Unidad 1
Ejercici Ejercicios os resueltos
Nom N ombr bre: e: 1
Fecha:
Señala cuál de las siguientes interrogantes es la más idónea para ser respondida por la física con el método cientí�co: ¿cuáles son los bene�cios que trae el uso adecuado del agua? ¿Qué tipo de �uido es el agua? ¿Cómo actúan los cuerpos sumergidos dentro del agua? Justi�ca tu respuesta.
4
/
/
De acuerdo con el Sistema Internacional de Unidades, determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Valor de verdad
Proposición
Solución:
El kelvin es la unidad de una magnitud física fundamental.
V
La interrogante más idónea es aquella cuya respuesta implica
La cantidad de sustancia y la masa son la misma magnitud física fundamental.
F
El pascal es la unidad de una magnitud física derivada.
V
____________________________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________________________
seguir los pasos del método científico: observar, formular hipóte-
____________________________________________________________________________________________________________
sis, experimentar y proponer una te oría. Entonces, la interrogante
____________________________________________________________________________________________________________
que se ajusta a estos pasos es esta: ¿cómo actúan los cuerpos
5
____________________________________________________________________________________________________________
sumergidos dentro del agua?
____________________________________________________________________________________________________________
2
Una amiga le pide prestado prestado a Alicia su valioso diamante durante un día para mostrárselo a su familia. Ella tiene alguna duda de prestárselo, así que lo pone en una balanza digital, que da un peso de 8,17 N. La exactitud de la balanza, según se describe en el manual, es de ± 0,05 N. Al día siguiente, la amiga le devuelve el diamante. Alicia lo pesa otra vez y su medición es 8,09 N. ¿Puede a�rmar que no es su diamante? Explica tu respuesta.
Un obrero levanta un saco de arroz hasta una altura de 3 m utilizando un sistema de poleas durante 12 s. Identi�ca en esta actividad las magnitudes que se señalan en la tabla y describe cómo se mani�estan. Magnitud física
¿Cómo se manifiesta?
Masa
La masa del obrero, la del saco de arroz y la del sistema de poleas.
Longitud
La longitud de la altura a la que se levanta el saco de arroz.
Tiempo
El tiempo que demora el obrero en levantar el saco de arroz.
Velocidad
La velocidad con la que sube el saco de arroz.
Aceleración
La aceleración con la que sube el saco de arroz.
Fuerza
El peso de los cuerpos y la tensión en la cuerda del sistema de poleas.
Presión
La presión que ejercen las manos del obrero sobre la cuerda.
Solución:
____________________________________________________________________________________________________________
Las lecturas de las balanzas son mediciones y no necesaria-
____________________________________________________________________________________________________________
mente “valores verdaderos” de los pesos. Cada medición pudo
____________________________________________________________________________________________________________
haber sido mayor o menor en 0, 05 N. Por ello, la primera medida
____________________________________________________________________________________________________________
del peso del diamante fluctúa entre 8,12 y 8,22 N, y la segunda
____________________________________________________________________________________________________________
medida obtenida al ser devuelto varía entre 8,04 y 8,14 N. Los
____________________________________________________________________________________________________________
posibles valores mayores están dentro del intervalo inicial. Por lo
____________________________________________________________________________________________________________
tanto, Alicia no puede afirmar que el ______________________________________________ recibido no es su diama nte. ______________________________________________________________ 3
Expresa las siguientes cantidades en notación cientí�ca. Luego completa en la tabla el nombre de la magnitud a la que pertenecen. Notación científica
Magnitud
7,5 10–6 A
Intensidad de corriente eléctrica
0,648 kg
6,48 10–1 kg
Masa
625 700 W
6,257 105 W
Potencia
8,66 102 J
Energía
4,407 10–4 K
Temperatura
Cantidad 0,0000075 A
866 J 0,0004407 K
Física. Secundaria
∙
∙
∙
∙
∙
6
La siguiente fórmula física es____ dimensionalmente co___ rrecta, donde F es fuerza y v es velocidad. Determina las unidades de la magnitud b magnitud b en en el Sistema Internacional. ›
›
_c_ + c F = av b + __ v
( (
)
Solución: Como la ecuación es dimensionalmente correcta: [ F ] = [ c ] [F] [c] ___ ___ [ ] [ ] Dentro del paréntesis: [ b ] = _c v → b = [ v ] → b = [ v ] Reemplazando las ecuaciones dimensionales, se tiene:
[ ]
masa MLT ML T –2 = MT –3 = __ M → ______ [ b ] = _____
LT –1
T3
es __3 . ∴ La unidad de b es s kg
tiempo3
___
›
7
En un nuevo sistema de unidades, se considera como magnitudes fundamentales a la masa ( M ), la velocidad ( V ) y el tiempo ( T ). Halla la dimensión de P si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta:
9
A + Bsen θ P = ___________
C2 + D Donde: A → volumen; D → presión.
Q
En el siguiente sistema de vectores, determina el módulo del vector P, de tal forma que la resultante de los vectores sea vertical. Considera Q = 45 u.
53° 60° ___
›
P
Solución: Del enunciado se infiere que los vectores en la horizontal deben ser del mismo módulo y de direcciones opuestas.
Solución:
___
›
Se tiene: PC 2 + PD = A + B sen θ Por el principio de homogeneidad, se plantea:
P cos 60°
[ PC 2 ] = [ PD ] = [ A ] = [ B sen θ ]
P cos 60° = 27 u
27 u
___
P sen 60°
›
P ∙ 1/2 = 27 u
P
Reemplazando las dimensiones de A y D , se tiene: [ P ] = L3( ML –1T –2 )–1 = L3M –1LT 2 = M –1L4T 2
53°
60°
Luego: [ PD ] = [ A ] → [ P ]= [ A ][ D ]–1
Se descomponen los vectores P y Q , y se igualan los módulos en la horizontal.
45 u Q
36 u
10
Se convierten a las magnitudes fundamentales del nuevo
∴ P = 54 u
Considera la dirección de cada vector y dibuja el vector resultante aplicando el método del polígono. __
›
sistema de unidades: [ P ] = M –1L4T 2
∙
c
T –4T 4 = M –1( LT –1 )4T 6 = M –1V 4T 6
___
›
a
___
___
›
b
8
En un experimento se mide el tiempo que demora un péndulo simple en dar una oscilación, el cual se denomina periodo ( T ). Se observa que el periodo depende de la aceleración de la gravedad g ( ) y de la longitud de la cuerda l ( ). Determina la ecuación del periodo en función de estas dos últimas magnitudes.
›
d
__
›
c
___
›
b
___
›
d
Solución:
___
___
a
R
›
›
Las ecuaciones dimensionales de g y l son las siguientes:
g = aceleración de la gravedad → [ g ] = LT –2 l = longitud de la cuerda → [ l ] = L Del enunciado se tiene: T = kg x l y Donde: k es constante; x y y son exponentes.
11
Dos vectores de módulos 4 y 2√ 2 están unidos en sus puntos de aplicación formando un ángulo de 135°. Representa grá�camente los vectores dados y el vector resultante de ambos. Luego calcula su módulo. ―
Luego: [ T ] = [ k ] [ g ]x [ l ] y ∙
∙
___
›
T = (1)( LT
–2 )x
∙
Se tiene: –2x = 1 → x = – _1_ ∧ x + y = 0 → y = +_1_ 2 2 ― l __ –1/2 1/2 = ∴ T = k g l k g ∙
∙
R
( L ) y → ( L0 )( T ) = ( Lx + y )( T –2x )
√
― 2√ 2
45°
Solución: 4 Se factoriza y se aplica la ley de cosenos:
―――――――――― ―2 ― ―――――――― ― ― –1
R = 2√ √ 2 + 22 + 2 ∙ √ 2 ∙ 2 ∙ cos 135°
√
= 2√ 2 R = 2 2 + 4 + 2 ∙ √ 2 ∙ 2 ∙ ___ √ ― 2
Física. Secundaria
( )
Unidad 2
Ejercicios resueltos
Nombre: 1
/
Fecha:
A partir del instante mostrado, calcula cuántos segundos transcurren hasta que el auto A pasa completamente al auto B. Considera que los autos se mueven en vías paralelas realizando un MRU. ( ) 12 m/s A
3
( B ) 4 m/s
3m
10 m
/
Uno de los principales motivos de accidentes de tránsito ocasionados por móviles menores es la excesiva velocidad que los choferes imprimen a sus vehículos. Por ejemplo, un conductor que maneja su auto a 90 km/h con aceleración constante, al aplicar los frenos, requiere 5 s para detener su vehículo. a. ¿Cuál es la distancia total recorrida desde que aplica los frenos hasta que se detiene?
