ARITMÉTICA
LÓGICA PROPOSICIONAL
APRENDIZAJE ESPERADO * * *
*
Reconocer y diferenciar los enunciados de las proposiciones lógicas Reconocer las proposiciones simples y compuestas Utilizar correctament correctamentee los diferentes conectivos lógicos en la estructuración de las proposiciones compuestas y manejar con propiedad las tablas de verdad Evaluar correctament correctamentee los esquemas esquemas moleculares y reconocer los esquemas tautológicos, contradictorios y contingentes.
Lógica.- Disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. Ampliamente aplicada en la filosofía, matemátic matemáticas, as, computación, física.
N E M U S E R
La lógica la venimos aprendiendo desde que hemos nacido, ya que ésta se encuentra implícitamente en todas las actividades. Sin embargo esta realidad tiene un límite y llega un momento en que necesariamente debemos estudiar lógica para poder razonar con mayor rigor, rigor, ya sea en el aprendizaje de un determinado curso (como el caso de aritmética), en el ejercicio de nuestra profesión, en la solución de un problema o ya sea en la actividad científica. El conocimiento de la lógica y el adiestramien adiestramiento to en el manejo de sus operaciones nos colocará en una situación de poder actuar con mayor eficacia, de pensar con mayor penetración y objetividad y de emprender después por nuestra propia cuenta, la solución de problemas que nos plantea la vida diaria o la ciencia misma.
1. Lea el contenido contenido teórico y haga haga un cuadro de resumen del primer tema. 2. Elaborar proposiciones compuestas con ejemplos de su vida cotidiana para cada uno de los conectivos lógicos. 3. Demostrar que • (p q) ~p = ~p q • p (q r) = (p ~r) ~q
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Aritmética LÓGICA PROPOSICIONAL Es una parte de la lógica que tiene como objeto de estudio la proposición y la relación existente entre ellas, así como la función que tienen las variables proposicionales y los conectivos lógicos. 1. ENUNCIADO.Es toda sentencia frase ú oración de nuestro lenguaje. Ejemplo: -Hasta siempre -¿Cómo estás? 2. PROPOSICIÓN.Aquel enunciado que puede calificarse o bien como verdadero(V) o bien como falso(F) pero no ambos al mismo tiempo. La verdad o falsedad de una proposición lógica recibe el nombre de VALOR DE VERDAD ó VALOR VERITATIVO. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo. p: 9 es un número primo. (F) q: -13 + 35 = 22 (V) r: ½ es un número natural. (F) s: Todo se humano es mortal. (V) t: -18>12 (F) OBSERVACIÓN: Las órdenes, interrogantes o las expresiones de contenido emotivo sugerente no son proposiciones. Ejemplo: - ¿Dónde vas? - Muchas gracias -A+B=X En todas ellas no se puede expresar su valor de verdad. 3. ENUNCIADO ABIERTO O FUNCIÓN PROPOSICIONAL Es todo enunciado con una variable como mínimo. Esta debe ser reemplazada por una constante para transformarse transforma rse en proposición. Ejemplo. 2 - x –5>4 - Él, es un escritor peruano. - X es una figura geométrica. 4. CLASES DE PROPOSICIONES a) Proposición simple ó atómica.Poseen un solo sujeto, un solo verbo y un solo predicado carecen de conjunciones entre sus términos (es decir no llevan conectivos lógicos o términos funcionales). Ejemplo. p: Sen 16° = 7/25 q: Cero es el elemento neutro aditivo. Conectivos lógicos Palabra ó símbolos que enlazan proposiciones simples, sin formar parte de ellas; los conectivos lógicos que más usaremos son:
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Símbolo ~
Operación asociada Negación Conjunción o producto lógico Disyunción o suma lógica Impl Implica icaci ción ón Doble implicación Diferencia simétrica
Significado no p, o no es cierto que p pyq p o q (en sentido incluyente) p imp implic lica a q, q, o si p entonces q p si y sólo si q p o q (en sentido excluyente)
b) Proposición Proposici ón Compuesta ó Molecular.Se forman a partir de proposiciones simples ligadas entre sí por conectivos lógicos. Ejemplo. -Hoy día es martes y estudiaremos Aritmética. -2 es divisor de 10 ó 5 es múltiplo de 10. -Paolo es el mejor jugador y Varg Vargas as el más mentiroso. 5. PROPOSICIONES LÓGICAS COMPUEST COMPUESTAS AS Y SU TABLA TABLA DE VERDAD Las proposiciones lógicas compuestas se clasifican de acuerdo a su enlace ó conectivo lógico principal. NEGACIÓN: La negación es la conexión lógica más sencilla. Toda proposición se puede negar anteponiendo a su enunciado "es falso que", "no es cierto que" o "no es el caso que" o insertando dentro de la proposición la palabra "no". Simbólicamente, la negación de la proposición p sería ~p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p" o "no es el caso que p". La tabla de verdad para la negación es: p V F
p F V
Ejemplo. La negación de p: todos los alumnos estudian matemática es: ~p: no todos los alumnos estudian matemática matemática o bien: ~p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática ~p: hay alumnos que no estudian matemática matemática CONJUNCIÓN: La conjunción se puede utilizar cuando se quiere expresar el hecho de que dos proposiciones son verdaderas. El conectivo conec tivo lógico lógico que que se usa usa en la conjunc conjunción ión es " " , el cual cual se lee como "y". Si p y q son dos proposiciones, p q se llama conjunción de p y q. La palabra "y " no siempre denota conjunción como en el caso de: "Carlos y Laura son hermanos". Se pueden utilizar otras palabras para denotar conjunción como por ejemplo: "pero", además", "más aún". La tabla de verdad de la conjunción es:
Aritmética p V V F F
q p q V V F F V F F F
Los métodos abreviados que se utilizan en el español no son permitidos en las afirmaciones lógicas, por ejemplo, la oración "Carlos y María María van a bailar". La forma correcta correcta es "Carlos va a bailar y María va a bailar". Entonces se pueden definir las proposiciones: p : Carlos va a bailar q : María va a bailar Entonces la oración "Carlos y María van a bailar" se convierte en: p q. DISYUNCIÓN INCLUSIVA O DÉBIL La disyunción o es utilizada en sentido incluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyentee indistintamente. Para agotar toda posibilidad de excluyent ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas. Las oraciones que contienen una "o" se pueden traducir como disyunciones. El conectivo lógico que se usa en la disyunción es " v ", el cual se lee como "o". Si p y q son dos proposiciones, p v q se llama disyunción disyunción de p y q. La palabra "o" puede ser incluyente o excluyente. En la oración "Tú puedes comer o carne o pollo", la presunción es que puedes escoger una de las dos, pero no ambas, entonces el sentido es de exclusividad. En la oración "El programa de computadora tiene un error, o la entrada es errónea", no excluye ninguna de las dos posibilidades. La disyunción se puede decir que es incluyente por lo tanto p v q se puede leer como "p o q o ambas". La tabla de verdad de la disyunción es: p V V F F
q p q V V F V V V F F
Ejemplo. Sea la proposición: Tiro las cosas viejas o que no me sirven El sentido de la disyunción compuesta por p o q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción disyunció n es v. v. DISYUNCION EXCLUYENTE O DIFERENCIA SIMÉTRICA El conectivo lógico que se usa en la disyunción excluyente excluyente es "" . Si p y q son dos proposiciones, p q se llama disyunción excluyente excluyen te de p y q, y se lee como "p o q, pero no ambas". La tabla de verdad de la disyunción excluyente excluyente es:
p V V F F
q pq V F F V V V F F
Ejemplo. Sea la proposición: -o vamos a Córdoba o vamos a Mendoza Queda claro que sólo podremos ir a uno de los dos lugares, y sólo a uno. Es decir que el enunciado es verdadero sólo si vamos a una de las dos ciudades. En caso de ir a ambas, o de no ir a ninguna, el enunciado es Falso. CONDICIONAL Recibe también el nombre de implicación. El conectivo lógico lógic o que se usa en la condic condicional ional es " ". Si p y q son son dos proposiciones, p q se llama condicional de p y q, y se lee como "si p entonces q" o "p implica q". q". La afirmación p se llama antecedente y q el consecuente. La tabla de verdad de la condicional es: p V V F F
q V F V F
p q V F V V
Hay varias maneras de expresar la condicional, algunas son: "si p, entonces q", "siempre que p, entonces q", "p es suficiente para q", "p sólo si q", "p implica q". También se puede invertir el orden del antecedente y el consecuente; entre las diferentes formas de decir "si p entonces q" invirtiendo el orden del antecedente y el consecuente se tienen: "q si p", "q siempre que p", "q es necesario para p", "q es implicada por p"; En este caso se puede representar simbólicament simbólicamentee como q p. Un ejemplo sería: "El frasco lleva una etiqueta de advertencia si contiene veneno", la cual se puede expresar como "Es necesaria una etiqueta de advertencia para los frascos que contienen veneno". Ejemplo. 1. Supongamos la implicación Si apruebo el examen, ENTONCES ENTONCES te presto el libro libro i) p q La implicación está compuesta de las proposiciones p: apruebo el examen q: te presto el libro Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera. Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.
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Aritmética
Ejemplo. 1 = -1 1² = (-1)² (V) La proposición resulta ser verdadera por ser el antecedente (1 = -1) falso. BICONDICIONAL: Recibe también el nombre de equivalencia o doble implicación. El conectivo lógico que se usa en la bicondicional es "". Si p y q son dos proposiciones, p q se llama bicondicional de p y q, y se lee como "p si y sólo si q". Se puede utilizar "ssi" como una abreviatura para "si y sólo si" La tabla de verdad de la bicondicional es: p q p q V V V V F F F V F F F V 3. Ejemplo. a = b si y sólo si a² = b² El enunciado está compuesto por las proposiciones: p: a = b q: a² = b² Esta doble implicación es falsa si una es F y la otra es V. En los demás casos es V.
6. CLASIFICACIÓN DE LOS ESQUEMAS MOLECULARES a) Tautología.- Cuando al evaluar el esquema molecular los resultados del operador principal son todos verdaderos. b) Contradicción.- Cuando al evaluar el esquema molecular los resultados del operador principal son todos falsos. c) Contingencia.- Cuando al evaluar el esquema molecular los resultados del operador principal contienen combinaciones hay valores verdaderos y falsos 7. LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL Como ya se dijo, aquellas fórmulas lógicas que resultan ser siempre verdaderas no importa la combinación de los valores veritativos de sus componentes, son tautologías o leyes lógicas. En el cálculo proposicional existen algunas tautologías especialmente útiles cuya demostración se reduce a la confección de su correspondiente tabla de verdad, a saber: 1. Ley de idempotencia a) p p p b) p p p 2. Ley conmutativa a) p q q p b) p q q p c) p q q p
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3. Ley Asociativa a) (p q) r p (q r) b) (p q) r p (q r) 4. Ley Distributiva a) (p q) r (p r) (q r) b) (p q) r (p r) (q r) 5. Ley de De Morgan a) ~(p q) ~p ~q b) ~(p q) ~p ~q c) p q ~(~p ~q) d) p q ~(~p ~q) 6. Leyes de la implicación a) p q ~q ~p b) p q ~(p ~q) c) p q ~p q d) p (p q) p q 7. Principio de contradicción a) p ~p F (falacia) 8. Principio de no contradicción (Ley de medio excluido) a) p ~p V (verdad) 9. Negación de la negación o involución a) ~ (~p) p 10. Leyes de identidad a) p F p b) p V V c) p V p d) p F F b y d se conocen también como leyes de dominación. 11. Equivalencia a) p q (p q) (q p) 12. Ley de Exportación a) (p q) r p (q r) 13. Reducción al absurdo a) p q (p ~q) V 14. Ley de absorción a) p (p q) p b) p (p q) p
Aritmética
1. De estos enunciados: * Toma una decisión rápida * ¡ Dios mío….. se murió ! * ¿Qué hora es? * Atahualpa fundó Roma * X + 3y = 67 * Jaime Bayly es un periodista deportivo * La palabra "sol" tiene 3 letras * ¡ Arriba Alianza ! * Los Heraldos Negros ¿Cuántas son proposiciones? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Cuántas proposiciones conjuntivas se muestran a continuación: I) Paola ve televisión o estudia II) Paola no ve televisión y estudia. III) Paola estudia, pero Andrés no. IV)Paola estudia porque no ve televisión. V) Andrés es hermano de Paola. VI)Andrés juega, Paola estudia. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 3. Los valores de verdad de las proposiciones: "p", "q", "r" y "s" son respectivamente: V, F, F y V. Obtener los valores de verdad de: I) [ ( p q ) r ] s II) r ( s q ) III) ( p r ) ( r ~s ) a) VFF b) VVV c) FFF d) FVV e) FVF 4. Dadas las proposiciones: q : 4 es un número cuadrado perfecto. r : 11 es un número par. p : 18 es un número primo. Calcular el valor de verdad de: [ ( ~p q ) ( s ~s ) ] ~r a) V b) F c) V y F d) s e) Falta conocer "s" 5. Si la proposición: ( p ~q ) ( ~r s ) ; es falsa. El valor de verdad de: p, q, r y s es: a) VVFF b) VFVF d) FFVV e) FVVF
c) FVFV
6. Si se sabe que: * p ~r ; es falsa * r q ; es verdadera. * q t ; es falsa Determinar los valores de verdad de: p, q , r y t. a) VVVV b) VVFF c) VFVF d) FVFF e) FFFF 7. Dadas las proposiciones: p : Gabriel es futbolista. q : Gabriel es un notable músico. r : Gabriel es Doctor.
