691%'691(

'691%$691* 691$

f)

>

C œ "!!Ð!ß*%Ñ ßen C 2) Se>sabe que la concentración de un fármaco en la sangre viene dado por miligramos, en horas). Si queremos que la concentración no baje de 60 mg, ¿al cabo de cuánto tiempo tendremos que inyectarle de nuevo? $Ñ

Un cultivo de bacterias crece según la " función œ#CC

BÎ"! B(

: miles de bacterias, : horas).

Calcule cuánto tiempo tardarán en duplicarse. Respuesta "Ñ

d)

b)

+Ñ #

%

!ße)##

2Ñ $Ñ

c)

&

'ß #( f)

"ß &(

"!! †Ð! ß* %Ñ > œ '! Ê > œ )2 "&7 38 Al cabo de aproximadamente )2"&738 "#

BÎ"!œ % Ê B œ

"!691$ œ"&ß )2 691#

¸ "'2

LOGARITMOS NATURALES Si la base

de , una función logarítmica es /œ#ß (")#)") ..., entonces

691 / B se escribe 68 B y se subentiende que la base es el número / " "

Ejemplo 691 se escribe /"!!

68 "!!

121



Ejercicios Determine usando su calculadora los siguientes logaritmos use Ð tres decimales :Ñ a) 68# œ b) 68 #$% œ c) 68& œ d) #68$  68% œ e) $6 8#  &6 8$  68" œ f) Ð6 8' %6 8#Ñ #œ g)68 /

"Î#

œ

Respuesta a) !ß'*$ b) &ß %&& c) "ß'!* d) !ß )"" e) (ß&($ f) !ß*'# g) "Î# œ !ß & Muchas veces conviene cambiar la base del logaritmo srcinal a una base conocida. Para esto necesitamos la siguiente definición: FORMULA DE CAMBIO DE BASE ,Si " +" y " " son números " positivos diferentes de ,R entonces para cualquier número positivo se cumple que: 691 , R œ

691 +R 691 + ,

Ejemplo Usando la forma anterior, encuentre el valor de 691 '"), usando su calculadora Respuesta En este ejercicio podemos ver que , œ 'y R œ ") Como en la calculadora es posible encontrar los logaritmos decimales, cambiaremos a base "!, entonces + œ "! 691 '") œ

691") ¸ "ß' "$" 691'

122



Ejercicios I) Cambie los siguientes logaritmos a la base que se pide ÞDeje expresado: a)

691abase #&

$

b)

691abase %$

#

c)

691abase &*

$

II) Encuentre el valor de los siguientes logaritmos aproximados):


a) 691 (#" œ b) 691 &#"% œ c) 691 %") œ d) #69 1 &"'  $69 1 %"& œ e)

usando cambio de base (3 decimales

Z E

&691 (# œ 691 $ )

123


Respuesta 691#$ b) 691&$

I)a)

691$ 691%

#

691* 691&

c)

#

$ $

II) a) "ß&'& b) $ß $$% c) #ß!)& d)  #ß% "& e) (ß%"' Para poder resolver ejercicios con logaritmos es necesario que conozcamos algunas de sus leyes.

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Sean Entonces:

B e

C números reales positivos , !,•Á ",

8

y " " es cualquier número real.

1) El logaritmo de un p roducto es igual a la suma de los factores del logaritmo

2) El logaritmo de un cuociente es igual a la diferencia de los factores del logaritmo

3) El logaritmo de una potencia es igual al exponente de la potencia multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia

124



Ahora usaremos estas propiedades para resolver los siguientes ejercicios: Ejemplo $Ñ 691 ,Ð B #† C como suma y diferencia de logaritmos

Escriba

Respuesta # $ 691 , Ð B #$†C Ñ œ 691 B,  691 C , œ # 691 ,B  $ 691 ,C

Ejercicios Escriba los siguientes ejercicios como suma y diferencia de logaritmos. Desarrolle al máximo: $ " $ B †C †D ) +)691 B†,C $ $ # , 691 , ,'

ˆ ‰

-691 )

,

/691 )

-

Š ‹  ÈÈ  CB# & B$

-

$

&

-

-#

g) 691 $

Œ

3) 691 C

B†D( Ð C "Ñ

ÐB # & Ñ %Ð (B *Ñ ) BB Ð  Ñ"

Š

.691 )

0691 )

$

Œ È  #

B ÐBÑC #

,



2691

&

‹

&

C

Ë È

ÐB%ÑÐ#B(Ñ B Ð$B (Ñ #

"#& † &

(

%

%

Respuesta +Ñ

$ 691 B,  #

$ 691 C , #

,Ñ $ 691 , B  *6 91 ,C  $69 1 D , ") -Ñ  691 ,B  6 91 C,  6 91 &, # .Ñ 691 #B  691 ÐB  CÑ  #

" 691 C #

#

/Ñ

"% "&

0Ñ

" " " 691 ,ÐB % Ñ , 691 Ð#B , (Ñ  691 B  691 Ð$B  (Ñ , # # #

1Ñ %6 91 $ÐB # &Ñ $ $6 91 Ð( B$$ *Ñ  691 B  691 ÐB  "Ñ

125



2Ñ

* #

3Ñ 691 C B  (69 1 DC  %69 1 ÐC C  "Ñ

Veamos los casos al revés, es decir, de una suma o resta de logaritmos, escribir como un solo logaritmo

Ejemplo Escriba como un solo logaritmo la siguiente expresión: $ #69 1 , B  $ ,691 C,  691 , , 7  691 C œ 691

Observación

Œ  B# C '7

Una forma fácil de resolver estos ejercicios es agrupar por signos : Todos aquellos factores a los cuales precede un signo positivo Ð  Ñ quedan en el numerador de la fracción , y los que tienen signo negativo Ð  Ñ quedan en la fracción del denominador. Ejercicios Escriba como un solo logaritmo: MÑ

" C 6 91 a) $691 B , &

b)

,

% 69 1 B  $ 6917  & 6918  69 1 , &

c)  691 ,$ ,691 % , % 691, 7 , 6 91 B  691 A d) 691ÐB  CÑ  6 91ÐB C Ñ e) 6917  6918 

" 691+  &69 1,  $

" 6912 %

" f) 691 ,7  691 :,  691 <, &

g) 691 +8  +691 ; + &69 1+ < 

MMÑ

" 691 0 #

Demuestre las siguientes igualdades usando las propiedades de los logaritmos +Ñ691

È

#(  691 *) 691 #)

È

*

) œ 691$

126



È

" " B" ,Ñ 691ÐB #$ B# Ñ  691 % %B#

œ 691 B "

Respuesta a)

691 ,

c) e)

B$ & C

È

% 691 , 7 †B† A d) "#

691

È $

È &

8 † B 691 , †7

b)

87 † f) + †, † & 2%

È

%

BC 691 CB

Œ

7†: 691

,

È &

&

$



<

¡¡Ahora usemos lo aprendido en las ecuaciones exponenciales!!

ECUACIONES EXPONENCIALES Se llama Ecuación Exponencial a aquellas ecuaciones que tienen la incógnita en el exponente. Algunos ejemplos de ecuaciones son: #

$# B = $ B # B" #  #

B "

œ(

Las ecuaciones se pueden presentar de tres formas distintas CASO 1:Ecuaciones en las cuales se pueden igualar las bases Algunas veces las ecuaciones exponenciales pueden resolverse consiguiendo que ambos lados de la expresión, estén expresados como potencias de la misma base e igualando posteriormente los exponentes. Para ello hay que tener muy presentes las propiedades de las potencias.

127



Ejemplo Resuelva la ecuación: # Bœ%

B †")

"#B

Respuesta $ ecuación puede escribirse de la siguiente forma: % œ # # C ) œ # ß la

Dado que

# Bœ % B

B "

"#B

†)

# B"

# œ Ð# Ñ # Bœ#

#B# †#

$ "#B

†Ð # Ñ $'B

# B œ #% B  "

Debido a que la función exponencial es uno a uno, los exponentes se igualan: B œ  %B " " B œ &

Ejercicios Encuentre el valor de la incógnita: "Ñ$ œ$B

#B  "

#Ñ#

B Ð B  "Ñ

$Ñ&

#B "

(Ñ$ œ* † B #( B  "

œ%

œ#& † & B

)Ñ(

B Ð Bœ %Ñ $

'Ñ% œB # # † #B )

$B

*Ñ$ À *B# œ#( "!Ñ "'

% B"

"  #B

œ$%$#ÐB "Ñ

%Ñ & Bœ "" &Ñ$

""Ñ& "##( œ

#

"B

† " œ%$B %

# B

#B $ #& À # Bœ"#& * #B" $B

#B )

Respuesta "ÑBœ  " $ÑBœ"Î$ &ÑBœ  # (ÑBœ"

Z E

#ÑBœ  "ß  # %ÑBœ" 'ÑBœ  ( )ÑBœ"Î#

*Ñ &Î% "!Ñ (Î& ""Ñ Bœ  "!Î$ "#Ñ Bœ  #Î$

128

"B #



CASO # : Ecuaciones en las cuales no es posible igualar bases En estos casos para resolverlas debemos usar logaritmos y luego las propiedades de éstos. Ejemplo Encuentre el valor de B

Ben:

B

% †& œ '

Respuesta Para resolver esta ecuación aplicamos logaritmos decimales o naturales en ambos lados de la ecuación y luego usamos las propiedades de estos: % B† & œB'

Î 691

691 Ð% B † & BÑ œ 691 ' 691 % B  691 & Bœ 691 ' B 691 %  B 691 & œ 69 1 ' B Ð 691 %  691 & Ñ œ 691 ' Bœ

691' ¸!ß &*) Ð691%691&Ñ

Ejercicios Encuentre el valor de B en las siguientes ecuaciones exponenciales ( exprese el valor de B con dos decimales aproximados): "()

#ÐB  œ$"Ñ

$) #œB  % &#) † $B

B "'

%/

Bœ %"

()#

##B

))#

B

%À

%À

)B

#% œ#(

$! œ

#B  " &B ) #

'$ † % œ%") B† ($ %B

œ# † $ B

B& %B

B

$ B

† 'œ"

Respuesta ") Bœ ! ß (# $)Bœ  $)ß "* 'ÑB œ ! ß" '

# Bœ ) ! ß '$ % Bœ"ß ) !) (ÑB œ " ß $

& Bœ!ß "')

129



CASO $ : Ecuaciones en las que los términos de la ecuación están separados por sumas y/o restas que no se pueden realizar B # B" #  #

plo:Ejem

B "

œ(

Se trata de conseguir que todas las expresiones exponenciales sean iguales y lo más sencillas posibles usando las propiedades de las potencias. # BÞ#"  #B  B# Þ" # œ ( #B  # B # Þ#B œ ( #

Conseguido ésto, usamos una variable auxiliar ? œ # B con lo que nos queda la ecuación ?  ?  #? œ ( # Ecuación de primer grado que sabemos resolver . ?  ?  #? œ ( / ·2 # ?  #?  %? œ "% (? œ "% ? œ # Una vez resuelta se obtiene ? œ # , con lo que volviendo al cambio realizado al principio: ? œ#B B . Ecuación exponencial del tipo que hemos" trabajado œ antes, cuya Bsolución es #=2

.

Ejercicios $Bœ ! (sug: variable auxiliar +Ñ / B&/B %/ ,Ñ& B"  & B œ (&! -Ñ% B  # Bœ # .Ñ* B  #Þ$ B # ) " œ ! /Ñ % B  " # B  $œ $#! 0 Ñ & B  & B # & B %œ '&"

?œ/ Ñ #B

Respuesta +Ñ B œ !ß'( y B œ ! ,ÑB œ $ -ÑB œ " .ÑB œ # /Ñ B œ $ 0ÑB œ !

ECUACIONES LOGARITMICAS En estas ecuaciones la incógnita se encuentra en el argumento del logaritmo Þ La forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo. Una vez encontrada la solución es conveniente verificar si esta cumple con la igualdad ya que en algunos casos, algunas de las soluciones que se obtiene para una ecuación logarítmica pueden no ser válidas.

130



Ejemplo 1 Resuelva la ecuación : 691Ð#B  &!Ñ œ # Respuesta Como el logaritmo es decimal igualamos logaritmos a ambos lados de la ecuación: 691 ( #B  &!Ñ œ 691 "!! #B  &! œ "! ! B œ #& Ejemplo 2:

Resolver la ecuación

691Ð$  B #Ñ œ 691 #  6 91 B

Respuesta 691Ð $  B #Ñ œ 69 1# † B $  B #œ # †B B # #B $ œ ! ÐB  $Ñ ÐB  "Ñ œ ! Bœ  $ y Bœ"

Al Sustituir el valor  $ en la ecuación inicial se obtiene 691Ð  'Ñ œ 69 1 #  691 Ð  $Ñ

¡logaritmos de números negativos que no existen!. Por tanto la única solución es B œ "

Ejercicios Encuentre el valor de B (exprese su respuesta con dos decimales): ") 691 $&B $œ 691 "'!

$

) Ð(BÑ6 #$ 691

$) #69 1 #B  $69 # 1 #œ # $6 #91 B  691 %) 691 #B  691 ÐB #Ñ œ $ #

91 Ð"BÑ œ "

" $#

& 68Ð' ) BÑ œ 68Ð$ %BÑ

') 691 #B œ 6 91 &#  691 *# ()6 91

$

È

B #" ' œ #

))6 8Ð B  "Ñ œ 68Ð #B "& Ñ

* 6)91 Ð6$ 8# BÑ œ !

"!) 691Ð# B  $Ñ  691B œ 6 91& "" %68B )  6 8Ð B  #Ñ œ 68B "#) 691 'Ð6 8B Ñ œ " # "$) 691Ð B #  "Ñ  691Ð B # "Ñ œ 691

"$ "#

131

#68"



"%Ñ68ÐB  $Ñ  6 8 ÐB  "Ñ œ 68$  68ÐB "Ñ "&)#68ÐB$Ñ œ 68B  68% "'Ñ 691ÐB  $ Ñ  69 1 ÐB  'Ñ œ "

Respuesta "œ B)$#

#œ B # " %

œB$)

)" &Bœ

) )

%œB%

)

'œ %& B

È

()Bœ „ *(¸ „ *ß )&

) Bœ"')

/ *)Bœ ¸"ß $' #

)

"! Bœ

""Ñ Bœ#

& #

È

"#Ñ Bœ/

"%Ñ Bœ&( B œ!novale)

"$ÑB "œ  & B œ &# #&„( ) œ

"&Ñ Bœ

'

œ

% *Î% no vale

"')B œ %

SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES Como el nombre indica, son sistemas de ecuaciones donde una o más de ellas son de tipo exponencial o logarítmica. Los métodos de resolución numéricos son idénticos a los expuestos para las ecuaciones. Ejemplo .- Resuelva el sistema de ecuaciones siguiente #B$ Cœ" & # B " ) $· C œ ("#

De la ecuaciónn #B œ&  $

C "

Ð+Ñ Ð,Ñ

despejamos # Ð+Ñ

B

Ð-Ñ

Reemplazamos lo obtenido en la ecuación Ð,Ñ # B "  ) $· C œ ("# # B · # ) $· Cœ ("# Ð&  $ C "Ñ #·  ) $ · Cœ ("#

132


Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas C " )

"!  # ·$

$C · #8 ·  "! $

$ · Cœ ("#

Z E

$ œ C("# · Î $

C #" $' $!  # $· C # % $ · œ

variable auxiliar

?œ$

C

Ð.Ñ

$!  #?  #%? œ #"$' #'? œ # "$' ? œ )"

Reemplazamos en ( .Ñ $ C œ )" C œ % Reemplazamos en

Ð-Ñ

#B œ &  $C " #B œ &  $% " #B œ $# B œ &

Por lo tanto la

Sol : Bœ&àCœ%

. Es descir, el&ßpunto %Ñ (

Ejercicios +Ñ

œ

C  # *&œ B #B#&

-Ñ

/Ñ

1Ñ

3Ñ

Ú ÛÜ œ œ

œ

œ

,Ñ C"

œ *

# B% #Cœ! B  C œ "&

691B  691C B 691 œ " C

$

691 B691 Cœ$ 691 B 691 C œ"

œ

.Ñ

##B&C œ # #BC œ )

œ

œ& 0Ñ

2Ñ

691 B691 Cœ$ *! œ  CB

B C œ *  691C œ "

691B

œ

691 B  691C œ # BCœ"

B  Cœ"! 691 B 691 # Cœ# 4Ñ / œ "Î/

œ

#

68B68Cœ68 #! BC

Respuesta +ÑBœ#ßCœ"

,ÑBœ"! àCœ"

-Ñ Bœ#!ßCœ& /Ñ B œ "!! Cœ , "! 1Ñ Bœ"!!ßC œ"! 3Ñ B œ "!!ßC œ"!

.ÑBœ  #àCœ" 0 Ñ Bœ "!  "! # ß Cœ  "!  "! # 2Ñ Bœ)ßCœ# 4Ñ Bœ%ßCœ&

È

133

È



AUTOEVALUACION "Ñ

Para cada una de las funciones Cœ+

Be œ C691BÞ

+

Conteste

+) ¿ Puede ser negativa la C? , ) ¿Podemos dar a B valores negativos? #Ñ Encuentre el valor de ww Bww +Ñ$

B "

B /À œ &

,Ñ6 91 ' Ð68 B Ñ œ

$ " #

$) Demuestre las siguientes igualdades usando las propiedades de los logaritmos

È

" $ 691+ #  691 6 91 + œ 691+ + # %Ñ Encuentre el valor de B +Ñ69 1 Ð $ B  %Ñ  6 91Ð#  $ B Ñ œ #69 1 & ,Ñ 691 #B  # œ $ 691B -Ñ # B  & %†

$#B

$B "

œ)

&Ñ Encuentre el valorBCde

"' À

e

+Ñ B  C œ # # 691B œ "  691 C ,Ñ 691 B  $ 691C œ & # 691 B  6 91C œ $

miles de ( 9 y la tasa de decrecimiento 'Ñ La Población mundial P en 1985 era aproximadamente $ß ' Ñ T anual del $ %Þ Si se supone un decrecimiento continuo , donde > es el tiempo en años después de 1985 ÐT œ T Þ/9 5ÑÞ > a) Calcule la población para el año 2001 (2 decimales) b) ¿En qué año la población se reduce a la mitad? y= (Ñ Un cultivo de bacterias crece según la función $Ð"  a) ¿Cuántas había en el momento inicial? b) ¿Y al cabo de 10 horas? c) Calcula cuánto tiempo tardarán en duplicarse.