3 m m
Solución:
b. ¿Habría chocado si hubiese tenido un auto estacionado frente a él, a 58 m?
De acuerdo con el enunciado, el auto A pasará completamente al auto B cuando la parte posterior del auto A alcance a la parte delantera del auto B . Entonces, se representa a los autos como partículas; y a su longitud, como parte de la distancia de separación. t t A B A B
Solución: a. De acuerdo con el enunciado, se tiene un caso de MRUV con desaceleración. Se lo representa gráficamente: v 0 = 25 m/s
a
v f = 0 t = 5 s
d
16 m
d B
Del gráfico: d =
d A
(
v 0 + v f _____
25 m/s + 0 ∙ 5 s )t = ( _________ ) 2
2
∴ d = 62,5 m
Del gráfico: d A = d B + 16 m. Además, por MRU, d = v t ∙
b. Si hubiese tenido un auto frente a él, a 58 m, sí habría
Luego: v A t = v B t + 16 m → 12 t = 4 t + 16 ∴ t = 2 s ∙
2
∙
∙
∙
Las as ondas primarias ( P ) y secundarias ( S ) parte parten simultáneamente multáneamente desde el hipocentro de un sismo, sism es decir, ec r, desde es e e el lugar ugar bajo a o la a super�cie super c e terresterre tre e donde este se genera. Las ondas P viajan co con una na rapidez que es aproximadamente 1,73 vece veces la rapidez rapidez de las ondas S. Conocido esto, analiz analiza un n sismo que ocurre en un lugar de la costa peru peruana a y es registrado por un sismógrafo ubicado s sobre re la super�cie terrestre. Ell sismógrafo registra que las s ondas S S y y P llegan llegan con una na diferencia de 14,6 s. Si se sabe, además, que la onda n a S tiene t ene una rapidez rap ez de e 5 km/s, determina la distancia del hipocentro al sismógrafo.
chocado, ya que con esa desaceleración recién se habría detenido después de recorrer 62,5 m. 4
Un automóvil se desplaza con MRUV durante 3 s, tiempo en el cual alcanza su rapidez máxima y recorre 81 m. Después, avanza con velocidad constante durante los siguientes 3 s, recorriendo esta vez 90 m. Determina el módulo de la aceleración del primer tramo. Solución: De acuerdo con el enunciado, se tiene un recorrido de dos tramos, el primero en MRUV y el segundo en MRU. En el segundo tramo (MRU): d = v t → 90 m = v 3 s → v = 30 m/s Con el dato obtenido se traza el siguiente gráfico: MRUV MRU 3s 3s v 0 30 m/s 30 m/s ∙
∙
___
›
a v P
81 m En el primer tramo (MRUV): d
v S
Solución: d = v P ∙ t P = v S ∙ t S → 1,73 v S ∙ t P = v S ∙ t S t S = 1,73 t P
Por dato: t S – t P = 14,6 = 0,73 t P → t P = 20 s Luego: d = v S ∙ t S = 5 km/s ∙ 1,73 ∙ 20 s = 173 km Física. Secundaria
90 m
v f = v 0 + a t → 30 m/s = v 0 + a 3 s ∙
∙
…(I)
Se halla el módulo de la velocidad inicial v 0. v 0 + v f v 0 + 30 m/s 3 s → v 0 = 24 m/s d = _____ t → 81 m = __________ 2 2 Se reemplaza ( v 0 = 24 m/s) en (I):
(
(
)
30 m/s = 24 m/s + a 3 s ∙
)
∴ a = 2 m/s2
5
Una esfera se lanza verticalmente hacia arriba desde la super�cie de la Tierra con una rapidez de 40 m/s.
7
Un proyectil experimenta caída libre cuando su movimiento es in�uenciado únicamente por la atracción terrestre. A continuación, se lanza un proyectil con una rapidez v 0 40 m/s, perpendicular al plano inclinado, tal como se muestra en la �gura. Halla el tiempo de vuelo del proyectil ( g 10 m/s²).
a. Determina la altura a la que se encuentra la esfera cuando su rapidez es 10 m/s por segunda vez. Considera g = 10 m/s2.
v 0
=
b. Halla la diferencia entre las alturas que alcanza la esfera con sus velocidades ↑10 m/s y ↓10 m/s.
37°
=
Solución:
Solución:
a. Del enunciado se infiere que la esfera alcanza una rapidez
Considerando el movimiento del proyectil como una composición de movimientos, se tiene, en la dirección del lanzamiento, un MRU, y en la vertical, un cuerpo en caída libre. gt 2 10 m/s2 ∙ t 2 = 50t ___ = 50 t → _________ 2 2 ∴ t = 10 s
de 10 m/s, por primera vez, cuando está ascendiendo; y por segunda vez, cuando está descendiendo.
g =10 m/s2
10 m/s B
10 m/s
8
Para el tramo AB : v f 2 = v 02 – 2gh (10 m/s)2 = (40 m/s)2 – 2 ∙ 10 m/s2 ∙ h → h = 75 m b. Se sabe que para la misma velocidad de subida y bajada ( ↑↓10 m/s) se tiene la misma altura → h – h = 0
Un objeto fue lanzado verticalmente hacia arriba con cierta rapidez y durante los cuatro primeros segundos de su movimiento recorrió 50 m. ¿Qué rapidez tendrá el objeto 8 s después de su lanzamiento? Considera que el objeto está en caída libre y g 10 m/s2.
37° 2
gt ___ = 50t
2
t = ?
37°
do, se puede trazar el si-
5m
guiente gráfico que cumple
5m A
∙
15 m
4s
25 m
∴ v = 50 m/s
v = ? B
120°
B
A
( )
9
v f = v 0 + gt v = 10 m/s + 10 m/s2 4 s
3m
g
con las condiciones descritas. En el tramo AB se tiene:
A
El ángulo barrido tiene que estar exθ presado en radianes, por lo cual se realiza la conversión de θ = 120°. 3m 2 π π ____ ___ rad θ = 120° →θ = B 180° 3 2π rad ∙ 3 = 2π rad Luego: l AB = θ ∙ r → l AB = ___ 3
Solución: De acuerdo con el enuncia-
Una partícula realiza un movimiento circunferencial uniforme en el que se mueve con velocidad angular constante, tal como se muestra en la �gura. Determina la longitud de arco que recorre en el tramo AB. Solución:
=
Física. Secundaria
v 0 = 40t
h
40 m/s A
6
v 0 = 40t
Una partícula realiza un MCUV describiendo una trayectoria circunferencial de radio igual a 50 cm, con una aceleración angular de 10 rad/s2. Calcula el módulo de su aceleración tangencial. Solución: Cuando una partícula realiza un MCUV, se verifica la siguiente relación entre el módulo de la aceleración tangencial ( aT ) y el módulo de la aceleración angular ( α ): rad ∙ _1_ m a T = α ∙ r → a T = 10 ___ s2 2 2 ∴ a T = 5 m/s
α _1_ m 2
a T
Unidad 3
Ejercicios resueltos
Nombre: 1
/
Fecha:
Observa el siguiente grá�co y realiza el diagrama de cuerpo libre (DCL) de la barra homogénea que está en equilibrio.
3
/
Analiza el grá�co y halla los módulos de las fuerzas de tensión en las cuerdas 53° 37° A y B, si el bloque de A B 6 kg de masa se encuentra en equilibrio. Considera g = 10 m/s2. m Solución:
Solución:
___
›
Como la fuerza de gravedad (F g ) y ___ la fuerza de tensión (T ) son concurrentes, entonces, la fuerza de ___ la reacción (R ) en la articulación debe ser también concurrente a las dos fuerzas anteriores.
T
›
___
›
2
Se traza el DCL sobre el nodo de las cuerdas.
