1. Una compañía que actualmente emplea un proceso de inspección en su departamento de recepción de 1. materiales trata de instalar un programa de reducción general de costos. Una reducción posible es la eliminación de un puesto de inspección. Este puesto pone a prueba el material que tiene un contenido defectuoso con un promedio de 0.04. Al inspeccionar todos los artículos, el inspector puede eliminar todos los defectos e inspeccionar 50 unidades por hora. El pago por hora de este puesto, incluidas las prestaciones, es de 9 dólares. Si se elimina el puesto de inspección, los defectos llegarán a la línea de ensamble y será necesario reemplazar los productos más adelante a un costo de 10 dólares cada uno, al detectar los defectos durante las pruebas de producto finales. a) ¿Se debe eliminar este puesto de inspección? b) ¿Cuál es el costo costo de inspeccionar inspeccionar cada unidad? c) ¿Se genera un beneficio (o una pérdida) del proceso de inspección actual? ¿De cuánto? SOLUCIÓN: SIN INSPECCIÓN: 0,4 defectos *10 dólares = 0,4 dólares / unidad. CON INSPECCIÓN: 9 dólares/hora * 1 hora/ 50 unidades =0,18 dólares / unidad. a) No se debe eliminar el puesto de inspección ya que este trae beneficios a la empresa. b) El consto de inspección es de 0,18 dólares/unidad. c) De eliminar el puesto de inspección se generará una pérdida de 0,4 dólares/unidad. 2. Un fabricante de productos de metal produce varillas con un diámetro exterior que tiene una especificación de 1 ± 0.01 pulgadas. El operador de una máquina toma varias medidas de la muestra a través del tiempo y determina que el diámetro exterior medio de la muestra es de 1.002 pulgadas con una desviación estándar de 0.003 pulgadas. a) Calcule el índice de capacidad del proceso para este ejemplo. b) ¿Qué le dice esta cifra acerca del proceso? SOLUCIÓN: − − a) Ck =min σ ; σ Ck =min[1,03(0,020,03)09 ; 1,03(0,11,03)002] Ck =min101,33 ; 0,89 = 0,89 b) Esto indica que la media del proceso cambio a la derecha, pero las piezas se encuentran dentro de los límites. límit es.
3. Se tomaron 10 muestras de 15 piezas cada una de un proceso continuo con el fin de establecer una gráfica p para control. Las muestras y el número de piezas defectuosas en cada una aparecen en la tabla siguiente: uestra n ° de defectos en la muestra 1 15 3 2 15 1 3 15 0 4 15 0 5 15 0 6 15 2 7 15 0 8 15 3 9 15 1 10 15 0 a) Elabore una gráfica p para una confianza de 95% (1.96 desviaciones estándar). b) Con base en los puntos de datos en el diagrama, ¿qué comentarios puede hacer? SOLUCIÓN: a) p = () =0,067 0 , 0 67(10, 0 67) s = p(1p) = n 15 =√0,0042=0,065 ( ) LCS= p+1, 9 6s =0, 0 67+1, 9 6 0, 0 65 =0, 1 944 LCI= p1,96s =
0,0671,96(0,065) =0,06 o cero b)
4. La producción de un proceso contiene 0.02 unidades defectuosas. El reemplazo de cada una de las unidades defectuosas que no son detectadas y llegan a los últimos pasos del ensamblaje tiene un costo de 25 dólares. Es posible establecer un proceso de inspección, que detectaría y eliminaría todas las piezas defectuosas, con el fi n de probar las unidades. Sin embargo, el inspector, quien puede probar 20 unidades por hora, recibe un pago de 8 dólares la hora, incluidas sus prestaciones. ¿Es conveniente instalar una estación de inspección para probar todas las unidades? a) ¿Cuál es el costo de inspeccionar cada unidad? b) ¿Cuál es el beneficio (o la pérdida) derivado del proceso de inspección? SOLUCIÓN: SIN INSPECCIÓN: 0,02 defectos *25 dólares = 0,5 dólares / unidad. a) COSTO CON INSPECCIÓN: 8 dólares/hora * 1 hora/ 20 unidades =0,4 dólares / unidad. b) El beneficio del proceso de inspección es de 0,1 dólares/ unidad 5. En un punto específico de un proceso de producción, hay un índice de errores de 3%. Si se colocara un inspector en este punto, sería posible detectar y eliminar todos los errores. Sin embargo, al inspector se le pagan 8 dólares por hora y puede inspeccionar las unidades en el proceso a una velocidad de 30 por hora. Si no se