134

BÎ& y: miles de bacterias, x: horas).



Respuesta 2Ñ 4Ñ 5Ñ

+ÑBœ

68"#&68$ 68$  "

+Ñ Bœ#$Î$* +ÑB œ #! Cœ #;

È

,ÑBœ/

'

,Ñ Bœ"!!àBœ"! ,ÑB œ "!! Cœ"! ;

6Ñ +Ñ T œ #ß#$ milesdemillones ,ÑEn el año 2008 se reduce a la mitad

-Ñ Bœ"


135


Z E CAPITULO V TRIGONOMETRIA

136



TRIGONOMETRIA Trigonometría, rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de los triángulos. Etimológicamente significa ‘ medida de triángulos’. Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el flujo de corriente alterna. Comenzemos explicando algunos conceptos básicos Angulos: Cuando estudiaste geometría plana se te presentó el concepto de ángulo como el conjunto de puntos sobre dos rayos (o segmentos de recta) que tienen un punto común. En trigonometría usaremos el mismo concepto, pero ampliaremos aún más su significado .

.... los dos rayos se llaman lados y el punto común vértice. Generalmente los ángulos se denotan por tres letras mayúsculas ÐEß Fß G ÞÞÑ colocadas cada una en cada rayo del ángulo y otra en el vértice Ð SÑ. Otra forma de designar un ángulo es usando letras griegas minúsculas, pero estas se encuentran dentro de la región angular, lo cual representa en realidad, la medida del ángulo. Las más usadas son ! (alfa), " (Beta), # (gama), ) 9 (teta) , (fi), etc.. Las figuras que se muestran a continuación presentan algunas formas que tiene un ángulo.

137



Estos ángulos se leen ángulo ESF , o bien ángulo ! . Para muchas de las aplicaciones de la trigonometría, se requiere un concepto más general de un ángulo. Se pretende determinar la rotación usada, al ir de un lado de éste al otro lado. De acuerdo a ésto: Para formar un ángulo !se considera un lado inicialen una posición fija y al otro como lado final o terminal.

La medida de un ángulo ! está asociada a la rotación del ángulo. Por ejemplo:

a) Si la rotación es en sentido contrario a las manecillas del reloj, la medida del ángulo es positiva.

medida de Por ejemplo

! !

!40 œº

138



b) Si la rotación es en el mismo sentido de las manecillas del reloj, la medida del ángulo es negativa

medida de !  ! Por ejemplo

= !  #%! º

Observe que para los dos casos presentados la medida es sólo aproximada. ¡ OBSERVACION! : Con frecuencia usaremos el nombre de ángulo como medida del ángulo. Esto no debe confundirlo ya que en el contexto general siempre se aclara cuál es el significado que se pretende.

¿Y cómo se mide un ángulo ? ... La medida de un ángulo está dada de acuerdo a ciertos sistemas , los cuales son usados más fácilmente en un campo o en otro . Nosotros estudiaremos dos sistemas y que además son los más usados : el sistema de grados sexagesimales al cual sólo se le dice grados y el sistema de radianes.

a) Medición en grados: Este es el más conocido y es empleado por los topógrafos y navegantes. En este sistema, se considera al ángulo situado con su vértice en el centro de un círculo cuya circunferencia se divide en 360 partes iguales. Cada una de estas partes tiene la medida de un grado, el cual se escribe 1 º.

En este caso la circunferencia queda dividida en cuatro partes iguales de *! 9 9

( 1/ #Ñcada una, que va desde ! $'! a Ð#Ñ 9 " ercuadrante : ! *! 9a 9 9 cuadrante #do : *! a ")! er $cuadrante : 18 a27 !9 !9

9

1

139



cuadrante % to :

#(! a 9$'!

9

Z E

b) Medición en radianes: Cuando se quiso utilizar el sistema sexagesimal en física, para poder calcular el camino desarrollado por alguna partícula en trayectoria circular, se encontraron que este sistema no los ayudaba pues, matemáticamente, no está relacionado con el arco que describe el cuerpo al moverse. De esa manera se "inventó" otro sistema angular, el sistema circular, donde la medida del ángulo se obtiene al dividir el arco y el radio de la circunferencia. En este sistema un ángulo extendido (al dividir el arco por el radio) mide 3,14 (que es el valor aproximado de "1"). De esa manera un giro completo (que es lo mismo que dos ángulos estendidos) mide 2 1. El ángulo se denomina radián. OBSERVACION La palabra radianes no se acostumbra escribir

¿Es posible escribir la medida de un ángulo usando los dos sistemas ?...Si, ya que la expresión #1 r que es el perímetro de la circunferencia, dice que la circunferencia tiene #1 arcos de longitud r alrededor de ella ( un arco de 360 º) . Entonces un ángulo de 360 º mide 2 1 radianes y un ángulo de 180 º mide 1 radianes. 360 º 180 º

2 œ 1 œ 1 Transformación de la medida de un ángulo de un sistema a otro.

1) Para convertir la medida de un ángulo dado en grados a radianes basta 1 multiplicar por 180 Esto se deduce de la expresión 180 º œ 1 rad. / ƒ 180 =

")! º ")!

rad. 1º

rad.

1

")!

œ

140

1

")!



Ejemplos : Convierta a radianes, los siguientes ángulos dados en grados y exprese la respuesta en términos de 1 ,. a) 60 º 60 º 60 º b) 105 º 105 º

60œº . œ 13

1

105 œ º. œ

Simplificando se obtiene

1

")!


")!

( 1 "#

2) Para convertir los ángulos dados de radianes a grados basta multiplicar por .

180 1

Esto se deduce de la expresión 180 º œ 1 rad. / ƒ 1 180 œ 11 rad. 1 ")!

1 radián

œ

1

Ejemplos: Convierta a grados los siguientes ángulos dados en radianes 1

a)

4

œ

1 4 1

4

b)

1 4

1 Þ ")!


œ %& º

1

7

1

7

œ

")! 7Þ 1

1

180 º 7

1

=

1

œ #&ß (" º

7 7

Ejercicios : 1) Convierta cada una de los siguientes ángulos dados en grados a radianes, exprese la solución en términos de 1. )

º

+"$& œ

)œ º ,(& -'& )œ º

Z E

)

º /#(! œ 0 Ñ "*! 1Ñ $'!œ

141

o 9

=



. )" )! ºœ

2) Convierta cada uno de los siguientes ángulos dados en radianes a grados +)œ43 1 ,)

5 6

" #1

/Ñ œ

1 œ

0 Ñ #ß "& <+.œ

- ) 23 1 œ . ) %Þ&#<+. œ

Z E

Respuesta "Ñ +)$Î %1 ) Î$'1 -"$ /)$ Î# 1 1Ñ #1

,&Î "# ) 1 )1 . 0 Ñ "* Î")1

#) 9 +#%! ) 9 - )"#! /Ñ *! 9

,"&!) . #&)ß ) *

9

9

0 Ñ "#$ß #

9

Resumiendo: Los ángulos más usados y sus equivalentes se muestran en la circunferencia siguiente

142



ANGULOS COTERMINALES

¿Qué pasa si un ángulo es mayor a 360 º ( #1 ) o es negativo? En estos casos recurriremos a otro concepto en ángulos y que es muy útil, el de los ángulo Coterminales . Se llaman Angulos Coterminales a aquellos que tiene los mismos lados inicial y terminal, y por lo tanto tiene las mismas características. Estos ángulos siempre tienen medidas de grados que difieren en un múltiplo de 360º. MÑ

Si el ángulo es mayor $'! a

9

Los ángulo "!&! º y $$! º son coterminales ya que tiene los mismos lados inicial y terminal. Esto se puede ver más facilmente haciendo unos cálculos previos. Como el ángulo "!&! º es mayor que 360 º , restamos a éste un múltiplo de 360 º de la siguiente forma º "!&! 2

MM Ñ

º $$!  º † $'! œ

Si el ángulo es negativo

Los ángulo $! º y$$! º son coterminales , ya  que$$! º tiene una rotación negativa y para determinar su ángulo coterminal le sumamos un múltiplo de $'! º, porque si le restáramos un múltiplio de $'! º el valor absoluto del ángulo sería mas grande. +º$ $! º "† º$'! œ $!

¿Y si el ángulo está dado en radianes ?... Se suma o resta a éste un múltiplo de 2 1, según sea el caso.

143



Ejemplo Determine un ángulo coterminal a

Z E

15 1 7

Como este ángulo es mayor a 2 1 le restamos esta rotación 15 1 1  21 œ 7 (

Resumiendo : a ) Si un ángulo es mayor a 360 º , como en el ejemplo 1, le restamosun múltiplo de 360 º (o un múltiplo de 2 1). b) Si un ángulo es negativo, como en el ejemplo 2, le sumamosun múltiplo de 360 º (o un múltiplo de 2 1). Ejercicios Determine el ángulo coterminal de los siguientes ángulos , exprese este ángulo entre 0º y 360 º o bien entre 0 y #1, según se pida. 500 º "Ñ

900 #Ñ º œ

œ

$Ñ 5 1œ &Ñ &"$! 9 (Ñ

9

%Ñ %&!

"$1 œ #

9

'Ñ *&

&1 #

)Ñ 

) 3 720° *

) 1 935° "!

) 2 040° ""

"#) 3 150°

) –200°"$

) "% –820

Respuesta 9

"Ñ"%! #Ñ *! 9 $Ñ")! &Ñ 1 'Ñ Î#1 (Ñ #(! 9 9 9 "$Ñ"'! "!Ñ"$& 9""Ñ#%! "#Ñ#(! "%Ñ #'!9

º

144

%Ñ #'& *Ñ "#!

9 9



ANGULO EN POSICIÓN ESTANDAR En un sistema de coordenadas rectangulares se dice que un ángulo está en posición estándarsi su vértice está en el srcen y el lado inicial en el eje positivo de las Bcomo se muestra en la figura Þ

Si el lado terminal de un ángulo en posición estándar coincide con un eje coordenado, el ángulo se denomina ángulo cuadrantal. Si el lado terminal no coincide con un eje coordenado, entonces el ángulo se menciona en términos del cuadrante en el cual está el lado terminal. Por ejemplo

Ejemplo :Algunos ángulos del primer cuadrante son 30 º, 60 º,  350 º Algunos ángulos del segundo cuadrante son 95 º, Algunos ángulos del tercer cuadrante son 230 º, Algunos ángulos del cuarto cuadrante son 300 º, Ejercicios Determine en qué cuadrantes se encuentran los siguientes ángulos a) 152 o œ b) 33 o œ c)  75 o œ

d) 301 o

145

5 61 10 91 111 6



Z E

Respuesta a) 152 o esté en el II cuadrante b) 33 o está en el I cuadrante 9 o c)  75 oœ  75$'! œ#)&

d) 301

o

9 está

Z en el I

cuadrante

está en el I Z cuadrante

Una de las

Aplicaciones de los Angulos dados en se radianes refiere a la

velocidad .angular

Observe que cuando una rueda gira alrededor de su eje a una velocidad constante, el número de radianes que se recorre por unidad de tiempo un radio fijo sobre la rueda se denomina velocidad angular de la rueda. La letra griega =(omega) con frecuencia se usa para denotar la velocidad angular (en radianes ). Si una rueda de radio r unidades gira sin patinar siguiendo una trayectoria recta, entonces la velocidad en el centro está dada por la fórmula. @ es velocidad lineal @ œ <Þ =

Ejemplo: Una correa de transmisión conecta una polea de radio 2 pulgadas con otra de radio de 5 pulgadas. Si la polea mayor gira 10 radianes. ¿Cuántos radianes girará la más pequeña ?

Respuesta

Cuando la polea mayor gira 10 radianes , el punto P sobre la circunferencia mayor se moverá la misma distancia ( longitud de arco ). Para la polea mayor los datos son , < œ & pulgadas = œ "! radianes

luego @ œ &Þ"! @ œ &! pulgadas Entonces para la rueda menor se tienen los siguientes datos

146



@ œ &! pulgadas < œ # pulgadas A œ ? Aœ

@ ÊA œ <

&! œ #& #

radianes

Por lo tanto la polea menor girará #&radianes

Ejercicios "Ñ La rueda delantera de una bicicleta tiene un diámetro de 40 cm y la trasera 60 cm. ¿Qué ángulo en radianes gira la rueda delantera, si la trasera gira 8 radianes?. Suponga que la rueda de un automovil tiene un diámetro "Þ& pies, cuya frecuencia es de 1600 #Ñ rpm (revoluciones por minutos) a) Encuentre la velocidad angular de la rueda b) Encuentre la velocidad lineal de un punto T de la periferia de la rueda

$Ñ

Sea el siguiente winche de diametro 3 pies a) Determine el desplazamiento de la carga de levante si la velocidad angular es (1Î% b) Encuentre el ángulo de rotación (en radianes) del winche para el desplazamiento anterior.

147



Z E Respuesta 1) 12 #Ñ +) La rueda gira un ángulo de #1 en un minuto. El ángulo generado por la línea ( ST centro S de la rueda) es Aœ Ð"'!!Ñ # œ $#!! 1 rpm.1 b) @ œ < Þ A @ œ !Þ(& Ð$#!! Ñ1œ #%!! 1 pies/m Þ $Ñ

+Ñ @œ#" Î)1

Aœ#" Î"# 1

Funciones trigonométricas de un ángulo en posición estándar o normal Para definir las funciones trigonométricas de un ángulo !, primero se coloca a éste en posición estándar y después se selecciona un punto P(x,y) sobre el lado final del recorrido, así como se muestra en la figura.

Definición : Suponga que el ángulo ! está en posición normal y además que P(x,y) es un punto sobre el lado terminal de !. Si denotamos la distancia OP como < . Entonces se definen las seis funciones trigonométricas en función de la abscisa x y la ordenada y.

148



El

coseno de ! se define como la razón , B
El

seno de ! se define como la razón

,C
La tangente de !se define como la razón

La cosecante de se !define como la razón !

La secante dese define como la razón

! œ

C <

esBC decir, tan = ! ß esBCdecir, ß

se !define como la razón La cotangente de

esC
C B

cot

! œ

cosec

<

esB ßdecir, sec

B <

! œ

! œ

B C

! œ

< C

< B

SIGNOS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS SEGUN EL CUADRANTE Los signos de las Funciones Trigonométricas depende 8del cuadrante donde se encuentren . Así - Primer Cuadrante

En el primer cuadrante, vemos que: el cateto adyacente se ubica sobre el eje \ , así que lo denominaremos "B"; al cateto opuesto, que se ubica sobre el eje ] , lo llamaremos " C". La hipotenusa, que es el radio de la circunferencia, la designaremos " <". Ya que " B", " C", " <", son positivas, entonces, Todas las funciones trigonométricas en el primer cuadrante son positivas.

149



Segundo Cuadrante

En el segundo cuadrante, el cateto adyacente cae sobre el eje negativo de las \ , mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje positivo de las ] . El radio (la hipotenusa) sigue siendo positiva en todos los cuadrantes. Por lo tanto: el seno y la cosecante son positivas y el coseno, la tangente y sus recíprocas (secante y cotangente) tienen resultados negativos.

Tercer Cuadrante

En el tercer cuadrante, tanto el cateto adyacente como el cateto opuesto tienen sus signos negativos, ya que caen sobre la parte negativa de los ejes \ e ] respectivamente. En este caso la tangente y la cotangente son positivas. El seno y el coseno ( y sus recíprocas, cosecante y secante ) son Negativas

Cuarto Cuadrante

En el cuarto cuadrante, el cateto adyacente vuelve a estar sobre el eje positivo de las X, mientras que el cateto opuesto sigue sobre el eje negativo de las y. En este caso, las únicas funciones cuyo resultado será positivo son el coseno y la secante.

150



Z E Por lo tanto, Consideramos un círculo de radio “ <” dividido en cuatro cuadrantesMM MMM M( , , y MZ ) por un sistema rectangular de coordenadas cuyo srcen se hace coincidir con el centro del círculo. Sea un ángulo ! medido desde el semieje horizontal positivo en sentido antihorario. Las proyecciones rectangulares del lado terminal determinan en cada cuadrante un triángulo rectángulo de hipotenusa "
Usaremos las definiciones anteriormente vista de la Funciones Trigonométricas y las llevaremos a un triángulo rectángulo,como se ve en la figura. Observe que los catetos adyacentes y opuestos varían según sea la ubicación del ángulo :

Para ! El

opuesto , es decir, sen seno de ! œ cateto hipotenusa cateto adyacente El coseno de ! œ , es decir, cos hipotenusa

151

! œ +

-

! œ

, -



La La

tangente de ! œ

cateto opuesto esdecir,ß tan = cateto adyacente

cotangente de ! œ

!

cateto adyacente es decir, cot ß cateto opuesto

+ , ! œ

hipotenusa La cosecante de ! œ es decir, cosec ß cateto opuesto

+

! œ

hipotenusa La secante deœ!es decir, ß =/- œ cateto adyacente

!

, +

,

Ejemplo Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas, si el punto P(  $ß%Ñ pertenece al lado terminal del ángulo asociado.

El triángulo de referencia es :

Para encontrar c, lo determinamos a través del Teorema de Pitágoras. + #  , #œ - # % #  $ #œ - # "'  * œ - # #& œ- # & œ -

sen ! œ

% &

cos ! œ

tang ! œ

% $

cotang ! œ

cosec ! œ

& %

sec ! œ

152

$ &

& $

$ %



Pero a cada función hay que llevarla al cuadrante , en este caso el tercero, por lo tanto, van a cambiar de signo todos excepto la tangente y la cotangente % &

sen ! œ tang ! œ

$ &

 œ cos !

% $

cotang ! œ & %

cosec !œ

$ %

& $

œ sec !

Ejercicios Encuentre el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas, si los puntos P pertenecen al MÑ lado terminal del ángulo asociado. a) TÐ" ß  $Ñ

,Ñ T Ð#ß &Ñ

c) TÐ&ß  #Ñ

.Ñ T Ð  $ß'Ñ

MMÑ +Ñ Sabiendo que=/8 !œ%Î& del segundo cuadrante.

