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MÉTODOS MATEMÁTICOS I (USC) APUNTES MÉTODOS MATEMÁTICOS 1 SABORIDO, JOSE LUIS

15-16

´ ´ METODOS MATEMATICOS I Curso 2015/2016 Apuntes y problemas 7 de septiembre de 2015

´ ´ METODOS MATEMATICOS I Curso 2015/2016 Apuntes y problemas 7 de septiembre de 2015

Índice general Pr´ ologo.

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1. El sistema de los n´ umeros reales y el de los complejos. 1.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Definici´ on axiom´ atica de los n´ umeros reales. . . . . . . . . . . . . 1.3. Intervalos en la recta real. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. N´ umeros enteros, racionales e irracionales. . . . . . . . . . . . . . 1.5. Cotas. Elemento m´ aximo y m´ınimo. Extremo superior e inferior. 1.6. El axioma de completitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7. Representaci´ on decimal de los n´ umeros reales. . . . . . . . . . . . 1.8. Potencias y logaritmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9. Valor absoluto y desigualdad triangular. . . . . . . . . . . . . . . 1.10. La extensión R  de los n´ umeros reales. . . . . . . . . . . . . . . . 1.11. Numerabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12. El sistema de números complejos C . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Elementos de topolog´ıa en conjuntos de puntos. 2.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Espacios normados y espacios métricos. . . . . . . 2.3. Conjuntos abiertos y cerrados. . . . . . . . . . . . 2.4. Puntos adherentes y puntos de acumulaci´ on. . . . . 2.5. Conjuntos compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6. Espacios topol´ ogicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7 7 7 9 9 12 12 13 14 14 15 15 16 20

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22 22 23 25 27 29 29 30

3. L´ımites y continuidad. 3.1. Introducción. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy. . . . . . . . . 3.3. Espacios métricos completos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Funciones y l´ımites de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Continuidad y antiim´ agenes de conjuntos abiertos y cerrados. . 3.7. Continuidad sobre conjuntos compactos. . . . . . . . . . . . . . 3.8. Teorema de Bolzano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9. Continuidad uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.10. Discontinuidad de las funciones reales. . . . . . . . . . . . . . . 3.11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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32 32 33 36 37 39 41 42 44 45 46 48

4. C´ alculo diferencial de funciones reales de una variable real. 4.1. Derivada de una funci´ on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Derivadas y continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Interpretación geométrica del concepto de derivada. . . . . . . ´ 4.4. Algebra de derivadas y regla de la cadena. . . . . . . . . . . . . 4.5. Derivada de una funci´ on impl´ıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Derivada de la funci´ on inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Derivadas laterales, derivadas infinitas y extremos relativos. . . 4.8. Regla de L’Hopital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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51 51 53 54 54 56 57 58 62

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M´ eto eto dos do s Matem´ Mat em´ aticos I. Curso 2015/16. Edici´ aticos on de 7 de septiembre de 2015 on

4.9. F´ 4.9. ormula de Taylor con resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ormula 4.10. Estudio local de la gráfica afica de una función. on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Series num´ ericas y series funcionales. ericas 5.1. Series numéricas ericas infinitas. infinita s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Serie Seriess teles telesc´ c´ opicas y series geométricas. opicas etricas. . . . . . . . . . . . . 5.3. Int Introducci roducci´ón on y supresión on de paréntesis entesis en las l as series. . . . . . 5.4. Serie Seriess alterna alternadas. das. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Con Conver vergenci genciaa absoluta absoluta y condi condiciona cional. l. . . . . . . . . . . . . . 5.6. Criterios de convergencia para series de términos erminos positivos. 5.7. Crit Criterios erios de conver convergenci genciaa de Dirichlet Dirichlet y de Abel. . . . . . . 5.8. Reor Reordenac denaci´ i´ on de series. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . on 5.9. Serie Seriess parcia parciales. les. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10. Serie de Taylor generada por una función. on. . . . . . . . . . . 5.11. Sucesiones de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.12. Series funcionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13. Series de potencias. Radio de convergencia. . . . . . . . . . 5.14. Serie de Taylor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.15. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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64 67 70 73 74 76 77 79 80 81 84 86 87 87 90 93 96 98 101

M´ eto dos Matem´ aticos I. Curso 2015/16. Edici´ on de 7 de septiembre de 2015

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Pr´ ologo.

Estimado alumno: Tienes ante t´ı los apuntes de la asignatura M´ emico 2015etodos Matem´ aticos I para el curso acad´ 2016 del Grado en F´ısica. Salvo peque˜ nas modificaciones o a˜ nadidos, son en gran medida resúmenes elaborados a partir de los tres primeros libros que se relacionan en la bibliograf´ıa básica. Hemos puesto también unos cuantos libros más de bibliograf´ıa complementaria y otros de problemas. Por supuesto, a tu disposición existen muchos otros buenos libros de matemáticas en la biblioteca de la facultad de f´ısica. Al finalizar el curso deber´ıas, como m´ınimo, comprender todo el material de estos apuntes y ser capaz de resolver por t´ı mismo todos los problemas propuestos, u otros parecidos. Aparte del estudio de estos apuntes recomendamos leer tambi´ en las partes relevantes de alguno de los libros de la bibliograf´ıa, o al menos consultarlos con frecuencia. Los propios libros de texto (además de los de problemas) contienen m´ as ejercicios, algunos resueltos, que puedes usar como entrenamiento adicional.

Profesores de la asignatura: Carlos Carballeira Romero. Departamento de F´ısica da Materia Condensada, despacho 120, bloque I, edificio principal. Juan José Saborido Silva. Departamento de F´ısica de Part´ıculas, despacho 12A, bloque IV, edificio Monte da Condesa. Pablo Vázquez Regueiro. Departamento de F´ısica de Part´ıculas, despacho 21, bloque IV, edificio Monte da Condesa. Beatriz Fernández Dom´ınguez. Departamento de F´ısica de Part´ıculas, despacho 6, bloque V, edificio Monte da Condesa.

Bibliograf´ıa b´ asica: 1. T.M. Apostol. An´ alisis Matem´ atico, 2a ed. Ed. Reverté. 2. T.M. Apostol. Calculus , 2a ed., Vol. 1, 2. Ed. Reverté. 3. J. de Burgos. C´ alculo Infinitesimal de una Variable . Ed. McGraw-Hill. 4. R.E Larson, R.P. Hostetler. C´ alculo y Geometr´ıa Anal´ıtica . Ed. McGraw-Hill. 5. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence. Mathematical methods for physics and engineering: a comprehensive guide . Ed. Cambridge University. 6. J. de Burgos. C´ alculo de una Variable Real (Definiciones, Teoremas y Resultados). Ed. Garc´ıaMaroto. 7. F. Ayres. C´ alculo Diferencial e Integral . Serie Schaum, Ed. McGraw-Hill. Bibliograf´ıa complementaria: 1. J.A. Fern´ andez Vi˜ na. An´ alisis Matem´ atico, Vol. 1,2,3, 2a ed. Ed. Tecnos.


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2. M. Spivak. Calculus , 2a ed. Ed. Reverté. 3. M. de Guzmán y B. Rubio. Problemas, conceptos y m´ etodos del an´ alisis matem´ atico, Vols. 1,2,3. Ed. Pirámide. 4. W. Rudin. Principios de An´ alisis Matem´ atico. Ed. McGraw-Hill. 5. J. de Burgos et al . Sucesiones y Series (Definiciones, Teoremas y Resultados) . Ed. Garc´ıa-Maroto. Libros de problemas: 1. B. Demidovich. Problemas y Ejercicios de An´ alisis Matem´ atico. Ed. Mir. 2. F. Bombal, L. Rodr´ıguez, G. Vera. Problemas de An´ alisis Matem´ atico, Vols 1,2,3. Ed. AC. 3. J.A. Fern´ andez Vi˜ na, E. Sánchez Ma˜ nes. Ejercicios y Complementos de An´ alisis Matem´ atico, Vols. 1,2, 4a ed. Ed. Tecnos. 4. M. Spivak. Suplemento del Calculus . Ed. Reverté.

Cap´ıtulo 1

El sistema de los n´ umeros reales y el de los complejos. 1.1.

Introducci´ on.

En este primer tema estudiaremos las propiedades básicas de los n´ umeros reales, cuyo conjunto denotaremos por R . Comenzamos introduciendo el conjunto R mediante diez axiomas. Los cinco primeros establecen las propiedades de dos operaciones internas, suma y multiplicación, que dotan a dicho con junto de la estructura algebraica de cuerpo. Los cuatro siguientes establecen una relación de orden en R , y el u ´ ltimo es el axioma de completitud. Definiremos los conjuntos de números enteros (Z), racionales (Q) e irracionales (I) como subconjuntos especiales de R . Daremos una representación geométrica de los n´ umeros reales mediante una l´ınea recta, el concepto y los diferentes tipos de intervalos que se pueden tomar sobre dicha recta y las nociones de cota superior (inferior), supremo (´ınfimo) y máximo (m´ınimo) de conjuntos de n´ umeros reales. Seguidamente discutiremos las diferencias y similitudes entre R y algunos de sus subconjuntos, particularmente Z y Q. El objetivo de esta discusión será demostrar la necesidad del axioma de completitud en la definición de R. El conjunto Q a diferencia de R no satisface este axioma, que si bien puede resultar inicialmente muy abstracto, es precisamente el que permite garantizar la existencia de soluci´ on en R para la ecuación y = x 2 , que no tiene solución en Q . Finalizaremos el tema con una introducció n al sistema de los números complejos, present´ andolos 2 inicialmente como pares de números reales (es decir, puntos del plano R ) sobre los que se definen de modo axiom´ atico la suma y multiplicación complejas. Verificaremos a continuación algunas consecuencias de esta definición, como la estructura de cuerpo de los números complejos, su interpretación como extensión de los n´ umeros reales y su similitud con R2 . Seguidamente, introduciremos la unidad imaginaria con el objeto de definir la forma bin´ omica de un n´ umero complejo y discutir las ventajas que ésta presenta a la hora de operar con este tipo de números y representarlos gráficamente en el plano. A partir de esta representaci´ on gráfica introduciremos los conceptos de módulo, argumento y forma exponencial de un n´ umero complejo, resaltando la utilidad de esta última para realizar multiplicaciones y divisiones. Por u ´ltimo, apoy´ andonos en esta notación exponencial, definiremos y estudiaremos las propiedades básicas de algunas funciones elementales de n´ umeros complejos, como la radicación, potenciación, la función exponencial, el logaritmo y las funciones trigonom´ etricas. Como ya sabes, las magnitudes y fenómenos f´ısicos toman valores y se describen mediante números reales. Por lo tanto, es evidente que para un f´ısico es fundamental conocer las propiedades básicas de este tipo de n´ umeros. En cuanto a los números complejos, es posible que sean completamente nuevos para ti, o que anteriormente sólo los hayas estudiado de forma simplificada en el bachillerato. En todo caso es muy importante que te familiarices con ellos y con sus propiedades cuanto antes, pues los números complejos juegan un papel fundamental en el estudio de los fen´ omenos ondulatorios que aparecen en la práctica totalidad de las áreas de la f´ısica: óptica, electromagnetismo, mecánica cuántica, f´ısica del estado sólido, etc. De hecho, en la titulación hay una asignatura (Métodos Matemáticos VI) dedicada casi por entero al estudio de los números complejos y de las funciones de variable compleja.

1.2.

Definici´ on axiom´ atica de los n´ umeros reales.

La existencia de n´ umeros irracionales ha motivado largas e intensas reflexiones en los matemáticos desde la antig¨ uedad. Las respuestas a preguntas como ¿existe un número cuyo cuadrado sea dos? ó,

8


√

¿c´ omo se puede construir el n´ umero π?, pueden basarse en argumentos geométricos intuitivos, porque 2 es la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado unidad, y π es el cociente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. De todos modos, estas respuestas basadas en la intuición geométrica son insatisfactorias y, desde luego, no sirven para todos los números irracionales. Es deseable no apelar a la intuici´ on y establecer un conjunto de reglas o axiomas que nos permitan demostrar todas las propiedades que necesitamos de los números reales. Hacia mediados del siglo XIX se alcanzó un consenso sobre un conjunto de axiomas adecuado para los n´ umeros reales, que son esencialmente los que nosotros enunciaremos a continuación. La construcci´ on expl´ıcita del conjunto de los n´ umeros reales resulta un proceso laborioso, aunque no demasiado dif´ıcil, y no lo haremos aqu´ı. Nuestra postura en este curso será considerar los números reales como conceptos primitivos que satisfacen ciertas propiedades que se toman como axiomas 1 . En la mayor´ıa de los casos, el establecimiento de un sistema axiomático formal es el paso final, no el inicial, en el desarrollo de las matemáticas. Se llegó al conjunto id´ oneo de axiomas para los n´ umeros reales después de siglos de ensayo y error, y sólo despu´ es de que los teoremas básicos de la disciplina hubieran sido ya descubiertos. Al presentar aqu´ı la definici´ on axiom´ atica de los n´ umeros reales nuestro prop´ osito es sólo establecer, a modo de referencia, cuáles son las hipótesis sobre las que descansan todas sus propiedades, pero no deducirlas directamente a partir de los axiomas, salvo quizás en alg´ un ejemplo ilustrativo. Supondremos que existe un conjunto no vac´ıo, R , cuyos elementos llamaremos n´ umeros reales, y que satisfacen diez axiomas que clasificamos en tres grupos: axiomas de cuerpo, axiomas de orden , y axioma de completitud . Axiomas de cuerpo. En lo que sigue, x,y,z será n n´ umeros reales arbitrarios mientras no se especifique alguna condición especial. Suponemos, junto con R , la existencia de dos operaciones internas (suma y producto) tales que x + y R y xy R para todo par x, y de R

∈

∈

Axioma 1: x + y = y + x,

xy = yx.

Axioma 2: x + (y + z) = (x + y) + z,

(leyes conmutativas). x(yz) = (xy)z.

(leyes asociativas).

Axioma 3: x(y + z) = xy + xz.

(ley distributiva).

Axioma 4: Dados x e y , existe un z tal que x + z = y. Dicho n´ umero se designará por y x, y x x se escribir´ a como 0, que es independiente de x. Escribiremos x en lugar de 0 x. Al elemento x se le llamar´ a opuesto de x.

−

−

−

−

−

Axioma 5: Existe, por lo menos, un n´ umero real x = 0. Dados dos n´ umeros reales x e y, con x = 0, entonces existe un z tal que xz = y, que designaremos por y/x. El n´ umero x/x se escribirá como 1 y −1 es independiente de x. Podremos escribir x en lugar de 1/x si x = 0. Al elemento x−1 lo llamaremos rec´ıproco o inverso de x. A partir de estos cinco axiomas se pueden deducir todas las reglas usuales de la aritmética.







Axiomas de orden. Suponemos la existencia de una relación denotada por <, que establece una ordenación entre los números reales y que satisface los siguientes axiomas.

∈ R

Axioma 6: Se verifica una, y sólo una, de las siguientes relaciones para todo x, y x = y,

x < y,

x > y,

(x > y significa lo mismo que y < x)

Axioma 7: Si x < y, entonces para todo z se cumple x + z < y + z. 1 Desde

un punto de vista matem´ atico formal, la construcci´ on expl´ıcita del conjunto de los n´ umeros reales es importante, no basta con formular una serie de axiomas. El matemático se pregunta si realmente existen objetos que satisfagan estos axiomas, no vaya a ser que estemos exigiendo unas reglas imposibles de cumplir.


9

Axioma 8: Si x > 0, e y > 0, entonces xy > 0. Axioma 9: Si x > y, e y > z, entonces x > z .

Definici´ on 1 Si x > 0 diremos que x es positivo. Si x < 0 diremos que x es negativo. Denotaremos + R = x R x > 0 y R− = x R x < 0 . Se usa la notaci´ on x y para abreviar la condici´ on x
{ ∈ |

}

{ ∈ |

{ |

}

≤

}

La notación x x verifica P representa el conjunto de todos los elementos x que verifican la propiedad P . También se suele escribir como x : x verifica P .

{

}

Nos queda por enunciar el denominado axioma de completitud para terminar la definición axiom´ atica de los números reales, pero lo dejamos para un poco más adelante porque necesitamos introducir previamente la noción de supremo de un conjunto de n´ umeros reales. El siguiente teorema, que se usa mucho en las demostraciones de análisis matemático, nos permite familiarizarnos con el uso de cantidades infinitesimales.

≤ b + ε para todo ε > 0, entonces se cumple que

Teorema 1 Si a y b son n´ umeros reales tales que a a b.

≤

Demostraci´ on : Supongamos, en contra de lo que asegura el teorema, que fuese b < a. Entonces si tomamos ε = (a b)/2 tendr´ıamos

−

b + ε = b +

a

− b = a + b < a + a = a. 2

2

2

Esto es lo mismo que escribir a > b + ε, en contra de la hipótesis inicial del teorema 2 .

1.3.

Intervalos en la recta real.

Los n´ umeros reales pueden ser representados geométricamente como puntos de una recta, denominada recta real , en la que la relación de orden que hemos definido tiene una interpretación geométrica simple: x < y significa que x está a la izquierda de y, mientras que x > y significa que está a la derecha. Definimos a continuación los distintos tipos de intervalos en la recta real.

{ ∈ R | a < x < b}. Intervalo cerrado: [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b }. Intervalos semiabiertos: [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}, (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b }. Intervalos infinitos: [a, ∞) = {x ∈ R | a ≤ x }, (a, ∞) = {x ∈ R | a < x }, (−∞, a) = {x ∈ R | x < a}, (−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a }, (−∞, ∞) = R. Los s´ımbolos +∞ y −∞ se usan aqu´ı como mera notación, pero los definiremos adecuadamente más Intervalo abierto: (a, b) = x

adelante.

1.4.

N´ umeros enteros, racionales e irracionales.

Los n´ umeros enteros. Introducimos los n´ umeros enteros como un subconjunto de números reales con propiedades especiales. 2

El s´ımbolo ≤ puede resultar un poco confuso al principio. Recordemos que la notación x ≤ y significa x < y ´ o x = y, es decir, que una de las dos expresiones es válida, pero no ambas (si una es cierta la otra no puede serlo, obviamente). Las expresiones 4 ≤ 5 y 4 < 5 son ambas correctas.


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Definici´ on 2 Un conjunto de n´ umeros reales se denomina conjunto inductivo si cumple las dos propiedades siguientes: (a) El n´ umero 1 est´ a en el conjunto. (b) Para todo x del conjunto, el n´ umero x + 1 también est´ a en el conjunto. Definici´ on 3 Un n´ umero real se denomina entero positivo si pertenece a cada uno de los conjuntos inductivos de R . Denotaremos al conjunto de los enteros positivos por Z + . A los enteros positivos también se les suele llamar n´ umeros naturales 3 , en cuyo caso el conjunto se denota por N.

Z+ es también, él mismo, un conjunto inductivo. En realidad Z + es el menor de los conjuntos inductivos, en el sentido de que es un subconjunto de todos los conjuntos inductivos. A esta propiedad de Z+ se le suele llamar principio de inducci´ on . Ejercitaremos la técnica de demostraci´ on por inducci´ on en algunos de los problemas propuestos. Los opuestos de los enteros positivos se llaman enteros negativos, Z− . El conjunto de todos los enteros es la unión de estos tres: Z = Z− 0 Z+ .

∪{ }∪

El s´ımbolo sumatorio. La suma S = 1+ 2+ 3+ 4+5 +6 +7 puede escribirse abreviadamente por medio del s´ımbolo sumatorio, para el que usamos la letra griega Σ: 7

S =



k = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

k=1

De modo más general, cuando queramos sumar un conjunto de n n´ umeros arbitrarios, que podemos denotar por a1 , a2 , a3 , . . . , an , escribiremos n

S =



ak = a 1 + a2 + a3 + . . . + an

k =1

Para ilustrar la técnica matemática de demostraci´ on por inducci´ on vamos a probar la validez de la fórmula n n(n + 1) k = . 2



k=1

La demostración consta de dos pasos, primero comprobamos la validez de la fórmula para n = 1 y luego comprobamos que si la fórmula es cierta para n entonces también lo es para n + 1. En el caso que nos ocupa es obvio que la fórmula se verifica para n = 1, ahora veamos si la siguiente implicación es cierta: n



k=1

n(n + 1) ? k = = 2

⇒

n+1



k=1

k =

(n + 1)(n + 2) 2

En efecto, es cierta porque n+1

n

  k =

k=1

k =1

k + (n + 1) =

n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + (n + 1) = . 2 2

Definici´ on 4 Dado n Z + , n > 1, se denomina primo si no tiene divisores distintos de él mismo. En caso contrario se denomina compuesto.

∈

Teorema 2 No existe un n´ umero primo m´ aximo.

3 En

realidad no existe un consenso completo sobre la definición de N en el aspecto de la inclusión o no del n´ umero 0, por ello nosotros usaremos en lo sucesivo el s´ımbolo Z + para evitar equ´ıvocos siempre que nos refiramos al conjunto { 1, 2, 3, . . .}.

11


Demostraci´ on: Supongamos que existe un n´ umero finito de primos, p1 , p2 , . . . , pn . Formamos entonces un nuevo n´ umero multiplicando todos los n primos y sumándole la unidad: q = p 1 p2 . . . pn + 1

· · ·

El n´ umero q as´ı formado es distinto de todos los pi , por lo tanto deber´ıa ser compuesto (no primo) y divisible por alguno de los primos de la lista p1 , p2 , . . . , pn que hemos supuesto exhaustiva. Pero esto es imposible, porque ningú n n´ umero primo puede dividir a la unidad. Hemos llegado entonces a un absurdo, de donde deducimos que la hipótesis inicial (número finito de primos) es falsa.

Teorema 3 (Descomposici´ on unica ´ de enteros). Todo entero n > 1 puede ser representado como un producto de factores primos. Si se prescinde del orden, la descomposici´ on es ´ unica.

Esto quiere decir que, dado z Z + , z > 1, podremos escribirlo como un producto único de una cierta secuencia de números primos, cada uno de ellos elevado a una potencia xi 1: x1 x2 x3 xN 2 1 3 2 z = p 1 p2 p3 . . . pN . Ejemplo: z = 3 5 7 17 = 4460715.

∈

≥

· · ·

Los n´ umeros racionales.

Definici´ on 5 Los cocientes de n´ umeros enteros, a/b, con b = 0, se denominan n´ umeros racionales. Simb´ olicamente:



Q=

a a, b b

 |

∈ Z,

 

b=0

Q, entonces (a + b)/2 Q, lo cual implica que entre cualquier par de números Si a, b racionales hay una infinidad de n´ umeros racionales, y no es posible hablar del número racional inmediatamente inferior o posterior a un n´ umero racional dado. Q es un cuerpo. Z no es un cuerpo porque el inverso de un entero no es en general un entero.

∈

∈

Los n´ umeros irracionales.

∈ R y x ∈/ Q, entonces x es un n´ umero irracional. / Q} I = {x ∈ R | x ∈

Definici´ on 6 Si x

∈ Z+ y no es un cuadrado perfecto, entonces √ n es irracional.

Teorema 4 Si n

Demostraci´ on : Consideremos en primer lugar el caso de que n no tenga ning´ un divisor > 1 que sea cuadrado perfecto. Si suponemos que n es racional llegaremos a una contradicción. En efecto, si escribimos n = a/b donde a y b son enteros sin divisores comunes, tenemos a2 = b 2 n y podemos en consecuencia afirmar que a 2 es un m´ ultiplo de n. Esto significa que a también es un múltiplo de n, porque n no tiene divisores que sean cuadrados perfectos. Para x ver esto descomponemos a en factores primos, es decir, a = ax1 1 ax2 2 ax3 3 . . . a p p , siendo cada 2x xi 1, con i = 1, 2, . . . , p. Entonces a2 = a 21x1 a22x2 a23x 3 . . . a p p , y como a2 es m´ ultiplo de n, y escribimos n = a y11 ay22 ay33 . . . a pp , siendo yi 1 por no tener ningún divisor que sea cuadrado perfecto. Esto implica que la descomposición en factores primos de n está contenida en la de a; en otras palabras, a también es múltiplo de n.

√

√

≥

≤

Escribimos entonces a = cn, siendo c un entero. La ecuación a2 = b2 n se transforma en c2 n2 = b 2 n, o´ bien b 2 = c 2 n. Por lo tanto b 2 es un m´ ultiplo de n y, razonando igual que en el

12


p´ arrafo anterior deducimos que b es también un múltiplo de n. Llegamos a la conclusión de que tanto a como b son m´ ultiplos de n, es decir, que n es un divisor común de a y b, cosa que contradice nuestra hipótesis de partida. Para finalizar, consideremos ahora el caso de que n s´ı tenga un divisor que sea cuadrado perfecto, es decir, n = m2 k, siendo k > 1 un entero que no tiene divisores > 1 que sean cuadrados perfectos4 . Entonces n = m k, lo cual quiere decir que si n fuese racional, k también lo ser´ıa, cosa que contradice la primera parte de la demostración.

√

√

Este teorema puede generalizarse sin dificultad para afirmar que si n potencia m–ésima perfecta, entonces m n es irracional.

√

1.5.

√

√

∈ Z+ y no es una

Cotas. Elemento m´ aximo y m´ınimo. Extremo superior e inferior.

Definici´ on 7 Sea S R. Si existe un b R tal que x b para todo x superior de S . Se dice que S est´ a acotado superiormente por b.

⊂

∈

≤

∈ S , entonces b es una cota

Cualquier c > b es también una cota superior de S . Si b es una cota superior de S y además es un elemento de S , es decir, b S , entonces a b se le llama elemento máximo de S o m´ aximo, y se suele denotar por máx(S ). Un conjunto que no tenga cotas superiores se dice no acotado superiormente. Los t´ erminos cota inferior, acotado inferiormente y elemento m´ınimo, o simplemente m´ınimo, se definen de manera análoga.

∈

Ejemplos:

R+ = (0, + ) no tiene m´ınimo ni cotas superiores, pero s´ı cotas inferiores. S = [0, 1] está acotado superior e inferiormente, además m´ ax(S ) = 1 y m´ın(S ) = 0. El conjunto S = [0, 1) no tiene máximo, está acotado y m´ın(S ) = 0.

∞

Definici´ on 8 Sea S R acotado superiormente. b R se denomina extremo superior ´ o supremo, y se designa por sup(S ), si verifica estas dos propiedades:

⊂

∈

(a) b es una cota superior de S . (b) Ning´ un n´ umero menor que b es una cota superior de S . Por ejemplo, sup[0, 1) = 1, pero no tiene máximo, o elemento máximo. El concepto de extremo inferior de S , o ´ınfimo, se define an´ alogamente. Se denota por ´ınf(S ) . El supremo de un conjunto es la menor de sus cotas superiores, y el ´ınfimo es la mayor de sus cotas inferiores. El sup(S ) y el ´ınf (S ) no tienen por qué pertenecer necesariamente al conjunto S .

1.6.

El axioma de completitud.

⊂ R no vac´ıo y acotado superiormente admite un supremo. Es decir, existe un b ∈ R

Axioma 10: Todo S tal que b = sup(S ).

Como consecuencia de este axioma, todo conjunto de S R no vac´ıo acotado inferiormente admite un ´ınfimo. En efecto, tomemos el conjunto de los n´ umeros opuestos a los de S , que denotamos por S . Está claro entonces que S es un conjunto no vac´ıo y est´ a acotado superiormente, por lo tanto el axioma 10 nos dice que existe un número b que es su supremo. Es evidente que el ´ınfimo de S es b.

⊂

−

−

−

Q Obsérvese que en Q no se cumple este axioma. El conjunto S = (1 + n1 )n n Z + no tiene extremo superior o supremo en Q . De hecho, veremos más adelante que su supremo es el n´ umero irracional e.

{

| ∈ } ⊂

El siguiente teorema establece que todo conjunto de números reales con un supremo contiene números tan próximos como se quiera a dicho supremo. 4 Obs´ ervese

que aunque n tenga varios divisores que sean cuadrados perfectos, siempre se puede escribir como n = m 2 k, siendo k > 1 un entero que no tiene divisores > 1 que sean cuadrados perfectos.

13


Teorema 5 (Propiedad de la aproximaci´ on): Sea S R no vac´ıo y b = sup(S ). Entonces para todo a R, siendo a < b, existe alg´ un x S tal que a < x b.

∈

⊂ ≤

∈

Demostraci´ on : Por ser b = sup(S ), sabemos que x b para todo x S . Por otro lado, si se cumpliese que x a para todo x S , a ser´ıa una cota superior de S menor que el supremo, que por definición es la cota superior m´ınima. Como esto es imposible, deducimos que ha de ser x > a para alg´ un x S .

≤

≤

∈

∈

∈

Teorema 6 (Propiedad aditiva): Dados A y B subconjuntos no vac´ıos de R , definimos un nuevo con junto C = a + b a A, b B . Si tanto A como B tienen supremos, entonces también lo tiene C y viene dado por sup(C ) = sup(A) + sup(B).

{

| ∈

∈ }

Teorema 7 (Propiedad de la comparaci´ on): Dados S y T dos subconjuntos no vac´ıos de R, tales que s t para todo s S y para todo t T , si T tiene supremo también lo tiene S , y se cumple que sup(S ) sup(T ).

≤

≤

∈

∈

Teorema 8 (Propiedad arquimediana de los n´ umeros reales): Dado x > 0 e y un n Z+ tal que nx > y.

∈

∈ R arbitrario, existe

Esto significa que todo segmento lineal de longitud y, por grande que sea, puede recubrirse por medio de un n´ umero finito n de segmentos lineales de longitud positiva x dada, por peque˜ na que sea.

1.7.

Representaci´ on decimal de los n´ umeros reales.

Para simplificar el tratamiento consideraremos en esta secció n s´ o lo los n´ umeros reales positivos. La extensi´ on a los negativos resultará evidente. Tomemos el número real dado por la siguiente expresión r = a 0 +

a1 a2 a3 an + 2 + 3 + . . . + n , 10 10 10 10

≤ ≤

donde a0 es un entero no negativo y los ai son enteros que satisfacen la condición 0 a i 9, i = 1, 2, . . . , n. Esta expresión se denomina representación decimal finita de r, y se escribe como r = a0 , a1 a2 a3 . . . an . Obsérvese que todo número real que pueda escribirse de este modo es necesariamente racional. Teorema 9 (Aproximaci´ on decimal finita de un n´ umero real): Supongamos un n´ umero real x entonces para todo entero n 1 existe un decimal finito rn = a 0 , a1 a2 a3 . . . an tal que

≥

rn

≥ 0,

≤ x < rn + 101n

Los n´ umeros racionales rn del teorema anterior pueden utilizarse para definir una representaci´ on decimal infinita del n´ umero real x. Aunque definiremos el concepto de sucesión numérica y su l´ımite en el cap´ıtulo 3, adelantamos aqu´ı (para usarlo en la definici´ on 12) que el conjunto infinito de los n´ umeros racionales de esa representación decimal forma una sucesi´ on cuyo l´ımite es el número real representado. Simbólicamente escribir´ıamos l´ım rn = x. n→∞

Todo n´ umero real puede escribirse como el l´ımite de una sucesió n de n´ umeros racionales de ese tipo (más adelante veremos que se denominan sucesiones de Cauchy). El número entero 4 admite la representación decimal infinita trivial de 4, 000000 . . . (la representación periódica 3, 99999 . . ., se considera equivalente a la anterior).

14


Se puede demostrar que toda representación decimal infinita periódica es un n´ umero racional. Ejemplo5

  

42, 23 678 678 678 . . . =

1.8.

4223678 4223 99900

−

Potencias y logaritmos.

Recopilamos aqu´ı, a modo de recordatorio, las definiciones de potencias y logaritmos.

∈ R y n ∈ Z, se define:

Definici´ on 9 Potencias de base real y exponente entero. Dados x

    · · · ·  (n)

xn =

x x x . . . x si n > 0 1/x|n| si n < 0 1 si n = 0

Definici´ o n 10 Ra´ıces de los n´ umeros reales. Dados un n´ umero real x > 0 y un entero positivo n Z+ , n existe un ´ unico n´ umero real y > 0 tal que y = x. Se dice que y es la ra´ız n–ésima de x y se escribe y = n x.

∈

√

Definici´ o n 11 Potencia de exponente racional. Dados un n´ umero real x > 0 y un n´ umero racional p/q , + p/q con p Z y q Z , se llama potencia de base x y exponente p/q al n´ umero real x = q x p .

∈

√

∈

Definici´ o n 12 Potencia de exponente real. Dados un n´ umero real x > 0 y otro n´ umero real u = l´ım rn , n→∞

donde rn es una sucesi´ on de n´ umeros racionales, se define xu = l´ım xrn .

{ }

n→∞



Definici´ o n 13 Logaritmo. Dados dos n´ umeros reales x > 0 y u > 0, con u = 1, existe un ´ unico n´ umero real y tal que uy = x. Este n´ umero se denomina logaritmo en base u de x, y se denota escribiendo y = logu x. Es decir, logu x = y uy = x.

⇐⇒

De especial importancia resultan los logaritmos naturales 6 , cuya base es el número irracional e. Suelen denotarse por log x ó por ln x.

1.9.

Valor absoluto y desigualdad triangular.

Definici´ o n 14 El valor absoluto de un n´ umero real x se denota por x y se define como

| |



|x| = −xx

si x > 0 si x < 0

≥ 0, se cumple |x| ≤ a si, y s´ olo si, −|a| ≤ x ≤ |a|.

Teorema 10 Si a

Teorema 11 (Desigualdad triangular):

∀ x, y ∈ R se cumple |x + y| ≤ |x| + |y|.

−| | ≤ ≤ | | −| | ≤ ≤ | | − | | | | ≤ ≤ | | | | | | ≤ | | | |

Demostraci´ on . Tenemos x x x e y y y . Sumando ambas expresiones vemos que ( x + y ) x + y ( x + y ), y aplicando el teorema 10 con a = ( x + y ) deducimos que x + y x + y. 5 Usando

|| ||

la notaci´ on r = (n1 − n2 )/d, el entero n 1 se obtiene truncando la representaci´ on decimal de r en el lugar donde comienzan a repetirse peri´ odicamente los grupos de cifras, y eliminando la coma decimal. El entero n2 se obtiene de n1 eliminando las cifras del per´ıodo. El entero d se obtiene p oniendo “tantos 9” como cifras tenga el per´ıodo de r, y “tantos 0” como cifras existan entre la coma decimal y el inicio del per´ıodo. 6 Tambi´ en denominados logaritmos neperianos en honor del matem´ atico John Neper.

15


Esta expresión se puede generalizar para obtener x1 + x2 + . . . + xn x1 + x2 + . . . + xn . Otro modo de expresar la desigualdad triangular se obtiene poniendo x = a c, y = c b, de donde se deduce que a b as adelante veremos cómo se define la distancia, pero por ahora puede ser a c + c b . M´ de ayuda observar que a la desigualdad triangular expresada de esta manera puede dársele el siguiente significado: dist(a, b) dist(a, c) + dist(c, b).

|

−

| − | ≤ | − | | − | ≤

1.10.

| ≤| | | | −

| |

La extensi´ on R de los n´ umeros reales.

Definici´ o n 15 R, junto con los s´ımbolos + y , que satisfacen las siguientes propiedades, se llama sistema ampliado de los n´ umeros reales, y lo denotaremos por R  .

∞ −∞

∀ x ∈ R se cumple x + (+∞) = x − (−∞) = + ∞, x + (−∞) = x − (+∞) = −∞, x/(+∞) = x/(−∞) = 0, (b) ∀ x ∈ R, x > 0, se cumple x(+∞) = +∞, x(−∞) = −∞. (c) ∀ x ∈ R, x < 0, se cumple x(+∞) = −∞, x(−∞) = +∞. (d) (+∞) + (+∞) = (+∞)(+∞) = (−∞)(−∞) = + ∞. (−∞) + ( −∞) = (+∞)(−∞) = −∞. (e) Si x ∈ R entonces −∞ < x < +∞. Nota: No están definidas operaciones como (+ ∞)/(+∞), (+∞)/(−∞), 0(+∞), 0(−∞), (+∞)− (+∞), (−∞) − (−∞), aunque s´ı está definido, por ejemplo, 0/(+∞) = 0. (a)

R se designará también por [ se dicen infinitos.

−∞, +∞]. Los puntos de R se dicen finitos, mientras que los puntos +∞ y

−∞

1.11.

Numerabilidad.

Definici´ o n 16 Se dice que un conjunto es finito y que tiene n elementos, si se pueden poner en correspondencia uno a uno (biyectiva) con el conjunto 1, 2, 3, . . . , n . Un conjunto que no es finito se denomina infinito.

{

}

Definici´ o n 17 Un conjunto S es numerable si se verifica una de estas dos condiciones: (a) S es finito. (b) S es infinito y existe una correspondencia uno a uno entre Z + y S . Los términos numerable y no numerable se sustituyen a veces por contable y no contable .

Teorema 12 Q es infinito numerable.

Los elementos de Q se pueden contar siguiendo las diagonales de la siguiente matriz infinita 7 .

7 De

1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 ... 6

2 1

2 2

2 3

2 4

2 5

2 ... 6

3 1

3 2

3 3

3 4

3 5

3 ... 6

este modo aparecen repetidos elementos de Q , como 1/1, 2/2, etc., pero ello no invalida el argumento.


16

Teorema 13 R es infinito no numerable.

Demostraci´ on : Basta demostrar que el subconjunto (0, 1) R es no numerable. Si lo fuese, existir´ıa una sucesión8 sn cuyos términos constituir´ıan todo el intervalo. Escribamos los s n como decimales infinitos, es decir, sn = 0, un1 un2 un3 . . ., donde cada u ni = 0, 1, . . . , 9. Ahora construimos el siguiente número real:

⊂

{ }

y = 0, v1 v2 v3 . . . ,

donde

vn =



1 si u nn = 1 2 si u nn = 1



{ }

Ning´ un término de la sucesión sn puede ser igual a y, con lo cual hemos demostrado que los elementos del intervalo (0, 1) no pueden ser “contados” (puestos en equivalencia uno a uno con los elementos de una sucesión). El conjunto (0, 1) R no es numerable, y por lo tanto R tampoco.

⊂

1.12.

El sistema de n´ umeros complejos C.

Hist´ oricamente los n´ umeros complejos surgieron como resultado del empeño de los matemáticos de encontrar soluciones de ecuaciones como x2 +1 = 0. Ya en el siglo XVI se usó el s´ımbolo 1 para denotar una soluci´ on de esa ecuación. Más adelante se empleó la letra i, como inicial de número imaginario, una denominaci´ on probablemente poco afortunada. El s´ımbolo i, con la regla de que i2 = 1, fue usado formalmente durante varios siglos en expresiones algebraicas con números reales sin una preocupación excesiva por el significado o validez de las fórmulas resultantes. A los n´ umeros del tipo a + ib se les llam´ o n´ umeros complejos, y hubo que esperar hasta la primera mitad del siglo XIX para que Gauss y Hamilton, de modo independiente y casi simultáneo, propusieran definir los n´ umeros complejos como pares ordenados de n´ umeros reales cumpliendo ciertas propiedades. La irrupci´ on en la matemática de los n´ umeros complejos recuerda en cierto modo a la de los números irracionales. Los matemáticos griegos, ante la imposibilidad de calcular el diámetro de un cuadrado de lado unidad usando sólo los n´ umeros que conoc´ıan entonces (enteros y cocientes de enteros), hubieron de plantearse la posibilidad de que existiesen números no racionales como 2, aunque la definici´ on, construcci´ on y tratamiento riguroso de los números reales tuvo que esperar casi 25 siglos. Del mismo modo, la b´ usqueda de soluciones para ecuaciones como x 2 + 1 = 0 condujo a la segunda gran ampliaci´ on del sistema de n´ umeros conocidos. Es importante que el lector comprenda, no obstante, que el sistema de n´ umeros complejos es mucho más que una curiosa invención matemática. Su utilidad en todas las ciencias y la ingenier´ıa es enorme. Realmente son mucho m´ as que n´ umeros imaginarios .

√ − −

√

Definici´ o n 18 Un n´ umero complejo es un par ordenado de n´ umeros reales, z = (x, y). Al primer miembro del par se le llama parte real, Re(z) = x, y al segundo parte imaginaria, Im(z) = y. Dos n´ umeros complejos, z1 = (x1 , y1 ) y z2 = (x2 , y2 ), son iguales si, y s´ olo si, x1 = x 2 e y1 = y 2 . Definici´ o n 19 Dados dos n´ umeros complejos z1 = (x1 , y1 ) y z2 = (x2 , y2 ), definimos su suma y su producto como:

− y1y2, x1y2 + y1x2)

z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ) Definici´ o n 20 Dado z = (x, y)

z1 z2 = (x1 x2

∈ C tal que z = (0, 0), definimos −y 1 x = , z



x2 + y 2 x2 + y 2



C tiene estructura algebraica de cuerpo. Los números complejos de la forma (x, 0) tienen las mismas propiedades algebraicas que los n´ umeros reales. El conjunto C 0 = (x, y) C y = 0 es isomorfo a R y, evidentemente, C 0 C, por lo tanto todo número real es un caso especial de número complejo.

⊂

{

∈ |

}

Definici´ o n 21 Definimos la unidad imaginaria como i = (0, 1). 8 Definiremos el concepto de sucesi´ on m´ as adelante, pero las nociones previas que el lector probablemente ya tiene sobre sucesiones pueden ser suficientes aqu´ı.

17


i es solución de la ecuación x 2 + 1 = 0.

∈ C puede escribirse como z = x + iy.

Teorema 14 Todo z

z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = x + iy.

∈ C. El conjugado de z es z¯ = x − iy = (x, −y).

Definici´ o n 22 Sea z = x + iy

Representaci´ on geom´ etrica: Hemos definido los n´ umeros complejos como pares ordenados de números reales, (x, y), y por lo tanto están en correspondencia biun´ıvoca con los puntos del plano. En otras palabras, a todo z = (x, y) C le corresponde un punto del plano, y sólo uno. En esta representación geométrica al eje de abscisas se le llama eje real, y al de ordenadas eje imaginario. La suma de n´ umeros complejos coincide con la suma habitual de vectores en el plano. El conjugado de z es el vector simétrico respecto del eje real.