recurre a ningún inspector y los errores pasan este punto, hay un costo de 10 dólares por unidad para corregir el error en una etapa posterior. ¿Es conveniente contratar a un inspector? SOLUCIÓN: COSTO SIN INSPECCIÓN: 0,03 defectos*10 dólares = 0,3 dólares /defecto COSTO CON INSPECCIÓN: 8 dólares/hora * 1 hora/ 30 unidades =0,267 dólares / unidad. Al momento que el inspector realiza la inspección tiene un costo menor , entonces si es conveniente realizar la inspección. 6. Una máquina automatizada a alta velocidad fabrica resistores para circuitos electrónicos. La máquina está programada para producir un lote muy numeroso de resistores de 1 000 ohms cada uno. Con el fin de ajustar la máquina y crear una gráfica de control para utilizarla a lo largo de todo el proceso, se tomaron 15 muestras con cuatro resistores cada una. La lista completa de muestras y sus valores medidos es la siguiente: Número de la
Lecturas (en ohms) 1
2
3
4
1
1 010
991
985
986
2
995
996
1 009
994
3
990
1 003
1015
1 008
4
1 015
1 020
1 009
998
5
1 013
1 019
1 005
993
6
994
1 001
994
1 005
7
989
992
982
1 020
8
1 001
986
996
996
9
1 006
989
1 005
1 007
10
992
1 007
1 006
979
11
996
1 006
997
989
12
1 019
996
991
1 011
13
981
991
989
1 003
muestra
14
999
993
988
984
15
1 013
1 002
1 005
992
X
Elabore una gráfica y una gráfica R y diagrame los valores. Con base en las gráficas ¿qué comentarios puede hacer sobre el proceso? (Utilice los límites de control sigma)
Número
Lecturas (en ohms)
de la
Datos de
Datos de
media
Rango
muestra
1
2
3
4
Media
Rango
1
1010
991
985
986
993.00
25.00
2
995
996
1009
994
998.50
15.00
3
990
1003
1015
1008
1004.00
25.00
4
1015
1020
1009
998
1010.50
22.00
5
1013
1019
1005
993
1007.50
26.00
6
994
1001
994
1005
998.50
11.00
7
989
992
982
1020
995.75
38.00
8
1001
986
996
996
994.75
15.00
9
1006
989
1005
1007
1001.75
18.00
10
992
1007
1006
979
996.00
28.00
11
996
1006
997
989
997.00
17.00
12
1019
996
991
1011
1004.25
28.00
13
981
991
989
1003
991.00
22.00
14
999
993
988
984
991.00
15.00
15
1013
1002
1005
992
1003.00
21.00
̿X =999.1 R =21.73 LCS X =X̿ +AR =999.1+ (0.729∗21.73) =1014.94 LCI X =X̿ AR =999.1(0.729∗21.73)=983.26 = =2.282∗21.73=49.59
= =0∗21.73=0
Número de la
Lecturas (en ohms)
Datos de media
Datos de Rango
1
2
3
4
Media
LC
LCS
LCI
Rango
LC
LCS
LCI
1
1010
991
985
986
993.00
999.10
1014.94
983.26
25.00
21.73
49.60
0
2
995
996
1009
994
998.50
999.10
1014.94
983.26
15.00
21.73
49.60
0
3
990
1003
1015
1008
1004.00
999.10
1014.94
983.26
25.00
21.73
49.60
0
4
1015
1020
1009
998
1010.50
999.10
1014.94
983.26
22.00
21.73
49.60
0
5
1013
1019
1005
993
1007.50
999.10
1014.94
983.26
26.00
21.73
49.60
0
6
994
1001
994
1005
998.50
999.10
1014.94
983.26
11.00
21.73
49.60
0
7
989
992
982
1020
995.75
999.10
1014.94
983.26
38.00
21.73
49.60
0
8
1001
986
996
996
994.75
999.10
1014.94
983.26
15.00
21.73
49.60
0
9
1006
989
1005
1007
1001.75
999.10
1014.94
983.26
18.00
21.73
49.60
0
10
992
1007
1006
979
996.00
999.10
1014.94
983.26
28.00
21.73
49.60
0
11
996
1006
997
989
997.00
999.10
1014.94
983.26
17.00
21.73
49.60
0
12
1019
996
991
1011
1004.25
999.10
1014.94
983.26
28.00
21.73
49.60
0
13
981
991
989
1003
991.00
999.10
1014.94
983.26
22.00
21.73
49.60
0
14
999
993
988
984
991.00
999.10
1014.94
983.26
15.00
21.73
49.60
0
15
1013
1002
1005
992
1003.00
999.10
1014.94
983.26
21.00
21.73
49.60
0
muestra
MINITAB
MINITAB
EXCEL Carta X 1020.00 1015.00 1010.00 1005.00 1000.00 995.00 990.00 985.00 980.00 975.00 970.00 965.00 1
2
3
4
5 Media
6
7
8
LC
Carta R
9 LCS
10
11 LCI
12
13
14
15
EXCEL Carta X 1020.00 1015.00 1010.00 1005.00 1000.00 995.00 990.00 985.00 980.00 975.00 970.00 965.00 1
2
3
4
5
6
7
Media
8
LC
9
10
LCS
11
12
13
14
15
12
13
14
15
LCI
Carta R 60.00
50.00
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00 1
2
3
4
5 Rango
6
7
8 LC
9 LCS
10
11 LCI
El proceso estás controlado estadísticamente. La media del proceso es estable. Ningún subgrupo está fuera de control en la gráfica Xbarra.
