SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016
MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN
MATEMATIKA BAB V PERSAMAAN KUADRAT
Dr. Djadir, M.Pd. Dr. Ilham Minggi, M.Si Jaβfaruddin,S.Pd.,M.Pd. Ahmad Zaki, S.Si.,M.Si Sahlan Sidjara, S.Si.,M.Si
KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN DIREKTORAT JENDERAL GURU DAN TENAGA KEPENDIDIKAN 2016
BAB V PERSAMAAN KUADRAT A. Kompetensi Inti (KI) Menguasai materi, struktur, konsep dan pola piker keilmuan yang mendukung mata pelajaran yang diampu
B. Kompetensi Dasar (KD)/Kelompok Kompetensi Dasar (KKD) Menggunakan konsep-konsep aljabar
C. Indikator Pencapaian Kompetensi (IPK) Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan kuadrat
D. Uraian Materi Pembelajaran Mengembangkan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat. Jika persamaan kuadrat ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 dan π β 0 mempunyai akar-akar π₯1 dan π₯2 , Dari rumus πππ diperoleh: π₯1 = β
π βπ· π βπ· + , danπ₯2 = β β 2π 2π 2π 2π
Maka: π 1. π₯1 + π₯2 = β π π 2. π₯1 β π₯2 = π
3. |π₯1 + π₯2 | =
βπ· π
Menentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya π₯1 dan π₯2 , (π₯ β π₯1 )(π₯ β π₯2 ) = 0 2 π₯ β (π₯1 + π₯2 )π₯ + (π₯1 + π₯2 ) = 0
2
Rumus yang sering digunakan: 1.
1 1 π₯1 Β± π₯2 + = π₯1 π₯2 π₯1 π₯2
2. π₯12 Β± π₯22 = (π₯1 + π₯2 )2 β 2π₯1 π₯2 3. π₯12 β π₯22 = (π₯1 + π₯2 )(π₯1 β π₯2 ) 4. π₯13 Β± π₯23 = (π₯1 + π₯2 )3 β 3π₯1 π₯2 (π₯1 Β± π₯2 ) 5. π₯13 Β± π₯23 = (π₯1 + π₯2 )4 β 2(π₯1 π₯2 )2 6.
π₯1 π₯2 π₯1 Β± π₯2 + = π₯2 π₯1 π₯1 π₯2
7. π₯14 Β± π₯24 = (π₯12 + π₯22 )2 β 2(π₯1 π₯2 )2 8. π₯14 β π₯24 = (π₯12 + π₯22 )(π₯1 + π₯2 )(π₯1 β π₯2 )
Contoh soal 1.
Tentukan penyelesaian dari 2 x2 + 7 x + 6 = 0. Jawab: 2 x2 + 7 x + 6 = 0 2 x2 + 4 x + 3 x + 6 = 0 2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0 (x + 2) (2 x + 3) = 0 x +2 = 0
atau 2 x + 3 = 0
x = β2 atau
x=β1
Contoh soal 2 Akar-akar x2 β 3x + 4 = 0 adalah x1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai x12 + x22?