Simbolizar el enunciado "Si no es el caso que Gabriel sea futbolista y Doctor entonces es un notable músico". a) ( ~p q ) r b) ( ~p ~r ) q c) ~( p r ) q d) ( ~p r ) q e) ( ~p r ) q 8. "Si no apruebas o no resuelves el problema, entonces es falso que hayas estudiado o domines la deducción lógica". ¿Cuántas variables proposicionales empleamos al simbolizar la expresión anterior? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 9. Encontrar un esquema molecular adecuado, para el siguiente enunciado: "Si no es el caso que luz es una comerciante y una próspera industrial, entonces es contadora o no es comerciante" a) ( ~p q ) (r p) b) ( ~p ~q ) (~r p) c) ~( p q ) (r p) d) ~( p q) (r ~p) e) ~( p q) (r p) 10. De la siguiente proposición compuesta [(p r) r ] ~ r; al desarrollo de tabla de verdad resulta: a) Tautología b) Contradicción c) Contingencia d) a y b e) Todas 11. ¿Cuántas variables proposicio nales e mpleamos al simbolizar la siguiente expresión? "Si no tomas en serio las cosas tendrás problemas para ingresar o no serás profesional". a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 12. Considerando las siguientes proposiciones: P: La materia es destructible. q. La materia es transformable. Simbolizar el enunciado: "De ninguna forma, la materia es destructible tal como es transformable". a) ~ p q b) ~ p q c) ~ (p q) d) ~ (p q) e) ~ (p q) 13. Sea:
p = Carolina es bonita q = Carolina es feliz ¿Cuál es la representación simbólica del enunciado: "Carolina es bonita o no es cierto que sea bonita pero feliz, ya que es feliz"? a) [p ( p q)] q b) q [ ( p q) q ] c) q [ p ( p q)] d) q [ p ( p q)] e) [p ( p q)] q
14. Dadas las proposiciones: p : Jaimito se levanta temprano. q : Jaimito compra pan. r : Jaimito va al CPU. 161
Aritmética Simbolizar el enunciado : "No es cierto que, si Jaimito se levanta temprano aunque no compre pan entonces no podrá ir al CPU; pero que Jaimito haya comprado pan es condición necesaria y suficiente para que se haya levantado temprano". a) [ ( p q) r ] ( q p ) b) [ ( p q) r ] (q p ) c) [( p q) r ] (p q ) d) [ ( p q) r ] (q p ) e) [( p q) r ] (q p ) 15. Dado el siguiente esquema molecular: [(p q) r] [r (p q)] Si elaboramos su tabla de verdad calcule la diferencia entre el número de verdaderos y el número de falsos de su matriz principal. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 0 16. Al hallar la tabla de verdad del esquema molecular: ( p q ) ( p ~q ) ; se obtiene: a) VFVF b) VVVV c) FFFF d) VFFV e) FFFV 17. Al hallar la tabla de verdad de los esquemas moleculares: A : p (q p) B : ( p q ) p C : ~ [ ~ ( p q ) p ] Se obtiene, respectivamente, una…........ a) Tautología, Contingencia y Contradicción. b) Contradicción, Contingencia y Tautología. c) Contingencia, Tautología y Contradicción. d) Tautología, Contradicción y Contingencia. e) Tautología, Tautología y Contradicción.
22. Se define: p * q, por la tabla: pq
p*q
VV VF FV FF
V V F V
Simplificar: [ ( ~p * q) * p ] ( q * p) a) p b) q d) q p e) p ~q
c) p q
23. Se define el operador lógico * de la siguiente manera: p * q [( p q) ( p q)] Simplifique el siguiente esquema: {p * [(p q) (q r)]} * (r s) a) p q b) q r c) r s d) p e) r p # q [(p q) ( q p)] p q q [(p q) (q p)] Si simplificamos la siguiente expresión: W = {[ p # (q p)] [(q p) q]} q Obtenemos: a) p q b) q c) p d) p q e) verdadero
24. Si:
25. Simplificar el circuito: p p
q
q
r 18. Simplificar:
a)
p (q p) a) q d) ~q
b) p e) q p
c) p q
( p q ) ( ~p q ) b) p e) ~q
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p b)
c)
r
d)
p
c) q p
p e)
20. De la proposición: "Marcos estudia o trabaja, pero si no estudia entonces trabaja; en consecuencia, Marcos no trabaja ". Señale una proposición equivalente: a) Marcos estudia o trabaja. b) Marcos estudia. c) Marcos trabaja d) Marcos no trabaja. e) Si Marcos estudia, no trabaja. 21. Se define: p # q { [ ( p q) p ] q } p Simplificar: [ ( ~p r ) # q ] # ( p q) a) p r b) ~p r d) p ~r e) p ~r
q
q
19. Simplificar:
a) q d) ~p
p
r 26. Simplificar el circuito: p p
q q
p
q
a) p q d) p q c) ~p r
r
b) p e) q
c) ~q
Aritmética 27. Hallar un circuito equivalente a: p q p
p
q
q
p
p
p
q
p a)
p
q
b) q
c)
p
e)
q
29. Dado: A ={-2, -1, 0, 1, 2} Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados:
d)
q
28. Si el siguiente esquema es falso (p q) [(m r) r Indique el valor veritativo de p, q, m y r en ese orden. a) VFFV b) VFVV c) VFFF d) VVFF e) FVVF
I. x A , y A/x + y = 0 II. x A, y A, x . y = 0 2 2 III. x A, y A, x - y = (x + y) (x - y) y IV. x A, y A, x no está definido a) VVFV b) VFFV c) VFFFF d) FVFV e) VVVV
30. Dadas las proposiciones: p: Hoy llueve. q: Tengo frío. r : Hace calor. Expresar en forma verbal el siguiente esquema molecular. (p q) ( p r) a) Si hoy llueve entonces tengo frío, pero hoy llueve o no hace calor. b) Hoy llueve dado que tengo frío, pero hoy no llueve o hace calor. c) Si hoy llueve entonces tengo frío, pero hoy no llueve y hace calor. d) Tengo frío ya que hoy llueve, pero hoy no llueve o hace calor. e) Si hoy llueve entonces no tengo frío, pero hoy no llueve o hace calor.
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Aritmética
TEORÍA DE CONJUNTOS
* * * * * * *
APRENDIZAJE ESPERADO Establecer correctamente la noción de Conjunto y su notación. Utiizar adecuadanmente los símbolos de pertenencia e inclusión y representar los conjuntos gráficamente. Reconocer los conjuntos especiales y determinar su correspondencia cardinal. Realizar correctamente operaciones entre conjuntos. Utilizar de manera eficaz las leyes del álgebra de conjuntos. Establecer relaciones con los elementos d dos conjuntos y definir una relación binaria. Aolicar correctamente las propiedades de las relaiones y reconocer la relación de equivalencia.
Von Neumann
Russell
George Cantor Según la definición de conjuntos de Cantor, éste es “una colección en todo de determinados y distintos objetos de nuestra percepción, o nuestro pensamiento llamado los elementos del conjunto”. Frege fue uno de los admiradores de la nueva teoría de Cantor y dio una definición de conjuntos similar. En 1903 B. Russell demostraría que la teoría de conjuntos de Cantor era inconsistente y cuestionaría dicha definición. Pero pronto la teoría axiomática de Zermelo (1909) y refinamientos de ésta debidos a Fraenkel (1922), Solem (1923), Von Neumann (1925) y otros sentaron las bases para la teoría de conjuntos actual. Es indiscutible el hecho de que teoría de conjuntos es una parte de las matemáticas, es además; la teoría matemática donde fundamentar la aritmética y el resto de teorías matemáticas.
CONJUNTO Una construcción de la matemática a partir de conceptos intuitivos como el concepto de conjunto es uno de los grandes aciertos de la humanidad, cuyo aporte se debe al matemático George Cantor (1845 - 1918). La palabra conjunto designa una agrupación de objetos de naturaleza real o abstracta llamados elementos del conjunto. En matemática la palabra conjunto no sólo designa pluralidad (varios), sino, la nulidad (sin elemento)
Pertenencia ( ) Cuando un elemento integra un conjunto, se dice que el elemento pertenece al conjunto y se denota por y en caso contrario por . Ejemplo: aA A = {a; e; i; o; u} o A nA
NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN Los elementos de un conjunto representa entre llaves y para dar nombre al conjunto se utiliza una letra mayúscula.
DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS Determinar un conjunto es indicar o señalar en forma precisa, los elementos que lo conforman. Un conjunto se puede determinar por extensión o por comprensión.
Ejemplos: A = {a, e, i, o, u} B = {0; 1; 2; 3; 4; …; 50} C = {letras del alfabeto}
Determinación por extensión Un conjunto se determina por extensión o por el modo explícito o enumerativo, nombrando individualmente sus elementos.
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Aritmética Determinación por comprensión Un conjunto se determina por comprensión o por el modo implícito o descriptivo, enunciando la propiedad común que caracteriza a todos los elementos del conjunto considerado. Ejemplo: Determina el conjunto de las vocales.
Cardinal de un conjunto [car, (A) o n(A)] Todos los conjuntos con cuyos elementos se pueden establecer una correspondencia de uno a uno o biunívoca, se dice que forman una clase de equivalencia. La propiedad común de los conjuntos que forman una clase de equivalencia, se llama cardinal del conjunto. Ejemplo:
Por extensión: A = {a, e, i, o, u}
A
Por comprensión: A = {x/x es una vocal} Determina el conjunto de los números naturales mayores de 5 y menores de 10.
B
C
D
a.
3.
m.
3.
b.
7.
n.
.
c.
9.
p.
e.
Por extensión: B = {6; 7; 8; 9} Por comprensión: B = {x/x N 5 < x < 10} REPRESENTACIÓN GRÁFICA DEL CONJUNTO Un conjunto se puede representar mediante gráficos. Diagramas de Venn - Euler Se utilizan figuras geométricas cerradas para representar al conjunto y dentro de ellas se ubican los elementos. También los diagramas de Venn - Euler sirven para indicar el número de elementos del conjunto.
Estos conjuntos forman una clase de equivalencia. La propiedad común a ellos es de tener 3 elementos. El cardinal de cualquier de los conjuntos es 3. Card(A)=Card(B)=Card(C)=Card(D)=3 Esto implica que el cardinal del conjunto indica el número de elementos. Por ello: N(A) = n(B) = n(C) = n(D) = 3 Número de elementos de… D) CLASIFICACIÓN DE CONJUNTOS DE ACUERDO AL NÚMERO DE ELEMENTOS
Ejemplo: Sean los conjuntos: A = {a, b, c, d, e} B = {d, e, m, n, p} C = {e, m, p}
Clases Conjunto finito Conjunto infinito
A
B a. b. c.
p. n.
d. e.
A
B 1
3
m.
0
q.
1
2
C
C
Representación gráfica indicando los elementos de los conjuntos.
Representación gráfica indicando el número de elementos de los conjuntos.
