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CH IV Introduction à la probabilité
1 Probabilités (rappels) Terminologie :
• •
Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle a plusieurs issues aussi appelées éventualités possibles dont on ne peut pas prévoir laquelle sera réalisée. L’ensemble de toutes les éventu alités constitue l’univers de tous les possibles, il est noté . Les sous-ensembles de l’univers sont appelés événements. Les événements formés d’un seul élément sont appelés événements élémentaires . Etant donné un univers univers, l’événem ent est l’événement certain. L’ensemble vide est l’événement impossible.
Exemple : Le lancer d’ un dé à six faces constitue une expérience aléatoire d’issues xi pour i allant de 1 à 6 et correspondantes à la sortie de la face i du dé. Il y a donc 6 issues ou éventualités possibles.
a. Définitions : Hypothèses:
est un ensemble non vide. P ( ) est l'ensemble des parties de . est supposé fini
On appelle Probabilité sur toute application de P ( ) dans l'intervalle l'intervalle [0,1] vérifiant vérifiant les axiomes suivants:
Axiome 1: P ( )=1 Axiome 2: Pour tout A et tout B appartenant à et si A B , alors P ( A B) P ( A) P ( B) Pour un événement A quelconque, q uelconque, le complémentaire de A dans est appelé ''événement
contraire de A'', on note en général A l'événement contraire de A
L’événement formé des éventualités communes à A et B est noté A B . L’événement formé des éventualités qui sont dans A ou dans B ou dans les deux est
noté A B. A et B sont incompatibles si et seulement si A
B
.
a. Propriétés des probabilités Parties de E
Vocabulaire des événements événements
A E A B =
A quelconque Evénement impossible Evénement certain A et B sont incompatibles
1
Propriété 0 ≤ p(A) ≤ 1 p( p() = 0 p(E) = 1 p( A B) = p(A) + p(B)
A
A
A, B
est l’événement contraire de A
p( A ) = 1 – p(A) p(A B) = p(A) + p(B) – p( A B)
A et B quelconques
c. L'équiprobabilité: L'équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité ceci conduit à alors à écrire: Pour tout e dans , P{e}=
1 n
où n est le cardinale de
On résume souvent l'équiprobabilité par la formule:
P ( A)
Nombre de cas Nombre de
favorables
cas possibles
2. Probabilité conditionnelle, événements indépendants a- Exemple: Considérons un lancer de dé ; = {1, 2, 3, 4, 5,6} Soit l'événement ''le résultat est pair" A={ , , } ; P(A)= Soit B ''le résultat est supérieure à 4'' B={ , , } ; P(B)= Alors b est réalisé dans deux cas parmi ceux réalisant A, c'est à dire lorsque A B est réalisé Ainsi, la probabilité de B sachant que A est réalisé est 2/3 :
P ( A B) P ( A)
2 3
b- Définition: Soit P une probabilité sur et soit A un événement de probabilité non nulle. La probabilité sachant que A (est réalisé) est l'application P A qui, à tout événement B, associe le nombre :
P A ( B)
P ( A B) P ( A)
P A ( B) Se note aussi P ( B / A)
c- propriétés 4. P A () =1 5. pour A et B événements incompatibles:
d. Événements indépendants:
P A ( B C ) P A ( B) P A (C )
Définition: Les événements A et b sont indépendants si et seulement si P ( A B) P ( A) P ( B) Remarque:
2
Si A et B ont des probabilités non nulles, A et B sont indépendants si et seulement si P A ( B) P ( B) ou P ( A / B) P ( A)
Application
Un grossiste en appareils ménagers est approvisionné par trois marques, notées respectivement M 1, M 2 et M 3. La moitié des appareils de son stock provient de M 1, un huitième de M 2, et trois huitièmes de M 3. Ce grossiste sait que dans son stock, 13% des appareils de la marque M 1 sont rouge, que 5% des appareils de la marque M 2 sont rouges et que 10% des appareils de la marque M 3 le sont aussi. On donnera les résultats sous forme de fractions. On choisit au hasard un appareil emballé dans le stock de ce grossiste : 1. Quelle est la probabilité qu'il vienne de M 3 ? 2. Quelle est la probabilité qu'il soit rouge sachant qu'il vienne de M 2 ? 3. Quelle est la probabilité que l'appareil choisi ne soit pas de couleur rouge ? 4. Après examen, on s'aperçoit que l'appareil choisi est rouge. Quelle est la probabilité qu'il soit de la marque M 1 ?