___
›
T A
›
F g
de fuerzas cerrado. T A = 48 N
___
›
___
Se construye un triángulo
›
37° 53°
37°
T B
___
T B = 36 N
›
R
___
F g = 60 N
›
En el sistema que se muestra en la �gura, la caja de 5 kg de masa está en reposo sobre el plato de la balanza. En esta situación, la balanza indica 2 kg. Si se considera g = 10 m/s2, determina lo siguiente:
F g
53°
Se conoce que F g = m ∙ g = 6 kg ∙ 10 m/s2 = 60 N Luego, para cumplir con las condiciones del triángulo notable, se tiene: 60 N = 5k → k = 12 N
a. El módulo de la tensión en la cuerda
∴ T A = 4k = 48 N ∧ T B = 3k = 36 N
b. La masa del bloque P en kg 4
Cuerda ideal g
Si el coe�ciente de rozamiento estático entre la super�cie inclinada y la caja de masa m = 10 kg es µ s = 0,1, determina en g qué intervalo debe estar el ___ módulo de la fuerza m F para mantener la caja ___ 3u F en equilibrio. Conside___ ra que F es paralela al 4u plano inclinado y que g = 10 m/s2. ›
30º
›
›
P
Solución:
Solución:
Se traza el DCL de la caja que
Para mantener el equilibrio de la caja: F mín. ≤ F ≤ F máx. 1.er caso ( Fmín. ): a punto de 2.° caso ( F máx. ): a punto de
se encuentra sobre la balanza. También se observa que la
→
F g
→
T
deslizarse hacia abajo F g = 100 N
→
30º
T
fuerza de gravedad del bloque P
P y la fuerza de tensión deben
ser iguales en módulo para ___
›
__
›
60 N 53°
60 N
80 N 53°
→
→
F g(P)
R
mantener el equilibrio T = F g ( P ) a. En la caja: R + T sen 30° = F g
fs máx. F mín.
2
2 kg ∙ 10 m/s + T ∙ 1/2 = 50 N 20 N + T /2 = 50 N → T = 60 N b. En el bloque P : T = F g ( P ) → 60 N = m ( P ) ∙ g 60 N = m ( P ) ∙ 10 m/s2 → m ( P ) = 6 kg
Física. Secundaria
80 N
deslizarse hacia arriba F g = 100 N
f N = 80 N
fs máx.
F máx.
f N = 80 N
fs máx. = µS f N = 0,1 80 N = 8 N fs máx. = µS f N = 0,1 80 N = 8 N ∙
∙
∙
Luego: F mín. + 8 N = 60 N → F mín. = 52 N F máx. = 8 N + 60 N → F máx. = 68 N ∴ 52 N ≤ F ≤ 68 N
∙
5
Calcula el momento o torque resultante (en Nm) respecto del punto O en la barra homogénea y horizontal de 3 m de longitud y 5 kg de masa. Considera g = 10 m/s².
7
20 N
2m
10 N
O
1m 40 N
8m
Horizontal
37°
Se trazan las líneas referenciales en la dirección radial y tangencial del movimiento. F g = 50 N En la dirección radial se aplica Dirección la segunda ley de Newton: radial
Del gráfico y los datos del enunciado, se tiene: 20 N
2m
10 N
F CP = m ∙ a CP
1m
v T + 30 N = m ∙ __ r
1,5 m
M res. = (+20 ∙ 2) + (10 ∙ 0) + (–40 ∙ 1) + (–50 ∙ 1,5) 8
Se lanza un disco sólido sobre la super�cie horizontal de un lago congelado, con una rapidez de 25 m/s. Encuentra la distancia que recorre el disco hasta detenerse, si el coe�ciente de fricción cinética entre el disco y el hielo es 0,25 g ( = 10 m/s²).
Dirección tangencial
37°
Si el radio de la Tierra se redujera a la mitad, manteniendo su densidad promedio constante, calcula el nuevo peso ( P n ) de un hombre cuyo peso es P en condiciones normales. Solución:
g
En condiciones normales, se cumple que 4π ∙ r 3 G ρ ___ G ∙ ρV 3 GM __________ ___ ______ g = 2 = = 2 2
(
r
F g = 10 m v f = 0
r
)
r
r r M M
4π ∙ r → g = k ∙ r …(I) g = G ρ ___ 3
( )
f k
g
f N = 10 m
m R
d Donde: m es la masa del disco y d es la distancia que recorre hasta detenerse. Del MRUV que se infiere del gráfico, se tiene: 2
T
ρ es la densidad del planeta.
Solución: A partir de los datos del enunciado, se grafica: 25 m/s
30 N
40 N
Se reemplazan los datos: (16 m/s)2 T + 30 N = 5 kg ∙ _______ (8 m) ∴ T = 130 N
M res. = M 20 N + M 10 N + M 40 N + M 50 N M res. = 40 + 0 – 40 – 75 ∴ M res. = – 75 Nm
53° 2
5 kg ∙ 10 m/s2 = 50 N
40 N
2
v = 16 m/s
Solución:
Solución:
6
La �gura muestra una esfera de 5 kg de masa unida a una cuerda inextensible y de masa despreciable de 8 m de longitud, girando sobre un plano vertical. Para el instante mostrado, determina el módulo de la tensión en la cuerda.
g __ 2
m R __ 2
v f = v 0 – 2ad → 0 = (25 m/s)2 – 2ad …(I) De la segunda ley de Newton se tiene:
Donde:
F R = m ∙ a → f k = m ∙ a → µk ∙ f N = m ∙ a _1_ ∙ 10 m = m ∙ a → a = 2,5 m/s2 4 Se reemplaza ( a = 2,5 m/s2 ) en (I):
De (I): si el radio se reduce a la mitad, entonces, la aceleración de la gravedad también se reduce a la mitad.
0 = (25
m/s)2 –
625 m /s d = ________ 5 m/s2 2
2
Física. Secundaria
2(2,5
m/s2 )(
d )
∴ d = 125 m
k es constante y g es directamente proporcional a r .
Finalmente: Peso inicial = m ∙ g = P g P ∴ Peso final = m ∙ __ = __ 2 2
Unidad 4
Ejercicios resueltos
Nombre: 1
Fecha:
Mateo y Andrea aplican ___ juntos untos una fuerza F de 300 00 N (+î (+î) ) y logran empu jar ar un armario de 200 kg de e masa a una distancia tanc a de e 25 m sobre una supersuper�cie cie horizontal. La fuerza de e fricción en esa super___ �cie cie es f k 200 N (–î ).
3
›
___
›
F
a
/
/
Un automóvil de 1500 kg de masa parte desde el reposo y acelera constantemente cons hasta alcanzar una rapidez de 20 m/s, recorriendo una distancia de 200 m a lo largo d de una super�cie horizontal. Determina etermina la cantidad de trabajo realizado por el motor sobre el automó automóvil. Solución:
f k
›
=
Se representan gráficamente los datos del enunciado: 20 m/s v 0 = 0 a F
Determina etermina el trabajo neto realizado sobre el armario io en el tramo mencionado.
200 m
Solución: Del gráfico se tiene:
Se representan gráficamente los datos del enunciado:
W F = F ∙ d = m ∙ a ∙ d = 1500 kg ∙ a ∙ 200 m W F = 3 ∙105 kg ∙ a ∙ m …(I) Se calcula la aceleración por MRUV: 2 2 vf = v 0 + 2 ∙ a ∙ d
___
___
›
›
F
F = 300 N a
a
(20 m/s)2 = 0 + 2 ∙ a ∙ 200 m → a = 1 m/s2 Se reemplaza ( a = 1 m/s2 ) en (I):
f k = 200 N
W F = 3 ∙ 105 kg ∙ 1 m/s2 ∙ m = 300 000 J ∴ W F = 300 kJ
f k 25 m 4
Luego:
W neto = F R ∙ d = (300 N – 200 N) ∙ 25 m = 2500 J ∴ W neto = 2500 J 2
Una na caja de 1300 N de peso se encuentra sobre una na super�cie horizontal rugosa. Calcula el trabajo que ue se necesita, en J, para moverla con rapidez constante onstante a una distancia de 5 m, si la fuerza de fricción ricción tiene una magnitud de 230 N.
Una esfera pequeña de 10 kg se suelta desde lo alto de un edi�cio. Calcula su energía potencial gravitatoria respecto del piso luego de 2 s de ser soltada. Desprecia la resistencia del aire g ( 10 m/s2 ). ).
v = 0
30 m
=
Solución: El trabajo se debe encontrar mediante una fuerza F en un tramo de 5 m. F g v = cte.