7. En el pasado, Alpha Corporation no realizaba inspecciones de control de calidad en los productos que recibía, sino que confiaba en sus proveedores. Sin embargo, hace poco la empresa tuvo una experiencia desagradable con la calidad de los artículos que compra y quiere establecer planes de muestreo para que los use el departamento de recepción de productos. Para un componente X en particular, Alpha tiene una tolerancia de defectos por lote de 10%. Zenon Corporation, compañía a la que Alpha compra este componente, tiene un nivel de calidad aceptable en sus instalaciones de producción de 3% para el componente X. Alpha tiene un riesgo para el consumidor de 10% y Zenon maneja un riesgo para el productor de 5%. a.
Al recibir un envío del Producto X de Zenon Corporation, ¿qué tamaño de muestra debe probar el departamento de recepción de productos?
=0.03, =0.1, =0.05, =0.1
0. 1 = 0.03 =3.333 :=5 . = 2.0.60133 =87.1 :=87.1 El tamaño de la muestra apropiado es de 88 productos.
b.
¿Cuál es el número de defectos permitido con el fin de aceptar el envío? Se acepta el envío hasta con 5 productos defectuosos.
8. A usted lo acaban de nombrar asistente del administrador de un hospital de su localidad
y su primer proyecto consiste en investigar la calidad de las comidas para los pacientes que prepara el departamento de servicio de alimentos. Para ello, realizó una encuesta durante 10 días presentando con cada comida un sencillo cuestionario a 400 pacientes, pidiéndoles que marcaran si la comida había sido satisfactoria o no satisfactoria. Para mayor simplicidad en este problema, suponga que la respuesta fue de 1 000 cuestionarios regresados de 1 200 comidas cada día. Los resultados son los siguientes:
Número de
Tamaño de
alimentos no
la muestra
satisfactorios
a.
dic-01
74
1 000
dic-02
42
1 000
dic-03
64
1 000
dic-04
80
1 000
dic-05
40
1 000
dic-06
50
1 000
dic-07
65
1 000
dic-08
70
1 000
dic-09
40
1 000
dic-10
75
1 000
600
10 000
Elabore una gráfica p con base en los resultados del cuestionario, utilizando un intervalo de confianza de 95.5%, que son dos desviaciones estándar.
̅ = ° ° maño de muestras p = 10 600x 1000 = 503 =0.06
0 . 0 6(10. 0 6) S = p(1p) = n 1000 =0.0075 LCS=p+zS =0. 0 6+(2x 0.0075)=0.075 LCI=pzS =0.06 (2 x 0.0075) =0.045 Datos de p Número de
Tamaño
Fracción de
LC
LCS
LCI
alimentos no
de la
insatisfacción
satisfactorios
muestra
dic-01
74
1000
0.074
0.06
0.075
0.045
dic-02
42
1000
0.042
0.06
0.075
0.045
dic-03
64
1000
0.064
0.06
0.075
0.045
dic-04
80
1000
0.080
0.06
0.075
0.045
dic-05
40
1000
0.040
0.06
0.075
0.045
dic-06
50
1000
0.050
0.06
0.075
0.045
dic-07
65
1000
0.065
0.06
0.075
0.045
dic-08
70
1000
0.070
0.06
0.075
0.045
dic-09
40
1000
0.040
0.06
0.075
0.045
dic-10
75
1000
0.075
0.06
0.075
0.045
600
10 000
MINITAB
EXCEL Gráfico p 0.090 0.080 0.070 0.060 0.050 0.040 0.030 0.020 0.010 0.000 1
2
3
4
5
Fracción de insatisfacción
b.
