NOTAS DE FÍSICA 10: ESTÁTICA
F. J. Flórez
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NOTAS DE FÍSICA 10: ESTÁTICA
CAPÍTULO No 7 ESTÁTICA CONTENIDO 1. 2. 3. 4.
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO: EQUILIBRIO TRASLACIONAL MOMENTO DE FUERZA O TORQUE SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO: EQUILIBRIO ROTACIONAL. PROBLEMAS PROPUESTOS
Hasta ahora ya hemos estudiado las fuerzas especiales que actúan sobre un cuerpo, las aplicaciones de las leyes de Newton para cuando un cuerpo posea aceleración o no. En éste capítulo se determinarán las condiciones para que un cuerpo rígido esté en equilibrio tanto traslacional (que no se desplace) como rotacional (que no rote sobre un eje).
Solución Dibujamos el sistema de coordenadas en un punto común donde se aplican las fuerzas: T1 , T2 y w 100 N esto es, en el intercepto de las cuerdas. El peso sólo posee componente en el eje 0 y
w x
1. PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO: EQUILIBRIO TRASLACIONAL
Sen 40 Cos 40
Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional, si la suma de todas las fuerzas que actúan sobre él da como resultado cero.
Sen30
F 0
F x
0
y
Cos30 Y
T 1 y
T1 y
T 1 T 1 x
T1 Sen 40
T1 x
T 1 T 2 y T 2 T 2 x T 2
T1 Cos 40
T2 y
T2
Sen 30
T2 x
T2 Cos 30
Apliquemos ahora las condiciones de equilibrio traslacional:
0
F y
100N
wy
Hallemos las componentes de las tensiones.
Sobre un cuerpo pueden estar actuando varas fuerzas, más sin embargo si la suma de estas fuerzas es cero, el cuerpo puede encontrarse en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme.
Si se usa un sistema de coordenadas X e
:
Y
Ejemplo 7.1 Determinar la tensión que se ejerce en las cuerdas según muestra la Fig. 7.1. 30o
F x
0.76T1
T1 Cos40 T2
0.86T 2
0
Cos30
0
1
40 o
F y
T 2
0.64T1
T 1 T 1 y
T 2 y 30o
T 2 x
40
o
T 1 x
T1
Sen40 T2
0.5T2
100 N
0.76T1
0.86T 2
0.64T1
0.5T2
0 100 N
Sen30 100 N 0
2 Por 0.5 Por 0.86
Fig. 7.1 F. J. Flórez
w 100 70
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0.38T1
0.43T 2
0
0.55T1
0.43T2
86 N
0.93T1
Sen60
86 N
86 N
T1
T1
0.93
Cos 60
92.4 N
Reemplazando: Sen 45 T1
92.4 N
en
0.76T1
0.86T2
0
Cos 45 0.86T2
0.86T2
0.76T1
0.86T2
70.2 N
0.76 92.4 N
70.2 N
T2
81.6 N
T2
0.86
F x
0.50T1 F y
Ejemplo 7.2 Determinar la tensión que se ejerce en las cuerdas, al soportar una masa de 20 Kg .
0.86T1
Fig. 7.2 60 o
T 2 y
45
o
T 1 x
T1 Sen 60
T1 x
T 1 T 2 y T 2 T 2 x T 2
T1 Cos 60
T2 y
T2
T2 x
T2 Cos 45
T1 Cos60 T2
0.70T 2
Sen 30
T1
Cos45
0
0.70T2
Sen45
200 N
200 N 0
2
0.50T1
0.70T 2
0
0.86T1
0.70T2
200 N 200 N
60
T 1 y
o
T1
147.05 N
0.50T1
en
200 N
0.70T2
0.50T1
0.70T2
0.70T2
73.5 N
0.70T2
T2
Solución
0 y
wy
0.50 147.05N
T2
0.70
105 N
F
El peso sólo posee componente en el eje w x
147.05N
0
73.5 N
Dibujamos el sistema de coordenadas en el punto común donde se aplican las fuerzas: 200 N
T1
F
O
w
1.36
T 1 x
w
y
200 N
T1
Reemplazando:
T 2 x
T1 , T2
0
1
Sen60 T2
1.36T1
T 1
T 2
T1 y
T 1
Apliquemos ahora las condiciones de equilibrio traslacional:
Observa que la tensión es mayor en la cuerda que está más inclinada con respecto a la horizontal.