3
Penyelesaian: x12 + x22 = x12 + x22 + 2 x1.x2 β 2 x1.x2 = (x1 + x2)2 β 2 x1x2 π
π
= (π )2 β 2 (π ) = (-3)2 β 2 . 4 =1 Menyelesaikan masalah persamaan atau fungsi kuadrat dengan menggunakan diskriminan. Persamaan Kuadrat. Jika persamaan kuadrat ππ₯ 2 + ππ₯ + π = 0 dan π β 0, maka nilai diskriminan (π·) adalah: π· = π 2 β 4ππ Jenis-jenis akar-akar persamaan kuadrat: 1. π· β₯ 0, karena real/nyata. a. π· > 0, kedua akar real berlainan. b. π· = 0, kedua akar real kembar/sama. 2. π· < 0, kedua akar tidak real/imajiner/khayal. 3. π· = π 2 , kedua akar rasional (cara menentukan akar lebih mudah menggunakan pemfaktoran). Hubungan akar-akar persamaan kuadrat: 1. Dua akar positif. ο· π·β₯0 ο· π₯1 + π₯2 > 0 ο· π₯1 β π₯2 > 0 2. Dua akar negatif. ο· π·β₯0 ο· π₯1 + π₯2 < 0 ο· π₯1 β π₯2 > 0
4
3. Dua akar berbeda tanda. ο· π·>0 ο· π₯1 β π₯2 < 0 4. Dua akar saling berkebalikan. ο· π·β₯0 ο· π₯1 β π₯2 = 1 π
π·
Fungsi kuadrat π(π₯) = ππ₯ 2 + ππ₯ + π dengan π β 0, koordinat titik puncak (β 2π , β 4π) dan grafik berbentuk parabola:
π
π>0 π<0
π
π
π>0 π>0 π<0 π>0 π=0 π>0 π<0 π=0
π·
π·>0 π·=0 π·<0
Grafik terbuka ke atas Grafik terbuka ke bawah Puncak di sebelah kiri sumbu π¦ Puncak di sebelah kanan sumbu π¦ Puncak tepat di sumbu π¦ Grafik memotong sumbu π¦ positif Grafik memotong sumbu π¦ negatif Grafik melalui titik (0, 0) Grafik memotong sumbu π₯ Grafik menyinggung sumbu π₯ Grafik tidak memotong sumbu π₯
Kedudukan garis π: π¦ = ππ₯ + π terhadap fungsi kuadrat π(π₯) = ππ₯ 2 + ππ₯ + π: Subitusikan π ke π(π₯), lalu cari nilai π·. π·>0 Berpotongan di dua titik (memotong) π·=0 Berpotongan di satu titik (menyinggung) π·<0 Tidak berpotongan (terpisah) 5
Fungsi kuadrat definit positif atau negatif: Definit positif
Grafik fungsi kuadrat seluruhnya berada di atas sumbu π₯, artinnya untuk setiap nilai π₯ maka nilai π¦ selalu positif. Syarat: π > 0 dan π· < 0
Definit negatif
Grafik fungsi kuadrat seluruhnya berada di bawah sumbu π₯, artinnya untuk setiap nilai π₯ maka nilai π¦ selalu negatif. Syarat: π < 0 dan π· < 0
Contoh soal 1 Buatlah sketsa grafik fungsi kuadrat y ο½ x 2 ο« 4 x Penyelesaian: a. Titik potong dengan sumbu X, jika y = 0 x 2 ο« 4x = 0
x( x ο« 4) = 0 x
= 0 atau (x + 4)
=0
x = β4 Jadi memotong sumbu X di titik (0, 0) dan (β4, 0) b. Titik potong dengan sumbu Y, jika x = 0 maka, y = 02 + 4.0
Y
=0 Jadi memotong sumbu Y di titik (0, 0) c. Persamaan sumbu simetri
-4
ο4 xο½ ο½ ο2 2.1
-2
0
Jadi persamaan sumbu simetrinya x = β2 -4
d. Nilai Ekstrim/nilai stasioner, untuk x = β2 x = -2
6
X
y = (β2)2 + 4(β2) = β4 e. Koordinat titik balik: (β2, β4)
Contoh soal 2 Sebuah roket ditembakkan ke atas. Setelah t detik peluru mencapai ketinggian yang dirumuskan dengan h(t) = 40t β 5t2 dalam meter. Tentukan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk mencapai tinggi maksimum dan berapa tinggi maksimum yang dicapai? Penyelesaian: h(t) = 40t β 5t2 Waktu saat mencapai tinggi maksimum t
=
οb 2a
=
ο 40 ο 10
= 4 detik Tinggi maksimum pada saat t = 4 detik h(t) = 40(4) β 5(4)2 = 160 β 80 = 80 meter
REFERENSI
Alimuddin, 2013. Materi Bimtek Profesionalisme Guru. SMA Matematika IPA. Jurusan Matematika FMIPA UNM Makassar. Alimuddin, 2013. Materi Bimtek Profesionalisme Guru. SMA Matematika IPS Gabungan. Jurusan Matematika FMIPA UNM Makassar.
7