∈

Y

(x,y) z = x + iy

r

θ X



Coordenadas polares: Denotando por r = x2 + y 2 la distancia de un punto del plano al origen, y por θ = arctg(y/x) el ángulo que forma su vector de posición con el eje real, podemos escribir todo número complejo como z = x + iy = r cos θ + ir sen θ. Al ańgulo θ se le llama argumento del n´ umero complejo. Hay infinitos valores de θ que satisfacen la ecuación z = x + iy = r cos θ + ir sen θ, y cada uno de ellos es un argumento de z. Se denomina argumento principal de z al valor de θ que cumple θ ( π, π]. A r se le llama módulo del n´ umero complejo, o´ valor absoluto, y se denota también por z . El m´ odulo de un n´ umero complejo verifica las mismas propiedades que el valor absoluto de los números reales, al cual se reduce en el caso particular de un número real.

| |

∈ −

|z| ≥ 0, |z| = 0 ⇐⇒ z = 0, |z1 − z2| = |z2 − z1|, |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| |z1z2| = |z1||z2|, zz12 = ||zz12|| si z2 = 0, z¯z = |z|2 Definici´ o n 23 Argumento de un n´ umero complejo. Sea z = x + iy ∈ C un n´ umero complejo no nulo. El





unico ´ n´ umero real θ que satisface las condiciones

| |

x = z cos(θ),

| |

y = z sen(θ),

−π < θ ≤ +π

se llama el argumento principal de z y se denota por θ = arg(z). Definici´ o n 24 Exponencial compleja: Dado z = x + iy complejo ex (cos y + i sen y).

∈ C, definimos ez

= ex+iy como el n´ umero

Obs´ ervese que la exponencial compleja cumple las propiedades usuales de la exponencial real. Por ejemplo, ez1 ez2 = ez1 +z2 . Obsérvese que ez jam´ as es cero. Si x R entonces eix = 1. z Por otro lado, e = 1 si, y sólo si, z es un m´ ultiplo de 2πi.

∈

| |

Usando la definici´ on de exponencial compleja, todo número complejo z = 0 puede escribirse iθ como z = re , donde r es su módulo y θ su argumento. Esta notación polar es muy útil para la multiplicación y la división de n´ umeros complejos.



18


Teorema 15 Si z = 0 es un n´ Z+ , entonces existen exactamente n n´ umero complejo y n umeros n complejos distintos, z0 , z1 , z2 , . . . , z n−1 , llamados ra´ıces n-ésimas de z, tales que zk = z para todo k = 0, 1, 2, . . . n 1. Estas ra´ıces est´ an dadas por la f´ ormula



∈

−

| |1/neiφ ,

zk = z

k

con

φk =

arg(z) 2πk + , n n

k = 0, 1, 2, . . . n

−1

Estas ra´ıces están distribuidas equidistantemente sobre el c´ırculo centrado en el origen y de radio r = z 1/n . A la hora de calcular las ra´ıces en´ esimas de un cierto n´ umero complejo, z, i(θ+2kπ ) lo primero que uno debe hacer es escribirlo como z = z e , luego dividir el exponente entre n, y a continuación dar a k los valores 0, 1, 2, . . . n 1 para obtener n números complejos distintos. Observa que si sigues dándole valores a k vuelves a obtener las mismas ra´ıces que ya has encontrado, es decir, para k = n se obtiene la misma ra´ız que para k = 0, para k = n + 1 la misma que para k = 1 etc.

| |

| | −



Definici´ o n 25 Logaritmos complejos. Sea z = 0 un n´ umero complejo. Si w es otro n´ umero complejo tal que e w = z, entonces w se denomina un logaritmo de z. El valor particular dado por w = log z + i arg(z) se llama logaritmo principal de z, y lo denotaremos por Log(z).

||

Log(z) = log z + i arg(z)

||

Todo n´ umero complejo de la forma log z +i arg(z)+ i2nπ, con n de z . En otras palabras, la función log es multivaluada.

||

∈ Z, es también un logaritmo ∈ C cualquiera, definimos



Definici´ o n 26 Potencias complejas. Dado un n´ umero complejo z = 0 y ω z w = e wLog( z)

Obsérvese que definimos las potencias complejas de z sólo en términos de su logaritmo principal, Log(z). Si no lo hacemos as´ı encontrar´ıamos dificultades en el caso especial de la exponenciaci´ on compleja, porque la la notación eiθ podr´ıa representar múltiples n´ umeros complejos. En efecto, si modificamos la definición z w = e wLog(z) sustituyendo el logaritmo principal por otro cualquiera, por ejemplo log(z) = Log(z) + i2π, tendr´ıamos lo siguiente para el caso z = e: eiθ = e iθ log(e) = e iθ(1+i2π ) = e −2πθ +iθ = e −2πθ eiθ . Mientras que si nos restringimos a Log(e) = 1, tenemos: eiθ = e iθ Log(e) = e iθ . La definici´ on que damos aqu´ı es la que aparece en el libro An´ alisis Matem´ atico, de T.M. Apostol, y nos lleva a una potenciación compleja univaluada . Sin embargo, en la mayor´ıa de los libros de análisis complejo se usa la función multivaluada log, en lugar del logaritmo principal Log, para definir la potenciación compleja, lo cual conduce a que la notación z w pueda representar múltiples n´ umeros complejos. Veremos otro ejemplo en los ejercicios. Obsérvese que el par de ecuaciones eiθ −iθ

e conduce a cos(θ) =

= cos(θ) + i sen(θ) = cos(θ) i sen(θ)

eiθ + e−iθ 2

−

sen(θ) =

eiθ

− e−iθ 2i

Lo cual motiva la siguiente definición.

∈ C definimos:

Definici´ o n 27 Senos y cosenos. Dado z cos z =

eiz + e−iz , 2

sen z =

eiz

− e−iz 2i

19


Obsérvese que esta definición nos permite escribir eiz = cos(z) + i sen(z) para un n´ umero complejo arbitrario z. Por otra parte, cuando z es un n´ umero real la definición se reduce al seno y coseno usual de un número real. En general los senos y cosenos de números complejos pueden ser mayores que la unidad. Ejemplo: π ei(π/2+i log2) e−i(π/2+i log2) sen + i log2 = 2 2i eiπ/ 2 e− log 2 =





−

− e−iπ/2elog 2 = i(1/2) − (−i)(2) = 5

2i

2i

4

Sin embargo, la relación sen2 (z) + cos2 (z) = 1 se cumple siempre (compruébalo). El sen(z) y el cos(z) cuando z es imaginario puro, es decir, z = iy, conducen a: cos(iy) =

ey + e−y 2

sen(iy) =

e−y ey ey e−y = i 2i 2

−

−

Estas combinaciones de funciones reales resultantes para y reciben el nombre de coseno y seno hiperbólico. cosh(y) =

ey + e−y 2

senh(y) =

ey

− e−y . 2

De modo que se cumplen las relaciones cos(iy) = cosh(y),

sen(iy) = i senh(y)

Se pueden definir los senos y cosenos hiperbólicos para cualquier número, sea complejo o real puro.

∈ C definimos: ez − e−z senh z =

Definici´ o n 28 Senos y cosenos hiperb´ olicos. Dado z ez + e−z cosh z = , 2

2

En los ejercicios veremos que se verifica cosh 2 z senh2 z = 1. Si tomamos x R , podemos aprovechar la expresión cosh2 x senh2 x = 1 para escribir las coordenadas de los puntos de la rama derecha de la hipérbola equilátera x 2 y 2 = 1 como (cosh θ, senh θ), con π4 < θ < π4 , de ah´ı la denominación de funciones hiperbólicas.

−

−

−

∈ −

20


1.13.

Ejercicios.

1. Demostrar a partir de los axiomas de cuerpo de los números reales las siguientes proposiciones: Sean a, b, c, d R.

∈

a ) Si a + b = a + c, entonces b = c.

e ) Si ab = 0, entonces a = 0 o´ b = 0.

b) Si ab = ac y a = 0, entonces b = c. c ) 0 a = a 0 = 0.

f ) Si a = 0 y b = 0 entonces 1/(ab) = (1/a)(1/b).

d ) El elemento 0 no tiene inverso.

g )

·



·



a b



c d

+

=

ad+bc bd





si b = 0 y d = 0.

2. Demostrar por inducci´ on: n

n(n + 1) (a) i = 2 i=1



n

n(n + 1)(2n + 1) (c) i = 6 i=1 2

n2 (n + 1)2 4

i3 =

(b)

i=1

n



  n

(d)

xi =

i=0

1

− xn+1 , x = 1 1−x

3. Demostrar la fórmula aditiva de los coeficientes combinatorios, también conocida como ley del tri´ angulo de Pascal , n n n+1 + = , k 1 k k donde

    



n n! = , (n k)! k! k

−

− n! = n(n − 1)(n − 2) . . . 1,

y

0! = 1. n

n

4. Demostrar por inducci´ on la f´ ormula del binomio de Newton: (a + b) =

 

k =0

n k n−k a b . k

5. Obtener las fórmulas de la suma de una progresión aritmética y de una progresión geométrica: n

n+1 ai = (a0 + an ), 2 =0

 i

6. Probar que

n



ai = a 0 + d i

bi =

b0

i=0

√ 2 + √ 3 y √ 9 son irracionales.

− bn+1 , 1−r

bi = b 0 ri

3

7. Si a, b, c, d son racionales y x es irracional, probar que el número real α = irracional. D´ıgase en qué casos se dan las excepciones.

ax + b es, en general, cx + d

8. Determinar el supremo y el ´ınfimo, si existen, de los siguientes conjuntos:

{ ∈ Q | 2r3 − 1 < 17} como subconjunto de Q . b) M = {x ∈ R | x 2 − 2x < 2 } como subconjunto de R .

a ) A = r

9. Determina, si existen, el supremo, ´ınfimo, máximo y m´ınimo de los siguientes conjuntos: R; Q; A = (0, 1]; B = x [0, 1] I ; C = x [0, 1] Q .

{ ∈

∩}

{ ∈

∩ }

10. Expresar los siguientes números complejos en las formas a + ib y r eiθ . 3

a) (1 + i)

2 + 3i b) 3 4i

−

5

16

c) i + i

1 d) 2

11. Probar las siguientes propiedades de la conjugación compleja: a ) z1 + z2 = z¯1 + z¯2 . b) z1 z2 = z¯1 z¯2 . c ) z¯ z = z 2 .

| |

d ) z + z¯ = 2 Re(z). e ) z

− ¯z = 2i Im(z).



1 + i−8 1+i




21

12. Probar la fórmula de Moivre: (cos θ + i sen θ)n = cos(nθ) + i sen(nθ) siendo n un entero positivo y θ un n´ umero real. 13. Demostrar que las ra´ıces n-ésimas de 1 vienen dadas por α, α2 , . . . , αn con α = e 2πi/n, y probar que las ra´ıces distintas de 1 satisfacen 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn−1 = 0. Dado z un n´ umero complejo arbitrario y z k sus ra´ıces n-ésimas, probar que z 0 + z1 + z2 + . . . + zn−1 = 0. Dar una interpretación geométrica de este resultado.

{

}

14. A partir de las propiedades de la exponencial compleja, deduce las fórmulas para del coseno y seno de la suma de ángulos reales: cos(θ + φ) = cos(θ) cos(φ) sen(θ) sen(φ) y sen(θ + φ) = sen(θ) cos(φ) + cos(θ) sen(φ).

−

15. Demostrar las siguientes propiedades de las funciones trigonom´ etricas hiperbólicas: a ) cosh2 (a)

− senh2(a) = 1.

b) cosh2 (a) + senh2 (a) = cosh(2a). c ) cosh(a + b) = cosh(a) cosh(b) + senh(a) senh(b). d ) senh(a + b) = senh(a) cosh(b) + cosh(a) senh(b). e ) senh(2a) = 2 senh(a) cosh(a). f ) cosh(2a) = 1 + 2 senh2 (a).

− tanh2(a) = 1/ cosh2(a). h ) 1 − cotanh2 (a) = −1/senh2 (a). g ) 1

16. Dado un n´ umero complejo z = x + iy, demostrar la expresiones: (a) cos z = cos x cosh y i sen x senh y, (b) sen z = sen x cosh y + i cos x senh y.

−

17. La tangente de un n´ umero complejo se define como tg z = sen z/ cos z. Demostrar que, para z = x + iy se cumple sen(2x) + i senh(2y) tg z = cos(2x) + cosh(2y) 18. Expresa en forma bin´ omica, es decir, del modo (a + ib), los siguientes números complejos. (a) (b) (c) (d)

Log(i). ii . cos(i). π2.

(e) (f) (g) (h)

(4 + 3i)/(5 exp(1 + i). i5 + i27 . ie .

(i) π i .

− 6i).

(j) Log(π i ). (k)

√ 3 − 4i.

19. Sup´ on que definimos la potenciación compleja en t´ erminos de la funci´ on logaritmo multivaluada (no el logaritmo principal), es decir, dado z = z eiθ , definimos z w = ew log(z) , siendo log(z) = log( z ) + iθ + i2kπ, con k Z.

||

∈

| |

Demuestra que con esta definición no se cumple en general que i i i−i = i 0 = 1. Usando esta definición determina los posibles valores de i 1/3 . Observa que si hubiéramos usado sólo el logaritmo principal no habr´ıamos obtenido las tres ra´ıces de 3 i.

√

20. Expresa en forma exponencial los números z1 = principal de z 3 = 4 + 3i.

−4 − 4i,

− i)3/2. Calcula el logaritmo

z2 = (1

Cap´ıtulo 2

Elementos de topolog´ıa en conjuntos de puntos. 2.1.

Introducci´ on.

En este tema vamos a estudiar las propiedades topológicas de los conjuntos de números reales, duplas de n´ umeros reales, triplas de n´ umeros reales y, en general, n-tuplas de números reales que constituyen los espacios eucl´ıdeos n-dimensionales o Rn . Comenzaremos generalizando conceptos ya utilizados en el estudio de la recta real al caso de tener productos cartesianos de varias rectas reales, con el objetivo de formular en primer lugar la definición de espacio vectorial ó espacio lineal. Esta generalización incluir´ a las operaciones fundamentales de suma, producto por un escalar y producto interior de dos vectores o puntos n-dimensionales. Utilizando esta u ´ ltima operación definiremos las nociones de norma o longitud de un vector y de distancia entre puntos n-dimensionales junto con sus propiedades, as´ı como los conceptos de espacio normado y espacio métrico. A continuación, utilizando la noción de bola abierta centrada en un punto que puede definirse a partir de cualquier distancia, introduciremos los conceptos topológicos básicos de los subconjuntos de Rn , comenzando por los de punto interior, aislado, de acumulación, adherente y frontera. Ello nos permitir´ a definir los conjuntos abiertos como aquellos cuyos puntos son todos interiores, y a los conjuntos cerrados como aquellos cuyo complementario es abierto. Posteriormente relacionaremos las caracter´ısticas de ambos tipos de conjuntos con las de su interior (conjunto de puntos interiores), adherencia (conjunto de puntos adherentes), conjunto derivado (conjunto de puntos de acumulación) y frontera (conjunto de puntos frontera). Finalizamos el tema con la definición de conjunto compacto como aquel que puede ser recubierto mediante una familia finita de conjuntos abiertos, estableciendo además la equivalencia entre esta definición y la propiedad de que el conjunto sea cerrado y acotado. Con este tema se pretende, en primer lugar, que seas consciente de la importancia de los espacios ndimensionales en F´ısica. Lo más probable es que hasta ahora hayas estudiado problemas en, a lo sumo, tres dimensiones, pues el espacio en el que nos desenvolvemos habitualmente es tridimensional. Sin embargo, a lo largo de la titulación estudiarás con frecuencia problemas multidimensionales. Un ejemplo es el de la relatividad, donde tendrás que trabajar en un espacio tetradimensional que incluye, ademá s de las tres dimensiones espaciales, al tiempo como cuarta dimensión. Otro ejemplo son los sistemas clásicos de N part´ıculas cuyas propiedades est´ en determinadas por las posiciones y momentos de las mismas (mec´ anica estad´ıstica clásica), que nos conduce a plantear espacios de 6N-dimensiones (espacios fásicos). En mecánica cuántica incluso es necesario trabajar con espacios vectoriales de dimensión infinita. Adem´ as, una buena parte de las propiedades de las funciones, en especial las relacionadas con la continuidad, la derivabilidad y la integrabilidad, pueden estudiarse en términos de las caracter´ısticas topológicas de sus dominios de definici´ on y de sus imágenes. Por lo tanto, conocer las caracter´ısticas de estos conjuntos es importante a la hora de utilizar funciones para la descripción de fen´ omenos f´ısicos. Otro de los objetivos de este tema es que ampl´ıes el concepto que tienes de distancia más allá de la distancia eucl´ıdea que est´ as acostumbrado a utilizar en el espacio tridimensional. Otras métricas y distancias son posibles, y algunas de ellas tienen una importancia fundamental en F´ısica, como la métrica de Minkowski que se emplea en relatividad. Además de eso, muchos fenómenos f´ısicos se desarrollan en la superficie de una esfera, donde las distancias entre dos puntos no pueden establecerse directamente utilizando la métrica eucl´ıdea. Por ejemplo, si nos desplazamos desde Santiago hasta Nueva Zelanda, la distancia que recorreremos no es la distancia eucl´ıdea entre esos dos puntos del espacio tridimensional,

23


puesto que no atravesamos la tierra en l´ınea recta sino que nos movemos sobre su superficie esf´ erica.

2.2.

Espacios normados y espacios m´ etricos.

El Espacio Eucl´ıdeo Rn .

Definici´ o n 29 Sea n Z + . El conjunto ordenado de n n´ umeros reales (x1 , x2 , . . . , xn ) se llama punto n dimensional o vector con n componentes. Los puntos o vectores se designar´ an con una sola letra con flecha encima (o con negrita en la mayor´ıa de los libros)

∈

x = (x1 , x2 , . . . , xn )

y = (y1 , y2 , . . . , yn )

El n´ umero x k es la k-ésima coordenada del punto n dimensional x, o ´ la k-ésima coordenada del vector x. El conjunto de todos los puntos n dimensionales se llama espacio eucl´ıdeo1 n-dimensional, ´ o n-espacio, n y se designa por R . El espacio más usual en f´ısica es R3 , pero tambi´ en son frecuentes espacios con más o menos 2 1 dimensiones. R ó R si alguna coordenada se mantiene fija. Rn con n > 3 para los espacios de configuraciones con n grados de libertad en el estudio de la mecánica clásica, mecánica estad´ıstica, mecánica cuántica, relatividad (4 dim). Es incluso necesario en mecánica cuántica trabajar con espacios vectoriales de dimensión infinita. En todo caso, a partir de ahora para nosotros n será siempre un n´ umero entero positivo finito. Definici´ o n 30 Sean x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e  y = (y1 , y2 , . . . , yn ) dos elementos de R n . Definimos entonces lo siguiente: (a) Igualdad: x = y si, y s´ olo si, xi = y i para i = 1, . . . , n. (b) Suma: x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ). (c) Multiplicaci´ on por escalares (n´ umeros reales): ax = (ax1 , ax2 , . . . , a x n ) (d) Diferencia: x

− y = x + (−1)y = (x1 − y1, x2 − y2, . . . , xn − yn).

(e) Vector nulo u origen:  0 = (0, . . . , 0). n

(f ) Producto interior o producto escalar: xy = 

   xk yk .

k=1

 

(g) Norma o longitud: x =

√

  n

xx =

k =1

n

x2k

x2k =

1/2

.

k=1

La norma x y se llama también distancia 2 entre x e y . Rn es un ejemplo de espacio vectorial o espacio lineal. Las propiedades de la (a) a la (e) dotan a R n de estructura de espacio vectorial.

 − 

Definici´ o n 31 El vector coordenado unidad uk de R n es el vector cuya k-ésima componente es 1 y todas las dem´ as son cero. u1 = (1, 0, . . . , 0), u2 = (0, 1, . . . , 0), un = (0, 0, . . . , 1). Estos vectores son unitarios, u k = 1, y ortogonales dos a dos3 , ui uj = δ ij , lo cual es lo Rn se mismo que decir que son ortonormales. Cualquier elemento x = (x1 , x2 , . . . , xn ) puede escribir como x = x 1 u1 + x2 u2 + . . . xn un . Por lo tanto el conjunto de vectores ui , con i 1, . . . , n , constituye una base del espacio R n . A veces se escribe u ˆ i en lugar de ui para indicar que son unitarios. En f´ısica, la base de vectores ortonormales de R3 suele denotarse   por  i, j, k

 

∈ { {

1 Esto

}

∈ { }

}

implica que definimos en ese espacio la norma eucl´ıdea y la tomamos como distancia entre puntos, cosa que hacemos a continuaci´ on. 2 M´ as adelante se dará una definici´ on m´ as general de distancia. 3 El s´ ımbolo δ ij es la delta de Kronecker. Toma el valor 0 si i  = j y el valor 1 si i = j .

24


Teorema 16 Propiedades de la norma.

∀ x, y ∈ Rn , ∀ a ∈ R, se verifica:

  ≥ 0 ∀ x =  0; x = 0 ⇐⇒ x =  0. (b) ax = |a|x. (c) x − y =  y − x. (d) |xy| ≤ xy , (desigualdad de Cauchy–Schwarz). (e) x + y ≤ x +  y , (desigualdad triangular). (a) x

Demostraci´ on: (a), (b) y (c) son triviales. La (d) está propuesta en un ejercicio. La (e) se sigue de la (d) puesto que n

2



n

2



x + y = (xk + yk ) = (x2k + yk2 + 2xk yk ) = k=1 k =1 2 2 2 2 = x + y  + 2xy ≤ x +  y  + 2xy  = (x + y )2 Obsérvese que para n = 1 se reduce a la desigualdad triangular del valor absoluto, porque para n = 1 la definición de la norma coincide con la del valor absoluto de los números reales. Sustituyendo x por x y, e y por y modo que se usa con frecuencia:

− z, podemos escribir la desigualdad triangular de otro

−

x − z ≤ x − y +  y− z Un espacio con las propiedades (a), (b) y (e) se llama espacio normado. R n es un espacio normado. Definici´ o n 32 Un espacio normado, M, es un espacio vectorial sobre un cuerpo K que est´ a dotado de una funci´ on con valores en R (norma), que satisface las siguientes propiedades x, y M y a K.

∀ ∈

  ≥ 0 ∀ x =  0; x = 0 ⇐⇒  x =  0. (b) a x = |a|x. (c) x + y  ≤ x + y.

∀ ∈

(a) x

´ Los espacios normados son casos particulares de espacios m´ etricos. Estos u ´ ltimos no son necesariamente espacios vectoriales y se definen a continuación. Definici´ o n 33 Un espacio m´ etrico, M, es un conjunto no vac´ıo de objetos (puntos) dotado de una funci´ on R (métrica del espacio), que satisface x,y,z M: d : M M

× −→

∀

∈

(a) d(x, x) = 0. (b) d(x, y) > 0 si x = y.



(c) d(x, y) = d(y, x).

≤ d(x, z) + d(z, y).

(d) d(x, y)

La métrica d puede considerarse como la distancia entre puntos, con lo cual las condiciones anteriores se toman como la definici´ on de distancia. Es evidente que todo espacio normado es un espacio métrico, porque basta definir d(x, y)  = x y , y las propiedades de distancia se siguen de las propiedades de la norma. En general pueden definirse en Rn otras distancias no asociadas a normas. La métrica de Rn inducida por la norma se llama métrica eucl´ıdea . Cuando nos refiramos a Rn (espacio eucl´ıdeo) se entenderá que su métrica es la eucl´ıdea mientras no se diga lo contrario. Ejemplos de otras posibles métricas:

 − 

| − y1| + |x2 − y2| + . . . + |xn − yn | d(x, y)  = máx{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |, . . . , |xn − yn |} d(x, y)  = x1

25


2.3. 2.3.

Conjun Conjuntos tos abiert abiertos os y cerr cerrado ados. s.

Definici´ on o n 34 Dados dos conjuntos A y B , tales que A a B como B A = x B x / A = C = C ((A).

−

{ ∈ | ∈ }

⊂ B, B , se define el complementario de A de A relativo

En lo sucesivo, cuando hablemos del complementario de un conjunto S S y lo denotemos por C (S ), ), entenderemos que se trata del conjunto complementario de S relativo S relativo a todo el espacio Rn a menos que se diga lo contrario. Es decir, entenderemos que C ( C (S ) = Rn S .

−

Definici´ on o n 35 Sea  a Rn y sea r un n´ umero positivo dado. El conjunto de todos los puntos x Rn tales que x a < r se denomina n-bola n-bola abierta de radio r radio r y centro  centro a. La designamos por B por B((a, r) ´ o B( B (a).

∈

  − 

∈

{ ∈ Rn | d( d (x, a) < r}

B (a, r) = x

La bola B bola B((a, r) consta de todos los puntos cuya distancia a a es menor que r que r.. En una dimensi´ on on es un intervalo abierto, en dos es un disco circular, en tres es el interior de una esfera. En n dimensiones hablamos de n-bolas. Definici´ on o n 36 Se dice que S Rn es un conjunto acotado si est´ a contenido totalmente en una bola n B (a, r) para alg´ un  a R y alg´ un r > 0. 0.

⊂

∈ Definici´ on o n 37 Sea S ⊂ ⊂ Rn. Un punto a ∈ Rn es interior de S S si existe una n-bola abierta B (a) contenida contenida en S , es decir, B (a) ⊂ S . El conjunto formado por todos los puntos interiores de S se S se denomina interior de S y ◦ suele denotarse por int( por int(S S ) o ´ S .

Un punto  punto a R n es exterior a S S si existe una n-bola abierta B (a) tal que B (a) es lo mismo, si B (a) C ( C (S ).

∈

⊂



S = , o lo que

∅

Un punto  punto a Rn es frontera de S si S si toda n-bola n -bola abierta B B (a) contiene al menos un punto de S de S y al menos un punto de C (S ), o lo que es lo mismo, si B (a) / S y B (a) S = . El conjunto de todos los puntos que son frontera de S se S se llama frontera de S y y se denota por ∂S .

∈

⊂

   ∅

= int(S int(S ). ⊂ ⊂ Rn es abierto si, y s´ olo si, S =

Definici´ on o n 38 Un conjunto S

Esta definición on no s´ olo olo es válida alida para Rn , sin´ o tambi´ ta mbién en par p ara a cualq cu alqui uier er esp e spaci acioo métric etr ico o gen´ ge nérico eri co,, porque sólo olo la distancia inducida por la métrica etrica interviene en la definición. on. Una definición on equivalente a la anterior es ésta: esta: un conjunto se dice abierto si ninguno de sus puntos frontera le pertenece . Un intervalo abierto de R1 , tal como (0, (0, 1), es un conjunto abierto, pero cuando ese mismo intervalo lo consideramos como un subconjunto del plano, no es abierto. De hecho ningún un subconjunto de R1 puede ser abierto en R2 (salvo el conjunto vac´ vac´ıo) porque tales conjuntos no pueden contener una 2-bola. El conjunto vac´ vac´ıo es trivialmente un conjunto abierto p orque n = int( ). El mismo espacio R es tambi´ también en un conjunto abierto porque todos sus puntos son interiores.

∅

∅

× ×

El producto cartesiano de intervalos abiertos unidimensionales, (a ( a1 , b1 ) . . . (an , bn ), es un n conjunto abierto de R llamado intervalo abierto n abierto n-dime -dimension nsional, al, y se suele designar por (a, a,  b). S es abierto. ⊂ ⊂ Rn es cerrado si su complementario Rn − S es

Definici´ on o n 39 Un conjunto S

Una definición on equivalente a la l a anterior a nterior es ésta: un esta: un conjunto se dice cerrado si todos sus puntos frontera frontera le pertenecen pertenecen . El intervalo [a, [a, b], considerado como subconjunto de R1 , es cerrado porque su complementario es abierto: ( , a) (b, + ). El producto cartesiano de intervalos cerrados unidimensionales, [a1 , b1 ] . . . [an , bn ], es un conjunto cerrado de R n llamado intervalo cerrado n cerrado n-dimensional, -dimensional, y se suele designar por [ [a, a,  b].

−∞ ∪ × ×

∞

Obs´ ervese ervese que, de acuerdo con esta definición, on, los conjuntos especiales Rn y son a la vez abiertos y cerrados, porque uno es el complementario del otro y previamente hemos demostrado que los dos son abiertos. Un conjunto puede no ser ni abierto ni cerrado, como por ejemplo el intervalo [0, [0, 1).

∅


26

Teorema 17 La uni´ on de una colecci´ on arbitraria de conjuntos abiertos es abierta. Demostraci´ on : Sea F F una colección on de conjuntos abiertos y sea S la S la uni´ on on de todos ellos, es decir, S = A∈F A. A . Supongamos que x S , entonces x debe estar en al menos uno de los conjuntos de la colección F on F ,, que podemos llamar A llamar A.. Entonces  Entonces x A. A . Como A Como A es es abierto existe una n-bola abierta tal que B (x) A, lo cual implica que B (x) S y S y por lo tanto x es un punto interior de S . As A s´ı vemos vemo s que q ue todo punto de S es es un punto interior a S , S , por lo tanto S tanto S es abierto y el teorema queda demostrado.



∈

∈ ⊂

⊂

Ejemplo: Ejemplo: consideremos la colección on de intervalos abiertos dada por

{

|

F = (a, b)

}

0 < a < 1, 1 , 0 < b < 1, 1 , a < b .

Se trata de una colección on infinita no numerable. Su unión on es es un conjunto abierto:



A = (0, (0, 1). 1).

A∈F

El interv intervalo alo (0, (0, 1) tambi´ tambi´ en en se puede poner p oner como la uni´ on on de una colección on numerable de abiertos: ∞ 1 + G = Ak = ,1 k Z , Ak = (0, (0 , 1). 1). k

{ }

  |



∈



k =1

Teorema 18 La intersecci´ on de una colecci´ on finita de conjuntos abiertos es abierta.



Demostraci´ on : Sea S Sea S = m cada A k un abierto. Si S Si S = = no hay nada que demostrar k =1 Ak , y cada A porque porqu e el conjunto vac´ vac´ıo es e s abierto. abi erto. Si S Si S = tomemos un  un x S . Entonces  Entonces x Ak para cada k = 1, 2, . . . m, m, y por lo tanto existen m n-bolas abiertas B abiertas B (x, rk ) Ak . Sea r Sea r el menor de los m n´ umeros umeros positivos r1 , r2 , . . . , r m . Entonces x B (x,  r) S , con lo cual deducimos que x es un punto interior y por lo tanto S es es abierto.

∅ ∈ ⊂ ⊂

  ∅

∈

∈

Es importante el requisito de que la colección sea finita, porque el teorema no es en general cierto para colecciones infinitas. Por ejemplo, la intersección de los infinitos intervalos abiertos de la forma ( 1/n, 1/n) /n) donde n Z + es el conjunto cuyo unico u ´ nico elemento es el 0, y por lo tanto es un conjunto cerrado.

−

∈

Teorema 19 La uni´ on de una colecci´ on finita de conjuntos cerrados es cerrada, y la intersecci´ on de una colecci´ on arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada. Demostraci´ on : Es inmediata, basta aplicar los teoremas 17 y 18 18 a a los conjuntos complementarios, que son abiertos porque, dada una colección F on F arbitraria arbitraria de conjuntos A se tiene: C

   A

=

A∈F

C (A)

y

C

A∈F

   A

A∈F

=

C (A)

A∈F

Es decir, el complementario de la intersección on es la unión on de los complementarios, y el complementario de la unión on es la intersección on de los complementarios. Obsérvese erves e que q ue la uni´ uni on oń de una colección arbitraria on arbitraria de de conjuntos cerrados no es necesariamente cerrada. Por ejemplo, G = [a, b] 0 < a < 1, 0 < b < 1, a < b es una colección o n no numerable de cerrados, y su unión on es un abierto: A = (0, (0, 1).

{

|

}



A∈G

Teorema 20 Si A es abierto y B es cerrado, entonces A

− B es abierto y B − A es cerrado.

Demostraci´ on : Basta observar que A que A B = A = A (Rn B ) es la intersección on de dos conjuntos n abiertos, y que B que B A = B = B (R A) es la intersección on de dos conjuntos cerrados.

−

∩

−

−

∩

−

27


2.4. 2.4.

Puntos Puntos adhe adheren rentes tes y pun puntos tos de de acum acumulaci´ ulaci´ on. on.

Definici´ on o n 40 Sea S S Rn , y sea   x Rn , aunque no necesariamente de S de S .. Se dice que  x es adherente a S si S si toda n-bola B (x) contiene un punto de S de S ,, por lo menos. El conjunto de todos los puntos adherentes de S se S se llama adherencia ´ o clausura de S y y se denota por S .

⊂ ⊂

∈

∈

⊂ ⊂

Todo x S es S es adherente a S , es decir, S S . S . Si S S está acotado superiormente entonces el sup(S sup(S ) es adherente a S a S .. Si tomamos el intervalo abierto en R 1 , S = (a, ( a, b), entonces a entonces a y y b son b son adherentes a S a S , pero no pertenecen a S a S . La adherencia de un conjunto es siempre un conjunto cerrado. Definici´ on o n 41 Sea S R n , y sea x R n , aunque no necesariamente de S . Se dice que x es un punto de acumulaci´ on de S S si toda n-bola B (x) contiene por lo menos un punto de S distinto S distinto de x. Si x S y no es un punto de acumulaci´ on de S , entonces se denomina punto aislado. El conjunto de todos los puntos de acumulaci´ on de S se se llama conjunto derivado de S y y se denota por S  .

⊂ ⊂

∈

∈

− − { }

N´ otese otese que x es un punto de acumulaci´ on o n de S S si, y sólo olo si, x es adherente a S x . El + conjunto de los n´ umeros umeros de la forma 1/n 1/n,, con n con n Z , tiene al 0 como punto de acumulación. on. El conjunto de los números umeros racionales tiene a cada racional como punto de acumulación. Cada punto del intervalo cerrado [a, [ a, b] es un punto de acumulación on del intervalo abierto (a, (a, b).

∈

Si x es un punto de la frontera de S , entonces es un punto adherente a S S y adherente a n n R S . S . Es decir, se cumple la relación on x ∂ S x S, S , y x R S , por lo tanto n podemos escribir ∂S = S R S , lo cual implica que ∂S ∂S es cerrado en Rn , por ser la intersección on de dos conjuntos cerrados.

−

∩ ∩

∈

−

⇐⇒ ∈

∈ −

⊂ ⊂ Rn, entonces toda bola B(x) contiene infinitos

Teorema 21 Si x es un punto de acumulaci´ on de S puntos de S .

Demostraci´ on : Si no fuese f uese as´ı tendr´ te ndr´ıa ıa que q ue exis e xistir tir una u na bola b ola B B((x) con un n´ umero umero finito de puntos de S de S distintos distintos de  de x. Podemos denotar esos puntos por a1 , a2 , ..., an . Tomamos las distancias de estos puntos a  a x y elegimos la menor de ellas, es decir, r decir, r = = m´ın d(x, a1 ), d(x, a2 ), . . . , d( d(x, an ) . Entonces la bola B (x, x, r/2) no contendr´ıa ıa ningún un elemento de S S distinto de x, con lo cual deducir´ dedu cir´ıamos ıam os que x no es un punto de acumulaci´ on, on, en contradicción o n con la hip´ otesis otesis de partida.

{

}

Corolario: Corolario: Si S Si S tiene tiene un punto de acumulación on entonces S entonces S es es infinito. infinito . El rec´ rec´ıproco, ıproc o, sin embargo, no es cierto, porque Z es infinito y no tiene ning´ un punto de acumulaci´ un on. Esto es debido a que on. Z no es un conjunto acotado. Parece claro, sin embargo, que todo conjunto infinito contenido en una n una n bola de bola de radio finito (es decir, acotado) debe tener al menos un punto de acumula´ ci´ on. on. Este es un resultado importante conocido como Teorema de Bolzano–Weierstrass , que enunciaremos más as adelante.

−

Teorema 22 Un conjunto S R n es cerrado si, y s´ olo si, contiene a todos sus puntos adherentes, es decir, si y s´ olo si S S .

⊂ ⊂

⊂ ⊂

∈ −

Demostraci´ on : Sea S Sea S cerrado cerrado y  y x un punto adherente a S a S . Si suponemos que  que x / S llegaremos S llegaremos a una contradicción. on. En efecto, si  si x / S S entonces  entonces x Rn S , y puesto que R n S es es abierto contendrá alguna n alguna n-bola -bola B B((x). Esto implica que B que B((x) no contiene puntos de S de S , lo cual está en contradicci´ on on con la hip´ otesis otesis inicial de que x un punto adherente a S .

∈

∈ −

Ahora debemos probar la implicación on inversa, es decir, supongamos que S contiene S contiene a todos sus puntos adherentes y demostremos que de ello se sigue que S es S es cerrado. Sea  Sea x Rn S , esto implica que  que x / S y, y, por lo tanto, que  que x no es adherente a S a S . Existe, entonces, una n una n-bola -bola n n B (x) que no tiene puntos de S , con lo cual B (x) R S . Concl Con clu u´ımos ım os as´ı que qu e R S es abierto y, en consecuencia, S consecuencia, S es es cerrado.

∈

⊂

−

∈ − −

28


Para todo conjunto se verifica que S S , porque todo punto de S es adherente a S . El teorema anterior prueba que la inclusión opuesta, S S , se verifica si y sólo si S es cerrado. Por lo tanto podemos formular el siguiente teorema.

⊂ ⊂

⊂ Rn es cerrado si, y s´ olo si, S = S .

Teorema 23 Un conjunto S

Es evidente que para cualquier conjunto se verifica S = S S  . Por otro lado, el teorema 23 nos asegura que si S es cerrado entonces S = S , lo cual nos lleva a reescribir la expresión anterior como S = S S  para conjuntos cerrados, es decir, S  S . Expresamos esto en el siguiente teorema.

∪

∪

⊂

⊂ Rn es cerrado si, y s´ olo si, contiene a todos sus puntos de acumulaci´ on.

Teorema 24 Un conjunto S

Obsérvese que este teorema sólo garantiza que un conjunto cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación, no que S = S  . Un contraejemplo sencillo es el conjunto S = [1, 2] 3 , que contiene a todos sus puntos de acumulación pero es distinto de su conjunto derivado, S  = [1, 2].

{ }

Definici´ o n 42 Sea M un espacio métrico y A en S si se verifica A S A.

⊂ M , S ⊂ M , dos subconjuntos. Se dice que A es denso

⊂ ⊂

Ejemplos:

Q es denso en R , porque Q = R. I es denso en R , porque I = R. La definici´ on matemática de densidad se corresponde en cierto modo con la idea intuitiva que uno se hace de ella cuando piensa en números: Q es denso en R porque siempre es posible encontrar un n´ umero racional tan próximo como queramos a un n´ umero real dado. Lo mismo sucede con los n´ umeros irracionales. Teorema 25 (Bolzano–Weiestrass): Si un conjunto acotado S Rn contiene infinitos puntos, entonces existe por lo menos un punto de R n que es un punto de acumulaci´ on de S .

⊂

Teorema 26 (Encaje de Cantor): Sea Q1 , Q2 , . . . una colecci´ on numerable de conjuntos no vac´ıos n de R tales que

{

}

⊂ Qk , k = 1, 2, 3, . . ..

(a) Qk+1

(b) Cada Qk es cerrado y Q1 acotado. ∞

Entonces S =



Qk es cerrado y no vac´ıo.

k =1



Definici´ o n 43 Una colecci´ on de conjuntos F se denomina recubrimiento de S Rn si S A∈F A. Se dice también que F recubre a S . Si F es una colecci´ on de abiertos, entonces F se denomina recubrimiento abierto de S .

⊂

⊂

Teorema 27 (Recubrimiento de Lindel¨ of): Sea S R n y F un recubrimiento abierto de S . Entonces existe una subcolecci´ on numerable de F que también recubre a S .

⊂


29

Teorema 28 (Heine–Borel): Sea S Rn cerrado y acotado, y sea F un recubrimiento abierto de S . Entonces existe una subcolecci´ on finita de de F que también recubre a S .

⊂

2.5.

Conjuntos compactos.

Definici´ o n 44 Sea S Rn . Se dice que S es compacto si, y s´ olo si, cada recubrimiento abierto de S contiene una subcolecci´ on finita que recubre a S .

⊂

⊂ Rn las tres afirmaciones siguientes son equivalentes:

Teorema 29 Para todo S (a) S es compacto.

(b) S es cerrado y acotado. (c) Todo subconjunto infinito de S tiene un punto de acumulaci´ on en S .

En general este teorema no se cumple para espacios métricos arbitrarios, pues en la demostraci´ on se utilizan propiedades particulares de Rn . Sin embargo, la doble implicación S compacto S cerrado y acotado , s´ı es válida en un espacio métrico cualquiera.

⇐⇒

2.6.

Espacios topol´ ogicos.

Definici´ o n 45 Un espacio topol´ ogico, X, es un conjunto de objetos junto a una colecci´ on de subconjuntos de X que denotaremos por Y = Xα , siendo Xα X, tal que se satisfacen:

{ }

(a)

⊂

∅ ∈ Y; X ∈ Y.

(b) La uni´ on de una subcolecci´ on arbitraria de Y pertenece a Y. (c) La intersecci´ on de una subcolecci´ on finita de Y pertenece a Y. A los elementos de la colecci´ on de subconjuntos Y se les llama conjuntos abiertos. Todo espacio métrico es también un espacio topológico, pues a partir de la métrica d(x, y) se puede dar un criterio para definir los conjuntos abiertos que satisfacen las propiedades de la definici´ on anterior. Hemos visto todo esto en el caso particular de R n , que es un ejemplo de espacio topológico. Cuando los conjuntos abiertos de un espacio topológico X se definen a partir de una distancia sobre X , tal como hemos hecho en el caso de Rn , se dice que el espacio topológico es metrizable. La mayor´ıa de los espacios topológicos que se estudian en el Análisis Matemático son metrizables, aunque existen espacios topológicos no metrizables que se estudian en Topolog´ıa General.

30


2.7.

Ejercicios.

1. Demostrar la desigualdad de Cauchy–Schwarz,

     ≤ 2

n

n

n

a2k

ak bk

k=1

b2k

k=1

con

k=1

{a1, a2, . . . , an} ⊂ R y {b1, b2, . . . , bn} ⊂ R.

∃ ∈ R tal que a k x + bk = 0 para todo k = 1, . . . , n.

La igualdad se verifica si, y s´ olo si, x

2. Sean k y h aplicaciones definidas del siguiente modo: k :

R n Rn (x, y)

×

−→ −→

R



n i=1

h :

|xi − yi|

R n Rn (x, y)

×

−→ −→

R m´ ax xi

{| − yi|}

Demostrar que k y h son distancias en Rn . En el caso n = 2 ¿cuáles son las bolas abiertas y cerradas de centro un punto arbitrario x R2 y radio 1?

∈

3. Demostrar que la aplicaci´ on: p :

× A −→ (x, y) −→

A

R



0 si x = y 1 si x = y





es una distancia sobre A (distancia discreta) ¿Cuáles son las bolas abiertas y las bolas cerradas de centro un punto arbitrario x A y radio 1?

∈

4. Sean A y B dos subconjuntos de R n . Demostrar que si A es abierto entonces el conjunto dado por C = A + B = z = x + y x A, y B también es abierto.

