Determinación del área de la figura generada por el Arco Parabólico de la ciudad de Tacna a través de la sumatoria de Riemann
II
ÍNDICE INTRODUCCIÓN ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................ ............................ ...... 1 1. Marco Teórico ............................................ ................................................................... ............................................. ............................................ ............................ ...... 2 1.1 Definición de Sumatorio............................................ .................................................................. ............................................ ................................ .......... 2 1.1.1 Propiedades del Sumatorio.......................................... ............................................................... .......................................... ..................... 2 1.1.2 Propiedades Adicionales ....................................................... .............................................................................. ................................ ......... 3 1.1.3 Sumatoria Notables ....................................................... .............................................................................. ........................................ ................. 6 1.1.4 Sumatoria de Riemann ........................................... .................................................................. ............................................. ...................... 10 1.2 Definición de la Parábola ............................................. ................................................................... ............................................ .......................... .... 11 1.2.1 Elementos de la Parábola Parábola ............................................ .................................................................. ........................................ .................. 11 1.2.2 Ecuaciones de la Parábola........................................... ................................................................. ........................................ .................. 12
2. Marco de Aplicación .......................................... ................................................................. ............................................ ........................................ ................... 16 2.1 Calcular la altura del Arco Parabólico ............................................ ................................................................... .............................. ....... 16 2.2 Medir la distancia de la abertura de la l a parábola ......................... ................................................ .................................. ........... 17 2.3 Tabular los puntos y reemplazarlos en la función cuadrática ....................................... ....................................... 17 2.4 Área de la figura generada por el monumento ......................................................... ............................................................. .... 20 CONCLUSIONES ............................................ .................................................................. ............................................ ............................................ .......................... .... 23 Bibliografía .......................................... ............................................................... ............................................ ............................................. ......................................... ................... 24 Referencias .......................................... ............................................................... ............................................ ............................................. ......................................... ................... 24
1
INTRODUCCIÓN El arco parabólico de Tacna fue inaugurado el 28 de agosto de 1959. El monumento construido íntegramente en piedra de cantería, es una de las muestras de respeto y aprecio por parte del hacia nuestros héroes nacionales, quienes sin medir las consecuencias, dieron su vida por nuestra patria. Asimismo, algunos historiadores señalan que la forma del arco parabólico, representa la trayectoria de una bala de cañón disparada al cielo. El objetivo del presente trabajo de investigación es determinar el área de superficies rectangulares inmersas de forma
implícita en la trayectoria descrita por la supuesta bala de cañón. El principal motivo por el cual deseo desarrollar la presente exploración matemática, es demostrar mis habilidades matemáticas en un contexto real, a través de la construcción de modelos de la realidad. Lo anterior requerirá de una recopilación de datos, análisis de información y el proceso de construcción de un modelo matemático. La metodología que se aplicará en el trabajo de investigación es abordar el sumatorio (Larson & P. Hostetler, 2008) y sus propiedades. Posteriormente, se brindarán ciertas especificaciones acerca de la parábola con el propósito de introducir el problema de aplicación, para luego analizar un ejercicio de demostración que obviamente está orientado a cumplir con el objetivo anteriormente determinado. Al mismo tiempo, aquel ejercicio facilitará la determinación de la conclusión.
2
1. Marco Teórico 1.1 Definición de Sumatorio El sumatorio es un operador matemático, denotado por la letra griega sigma mayúscula
que permite representar la suma de los primeros términos (Larson & P. Hostetler,
2008) de forma abreviada con un número indeterminado de sumandos. Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (generalmente se utiliza las siguientes variables índice (habitualmente se emplea las letras
, , cuyos valores dependen de un )
,, ) que toma valores enteros.