3
3. Dénombrement élémentaire: Pour calculer des probabilités complexe, l'énumération des cas élémentaires est souvent fastidieuse .Pour faciliter la tâche, on utilisera les principes de base de l'analyse combinatoire
a- Principe fondamental Lorsqu'un événement peut se produire suivant n1 manière, et qu'immédiatement après, un autre événement peut se produire suivant n 2 façon, alors les deux événements peuvent se produire dans l'ordre considéré suivant : n1 n2 Exemple: S'il y a 3 candidats au poste de député et à celui de maire, les deux fonctions peuvent être occupées
de …………….
b- Permutations: Une permutation de n objets différents pris r à r est un arrangement de r objets pris parmi n, dans un ordre bien déterminé r
On désignera par An le nombre de permutations de n objets pris r à r, donné par:
Anr n(n 1)(n 2).....(n r )
n! (n r ) !
Exemple:
Le nombre de permutations de a , b et c prises deux à deux est:………………. Les permutations sont:…………………………………………………. c- Combinaisons: Une combinaison de n objets différents pris r à r est une sélection de r objets parmi n sans ordre déterminé r
On désignera par C n le nombre de combinaisons de n objets pris r à r, ce nombre est donné par:
C nr
n! r !(n r ) !
4. Probabilité totale:
Considérons une partition et
A1, A 2 ,........ Ak de ; c à d les Ak sont incompatibles deux à deux
A1 A2 ........ Ak
Pour un événement B quelconque, on a d'après la figure 1
4
Figure 1
B ( B A1 ) ( B A2 ) .......... ( B Ak ) Or d'après l'axiome 2 et comme les événements sont disjoints,P(B) peut s'écrire: P ( B) P ( B A1 ) P ( B A2 ) .......... P ( B Ak ) (1) Et comme P ( B Ak ) P ( B / Ak ) P ( Ak ) la relation (1) peut encore s'écrire:
P ( B) P ( B / A1 ) P ( A1 ) P ( B / A2 ) P ( A2 ) .......... P ( B / Ak ) P ( Ak )
(2)
Cette relation (1 ou 2) est connue sous le nom de ''Loi des probabilités totales"
Application: Un lycée compte trois classes de terminale. La classe T1, la classe T2 et la classe T3.30% des élèves de terminales sont en T1 ,50 % sont en T2 et 20% sont en T3. T1 compte 25% de filles, T2 40% de filles et T3 compte 80% de filles. En choisissant un élève de terminale au hasard, quelle est la probabilité de choisir u ne fille?
Références : 1- Murray R. Spiegel "Statistique cours et problèmes", 2ème édition 2-J. Trignan "Probabilités Statistiques et leurs applications" édition Bréal 3-G.COSTANTINI http://bacamaths.net/
5
CH V VARIABLES ALEATOIRES
I°) VARIABLE ALEATOIRE CAS DISCRET : I . a Définition: Considérons l'épreuve "lancer deux fois une pièce de monnaie", ={FF,PF,FP,PP}.Intéressons nous au nombre de fois où "Face est apparu":
FF 2
FP 1
PF 1
PP O
C'est une application de vers discrète c'est-à-dire elle ne prend qu'un nombre fini de valeurs.
Définir une variable aléatoire X , c’est associer à chaque évènement élémentaire {ei} d’une épreuve un nombre réel xi.