{

| ∈

∈ }

5. Estudiar topológicamente los siguientes conjuntos: a ) A = Z

d ) D = Q

b) B = (0, 1]

e ) E = I

c ) C = ( 1)n (1 + n1 ) n

{ −

| ∈ Z+}

{ ∈ C | |ω| ∈ Z+}

f ) F = ω

Indicar si dichos conjuntos son abiertos, cerrados, o ninguna de las dos cosas. Indicar también sin son compactos o no. 6. Estudia topológicamente los siguientes subconjuntos de R 2 :

{ ∈ R2 | 0 ≤ x2 + y2 ≤ 1}. b) B = {(x, y) ∈ R2 | y = kx, k ∈ R}. Siendo k un n´ umero real fijo. c ) C = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [0, 1] y ∈ (0, 1) ∩ Q}. d ) D = {(x, y) ∈ R2 | x = n1 , n ∈ Z+ , y ∈ [0, 1]}. a ) A = (x, y)

Indica si dichos conjuntos son abiertos, cerrados, o ninguna de las dos cosas. Indica también si son compactos o no. 7. Demostrar: a ) A

∪ B = A ∪ B. b) A ∩ B ⊂ A ∩ B.

c ) C (int(A)) = (C (A)). d ) C (A) = int(C (A)).

8. Demostrar: a ) ∂A = A

∩ C (int(A)) = A − int(A). b) A = ∂A ∪ int(A).

c ) A es cerrado si y sólo si A = int(A)

∪ ∂A.

9. Demostrar que el intervalo abierto (0, 1) no es un compacto considerando la colección F de intervalos (1/n, 2/n) con n = 1, 2, 3 . . ..

31


10. Determina si la aplicaci´ on d(x, y) = x2

| − y2|

es una distancia en R . ¿Y en R +

∪ {0}?

11. Estudia topológicamente el siguiente conjunto, argumentando tus conclusiones a partir de una representaci´ on esquemática del mismo: M = (x, y) R2 x 2 + y 2 = (21/n + 31/n )2 , n Z+ .



∈ √ |

(Nota: deja este ejercicio para cuando sepas calcular el l´ımn

→∞

n

2).

∈



12. Pon un ejemplo de un conjunto de números reales que no tenga máximo pero s´ı supremo. Pon otro ejemplo de un conjunto de número reales distinto de R, que no tenga máximo, ni m´ınimo, ni supremo, ni ´ınfimo, y que sea denso en R . Razona tus elecciones.

∅

13. Da un ejemplo de subconjuntos A y B de un espacio m´ etrico M tales que int(A) = int(B) = , pero que int(A B) = M .

∪

Cap´ıtulo 3

L´ımites y continuidad. 3.1.

Introducci´ on.

En este tema estudiaremos los l´ımites de las sucesiones numéricas y de las funciones reales, as´ı como la continuidad de estas últimas. Ambos conceptos están directamente relacionados con las dos operaciones que constituyen la base matemática esencial de la F´ısica: la derivación y la integración de funciones. Por lo tanto, la importancia de los contenidos de este tema en el ámbito de la titulación es fundamental. Abordaremos en primer lugar los l´ımites de las sucesiones numéricas, definiendo los conceptos de sucesión, subsucesión, sucesión convergente y sucesión no convergente. Seguidamente discutiremos algunas consecuencias de la convergencia, como la unicidad del l´ımite, la relaci´ on de éste con la adherencia de la sucesi´ on, los l´ımites de subsucesiones y el álgebra de l´ımites (incluyendo la parte relativa a las sucesiones divergentes a y los diferentes tipos de indeterminaciones que pueden aparecer: 0 /0, / , , ∞ 1 , etc.). Finalizaremos esta parte del tema con la definición de sucesión Cauchy (aquella cuyos términos se acercan unos a otros tanto como se desee) y demostraremos la convergencia de este tipo de sucesiones en R n , lo que lo define como un espacio completo. A continuación aplicaremos el concepto de l´ımite a las funciones reales, introduciendo en primer lugar el l´ımite de una funci´ on en un punto y relacionándolo con los l´ımites de sucesiones a través de la sucesión de valores que toma la función para una sucesión definida dentro de su dominio. Ello nos permitirá, utilizando las propiedades de los l´ımites de sucesiones, establecer de forma directa algunos aspectos básicos de los l´ımites funcionales, como el álgebra de l´ımites de funciones y las definiciones de l´ımite direccional, l´ımite asintótico y l´ımite de una función vectorial. Bas´ andonos en la noción de l´ımite de una función en un punto, seguidamente definiremos la propiedad de continuidad local de funciones (continuidad de una funci´ on en un punto). Se estudiarán el álgebra de las funciones continuas (incluyendo la composición de funciones) y la relación entre la continuidad o no de una funci´ on con las caracter´ısticas topológicas de las imágenes y antiimágenes de conjuntos abiertos, cerrados y compactos por dicha función, lo que nos permitirá definir el concepto de homeomorfismo (una biyección continua cuya inversa es continua) y discutir sus propiedades más b´ asicas. Finalizaremos esta parte del tema con dos teoremas fundamentales del análisis funcional, el teorema de Bolzano y el teorema del valor medio, que están directamente relacionados con la continuidad funcional y que son esenciales para la graficaci´ on de funciones y el estudio de propiedades como la derivabilidad y la integrabilidad. La u ´ ltima sección de este tema se dedicará a la extensió n de la noción de continuidad desde su car´ acter inicialmente puntual a conjuntos de puntos (continuidad uniforme). Se establecerán relaciones entre el carácter uniformemente continuo de una función y las caracter´ısticas topológicas de su dominio, como el teorema de Heine y el teorema del punto fijo, ambos necesarios para el desarrollo de aspectos más avanzados del an´ alisis matemático que el alumno estudiará en el futuro y para el desarrollo de aplicaciones prácticas basadas en el cálculo numérico. Finalmente, se discutirán las caracter´ısticas de los diferentes tipos de discontinuidades que una funci´ on puede presentar. Como ya hemos comentado y se verá en detalle en el siguiente tema, el concepto de l´ımite es fundamental en el estudio de la F´ısica, pues es b´ asico para la definición de la derivada. Lo mismo ocurre con la continuidad de funciones, que como veremos más adelante es una condición necesaria para que sean derivables. No obstante, hay aspectos de la continuidad o divergencia de una función que tienen una influencia directa en F´ısica. Un ejemplo son los efectos derivados resonancias, que se producen cuando una perturbación periódica act´ ua sobre un sistema con la frecuencia de vibración caracter´ıstica del mismo (frecuencia de resonancia), haciendo que la amplitud de sus oscilaciones diverja y pudiendo provocar su colapso (copa de vino que estalla, puente de Tacoma que se derrumba, etc.)

±∞

∞ ∞ ∞ − ∞

33


En la escuela secundaria el alumno se ha familiarizado ya con el concepto de l´ımite tal como se introduce en el cálculo elemental, es decir, con el concepto de l´ımite de una sucesión de n´ umeros reales o l´ımite de una función real de variable real. Aqu´ı estudiaremos los l´ımites en el marco más general de los espacios métricos. En lo que sigue, denotaremos un espacio métrico genérico por (S, dS ), donde dS es la métrica definida en S . Comenzamos por definir el concepto de función entre dos espacios métricos. Definici´ o n 46 Sean dos espacios métricos (S, dS ) y (T, dT ). Una funci´ on f de S en T es una aplicaci´ on un´ıvoca de los puntos de S en puntos de T . Se representa por f : S T . A cada punto x S se le asocia un punto de T , y s´ olo uno, que se representa por f (x). Cuando S = Rn y T = Rm se suele escribir  x). Al conjunto S se le llama dominio de f , y al conjunto de puntos f (x) f ( T se le llama recorrido de f (o conjunto imagen).

−→ { } ⊂

∈

Ejemplos: (a) f : R

−→ R, (b) f : R3 −→ R,  : R3 −→ R2 , (c) f

f (x) = x 2 .



f (x,y,z) = x2 + y 2 + z 2 .  f (x,y,z) = (f 1 (x,y,z), f 2 (x,y,z)) = (x + y + z, x2 + y 2 + z 2 ).

 x) suelen representarse por (f 1 ( Las funciones f ( x), f 2 (x), . . . , fn (x, )). A los f i se les llama componentes.

3.2.

Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy.

Definici´ o n 47 Una sucesi´ on de puntos en un espacio métrico (S, dS ) es una aplicaci´ on un´ıvoca de Z+ en S . Es decir, a cada n´ umero entero positivo n = 1, 2, . . . se le asigna un elemento de S , y s´ olo uno, que denotaremos por xn . Denotaremos una sucesi´ on genérica por xn .

{ }

Ejemplo: n

−→ xn = n12 . { } ⊂ ∀ ∃ ∈

Definici´ o n 48 Una sucesi´ on xn (S, dS ) es convergente si existe un punto p siguiente condici´ on:  > 0, N Z+ d(xn , p) <  n N.

|

∈ S que satisfaga la

∀ ≥

O lo que es lo mismo:

∀B( p, ), ∃N ∈ Z+ | xn ∈ B( p, ) ∀ n ≥ N. Se dice que {xn } converge a p y se escribe xn −→ p, o ´ bien, l´ım xn = p. n→∞ Si no existe un punto p que cumpla la propiedad anterior se dice que la sucesión es divergente, ó que no converge. Obsérvese que de la definición se sigue que xn p si, y sólo si, d(xn , p) 0. En otras palabras, xn es convergente cuando, a medida que n crece, sus términos se acercan todo lo que uno quiera al l´ımite p. La convergencia de la sucesión d(xn p) hacia 0 se realiza en el espacio eucl´ıdeo R 1 .

−→

{ }

−→

{

− }

Ejemplos: (a) En R 2 , ( n12 , n2 ) diverge.

2

{ nn ++1n } converge a 1. (d) En (0, 1], { n1 } no converge. (c) En R ,

{ } (b) En R , { n1 } converge a 0. 2

2

2

Los ejemplos (b) y (d) sirven para ilustrar el hecho de que la convergencia de una sucesión depende tanto de ella misma como del espacio métrico en el que la consideremos. Enunciamos a continuación de forma r´ apida unas cuantas definiciones y propiedades sencillas: En el espacio eucl´ıdeo R 1 , una sucesión xn se llama creciente si xn x n+1 para todo n. Si una sucesi´ on creciente está acotada superiormente entonces converge hacia el supremo de su recorrido.

{ }

≤

An´ alogamente, una sucesión xn se llama decreciente si xn xn+1 para todo n. Toda sucesión decreciente acotada inferiormente converge hacia el ´ınfimo de su recorrido.

{ }

≥


34

Las sucesiones crecientes o decrecientes se denomiman mon´ otonas . Es usual referirse a ellas como mon´ otona creciente o monótona decreciente, según sea el caso. Si an y bn son dos sucesiones reales que convergen a cero, entonces an + bn también converge a cero.

{ } { }

{

}

Si 0

≤ bn ≤ an para todo n y {an} converge a cero, entonces {bn} también converge a cero.

Teorema 30 Unicidad del l´ımite. Una sucesi´ on xn sumo.

{ } ⊂ (S, dS ) puede converger a un punto de S a lo

Demostraci´ on : Supongamos que x n p y x n q . Demostraremos que necesariamente p = q . Por la desigualdad triangular tenemos 0 d( p, q ) d( p, xn )+d(xn , q ) n. Tanto d( p, xn ) como d(xn , q ) tienden a cero, por lo tanto podemos afirmar que d( p, q ) = 0 y, como consecuencia, p = q . Si lo queremos razonar con un más de detalle dir´ıamos que, dado  > 0, podemos encontrar cierto N tal que d( p, xn ) /2 y d(xn , q ) /2 si n > N , por lo tanto tenemos   0 d( p, q ) ı que 0 d( p, q ) 0 +   > 0. Ahora aplicamos el 2 + 2 = . Deducimos as´ teorema 1 y conclu´ımos que d( p, q ) = 0, lo cual sólo puede suceder si p = q .

→

≤

≤

≤

≤

→

≤

∀

≤

≤

≤

∀

Teorema 31 Sea una sucesi´ on xn xn . Entonces:

{ } ⊂ (S, dS ) que converge a p y sea T = {x1, x2, . . .} el recorrido de

{ }

(a) T est´ a acotado. (b) p es un punto de adherencia de T . Demostraci´ on : (a) Basándonos en la definición de convergencia, tomamos  = 1 y buscamos un N tal que se cumple que xn B( p, 1) para todo n N . Como hay un n´ umero finito de términos de la sucesión anteriores a N , podemos encontrar un número positivo r tal que r > m´ ax d(x1 , p), d(x2 , p), . . . , d(xN , p), 1 , y entonces podemos afirmar que todos los puntos de la sucesión están dentro de la bola de radio r centrada en p, es decir, xn B( p, r) n, con lo cual T está acotado.

∈

≥

{ ∀

∈

}

(b) De la definición de convergencia se sigue directamente que B ( p, ) contiene algún punto de T por peque˜ no que sea , por lo tanto p es adherente a T . Corolario: En el caso de que T fuese infinito, toda bola B( p, ) contendr´ıa infinitos puntos de T , con lo cual p ser´ıa un punto de acumulación de T .

{ } {

}

Observación: si T es finito, como sucede por ejemplo en la sucesión dada por xn = 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, . . . (xn = 5 para n 5), puede ocurrir que en la bola B( p, ) s´ olo tengamos el propio punto p. El conjunto de puntos de una sucesión xn es siempre infinito. No obstante, el conjunto de valores distintos que toman los infinitos términos x n (es decir, su recorrido) puede ser finito. En el caso anterior ese recorrido es T = 1, 2, 3, 4, 5, .

≥

{

{ }

}

Teorema 32 Sea T (S, dS ) y p un punto de S adherente a T (recu´ erdese que no es necesario que p T ). Entonces existe una sucesi´ on xn T que converge a p.

⊂

∈

{ } ⊂

Demostraci´ on : Por ser p adherente a T , toda bola centrada en p contiene puntos de T . En concreto, podemos considerar una colección de de bolas centradas en p y de radio 1/n, siendo n Z+ . Podemos asegurar entonces que para cada entero n 1 existe un punto x n de T tal que d( p, xn ) 1/n. As´ı construida, esta sucesión verifica que d( p, xn ) 0, por lo tanto la sucesi´ on converge a p.

∈

≥

≤

{ }

→

Definici´ o n 49 Dada una sucesi´ on xn , se define una subsucesi´ on de ésta como otra sucesi´ on dada por + + xk(n) , donde k : Z A Z es una aplicaci´ on que preserva el orden, es decir, si m < n entonces k(m) < k(n).

{

}

−→ ⊂

35


Ejemplo: La sucesión





  

1 1 1 1 , , , ,... 2 4 6 8

=

1 es una subsucesión de 2n

1 . La aplicaci´ on k estar´ıa definida como k(n) = 2n. n





1 1 1 1 , , , ,... 1 2 3 4

=

Teorema 33 Una sucesi´ on xn converge a también a p.

{ } ⊂ (S, dS ) converge a p ∈ S si, y s´ olo si, cada subsucesi´ on {xk(n)} →

{

}

Demostraci´ on : Supongamos primero que x n p y deduzcamos que toda subsucesión xk(n) converge también a p. En efecto, por ser p el l´ımite de xn sabemos que para todo  > 0 existe un N tal que n N implica d(xn , p) < . Por otro lado, como xk(n) es una subsucesión de xn , seal cual sea N siempre podremos encontrar otro entero M tal que k(n) N si n M . Conclu´ımos entonces que para todo  > 0 existe un M tal que d(xk(n) , p) <  si n M , lo cual prueba que xk(n) p. La implicación contraria se verifica trivialmente porque xn es una subsucesi´ on de s´ı misma.

≥

{ }

{ }

{

}

≥

→

≥ ≥ { }

En una sucesión no convergente pueden existir subsucesiones que s´ı converjan. Exam´ınese, por ejemplo, la sucesi´ on xn dada por

{ }

xn =



1 n

n n+1

si n es impar si n es par



,

es decir

{xn} =





2 1 4 1 1, , , , , . . . . 3 3 5 5

La subsucesi´ on de los términos de ´ındice impar tiende a cero, mientras que la los términos de ´ındice par tiende a uno. Estos l´ımites se denominan l´ımites de oscilaci´ on de la sucesión xn .

{ }

Definici´ on 50 (l´ımites de oscilaci´ on) Sea xn una sucesi´ on de n´ umeros reales. Se dice que α (siendo α R ´ o α = ) es un l´ımite de oscilaci´ on de xn si existe alguna subsucesi´ on de xn cuyo l´ımite es α.

∈

{ } { }

±∞

{ }

En una sucesión convergente sus términos se aproximan al l´ımite, y por lo tanto también se aproximan entre s´ı a medida que crece n. El siguiente teorema establece esto de modo formal. Teorema 34 Sea xn que:

{ } ⊂ (S, dS ) una sucesi´ on convergente en un espacio métrico. Entonces se cumple ∀ > 0 ∃N ∈ Z+ | d(xn, xm) <  si n, m ≥ N. Demostraci´ on : Sea p el l´ımite al que converge {xn }. Sabemos que para cualquier  > 0 podemos encontrar un N tal que d(xn , p) < /2 si n ≥ N . Si tanto n como m son mayores o iguales que N podemos aplicar la desigualdad triangular para obtener d(xn , xm )

≤ d(xn, p) + d( p, xm) < 2 + 2 = .

Definici´ o n 51 (Sucesi´ on de Cauchy) Una sucesi´ on xn (S, dS ) de un espacio m´ etrico se denomina sucesi´ on de Cauchy si cumple la denominada condici´ on de Cauchy:

{ } ⊂

∀ > 0 ∃N ∈ Z+ | d(xn, xm) <  si n, m ≥ N. Obsérverse que { 1/n} ⊂ (0, 1] es una sucesión de Cauchy, pero no converge en el espacio métrico en el que está definida: (0, 1]. Otro ejemplo: la sucesión de Cauchy {(1 + n1 )n } ⊂ Q no converge en Q .

Hemos visto que, en cualquier espacio métrico, toda sucesión convergente es de Cauchy. El rec´ıproco no es cierto en general, pero s´ı es cierto en R n .

Teorema 35 En el espacio eucl´ıdeo R n toda sucesi´ on de Cauchy es convergente.

Rn una sucesión de Cauchy y sea T = x1 , x2 , . . . su recorrido. Si Demostraci´ on : Sea xn T es finito todos los términos de la sucesi´ on son iguales, salvo a lo sumo un número finito de ellos, lo cual significa que xn converge a ese valor común.

{ } ⊂ { }

{

}

36


Supongamos ahora que T es infinito. Es ademá s f´ acil ver que T está acotado, porque para  = 1 podemos encontrar un N tal que n N implica xn xN < 1, lo cual significa que todos los puntos x  n con n N pertenecen a la bola de radio 1 y centro xN , por lo tanto podemos decir que T está contenido en una bola de radio 1 + r y centro  0, donde r es el m´ ax( x1 , . . . , xN ). Por ser T infinito y acotado, el teorema de Bolzano–Weierstrass nos garantiza que admite un punto de acumulación p en  R n . Comprobemos que la sucesión xn converge a  p. En efecto, por satisfacer la condición de Cauchy sabemos que dado  > 0 existe un N tal que xn xm < /2 siempre que n N y m N . Por otro lado, por ser  p punto de acumulaci´ on, la bola B( p, /2) contiene necesariamente puntos xm con m N . Por lo tanto, si n N podemos escribir xn p xn xm + xm p  /2 + /2 = , lo cual termina la demostración.

≥

≥

 

 

 − 

≥

3.3.

 − 

{ }

≥ ≥  −  ≤  −   −  ≤

≥

Espacios m´ etricos completos.

Definici´ o n 52 Un espacio métrico (S, d) se dice completo si toda sucesi´ on de Cauchy en S converge en S . Un subconjunto T de S es completo si el subespacio (T, d) es completo. Tanto R como Rn son completos, pero no as´ı Q. La completitud resulta de utilidad para probar la convergencia de algunas sucesiones.

→ ∞ si ∀ k > 0 ∃ N ∈ Z+ | ∀ n ≥ N xn > k. Se ∞, o´ bien que tiene l´ımite infinito. Observaci´ on: no especificamos si la sucesión tiende a + ∞ o´ a −∞, porque eso sólo tendr´ıa 1

Definici´ o n 53 Sea xn S Rn . Se dice que xn dice que esta sucesi´ on es divergente y que diverge a

{ } ⊂ ⊂

sentido en R .

Teorema 36 Sean xn S R n e yn S R n dos sucesiones convergentes tales que xn  p e yn  q . Entonces las sucesiones xn +yn y xn yn son convergentes y sus l´ımites son, respectivamente, la suma y el producto de los l´ımites.

{ } ⊂ ⊂ {

→

{ } ⊂ ⊂ } { }

→

Demostraci´ on : Para ver que el l´ımite de la sucesión xn + yn es la suma de los l´ımites usamos la desigualdad triangular del siguiente modo:

{

}

xn + yn − ( p +  q ) ≤ xn − p  + yn −  q  Para ver que xn yn converge al producto de los l´ımites utilizamos la desigualdad triangular y luego la de Cauchy-Schwarz:

{

}

xn yn − p  q  = xn  yn − xn  q + xn  q − p  q  = xn (yn −  q ) +  q (xn − p)   ≤ ≤ xn( yn − q ) +  q (xn − p)   ≤ xn yn −  q  +  q  xn − p  Poco se puede decir en general sobre el producto y suma de sucesiones divergentes. Si xn e yn , entonces xn + yn y xn yn . Pero si xn e yn podemos decir en general sobre la sucesión x n + yn , tenemos una indeterminación del tipo

→ ∞

→

→ ∞

→ ∞

Si xn p e yn , entonces xn yn una indeterminación del tipo 0 .

→ ∞

→ ∞

→ −∞

→ ∞ nada ∞− ∞.

→ ∞ si p > 0 y xnyn → −∞ si p < 0. Si p = 0 tendr´ıamos

·∞ En R 1 , x yn → p q si x n → p e y n → q , siendo p  = 0 o´ q =  0. En el caso de que p = q = 0 tendr´ıamos 0 una indeterminación del tipo 0 . Si una de las dos sucesiones tiende a ∞, en general el l´ımite de xyn será también ∞, pero hay dos casos especiales que dan lugar a indeterminaciones: ∞0 y 1∞ . n

n

Teorema 37 Sea xn S R una sucesi´ on tal que xn = 0 para todo n y que converge a p = 0. Entonces la sucesi´ on 1/xn es convergente y converge hacia 1/p.

{ } ⊂ ⊂ { }






Demostraci´ on :

Como xn está acotado y xn



1 xn

 − 

 −



37

1 p xn xn p = = p pxn xn p

| − | | || |

| − p| → 0, tenemos el teorema demostrado.

| |

El l´ımite de una sucesión cociente de otras dos, x n /yn es:

→ p e y n → ±∞ ±∞ si x n → p = 0 e y n → 0, o´ bien si x n → ±∞ e y n → p = 0. Indeterminaci´ on del tipo 0/0 si x n → 0 e y n → 0 Indeterminaci´ on del tipo ∞/∞ si x n → ±∞ e y n → ±∞ 0 si x n

3.4.

Funciones y l´ımites de funciones.

−→ T . Si p es un

Definici´ o n 54 Sean (S, dS ) y (T, dT ) dos espacios métricos. Sea una funci´ on f : S punto de acumulaci´ on de S (puede ser que p / S ) y si b T , la notaci´ on

∈

∈

l´ım f (x) = b

x→ p

significa que para cada  > 0 existe un δ > 0 tal que dT (f (x), b) <  siempre que x dS (x, p) < δ .

∈ S , x = p, y

En t´ erminos de bolas dir´ıamos que para toda bola BT (b) existe una bola BS ( p) tal que f (x) BT (b) siempre que x B S ( p), x = p.

∈

∈



Esto significa que f (x) se puede acercar al l´ımite b tanto como queramos siempre que x esté lo suficientemente próximo a p. ´ Este u ´ ltimo tiene que ser un punto de acumulación de S para que tenga sentido considerar puntos arbitrariamente próximos a él, sin embargo no es necesario que p pertenezca a S ni que b pertenezca a la imagen de la función f . 2x2 (y + 1) + y 2 , 2x2 + y 2 y demostremos que tiene por l´ımite 1 cuando (x, y) (0, 0), a pesar de no estar definida en el punto (0, 0). En efecto, las distancias (eucl´ıdeas) a considerar son Consideremos, por ejemplo, la función real definida en el plano como f (x, y) =

→



− (0, 0) = x2 + y2 |2x2y + 2x2 + y2 − 2x2 − y2| = 2x2 |y| ≤ |y| d(f (x, y), 1)) = |f (x, y) − 1| = 2x2 + y 2 |2x2 + y2| 

d((x, y), (0, 0)) = (x, y)

Entonces, dado  > 0 nos basta tomar δ =  para asegurar que

(x, y) − (0, 0) =



x2 + y 2 < δ =

⇒ |f (x, y) − 1| ≤ |y| <



x2 + y2 < δ = .

−→ T . Sea p un punto de acumulaci´ on

Teorema 38 Sean (S, dS ) y (T, dT ) dos espacios métricos y f : S de S y sea b T . Entonces

∈

l´ım f (x) = b

x→ p

l´ım f (xn ) = b ∀{xn } ⊂ S −{ p} | xn → p ⇐⇒ n→∞

→ p. Esto se deduce a partir del

Corolario: Una función no puede tener dos l´ımites diferentes cuando x teorema anterior y de la unicidad del l´ımite de una sucesión.

38


⊂ Rn y dos funciones

Teorema 39 Algunas propiedades de los l´ımites de funciones. Sea S  : S Rm , g : S Rm , tales que f

−→

−→

 x) = a l´ım f (

l´ım g (x) =  b

 x→ p

 x→ p

∈ R cualquiera, entonces se tiene:

y λ

   

 x) + g (x) = a +  f ( b

l´ım

 x→ p

 x) [g (x)] = a  f ( b

l´ım

x→  p

 x) = λa l´ım λf (

·

 x→ p

 

 x) = a f (

l´ım

 x→ p

 

⊂ R −→ T ⊂ R, definimos los l´ımites por la derecha y por la izquierda como: f (x) = b ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 tal que |f (x) − b| <  si 0 < x − p < δ f (x) = b ⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0 tal que |f (x) − b| <  si 0 < p − x < δ

Definici´ o n 55 Dada f : S l´ım

x→ p+

l´ım

x→ p

−

En Rn podemos elegir muchas “direcciones de acercamiento” diferentes a un punto dado p. Resulta as´ı natural definir los l´ımites direccionales a lo largo de rectas que pasan por p, e incluso los l´ımites a  x) entonces todos los l´ımites direccionales a través de rectas que lo largo de curvas. Si existe el l´ım f (  x→ p

pasan por ese punto coinciden, pero el rec´ıproco no es cierto en general. Para calcular el l´ımite a través de una curva resulta conveniente escribir ésta última en su forma paramétrica. En el plano, por ejemplo, tendr´ıamos la curva (x1 (t), x2 (t)) y el punto p =  (x1 (t0 ), x2 (t0 )), de modo que el l´ımite ser´ıa: l´ım

p (x1 (t),x2 (t))→

 x) = b f (

⇐⇒ ∀ > 0 ∃δ > 0

 −     

tal que



 x) f (

 b <  si t

| − t0| < δ

También podemos definir l´ımites reiterados del siguiente modo (denotamos x = (x1 , x2 ) y p  = ( p1 , p2 ), restringi´ endonos al caso de dos dimensiones. La generalizaci´ on a espacios de mayor dimensión es obvia.) l´ım

    

x1 → p1

l´ım f (x) = l´ım ϕ(x1 ),

x2 → p2

x1 → p1

l´ım

x2 → p2

ϕ(x1 )

l´ım f (x) = l´ım ψ(x2 )

x1 → p1

x2 → p2

ψ (x2 )

Si existen los l´ımites reiterados de una función en un punto, es necesario que éstos coincidan para que exista el l´ımite de la funci´ on en dicho punto. Sin embargo, no es una condición suficiente, es decir, de la coincidencia de los l´ımites reiterados no podemos concluir la existencia del l´ımite. Por otro lado, una funci´ on puede tener l´ımite en un punto a´ un cuando no existan las funciones l´ımite ϕ y ψ. El siguiente ejemplo lo pone de manifiesto. f (x, y) = pero



+y, y,

−

≥

si x 0 si x < 0



,

 x→0

l´ım f (x, y) = +y = l´ım f (x, y) =

x→0+

−

l´ım

(x,y )→(0,0)

f (x, y) = 0,

 l´ım f (x, y)

−y =⇒

x→0

Puede ocurrir que los l´ımites direccionales calculados a trav´ es de rectas coincidan pero que la función x3 carezca de l´ımite. Consid´ erese por ejemplo la función definida en el plano como f (x, y) = 2 , y x y calculemos los l´ımites direccionales en (x, y) = (0, 0) a través de rectas que pasan por el origen, es decir, rectas del tipo y = ax y también la recta x = 0:

−

l´ım f (x,ax) = l´ım

x→0

x→0

x3 x2

− ax

= l´ım

x→0

x2 x

−a

= 0,

l´ım f (0, y) = l´ım

y→0

y→0

0 =0 y

−

Sin embargo, esta función no tiene l´ımite en el origen porque si lo calculamos siguiendo la curva y = x 2 x3 obtenemos un valor distinto:

−

l´ım f (x, x2

x→0

3

3

x x − x3) = x→ l´ım 2 = l´ ım = 1. 0 x − (x2 − x3 ) x→0 x3

39


Veamos otro ejemplo más. Consideremos la funci´ on



f (x, y) =

0, si y = x 2 1, si y = x 2





Todos los l´ımites direccionales en el origen coinciden y son iguales a cero, pero el l´ımite calculado a través de la parábola y = x 2 es 1, por lo tanto esa función no tiene l´ımite cuando (x, y) (0, 0).

→

⊂ R −→ T ⊂ R, definimos los l´ımites asint´ oticos como: l´ım f (x) = b ⇐⇒ ∀ > 0 ∃k > 0 tal que |f (x) − b| <  si x > k x→+∞

Definici´ o n 56 Dada f : S

l´ım f (x) = b

x→−∞

⇐⇒ ∀ > 0 ∃k > 0 tal que |f (x) − b| < 

si x <

−k

⊂ Rn −→ T ⊂ Rm. Entonces  x) =  l´ım f ( b ⇐⇒ l´ım f j ( x) = b j ∀ j = 1, . . . , n  x→ a  x→ a

Teorema 40 Sea f : S

3.5.

Funciones continuas.

−→

Definici´ o n 57 Sean (S, dS ) y (T, dT ) dos espacios métricos y f : S T . Se dice que f es continua en p S si para cada  > 0 existe un δ > 0 tal que dT (f (x), f ( p)) <  siempre que dS (x, p) < δ .

∈

En términos de bolas dir´ıamos que f es continua en p tal que f (x) BT (f ( p), ) siempre que x BS ( p, δ ).

∈

∈

∈ S si para todo  > 0 existe un δ > 0 ⊂ S , se dice que f es continua en A.

Si f es continua en todos los puntos de un conjunto A

La continuidad de una funci´ on f en el punto p nos asegura que puntos cercanos a p se aplican por medio de f en puntos cercanos a f ( p). Si p es un punto de acumulación1 la definición de continuidad implica que l´ım f (x) = f ( p). x→ p

Si p es un punto aislado de S , entonces toda función definida en p será continua en p, puesto que para δ suficientemente pequeño el u ńico punto que satisface d S (x, p) < δ es el propio p, y se tiene obviamente que d T (f ( p), f ( p)) = 0. La continuidad as´ı definida es una propiedad local, es decir, depende del comportamiento de f en las proximidades del punto p. Estudiaremos más adelante la continuidad desde un punto de vista global.

Teorema 41 Sean (S, dS ) y (T, dT ) dos espacios métricos y f : S T . Se dice que f es continua en p S si, y s´ olo si, para cada sucesi´ on xn S convergente a p, la sucesi´ on f (xn ) T converge a f ( p).

∈

−→

{ } ⊂

f continua en p

⇐⇒



{

}⊂



l´ım f (xn ) = f l´ım xn = f ( p) n→∞

n→∞

Teorema 42 Sean los espacios métricos (S, dS ), (T, dT ) y (V, dv ). Sean las funciones f : S T , y g : f (S ) T V . Consideremos la funci´ on compuesta h : S V definida como h(x) = g[f (x)] para x S . Entonces si f es continua en p, y g es continua en f ( p), se tiene que h es continua en p.

⊂ −→ ∈

1 Se

−→

−→

necesita que p sea un punto de acumulación para p oder acercarnos todo lo que queramos a él a trav´ es de los puntos de S , y poder as´ı utilizar el concepto de l´ımite.

40


f

g

T

S p

V g(b) = g(f(p)) = h(p)

b = f(p)

’

δ

ε

δ

x

g(y) = g(f(x)) = h(x)

y = f(x)

h Figura 3.1: Esquema de composición de funciones. Demostraci´ on : Sea b = f ( p). Por la continuidad de g en b, para cada  > 0 existe un δ > 0 tal que dv (g(y), g(b)) <  siempre que dT (y, b) < δ . Por otro lado, por ser f continua en p, para este δ existe un δ  > 0 tal que dT (f (x), f ( p)) < δ siempre que dS (x, p) < δ  . Combinamos estas dos desigualdades, teniendo en cuenta que y = f (x) y b = f ( p), para concluir que para cada  > 0 existe un δ  > 0 tal que dv (h(x), h( p)) <  siempre que dS (x, p) < δ  , lo cual implica que h es continua en p. Podemos esquematizar la demostració n en R usando la distancia eucl´ıdea, para que quede m´ as claro (véase la figura 3.5): Para todo  > 0 podemos encontrar un δ > 0 tal que y b < δ = g(y) g(b) < , es decir h(x) h( p) < . Por otro lado, para ese δ > 0 podemos encontrar un δ  > 0 tal que x p < δ  = f (x) f ( p) < δ , es decir y b < δ . Combinando las dos afirmaciones previas podemos entonces asegurar que para todo  > 0 existe un δ  > 0 tal que h(x) h( p) <  si x p < δ  , y el teorema queda demostrado. En s´ımbolos tendr´ıamos:

| |−| | − |

− | ⇒| −

Por ser g continua:

| − |

|

⇒ |

−

|

−

|−|

∀ > 0 ∃δ > 0 

tal que

 ⇒ |

|y − b| < δ = 

|

g(y) h(x)

 ⇒ |

|

|

− g(b)| <  − h( p)| < 

− | −|

|



f (x) f ( p) < δ y b < δ

Por ser f continua:

∀δ > 0 ∃δ > 0

tal que

|x − p| < δ =

Por lo tanto:

∀ > 0 ∃δ  > 0

tal que

|x − p| < δ  =⇒ |h(x) − h( p)| < 



Es decir, h es también continua. Ejemplo: tomemos las funciones f (x) = cos(x) y g(x) = x2 . Tanto f como g son continuas en todo R , por lo tanto podemos afirmar que las funciones compuestas cos 2 (x) y cos(x2 ) son continuas también.

 : S Rm , y sean f Teorema 43 Sean S Rn y T T y g : S T dos funciones continuas  + g , λf ,  f  g , f  , g , en p  S . Entonces tambi´ en son continuas en p las siguientes funciones: f siendo λ R. Adem´ as, si n = m = 1 entonces f /g tambi´ en es continua siempre que g ( p) = 0, y 1/f es continua siempre que f ( p) = 0.

∈

⊂

∈

⊂

−→



−→

·     

En el caso de funciones reales de variable real, dos funciones continuas en todo R son la función constante, f (x) = c x R , y la función identidad, f (x) = x x R . Del teorema anterior se deduce inmediatamente que cualquier polinomio, f (x) = a 0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn , también es una función continua.

∀ ∈

∀ ∈

41


T X1

f

Y

S X2

Figura 3.2: En este ejemplo tenemos Y = f (X 1 ). Sin embargo X 1 = f −1 (Y ), porque f −1 (Y ) = X 1



∪ X 2.

La funci´ on 1/f (x) también es continua excepto en las ra´ıces de f (x). Las funciones elementales, e x , log x, sen x, cos x, senh x, cosh x, etc. son funciones continuas en todos los puntos en que están definidas. Por eso hacemos, por ejemplo, l´ım ex = e l´ımx 0 x = e 0 = 1. →

x→0

3.6.

Continuidad y antiim´ agenes de conjuntos abiertos y cerrados.

Definici´ o n 58 Sea f : S T . Dado Y T , la antiimagen de Y por f , designada por f −1 (Y ), se define como el mayor de los subconjuntos de S que se aplica en Y por medio de f , es decir:

→

⊂

f −1 (Y ) = x S f (x) Y

{ ∈ |

∈ }

N´ otese que esta definició n es u ´ til incluso aunque no exista la función inversa2 de f . Si f 1 admite función inversa f − , es decir, si es uno a uno, entonces la antiimagen de Y por medio de f coincide con la imagen directa de Y por medio de f −1 , es decir, con f −1 (Y ). Además, se verifica que f −1 (A) f −1 (B) si A B T .

⊂

⊂ ⊂

Teorema 44 Sea f : S

→ T . Si X ⊂ S e Y ⊂ T , se tiene lo siguiente: (a) Si X = f −1 (Y ), entonces f (X ) ⊂ Y , o ´ lo que es lo mismo, f [f −1 (Y )] ⊂ Y . (b) Si Y = f (X ), entonces X ⊂ f −1 (Y ), o ´ lo que es lo mismo, X ⊂ f −1 [f (X )]. La demostración es inmediata porque basta poner directamente la definición de los s´ımbolos f −1 (Y ) y f (X ). En general no es posible decir que Y = f (X ) implica X = f −1 (Y ) (obsérvese el contraejemplo que muestra la figura 3.6). Adem´ as se cumple que f −1 (A de T .

∪ B) = f −1(A) ∪ f −1(B) para todos los subconjuntos A y B

−→

Teorema 45 Sea f : (S, dS ) (T, dT ), entonces f es continua en S si, y s´ olo si, para cada conjunto abierto Y T , la antiimagen f −1 (Y ) S es abierta en S .

⊂

⊂

Demostraci´ on : Sea f continua en S , sea Y un abierto de T , y sea p un punto de f −1 (Y ). Probaremos que p es interior a f −1 (Y ). En efecto, sea y = f ( p), como Y es abierto se cumple que BT (y, ) T para un cierto  > 0. Por otro lado, como f es continua en p, podemos asegurar que para ese  > 0 existe un δ > 0 tal que f (BS ( p, δ )) BT (y, ), lo cual implica necesariamente que B S ( p, δ ) f −1 (Y ), y por lo tanto f −1 (Y ) es abierto

⊂

⊂

⊂

Podemos razonarlo con un poco más de detalle, recordando que para cualesquiera conjuntos A y B se verifica f (A) B = f −1 [f (A)] f −1 (B), (nota3 ), de modo que

⊂

⇒

⊂ f −1[f (BS ( p, δ ))] ⊂ f −1[BT (y, )] ⊂ f −1(Y ),

BS ( p, δ )

2 Si



⊂

X ⊂ f



1 [f (X )]

−



no existe función inversa, la notaci´ on f −1 podr´ıa parecer confusa o ambigua. Considérese por ejemplo la funci´ on definida en toda la recta real como f (x) = 1. No tiene inversa, pero f −1 ({1}) = R . 3 Es decir, f (B ( p, δ)) ⊂ B (y, ) =⇒ f −1 [f (B ( p, δ)) ⊂ f −1 [B (y, )]. S T S T

42


24 22

f

20

16

Y

14

10 8 6

f

f−1 (Y)

4 2 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

22

24

26

≥

Figura 3.3: La función definida como f (x) = x si x < 9, y f (x) = (4x + 118)/11 si x 9, no es continua en x = 9. La antiimagen del intervalo abierto Y = (12, 18) es el intervalo f −1 (Y ) = [9, 20), que no es abierto. de donde se deduce que p es un punto interior a f −1 (Y ). Rec´ıprocamente, supongamos que f −1 (Y ) es abierto en S para todo subconjunto abierto Y de T y probemos que f es continua en p. Elijamos p en S y sea y = f ( p). Para todo  > 0 la bola B T (y, ) es un conjunto abierto en T , lo cual implica que f −1 (BT (y, )) es abierto en S . Ahora bien, puesto que p f −1 (BT (y, )), que es abierto, podemos afirmar que existe un δ > 0 tal que BS ( p, δ ) f −1 (BT (y, )), de donde se deduce que f (BS ( p, δ )) BT (y, ), lo cual implica a su vez que f es continua4 en p.

∈

⊂

⊂

Véanse las figuras 3.6 y 3.6 para una ilustración gráfica.

Teorema 46 Sea f : (S, dS ) (T, dT ), entonces f es continua en S si, y s´ olo si, para cada conjunto cerrado Y T , la antiimagen f −1 (Y ) S es cerrada en S .

⊂

−→

⊂

−

Demostraci´ on : Si Y es cerrado en T , entonces T Y es abierto en T y, aplicando el teorema anterior, deducimos que f −1 (T Y ) es abierto en T . Ahora bien, como f −1 (T Y ) = S f −1 (Y ), conclu´ımos que S f −1 (Y ) es también abierto y, por lo tanto, f −1 (Y ) es cerrado en S .

−

−

−

−

Conviene recalcar que la imagen de un abierto por medio de una función continua no es necesariamente abierta. Un contraejemplo es el caso de las funciones constantes que aplican todo S en un u ´ nico punto de R1 . An´ alogamente, la imagen de un conjunto cerrado por medio de una aplicación continua no es necesariamente cerrada. Por ejemplo, la función real f (x) = arctan(x) aplica R1 en el intervalo ( π/2, +π/2).

−

3.7.

Continuidad sobre conjuntos compactos.

Otra de las propiedades globales de las funciones continuas es que aplican conjuntos compactos en conjuntos compactos. Teorema 47 Sea f : (S, dS ) (T, dT ). Si f es continua en un subconjunto compacto X S , entonces la imagen f (X ) es un subconjunto compacto de T . En particular, f (X ) es un conjunto cerrado y acotado de T .

−→

4 F´ ıjate

⊂

que hemos llegado a la conclusi´ on de que para todo  > 0 existe un δ > 0 tal que f (x) ∈ B T (f ( p), ) siempre que x ∈ B S ( p, δ), lo cual es la propia definici´ on de continuidad de la función f en el punto p.


S

43

T

f

Y −1

f

p

(Y)

B(y, ε)

y = f(p)

B(p, δ)

Figura 3.4: La antiimagen de un abierto es un abierto si y sólo si la función es continua.