El índice adopta el valor que aparece en el límite inferior del sumatorio e incrementa en una unidad conforme se aproxime al valor del límite superior del sumatorio. En general
∑ ⋯ − =
Representa la suma de los primeros valores de la variable . La expresión anterior se
sub desde igual a 1 hasta El índice del sumatorio puede asumir cualquier conjunto de números enteros, es decir, no necesariamente debe empezar en 1. La única condición que se tiene que cumplir es lee: “Sumatorio de
”.
que el límite interior sea menor o igual que el extremo del sumatorio
∑ → ≤ =
: Se conoce como límite inferior de la sumatoria : Se llama límite superior o extremo de la sumatoria : Se denomina término general de la sumatoria o número base.
1.1.1 Propiedades del Sumatorio El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, por lo tanto, cumple todas las propiedades de ésta:
Propiedad Conmutativa
3
∑ ⋯ = ∑ ⋯ = Acorde a la propiedad conmutativa se asevera que
, dado que tal como lo
indica aquella propiedad “El orden en que se coloquen los sumandos no alterará la suma final “
Propiedad Asociativa
∑ ∑ ⋯ ⋯ = = ∑ ∑ ⋯ ⋯ = = ∑ = Según la propiedad asociativa se infiere que
, puesto que la misma
indica que cuando intervienen tres o más sumandos, la suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.
Propiedad Distributiva
∑ ⋯ = ∑ ⋯ =
Conforme a la propiedad distributiva se sostiene que
, debido a que esta
indica que una constante multiplicada por la suma de dos sumandos resulta idéntica a la suma de los productos de cada uno de los sumandos por dicha constante
.
1.1.2 Propiedades Adicionales Ahora bien, se detallarán las propiedades adicionales del Sumatorio.
Descomposición de sumatorias
4
∑ ∑ ∑ = = =+ Lo anterior se cumplirá siempre y cuando
0<<
Demostración
∑ ⋯ = ∑ ⋯ ⋯ − + = ∑ ⋯ ⋯ − + = ∑ ∑ ∑ = = =+ Propiedad del Reloj En general esta propiedad es utilizada para transformar una sumatoria de índice cualquiera en
1
− ∑ ∑ + = =− Lo anterior se cumplirá siempre y cuando
0<<
Demostración
− ∑ −+ −++ −++ ⋯−+ + =− − ∑ ⋯ + + + =− − ∑ ∑ + =− = Obteniendo su forma general
5
− ∑ ∑ + = =− Por medio de un ligero cambio en el ordenamiento de ambos miembros de la ecuación.
Diferencia de sumatoria
− ∑ ∑ ∑ = = = Lo anterior se cumplirá siempre y cuando
0<<
Demostración
− ∑ ∑ ( ⋯ ⋯ ) ⋯ − − = = − ∑ ∑ ( ⋯− −) ⋯ = = − ∑ ∑ ⋯ = = − ∑ ∑ ∑ = = = Obteniendo su forma general
− ∑ ∑ ∑ = = = Por medio de un ligero cambio en el ordenamiento de ambos miembros de la ecuación.
Propiedad Telescópica
∑ + + =
6
Demostración
∑ ⋯ + − + = ∑ ⋯ + − + = ∑ + + = Primera Regla Telescópica
∑ − =
Demostración
∑ − = ∑ ∑ − = =
⋯ ⋯− Por lo tanto ∑ − = 1.1.3 Sumatorias Notables Sumatoria de primer grado
∑ 123⋯ = 1 ∑ 1 2 =
Ahora que es posible comprender la definición y las propiedades de la sumatoria se optó por demostrar la suma gaussiana con el fin de verificar el procedimiento empleado por Gauss desde dos métodos distintos.
7
Demostración
∑123⋯ = 1 ∑ 2 = No obstante, con el objetivo de demostrar la ecuación del caso general, se partirá del desarrollo de un binomio al cuadrado.