Diagramas de Lewis Carroll Carroll utilizó diagramas rectangulares para representar "clases" en lógica. Estos diagramas son útiles para representar conjuntos que no tienen elementos comunes. Ejemplo: En una reunión de 32 hombres y 28 mujeres 15 hombres fuman y 20 mujeres no fuman. Representar gráficamente el conjunto de las personas reunidas. Hombres (32) Fuman No fuman
Hombres (28)
15
20
Conjunto nulo o vacío Es el conjunto que carece de elementos y se denota por ó {}
1
1
Tipos * Nulo o vacío * Unitario * Numerables * Innumerables
Ejemplo: M = {x/es un entero impar múltiplo de 4} M= óM={ } Conjunto unitario Es el conjunto que tiene un solo elemento. P = {3}; Q = {6}; R = {13; 13; 13} Conjunto finito e infinito Un conjunto es infinito si es equivalente a uno de sus subconjuntos propios, en caso contrario el conjunto es finito. Un conjunto es infinito numerable, si es equipotente con el conjunto de los números naturales, en caso contrario, el conjunto es infinito innumerable. Ejemplo: Dados los conjuntos: Z+ = {1;2;3;4;5;6;7;…} P = {2;4;6;8;…} El conjunto P es subconjunto propio de Z+ (como veremos más adelante) porque todos los elementos de P están en Z+. Sin embargo, podemos establecer una correspondencia biunívoca de los elementos de Z+ con los de P: 165
Aritmética Z+ = {1; 2; 3; 4; 5; 6; …} P = {1x2; 2x2; 3x2; 4x2: 5x2;…} De manera que Z+ y P son equivalentes. Luego, Z+ es un conjunto infinito numerable y P también lo es. El conjunto: M = {1;2;3;4;…;1000} es finito.
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS A) Relación de Inclusión () Se dice que un conjunto A está incluido en B si todo elemento de A es elemento de B, lo cual se denota por y en caso contrario por . Simbólicamente se define como: A B x A x B
CONJUNTOS ESPECIALES Conjunto Universal o Referencial (U) Dados uno o más conjuntos, se llama conjunto universal o referencial de él o ellos, a otro conjunto que posee todos los elementos de los conjuntos dados.
El conjunto universal se puede elegir de acuerdo al estudio particular que se quiere realizar con algún conjunto. El conjunto universal se representa gráficamente por un rectángulo y simbólicamente por una U. A = {3;4;5} B = {4;7;8} U = {1;2;3;$;5;6;7;8;9;10} U es un conjunto universo de A y B 1.
B A se lee: B incluya a A B es superconjunto de A B contiene a A
2. B
A C se lee: A no está incluido en C.
7.
3.
4. 8.
5. 6.
9.
Conjunto de conjuntos Es aquel conjunto donde, al menos, uno de sus elementos es un conjunto.
B) Subconjunto propio () Se dice que A es subconjunto propio o parte propia de B si está incluido en B y existe por lo menos un elemento de B que no está en A, es decir: A B (A B) ( x B/x A)
Ejemplos: A = {{5}; 4;3;1} B = {{1;2;4}; {5}; {6}} C = {{1;2};{a;b};5;6}
Así en los ejemplos anteriores tenemos: A, B y C: Son conjunto de conjuntos. B: es familia de conjuntos.
CONJUNTOS NUMÉRICOS
{, {m}, {n}, {m,n}, {m;p}, {n;p}, {m;n;p}} Subconjuntos propios de A
Reales (R) Ej. 3 ; ; 72; –4; 0
C) Conjuntos iguales (=) Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.
Racionales Ej. 7/2; 15/3; 8; 0
Fraccionarios Ej. 3/5; 7/9; 10/3
Enteros Ej. {… -2; -1; 0; 1;2;…} Naturales (N) {0; 1; 2; 3;…}
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Ejemplo: Si A = {m; n; p}, entonces: Subconjuntos de A
Complejos (c)
Irracionales Ej. 3 ; ; e
Ejemplo: Si A = {a;b} y B={a;b;c;d} A B Nota: Convencionalmente, el conjunto nulo o vacío se considera incluido en todo conjunto. De acuerdo a lo anterior, el conjunto nulo o vacío es subconjunto propio de cualquier conjunto no vacío. Todo conjunto es subconjunto de sí mismo, pero no es subconjunto propio de sí mismo.
Nota: Cuando todos los elementos de un conjunto son conjuntos, recibe el nombre de Familia de Conjuntos.
Imaginarios Ej. –3 ; 2i
Ejemplos: Dados: A={1;2;3} B={1;2;3;4;5} C= {1;3;5} Se observa A B CB AB A B se lee: A está incluido en B A es subconjunto de B A está contenido en B
Z = {1;2;3…} Cero = 0 Z+= {…;-3;-2;-1}
A=BAB BA D) Conjuntos diferentes () Dos conjuntos son diferentes si uno de ellos tiene por lo menos un elemento que no tiene el otro.
Aritmética AB A B B A
Q
E) Conjuntos comparables Dos conjuntos son comparables si uno de ellos está incluido en el otro. A comparable B A B B A F) Conjuntos disjuntos Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos comunes.
A
A y B disjuntos x/x A x B Conjuntos equivalentes, equipotentes o coordinables (< >) Dos conjuntos son equivalentes si tienen el mismo número de elementos. A < > B n(A) = n(B)
Gráficamente: B
M
P
N
AB
MN
Propiedades: * AU =U * A=A * A A=A
* *
P Q = Q
U U=U = * U = U
B) Intersección () Dados dos conjuntos A y B, el conjunto intersección de A y B, denotado por A B, es el conjunto formado por los elementos comunes de A y B. A B = {x/x A x B}
Ejemplo: Sean: U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} A = {1;3;5;7} B = {2;4;6;8;10} C = {4;6;8} D = {5;7;9}
Ejemplo: A = {2;4;6} A B = {4;6} B = {4;6;8} Gráficamente: Q
A
1. 3.
A
B C
5. 7. 9.
2. 4. 6. 8. 10.
A y D son diferentes. B y C son comparables A y B son disyuntos C y D son equivalente Observación: Si dos conjuntos son iguales entonces son comprables, lo contrario no siempre se cumple. Si dos conjuntos son iguales entonces son equivalente, lo contrario no siempre se cumple. III) OPERACIONES CON CONJUNTOS A) Unión () Dados dos conjuntos A y B, el conjunto unión de A y B, denotado por A B, es el que está formado por los elementos de A, los elementos de B y los elementos comunes de A y B. A B = {x/x A x B}
B
M
AB
N
P
MN=
Propiedades: * AU =A * A= * A A=A
* *
P Q = P
U U=U = * U =
C) Diferenciación ( - ) Se llama diferencia de dos conjuntos A y B, en ese orden, a otro conjunto denotado por A - B y formado por los elementos de A que no pertenecen a B. A - B = {x/x A x B}
Ejemplo: Dados: A = {a; b; c}
A - B = {a}
B = {b;c;m;n}
B - A = {m; n}
Gráficamente: A
B
U
U A
B
Ejemplo: A = {3;5;7}
A B = {3;5;7;9} B = {5;7;9}
U
A B
U A
B
Representa A - B 167
Aritmética
Observación: A-BB-A Si A - B = A A B =
Gráficamente: A
C
D) Complementación (A , A') Dado un conjunto A, incluido en un conjunto universo U, se C denomina complemento de A al conjunto denotado por A o A' y formado por los elementos de U que no pertenece a A.
A-B
C
(A - B) (B - A)
A = {x/x x A}
B-A
AB
Sean: A = {2;3;4;5} U = {1;2;3;4;5;6} A' = U - A = {1;6} U A A
F) Conjunto Potencia (P(A)) Dado un conjunto A, se llama conjunto potencia de A, al conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A y se denota por P(A).
C
P(A) = {x/x A} Ejemplo: Sea A = {3;5;7}
Nota: C 1. A = U - A C C 2. (A ) = A C 3. U = C 4. = U
P(A)={{,{3},{5},{7},{3;5},{3;7},{5;7},{3;5;7}} Subconjuntos de A Número de elementos del conjunto potencia
E) Diferenciación simétrica () Se llama diferencia simétrica de dos conjuntos A y B a otro conjunto denotado por (A B) y formado por los elementos de A que no pertenecen a B, o por los elementos de B que no pertenecen a A. simbólicamente se representa como: A B = {x/x (A-B) x (B - A} La diferencia simétrica también se puede expresar como: A B = (A - B) (B - A)
ó
Nº Conjunto
Conjunto
elementos
potencia
del
Nº de element. Conj. Pot.
conjunto
0
∅
{∅}
0
1=2
{5}
{∅, {5}}
1
2=2
{3;4}
{∅ ;{3},{4},{3;4}
2
4=2
1 2
……
A B = (A B) (B A)
Ejemplo: A = {4;5;6;7;8} B = {7;8;9;10;12} A - B = {4;5} B - A = {9;10;12} A B = {4;5;9;10;12}
168
Se observa que si un conjunto tiene n elementos su potencia tiene 2n elementos. n
Si n(A) = n n [P(A)] = 2
Aritmética
01. ¿Qué afirmaciones son correctas? I. II. III. IV.
06. Dados los conjuntos: A= {X/ XZ -3 X 10} B= {X/ XN y = 2 x-3 Y A} C= {X/ XB 4 < X + 3 < 7} Hallar la suma de los elementos del conjunto C. a) 2 b) 5 c) 11 d) 3 e) 8
x (A B) (A B) x (A B) x (A B) x A x A' x A x (A - B)
a) I y II d) todas
b) I, II y III e) I y III
c) II y IV 07. Sean: P/K {p/k/p P k K} P= {2;4;6} K={1,2,3,5}
02. Dados los siguientes conjuntos A = {2x/ x N X < 6}
¿Cuáles son verdaderas? I. n (P/K) = 10 II. En (P/K) solo hay 3 fracciones propias III. En (P/P) solo hay 3 numero naturales
B = {(Y + 4) ÷2/ Y A Y + 4 N} 2 C= {(2m + 1) ÷3/meB 2m+1 N} 3
Además: I. n (A) - n (B)
III. n (B C)
c) 3
Relaciona lo correcto: a) I-A, II-B, III-C c) I-B, II-I, III-A e) I-C, II-A, III-B
b) I-B, II-C, III-A d) I-A, II-C, III-B
2
Calcular: a) 13 d) 16
elemento de A-1 n(A) b) 14 e) 17
a) VFFFF d) VFFFV
b) FVVFF e) VVVFF
c) 15
c) FFFVV
[n (P) +n (R)] - n (P? R) b) 12 e) 9
b) 2 e) 5
c) 3
09. Dados los conjuntos A; B y C A= {XN/(X-1) (X-2) (X-3)…. (X-22)=0} B= {XA/X es un número primo} C= {XA/X es un número impar} Y las proposiciones: B C={1;2;9;15;21} (B C) tiene 7 elementos n (C-B) - n (B-C) =2 n [A - ( B C)] = 9 Son falsas: a) I, II y III d) I, II y IV
b) I,III y IV e) III y IV
c) II, III Y IV
10. Definamos la operación ; entre dos conjuntos A y B mediante:
Entonces se cumple:
Indicar:
a) 11 d) 10
{2} A {2} A {2} A b A 2 {2;a} {2;1} A {2; } A { {a}; {}} A {5} A 1{2;1;b}
A B= A´ B´
05. Dados los conjuntos: 2 P= {y/y =n - 1, n Z, - 3 < n 5} 2 R= {Z / Z+1 = m; m N, m 4}
I) II) III) IV) V) a) 1 d) 4
04. Si: A-B= {(a-b) / a A b B} A= {8;10;13} B= {2;3;7} Señalar el valor de verdad de cada proposición e indicar la alternativacorrecta I. n (A-B) = 8 II. El menor elemento de (A-B) es 6 III. n (B-A) =9 IV. El menor elemento de (B-B) es 0 V. El mayor elemento de (B-B) es 5
c) II
08. Dado el siguiente conjunto: A= {1;2; {2;a}; {2;1;b}; {2}; 5;?;{ ?}} ¿Cuántas de las proposiciones siguientes son verdaderas?
b) 0
03. Si: A= {x + 4/ x z - 4 < x < 6}
b) III e) Todas
a) 2
n(B) n(C)
II.