⊂



Demostraci´ on : Sea F un recubrimiento abierto de f (X ), es decir, f (X ) A∈F A. Probaremos que un n´ umero finito de conjuntos A recubre a f (X ). Como f es continua sobre el subespacio m´ etrico (X, dS ), podemos aplicar el teorema 45 para concluir que cada uno de los conjuntos f −1 (A) es abierto en (X, dS ). Los conjuntos f −1 (A) forman un recubrimiento abierto de X y, como X es compacto, un n´ umero finito de ellos recubre a X . Sea −1 −1 X f (A1 ) . . . f (A p ). Entonces

⊂

∪ ∪

f (X )

⊂ f



f −1 (A1 )

 

∪ . . . ∪ f −1(A p )

∪ ∪ 

= f f −1 (A1 )

...

f f −1 (A p )

⊂

A1

∪ . . . ∪ A p

Hemos construido entonces una colección finita de abiertos que recubre a f (X ), por lo tanto deducimos que es compacto. Como corolario, aplicando el teorema 29 podemos decir que f (X ) es cerrado y acotado.  : S Definici´ o n 59 Una funci´ on f  f (x) M para cada x S .



≤

−→ Rn est´ a acotada en S si existe un n´ umero positivo M tal que

∈

 está acotada en S si, y sólo si, f (S ) es un subconjunto acotado de Rn , del teorema anterior Como f deducimos el siguiente corolario.  : S R n una funci´ Teorema 48 Sea f on de un espacio m´ etrico (S, dS ) en el espacio eucl´ıdeo Rn .  continua en un subconjunto compacto X S , entonces f  est´ Si f es a acotada en X .

−→

⊂

Este teorema nos permite deducir consecuencias importantes en el caso de funciones reales, es decir, de R1 . Si f es una función real acotada sobre X , entonces f (X ) es un subconjunto de R acotado, por lo tanto posee supremo e ´ınfimo, y se cumple que ´ınf f (X ) f (X ) sup f (X ) para todo x X .

≤

∈

≤

El siguiente teorema prueba que una función real continua f alcanza el sup f (X ) y el ´ınf f (X ) si X es compacto.

 : S R una funci´ Teorema 49 (de Weierstrass) Sea f on real de un espacio m´ etrico (S, dS ) en el espacio eucl´ıdeo R. Supongamos que f es continua en un subconjunto X compacto en S . Entonces existen puntos p y q de X tales que

−→

f ( p) = ´ınf f (X ),

≤

≤

∈

f (q ) = sup f (X )

Como f ( p) f (x) f (q ) para todo x X , los n´ umeros f ( p) y f (q ) se llaman, respectivamente, los valores m´ınimo y máximo globales o absolutos de f en X .

44


Demostraci´ on : A partir del teorema 47 sabemos que si X es compacto y f continua, entonces f (X ) es compacto, lo cual implica que es un subconjunto de R cerrado y acotado. Sea m = ´ınf[f (x)], entonces m es adherente a f (X ) y, por ser f (X ) cerrado, m f (X ). Por lo tanto podemos escribir que m = f ( p) para un cierto p de X . De modo análogo se razona que debe existir cierto q tal que f (q ) = sup[f (X )].

∈

Teorema 50 Sea f : (S, dS ) (T, dT ) una funci´ on entre dos espacios métricos. Supongamos que f es uno a uno sobre S , de modo que la funci´ on inversa f −1 existe. Si S es compacto y si f es continua −1 en S , entonces f es continua en f (S ), que también es compacto.

−→

Demostraci´ on . El teorema 46 aplicado a f −1 nos permite decir que f −1 ser´ a continua en f (S ) si, y s´ olo si, la antiimagen5 de cualquier cerrado, X f −1 (T ) S , es cerrada, es decir, si f (X ) T es cerrado. Como X S es cerrado y S es compacto, entonces X es compacto6 , con lo cual f (X ) es compacto por ser f continua (teorema 47), y por lo tanto f (X ) es cerrado, ya que en los espacios métricos todo conjunto compacto es cerrado y acotado.

⊂

⊂

⊂

⊂

Definici´ o n 60 (homeomorfismos) Sea f : S T una funci´ on de un espacio métrico (S, dS ) en otro (T, dT ). Supongamos también que f es uno a uno (biyectiva) en S , de modo que la funci´ on inversa f −1 existe. Si f es continua sobre S y f −1 es continua sobre f (S ), entonces diremos que f es una aplicaci´ on topol´ ogica o un homeomorfismo, y los espacios m´ etricos (S, dS ) y (T, dT ) se llaman homeomorfos.

−→

Si f es un homeomorfismo, entonces f −1 también lo es. El teorema 45 prueba que un homeomorfismo aplica subconjuntos abiertos de S en subconjuntos abiertos de f (S ). También aplica subconjuntos cerrados de S en subconjuntos cerrados de f (S ). Una propiedad de un conjunto que permanezca invariante frente a las distintas aplicaciones topológicas se llama una propiedad topol´ ogica. Por lo tanto, las propiedades de ser abierto, cerrado, compacto son propiedades topológicas. Un ejemplo importante de homeomorfismo lo constituyen las isometr´ıas, definidas como aplicaciones f : S T biyectivas que conservan la métrica, es decir, que cumplen d T (f (x, f (y)) = dS (x, y) para todos los puntos x e y de S . Si existe una isometr´ıa entre (S, dS ) y (T, dT ), los dos espacios métricos se denominan isométricos.

−→

3.8.

Teorema de Bolzano.

El teorema de Bolzano hace referencia a una propiedad global de las funciones reales continuas en intervalos compactos [a, b] R. En palabras llanas, dir´ıamos que si la gráfica de una funci´ on f es positiva en f (a) y negativa en f (b), entonces la función debe anularse por lo menos una vez entre a y b. Antes de enunciar el teorema de Bolzano demostraremos uno auxiliar.

⊂

Teorema 51 Sea f definida en un intervalo S R. Supongamos que f es continua en un punto c S y que f (c) = 0. Entonces existe una bola unidimensional B(c, δ ) tal que f (x) tiene el mismo signo que f (c) en B(c, δ ) S .



⊂

∈

∩

Demostraci´ on : Supongamos primeramente que f (c) > 0. Por ser f continua, para cada  > 0 existe un δ > 0 tal que f (c)  < f (x) < f (c) +  siempre que x B(c, δ ) S . Elijamos entonces el δ que corresponde a  = f (c)/2, ( > 0 por ser f (c) > 0). Por lo tanto se verifica 1 3 B(c, δ ) S , lo cual implica que f (x) tiene el mismo 2 f (c) < f (x) < 2 f (c) siempre que x signo que f (c) en B(c, δ ) S . La demostración se hace de modo análogo para el caso f (c) < 0, escogiendo  = f (c)/2.

−

∩

−

∈

∈

∩

∩

R una funci´ Teorema 52 (de Bolzano) Sea f : [a, b] R on real y continua en el intervalo compacto [a, b], y supongamos que f (a)f (b) < 0, es decir, que f (a) y f (b) tienen signos opuestos. Entonces existe, por lo menos, un punto c (a, b) tal que f (c) = 0.

⊂ −→

∈

5 Obs´ ervese 6 Todo

que f (X ) es la imagen inversa (antiimagen) de X por medio de f −1 . subconjunto cerrado de un espacio métrico compacto es compacto.

45


Demostraci´ on : Escojamos f (a) > 0 y f (b) < 0, y sea el conjunto A = x [a, b] f (x) 0 . Sabemos que A = porque a A, y además A está acotado por b, por lo tanto tiene supremo. Sea c = sup(A). Se cumple que a < c < b. Probemos que f (c) = 0. Si fuese f (c) = 0 deber´ıa existir una bola unidimensional B(c, δ ) en la que f tiene el mismo signo que f (c). Si fuese f (c) > 0, habr´ıa puntos x > c en los que f (x) > 0, en contradicción con la hipótesis de que c = sup(A). Si fuese f (x) < 0, entonces c δ2 ser´ıa una cota superior para A menor que c, en contradicci´ on de nuevo con la definición de c. Debe entonces cumplirse que f (c) = 0.

 ∅

{ ∈

∈

| 

≥ }

−

Observaci´ on : es importante exigir que la función sea continua en todos los puntos del intervalo cerrado [a, b]. Considera por ejemplo la funci´ on definida en [0, 1] como f (x) = 1 si 0 < x 1 y f (0) = 1. Esta función es continua en todos los puntos del intervalo [0, 1] excepto en x = 0. A pesar de que f (0) es negativa y f (1) es positiva, no existe ningún x [0, 1] para el que f (x) = 0.

≤

−

∈

R. Teorema 53 (del valor intermedio) Sea f real y continua en un intervalo compacto S = [a, b] Supongamos que existen dos puntos α < β de S tales que f (α) = f (β ). Entonces f toma todos los valores comprendidos entre f (α) y f (β ) en el intervalo (α, β ).

⊂



∈

Demostraci´ on : Para cualquier n´ umero k (f (α), f (β )), aplicamos el teorema de Bolzano a la funci´ on g definida en [α, β ] por medio de la expresión g(x) = f (x) k. As´ı definida es fácil ver que g(α)g(β ) < 0, por lo tanto debe anularse para algún punto intermedio c, es decir, g(c) = 0 = f (c) k. Hemos probado entonces que la función f alcanza todos los valores comprendidos entre f (α) y f (β ) en el intervalo (α, β ).

−

−

El teorema del valor intermedio, junto con el teorema 50, nos permite afirmar que la imagen de un intervalo compacto S por medio de una funci´ on real continua en S es el intervalo compacto [´ınf f (S ), sup f (S )]. En el caso especial de que f fuese constante en S , entonces el intervalo ser´ıa degenerado.

3.9.

Continuidad uniforme.

La continuidad que hemos definido anteriormente es una propiedad local de las funciones. Recordemos que dada una funci´ on entre dos espacios métricos, f : (S, dS ) (T, dT ), se dice que f es continua en A S si para cada p A y  > 0, existe un δ > 0 (que depende del punto p y de ) tal que, si x A, entonces dT (f (x), f ( p)) <  siempre que dS (x, p) < δ . Ahora bien, una vez fijado  no debemos esperar que el mismo δ sirva para todos los puntos de A, pero puede ocurrir que as´ı sea, y en ese caso se dice que la funci´ on es uniformemente continua en A. Damos ahora una definici´ on formal.

⊂

−→

∈

∈

−→

Definici´ o n 61 Sea f : (S, dS ) (T, dT ). Se dice que f es uniformemente continua en un subconjunto A S si se verifica la siguiente condici´ on: para cada  > 0 existe un δ > 0 (que depende exclusivamente de ) tal que si x A y p A entonces dT (f (x), f ( p)) <  siempre que dS (x, p) < δ .

⊂

∈

∈

Ejemplos: 1. Sea f (x) = 1/x para x > 0 y consideremos A = (0, 1]. Esta función es continua en A, pero no uniformemente continua. Para verlo tomemos  = 10 y supongamos que podemos encontrar un δ , con 0 < δ < 1, que satisfaga la condición de continuidad uniforme. Haciendo x = δ y p = δ/11 tendr´ıamos x p < δ , y sin embargo f (x) f ( p) = 11 1 10 ıamos f (x) f ( p) > 10, δ δ = δ > 10. Por tanto para estos dos puntos siempre tendr´ en contra de la condición de continuidad uniforme.

| − |

−

|

|

−

−

|

|

2. Sea f (x) = x 2 para todo x R y tomemos A = (0, 1]. Probaremos que esta función es uniformemente continua en A. Obsérvese que f (x) f ( p) = x2 p2 = (x+ p)(x p) = (x + p) (x p) < 2 x p . Si x p < δ entonces f (x) f ( p) < 2δ . Con lo cual una vez fijado , basta tomar δ = /2 para garantizar que f (x) f ( p) <  para cada par x, p con x p < δ . Esto prueba que f es uniformemente continua en A. Esta misma funci´ on, sin embargo, no es uniformemente continua en todo R .

|

|| − | | − |

∈ | − | | − |

|

− | | − | | | − | | − |

− |


46

Es evidente que si f : (S, dS ) (T, dT ) es uniformemente continua en A en A S . El rec´ıproco no es cierto, a menos que A sea compacto.

⊂ S , entonces f es continua

−→

⊂

−→

⊂

Teorema 54 (de Heine) Sea f : (S, dS ) (T, dT ). Sea A S un subconjunto compacto de S y supongamos que f es continua en A. Entonces f es uniformemente continua en A. Damos a continuación una condición suficiente para garantizar la continuidad uniforme de una función real de variable real. Para ello definimos previamente las funciones lipschitzianas .

R se dice lipschitziana en I si existe una constante k > 0 tal Definici´ o n 62 Una funci´ on f : I R   que se verifica f (x) f (x ) k x x para todo x, x I .

|

⊂ −→ |≤ | − |

−

∈

Teorema 55 Si f : I R memente continua en I .

⊂ −→ R es una funci´ on lipschitziana en el intervalo I , entonces f es unifor-

Demostraci´ on : Sea k la constante de Lipschitz de f en I . Dado  podemos tomar δ = /k, de tal modo que para cualesquiera x, x I se cumple:

∈

|x − x| < k =⇒ |f (x) − f (x )| ≤ k |x − x| < k k =  Estudiaremos la derivada de funciones en el siguiente tema, pero es útil mencionar aqu´ı que para que una funci´ on f satisfaga la condición de Lipschitz en I es suficiente que sea derivable y tenga derivada acotada en I . Deducimos por tanto que si f tiene derivada acotada en el intervalo I , entonces es uniformemente continua en I . El rec´ıproco, no obstante, no es cierto. Es decir, una funci´ on con derivada no acotada puede ser uniformemente continua. Un ejemplo lo tenemos en la función f (x) = x sen(1/x), que veremos en los ejercicios. Teorema del punto fijo para contracciones.

−→

Definici´ o n 63 Dada una funci´ on f de un espacio métrico en s´ı mismo, f : (S, dS ) (S, dS ), un punto p S se dice punto fijo de f si se satisface f ( p) = p. La funci´ on f se denomina contracci´ on de S si existe un n´ umero 0 < α < 1, llamado constante de contracci´ on ´ o coeficiente de contracci´ on, tal que d(f (x), f (y)) αd(x, y) para cada x, y de S .

∈

≤

Una contracción de un espacio métrico es uniformemente continua.

Teorema 56 (del punto fijo): Una contracci´ on de un espacio métrico completo tiene un ´ unico punto fijo.

3.10.

Discontinuidad de las funciones reales.

Estudiaremos ahora los tipos de discontinuidades de funciones reales definidas en intervalos de R . Sea f una función real definida en (a, b) R y sea c [a, b). Si f (x) A cuando x c con valores mayores que c, diremos que A es el l´ımite lateral por la derecha de f en c, y lo indicaremos de este modo:

⊂

∈

→

→

l´ım f (x) = A.

x→c+

Este l´ımite también se suele denotar por f (c+ ). Obsérvese que f no necesita estar definida en c para que exista el l´ımite lateral f (c+ ) pero, si lo está y es f (c) = f (c+ ), diremos que f es continua por la derecha en c. El l´ımite lateral por la izquierda, f (c− ), y la continuidad por la izquierda en c se define an´ alogamente si c (a, b]. Si a < c < b, entonces f es continua en c si, y s´ olo si f (c+ ) = f (c− ) = f (c). Si esto no ocurre diremos que f es discontinua en c y deberá darse alguna de las siguientes condiciones:

∈


47

(a) Existen f (c+ ) y f (c− ), pero son distintos. Se denomina discontinuidad inevitable ó esencial (de primera especie). (b) Uno de los l´ımites f (c+ ) ó f (c− ) no existe, o no existe ninguno. Se denomina discontinuidad inevitable ó esencial (de segunda especie). (c) Existen f (c+ ) y f (c− ), pero f (c+ ) = f (c− ) = f (c). Se denomina discontinuidad evitable, puesto que se podr´ıa evitar redefiniendo la función en el punto c para que coincida con los l´ımites laterales.



Definici´ o n 64 Sea f una funci´ on definida en el intervalo cerrado [a, b]. Si f (c+ ) y f (c− ) existen para un punto interior c (a, b), entonces:

∈

− f (c−) se llama salto de f a la izquierda de c. (b) f (c+ ) − f (c) se llama salto de f a la derecha de c. (c) f (c+ ) − f (c− ) se llama salto de f en c.

(a) f (c)

Si alguno de estos saltos es distinto de cero se dice que f tiene una discontinuidad de salto en c. Ejemplos:

||



1. La funci´ on f definida como f (x) = x/ x si x = 0 y f (0) = A tiene una discontinuidad inevitable de salto en 0, independientemente del valor de A. En este caso se tiene f (0+ ) = +1 y f (0− ) = 1.

−



2. La funci´ on f (x) = 1 si x = 0 y f (0) = 0, posee un salto de discontinuidad evitable en 0. En este caso f (0+ ) = f (0− ) = +1.



3. f (x) = 1/x si x = 0 y f (0) = A tiene un punto de discontinuidad inevitable en 0.

48


3.11.

Ejercicios.

1. Demostrar aplicando la definici´ o n de convergencia que: 2n + 3 2 b) 3n 50 3

− −→

2. Demostrar aplicando la definici´ on que:

2n n!

a)

1 ( 1)n + n n2

−

a)

−→ 0

n! nn

b)

−→ 0

−→ 0

3. Demostrar que toda sucesió n en R que es monótona creciente y acotada superiormente es una sucesi´ on de Cauchy. 4. Demostrar que la sucesi´ on definida por a1 = l´ımite.

√ 5 y a = √ 5 + a es convergente y calcular su n n−1

5. Demostrar que si a < 1 entonces la sucesión x n = a n es convergente y x n el caso a = 1.

| |

| |

6. Demostrar que

−→ 0. Estudia también

xn = a. n→∞ n

− xn) = a

l´ım (xn+1

n→∞

si, y s´ olo si, l´ım

7. Demostrar que el l´ımite de las siguientes sucesiones es 1:



1/n

1/n

+

∈

∩

√ n n

(b) l´ım

n→∞

I está acotado (superior

√ an + bn donde a y b son números reales positivos. n

10. Calcular el l´ımite de las sucesiones x n = n

 − −  1 n

9

3 , e y n = n

11. Basándose en la definición de l´ımite, demostrar: a)

n

n→∞

8. Justifica razonadamente si el conjunto M = 2 +3 ;n Z e inferiormente) y tiene ó no, supremo, ´ınfimo, m´ aximo y m´ınimo. 9. Calcular el l´ımite de la sucesión x n =

√ c,

(a) l´ım

x+1 3 = x→2 x 2 l´ım

 − −  1 n

27

3

3 .

3x + 9 3 = x→∞ 5x 1 5

b)

l´ım

−

| − | | − | √ a2 + ax + x2 − √ a2 − ax + x2 √ a + x − √ a − x 12. Calcular l´ım . x→0 13. Calcular los l´ımites cuando (x, y) −→ (0, 0) de las funciones x2 − y 2 = (0, 0) , si (x, y) 

En el apartado (a) busca el valor concreto de δ = x 2 para que la distancia entre f (x) y el l´ımite sea menor que  = 0,001, es decir f (x) (3/2) < 0,001.

a) f (x, y) =

b) f (x, y) =

14. Calcular:

a)

l´ım

(x,y )→(0,0)

xy , 2 x + y2

 

 

x2 + y 2 0,

(xy)2 (xy)2 + (x 0, b)

si (x, y) = (0, 0)

− y)2 ,

l´ım

si (x, y) = (0, 0)



si (x, y) = (0, 0) y2

(x,y )→(0,0)

 



x2 + y 2

,

c)

 

l´ım

(x,y)→(0,0)

x2 y x2

− y.

15. Demuestra que no existe el l´ım sen(1/x), pero s´ı el l´ım x sen(1/x). x→0

16. Demostrar que el l´ımite 17. Calcula el

l´ım

(x,y)→(−1,+1)

l´ım

(x,y )→(0,a)

x→0

(x2 + y 2 )sen

1 , existe para a = 0, pero no existe para a = 0. xy



(xy + 1)2 . (x + 1)2 + (y 1)2

18. Estudiar la continuidad de f (x) =

 − 

1 [(1 + x)n 2 x n(n 1) , 2

−

− 1 − nx],

si x = 0



si x = 0

 

49


19. Estudiar para qué puntos es discontinua la siguiente función:

f (x, y) =

 

 | |  | |    −    

x2 + 2xy + y2 , si x = y x2 y 2 1, si x = y 0, si x = y

−

20. Localizar y clasificar las discontinuidades de las siguientes funciones reales de variable real: a) f (x) =



e1/x , 0,

 

si x = 0 si x = 0



c) f (x) =

b) f (x) =

e1/x , si x = 0 1, si x = 0





1 , si x = 0 1 e1/x 0, si x = 0

−

21. Sean f y g dos funciones reales continuas en el intervalo [a, b] y tales que f (a) < g(a) y f (b) > g(b). Demostrar que existe un punto c (a, b) tal que f (c) = g(c), es decir, que las gráficas de las funciones se cruzan.

∈

22. Demostrar que las siguientes ecuaciones admiten al menos una ra´ız real: a) x

b) x11 +

− sen x − 1 = 0,

3 2 + x2 + sen2 x

− 150 = 0.

R una función continua tal que l´ım f (x) = c, con c 23. Sea f : [a, ) x→∞ una funci´ on acotada.

∈ R . Demostrar que f es

∞ −→

24. Averiguar si las funciones que se indican a continuaci´ on son o no uniformemente continuas en sus respectivos dominios.

−→ R, f (x) = x2. b) g : [2, 5] −→ R, g(x) = x 2 . c ) h : (0, 1) −→ R, h(x) = x sen(1/x). sen(1/x), si x  =0 d ) j : R −→ R, j(x) = 0, si x = 0 e ) k : (0, 1) −→ R, k(x) = sen(1/x). a ) f : R





.

25. Demostrar que la sucesión xn = (1 + n1 )n es convergente en R . 26. Demostrar que:

 

(d) l´ım+ 1 + x→0

1 x

(a) l´ım

x→∞

x

= 1,

    1+

1 x

(e) l´ım x→0

x

= e,

1+

−

1 x

log(1 + x) =1 x→0 x

27. Demostrar que:

a)

l´ım

28. Demostrar que:

sen(x) =1 x→0 x

x

(b) l´ım (1 + αx)1/x = e α , x→0+

= 1, b)

(f) l´ım

l´ım

x→−∞

ax

(c) l´ım xx = 1,

  1+

1 x

x→0+

x

= e.

− 1 = log(a)

x

x→0

l´ım

29. Estudia la continuidad de las siguientes funciones para todos los posibles valores que puedan tomar los parámetros a, b, c, y d.

f (x) =

 

x + bx2 cos(1/x) , si x > 0 cx + dx2 sin(1/x) 1, si x = 0 x a( x) , si x < 0

−

 

,

g(x) =

 

(x2 1) 1) sin(x

− 3(x − −

a,

− 1) ,



si x = 1 si x = 1

 


30. Sea an una sucesió n de n´ umeros reales de la que se sabe que para un cierto k verifica: kn 3 n 4n + 9 n a n n+1 n2 + 6n

{ }

50

∈ R y ∀n ∈ N

√ √ √ − − √ ≤ ≤ √ ¿Qué valor deber´ıa tener k para garantizar que {an } sea convergente? ¿Cuál ser´ıa entonces el l´ımite de {an }? 31. Estudia la continuidad uniforme en el intervalo [ −3, 3] de las siguientes funciones: f (x) = x + 2,

3

g(x) = x ,

h(x) = cos

 1 x

Cap´ıtulo 4

C´ alculo diferencial de funciones reales de una variable real. Este cap´ıtulo está dedicado a un concepto fundamental en el análisis matemático y sus aplicaciones en la f´ısica: La derivada. Se estudiaran fundamentalmente las derivadas de funciones reales de variable real y sus propiedades (incluyendo el comportamiento de las funciones elementales bajo la diferenciación). Comenzaremos el tema definiendo el concepto de derivada a partir del l´ımite, y discutiendo algunos aspectos fundamentales que son consecuencia de esa definición, como la necesidad de que una función sea continua para que sea derivable, la interpretación geométrica de la derivada en un punto como la tangente a la curva en dicho punto, el álgebra de derivadas, la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas o la definición de derivada lateral. A continuación desarrollaremos la relación que existe entre la gráfica de una funci´ on y los valores de sus derivadas primera (crecimiento, dec recimiento, extremos) y segunda (concavidad y convexidad, máximos y m´ınimos); as´ı como algunas consecuencias de dicha relación, en particular, el teorema de Rolle y el teorema del valor medio. La u ´ ltima parte del tema la dedicaremos al estudio de dos consecuencias del teorema del valor medio que serán esenciales para el alumno en el futuro, no sólo por su importancia dentro del análisis matemático, sino sobre todo por su intensiva utilización en el estudio de la f´ısica: La regla de L’Hopital para el cálculo de l´ımites indeterminados y, principalmente, el Teorema de Taylor para la aproximaci´ on de funciones en el entorno de un punto mediante un polinomio construido a partir de sus derivadas. La importancia de los contenidos de este tema en f´ısica es fundamental. La raz´ on principal de esa importancia es que al representar la derivada la variación de una función con respecto a una variable, relaciona a través del tiempo magnitudes como trayectoria, velocidad y aceleración. De hecho, el propio Isaac Newton es considerado como uno de los padres del cálculo diferencial, que tuvo que desarrollar para sentar los principios de la mecánica clásica. Más allá de la mecánica, otros ejemplos ser´ıan la potencia y la intensidad de corriente, que corresponden a la variación temporal de, respectivamente, el trabajo y la carga. El cálculo de máximos y m´ınimos también se aplica de forma directa en todas las a´reas de la f´ısica: La naturaleza se rige a menudo por el principio de m´ınima energ´ıa y, por lo tanto, la minimización de esta magnitud es una técnica muy habitual en el estudio de fenómenos f´ısicos. En cuanto a los máximos, estos son esenciales para el cálculo de la estabilidad de un sistema. Por último, el desarrollo en serie de Taylor juega un papel fundamental a la hora de abordar problemas f´ısicos, pues en determinadas condiciones nos permite simplificar las funciones eventualmente complejas que los describen mediante un polinomio, facilitando as´ı su tratamiento.

4.1.

Derivada de una funci´ on.

R una funci´ Definici´ o n 65 Sea f : (a, b) on real de variable real definida en el intervalo abierto (a, b), y sea c (a, b). Se dice que f es diferenciable en c siempre que exista el siguiente l´ımite:

∈

−→

f (x) x→c x l´ım

− f (c) = f (c) −c

A dicho l´ımite se le denomina derivada de f en c y se le denota por f  (c). Las derivadas de f en todos los puntos del intervalo (a, b) definen una nueva funci´ on en dicho intervalo, conocida como primera derivada  de f , que suele denotarse por f . Procediendo de modo análogo, podemos construir la función derivada de f  siempre que existan los correspondientes l´ımites en los puntos c (a, b). A la función derivada de

∈

52


f  se le denomina segunda derivada de f , y se denota por f  . Este proceso de construcción de funciones derivadas puede continuar, siempre que existan los correspondientes l´ımites, y as´ı tendr´ıamos en general la n-ésima función derivada de f , denotada por f (n) , que ser´ıa la primera derivada de la funci´ on f (n−1) . A este proceso de obtención de f  y sucesivas derivadas a partir de f se le denomina diferenciaci´ on . Otras notaciones para la función derivada son: df (c) df f (c) = Df (c) = = dx dx 



x=c

La notación df /dx fu´ e introducida por Leibniz en el sigo XVII y tiene la virtud de recordarnos, de una manera compacta, que la derivación es un cociente de cantidades infinitesimales llevado al l´ımite. Definiendo ∆f = f (x) f (c) y ∆x = x c tenemos

−

−

f (x) x→c x

f  (c) = l´ım

− f (c) = l´ım ∆f ∆x→0 ∆x −c

Para abreviar esta última expresión utilizamos entonces la notación de Leibniz y ponemos ∆f df = ∆x→0 ∆x dx l´ım

Veremos que en diversas ocasiones la expresión df /dx puede ser tratada como un cociente ordinario de n´ umeros finitos, de modo que operaciones simples de cancelación algebraica de numeradores con denominadores permiten obtener fácilmente resultados cuya demostración rigurosa ser´ıa más complicada (por ejemplo, al aplicar la regla de la cadena). Conviene, en todo caso, tener siempre presente que hay un paso al l´ımite de por medio y que el tratamiento algebraico ingenuo de estos cocientes no garantiza un resultado correcto en todos los casos. Ejemplos de derivadas de funciones elementales obtenidas a partir de la definici´ on de derivada: Función constante, f (x) = k

∀x ∈ (a, b), f (x) x→c x

− f (c) = l´ım k − k = 0 x→c x − c −c

f (x) x→c x

− f (c) = l´ım x − c = 1 x→c x − c −c

f  (c) = l´ım f (x) = x, f  (c) = l´ım

∈ R y a > 0. Veamos que f (x) = ax log(a). En efecto1: ax − ac a(x−c) − 1 ay − 1  c c f (c) = l´ım = a l´ım = a l´ım = a c log(a) x→c x − c x→c y→0 x−c y

f (x) = a x , con x

Obsérvese que si a = e tendremos f (x) = e x , y f  (c) = e c log(e) = e c . f (x) = log(x)

≡ ln(x), con x > 0. Comprobemos que f  (x) = 1/x.

ln x f (c) = l´ım x→c x

c x c ln + ln c ln(x/c) c c c = l´ım = l´ım x→c x x→c c c x c

− − − hacemos y = (x − c)/c, con lo cual: 



−

 −



ln 1 + = l´ım

x→c

x

x

−c c

−c



ln(1 + y) 1 ln(1 + y) 1 = l´ım = y→0 yc c y→0 y c

f  (c) = l´ım

∈ R, entonces f (x) = cos(x). En efecto2: x−c x+c 2sen cos sen x − sen c 2 2 f  (c) = l´ım = l´ım x→c x→c x−c x−c

f (x) = sen(x), con x

   

1

2sen(y)cos = l´ım

2y

y→0

Recuerda que en el apartado b del ejercicio 26 del Tema 3 se demuestra que: l´ım

y→0

2 Recordemos

ay − 1 = log(a) y

la siguiente identidad trigonométrica: sen α − sen β = 2sen

α − β cos 2



α + β 2

„ « „ «

2y + 2c 2



53


siendo y = (x

− c)/2. Por tanto, sen(y) cos(y + c) = cos(c) y→0 y

f  (c) = l´ım Donde hemos utilizado que sen(x) del Tema 3.

4.2.

 x cuando x → 0, tal y como hemos visto en uno de los ejercicios

Derivadas y continuidad.

Teorema 57 Sea f : (a, b) on diferenciable en c (a, b). Entonces existe una funci´ on R una funci´ ∗ f (que depende de f y de c) que es continua en c y que satisface la siguiente ecuaci´ on

−→

∈

f (x)

− f (c) = (x − c)f ∗ (x)

∀x ∈ (a, b),

(4.1)

siendo f ∗ (c) = f  (c). Rec´ıprocamente, si existe una funci´ on f ∗ (x) que es continua en c y satisface la  ecuaci´ on anterior, f es diferenciable en c y cumple f (c) = f ∗ (c).

⇒ − −

∈ ∀ ∈

Demostraci´ on:“= ”Sabemos que f es diferenciable en c (a, b), por lo tanto podemos afirmar que existe f (x) f (c) f  (c) = l´ım . Definimos entonces f ∗ (x) en x (a, b) como la siguiente función que depende x→c x c de f y c, f (x) f (c) si x = c f ∗ (x) = x (a, b) x c  f (c) si x = c

 

− −

 ∀ ∈

f (x) f (c) x→c x→c x c ∗  y por definición este l´ımite es igual af (c) = f (c). Además, la ecuación de la definici´ on del teorema también se verifica trivialmente x (a, b) debido a la propia definición de f ∗ (x) que hemos adoptado, ya que, f (x) f (c) f ∗ (x) = = f (x) f (c) = f ∗ (x) (x c) x (a, b) x c Nos falta demostrar la implicación inversa. En ese caso lo que sabemos de partida es que existe una funci´ on f ∗ (x) continua en x = c que verifica f (x) f (c) = f ∗ (x) (x c) para todo x (a, b). Dividimos ambos miembros de esta expresión por (x c) y tenemos, Est´ a claro que f ∗ es continua en c, pues por hip´ otesis de partida existe el l´ım f ∗ (x) = l´ım

∀ ∈ − −

⇒ −

f (x) x

−

−

−

∀ ∈

−

− f (c) = f ∗ (x) −c

− −

∈

∀x ∈ (a, b)

Y tomando el l´ımite cuando x tiende a c:

f (x) x→c x l´ım

− f (c) = l´ım f ∗(x) = f ∗ (c) x→c −c

La u ´ltima igualdad está garantizada por la hipótesis de que f ∗ es continua en x = c. Esto demuestra que f (x) f (c) el l´ım existe, que por lo tanto f  (c) también, y que además f  (c) = f ∗ (c). x→c x c

− −

Teorema 58 Sea f : (a, b) continua en x = c.

−→ R una funci´ on derivable en c ∈ (a, b). Entonces se cumple que f es

De acuerdo con este teorema, una condición necesaria para la derivabilidad de una funció n en un punto es que la función sea continua en dicho punto. Demostraci´ on: Al ser f diferenciable en x = c, por el teorema anterior sabemos que existe una f ∗ que es continua en x = c y cumple f (x) f (c) = (x c)f ∗ (x) x (a, b) [o, lo que es lo mismo ∗  ∗ f (x) = f (c) + (x c)f (x) x (a, b)], siendo además f (c) = f (c). Para ver que f es continua en c basta demostrar que existe el l´ım f (x) y que es igual a f (c). Veamos ese l´ımite:

−

∀ ∈

−

−

∀ ∈

x→c

l´ım f (x) = f (c) + l´ım (x

x→c

x→c

− c)f ∗(x) = f (c) + 0 · f ∗ (c) = f (c)

donde hemos aplicado que f ∗ es continua en x = c y por tanto existe l´ım f ∗ (x) = f ∗ (c). x→c

54


4.3.

Interpretaci´ on geom´ etrica del concepto de derivada.

El teorema 57 nos ayuda a mostrar que la derivada de la función f (x) en un punto puede interpretarse como la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en dicho punto. En efecto, si f (x) es derivable en (a, b), sabemos que existe una f ∗ (x) que verifica la expresión f (x) f (c) = (x c)f ∗ (x) x (a, b) y que además es continua en c. Por lo tanto, en las cercan´ıas de este punto podemos realizar la aproximación f ∗ (x) f ∗ (c) y escribir f (x) f (c) (x c)f ∗ (c) cuando x. Como además f ∗ (c) = f  (c), tenemos

−

≈

−

≈ − f (x) ≈ f (c) + (x − c)f  (c)

−

∀ ∈

≈ c

si x

Obsérvese que ésta es la ecuación de una recta que pasa por el punto (c, f (c)) y tiene como pendiente f  (c). Por lo tanto f  (c) se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la curva en x = c, tal como se muestra en la siguiente figura.

y

(x,f(x)) f(x)

f(x)-f(c) (c,f(c))



f(c) lim tag  lim

x c

=

x c

f(x)-f(c) = f’(c) x-c

x-c c

x

x

Interpretaci´ on geométrica del concepto de derivada: Como se observa en la figura, la recta que pasa por los puntos (c, f (c)) y (x, f (x)) (color azul) tiene una pendiente tan α = [f (x) f (c)]/(x c). Si hacemos que x c esa recta secante se transforma progresivamente en la recta tangente a f (x) en c (color rojo) que tiene como pendiente f (x) f (c) f (c), pues por definición l´ım tan α = l´ım = f (c). x c x c (x c)

−



→

4.4.

→

− −

−

→



´ Algebra de derivadas y regla de la cadena.

∈

−

Teorema 59 Sean f y g dos funciones diferenciables en c (a, b). Entonces las funciones f + g, f g y f g son también diferenciables en c. Asimismo, f /g es diferenciable en c siempre que g(c) = 0. Las correspondientes derivadas vienen dadas por las siguientes f´ ormulas:

·



± g)(c) = f (c) ± g(c) (b) (f · g) (c) = f  (c) · g(c) + f (c) · g  (c) 1 (c) (f /g) (c) = 2 [f  (c) · g(c) − f (c) · g  (c)] g (c)

(a) (f

Demostraci´ o n: Al ser f y g derivables en c (a, b), por el teorema 57 sabemos que existen f ∗ (x) y g ∗ (x) que son continuas en c y que verifican f ∗ (c) = f  (c), g∗ (c) = g  (c), f (x) = f (c) + (x c)f ∗ (x) y g(x) = g(c) + (x c)g∗ (x) para todo x (a, b). Utilizando esto, vamos a intentar demostrar la existencia de funciones “ ”para la suma, el producto, y el cociente de f y g que verifiquen la ecuación 4.1 del teorema 57 y sean continuas en c. Ello nos garantizara la derivabilidad de la suma, el producto, y el cociente de f y g. Adem´ as, las funciones “ ” evaluadas en c coincidiran con la correspondiente derivada.

∈

−

−

∈

∗

∗

(a) Sustituyendo obtenemos f (x) g(x) = f (c) g(c) + (x c)[f ∗ (x) g ∗ (x)], por lo tanto existe una funci´ on que verifica la ecuación 4.1 del teorema 57 para la función f (x) g(x). Dicha función es ∗ f (x) g ∗ (x) que es continua en c [pues f ∗ (x) y g ∗ (x) son continuas en c] y que verifica f ∗ (c) g ∗ (c) = f  (c) g (c), con lo cual la proposición (a) queda demostrada.

±

± ±

±

−

±

±

±

55


(b) Sustituyendo obtenemos

− c)f ∗ (x)][g(c) + (x − c)g∗(x)] = = f (c) · g(c) + (x − c)g∗ (x)f (c) + (x − c)f ∗ (x)g(c) + (x − c)2 f ∗ (x)g∗ (x)

·

f (x) g(x) = [f (c) + (x

· g(x) − f (c) · g(c) = (x − c)[g∗(x)f (c) + f ∗ (x)g(c)] + (x − c)2f ∗ (x)g∗ (x) Dividiendo por (x − c) esta expresión se transforma en f (x) · g(x) − f (c) · g(c) = g ∗ (x)f (c) + f ∗ (x)g(c) + (x − c)f ∗ (x)g ∗ (x) (x − c) Tomando el l´ımite cuando x → c, a ambos lados de la igualdad obtenemos f (x) · g(x) − f (c) · g(c) 3 ∗ l´ım = g (c)f (c) + f ∗ (c)g(c) = g  (c)f (c) + f  (c)g(c) x→c (x − c) Como el l´ımite de la izquierda es, por definici´ on, (f · g) (c), queda demostrada la proposición. Es decir, f (x)

(c) Desarrollamos f (x)/g(x) aplicando de nuevo el teorema 57,

− c)f ∗(x) = f (c) + f (c) + (x − c)f ∗ (x) − f (c) − c)g∗ (x) g(c) g(c) + (x − c)g∗ (x) g(c)  + (x − c)f ∗ (x)g(c) − f (c)g(c)  − (x − c)g ∗ (x)f (c)     f (x) f (c)  g(c)f (c)  − g(c) = g(x) [g(c)]2 + (x − c)g ∗ (x)g(c) 1 f (x) f (c) f ∗ (x)g(c) − g ∗ (x)f (c) − dividiendo por (x − c) obtenemos: = (x − c) g(x) g(c) [g(c)]2 + (x − c)g∗ (x)g(c) f (x) f (c) + (x = g(x) g(c) + (x





→ c a esta igualdad a la izquierda tenemos, por definición,



 

−

Aplicando el l´ımite cuando x tanto l´ım

x→c

1 (x

− c)



f (x) g(x)

−

f (c) g(c)

=

f g



(c)

=

f ∗ (c)g(c) g∗ (c)f (c) [g(c)]2

−

=

f g



(c). Por

f  (c)g(c) g  (c)f (c) [g(c)]2

Tal y como quer´ıamos demostrar. Ejemplos de derivadas obtenidas aplicando ´ algebra de derivadas: f (x) = x 2 , utilizamos la regla de la derivada del producto de funciones: (x2 ) = (x x) = x 1 + 1 x = 2x

·

·

·

Por inducción podemos demostrar que (xn ) = nx n−1 . En efecto, supongamos que la regla se cumple para n 1, es decir, (xn−1 ) = (n 1)xn−2 , entonces (xn ) = (xn−1 x) = (xn−1 ) x + xn−1 1 = (n 1)xn−2 x + xn−1 = (n 1)xn−1 + xn−1 = nxn−1 .

−

−

−

−

·

−→ R y g : f (S ) −→ R.

Teorema 60 (Regla de la Cadena). Sean S = (a, b) y las funciones f : S Considérese la funci´ on compuesta: (g f )(x) = g[f (x)]

◦

∈

Si existe un punto c S tal que f (c) es interior a f (S ), f es diferenciable en c y g es diferenciable en f (c), la funci´ on compuesta g f es diferenciable en c y se cumple (g f ) (c) = g  (f (c)) f  (c)

◦

◦

3

El l´ım (x − c)f ∗ (x)g ∗ (x)da cero por ser f y g continuas en c x→c

·

56


Demostraci´ on: Como f es diferenciable en c sabemos que existe una f ∗ (x) tal que f (x) = f (c) + (x c)f (x) para todo x S , siendo f ∗ (x) una funci´ on continua en c verificando f ∗ (c) = f  (c). Además, como g es diferenciable en f (c), se verifica g(y) = g[f (c)] + [y f (c)]g ∗ (y) para todo “y” de un cierto subintervalo abierto T de f (S ) que contenga a f (c), siendo g ∗ (y) una funci´ on continua en f (c) verificando ∗  g [f (c)] = g [f (c)]. Como y f (S ), entonces existe un x S tal que y = f (x). Realizando esta sustitución en la expresión de g (y) obtenemos ∗

−

∈

−

∈

∈

 + (x − c)f ∗ (x) −    ∗ [f (x)] [f (c) f (c)]g − f (c)]g∗ [f (x)] = g[f (c)] +  Donde hemos utilizado que f (x) = f (c) + (x − c)f ∗ (x). Entonces: g[f (x)] − g[f (c)] g[f (x)] = g[f (c)] + (x − c)f ∗ (x)g∗ [f (x)] =⇒ = f ∗ (x)g∗ [f (x)] x−c g[f (x)] = g[f (c)] + [f (x)

y tomando l´ımites

− g[f (c)] = l´ım f ∗ (x)g∗ [f (x)] = f ∗(c)g∗ [f (c)] = f (c)g [f (c)] x→c −c Dado que el l´ımite de la izquierda es, por definición, (g ◦ f ) (c), queda demostrado el teorema. g[f (x)] x→c x l´ım

Ejemplo: Comprobemos que la regla de la cadena es consistente con la regla de derivación de potencias enteras que hemos visto antes. Supongamos f (x) = x n y g(x) = xm , entonces g[f (x)] = (xn )m = xnm . Pero g  (x) = mxm−1 , f  (x) = nxn−1 , con lo cual aplicando la regla de la cadena tenemos (g[f (x)]) = (xnm ) = f  (x)g [f (x)] = nxn−1 m(xn )m−1 = nmx n−1 xnm−n = nmx nm−1 , como era de esperar. Como hemos comentado anteriormente, utilizando la notación de Leibniz la regla de la cadena toma la apariencia de una identidad algebraica trivial. En efecto, escribiendo y = f (x), y f  (x) = dy/dx, vemos que la expresión (g f ) (x) = g  (f (x)) f  (x)

◦

·

es equivalente a poner dg(f (x)) dg(y) dg dy dg = = = dx dx dy dx dx Este ejemplo de la regla de la cadena ilustra que la notación de Leibniz es muy intuitiva y facilita la obtenci´ on de ciertos resultados si la usamos con cuidado pero, como hemos dicho, conviene recordar que no se trata simplemente del cociente de dos números o cantidades “ordinarias” (hay un paso al l´ımite de por medio).