1 21 En primera instancia, se trasladará el término de segundo grado al primer miembro obteniendo lo siguiente
1 21
Posteriormente, se procederá a sustituir los primeros números naturales en la ecuación anterior
2 1 2∙11 3 2 2∙21 4 3 2∙31 5 4 2∙41 ⋮ 1 2∙1
1 2 3 4 ⋮
A continuación se sumarán ambos miembros de cada ecuación con el fin de reducir la expresión. En el primer miembro de la ecuación.
2 1 3 2 4 3 5 4 ⋯1 Se obtiene,
1 1
Por otro lado, en el segundo miembro de la ecuación.
211221231241⋯21
8 Resulta lo siguiente,
21234⋯
Finalmente se obtendrá lo siguiente
1 1 21234⋯ 21234⋯1 1 21234⋯ 211 21234⋯ 1234⋯ 2 1234⋯ 1 2 1 ∑ 2 = Sumatoria de segundo grado
2 3 ⋯ ∑ 1 = 121 ∑ 6 = Demostración En primera instancia se plantearan las siguientes expresiones para comprender la ecuación de la sumatoria notable de segundo grado.
1 y − La Primera regla telescópica sostiene lo siguiente
∑ − = Posteriormente se reemplaza los valores de y − en la ecuación de la Primera regla telescópica
9
∑ − = 1 1 ∑1 = 3 31 1 1 ∑ = 31 3 311 ∑3 = 31 3 3 ∑3 = 3 3 3∑ 3∑ ∑1 = = = 3 1 3 3 2 3∑ 2 = 31 22 6 6 6∑ = 3 3 22 6 6 6∑ = 2 3 6∑ = 2 2 6∑ = 211 6∑ = 121 6∑ = 121 ∑ 6 = 1.1.4 Sumatoria de Riemann Esta sumatoria debe su nombre al ilustre matemático Bernhard Riemann (Rivera Figueroa, 2014). La idea central de la sumatoria de Riemann consiste en hacer varias sub divisiones del área bajo la curva y de esa forma calcular las partes de una función por medio de rectángulos con base en un incremento en el eje
. La
10 suma de todas las áreas de los rectángulos va a ser el área total. Dicha área es conocida como la suma de Riemann.
en el intervalo , para encontrar el área bajo la curva: Dividimos la región en franjas de anchos iguales. Dado
El ancho de cada franja es
∆
∆ : Es el rango de cada sub intervalo.
: Es el límite inferior del intervalo a evaluar.
: Es el límite superior del intervalo a evaluar. : Es el número de intervalos.
Asimismo se recata el valor de
: Coordenadas
∙∆
La ecuación de la enésima suma de Riemann es la siguiente
1.2 Definición de Parábola
∑ ∙∆ =
La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo en el plano llamado foco y de una recta también fija en el plano llamada directriz (Becerra Espinosa, 2004).
1.2.1 Elementos de la parábola
trazada desde un punto de la parábola a la recta llamada directriz es igual a la distancia que inicia en el mismo punto hasta el punto llamado foco. La distancia
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Figura 1: Elementos fundamentales de una parábola Fuente: Elaboración propia
El eje focal es la recta que divide a la parábola simétricamente, y pasa por el foco. El vértice es el punto donde se intersecan la parábola con el eje focal. Las coordenadas del vértice, se designan con las letras
ℎ y .
La distancia focal es aquella que existe del foco al vértice y se le asigna la letra .
Sin embargo, de acuerdo con la definición de la parábola, la distancia del foco al vértice es igual a la distancia del vértice a la directriz por estar en la misma línea recta perpendicular a dicha directriz. El lado recto es la cuerda perpendicular al eje focal y que pasa por el foco. Su longitud es una de las características importantes de la parábola y es igual a
Figura 2: Elementos de la parábola Fuente: Elaboración propia
4.