a) I d) I y II
c) 8
I. ( A-B) A = B A´ II. (A B) (A B) (A A) (B B) III. A (A B) = A´ Cuales son ciertas: a) Todas b) ninguna d) I y III e) II y III
c) I y II
169
Aritmética 11. Dada la siguiente gráfica: A
16. Se tienen los siguientes conjuntos: A= {x/x es hombre} B= {x/x es aviador} C= x/x es egoísta} Si pablo es un profesor que no es egoísta, expresar mediante conjuntos el texto anterior a) A - (B C) b) A - (B C) c) B - (A C)’ d) C - (A - B) e) C - (A B)
B
C
Se afirma que: I) (A B) - C = II) ( (A - D)' III) D - (A B) = C Entonces son verdaderas: a) Sólo II b) Sólo III d) Sólo II y III e) Sólo I y III
c) Sólo I
12. En una fiesta social hay 1000 asistentes, 322 son hombres, 470 son casados, hay 42 varones con lentes, 147 personas con lentes son casados, 86 varones son casados. Indicar el valor de verdad de cada proposición. I. 294 son mujeres solteras II. 122 son mujeres casadas sin lentes III. 280 son hombres sin lentes a) VVV b) VFF c) FVV d) FFV e) VFV 13. En un censo se determinó que el 60% de los niños de una ciudad toma leche, el 70% no come carne; los que toman leche y comen carne, sumados con los que no toman leche ni comen carne son el 40% y 9000 niños comen carne pero no toman leche. Indicar las proposiciones verdaderas. I. En dicha ciudad hay 50000 niños II. Los que solo comen carne son 15% del total III. Los que toman leche y los que no toman leche ni comen carne suman 75% del total IV. Los niños que hay en dicha ciudad son 60000 a) I, II y III b) II y IV c) III y IV d) I y II e) I y IV 14. ¿Qué relación no representa a la gráfica sombreada? U A
B
C
a) (A B) - C b) C´- (A B)´ c) Existen 2 representaciones que no son ciertas d) (A B) - C e) C´ (A B) 15. Siendo U = universo U = {x/x N x 12; x > 4} n [P(A B) ] = 128 n (A - B) = 2 A B {5; 6; 7} Hallar n (A´) a) 1 d) 4 170
b) 2 e) 5
c) 3
17. Conociendo que: n () = n(A B C) = 36 Además: n (A) = 19, n (B)= 25; n (C)=22 n [(A B) - ]=7 n[(A C) - B]=3 n[(B C) - A]=8 ¿Cuál será el valor de: n [(A B) (A B C]? a) 20 b) 18 d) 28 e) 30
c) 24
18. En una reunión donde hay 100 personas se sabe que 40 no tiene hijos, 60 son hombres, 10 mujeres están casadas, 25 personas casadas tienen hijos, hay 5 madres solteras. ¿Cuántos hombres son padres solteros? a) 10 b) 15 c) 20 d)17 e) 30 19. De un grupo de postulantes 53 postulan a Medicina o Ingeniería y 37 a medicina y derecho. ¿Cuántos de los referidos estudiantes no postulan a derecho, si 12 postulan a ingeniería y derecho pero no a medicina? a) 4 b) 6 c) 10 d) 12 e) 16 20. Entre los varones que se alojan en un hotel 40 son peruanos y 60 ingenieros de los primeros, los 3/4 tienen computadora, de los peruanos con computadora la mitad son ingenieros; 5 de cada 6 ingenieros tienen computadoras. Hallar cuantos varones con computadora no son peruanos ni ingenieros, si el hotel se alojan 85 personas con computadora a) 17 b) 18 c) 20 d) 25 e) 30 21. De los 100 estudiantes de un salón, 70 aprobaron matemáticas, 80 aprobaron historia y 78 aprobaron castellano. Si 90 aprobaron exactamente 2 cursos, ¿Cuántos aprobaron en los 3 cursos? a) 19 b) 21 c) 11 d) 13 e) 38 22. Entre los habitantes de un distrito se ha realizado una encuesta sobre quiénes poseen ciertos artefactos y se ha obtenido los siguientes datos: * 80% tienen televisor. * 90% tienen radio * 60% tienen cocina a gas. * 2% no tienen ninguno de los artefactos anteriores. * 53% tienen los tres artefactos ¿Cuántos habitantes tienen solo 2 artefactos? a) 20% b) 42% c) 10% d) 21% e) 11%
Aritmética 23. Para los ingresantes a la facultad de ciencias de la universidad de ingeniería se ha implementado tres cursos complementarios de inglés, francés y alemán. En inglés hay 24 inscritos, en francés 20 y en alemán 18. Trece se han inscrito en más de un curso y 34 en un sólo curso. ¿Cuántos han decidido estudiar los tres idiomas? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 24. En una gran empresa consultora trabajan 100 empleados, entre contadores, economistas e ingenieros. Los 45 de ellos tienen una y sólo una de estas profesiones. De los contadores, 25 son economistas y 27 son ingenieros. Treinta y tres son economistas e ingenieros. ¿Cuántos de los referidos empleados tienen las tres profesiones? a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 25. En una encuesta realizada a 400 estudiantes de una academia, sobre las marcas de cigarrillos que gustan fumar, se obtuvo la siguiente información: 75 estudiantes gustan fumar "Inka", 90 gustan fumar "Latino" y 105 gustan fumar, "Hámilton". El número de estudiantes que fuman las 3 marcas es 1/3 de los que sólo fuman "Inka" y 1/4 de los que sólo fuman "Latino". El número de estudiantes que sólo fuman "Inka" y "Latino" es 3/10 de los que sólo fuman "Hamilton". El número de estudiantes que sólo fuman "Latino" y "Hamilton" es 5/4 de los que sólo fuman "Inka" y "Hamilton". ¿Cuántos estudiantes consumen otra marca de cigarros? a) 190 b) 200 c) 210 d) 180 e) 240 26. En una encuesta a los alumnos de la O facultad de ingeniería Industrial y Sistemas en la "UNSACA", se obtuvieron los siguientes resultados: * El 55 % de los encuestados aprobaron física. * El 30% de los encuestados aprobaron química * El 50% de los encuestados aprobaron dibujo técnico. * El 10% de los encuestados aprobaron los 3 cursos
* El 40 % de los que aprobaron física no aprobaron ningún otro curso y el 20 % de los que aprobaron física también aprobaron química, pero no dibujo técnico. * El 14 % de los encuestados no aprobaron ninguno de los 3 cursos. * Si 64 encuestados aprobaron química y dibujo técnico ¿cuántos alumnos encuestados aprobaron por lo menos 2 de los cursos mencionados? a) 83 b) 166 c) 156 d) 78 e) 146 27. En un colegio, 120 alumnos rindieron 4 exámenes de los cuales 28 no aprobaron examen alguno, los que aprobaron el 1er examen no aprobaron los otros 3, también se observó que todos los que aprobaron el 3er examen, aprobaron el 2do examen, además: * 12 aprobaron sólo él 2do y 3ro o sólo el 2do y 4to examen. * 24 aprobaron al menos el 3er examen. * Todos menos 102 aprobaron el 2do y 4to examen. Hallar cuántos alumnos aprobaron sólo un examen. a) 38 b) 56 c) 50 d) 65 e) 55 28. En un determinado momento en un aeropuerto de 192 personas presentes se observó: * 5 de cada 12 de los que hablan inglés también hablan francés pero no castellano. * 1 de cada 4 de los que hablan inglés también hablan castellano. * Por cada 2 que hablan inglés, hay 3 que hablan francés. * La tercera parte de los que hablan castellano también hablan francés. Por cada 6 de los que hablan francés hay 5 que hablan castellano. ¿Cuántas personas hablan castellano y francés o sólo inglés? a) 36 b) 48 c) 42 d) 30 e) 54
171
Aritmética
NUMERACIÓN
APRENDIZAJE ESPERADO * * * *
N E M U S E R
Representar cualquier cantidad de unidades simples en un determinado sistema posicional de numeración. Descomponer polinomicamente cualquier numeral de un sistema posicional de numeración. Realizar cambios de base en los sistemas de numeración. Aplicar las propiedades de un sistema de numeración en la solución de problemas que nos plantea nuestro entorno
Junto con la historia de la humanidad, la historia de las matemáticas y la numeración a evolucionado optimizándose cada vez más. E n muchas culturas distintas se realizó la numeración de variados modos pero todos llegaban a una misma solución, definir una unidad y aumentarla en conjunto con el conteo, y posteriormente, cuando ya existía una cantidad incómoda de representar se involucraba un nuevo símbolo que representaba a todas las unidades anteriores, a éste último símbolo se le conoce como base, y sin lugar a duda la base más usada ha sido la base 10, como lo hace el sistema de numeración que ocupamos actualmente, aparentemente a causa que tenemos 10 dedos y cada dedo representa una unidad y resulta ser la manera más primitiva de contar.
ACTIVIDAD DOMICILIARIA 1. Lea el contenido teórico y haga un cuadro de resumen del tercer tema. 2. Desarrolle los ejercicios propuestos en la Guía de práctica. 3. Investigue sobre otros métodos de solución de los ejercicios y problemas desarrollados en clase.
Griegos y romanos no tuvieron una adecuada manera de representar los números, lo que les impidió hacer mayores progresos en el cálculo matemático. Los hindúes, en cambio, lograron desarrollar un práctico sistema de notación numeral, al descubrir el cero y el valor posicional de las cifras. Los árabes dieron a conocer el sistema en Europa a partir del siglo VIII (D. C.). Por eso, nuestras cifras se llaman indo arábigas.
172
Aritmética I.
NOCIONES PRELIMINARES
A. NUMERACIÓN: Es la parte de la matemática que estudia la formación, representación y conteo de los números. B. NÚMERO: Idea o abstracción de una cantidad observada en la realidad concreta. C. NUMERAL: Es la representación simbólica o figurativa del número. D. SISTEMA DE NUMERACIÓN:Conjunto de símbolos, reglas y nomenclaturas que rigen la expresión de los cardinales de un conjunto. E. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN: Es un número entero y mayor que la unidad, el cual nos indica la cantidad de unidades suficientes y necesarias de un orden cualquiera para formar una unidad de orden inmediato superior.
Aplicación: Si se tuviera 13 bolitas.
13 Un grupo de 10 sobra 3 23(5) Dos grupos de 5 F. ORDEN Y LUGAR: Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa una posición, que contada de derecha a izquierda, se denomina Orden, iniciando con el orden cero. Si contamos a partir de la izquierda, se denomina Lugar, siendo el primer lugar uno. Ejemplo:
Lugar
4
3
2
1
0
9
7
8
6
3
1
2
3
1
5
C. REPRESENTACIÓN LITERAL DE LOS NÚMEROS Cuando no se conocen las cifras de un numeral se representan mediante letras colocando una raya horizontal arriba de las letras. Además: I. Toda expresión entre paréntesis representa una cifra. II. La primera cifra de un numeral debe ser diferente de cero. III. Las letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo señalen. Ejemplos: * ab numeral de 2 cifras (10, 11, 12, . . . . , 99) * abc numeral de 3 cifras (100, 101, . .. . , 999) * aaa numeral de 3 cifras iguales (111, . ., 999) * abc(n) numeral de tres cifras de base "n".
sobra 3
Base 10
B. En todo número se cumple: * Base > cifra * Cifra mayor = Base - 1 * Si se expresa en dos sistemas de n u m e r a c i ó n " A mayor representación aparente corresponde menor base y viceversa".