4.5.

Derivada de una funci´ on impl´ıcita.

Una ecuación con dos inc´ ognitas F (x, y) = 0 siempre define impl´ıcita o expl´ıcitamente a una función y = f (x) en el punto o el conjunto de puntos en los que se verifique F (x, f (x)) = 0. Esa definición es expl´ıcita cuando la ecuación F es sencilla y nos permite despejar “y” como funci´ on de “x” con facilidad y calcular las derivadas de la expresión resultante de forma directa [por ejemplo, si F (x, y) = 3x+5y 4 = 0 tendremos que y = f (x) = (4 3x)/5]. Sin embargo, cuando la ecuación F (x, y) = 0 es complicada lo normal es que no sea posible despejar y = f (x) y obtener sus derivadas de forma sencilla. Decimos entonces que y = f (x) esta definida implicitamente , y si f y F son derivables se puede obtener y  = f  (x) derivando F (x, f (x)) como una función compuesta (esto es, aplicando la regla de la cadena) e igualando a cero el resultado.

−

−

57


Ejemplo: Consideremos la siguiente ecuación: arctg(x

2 x−2y

− 2) + xy e

   − x + 3y x2 + 1

+ ln

= 2,

Esta ecuación define impl´ıcitamente “y” como funci´ o n de “x”. Entonces podemos escribir: arctg(x

− 2) + xy2(x)ex−2y(x) + ln

x + 3y(x) x2 + 1

2=0

Es necesario recalcar que esa definición impl´ıcita de “y” como funci´ o n de “x” puede no ser ´ unica . De hecho, es posible que una ecuación impl´ıcita tenga (y por lo tanto defina) infinitas funciones y(x). Por ejemplo, si en esta ecuación consideramos x = 2 obtenemos: 0

  −  arc tg(2

2 2−2y

2)+2y e

+ ln

 − 2 + 3y 5

2=0

Es fácil darse cuenta de que y = 1 es una solución de esta ecuación. Pero hay otras dos en, aproxima2 + 3y damente y 1,35 e y 11,65 (puedes representar en Matlab f (y) = 2y 2 e2−2y + ln 2 y 5 comprobar que es cierto). Por lo tanto, para x = 2 hay tres valores de “y” que son ceros de la ecuación. La evolución de esos tres ceros cuando se var´ıa “x” en la ecuación impl´ıcita define tres funciones y(x) distintas. Por lo tanto, como puede haber varias y(x) solución de la ecuación impl´ıcita, si quiero obtener la derivada de una de ellas para un x determinado tengo que identificarla. Por ejemplo, calculemos la derivada en x = 2 [esto es, y (2)] de la que verifica que para ese valor de equis “ y” vale 1, esto es y(x = 2) = 1. Para ello derivamos nuestra ecuación con respecto a x aplicando la regla de la cadena:



 −



1 1 + (x

−

2)2

+ y 2 (x)ex−2y + 2xy(x)y  (x)ex−2y + xy 2 (x)ex−2y(x) [1

− 2y(x)]+

x2 + 1 [1 + 3y (x)](x2 + 1) [x + 3y(x)]2x =0 x + 3y(x) (x2 + 1)2 y, a continuación, evaluamos en x = 2, y (2) = 1 y resolvemos la ecuación:

−

+

1 + 1 + 4y  (2) + 2[1

4.6.



− 2y(2)] + 3y (2)5 − 3 = 0 =⇒

y (2) =

−173

Derivada de la funci´ on inversa.

Teorema 61 Sea f : I J una funci´ on continua biyectiva de un intervalo I en otro intervalo J , de −1 modo que existe su funci´ on inversa f : J I . Si f es derivable en un punto a I y f  (a) = 0, entonces f −1 es derivable en el punto b = f (a) y su derivada es (f −1 ) (b) = 1/f  (a), siendo a = f −1 (b). Esto es, (f −1 ) (b) = 1/f  [f −1 (b)]

−→

−→

∈



Demostraci´ on: Llamaremos “x” a los elementos de I e “y” a los elementos de J . Recurriendo a la definici´ on de derivada, debemos demostrar que f −1 (y) l´ım y→b y

− f −1(b) −b

?

1 =  f (a)



y l´ım −1 y→b f (y)

es decir

−b − f −1(b)

?



= f  (a)

Obsérvese que para y = b tenemos f −1 (y) = f −1 (b) porque f −1 es inyectiva, por lo tanto el denominador de la u ´ltima expresión solo se anula en b. Utilizando que f −1 (b) = a, b = f (a) y y = f (f −1 (y)); podemos reescribir la ecuación del siguiente modo:





f (f −1 (y)) l´ım y→b f −1 (y)

− f (a) −a

?



= f  (a)

Como f −1 es continua en b (pues f lo es en a) podemos afirmar que si y b entonces f −1 (y) = x f −1 (b) = a. Aplicando esto y f −1 (y) = x a la igualdad anterior, ésta se transforma en:

− −

f (x) f (a) = f  (a) , x→a x a que es una igualdad que sabemos que se verifica por ser f derivable. l´ım

→

→


4.7.

58

Derivadas laterales, derivadas infinitas y extremos relativos.

Hasta el momento sólo hemos considerado las derivadas en puntos interiores a un conjunto abierto, como es el intervalo (a, b). A continuación extenderemos el concepto de derivada para el caso en que el punto c se encuentre en el extremo del intervalo. Por otro lado, resulta conveniente considerar tambi´ en el caso de que la derivada de una función en un punto sea infinita, lo cual se interpreta geom´ etricamente como que la recta tangente a la curva en ese punto es vertical. El teorema 58 dice que la derivabilidad en un punto implica continuidad en ese punto, pero esto sólo es cierto cuando la derivada es finita. Si la derivada es infinita no es posible demostrar en general que la función sea continua en ese punto, aunque nosotros exigiremos expl´ıcitamente que s´ı lo sea en todos los casos con los que trabajemos. Definici´ o n 66 (Derivadas laterales). Sea f una funci´ on real de variable real definida en un intervalo R . Supongamos que f es continua en c S . Se dice entonces que f admite derivada cerrado, f : S lateral por la derecha de c si el siguiente l´ımite lateral existe y es finito, o´ bien si es + o ´ .

−→

∈

l´ım+

x→c

f (x) x

∞ −∞

− f (c) −c

  A este l´ımite lo denotaremos por f + (c). Las derivadas laterales por la izquierda, f − (c), se definen de modo an´ alogo. Además, si c es un punto interior de S , diremos que f posee derivada en c (finita ó infinita)     si f + (c) = f − (c), en cuyo caso f + (c) = f − (c) = f  (c). Es decir, una función es derivable si existen ambas derivadas laterales y coinciden. No obstante, al aplicar esta regla es muy importante tener en cuenta que no es lo mismo la derivada lateral que el l´ımite lateral de la función derivada. Esto es, que f (x) f (c)  f + (c) = l´ım+ no tiene porque ser igual a l´ım+ f  (x). Si l´ım+ f  (x) = l´ım f  (x) ello indica x c x→c x→c x→c x→c que f  existe en c, es igual a ambos l´ımites y por lo tanto continua. Pero se trata de una condici´ on   suficiente, no necesaria. Pueden no existir l´ım+ f (x) y l´ım f (x) o ser distintos y que la función f s´ı sea

− −

−

x→c

x→c

−

derivable en c. La siguiente figura pretende ilustrar intuitivamente el concepto de derivada lateral, tanto finita como    infinita. En el punto x 1 tenemos f + (x1 ) = , en x 2 se verifica f − (x2 ) = 0 y f + (x2 ) = 1. En los otros      puntos: f (x3 ) = , f − (x4 ) = 1, f + (x4 ) = +1, f (x6 ) = + y f − (x7 ) = 2. No existe derivada por la derecha ni por la izquierda en x 5 , ya que la funci´ on no es continua en ese punto.

−∞

−

−∞

∞

−

De la interpretación geom´ etrica del concepto de derivada (la pendiente de la tangente a la curva en el punto estudiado) se infiere que el carácter creciente o decreciente de las funciones derivables estará relacionado con el signo de su derivada. Esto se prueba mediante el siguiente teorema. Teorema 62 Sea f : (a, b) ´  (c) = + R y supongamos que en c (a, b) se tiene que f  (c) > 0, o f Entonces existe una bola unidimensional (intervalo), B(c) (a, b), en la que

−→

f (x) > f (c) si x > c, Por lo tanto f (x) es creciente en esa bola.

∈ ⊆

y

f (x) < f (c) si x < c

∞.

59


Demostraci´ on: Supongamos, en primer lugar, que f  (c) es finita y positiva. Entonces sabemos que existe una funci´ on, f ∗ , que verifica f (x) f (c) = (x c)f ∗ (x) x (a, b), es continua en c y f ∗ (c) = f  (c) > 0. Por la propiedad de conservación del signo de las funciones continuas podemos afirmar que existe una bola centrada en c, B(c) (a, b), donde f ∗ (x) tiene el mismo signo que f ∗ (c) = f  (c) > 0 para cada x B (c), por lo tanto f ∗ (x) > 0 x B (c), y esto significa que f (x) f (c) tiene el mismo signo que (x c) en esa bola, es decir, f (x) es creciente. f (x) f (c) En el caso de que f  (c) = , ello quiere decir que l´ım = + y que por lo tanto la cantidad x→c x c f (x) f (c) se hace tan grande como uno quiera cuando x c En particular, podremos encontrar una x c f (x) f (c) bola unidimensional, B(c), en la que > 1 para cada x B(c), x = c, lo que nuevamente x c implica que f (x) f (c) tiene el mismo signo que (x c) en esa bola y por lo tanto es creciente. Se puede enunciar un teorema análogo cuando la función satisface las condiciones f  (c) < 0, ó f  (c) = , en cuyo caso se demuestra que f (x) es decreciente. Si la derivada se anula en x = c, entonces la función tiene un extremo local (máximo o´ m´ınimo) en ese punto, concepto que definimos a continuación.

−

⊆

∈ −

−

∀ ∈

∀ ∈

−

− − →

∞

− −

− −

−

∞

∈

−



−∞

Definici´ o n 67 (M´ aximo local). Sea f una funci´ on real definida en un subconjunto S de un espacio métrico M , y supongamos que a S . Entonces f posee un m´ aximo local (o relativo) en a si existe una bola B(a) tal que f (x) f (a) para todo x B(a) S . Si f (x) f (a) para todo x B(a) S , entonces f posee un m´ınimo local (o relativo) en a.

≤

∈

∈

∩

≥

∈

∩

∩

Nótese que un máximo local en a es el máximo absoluto de f en el subconjunto B(a) S del conjunto S . Si f tiene un máximo absoluto de S en a (es decir, f (x) f (a) para todo x S ) entonces, obviamente, tiene también un máximo local en a. El rec´ıproco no es cierto, f puede poseer varios máximos locales en varios puntos de S sin que posea máximo absoluto en el conjunto S . En la siguiente figura se ilustra la relación entre el signo de la derivada de una función y su gráfica, utilizando los resultados demostrados hasta el momento correspondientes al crecimiento y decrecimiento y anticipando los que vamos a ver a continuación sobre máximos y m´ınimos locales. En los puntos x2 , x5 y x6 la pendiente es cero y tenemos extremos relativos (máximos o´ m´ınimos). En x1 la funció n es decreciente y la pendiente negativa y en x3 sucede lo contrario. En x4 la pendiente es nula, pero la funci´ on no alcanza ah´ı ni un m´ aximo ni un m´ınimo. Se dice que f (x) presenta en x 4 un punto de inflexión (definiremos con más rigor este concepto al final del tema).

≤

∈

R y supongamos que f tiene un Teorema 63 (del extremo relativo o de Fermat). Sea f : (a, b) m´ aximo local ´ o un m´ınimo local en un cierto punto interior c (a, b). Si f posee derivada en c, entonces debe ocurrir que f  (c) = 0.

∈

−→

Demostraci´ on: Si f  (c) fuese positiva o + entonces, en virtud del teorema 62, f no podr´ıa tener un extremo local en c porque ser´ıa estrictamente creciente. Análogamente, f  (c) no puede ser negativa ni

∞

60


−∞ en c, porque ello significar´ıa que es estrictamente decreciente en c. Puesto que existe derivada en c,

la u ´ nica posibilidad que queda es f (c) = 0. Nótese que la condición f  (c) = 0 no es necesaria ni suficiente para afirmar que f tiene un extremo en c. Un ejemplo de que no es suficiente lo tenemos en la función f (x) = x 3 , que cumple f  (0) = 0 pero carece de extremos y es creciente en todo entorno de x = 0. Por otro lado, el enunciado del teorema indica que éste se aplica sólo si existe derivada en c, de modo f (x) puede tener un extremo local en c sin que exista f  (c) y sea igual a 0. Esto es lo que ocurre para f (x) = x , que tiene un m´ınimo (local y absoluto) en x = 0 pero carece de derivada en ese punto. Obs´ ervese además que este teorema se aplica a un punto interior de intervalo abierto (a, b). Esto es importante, porque en el ejemplo trivial de la función f (x) = x en el intervalo cerrado [a, b] se alcanza el máximo y el m´ınimo en los puntos extremos, pero f  (x) no es cero para ning´ un punto de [a, b]. El siguiente teorema prueba el resultado geométricamente evidente de que si una funci´ on tiene el mismo valor en los extremos del intervalo [a, b] (esto es, f (a) = f (b)) y es derivable(y por lo tanto es continua), entonces su derivada debe anularse en algún punto intermedio comprendido entre a y b, pues debe haber al menos un punto de “viraje” entre a y b. Un caso particular es cuando f (a) = f (b) = 0 y la curva corta al eje x en esos puntos.

| |

R . Supongamos que f posee derivada (finita o infinita) en Teorema 64 (de Rolle). Sea f : [a, b] cada uno de los puntos del intervalo abierto (a, b), y supongamos tambi´ en que f es continua en los puntos extremos, a y b. Si f (a) = f (b), entonces existe por lo menos un punto interior, c, en el que f  (c) = 0.

−→

Demostraci´ on: Aplicaremos el método de reducci´ on  al absurdo. Supongamos que f no es cero en ningún punto de (a, b) y llegaremos a una contradicción. Como f es continua en el compacto [a, b], por el teorema 49 podemos afirmar que alcanza su máximo M y su m´ınimo m en alg´ un punto de [a, b]. Estos valores extremos no pueden alcanzarse en un punto interior c [a, b], pues de lo contrario, aplicando el teorema anterior (del extremo relativo o de Fermat), deducir´ıamos que f  (c) = 0 y llegar´ıamos a una contradicci´ on. Hemos de concluir entonces que el máximo y el m´ınimo de f se alcanzan en a y b. Por hipótesis del teorema tenemos f (a) = f (b), luego ha de cumplirse que M = m y, por consiguiente, f es constante en [a, b]. Esto contradice nuevamente el supuesto inicial de que f  no es cero en ningún punto de (a, b), por lo tanto ese supuesto inicial no puede ser cierto y deducimos que tiene que cumplirse que f  (c) = 0 para alg´ un c (a, b).

∈

Interpretaci´ on geom´ etrica del teorema de Rolle: Si f cumple las condiciones del teorema y f (a) = f (b), entre ambos puntos tiene que haber un máximo o un m´ınimo, pero puede haber más.

∈

R una Teorema 65 (de los incrementos finitos ´ o del valor medio de Lagrange). Sea f : [a, b] funci´ on con derivada (finita o infinita) en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a, b), y que adem´ as es continua en los extremos a y b. Entonces existe al menos un punto c (a, b) tal que

−→

∈

f (b)

− f (a) = f (c)(b − a)

Nota: Aunque ya lo hemos demostrado, este teorema incluye el teorema anterior (de Rolle) como un caso particular que se obtiene cuando f (a) = f (b).

−

−

≡

Dado que [f (b) f (a)]/(b a) es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (a, f (a)) y B (b, f (b)), la interpretación geométrica de este teorema (que probaremos a partir del siguiente teorema de Cauchy) es que una curva suficientemente regular (esto es, derivable) que una a esos dos puntos posee por lo menos una tangente con la misma pendiente que la recta que pasa por los mismos, tal y como se muestra en el apartado (a) de la siguiente figura. La figura (b) ilustra que puede tener más de una.

≡

61


Teorema 66 (de Cauchy o del valor medio generalizado). Sean f y g dos funciones continuas en [a, b] y derivables (finitas o infinitas) en (a, b). Supongamos adem´ as que no existe ning´ un punto x (a, b) en   el que f (x) y g (x) sean ambas infinitas. Entonces existe al menos un punto c (a, b) para el que se verifica f  (c)[g(b) g(a)] = g  (c)[f (b) f (a)]

∈

∈

−

−

(N´ otese que cuando g(x) = x obtenemos el teorema 65 anterior). Supongamos adem´ as que se cumple alguna de las dos condiciones siguientes: (a) g (x) = 0

 ∀x ∈ (a, b) (b) g(b)  = g(a) y tanto f  (x) como g (x) no se anulan simult´ aneamente para ning´ un x ∈ (a, b).

Entonces la conclusi´ on anterior se puede expresar tambi´ en mediante la f´ ormula del valor medio de Cauchy, es decir, existe al menos un punto c (a, b) tal que:

∈ f (b) − f (a) f  (c) =  g(b) − g(a) g (c)

Demostraci´ o n: A partir de f y g definimos la función h(x) = f (x)[g(b) g(a)] g (x)[f (b) f (a)]. As´ı constru´ıda, h  (x) es finita si f  (x) y g  (x) son finitas, y es infinita si alguna de estas dos u ´ ltimas son infinitas (la hip´ otesis del teorema excluye que ambas sean infinitas en el mismo x, lo cual podr´ıa originar una indeterminación). Además, h(x) es continua en los extremos a y b, y toma el mismo valor en ellos, h(a) = h(b):

−

−

−

h(a) = f (a)[g(b)

− g(a)] − g(a)[f (b) − f (a)] =    − g(a)f (b) +     = f (a)g(b) − g(a)f (b) = f (a)g(b) −  f (a)g(a) g(a)f (a)

h(b) = f (b)[g(b)

− g(a)] − g(b)[f (b) − f (a)] =  − f (b)g(a) − g(b)f (b)    =  f (b)g(b)    + g(b)f (a) = f (a)g(b) − g(a)f (b)

En consecuencia, podemos aplicar el teorema de Rolle (teorema 64) a la función h(x) y afirmar que existe al menos un punto interior c en el que h  (c) = f  (c)[g(b) g(a)] g  (c)[f (b) f (a)] = 0, lo cual completa la demostración de la primera parte del teorema. La f´ ormula del valor medio de Cauchy (esto es, la segunda parte del teorema) se obtiene a partir de la primera parte del teorema si se garantiza que los denominadores de esa fórmula no se anulan. Demostraremos a continuación que esto queda asegurado si se cumplen cualquiera de las dos condiciones, (a) o (b), del teorema. Supongamos primero (a), es decir, g  (x) = 0 x (a, b). Las hip´ otesis del teorema también nos dicen que g(x) verifica las condiciones del teorema 65 (que se deduce de de la primera parte de éste) lo que nos asegura que existe un c (a, b) para el cual g(b) g(a) = g  (c)(b a). Como estamos suponiendo que g (x) = 0 x (a, b) (incluyendo a c) también g(b) g(a) = 0 y se garantiza que ninguno de los denominadores se anula. Supongamos ahora (b), es decir, g(b) = g(a) y tanto f  (x) como g  (x) no se anulan simultáneamente para ning´ un x (a, b). Por una parte ya sabemos diréctamente que g(b) g(a) = 0. Por otra parte, también debe ser g  (c) = 0, de lo contrario, como g(b) = g(a), la ecuación f  (c)[g(b) g(a)] = g  (c)[f (b) f (a)]

−

−

−

 ∀ ∈

 ∀ ∈ ∈ 

∈

−





−



−

−

 −

−


62

implicar´ıa que habr´ıa de ser también f  (c) = 0, lo cual contradice la segunda parte de la hipótesis (b), esto es, que ambas derivadas no se anulen simultaneamente en ningún punto de (a, b). Interpretaci´ on geométrica: Consideremos la curva del plano coordenado xy cuyas ecuaciones paramétricas son x = g(t) e y = f (t), con a t b. El teorema garantiza que esta curva posee al menos una tangente con la misma pendiente que la recta que une los puntos (g(a), f (a)) y (g(b), f (b)), f (b) f (a) es decir, . Esto resulta intuitivo desde un punto de vista geométrico (ver figura). Para verlo g(b) g(a) matem´ aticamente basta con demostrar que la tangente a la curva y(x), esto es dy/dx, es igual a f  /g . Para ello aplicamos la regla de la cadena y la regla de derivación de la funci´ on inversa del siguiente modo:

≤ ≤

− −

dy dy dt dy 1 f  = = =  dx dt dx dt dx g dt Est´ a claro entonces que la pendiente de la curva y (x) en el punto c es y  (c) = f  (c)/g (c).

y = f(t) t= b

f(b) t = c1

f ( b ) f ( a )

t = c2 t= a



f(a)

g(b)-g(a) tag 

=

f(b)-f(a) g(b)-g(a)

g(a)

g(b)

x = g(t)

Interpretaci´ on geométrica del teorema del valor medio generalizado: El teorema del valor medio generalizado puede ser interpretado, como su propio nombre indica, como una generalizaci´ on del teorema del valor medio al caso de curvas definidas de forma param´ etrica en el plano xy. De hecho, si x = g(t) = t se recupera trivialmente el teorema del valor medio original.

4.8.

Regla de L’Hopital.

El teorema del valor medio generalizado de Cauchy permite obtener una regla para el cálculo de l´ımites indeterminados cuando tenemos entre manos funciones que son continuas y derivables. Es la denominada regla de L’Hopital, útil para calcular el l´ımite de un cociente f (x)/g(x) en el que el numerador y el denominador tienden a cero. Teorema 67 (regla de L’Hopital para 0/0). Sean f (x) y g(x) dos funciones reales de variable real que admiten derivadas en cada punto x de un intervalo abierto (a, b) tales que l´ım f (x) = l´ım+ g(x) = 0

x→a+

x→a

Supongamos también que g  (x) = 0 para cada x (a, b). Entonces si existe el



f  (x) l´ım = L, x→a+ g  (x)

∈

también existe el l´ım+ x→a

f (x) y es igual a L g(x)

Nótese que en este teorema no se establecen hipótesis sobre las funciones f y g, ni sobre sus derivadas, en el punto x = a (no tienen porque ser continuas, etc.). Basta suponer que f (x) y g(x) tienden a cero cuando x a+ y que el cociente f  (x)/g (x) tiende a un l´ımite finito cuando x a+ . La regla de

→

→

63


L’Hopital nos dice entonces que el cociente f (x)/g(x) tiende al mismo l´ımite. Adem´ as, la regla puede aplicarse sucesivamente, esto es, si nos encontramos que al derivar numerador y denominador f  (x) y g  (x) tienden a cero cuando x a + verificando el resto de conciciones del teorema, podemos aplicar la regla nuevamente y estudiar el l´ımite del cociente f  (x)/g  (x). Si ese l´ımite existe coincidirá con el de f  (x)/g  (x) y, por lo tanto, tambi´ en con el de f (x)/g(x). El razonamiento es aplicable al cociente de las derivadas de orden superior. Por otra parte, aunque los l´ımites establecidos en este teorema son “por la derecha”, es obvio que existe un teorema similar en el que los l´ımites se toman por la izquierda. Combinando los dos teoremas podr´ıamos formular uno en el que los l´ımites se toman por ambos lados. De todos modos, la consideración de l´ımites laterales es u ´ til para indicar que la regla de L’Hopital también se puede aplicar, a´ un cuando no exista alguno de los l´ımites laterales, en el lado en el que s´ı existe (ver ejercicio 18, apartados d y f ). Finalmente, es necesario destacar que la regla de L’Hopital es una técnica más para el cálculo de l´ımites, pero no debe utilizarse como método por defecto. La derivación de funciones da lugar muy a menudo a funciones más complejas que las originales y en las que los l´ımites son más dif´ıciles de determinar. Adem´ as, es importante comprender bien el enunciado de la regla, bajo que condiciones es aplicable y a que conclusiones permite llegar. Un error muy frecuente, por ejemplo, es no darse cuenta de que la regla de L’Hopital dice que el l´ımite de f (x)/g(x) coincide con el de f  (x)/g (x) siempre y cuando este u ´ ltimo exista. Si no es as´ı, nada puede concluirse sobre el l´ımite de f (x)/g(x).

→

Demostraci´ on: Haremos uso de la fórmula del valor medio de Cauchy (teorema 66) aplicada al intervalo cerrado que tiene a como extremo izquierdo. Puesto que las funciones f y g pueden no estar definidas en a, introducimos dos nuevas funciones que s´ı estén definidas en a: F (x) = f (x)

si

G(x) = g(x)

si

x = a,

 x  = a,

F (a) = 0, G(a) = 0.

Nótese que F y G son continuas en a, puesto que la hipótesis de partida es que l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0. x→a+

x→a+

Ambas son adem´ as continuas en el intervalo cerrado [a, x] y tienen derivada en todos los puntos del intervalo abierto (a, x). Verifican pues en ese intervalo todas las condiciones del teorema del valor medio generalizado, por lo que podemos afirmar que existe c (a, x) tal que

∈

− F (a)]G(c) = [G(x) − G(a)]F (c) Recordando que F (a) = G(a) = 0 y que F (x) = f (x), G(x) = g(x) si x  = a esa expresión se convierte en [F (x)

f (x)g (c) = g(x)f  (c) Por hipótesis g  no se anula en ningún punto de (a, b), por lo tanto g  (c) = 0. Adem´ as también se cumple que g(x) = 0 x (a, b), de lo contrario ocurrir´ıa que en algún punto g(x) = G(x) = G(a) = 0 y, en virtud del teorema de Rolle, existir´ıa un punto x1 entre a y x en el que G (x1 ) = g  (x1 ) = 0, en contradicción con la hip´ otesis de que g  no se anula en ning´ un punto de (a, b). Podemos dividir entonces por g  (c) y por g(x) y obtener f (x) f  (c) =  g(x) g (c)



 ∀ ∈

→

→

Cuando x a también c a puesto que c es un punto que pertenece a (a, x). Por lo tanto a partir de la expresión anterior podemos establecer lo siguiente: f (x) f  (c) = l´ım  = L x→a g(x) c→a g (c) l´ım

Tal y como pretend´ıamos demostrar. Obsérvese que indeterminaciones del tipo / ó 0 pueden convertirse en indeterminaciones del tipo 0/0 usando las correspondientes funciones rec´ıprocas, y as´ı podemos aplicar la regla de L’Hopital a estos casos. Por otra parte, es evidente que esta regla se puede aplicar recursivamente en caso de que persista la indeterminación, siempre que las sucesivas funciones derivadas cumplan las condiciones del teorema. Las indeterminaciones del tipo 1 ∞ a veces se pueden transformar, utilizando la función logar´ıtmica, en indeterminaciones 0 donde, a través de las funciones rec´ıprocas, también se puede usar la regla de L’Hopital. Algo parecido sucede con las indeterminaciones 0 0 si se utiliza la función exponencial (ver ejercicio 18, apartado f ). Ejemplo: Algunos l´ımites que hemos tenido que calcular a lo largo de este tema

∞ ∞

· ∞

·∞

64


(a) l´ım

ax

x→0

− 1 = l´ım (ax − 1) = l´ım ax log(a) = log(a)

x

(x)

x→0

1

x→0

log(1 + x) (log(1 + x)) 1 = l´ım = l´ım =1  x→0 x→0 x→0 1 + x x (x)

(b) l´ım

sen(x) = l´ım cos(x) = 1 x→0 x→0 x

(c) l´ım

4.9.

F´ ormula de Taylor con resto.

Hemos visto que una de las implicaciones que tiene el hecho de que una función f sea diferenciable en un punto c es que en las cercan´ıas de ese punto [es decir, cuando (x c) es peque˜ no] se puede aproximar  mediante el polinomio de grado uno (o recta) f (x) f (c) + f (c)(x c). La precisión de esa aproximación dependerá mucho de si la función f se parece mucho a una recta en las inmediaciones de c, y si no es as´ı sólo será efectiva para valores de x extremadamente cercanos a c. Una forma de mejorar esa aproximación ser´ıa utilizar un polinomio de grado dos. De este modo obtendr´ıamos una buena aproximaci´ on a f en las inmediaciones de c no sólo si cerca de ese punto su comportamiento es lineal, sino tambi´ en cuando es parab´ olico. Por lo tanto, está claro que incrementando el grado de ese polinomio podemos aumentar la precisión de la aproximación y extenderla a más tipos de comportamientos de f en las cercan´ıas de c. Trabajar con polinomios es particularmente útil en análisis numérico, pues sus valores en un punto se pueden obtener efectuando un número finito de multiplicaciones y adiciones que son muy fáciles de programar, algo que no ocurre necesariamente para otras funciones más complejas. Además, en f´ısica, muchas veces sólo nos interesa estudiar el comportamiento de un observable en las cercan´ıas de un punto concreto (un m´ınimo de energ´ıa, por ejemplo). Utilizar para ello un polinomio en lugar de la función que describa a ese observable, que puede ser muy complicada, facilita la tarea. Supongamos entonces que tenemos una función f (x) y la queremos aproximar mediante un polinomio P (x) de grado n en el entorno de un punto c que, por simplicidad, vamos a considerar como c = 0. De forma genérica podr´ıamos escribir ese polinomio como [si fuese c = 0 har´ıamos el cambio x (x c)]:

− −





→ −

n

2

n

P (x) = c0 + c1 x + c2 x + . . . + cn x =



ck xk ,

k=0

Donde los c k son un conjunto de coeficientes por determinar. Si queremos que ese polinomio sea una aproximación de f (x) en las cercan´ıas de 0, parece lógico exigirle que su valor en ese punto coincida con el de f , es decir, que P (0) = f (0). Si además f (x) es derivable hasta, por lo menos el grado del polinomio (n), también ser´ıa deseable que las n primeras derivadas de f (x) coincidan con las de P(x). Por lo tanto, nuestra aproximación polin´ omica deber´ıa verificar: P (0) = f (0),

P  (0) = f  (0),

P (2) (0) = f (2) (0),

P ( n) (0) = f (n) (0)

...

Sustituyendo los valores de P y de sus sucesivas derivadas en 0 en estas ecuaciones se obtiene: P  (0) = c 1 = f  (0),

P (0) = c 0 = f (0),

P (3) (0) = 3 2 c3 = f (3) (0),

· ·

P (2) (0) = 2 c2 = f (2) (0),

·

P (4) (0) = 4 3 2 c4 = f (4) (0),

· · ·

P (k) (0) = k! ck = f (k) (0),

·

esto es,

ck =

y en general:

f (k) (0) k!

Por lo tanto, podemos escribir nuestro polinomio como: n

P (x) =



k=0

f (k) (0) k x k!

A esta aproximación se la conoce como polinomio de Taylor generado por la funci´ on f en el punto x = 0. ¿Qué error se comente cuando se aproxima una funci´ on mediante este polinomio de Taylor de grado n construido a partir de sus derivadas? Evidentemente, dependerá del grado del polinomio, del punto alrededor del cual lo estemos calculando y de la función en cuestión. El siguiente teorema, que ya está formulado para un punto genérico x = c en lugar de x = 0, responde a esa pregunta y da una expresión concreta para el error (tambien llamado resto) que se comete cuando se aproxima la función por su polinomio de Taylor de grado n. Adem´ as, también nos va a permitir m´ as adelante extender la relación entre

65


la gráfica de una funci´ on en el entorno de un punto y sus derivadas en ese punto (que hasta ahora sólo hemos estudiado para la primera derivada) a las derivadas de orden n. Teorema 68 (de Taylor). Sea f una funci´ on que admite derivada n-ésima f (n) finita en todo el in(n−1) tervalo abierto (a, b) y supongamos que f es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Sea c [a, b]. Entonces para todo x [a, b], x = c, existe un punto x1 interior al intervalo que une x con c tal que.

∈

n−1

f (x) = f (c) +



k=1

∈



f (k) (c) (x k!

(n) (x

− c)k + f

1)

n!

(x

− c)n = n−1

=



k =0

f (k) (c) (x k!

(n) (x ) 1

− c)k + f

n!

(x

− c)n

El segundo sumando representa el error o resto que se comente al aproximar la funci´ on mediante el polinomio de grado n 1 del primer sumando.

−

El teorema de Taylor se obtiene como consecuencia del siguiente resultado más general que, a su vez, es una extensión del teorema de Cauchy ó del valor medio generalizado (teorema 66). Teorema 69 Sean f y g dos funciones que poseen derivadas n-ésimas, f (n) y g (n) , finitas en un intervalo abierto (a, b) y que adem´ as son continuas en el intervalo cerrado [a, b] hasta el orden n 1. Consideremos un c [a, b]. Entonces para todo x [a, b], x = c, existe un punto x 1 interior al intervalo que une x con c (esto es, x1 (x, c) o ´ x1 (c, x)) tal que

∈

∈

  −

n−1

f (x)

k =0

∈

(k )

f

∈

(c) (x k!

− c)k



−



  −

n−1

g (n) (x1 ) = f (n) (x1 ) g(x)

g

k=0

(k )

(c) (x k!

− c)k



Si la funci´ on g fuese g(x) = (x c)n tendr´ıamos g (k) (c) = 0 para 0 k n 1, y g (n) (x) = g (n) (x1 ) = n!; as´ı recuperamos la f´ ormula de Taylor como un caso particular de este teorema.

−

≤ ≤ −

Demostraci´ on: Para simplificar supondremos que c < x. Entonces tenemos también que c < x < b pues b es el extremo superior del intervalo. Manteniendo x fijo definimos dos nuevas funciones F y G para cada t [c, x] del siguiente modo:

∈

n−1

F (t) = f (t) +



k =1

f (k) (t) (x k!

n−1

− t)k

G(t) = g(t) +



k=1

g (k) (t) (x k!

− t)k

Debido a las hipótesis de partida sobre las funciones f y g, F y G as´ı construidas son continuas en el intervalo cerrado [c, x] y tienen derivadas finitas en el intervalo abierto (c, x). Por lo tanto, cumplen con todas las hipótesis del teorema del valor medio generalizado (teorema 66 ) dentro del intervalo [c, x], de modo que podemos afirmar que existe un x 1 (c, x) para el cual ser verifica que

∈ F  (x1 )[G(x) − G(c)] = G (x1 )[F (x) − F (c)]

Puesto que G(x) = g(x) y F (x) = f (x), la ecuación anterior se transforma en F  (x1 )[g(x)

− G(c)] = G(x1)[f (x) − F (c)]

(a)

Ahora tenemos que derivar F y G con respecto a t y evaluar las F  y G resultantes en x1 . Tomamos como ejemplo a la función F (t) y, en primer lugar, realizamos una expansión de la suma que la define F (t) = f (t) + f  (t)(x

− t) + 21 f (t)(x − t)2 + . . . + (n −1 1)! f (n−1)(t)(x − t)(n−1)

Como vemos, en esta expresió n de F (t) un sumando gen´ erico de orden k consiste básicamente en el k producto de la derivada k-ésima de f por (x t) . Su derivada con respecto a t ser´ıa la siguiente

−



f (k) (t) (x k!

k

− t)





=

f (k+1) (t) (x k!

(k)

− t)k − (kf −(t) (x − t)k−1 1)!

66


An´ alogamente, la derivada del siguiente término en F (t), que ser´ıa de orden k + 1 es



f (k+1) (t) (x (k + 1)!

k +1

− t)





=

f (k+2) (t) (x (k + 1)!

(k +1)

− t)k+1 − f (k)!(t) (x − t)k

Como se puede ver, el primer sumando que resulta de derivar un t´ ermino de orden k se cancela siempre con el segundo sumando resultante de derivar el t´ ermino de orden k + 1. Por lo tanto, al realizar la derivada de F (t) con respecto a t, cuya expansión ser´ıa la siguiente4

     dF      (3)  2  +   + 1     t) + . . .     =  f   (t) f   (t)(x t) f (t) f (t)(x t) f (2) (t)(x          dt 2      1 1       (n− 1) (n−2)     ... + f (n) (t)(x t)(n−1) f (t)(x t) ,         (n 1)! (n   2)!  

− −

− −

−

−

−

− −

−

todos los sumandos se cancelan salvo el penúltimo, de modo que podemos concluir que F  (t) =

(x t)(n−1) (n) f (t) (n 1)!

−

−

El mismo razonamiento es aplicable a la función G y por consiguiente (x t)(n−1) (n) G (t) = g (t) (n 1)!

−



−

Evaluando en t = x 1 y sustituyendo en la ecuación (a) se obtiene (x

− x1)(n−1) f (n)(x1) [g(x) − G(c)] = (x − x1)(n−1) g(n)(x1) [f (x) − F (c)]. (n − 1)! (n − 1)! Es decir, [f (x) − F (c)] g (n) (x1 ) = f (n) (x1 ) [g(x) − G(c)]

Lo cual nos lleva a la fórmula que deseábamos demostrar, sin más que tener en cuenta que, por las definiciones de F y G n−1

F (c) = f (c) +

 

k =1

n−1

G(c) = g(c) +

k=1

4 N´ otese

f (k) (c) (x k! g (k) (c) (x k!

n−1

− c)

k

=

 

k=0

n−1

− c)

k

=

k=0

f (k) (c) (x k!

− c)k

g(k) (c) (x k!

− c)k

que est´ a expresi´ on, se puede compactizar de este modo n−1 



F (t) = f (t) +

X"

k=1

f (k+1) (t) f (k) (t) (x − t)k − (x − t)(k−1) k! (k − 1)!

de donde también se infiere de forma directa que F  (t) =

(x − t)(n−1) (n) f (t) (n − 1)!

#

,

67


4.10.

Estudio Estudio local de la gr´ afica afica de una funci´ funci´ on. on.

R una funci´ Teorema 70 Sea f Sea f : I on definida en un entorno I de I de un punto a la gr´ afica de f en f en ese entorno, dada por la curva de ecuaci´ on y = f = f ((x).

−→ −→

∈ R. Consideremos

(a) Si f aximo o m´ınimo) ınimo) en el f es derivable en a, para que y = f ( f (x) tenga un extremo relativo (m´  punto a es necesario que sea f (a) = 0. (b) Si f  (a) > 0 > 0 entonces f f es creciente en a. Si f  (a) < 0 < 0,, f es f es decreciente en a. (c) Si f f es n veces n veces derivable en a a y se verifica que f f  (a) = f  (a) = . . . = f = f (n−1) (a) = 0, y f f (n) (a) = 0, entonces, seg´ un la paridad de n y el signo de f (n) (a), se tiene lo siguiente:



• Si n es par y f (n)(a) > 0 > 0,, entonces f ti f tiene ene un m´ınimo relativo en a. < 0,, entonces f f tiene un m´ aximo relativo en a. • Si n es par y f (n)(a) < 0 > 0,, entonces f f es estrictamente creciente en a. • Si n es impar y f (n)(a) > 0 • Si n es impar y f (n)(a) < 0 < 0,, entonces f es f es estrictamente decreciente en a. e

estrictamente Se suele usar el t´ ermino ermino estrictamente mente decreciente. decreciente. e

mon´ otona para

indicar que una funci´ on es estrictamente creciente ´ on o estricta-

Demostraci´ on: on: (a) Aunque esto ya lo hemos demostrado en los teoremas 62 y 63 63,, repitamos aqu´ aqu´ı el razonamiento. razonami ento. Supongamos que el extremo relativo que f f alcanza en a es un m´ınimo. Entonces exite un entorno J de a de a en el que se verifica f verifica f ((x) f ( f (a) x J . J . Por lo tanto, para un punto x cualesquiera de este entorno tendremos: f ( f (x) f ( f (a) f ( f (x) f ( f (a) Si x Si x < a, entonces 0, por lo tanto, l´ım 0 x a x a x→a f ( f (x) f ( f (a) f ( f (x) f ( f (a) Si x Si x > a, entonces 0, por lo tanto, l´ım+ 0. x a x a x→a Por hipótesis otesis del teorema sabemos que la derivada existe en x = a, lo cual quiere decir que esos dos l´ımites laterales coinciden. La unica u ´ nica opción on posible para eso es que sean nulos, y por lo tanto la derivada es cero. En el caso de que f alcance f alcance un máximo aximo relativo en a en a razonar´ razon ar´ıamos ıamo s de d e maner m aneraa  similar. Con ello queda demostrado que f (a) = 0 es una condición on necesaria para que f tenga f tenga un extremo relativo en a siempre y cuando sea derivable en ese punto .

≥

− − − −

∀ ∈

≤ ≥

− − − −

−

≤ ≥

(b) Pasamos Pasamos ahora a demostrar demostrar la relación on entre crecimiento y decrecimiento y el signo de la derivada. f ( f (x) f ( f (a) Supongamos ahora que f  (a) > 0. Eso quiere decir que l´ım > 0, con lo cual podemos x→a x a f ( f (x) f ( f (a) afirmar que “cerca de a” (esto es, en un entorno de ese punto) tiene que verificarse que > x a 0. Ello implica que f que f ((x) f ( f (a) y (x a) tienen el mismo signo en ese entorno de “ a” y por lo tanto se verifica que:

− −

−

− −

−

x < a = f ( f (x) < f (a)

⇒

y

x > a = f ( f (x) > f (a).

⇒

En otras palabras, f es f es estrictamente creciente en el punto x = a. En el caso de que f  (a) < 0 razonar´ıamos ıamos de forma similar. similar . (c) La función on f f verifica las hipótesis otesis del teorema de Taylor (teorema 68 68)) en x = a. Aplicando ese teorema obtenemos la siguiente fórmula ormula de Taylor con resto centrada en ese punto: n−1

f ( f (x) = f ( f (a) +



k =1

f (k) (a) (x k!

−

a)k +

f (n) (x1 ) (x n!

− a)n

Donde x Donde x 1 pertenece al intervalo que une x une x y y a a,, es decir, x decir, x 1 (x, ( x, a) ó x 1 primeras derivadas de f f son nulas, esta expresión on se simplifica en:

∈

f ( f (x) = f ( f (a) +

f (n) (x1 ) (x n!