A
F
f k = 230 N
Solución: De acuerdo con los datos del enunciado, se tiene: v = 0
B
5m
1s
g = 10 m/s2
f N d = 5 m Para el trabajo es necesario que F = cte. Entonces: F W A → B
30 m
1s
h 1 s = v 0 ∙ t + g ∙ t 2 /2 h 1 s = 0 ∙ 1 + 10 ∙ 12 /2
F W A → B
= +Fd → = +F (5 m) …(I) Luego, como v = cte, entonces, F R = 0 En consecuencia: ∑F ( → ) = ∑F ( ← ) F = f k F = 230 N Se reemplaza ( F = 230 N) en (I): F ∴ W A → B = 230 N ∙ 5 m = 1150 J Física. Secundaria
15 m
h 1 s = 5 m → h 2 s = 20 m h = 10 m NR Se sabe que E PG = m ∙ g ∙ h = 10 kg ∙ 10 m/s2 ∙ h … (I) Se reemplaza ( h = 10 m) en (I).
∴ E PG = 1000 J
5
Se suelta un bloque de 1 kg, tal como se muestra en la siguiente �gura. Determina la máxima deformación que experimenta el resorte, cuya constante de rigidez es k 80 N/m g 10 m/s2 ). (
v = 0
La misma
___
g
dirección
F res.
50 cm
›
__
›
____
____
›
›
I res. = p f – p 0
― mv √ 2
=
=
____
____
›
p 0
›
p f
Solución: La máxima deformación se da cuando el resorte detiene por completo al bloque. En ese instante, la rapidez es igual a cero.
45º
mv
mv
45º
__
| I | = I ›
v 0 = 0
res.
res.
― = m ∙ v ∙ √ ― 2 = 0,06 kg ∙ 25 m/s ∙ √ 2
∴ I res. = 2,12 kg m/s
Inicio i
F g 7
0,5 m
0 v f = 0
x máx.
NR
Final
F E
Solución:
Por la conservación de la energía mecánica: kx 2 E M 0 = E MF → E PG = E PE → mgh = ___ 2 80 ∙ x 2 → x = 0,5 m 1 kg ∙ 10 m/s2 ∙ (0,5 m + x ) = ______ 2 ∴ x máx. = 50 cm 6
Se construye el diagrama lineal de la temperatura, según los datos del enunciado:
Q 3
Q 2
En un partido organizado por la Federación Deportiva Peruana de Tenis, una bola de 0,06 kg golpea una pared en un ángulo de 45° y rebota con la misma rapidez de 25 m/s en un ángulo de 45°. Calcula la magnitud aproximada del impulso, en kg m/s, que la pared ejerció sobre la bola.
Q 1 45°
Hielo
45°
0 ºC
100 ºC
Por la conservación de la energía, se tiene:
Q ganado = Q perdido → Q 2 + Q 3 = Q 1 Q s (hielo) + Q T (hielo) = Q s (agua) Ce (hielo) ∙ m ∙ ∆T + m ∙ LF = C e (agua) ∙ m a ∙ ∆T a 40 ∙ 0,5 ∙ 20 + 40 ∙ 80 = 1 ∙ m ∙ 100
∴ m = 36 g
Del enunciado y del gráfico, se tiene:
v = v 0 = v f = 25 m/s
8
v f
Del gráfico se observa: ›
Agua
–20 ºC
Solución:
____
Un recipiente de capacidad calorí�ca despreciable contiene 40 g de hielo a –20 ºC. ¿Cuántos gramos de agua a 100 ºC se debe agregar en el recipiente para obtener �nalmente agua líquida a 0 ºC?
m
___
›
p 0 ≠ p f De donde se infiere que la
p f = mv I res.
45°
p 0 = mv
45°
F
cantidad de movimiento de la bola varía debido al impulso resultante no nulo.
v 0 m
__
›
___ ›
__
›
___
›
____
›
Se cumple: I res. = ∆p → I res. = p f – p 0
Física. Secundaria
Se tiene 4 moles de gas helio contenidos en un cilindro de acero inoxidable a una temperatura de 27 ºC. El sistema se calienta a volumen constante hasta una temperatura de 227 ºC. ¿Qué cantidad de calor se ha transferido al gas para incrementar su temperatura? ( CV 12,5 J/mol). =
Solución: Como el proceso es a volumen constante, se tiene: Q = n ∙ C V ∙ ∆T Se reemplazan los datos del enunciado y se obtiene: J ∙ (227 – 27)K = 10 000 J Q = 4 mol ∙ 12,5 ______ mol ∙ K ∴ Q = 10 kJ
Unidad 5
Ejercicios resueltos
Nombre: 1
/
Fecha:
En la �gura se muestra un recipiente que contiene tres líquidos no miscibles en equilibrio mecánico. Calcula la presión hidrostática que soporta el fondo del recipiente. Considera g = 10 m/s2.
0,05 m
0,25 m Aceite
ρagua
40 cm
Agua
ρaceite = 0,8 g/cm 3
20 cm
Mercurio
ρmercurio
=
C
A
0,15 m
g/cm 3
40 cm
= 1,0
/
0,05 m (1)
13,6 g/cm3
(2) B
Isóbara
Solución: De acuerdo con el enunciado del texto, se calcula la P H a partir
Para la isóbara, se cumple: P 1 = P 2
de la siguiente equivalencia:
P atm + ρ A ∙ g ∙ h A = P atm + ρB ∙ g ∙ h B + ρC ∙ g ∙ h C
P H = P H (mercurio) + P H (agua) + P H (aceite)
Simplificando las igualdades, se tiene:
P H = ρHg ∙ g ∙ h Hg + ρH O ∙ g ∙ h H O + ρaceite ∙ g ∙ h aceite 2
ρ A ∙ h A = ρB ∙ h B + ρC ∙ h C kg kg 500 ___3 ∙ 0,25 m = ρB ∙ 0,05 m + 300 ___3 ∙ 0,15 m m m ∴ ρB = 1600 kg/m3
2
P H = 13 600 ∙ 10 ∙ 0,2 + 1000 ∙ 10 ∙ 0,4 + 800 ∙ 10 ∙ 0,4 ∴ P H = 34 400 Pa 2
Un buzo que se encuentra sumergido en un lago soporta una presión total de 4 atm. Determina la profundidad a la que se encuentra el buzo. Considera que ρlago = ρagua = 1,0 g/cm3; Patm = 105 Pa; g = 10 m/s2. Solución: Según la condición del problema, se tiene: P = P H + P atm P = ρ ∙ g ∙ h + P atm 4 atm = 1000 ∙ 10 ∙ h (Pa) + 1 atm 3 atm = 104h (Pa) 105 Pa = 104h (Pa) 3 atm _____ 1 atm ∴ h = 30 m
(
3
)
h
4
Una esfera de densidad ρ está sumergida y en equilibrio entre dos líquidos no miscibles A y B, cuyas densidades son 2 g/cm3 y 1,2 g/cm3, respectivamente, tal como se muestra en la �gura. Determina la densidad de la esfera para que �ote con la mitad de su volumen sumergida en el líquido más denso.
ρ = 1000 kg/m3 B A
buzo
El tubo en forma de U que se muestra en la �gura contiene tres líquidos no miscibles: A, B y C, en equili- 25 cm A brio. Si las densidades de los líquidos A y C son 500 kg/m3 y 300 kg/m3, respectivamente, halla la densidad del líquido B.
5 cm
Solución: C 15 cm
B
Se realiza el DCL de la esfera y se analiza el equilibrio en la vertical: F g = E A + E B ρE ∙ V E ∙ g = ρ A ∙ V SM(A) ∙ g +
Solución:
ρ ∙ 2V = 1,2 ∙ V + 2 ∙ V
Para relacionar las presiones que ejercen los líquidos sobre el recipiente, se traza la isóbara en el límite de separación de los
∴ ρ = 1,6 g/cm3
Física. Secundaria
B A
ρB ∙ V SM(B) ∙ g Se simplifica g :
fluidos A y B .
