06Cap1-ConceptosGeneralesEjerciciosResueltos

CAPITULO I CONCEPTOS GENERALES

TEXTO GUIA HIDRAULICA I EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMAS RESUELTOS FLUJO COMUN CONTINUO PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS 1-I) Un cilindro sólido A de masa 2.5 Kg. Se desliza hacia abajo dentro de un tubo, como se muestra en la figura. El cilindro es perfectamente concéntrico con la línea central del tubo, con una película de aceite entre el cilindro y la superficie interna del tubo. El coeficiente de −3  2 viscosidad del aceite es de 7 × 10 ¨ N s m  . ¿Cuál será la velocidad terminal del  

cilindro, es decir, la velocidad constante al final del cilindro? Solución.

τ =µ

δv δn

τ =µ

v−0 0.0001

v 0.0001 τ = 70v

τ = 7 × 10− 3

En la ecuación anterior el valor de v se tomara como la velocidad terminal vT. W = τπDL Donde:

W = Peso del cilindro. D = Diámetro del cilindro L = La longitud del cilindro

( 2.5)( 9.81) = ( 70vT )( ρ 0.0738)( 0.150) vT = 10.07 m

s

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2-I) Un cuerpo que pesa 90 Lb y que tiene una superficie plana de 2 pie 2 se resbala sobre un plano lubricado, el cual forma un ángulo de 300 con la horizontal. Para una viscosidad de    pie  , determinar el espesor de la 2.09 × 10 − 3  Lb × s 2  y una velocidad del cuerpo de 3  s  pie   película lubricante. Solución.

τ =µ τ=

dv dh

F A FH = F cos 300 = ( 90 ) cos 300

FH = 77.9[ Lb ] FV = Fsen300 = ( 90 ) sen300 F 45 = A 2 µdv dh = τ

[

τ = 22.5 Lb

τ=

h=

µ ( v − 0) τ

µv ( 2.09 × 10−3 )( 3) e= = τ 22.5

Pie 2

FV = 45[ Lb ]

] h = Espesor del lubricante e.

e = 2.78 × 10 −4 [ pie]

e = 3.35[ p lg]

3-I) En la figura, un eje roda dentro de una camisa concéntrica de 1200 rpm. La luz e es pequeña con respecto al radio R, de tal manera que se puede suponer una distribución lineal de velocidad en el lubricante. ¿Cuáles son los requerimientos de potencia para rotar el eje?

[

R = 2[ cm], L = 6[ cm], e = 0.1[ mm], µ = N S

m2

].

15



Solución.

Potencia: P = T ω

Donde T = Momento torsos.

[

ω = Velocidad angular del eje.

]

2π = 125.66 rad s 60 dv ωR (125.66)( 0.02) τ = 5026.5 N 2 τ =µ =µ = ( 0.2 ) m dh e 0.0001

ω = 1200

T = τpLR

[ ]

Donde: pL = Área del eje en contacto con lubricante. T = 0.578[ Nm]

T = τpLR = τ ( 2πRL ) R = ( 5026.5)( 2π )( 0.02 )( 0.06 )( 0.02 ) Potencia requerida: P = ( 0.758)(125.66 )

P = 95.2[W ] 4-I) Una masa de aire tiene una presión de 0.8

Kg

cm2

absolutos a una temperatura de 5 0C.

¿Cuál es su densidad? Solución. Las condiciones del problema son: P = 0.8 Kg

cm

2

= 8000 Kg

m2

T = 5 + 273 = 2780 K

16


R = 29.2 m 0


K

El peso específico del aire será:  8000 Kg  m2  γ =  = 0.99 Kg 3 0 m m 29.2 0 278 K K

(

)(

)

Hallamos ahora la densidad en el sistema internacional   0.99 Kg  9.81 Kgm − m   m 3  Kg − s 2   ρ= 9.81 m 2 s

ρ = 0.99 Kg − masa

m3

5-I) Si al término de un análisis en peso de una mezcla de arena-agua se obtiene que las 2 3 partes esta constituida de arena y 13 de agua. Determinar cual es la densidad de la mezcla g −m aceptando que la densidad de la arena es 2.4

cm3

y la densidad del agua es 1

g −m

cm3

.

