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Dal punto di vista fisico il mezzo alla Winkler può essere assimilato a un letto di molle elastiche mutuamente mutuamente indipendenti, indipendenti, o meglio a un liquido di peso specifico k nel quale la fondazione galleggia.
Affidabilità del modello di Winkler di Claudio Comastri Comastri,, Elisa Maniezzo, Maniezzo, Paola Zogno Zogno
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Generalità Dal punto di vista fisico il mezzo alla Winkler può essere assimilato a un letto di molle elastiche mutuamente indipendenti, o meglio a un liquido di peso specifico k nel quale la fondazione galleggia. In effetti il coefficiente di reazione del terreno è, per definizione, il rapporto fra carico e cedimento. In un terreno reale il cedimento dipende oltre che dai valori del carico e dalle proprietà del terreno, anche dalla forma e dalle dimensioni della fondazione e dalla costituzione del sottosuolo. È evidente, quindi, che il coefficient coefficientee di sottofondo k non è una proprietà solo ed esclusivamente esclusivamente del terreno, e quindi non ha alcun senso fornire valori tipici per tipo di terreno. Inoltre la determinazione di k non è semplice in quanto spesso il terreno è stratificato, ha diversi spessori e perciò il valore del coefficientee di sottofondo dovrebbe, almeno, dipenefficient dere dallo spessore dello strato di terreno interessato dalle sollecitazioni e dalle sue caratteristiche. Maggiore è lo spessore minore sarà il valore di k. L’uso del metodo di Winkler nelle applicazioni richiede pertanto un’attenta valutazione di un ap-
propriato valore di k da adottare, caso per caso, in funzione di fattori quali il modello del sottosuolo e la dimensione e forma della fondazione. Perciò, se usato con giudizio, il metodo di Winkler fornisce, nella maggior parte delle applicazioni, risultati senz’altro accettabili accettabili purché vi sia una stima ragionevole del valore di k. Fortunatamente, i risultati del calcolo in termini di caratteristi caratteristiche che della sollecitazione sollecitazione non sono molto sensibili ai valori di k; pertanto non è indispensabile una valutazione molto accurata del parametro ma basta una stima ragionevole. Purtroppo, però, in molti trattati e manuali sono ancora riportati valori di k (quasi sempre erroneamente categorizzati per tipo di terreno) che, in genere, sono molto elevati. È probabile che tali valori derivino da sperimentazioni su piastre di piccole dimensioni e quindi debbano piuttosto essere considerati alla stregua di valori di k1 da utilizzare, poi, in altre correlazioni per determinare il valore del coefficiente di sottofondo in base alle dimensioni e alla forma della fondazione.
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Determinazione del coefficiente di sottofondo Per quanto riguarda il coefficiente di sottofondo k, sperimentalmente si è notato che: - k varia con l’intensità del carico: tanto più aumenta la pressione p, tanto più k diminuisce; - k varia con la velocità di applicazione del carico; inoltre, se p resta costante o varia poco nel tempo, k diminuisce; - k varia con le ripetizioni del carico, in quanto, aumentando le deformazioni del terreno, k diminuisce; - se il suolo è immerso in falda permanente, k diminuisce di circa il 40% rispetto ai corrispondenti valori in assenza di falda; - k è tanto più piccolo quanto maggiore è la superficie di contatto fondazione-suolo. La conoscenza di k è fondamentale per cui numerosi Autori hanno fornito formule per il calcolo e valori numerici sperimentali. Si deve tuttavia a K. Terzaghi lo studio più approfondito del problema e l’ottenimento di valori numerici empirico-sperimentali che si sono dimostrati, a seguito di conferme sperimentali, come i più idonei a consentire il calcolo delle fondazioni su suolo elastico con soddisfacente aderenza al comportamento effettivo del terreno. Determinazione di k mediante prove edometriche In mancanza di prove dirette sul terreno è possibile determinare il valore di k in funzione del modulo E’di compressione edometrica (o modulo edometrico) determinato in laboratorio per un intervallo di pressione corrispondente a quello reale di esercizio della fondazione. Tuttavia è importante ricordare che i valori di k così ottenuti hanno valore in-
dicativo, in quanto in laboratorio non è possibile tener conto di tutti i fattori che influenzano l’effettivo valore. Il modulo E’è definito dalla relazione:
con: h: altezza del provino alla pressione efficace “p’” di prova; ∆h: variazione di “h” per un incremento ∆p’della pressione efficace.
