Didáctica de la Geometría
El modelo de enseñanza y aprendizaje de Van Hiele Godino, JD (2002) Geometría y su Didáctica para maestros. http://www.ugr.es/local/jgodino/edumat-maestros/ Corberán, R.M., et al (1989) Didáctica de la geometría: modelo Van Van Hiele.
La Geometría Los Van Hiele parten de la consideración de las matemáticas como actividad (=acción) llegan a formular su teoría caracterizando la E-A a través de una jerarquía de niveles, de manera maner a que ir pasando ordenadamente por ellos facilita la didáctica.
Proponen 5 niveles. Cada nivel describe procesos de pensamiento (los cuales se evidencian mediante las tareas)
El modelo. Niveles de conocimiento en Geometría Objetos de pensamiento: Formas (según apariencia)
• Reconocen las formas y las nombran (apariencia global) atributos irrelevantes.
Nivel 1. Análisis
• Consideran todas las formas de una “clase” se puede hablar de los rectángulos
Nivel 0. Visualización
Productos de pensamiento: Clases de formas (“similares”)
Sistemas axiomáticos deductivos para la geometría
Propiedades de las formas
• Clasifican usando sólo un mínimo de características.
“Si…entonces… ” Nivel 2. Deducción informal
Nivel 3. Deducción
• Necesidad sistema lógico: con un mínimo de supuestos
Relaciones entre propiedades de los objetos geométricos
• Nivel máximo. • Contraste entre diferentes sistemas Nivel 4. Rigor
Comparaciones Comparaciones entre entre diferentes sistemas axiomáticos de geometría
Nivel 0. Visualización
: Formas (según su apariencia global)
Reconocen y nombran formas, pero basándose en sus características visuales globales “pongo estas formas juntas porque se parecen”, “un rectángulo es un rectángulo porque se parece a una puerta”
Hacen mediciones
Hablan de propiedades, pero no razonan sobre s obre ellas
Se basan en la apariencia y por ello pueden asignarles atributos irrelevantes, como la posición, etc.
: clases o agrupaciones de formas que parecen ser
Nivel 1. Análisis
: clases de formas (en vez de formas individuales)
Ya es posible hablar, por ej. sobre s obre todos los rectángulos
Qué hace que un rectángulo sea un rectángulo (4 lados, lados opuestos paralelos, lados opuestos congruentes, cuatro ángulos rectos, diagonales congruentes, ..etc.)
Eliminan los atributos irrelevantes (como la posición, …)
Se dan cuenta de que una colección de formas pertenece a una clase debido a sus propiedades.
Son capaces de listar todas las propiedades, pero NO ven las relaciones de inclusión (un cuadrado es un rectángulo). Al definir una forman forman dan “muchas” propiedades
: propiedades de las formas
Nivel 2. Deducción Informal
: propiedades de las formas
Como ya no piensan en una forma particular, pueden relacionar las propiedades CONJETURAS
“si los 4 ángulos son rectos, la figura es rectángulo. Un cuadrado tiene los 4 ángulos rectos, por lo que un cuadrado es un rectángulo”
Usan argumentos “Si… entonces…”
Se dan cuenta de que se puede definir usando definir usando un conjunto mínimo de propiedades
Ej: 4 lados congruentes y al menos un ángulo recto
¿?
Demostraciones “intuitivas”, no realmente formales (deductivas)
: relaciones entre propiedades
Nivel 3. Deducción
: relaciones entre propiedades
¿son verdaderas las conjeturas anteriores? Necesidad de p r o b a r .
Necesidad de un sistema lógico basado en un conjunto mínimo de supuestos y a partir del cual se deriven todas las proposiciones
Pueden trabajar con enunciados abstractos
No solo ve que las diagonales de un rectángulo se cortan en su punto medio (tb. lo ve el de nivel 2), necesita demostrarlo.
Bachillerato
: sistemas axiomáticos deductivos (para la geometría)
Nivel 4. Rigor
: Sistemas axiomáticos para la Geometría
Nivel máximo
Nivel requerido en estudios universitarios de matemáticas, (rama Geometría)
Aprecian distinciones y relaciones relaciones entre diferentes sistemas axiomáticos.
: contrastes entre diferentes sistemas axiomáticos
Aplicación del modelo
Como ejemplo, la actividad sobre polígonos (generalidades) que realizamos durante 4 sesiones.
Nivel 0: Actividades 1, 2 y 3
Nivel 1: Actividades 4, 5, …9
Nivel 2: Actividades 10 y 11
Propiedades del modelo
Es un modelo secuencial no se puede saltar ningún nivel.