, calcule las demás razones trigonométricas de ! sabiendo que es un ángulo

,Ñ Sabiendo que-9= ! = "Î# , sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de !, sabiendo que ! es un ángulo del segundo cuadrante. MMMÑ Calcule las siguientes expresiones:

)

+ &- 9= !#= !/8si !  -9>1 !ß

=/8

œ !ß'

)

, #= /8 ! -9= ! si #! 9=/! ß

=/-

œ#

Respuesta I) $ +Ñ =/8 ! œ  ß"!

È

È ß =/"! $

-9=/- ! œ  ,Ñ =/8 ! œ

Èß

-9=/- ! œ -Ñ =/8 ! œ 

& #* #* &

Èß

-9=/- ! œ 

# #*

È

#

! œ

È Èß -9>+81

& # # &

œ!

& ß >+81 œ !

# &

#* #*

&

" $

œ!

# ß >+81 œ !

#*

Èß -9>+81

-9= œ! #* #

È

"! ß -9>+81

#*

!œ

È ß =/-

"!

!œ 

-9= œ!

È ß =/-

È

" ß >+81 œ $!

-9= œ! 

œ!

153

& #



-9= œ ! ßÈ >+81 Èß È ß =/- !œ  Èß -9>+81 -9=/- ! œ

.Ñ =/8 ! œ

' %&

$

%&

%& '

%&

$

Z E

œ !# " #

œ!

MMMÑ +)

=/8 œ ! ß

-9=/- !œ ,)

=/8 œ !

% &

È

ß

-9=/- !œ MZ Ñ

$ >+81 œ &

-9= œ ß! & %ß

=/-

$

œ!  ß

# ß $

È

$ %

-9>+81 œ  !

" >+81 œ  $ #

-9= œ  !ß

#

& $

=/- œ ! #ß

!

% $

!

È

-9>+81 œ  !

"

È

$

+Ñ %ß"$ $$ÞÞ ,Ñ  !ß!(( $&

Como consecuencia inmediata de estas definiciones, se obtienen las relaciones llamadas también recíprocas.

=/8 ! =

1 -9=/- !

1 >+1 ! = -9>1 ! 1 =/- ! = -9= !

!=

-9= -9=/-9>1

=/-

!=

>+1

!

1

=/8

!=

1

!

1 !

Supongamos que necesitamos determinar un ángulo conociendo sólo el valor de él a través de una función trigonométrica. Por ejemplo , usted sabe que =/8 ) œ !ß )%)

154



Z E Para determinarlo usted debe hacer uso de su calculadora científica y usar la función INV de ella. Pero OJO, fíjese si esta está en modo radradianes Ð ) o

deg(grados sexagesimales

Ejemplo =/8 ) œ !ß )%) Ê

INV

) œ &(ß** 9 = )1, 012 <+.

en deg : en rad: Ejercicios

Determine el ángulo )si se sabe que determine el ángulo en radianes y en grados sexagesimales, Ð 2 decimales aproximados) "Þ 

-9= )œ  !ß *%!

'Þ  -9>+1 œ#ß)"&

#Þ 

>+81 )œ  #ß (%(

(Þ  =/- œ $ß) "'

$Þ 

-9=/- ) œ "ß" &&

%Þ 

=/8 ) œ !ß* *'

&Þ  -9=/- ) œ "ß"#

Respuesta "Þ 

9

)œ '!1 ) œ#ß (* <+.

$Þ 

9

œ'! )

œ ) "ß !& <+.

9

9

#Þ 

) )œ#*!  "ß## <+.

%Þ  )œ "ß œ)& %))<+.

&Þ 

9 )œ'$ ) œ"Þ"! <+.

9 'Þ  œ#& ) œ ) !ß %$ <+.

155



(Þ

) œ ("ß & 9 ) œ "Þ#&

Problemas con enunciado usando como referencia un Triángulo Rectángulo Para encontrar un lado de un triángulo rectángulo cuando se conocen un ángulo y un lado, pueden utilizarse las funciones trigonométricas: una función y su recíproco . Al utilizar la calculadora se eligen las funciones seno, coseno y tangente, ya que estas funciones están representadas en las teclas de ella. Ejemplo:

Sabiendo que >+1'! ! œ

2 $%!

>+1 '! ! † $%! œ 2 2 œ &))ß*-7

Ejemplo Un cable de sujeción, se amarra a 12 m de la base de un mástil, y el cable forma un ángulo de 15 con el suelo¿Cuánto mide dicho cable?

Determinamos el valor de B a través de sen 15 o = y obtenemos

B œ %'ß$'%%

156

"# BÞ

Despejamos B

o



ANGULOS DE ELEVACION Y DE DEPRESION

Un ángulo de depresión es aquel que se forma desde la línea de vista horizontal del observador, hasta un objeto abajo de ésta. Un ángulo de elevación es aquel que se forma sobre la horizontal y el objeto que se observa.

Ejercicios

") edificiolaproyecta sombra de 150m. cuando el sol forma un ángulo de 20º 30' sobre el horizonte,Uncalcular altura deluna edificio.

Un árbol de 100 pies de altura proyecta una sombra de 120 pies de longitud. Encuentre el ángulo de #Ñ elevación del sol $) Una escalera está apoyada contra la pared de un edificio y su base se encuentra a una distancia de 12 pies del edificio. ¿A qué altura está el extremo superior de la escalera y cuál es la longitud si el ángulo que forma con el suelo es de 70 o ?

De lo alto de un faro, de 120 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión de un bote es de 15 o . %) ¿A qué distancia está el bote del faro? &) Encuentre la altura de un árbol, si el ángulo de elevación de su parte superior cambia de 20 0 a 40 o cuando el observador avanza 75 m hacia la base de este.


Un hombre maneja 500 m a lo largo de un camino inclinado 20 o con respecto a la horizontal. ¿A qué ') altura se encuentra con respecto al punto de partida? () Un árbol quebrado por el viento forma un triángulo rectángulo con el suelo. Si la parte quebrada hace un ángulo de 50º con el suelo y si la copa del árbol esta ahora a 6 metros de su base. ¿Qué altura tenía el árbol?.

157


)) Dos edificios de cubierta plana distan 18 metros. Del techo del más bajo de 12 metros de alto, el ángulo de elevación del borde del techo del más alto es de 40º. ¿ Cuál es la altura del edificio mas alto.?

Dos caminos rectos se cortan bajo un ángulo de 75º . Hallar la mínima distancia de uno de ellos a *Ñ una estación de gasolina que está sobre el otro camino a 300 metros de la encrucijada. "!Ñ Desde un punto A en la orilla de un río se ve un árbol justo enfrente. Si caminamos 100 metros río abajo, por la orilla recta del río, llegamos a un punto B desde el que se ve el pino formando un ángulo de 30º con nuestra orilla. calcular la anchura del río (ver figura) "")

Desde un punto se observa un edificio cuya parte más alta forma con el suelo un ángulo de 30º, si

avanzamos 30 metros, el ángulo pasa a ser de 45º. Calcular la altura del edificio. "#Ñ Un aeroplano parte de un aeródramo elevándose , formando un ángulo de , 8 o 40 con la horizontal ¿a cuántos metros pasará de la cumbre de un cerro de 110 m situado a 1000 m del aeródramo? "$Ñ

Sobre un peñasco situado en la ribera de un río se encuentra una torre de 125 pies de altura. Desde lo alto de la torre, el ángulo de depresión de un punto situado en ß la orilla opuesta es #)9%! y desde la base de la torre el ángulo de depresión del ß mismo punto es ")9#! Þ Calcule cuánto mide el ancho del río y la altura del peñasco.

14)

Un piloto mide los angulos de depresión de dos barcos los cuales son %!9 y &# 9 Si el piloto está volando a una altura de $& !!!pies. Encuentre la distancia entre los dos barcos.

Respuesta

158



"Ñ

#Ñ $Ñ %) &Ñ 'Ñ (Ñ )Ñ *Ñ "!Ñ

Z E &'ß!)7 ! $*ß) altura del edificio$$ :3/= longitud de la escalera $&ß "# :3/= 2 œ %%(ß) 57 2 œ %)ß#7 2 œ "("7 La altura del árbol% es'de 1 , 8 metros. La altura del edificio mas alto es 27 metros. La mínima distancia es 291 metros.

""Ñ %"7

"#Ñ

$!ß&

"$Ñ

&)! :el río, "*# : el peñasco

159



14)

1003 p APLICACIONES DE LA TRIGONOMETRIA

Las razones trigonométricas se pueden utilizar, fundamentalmente, para resolver triángulos, así como para resolver diferentes situaciones problemáticas en otras ciencias. En Topografía se puede determinar la altura de un edificio, teniendo la base y el ángulo. Por ejemplo, la torre de Pisa, fue construida sobre una base de arena poco consistente; debido a ello ésta se apartaba cada vez más de su vertical. Originalmente tenía una altura de &%ß ' m, aproximadamente. En"**! un observador situado a %' m del centro de la base de la torre, determinó un ángulo de elevación de &%º a la punta de la torre, el observador para determinar al desplazamiento ( hundimiento en el suelo es muy pequeño, comparado con la altura de la torre) aplicó la ley del seno para determinar el ángulo de inclinación y la ley del coseno para determinar el desplazamiento de la torre. En Óptica, la trigonometría se aplica en las dispersiones en prisma o cuando un rayo de luz atraviesa una placa de cierto material. En la Aviación, si dos aviones parten de una base aérea a la misma velocidad formando un ángulo y siguiendo en trayectorias rectas, se puede determinar la distancia que se encuentran entre los mismos. El capitán de un barco puede determinar el rumbo equivocado del barco, siempre en línea recta, ordenando modificar el rumbo en grado para dirigirse directamente al punto destino correcto. Volvamos ahora a la circunferencia. En la figura que se muestra a continuación, el círculo tiene un radio de 1unidad .

Usando semejanza de triángulo se puede observar que los triángulos A B´C´ y ABC son semejantes,por lo tanto no existe diferencia en cuanto al lugar del lado terminal del ángulo en que se aleja P . Usando este concepto definimos las funciones trigonométricas seno y coseno de la siguiente forma: Como < œ " entonces sen

=

!

yC

-9=x œ !

De aquí podemos ver que el sen ! el círculo unitario.

y -9= ! son iguales a las coordenadas x e y del punto en

Es decir, T ÐBßCÑ œ TÐ-9 = !ß =/8 !Ñ Angulos Cuadrantales

160



Un ángulo cuadrantal es aquel en el cual el lado terminal del ángulo coincide con un eje del sistema cartesiano. Estos ángulos son 0 º , *! º , ")! º,# (! º y$'! º en grados sexagesimales o bien entre 0 , 21 , 1 , 32 1 y # 1 en radianes. Coordenadas de puntos en un círculo unitario Sea una circunferencia de ecuación B 2+ C 2= 1, de centro el srcen y radio una unidad , entonces podemos asignar un punto P ( Bß C) en la circunferencia.

Los ángulos cuadrantales los hacemos coincidir con lo ejes:

La tabla que resulta con los datos dados es: ángulo ! º ángulo ! 0º=360 00 1 90 º 2 º 180 1 3 270 º 21

rad cos! !tang sec cotang ! ! sen ! ! cosec 0 1 0 indeterm. 1 indeterm. 1 0 indeterm. 1 indeterm. 0 0 " 0 indeterm. " indeterm. indeterm. " indeterm.0 " !

Angulos especiales : º, $! º %& y º '! Existen algunos ángulos especiales que mediante nociones geométricas simple permiten encontrar los valores exactos de las funciones trigonométricas. Estos ángulos son $!º, %&º y '!º correspondientes a los números 1 1 1 , , respectivamente. 6 4 3 En la siguiente figura se muestra un ángulo de 30 º en posición estándar Por conveniencia, el punto T sobre el lado final del ángulo se tomó a una distancia de 2 unidades del srcen. Como el sector es parte de un cuarto de circunferencia se ve claramente que el radio de esta es 2.

161



El triángulo que así se forma es rectángulo y por Teorema de Pitágoras podemos determinar todos los lados de él. B #  C #œ < # B ##  " œ # # B " œ % B# œ $ B œ $

È

Completando el triángulo con los datos encontrados, tenemos

Usando las definiciones de las funciones trigonométricas determinadas anteriormente tenemos que : cos

º $! cos œ

sen 30 º = sen

È

1 œ 6 1

6

$

#

œ

" #

Para un ángulo de 60 º se utiliza el mismo hecho geométrico

En la figura se muestra un ángulo de 45 º en posición estándar. El triángulo rectángulo correspondiente es isosceles de lado 1 unidad de modo que se puede asociar el punto P ( "ß"Ñ como el punto P sobre el lado final. Encontraremos el radio r de la circunferencia a través del Teorema de Pitágoras.

162



Z E

B #  C #œ < # " " <= # # œ <# # œ <

È

Completando el triángulo

De aquí se tiene que: cos 45 º

cos œ

=

1

%

" y 2

È

sen 45º

senœ =

1

%

"

È

2

Resumiendo Completaremos la siguiente tabla con las seis funciones trigonométricas para los ángulos de $!º, '! ºy %&º.

Ejercicios Sin usar calculadora, demuestre las siguientes igualdades 1

+Ñ %= /8  '

È

#- 9=

1

 -9= œ 1# %

163



È

,Ñ # $= /8

#1 1  %= /8  #= /8 $ '

1

œ$ $

¿Pero podemos usar esta información para d eterminar otros ángulos ? Sí, pero para ésto es necesario conocer otro concepto, que es el de ángulo de referencia y el cual definiremos a continuación. Angulos de referencia Para encontrar las funciones trigonométricas para un ángulo cualquiera, se usa un ángulo de referencia del primer cuadrante, agudo y positivo, el cuál considera el lado inicial con el semieje positivo de las X y el lado terminal queda en el primer cuadranre. Este ángulo se asocia a un triángulo de referencia que es rectángulo.

Este ángulo es de referencia para los siguientes ángulos:

Ejemplo 1 Use un ángulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonométricas para º."$& Respuesta El ángulo de 135 º es un ángulo del segundo cuadrante, por lo tanto el ángulo de referencia a utilizar es el de 45 º, ya que 180 º - 135 º

œ 45 º

164



Z E Por lo tanto determinaremos las seis funciones trigonométricas para el ángulo de 45 º , pero recuerde , el ángulo 135" º está en el segundo cuadrante, y ésto incide en el signo de la función. =/8 45º œ Ê=/8"$& 9 = "2 2 45º

-9=

œ

45 >+1

=o1

È È "

2

È

Ê=-9= "$&

È È

cosec 45 =o 2 o2

"

2

Ê>+1135 = o1 o

-9>1% & 9 œ " 135 Ê -9>+1 = 1

45 =/-=

È

9

È È

Ê cosec 135 = o 2

Ê=/135 = o 2

Ejemplo 2 Use un ángulo de referencia para encontrar las seis funciones trigonométricas para

930 º

Respuesta: Se observa que el ángulo de 930 º es mayor que 360 º, luego se le debe restar a éste cualquier entero múltiplo de 360 º , sin alterar el valor de las funciones trigonometricas. 930 º

2 . 360 º

œ210 º

El ángulo de 210 º se encuentra en el III cuadrante

El ángulo de referencia es el de 30 º ya que 210 º  180 ºœ$! luego las seis funciones trigonométricas son para este ángulo son =/8 $! ! œ "#ß

Èß

$

$

-9>+1$ ! œ!

-9= $! œ!

-9=/-$ ! !œ #ß = /-$ ! !œ

#

#

Èß $

È

>+81 $! œ !

165

È

$

$ $



cambiamos los signelos C

Pero como el cuadrante en el cual trabajamos es el tercero entonces ángulo srcinal =/8# "! ! œ  "#ß

Èß

!  -9=# "! œ

-9=/-# "! !œ  #ß

$

>+81# "! œ

# #

!  =/-# "! œ

Èß -9>+1# "! œ $

$

È

$ $

!

!

$

È

Ejercicios En los siguientes ejercicios, encuentre el ángulo de referencia y determine las seis funciones ! "Ñ trigonométricas . +Ñ $!! º= ,Ñ  $" & o = -Ñ#%! 9 = .Ñ"#! 9 == /Ñ  $!! 9 = 0Ñ$"& 9 = #Ñ

Hallar el valor exacto de estas expresioes, usando ángulos de referencia +Ñ= /8

&1 $1 (1 - 9= = /8 % % %

,Ñ- 9= &$1 > +1

È

1

%1 (1 $ > +1 '

1

1

È

È

1

-Ñ $- 9= = /8  #- 9=  # $= /8 ' ' % $

Respuesta +Ñ Angulo de referencia :'!

Èß

$

=/8$ !! ! œ 

Èß #

! =/-$ !! œ #ß -9>+1$ !! œ ! 

$

Angulo ,Ñ de referencia %& =/8 %& ! œ -9=/- %& !œ #Ñ

+Ñ

È

#

#

Èß #

Èß

9

Èß

-9= %& œ!

#

ß "# >+81$ !! œ ! $

-9=$ !! œ!

#

-9=/-$ !! !œ 

9

#

#

#

>+81 %& œ "!

=/-% & œ!

#

,Ñ

$ %$ '

È

È

ß # # -9>+1 %& œ "!

-Ñ #

166

È È

"$



FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS FUNCION SENO


FUNCION COSENO

FUNCION TANGENTE

167


Recuerde que para hacer la gráfica de una función cualquiera, se construye primero una tabla de valores de los pares ordenados asociados ( B ß C ), después se marcan los puntos correspondientes y por último se unen los puntos con una curva suave. ¿Qué pasa con las funciones trigonométricas?

Z E

¿y será necesario graficar toda la curva para así determinar su forma?

No, ya que estas curvas son continuas uniforme , es decir, periódicas y cada periodo recibe el nombre de un ciclo y basta con saber las caracteristicas de este ciclo. FUNCION SENO

¿Cuál es un ciclo de la función seno ? Si usted mira cuidadosamente, puede observar que un ciclo corresponde a un tramo entre los puntos ( !ß ! Ñ y#(!ß Ñ1 y el punto medio de él es elÐßpunto !ÑÞ 1

Ahora, resumiremos las propiedades de la función seno a través de un ciclo de la función. 1) 2) $Ñ %Ñ

La función seno es periódica, con periodo #1 Para cualquier valor dado a x, la solución se encuentra entre [ "ß"ÓÞ E l seno de x es igual a cero c uando 9œ! xœ x 1 El seno es una función impar, por lo tanto, su gráfica es simétrica con respecto al srcen. sen (  x ) = sen  x 1

&Ñ 6)

3

2 2 laLa función decrece funciónseno crece entre 0entre y 12 C y$221 11

Toda función real de la forma

168



con a , b , c y d−

0Ð B Ñ œ +=/8Ð,B- Ñ .