I- b loi de Probabilité d'une variable aléatoire . : La variable aléatoire ci-dessus construite définie de nouveaux événements: Pr ob( X 0) (X=0) "Aucune face n'a été tirée" Pr ob( X 1) (X=1) "Une face a été tirée" Pr ob( X 1) (X=2) "2 faces ont été tirées" X Prob (X=x)
0
1
2
On appelle loi de Probabilité de la variable aléatoire X la fonction définie par:
0 ,1 x Pr ob( X x) Graphiquement:
6
I – c Fonction de répartition : Définition: La fonction de répartition da la V.A. X est la fonction F : R xi
[0,1]
F ( xi ) P ( X xi ) P ( X x1 ) P ( X x2 ) ... P ( X xi )
C’est la probabilité cumulée des valeurs jusqu'à x i I- d Propriétés : La fonction de répartition possède les propriétés suivantes : i ) o F ( xi ) 1 , pour tout xi ii) F ( xi ) F ( x j ) si xi x j iii ) P ( X xi ) 1 P ( X xi ) 1 F ( xi )
I- e. Valeurs caractéristiques : 1) Espérance mathématique : Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2 p2,…...pn : Alors l'espérance mathématique de X est E ( X )
2) Propriétés :
i n
i n
i 1
i 1
…xn avec les probabilités p1,
pi xi xi P ( X xi )
a E ( X k ) E ( X ) k b E (kX ) kE ( X )
3)Variace et écart type : Définition : On appelle variance de X le nombre : V ( X ) E [( X E ( X )) 2 ]
L'ecart type est :
4) Propriétés :
pi xi2 ( E ( X )) 2
V ( X )
V ( X k ) V ( X ) V ( kX ) k 2V ( x ) 7
Exercice : Dans une banque, un control visuel est effectué sur les chèques pour relever des éventuelles erreurs .Le nombre d’erreurs est régi par la loi suivante :
Nombre d’erreurs
0 0. 23
P(X=xi)
1 0. 33
2 0. 25
3 0. 13
4 0. 05
5 0 01
1°) Déterminer l’espérance mathématique :
2°) Calculer la variance est l’écart type : V ( X )
i 6
x P ( X x ) ( E ( X )) 2 i
2
i
i 1
xi
x
0 1 2 3 4 5
2 i
f (xi)
xi2 P ( X xi )
0. 23 0. 33 0. 25 0. 13 0 .05 0. 01
II °) VARIABLE ALEATOIRE CAS CONTINUE : Contrairement à une variable discrète, la présente variable peut prendre des valeurs
continues généralement sous forme d’intervalle II- 1) Fonction densité de probabilité : Soit X une variable aléatoire continue 1) Une fonction f est dite fonction de densité si : i ) f ( x) 0 ii)
f ( x)dx 1
2) P (a X b)
b
f ( x)dx a
Exemple :
8
2 x f ( x ) 0
0 x 1 ailleurs
1) f est – elle une densité de probabilité ?
II-2) Fonction de Répartition : a- Définition : La fonction de répartition, noté F(X), d’une variable aléatoire Continue X est : F ( X ) P ( X x)
x
f (t )dt
b- Propriétés : i) P (a X b) F (b) F (a) ii) F () 0 iii) F () 1 iv) F est non décroissante
Exemple : a) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire dont la densité est : 1 (9 x 2 ) si 0 X 3 f ( x) 18 0 ailleurs
pour x 0 : pour 0 x 3 :
pour x 3
b) Déterminer P ( X 2) :
c- Valeurs particulières d'une variable aléatoires : Espérance mathématique : E ( X )
xf ( x)dx
Variance et écart-type coefficient de variation : Var ( X ) E ( X 2 ) ( E ( X )) 2 où E ( X 2 ) x Var ( X )
C v
,
9
x E ( X )
x 2 f ( x)dx
Exemple : 3 (4 x 2 ) si 0 x 2 f ( x) 16 0 ailleurs
a)Déterminer l’espérance mathématique de X : b) Déterminer la variance, l’écart type et le coefficient de variation VI VARIABLES ALEATOIRES USUELLES
I-VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES USUELLES : 1- Loi de BERNOULLI: 1-1 Définition: On considère une population dans laquelle la proportion des individus présentant un caractère donné c est p ( 0 p 1 ).On choisit au hasard un individu dans cette population .Soit X la variable aléatoire qui à tout individu associe la valeur 1 s'il possède le caractère c ,et 0 sinon. Par définition la loi de probabilité de x est appelée . Loi de BERNOULLI.
1-2 Loi de probabilité: Cette loi est simple:on a X () 0,1 ,d'après la définition on obtient immédiatement :
P ( X 1) p , P ( X 1) 1 p ,on note souvent : q 1 p 1-3 Espérance mathématique et variance :
Espérance mathématique La variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p.