F g
E A + E B
5
Según el principio de Arquímedes, el em Agua puje sobre un objeto sumergido en un �ui20 m do es igual al peso A del �uido desalojado. Con base en este principio, calcula el tiempo que empleará una esfera de 8 kg de masa y 800 kg/m3 de densidad en llegar a la super�cie libre del agua, si se la suelta en el punto A. Considera g = 10 m/s2; ρagua
= 1000
Del equilibrio de rotación, se determina el valor de x aplicando el momento de una fuerza respecto al punto O. M OF 1 = M OF 2 → F 1∙ d 1 = F 2 ∙ d 2 → K (9 – x ) = 2K ( x ) ∴ x = 3 m 7
kg/m3.
Como parte de un sistema de lubricación para una máquina excavadora, se emplea un aceite cuya densidad es 850 kg/m3, el cual se bombea a través de un tubo cilíndrico de 4 cm de radio a razón de 9,5 L/s. Encuentra la rapidez con la que �uye el aceite. Solución:
Solución: Se calcula el peso de la esfera: E a 8 kg · 10 m/s2 = 80 N. Luego 20 m se traza su DCL. Como la aceleración es constante, la esfera realizará un MRUV partiendo del reposo, F g = 80 N al ser soltada con una v 0 = 0. Por tanto: a ∙ t 2 …(I) t 2 → 20 m = _____ d = v 0 ∙ t + a ∙ __ 2 2 De la segunda ley de Newton: F R = m ∙ a Entonces: E – F g = m ∙ a → ρl ∙ V SM ∙ g – m ∙ g = m ∙ a kg 8 1000 ___3 ∙ ______ m3 ∙ 10 _m_2 – 8 kg ∙ 10 _m_2 = 8 kg ∙ a m 800 s s a = 2,5 m/s2 Se reemplaza ( a = 2,5 m/s2 ) en (I): 2,5 m/s2 ∙ t 2 20 m = __________ → t 2 = 16 s2 2 6
Se halla la tasa de flujo del volumen del aceite, es decir, su caudal, con la siguiente ecuación: volumen → A ∙ v = __ V → v = _____ V Q = área ∙ velocidad = _______ t tiempo A ∙ t Reemplazando los datos del enunciado, se tiene:
(
)
9,5 L/s ______ 9,5 10–3 m3 = _____________ ∙ ∙ 10–3 ∙ m/s v = ______ 2 –2 2 1 L π ∙ r 3,14 ∙ (4 ∙ 10 ) ∴ v = 1,9 m/s 8
Se tiene un medidor de la rapidez de �ujo en un tubo, donde la parte angosta del tubo se denomina garganta. Determina la expresión para la rapidez de �ujo v 1 en términos de las áreas transversales A1 y A2, y la diferencia de altura h del líquido en los dos tubos verticales.
∴ t = 4 s
Una varilla MN de 9 m de longitud está articulada a émbolos de masa ___ despreciable. CalF cula a qué distancia M N del punto N debe actuar la fuerza vertical F para que la A1 A2 varilla permanezca de forma horizontal. Agua Considera A2 = 2 A1.
h
›
Solución: Se realiza el DCL de la varilla horizontal: F x 9 – x M
N O F 1
F 2
Del principio de Pascal se tiene: F F F F 2 F K P 1 = P 2 → __1 = __2 → __1 = ___ → __1 = ___ A1 A2 A1 2 A1 F 2 2K Luego: F 1 = K ; F 2 = 2K Física. Secundaria
v 1 P 1
v 2 1
A1
2
P 2
A2
Solución: Para determinar la rapidez del fluido, se aplica la ecuación de Bernoulli: P 1 + _1_ρ ∙ v 1 2 = P 2 + _1_ρ ∙ v 2 2 …(I) 2 2 De la ecuación de continuidad, se tiene: v 1 ∙ A1 = v 2 ∙ A2 Se reemplaza la ecuación de continuidad en (I): P 1 – P 2 = _1_ρ ∙ v 2 2 – _1_ρ ∙ v 1 2 2 2 v 1 ∙ A1 2 2 2 1 1 _ _ _ _ _____ P 1 – P 2 = ρ(v 2 – v 1 ) → ρ ∙ g ∙ h = ρ – v 12 2 2 A2 Despejando v 1, se tiene: ―――― 2gh v 1 = ________ 2 A 1 __ – 1 A2
√
( )
[(
)
]
Unidad 6
Ejercicios resueltos
Nombre: 1
/
Fecha:
Clasi�ca en la tabla los siguientes materiales, según sean conductores o aislantes de la corriente eléctrica: oro, porcelana, plástico, cobre, papel, madera, plata, sales disueltas, gas ionizado y te�ón.
/
Solución: Se realiza el diagrama de cuerpo libre sobre la partícula 2:
T 37°
2
Conductores
Aislantes
Oro
Porcelana
Cobre
Plástico
Plata
Papel
Sales disueltas
Madera
Gas ionizado
Teflón
q 1
Con las fuerzas concurrentes se construye un triánT gulo de fuerzas cerrado. F g Del triángulo: tan 53° = __ 37° F EL m ∙ g tan 53° = _________ 53° ∙ |q 1| ∙ |q 2| K _________ F g 2 d F EL m _ _ m ∙ 10 2 s _4_ = _______________________ → m = 0,75 kg 3 Nm2 ∙ 10–6 C ∙ 10–6 C 9 ∙ 109 ____ C2 _______________________ (4 ∙10–2 )2
Solución:
de electrización, todas adquieren la misma cantidad de carga ( q ). Es decir:
Con m como masa de q 2
q 2 F g
Cuatro partículas idénticas, con cantidades de carga q1 = 10 C, q2 = –15 C, q3 = 17 C y q4 = 20 C, se ponen en contacto. Luego del proceso de electrización, se separan mutuamente. Halla la cantidad de carga que adquiere una de las partículas inmediatamente después del contacto.
Por la ley de conservación de la cantidad de carga, la cantidad de carga en todo proceso de electrización se conserva. Luego, como las cuatro partículas son idénticas, después del proceso
4 cm F EL
∴ La
4
masa de la partícula 2 es 0,75 kg.
En la �gura mostrada, determina el valor de la carga Q para que la intensidad del campo eléctrico en el ― punto P sea horizontal ( q = 2√ 2 C). Q
q inicial = q final
q 45°
10 C + (−15 C) + 17C + 20 C = 4q 32 C = 4q → q = 8 C ∴ La
cantidad de carga de cada partícula es 8 C. P
Solución: 3
Dos partículas puntuales, cuyas cantidades de carga son q1 = 1 C y q2 = –1 C, se encuentran en equilibrio, tal como se muestra en la �gura. Determina la masa de la partícula 2 para garantizar este equilibrio. Considera K = 9 ⋅ 109 Nm2 /C2 y g = 10 m/s2.
37°
De acuerdo con la condición del problema, para que la resultante total sea horizontal, la resultante en la vertical debe ser nula. Gráficamente se tiene: Q 1
45° ―
E 1 ⋅ sen 45° 45° E 1 ⋅ cos 45° E 2 K |Q | √ 2 K |q | Del triángulo: E ⋅ sen 45°= E → ______ ∙ ___ = ___ ―
1
― Luego: Q = –2√ 2q → q1
4 cm
q2
2 ( d ) 2 ( d √ 2 )2 ― ― Q = –2√ 2 ∙ 2√ 2 µC = –8 µC 2
―
El signo negativo señala que el vector E 1 es entrante. ∴ La
Física. Secundaria
E 1
d √ 2
2 q d
carga de Q es –8 C.
5
La �gura muestra un bloque de masa m = 0,5 kg y cantidad de carga eléctrica q = 50 μC. El bloque está en equilibrio sobre el plano inclinado liso de una cuña. Calcula la magnitud de la intensidad de campo eléctrico uniforme ( g = 10 m/s2 ).
7
Determina la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones y justi�ca tus respuestas. I. La cantidad de carga almacenada en cada placa de un capacitor es de igual magnitud, pero de signos opuestos.
E
II. Cuanto mayor es la cantidad de carga almacenada, mayor es la capacitancia del capacitor. III. La super�cie de las placas de un capacitor es una super�cie equipotencial.
37°
I. Verdadero
_____________________________________________________________________________________________________
Solución:
Luego del proceso de electrización, las placas de un capa-
_____________________________________________________________________________________________________
Se realiza el DCL del bloque sobre la cuña: F g
citor se electrizan con la misma cantidad de carga, pero de
_____________________________________________________________________________________________________
signos contrarios.