Inoltre indicando con: e: indice dei vuoti; ∆e: variazione dell’indice dei vuoti per una variazione ∆p’ della pressione efficace a espan i sione laterale impedita; m risulta: e t I
Noto E’da prove edometriche, VOGT, per una piastra rettangolare di larghezza b e lunghezza l, ha proposto:
e per una lastra circolare di raggio R:
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Koegler e Scheidig, invece, hanno fornito correlazioni che, oltre alle caratteristiche geometriche della fondazione, considerano anche lo spessore H dello strato di terreno considerato elastico, isotropo ed omogeneo: - per una superficie di grandezza infinita:
1
- per superfici circolari e quadrate:
essendo il diametro 2R del cerchio uguale al lato b del quadrato. Nella correlazione compare il coefficiente α che i varia da 3 per H/2R=1 a 2 per H/2R=∞, (Fig.1) m e t I - fondazione nastriforme di lunghezza infinita e lar-
ghezza b:
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in cui β è un coefficiente variabile tra 1.82 per H/b=1 e 0.54 per H/b=20, (Fig. 3). Calcolo di k mediante prove di carico sul terreno La via normalmente seguita per determinare k è quella di effettuare una prova di carico su piastra del terreno. La distribuzione delle pressioni sul terreno dipende da vari fattori: la natura del terreno, il valore del-
1 - Variazione del coefficiente α di Kogler Scheidig in funzione dello spessore dello strato di terreno
la pressione media e la dimensione della piastra. Lungo il contorno della piastra in terreni sabbiosi per rifluimento la pressione tende ad annullarsi; si accentua, invece, rispetto al valore medio in corrispondenza del centro, dove peraltro si risente del beneficio di un compattamento dovuto alla presenza della piastra rigida. In genere, per una stessa piastra, al crescere della pressione media, tendono ad attenuarsi le disuniformità della distribuzione delle pressioni, e la stessa circostanza si manifesta al crescere delle dimensioni della piastra, in quanto i disturbi di bordo tendono ad attenuare la loro influenza. Nonostante ciò, con una prova di carico sul terreno si possono correlare gli spostamenti ai valori medi
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3 - Diagramma pressioni-spostamenti
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2 - Valore del coefficiente β per fondazioni rettangolari in
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funzione dello spessore dello strato di terreno
delle pressioni:
4 - Valore di k in funzione della pressione di esercizio pe
con: Q: carico complessivo applicato; A: area della superficie di contatto piastraterreno.
Se si riportano in diagramma i risultati di una prova di carico, ossia se si costruisce il diagramma pressioni-spostamenti, si ottiene una curva che ha un andamento caratteristico per quasi tutti i tipi di terreni sufficientemente compatti, (Fig. 3). Dopo un primo tratto pressoché lineare OA, a se-
guito di fenomeni di rifluimento e di superamento della capacità portante limite in prossimità dei bordi, si manifestano accrescimenti degli spostamenti w più che proporzionali rispetto agli accrescimenti del carico. Quindi è immediato riconoscere che k non è costante, ma varia al variare della pressione p cui si fa riferimento. Perciò quando si esegue una prova di carico con piastra è opportuno applicare al terreno una pressione prossima alla pressione di esercizio Pe che si presume sia trasmessa dalla fon-
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Inoltre vale la pena considerare che dovendo necessariamente operare con piastre di piccole dimensioni l’influenza del carico si rende sensibile soltanto in corrispondenza dello strato superficiale di terreno (a una profondità di circa 3 o 4 volte il diametro della piastra). In realtà le fondazioni, di di5 - Andamento del cedimento w in funzione della pressione media pm mensioni notevolmente dazione al terreno, (Fig. 4). maggiori, impegnano strati più profondi di terreInoltre per piccoli diametri della piastra , φ<25cm, no e può essere quindi notevolmente differente il gli spostamenti diminuiscono all’aumentare del diacomportamento del terreno caricato con una piastra metro della piastra, mentre per diametri maggiori o con una fondazione di dimensioni più estese, pur di 25 cm gli spostamenti, a parità di pm, si accrerimanendo invariato il valore della p media. i scono all’aumentare del diametro, (Fig. 5). Nella Tabella 1 sono riportati i valori indicativi di m e Questo perché, per piccoli valori del diametro