Orden
La cifra de mayor orden es 9 <> primera cifra La última cifra es 3 <> cifra de menor orden
D. NUMERAL CAPICÚA: Aquel que leído de izquierda a derecha o viceversa se lea igual. Ejemplos : 557 ; 5158 ; abak ; xyyxn ; aa ; abba ; SOMOS ; RADAR ; AMOLAPALOMA ; ANITALAVALATINA , etc. E. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NUMERAL: Consiste en expresar a un numeral mediante la suma de los valores relativos de cada una de sus cifras. Aplicación: 2 1 314 = 3 x 10 + 1 x 10 + 4 3 2 1 6143(9) = 6 x 9 + 1 x 9 + 4 x 9 + 3 4 3 2 1 abcde(n) = a.n + b.n + c.n + d.n + e EN BLOQUES: 2 abab = ab x 10 + ab = 101 . ab 3 abcabc = abc x 10 + abc = 1001 . abc 2 abab(8) = ab(8) . 8 + ab(8) = 65.ab(8)
II. CONSIDERACIONES IMPORTANTES: A. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
III. CAMBIOS DE BASE: Base 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Sistema
Cifras Disponibles
Binario 0, 1 Ternario 0, 1, 2 Cuaternario 0, 1, 2, 3 Quinario 0, 1, 2, 3, 4 Senario 0, 1, 2, 3, 4, 5 Heptanario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Octanario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Nonario 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 Decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Undecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, Duodecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ,
Cifras auxiliares = 10 = 11 A = 10 B = 11
= 12
= 13
= 14
C = 12
D = 13
E = 14
Caso I: De base "n" a base 10 (n 10) Se hace descomposición polinómica o Ruffini. Ejemplo: Convertir: 213(4) a base 10. 2 213(4) = 2 x 4 + 1 x 4 + 3 = 39 Caso II: De base 10 a base "n" (n 10) Se usa divisiones sucesivas. Ejemplo: Convertir: 378 a base 6 378 6 18 63 6 0 3 10 6 4 1 378 = 1430(6) 173
Aritmética Caso III: De base "n" a base "m" (n m 10) El número dado se lleva al sistema decimal y luego al sistema pedido.
*
1a 1a “x” veces
=n+ x.a 1a(n)
Ejemplo: Convertir: 234(7) a base 5 *
Paso 1: 2 234(7) = 2 x 7 + 3 x 7 + 4 = 123
x
a1 a1 “x” veces
x-1
x-2
= a + a + a + .... + a + 1 a1(n)
Paso 2: 123 a base 5 123 5 23 24 5 3 4 4
01. ¿Cuántos números de 3 cifras no tienen ninguna cifra dos? A) 648 B) 468 C) 486 D) 684 E) 864
234(7) = 443(5) IV. CASOS ABREVIADOS DE CONVERSIÓN k
A. De base "n" a base “n ” Se le separa en grupos de "k" cifras de derecha a izquierda y cada grupo se descompone polinomicamente. Ejemplo: Expresar: 111101101(2) a base 8 3 k=3 2 = 8 se separa en grupos de 3 cifras 111 101 101 111(2) = 7 ; 101(2) = 5 En base 8 = 755(8) k
B. De base “n ” a base "n" Dado el número de cada cifra se obtiene "k" cifras al convertirse a base "n". Ejemplo: Convertir 745(8) a base 2 3
Base 8 = 2 Cada cifra debe generar 3 cifras en base 2. Base 8: 7 4 5 Base 2: 111 100 101 745 = 111100101(2)
02. ¿Cuántos números de cuatro cifras que terminan en cinco, tienen sus demás cifras pares? A) 50 B) 60 C) 70 D) 80 E) 100 03. ¿Cuántos números de tres cifras comienzan y terminan en cifra impar? A) 100 B) 150 C) 200 D) 250 E) 300 04. ¿Cuántos números de tres cifras tienen por lo menos una cifra 5 en su escritura? A) 152 B) 174 C) 252 D) 248 E) 326 05. Si: aaa = 4210(a). Hallar "a" A) 2 B) 3 D) 5 E) 6
C) 4
06. Si: aba(8) = 1106(n). Hallar: a+b A) 3 B) 4 D) 6 E) 7
C) 5
07. Hallar a + b, si:
b b ĂĽĂ ( 5) a 2 2
V. PROPIEDADES: I. Numeral de cifras máximas: k
A) 3 D) 6
B) 4 E) 7
C) 5
(n - 1) (n - 1) (n - 1) ..... (n - 1)(n) = n - 1 "k" cifras Ejemplo:
4
9999 = 10 - 1 3 888(9) = 9 - 1
II. Para bases sucesivas, bases de bases * 1a 1b = n + (a+b+c+ . . . + x)
08. El mayor número de tres cifras del sistema de base "n" se escribe en el sistema senario como 2211. ¿Cuánto vale "n"? A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 09. Sabiendo que: a(2b)a = bbaa(7) , calcular el valor de a + b A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
1c
1x(n)
174
10. Si: abab(5) = bcb , hallar: a+b+c A) 14 B) 15 D) 17 E) 18
C) 16
Aritmética
11. Hallar "b - a", si: (2a)ba(6) = bab(7) A) 1 B) 2 D) 4 E) 5 12. Si: aab(5) = bbb(b+1) Hallar "b-a", siendo a b. A) 1 B) 2 D) 4 E) 5 13. Si: a33(9) = b00(8) , ¿cuánto vale (a + b)? A) 1 B) 2 D) 4 E) 5
C) 3
C) 3
C) 3
14. ¿Cuántos números capicúas o polindrómicos de 7 cifras, cuya suma de cifras sea impar, existen en base 10? A) 1500 B) 4500 C) 3500 D) 4000 E) 5500 15. ¿Cuántos números de 4 cifras comienzan o terminan en la cifra 7? A) 1800 B) 4800 C) 1800 D) 3800 E) 5600 16. Escribiendo un cero a la izquierda de un número entero, se ha aumentado este número en 15 552. ¿Cuál es este número? A) 1728 B) 4728 C) 1820 D) 3840 E) 5270 17. El mayor número de 3 cifras diferentes en cierto sistema de numeración convertido a base 6 es 313(6). Hallar la base de aquel sistema. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 18. ¿En qué sistema de numeración los números 123, 140 y 156 forman una progresión aritmética? A) Ternario B) Cuaternario C) Senario D) Nonario E) Undecimal
20. Para numerar un libro inicialmente se necesita 801 tipos de imprenta (tipos son las letras o cifras individuales). Pero finalmente, se divide el libro en tres capítulos, siendo la diferencia de páginas entre dos capítulos sucesivos de 18 páginas. Si la numeración de cada capítulo empieza en 1, ¿cuántos tipos menos que el primer caso se emplearán en esta nueva numeración? A) 100 B) 150 C) 200 D) 250 E) 300 21. Un libro se empieza a numerar desde su primera página y se nota que 58 números empiezan con la cifra 7. ¿Cuántos números escritos terminan en 7? A) 74 B) 75 C) 76 D) 77 E) 78 22. ¿Cuántos números capicúas de 10 cifras tienen a un número par como producto de sus cifras? A) 81 578 B) 48 758 C)86 875 D) 38 585 E) 56 857 23. ¿Cuántos números de 4 cifras tienen como suma de sus dígitos un número menor o igual a 33? A) 8 578 B) 8 985 C) 8 875 D) 3 585 E) 5 857 24. Hallar, ¿cuántos números de la forma: a(3a)(c+2)cb(2b), son mayores que 234 567? A) 70 B) 75 C) 76 D) 77 E) 80 25. Para numerar la primera mitad de las páginas de un libro se utilizó 147 "tipos" o cifras. ¿Cuántos tipos se utilizará para numerar el total de páginas? A) 360 B) 375 C) 376 D) 377 E) 380 26. ¿Cuántos números pares de cuatro cifras menores que 5000 tienen al menos dos cifras pares? A) 1360 B) 1755 C) 1376 D) 1750 E) 1830
19. ¿En qué sistema de numeración el número 16 000 se escribe 1 003 000? A) Ternario B) Cuaternario C) Senario D) Quinario E) Nonario
175
Aritmética
DIVISIBILIDAD
APRENDIZAJE ESPERADO * * * * *
Obtener los múltiplos de un determinado módulo y que reuna ciertas condiciones. Aplicar correctamente los principios de la divisibilidad en la solución de problemas concretos. Calcular el residuo de una división, sin efectuar esta operación. Conocer los criterios de divisibilidad en diferentes sistemas de numeración. Obtener los restos potenciales respecto a un módulo dado.
Teoría de la Divisibilidad Es la parte de la Aritmética que estudia las condiciones que debe reunir un número para ser divisible por otro. Se dice que dos números son divisibles cuando su cociente cumple dos condiciones: 1° Es exacto. 2º Su cociente es un número entero. En general, se dice que un número es divisible por otro, cuando l0 contiene exactamente un número entero de veces.
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Lea el contenido teórico y haga un cuadro de resumen del cuarto tema. 2. Desarrolle los ejercicios propuestos en la Guía de práctica. 3. Investigue sobre otros métodos de solución de los ejercicios y problemas desarrollados en clase.
Los principios generales de divisibilidad son una consecuencia del desarrollo que había alcanzado la teoría de los números. Los Hindúes, por ejemplo, llegaron a conocer la divisibilidad por tres, nueve y siete. Griegos y Egipcios establecieron la clasificación de los números en pares e impares. El genial matemático francés Blas Pascal (1623-1662), propuso las reglas para determinar la divisibilidad por cualquier número.
176
Aritmética DIVISIBILIDAD DE NÚMEROS Un número entero es divisible entre otro positivo (Módulo), cuando al dividir el primero entre el segundo el cociente es entero y el residuo cero.
! K B
A B 0 K
A: número entero B: número entero positivo (Módulo) K: número entero
Donde:
4. PRINCIPIOS OPERATIVOS
A es divisible entre B B es divisor de A B divide a A
Entonces
2. MULTIPLICIDAD DE NÚMEROS Un número entero es múltiplo de otro positivo (Módulo), cuando es el resultado de multiplicar dicho entero positivo por un entero cualquiera. A: número entero B: número entero positivo (Módulo) K: número entero
A=Bx K
Entonces:
A es múltiplo de B B es sub múltiplo de A B es factor a A
NOTA: Podemos observar entonces que la multiplicidad es la expresión del teorema fundamental de la división por lo tanto la Divisibilidad y la Multiplicidad de números son conceptos equivalentes en el conjunto de los enteros, con la restricción hecha sobre el módulo. Así: Si: A es divisible entre B B es divisor de A A es múltiplo B, entonces: B divide a A B es sub múltiplo de A B es factor a A
suma de los restos debe ser igual al módulo empleado". Observación: La cantidad de números que son n , en la secuencia consecutiva desde 1 hasta el número N, está dada por: N n Cantidad de #s = Parte entera de:
4.1.
Adición:
n+n +n+.....+n= n
4.2.
Sustracción:
n-n = n
4.3.
Multiplicación:
n.K= n
4.4.
Potenciación:
(n) = n
m
5. TEOREMA DE ARQUIMEDES - EUCLIDES "Si un módulo divide al producto de dos enteros y no tiene divisores comunes (aparte de la unidad) con uno de ellos, entonces divide al otro número".
Ejemplos: * 9x A = 7
A= 7
I. 13 x B = 5
B= 5
Observación: Si en el producto de los dos enteros, uno de los factores admite divisores comunes con módulo (aparte de la unidad), entonces para poder usar el teorema, primero se deberá simplificar tales elementos comunes, tanto en el factor como en el módulo.
6. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD Definición: Son ciertas reglas prácticas que aplicadas a las cifras de un numeral permitirán determinar su divisibilidad respecto a cierto módulo. 6.1 Criterios de Divisibilidad entre potencias de 2:
3. NOTACIÓN Y REPRESENTACIÓN GENERAL
abcde = 2
e = 0; 2
abcde = 4
de = 00; 4
abcde = 8
cde = 000; 8
A = mB 3.1. A es múltiplo B
= A= B
mB = B = B x K
Ejercicio: ¿Qué valor debe asignarse a “X” para que el numeral 21327X sea divisible entre 8? Solución:
3.2 Si A no es múltiplo de B (o no es divisible, que es lo mismo), entonces por el Teorema Fundamental de la división entera:
21327X = 8 27X = 8 X=2
División Entera por defecto: A = B x K + rd
6.2 Criterios de Divisibilidad entre potencias de 5.
División Entera por exceso: A = B x (K + 1) - re
abcde = 5
e = 0, 5
Si: A = B + rd = B - re
abcde = 25
de = 00, 25
NOTA: "Si un número entero no es divisible entre cierto módulo, entonces se puede expresar de dos formas respecto a múltiplos de él, como un múltiplo del módulo más cierto resto o como múltiplo del módulo menos cierto resto, la
abcde = 125
cde = 000,125
Ejercicio: Hallar: m + n ; si: 10363mn = 125 Solución: 3mn = 125
177
Aritmética 3mn = 375 m = 7 n = 5 m + n = 12 6.3 Criterio de Divisibilidad ente 3 ó 9 abcd = 3 a + b + c + d = 3
Entonces: 1 + 8 + 24 - b - 12 - 0 + 6 = 13 b=1 27 - b = 13 6.7 Criterio de Divisibilidad ente 33 o 99 Se descomponen el numeral de derecha a izquierda en bloques de 2 cifras y la suma de ellos es 33 o 99
abcd = 9 a + b + c + d = 9
Ejercicio: Hallar: “X”, si: 13X52 = 9 Solución: 1+3+X+5+2= 9 11 + X = 9 X=7
6.4 Criterio de Divisibilidad entre 11 Un numeral es divisible entre 11 si empezando de derecha a izquierda, la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11. +-+-+
abcde = 11 a - b + c - d + e = 11 Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “X” para que el numeral 4X17 sea divisible entre 11?
abcdef = 33 ab + cd + ef = 33 abcdef = 99 ab + cd + ef = 99
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “a+b” si el numeral 13ab54 es 99? Resolución: 13ab54 : 13 + ab + 54 = 99 ab = 99 - 67 ab = 99 + 32 a +b = 5
7. DIVISIBILIDAD EN EL BINOMIO DE NEWTON Dado que el binomio de Newton es una potencia, podemos aplicar en él los principios de divisibilidad expuestos en el operaciones con múltiplos; con lo cual se logra establecer que:
+-+-+
Primer Caso
Solución: 4X17 = 11 Entonces: - 4 + X - 1 + 7 = 11 X + 2 = 11 X= 9
K
K
(n + r) = n + r ; donde K Z+
Segundo Caso K
n + r ; si K es par (+) (n - r)K = K
n - r ; si K es impar (+)
6.5 Criterio de divisibilidad entre 7 Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por 1; 3; 2; -1; -3; -2; 1; 3; . . . . y luego de efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 7.