Solución. La densidad de la mezcla se puede calcular mediante la siguiente expresión:

ρ=

dM ( masa de arena + masade agua ) = dV ( volumen de arena + volumen de agua )

(a)

El volumen de arena se puede calcular a partir del peso total: Varena

2 Pt 3 = = 0.2778Pt cm3 2 .4

(b)

Igualmente se puede calcular el volumen de agua:

17



1 Pt 3 = = 0.3333Pt cm3 1

Vagua

(c)

Reemplazando (b) y (c) en (a) se tiene que:

ρ=

Pt = 1.64 g − m 3 cm ( 0.2778Pt + 0.3333Pt )

ρ = 1.64 g − m

cm 3

6-I) Con referencia a la figura las áreas del pistón A y del cilindro B son, respectivamente, de 40 y 4000 Kg. Los depósitos y las conducciones de conexión están llenos de aceite de densidad relativa 0.750. ¿Cuál es la fuerza P necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A? Solución. Se determina primero la presión que actúa sobre A. Como XL y XR están en el mismo nivel en la misma masa de líquido, se tiene. Presión en XL en

Kg

cm 2

= presión en XR en

Kg

cm 2

O presión bajo A + presión debida a los 5 m de aceite = Sustituyendo P' A +

P' A +

peso de B area de B

4000 Kg wh = 4 10 4000cm 2

750 × 50 Kg Kg 2 = 1 .0 4 cm cm 2 10

P' A = 0.625 Kg

y

Kg Fuerza P = presión uniforme x área = 0.625

cm 2

cm 2

× 40cm 2 = 25.0 Kg

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7-I) El aceite de densidad relativa 0.750 esta fluyendo a través de la boquilla mostrada en la figura y desequilibra la columna de mercurio del manómetro en U. Determinar el valor de h si la presión en A es de 1.40

Kg

cm 2

.

Solución. Presión en B = Presión en C Utilizando como unidad

Kg

cm 2 P' A +

1.40 +

wh ( aceite ) = P' B + wh4 ( mercurio ) 4 10 10

( 0.750 × 1000)( 0.825 + h ) = (13.57 ×1000) h 10 4

10 4

⇒

h = 1.14 m

Otro método es utilizar como unidad la altura de presión en m de agua, Altura de presión en B = Altura de presión en C 1.40 × 10 − ( 0.825 − h ) 0.750 = 13.57h 1000 4

h =1 .1 1m

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8-I) Determínese la viscosidad del fluido entre el eje y la camisa de la figura. Solución.

F F 89 N ⇒τ = = A 2πrL 2π × 0.0381m × 0.2032m

τ=

[ m]

τ = 1829.62 N

τ =µ

2

dv ⇒ τdy = µdv dy

h

v

0

0

∫ τdy = ∫ µdv τ

7.6×10 −5

∫ 0

µ=

0.13

dy = µ ∫ dv 0

1829.62 N

× 7.6 × 10 −5 m m2 0.13 m s

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[

µ = 1.1111N ⋅ s

]

m1

Haciendo la respectiva transformación:

µ = 10.696[ poise]

9-I) Una placa grande se mueve con una velocidad V0 por encima de una placa estacionaria sobre una capa de aceite. Si el perfil de velocidades es parabólico, y el aceite en contacto con la placa tiene la misma velocidad que esta, ¿Cuál es el esfuerzo cortante causado por el aceite sobre la placa en movimiento? Si se supone un perfil lineal; ¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre la placa en movimiento? Solución. Para la hipótesis de distribución de velocidades lineal, la relación entre la velocidad y la distancia será:

m=

y 2 − y1 d −0 d = = x 2 − x1 V0 − 0 V 0

( y − y1 ) = m( x − x1 ) ( y − 0) =

V=

Ecuación de la recta

d (V − 0) V0

V0 y d

El gradiente de velocidades: dV V 0 = dy d Entonces la tensión cortante:

τ =µ

dV dy

;

τ =µ

V0 d

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Esta ecuación no depende de la distancia “y” ⇒ τ es la misma que cualquier distancia “y” de la placa estacionaria. La capa superior ⇔ y = d

τ =µ

V1 d

ESFUERZO CORTANTE SOBRE LA PLACA MOVIL Para la hipótesis de distribución de velocidades parabólica, se tendrá:

( y − k ) 1 = −1a( x − h )

Ecuación de la parábola

Vértice (V 1, d ) ⇒ ( y − d ) = −1a(V − V 1) 1

( 1,1) ∈ Curva

⇒ ( 1− d ) = −1a ( 1− V 1) 1

d 1 = 1aV 1 ⇒ a =

d1 1 V1

1

( y − d ) 1 = −1d (V − V1) 1 V1

V = V1 −

V1 d

1

( y −d)1

El gradiente de velocidades: V dV = −1 11 ( y − d ) dy d La tensión cortante:

τ =µ

dV dy

;

1µV  V  τ = µ − 1 11 ( y − d )  = − 11 ( y − d ) d  d 

Cuando y = d (Placa en movimiento)

τ =0 ESFUERZO CORTANTE SOBRE LA PLACA MOVIL

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10-I) El agua corre a través de una tubería. El perfil de velocidad en una sección es como se muestra en la figura y matemáticamente viene dado por:

V=

 β  D2  − r 2  4µ  4 

β = constante

Donde:

r = distancia radial desde la línea central V = velocidad en cualquier posición r ¿Cuál es el esfuerzo cortante sobre la pared de la tubería causado por el agua?, ¿Cuál es el esfuerzo cortante en una posición r = D 4 ? Solución.

