1.-Sumur-Potensial-tak-Berhingga

MODEL POTENSIAL 1 DIMENSI

1. Sumur Potensial Tak Berhingga



Kita tinjau partikel bermassa m dengan energi positif , berada dalam sumur potensial satu dimensi dengan dinding potensial tak berhingga dan potensial didalamnya nol, seperti pada Gambar 1. Model potensial ini dan beberapa model potensial yang akan kita bahas selanjutnya hanyalah suatu model potensial khayalan, dan tidak dijumpai bentuk potensial seperti ini di alam.

()

()=0,0<< ∞, yangang lain

m

0

a

x

Gambar 1. Partikel dalam sumur potensial tak berhingga Tugas kita adalah mencari fungsi gelombang dari partikel tersebut. Oleh karena potensial di luar sumur tak berhingga maka partikel hanya berada di dalam sumur, dan tidak dapat keluar. Probabilitas menemukan partikel di dalam sumur sama dengan satu sedangkan probabilitas menemukannya di luar sumur sama dengan nol. Dengan metode separasi variabel, fungsi gelombang dari partikel tersebut berbentuk

Ψ(,, ) = () /ℏ Solusi bergantung waktu

(1)

 ( )

, diperoleh dengan memecahkan persamaan

Schrödinger tak bergantung waktu. Persamaan Schrödinger tak bergantung waktu bentuk satu dimensi adalah

! ! ℏ $ − 2# $(!) + ()() =  () 0<< () = 0

Pada daerah

,

maka persamaan Schrödinger tak bergantung

waktu menjadi

Wayan Suana, M.Si.

Pendidikan Fisika Universitas Lampung

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial Cancel Anytime.





! ! ℏ $ − 2# $(!) =  () $!$(!) = − 2#ℏ! () Dengan mendefinisikan persamaan (3) menjadi

'! ≡ !ℏ*

, dengan

'

(2) (3) adalah bilangan real positif maka

$!$(!) = −'!()

(4)

Persamaan (4) adalah persamaan diferensial orde dua dengan akar-akar bilangan kompleks yang berlainan, solusinya adalah

() = -. + -.

(5)

Syarat batas ( boundary condition) untuk fungsi gelombang pada dinding-dinding sumur adalah bernilai nol karena dinding sumur tebal dengan potensial tak hingga. Hal ini mirip dengan gelombang pada tali, bahwa pada ujung terikat akan terjadi simpul (simpangannya nol). Dengan menerapkan syarat batas pada

(0) = 0  +  = 0 =− () = -. − -. () =−-. − -. () =−2sin' −2 () =7sin' maka

=0 →

Sehingga persamaan (5) berubah menjadi

dengan menuliskan

sebagai konstanta baru, misalnya

7

maka diperoleh

Kemudian menerapkan syarat batas pada dinding sumur yang lainnya,

(6)





 ( ) = 0 7sin'=0 7 sin'=0 '=0,±:,±2:,±3:,… ' = 0 (  ) = 0 Konstanta

tidak boleh nol, jika tidak maka

Namun jika

maka

 ( ) = 0

untuk semua . Selain itu, solusi negatif tidak

memberikan sesuatu yang berbeda. Mengingat

7 ' = : dengengan  = 1, 2, 3, … () ≡ () =7sinA: B '! ≡ !ℏ* 2#ℏ! = A: B! ! ! !  : ℏ  ≡  = 2#! 

minus dari solusi k dapat diserap ke





untuk semua , maka

sin(−)=−sin

, dan tanda

. Jadi solusi yang berbeda untuk k adalah

( )

Persamaan (6) kemudian menjadi

Dengan mensubstitusikan

Ternyata energi

(8)

ke persamaan (7), diperoleh

(9)

dari partikel dalam sumur berbentuk diskrit dan bertingkat-

tingkat, bukan kontinue seperti energi pada partikel klasik. Selain itu, energi

=1 =2

terendah yang dapat dimiliki partikel juga tidak nol. Energi untuk energi pada keadaan dasar ( ground state) sedangkan energi untuk seterusnya disebut energi pada keadaan tereksitasi ( excited states).

Untuk memperoleh konstanta pada persamaan (8).

G E |()|!$ = 1

7

disebut

, 3, 4, dan

, kita lakukan normalisasi terhadap fungsi

()





!7 EH I12 − 12 cos 2: L $=1  H 1  2: 7! M2  − 4: sin  M = 1 7! 2 =1 → 7=N 7= N 2/2/ () () = N 2/2/ sinA: B Dengan demikian, fungsi

ternormalisasi adalah

(10)

Tampak bahwa persamaan Schrödinger tak bergantung waktu menghasilkan

() O() = N 2/2/ sinA: B !() = N 2/2/ sinI2: L P() = N 2/2/ sinI3: L Q() = N 2/2/ sinI4: L

sekumpulan solusi,

untuk n = 1, 2, 3, ... beberapa diantaranya

sedangkan grafik dari beberapa fungsi

O() 0

a

()  ! ( )

x

 P ( ) 0

(11) (12) (13) (14)

diberikan pada Gambar 2.