_____________________________________________________________________________________________________
F EL
II. Verdadero
_____________________________________________________________________________________________________
37°
Como la cantidad de carga es directamente proporcional a
_____________________________________________________________________________________________________
37°
R
la capacidad eléctrica, entonces, cuanto mayor sea la can-
_____________________________________________________________________________________________________
Del equilibrio se construye un triángulo de fuerzas cerrado: F Del triángulo: tan 53° = __g R F EL m ∙ g tan 53° = _____ 37° F g E ∙ |q | 2 0,5 kg ∙ 10 m/s _4_ = _____________ 3 E ∙ 50 ∙ 10–6C F EL E = 75 ∙ 103 N/C magnitud de la intensidad de campo eléctrico uniforme es 75 kN/C.
tidad de carga, mayor será la capacitancia del capacitor.
_____________________________________________________________________________________________________
III. Verdadero
_____________________________________________________________________________________________________
Las placas de un capacitor son superficies equipotenciales,
_____________________________________________________________________________________________________
puesto que son regiones donde los potenciales eléctricos
_____________________________________________________________________________________________________
son iguales.
_____________________________________________________________________________________________________
∴ La
6
Encuentra el potencial eléctrico en el punto P, asociado a las cantidades de cargas q1 = 4 ∙ 10 –9 C y q2 = –5 ∙ 10–9 C, según se muestra en la �gura. q 1
8
Se tienen dos condensadores C1 y C2, tal que al conectarse en paralelo se logra una capacitancia equivalente de 2 µF. Pero, al conectarse en serie los mismos condensadores, la capacitancia equivalente es 0,25 F. Calcula |C1 – C2| en F. Solución: C 1 y C 2 en paralelo C 1
C 1 y C 2 en serie
3m
q 2
P
6m
C eq(P) = C 1 + C 2 = 2 F Solución: Del principio de superposición, se tiene: Kq Kq q q V P = V 1 + V 2 → V P = ___1 + ___2 = K ∙ __1 + __2 d 1 d 2 d 1 d 2
(
)
(–5) Nm2 ∙ 10–9 C ∙ _4_ + ___ V P = 9 ∙ 109 ____ 2 3 6 C ∴ El
( ) →
V P = 4,5 V
potencial eléctrico en el punto P es 4,5 V.
Física. Secundaria
C 1
C 2
C 1 ∙ C 2 C eq(S) = _______ C 1 + C 2
De las dos equivalencias anteriores, se tiene: C 1 ∙ C 2 _____ = 0,25 µF → C 1 ∙ C 2 = 0,5 ( F)2 2 F Se aplica la identidad de Legendre: ( C1 + C 2 )2 – ( C 1 – C 2 )2 = 4C 1 ∙ C 2 …(I) Se reemplaza los datos del enunciado en (I): (2 F)2 – ( C1 – C 2 )2 = 4 ∙ 0,5 ( F)2 ― ∴ |C 1 – C 2| = √ 2 F = 1,41 F
C 2 = 0,25 F
Unidad 7
Ejercicios resueltos
Nombre: 1
/
Fecha:
Si por un alambre conductor circula una corriente cuya intensidad es 16 mA, calcula el número de electrones que atraviesan la sección transversal del conductor en 0,1 s.
En la malla ABCD , se aplica la segunda ley de Kirchhoff:
∑fem = ∑I ∙ R → 15 = 5 ∙ 1 + 5 ∙ 0 + 5 ∙ R 2 → R 2 = 2 Ω Luego: I 1 = 3 A cuando R V = ∞ Ω. Por lo tanto, la corriente eléctrica pasa por la resistencia R 1.
Solución: Matemáticamente se tiene: n |q e | Q → I = ____ I ∙ t → n = ___ I = __ t t |q e |
/
A
3A
B 3 A
B
1Ω
…(I) + –
Se sabe que la carga de un electrón es:
15 V
R 1
αΩ
q e = –1,6 ∙ 10–19 C = –16 ∙ 10–20 C D
Luego: |q e| = 16 ∙ 10–20 C Se reemplaza los datos del enunciado en (I): –1
∑fem = ∑I ∙ R → 15 = 3 ∙ 1 + 3 ∙ R 1 + 3 ∙ 2 → R 1 = 2 Ω ∴ Las resistencias son R 1 = 2 Ω ∧ R 2 = 2 Ω. 3
2
En el circuito mostrado en la �gura, encuentra la potencia que entrega la fuente de 30 V y el calor disipado por la resistencia de 4 Ω durante 5 minutos.
En el siguiente circuito resistivo, RV es una resistencia variable. Determina las resistencias R1 y R2, si la grá�ca muestra la variación de la intensidad de corriente en función de la resistencia variable RV .
4Ω
30 V
I 1
C
3A
En la malla ABCD , se aplica otra vez la segunda ley de Kirchhoff:
∙ 10 A ∙ 10 s = 1016 _______________ n = 16 16 ∙ 10–20 C ∴ La sección transversal es atravesada por 10 16 electrones en 0,1 s. –3
C
R 2
10 V 15 Ω
1Ω 15 V
R V
R 1
Solución: Aplicando la segunda ley de Kirchhoff, se tiene:
R 2
∑fem = ∑I ∙ R → 30 = 15 ∙ i → i = 2 A ∑fem = ∑I ∙ R → 30 – 10 = 4 ∙ I → I = 5 A
I 1 (A) 5
5A
3
7A
R V (Ω )
0
Solución: Si I 1 = 5 A cuando R V = 0 Ω, entonces, la corriente eléctrica no pasa por la resistencia R 1.
A
5A
B 1Ω
+ –
Física. Secundaria
B
5A
+ 30 V –
R 1
0Ω
5A
15 Ω
Para la fuente de 30 V, se tiene: P = V ∙ I total Asimismo, en la resistencia de 4 Ω, se tiene:
Q = I 2 ∙ R ∙ t = (5 A)2 ∙ 4 Ω ∙ 5 ∙ 60 s = 30 000 J
∴ Q = 30 kJ R 2
2A
∴ P = 30 V ∙ 7 A = 210 W
15 V
D
4Ω
C
C
+ – 10 A
4
El circuito presentado en la �gura se denomina puente de Wheatstone. Determina en este puente la intensidad de corriente que pasa por la resistencia eléctrica de 6 Ω.
Luego:
µoI 1 ____ µ I + o 2 …(I) B R = B 1 + B 2 → B R = ____ 2πd 1 2πd 2 Se reemplaza los datos en (I): 4π ∙ 10–7 _____ 5 A + _____ 5A B R = ________ 2π 0,5 m 0,5 m
(
6Ω
24 V
∴ B R = 4 µT
2Ω
A
B
6
8Ω 12 Ω
Como el puente está equilibrado eléctricamente, se cumple: 6 Ω ∙ 4 Ω = 2 Ω ∙ 12 Ω. Entonces, la resistencia que se encuentra entre los puntos A y B no funciona, por lo que se retira del circuito. Así tenemos: P P 3I I 2Ω 6Ω 24 V
A
Solución: Para que la partícula se mueva en línea recta, debe estar en equilibrio, es decir, la fuerza de gravedad en módulo debe ser igual a la fuerza magnética. Gráficamente se tiene:
B 12 Ω
4Ω
Q
Q
En la malla PAQ , se aplica la segunda ley de Kirchhoff:
Dos alambres muy largos, separados 1 m, conducen corrientes eléctricas cuyas intensidades son de 5 A en cada uno de los conductores, pero en sentidos contrarios. ¿Cuál es la magnitud del campo magnético (en teslas) en el punto medio de la distancia de separación entre dichos alambres?
X
F mag. X X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X F g
X
X
v
Del equilibrio en la vertical: F mag. = F g
∑fem = ∑I ∙ R → 24 = 6 Ω ∙ I + 12 Ω ∙ I → I = _4_ A 3 ∴ I = 1,33 A 5
Una partícula de masa m y cantidad de carga +q se lanza horizontalmente hacia la derecha con una ___ velocidad v en una región donde existe un campo magnético uniforme, y es perpendicular a la velocidad de la partícula. Establece la ecuación que permite hallar el módulo de la inducción magnética (en función de las variables descritas) para que la partícula se mueva rectilíneamente. ›
V
4Ω
Solución:
+ –
)
m ∙ g |q | ∙ B ∙ v ∙ sen 90° = m ∙ g → B = _____ |q | ∙ v m ∙ g ∴ La ecuación para hallar el módulo es esta: B = _____ |q | ∙ v 7
Calcula la potencia del lado primario del transformador ideal, si se sabe que la corriente primaria es 4 A. Además, el número de vueltas en el primario es 2000 espiras, y en el secundario, 1000 espiras. Considera que el voltaje en el secundario es 110 V.