12
1.2.2 Ecuaciones de la parábola Para resolver este problema, nos remitiremos a la ayuda de los sistemas de coordenadas, para interpretar y describir las relaciones existentes de un lugar geométrico en el plano cartesiano y las expresiones algebraicas que lo representan Consideremos una parábola con su eje paralelo al eje
Figura 3: Parábola con
ℎ,
que abre a la derecha
Fuente: Elaboración propia
ℎ
ℎ, Si la distancia del vértice al foco es , entonces las coordenadas del foco son ℎ, . El punto es el pié de la perpendicular desde el punto , a la directriz y sus coordenadas son ℎ, Por definición aplicando la fórmula de la distancia entre dos Denotemos por y las coordenadas del vértice
.
,
punto del plano, se tiene:
( ) ( ) ( ) ( ) Se sustituyen los valores y se obtiene
√ℎ √ℎ √ℎ ℎ Se eleve al cuadrado ambos miembros de la ecuación
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ℎ ℎ ℎ 2ℎ22ℎ 2 ℎ 2ℎ22ℎ 2 222ℎ2ℎ 4ℎ ;> 0 Ecuación del eje focal , ecuación de la directriz : ℎ coordenadas del vértice ℎ, coordenadas del foco ℎ, con >0, la cuerda que pasa por el foco y es paralela a la directriz es el lado recto (ancho focal) de la parábola y la denotamos con las letras y , como son puntos de la parábola su coordenadas deben satisfacer su ecuación, o sea que sabemos que su abscisa es ℎ, su ordenada es sustiyéndole en la ecuación anterior. 4ℎℎ 4 ±√ 4 ±2 ,
,
Por lo tanto,
ℎ, 2 y ℎ, 2 El primer miembro de la ecuación siempre es no negativo (porque está elevado al cuadrado), por lo tanto, también lo es el segundo miembro, esto nos indica que
debe tener el mismo signo que el parámetro .
Si el parámetro es negativo
<0 la ecuación toma la forma 4ℎ
Con las mismas características de los elementos de la primera ecuación pero
sustituyéndole el parámetro negativo
14
Figura 4: Parábola con
ℎ,
que abre a la izquierda
Fuente: Elaboración propia
en la obtención de la primera ecuación, la ecuación de este tipo de parábola es ℎ 4 ; > 0 En donde el eje focal tiene ecuación ℎ,ℎ,, ℎ,,ℎ2,, ℎ2, Directriz: Si el eje de la parábola es paralelo al eje , procediendo de la misma manera que
.
Figura 5: Parábola con
ℎ,
Fuente: Elaboración propia
que abre hacia arriba
15
<0 La ecuación anterior toma la siguiente forma ℎ 4
Si el parámetro donde
.
Con las mismas características de los elementos de la ecuación anterior pero
sustituyéndole negativo
ℎ,
Figura 6: Parábola con Fuente: Elaboración propia
que abre hacia abajo
2. Marco de Aplicación Se seguirán los pasos correspondientes para calcular el área de la figura generada por el monumento
2.1 Calcular la altura del Arco Parabólico. Con un Teodolito casero se tomaron las siguientes medidas
Tabla 1: Mediciones del Arco Parabólico de Tacna Medición Ángulo 1ra 2da 3ra 4ta 5ta 6ta 7ma 8va 9na 10ma
43 45 49 53 57 65 68 70 74 78
Fuente: Elaboración propia
Tangente Altura del Distancia del arco Ángulo 0.93 19.30 17.95 1.00 17.90 17.90 1.15 15.57 17.91 1.33 13.49 17.94 1.54 11.63 17.91 2.15 7.79 16.75 2.48 6.75 16.74 2.75 6.08 16.72 3.49 4.80 16.75 4.71 3.55 16.72 Promedio
Altura del observador 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 1.3 1.3 1.3 1.3 1.3
Altura del Arco Real 18.05 18.00 18.01 18.04 18.01 18.05 18.04 18.02 18.05 18.02 18.03
16
2.2 Medir la distancia de la abertura de la parábola La distancia de la abertura obtenida en la medición fue de
12.86 . Se posiciona la
parábola en el plano cartesiano (figura 7) de modo que el vértice se ubique en el punto
8.92;18.03 y que la función cuadrática se interseque con el eje de las abscisas en los puntos 2,49;0 y 15.35;0.