‘

Z E

se llama función SINUSOIDAL O SINUSOIDE ¿Cambia el gráfico según sea el valor de "a", "b", "c" o "d" ? Si, y veremos cada uno de los casos 1 º CASO Si -œ.œ!

, entonces , la función toma la forma 0 Ð B Ñœ+ =/8 , B Como y = sen x es periódica, de periodo 2 1 y su gráfico tiene la mayor ordenada que es 1,

cuando la función 0 ÐBÑœ+ =/8 ,B Bœ „1# # 5 , entonces, 1

, suponiendo que !a

y! b 

es también periódica repitiéndose cada vez que ,B bvaría en una longitud 2 1 , es decir, cuando x varía en una longitud 2b1 . Su periódo es entonces 2b1 ww +ww es la mayor ordenada o máximo de la función y se llama amplitud de la función ! Si + , el ciclo comienza \ sobre el eje !ßSi + el ciclo comienza abajo \ del eje

Ejemplo 1 Sea la función

Graficar C œ $= /8 .1#B

Respuesta +  ejercicio ! Amplitud: 2:1 + œ, $ßen este Periodo ,œ b

1

#

luego el periodo es 4

ì Conviene graficar en el eje positivo de las x ì Los extremos son ( !ß !Ñ y (%ß !Ñ de un periódo ì El punto medio es#(ß !Ñ de un periódo 0ß #ß !Ñ y (ß ì El valor máximo lo toma en el punto medio entre ( !Ñ ì La gráfica pasa por le punto "ß $( Ñ

es Ð "ßdecir !Ñ

¡¡ OJO !! Como la función seno es impar , se tiene que: el gráfico de C œ += /8Ð  ,B Ñ œ  += /8Ð, entonces ,BÑ Cœ $ =/8 Bes 1#el simétrico del de

169

$ =/8Ð  BÑ

1

#



Z E

Observe los gráficos siguientes

¿Qué puede decir de ellos?. ¿En qué se diferencian 0ÐByÑ 1ÐBÑ ? 2 º CASO Si .œ!

, entonces , la función toma la forma0 Ð B Ñœ+ =/8 Ð, B- Ñ El gráfico de esta función es similar al de 0ÐBÑ œ + =/8 ,B

0ÐBÑ œ !

cuando despejamos ,B  - œ x!ß B œ 

,

Este valor recibe el nombre de FASE y representa el número de unidades que se debe trasladar el gráfico de C œ += /8 (,B + c ) a lo largo del eje x, para obtener el gráfico de l a función. Esta traslación también se llama desplazamiento horizontal. Si si

,

 ! , la traslación es hacia la izquierda

,

 !, la traslación es hacia la derecha

Ejemplo 2 Graficar C œ #= /8Ð#B  1Ñ Respuesta Amplitud + œ # Periodo : 2b1 , en este ejercicio , œ 2 luego el periodo es 1 Fase: #B  1 œ ! #B œ 1 como este valor es positivo, la traslación es hacia la derecha B œ 1#

170



En el gráfico , la línea continua muestra el periódo que se repite a lo largo de todo el eje. Ejemplo Grafique

=/8ÐB  1Ñ

Respuesta Amplitud : + œ " Periodo : 2b1 , en este ejercicio "œ, Fase B  1œ! B œ 1

luego el #periodo es 1

Gráfico

3 º CASO Si lafuncióntomalaforma

0Ð B Ñ œ +=/8Ð,B- Ñ .

con a,b,c y d

El valor de "d" traslada el gráfico en forma vertical Si .  !, el gráfico se desplaza hacia arriba d unidades Si .  !ß el gráfico se desplaza hacia abajo d unidades

171

−

‘



Ejemplo Graficar C œ  #= /8Ð#B  1 Ñ $ Respuesta Amplitud : + œ # Periodo : 2b1 , en este ejercicio , œ # luego el periodo es 1 Como +  ! , el gráfico igual al anterior , pero es simétrico a él.

Ejemplo Grafique C œ "  =/8B

Respuesta Amplitud : + œ " Periodo : 2b1 , en este ejercicio "œ, luego el #periodo es 1 Esta función es similar a la de C œ =/8B , pero se traslada 1 unidad hacia arriba

172



Ejercicios

Z E

Grafique las siguientes funciones a) C œ #=/8$B ,Ñ C œ $=/ 8 Ð#B 

1

Ñ #

-ÑC œ $ =/8# B .Ñ Cœ 2 senB"# /Ñ En la figura se muestra el encefalograma de un cerebro humano durante un sueño profundo. Las ondas [ que se registran corresponde a la función[œ+ =/8 Ð,B-ÑÞ ¿Cuál es el valor de ,

Respuesta

173



Z E

e) , œ #1

Otras formas de ecuaciones son... Función sinusoidal de la forma

0ÐBÑ œ +=/8B  ,-9=B

Para resolver las gráficas es conveniente estudiar el siguiente teorema Teorema : Para valores cualquiera de a , b y c existen números A y !tales que 7= /8- B  8-9 =- B œ E= /8Ð- B 

en donde E œ

È

7 # 8 ß

#

Ñ!

de aquí podemos resolver aún más la expresión , como sigue

174



È

Eœ + ,# +# E#

" œ



‰ˆ

# ,# E#

#

#

+, œ "  ß EE circunferencia unitaria , luego:

=/8 !œ

#

ÀE /

ˆ‰

, + por lo tanto el punto de E E coordenadas P

, E

-9= œ !

,

pertenece a la

+ E

La gráfica entonces corresponde a la función C œ E= /8Ð -B  !Ñ Ejemplo Graficar

0 ÐB Ñ œ # =/8 B  &-9 =B

Respuesta + œ # , œ & - œ "

È

luego E œ =/8 !œ

# # # & œ

Èß

& #*

È

#* ¸ &ß &*

œ') !

º

en radianes los 68 º se tranforman a  "Þ"* La fase es  "Þ"* Periodo #1 La gráfica es:

Ejemplo ./ aplicación Dos generadores de corriente alterna producen corrientes que vienen dadas, en función del tiempo por las ecuaciones

È

3 "œ $= /8" #! 1B 3 # œ  -9=" #! 1B

175



Si la corriente del segundo se añade a la del primero, determine las corrientes máximas, cuándo ocurre y la fase producida. Respuesta El total de corriente está dado por la ecuación 3 œ 3 " 3 #œ

È

È

$= /8" #! B1 -9=" #! B 1

+ œ $ , œ " - œ "#! 1

ÉÈ

Ð $ Ñ # Ð  " Ñ œ

È

#

%œ#

El punto P tiene coordenadas P

ŠÈ

Eœ

C"#

=/8 !œ 

-9= œ !

2,

‹

3

 "# Así Þ

È

3

2

por cualquiera de las dos formas trigonométricas es posible determinar el valor del ángulo. Como ! está en el IV cuadrante ! œ  1' Þ Por lo tanto el total de corriente puede representarse por la ecuación.

ˆ

A =/8Ð-B  !Ñ #= /8 "#! 1B 

‰

1

'

Se deduce que la corriente máxima es 2 y que la fase es: ÞÞÞÞ "#! 1B 

1

"#! 1 B œ

1

'œ ! ' 1

B œ

"#!Þ 1Þ'

B œ

" (#!

" unidades de tiempo. (#!

El valor máximo de i ocurre cuando x =

1 180+

Gráfico:

176

k 360,

5 −™



Z E

Ej/rcicios Construya la gráfica de: "Ñ


C œ =/8B  #- 9=B

#Ñ

C œ =/8B  -9=B

3Ñ

C œ = /8B  #- 9=B

Respuesta "Ñ + œ " , œ # - œ " Eœ

È

& ¸ #ß #$

=/8 ! œ

Èœ '$

, Eœ

# &

luego la función queda

È

º

È

E =/8Ð- B  !Ñ & =/ 8 Ð B  '$ º )

Amplitud œ & Fase : B  '$ º œ ! B œ  '$ º Desplazamiento a la izquierda

177


Z E $Ñ

RELACIONES BASICAS E IDENTIDADES Anteriormente habíamos visto algunas relaciones llamadas Recíprocas, ahora vamos a ver otras más y que nos servirán para el posterior desarrollo del curso.

Relaciones Recíprocas

178



Relaciones de cuocientes

Z E

Relaciones Pitagóricas 2

2

sen x + cos x = 1 2

2

1 + tag x = sec x 2

2

1 +cotag x = cosec x

Ejercicios Determine el valor de la siguiente expresión usando relaciones pitagóricas "Ñ #Ñ

SiBœ-9= E =/8yEœ Si=/8 "# ° = 0,2 y=/8$( cos +Ñ12° ,Ñtg 12°

C & , determine el valor numérico #& Bde C

#

#

° = 0,6, hallar (usando las fórmulas anteriores y sin usar calculadora) tg 37°. -Ñ cos 37° -Ñ

Respuesta "Ñ

#&

Con frecuencia es conveniente transformar o reducir una expresión dada que utilice funciones trigonométricas en otra función más sencilla.

Se llaman IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS a igualdades en las que aparecen expresiones trigonométricas y para las que ocurre que sea cual sea el valor de los ángulos siempre se verifican.

179



Una identidad trigonométrica se verifica transformando alguno de los lados de la igualdad, usando algunas de las identidades vistas anteriormente. Si la igualdad se verifica , entonces decimos que la expresión es una identidad, lo cual la cual se simboliza por " ´ "

Ejemplo Verifique la identidad >+81 B Þ - 9=B œ =/8 B Desarrollaremos el lado izquierdo para llegar al derecho B >+81 B Þ -9=B = =/8 -9=B Þ -9=B ´ =/8B

Por lo tanto

>+81 B Þ -9= B ´ =/8B

Ejercicios Demuestre que las siguientes igualdades son identidades "Ñ

=/- B =/8 ´ B -9>+81 B>+81 B

$Ñ

# =/8 C ´ ##-9= C " -9=C

&Ñ

# =/- # !Þ -9=/!

#

#

´ ! =/-# ! -9=/-

-9=/- #E  #-9= E ´ "# # -9= E- 9>1 E

(Ñ

" "  ´# =/-F "  =/8F "  =/8F >+8B  =/8B =/8 $B

*Ñ

"  =/8B ´ -9= B

%Ñ

'Ñ

)Ñ

=/8 B ´ "-9= B

#Ñ

´

#

=/-B "  -9= B

-9=EÞ-9>1E  =/8EÞ>+8E -9=/- E  =/- E

´"=/8 E Þ -9= E

180

"-9= B =/8 B -9=B " =/8 B



"!Ñ

=/8B  -9=B  " ´ =/8B  -9=B  "

=/8B  " -9=B

""Ñ

=/8B Þ= /- B ´ >+81B

"#Ñ

Ð"  -9=B ÑÐ "  =/- BÑ Þ-9 >+81B ´ =/8B

"$Ñ

=/8>  -9=/->

"%Ñ

# >+81 #BÞ-9 =/- BÞ9= B# ´ "

"&Ñ

"  =/- #> "-9=/- ># ´>+1>

"'Ñ

Ð>+1E  -9>1E Ñ #´ =/- E# -9=/- E#

Z E

-9=> ´" =/->

%

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE DOS ANGULOS 1)

FORMULAS PARA LA SUMA =/8 Ð ! " Ñ œ =/8 ! " -9= ! "-9=

=/8

-9= Ð ! " Ñ œ -9= ! " -9= !"=/8 =/8 >+81 !  >+81 " "  >+81 ! >+81 "

>+81 Ð !  "Ñ œ

2)

FORMULAS PARA LA DIFERENCIA ! " -9= ! "-9= =/8 =/8 Ð ! " Ñ œ =/8 -9= Ð ! " Ñ œ -9= ! " -9= !"=/8 =/8

>+81 !  >+81 " "  >+81 ! >+81 "

>+81 Ð !  "Ñ œ $Ñ

FORMULAS PARA EL DOBLE DE UN ANGULO =/8# ! œ =/8!Ð ! 

Ñœ ! =/8 ! -9= ! !  -9= ! =/8 !

-9= # ! œ -9= ! !-9= !!=/8 =/8 !

>+81 ! >+81 ! œ "  >+81 !>+81 !

>+81Ð ! Ñœ !

4)

œ!-9=

#

-9=

" #!œ

„

"  -9= !

ÊÊ

 =/8

#> +81 ! "  >+81 # !

FORMULAS PARA EL ANGULO MEDIO =/8 " ! œ „

œ #= /8

#

#

"  -9= ! #

181

#

-9=



>+81 "# ! œ„

Ê

"  -9= ! =/8 ! "  -9= œ œ "  -9= ! "  -9= ! =/8

!

=/8Ð% & 9  !Ñ = /8Ð% & 9 ! Ñœ

, utilice # =/8 ! la información dada

Ejemplo Compruebe que

!

È

Respuesta =/8Ð% & 9  !Ñ = /8Ð% & 9 Ñ! œ œ Ð=/8 %& 9-9= !!=/8 œ

È ÈÈ #

9

9 & Ñ  Ð=/8 9 -9=% ! !%& -9=

È

# ## # -9=  ! =/8 !  ! -9= ! ## #

 =/8

-9=% & Ñ

=/8

# œ # # =/8 !

È

1)

#Ñ

Ejercicios

Si sen 12° = 0,2 y sen 37° = 0,6, halla Calcule, a partir de ellas, ° +Ñ =/8 %* 25° ,Ñ =/8 ° utilizando las fórmulas dadas anetriormente Compruebe que #

+Ñ

>+81 !=/8# !œ #= /8

,Ñ

-9>+81 !=/8# !œ "  -9=#

-Ñ

"  -9=# ! œ-9>+81 =/8# !

.Ñ $Ñ +Ñ

-Ñ -9=%* 25°

! !

!

9 -9= ! œ =/8Ð ! $! Ñ  -9=Ð !'! Ñ

9

Verifique que -9=#B œ -9= B%  =/8 B %

182

.Ñ -9=



Z E

=/8 $B  -9= B $ =/8B  -9=B

,Ñ

" "#=/8 # B œ

-Ñ

1 + >+1B> +1# B œ =/-+#B

.Ñ

=/8ÐE  FÑ œ>+1 E>+1 F -9=E-9=F

/Ñ

-9=Ð + ,Ñ -9 =Ð + ,Ñ " œ =/8Ð+  ,Ñ  =/8 Ð+  ,Ñ >+1 +

0Ñ

#=/8+  =/8#+ œ "  -9=+ #=/8+  =/8#+ "  -9=+

1Ñ

#=/8+  =/8# + œ >+1 #=/8+  =/8# +

#+

#

FORMULA PARA LA SUMA Y DIFERENCIA DE ANGULOS "Ñ

#Ñ

PRODUCTO DE SENO Y COSENO =/8 ! -9= "

" œ Ò= /8Ð "  !Ñ " =/8Ð  ÑÓ #!

-9= ! =/8 "

" œ Ò= /8Ð "  !Ñ " =/8Ð  ÑÓ #!

-9= ! -9= "

" œ Ò"  Ñ! " -9= Ð  ÑÓ # !9=Ð

=/8 ! =/8 "

œ  Ò-"#!9=Ð "  !" Ñ  -9=Ð  ÑÓ

SUMA Y DIFERENCIA DE SENOS Y COSENOS " =/8E  = /8F œ #=/ 8 "#ÐE  FÑ-9 = ÐE #  FÑ

=/8E  = /8F œ #-9=

" #ÐE

"  FÑ= /8 ÐE #  FÑ

" -9=E  -9=F œ #-9 = "#ÐE  FÑ-9 = ÐE #  FÑ " -9=E  - 9=F œ  # =/8 "#ÐE  FÑ= /8 ÐE #  FÑ

Apliquemos estas igualdades en los siguientes ejercicios

183



Ejemplo " Exprese

o -9= 30

=/8 40

o como suma o diferencia de ángulos

Solución 40=/8

so30 -9=

o

œ Ò="# /8Ð %! 9 $!9 Ñ  =/8Ð9 %!9  $! ÑÓ œ

" 9 #Ò= /8( !

9  =/8" ! ÑÓ

Ejemplo 2 o =/8 50 + o =/8 40 como producto

Exprese Solución 50 =/8 +

o

40 =/8=

o

" 9 9 9 "9 9 9 #= /8 Ð& # !  %! Ñ- 9= Ð&# !  %! Ñ œ #= /8% & - 9=&

Ejemplo $ Si el seno de cierto ángulo vale  &Î(y se sabe que el ángulo pertenece$ al º cuadrante, calcular las razones trigonométricas del ángulo doble (para el =/8#! ß -9=# !ß >+1 # ! y del ángulo mitad de este ángulo. Solución Para aplicar las fórmulas del ángulo doble y del ángulo mitad necesitamos conocer el coseno y la tangente del ángulo. -9= ! œ 

È

" =/8

#!

(En esta fórmula consideramos el signo negativo de la raíz puesto que los ángulos del tercer cuadrante tienen coseno negativo) Tenemos así que el coseno vale

Aplicando las fórmulas dadas por la teoría: =/8# ! œ #= /8 -!9= !œ # †  † &( -9= # ! œ -9=

>+1 #!œ

#!  =/8

#>+1 ! œ "  >+1 # !

È

#% y >+1 œ! (

-9= !œ 

#% #&  œ %* %*

#! œ

# "

È ŠÈ ‹

&

È

#% œ (

È

"! # % %*

" %*

#% #% œ"! #% # &

È

& #% #%

#% #%

È

para el ángulo mitad tomamos en las fórmulas los signos convenientes (pertenecerá al segundo cuadrante)

184



Š‹ Ë

È

Ë È

Ë Í ˆ ‰ ÍÍ Ì

È

Ë È

=/8

!

#

"   ( #% ( œ # "%

œ

Š‹

"   ( #% ( œ # "%

!

-9= œ  #

>+1

!

# œ

#%

" "

Z E

#%

Ë ÈÈ

È È

 #% œ(   #% (

( (

#% #%

Ejercicios "Ñ

Exprese como suma o diferencia de ángulos

a)

-9="" !9 =/8 && 9

b)

-9= &! 9 -9= $& 9

-Ñ

=/8& & 9=/8% !

9

#Ñ Exprese como producto +Ñ

=/8( ! 9 =/8# !