6
7 LC
8 LCS
9
10
11
LCI
¿Qué comentarios puede hacer acerca de los resultados de la encuesta? El administrador debe de investigar la calidad de la comida que se le da a los
pacientes, puesto que la gráfica nos muestra que el proceso está fuera de control. 9. En un departamento de una empresa de electrónica se fabrican chips de circuitos integrados a gran escala. Estos chips se integran a dispositivos analógicos que después se encapsulan en un material epóxico. El rendimiento no es muy bueno para la manufactura de chips integrados a gran escala, de modo que el NCA especificado por el departamento es de 0.15, mientras que el PTDL que el departamento de ensamblaje considera aceptable es de 0.40. a.
Desarrolle un plan de muestreo.
NCA=0.15 PTDL=0.40 PTDL 0. 4 0 = NCA 0.15 =2.667 Entonces:c=8 n.NCANCA = 4.0.61955 =31.3 Entonces:n=32 b.
Explique qué significa el plan de muestreo; es decir, ¿cómo diría a alguna persona que realizara la prueba? Realizar un muestreo de 32 chips, rechazar el lote si se encuentra más de 8 defectuosos.
10. Los departamentos de policía estatal y local tratan de analizar los índices delictivos con el fin de cambiar sus patrullas de las áreas en las que los índices van a la baja a aquellas en donde se han incrementado. La ciudad y el condado están divididos en áreas que contienen 5 000 residencias. La policía reconoce que no se denuncian todos
los delitos e infracciones: la gente no quiere verse involucrada, considera que las infracciones no son tan grandes como para denunciarlas, no se sienten a gusto de ir a la policía o no se dan el tiempo de hacerlo, entre otras razones. Debido a lo anterior, cada mes, la policía contacta por teléfono a una muestra aleatoria de 1 000 de las 5 000 residencias para obtener información sobre delincuencia (a quienes contestan las llamadas se les garantiza el anonimato). Éstos son los datos recopilados durante los últimos 12 meses para un área:
Mes
Incidencia
Tamaño
Índice
de delitos
de la
delictivo
muestra Enero
7
1 000
0.007
Febrero
9
1 000
0.009
Marzo
7
1 000
0.007
Abril
7
1 000
0.007
Mayo
7
1 000
0.007
Junio
9
1000
0.009
Julio
7
1000
0.007
Agosto
10
1 000
0.01
Septiembre
8
1 000
0.008
Octubre
11
1 000
0.011
Noviembre
10
1 000
0.01
Diciembre
8
1 000
0.008
Elabore una gráfica p para una confianza de 95% (1.96) y diagrame cada uno de los meses. Si los próximos tres meses muestran que la incidencia de delitos en esa área será: Enero = 10 (de 1 000 elementos en la muestra) Febrero = 12 (de 1 000 elementos en la muestra) Marzo = 11 (de 1 000 elementos en la muestra)
¿Qué comentarios puede hacer en cuanto al índice de crímenes?
de de def e ctos de todas l a s muestras p = N° total N° de muestras x Tamaño de muestras p = 12 100x 1000 = 1201 =0.0083 0 . 0 083(10. 0 083) S = p(1p) = n 1000 =0.0029 LCS=p+zS =0.0083+(1.96x 0.0029)=0.0139 LCI=pzS =0.0083 (1.96 x 0.0029) =0.0026
Datos de p Mes
Incidencia
Tamaño
de delitos
de la
Índice delictivo
LC
LCS
LCI
muestra Enero
7
1000
0.007
0.0083
0.0139
0.0026
Febrero
9
1000
0.009
0.0083
0.0139
0.0026
Marzo
7
1000
0.007
0.0083
0.0139
0.0026
Abril
7
1000
0.007
0.0083
0.0139
0.0026
Mayo
7
1000
0.007
0.0083
0.0139
0.0026
Junio
9
1000
0.009
0.0083
0.0139
0.0026
Julio
7
1000
0.007
0.0083
0.0139
0.0026
Agosto
10
1000
0.01
0.0083
0.0139
0.0026
Septiembre
8
1000
0.008
0.0083
0.0139
0.0026
Octubre
11
1000
0.011
0.0083
0.0139
0.0026
Noviembre
10
1000
0.01
0.0083
0.0139
0.0026
Diciembre
8
1000
0.008
0.0083
0.0139
0.0026
100
MINITAB
EXCEL
Gráfico p 0.016 0.014 0.012 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0
En la tasa de criminalidad parece haber un aumento gradual; según la gráfica el proceso está bajo control, es decir se puede afirmar que el índice de criminalidad no ha aumentado.