Solución: Se grafica de acuerdo con los datos del enunciado:
Solución: Se tiene: P P = V P ∙ I P → P P = V P ∙ 4 A …(I)
B 2 x x B 1 0,5 m M 1m
Física. Secundaria
Sea M el___ punto ___ medio. Los vectores B 1 y B 2 de la misma dirección son entrantes al plano formado por los conductores;___por lo tanto, la magnitud de B R está dada por la siguiente ecuación: ›
I 2 = 5 A
›
I 1 = 5 A
B R = B 1 + B 2
›
De la relación de transformación, se tiene:
N N P __ 2000 = _____ 1000 → V = 220 V __ = S → ____ P V P
V S
V P
110 V
Se reemplaza ( VP = 220 V) en (I):
P P = 220 V ∙ 4 A = 880 W
∴ La potencia del lado primario es P P = 880 W.
Unidad 8
Ejercicios resueltos
Nombre: 1
En un sistema bloque-resorte (oscilador armónico), puede observarse que, cuando está a 1 cm de la posición de equilibrio, su rapidez es 4 cm/s, ― y cuando se encuentra a √ 2 cm de la posición de equilibrio, su rapidez es 3 cm/s. Determina la frecuencia cíclica del oscilador en rad/s.
3
Solución: La rapidez de un oscilador en función de la posición se determi――― na según la siguiente expresión: v = ω√ A2 – x 2
――――
Un péndulo oscila en un plano vertical con periodo de 2 s. Si se aumenta en 25 cm la longitud de la cuerda, su nuevo periodo es 3 s. Encuentra la longitud inicial de la cuerda.
――――
4 cm/s = ω√ A2 – (1 cm)2 → 4 cm/s = ω√ A2 – 1 cm2 ― Asimismo, para x 2 = √ 2 cm ∧ v 2 = 3 cm/s, se tiene (II):
√
√
―
__l √ g l _2_ = __________ → _4_ = ________ → l = 0,2 m
3
4
√
Se reduce la conexión de resortes para determinar la constante de rigidez equivalente ( keq ):
l + 0,25 m
En una cuerda tensa y �ja en ambos extremos, se aplica una fuerza de tensión de 36 N y las ondas mecánicas que se generan viajan con una rapidez de 20 m/s. Determina el módulo de la fuerza de tensión que se requiere para producir ondas mecánicas que se propaguen con una rapidez de 30 m/s en la misma cuerda.
m
En una cuerda tensa, la rapidez de propagación de la onda me― T cánica se determina según la ecuación: v OM = __ µ
√
2k ∙ k k eq = _____ 3k 2 _ _ k eq = k 3
k
De acuerdo con el enunciado, como la cuerda es la misma, entonces, no cambia su densidad lineal ( µ ).
――
36 N Para el primer caso: 20 m/s = ____ µ
m m
Se reemplaza k eq = _2_k en (I). 3
Física. Secundaria
9
Solución:
k + k = 2k
)
√ ________ g
m
― m ...(I) Para el sistema bloque-resortes, el T = 2π ___ k eq periodo de oscilación se determina según la siguiente expresión:
(
―――― l + 0,25 m
∴ La longitud inicial de la cuerda es 20 cm.
Solución:
k
――――
l + 0,25 m Para el segundo caso: 3 s = 2π ________ …(II) g Dividiendo (I)/(II), se tiene:
√
k
l
De acuerdo con las condiciones del problema, se reemplaza los datos: ― l Para el primer caso: 2 s = 2π __ g …(I)
Se resuelve el sistema de ecuaciones (I) y (II): 23 cm2 A2 = ___ 7 23 cm2 ) en (II): Se reemplaza ( A2 = ___ 7 ――――― ― 23 ___ 2 3 cm/s = ω cm – 2 cm2 → ω = √ 7 rad/s 7 ― ∴ La frecuencia cíclica del oscilador es √ 7 rad/s.
k
g θ
√
――――― ―――― ― 3 cm/s = ω√ A2 – (√ 2 cm)2 → 3 cm/s = ω√ A2 – 2 cm2
Un bloque de masa m, unido al siguiente arreglo de resortes idénticos de constante de rigidez k , realiza un movimiento oscilatorio en torno a su posición de equilibrio. Calcula su periodo de oscilación en función de m y k . Considera que el sistema realiza un MAS.
/
Solución: El periodo de oscilación de un péndulo simple se halla según la ― l siguiente ecuación: T = 2π __ g
Luego, para x 1 = 1 cm ∧ v 1 = 4 cm/s, se tiene (I):
2
/
Fecha:
― m __
√
∴ T = 2π
3m = 2π ___ 2k _2_ k 3 ――
√
√ ― T Para el segundo caso: 30 m/s = √ __ µ
…(I) …(II)
Dividiendo (I)/(II), se tiene:
――
√ 36 N 36 N → T = 81 N ∴ _2_ = _____ → _4_ = ____ 3 9 T √ ― T
5
Un bloque de 10 kg está suspendido por una cuerda de 40 g de masa, en la cual se producen ondas estacionarias, tal como se muestra en la �gura. Halla la frecuencia de oscilación de las ondas (en Hz). Considera g 10 m/s2 y h muy pequeño.
7
=
100 cm
h
Oír y hablar son facultades extremadamente importantes para los seres humanos. Así podemos detectar, emitir e interpretar ondas sonoras con diferentes propiedades físicas. Por ejemplo, para el oído humano, el umbral de audición a una frecuencia de 1000 Hz es 10–12 W/m2, pero no soporta sonidos de intensidad superior a 1,0 W/m2. Entonces, si el nivel de intens idad del sonido a 5 m de un taller de máquinas es de 100 dB, ¿cuál será la intensidad sonora en dicho punto? Solución: Grá�camente se tiene:
10 kg
100 dB 5m
Solución: Para una onda estacionaria, la frecuencia de oscilación se ― n __ T …(I) determina según esta ecuación: f = __ 2l µ Donde n es el número armónico. En este caso, de acuerdo con el per�l de la onda, corresponde al tercer armónico, es decir, n = 3. m Asimismo, se tiene: µ = __ l m ) en (I): Se reemplaza ( µ = __ l ― ― n T n Tl __ __ __ __ →f= f = m m __ 2l 2l l Se convierte y se reemplaza los datos: l = 100 cm = 1 m;
√
√
Taller
Por de�nición del nivel de intensidad: I → 1010 = _____ I β = 10 � log __I → 100 = 10 � log _____ –12 I 0 10 10–12 ∴ I = 10–2 W/m2
√
m = 40 g = 4 ∙ 10–2 kg; T = 10 kg ∙ 10 m/s2 = 100 N. 3 100 N ∙ 1 m → f = ___ 15√ ―― __________ f = ______ 100 Hz = 75 Hz 2 ∙ 1 m 4 ∙ 10–2 kg 2 ∴ La frecuencia de oscilación es 75 Hz.
√
8
Si la imagen real de un objeto es el doble del tamaño y se forma a 20 cm de una lente, determina la potencia de esta lente.
――――
Solución: De acuerdo con las características del enunciado del problema, se trata de una lente convergente o biconvexa. Grá�camente se tiene: p
6
Cuando una radiación luminosa pasa de un medio hacia otro de diferentes propiedades magnéticas, experimenta un fenómeno llamado refracción. Calcula la rapidez de la radiación luminosa cuando esta se propaga en el agua. Considera que la radiación pasa del aire hacia el agua nagua _4_ . 3
(
=
)
Solución: La luz es una onda electromagnética (OEM) cuya rapidez depende del medio en el cual se propaga. Si es el vacío, se propaga con una rapidez de 3 · 108 m/s. Luego, se tiene: v OEM n = ___ c → v OEM = n · c Se reemplaza los datos del enunciado: v OEM = _4_ · 3 · 108 m/s 3 ∴ v OEM = 4 · 108 m/s
Física. Secundaria
C
h
q = 20 cm
F O
F
2h
f Por de�nición, se tiene: P = _1_ f De la ecuación del aumento lineal: h |q | 2h = ______ 20 cm → p = 10 cm A = __i = __ → __ p h ϑ |p | h De la ecuación de los focos conjugados: 20 cm = ___ 1 + ___ 1 → f = ___ 1 m _1_ = _1_ + _1_ → _1_ = ___ p q 10 20 3 15 f f Se reemplaza en la ecuación inicial: 1 = 15 P = _1_ → P = ___ 1 f ___ 15 ∴ La lente tiene una potencia de 15 dioptrías.