9

,Ñ

-9=& & 9 -9=# &

9

-Ñ

-9=$ & 9 -9=( &

9

y se sabe que el ángulo pertenece al º cuadrante, $ÑSi el seno de cierto ángulo vale  #Î"! # calcular las razones trigonométricas del ángulo doble (para el =/8#! ß -9=# !ß >+1 # ! y del ángulo mitad de este ángulo. Demuestre %Ñ que =/8$ B  =/8B # (ref: use la fórmula de suma de senos) œ =/8$ B  =/8B "  >+1 B#

Respuesta "Ñ +)

" 9 9 #Ò =/8 "'&  =/8 &&

-Ñ

#" 9=* & 9 -9=" & Ó 9  Ò-

Ó

,

9)

9

" Ò -9= # )&  -9= "& Ó

#Ñ +Ñ

99

#- 9= %& =/8# &

,Ñ

99

#- 9= %! -9= "&

185



9

9

-Ñ  #= /8&& =/8 Ð  #! Ñ

TRIANGULOS NO RECTANGULOS Un triángulo no rectángulo o triángulo oblicuo, es aquel que no contiene un ángulo recto. En este tipo de triángulos, los tres ángulos son agudos, o bien dos de sus ángulos son agudos y uno obtuso.

Se ha convenido en llamar A, B y C a los ángulos y +ß , y - a los lados del triángulo. Anteriormente vimos como se resuelven problemas usando como referencia triángulos rectángulos, ahora resolveremos problemas usando cualquier tipo de triángulo. Resolver un triángulo, consiste en calcular todos sus elementos: sus tres lados y sus tres ángulos, para ésto es necesario conocer al menos tres de sus elementos, uno de los cuales necesariamente es un lado. LEY DE LOS SENOS esto es:

En cualquier triángulo ABC, la relación entre un lado y el seno del ángulo opuesto es constante;

Este teorema se aplica cuando en un triángulo dado se conocen:

186



Z E Veamos una aplicación de este teorema en cada uno de los casos dados Ejemplo Caso I ,

o y A= 112 20

En el triángulo ABC, a = 62.5,

,

o . Determine C = 42 10

B y los lados b y c

Respuesta Para encontrar B, se determina a través de la relación : la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180 o . o( 

B= 180

C+

, o "&%$!œ o #&$!

A)=180

9

ß

Para determinar los lados , y -lo hacemos a través del Teorema del Seno Para determinar + = =/8 A

62.5 =/8 112 20 o

,

, reemplazando ß se tiene =/8F ,

, = =/8 #&$!9

ß

,œ

187

62.5 =/8 Þ #&$! o 112 =/8 20

ß

9

œ#*Þ"

,



Para determinar

-

62.5 = 9 =/8 112 o 20 , =/8 %# "!

Z E

ß

ß

-œ

62.5 Þ=/8%# 9"! œ%&Þ% =/8 112 o 20 , B = 25 30o ,

Por lo tanto

,

= ,29.1

,

= 45.4 -

Ejemplo Caso II Dado el triángulo ABC, y los G lados

n G œ ")! 9 Ð

Para + = Para , =

y +

E

-= /8E =/8G

œ

= - #&,

A= $&

yo

F ')=

o . Determine

,

FÑ œ ((

9

#&= /8$ & 9 œ"& =/8( ( 9

-= /8F #&= /8' ) 9 œ œ #% =/8G =/8( ( 9

Ejemplo caso III

Dado en el triángulo ABC, -= 628.5, ,=480 , A y

B y el lado

,

o C= 55 10 . De termine

+

188



Respuesta

Z E

Orientación t

En navegación, la dirección marca el ángulo agudo que forma una recta con la recta norte- sur. En la figura se ilustra una orientación W%! 9S

Una orientación R' & o I

9 En la figura se muestran las coordenadas de U" :R# & I ß U #À R( ! Sß9 U$ À W%! S9 yU %À W&& I 9

189



Z E Ejercicios Represente en la figura 9 +Ñ W#!I

,Ñ R "&S

9

Respuesta

B: senB= A = 180 Para a =

o

,

0 ,sen G 480 sen 55 10 - = 628 =38

+ ( F

) = 86 G

500

o

,= /8E %)!= /8) ' 9 œ œ('% =/8F =/8$ ) 9&! ß

Ejercicios "Þ 

A

Resuelva el triángulo ABC dado que +œ$"Þ& ß,œ&"Þ)C Determine œ$$%! 9Þ

ß

-ß y

F

G

190



#Þ  Resuelva el triángulo ABC dado que

Determine :

,ß

yF

+œ&#&ß-œ%#" C

9

œ"$! A%!

GÞ

$Þ 

Sean A y B dos puntos localizados en las márgenes opuestas de un río. Desde ß A se traza una línea AC = #(& 7 y se miden los ángulos CAB ="#&%!ß 9 ß 9 ACB la longitud AB. œ %) &!Encuentre Þ

%Þ 

Un edificio está situado arriba de una colina con una pendiente de 15 de inclinación. El Sol está sobre el edificio con unángulo de elevación de 42 o. Encuentre la altura del edificio si éste proyecta una sombra de 36 pies de largo

&Þ 

Una torreuna forma un ángulo el plano inclinado sobre el cuál y desde distancia de 89de m 113 de su12 basecon medida hacia abajo del plano se veestá la , torre bajo un ángulo de 23 o27 . Clacular la altura de la torre Þ

'Þ 

Dos boyas están apartada por una distancia de 64,2 m y un bote está a 74,1 m de la más cercana. El ángulo que forman las dos visuales del bote a las boyas es de o , 27 18 ¿Qué distancia hay del bote a la boya más alejada?

o

o

(Þ 

ß

Z E

,

Un barco navega hacia el Este, cuando observa una luz con una orientación R '#I9 . Después de que el barco navega #&! 7> , la luz se encuentra a R%) 9IÞSi el curso se mantiene igual ¿Cuál será la menor distancia entre el barco y la luz?

)Þ  Un satélite que orbita alrededor de la tierra pasa sobre dos estaciones de observación, Phoenix y Los Angeles que estan a $%!millas una de otra. En 9 cierto instante los ángulos de elevación son '! y9 (& respectivamente. ¿A qué distancia se encuentra el satélite de la estación de Los Angeles?

Un barco B pide socorro y se reciben sus señales en dos estaciones de radio, *Ñ A y C, que distan entre sí 50 km. Desde las estaciones se miden los siguientes ángulos: BAC = %'9 y 9

BCA œ &$ . ¿A qué distancia de cada estación se encuentra el barco? 10) Para hallar la altura de un globo, realizamos las mediciones indicadas en la figura. ¿Cuánto dista el globo del punto A? ¿Cuánto del punto B? ¿A qué altura está el globo?

191



Z E Para localizar una emisora clandestina, dos receptores, A y B, que distan entre sí 10 km, orientan ""Ñ sus antenas hacia el punto donde está la emisora. Estas direcciones forman con AB ángulos de %! 9 y '& ! . ¿A qué distancia de A y B se encuentra la emisora?

Respuesta "Þ 

- œ &' ß

F œ '& %$

#Þ

, œ "%#Þ$( ß

$Þ 

EF œ #"&*ß*

%Þ 

La figura pedida es

ß9

F œ ""ß )(

ß9

y G œ )! $( 9

y

G œ $(ß %'

192

9



Usando el Teorema del Seno, &Þ

2 œ &"ß'7

'Þ

. œ "#!ß$7

(Þ

$%$7

)Þ 

2 œ #"Þ**:3/=

%"'73 66+=

*Þ  36,4 km

y

40,4 km

10.25,2 m 26,9 m 24,3 m 9,38 km dista de A ""Þ  6,65 km dista de B LEY DE LOS COSENOS En cualquier triángulo ABC, el cuadrado de cualquiera de sus lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos; esto es

Este teorema se aplica cuando en un triángulo dado se conocen:

El caso M lo resolverá usted cuando se de un ejercicio tipo, resolvamos un ejemplo MM del caso Ejemplo Caso

MM

Dado en el triángulo ABC, a = $!Þ$, ,= %!Þ% y c = 62.6

193



Z E Respuesta Podemos determinar cualquiera de los tres ángulos con los datos dados Determinemos

A

+#œ

=E

,

#-

# #, --9 

Despejamos ,# - # + œ # † ,† -

-9= Eœ

E œ #$ß'&

Para

#

"'$#ß" '  $*")ß( '  *")ß! * œ!ß *"' # † %!ß % † '#ß '

9

F:

-9=F œ !ß )%%( Ê

9

F œ $#ß$

Para determinar

: G

")! 9  Ð#$9ß'&9  $#ß$9 Ñ œ "#%ß !&

Por lo tanto: E œ #$ß '&

9

,

9

F œ $#ß $ ß

G

9

œ "#%ß!&

Ejercicios Determine los ángulos de un triángulo , si los lados son (ß'y *respectivamente Respuesta 9

E œ &!ß *) ß

9

F œ %"ß (& ß

194

9

G œ )(ß #(



Ejemplo Dos barcos parten de un puerto a las 7:00 a.m, uno viaja a 12 nudos (millas náuticas por hora) y elotro a 10 nudos. Si el barco más rápido mantiene una orientación de N47 o S y el otro barco mantiene una orientación de S20 o S, ¿Cuál es su separación (a la milla náutica más cercana) a las 11:00 a.m de ese mismo día? Respuesta Como el tiempo transcurridos es de 4 horas, tenemos que: la distanciaque recorre el barco más rápido es de 4 .12 = 48 millas náuticas del puerto y la distanciaque recorre el barco más lento 4.10 =40 millas náuticas. Usando estas distancias y las orientaciones dadas, podemos dibujar el triángulo que se muestra en la figura .

Sea c la distancia que separa los barcos a las 11:00 a.m. por Teorema del coseno, tenemos: - # œ %) # %! # #ÞÐ% )ÑÞÐ%! ÑÞ -9=G 9  9 #! 9 œ ""$ G œ ")! 9 %(

- œ ($ß&"

195



Z E

Ejercicios "Þ  Identifique las coordenadas de los puntos que se muestran en la figura

#Þ 

Resolver el triángulo en el que se conocen los siguientes & 7ß œdatos: + , œ % 7ß

G œ %(

º

$Þ  Resolver el triángulo en el que se conocen los siguientes#$ œ7ß + datos: º Fœ&$ ß º œC)%

4

En el mapa de un caminante el punto A queda a 2,5 pulgadas al oeste del punto B y el punto C queda a 3,5 pulgadas de B y a 4,2 pulgadas de A, respectivamente. Encuentre la orientación de A hacia C y la orientación de B hacia C. El dibujo sólo es referencial (el triángulo sólo es referencial)

&

Dos puntos inaccesibles A y B son visibles desde D, pero no hay otro punto desde el cual ambos sean visibles. Se toma un punto C desde el cual puede verse ,

A y D y se miden CD = 200 m , ADC = 89 o , ACD 50 o 30 . Después se toma un punto E desde el cual sean visibles D y B y se miden

196



DE = 200 m,

BDE = 54 30o , o

,

,

BED = 88 300 , desde D se mide

Z E

,

ADB = 72 30 . Determinar distancia AB

6Þ 

Un barco navega hacia el Este, cuando observa una luz con una orientación ß

(Þ 

ß m, la luz 9 se encuentra R '# "! I9 . Después de que el barco navega 250 R %) #& IÞ se mantiene igual ¿Cuál será la menor distancia entre el barco y la luz? a

En un entrenamiento de fútbol se coloca el balón en un punto situado a 5 m y 8 m de cada uno de los postes del arco, cuyo ancho es de 7 m. ¿Bajo qué ángulo se ve el arco desde ese punto?

Respuesta 9 9 Sß H À W#& I "Þ  E À R ( ! 9Iß F À R%! Sß9 G W"&

#Þ - œ $ß( 7ß $Þ

F œ &" %'º # 'ß "

E œ "!" $ º# "$' ß "

4

9 R $$ß' ' I R #ß)# 9 O

5Þ 

EF œ $%&ß %&

7.-

Si el curso

E œ )" "$ º&) '

F œ %%º #% '&& "ß

"

º ' G œ $% # &#

6 $#&ß *7

60 !

197

"



ECUACIONES TRIGONOMETRICAS Las ecuaciones trigonométricas son aquellas que se cumplen sólo para algunos valores particulares de los ángulos desconocidos. Las ecuaciones trigonométricas suelen tener múltiples soluciones que pueden expresarse en grados o en radianes. Por lo tanto, el intervalo de la solución se encuentra en ! ŸB Ÿ # o1 ! Ÿ B Ÿ $'! 9 Ejemplo: Encuentre B en :

=/8 B œ !

La igualdad se cumple cuando B œ ! 9ß B œ ")! 99 B œ $'!

9

RESOLUCION DE ECUACIONES TRIGONOMETRICAS No existe un método general para resolver ecuaciones trigonométricas, ya depender de la forma que presenten, veamos algunas casos

A) LA ECUACION PUEDE FACTORIZARSE Ejemplo Resuelva

para =/8B  #= /8B- 9=B œ !

! ŸBŸ#

Respuesta Factorizamos por

=/8B

=/8B  # =/8 B-9=B œ =/8B Ð"  # -9=B Ñ œ !

luego tenemos que la solución de la ecuación se cumple cuando 3Ñ =/8 B œ !

9

33Ñ "  #- 9= B œ !

en radianes 3Ñ B œ ! ß9 ß1#

1

33Ñ  #-9 =B œ  " -9=B œ "# Bœ

1

$

ßBœ

Z E

&1 $

198

1

que va a



Z E

B) LAS DIFERENTES FUNCIONES QUE APARECEN EN LA ECUACION PUEDEN EXPRESARSE EN TERMINOS DE UNA FUNCION SENCILLA Ejemplo Resuelva #>+ 81 # B  =/- B# œ # Respuesta Reemplacemos

por =/- #B

"  >+81 paraB

#

! ŸBŸ#

1

#>+ 81 # B  "  >+81 B# œ # $> +81 # B œ " >+81 # B œ „

" $

Por lo tanto la solución es Bœ ß

1

1&

ß ' '

1"" 1 ( ß ''

C) AMBOS LADOS DE LA EXPRESION SE ELEVAN AL CUADRADO Ejemplo Resuelva

=/8B  para -9=B œ "

Respuesta

9

! Ÿ B Ÿ $'!

ab

=/8B  -9 = B œ " / # ( =/8B  -9=B ) 2 œ " # =/8 2 B  #=/ 8 B -9=B  - 9= B œ" "  #= /8B- 9=B œ" # =/8 B -9= B œ! =/8 B -9=B œ! =/8 B œ!

!

Bœ!$'! ß

-9= B œ !

B œ *!

! !

Ejercicios Encuentre x en 0

ŸBŸ# 1

+Ñ # =/8 B  " œ !

,Ñ # =/- B œ >+81 B  -9>+81 B

-Ñ >+81B  $- 9>+81B œ %

.Ñ -9= B 

/Ñ # -9= B œ"  =/8 B

È

0 Ñ % =/8 B  ( œ $

199

È

$= /8 B œ "



1 ) =/8B Þ-9 =B = 0

Z E

2 ) (>+81B  1) %= ( /8 2B  0$=)

)

+ 2B 3 =/8

0=  # =/8B

=2 B

) 4 cos$

=/8

2

B

5Ñ-9= #B œ -9=B

Respuesta +ÑBœ Î 1 6

Bœ& Î'

1

,ÑBœ Î 1'

Bœ& Î '

1

-ÑB œ Î1%

Bœ "Þ#&

.Ñ Bœ!

Bœ% Î$

Bœ & Î % 1 Bœ#

/Ñ B œ 1Î#

B œ &Þ'%

0 Ñ B œ Î1 '

Bœ& Î' 1

1B)

=0

2Ñ B œ

œB 1

#œ1B 1 1

Bœ Bœ 3

4

1 1

œ B 1

Bœ %Þ$*

2 1 Bœ 3

$1 #

1

1œ B

#

5 Bœ 4

4 3

51 Bœ 3 3Ñ B = 4) B = 5ÑBœ!

1

2

1

3

1

B œ

21 3

Bœ Î#Bœ 1 $ Î#

1

B œ

4 3

1 Bœ#

B œ

5 3

1

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS La ecuación œ define un valor únicoC para =/8 B C B cuando es conocido, la ecuación puede no tener solución o tener varias. Por ejemplo #ß ,œsi B no hay solución, dado que el seno de un ángulo B" nunca excede de ; Si 9 ÞÞÞ9 œ "#ß existen varias soluciones paraC œ $! ß"&!9ß9$*! ß&"! Para expresar C en función de B, se escribe C œ +< - =/8 B

" Ces un ángulo cuyo seno es

Bww

200



De manera similar , puede escribirse si B œ -9=C C œ +<-- 9=Bß C œ +<- >+81B ß si B œ >+81C A veces es necesario considerar las relaciones trigonométricas inversas como funciones ( a cada valor de C le corresponde un sólo valor admisible de B ), para lograr esto, se acuerda seleccionar uno de los múltiplos ángulos que le corresponden a determinado valor de B. Este valor escogido se llama valor Principal Cuando B es positiva o cero y existe la función inversa, el valor principal está definido Función Inversa C œ E<-= /8B C œ E<-- 9=B C œ E<- >+81B C œ E<- -9>+8B C œ E<-= /-B C œ E<- -9=/- B

Intervalo valores principales  Î# 1 Ÿ C Ÿ Î#1 ! ŸC Ÿ 1  1Î# Ÿ C Ÿ Î# 1 ! ŸC Ÿ 1 ! Ÿ C Ÿ 1ß C Á  1Î#  1Î# Ÿ C Ÿ Î# 1 ßCÁ!

La función resulta C œ E<-=/8B C œ E< - -9=B C œ E<- >+81B

Ejemplo E<- =/8

É

$ # œC

1

Ê

Bœ

$

Ejercicios "ÑE<- -9=

È

$

#Ñ E<- >+81 "

#

$Ñ E<- =/8 !

%Ñ E<- -9= Ð  "Ñ

Respuesta "Ñ

1

'

#Ñ

1

%

$Ñ !

201

%Ñ

1



AUTOEVALUACION Se necesita hallar la altura de una torre, si la distancia de la base de la torre al punto de "Ñ observación son $! 7, formando un ángulo (& de grados hasta la cima de la torre. ¿Cuál es la altura de la torre? #Ñ Calcula< la altura de un arbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de 60º y si retrocedemos 10 m, bajo un ángulo de 30º. $Ñ Un barco viaja desde un punto A hacia el Este una distancia %)ß 'de kms, después cambia de 9 Iß dirección W"' %! y recorre $(ß ) kms ¿Qué distancia dista el barco desde A? !