− a)n

( a, x). Dado que las n las n − 1 ∈ (a,

68


(n)

f (x1 ) − f ( f (a) = (x − a) a )n , lo que en particular implica que las expresiones n! f (n) (x1 ) f ( f (x) − f ( f (a) y (x − a)n tienen el mismo signo. Por otra parte, dado que f (n) (a)  = 0, debe n!

Por lo tanto, f ( f (x)

de existir un entorno de a, por peque˜ no que sea y que llamaremos B (a), en el cual f (n) conserva no su signo. Si hacemos que x tienda a a hasta conseguir que el intervalo (x, ( x, a) [o el (a, (a, x) si x > a] (n) esté dentro den tro de B de B((a), podremos afirmar que entonces el signo de f de f (x1 ) es igual al signo de f de f (n) (a). En consecuenc consecuencia, ia, para todo x en B (a) se verificará: a: y f (n) (a) > 0 > 0 (es decir f (n) (x1 ) > 0), > 0), implican que f que f ((x) > f (a) en ese entorno, y por lo • n par y f tanto f tanto f ti tiene ene un m´ınimo ıni mo en a en a..

• n par y f y f (n) (a) < 0 < 0 (es decir f (n) (x1 ) < 0), < 0), implican que f que f ((x) < f (a) en ese entorno, y por lo tanto f tanto f tiene tiene un máximo aximo en a en a..

y f (n) (a) > 0 > 0 (es decir f decir f (n) (x1 ) > 0), > 0), implican que f que f ((x) − f ( f (a) es positivo si x > a y • n impar y f

•

negativo si x si x < a, luego f ( f (x) es creciente en a. a . n) n) ( ( y f (a) < 0 que f ((x) n impar y f < 0 (es decir f (x1 ) < 0), < 0), implican que f positivo si x si x < a, luego f luego f ((x) es decreciente en a. a .

si x > a y − f ( f (a) es negativo si x

R una funci´ Definici´ on o n 68 Sea f Sea f : I on definida en un entorno I de I de un punto a R. Consideremos la gr´ afica de f f en ese entorno, dada por la curva de ecuaci´ on y = f ( f (x). Suponemos que f es f es derivable en a, con lo cual f tiene f tiene una recta tangente en ese punto y viene dada por yt (x) = f ( f (a) + (x ( x a)f  (a). Sea δ (x) = f ( = f ((x) en x = a = a:: f (x) yt (x). Diremos que la curva y = f

−→ −→

∈

−

−

(a) Es c´ oncava si δ (x) > 0 > 0 para todo x de un entorno reducido 6 de a. Como δ (a) = 0, el hecho de que δ (x) > 0 > 0 en un entorno de a, equivale a decir que esta funci´ on tiene un m´ınimo relativo en a. (b) Es convexa convexa si δ (x) < 0 para todo x de un entorno reducido de a. Como δ (a) = 0, el hecho de que δ (x) < 0 < 0 en un entorno de a equivale a decir que esta funci´ on tiene un m´ aximo relativo en a. (c) Present Presenta a un punto de inflexi´ inflexi´ on si δ (x) > 0 en un semientorno7 reducido de a y δ (x) < 0 en el semientorno opuesto. Como δ Como δ (a) = 0, esto equivale a decir que esta funci´ on es mon´ otona (creciente (creciente o decreciente) en a. (x)

>0

f(x)

(x)

>0

yt(x)

yt(x) x=a

(x)

<0

x=a x=a

yt(x) f(x) (x)

>0

(x)

f’(a) > 0 (x)

>0

f(x)

(x)

yt(x)

yt(x)

(x)

>0

(x)

<0

(x)

(x)

f’(a) > 0 (x)

>0

x=a

f’(a) = 0

f(x)

<0

x=a

f(x)

f’(a) > 0

<0

yt(x)

>0

x=a (x)

<0

f’(a) = 0

<0

yt(x) (x)

f(x) x=a

f’(a) < 0

yt(x)

>0

6 Un

<0

x=a f(x)

x=a f(x)

f’(a) < 0

f’(a) < 0 (x)

Cóncava

<0

f’(a) = 0

yt(x)

(x)

(x)

f(x)

Inflexión

(x)

<0

>0

Convexa

entorno reducido de a es un intervalo abierto centrado en a al que se le ha sacado el propio punto a, es decir, el entorno reducido de radio  radio  > 0 centrado en a en a vendr´ vendr´ıa dado da do p or el siguiente conjunto: { x ∈ R ; 0 < | x − a| < }. Se utiliza este concepto pues, por construcción, δ on, δ((x) representa la diferencia entre f entre f ((x) y su recta tangente en el punto a. a . Obviamente si x si x = a = a,, δ (x) = 0. 7 Los dos semientornos reducidos del punto a, a , de anchura  > 0, vendr´ vendr´ıan dados por los siguientes conjuntos: I = = { x ∈ R ; 0 < a − x <  } (semientorno “izquierdo”), y D y D = { x ∈ R ; 0 < x − a < } (semientorno “derecho”).

69


Interpretaci´ on on geométrica etrica de los conceptos de concavidad, convexidad y punto de inflexión: on: Una curva es cóncava oncava en un punto punto si su recta tangente en dicho punto queda por debajo de ella. Si por el contrario contrario dicha tangente tangente queda por encima la curva se dice que es convexa. Si a un lado la tangente queda por debajo y al otro por encima, la curva presenta un punto de inflexión. on. .

Teorema 71 Sea f Sea f : I on definida en un entorno I de I de un punto a R. Consideremos R una funci´ la gr´ afica de f en f en ese entorno, dada por la curva de ecuaci´ on y = f ( f (x). Si f es n veces derivable en a y se verifica f (2) (a) = f (3) (a) = . . . = f (n−1) (a) = 0, y f (n) (a) = 0, entonces, seg´ un la paridad de n y (n) el signo de f (a), se tiene lo siguiente:

−→ −→

∈



(a) Si n es par y f (n) (a) > 0 > 0,, entonces f es f es c´ oncava en a. (b) Si n es par y f (n) (a) < 0 < 0,, entonces f f es convexa en a. (c) Si n es impar, entonces f presenta f presenta un punto de inflexi´ on en a. Demostraci´ on: on: En primer pri mer lugar, lugar , obsérvese ervese que no hemos h emos impuesto imp uesto ninguna nin guna condici´ cond ición on a la primera derivada  de f de f en x en x = = a a.. Si fuese f fuese f (a) = 0 la demostración on ser´ıa ıa trivial: trivi al: En primer p rimer lugar lu gar hay que qu e tener en cuenta que  como f como f (a) = 0, la tangente a f en a en a es una constante, y t (x) = f ( f (a), de modo que δ que δ (x) = f ( f (x) yt (x) = f ( f (x) f ( f (a). Esto quiere decir que la funcion δ (x) tiene exactamente la misma gráfica afica que f ( f (x), solo que trasladada en el eje de las abcisas una cantidad f ( f (a). Por otra parte, f ( f (x) verificar´ıa ıa las mismas (n) (n) condiciones que en el teorema 70 70,, de modo que si n fuese par y f (a) > 0 (f (a) < 0), f ( f (x) tend te ndr´ r´ıa ıa un m´ınim ın imoo (máximo) aximo) en a en a que qu e tambi´ tam bién en lo ser´ıa de δ de δ (x). Por lo tanto, f ( f (x) ser´ se r´ıa ıa cóncava oncava (convexa) en a. a . Por otra parte, si n es impar y f (n) (a) > 0 > 0 (f (n) (a) < 0), < 0), ello querr´ıa ıa decir que f ( f (x), y tambi´ ta mbién en δ ( δ (x), es mon´ otona creciente (decreciente) en a. otona tanto, f ((x) tendr t endr´´ıa un punto de inflexión on en a en a.. a . Por lo tanto, f Para la demostración on en el caso general usamos la función on δ (x), definida como la diferencia entre la funci´ on f on f ((x) y su recta tangente en el punto x = a = a::

−

−

δ (x) = f ( f (x)

− yt (x) = f ( f (x) − [f ( f (a) + (x ( x − a)f  (a)]

Por construcción on δ (x) es n veces derivable en a. Su primera derivada es δ  (x) = f  (x) f  (a), con lo cual δ cual δ  (a) = 0. Todas las derivadas de orden superiór de δ de δ en en el punto a punto a coinciden con las de f , f , es decir, (k) (k ) (n) (n) δ (a) = f (a) = 0 para k = 2, 3, 4, . . . , n 1 y δ (a) = f (a) = 0. Ello quiere decir que la función on verifica las hipótesis otesis del teorema 70 70.. Al aplicarselo se deduce que: δ verifica

−

−



Si n Si n es par y δ y δ (n) (a) = f (n) (a) > 0, > 0, entonces δ (x) tiene un m´ınimo relativo en a en a.. (I)

Si n Si n es par y δ y δ (n) (a) = f (n) (a) < 0, < 0, entonces δ (x) tiene un máximo aximo relativo en a en a.. Si n Si n es es impar, entonces δ (x) es estrictamente monótona otona (creciente o decreciente) en a. a .

Por otro lado, de acuerdo con la definición on de concavidad y convexidad podemos asegurar que ti ene un m´ınimo relativo en a en a δ (x) tiene (II)

oncava en a en a.. ⇐⇒ f ( ⇐⇒ f (x) es cóncava δ (x) tiene un máximo aximo relativo en a en a ⇐ f (x) es convexa en a en a.. ⇐⇒ ⇒ f ( δ (x) es estrictamente monótona otona en a en a ⇐ f (x) tiene un punto de inflexión on en a en a.. ⇐⇒ ⇒ f (

De (I) y (II) obtenemos lo que pretend´ıamos ıamos demostrar.

70


4.11.

Ejercicios.

1. (a) Sea f una funci´ on par. Demostrar que si f es derivable en un punto a, entonces f también es derivable en a, verificándose f  ( a) = f  (a).

−

−

−

(b) Demostrar que si f es impar y derivable en a, también es derivable en derivadas. 

2. Sea f derivable en a. Demuestra que f (a) = l´ım

f (a + h2 )

−a, coincidiendo ambas

− f (a − h2 ) h

h→0

3. Calcula la derivada de las siguientes funciones en el rango de valores en que existan.

∈ R+

xα , x, α tan x arc cos x,

(a) (c) (e)

(b) (d) (f)

−1 ≤ x ≤ 1

cos x arcsin x, arctan x

−1 ≤ x ≤ 1

4. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: b 1 + log(ax + b). a2 (ax + b) a2 (b) f 2 (x) = π x . (c) f 3 (x) = sen(cos(log x2 )).

(d) f 4 (x) = (tan x)cos x .

(a) f 1 (x) =

(e) f 5 (x) =

√ xx.

(f) f 6 (x) = arc sen x2 .

5. Calcula la derivada de las siguientes funciones, justificando previamente la derivabilidad: (a) (b) (c) (d) (e) (f )

      

√ x−1 f (x) = arctan x − 1 − arcsin , x > 1 x √ 1 + x + √ 1 − x √ f (x) = log √ , 0 < x < 1 1+x− 1−x 1 f (x) = log cos arctan √ , |x| > 1 x2 − 1 f (x) =(sin x)cos x ,

0 < x <

x

π 2

f (x) =xx , x > 1 1 x cos x f (x) = log tan , 2 2 2sin2 x

 −

π . 2

0 < x <

6. Estudia el rango de derivabilidad de las funciones hiperb´ olicas, sinh x =

1 x (e 2

− e−x),

cosh x =

1 x sinh x (e + e−x ), tanh x = , 2 cosh x

y de sus inversas, arcsinh, arccosh, arctanh. Calcular su derivada donde ésta exista. 7. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones: (a)

(c)

 − − x

e −1 x , 3

f (x) =

(b)

si x < 0; 1 x , si 0 x 1; 1 2 3 2 x + 2 x si 1 < x < 2; 1 si x 2.

≤ ≤

f (x) =



x sin x1/3 , x1/3 −sin x

0,



si x = 0; si x = 0.

(d)

≥

f (x) =



·

si x = 0; si x = 0.

f (x) =

  ·

tan2 (x), si x = 0; si x = 0.

cos( x1 ) sin2 (x), 0,



(e) f (x) =



− x12

e 0,

sin

1 x,

si x = 0; si x = 0.



sen 0,

1 x



71


(f) f (x) =



ex , 1 1−sin(ax) ,

≤

si x 0; si x > 0.

y calcula su función derivada. Nota: Si encuentras que alguno de los l´ımites es muy complicado, intenta un cambio de variable.





e2x , si x Q R una función definida de la siguiente forma f (x) = 8. Sea f (x) : R . 2+ x ax + b, si x Q ¿Puedede ser f (x) derivable en x=0? En caso afirmativo ¿para qu´ e valores de los parámetros a y b?

−→

∈ ∈

as del procedimiento habitual para estudiar la derivabilidad de una función en un punto, Consejo: Adem´ que debes conocer, observa que por la propia definición de f (x) su comportamento es distinto dependiendo de si te acercas a x = 0 por números racionales o irracionales. Ten en cuenta esto en cualquier l´ımite que tengas que calcular.

Z+ . Demostrar que f es infinitamente derivable en 9. Considérese la función f (x) = x 2k+1 , k R 0 y que, sin embargo, s´ olo admite un n´ umero finito de derivadas en x = 0. Calcular la derivada n-ésima en x = 0 para los valores de n en que ésta exista. Indicar para qué valores de n la derivada n-ésima es continua en x = 0.

| |

− { }

∈

10. Comprueba el teorema del valor medio para las dos funciones siguientes en los intervalos que se indican: (a) f (x) = x(x 1), [1, 2] (b) f (x) = 2x + sin x, [0, π].

−

11. Demuestra que la ecuación e x = 1 + x sólo admite una ra´ız real. 12. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuació n 3log x = x ? 13. Determina el n´ umero de ra´ıces reales que tiene la ecuación x 5

− 5x + 1 = 0.

14. Sea f (x) = (2 x)m (x 3)+(3 x)n (x 2), donde n, m que f  (x) = 0 en alg´ un punto del intervalo (2, 3)?

−

−

−

−

∈ N. ¿Para qué valores de m e n se verifica

15. Sea f (x) una función derivable que presenta 3 máximos y 2 m´ınimos relativos. ¿Cuántas raices tiene como m´ınimo la ecuación f (x) = 0?¿Y como máximo? Razona y justifica tus respuestas. 16. Sea f unha funci´ on de clase infinito en [a, b] que verifica que f (a) = f  (a) = f (b) = f  (b) = 0. Probar que existe un c (a, b) tal que f  (c) = 0

∈

17. Estudia los máximos, m´ınimos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y haz una gr´ afica aproximada de las siguientes funciones: 4

x (b) f (x) = , x > 0 log x

2

(a) f (x) = (x 1) (x+2)

−

x3 (c) f (x) = (1 + x)2

2

(d) f (x) = x 4 e−x

18. Calcular los l´ımites: (a) (c) (e) (g)

−

cosh x 1 x→0 1 cos x 1 1 l´ım x→0 sin2 x x2 x π l´ımπ x→ 2 cotan(x) 2cos x sen x 1/x l´ımπ x→ 2 x l´ım

−

 −   −   

(b) (d) (f ) (h)

l´ım (1

x→0

l´ım

x→0+

− cos x)cotan(x)



1 log(sin x) + x



l´ım xx

x→0+

n sen(n!) n→∞ n2 + 1 l´ım

19. Un hilo pesado bajo la acci´ on de la gravedad se comporta formando una catenaria y = a cosh(x/a), a > 0. Demostrar que, para valores pequeños de x, la forma del hilo puede representarse aproximax2 damente por la parábola y = a + . 2a


72

20. Busca el m´ınimo orden del polinomio de Taylor que puede aproximar el log 2 con al menos cuatro cifras decimales exactas. 21. Sea f (x) = sin2 (x) + cot12 (x) . ¿Es 2x2 + de f (x) con grado 10 centrado en 0?

x4 3

+

19x6 45

+

61x8 315

+

381x9 689

10

x + 1384 14175 el polinomio de Taylor

Cap´ıtulo 5

Series num´ ericas y series funcionales. El concepto matemático de serie o suma infinita se define como la suma de los t´ erminos de una sucesi´ on, que puede ser num´ erica o de funciones. Un ejemplo es el polinomio de Taylor que hemos introducido en el tema anterior, que no es otra cosa que una serie de potencias que nos permite aproximar funciones en el entorno de un punto y simplificar as´ı problemas f´ısicos. A la hora de definirlo hemos asumido que la funci´ on admit´ıa derivadas hasta un orden n en dicho punto, de modo que el polinomio tiene un n´ umero finito de términos más un resto que cuantifica el error que se comete en la aproximación; pero está claro que si la función fuese infinitamente derivable podr´ıamos construir una suma infinita de potencias que coincidir´ıa con la función en el entorno del punto considerado (siempre y cuando el resto, que va con la derivada n-ésima, se haga cero cuando n ). La serie de Taylor no es la única forma de aproximar una función mediante una serie. Otro ejemplo son las series de Fourier, que se estudian en M´ etodos Matemáticos III y que son fundamentales para el estudio de todos aquellos fenómenos f´ısicos que tienen un carácter ondulatorio y están descritos mediante funciones periódicas. Además, es importante resaltar que las series numéricas y las series funcionales no son meras herramientas de aproximación, y que el estudio de sistemas f´ısicos en los que la energ´ıa está cuantizada en niveles discretos (un ejemplo sencillo ser´ıa los niveles de energ´ıa de los electrones en un a´tomo), como ocurre en Mecánica Cuántica, Mecánica Estad´ıstica, etc., muchas veces implica intr´ınsecamente el cálculo de series. Comenzaremos este tema definiendo el concepto de serie numérica y relacionando su convergencia, en el caso de que la serie sea infinita, con la de la sucesión de sumas parciales. Estos aspectos básicos nos permitirán establecer a continuación algunos de los criterios fundamentales para la convergencia de series, como la condición de Cauchy o la necesidad (pero no suficiencia) de que el t´ ermino general tienda a cero. Seguidamente se introducirán algunos tipos de series que, por sus caracter´ısticas, son particularmente interesantes a la hora de estudiar su convergencia: Las series telescópicas, la progresión geom´ etrica, las series que pueden obtenerse a partir de otras introduciendo o suprimiendo par´ entesis y las series alternadas. En este último caso discutiremos con m´ as detalle los dos tipos de convergencia que pueden presentar (absoluta y condicionada). Continuaremos desarrollando el contenido del cap´ıtulo presentando algunos de los criterios más b´ asicos que permiten determinar la convergencia o no de las series num´ ericas: Comparación directa, comparación por paso al l´ımite (incluyendo el criterio de Pringsheim como caso particular), criterio de la integral, criterio del cociente, criterio de la ra´ız, criterio de Dirichlet, y criterio de Leibniz (este último para series alternadas). Finalizaremos esta parte del tema dedicada a las series num´ ericas definiendo y estudiando las propiedades de la reordenación de series y discutiendo mediante algunos ejemplos la utilidad del desarrollo en serie de Taylor para el cálculo de la suma de algunas series numéricas, en especial aquellas que se corresponden al valor de la función exponencial en determinados puntos. Seguidamente abordaremos el estudio de las propiedades de las series formadas por funciones, haciendo especial hincapié en las series de potencias. Presentaremos en primer lugar la definición de funci´ on l´ımite de una sucesión de funciones, discutiendo sus propiedades a partir de las caracter´ısticas de las funciones de la sucesión (continuidad, derivabilidad, etc.) dependiendo de si la convergencia es puntual o uniforme. Tras establecer la condición de Cauchy para la convergencia uniforme de las sucesiones funcionales, podremos introducir el concepto de serie funcional uniformemente convergente y sus correspondientes criterios de convergencia (de Cauchy y mayorante de Weirstrass). Finalizaremos el tema discutiendo las caracter´ısticas principales de las series de potencias, un caso particular de series funcionales para el que estudiaremos sus radios de convergencia y propiedades con respecto a la derivación, prestando especial atenci´ on a aquellas que se pueden obtener a partir de las derivadas de una función utilizando el teorema

→ ∞

74


de Taylor.

5.1.

Series num´ ericas infinitas.

Definici´ o n 69 Sea an una sucesi´ on de n´ umeros reales. A partir de ella podemos construir una nueva sucesi´ on sn cuyo elemento n-ésimo viene dado por

{ }

{ }

n

sn = a 1 + a2 + a3 + . . . + an =



ai

(n = 1, 2, 3, . . .)

i=1

{ }{ }

El par ordenado de sucesiones ( an , sn ) se llama serie infinita. No obstante, se suele designar las ∞

series utilizando ´ unicamente an (que recibe el nombre de t´ ermino general) mediante los s´ımbolos



ak

k=1



ak . El n´ umero s n se llama suma parcial n-´ esima de la serie. Se dice que una serie converge si la sucesi´ on de sumas parciales sn converge a un n´ umero real finito s. En tal caso al n´ umero s se le denomina suma de la serie y se escribe que ak = s. Si sn , se dice que la serie es divergente. En otras palabras, lo que estamos diciendo es: o ´

{ }



{ } −→ ±∞

∞



n

{

ak = l´ım sn =

k =1

n→∞



ak

k=1

}

Si una serie no converge a ning´ un n´ umero real y tampoco tiende a + o no sumable.

  

∞ ´ o −∞, se denomina serie oscilante

 



Teorema 72 Sean an y bn dos series convergentes y a = an , b = bn sus correspondientes sumas. Entonces, para cada par de constantes α y β la serie (αan + βbn ) converge hacia la suma αa + βb, es decir, ∞

∞

(αan + βb n ) = α

n=1

∞

  an + β

n=1

bn = αa + βb

n=1

Demostraci´ on: Es trivial, basta darse cuenta de que las sumas parciales n-ésimas verifican n

sn =

n



(αak + βb k ) = α

k =1

y aplicar el l´ımite cuando n

ak + β

k=1

k =1

∞

(αan + βb n ) := l´ım

n=1

bk

−→ ∞ en esta igualdad. Se obtiene:

∞



n

 

n→∞

{sn} = α

∞

  ak + β

k=1

bk = αa + βb

k=1

Teorema 73 Sea an una sucesi´ on de n´ umeros reales tal que a n 0 para cada n = 1, 2, 3, . . . Entonces la serie an converge si, y s´ olo si, la sucesi´ on de sumas parciales est´ a acotada superiormente.



{ }

≥

Demostraci´ on: “

n

⇒” Como an ≥ 0 para todo n, entonces está claro que la sucesión de sumas parciales, {sn} = {



k =1

ak ,

}

es monótona creciente y está acotada inferiormente por 0. Además si la serie es convergente, ello implica por definición la sucesión de sumas parciales sn es convergente. Según uno de los primeros teoremas enunciados en el Tema 3 (teorema 30). Una sucesión convergente está acotada siempre por su l´ımite (que adem´ as es punto de acumulación del recorrido de la sucesión). Al ser s n mon´ otona creciente, es evidente que ese l´ımite la acotará superiormente. “ ” La hipótesis de partida es que s n está acotada superiormente. Además, como en la demostración en el otro sentido, también sabemos que al ser los an 0 para todo n, sn es mon´ otona creciente. En

⇐

≥


75

uno de los ejercicios del Tema 3 se demuestra que toda sucesión de n´ umeros reales monótona creciente y acotada superiormente es de Cauchy. Como R es un espacio completo, toda sucesión de Cauchy es convergente. Por lo tanto la sucesión de sumas parciales s n es convergente, lo que por definición implica que la serie an también lo es. 



Teorema 74 (Condici´ on de Cauchy para series). Una serie existe un entero N tal que si n > N se verifica que



an converge si, y s´ olo si, para todo ε > 0

|an+1 + an+2 + . . . + an+ p| < ε ∀ p = 1, 2, 3 . . . Demostraci´ on: “ ” La hip´ otesis es que la serie

⇒

n



{ } {

de esa serie, sn =



an converge. Entonces, por definición, la sucesión de sumas parciales

ak , también converge. Como está sucesión es de n´ umeros reales y R es un espacio

}

k=1

completo, también es de Cauchy. Como sabemos, ello implica que sus términos se pueden aproximar tanto como se quiera, esto es, que para todo ε > 0 existe un entero N tal que sm s n < ε si m, n > N . Supongamos que m > n. Como ambos son enteros, m se puede escribir como m = n + p con p = 1, 2, 3 . . .. Como sn+ p sn = an+1 + an+2 + . . . + an+ p , el teorema en esta dirección queda demostrado. “ ” Se trata de deshacer el razonamiento anterior. Ahora el punto de partida es que para todo ε > 0 existe un entero N tal que si n > N se verifica que an+1 + an+2 + . . . + an+ p < ε p = 1, 2, 3 . . .. Como hemos visto an+1 + an+2 + . . . + an+ p = sn+ p sn , y por lo tanto sn+ p sn es también menor que ε para todo p = 1, 2, 3 . . .. Llamando m = n + p concluimos que para todo ε > 0 existe un entero N tal que si m,n > N se verifica que sm sn < ε. Ello quiere decir que la sucesión de sumas parciales sn es de Cauchy y por lo tanto convergente, pues está formada por n´ umeros reales y R es completo. Por u ´ ltimo, si la sucesión de sumas parciales es convergente, la serie an también lo es. 

| − |

| ⇐

− | |

|

| | | − | | − |

|

{ }

Teorema 75 Una condici´ on necesaria para que la serie tienda a cero, esto es, que l´ım an = 0. n→∞



|

|

− |

∀



an sea convergente es que su término general

Demostraci´ on: Si la serie es convergente verifica el teorema anterior (teorema 74). Al aplicarlo para p = 1 obtenemos que ε > 0 N Z + tal que n > N = an+1 < ε, lo cual no es otra cosa que la definici´ on de l´ım an = 0.  n→∞ Observaci´ on . La anterior es una condición necesaria, pero no suficiente. De hecho, lo que acabamos de ver es que una serie cuyo término general tiende a cero cumple la condición de Cauchy para p = 1. Sin embargo, tal y como indica el teorema 74, para garantizar la convergencia esta condición tiene que verificarse para todo p y esto no siempre ocurre aunque l´ım an = 0.

∀

∃ ∈

⇒|

|

n→∞ ∞

∞

1 1 , que claramente cumple l´ım =0y n→∞ n n n=1 n=1 sin embargo no converge. Se puede comprobar fácilmente que no converge poniendo n = 2m y p = 2m en la condición de Cauchy: Un ejemplo es la denominada serie armónica1 ,

an+1 + an+2 + . . . + an+ p =

|

  an =

1 1 1 + + . . . + > 2m + 1 2m + 2 2m + 2m 1 1 1 2m 1 m > m + + . . . 2 veces . . . + = = 2 + 2 m 2m + 2 m 2m + 2m 2m + 2 m 2

|

Por lo tanto, la cantidad an+1 + an+2 + . . . + an+ p nunca se hace más peque˜ na que cualquier ε < 1/2 para ese p por muy grande que se haga n la serie no es convergente.

⇒

1 El

nombre de serie armónica se debe a que cada uno de sus términos es la media arm´ onica de los términos anterior y 2 1 1 siguiente a ´ el. Se llama media arm´ o nica de dos n´ umeros p y q al n´ umero α que verifica = + . En general, la media α p q n arm´ onica de n n´ umeros, { a1 , a2 , . . . , a n }, se define como H = n . 1 a i=1 i

X

76


5.2.

Series telesc´ opicas y series geom´ etricas.

Como hemos visto, que una serie sea convergente o no depende directamente de que la sucesión de sus sumas parciales sea convergente o no. Además, cuando es convergente, la suma de la serie coincide con el l´ımite cuando n de la sucesión de sumas parciales. Por lo tanto, el método genéral para

→ ∞

∞



estudiar la convergencia y calcular la suma de

n=1

n

{

de la sucesión sn =



an no es otro que intentar obtener el termino general

}

ak y calcular su l´ımite. Sin embargo, escribir sn de forma expl´ıcita como una

k =1

funci´ on de n sobre la que aplicar el l´ımite no siempre es fácil, y en muchos casos ni siquiera es posible. Existen métodos alternativos a éste método genérico que permiten estudiar la convergencia de una serie de un modo más sencillo. No obstante, esos métodos los dejaremos para más adelante y a continuación presentaremos dos tipos de series, las series telescópicas y las series geométricas, para las que s´ı es posible calcular expl´ıcitamente sn y por lo tanto estudiar su convergencia y calcular su suma aplicando el método general. Teorema 76 (Series telesc´ opicas). Sean an y bn dos sucesiones tales que a n = b n+1 bn para cada n = 1, 2, 3, . . . Entonces la serie an converge si, y s´ olo si, la sucesi´ on bn es convergente (esto es, existe el l´ım bn = b), en cuyo caso se verifica

{ } { }



n→∞

−

{ }

∞



an = l´ım bn

− b1 = b − b1

n→∞

n=1

Demostraci´ on: n

sn =

n

  ak =

k=1

     (bk+1 bk ) = (bn+1  bn )+(  bn  bn− bn− 1 )+( bn− 1  2 )+       

k=1

−

−

−

−

b2 − b1 ) = b n+1 − b1 =⇒ ···+(  

∞

⇒

=



− b1) = n→∞ l´ım bn − b1

an = l´ım sn = l´ım (bn+1 n→∞

k=1

n→∞

Ejemplo: ∞

Consideremos la serie

an =

1 . Se trata de una serie telescópica puesto que: n(n + 1) n=1



1 1 = n(n + 1) n

− n +1 1 = bn+1 − bn,

donde hemos definido

bn =

−n1

Aplicando este teorema tendr´ıamos ∞



n=1

an = b

− b1 = 1, porque

b1 =

1 −1 y b = n→∞ l´ım bn = l´ım − = 0 n→∞ n

∈ R y primer término a,

Definici´ o n 70 (Series geom´ etricas). Se denomina serie geom´ etrica de raz´ on r a la serie ∞

2

n

a + ar + ar + . . . + ar + . . . =



arn

n=0

 

Teorema 77 La serie geométrica es

arn converge si, y s´ olo si, se cumple r < 1, en cuyo caso su suma

| |

∞

n=0

arn = l´ım a n→∞

1

− rn+1 = a 1−r 1−r


77

Demostraci´ on: = a+ ar + ar2 + . . . + arn = ar + ar2 + . . . + arn + arn+1

sn rsn

sn (1

− r) = a − arn+1,

sn = a

1



restando tenemos:

− rn+1 1−r

si r = 1



Por lo tanto, al hacer l´ım sn , hay las siguientes posibilidades: n→∞

a || n→∞ 1−r (b) |r| > 1. Si r es positivo entonces l´ım sn = ∞ y la serie es divergente. Si r es negativo, la sucesión n→∞ {sn} no tiene l´ımite, pues aunque sus términos se hacen cada vez más grandes van cambiando (a) r < 1. Entonces l´ım sn =

de signo (positivos si n es impar y negativos si n es par). La serie es oscilante o no sumable (ni convergente ni divergente). n+1

(c) r = 1. Si r = 1 entonces sn = a 1−r2 . Por lo tanto, sn = 0 si n es impar y sn = a si n es par. La serie es oscilante o no sumable (ni convergente ni divergente). Si r=1 la expresión sn (1 r) = a arn+1 no se puede dividir por (1 r) tal y como hemos indicado. Sin embargo en

||

−

−

−

 −  ∞

ese caso es fácil darse cuenta de que

ar = a

n=0

Por lo tanto, como quer´ıamos demostrar, a su suma es . 1 r

−

5.3.

∞

n

1 y por lo tanto es divergente.

n=0

arn converge si, y sólo si, se cumple r < 1, en cuyo caso

| |

Introducci´ on y supresi´ on de par´ entesis en las series.

−

Consideremos la serie ( 1)k+1 . En principio es una serie oscilante (o no sumable) y por lo tanto no converge ni diverge, pues es inmediato comprobar que los términos de la sucesión de sumas parciales sn van tomando de forma alternativa los valores 0 y +1. Sin embargo, a partir de esta serie se puede obtener una serie convergente sin más que agrupar los sumandos parejas y sumarlos dos a dos. Mediante este procedimiento se obtendr´ıa una serie de “ceros”, que evidentemente es convergente, tal y como se muestra a continuación:

{ }

introduciendo paréntesis

∞

− ⇒ 

k+1

( 1)

=1

k=1

intro duciendo paréntesis

− 1+1 − 1+1 − 1+ ...

(1

 ⇒

− 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . . = 0 + 0 + 0 + . . .

Este ejemplo sencillo ilustra que una “introducción de paréntesis” en una serie infinita puede alterar el resultado de su suma (una supresión de paréntesis también lo har´ıa, lógicamente), algo que no ocurre con las sumas finitas. En otras palabras, las sumas infinitas no verifican la propiedad asociativa . A continuación formalizaremos esta idea y estableceremos algunos criterios que nos permitirán saber cuando esto sucede y cuando no. El motivo de tratar esta cuestión en detalle es que la introducción o supresión de paréntesis es la herramienta fundamental para el estudio de las series alternadas; un caso particular de series infinitas que, como veremos en la siguiente sección, son aquellas cuyos términos cambian de signo alternativamente. Definici´ o n 71 Sea p : Z+ on con dominio el conjunto de los enteros positivos y Z+ una aplicaci´ recorrido un subconjunto de los enteros positivos que conserva el orden, esto es p(n) < p(m) si n < m. Sean an y bn dos series relacionadas de la siguiente manera,

−→

 

b1 = a 1 + a2 + a3 + . . . + a p(1) b2 = a p(1)+1 + a p(1)+2 + a p(1)+3 + . . . + a p(2) b3 = a p(2)+1 + a p(2)+2 + a p(2)+3 + . . . + a p(3) ... bn+1 = a p(n)+1 + a p(n)+2 + a p(n)+3 + . . . + a p(n+1)

78




Esto es, para obtener el t´ ermino de orden n + 1 de la serie bn tomo n, calculo su imagen por la aplicaci´ on p (o sea, p(n)) y sumo todos los términos de la serie an que estén comprendidos entre p(n) + 1 y p(n + 1). Entonces se dice que bn se obtiene a partir de an introduciendo paréntesis, y que an se obtiene a partir de bn suprimiendo paréntesis.







Ejemplos:



Para ver de un modo m´ as claro lo que indica esta definición consideremos; por ejemplo, 2 p(n) = n

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒ ⇒

⇒

b1 n + 1 = 1 n = 0 p(n) + 1 = p(n + 1) = 1 b 1 = a 1 b2 n + 1 = 2 n = 1 p(n) + 1 = 2, p(n + 1) = 4 b 2 = a 2 + a3 + a4 b3 n + 1 = 3 n = 2 p(n) + 1 = 5, p(n + 1) = 9 b 3 = a 5 + a6 + a7 + a8 + a9 ... bn+1 = a n2 +1 + an2 +2 + an2 +3 + . . . + a(n+1)2

⇒ ⇒

∞

Tomemos ahora el ejemplo propuesto al inicio de esta sección,



∀

con b n = 0 k. En este caso la serie bk se obtiene a partir de por medio de la aplicación p(n) = 2n.

⇒ n + 1 = 1 ⇒ n = 0 ⇒ p(n) + 1 = 1, ⇒ n + 1 = 2 ⇒ n = 1 ⇒ p(n) + 1 = 3,

b1 b2 ...

p(n + 1) = 2 p(n + 1) = 4



Teorema 78 Si an converge a s, entonces toda serie paréntesis converge también a s. n

{

Demostraci´ on: Sean sn =

  





∞

 −  an =

n=1

∞

n+1

( 1)

n=1

y



bn

n=1

ak introduciendo paréntesis

⇒ b1 = a1 + a2 = 1 − 1 = 0 ⇒ b2 = a3 + a4 = 1 − 1 = 0

bn obtenida a partir de



an introduciendo

n

} {

ak y tn =

k=1



k=1

}

bk las sucesiones de sumas parciales de ambas series.

{ }

Como la serie an es convergente sabemos que su sucesión de sumas parciales sn es convergente. Con esa información vamos a tratar de demostrar que que tn tambi´ en lo es, lo que implica por definici´ on la convergencia de bn . Dado que bn se obtiene a partir de an introduciendo paréntesis, sabemos que, por definici´ on

{ }



b1 = a 1 + a2 + a3 + . . . + a p(1) b2 = a p(1)+1 + a p(1)+2 + a p(1)+3 + . . . + a p(2) ... bn+1 = a p(n)+1 + a p(n)+2 + a p(n)+3 + . . . + a p(n+1)

Por lo tanto t2 = b1 + b2 = a 1 + a2 + a3 + . . . + a p(1) + a p(1)+1 + a p(1)+2 + a p(1)+3 + . . . + a p(2) = s p(2) y, en general, podemos escribir que n

tn =



bk = a 1 + a2 + a3 + . . . a p(n) = s p(n)

k=1

Concluimos pues que tn = s p(n) , donde p(n) es la aplicación utilizada en la introducción de paréntesis y que por definición cambia el ´ındice pero preserva el orden ( p(n) < p(m) si n < m). Por lo tanto, podemos afirmar que tn es subsucesión de sn y por lo tanto (véase el teorema 32 del tema 3) también es convergente al mismo l´ımite s. Observaci´ on . Lo que nos dice este teorema es que la introducción de parentesis no altera la convergencia de las series que ya son convergentes: En ese caso al introducir paréntesis obtenemos una serie que no solo es convergente, sino que además converge al mismo l´ımite. Sin embargo, hemos visto con un ejemplo que introduciendo paréntesis podemos transformar una serie divergente en otra convergente: an = ( 1)n+1 se convierte en bn = (1 1) = 0 introduciendo paréntesis con la aplicación p(n) = 2n. Si

{ } { { }

−

}

 

{ }

−



79


 

procedemos a la inversa, esto es, si retiramos los par´ entesis en la serie convergente bn = (1 1) = 0, la transformar´ıamos en la serie divergente an = ( 1)n+1 . Esto quiere decir que retirando paréntesis si podemos destruir la convergencia de una serie. El siguiente teorema establece dos condiciones que deben satisfacerse para que esa supresión de paréntesis no destruya la convergencia.

 −

 

−



Teorema 79 Sean an y bn dos series relacionadas como en la definici´ on 71, es decir, bn se obtiene a partir de an introduciendo par´ entesis. Supongamos que existe una constante M > 0 tal que p(n + 1) p(n) < M para todo n, y supongamos también que l´ım an = 0. Entonces an converge si,

−

y s´ olo si,

 

n→∞

bn converge, en cuyo caso ambas series tienen la misma suma.



Demostraci´ on: “ ” Si an converge, demostrar que bn , que se obtiene a partir de ella introduciendo paréntesis, tambi´ en converge no es otra cosa que el teorema 78 “ ” Demostrar que bajo esas hipótesis la convergencia de bn implica la convergencia de an no es excesivamente complicado, pero no nos detendremos en ello (véase Apostol , An´ alisis Matemático, 2a ed., p´ ag. 228). Decir solamente que p(n + 1) p(n) < M para todo n implica que el n´ umero de sumandos de an con los que se construye cada bn (es decir, la cantidad de an que quedan entre los paréntesis) tiene una cota, y por lo tanto no crece arbitrariamente. Obsérvese que la serie an = ( 1)n+1 no cumple la condición l´ım an = 0 y por lo tanto este n→∞ teorema no se aplica a nuestro ejemplo sencillo

⇒ ⇐





−





5.4.



−

Series alternadas. ∞

Definici´ o n 72 Si an > 0 para todo n, la serie

−

( 1)n+1 an se denomina serie alternada.

n=1

Teorema 80 (regla de Leibniz). Si an es una sucesi´ on decreciente de t´ erminos positivos que converge

{ }

∞

a cero, entonces la serie alternada que se construye a partir de ella, Adem´ as se cumple que 0 < ( 1)n (s sn su n-ésima suma parcial.

−

−

( 1)n+1 an , también converge.

n=1

− sn) < an+1 para todo n, donde s denota la suma de esa serie y

La desigualdad de este teorema establece que al aproximarnos a s por medio de las sumas parciales n

sn =

−

( 1)k+1 ak el error que se comete tiene el mismo signo que el primer término despreciado [que

k=1

es ( 1)n+2 an+1 ], y es menor que el valor absoluto de dicho término. Adem´ as, la primera parte de este teorema nos dice que si el valor absoluto del t´ ermino general de una serie alternada tiende a cero, entonces esa serie alternada es automáticamente convergente. En otras palabras, eso quiere decir que la condición necesaria para que una serie sea convergente (que el término general tienda a cero) es tambi´ en suficiente en el caso de series alternadas. Insistir que, como indica el teorema, el l´ımite ha de calcularse sobre el valor absoluto del t´ ermino general y que, además, se ha de comprobar que éste es decreciente. Demostraci´ on: Es muy f´ acil convencerse intuitivamente de la convergencia, porque si representamos frente a n la sucesión de sumas parciales ésta sigue una “trayectoria en zig–zag” con oscilaciones cada vez m´ as peque˜ nas. Es decir, comenzamos en n = 1 con s1 = a 1 . La siguiente suma parcial corresponde a n = 2 y es s 2 = a 1 a2 < s1 . A continuación para n = 3 viene la tercera suma parcial: s 3 = a 1 a2 + a3 < s1 . Es evidente que s3 > s2 , pero además s3 < s1 porque al ser an mon´ otona decreciente a2 (que aparece restando) es más grande que a3 (que se suma). Después para n = 4 tendr´ıamos s4 = a 1 a2 + a3 a4 , que es claramente menor que s3 , pero como an es decreciente, a3 > a4 , y por tanto s4 > s2 . Esto es generalizable para cualquier n par, esto es s2n > s2n−2 , lo que indica que la subsucesión de sumas parciales con ´ındice par es creciente. Del mismo modo se puede deducir que la subsucesi´ on de sumas parciales con ´ındice impar es decreciente. Además, tal y como hemos visto hasta n = 4, las sumas parciales impares son siempre mayores que las pares, de modo que si representamos s n frente a n lo que tenemos es un zigzageo cuya amplitud tiende a cero debido a que an 0, de donde se intuye la convergencia. A continuación formalizaremos esta idea.

−

−

− −

→

−

80




n+1 Introducimos paréntesis en ∞ an para agrupar términos de dos en dos, es decir, tomamos n=1 ( 1) p(n) = 2n de acuerdo con la definición 71 y formamos una nueva serie bn :



− a4,

b2 = a 3

b3 = a 5

− a6,



− a2n, . . . Como an → 0 y p(n + 1) − p(n) = 2, el teorema 79 nos asegura que la serie (−1)n+1 an converge si bn converge (pues (−1)n+1 an se obtendr´ıa de bn sacando paréntesis verificándose todas las condiciones de ese teorema). Como {an } es decreciente, bn es una serie de términos positivos, de modo b1 = a1

− a2,

−



...