PROPIEDADES Si un número es Nmúltiplo de varios módulos, entonces es =a múltiplo del MCM de dichos módulos; es decir N=b
+
–
N = mcm(a,b,c)
+
1 2 31 2 31
a bcd efg = 7 a - 2b - 3c - d + 2e +3f + g = 7
N=c N = a r
Ejercicio: ¿Cuál es el valor de “a” si el numeral 13a372 es divisible entre 7? 2 –3 1 2 3+ 1 Resolución: 13a372 = 7 Entonces: - 2 - 9 - a + 6 + 21 + 2 = 7 18 - a = 7 a=4 6.6 Criterio de Divisibilidad entre 13 Un numeral es divisible entre 13 si al multiplicar a cada una de sus cifras (a partir de la derecha) por: 1; -3; -4; -1; 3; 4; 1; 3; -4; . . y luego efectuar, la suma algebraica resultante es divisible entre 13.
En general:
N = b r
N = mcm(a,b,c)
N = c r
*
Si con respecto al módulo “n”, los números (n + a) , (n + b) y (n + c) se multiplican; entonces: (n + a) (n + b) (n +c) = n + a . b . c
*
n + e“n”: Para un numeral escrito en base abcde(n) =
2
n + de(n) 3
n + cde(n) 1+4 3 1–4 3+ 1
abc def g = 13 a - +4b + 3c - d - 4e - 3f + g = 13
Ejercicios: ¿Qué valor debe tomar “b” en el numeral 128b306 si es divisible entre 13. +
–
+
143 143 1
Resolución: 128 b30 6 = 13
178
r
Aritmética
01. Si: A = suma de los valores de “x” en cada caso. B = suma de los valores de “y” en cada caso. Determinar: B - A. 4xy7294 ; 4x23y45 = 99 ; 30xy60 = 99 a) 29 b) 20 c) 22 d) 18 e) 15 02. Si: b(a+2)(a-1)(b+3) = 63 Determinar el valor de: “(a x b)2 ”. a) 144 b) 169 c) 100 d) 250 e) 81 03. ¿Cuál es el menor valor positivo que puede tomar el cociente al dividir un numero de la forma 29 + 27 entre otro de la forma 29 + 4 obteniéndose resto 2? a) 3 b) 17 c) 4 d) 28 e) 51
υ
09. Sabiendo: 11 8 5 a 24 7 6 0 3 2 0 0 0 1 9! Halle el residuo de N entre 3 si: N = aaaa...aa “ xyz ” cifras
a) -1 d) 1
b) -2 e) 0
c) 2
10. Dado:
Ăľ N 8351ab1 8351ab2 8351ab3 8351ab4 ... 8351 En el caso que 8351 se reemplace por 5445 en todos los casos que se muestre en N. ¿Cuál seria la diferencia de los residuos en el caso real y supuesto para N al dividir esté número entre 9? . a) 1 b) 0 c) 6 d) 2 e) 5
04. La siguiente expresión: N =(6 +2 ) + (6 +4 ) + (6 +6 ) + ... + (6 +n )
Entonces N = 6 + r , verifique el valor de verdad o falsedad en cada caso. Si: n =14 entonces “r” por defecto es 2. Si: n =26 entonces “r”por exceso r = 4. Si: n =66 entonces r =0. Si: n = 22 entonces el “r”por defecto es 1. a) FVVV b) VVFV c) VVVV d) FVVV e) VVVF 05. Si se sabe que : N = 7 +3 y 4N = 15 + 13, Responda respectivamente los siguientes enunciados. I. Halle el menor valor de N. II. Halle el menor valor para N con 3 cifras. III. Halle el Mayor valor de N con 3 cifras. a) 59; 152;999 d) 52; 157; 997
b) 45;101;998 e) 31 ; 111; 999
c) 46;124 ; 996
11. El número abcd es divisible por 9; cabd es divisible por 17; bdca es divisible por 11 y acbd es divisible por 4. halle "a". a) 3 b) 6 c) 4 d) 7 e) 5 251
x
13. Si se cumple: 8630 = 9 + k ; 1 ≤ k ≤ 8. Entonces para x = CPU2013 y x = CPU2014 . ¿Cual seria la diferencia de los valores que asume “k” en cada caso? a) 7 b) 8 c) 5 d) 6 e) 4 14. Sabiendo que : 444...444 se divide entre 7. “cpu” cifras
06. ¿Cuál es el menor número mayor que 400, que al ser dividido entre 35 deja 30 de resto y al ser dividido entre 45 deja 10 de resto? Dar como respuesta el producto de sus cifras. a) 16 b) 20 b) 32 d) 40 e) 52 07. Un alumno de la UNJFSC perdió su carné y no se acordaba su código; pero recordó que era de 4 cifras divisibles por 5; 9 y 11. Además la primera y última cifra eran iguales. ¿Cuál era el código de dicho alumno ? Dar como respuesta la suma de las dos ultimas cifras de dicho codigo. a) 9 b) 8 c) 5 d) 6 e) 7
Verifique el valor de verdad o falsedad en cada una de las proposiciones que se muestran a continuación. I. Si: cpu = 200 el residuo seria 3. II. Si: cpu = 102 el residuo seria 0. III. Si: cpu = 145 el residuo seria 1 a) VVV b) VFF c) FFV d) FVV e) VFV 602
15. Halla las dos últimas cifras de 40 Dar como respuesta su suma. a) 1 b) 2 d) 5 e) 6 0
08. Al convertir N al sistema ternario. ¿Cuáles son las 2 ultimas cifras?. Dar la suma en cada caso respectivamente.
0
16. Si: mn m 7 2 y mn n 7
mn
I.
13
12. Al convertir 17 36 x 1313 a base 6, termina en: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
▓◘■◘
a) 1 d) 5
al ser escrito en base 3. b) 4
calcular el residuo de dividir
entre 7por exceso. (0: cero) b) 2 e) 6
c) 3
Para N = 479423 17. ¿Cuántos término de la serie son 45?
II. Para N= 42366
18x22; 18x23; 18x24; ….. ; 18x600
III. Para N = 36788 a) 2; 1; 3 d) 2; 3; 3
b) 1; 3; 0 e) 2; 4; 1
c) 1; 3; 2
a) 114 d) 127
b) 115 e) 120
c) 116
179
Aritmética 18. El niño José Faustino Sánchez Carrión Rodríguez cuenta sus canicas agrupándolas de 5 en 5 le faltan 2 canicas; si las cuentan de 6 en 6 le sobran 3; y si las cuentan de 8 en 8 le faltan 5; por lo que decidió agruparlos de 9 en 9, así no le sobra ninguna canica. Si la cantidad de canicas se encuentra entre 400 y 650. ¿Cuántas canicas tiene el niño? a) 438 b) 480 c) 483 d) 485 e) 603 19. Un comerciante va a la “Galería C.P.U (costos y precios únicos)” con S/. 3060 para comprar polos, camisas y pantalones de precios unitarios iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60 respectivamente. Si entre pantalones y camisas debe comprar más de 10 prendas. Calcule cuántas prendas en total compró; si la cantidad de polos fue la mayor posible; además compró al menos uno de cada uno y empleó todo su dinero. a) 183 b) 172 c) 163 d) 184 e) 195 20. Se sabe que el número de 5 cifras abcde es divisible por 97 y que cebda ; cdeba y bacde son divisibles por 9;11 y 8 respectivamente. Entonces ”a” es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
25. Halle el residuo de dividir: por 10. 3cpu3 a) 1 d)6
b) 2 e) 7
E=p2300n+4p400n +9p600n +.....+144p2400n a) 0 d) 3
b) 91 e) 4
1426 1425
a) 2 d)1
1424
b) 6 e) 5
28. Si se sabe que:
11 5 mnpq 11 4 mnpq7
0
m
0
7
1423N
mnpq7
21
N
b) 4 e) 1
c) 8
Calcule el residuo de dividir: ccccccccccccc entre 13. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
c) 3 30. Se cumple que: 367xy8 = 7 + 2
24. Indica la verdad o falsedad de las proposiciones: I. Todo número entero positivo divisible por 4, es la suma de dos impares consecutivos. II. Dados dos números enteros positivos pares consecutivos, uno de ellos es siempre divisible por 4. 40 III. 41 x 42 x 43 x …. x 80 no es divisible por 2 .
180
mnp 4
2p + 3u = 38
5
o
b) FVVV e) VVVV
437yx8 = 9 + 2 Calcular “m” en: xxx ..... xx yyy .... yy = ...m8 y Cifras
a) 2 d) 5
o
abcdef 12 ef 4(a b c d ) 12
a) VVFV d) VFVV
33 cifras
E (ab17 ) ( m0814 ) ( xy5 7 ) (...6 49 )
IV.
b) 3 e) 1
c) 2
23. Hallar el residuo por exceso al dividir E entre 7, si:
a) 5 d) 2
a) 5 d) 2
mnpq 7
29. Si: cpucpucpu...cpucpu = 7 y
N = 4 x 9 x11 x 16 x18 x 23 x25x ... b) 1 e) 4
0
11 2
Calcule el residuo de dividir N entre 11. Si
c) 3
22. Hallar el residuo de dividir N entre 7.Si se sabe que N posee “2n” factores.
a) 0 d) 3
c) 2
27. Si a un número se le resta 1, resulta divisible por 2; si se le resta 2, resulta divisible por 3; si se le resta 3 resulta divisible por 4, y así sucesivamente. Por último, si se le resta 9, resulta divisible por 10. ¿Cuál es el residuo de dividir éste número entre 2520? b) 2518 b) 1 c) 2519 d) 0 e) 2
p
E
c) 5
26. Sabiendo que nN, además p 5, calcular el residuo de dividir E entre 5.
n
21. Halle el resto de dividir E entre 7:
unix2012
c) VVVF
x Cifras
b) 3 e) 6
c) 4
Aritmética
NÚMEROS PRIMOS APRENDIZAJE ESPERADO * * * *
Reconocer los números primos y compuestos. Deducir y aplicar las propiedades de los números primos. Descomponer canonicamente un número para realizar un estudio de sus divisores. Aplicar el Teorema de Euler en la resolución de problemas concretos.