%Ñ

ß Ó Determine el valor deB /8 Ò !$'! +Ñ=/8 B  -9=/- B œ &Î# # ,Ñ =/8 #B  # -9= B œ"

&Ñ

Demuestre las siguientes identidades + Ñ >+1>  =/ - > ´ ,Ñ

'Ñ

=/8B  -9=/=- B

!

-9=> "  =/8>

-9=B ´" =/- B

Obtenga amplitud, periodo , desplazamiento Horizonta y vertical y Gráfica de : C œ $= /8ÐB  1Ñ  "

Respuesta "Ñ"""ß*'7 #Ñ)ß'7 $Ñ 69,60 km

!

Z E

!

%Ñ+Ñ B " œ90º $! oß 270º B #œ "&! ,ÑB œ 'Ñ + œ $ß : œ # 1ß 0 +=/ À B œ ß . œ1"

202



Z E CAPITULO V NUMEROS COMPLEJOS

203



NUMEROS COMPLEJOS Un número de la forma Dœ+ ,3 en que − + y ‘ − En D œ +  ,3 + se llama PARTE REAL del número complejo D se llama PARTE IMAGINARIA del número complejo ,3

, se llama ‘

número compl . ejo

D.

El número complejo +  ,3 es la forma binómica o algebraica de escribir el número complejo DÞ

Ejemplo: el número $!3 es un complejo real. Ejemplo: el número !%3 es un imaginario puro. El número complejo 0+1 se3 llama !  "3 œ !  3 œ 3

unidad imaginaria y se representa por . 3

Ahora definimos el conjunto que contiene a todos los números complejos:

‚=

œ



B  3C Î Bß C − ‘

204



En general,

Z E

a 8− ™

Ejercicios Reduzca a la mínima expresión "Ñ 3 #  3 $ % #Ñ$3 #33 %& # $Ñ#3 %3 &3 3% %Ñ 3 %$ &Ñ3 "  #3 ($ 3 $& 'Ñ3 $(  3 "#' (Ñ#3 )(  $3 '% 3 #"'

Solución "Ñ "  3 $Ñ *3 &Ñ ! (Ñ #  #3

#Ñ "3 %Ñ 3 'Ñ "  3

Ejercicios Identifique la parte real e imaginaria de cada uno de los siguientes números complejos: +Ñ& '3 -Ñ  ()  "%3 /Ñ %()*3

,Ñ )3  "# .Ñ  )*(

Respuestas: : imaginaria & +) :parte real '3 ) 3 : parte real , 8 : parte imaginaria "# ) - () :parte real %31 : parte imaginaria . ) )*( = 897+30 : número real /) %()*3 = 0 + %()* 3 :número imaginario puro.

Representación gráfica de los números complejos El número complejo B  C3puede representarse gráficamente por el punto T rectangulares ( BßCÑ .

205

de coordenadas



El punto ,Sde coordenadasÐ!ß !Ñ representa el complejo !  !3 !œ . Todos los puntos \ del eje tienen coordenadas de la forma ( B! , ) y corresponden a números reales B  !3 œ BÞ Por tal razón se llama al eje B ß eje de los reales o eje real. Todos los puntos del eje ]tienen coordenadas de la forma (0 , CÑy corresponden a números imaginarios puros 0  C3 œ C3Þ El eje] se llama por eso eje de los imaginarios o eje imaginario . El plano en que se representan los números complejos se llama plano complejo.

EJERCICIOS Represent/ graficamente Ðen la misma figura )los siguientes complejos: +) %'3 $- ) /Ñ  &  $3 1Ñ ' Respuesta

, ' )#3 .Ñ 3 0 Ñ  %3

206



Igualdad de números complejos:

Z E

Dos números complejos + , 3 y - . 3 se dicen iguales si y solo si,+ œ - y, œ .Þ . Ejemplo: Sean

= D1 +8& y 3

=D 2 &  83

Identificamos cada parte que componen a D1 y a D2 : = D1 = 5ß3++8 & = 8D2+ 3( 5)ß œ  -

y , 3 5 y .3

œ +Se puede observarDque = D 1

2

=8 =8 .

œ ,.que y por otro lado

por lo tanto decimos que

Conjugado de un número complejo: El conjugado de un número complejo +,3

Notación:

es el número complejo +,3Þ

+  ,3 œ +  ,3

Así, 2 + 3 3 y

2  3 3 son pares de números complejos conjugados.

Propiedades de los conjugados: aÑ D = D b) D"D# œ" #D D cÑ D †" D# œ"D #†D d) D D œ #+  !3 œ #+ ß a + − ‘ eÑD D œ !  #,3 œ #,3ß a, −

‘

Módulo : El módulo de un número complejo + ,3 es + 2,+

È

Notación:

l+  ,3l œ

È+  , 2

.

2

Así por ejemplo, el módulo del número complejo

È

È È

#$ es3 l 2+33 l œ 2 +32 =2 4+9 =

Propiedades de los módulos:

¸¸ ¸ ¸ ¸¸¸¸

aÑ D  !

bÑ D "† D# œ "D

2

#† D

207

13



c)

¸ ¸ ¸¸ ¸¸ ¸ ¸ ¸¸ ¸¸ ¸ ¸¸ ¸ ¸ ¸ D" œ D#

D" D#

Z E

d) D"#D Ÿ" D # D e)

D" #D

Ÿ" D#  D

Opuesto de un númeroComplejo El Opuesto o Inverso Aditivo de un Número Complejo D œ + +,3 D œ  + , 3

es

Ejemplo Si

su opuesto es D œ  #  $3ß

 D œ #  $3

Representación gráfifica del Módulo, Conjugado y Opuesto de un número Complejo

Ejercicios Determine el opuesto y conjugado, de los siguientes números complejos a) /Ñ

" 3

,Ñ "  3

%

0 Ñ #3

-Ñ $3 1Ñ 3

Respuesta aÑ ,Ñ -Ñ .Ñ /Ñ

Opuesto: " 3 " 3 Opuesto: Opuesto:  $ 3 opuesto:  $3 opuesto %À

ÈÈ

Conjugado: " 3 "3 Conjugado: Conjugado:  $ 3 conjugado  À  $3 conjugado À%

ÈÈ 208

È

.Ñ $3 $ 2Ñ## $ 3 %

È

È



0Ñ

opuesto À #3

conjugado À #3

OPERACIONES CON COMPLEJOS Adición: Para sumar dos complejos se suman las partes reales y las partes imaginarias por separado. (B  C3Ñ  Ð+  ,3Ñ œ ÐB  +Ñ  ÐC3  ,3Ñ =ÐB +Ñ  3ÐC  , ÑÞ Ejemplo:

Z E

Ð#  $3Ñ  Ð%  &3Ñ œ Ð#  %Ñ  Ð$3  &3Ñ œ œ

' Ð  #3Ñ '  #3

Propiedades de la adición: Propiedad Asociativa: Ð D" D # ÑD $"

œ D# Ð $ D D Ñ

Propiedad Conmutativa :D " D # # " œD  D Existencia del neutro

para

: el número complejo !!3 es tal que cumple Dse +  ,3 que: "œ

+  ,3  !  !3 œ Ð+  !Ñ  Ð,3  !3Ñ œ Ð+  !Ñ  Ð, !Ñ 3 œ +  ,3 Inverso Aditivo: Dado el complejo + ,3ß el número complejo + ,3 es su simétrico pues: +  ,3  Ð  +  ,3Ñ œ +(  +Ñ  Ð,3  ,3Ñ œ !  !3

Representación gráfica de la suma de números Complejos

Sustracción: Para restar dos números complejos ,se restan las partes reales y las partes imaginarias por separado. (B C3Ñ  Ð+ ,3 Ñ œ ÐB  +Ñ ÐC3 +  ,3Ñ

209



œ ÐB  +Ñ  3ÐC  ,Ñ

Ejemplo: + Ð#  $3Ñ  Ð%  &3Ñ œ Ð#  %Ñ  Ð $3 &3Ñ 2  3Ð+ 5 ) 3 œ œ   2 3 8 La sustracción al ser operación inversa de la adición, posee las mismas propiedades que ella.

Multiplicación:Para multilpicar dos complejos, multipliquense como binomios los dos complejos y reemplácese 3 2 por  1. # (B  3CÑ Ð+  3,Ñ œ B+  B3,  3C+ 3 C, # œ +B  ,B3  +C3 3 ,C

œ +B  3Ð,B  +C3Ñ  Ð  "Ñ,C œ Ð+B ,CÑ  3Ð,B  +CÑ

Ejemplo: (#  $3ÑÐ%  &3Ñ œ ) "!3  "#3  "&3 # œ )  #3  "&Ð  "Ñ œ ) #3  "& œ #$  #3

Propiedades de la multiplicación: Asociativa:

ÐD" †D# Ñ†D$

Conmutativa:

"œ D# †Ð$ D

D"†D #œ D †D2

†D Ñ 1

El número : complejo Inverso Multiplicativo

es tal que para Dœ+ ,3 se "  !3 tiene: Ð+  ,3Ñ † Ð"  !3Ñ œ +  ,3

La multiplicación es distributiva con respecto a la suma:

D" † ÐD #  $ D Ñ "œ#ÐD † "D $Ñ  ÐD †D Ñ

División:Para dividir dos complejos, multiplíquese numerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador. ÐB  3CÑ ÐB  3CÑ Ð+ ,3Ñ œ Ð+  3,Ñ Ð+  ,3Ñ Ð+  ,3Ñ œ

Ð +B  ,B3  +C3  ,C3#Ñ Ð+#  +,3  +,3  , #3 #Ñ

œ

Ð+ B  ,3Ð  "Ñ  3Ð+C ,C Ñ Ð+#  , #Ñ

Ejemplo: Ð#  $3Ñ Ð#  $3ÑÐ%  &3Ñ œ Ð%  &3Ñ Ð%  &3ÑÐ%  &3Ñ œ

)"!3"#3"&3 # "'  #!3  #!3  #&3#

œ

) ##3  "& "'#&

210



œ

(##3 %"

œ

( ##  3 %" %"

Resumen de las Operaciones con Números Complejos


EJERCICIOS Sean

) +

"D D 1 $D) &)

=1D1+ 3 y D = 22 Þ3

Calcule :

MÑ

) lD#l

2

%Ñ D† D

2

1 1

2

D2 D1

MMÑ

Resuelva

"Ñ

#Ð $ 3Ñ % Ð& 3Ñ( Ð% 3Ñ

2Ñ

Ð$ #3Ñ

$Ñ

Ð' &3Ñ Ð# 3Ñ #Ð & '3Ñ

%)

(23 – 3 3) – (53+ 4 ) + (6 – 4 )

&)

(3 + 2 3) (4 – 2 3)

')

(3

#

+ 1) (3 3 – 2 3) (1 + 3 )

(Ñ

#%3 %#3

)Ñ

"%3 $3

Z E

211


*Ñ

%#3 3

"!Ñ

' $ &  3

""Ñ

#  #3Ñ Ð  $3Ñ Ð" Ð#  #3Ñ

Z E

Œ  # &

"#Ñ

Ð$  $3ÑÐ%  #3Ñ ##3

"$Ñ

 #  $3 Ð%  #3ÑÐ  " 3Ñ

"%Ñ

#  &3 Ð "  3Ñ $#3

"&Ñ

" 3 $  #3  #3 "  $3

Respuestas: MÑ "Ñ $ 3œ0 MMÑ " ")  #

3

33#

#

)

È

2

#Ñ &"# 3

%Ñ *3

&Ñ16 + 2i

(Ñ 3

)Ñ  3

*Ñ  #  %3 * #( ""Ñ  3 % %

"$Ñ "&Ñ

* (  3 #! #!

$ 3

18 – 18i

$Ñ 'Ñ " "!

"!Ñ  *  3

) 2 % 3

16 – 2i

"$ "! ' &

"#Ñ $ '3

"& #$ "%Ñ  3 "$ "$

 ( "$  3 "! "!

212

)3



Forma Polar o Trigonométrica de números complejos: →

Sea el número complejo  B C3 representado por el vector ST . Este vector se puede describir mediante la longitud
Enlafigura,

B œ <- 9= e!

C œ <= /8 Þ !

Ahora veamos como se obtienen < y

È

# C < = B

#

! À ! = arctan (

C B

)

Entonces: D œ B  3C œ < -9=

Sediceentoncesque complejo DÞ

! 3+<= /8 !

D œ <Ð -9= ! 3= /8 es ! Ñla

ÑÞ

forma polar o trigonométrica delnúmero

213



Z E

Recuerda que para transformar un ángulo sexagesimal a radian se debe aplicar la siguiente regla: 180º = ∏

Ejemplo: Exprese

= D 2 2 3en forma polar:

Respuesta Elmóduloes

<œ(

! œ E<-9>1 Ð Ñ œ E<->1 Ð ! œ %& ° =

2

2) +( 22) = 82=2 2 

C B

y

Peroœ D −3

È È

È

2

# Ñ œ E<->1 Ð"Ñ #

1

4

III cuadrante y el ángulo%& œencontrado − !

45 45

Así ! = 1 +

1

4

=

51 4

Luego = cis D <

È

=2 2cis

!

È

51 51 51 = 2 2 cos Ð + 3 =/8 Ñ 4 4 4

214

°=

1

4

I cuadrante.



Z E

CUADRO RESUMEN

Ejercicio: 1) Exprese en forma trigonométrica ( o polar)los siguientes números complejos:

È È È

3 $ +3 # #

+Ñ

È

'$,Ñ'

-Ñ

"  3$

.Ñ #  #3

/Ñ

"  $3

0Ñ $3

1Ñ

"3

3Ñ

i

È

2Ñ&  "# 3

$3

4Ñ&

#) Exprese el número complejo en forma cartesiana o binómica +Ñ (8

-9= +° #"! 3=/8 0°) #"

-Ñ (

+° #%! 2 °) 3=/8 %! % -9=

e)

5 cis

2 (

1

,Ñ -3=

&1 $

.Ñ°+# -9= $"& °)3=/8 $"& 0Ñ #-3="$&

'

1Ñ

# -3= %*&

9

2Ñ $ -3= #%!

3Ñ

& -3= ")!

9

4Ñ % -3= *!

9 9

9

Respuestas: 1) +Ñ -)

&1 $ -3= Ð Ñœ$ -3= "&! '

2-9= ( 300°3=/8 +

°

300°)

, .

215

30° + -9=)12( 3=/8

È

) 2-9=2 (

3=/8 315° +

30°) 315°)



/Ñ

9

# -3= '!

1Ñ

È

3Ñ

$ -3= *!

0 Ñ # -3= $!

9 "$& # -3=

ßß

9

È

$ 3

& #

È È ÈÈ È

0 Ñ # #3

1Ñ  # 3# 3Ñ

Z E

.Ñ # 3#

È È È È #

È

,Ñ "  3$

c) 232$ &

9 "$ -3= #*#$( 2Ñ

4Ñ &

2) a) 4 3 3 4

/Ñ

ß

9

2Ñ 

&

$ #

3

$

$

#

4Ñ %3

Producto y cuociente de números complejos expresados en forma polar: Sea =

D1 < "-3= y !1 D2 = < #-3= !Þ #

La forma polar de un número complejo es especialmente cómoda a la hora de multiplicar, ya que basta con multiplicar los módulos y sumar los argumentos. es decir, D1† D œ <( -"3= ! Ñ 1† Ð< - 3=# Ñ !# 2 œ < "†< -3=Ð ! # 1

Ñ!#

Por lo tanto, se define el producto de dos complejos a aquel número que tiene por módulo el producto de los módulos y por argumento la suma de sus argumentos Ejemplo: D1œ# -3= D1† D

2

1

y

'

Œ

$ œ# †( Ñ -3= # œ $ -3 = Ð

(1

1

 ' "#

Dœ -3= 2 #"# &1

$



)

#

216

&1



Z E

Representación gráfica del Producto

Para calcular el cuociente de un complejo por otro no nulo basta con dividir los módulos y restar los argumentos, es decir: D1 <-3= !" " œ< D2 =<-3= !# < #

" -3= Ð !" Ñ!# #

Por lo tanto , se define el cuociente ( ó división) de dos números complejos como aquel número que resulta de dividir los módulos y restar los argumentos: D1 <-3= !" < = " œ D2 <-3= !# < #

" #

-3= Ð !" ! Ñ#

Ejemplo: Sea solución:

45º

30º) 4

y& D" œ )-3 º=%

º.Encuentre el cuociente entre D #œ #-3 =$ !

z1 8 -3= 45º œ z2 2-3=30º 8 œ -3= (  2 15º œ -3= 1 œ 4 -3= 12

217

D" D#



Ejercicios : Realice las operaciones indicadas dando el resultado en forma polar y en forma cartesiana: a)5( -9="( º!  3 =/8 "(! º)( -9=&&º+

b)

3=/8º)&&

%Ð-9= ##! º  3 =/8 ##! ºÑ #Ð-9=%! º  3=/8%! ºÑ

Z E

2) Exprese cada número en forma polar , efectue las operaciones indicadas y de el resultado en forma cartesiana:

È

+Ñ

Ð% 3 4 3 ) Ð # $ #3Ñ

,Ñ

( 33

È

È

3 3)( 3 2

2

È

3)

Respuestas: 1) +ÑFormapolar: &- 3=# #& º œ &Ð- 9=# #&º+ 3= /8# #& º Ñ Forma cartesiana: 5 22  53 22

È

È

º ,ÑFormapolar:2 -3= ")! Forma cartesiana: 2 2) +Ñ 3 3+ ,Ñ  #% Potencia de un número complejo (Teorema de De Moivre)

È

Sea<œ D-3=

8

D /= ÞDde ! un número complejo, entonces, una potencia 8 con D 8 = (< -3= ! )8œ< -3= Ð 8 Ñ entero ! à

Se define

8

Þ

Ejemplo: Encuentre la décima potencia de "  3 "! Sea Dœ"  3 ß entoncesD œ Ð"  3Ñ

"!

Como D está expresado en forma cartesiana, debemos expresarlo en forma polar ;

È

Dœ"  3 <œarctan(1)= #à œ !

Así D œ

È

#- 3=

Entonces D "!œ

%& œ

9

1

%

1

%

ŠÈ ‹ # -3=

1

10

%

218



œ œ

ŠÈ ‹ ŠÈ ‹ # #

"!

