Cinématique
- Le Mouvement Un objet est en mouvement par rapport à à un autre lorsque sa position r, vue ou mesurée par rapport au second objet, é volue en fonction du t.. temps t temps
- Si r( t )=constante, l’objet n.1 est au repos relatif par rapport à l’objet n.2. - Repos et mouvement sont donc des notions relatives.
Nécessité de
é f é é renc $ définir un syst è me de r é pour pouvoir analyser le mouvement.
… Exemple du mouvement de la Lune par rapport à la Terre et par rapport au Soleil...
I. Mouvement rectiligne - mouvement rectiligne => trajectoire = une droite - notion de vitesse moyenne : O
A
B
0, 0
x, !
x’ , !’
- notion de vitesse instantan ée :
- d’où :
position de départ
déplacement pendant d %
Exercice 1 Une particule se déplace le long de l ’axe des x de telle sorte que x ( t ) = 5 % 2 + 1. Calculer sa vitesse moyenne dans l’intervalle compris entre :
( a ) 2 s et 3 s x( 2s )=21m & x( 3s )=46m => Δ x=25m, Δt=1s => moy=25 m/s moy=20.5 m/s ( b ) 2 s et 2.1 s moy=20.005 m/s ( c ) 2 s et 2.001 s moy=20.00005 m/s ( d ) 2 s et 2.00001 s Quelle est sa vitesse instantanée à t = 2 s ? ( t ) = limite de v( 2s+d %) quand d %- >0 = 20 m/s
En e ff et : v( t ) = dx/d % = d/d % ( 5 % 2 + 1 ) = 10 % => ( 2s ) = 20 m/s
- notion d’accélération moyenne : Comme la position, la vitesse est une fonction de %. Si la itesse est constant $, le mouvement est dit uniform$ , ce qui correspond à une accé l é ration nu +$ . En eff et l’accélération moyenne a est définie telle que :
- notion d’accélération instantanée : De même que pour la vitesse, on a simplement :
Et donc :
vitesse de départ
variation de pendant d %
- en voulant lier l’accélération à la position :
- et de même :
- ce qui donne :
• quelques cas simples de mouvements rectilignes :
- les vecteurs v et a sont de même sens : le , mouvement est accé l é r - les vecteurs v et a sont de sens contraire : le , ( ou retard , ou ein, ) mouvement est d éc é l é r - v est constant ( et donc a est nul ) : le mouvement est dit rectiligne uniform$ , et l’on a :
- a est constant : le mouvement est dit rectilign$ , , et l’on a : uniformé ment accé l é r
Mais aussi :
- en prenant t0=0 on a tout simplement :
… qui sont finalement les équations du cas g énéral <
>, en eff et :
- a=cste≠ 0 => mvt rect. uniformément accéléré - a=0 => mvt rect. uniforme
On remarque que contrairement à l’intuition qui nous ferait classer les mouvements rectilignes en deux classes :
- <>, - <>. On a plutôt la classification suivante :
- <> - <>
Exercice 2 On tire une balle verticalement vers le haut avec #0=98 m/s depuis le toit d’un bâ timent de 100 . de haut. Trouver : =0 v=0
( a ) la hauteur maximum atteinte par la balle, ( b ) la vitesse avec laquelle elle va toucher terre de nouveau, ( a ) le temps total écoulé.
=98m/s v=98m/s
On donne g =9.8 m/s 2.
ax max
( a ) hauteur maximum hmax atteinte par la balle : On a :
En posant : - état initial : t0= 0 - état final : tf = ? On trouve :
x 0 = 100 m v 0 = 98 m/s
x f = ?
v f = 0 m/s
( b ) vitesse de la balle quand elle touche le sol : On a toujours :
Mais en posant : - état initial : t0= 0 - état final : tf = ? On trouve alors : C’est à dire :
x 0 = 590 m v 0 = 0 m/s
x f = 0 m
vf = ?
( c ) temps total écoulé : montée
:
descente
:
=> total
:
II. Mouvement curviligne $
A
r, !
B
r ’ , !’
O
0, 0 x
y
- de même :
- et :
: - Le mouvement curviligne uniformé ment accé lé r&
v 0 et a ont a priori des directions différentes ⇒ v n’est donc pas // à a , mais se trouve toujours dans le même plan défini par v 0 et a
de plus l’extrémité de r se trouve toujours dans le même plan // à v 0 et a passant par le point d éfini par r0 ⇒ le mouvement curviligne uniform ément accél éré est toujours plan ! (et c’est une parabole)
- en prenant ici aussi t 0=0 on obtient simplement :
( d é montrer cette derni è re é quatio/… ) (Exercice 3)
- Exemple du mouvement d’un projectile :
Exercice 4 Trouver : ( a ) la hauteur atteinte h ( b ) le temps de vol %ol ( c ) la distance horizontale parcourue ( portée ) d #0 y
g
# O
À noter que l’on né glige ici :
x
- la courbure de la Terre - la variation de la pesanteur avec la hauteur - la résistance de l’air
( a ) hauteur h atteinte : Hauteur maximum atteinte ( y=h ) quand v y =0, d’où :
Ce qui entra îne :
Et donc :
( b ) temps de vol ! vol : On a : ! vol = !montée + !descente On a aussi déjà vu que : !montée = #0y / g = v0 si '
/ g
Quant à !descente, il est par symétrie du problème bien é videmment é gale à !montée, d’où :
( c ) portée d : En injectant l’expression de ! vol dans l’équation :
On obtient :
… au fait : comment optimiser cette port é e d ?
Exercice 5
Exercice 6
Exercice 7
Exercice 8
Exercice 9
composantes tangentie( e e! normale de l ’ acc é l ér atio '
Composante tangentie() de l’accélération : dénote une variation du modul ) de #
Composante normal ) de l’accélération : dénote une variation de la directio ' de #
Et on a :
Où
est le rayon de courbure ( R pour un cercle,
pour une droite )
Cas particulier du mouvement rectilign) : - composante normal ) toujours nulle, - composante tangentie() = accélération. O
#O
A # A
B
x, !
0, 0 a=aT
# B
x’ , !’ a=aT
Cas particulier du mouvement uniform) : - composante normal ) = accélération, - composante tangentie() toujours nulle.
a=aN A
# A
a=aN B # B
mouvement circulaire : #itesse et accé l ér ation angulaires
- notion de #itesse angulair ) :
- si
est constant ( mvt circulaire uniforme ), on a :
… en prenant !0=0 et
0=0
on a ( = fréquence ) :
- notion d’ accé l ér ation angulaire d /d ! :
- si d /d ! est constant ( mvt circulaire uniformément accéléré), on a :
- De plus, dans le cas du mouvement circulaire :