INTRODUCCIÓN El Hueso de Ishango sugiere que los humanos pensaban sobre los números primos ya hace mucho tiempo, aproximadamente hace veinte mil años, ya que incluye una cuaterna de primos (11, 13, 17, 19). Aunque podría ser sólo una coincidencia ya que esto también ocurre al hacer una partición de 60 en números impares. La evidencia es más convincente con los antiguos egipcios, con su fuerte énfasis en fracciones de la unidad (o fracciones egipcias). El Papiro Matemático de Rhynd, que data de hace cuatro mil años, s e ocupaba de la expresión 2/n(con n un entero impar en el intervalo 4 < n < 102) como una suma de fracciones de la unidad. Cuando n es primo, extensiones de la fracción unidad son considerablemente más difíciles de alcanzar. Harald Helfgott es el matemático peruano quien hizo pública la demostración de un problema de teoría numérica conocida como “La conjetura débil de Goldbach”. Esta teoría llevaba sin resolver por más de 200 años. ¿En qué consiste esta teoría? La conjetura débil de Golbach afirma que “todo número impar mayor que 7 puede expresarse como suma de tres números primos”. Y por más de 200 años todavía no había sido demostrada, hasta que recientemente el ingenio de Harald logró demostrarlo en una resolución de 133 páginas. Para realizar este trabajo, Harald tomó como base los avances de otros matemáticos y físicos respecto a esta teoría, como Hardy, Littlewood y Vinogradoy. Lo más curioso es que en el Perú no se tenía conocimiento sobre la existencia del trabajo y talento de Harald. Pues este talentoso investigador y experto en las matemáticas de 35 años, ha obtenido muchos logros y reconocimientos a nivel internacional como el Premio Whitehead otorgado por la Sociedad Matemática de Londres o el Premio Adams de la Facultad de Matemáticas de la Universidad de Cambridge. En una última entrevista que le hicieron a Harald, comentó que desde pequeño estuvo rodeado de las matemáticas y libros. Además, cuando tenía 12 o 13 años comenzó a ir a grupos de jóvenes que se reunían en la universidad San Marcos y la Católica para entrenar las competencias y olimpiadas de matemática.
2. RESUMEN. Entre los números naturales 1, 2, 3 ,4 , 5, 6, 7, ,..., , n, existen unos números especiales que sólo son divisibles por la unidad y por ellos mismos. Estos números son llamados números primos y desde que se conocen han producido una extraña fascinación entre los matemáticos. Existen infinitos, Euclides realizó la primera demostración conocida de su infinitud alrededor del 300 a.C., pero su distribución, aparentemente aleatoria, sigue siendo una incógnita.
En ese momento, la definición más común de número primo era “un número que es divisible por 1 y sí mismo”. 1 se ajusta a esta definición, pero algunos matemáticos estaban preocupados por las formas en que uno es diferente de los otros números primos. Euler, por ejemplo, fue motivado por el hecho de que (p)=p+1 para el primo p, pero no para p = 1 para no considerar al 1 como primo. Otros no se preocupaban tanto por las propiedades del 1 como por las del 2, tal como Moritz Stern, que no tuvo en cuenta 3 como primo de Stern porque él consideraba al 1 primo. Actualmente, los números primos se contraponen a los compuestos, aquellos que tienen algún divisor natural aparte de ellos mismos y del 1 (el único que no se considera ni primo ni compuesto). Un número perfecto es aquel que es suma de sus propios divisores. Por ejemplo, el número 6 tiene por divisores 1, 2, y 3, además 1 + 2 +3 = 6. El número 28 tiene por divisores 1, 2, 4, 7 y 14, además 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Un par de números amigos es un par como 220 y 284 tal que los divisores propios de uno suman el otro número y viceversa.
181
Aritmética 3. NÚMERO PRIMO O PRIMO ABSOLUTO Es aquél número que tiene únicamente dos divisores: La unidad y él mismo. Ejemplo: Números primos menores que 100 2 3 5 7 13 17 19 23 31 37 41 43 53 59 61 67 73 79 83 89
11 29 47 71 97
Observación: Al número 1 no se le considera número primo, por tener sólo 1 divisor que sería él mismo.
Ejemplo 2: ¿Es 371 número primo? Solución: a) 371 19 ,.... b) p = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19} c) Pero; 371 = 7 371 no es primo 8. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMETICA (TEOREMA DE GAUSS) Todo número entero mayor que uno, se puede descomponer como el producto de factores primos diferentes entre sí elevados a ciertos exponentes enteros positivos; dicha descomposición es única y se le llama: "Descomposición Canónica".
4. NÚMERO COMPUESTO Es aquél número que tiene más de dos divisores. Ejemplo: Son números compuestos: 4; 6; 8; 9; 10; 12; …
Ejemplo: Descomponer canónicamente el número 360. Solución: 360 180 90 45 15 5 1
5. NÚMEROS PRIMOS RELATIVOS, COPRIMOS O PRIMOS ENTRE SÍ (PESI) Son dos ó más números que tienen como único divisor común a la unidad. Ejemplo: Dado los números: 20; 18 y 15, se tiene: Número 20 18 15
Divisores 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 1 ; 3 ; 5 ; 15
3
5
Solución: 3
1
3 2 3 5
1 3 9 5 15 45
2 6 18 10 30 90
4 12 36 20 60 180
Solución: a)
139 11,....
b) Números primos menores que 11,… p = {2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11} c) Luego: 139 { 2, 3, 5, 7, 11 } es decir, 139 no es divisible por 2 ; 3 ; 5 ; 7 y 11. 139 es un número primo. 182
8 24 72 40 120 360
... () ... (3) ... (9) ... 5() ... 5(3) ... 5(9)
10. ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO Sea "N" un número compuesto, con descomposición canónica:
Ejemplo 1: ¿Es 139 número primo?
2
360 = 2 . 3 . 5
6. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ DOS A DOS (PESI 2 a 2) Dado un conjunto de tres o más números, diremos que son PESI 2 a 2; cuando al agruparlos de dos en dos resultan ser PESI, respectivamente.
7. REGLA PARA DETERMINAR SI UN NÚMERO ES PRIMO Para saber si un número dado es primo o no, se deben seguir los siguientes pasos: a) Extraer la raíz cuadrada, aproximadamente por defecto. b) Enumerar los números primos menores a esta aproximación. c) Aplicar las condiciones de divisibilidad del número por cada uno de estos números primos. Si en ninguno de los casos es divisible, se dice que el número es primo.
2
360 = 2 . 3 . 5
9. TABLA DE DIVISORES DE UN NÚMERO Indicar todos los divisores de 360.
Se observa que el único divisor común de los tres números es la unidad (1); por lo tanto son PESI.
Ejemplo: Los números 8 ; 9 y 25 son PESI 2 a 2; puesto que: * 8 y 9 son PESI * 8 y 25 son PESI * 9 y 25 son PESI
2 2 2 3 3
N=A .B .C
Donde: * A, B, C <> Factores o divisores primos * , , <> Exponentes enteros positivos. Se definen: a) Cantidad de divisores de un número N D(N) = ( + 1) ( + 1) ( + 1) ....
b) Suma de los divisores de un número N
Aritmética c) Suma de la inversas de los divisores de un número N
SID(N)
SD ( N ) N
Solución Nª 1: * Números menores que : 12 = {1, 2, 3, 4,…11} * PESI con 12 = {1, 5, 7, 11} * Rpta. Cantidad de números = 4
d) Producto de los divisores de un número N
11. CANTIDAD DE FORMAS DE EXPRESAR UN NUMERO "N" COMO EL PRODUCTO DE DOS FACTORES: F(N) D ( N )
2 F(N) =
; Si D ( N ) es ♫Ăʼn
Solución Nª 2: 2 1 12 = 2 . 3 1 1 Entonces: (12) = 121 2 1 3 Rpta: (12) = 4
1 D ( N ) ; Si D(N) es ╜▓♫Ăʼn 2
PROPIEDADES P.1 La serie de los números primos es ilimitada. P.2 Varios números consecutivos siempre serán primos entre sí. P.3 La cantidad de divisores de un número N, es igual al número de divisores primos de N.(Dp), más el número de divisores compuestos de N.(Dc) y más 1; es decir:
Ejemplo: Determinar ¿cuántos números menores y PESI con 12 existen?
OBSERVACIONES 1) Si "p" es un número primo, entonces: O (p) = p - 1
Ejemplos: (5) = 5 - 1 = 4 (97) = 97 - 1 = 96 +
2) Sea: n Z , entonces:
D(N) = Dp + Dc + 1 P.4 Si "p" es un número rimo mayor que 3, entonces: P=61 Lo contrario no siempre se cumple; por ejemplo: *
25 = 6 + 1; pero 25 no es primo
*
25 = 6 - 1; pero 35 no es primo
TEOREMA DE EULER Si: "a" y "N" son primos relativos (a > 1), entonces:
12. INDICADOR DE UN NÚMERO "N" O FUNCION DE EULER: (N) Sirve para determinar cuantos números menores que un número dado "N", son primos relativos (PESI) con él. Si: N = A . B . C Entonces: O(N) =
1
1
Ejemplos: (10) = 4 (100) = 40 (1000) = 400
TEOREMA DE FERMAT
1
N . 1 . 1 . 1 ... A B C
TEOREMA DE WILSON Si "p" es un número primo, entonces:
(p - 1) !
0
+ 1 = p
183
Aritmética
01. Dos números primos suman 505. ¿Qué residuo se obtiene al dividir el producto de ellos entre 11? a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 2 02. ¿Cuántos números compuestos dividen exactamente a 80? a) 10 b) 2 c) 8 d) 7 e) 9 03. Al descomponer canónicamente el número 29 250, indicar la máxima diferencia de dos factores primos de dicho número. a) 8 b) 10 c) 12 d) 13 e) 11 04. La suma de 5 números primos distintos es 82 y los cuatro mayores están en progresión aritmética de razón 6. Halla el producto de los dos mayores menos el menor. a) 667 b) 665 c) 679 d) 523 e) 641 05. ¿Cuántos números compuestos de dos cifras existen tales que no sean divisibles por 2; 3 ni 5? a) 3 b) Más de 3 c) 5 d) 6 e) 4 06. Llamemos "P(x)" a la cantidad de números primos absolutos menores o iguales a "x". Por ejemplo: P(17) = 7. Hallar: P(61) a) 20 b) 19 c) 17 d) 21 e) 23 07. Hallar la suma de los elementos del conjunto "A", si: A = {( ab /ab ba son primos absolutos } a) 437 b) 418 c) 429 d) 347 e) 334 08. Determina la verdad o falsedad de las siguie ntes proposiciones: I. Todo número simple es también primo absoluto. II. Entre 20 y 40 existen 5 números compuestos. III. El número 30! Tiene 10 divisores primos. a) VFV b) VVV c) FFF d) FFV e) FVF 09. Determina el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. 289 es un número primo. II. 11 es un divisor propio de 374. III. Del 23 al 47 existen 14 números compuestos. IV. Los números 24, 13 y 5 son primos relativos dos a dos. a) FVFF b) VFFV c) FVFV d) FFFV e) VVVV 10. Si:
3
N = (a – b) . ab . ba
12. Un número primo elevado al cuadrado disminuido en 1 y dividido entre 8 es igual a otro número primo. Dar como respuesta el producto de dichos números. a) 51 b) 91 c) 77 d) 21 e) 15 13. Al dividir CPU entre un número primo de dos cifras, se obtiene "c" de cociente y 40 de residuo. Si se divide CPU entre "c" se obtiene 5 de residuo. Hallar: C + P + U a) 18 b) 16 c) 17 d) 15 e) 14 14. Si el número 2000 tiene "x" divisores y 2250 tiene "y" divisores. Halle: “x - y” a) 12 b) 16 c) 20 d) 14 e) 26 15. Determinar x + y. Sabiendo que N = 19x . 96y tiene 161 divisores compuestos. a) 7 b) 6 c) 5 d) 8 e) 17 16. El número "N" tiene 92 divisores compuestos y su descomposición canónica es: b a a N=a . b .c Calcule el mínimo valor de: a + b + c a) 8 b) 9 c) 11 d) 15 e) 10 17. Se tiene un número par y se quiere calcular la suma de sus cifras. Se proponen los datos: I. Cantidad de divisores del número es 6. II. Suma de divisores del número es 98. III. Uno de sus divisores es divisible por 3. Para resolver el problema son suficientes: a) I b) II c) III d) I y II e) II y III 18. ¿Cuántos divisores de 754 600 son múltiplos de 10, pero no múltiplos de 35? a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14 19. Si la suma de la cantidad de divisores de 8n y 10n es 86. ¿Cuántos divisores cuadrados perfectos tiene 60n? a) 256 b) 512 c) 128 d) 320 e) 344 20. Se quiere hallar la cantidad de divisores de N4. Se proponen los datos:
Descomposición Canónica
Halle la suma de los valores de "a". a) 24 b) 12 d) 17 e) 18
a+b
11. Si: ab . ba . ab es la descomposición canónica de "N", siendo "a+b" impar. Calcular la suma de los divisores simples de "N". a) 28 b) 29 c) 18 d) 22 e) 25
c) 15
2
I. La cantidad de divisores de N es 35. 3 II. La cantidad de divisores de N es 70. 5
III. La cantidad de divisores de N es 121. 184
Aritmética
El problema se resuelve con: a) I b) III d) I y II e) I y III x
y
c) II
26. Si el número aa55 tiene 20 divisores, hallar la suma de sus divisores. a) 7812 b) 8512 c) 8712 d) 8912 e) 9712
z
21. Si al número N = 2 . 3 . 5 lo dividiéramos entre 2; 3 y 5, su cantidad de divisores disminuirían en 24, 18 y 12 respectivamente. Entonces, el valor de x + y + z es: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12 22. Halle la suma de cifras del número de la forma abac(2d) sabiendo que tiene14 divisores propios, si se cumple que: 2(d+a)=b+c a) 27 b) 28 c) 29 d) 30 e) 31 23. ¿Cuál es el menor número entero que tiene 26 divisores que son compuestos y 3 divisores primos que suman 16?. Dar como respuesta el producto de las cifras del número. a) 60 b) 36 c) 120 d) 180 e) 160
27. Dado un número natural "n", sea f(n) el promedio de todos n 1 sus divisores positivos. Si:
n f ( n )
2
La cantidad de números naturales "n" para los que se cumple:
f ( n )
a) 1 d) 4
217 9 es:
b) 2 e) 5
c) 3
28. Encuentre el menor múltiplo positivo "n" de 1991 tal que el 1991 producto de sus divisores sea igual a n 11 178 10 179 a) 181x11 x 2 b) 181x11 x 2 10 180 10 179 c) 181x11 x 2 d) 181x11 x 2 10 181 e) 181x11 x 2
x
24. Si el número N=125.12 tiene 32 divisores que son múltiplos de 6 pero no de 5. ¿En cuántos ceros termina N.15x cuando se escribe en base 15? a) 3 b) 7 c) 9 d) 15 e) 30
29. Si: N = 2 x 2 x7 y que entre 2N y 7N existen 720 números PESI con "N". ¿Cuál es el número de cifras de "N"? a) 12 b) 9 c) 6 d) 18 e) 15
25. ¿Cuántos números menores que 10 000 tienen 21 divisores? a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 7
30. Si: 15! x 16! tiene "n" divisores. ¿Cuántos divisores tiene 16! x 16!? a) 3n/4 b) 31n/9 c) 15n/16 d) 16n/15 e) 31n/27
185
Aritmética
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
APRENDIZAJE ESPERADO * * * *
N E M U S E R
Calcular el MCD y MCM de un conjunto de números. Deducir las propiedades del MCD y MCM. Establecer relaciones entre el MCD y MCM. Aplicar las propiedades en la resolución de problemas concretos.