del- k ricavati da prove di carico su piastra e quindi di t I la piastra, i fenomeni di rifluimento che si manife- pendenti solo dal tipo di terreno; tali valori vanno, stano in prossimità dei bordi della piastra stessa non poi, correlati con le dimensioni e la forma della fonrisultano più trascurabili; cioè prevale l’influenza dazione. Esistono, perciò, delle correlazioni che perdei rifluimenti rispetto all’influenza della deformettono di ricavare il coefficiente di sottofondo parmazione del terreno. tendo dai valori di k1 ottenuti da prove di carico 54 Perciò l’esame dei diagrammi precedenti mette in su piastre standard di forma quadrata o circolare luce che non è attendibile operare prove di carico con lato o diametro di 30 cm. Avendo fissato la forsul terreno con piastre di diametro piccolo, minoma e la dimensione della piastra, il valore di k1 dire di 40 cm, e che k non è costante, ma dipende anpende solo dalle caratteristiche del terreno di fonche dalla scelta del diametro della piastra (al credazione; ha senso quindi assumere per esso valori scere del diametro e a parità di p, si accrescono gli tipici, dipendenti solo dal tipo di terreno. spostamenti e quindi diminuisce il valore di k). In prima approssimazione, e nel campo di profonIn definitiva, il coefficiente di sottofondo k, ha un dità di interesse per una fondazione diretta, un tersignificato del tutto convenzionale e i risultati di una reno coesivo sovraconsolidato può essere assimiprova di carico con piastra vanno quindi interprelato a un mezzo elastico omogeneo. Per un mezzo tati con molta cautela. siffatto, il cedimento w1 della piastra standard di 5
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Tab. 1 - Valori di K
NATURA DEL TERRENO Torba leggera Torba pesante Terra vegetale Depositi recenti Sabbia di mare, fina Sabbia poco coerente Terra molto umida Terra poco umida Terra secca Argilla con sabbia Argilla grassa Sabbia compatta Ghiaia con sabbia Ghiaia compatta
k [Kg/cm 3] 0.6 ÷ 1.2 1.2 ÷ 1.8 1.0 ÷ 1.5 1.0 ÷ 2.0 1.5 ÷ 2.0 2.0 ÷ 4.0 2.0 ÷ 3.5 3.0 ÷ 6.0 5.0 ÷ 10.0 8.0 ÷ 10.0 10.0 ÷ 12.0 8.0 ÷ 15.0 10.0 ÷ 25.0 20.0 ÷ 30.0
lato b=30 cm vale:
mentre il cedimento di una trave di fondazione di larghezza B vale:
Nel caso di sabbie e di argille normalconsolidate l’assimilazione al semispazio omogeneo, cioè con modulo elastico E costante con la profondità, non è più lecita essendo molto più sensibile l’effetto del peso proprio del mezzo sul valore E, quindi la formula precedente non è più utilizzabile. Perciò in un terreno incoerente, per la crescita delle tensioni litostatiche e quindi per la diminuzione della deformabilità con la profondità, il cedimento cresce con una legge meno che lineare con la dimensione in pianta della fondazione, e tende a un valore asintotico al tendere a infinito della dimensione B. Un comportamento di questo tipo, cioè di semispazio elastico con modulo di Young linearmente crescente con la profondità, può essere modellato con il cosiddetto “mezzo alla Gibson” o anche con uno strato elastico di spessore finito poggiante i m su di un substrato indeformabile. e t In questo caso, ai fini della valutazione di k si può I utilizzare la relazione empirica suggerita da Terzaghi e Peck (1948):
Si ha allora:
dalla quale, tenendo conto dei coefficienti I 1 (quadrato, cerchio) e I (striscia indefinita), si ottiene:
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che porta a un valore asintotico di w=4w 1 per B che tende all’infinito, e assume che non vi sia una significativa dipendenza del cedimento dalla forma in pianta della fondazione. Si ha allora:
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6 - Valore di k 1 per sabbie
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Determinazione di k in base ai dati forniti da Terzaghi Si deve proprio a Terzaghi il merito di aver eseguito lo studio teorico-sperimentale di maggiore importanza e di aver fornito valori numerici del modulo k che consentono di eseguire il calcolo delle fondazioni su suolo elastico in buona aderenza al comportamento effettivo del suolo. Il terreno viene suddiviso in sabbie e argille, tenuto conto del differente comportamento sotto carico e della diversità dei parametri che le caratterizzano: • SABBIE
Vengono incluse in questa categoria tutte le terre prive di coesione, dotate cioè di solo angolo di attrito ϕ. Il valore del coefficiente di sottofondo k è influenzato dalla larghezza della fondazione, dalla profondità del piano di posa e dalla forma della fondazione.