, bn = a 2n−1





que podemos asegurar que su sucesión de sumas parciales es monótona creciente. Además, esa sucesión de sumas parciales está acotada superiormente ya que n



bn = a1

k=1

− (a2 − a3) − . . . − (a2n−1 − a2n) < a1



Si la sucesión de sumas parciales de bn es mon´ otona creciente y acotada superiormente deducimos, utilizando nuevamente el resultado de uno de los problemas del Tema 3, que es convergente. Por lo tanto la serie bn converge y aplicando el teorema 79 ( 1)n+1 an , que se obtendr´ıa sacando paréntesis a partir de ella, también. Falta probar la desigualdad 0 < ( 1)n (s s n ) < an+1 . Probemos primero que ( 1)n (s s n ) =



−

∞

−

−

−

−

−

( 1)k+1 an+k . En efecto:

k =1

 ∞

( 1)n (s

−

− sn) = ( −1)n

n

 − −

( 1)k+1 ak

k=1

−

( 1)k+1 ak

k=1



 ∞

= ( 1)n

−

−

= ( 1)

n

( 1)k+1 ak

k =n+1

∞

−

 −

−

=

∞

k+n+1

( 1)

an+k =

k =1

( 1)k+1 an+k

k=1

En esta u ´ ltima serie los t´ erminos con k impar son positivos y con k par son negativos y se puede descomponer de este modo ∞

−

∞

k+1

( 1)

an+k =

k=1



(an+2k−1

− an+2k ) > 0.

k=1

{ }

Esto es, cada sumando es positivo pues an es decreciente (y tiende a cero). Por otra parte, ∞

−

∞

k +1

( 1)

an+k = a n+1 +

k =1

−

∞

k+1

( 1)

 − −

( 1)k an+k =

an+k = a n+1

k=2

k =2

∞

 −

= a n+1

− an+2k+1) < an+1

(an+2k

k=1

En esta u ´ ltima serie, nuevamente cada sumando es positivo. Como la serie está restando a an+1 , el resultado es menor que esta última cantidad. Por lo tanto queda demostrado que 0 < ( 1)n (s sn ) < an+1 . 

−

5.5.

−

Convergencia absoluta y condicional.

 

Definici´ o n 73 Una serie an se dice absolutamente convergente si nalmente convergente si an converge pero an diverge.

|

|

|

|

an converge. Se dice condicio-

Teorema 81 La convergencia absoluta de una serie implica convergencia. Esto es, si vergente, entonces an también es convergente



Demostraci´ on: Si la serie de valores absolutos para series (teorema 74), esto es ε > 0 existe N

|

|

|

|

an es con-

an es convergente, verifica la condición de Cauchy Z tal que si n > N entonces

∀ ∈ ||an+1| + |an+2| + . . . + |an+ p || = |an+1| + |an+2| + . . . + |an+ p | < ε ∀ p = 1, 2, 3 . . .

81


Si ahora combinamos esta desigualdad con la desigualdad triangular obtenemos que

|an+1 + . . . + an+ p | ≤ |an+1| + . . . + |an+ p | < ε ∀ p = 1, 2, 3 . . .



De esta expresión se concluye que la serie an también verifica la condición de Cauchy y por lo tanto es convergente. Es importante tener en cuenta que el inverso de este teorema es falso, como demuestra el ejemplo de ∞ ( 1)n+1 la serie . Se trata de una serie alternada convergente por aplicación del teorema 80 que, sin n n=1 embargo, no es absolutamente convergente (serie armónica).

−

5.6.

Criterios de convergencia para series de t´ erminos positivos.

Hemos indicado anteriormente que la forma gen´ erica de calcular la suma de una serie ser´ıa intentar encontrar una fórmula en funci´ on de n para el término general de la sucesión de sumas parciales y calcular su l´ımite n . Sin embargo, eso sólo es posible en algunos casos particulares, como los de las series telesc´ opicas y las series geom´ etricas. Otras series que se pueden calcular anal´ıticamente son aquellas que se pueden relacionar con el desarrollo en serie de Taylor de funciones conocidas (seno, coseno, función exponencial...) evaluadas en puntos concretos (veremos algunos ejemplos en los problemas de este tema). Por lo tanto, a la hora de intentar calcular la suma de una serie, lo normal es tener que utilizar algún método numérico. El más simple ser´ıa, directamente, programar las sumas finitas de la serie mediante un bucle en un ordenador, y ver si incluyendo cada vez más t´ erminos en esas sumas finitas el resultado converge a algún valor. Ello requerir´ıa ir tanteando diferentes l´ımites superiores de esas sumas finitas y, aunque se obtuviesen resultados parecidos, ello no querr´ıa decir que la serie es convergente: Siempre podr´ıa suceder que esas sumas finitas cambien muy ligeramente con n, de tal modo que ese aumento nos resulte inapreciable y concluyamos que la serie es convergente cuando no lo es. Por esa razón, y tambi´ en para saber si nos merece la pena implementar en el ordenador un método para sumar una serie, es conveniente tener criterios que nos permitan discernir a priori si la serie es convergente o no. A continación introduciremos algunos criterios de convergencia que se aplican exclusivamente a series de términos positivos. Lógicamente, tambi´ en se pueden aplicar para estudiar la convergencia absoluta de series alternadas que, como acabamos de ver, implica la convergencia de la serie original.

→ ∞

 

Teorema 82 (criterio de comparaci´ on). Sean ak y bk dos series de t´ erminos positivos tales que existen dos constantes positivas, c y N , verificando a k < cbk para todo k N . Entonces la convergencia de bk implica la de ak .





Demostraci´ on: Seg´ un el teorema 73 la serie n

{

parciales tn = n

 {

sucesi´ on c

k =1



k =1

}



≥

bk es convergente s´ı y sólo s´ı su sucesión de sumas

bk está acotada superiormente. Llamemos B a esa cota superior. Es evidente que la

bk está acotada por c B. Entonces, como a partir de un cierto N se verifica que ak

}

n

la sucesión de sumas parciales sn =

{

sucede s´ı y sólo s´ı

≤ c · bk

×





N

ak también está acotada a partir de N por c

}

k=1

ak es convergente.

×B +





ak . Esto

k =1

 

Teorema 83 (criterio de comparaci´ on por paso al l´ımite). Sean ak y bk dos series de t´ erminos ak positivos tales que l´ım = 1 Entonces ak converge si, y s´ olo si, bk converge. k→∞ bk



Demostraci´ on: Dado que la sucesión ak /bk tiende a 1 cuando k , aplicando la definici´ on de + l´ımite podemos afirmar que ε > 0 existe un N Z tal que para todo k N se cumple ak /bk 1 < ε. En particular, considerando ε = 1/2, a partir de ese N se cumple 1/2 < ak /bk < 3/2. Si 1/2 < ak /bk , entonces se verifica bk < 2ak , de modo que aplicando el criterio anterior con c = 2 podemos afirmar que si ak converge entonces bk también lo hace. Análogamente, la otra parte de la desigualdad nos dice que a k /bk < 3/2, esto es, que a k < 3/2bk . Aplicamos nuevamente el criterio de comparación con c = 3/2 y deducimos que si bk converge entonces ak también. 

∀







{

} ∈



→ ∞ ≥

|

−|

82


Obsérvese que este teorema 83 también se verifica si l´ımk→∞ ak /bk = c = 0. Bastar´ıa con redefinir la serie bk como bk con bk = cb k y ya estar´ıamos en las condiciones del enunciado del teorema. Si l´ımk→∞ ak /bk = 0, sólo se puede afirmar que la convergencia de bk implica la convergencia de ak , pero no viceversa. En efecto, por ser ese l´ımite cero podemos afirmar que ε > 0 existe un N tal que ak /bk < ε para todo k > N . Considerando en particular ε = 1, tendr´ıamos que a k < bk para todo k > N , y por el criterio de comparación (teorema 82) deducimos la convergencia de ak si bk converge. Como contraejemplo de que la implicación inversa no es cierta consideremos a k = 1/k 2 y bk = 1/k:











∀

 

ak 1/k 2 k = l´ım = l´ım 2 = 0 k→∞ bk k→∞ 1/k k→∞ k l´ım

La serie



ak converge (lo vemos en los ejemplos que siguen al próximo teorema), pero la



bk no.

Teorema 84 (criterio de la integral). Sea f una funci´ on positiva decreciente definida para todo n´ umero real x 1 tal que l´ım f (x) = 0. Para todo n 1 definimos la siguientes sucesiones de sumas parciales

≥

≥

x→+∞

n



{sn =

n

}

f (k)

k=1

{ }



{tn =

y

}

f (x) dx

1

{ }

Entonces sn converge si y s´ olo si tn converge. Esto nos permite estudiar la convergencia de una serie de t´ erminos positivos ak sin m´ as que aplicar este teorema identificando el t´ ermino general de la serie con la funci´ on f , esto es, tomando f (k) = a k . Para que la serie sea convergente tiene que, en primer lugar, cumplir la condici´ on necesaria de la convergencia, l´ım ak = 0. Si esto se verifica, como f (k) = ak , se verifica la hip´ otesis del teorema



k→+∞

de que f es decreciente y tal que l´ım f (x) = 0. Por otra parte, con la identificaci´ on f (k) = ak la x→+∞

n{ }

sucesi´ on sn del teorema no es otra cosa que la sucesi´ on de sumas parciales de la serie

{sn =



n



f (k) =

k=1

k=1

}

ak . La serie





ak , pues

ak ser´ a convergente, por definici´ on, si su sucesi´ on de sumas

parciales sn tambi´ en lo es. Lo que nos dice el teorema es que sn ser´ a convergente si y solo si la sucesi´ on tn converge y ello sucede si y solo si existe el l´ımite:

{ } { }

{ }



n

{ }

l´ım tn = l´ım

n→∞

En cuyo caso



n→∞



n

f (x) dx = l´ım

n→∞

1

ax dx

1

ak ser´ a convergente.



n

Demostraci´ on: Como es bien conocido 1 f (x) dx no es otra cosa que el area que queda por debajo de la curva f (x) entre 1 y n. Ese área se puede aproximar mediante una suma de rectángulos escalonados, tal y como se muestra en la siguiente figura. Nótese que en ambas gráficas la base de los rectángulos siempre tiene longitud 1, de modo que su área coincide con su altura f (k). Si nos queremos aproximar a la integral por debajo de la curva (gráfica izquierda) sumar´ıamos las areas de los rectángulos desde k = 2 hasta k = n. Si lo hacemos por arriba (gráfica derecha) sumar´ıamos las áreas de los rectángulos desde k = 1 hasta k = n 1. De esta figura se deduce, por lo tanto, lo siguiente:

−

n



k=2 n





n 1

 ≤

n−1

n

f (k)

1

f (x) dx

≤



f (k)

k=1

− f (1) ≤ tn ≤ sn−1. Las condiciones del teorema (f (x) positiva) garantizan que las sucesiones {sn } y { tn } son mon´ otonas Como s n =

f (k) y tn =

k =1

f (x) dx, esta desigualdad se puede escribir como s n

crecientes, mientras que esta desigualdad lo que nos indica que o bien ambas están acotadas superiormente, o bien no lo están. Aplicando nuevamente el resultado visto en uno de los problemas del tema 3 deducimos entonces que o ambas sucesiones convergen o ambas divergen. Como sn es la sucesión de sumas parciales de an , esto implica que esta serie es convergente si y sólo si tn es convergente, esto es, si existe



{ }

n

l´ım tn = l´ım

n→∞



{ } { }

n→∞

1

f (x) dx.



83


Ejemplos: ∞

(a) Consideremos



k=1

 ⇒

n

p = 1 =



1

1 con p > 0. k p

1 dx = x p

1 x− p+1 p + 1

−

 ⇒

n

p = 1 =

1



n

1

1 = n− p+1 p + 1



−

1 dx = log(x) n1 = log(n) p x



|

n

Observamos que sólo existe el l´ım

−1



=

1 p

−1

−  1

1

n p−1

− log(1) = log(n)

1

para p > 1, y concluimos que la serie p 1 mencionada sólo converge en ese caso. Nótese que para p = 1 tendr´ıamos la serie armónica, que ya hemos visto que es divergente. Para 0 < p < 1 la serie también diverge. n→∞

f (x) dx =

− p+1

1

−



(b) La convergencia que acabamos de demostrar para las series 1/k p con p > 1 es muy u ´til si se combina con el criterio de comparación por paso al l´ımite (teorema 83). Seg´ un este teorema, sabemos que dos series ak y bk tienen las mismas caracter´ısticas (es decir, son ambas convergentes o divergentes) si existe l´ım k→∞ ak /bk = c = 0. Ahora bien, si tengo que estudiar la convergencia de ak ¿Con qué bk , de la cual conozco si es convergente o divergente, la p comparo? Las series del tipo 1/k , ahora que sabemos cuando son convergentes y cuando no, son una buena opción.

    





Supongamos entonces que tenemos una serie ak a la que aplicamos el teorema 83 utilizando p bk = 1/k y al calcular el l´ımite de a k /bk = k p ak obtenemos que k p ak c, con c = 0. Sabemos que c/k p es convergente para p > 1 y divergente para p 1, luego aplicando ese criterio de comparación por paso al l´ımite deducimos que ak converge si p > 1 y diverge si p 1. En el caso especial de que sea c = 0 aplicamos el criterio de comparación (teorema 82) y deducimos que si k p ak 0 con p > 1 entonces la serie ak converge (nótese que ese l´ımite implica que a partir de un cierto k los ak tienen que ser menores que 1/k p y la serie 1/k p es convergente), pero en caso contrario no podemos deducir asegurar que la serie no converja, porque el teorema 82 no garantiza una doble implicación. Este resultado recibe a menudo el nombre de criterio de Pringsheim .

   ≤

{



}→



{ ≤

}→







Teorema 85 (criterio del cociente, ´ o de D’Alembert). Sea ak una serie de t´ erminos positivos tal que an+1 /an c. Entonces si c < 1 la serie es convergente, y si c > 1 es divergente. Si c = 1 este criterio no decide.

{

}→

Demostraci´ on: Si la sucesión an+1 /an c, eso quiere decir que ε > 0 existe un N Z + para el que se verifica que an+1 /an c < ε si n > N . Como nos estamos restringiendo a series de terminos positivos (por lo tanto a n > 0), esta condición se puede escribir como c ε < an+1 /an < c + ε. Supongamos en primer lugar el caso c < 1. Como ε es tan pequeño como uno quiera, la desigualdad an+1 /an < c + ε nos dice que si tomamos un x que verifique c < x < 1 siempre es posible encontrar un N tal que a n+1 /an < x para todo n N , es decir

|

{ − |

}→

∀ −

≥

an+1 < an , x

por tanto dividiendo por x n ,

an+1 an < xn+1 xn

∈

84


Vemos entonces que la sucesión an /xn es decreciente para n aN /xN , o´ lo que es lo mismo,

{

an

≤ d xn,

}

donde

d =

aN xN

≥ N . Por lo tanto se cumple que an/xn ≤ es una constante



Esta es la hipótesis del criterio de comparación (teorema 82) que nos dice que an es convergente si n n x también lo es. Y en este caso x s´ı es convergente, pues es una progresión geométrica de razón x < 1. Supongamos ahora que c > 1. Para este caso tomamos la desigualdad c ε < an+1 /an que, como ε se hace tan pequeño como uno quiera, podemos transformar en c an+1 /an o´, equivalentemente, en c an a n+1 . Como c > 1, entonces a n < c an a n+1 . Es decir, a partir de un cierto N , a n+1 > an para todo n N , de modo que la sucesión an es creciente a partir de N . Como además los a n son positivos, an no puede tender a cero, que es una condición necesaria para que an converja. En el caso de que c = 1 este criterio no decide. Sirva como ejemplo que la serie armónica está en ese supuesto y no converge, mientras que la serie 1/n2 también está en este supuesto pero s´ı converge. 





≤ ≥ { }

{ }

−

≤

≤







Teorema 86 (criterio de la ra´ız, o´ de Cauchy–Hadamard). Sea ak una serie de t´ erminos positivos n tal que an c. Entonces si c < 1 la serie es convergente, y si c > 1 es divergente. Si c = 1 este criterio no decide.

{ √ } →

{ √ } → √ | − |

Demostraci´ on: Si n an c, esto por la definición de l´ımite quiere decir que ε > 0 existe un + N Z para el que se verifica que n an c < ε ó, equivalentemente, que c ε < n an < c + ε si n > N . Supongamos que c < 1. Tomando la segunda desigualdad, como ε es tan peque˜ no como se quiera, 1/n para cualquier x que verifique c < x < 1 siempre es posible encontrar un N tal que an < x para todo n N . Esto equivale a decir que an x n , ha de satisfacerse para todo n N . Esta es, nuevamente, la hip´ otesis del criterio de comparación (teorema 82) que nos dice que an es convergente si xn también lo es. Y en este caso xn s´ı es convergente, pues es una progresión geométrica de razón x < 1. Supongamos ahora que c > 1. La primera desigualdad de la condici´ on de l´ımite nos dice que c ε < n a n a a partir de un cierto y ε es tan peque˜ n o como uno quiera. Por tanto se puede afirmar que c n n n n N . Como c > 1, entonces 1 < an o´, elevando a la potencia n-ésima, 1 = 1 < an a partir de un cierto N . Por lo tanto an no puede tender a cero, condición necesaria para la convergencia. En el caso de que c = 1 podemos usar los mismos ejemplos que en el teorema anterior para ilustrar que este criterio no decide. 

∈

≥

−

≤



√



√

√ ∀

≥

≤ √



−

{ }



Teorema 87 (criterio de Raabe–Duhamel). Sea erminos positivos y sea ak una serie de t´ an l´ım n 1 = c. Entonces la serie converge si c > 1 y diverge si c < 1. Si c = 1 el criten→∞ an+1 rio no decide.



5.7.

 −

Criterios de convergencia de Dirichlet y de Abel.

Los criterios de convergencia formulados en la sección anterior, como se indica en el t´ıtulo de la misma, se aplican exclusivamente a series de términos positivos o, como también hemos comentado, para estudiar la convergencia absoluta (que según el teorema 81 implica la convergencia) de las series alternadas. No obstante, tambi´ en hemos visto que una serie alternada puede ser convergente y no ser absolutamente convergente. En ese caso es necesario utilizar el criterio de Leibniz (teorema 80, que es exclusivo de las series alternadas y que nos dice que la condición necesaria para la convergencia de cualquier serie, para una serie alternada es tambi´ en suficiente) o criterios de convergencia que no dependan del signo del término general de la serie y que se puedan aplicar tanto a series positivas como alternadas. Dos de ellos son los criterios de Dirichlet y de Abel, que se basan en la fórmula de sumación parcial de Abel que introducimos a continuación.

85


Teorema 88 (f´ ormula de sumaci´ on parcial de Abel). Sean an n

reales y sea An =

{



k=1

se verifica

{ } y { bn} dos sucesiones de n´ umeros ak } la sucesi´ on de sumas parciales de la serie an generada por {an }. Entonces



n



n

ak bk = An bn+1 +

k =1

Si aplicamos n mente la serie



Ak (bk

− bk+1)

k=1

→ ∞ en esta expresi´ on se obtiene que la serie Ak (bk − bk+1 ) y la sucesi´ on {An bn+1 }.





ak bk converge si convergen simult´ anea-

− Ak−1 para todo k, por lo tanto

Demostraci´ on: Definiendo A 0 = 0 tenemos a k = A k n



n

ak bk =

k =1



n

(Ak

− Ak−1)bk =

k=1



n

 − −  

Ak bk

k =1

Ak−1 bk

k =1



Si en el segundo sumatorio realizamos ahora el cambio de ´ındice k 1 = j obtenemos nk=1 Ak−1 bk = n−1 n−1 n−1 j =0 Aj bj +1 . Ahora bien, como A0 = 0 entonces j =0 Aj bj +1 = j =1 Aj bj +1 . Realizamos un nuevo 1 n−1 cambio de ´ındice j = k y trivialmente podemos escribir j =1 Aj bj +1 = n− k=1 A k bk+1 . Finalmente, a esta n 1 serie le sumamos y restamos An bn+1 y obtenemos n− on k=1 A k bk+1 = k=1 Ak bk+1 An bn+1 . La conclusi´ n n de todo este razonamiento es que k=1 Ak−1 bk = k=1 Ak bk+1 An bn+1 y, por consiguiente



n



     −  −   −   n

ak bk =

k =1

−

−

n

Ak bk

Ak bk+1

k=1

An bn+1

=

k =1

n

=

n

Ak bk

k=1

n

Ak bk+1 + An bn+1 = A n bn+1 +

k=1



− bk+1).

Ak (bk

k=1



Teorema 89 (criterio de Dirichlet). Sea an una serie cuyas sumas parciales forman una sucesi´ on acotada. Sea bn una sucesi´ on decreciente que converge a cero. Entonces la serie an bn converge.



{ }

Demostraci´ on: Vamos a aplicar la fórmula de sumación parcial de Abel que hemos introducido en el teorema anterior, y que hemos visto nos dice que an bn converge si convergen simultáneamente la serie Ak (bk bk+1 ) y la sucesión An bn+1 , en donde A n es la suma parcial n-ésima de la serie an . n Sea entonces An = k=1 ak la sucesión de sumas parciales de la serie an . Como está acotada, sabemos que existe un M > 0 tal que An M para todo n. Como por hipótesis bn una sucesión decreciente que converge a cero deducimos inmediatamente que An bn+1 es convergente (y además converge a cero), pues es el producto de una sucesión acotada por otra que converge a cero. Por lo tanto, para establecer la convergencia de an bn sólo nos queda demostrar que la serie Ak (bk b k+1 ) converge. Para ello, basta darse cuenta, en primer lugar de que (bk b k+1 ), es una serie telescópica generada por una sucesión bn que es convergente (a cero). Por lo tanto, según el teorema 76, (bk bk+1 ) es convergente. Por otra parte, Ak (bk bk+1 ) M (bk bk+1 ) por ser M > Ak . Adem´ as, como bn es decreciente, (bk b k+1 ) 0, de modo que podemos afirmar que Ak (bk b k+1 ) M (bk b k+1 ). Aplicando el criterio de comparación (teorema 82) deducimos que la serie Ak (bk bk+1 ) también converge (absolutamente). 



−

 |



{

{

}

} | | ≤

−

| | −





−

|≤ −

−



{

{ } −

{ }

}





| ≥

−

 

|≤|

{ }





−

−

|

Teorema 90 (criterio de Abel). Sea an una serie convergente y sea bn una sucesi´ on mon´ otona convergente. Entonces la serie an bn converge.

{ }

Demostraci´ on: La demostración se hace también a partir de la fórmula de sumación parcial de Abel, de modo que, utilizando la misma notación que en el teorema anterior, para demostrar que an bn converge tenemos que demostrar que convergen simultáneamente la serie Ak (bk bk+1 ) y la sucesión An bn+1 . La convergencia de an implica la convergencia de su sucesión de sumas parciales An , y por lo tanto la de la sucesión An bn+1 , pues por hipótesis del teorema bn es convergente. Para demostrar que la serie Ak (bk bk+1 ) es convergente, sólo es necesario darse cuenta que al ser An una sucesión convergente, también está acotada. El resto de la demostración es análoga a la del criterio de Dirichlet.



{

{ }

}



−

{ }

−



{ { }

}

86


Ejemplo: ∞

sen(kx) . El criterio de Dirichlet nos permite asegurar que k k=1 converge. Para verlo, siguiendo la notación del teorema 89, identificamos la sucesión decreciente que converge a cero con bk = 1/k , y la serie cuyas sumas parciales forman una sucesión acotada con ak = sen(kx). Esta serie está acotada porque2 :



Consideremos la serie

 { } { }       −  −   × ×   −     −     − −      −       n

k=1

1 sen(kx) = 2sen(x/2) =

cos

=

5.8.

x 2

1 2sen(x/2) cos

3x 2

n

x sen(kx) = 2

2sen

k =1

n

cos

2k

2

k=1

+ cos

1 x cos 2sen(x/2) 2

1

x

cos

3x 2

cos

5x 2

cos

2n + 1 x 2

2k + 1 x 2

1 2 sen(x/2)

2n + 1 x 2 1 n n+1 = sen x sen x 2sen(x/2) 2 2 + cos

5x 2

=

...

cos

=

Reordenaci´ on de series.

Es evidente que el orden de los términos en una suma finita puede alterarse sin que por ello cambie el resultado final (propiedad conmutativa). Sin embargo, en 1833 Cauchy hizo el sorprendente descubrimiento de que esto no siempre es cierto para las series (sumas infinitas). La siguiente serie armónica alternada converge a log(2), como demostraremos en un ejercicio: ∞

( 1)(k+1) =1 k

−

k =1

− 12 + 13 − 41 + . . . = log(2)

Si ahora reordenamos los términos de esta serie tomando alternativamente dos términos positivos, seguidos de uno negativo, obtenemos una nueva serie cuya suma es (3/2) log(2), como también demostraremos en un ejercicio: 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1+ + + + + + . . . = log(2) 3 2 5 7 4 9 11 6 2 Esto, aunque sorprendente, demuestra que la reordenación de los t´ erminos de una serie convergente puede alterar su suma. Además, es relativamente sencillo de entender si se tiene en cuenta que la suma de una serie infinita es el l´ımite de una sucesión de sumas parciales. Pensando en esto, supongamos que tenemos una baraja espa˜ nola, retiramos las figuras y nos quedamos sólo con las cartas de 1 a 7. La suma de los valores de todas las cartas no cambia si las barajamos, pero s´ı que pueden cambiar al barajar las sumas parciales del las tres, cinco, catorce . . . primeras cartas. A continución enunciaremos un teorema que nos dice que la reordenación de una serie puede alterar su suma si es alternada y condicionalmente convergente. Es decir, la reordenación de los términos de una serie absolutamente convergente no altera su suma. Conviene, en todo caso, dar primero una definición formal de lo que se entiende por reordenación de una serie antes de enunciar dicho teorema

−

−

−

Definici´ o n 74 Sea f una funci´ on biyectiva (uno a uno) con dominio y recorrido los enteros positivos, + + . Sean : y Z f Z an bn dos series tales que bn = af (n) para todo n Z + . Entonces se dice que bn es una serie reordenada de an .



−→

 

  

∈

Obsérvese que an es también una serie reordenada de escribir a n = b f 1 (n) −



bn porque, por ser f biyectiva, podemos

Teorema 91 Sea an una serie absolutamente convergente de suma s. Entonces cada serie reordenada de an es también absolutamente convergente y su suma es también s.



 |





Demostraci´ on parcial: Sea bn una reordenada de an , es decir, b n = a f (n) . Como an es absolutamente convergente, sabemos que an converge, lo cual a su vez implica que la sucesión de sus sumas 2 Recu´ erdese

|

la identidad trigonom´ etrica 2 sen α sen β = cos(α − β ) − cos(α + β ).

87


| |

parciales está acotada. Entonces la sucesión de sumas paraciales de la serie bn también lo estará y, adem´ as, como sus términos son todos positivos, esa sucesi´ on de sumas parciales será siempre monótona creciente. Aplicando el teorema 73 deducimos que bn converge y por lo lo tanto bn converge absolutamente. Falta demostrar que bn tiene la misma suma que an . Aunque no es complicada no daremos la demostración aqu´ı (véase, por ejemplo, Calculus I, pag. 503, de Apostol). Como hemos indicado en la introducción de esta sección, la hip´ otesis de convergencia absoluta es esencial en el teorema anterior. De hecho, Riemann descubrió que una serie de t´ erminos reales condicionalmente convergente puede reordenarse de modo que no sólo se puede alterar su suma, sino que incluso se puede encontrar una reordenación que converja hacia cualquier número real que se desee. Este sorprendente hecho es una consecuencia del siguiente teorema.

| | 







Teorema 92 Sea an una serie condicionalmente convergente de términos reales, y sea S un n´ umero real dado. Entonces existe una reordenaci´ on bn de an que converge hacia la suma S .

 

Puede verse la demostración en la página 504 de Calculus I, de Apostol. La idea subyacente es que a partir de una serie condicionalmente convergente pueden construirse dos series, una de términos positivos y otra de términos negativos, ninguna de las dos convergente. Uno puede entonces hacer una reordenación tomando términos positivos y negativos de modo que se anulen parcialmente unos a otros hasta acercarse arbitrariamente a cualquier número real prefijado. Esto es posible porque tenemos a nuestra disposición una infinidad de t´ erminos positivos de suma divergente, junto con otra infinidad de t´ erminos negativos de suma también divergente.

5.9.

Series parciales.

Definici´ o n 75 Sea f una funci´ on biyectiva cuyo dominio es Z+ y cuyo recorrido es un subconjunto + infinito de Z . Sean an y bn dos series tales que bn = af (n) para todo n Z + . Entonces bn se llama serie parcial de an

 



∈

Obsérvese que la diferencia entre una serie parcial y una reordenada es que en esta última están todos lo términos de la serie original, pero en la serie parcial no, por ser el recorrido de f s´ olo un subconjunto + + de Z , no todo Z .



Teorema 93 Si an converge absolutamente, cada serie parcial te, y adem´ as se cumple

 



bn también converge absolutamen-

   ≤ | |≤ | |         ≤ | | | |≤ | ∞ | | ≤| | ∞ ∞

∞

∞

bn

bn

n=1

n=1

an

n=1

Demostraci´ on: Dado n, sea N el mayor entero del conjunto f (1), f (2), . . . , f ( n), donde f es la función biyectiva que define a bn como suma parcial de an . Entonces se verifica n

n

n

bk

bk =

k=1

Haciendo ahora tender n a

k =1

N

af (k)

3

k=1

(que también implica que N tiende a ∞

del teorema. Además, la desigualdad

∞

bk

k=1

ak

|

) tenemos demostrada la desigualdad

ak implica la convergencia absoluta de

k =1

k=1

que aplicar el criterio de comparación teniendo en cuenta que, por hipótesis,

5.10.





bn , sin más

an converge absolutamente.

Serie de Taylor generada por una funci´ on.

La f´ ormula de Taylor (teorema 67) permite construir series que proporcionan el valor de una función en un punto. Dicho teorema nos dice que si f es derivable hasta orden n en c, entonces se verifica para 3 entender esta desigualdad, supongamos que la suma parcial de |bk | fuese de ´ındice 3, k=1 |bk | = |b1 | + |b2 | + |b3 | = |af (1) | + | af (2) | + | af (3) |. Imaginemos que f (1) = 3, f (2) = 8, f (3) = 5. Tendr´ıamos N = 8. Es evidente que 3 8 k=1 |bk | = | a3 | + |a8 | + |a5 | es menor o igual que k=1 |ak | 3 Para

P

P

P

88


todo x del dominio de la función que: n−1

f (x) = f (c) +



k =1

f (k) (c) (x k!

−

f (n) (x1 ) c) + (x n! k

− c)n

Siendo x 1 un punto interior del intervalo abierto que une x con c (es decir, del intervalo (x, c) ó del (c, x), dependiendo de que x sea menor ó mayor que c, respectivamente). Si denotamos por n−1

S n =



k =0

f (k) (c) (x k!

− c)k

y

Rn =

f (n) (x1 ) (x n!

f (0) (c) = f (c)

− c)n,

podemos escribir f (x) = S n + Rn , e interpretar la cantidad Rn (resto) como la diferencia entre la suma parcial n-ésima, S n , y el valor de la función, f (x). La suma finita S n es el polinomio de Taylor de grado n 1 generado por f en c. Si exigimos que la función f sea infinitamente derivable, es decir, que tenga derivadas de todos los órdenes, podemos hacer tender n a infinito en la expresión de S n y obtenemos la denominada serie de Taylor generada por la función f en el punto c:

−

∞



k=0

f (k) (c) (x k!

− c)k

Es importante resaltar que, en general, la serie de Taylor de una función no siempre converge y, cuando lo hace, puede que no converja necesariamente al valor de la función f (x). De hecho, La expresión f (x) = S n + Rn nos dice que S n convergerá a f (x) si y sólo si el término de resto ó error, Rn , tiende a cero cuando n tiene a infinito. El siguiente teorema da una condición suficiente para la convergencia de una serie de Taylor. Teorema 94 Si f es infinitamente derivable en un intervalo abierto I = (c constante positiva A tal que f (n) (x) A n , n Z+ , x I

|

|≤

∀ ∈

− r, c + r), y si existe una

∀ ∈

∈

entonces la serie de Taylor generada por f en c converge hacia f (x) para cada x I .

∈ I tenemos |f (n)(x1)| |x − c|n ≤ An |x − c|n = Bn 0 ≤ |Rn (x)| =

Demostraci´ on : Para todo x 1

n!

n!

n!

donde B n = An x c n . Ahora bien, para todo B el cociente B n /n! tiende a cero cuando n (n! crece más rápido que cualquier constante elevada a n, como se ha visto en los ejercicios del Tema 3), por lo tanto R n tiende a cero y el teorema queda probado.  Ejemplos :

| −|

→ ∞

(a) Tomemos f (x) = e x y c = 0. Es infinitamente derivable, f (n) (x) = e x . Entonces, n−1

S n =



k=0

f (k) (c) (x k!

n−1 k

− c)

=



k=0

1 k x k!

y

ex1 n Rn = x , x1 n!

∈ (−|x|, |x|)

Para cualquier x R se verifica l´ım n→∞ xn /n! = 0, por lo tanto l´ımn→∞ Rn = 0 para todo x y podemos escribir ∞ 1 k x e = x k!

∈



k =0

Este resultado es útil para calcular anal´ıticamente series numéricas que podamos relacionar ∞ 1 con esta serie. Como ejemplos sencillos, es evidente que k =0 k ! = e tomando x = 1, o que



∞ (−1)k k=0 k !



= 1e tomado x = 1. En el bolet´ın veremos más ejemplos de series que se pueden evaluar relacionándolas con la serie de Taylor de esta función o de otras funciones conocidas.

−

(b) Veamos ahora el caso de una función que no tiene desarrollo de Taylor válido en todo R . Sea f (x) = log(x) y tomemos c = 1. f  (x) =

1 , x

f (2) (x) =

− x12 ,

f (3) (x) =

2 , x3

f (4) (x) = ( 1)3

−

3! , x4


La k-ésima derivada es n−1

S n =

( 1)k−1 (k k!

− k=1

f (k) (x) = ( 1)k−1

−

(k

− 1)! ,

89

por lo tanto

xk

− 1)! (x − 1)k = n−1 (−1)k−1 (x − 1)k



k=1

k

(empezamos en k = 1 porque f (0) (1) = f (1) = log (1) = 0). El resto n-ésimo es f (n) (x1 ) Rn = (x n!

n−1

− c)n = (−1)

(n n!

− 1)! (x − 1)n = (−1)n−1 (x − 1)n xn1

xn1

n

estando x 1 en el intervalo (1, x) si x > 1 o´ en el (x, 1) si x < 1. Haciendo el cambio de variable y = (x 1)/x1 , escribimos

−

Rn =

( 1)n−1 (x 1)n ( 1)n−1 n = y n xn1 n

−

−

−

Calculamos ahora l´ım Rn = l´ım y n /n. Aplicando la regla de L’Hopital obtenemos l´ım Rn =

| | n→∞ | | | | n→∞ | | |y|, que será 0 si, y sólo si, |y| < 1. Como y = (x − 1)/x1 tiene que l´ım (|y |n ) = n→∞ ocurrir entonces que |x − 1|/|x1 | < 1. Si x > 1, tenemos que x − 1 > 0. Además, x1 ∈ (1, x), de modo que x1 > 1. Por lo tanto |x − 1|/|x1| < 1 ⇐⇒ (x − 1)/x1 < 1. Ello quiere decir que (x − 1) < x1. Como x1 ∈ (1, x) el ´ınfimo de los valores que puede tomar x 1 es 1 y tendrá que darse necesariamente que x − 1 < 1, n→∞ l´ım y n log n→∞

esto es, x < 2.

Si x < 1, tenemos que x 1 < 0. Por lo tanto se verificará que x 1 / x1 < 1 (1 x)/ x1 < 1. Ello quiere decir que (1 x) < x1 , o lo que es lo mismo, x1 < (1 x) < x1 . Tomando la segunda desigualdad y teniendo en cuenta que x1 (x, 1) y que por lo tanto el supremo de los valores de x1 es 1, tiene que darse necesariamente 1 x < 1. Entonces x < 0 o, equivalentemente, x > 0.

−

−

| |

| − | | | ⇐⇒ − | | − − − −

∈

∈

Deducimos entonces que si x (0, 2) el resto tiende a cero y la serie de Taylor converge a la propia funci´ on que la genera. Nos falta estudiar los puntos x = 0 y x = 2. Si ponemos n−1 1 x = 0, la suma parcial n-ésima de la serie de Taylor se convierte en S n = k =1 k , que evidentemente al aplicar el l´ımite n se convierte en la serie armónica y no converge (como es lógico, pues como sabemos no existe el logaritmo de cero). Si ponemos x = 2, tendremos 1 (−1)k 1 S n = n− , que al aplicar el l´ımite n sabemos que es convergente, pues es una k=1 k serie alternada con término general decreciente que tiende a cero (criterio de Leibnitz). En uno de los ejercicios propuestos en el bolet´ın, se demostrar´ a que, además, converge al logaritmo de 2. La serie de Taylor de log(x) converge, por tanto, para todo x (0, 2].

−

→ ∞



−



→ ∞

∈

(c) Sea f (x) = e 1/x en [a, b] = [ 1, 0] y c = 0. Nótese que por la izquierda de 0 esta función es continua si la definimos en 0 de forma apropiada y además admite derivadas laterales de cualquier orden.

−

En efecto, tomando f (0) = 0 garantizamos la continuidad de la función en 0, pues tenemos l´ımx→0 e1/x e −∞ = 0. −

−→

Adem´ as, también es derivable en x = 0, y esa derivada es continua si definimos f  (0) = 0. Para verlo, basta con calcular la derivada, que es f  (x) = x12 e1/x y calcular su l´ımite cuando x 0 − del siguiente modo

−

→

2

l´ım

x→0

−

y − x12 e1/x = y→−∞ l´ım −y 2 ey = l´ım y 2 e−y = l´ım y = 0 y→∞ y→∞ e

El u ´ltimo l´ımite se calcula muy fácilmente aplicando la regla de L’Hopital dos veces. Se puede comprobar fácilmente que este l´ımite también es 0 para cualquier derivada de orden n (el l´ımite se calcula de forma an´ aloga, aplicando L’Hopital n + 1 veces), que podremos hacer continua sin más que definir f (n) (0) = 0. Esto implica que al calcular f (x) usando la f´ ormula de Taylor alrededor de c = 0 tendremos n−1

f (x) = S n + Rn ,

con

S n =



k=0

f (k) (c) (x k!

− c)k = 0,

y

Rn =

f (n) (x1 ) n x n!

90


Esto significa que el resto se lleva todo el valor de la función y que, por lo tanto, no es posible construir una serie de Taylor que coincida con la función entorno a c = 0. Otro ejemplo de desarrollo en serie de Taylor en c = 0 en el que todo el valor de la función se lo lleva el resto 2 ser´ıa f (x) = e −1/x en [a, b] = [ 1, 1].

−

5.11.

Sucesiones de funciones.

En la siguiente sección estudiaremos series cuyos t´ erminos no son números, sin´ o funciones reales de variable real, esto es, series del tipo f n (x). Sin embargo, tal y como hemos visto para las series numéricas, el estudio de una serie está directamente relacionado con el de su sucesión de sumas parciales. Por lo tanto, antes de abordar el estudio de las series funcionales f n (x), es necesario conocer las propiedades de las sucesiones de funciones f n (x) . Los terminos de estas sucesiones no son otra cosa que los valores numéricos que las funciones f n toman cuando se evalúan en el punto x. Por lo tanto sus propiedades están relacionadas con las propiedades de las sucesiones num´ ericas que hemos visto en el Tema 3.



{



}

Definici´ o n 76 (Funci´ on l´ımite de una sucesi´ on de funciones) Sea f n , n Z+ , una sucesi´ on de funciones reales con el mismo dominio. Sea S el conjunto formado por los x R tales que la sucesi´ on f n (x) es convergente. A la funci´ on definida por

{ } ∈ ∈

f (x) = l´ım f n (x), n→∞

{

si x

{

}

∈ S

}

se le llama l´ımite de la sucesi´ on de funciones f n (x) . Se dice, adem´ as, que tal sucesi´ on converge puntualmente a f en el conjunto S . Una cuestión fundamental que se debe de tener en cuenta es que las propiedades de las funciones que forman la sucesión f n (x) no siempre se trasladan a su función l´ımite. Es decir, el la funci´ on l´ımite de una sucesión de funciones continuas, derivables o integrables, no es necesariamente una función continua, derivable o integrable. Y en el caso de que la función l´ımite f (x) sea derivable o integrable, su derivada o integral no coincide necesariamente con el l´ımite de las derivadas o integrales de la sucesión f n (x) . En resumen, lo que estamos diciendo es que el l´ımite n que se aplica a f n (x) para calcular su funci´ on l´ımite f (x) no siempre conmuta con la derivación, con la integración o con el l´ımite x c que se realiza para estudiar la continuidad en un punto c. Esto es, en general

{

}

{ } → ∞

{

}

{ →

l´ım f (x) := l´ım [ l´ım f n (x)] = l´ım [ l´ım f n (x)] = l´ım f n (c)

x→c

 n→∞ x→c f  (x) := [ l´ım f n (x)] = l´ım f n (x)  n→∞ n→∞

x→c n→∞





 n→∞

f (x)dx := [ l´ım f n (x)]dx = l´ım n→∞

Este hecho se puede ilustrar mediante algunos ejemplos:

n→∞



f n (x)dx

(a) La siguiente es una sucesión de funciones continuas cuyo l´ımite es una función discontinua en x = 1.

±

f n (x) =

x2n 1 + x2n

1 = , 1 + x12n

l´ım f n (x) = f (x) =

n→∞

 

| | | | | |

0 si x < 1, 1/2 si x = 1, 1 si x > 1.

}

91


sen(nx) es una sucesión n de funciones derivables. Su funci´ on l´ımite, l´ım f n (x) = 0 x, es trivialmente n→∞ derivable. Sin embargo, la sucesió n de derivadas, f n (x) = n cos(nx), no tiene funci´ on l´ımite pues l´ım f n (x) es di-

√

(b) f n (x) =

∀ √

n→∞

vergente salvo cuando x = (2k + 1)π/2 (donde se anula el coseno). (c) f n (x) = n2 x(1 x)n , en x [0, 1] es una sucesi´ on de funciones integrables en ese intervalo. Su función l´ımite en [0, 1] es f (x) = l´ım f n (x) = 0 (pasar (1 x)n al denominador

−

∈

−

n→∞

y aplicar L’Hopital), lo cual implica

  1



l´ım f n (x) dx = 0

n→∞

0

Sin embargo,



1

f n (x) dx = n

0

2



1

x(1

0

= n 2



1

(1

0

− x)n dx = 2

n − t)tn dt = (n + 1)(n + 2)



1

con lo cual

l´ım

n→∞

f n (x) dx

0



=1

Por lo tanto, el l´ımite de las integrales no es igual a la integral de la función l´ımite.