β dV ( − 2r ) = − 2 β r = dr 4 µ 4µ

τ =µ

2β dV ⇒τ = µ − r dr 4µ

τ =−

β r 2

Cuando r =

β D D ⇒τ = − × 2 2 2

τ =−

βD 4

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Cuando r =


β D D ⇒τ = − × 4 2 4

τ =−

βD 8

11-I) Un bloque de KN 1 de peso y 200mm de lado se desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una película de aceite con espesor de 0.0050mm . Sise utiliza un perfil lineal de velocidades en el aceite. ¿Cuál es la velocidad terminal del bloque? La viscosidad del aceite es 7 × 10 −2 poise. Solución. W = 1KN

l = 200mm

[

µ = 7 × 10 − 2 poise ⇒ 7 × 10 −3 Ns

m2

]

V0 ⇔ Velocidad del bloque Hipótesis lineal V=

V0 y d

dV V 0 = dy d V = ctte ⇒ a = 0 0

∑ F = ma mgsen20 0 − F = 0 Wsen20 0 = τA Wsen20 0 = µ

τ=

F ; Esfuerzo de corte A dV τ =µ ; Newton dy

dV A dy

24


Wsen20 0 = µ


V0 A d

Wsen20 0 d V0 = µA V0 =

( )( ( 7 ×10 )( 0.2)

1000 N sen20 0 0.005 × 10 −3 −3

)

2

[ s]

V0 = 6.11 m

TODO EN UNIDADES DEL SI

12-I) Un cilindro de 0.122m de radio gira concéntrica mente en el interior de un cilindro fijo de 0.128m de radio. Ambos cilindros tiene una longitud de 0.305m . Determinar la viscosidad del líquido que llena el espacio entre los cilindros, si se necesita un par de 0 .881Nm para mantener una velocidad angular de 60 revoluciones por minuto. Solución.

r1 = 0.122m

;

r2 = 0.128m

L = 0.305m

;

M = 0.881N ⋅ m

 rad  ω = 60rpm = 2π   s  v = ωr ⇒ velocidad tan gencial

[

]

v = (0.122m)(2π rad ) s

m v = 0.767   s

M 0 = M resistente

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0.881 = τ ( 2πr × 0.305) r 0.4597 τ= r2

τ =µ

dV dV 0.4597 ⇒ = dy dy µr 2

Cuando r = r2 ⇒ V = 0 Cuando r = r1 ⇒ V = 0.767 m

s

0.122 1 ( − dr ) 0.4597 2 dV = r ∫ ∫ µ 0.128 V2 V1

0.122

(V1 − V2 ) = 0.4597  1  µ  r  0.128 ( 0.767 − 0) = 0.4597  µ

1 1  −  0.122 0.128 

µ = 0.230 Pa ⋅ s 13-I) Dos superficies planas de grandes dimensiones están separadas 25mm , y el espacio entre ellas esta lleno con un líquido cuya viscosidad absoluta es 0.10kp s m 2 . Suponiendo que el gradiente de velocidades es lineal, ¿Qué fuerza se requiere para arrastrar una placa de muy poco espesor y 40dm 2 de área a la velocidad constante de 32 cm s , si es que la placa dista 8mm de una de las superficies? Solución.

µ = 0.10 Kps / m 2 τ = τ1 +τ 2

;

V0 = 32cm / s = 0.32m / s

τ =µ

dV1 dV +µ 2 dy1 dy 2

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SEGÚN LA HIPOTESIS LINEAL


dV V = dy y

V= VELOCIDAD DE PLACA MOVIL y = DISTANCIA ENTRE PLACAS

V0 = Ctte ⇒ V1 = V2 1 1 τ = µV0  +   y1 y 2 

τ=

F ⇒ F = A ⋅τ A

1 1 F = AµV0  +   y1 y 2 

1   1 F = (0.4)(0.10)(0.32)  +  0.017 0.008 

F = 2.35 Kp

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