45 o
T 1 y
F
:
Y
r
200N
Hallemos las componentes de las tensiones. Fig. 7.3 P
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F. J. Flórez
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2. MOMENTO DE FUERZA O TORQUE
3. SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO: EQUILIBRIO ROTACIONAL.
Al considerar el equilibrio de un objeto como por ejemplo una puerta que puede girar alrededor de un eje (Que lo forman las bisagras), hemos visto la importancia del punto de aplicación de las fuerzas. La cantidad que tiene en cuenta este hecho se denomina momento de fuerza o simplemente torque ( ), está producido por una fuerza con respecto a un eje y es lo que hace que un cuerpo gire.
Sobre un cuerpo pueden estar actuando fuerzas y producir torques y hacer que éste gire o no. Un cuerpo se encuentra en equilibrio rotacional si la suma de los torques que producen las fuerzas aplicadas a él es cero: 0
0
y
F Cos
r
2r
F
y
r
Sus unidades: energía)
Nm
F
o F
F 2 F
r Cos
J Julio
0
3 F
Fig. 7.4
Y una componente paralela a r : F F Sen El valor del momento de fuerza, viene dado por el producto entre la fuerza perpendicular a la distancia por la distancia r a la cual se aplica esta fuerza con respecto al punto de rotación. F
y
Un cuerpo se encuentra en equilibrio estático cuando se cumplen estrictamente las dos condiciones de equilibrio:
Para definir el momento de fuerza, consideremos una fuerza F aplicada al punto O. (Fig. 7.3) de un pedazo de madera. La fuerza F se encuentra aplicada a una distancia r del punto P. (Alrededor del cual puede girar). La fuerza forma un ángulo con la horizontal, por tanto: Posee una componente perpendicular a r : F
x
F 0
(Unidad de trabajo o de
y
0
En cada eje.
Ejemplo 7.3 Determinar si el cuerpo mostrado en la figura 7.4. Se encuentra en equilibrio. Con respecto al punto O. (Despreciar la masa de la viga)
¿Porqué la fuerza paralela a r no produce torque? No es que F no produzca torque, sino que el torque producido por ella es nulo, veamos:
Solución F
F
r
F
Sen
r ,
Pero r y F Forman
Veamos si el equilibrio traslacional se cumple, es decir:
un ángulo de 180o entre sí. F r
F
F Sen180o r
F 0
0Nm
Para nuestro caso:
Algunos textos definen torque como el producto de la fuerza F aplicada a un punto por la distancia perpendicular a ella con respecto al punto de rotación: F
F
r
0
F y
3F
F
F
F
2F 0
Hasta aquí se encuentra en equilibrio traslacional.
Es muy importante tener en cuenta que los torques se consideran negativos si hacen girar el cuerpo a favor de las manecillas del reloj, y positivos si hacen girar el cuerpo contrario a las manecillas del reloj.
Tomando las fuerzas de izquierda a derecha tenemos que los torques con respecto al punto O son: F. J. Flórez
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F
r
F
r
3F
2
0
3
Luego como
2
2F
r
F
2r
3 2
F
El torque producido por F :
r
2
La suma de los torques 2.4m F2
F r 0 , el cuerpo no se
encuentra en equilibrio rotacional. Por no cumplir las dos condiciones de equilibrio, no se encuentra en equilibrio estático.
reemplazamos
1
48N
F2
F1
F2
F1
12N
86.4 Nm
36N
hallar F ,
F1
2.4m F2
36 N
F2
en
1
48N
F1
48N
F2
48 N
36 N
Ejemplo 7.5 Una viga uniforme de masa 15 Kg y de longitud 8m se encuentra ubicada sobre dos soportes como lo indica la figura. A 3m de un extremo de ella se ubica una caja cuya masa es de 10 Kg . Determinar la fuerza que ejercen los caballetes sobre la viga para que ésta se encuentre en equilibrio.
F 2
2.4m
w
0
F2
2.4m
Para
Fig. 7.5
1.8m
86.4 Nm
86.4 Nm
F2
Ejemplo 7.4 Un tablero uniforme de 48 N de peso y 3.6m de longitud se encuentra en reposo horizontalmente sobre dos caballetes (Fig. 7.5) ¿Qué fuerzas ejercen los caballetes sobre el tablero?