E ( X ) p
variance : Var ( X ) (0 p) 2 * (1 p) (1 p) 2 * p p(1 p)
2- Loi Binomiale: 2-1-Définition : On considère l’expérience de n épreuves identiques, chacune donnant lieu à 2 éventualités, l’une appelée succès, avec la probabilité p, l’autre appelée échec, avec la probabilité q= 1 -p. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès réalisé parmi les n épreuves. P ( X k ) C nk p k (1 p ) n k k 0,1,......n
On dit que X suit une loi Binomiale de paramètre n et p Notation : X ~B (n, p) veut dire X suit la loi B (n, p)
2-2- Propriétés
10
E(X) = np Var(X)= npq
2-3- Exercice: On dispose d'un Dé à 6 faces. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une fois le 6 en jetant 6 fois le Dé On jette 6 fois le Dé Il y a donc 6 essais identiques chacun donne lieu à 2 éventualités: On considère comme succès "obtenir 6": p=1/6 L'échec est " ne pas obtenir le 6" donc q=5/6 Soit X la V.A correspondant aux succès réalisés Alors X (6,1 / 6) 1. A :"au moins 1 fois le 6" est l'événement contraire à "aucune fois le 6"
1 5 5 P ( X 0) C 60 ( ) 0 ( ) 6 ( ) 6 6 6 6 5 P ( A) 1 ( ) 6 O,66 6 2. Comparer cette probabilité à celle d'obtenir au moins 2 fois le 6 ,en jettant 12 fois le Dé? Donc n=12, X (12,1 / 6) B " au moins 2 fois le 6" est l'événement contraire à "0 ou 1 fois le 6" 1 1 5 11 0 1 0 5 12 1 ( ) ( ) C 12 ( ) ( ) 12
P ( B ) C
6
6
6
6
Alors : P ( B ) 1
(
5 12 5 11 ) 2( ) 0,62 6 6
3- Loi de POISSON : 3-1- Définition :
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans . X suit une loi de POISSON De paramètre
( 0) si et seulement si : P ( X k ) e
k
k !
Notation : X suit une loi de POISSON de paramètre On écrit
X ~ P ( )
3-2-Proprietés : E(X)=
;
Var(X)=
3-3- Situations : Lorsque la réalisation d’un événement est très rare on utilise la loi de poisson : Erreurs d’impression File d’attente (téléphone, super marché ….) o o o
Etc
3-4- Approximation d’une loi binomiale par une loi da poisson : D’une façon générale, pour n assez grand et p voisin de 0 si X ~ B (n, p) alors P ( X k ) e
Exercice:
k
k !
, avec np
11
Dans une chaîne de fabrication ,2% des objets sont défectueux. On prélève une pièce, on l’examine ,et on la replace dans la chaîne. On répète 100 fois cette expérience. Considérons comme « succès » la pièce est défectueuse Donc p=0.02 conséquence q=0.98 Soit x la variable correspondant au nombre de succès relevés parmi 100 essais Alors :
X B(100;0.02)
Par exemple P ( X
5 (0.02)5 (0.98)5 5) C 100
Les calculs sont fastidieux et longs La loi de poisson donne une bonne approximation avec pn, ici 2
P ( X 5) e
2
25 5!
Remarque : Cette approximation peut être appliqué pour : n 30 et np 5
n 20 et p
1 30
II- Lois continues Exemple loi normale : 1-Définition : Une variable aléatoire continue est dite distribuée selon une loi normale si l'expression de sa densité est :
f ( x)
1 x 2 ( ) 2
1 2
e
2- Représentation graphique f(x)
x
+
Lorsque la distribution des individus dans une population obéit à la loi normale, a- 50 % des individus à droite de la moyenne et 50 % à gauche de la moyenne (la loi normale est Symétrique)
50 %
x
b-68 % des individus entre et
12
68 %
x
+ C.
95 % des individus sont dans l’intervalle 2, 95 %
2
D.
x
+ 2
99,7 % des individus entre et (il y a s’écarte de la moyenne de plus de 3 ).
donc très peu de chances qu’un individu 99,7 %
3
x
+ 3
3-Calcul des probabilités : Pour calculer les probabilités associées à la loi normale, on ut ilise généralement la loi Normale centrée réduite :
c’est une loi normale pour laquelle et .
4- Remarques : a) P ( X ) P (
X )
b) Sa fonction de densité est la suivante :
f ( x )
1 2
e
x 2 2
c) f(x)=f (-x)
P ( X 0)
0.5
P ( X 0)
0.5
x
0
c- 1
13
On trouve d’abord
P (0 X k ) , On ajoute à ce résultat 0.5
0
x
k
Evaluation de P ( X k ) c- 2 On trouve d’abord P (0
X
k ) .