0

a

x

Q() a

x

a

0

x





Hal-hal penting yang diperoleh dari 1.

Ortonormalitas fungsi

()

()

adalah

Ortonormalitas adalah gabungan dari istilah ortogonalitas dan normalisasi.

() (1 5 ) R ()∗()$ = 0 , untuk # ≠  () E|()|!$=1 () H E ()∗()$ = X (16) X X = 01,, jjiikkaa ## ≠=  #= #≠ H ∗ E () ()$=E Z 2 sisinAnA#: B Z 2 sisinAnA: B$ H 2 ∗ E () ()$$==  E sinAn A#: B sinA sinA: B$ 2sincos[=cos(−[)−cos(+[) H 1 ∗ E () ()$= $ =  E \cosA# −  :B−cosI# +  :L]$ 1 EH cosA# −  :B$ 1 EH cosI# +  :L$ fungsi

merupakan fungsi yang ortogonal karena

sedangkan fungsi

merupakan fungsi yang ternormalisasi karena

Kedua sifat ini dapat digabung menjadi satu, yaitu ortonormalitas. Fungsi dikatakan bersifat ortonormal karena

dengan

disebut delta Kronecker, dimana

Jika

maka hasil integral persamaan (16) jelas sama dengan satu karena

fungsi ternormalisasi sedangkan hasil integral untuk

Dengan menggunakan hubungan

maka persamaan di atas menjadi

yaitu





= :(#1− ) sin(# − ): − :(#1+ ) sin(# + ): = si:n((## −− )): − si:n((## ++ )): =0 #≠ : () G G : ( ) _() = bO` () = N 2/` 2 /` si sinA n A B 1) 1   bO Jika

maka hasil integral sama dengan nol karena sinus dari kelipatan

bilangan bulat positif atau pun negatif dari

2.

Kombinasi linear dari

selalu sama dengan nol.

untuk semua n

Solusi bergantung waktu atau yang disebut dengan keadaan stasioner (persamaan 1) kemudian menjadi

Ψ(,, ) = () /ℏ ***ℏ  :  Ψ(,,) = N 2/2/ sinA  B  !H

Solusi paling umum dari persamaan Schrödinger bergantung waktu, adalah kombinasi linear dari semua solusi, yaitu

G ***ℏ  :  Ψ(,, ) = bO`  N 2/2/ sinA  B  !H Jika fungsi gelombang awal

Ψ(,0, 0)

(18) Ψ(,, ) (19) 

diketahui maka koefisien ekspansi

dapat diperoleh dengan menggunakan trik Fourier . Dari persamaan (19),

Ψ(,0,G0) Ψ(,0, 0) = bO`  N 2/2/ sinA: B G Ψ(,,00) = bO`  ()

bentuk

adalah

(20)







G H H E ∗ () Ψ(,0, 0) $ = E ∗ () bO`  ()$ G H∗ H #: N 2/E sinAn A  B Ψ(,0, 0) $ = bO`  E () ()$ H () RH ∗ () ()$  = # R ∗ () ()$=1 H N 2/E sinAn A#: B Ψ(,0, 0) $ =  Oleh karena sifat ortogonalitas fungsi

punya nilai pada saat

, dan

maka

hanya

(ternormalisasi),

maka

atau

H  = N 2/E sinAn A: B Ψ(,0, 0) $

(21)

Contoh

Bagaimana bentuk fungsi gelombang tak bergantung waktu dari partikel dalam sumur potensial tak hingga jika energinya (a) nol, dan (b) negatif ? Solusi

Jika energi partikel sama dengan nol maka persamaan Schrodinger di dalam

 ( ) = 0 ! ! ℏ $ − 2# $(!) = 0

sumur dengan

adalah





sehingga fungsi gelombang menjadi

() =  () =0 → =0  ( ) = 0

Dengan menerapkan syarat batas pada

=→( =→() = 0

maka


Solusi ini tidak dapat dinormalisasi sehingga tidak merepresentasikan fungsi gelombang dari suatu partikel

Kemudian jika partikel berenergi negatif maka persamaan Schrodingernya adalah

! ! ℏ $ − 2# $(!) = − () $!$(!) = 2#ℏ! () '! ≡ !ℏ* $!$(!) = '!() Dengan mendefinisikan persamaan (3) menjadi

, dengan

'

adalah bilangan real positif maka

d ua dengan akar-akar real yang Persamaan ini adalah persamaan diferensial orde dua

berlainan, solusinya adalah

() = -. + -.






 ( ) = 0

Hasil ini sama dengan hasil yang diperoleh sebelumnya

1.-Sumur-Potensial-tak-Berhingga

Recommend Documents