F 1
2.4m
F2
F 2
1.2m
48N
Fig. 7.6
F 1
F 2
8m 3m
A
Solución Como el tablero es uniforme, suponemos que su peso actúa sobre su centro de masa, situado en el centro geométrico del tablero, a 1.8m sobre el tablero se ejercen tres fuerzas. El peso w 48N dirigido hacia abajo, y las fuerzas F1 y F 2 que le hacen los caballetes hacia arriba.
wV wC
F2
48N
100N
Solución Para que el sistema se encuentre en equilibrio, se debe cumplir que:
Como el sistema está en equilibrio, se debe cumplir que: F1
150N
1 F y
Ahora consideremos los momentos de fuerza con respecto al punto A.
F1
F2
100 N
150 N
0
F1
F2
250 N 1
Ahora consideremos los momentos de fuerza con respecto al punto A.
El torque producido por F es nulo, ya que se aplica en el mismo punto, por lo que r 0m 0 Nm . F 1
El torque producido por F es nulo, ya que se aplica en el mismo punto, por lo que: F F1 0m 0 Nm 1
1
1
El w
torque
producido
48 N 1.8m
por
el
peso
es: El torque producido por el peso de la viga:
86.4 Nm
wV
150 N
4m
600Nm F. J. Flórez
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El torque producido por el peso de la caja: 100 N
wC
3m
El torque producido por el peso de la caja que cuelga del punto A: w wA 2.5m
300Nm
A
El torque producido por F : 2
F2 8m
F 2
El torque producido por el peso de la caja que cuelga del punto B: w 250 N 3.5m 875 Nm
La suma de los torques 8m F2 F2
B
600 Nm 300 Nm
900 Nm
F2
8m
0
8m F2
900 Nm
112.5N
250N
F1
F2
F1
137.5 N
250 N
1
2.5m w A F1
250 N
F2
w A
250 112.5 N
B
?
2m
w B
F
w A
80 N
250 N
wA
330 N
696 N
F 1m
B
A
250N
wV
w A
Para que la viga se encuentre en equilibrio, se debe cumplir que: F
w A
80 N
Solución
F y
F
Fig. 7.8 wV
915 Nm
366N
366 N en F
330N
2.5m wA
1. Una barra uniforme de 3 Kg de masa, está apoyada sobre un caballete en el puno O. Del punto A cuelga una masa de 12 Kg . Determina la masa que cuelga del punto B y la fuerza que se ejerza sobre ella para que la barra esté en equilibrio total.
2.5m
w A
wA
2.5m
0
4. PROBLEMAS PROPUESTOS
Fig. 7.7
A
915 Nm
F 366
¿Cuál debe ser el peso del cuerpo que se suspende del punto A para que la viga se encuentre en equilibrio total y qué fuerza ejerce el caballete sobre la viga?
3.5m
40 N
40 Nm 875 Nm
Reemplazando w A
Ejemplo 7.6 Una viga uniforme de peso 80 N , la sostiene un caballete como lo muestra la figura 7.7.
F
0.5m
La suma de los torques:
en
1
F2
80 N
wV
Para hallar F , reemplazamos F2 112.5 N F1
El torque producido por el peso de la viga:
?
w B
2. Una persona tiene una masa de 60 Kg y se encuentra de pie a 1m de un extremo de un andamio de 6m de largo. A 2m del mismo extremo se encuentra una caja con herramientas de 10 Kg de masa. El andamio posee una masa de 30 Kg y está sostenido en sus extremos por caballetes. Determina la fuerza que ejerce cada caballete al andamio para que éste se encuentre en equilibrio.
0
330 N 1
Hallemos los torques con respecto al punto donde se encuentra apoyada la viga: El torque producido por F es nulo, ya que se aplica en el mismo punto, por lo que: F F 0m 0 Nm
F. J. Flórez
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3. Resuelve el problema anterior suponiendo que la persona se encuentra ubicada del otro extremo del andamio a la distancia indicada. 4. Una viga uniforme de 40 Kg y de 4m de larga, descansa sobre dos soportes. Una persona de 70 Kg se encuentra parada en el centro de la viga. Determina la fuerza que ejercen los soportes sobre la viga para que el sistema se encuentre en equilibrio.
F. J. Flórez
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