Per quanto riguarda la larghezza delle fondazione. Terzaghi, in via sperimentale, ha ottenuto:
con: b=larghezza della fondazione; k1=modulo unitario di reazione del sottofondo in Kg/cm3 valido per una fondazione nastriforme di lunghezza 1 metro e larghezza b=1m.
I valori di k1 sono riportati in Figura 6. Per le sabbie il modulo di reazione del sottofondo aumenta linearmente con l’aumentare della profondità del piano di posa della fondazione rispetto al piano del terreno:
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purché kz<2kb. Infine il coefficiente di sottofondo k dipende dalla forma della fondazione. Se si considera una fondazione rettangolare larga b e lunga l , secondo Terzaghi il valore di k diminuisce all’aumentare di l secondo la:
con: kq=modulo di reazione del sottofondo per una piastra quadrata di lato b.
Se si considera il modulo di reazione del sottofondo per una piastra quadrata di lato 1 metro si può scrivere:
Si può, perciò, arrivare a una forma generalizzata che tenga conto di tutti e tre i fattori:
• ARGILLE
Vengono incluse in questa categoria tutte le terre dotate di coesione, la cui classificazione è basata sia sulle dimensioni dei granuli che sul limite di liquidità e l’indice di plasticità, secondo la retta di Casagrande. Anche per le argille i valori di k sono influenzati dalle dimensioni della fondazione, mentre risultano indipendenti dalla profondità del piano di posa. Per quanto riguarda le dimensioni della fondazione, se si indica con k1 il modulo di reazione del sottofondo per una piastra di lato 1 metro e se si considera una fondazione rettangolare di larghezza b e lunghezza l (b
in cui l e b sono espressi in metri e k 1 in Kg/cm3. I valori di k1 forniti da Terzaghi sono riportati in figura 3-7. • TERRE MISTE DOTATE DI COESIONE E ATTRITO
nella quale: f(l)=fattore d’influenza di l f(z)=fattore d’influenza di z pertanto risulta:
nella quale b, l, z vanno espresse in metri e k 1 in kg/cm3.
Vengono incluse in questa categoria tutte le terre in cui i valori di c e ϕ assumono valori significativi. Il comportamento di questi terreni agli effetti di k sarà intermedio a quelli visti in precedenza a seconda del maggiore o minore contenuto di sabbia o argilla. Se si indicano con k 1 il valore sperimentale del modulo di sottofondo ottenuto mediante prova su piastra di cm 30x30 e con k 2 un analogo valore ottenuto con prova su piastra da cm 60x60, si può
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e/o che sia possibile effettuare prove di carico in sito. Le correlazioni, inoltre, oltre a considerare il tipo di terreno e le sue caratteristiche di deformabilità, consentono di ricavare k in funzione della forma e delle dimensioni della fondazione. Questo è molto importante in quanto da esse dipende la superficie di terreno interessata dalle tensioni scaricate dalla fondazione stessa (bulbo di tensione). Infine grazie a Vesic si è riusciti a trovare una correlazione tra il modulo di sottofondo k, che caratterizza il modello di Winkler, e il modulo elastico e di Poisson del terreno, che caratterizzano il modello di Boussinesq:
7 - Valori di k 1 per argille
i scrivere: m e t I
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Tuttavia si può trovare il valore di k anche in funzione del coefficiente ks di un terreno sabbioso e di quello di un terreno argilloso, ka, in base alla percentuale di sabbia Ps e a quella di argilla Pa presente nel suolo:
con: Es= modulo di Young del terreno; vs= coefficiente di Poisson del terreno; Eb= modulo di Young della fondazione; I= momento di inerzia della fondazione. L’espressione è un po’ complicata ma, poiché il rapporto Es/B assume valori attorno all’unità, e sostituendo Es con il modulo edometrico Eed si ottiene:
Le formule riportate consentono di ricavare i valori medi del modulo di sottofondo k nell’ipotesi che sia conosciuta la composizione del terreno
(continua sul prossimo numero)