→ ∞

Entonces, ¿en que condiciones se puede conmutar el l´ımite n de una sucesión de funciones con la derivada, la integral o el l´ımite x c que utilizamos para estudiar la continuidad en el punto c?. Esta es una pregunta que se presenta con frecuencia dentro del análisis matemático. Para responderla, definiremos a continuación el concepto de convergencia uniforme que, como veremos, es una condición suficiente (pero no necesaria) para que la continuidad e integrabilidad de una sucesión de funciones se traslade a su l´ımite. También veremos que la convergencia uniforme tiene relación con el hecho de que la derivabilidad de una sucesión de funciones se tralade a su l´ımite, aunque de un modo menos directo.

→

Definici´ o n 77 Se dice que una sucesi´ on de funciones f n converge uniformemente a f en un conjunto S + si, para cada ε > 0, existe un N Z (que depende s´ olo de ε) tal que si n > N entonces f n (x) f (x) < ε para todos y cada uno de los x de S .

∈

| ∈

−

|

{ }

|

−

|

−

La desigualdad f n (x) f (x) < ε es equivalente a f (x) ε < f n (x) < f (x) + ε, lo cual quiere decir que, para todo x S , la gráfica de todas las f n con n > N está contenida en una banda bidimensional de altura 2ε situada simétricamente en torno a la gráfica de f , tal como muestra la siguiente figura.

Observación: A partir de las gráficas de los tres ejemplos de sucesiones de funciones que hemos visto, podemos deducir intuitivamente que la única que verifica esta condición es la del ejemplo (b). El siguiente

92


teorema formaliza esta idea intuitiva y establece una condición necesaria y suficiente para que una sucesión de funciones sea uniformemente convergente. Teorema 95 (condici´ on de Cauchy para la convergencia uniforme de sucesiones de funciones) Sea f n una sucesi´ on de funciones definidas en un conjunto S . Existe una funci´ on f tal que f n f uniformemente en S si, y s´ olo si, se satisface la siguiente condici´ on : Para todo ε > 0 existe un N tal que si n, m > N entonces f m (x) f n (x) < ε, para todos los x S .

{ }

{ } −→

|

−

|

∈

{ }

En otras palabras, lo que dice este teorema es que una sucesión de funciones f n converge uniformemente a una función l´ımite f en el conjunto S si, y sólo si (condición necesaria y suficiente), todas las sucesiones numéricas que se obtendr´ıan al evaluar las funciones de f n en cada uno de los puntos x S verifican la condición de Cauchy para sucesiones númericas con una particularidad: una vez dado el ε > 0 el N tiene que ser el mismo para todos los x S . La demostración de este teorema está basada en esa idea y puede consultarse en la página 270 del libro An´ alisis Matem´ atico de T. Apostol

{ }

∈

∈

Teorema 96 (Relaci´ on entre convergencia uniforme de una sucesi´ on de funciones y continuidad) Sea f n una sucesi´ on de funciones que converge uniformemente a f en S . Si cada f n es continua en un punto c S , entonces la funci´ on l´ımite también es continua en c.

{ }

∈

Observación: en el caso de que c sea un punto de acumulación de S , y por lo tanto se pueda hacer el l´ımite x c donde x S , este teorema implica que

→

∈





f (c) = l´ım f (x) := l´ım l´ım f n (x) = l´ım x→c

x→c

n→∞

{ }

n→∞





l´ım f n (x) = l´ım f n (c)

x→c

n→∞

No obstante, la convergencia uniforme de f n es suficiente, pero no necesaria, para garantizar que la continuidad de cada f n implica la continuidad de la función l´ımite f . Este es el caso de la sucesión de funciones del ejemplo (c) que hemos presentado anteriormente: f n (x) = n 2 x(1 x)n , con 0 x 1, es una sucesión de funciones continuas convergente, pero no uniformemente convergente. Sin embargo, su l´ımite f (x) = 0 también es una función continua.

−

≤ ≤

Teorema 97 (Relaci´ on entre convergencia uniforme de una sucesi´ on de funciones e integraci´ on) Sea on de funciones reales definidas en el intervalo compacto [a, b] on R. Si la sucesi´ f n una sucesi´ f n converge uniformemente en [a, b] hacia su funci´ on l´ımite f , y las funciones f n que la forman son x integrables en [a, b], entonces la funci´ on l´ımite f también es integrable en [a, b] y su integral a f es el x l´ımite de la sucesi´ on de integrales a f n para todo x [a, b], es decir:

{ } { }

⊂

{



x

 }  

∈

x

f (t)dt :=

a





x



l´ım f n (t) dt = l´ım

n→∞

a



n→∞

f n (t) dt

a

Por lo tanto, este teorema establece que la convergencia uniforme de f n es una condición suficiente para que la integración conmute con el l´ımite n de la sucesión, de modo que la integral de la función l´ımite f co´ıncidirá con el l´ımite n de las integrales de los términos de la sucesi´ on. Sin embargo, al igual que en el teorema anterior, esta condición es suficiente pero no necesaria. El siguiente ejemplo lo pone de manifiesto

{ }

→ ∞

→∞

Sea f n (x) = xn para x

l´ım f n (x) tiene valor 0 para ∈ [0, 1]. La función l´ımite f (x) = n→∞ x ∈ [0, 1), y f (1) = 1. Dado que la sucesión {f n } está formada por funciones continuas y la funci´ on l´ımite no lo es, la convergencia no es uniforme en [0, 1]. A pesar de ello, la integral de la funci´ on l´ımite si coincide con el l´ımite cuando n → ∞ de las integrales de los t´ erminos de la sucesión:

  

1

l´ım

n→∞

1

f n (x) dx

0

1

0

      · = l´ım

n→∞

xn dx

1 =0 n→∞ n + 1

= l´ım

0

1

l´ım f n (x) dx =

n→∞

1

f (x) dx = 0

0

dx = 0

0

A continuación enunciaremos el teorema que establece en que condiciones es posible intercambiar la derivada con el l´ımite de una sucesi´ on de funciones. Podemos anticipar ya que, a diferencia de lo

93


que ocurre con la continuidad y la integración, la convergencia uniforme no es suficiente: La sucesión de funciones del ejemplo (b), dada por f n (x) = sen(nx)/ n, converge uniformemente a f (x) = 0. Sin embargo, la sucesión de derivadas, dada por f n (x) = n cos(nx), no converge ni siquiera puntualmente. Por ejemplo, f n (0) diverge porque f n (0) = n.

{

√

√

}

√

Teorema 98 Sea f n una sucesi´ on de funciones reales en la que cada uno de sus t´ erminos tiene derivada finita en todos los puntos de un intervalo abierto (a, b). Supongamos que por lo menos en un punto x0 (a, b) la sucesi´ on f n (x0 ) converge. Supongamos adem´ as que existe una funci´ on g(x) tal  que f n g uniformemente en (a, b). Entonces,

{ }

∈ { } −→

{

}

−→ f uniformemente en (a, b).

(a) Existe una funci´ on f tal que f n

(b) Para cada x (a, b) la derivada f  (x) existe y es igual a g(x).

∈

{ }

Lo que dice este teorema, por lo tanto, es que si una sucesión f n converge puntualmente en al menos un punto de su dominio y su sucesión de derivadas es uniformemente convergente, entonces se puede asegurar que ella misma es converge uniformemente a una función f y que se cumple: d f (x) := l´ım f n (x) = l´ım n→∞ dx n→∞











d f n (x) dx

sen(nx) , no cumple esas condiciones, pues tal y como n hemos indicado la sucesión de derivadas es divergente.

√

Nótese que la sucesión antes mencionada, f n =

5.12.

Series funcionales.

Una vez que conocemos las propiedades de las sucesiones de funciones podemos estudiar las de las series funcionales, esto es, las de las series en la forma f n (x). Análogamente al caso de las sucesiones de funciones, donde en la sección anterior hemos establecido las condiciones que deben cumplirse para que las propiedades de las funciones de la sucesión (continuidad, integrabilidad, derivabilidad...) se trasladen a la función l´ımite y podamos conmutar l´ımites, integrales y derivadas con el l´ımite cuando n , en esta sección la pregunta que intentaremos contestar es cuando las propiedades de las funciones que forman una serie funcional f n (x) se trasladan a la función suma y podemos intercambiar l´ımites, integrales y derivadas con el sumatorio. La base de la respuesta a esa pregunta es el hecho de que, como venimos aplicando a lo largo de todo el tema, la suma de una serie infinita es por definición el l´ımite n de la sucesión de sumas



→ ∞



n

parciales. Es decir, llamando sn (x) =

  f k (x),

k=1

→ ∞

∞

f n (x) = l´ım sn (x). Por otra parte, si las f n (x) son n→∞

n=1

continuas, derivables o integrables, las funciones sn (x) tambi´ en lo son, pues son una suma (finita) de funciones continuas, derivables o integrables. Por lo tanto, la función suma de una serie de funciones conservará las caracter´ısticas de las funciones que forman esa serie, y podremos intercambiar l´ımites, ∞

derivadas e integrales con



, siempre y cuando la sucesión de sumas parciales verifique las condiciones

n=1

necesarias para intercambiar l´ımites, derivadas e integrales con el l´ım (Teoremas 96, 97, 98). n→∞

{ }

∈

Definici´ o n 78 Sea f n una sucesi´ on de funciones definidas en un conjunto S . Para cada x S consideremos la suma parcial definida por, n

sn (x) =



f k (x).

k=1

{ } −→

Si existe una funci´ on f tal que sn f uniformemente en S , se dice que la serie uniformemente a f (x) en S y se escribe como ∞



n=1

f n (x) = f (x) (uniformemente en S )



f n (x) converge

94




Teorema 99 (condici´ on de Cauchy para la convergencia uniforme de series). La serie infinita f n (x) converge uniformemente en S si, y s´ olo si, para cada ε > 0 existe un N tal que n > N implica

  

 

n+ p

∈

f k (x) < ε,

k=n+1

para p = 1, 2, 3, . . . , y cada x S

n+ p



− sn (x). k=n+1 Por lo tanto, lo que nos dice este teorema es que si una serie es uniformemente convergente, ∀ ε > 0 existe un N a partir del cual, si n > N , |sn+ p (x) − sn (x)| < ε para cada x ∈ S y para todo p ∈ Z+ . Llamando n + p = m, esto es equivalente a decir que ∀ε > 0 existe un N a partir del cual, si n,m > N , |sm (x) − sn(x)| < ε para cada x ∈ S . Por lo tanto, la sucesión funcional de sumas parciales verifica Demostraci´ on : La demostración es inmediata teniendo en cuenta que

f k (x) = s n+ p (x)

la condición de Cauchy de sucesiones funcionales (teorema 95) y converge uniformemente. Aplicando la definici´ on anterior, la f n (x) converge uniformemente, pues su sucesión de sumas parciales también lo hace.



Teorema 100 (criterio mayorante de Weierstrass). Sea M n una sucesi´ on de n´ umeros no negativos tal que 0 f n (x) M n para cada n = 1, 2, 3, . . . y todo x de S . Entonces f n (x) converge uniformemente en S si M n converge.

≤ |

{ }

|≤





Demostraci´ on : Puede verse de forma detallada y formal en la página 270 del libro An´ alisis Matem´ atico de T. Apostol. En todo caso, de forma intuitiva, si f n (x) M n para cada n = 1, 2, 3, . . . y todo x de S , esto quiere decir que las series núméricas que obtendr´ıamos evaluando f n (x) en cada x de S verificar´ıan las condiciones del criterio de comparaci´ on (Teorema 82), tomando como serie de referencia para esa comparación M n . Por lo tanto si M n converge, f n (x) también converge (absolutamente) para cada uno de los x de S . Faltar´ıa por demostrar que esa convergencia es, además, uniforme. Ejemplo:

|



|≤



|



|



∞

cos(nx) cos(nx) R La serie converge uniformemente en si k > 1, porque se cumple que nk nk n=1 1 1 , y k es convergente para k > 1. k n n



 ≤



Teorema 101 (Series funcionales y continuidad) Supongamos que f n (x) = f (x) (uniformemente en S ). Si cada f n es continua en un punto c de S , entonces f también es continua en c. Demostraci´ on : Si



f n (x) converge uniformemente a f (x), por definición es lo mismo que decir que n

{

la sucesión de sus sumas parciales sn (x) =



}

f k (x) converge uniformemente a f (x). Además de eso,

k =1

todas las sn (x) son continuas en c, pues son sumas (finitas) de funciones continuas en ese punto. Aplicando el teorema 96 se concluye que entonces f (x) también es continua en c. Al igual que en el teorema 96, la convergencia uniforme es condición suficiente, pero no necesaria. Adem´ as si c es un punto de acumulación de S , de modo que podemos hacer el l´ım , este teorema nos x→c permite intercambiar el paso al l´ımite con la suma infinita, pues utilizando nuevamente el teorema 96 podemos intercambiar ese l´ımite con el l´ımite n de la sucesión de sumas parciales:

→ ∞

  ∞

f (c) = l´ım

x→c

f n (x)

n=1

   n

:= l´ım

x→c

l´ım

n→∞

f k (x)

k=1

 n

= l´ım

n→∞

k=1

  ∞

l´ım f k (x)

x→c

=

n=1

f n (c)

95


Teorema 102 (Series funcionales e intregaci´ on) Sea f n (x) una sucesi´ on de funciones reales definidas en el intervalo compacto [a, b] R . Si la serie de funciones f n (x) converge uniformemente en [a, b] hacia su funci´ on suma f (x), y si las funciones f n son integrables en [a, b], entonces f (x) es también integrable en [a, b] y su integral es la suma de la serie de integrales, esto es:

{

⊂



x

f (t)dt =

∞

∈

∞

x

f n (t) dt =

a

donde x [a, b].



     x

a

}

n=1



Demostraci´ on : An´ aloga a la del teorema anterior. Si

f n (t) dt

a

n=1



f n (x) converge uniformemente a f (x), por n

definici´ on es lo mismo que decir que la sucesión de sus sumas parciales sn (x) =

{



f k (x) converge

}

k =1

uniformemente a f (x). Además de eso, todas las s n (x) son integrables en [a, b], pues son sumas (finitas) de funciones integrables en ese intervalo. Aplicando el teorema 97 se concluye que entonces f (x) también es integrable en [a, b]. Al igual que en el teorema 97, la convergencia uniforme es condición suficiente, pero no necesaria. Adem´ as, este teorema nos permite intercambiar la integral con la suma infinita, pues utilizando nuevamente el teorema 97 podemos intercambiar la integral con el l´ımite n de la sucesión de sumas parciales:

→ ∞



x

       ∞

x

f (t)dt =

a

n

x

f n (t) dt :=

a

l´ım

n→∞

a

n=1

n

f k (t) dt = l´ım

n→∞

k=1

{

 

∞

x

f k (t)dt =

k =1 a

 

n=1

x

f n (t) dt

a

}

Teorema 103 (Series funcionales y derivaci´ on) Sea f n (x) una sucesi´ on de funciones reales definidas en el intervalo (a, b) R . Supongamos que para cada f n existe la derivada f n (x) para todo x (a, b), y que para por lo menos un punto x0 (a, b) la serie f n (x0 ) converge. Si adem´ as que existe una  funci´ on g(x) tal que f n (x) converge a g(x) uniformemente en (a, b). Entonces:

⊂



(a) Existe una funci´ on f tal que



∈



∈

f n (x) = f (x) uniformemente en (a, b).

(b) Para cada x (a, b) la derivada f  (x) existe y es igual a g(x) =

∈



f n (x).

n

Demostraci´ on : Sea sn (x) =

{

∈



f k (x) la sucesión de sumas parciales de

}

k =1

  {  } 



f n (x). Si hay un punto

x0 (a, b) donde la serie f n (x0 ) converge, eso quiere decir por definición que la sucesión de sumas parciales en ese punto, sn (x0 ) , también converge. Por otra parte, como las sumas parciales son sumas 

n

finitas,

sn (x)

:=

f k (x)

k =1

n

=

∞

f k (x),

k =1



de modo que



f k (x) = l´ım sn (x). Como consequencia, n→∞

n=1

f n (x)

dado que existe una función g(x) a la que converge uniformemente, la sucesión sn (x) también converge uniformemente a g (x). Vemos entonces que la sucesión de sumas parciales sn (x) verifica todas las hipótesis del teorema 98 y, por lo tanto, podemos afirmar que:

{

{

}

}

∞

(a) Existe una funci´ on f (x) tal que l´ım sn (x) := n→∞



f n (x) = f (x) uniformemente en (a, b).

n=1 ∞

(b) Para cada x



∈ (a, b) la derivada f (x) existe y es igual a g(x) = n→∞ l´ım

adem´ as quiere decir que

   

∞



f (x) :=

f n (x)

n=1

∞

=

n=1

f n (x)

sn (x)

=



n=1

f n (x). Esto

96


5.13.

Series de potencias. Radio de convergencia.

En esta u ´ ltima sección estudiaremos las carácter´ısticas de un caso particular de series funcionales: Las series de potencias. Entre este tipo de series se encuentra el desarrollo en serie de Taylor ∞

Definici´ o n 79 Una serie de la forma



an (x

n=0

−

− x0)n, donde x, x0, an ∈ R y n ∈ Z+, se denomina serie

de potencias en (x x0 ). A cada serie de potencias se le asocia un intervalo, denominado intervalo de convergencia, tal que la serie converge absolutamente en todo punto del intervalo y diverge en todo punto exterior al mismo. El centro del intervalo es x 0 y su radio, denominado radio de convergencia, se denota usualmente por r. Teorema 104 Cuando los siguientes l´ımites existen, el radio de convergencia de una serie de potencias ∞



n=0

an (x

− x0)n viene dado por r

−1

 | | n

= λ = l´ım

n→∞

an

r = l´ım

n→∞



an an+1



Nótese que según el resultado de esos l´ımites, el radio de convergencia puede tomar cualquier valor entre r = 0 y r = + . Adem´ as, el teorema combinado con la definición anterior nos dice que la serie converge absolutamente si x x0 < r [esto es, en el intervalo (x0 r, x0 + r)] y diverge si x x0 > r. Esto se verá muy claramente a partir de la demostración. Demostraci´ on: La primera f´ ormula se demuestra sin más que aplicar el criterio de la ra´ız (teorema 86)

∞

| − |

−

| − |

∞

a la serie de los valores absolutos de la serie de potencias,

|

an (x

n=0

− x0)n| (recordar que este criterio se

aplica exclusivamente a series de t´ erminos positivos), de modo que lo que se estudia es la convergencia absoluta de la serie de potencias. Calculamos entonces

 | n

l´ım

n→∞

an (x



− x0)n| = n→∞ |an||x − x0| l´ım n

Seg´ un el criterio de la raiz, la serie es convergente si ese l´ımite es menor que 1, esto es: l´ım

n→∞

 | || − n

an x

1

x0 < 1 =

|

⇒ |x − x0| <

 | | n

l´ım

n→∞

| − |

an

= λ −1 = r

Tendremos entonces convergencia si x x 0 < r. El criterio de la raiz también nos dice que la serie ser´ a divergente si el l´ımite es mayor que 1: l´ım

n→∞

 | || − n

an x

|

1

⇒ |x − x0| >

x0 > 1 =

| − |

l´ım

n

n→∞

= λ −1 = r

 | |  | | an

Por lo tanto la serie es divergente si x x0 > r. Por u ´ ltimo, si el l´ımite es igual a 1, lo que equivale a decir que x x0 = r (pues en ese caso se tiene que x x0 = 1/ l´ım n an = λ −1 = r), el criterio no n→∞ decide. Eso quiere decir que la convergencia en los extremos del intervalo de convergencia, x 0 r y x 0 + r, hay que estudiarla de forma individualizada (sustituir esos puntos en la serie y estudiar la convergencia de la serie numérica resultante). La segunda de las f´ ormulas del teorema se demuestra análogamente, pero aplicando el criterio del

| − |

| − |

−

∞

cociente (teorema 85) a la serie

| 

an (x

n=0

− x0)n|. Por lo tanto, tenemos que calcular el siguiente l´ımite:

an+1 (x l´ım n→∞ an (x

− x0)n+1 − x0)n



= l´ım

n→∞

 

 | − 

an+1 x an

x0

|

An´ alogamente al criterio de la raiz, el criterio del cociente nos dice que si ese l´ımite es menor que 1 la serie converge, si es mayor que 1 diverge y si es igual a 1 no decide. Es decir



 | −

an+1 l´ım x n→∞ an

|

⇒ |x − x0| < n→∞ l´ım

x0 < 1 =

an = r y la serie converge an+1

97




 | − |   | −




x0 > 1 =

⇒ |x − |


x0 = 1 =

l´ım ⇒ |x − x0| = n→∞

|

 

an x0 > l´ım = r y la serie diverge n→∞ an+1



an = r no decide an+1

Al igual que al aplicar el criterio de la raiz, en este último caso habrá que estudiar los extremos del intervalo de forma individual. Ejemplos: ∞

(a) Consideremos la serie



xn . Es una serie centrada en x0 = 0, y con a n = 1. El cálculo

n=1

|

| l´ım 1/1 = 1. Deducimos entonces que converge en ( x0 − 1, x0 +1) = (−1, 1). En x = ±1, n→∞ ∞ ∞ n la serie se convierte en 1 y, respectivamente, (−1)n , no convergiendo en ninguno n=1 n=1 de los dos casos. Por lo tanto la serie converge únicamente en (−1, 1). de su radio de convergencia usando el criterio del cociente da r = l´ım an /an+1 = n→∞





∞

xn está centrada en cero, y an = 1/n2 . Usando el criterio del cociente 2 n n=1 deducimos que su radio de convergencia es tambi´ en r = 1, pues r = l´ım an /an+1 =

(b) La serie



n→∞

|

|

l´ım (n + 1) 2 /n2 = 1. Sin embargo, a diferencia de la anterior, esta serie s´ı converge en

n→∞

∞

1 los puntos x = 1 pues en ellos se transforma en y, respectivamente, 2 n n=1 siendo ambas series convergentes. Por lo tanto la serie converge en [ 1, 1].



±

−

∞

( 1)n , 2 n n=1

−

Continuidad derivaci´ on e integraci´ on de series de potencias.



Teorema 105 Sea an (x x0 )n una serie de potencias con radio de convergencia r > 0. Para todo x perteneciente al intervalo de convergencia llamemos f (x) = an (x x0 )n a la suma de la serie. Se verifica entonces lo siguiente (siempre referido a los puntos x del intervalo de convergencia): (a) f (x) =



an (x

−



− x0)n es continua.



−

(b) f (x) es derivable y su derivada es f  (x) = nan (x x0 )n−1 , lo cual se expresa diciendo que la serie de potencias se puede derivar t´ ermino a t´ ermino: d dx (c) f (x) =

∞

an (x

x0

an (x

  ∞

an (x

n=0

 −    − x

(d) f (x) =



−

n

− x0)

d = (an (x dx n=0

∞

− x0 )

n

)=



nan (x

n=0

− x0)n−1

x0 )n es integrable t´ ermino a t´ ermino y se cumple:

∞

n=0

   ∞

an (t

n

− x0)

dt =

n=0

∞

x

x0

an (t

− x0 )

n

dt

  =

an (x n + 1 n=0

− x0)n+1

x0 )n es una funci´ on infinitamente derivable (se dice de clase infinito,

C ∞).

Demostraci´ on: Los apartados (a) y (c) se demuestran automáticamente mediante los teoremas 101 y 102 sobre la continuidad e integrabilidad de series funcionales si conseguimos demostrar que una serie de potencias siempre converge uniformemente dentro del radio de convergencia. Para ello podemos utilizar el criterio mayorante de Weierstrass (teorema 100) que, esencialmente, nos dice que una serie funcional converge uniformemente en un conjunto de puntos S , si existe una serie de términos positivos convergente cuyos términos acotan (en valor absoluto) a los términos de la serie de funciones en cada punto de S . En

98




otras palabras, tiene que existir una serie numérica M n convergente tal que 0 f n (x) M n para cada n = 1, 2, 3, . . . y todo x de S . Consideremos entonces una serie de potencias que, por simplicidad, tomaremos centrada en x0 = 0 [el razonamiento ser´ıa extensible para cualquier otro centro sin más que hacer un simple cambio de

≤ |

|≤

∞

variable y = (x

− x0)], esto es



an xn . Sea r el radio de convergencia de esa serie. Comprobaremos

n=0

− {| | | |}

que en cualquier compacto [a, b] contenido en ( r, r) esa serie converge uniformemente, [nótese que los extremos del compacto [a, b] pueden acercarse tanto como se quiera a los extremos de ( r, r)]. Para ello, sea x cualquier punto de [a, b] y ω = m´ ax a , b . Como ω < r, la serie numérica de términos positivos n M n = an ω es convergente (recordar que la convergencia de una serie de potencias siempre es absoluta). Por otra parte, como x < ω para todo x [a, b], podemos afirmar que 0 f n (x) = an xn M n = an ω n para cada n = 1, 2, 3, . . .. Se verifican entonces todas las hip´ otesis del criterio mayorante de Weierstrass y podemos afirmar que la serie de potencias es uniformemente convergente en [ a, b]. El apartado (b) se demuestra a partir del teorema 103 sobre la derivación de series funcionales. Para ello hemos de probar que las series de potencias verifican las hipótesis de ese teorema, que son dos, en el intervalo de convergencia: La primera es que la serie tiene que ser convergente en al menos un punto de dicho intervalo. Una serie de potencias an (x x0 )n la verifica trivialmente, pues x0 está siempre dentro del intervalo de convergencia y en ese punto tenemos una serie de ceros. La segunda es que la serie de funciones derivadas tiene que converger uniformemente. Esa serie de funciones derivadas ser´ıa en n an (x x0 )n−1 , que es otra serie de potencias y por lo tanto, como acabamos de demostrar, tambi´ converge uniformemente. Habr´ıa que ver, adem´ as, que el radio de convergencia es el mismo. Esto es relativamente sencillo aplicando la fórmula del radio que se obtiene a paritir del criterio del cociente (ver teorema 104). Llamando f (x) = an (x x0 )n a la serie original tenemos que, por definición:

 | |

|

| |

|

∈





−

≤ |

| |

|≤

−

−



−



 

an r[f (x)] := l´ım n→∞ an+1

Mientras que para la serie de derivadas se obtiene que:







n an an r[f (x)] = l´ım = l´ım = r[f (x)] n→∞ n + 1 an+1 n→∞ an+1 

Por lo tanto, efectivamente, ambas series tienen el mismo radio de convergencia. Una consecuencia importante de lo que acabamos del ver es que, al también ser f  (x) = n an (x x0 )n−1 una serie de potencias, se le puede aplicar el mismo razonamiento que a f (x) = an (x x0 )n . Es decir, su derivada, que es f  (x), es otra serie de potencias que converge uniformemente en el mismo intervalo que f  (x), que a su vez es el mismo que el de f (x). Procediendo recursivamente, es claro que f (x) = an (x x0 )n es infin´ıtamente derivable en (x0 r, x0 +r), es decir, es de clase ∞ en (x0 r, x0 +r). Adem´ as, las derivadas de cualquier orden de f (x) tendrán todas el mismo radio de convergencia r. Con ello se demuestra el apartado (d) del teorema.



−

5.14.

 

−

C

−

−

−

Serie de Taylor.

El teorema 105 que acabamos de enunciar y demostrar tiene además una relación directa con el desarollo en serie de Taylor que nos va a permitir generalizar y formalizar algunas de sus propiedades que ya hemos ido comentando tanto en el Tema 4 como en este tema. Para ello comencemos considerando una serie de potencias genérica ∞ x0 )n con un cierto radio de convergencia r. Como sabemos, n=0 an (x esa serie converge uniformemente en (x0 r, x0 + r) a una función l´ımite que llamaremos f (x). También sabemos que f (x) es de clase ∞ , y que todas sus derivadas son a su vez series de potencias que convergen uniformemente en el mismo intervalo que f (x). Esas derivadas son:

C



∞

f  (x) =

−

−

∞



nan (x x0 )n−1 ,

−

n=1

f (2) (x) =



∞

n(n 1)an (x x0 )n−2 ,

n=2

−

−

f (k) (x) =



n=k

n! (n

− k)!

an (x x0 )n−k

De estas expresiones de deduce que la derivada de orden k en x 0 es: ∞

(k )

f

(x0 ) =



n!

an (x0 − x0 ) (n − k)! n=k

n−k

= k! ak + (k + 1)!ak+1 (x0

− x0) + . . . = k!ak

−


99

Por lo tanto a k = f (k) (x0 )/k! y la serie se puede escribir como ∞

f (x) =

f (n) (x0 ) (x n! n=0



− x 0 )n

Lo cual demuestra, como ya hab´ıamos apuntado de forma intuitiva al hablar del polinomio y de la serie de Taylor anteriormente, que si una función es de clase ∞ en un entorno de un punto x0 , se puede escribir (para un determinado radio de convergencia) como una serie de potencias construida a partir de sus derivadas en dicho punto. A continuación enunciaremos este resultado y algunas de las propiedades de la serie de Taylor que ya hemos estudiado de un modo más formal.

C

∞ Definici´ o n 80 Sea f : I R R una funci´ on de clase infinito en I , es decir, f (I ), siendo I un intervalo abierto que podremos escribir de la forma (c δ, c + δ ). Entonces es posible construir la serie

⊂ −→

∈ C

−

∞

f (k) (c) (x k!



k =0

− c)k ,

a la cual se denomina serie de Taylor generada por f en torno a c. Para indicar que f genera esta serie escribimos ∞ f (k) (c) f (x) (x c)k k!



∼

−

k =0

Nos interesa poder determinar cuando la serie generada por una función coincide con la propia función, es decir, cuando podemos sustituir el s´ımbolo por = en la expresión anterior. La fórmula de Taylor ∞ (teorema 67) garantiza que si f en el intervalo cerrado [a, b] y si c [a, b], entonces para cada + x [a, b] y, puesto que todas las derivadas existen, también para cada n Z se verifica que

∼

∈C

∈

∈

n−1

f (x) =



k =0

f (k) (c) (x k!

−

f (n) (x1 ) c) + (x n! k

∈

− c)n,

siendo x1 un punto interior del intervalo abierto que une x con c, y depende de x, de c y de n. Por lo tanto, la condición necesaria y suficiente para que la serie de Taylor converja a f (x) es que el siguiente l´ımite se anule f (n) (x1 ) l´ım (x c)n = 0. n→∞ n! Aunque evaluar este l´ımite es en general dif´ıcil porque desconocemos el valor de x1 , en la práctica suele ser posible encontrar una cota superior de f (n) (x1 ) y entonces podemos demostrar que el l´ımite anterior es cero. En efecto, si existe una constante M positiva tal que f (n) (x) M n para todo x [a, b] podremos escribir f (n) (x1 ) f (n) (x1 ) M n l´ım (x c)n l´ım (x c)n l´ım (x c)n = 0. n→∞ n→∞ n→∞ n! n! n! En otras palabras, la serie de Taylor de una función converge si su n-ésima derivada no sobrepasa la nésima potencia de algún n´ umero positivo. Esto ya lo hemos visto en el teorema 94, aunque lo estábamos formulando en el contexto de series numéricas (no series de funciones). A continuación damos otra versión, pero el teorema es esencialmente el mismo.

−

|

−

≤

|

|≤

| −

≤

∈

−

∞ Teorema 106 Sea f en [a, b] y sea c [a, b]. Supongamos que existe un entorno B(c) y una constante M (que puede depender de c) tal que f (n) (x) M n para cada x B(c) [a, b] y cada n Z+ . Entonces para cada x B(c) [a, b] se cumple

∈C

∈

∈

∈

∩

|

|≤

∈

∩

∞

f (n) (c) f (x) = (x n! n=0



− c)n

La ventaja de la que disponemos ahora es que, en lugar de aplicar este teorema para comprobar en que puntos el resto de la fórmula de Taylor tiende a cero, podemos aplicar las fórmulas del radio de convergencia del teorema 104 para determinar de una forma directa la región de convergencia de la serie de Taylor. Veámoslo con un ejemplo Ejemplo:


Consideremos una función cuyo desarrollo en serie de Taylor ya hemos estudiado, por ejemplo la funci´ on exponencial f (x) = e x y c = 0. Sabemos que f (n) (x) = e x , de modo que tomando el centro de la serie en el punto c = 0 tenemos que f (n) (0) = 1. Por lo tanto la función genera la siguiente serie de Taylor entorno a c = 0: ∞

f (x)

 ∼

k =0

f (n) (c) (x k!

∞

k

− c)

=



k =0

1 k x k!

Si calculemos su radio de convergencia mediante el criterio del cociente obtenemos: r = an (n + 1)! l´ım = l´ım = l´ım (n + 1) = . Es decir, la serie converge para todo n→∞ an+1 n→∞ n→∞ n! x R.

 ∈



∞

Este resultado es coherente con el hecho de que, como ya hemos demostrado anteriormente, el resto de la fórmula de Taylor tiende a cero para todo x. Repitamos aqu´ı el razonamiento 1 (n) 1 correspondiente: Rn (x) = f (x1 )(x c)n = ex1 xn , con x1 (0, x) ó x1 (x, 0). En n! n! xn x1 esta expresión e es una constante y l´ım = 0 para cualquier x, pues el factorial crece n→∞ n! siempre más rápido que la potencia n-ésima de un número. Deducimos entonces que el resto tiende a cero en todo caso cuando n tiende a infinito, y la serie de Taylor generada por e x es una “fiel” representación4 de la funci´ on para todo R .

−

4 Algunos

∈

autores definen la función exponencial precisamente a partir de esa serie de potencias.

∈

100

101


5.15.

Ejercicios.

1. Hallar una serie cuya suma parcial n-ésima valga

n para n = 1, 2, . . .. n+1

2. Probar que el rec´ıproco de cualquier número natural es la suma de una serie geométrica que empieza con el rec´ıproco del número siguiente. 3. Probar que las siguientes series son convergentes y calcular su suma: ∞

∞

n (n + 1)! n=1



(a)

 

(b)

arctg

n=1

1 2 n +n+1



an relacionadas con series telesc´ opicas. En el caso (b) úsese la identidad trigonométriIndicaci´ on: Las dos est´ ca tg(α

− β ) = [tg(α) − tg(β )]/[1 + tg(α)tg(β )] para demostrar su carácter telescópico.

{ }

4. Demostrar la convergencia de la sucesi´ on xn dada por xn = 1 +

1 + 2

··· + n1 − log n

Indicaci´ on: demostrar previamente que los elementos de la sucesión xn coinciden con las sumas parciales

S 2n

−

1

n+1

P de la serie alternada (−1) Z dx 2

a1 = 1,

a2 =

1

x

an , donde

1 a3 = , 2

,

{ }

a4 =

Z

3

2

dx , .. . , x

a2n

−

1 , 1 = n

a2n =

Z

n+1

n

dx x

5. Demostrar: ∞

(a)



n=2

1 n2

−

 √ √ ∞

3 = 1 4

(b)

n=1

− √

∞

n+1 n =1 n2 + n

(c)

n 1 = (n + 1)(n + 2)(n + 3) 4 n=1



Indicaci´ on: en los casos (a) y (c) descomponer el t´ ermino general de la serie en suma de fracciones simples,

para luego obtener una expresión simplificada de la suma parcial k -ésima y calcular su l´ımite. La serie (b) es telesc´ opica (sacar n factor com´ un en el denominador).

√

∞

pr (n) , donde p r (n) y q s (n) son polinomios en n, de grados r y s respectiq (n) s n=1 vamente. Demostrar que dicha serie es convergente si s > r + 1 y divergente si s r + 1.

6. Considérese la serie



≤

7. Demostrar que las dos series siguientes son convergentes.(Sugerencia: usar el criterio de la integral ). ∞

(a)

arctg n 1 + n2 n=0



∞

(b)

1 , n(log n)s n=2



s > 1

8. Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series. [ Sugerencia: usar el criterio de comparaci´ on p or paso al l´ımite. En el apartado (a) usar como referencia la serie del apartado (b) del ejercicio anterior tomando s = 2. En el apartado (b) usar como referencia la serie del apartado (a) ]. ∞

(a)

log n n n+1 n=2

 √

 √ − ∞

(b)

n=1

2n

1log(4n + 1) n(n + 1)

9. Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series. (Sugerencia: usar el criterio del cociente o el de la ra´ız). ´ ∞

n! (a) 3 5 7 (2n + 1) n=0



· · ···

∞

22n−1 (b) 2n 1 n=0



−

∞

1 (c) nn n=1



∞

(d)

n2 en n=0



102


10. Estudiar la convergencia o divergencia de las siguientes series: ∞

∞

1 + sin2 nx (a) nn n=1

∞

(n!)2 (c) (2n)! n=0

  −   − √   √   −  √ − √  ∞

∞

sin n (e) n2 n=1

∞

(h)

∞

n! (b) nn n=1



n=2

n

(f )

( 1)

∞

n 2n

 

n=1

2n

n

−1

π + sinn (n + 1) (g) π n + n2 n=1 ∞

3n+4 ( j) (n + 1)2 n=0

n e

n

∞

∞

3 −n

(i)

sin n

( 1)

−

n=1

1 n sin n

n

n=1

1

(d)

n(n 1) 2

(k)

( e)n n! n=0

−

∞

na + 1

11. Demostrar que la serie

na converge para a > 2 pero diverge para a = 2.

n=0

Indicaci´ on: aplicar el criterio de comparación por paso al l´ımite, tomando como referencia la serie arm´ onica.

12. Sea no.



an una serie convergente de t´ erminos positivos. Razona si entonces ∞

13. Calcula la suma de ∞



a2n es convergente o

1 . n e n=0



( 1)n es divergente o convergente?. Si es convergente, ¿esa convergencia es ln [2 cosh(n)] n=1 absoluta o condicional?

14. ¿La serie



−

∞



15. Estudiar para que valores de x ser´ıa convergente la serie

(ex

n=0

calcula su suma.

− 1)e−nx. Para esos valores,

16. Demostrar que la suma de las siguientes series es el valor indicado. (Sugerencia: util´ıcese el resultado xn /n! = e x ).

P

∞

a)

 

n

n=2 ∞

c)

∞

−1 =1

b)

n! (n

−3

∞

− 1)(n + 1) = e + 1

d)

n!

n=2

n+1 = 2e n! n=2

 

n2 xn = (x2 + x)ex n! n=1

17. Estudia la convergencia de las siguientes series. Si son convergentes, calcula su suma ∞

(a)

−

( 1)

3n

n=0

∞

n

(n+1)



(b)

−1

1

n=2

n(n

− 2)!

18. Estudiar el carácter de las series: ( Indicaci´ on: en el apartado (a) usa el criterio de comparación por paso ∞

al l´ımite utilizando como referencia la funci´ on zeta de Riemann, ζ (s) = el criterio de la ra´ız y el hecho de que ∞

a)

“ x ” l´ım 1 +

n

n→∞

 −  a

n=1

1 n

1

2

n

n=1

ns

= e x ). ∞

b)

X 1 , y en el apartado (b) aplica

2n

 − 

n=1

2n 1 n+1

xn ,

x > 0.

103


∞

19. Deducir un método general para sumar las series de la forma

p(n) donde p(n) es un polinomio n! n=0



de grado k en n, justificando su convergencia. (Indicaci´ on: Usa el hecho de que todo polinomio en n

de grado k , p(n) = A 0 + A1 n + A2 n2 + A3 n3 + . . . + Ak nk puede escribirse tambi´ en de la siguiente forma, p(n) = B 0 + B1 n + B2 n(n 1) + B3 n(n 1)(n 2) + . . . + Bk n(n 1)(n 2) . . . (n k + 1) ).

−

−

−

−

−

−



20. Una serie aritmético-geométrica tiene la forma an bn , donde los a n son elementos de una progresión aritmética (an = a 0 + nd), y los bn son elementos de una progresión geométrica (bn = b 0 rn ). Obtener la forma general de las sumas parciales correspondientes a una serie aritmético-geométrica, y estudiar en qué casos dicha serie es convergente. ( Indicaci´ on: escribe la suma parcial S n 1 , r´ estale rS n 1 para obtener (1 − r)S n 1 , despeja de ah´ı S n 1 e intenta buscar el l´ımite cuando n tiende a infinito). −

−

−

−

∞

21. Demostrar que la serie arm´ onica alternada

( 1)n+1 es convergente y que su suma es log 2. n n=1

−

aralos y escribe S 2n en función (Indicaci´ on: la suma parcial S 2n tiene n términos positivos y n negativos, sep´ de sumas parciales de la serie armónica. Luego usa el resultado del ejercicio 4, esto es, l´ım xn = γ , siendo n 1 1 1 γ la constante de Euler y x n = 1 + + + . . . + log n). 2 3 n →∞

−

22. Se construye una reordenaci´ on de la serie armónica alternada tomando, alternativamente, dos términos positivos seguidos de uno negativo para obtener 1+

1 3

− 12 + 15 + 17 − 14 + 91 + 111 − 61 + ···

Demostrar que esta serie converge hacia 32 log 2. (Indicaci´ on de on: escribe la suma parcial S 3n en funci´ sumas parciales de la serie armónica y luego usa el resultado del ejercicio 4 ). 23. Demostrar que si se reordena la serie arm´ onica alternada escribiendo alternativamente p términos positivos y q términos negativos, obtenemos una nueva serie convergente cuya suma es log 2 + 1 log( p/q ). (Indicaci´ etodo empleado en los dos ejercicios anteriores). on: generaliza el m´ 2 x4n ? ¿Converge uniformemente? 4 + x4n

24. ¿A qué función converge la sucesión f n (x) = 25. Considérense las series funcionales: ∞

∞

n2 n (a) x 2n n=1



∞

1 (e) (x 1)n n+ n n=1



√ − (i)

∞

n!x

n=0

 −

∞

(x + 3)n (f ) , n2 n=1

∞

(g)

( 1) (2n + 3) x

n=1

( j)

√ n + 2 n+1

n=1



n

n (x

n=1

(d)

n! n x nn n=1



∞

3

n

( 1)

∞

2 n

n

∞

1 n (c) x nn n=1

n



∞

−

(b)



−

n

(x 2) ∞

(h)

2n log n n (k) x n3 n=1

xn n2 ln(n) n=1





n

− 2)

Determinar sus radios de convergencia y la naturaleza de la serie en los extremos del intervalo de convergencia. (Indicación: a los efectos del apartado √ (d) de este ejercicio puede considerarse válida la aproximaci´ on de Stirling del factorial de n, n! ≈ nn e n 2πn ). −

∞

xn 26. Considera la serie funcional , donde k > 0. Determina en funció n de k su radio de nk 32n−1 n=1 convergencia y su carácter en los extremos.



∞

27. Suponiendo que la serie

 

an xn tiene un radio de convergencia igual a 2, calcula el radio de

n=0 ∞

convergencia de las serie

n=0

∞

akn xn .

¿Y las series



n=0

∞

kn

akn x

y



n=0

2

an2 xn , donde k es un entero

positivo? ¿Puedes llegar a alguna conclusión sobre su convergencia (por ejemplo, un radio m´ınimo donde seguro que convergen)?. Justifica tu respuesta.

0apuntes_completos-patatabrava

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