Unidad 9
Ejercicios resueltos
Nombre: 1
/
Fecha:
La energía solar que transportan los fotones cuando inciden sobre la super�cie de los paneles solares se convierte en energía eléctrica, que se usa en equipos electrodomésticos. Sabiendo esto, halla la energía asociada a un fotón (en eV) de la radiación solar, si su frecuencia de radiación es 5,6 ∙ 1016 Hz, y h 4,14 ∙ 10–15 eV s.
3
=
/
Para que se logre extraer electrones de la super�cie de un metal, es necesario que la frecuencia de incidencia sea mayor que la frecuencia umbral. Según esto, determina la frecuencia umbral (en Hz) para que se dé el efecto fotoeléctrico sobre una placa de wolframio, cuya función de trabajo es 4,52 eV. Considera h
Solución:
Solución:
La energía absorbida o emitida es directamente proporcional a la frecuencia de radiación. Este es uno de los principios fundamentales de la mecánica cuántica.
Grá�camente se tiene:
4,14 ∙ 10–15 eV s.
=
c: rapidez de la luz c
Fotoelectrón Fotón
φo
Matemáticamente atemáticamente se tiene:
Se tiene: φo = h ∙ f 0
= h ∙ f → E fotón = 4,14 ∙ 10–15 eV s ∙ 5,6 ∙ 1016 Hz E fotón otón otón
Donde f 0 es la frecuencia umbral.
∴ E fotón = 231,84 eV = 232 eV otón 2
En una estación radial, una antena de radio de 20 kW de potencia de radiación emite ondas de radio dio con una frecuencia de 4,5 MHz. Determina Determin la cantidad ntidad de fotones emitidos por cada segun segundo. –34 Considera nsidera h 6,63 ∙ 10 Js. Js. =
Solución: olución: Grá�camente rá�camente se tiene:
Se reemplaza los datos: 4,52 eV = 4,14 ∙ 10–15 eV s ∙ f 0 ∴ f 0 = 1,09 ∙ 1015 Hz = 1,1 ∙ 1015 Hz 4
En el efecto fotoeléctrico, los fotoelectrones que requieren la menor energía para vencer la barrera de potencial serán los que abandonen el metal con la máxima energía cinética. Entonces, si la función trabajo de una placa de wolframio es 4,55 eV, ¿cuál es la energía cinética máxima de los fotoelectrones expulsados cuando se aplica una radiación cuya energía de 4,96 eV? Solución:
Matemáticamente se tiene: E fotón , donde E fotón = n ∙ h ∙ f P = ____ t Se sabe que n es el número de fotones emitidos. Luego se reemplaza en la ecuación inicial: n ∙ h ∙ f = __ n ∙ h ∙ f → __ n = ___ P …(I) P = ______ t t t h ∙ f Se reemplaza los datos en (I): 20 ∙ 103 W n = ______________________ __ = 67 ∙ 1029 –34 6 t 6,63 ∙ 10 Js ∙ 4,5 ∙10 Hz n __ ∴ = 6,7 ∙ 1030 fotones/segundo t
La energía asociada al fotón permite extraer los electrones y el excedente de dicha energía se asocia al electrón como parte de su energía cinética. Grá�camente se tiene:
c
v máx.
De la ecuación de Albert Einstein: E fotón = φo + E C(máx.) → 4,96 eV = 4,55 eV + E C(máx.)
∴ E C(máx.) = 0,41 eV Física. Secundaria
5
El espectro electromagnético es un conjunto de ondas electromagnéticas que presentan diferente frecuencia y longitud de onda, pero todas ellas se propagan con la misma rapidez en el vacío o en el aire. Señala si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas y fundamenta tus respuestas. I. Las ondas electromagnéticas de mayor longitud se encuentran en la región cercana a los rayos γ (gamma).
Se reemplaza los datos en (I): 4 ∙ 10 eV s ∙ 3 ∙ 10 ms V AB = _____________________ e ∙ 4 ∙ 10–11 m 4 V AB = 3 ∙ 10 V –15
–1
∴ V AB = 30 kV
7
II. En la región de radiofrecuencias se encuentran las ondas audibles por el oído humano. III. En el espectro de la luz visible, el color rojo es de longitud de onda mayor que el color violeta.
Una nave parte de la Tierra con destino a una estrella que se encuentra a 4 años luz de la Tierra, llamada Próxima Centauri. Si el tiempo que dura el viaje para un observador en la Tierra es 6 años, ¿qué tiempo transcurre para que el piloto de la nave se mueva con una velocidad constante de módulo v 0,8 c respecto de la Tierra? =
IV. La frecuencia de las ondas de radio puede ser igual a la frecuencia de la radiación ultravioleta.
Solución: El tiempo transcurrido para la nave que viaja a la estrella
Solución:
respecto a un observador que se encuentra en la Tierra es
I. Falsa
( t 0 = 6 años); sin embargo, para el observador que se en-
Las radiaciones cercanas a los rayos gamma son muy energéticas y, por ende, son de mayor frecuencia; en consecuencia, son de menor longitud de onda.
cuentra fuera de la nave moviéndose a grandes velocidades, el tiempo transcurrido ( t1 ) es distinto y se determina de la siguiente forma: 1 …(I) t = t _______
II. Verdadera En la región de radiofrecuencias, se encuentran todas las ondas electromagnéticas audibles por el oído humano, como el caso de las ondas de radio, la telefonía celular, las ondas televisivas, internet, entre otras.
1
√ 1 – __c v 2
Se reemplazan los datos en (I): 1 1 6 años → t 1 = 6 años __________ = ___ t 1 = t 0______ 0,6 ――2 ―――― v 1 – __ (0,8 c )2 1 – ______ c 2 c 2 ∴ t 1 = 10 años
El espectro de la luz visible está conformado por siete colores que se ordenan de menor a mayor frecuencia. Sin embargo, la frecuencia y la longitud de onda son inversamente proporcionales, por lo tanto:
√
f rojo < f violeta → λrojo > λvioleta
IV. Falsa
8
Las frecuencias ( f ) y las longitudes de onda ( λ ) son diferentes para todas las radiaciones electromagnéticas, en este caso: f ondas de radio < f ultravioleta Un tubo de rayos X genera fotones de una longitud de onda mínima igual a 0,04 10–9 m. Determina el voltaje con el que funciona el equipo de rayos X. Considera h 4 10–15 eV s. ∙
=
∙
Solución: Los rayos X son radiaciones electromagnéticas de longitud
0
――2
III. Verdadera
6
8
√
Una barra rígida de 2 m de largo en reposo es medida por dos observadores: uno en reposo respecto de la barra y el segundo moviéndose respecto del primero a lo largo de la longitud de la barra con rapidez constante. Determina con qué rapidez debe moverse el segundo observador para ver la barra contraída en 0,01 m. Solución: Para ambos observadores, la barra no tiene las mismas dimensiones debido a que la rapidez con que viaja uno de ellos es cercana a la rapidez de la luz; entonces, para el observa-
de onda muy corta y elevada frecuencia, que son generados
dor en reposo, la longitud será L0 = 2 m.
por fuentes a alto voltaje.
Luego de la contracción de longitudes, se tiene:
Por conservación de la energía, se tiene:
v 2 → 0,01 = 2 1– __ v 2 L = LO 1 – __ c 2 c 2
E electrón = E fotón → W F EL = E fotón c → V = ____ h ∙ c …(I) q ∙ V AB = h ∙ f = h ∙ __ AB λ q∙λ
√
√
―― v 2 → __ v 2 = 1 – (0,005)2 0,005 = 1– __ 2 2 ∴ v = 0,99 c
Física. Secundaria
√
――
――
c
c