Figura 7: Posicionamiento para la evaluación del Arco Parabólico de Tacna Fuente: Elaboración propia
2.3 Tabular los puntos y reemplazarlos en la función cuadrática X 2.49 8.92 15.35 La función cuadrática se representa por
Y 0 18.03 0
Cuando 2.49 e 0 2.49 2.49 06.20012.49 1 Cuando 15. 3 5 e 0
17
15.35 15.35 0235.622515.35 2 Ahora, se realiza un sistema de ecuaciones con las expresiones anteriores, para luego
expresar en función de a partir de las dos expresiones anteriores
0235. 6 22515. 3 5 { 06.20012.49 0229.422412.86 12.86229.4224 229.12.846224 0.0561 3 Cuando 8.92 e 18. 0 3 8.92 8.92 18.0379.56648.92 4 Se propondrán ecuaciones de primer grado en base a las expresiones anteriores
0235.622515.35 2 0235.62250.056115.35 013.218415.35 02.1316 5 18.0379.56648.92 4 18.0379.56640.05618.92 18.034.46378.92 18.034.4563 6 Se hallará el valor de teniendo como punto de partida las ecuaciones 5 y 6 planteadas anteriormente. 18. 0 34. 4 563 { 02.1316 18.032.3247
18
7.7558 Posteriormente, se evaluará el valor de en la ecuación 3 0.0561 0.05617.7558 0.4351 Luego, se reemplazarán los valores de y en la ecuación 1 06. 2 0012. 4 9 06.20010.43512.497.7558 16.6142 Por lo tanto la función cuadrática es la siguiente 0.4351 7.755816.4142
Ahora bien, es necesario expresar la ecuación anterior en su forma estandarizada, para luego aplicar la sumatoria de Riemann.
ℎ
En ese sentido, se debe hallar los valores de y , respectivamente En primer lugar el valor de
ℎ
ℎ 2 ℎ 20.7.7558 4351 ℎ8.9126
Ahora se procederá a obtener el valor de
4 4 40.435116.4142 7. 7 558 40.4351 18.148 A partir de lo anterior es posible expresar la ecuación cuadrática en su forma estandarizada
ℎ 0.43518.9126 18.148
19 Para desarrollar el presente ejercicio de aplicación se debe emplear la siguiente ecuación (Área de la suma de Riemann).
.∆ →∞ lim ∑ = No obstante, se desarrollará el ejercicio paso a paso con el fin de alcanzar su máxima comprensión.
2.4 Área de la figura generada por el monumento En primera instancia se determina los límites del intervalo a evaluar.
,→ sub intervalos 2.49,15.35 → sub intervalos Entonces a partir de lo anterior se deduce que los valores de respectivamente. Posteriormente
Ahora
y son
∆ 4 9 ∆ 15.352. ∆ 12.86 ∙∆ 2.49∙ 12.86 2. 4 9 12.86
Por lo tanto se tiene lo siguiente
0.4351 8.9126 18.148 0.43512.49 12.86 8.9126 18.148 Finalmente
2.49 y 15.35,
20
∙∆ →∞ lim ∑ = 12. 8 6 12. 8 6 →∞ lim ∑0. 4 3512. 4 9 8. 9 126 18. 1 48∙ } = 12. 8 6 12. 8 6 →∞ lim ∑0. 4 351 6. 4 226 18. 1 48∙ } = 12. 8 6 165.3796 165.1893 41.249818.148] →∞ lim ∑[0. 4 351 = 71.9567 71.8739 12. 8 6 →∞ lim ∑[ 17. 9 47818. 1 48] = 71.9567 71.8739 12. 8 6 →∞ lim ∑ 0. 2 002 = 71.9567 71.8739 12. 8 6 ∑ ∑0.2002 →∞ lim .∑ = = = 71.8739 12. 8 6 71. 9 567 ∑ 0.2002 →∞ lim . ∑ = = 71. 8 739 1 →∞ lim 12.86 .[ 71.9567 121 0.2002] 6 2 →∞ lim 12.86 .[ 35.9784 121 35.937010.2002] 3 →∞ lim 12.86 .[ 35.39784 2 3135.937035.93700.2002] 107.935235.9784 12. 8 6 71. 9 568 →∞ lim . 36.137235.9370 3 107.935235.9784108.4116 107.811 12. 8 6 71. 9 568 →∞ lim . 3 0.124235.9784 12. 8 6 36. 4 548 →∞ lim . 3 →∞ lim 12.386 .36.4548 0.124235.9784 →∞ lim 468.38087 1.53972 462.36822