"!1 %

-3=

"!

&1 #

-3=

Ejercicios (1  3Ñ$

+Ñ -Ñ

È

Ð " 3Ñ

%

,Ñ

"!

9 "& ' -3= %& 9 À$ -3=

1Ñ

& -3=

9

2Ñ Ð "  $ 3Ñ

Respuestas:

-Ñ

È

Forma cartesiana: 8  38 $ Formapolar:1 ' º-3= '!

&

È

 $ $ $ 3

2Ñ

"'  "' $3

&

È

/Ñ 3$

0Ñ

† &-3=$! 9 " -3= † %! $ -3= † (!

,Ñ Forma cartesiana:  "' $ "'3 Formapolar: $#º-3= $!

Forma cartesiana:  $#3 Forma polar: 270º $#-3=

.Ñ 

0 Ñ #9 -3=9"!

È

9

#1 $ À" -3= '!

&

9

.Ñ "-3= "&!

/Ñ

a)

È

Ð $ 3Ñ

1Ñ 

È & #

È

& $3 #

È

Raíces de números complejos: Definamos la raíz n-ésima de un número complejo D , como un número complejo A tal que: A8 œD  Si D œ <- 3= ß! una raíz n-ésima está dada por: " A œ < 8-3=Ð

!

Ñ 8

Teorema de las raíces  SiDœ< -3=

8 ésimas:

D 8 tiene "8 " raíces -ésimas (distintas), ellas están dadas por: !, entonces "

A œ < 8-3=Ð

!  #5 1

8

Ñà 5 œ !ß" ß# ß$ ßÞ ÞÞÐ8 "ÑÞ

219



Ejemplo:

Z E

È

Encuentre las 6 raíces de D œ  3 1 $ solución:

È

D œ  3 1 $

=-3= 2Ð Ñ

#1 $

Así las seis raíces sextas están dadas por: 1

6 A œ 2 -3=

(

#1 $ +

25 1Ñ à5 œ !ß" ß# ß$ ß% ß& Þ '

1

(

#1 $ +

2 †!† Ñ1 ( #1 Ñ 1 1 œ - 3= 2 6 œ - 3=Ð Ñ 2 6 ' ") *

1

1

(

#1 $ +

2 † "1 Ñ œ -3= 2 '

%1

1

(

#1 $ +

2 †#† Ñ1 œ -3= 2 '

1

(

#1 $ +

2 †$† Ñ1 œ - 3= '

( #!1Ñ 1 1 2 6 œ - 3=Ð Ñ2 6 ") *

"!1

1

(

#1 $ +

2 †%† Ñ1 œ - 3= '

( #'1Ñ 1 1 2 6 œ - 3=Ð Ñ2 6 ") *

"$1

1

(

#1 $ +

2 †&† Ñ1 œ - 3= '

( $#1Ñ 1 1 2 6 œ - 3=Ð Ñ2 6 ") *

"'1

5œ!ÊA œ -" 3= 2 6 5œ"ÊA œ # -3= 2 6 5œ#ÊA œ -$ 3= 2 6 5œ$ÊA œ -% 3= 2 6 5œ%ÊA œ -5 3= 2 6 5œ&ÊA œ -6 3= 2 6

1 6

( )1 Ñ œ 2 -3=Ð Ñ ") * 1 6

("%Ñ1 œ -2 3=Ð Ñ ") *

Gráfica de las raíces sextas de D œ  1 3 $ : 1

1

6 A" œ 2-3=Ð Ñ ¸ 1.055+ 3 !Þ$( * 1

A# œ 2 6-3= Ð 1

A$ œ 2 6-3= Ð 1

A% œ 2 6-3=Ð 1

A5 œ 2 6-3=Ð 1

A6 œ 2 6-3=Ð

È

%1 Ñ ¸ !Þ"*  3" Þ"! * (1 Ñ ¸ !Þ )&  3! Þ(") * "!1 Ñ ¸ " Þ!% 3! Þ$) * "$1 Ñ ¸ ! Þ# 3" Þ" * "'1 )¸ !Þ)& 3! Þ(" *

220

1 6

1 6

(

1



Z E

Representación gráfica de las raíces:

iY 1 w2

w3

w1 1

-1 w4

w5

X

w6

-1 Ejercicios Encuentre las raíces que se indican y grafíquelas:

È È

a) Las raíces cuadradas de 2 2 3 3

b)Las raíces cuartas de  8  8i 3

È È

c)Las raíces cúbicas de 4 2 + 4i 2

È È

d)

'

$

/Ñ

#  #3

Ê Ê $

0Ñ

1Ñ

"

&

"3 "3

$# 3

Respuesta : a)A1 =

È È ÈÈ È È 33+ à w =# 33

È

,ÑA1 =1 3 $ à A=  # 3 3à A œ " $3 $ à A œ

c)A" œ

3%3

º # 3 # à A œ##Ð-9=" '& 3= /8" '& ; º) =2( A 285º -9= 3

221

È

8 /8# º) & 3=



d)A"œ

È È

" " $ 3à A œ# 3à A œ # #

È

/Ñ A 1 = # -3= "!& à=9A

$

# # - = ##&

0Ñ

9 w = A 1 =" -3= *! œ 3à

1Ñ

A 1= #-9 3="w) =

9

#

È

# -3=$ %& à

9

È

9 œ " 3 $à A 3à A 3œ $

"# -3= #"!= A9 "- $3= $$!

#- 3=9 *!=$ A9

 % 3

9

9 = A #- 3=# $% #w =à % 3=" '# &

222

È

# -3=$ !'



AUTOEVALUACION "Ñ

Determine el valor de # "%$

+Ñ3 #Ñ

 #3

Sean

#%$"

È

D "œ #  #3y D œ ## # -3= ##&

9 ,dosnúmeros complejos

Determine: D+Ñ D

"

†

-Ñ D &

.ÑD

"

$Ñ

D" D#

,Ñ

#

È

D œ " " 3 + D # œ " $3 D $ œ #-3 =&! º

È $

Determine: +Ñ

D"  D# l D l #-9=#! º

,Ñ D "ÞD # -Ñ

$

# D" D#

D (# D )$

.Ñ D

#

ÀD

"

#Ð- 9=$! º  3=/ 8$! º)(-9=&!  º 3=/ 8&! Ñ º /Ñ (Ð-9=%! º  3 =/8%! º)& -9 ( ="! º 3 =/8"! Ñ º

223

"



Respuesta "Ñ

+Ñ $3

#Ñ

+Ñ ) -3= #(!

9

È

È

,Ñ -3=")!

9

9 -ÑÐ )-3 =% &&Ñ9 œ Ð & )Ñ -3= ##&

È È È È

"Î$ .Ñ A " œ Ð )Ñ -3="9 &

$Ñ

"Î$ A # œ Ð )Ñ

-3="9 $&

A $ œ Ð "Î$ )Ñ

9 -3= #&&


# -3= "$& º  # -3="$ & º # 2 cos 20

+Ñ

,Ñ

È

$ $ * $ $$    3 % % % %

" -Ñ -3= #!! º # .Ñ /Ñ

 È " $  #

Z E

È  È

" $ 3 #

# $& -3=$ ) º

224



CAPITULO VII POLINOMIOS

225


POLINOMIOS Una función Tdefinida por la ecuación : " T ÐBÑœ+ B8 8+8"B 8"  ÞÞÞ  #+ B # " + B!  +9" se denomina " POLINOMIO DE GRADO 8".

+ 8+, con + Þ ÞÞ +, 8,

#,

,

constantes + Á −y

o, n

,

Donde el grado del polinomio es la mayor potencia a la cual está elevada el valor ww Bww Þ Ejemplos: TÐ BÑgrado( œ BB à #

a)

Ñ UÐBÑœ" B " $

b

c) VÐBÑœ

TÑ œ # 1(& B1 àgrado UÑ15œ

È

B#(B $ à grado(VÑ=?, VÐBÑnoespolinomio. B&

OPERACIONES CON POLINOMIOS Adición: Para sumar 2 o más polinomios, primero se ordena cada polinomio de mayor a menor grado, y luego se suman los términos que son semejantes. Ejemplos: TÐ BÑ œ &B #$#B  $

$ yUÐBÑ œ *#  B #B  $B

Primero ordenemos los polinomios: TÐB Ñ œ &B $ #B # $ UÐBÑ œ  B $ $B # #B  * Luego se suman los términos $que son semejantes: TÐ BÑ UÐ BÑ œ Ð&B $ B Ñ Ð ##B# $B Ñ  #B  Ð  $  *Ñ # = 4B$ B # B'

Sustracción: Para restar dos polinomios, se procede de igual forma que la adición: Ejemplos: TÐ BÑ œ 

$ &% B " #B ) &

) # & yUÐBÑ œ " 'B  B B ' $

$ ) & TÐ BÑ UÐBÑ œ Ð B &"% #B ) Ñ# Ð "'B  B B  'Ñ & $ # ) # œ B &" #B %" 'B  B" % & $

Producto: Para multiplicar dos o más polinomios se debe multiplicar cada elemento punto a punto y luego se ordena el polinomio resultante de mayor a menor grado. Ejemplo: Multiplique

con TÐ BÑ œ #B$

# UÐBÑ œ $B # B$

226



TÐB Ñ † UÐBÑ œ Ð#B  $Ñ † Ð$B # #B  $Ñ œ 'B $ %B # 'B  *B # 'B  * œ 'B $  "$B # "#B  *

Si un polinomio A ÐBÑ es de tercer grado y un polinomioÐBÑ B grado. ¿Cuál es el grado del polinomio A ÐBÑ· B ÐBÑ ?

es de segundo

A ÐBÑ· B ÐBÑ es de quinto grado. Ejercicios Sean TÐB Ñ œ #B $  $B # B  &à UÐBÑ œ #B # B  à 1 VÐBÑ œ $B  # tres polinomios. Realice las operaciones que se indican:

;

a) T ÐBÑ  UÐBÑ = b) UÐBÑ  VÐBÑ = c) &TÐB Ñ  (VÐBÑ = d) 'UÐBÑ  $TÐB Ñ  &VÐBÑ = e) TÐB Ñ † VÐBÑ = f) )TÐBÑ † %UÐBÑ =

Respuesta a)#B$ B # #B  %

, #B  ) #B#  "

-Ñ"!B#$ " &B " 'B $ * # & /Ñ'B% $"$B  *B  "$B  "!

#$ %

.Ñ' B # "B " )B$ "

$ # 0Ñ"# )B  "#)B  *'B  "'!B  "'B  "'

División: Para dividir un polinomio J ÐBÑpor otro KÐBÑ se utiliza el método de la división algebraíca. Ejemplo: # Divida JÐ BÑ = B %" ' por KÐBÑ œ B $ B " # B% " ' ÀB #$ B " œ B $ B )

Ð B% $ B $B Ñ# $

#

# $B $B Ð$B *B"' $BÑ )B#$B"' Ð)B ##%B)Ñ #"B#%

227



Z E

JÐB(dividendo) Ñ œ B % "'

Donde

KÐBÑ œ B # $B  " (divisor) WÐBÑ œ B # $B  ) (cuociente) VÐBÑ œ  #"B #% (resto o residuo)

Asi se tiene:

JÐBÑ œ KÐBÑ † WÐBÑ  VÐBÑ

HMZ MHIRHS œ HMZ MWSV † GY SGMIRX I  VIWXS # $B )Ñ Ð  #"B  #%Ñ B%  "' œ ÐB # $B  "Ñ † ÐB 

TEOREMA DEL CUOCIENTE Y RESTO Si

y KÐBÑÁ! son polinomios, entonces existen polinomios únicos y J ÐBÑ WÐBÑ VÐBÑ J ÐBÑ œ K ÐBÑ † WÐBÑ  VÐBÑ ß .98./ WÐBÑ œ-?9-3/8>/ C VÐBÑ œ9

Observación: El grado de R( BÑdebe ser menor que G( B) Ejercicios Hallar el cuociente y resto de los siguientes polinomios % a) 'B'&& B & B$ # "( B '$ B## #

#BÀ $ B " œ

b) &B$ "% B  $ ÀB # œ c) B% #B $ %B ' ÀB # œ .Ñ $B #  % À B " /Ñ B $B #" À B  # &B # 0Ñ B %  $B # #B  $ À B # %B " 1Ñ $B $% B #& B # À B #

Respuesta " a) SÐBÑ œ $B $ #B # B  & # RÐBÑ œ " "B # "B  $ #

b) S=ÐBÑ œ &B # "!B  ' RÐBÑ œ "&

228

tales que:



Z E

c) SÐBÑ œ B $ %B # )B  "# RÐBÑ œ ") .ÑWÐB Ñ œ $B  $ VÐBÑ œ  " /ÑWÐB Ñ œ B  ' VÐBÑ œ $% B  "" 0ÑWÐ BÑ œ B #  %B  #! VÐBÑ œ  )#B  #$

1Ñ WÐBÑ

$B# 

Observemos los ejercicios b y c donde el divisor es de la forma ÐB-Ñ .Cuando ocurre esto, se puede utilizar otro método de división denominado "DIVISION SINTETICA O METODO DE RUFFINI HORNER". Ejemplo: &B$ " %B $ ÀB # œ Primero debemos agregar los grados que le faltan al polinomio # &B$!B "%B$

Luego los factores númericos se anotan en una tabla ß tanto los del dividendo como los del divisor: & "! !  "% $ B  ## #! "# & "! ' "& # !B' V ÐBÑ y œ "& W ÐBÑ œ &B "

donde Así

J ÐBÑ œKÐBÑ † WÐBÑ V ÐBÑ &B$  !B #  "%B  $ œ ÐB  #Ñ † Ð&B # "!B  'Ñ  "&

Ejercicios: Divida utilizando división sintética: a)2B$B ## B & porB # $ B" " ,Ñ$B& #B  $

por

B"

Respuesta: # &B  "#Ñ ÐB  #Ñ  #* a) #B$&$ B # #B" & = Ð#B  # Ð$B $ B B B  Ñ % b) $B # B  $B " œ ÐB% $"Ñ $

229

( $



TEOREMA DEL RESTO O RESIDUO Si un polinomio T ÐBÑse divide por (B  &

$

Ejemplo: Sea TÐ BÑ œ $B # B 

B "$"

ß

),!entonces el residuo T esÐÑÞ

hallar TÐ" Ñ

!

.

Solución : Debemos encontrar el resto, teniendo como divisor ÐB"Ñ " " $

$ ! # ! $ $$

$ " " ""

% $

B" % 

$ ( $

"

Luegosievaluamos

se obtiene: B œ "en TÐ BÑ " $ TÐ B œ  "Ñ œ $B  #B  B" $ " œ $Ð "Ñ & #Ð "Ñ $ BÐ "Ñ " $ ( quees el resto. œ $ &

Definición: ecuación TÐ BÑ œ ! si TÐ Ejemplo: El polinomio TÐ#Ñ œ !

Un número !cero se dice del polinomio !) = 0

# B# TÐ BÑ œ B $% B $ tiene a

raiz T o una de la

ÐB# como Ñ factor pues

" % $ # B # # %  # # "  # " ! # #B  "Ñ B$  %B #  $B  # œ ÐB  #ÑÐB 

Ejercicios $ # 1) Demuestre que ÐB  $Ñ es un factor del polinomioJ ÐBÑœB %%B  (B  ##B  #%

2) ¿Es  " una raíz de J ÐBÑœB $(B  ' 3) ¿Es 2 una raíz de JÐ BÑ œ B

%

#B

#B

Z E

? ( ?

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA Todo polinomio T ÐBÑde grado n  1 con coeficientes reales o complejos tiene un cero real o complejo. Este teorema nos dice que el polinomio TÐBÑ puede tener más de una raiz real (compleja). Pero ¿cómo saber cuales son esas posibles raices , y de que naturaleza son?

230



Z E

Para resolver esta interrogante, utilizaremos dos métodos:

1.- Regla de Descartes À (queda determinada la naturaleza de las posibles raices) Raices positivas: números de variaciones de signo, en el polinomio TÐBÑ Raices negativas : números de variaciones de signo en el polinomio T Ð  BÑ Raices complejas: es el número de raíces que faltan para completar el grado del polinomio T ÐBÑ Þ Ejemplo: Sea

& # variaciones TÐ BÑ œ B *$ B # B B" # À % de signo * & # variación de signo TÐB Ñ œ B $ B # B B "# À"

Se completa la siguiente tabla:

 % # !

 " " "

‚

% ' )

Nota: El grado del polinomio TÐBÑ es 9. Así el polinomio TÐBÑ puede tener las siguientes combinaciones de raíces: a) 4 raíces positivas - 1 raíz negativa - 4 raíces complejas. b) 2 raíces positivas - 1 raíz negativa - 6 raíces complejas. c) 1 raíz positiva - 1 raíz negativa - 8 raíces complejas.

Observación: +,3ß Si un polinomio T ÐBÑ de coeficientes reales tiene una raíz compleja de la forma tambien tiene como raíz compleja al conjugado +  ,3Þ

entonces

2.-Cálculo de las raíces racionales de un polinomio con coeficientes reales: Sea T ÐBÑœ + B8 8+8"B 8" un8 polinomio,  ÞÞÞ # +B "# +!B " + + donde es el primer término del polinomio TÐ BÑ y + ! el término independiente. Las posibles raíces racionales se obtienen de encontrar los divisores de +8 y +! respectivamente, y luego hacer un cuociente entre los divisores de +! por los divisores de +8 . Posibles raíces:

HÐ+!Ñ HÐ+8Ñ

Ejemplo: "Þ  Calcule las raíces del polinomioT ÐBÑ B=2  B$ (B#  ' solución: +8 respectivamente: +! Identifiquemos+! œy' +8 œ #

Ahora buscamos los divisores de +8œ # y+ œ! 