P ( X k )
On soustrait par la suite le résultat Obtenu de 0.5
0
x
k
Evaluation de P ( X k ) c-3
P ( k 1
-k 1
0
X k 2 )
x
k 2
P (k 1 X k 2 ) P (k 1 X 0) P (0 X k 2 ) c- 4
0
k 1
k 2
x
P (k 1 X k 2 ) P (0 X k 2 ) P (0 X k 1 ) c- 5
Prob (table)
-k 2 -k 1
P (k 2
x
0
X k 1 ) P (0 X k 2 ) P (0 X k 1 )
14
15
Etape 1: Ancienneté de chômage Eliminer les données non définies et construire le tableau de contingence.
Age 25-49 364.9
50 et +
Moins de 3 mois
15-24 136
41.3
Total 533.2
De 3 mois à 1 an
307.2
787
107.9
1202.1
De 1 an à moins de 2 ans
83.2
413.7
97.7
594.6
2 ans et plus
47.2
427.4
155.2
629.8
573.6
1993
402.1
2959.7
Total
Etape 2: Ancienneté de chômage
Age Y
X
15-24
25-49
y1
y2
y3
20
37.5
57.5
Calculer des statistiques marginales (uniquement)
Il faut définir les centres des intérvalles pour chaque des variables (x et y)
50 et +
Tota Ni
Moins de 3 mois
x1
1.5
136
364.9
41.3
542.
De 3 mois à 1 an
x2
7.5
307.2
787
107.9
1202
De 1 an à moins de 2 ans 2 ans et plus (4 an max)
x3
18.0
83.2
413.7
97.7 594.
x4
Total
36.0
47.2
427.4
155.2
Nj
573.6
1993
402.1
629. 2968
Nj x Yj
11472
74737.5 23120.75 10933
Nj x Yj²
229440 2802656 1329443.1 436153
N= 2968.7 age moyen
1 N
n j y j
109330.25
=36.8
2968.7
j
2
1 Variance d ' âge n j y j2 n j y j 112.9 N j N j 1
ancienneté moyenne
1
N
ni xi
43204.65
i
=14.6
2968.7 2
1 1077709.275 (14.6 Variance d ' ancienneté n x ni xi N i N 2968 . 7 i 1
Etape 3:
2 i i
Ancienneté de chômage
Age Y
X
15-24
25-49
y1
y2
20
37.5
40 0
1406.25
136
364.9
Calculs des statistiques conditionnelles Yj² Moins de 3 mois
16
x1
Xi
Xi²
1.5
2.25
De 3 mois à 1 an
x2
7.5
56.25
307.2
787
De 1 an à moins de 2 ans 2 ans et plus (4 an max)
x3
18.0
324
83.2
413.7
x4
36.0
1296
47.2
427.4
573.6
1993
Somme de Somme(Xi *Nij)
5704.8
29282.85
Somme(Xi² *Nij)
105714
733038.98
Total
Nj
EX
17
MoyenneXj
9.95
14.69
VarianceXj
85.38
151.93
Ecart type Xj
9.24
12.33
Erreur type Xj
0.386
0.276
Exercice 1 1. Déterminer une équation de la droite de régression de y en x et indiquer le coefficient de corrélation linéaire.
À l’aide de la calculatrice, on obtient l’équation y ó41165 x +94560
(coefficients donnés à 1
près) Le coefficient de corrélation linbéaire est : ró0,984 . (à 10‐ 3 près)
2. Compléter le tableau par la suite des valeurs zi =ln y i Année xi Consomm ation y i (en kF) zi =ln y i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
165 442
187 607
209 333
237 630
274 713
324 830
379 252
431 158
493 493
12,016
12,142
12,252
12,378
12,523
12,691
12,846
12,974
13,109
3. Déterminer une équation de la droite de régression de z en x. La calculatrice nous donne l’équation : z ó0,14 x +11,85 (coefficients donnés à 10‐ 2 près) Le coefficient de corrélation linéaire est : r ó 0,999
18
(à 10‐ 3 près)
4. En déduire une relation entre y et x. L’équation précédente équivaut successivement à :
ln y ó0,14 x +11,85 yóe 0,14 x +11,85
y ó e 11,85 ( e 0,14 )
x
y ó 140084×1,15 x
On en déduit une prévision pour l’année 10 : y 10ó140084×1,1510ó566718 Remarque : un calcul direct à la machine utilisant la fonction "Régression exponentielle" (ou ExpReg) ce qui s’explique par l’absence d’arrondis pour les donne y ó 140175× 1,1497 x puis y 10 ó565514,4 calculs intermédiaires
19