Los niveles no dependen de la edad. El tránsito de un nivel a otro depende más de los contenidos y métodos de enseñanza que de la edad. Aunque la edad sí que aporta experiencias y vivencias…
• Infantil hasta 2º Primaria nivel 0 • 3º , 5º Nivel 1
Propiedades del modelo
La experiencia geométrica es fundamental para progresar explorar, manipular, hablar, interactuar…
El estudio de un concepto no se agota en un nivel aprendizaje cíclico
Lenguaje adecuado en cada nivel:
Si el lenguaje está a un nivel superior fallo en la comunicación
Las expresiones serán válidas o no dependiendo del nivel . Ej: N0, un cuadrado tiene cuatro lados rectos
Características de las actividades adecuadas a cada nivel Nivel 0
Nivel 1
Nivel 2
• Clasificación, identificación y descripción de formas variadas. • Manipulación de de modelos físicos • Variedad de ejemplos (muchos) ayuda a eliminar atributos irrelevantes • Dibujar, componer, descomponer, construir
• Definir, medir, observar y cambiar propiedades de modelos concretos (físicos) • Resolver problemas en los que las propiedades sean fundamentales • Modelos concretos que permitan explorar propiedades • clasificar
• Hacer listas de propiedades debatir cuáles son necesarias y cuales suficientes. • Comenzar a usar lenguaje deductivo “Si… entonces…” • Investigar la inversión de relaciones (Ej: Si cuadrado, entonces 4 ángulos rectos. Si 4 áng. Rectos, entonces cuadrado ? • Etc.
Indicadores de nivel A tener en cuenta:
Un alumno puede subir y también bajar de nivel constantemente
El nivel del alumno depende del objeto de estudio
Veamos indicadores que nos permitan saber en qué nivel se encuentran nuestros alumnos
Indicadores de nivel. Nivel 0
Utiliza cualidades y no propiedades.
Caracteriza formas mediante prototipos visuales
No es capaz de percibir una variedad infinita de formas de la misma clase
Realiza clasificaciones inconsistentes, utilizando propiedades que no pertenecen a las formas clasificadas
No es capaz de usar propiedades como condiciones necesarias para determinar una figura
Indicadores de nivel. Nivel 1
Compara formas geométricas mediante sus propiedades
Clasifica según atributos simples (ej: ( ej: longitud de lados, pero no ángulos, diagonales, simetría, etc.)
Veta la inclusión de una clase de formas en otra Niega que un cuadrado sea un rectángulo
Para describir o identificar usa una lista “larga” de propiedades suficientes
Prefieren las caracterizaciones personales a las definiciones formales
Para probar la validez de una conjetura, se “fían” de una variedad de dibujos (casos particulares) No comprenden la demostración formal
Ej:
Indicadores de nivel. Nivel 2
Son capaces de construir definiciones completas
Hacen referencias explícitas a definiciones
Son capaces de aceptar definiciones equivalentes dar diversas definiciones diferentes para un mismo concepto
Ya sí aceptan la clasificación por inclusión (ordenación parcial), i.e., los cuadrados son rectángulos
Usan explícitamente el “Si…entonces…”
Construyen argumentos deductivos (lógico), del tipo: si p implica q, y q implica r, entonces p implica r (ley modus ponens)
Confunden axioma y teorema.
¿Cómo aplicar el modelo?
El progreso a través de los niveles depende más de la instrucción recibida que de la edad o madurez
Por tanto El método, la organización del aprendizaje y los materiales son elementos fundamentales de interés pedagógico.
Los Van Hiele proponen 5 fases de aprendizaje
Fases de aprendizaje Fase 1. Encuesta Fase 2. Orientación dirigida Fase 3. Explicitación Fase 4. Orientación libre Fase 5. Integración
• Mediante el diálogo se determina: • Las ideas previas sobre el concepto • Se introduce vocabulario • • • •
Los estudiantes exploran el concepto a través de materiales Depende del nivel anterior El profesor secuencia las actividades (los materiales) El profesor plantea preguntas concisas
• Los estudiantes expresan e intercambian opiniones acerca de lo observado • El papel del profesor debe ser mínimo, aunque debe cuidar que el lenguaje del alumnado sea apropiado al nivel • Las actividades son más complejas • Se busca consolidar de los conocimientos adquiridos • Se busca que sean capaces de aplicarlos a situaciones nuevas
• El estudiante revisa, resume y unifica todo lo aprendido. • Es una síntesis