6

231



Z E

D (+!Ñ œ HÐ 'Ñ œ±±"ß #ß ±$ß ±' HÐ + 8 Ñ œ HÐ#Ñ œ ±"ß ±#Þ

Luego se forma el cuociente entre los divisores de +! y +8: HÐ+!Ñ ±±±± "ß # ß $ ß ' = HÐ+8Ñ "ß ± #±

Entonces se obtienen las posibles raíces racionales: " 3 ± ,± # # Busquemos por ejemplo B œ  "

VÐÑ œ ± "ß #ß±$ ß± 'ß ±

œ



# " ( ' B" # " ' " #" ' ! Por lo tanto $

#

es raízB œ  "

#

#B  B  (B  ' œ ÐB  "ÑÐ#B  B  'Ñ

Ahora probemos con otra raíz: B œ # À 2 1 6  B  # % ' # # $ ! Por lo tanto

es raízB œ #

Así #B$  B #  (B  ' œ ÐB  "ÑÐB  #ÑÐ#B  $Ñ

Las¾raíces de

son T ÐBÑ

 "ß y#

#B  $ œ ! #B œ  $ $ Bœ # $ #

#Þ  Veamos otro ejemplo: Descomponer completamente el polinomio % TÐB Ñ œ B & 'B $""B#  #B  "#B  ) y hallar su orden de multiplicidad.

solución: Utilizando los dos métodos anteriores, tenemos:

232



-Regla de Descartes: % TÐB Ñ œ B & 'B $""B#  #B  "#B  ) : 4 variaciones de signo % TÐ  BÑ œ  B &'B $""B#  #B  "#B ) À " Luegoß las posibles combinaciones son:

 % # !

 " " "

variación de signo

‚

! # %

-Raíces de un polinomio con coeficientes reales: Ahora buscamos los divisores de +8œ  1 +y œ !

8

D(+=!Ñ8 HÐ Ñ œ± "ß± #ß ±4± ß 8 HÐ + 8 Ñ œ HÐ 1Ñ œ ±"Þ

Luego se forma el cuociente entre los divisores de +! y +8: ± ±4± HÐ+!Ñ ±"ß #ß ß 8 = HÐ+Ñ8 "± Entonces se obtienen las posibles raíces racionales: VÐÑœ

œ

±"ß # ±ß ß± 4± 8

Probemos con B œ # À



"  '# "" ) '# )"# ) ) B  # # "% $ % % !

Es decir # B& % 'B$ 

Bœ# es raíz del polinomio T ÐBÑÞ

% ) $ œ# B(#Ñ ÐB %B  $B  %B %Ñ ""B  #B  "#B 

Probemos nuevamente # con œ B 1

para ver si es raízÀ más de una vez

4

3 4 4  B# # % # % # "  # " # !

Nuevamente Bœ# es raíz de T ÐBÑÞ Y el polinomio queda factorizado como: % 'B $ #  ""B  #B  "#B  ) $œ# B( #Ñ B ( #ÑÐB #B  B  #Ñ B&  œ (B #Ñ #ÐB $# B #B # Ñ Probemos otra vez si B œ # es raíz:

233



" #  " # B# # ! # # " ! " ! Nuevamente Ahora TÐBÑ se factoriza como:

es raíz

B%#&$ 'B  ""B  #B  "#B  ) œ# B(  #Ñ B( #ÑÐB  #ÑÐB  "Ñ œ ÐB  #Ñ $ÐB # "Ñ

Pero sabemos desarrollar ecuación ÐB#"Ñ = 0 obteniendo 2 raíces: .- " B œ y " B œ Finalmente el polinomio queda completamente factorizado como: % #  #B  "#B  ) œ B(( #Ñ B  #ÑÐB  B&  'B $ ""B ( # B) "Ñ ÐB  "Ñ œ ÐB  #Ñ $ (B  "ÑÐB  "Ñ Observe que Bœ es#una raíz triple.

Ejercicicios: Encuentre las raíces de a) B$ ( B ' , )#B $  $B # *B  "! c) B %  &B $& B # &B ' d) $B$ "! B # *B # e) B&  "'B f ) B$ $ B # #B g) B$B #% B%

234

B œ#



Respuesta:

Z E M O G O IN I G R I V 235


Z E CAPITULO VIII INDUCCION MATEMATICA

236



INDUCCION: Entre las herramientas más utilizadas en matemáticas se encuentra un método de demostración llamado Método de Inducción Matemática. Éste método se basa en un método deductivo y se utiliza específicamente para demostrar la validez de ciertas proposiciones para un subconjunto de números naturales.

PRIMER PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA: Si Wes un subconjunto de  que verifica: 3Ñ" − W 33Ñ 8 − W Ê 8  " − W entonces W œ  El primer principio de inducción matemática(P.I.M), se emplea para demostrar propiedades de los números naturales. Por ejemplo, si hay interés en demostrar que los números naturales poseen o tienen una cierta propiedad T , entonces se define el subconjunto W de  formado por todos los números naturales que tienen la propiedad T Þ + y tiene T×  la propiedad

WœÖ++À −

Luego si probamos que W œ , habremos demostrado que todos los números naturales tienen la propiedad T Þ Pero para demostrar que W œ basta probar que: ß 1) 1 − W(es decir basta comprobar que el 1 tiene la propiedad T ) 2) Ê W − 88 W −" probar que

(esto es del8supuesto que tiene T la propiedad , se debe 8 − W " tambien tiene la propiedad T ÑÞ

Ejemplo=: Ð8  "Ñ es 8 1.- La suma de los 8primeros números naturales # 8Ð8  "Ñ 21 3   Þ ÞÞ8 œ # Respuesta:

Se definelapropiedad T8 œ1 2  3 Þ ÞÞ8 œ WœÖ8 esÀ8verdadera − ÎT  8 ×

Demostración 1) Probemos que se cumple para 8 œ " : "œ

"Ð""Ñ #à

"œ

à

"Ð#Ñ #"œ"

T¾ es "vedadera, luego W−1

.

2) Supongamos que 8 œ 5 − W à T

5

es verdadera:

237

es decir :

8Ð8  "Ñ yelconjunto #



5Ð5  "Ñ #

1T5œ 2 3  Þ ÞÞ8 œ $Ñ Probemos que8œ5 "−W

1  2 3 ÞÞÞ  5

Ð5œ"Ñ œ

5Ð5  "Ñ  Ð5 "Ñ #

5Ð 5  "Ñ  # Ð5  "Ñ # œ

5 #  5 #5  #

# 5 #  $5  # œ # œ

Ð5  "ÑÐ5  #Ñ #

œ

Ð5  "ÑÐÐ5  "Ñ  "Ñ #

¾8œ5  "−W . Así W œ Þ

2.- La suma de los 8 primeros números naturales impares es 8# ß es decir: "  $  &  (ÞÞÞ  Ð#8  "Ñ œ 8 #

Respuesta: Se definelapropiedad T81œ $ & Þ ÞÞ Ð#8 "Ñ œ 8 y#elconjunto esÀ8verdadera WœÖ8 − ÎT  8 × 1) Probemos para 8 œ " : " œ " à# " œ " T¾ " es vedadera, W luego − 1

.

2) Supongamos que 8 œ 5 − W à T 5 es verdadera: T5 œ 1 3& ( Þ ÞÞ Ð#5 " Ñ œ 5

#

$Ñ Probemos que8œ5 "−W "  $  &  (  ÞÞÞ  Ð#5  "Ñ  Ð#Ð5  "Ñ  "Ñ œ 5 # Ð#Ð5  "Ñ  "Ñ "  $  &  (  ÞÞÞ  Ð#5  "Ñ  ÐÐ#5  #Ñ  "Ñ œ 5 # Ð#Ð5  "Ñ  "Ñ " $ & ( Þ ÞÞ Ð#5 " Ñ Ð#5 " Ñ œ 5 # Ð#5 # Ñ " œ 5 # #5  " œ Ð5  "Ñ # ¾ Así 8 œW5 œ  "−Þ W .

238



$.- 8 $# 8 es divisible por 3

Z E

Respuesta: Sed efine la propiedad T8 œ 8 $# 8 es divisible por 3, es decir 8$# 8 œ 3†: WœÖ8 esÀ8verdadera − ÎT  8 × 1)Probemos para 8 œ " : 2 1=3"3+† †: 1+2=3 † : $ œ $ †: $ œ $ †"

ß: œ "

luego T¾ " es vedadera, W − 1

.

2)Supongamos que 8 œ 5 − W à T 5 es verdadera: T5œ5 #5$ es divisible por 3, es decir5 #5 † $:=3 Ð

hipótesis Ñ

$ÑProbemos que 8œ5 "−W Ð5  "Ñ $  #Ð5  "Ñ œ $ † : Ð5 $  $5 #  $5  "Ñ  Ð#5  #Ñ œ $ † : 5 $ $5 #$5  "  #5 # œ $ † : Ð5 $ #5Ñ  Ð$5 # $5  $Ñ =3†: # 5 " Ñ œ $†: Æ  3(5  23:ÞÑ  $‡Ð5 #  5  "Ñ œ $ † : Æ 7?6>3:69 ./ $

7?6>3:69 ./ $Ð:9<

¾8œ5  "−W . Así W œ Þ

Ejercicios propuestos: Demuestre por Inducción matemática las siguientes proposiciones. a) La suma de los cubos de los primeros 8 números naturales es

–

8Ð8  "Ñ # b) #  %  ' )  ÞÞÞ  #8 œ 8Ð8  "Ñ

13 # $ $ $Þ ÞÞ 8 $œ

—

#

cÑ %  )  "#  ÞÞÞ  %8 œ #8Ð8  "Ñ # $ % 8 8 " d) ## # # Þ ÞÞ# œ#

#

# # e) 1# #$ & Þ ÞÞ Ð#8 "Ñ œ 8Ð#8  "ÑÐ#8  "Ñ $ #8 f) 3  (es un multiplo de 8

239

–

—

#

8Ð8  "Ñ esàdecir: #



Z E CAPITULO IX TEOREMA DEL

BINOMIO

240



TEOREMA DE BINOMIO DE NEWTON: Busaceremos descubrir una fórmula para el desarrollo de Ð+  ,Ñ 8por medio de la inducción ordinaria; es decir, veremos algunos casos especiales y trataremos de establecer una fórmula general de los mismos. Para comenzar, se calcularemos directamente las 5 primeras potencias de números naturales de Ð+  ,Ñ 8 : Ð+  ,Ñ " œ +  , Ð+  ,Ñ # œ + # #+,  , # Ð+  ,Ñ $ œ$+#  $+ , # $$+,  , Ð+  ,Ñ % œ %+ $%+ , # '+ $, % %+,  , & + %&+ , #$ "!+ $#,  %"!+ & ,  &+,  , Ð+  ,Ñ & œ

Del desarrollo anterior se obtienen las siguientes observaciones: 1.- El desarrollo Ð+ ,Ñ 8 tiene8  " elementos. 2.- La potencia de + va reduciéndose en uno(1) en cada término de izquierda a derecha. 3.- La potencia de , va aumentando en uno (1) en cada término de izquierda a derecha. 4.- En cada término la suma de las potencias de + ,y es igual 8Þ a 5.- El coeficiente del término siguiente se obtiene multiplicando el coeficiente del término dado por el exponente de + y dividiéndolo entre el número que representa la posición que ocupa dicho término en el binomio. Ejemplo: Si queremos determinar el tercer término de ( + ,Ñ 4se tiene: (+ ,Ñ +4 = %%+, $

¿..............? 

% † $ = 12 =6 ; coeficiente .98./À%œ + # 2 exponente de $œ + Lugar que ocupa. #œ

Luego el término que buscamos es: '+# , #

Fórmula General del Binomio: Ð+ ,Ñ 8œ

"Œ 85+ , 8

855

5œ!

donde

Œ

8 representa el número de combinaciones de " 8sobre 5" 5

La combinación ( 8sobre )5 tiene el siguiente desarrollo: 8x 8 = 5 5x Ð8  5Ñx

Œ

El símbolo 8x representa el producto de los 8 primeros números naturales: 8x = 8Ð8 "Ñ† Ð8 # Ñ† Ð8 $ Ñ† ÞÞÞ† # †"

241



Se define 0 =1 x 1x œ " Ejemplo: 4x œ % † $ †# †" œ #% &x œ & † % † $ † # † " œ "#! (x œ ( † ' †& †% † $ † # † " œ &!%!

Z E

7x († 'x œ œ( 6x 'x )x )†(†'†& œ &x &x

x

œ) † ( † 'œ$$'

Ahora determinemos la combinación de:

Œ Œ Œ 8 3

œ

)x œ Ð)$ Ñx$x

* #

œ

*x * † ) † (x œ œ Ð* #Ñx#x (x#x

& &

œ

&x &x & x œ œ "œ Ð&& Ñx &x !x &x "†& x

)x œ &x$x

) † ( † ' † &x ) † ( † ' œ &' œ &x$x $†#†" *†) $' œ #† "

OBSERVACIÓN: En su calculadora usted puede obtener las combinaciones con la tecla "8 - < " Ahora como conocemos los conceptos de factorial y combinación, determinemos el desarrollo completo de un binomio:

Ejercicio: Realice el desarrollo de (

78Ñ

$

solución: Utilizando la forma general de binomio, se tiene : 8 8 855 8 Ð+ ,Ñ œ + , 5 5œ9 Ð7  8Ñ$œ

"Š ‹ "Œ  Œ Œ Œ Œ $

5œ!

œ

$ $55 7 8 5

$ !$ $ 78  ! "

$ 7#8  #

#$"

78  $

# $ œ 7 $ $7 8 #$78 8

242

$!

78



Otro ejemplo:

"Š ‹ "Œ  ˆ‰ ˆ‰ 8

($?# @Ñ% œ

5œ9

($?# @Ñ% œ

8 855 + , 5

8œ%

% %5 5 Ð$?Ñ Ð #@Ñ 5

5œ9

œ

% !

8 œ %à 5 œ !ß" ß# ß$ ß% Þ

! Ð$?Ñ %Ð#@Ñ 

%



$

$% " " Ð$?Ñ

$ Ð$?Ñ "Ð#@Ñ 

Œ

Œ

ˆ‰

Ð#@Ñ# # %! %

% #Ð$?Ñ

Ð#@Ñ 

% Ð$?Ñ Ð#@Ñ

$ # # $ % œ Ð$?Ñ %  %Ð$?Ñ ‡Ð#@Ñ  'Ð$?Ñ "‡Ð#@Ñ  %Ð$?Ñ ‡Ð#@Ñ  Ð#@Ñ $ ## $ % œ )"? %  %Ð#(? Ñ‡Ð #@Ñ  'Ð*? Ñ‡Ð%@ Ñ  Ð"#?Ñ‡Ð)@ Ñ  Ð"'@ Ñ $ œ )"? %  #"'? @ # ##"'?$ %@  *'?@  "'@

Ejercicios Desarrolle cada una de las expresiones siguientes mediante el teorema del binimio y simplifique si es necesario: a)(B#Ñ $ ,ÑÐ?  @Ñ& -ÑÐ$:  ;Ñ %

Ahora veremos cómo determinar un término cualquiera sin tener que realizar el desarrollo completo de ese binomio:

Término <-ésimo de un binomio: El término X < se obtiene de la siguiente forma: Xœ <

Š 8+5 ‹,

85 5

à Xdonde œX < 5"

Ejemplo: Determine el séptimo término de ( #BCÑ

"#

Respuesta Xœ X( œ X 5" donde 5 entonces' es '"

12 #BÑ ( 5

Œ 

"#5

†ÐC Ñ

Z E

5

243



Œ 

12 ( #BÑ '

"#'

†ÐC Ñ

'

Z E

œ *#%Ð'%B 'Ñ † Ð  CÑ ' œ *#% † '%B 'C

'

Así el séptimo término de ( #B  CÑ"# es 59136 B''C

Otro ejemplo: # "# " Determine el término que contiene a B'del binomioÐB Ñ # Respuesta

El desarrollo de este binomio es: =

Œ  Œ 

œ

12 " ÐB#Ñ"#5† Ð  Ñ 5 5 # 12 " Ð  5Ñ † ÐBÑ#%#5 5 #

' El término que contiene a Bestá dado por:

B' œ B#%#5

Igualamos exponentes, y se obtiene: 6=24  #5 Luego despejamos y5 tenemos: 25 œ ") 5œ* Como 5 es unÑnúmero − entero( 5 X5"œX

œX *"

œ"!

™ , entonces B existe el término y este es

Œ 

"# ÐBÑ Ð # "#* Ñ *

' œ ##! B †Ð

œ

##! ' B œ &"#

"* # " Ñ &"# && B "#)

244

'

'



Términos centrales de un binomio.

Z E

-Si 8 es parse tiene un sólo término central: X

-

-œ

8 " #

Si 8 es impar se obtienen 2 términos centrales, dados por: 8" # Xy -œ #

"X-œ

8" " #

Ejemplo:Obtener él o los términos centrales de: Ð+  ,Ñ & solución: Como 8 œ &es impar se obtienen dos términos centrales, dados por: X-"œ

&" ' œ œ$ÊX œ$ X 5"Ê5œ# # #

X-# œ

&" # "

X-" œ X-# œ

Œ ˆ‰

œ '" X % 5" # œ $" Ê X œ

& Ð+Ñ #

& $

Ð+Ñ

Ê5 œ$

&# #

Ð,Ñ œ "!+ ,$ #

&$ Ð,Ñ$

œ "!+#,$

Término independiente. Éste término no siempre existe, para determinarlo sabemos que es aquél donde no aparecen el término con variables , por ejemplo B, es decir, es B! Þ " "# Así para el binomio ÐB# Ñ el término independiente está dado por: #

como X<œX

B!œ B #%#5 Ê #%# 5 œ !  #5 œ  #% 5 œ "# 5 −,™entonces existe término independiente. œX 5"

À "#"

Œ 

"# " " ÐB#Ñ"#"#Ð Ñ"# œ ÐB!ÑÐ Ñ "# "# # # " " œ" † Ð  Ñ "#œ" † Ð ÑœÐ # %!*'

245

" Ñ %!*'



Ejercicios Escriba y simplifique el término que se indica en el desarrollo de cada una de las siguientes expresiones: B "& Ñ % Término ,Ñ que contiene a B de(Ð#B  $Ñ 3 * c)Términos centrales de ( 2 + Ñ B d)Término independiente de ( &#BÑ '

a) Noveno término de (2+

"!

Bibliografía Algebra Décima Edición Rees, Sparks, Rees Trigonometría Segunda Edición Frank Ayres Jr.y Robert E. Moyer Algebra y Trigonometría Segunda Edición Dennis G. Zill y Jacqueline M. Dewar Internet http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/combina2.htm http://mailweb.udlap.mx/~ccastane/Syllabus_Mat_Estadistica/Syllabus_Mat_Est.html http://personal5.iddeo.es/ztt/index.htm http://chilemat.da.ru/

246


1001algebraytrigonometriaexcelentematerial-121118161524-phpapp01.pdf

Recommend Documents