468.38087 00 468.38087 156.2697
21 Se realizó una comprobación de los resultados obtenidos, a través de la integral definida de Riemann.
. ∫. 0.4351 7.755816.4142 . . . ∫. 0.4351 ∫. 7.7558 ∫. 16.4142 . 7.7558 . . 0. 4 351 3 | . 2 | . 16.4142| . [0.43351 15.35 2.49] 7.72558 15.35 2.4916.414215.352.49
[0.43351 3616.805415.4383] 7.72558 235.62256.200116.414212.86 [0.43351 3601.3671] 7.72558 229.422416.414212.86 522.3183889.6771211.0867 156.2721 ≈156.27
Se complementó la comprobación haciendo uso de GeoGebra (Ver figura 8).
Figura 8: Área de la curva modelizada en base al Arco Parabólico de Tacna Fuente: Elaboración propia
22
CONCLUSIONES
Al realizar el análisis de los resultados obtenidos en la presente investigación, logro responder convenientemente al objetivo planteado inicialmente. En ese sentido, el área de las superficies rectangulares inmersas de forma implícita en la trayectoria descrita por la supuesta bala de
156.27 Los cuadriláteros regulares se encontraban determinados por la siguiente función cuadrática: 0.4351 7. 7 55816. 4 142, la cual fue modelizada de cañón es de
.
acuerdo los datos obtenidos en la medición correspondiente.
Se sostiene que una de las mayores limitaciones para desarrollar la presente exploración fue el no poseer instrumentos de laboratorio a fin de realizar la medición. Sin embargo, ello no fue impedimento para continuar con el trabajo de investigación dado que se optó por construir el teodolito de forma casera. Asimismo, considero que en futuras investigaciones se podría trabajar con regiones en tres dimensiones tales como la catedral de Chillán (Chile), por medio de las integrales múltiples (dobles y triples), con el propósito de hallar el volumen así como el área de la superficie de la construcción colonial. Finalizo la presente investigación, señalando que este trabajo es el resultado de mucha imaginación y dedicación por mi parte, lo cual será de gran importancia en mi formación universitaria. Asimismo, a través de la investigación busco dar a conocer que la matemática es una herramienta que nos permite comprender la realidad a medida que se sumen aportes como el presentado en esta exploración matemática.
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Bibliografía Becerra Espinosa, J. (2004). Matematicas V ... El Placer de Dominarlas Sin Complicaciones. UNAM. Larson, R., & P. Hostetler, R. (2008). Precálculo. Reverte. Rivera Figueroa, A. (2014). Cálculo: Y sus fundamentos para Ingeniería y Ciencias. Grupo Editorial Patria.
Referencias Becerra Espinosa, J. (2004). Matematicas V ... El Placer de Dominarlas Sin Complicaciones. UNAM. Larson, R., & P. Hostetler, R. (2008). Precálculo. Reverte. Rivera Figueroa, A. (2014). Cálculo: Y sus fundamentos para Ingeniería y Ciencias. Grupo Editorial Patria.