Se verá todo lo relativo a Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo, como conceptos, propiedades, métodos de cálculo, ejercicios y problemas de aplicación. El Máximo Común Divisor (M.C.D.) de dos o más números es el mayor número que divide a todos exactamente. Cálculo del máximo común divisor: 1. Se descomponen los números en factores primos. 2. Se toman los factores comunes con menor exponente. El Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.) de dos o más números es el menor de todos los múltiplos comunes a varios números, excluido el cero. Cálculo del mínimo común múltiplo 1. Se descomponen los números en factores primos 2. Se toman los factores comunes y no comunes con mayor exponente.
ACTIVIDADES DOMICILIARIAS 1. Lea el contenido teórico y haga un cuadro de resumen del sexto tema. 2. Desarrolle los ejercicios propuestos en la Guía de práctica. 3. Investigue sobre otros métodos de solución de los ejercicios y problemas desarrollados en clase.
En el siglo IV (A. C.), Euclides, un genial griego, logró reunir los principales conocimientos matemáticos de su época. Todo lo relacionado con la Aritmética, lo expuso en los libros VII, VIII, IX y X de sus “Elementos”. Entre los curiosos datos aritméticos que se encuentran en esa portentosa obra, aparece el método de resolución del Máximo Común Divisor, que hoy llamamos de divisiones sucesivas. No se olvidó Euclides en sus “Elementos”, de ofrecer un método para hallar el Mínimo Común Múltiplo (M.C.M.), de dos números. Para hallar el M.C.M., Euclides propuso la siguiente regla: “El producto de dos números dividido entre el M.C.D. de ambos números, da el Mínimo Común Múltiplo”. Como se verá, este procedimiento resultaba más trabajoso que el que utilizamos en la actualidad.
186
Aritmética I.
MÁXIMO COMUN DIVISOR (M.C.D) Se denomina así al mayor de los divisores comunes de 2 ó más números enteros positivos. Ejemplo: Sean los números 8 y 12 Números 8 12
*
Divisores 1;2,4;8 1;2;3;4;6;12
*
Divisores Comunes: 1 ; 2 ; 4 El Mayor MCD (8; 12) = 4
Observación: * El número de divisores comunes de un conjunto de números, es igual al número de divisores del MCD de dichos números. * El MCD está contenido en los números.
P.4. Si: MCD (A; B) = X MCD (C; E) = Z Entonces: MCD (A; B; C; E) = MCD (X; Z) P.5. Dados los números m n p A=x -1 B=x -1 C=x -1 Se cumple que: MCD(m, n, p) MCD (A; B; C) = x -1
II. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M) Se denomina así al menor de los múltiplos en común de 2 ó más números enteros positivos. Ejemplo: Números Divisores 8 8; 16; 24; 32; 40; 48;... 12 12; 24; 36; 48; 60; 72; ...
Divisores Comunes: 24 ; 48 ; 72
Formas Prácticas para determinar el MCD
El Menor MCD (8; 12) = 24
DescomposiciónSimultánea.
Ejemplo: Calcular el MCD de: 42; 48 y 54 Solución: 42 - 48 - 54 2 21 - 24 - 27 3 MCD (42; 48; 54) = 2 x 3 = 6 7 - 8 - 9
Observación: * Los múltiplos comunes de un conjunto de números, son iguales a los múltiplos del MCM de dichos números. * El MCM contiene a los números. Formas Prácticas para Determinar el MCM
PESI
Descomposición Simultánea Descomposición Canónica. Ejemplo: Sean los números: 6 5 4 4 3 2 A=2 . 3 . 5 B=2 . 5 . 7
4
3
MCD (A; B) = 2 x 5
Ejemplo: Calcular el MCM de 20 y 15
Solución: 20 5 1 1
Explicación: "Se toman los factores primos comunes, elevados a sus menores exponentes" Divisiones Sucesivas o Algoritmo de Euclides.
MCD Residuos
MCD (60; 36) = 12
Propiedades * P.1. Si: A, B y C son PESI. MCD (A, B, C) = 1 *
P.2. Si: A = B , se cumple que:
MCD (A, B) = B *
Descomposición Canónica Ejemplo: Sean los números: 6 5 4 A=2 .3 .5 4 3 2 B=2 .5 .7 6 5 4 2 MCD (A; B) = 2 x 3 x 5 x 7
Cocientes
Ejemplo: Calcular el MCD de: 60 y 36 1 1 2 MCD 60 36 24 12 24 12 0
P.3. Si: MCD (A, B, C) = d, entonces: A=d a B=d b son PESI C=d g
15 4 15 5 3 3 1
MCD (20; 15) = 4 x 5 x 3 = 60
Caso General: Calcular el MCD de A y B; donde A > B. q1 q2 q3 q4 A B r1 r2 r3 r1 r2 r3 0
-
Explicación: "Se toman los factores primos comunes y no comunes, elevados a sus mayores exponentes”
Propiedades * P.1 Si: A y B son PESI MCD (A; B) = A.B *
P.2 Si: A = B ; Se cumple que: MCM (A, B) = A
*
P.3 Si: N = A + r N= B +r N= C +r
Entonces: N = MCM (A,B,C) + r
187
Aritmética 08. ¿Cuantos pares de números comprendidos entre 500 y 700 existen tales que su MCD sea 32? A) 12 B) 13 C) 14 D) 11 E) 16
III. Propiedad fundamental Para dos números A y B; si: MCD (A, B) = d MCM (A, B) = m Se cumple: m=d.a.b
A.B=m.d
Donde a y b son PESI.
01. Hallar el MCD (81 719, 52003, 33649, 30 107). A) 35 B) 36 C) 27 D) 23 E) 24 02. Aplicando el algoritmo de Euclides, hallar el MCD (6188, 4709). A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 14 03. Al hallar el MCD de dos números por e1 método de las divisiones sucesivas, se obtiene como cocientes 14, 1, 1, 1 y 2. Si ambos números son primos entre sí. ¿Cuál es su suma? A) 125 B) 168 C) 186 D) 184 E) 164 04. 3 cuerdas tienen una longitud de 120 dm cada una. Existen nudos en cada una de ellas desde el principio, en determinados puntos, que dividen las cuerdas en 30, 24 Y 40 partes iguales sucesivamente. ¿Cuántos puntos de anudamiento existen en coincidencia en las 3? A) 4 B) 3 C) 7 D) 8 E) 5 05. Entre las ciudades A y B distantes 714 km, existe un cierto número de paraderos y entre las ciudades B y C distantes 1 088 km, existe otro número de paraderos. Si los paraderos entre A y B y entre B y C, están todos igualmente distanciados se quiere que el número total de paraderos sea el menor posible; hallar la suma de las cifras del número que indica el número de paraderos entre B y C. A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4
09. Hallar dos números enteros cuya suma sea 4 273 691, sabiendo que los cocientes obtenidos en la determinación de su MCD han sido: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Dar como respuesta la suma de las cifras del número mayor. A) 13 B) 14 C) 25 D) 26 E) 21 10. Hallar dos números enteros sabiendo que su MCD es 12 y la diferencia de sus cuadrados es 7344. Dar como respuesta el número de soluciones. A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1 11. Hallar todos los pares de números enteros inferiores a 200 tales que su producto sea 32 928, si su MCD es 28. Dar como respuesta el número de soluciones. A) 4 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1 12. Si abc - cba = 5du, ¿Qué valor debe tener la cifra "b" para que el MCD de abc y cba sea 18? A) 4 B) 8 C) 5 D) 7 E) 6 13. Se quiere plantar a 10 largo de las orillas de un terreno rectangular cierto número de rosales, igualmente espaciados de manera que la distancia de un rosal al siguiente sea como mínimo 1 metro y como máximo 2 metros y que haya un rosal en cada Angulo del terreno. La longitud de este es 14,84m, la anchura, 10,60m, ¿Cuántos rosales son necesarios? A) 24 B) 35 C) 48 D) 47 E) 28 14. Un terreno de forma rectangular de 952 m de largo y 544 m de ancho, se desea cercar con alambre sujeto a postes equidistantes 30 m a 40 m. Debe corresponder un poste a cada vértice y otro a cada punto medio de los lados del rectángulo. Determinar el número de postes. A) 88 B) 24 C) 38 D) 46 E) 52
06. Para hallar el MCD de 2 números se utilizó el algoritmo de Euclides, hallándose 2 cocientes que son números iguales. Si la suma de dichos números es 341. Hallar el menor de ellos. A) 152 B) 174 C) 252 D) 248 E) 326
15. Hallar dos números enteros sabiendo que su suma es 341 y su MCM es 28 veces su MCD. Dar como respuesta la suma de las cifras del número menor A) 7 B) 12 C) 9 D) 14 E) 15
07. Determinar cuántos pares de números existen, cuyo MCD sea 17, comprendidos entre 800 y 900. A) 10 B) 15 C) 20 D) 6 E) 30
16. Hallar dos números enteros sabiendo que su suma es 341 y su MCM es 28 veces su MCD. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
188
Aritmética 17. Hallar el producto de 2 números enteros, sabiendo que su suma es 225 y que la suma de su MCM y su MCD es 315. A) 11 500 B) 12 150 C) 30 500 D) 45 000 E) 51 500 18. Si: a / a ( A, B ) MCD( A, B )
24. ¿Cuántas cajas cubicas de arista entre 70 cm y 130 cm se podrán utilizar para empaquetar 28 800 cajas de fósforos de dimensión 4 cm, 5 cm y 6 cm? A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1
x
y: MCM(A,B) + MCD(A,B) = y Hallar el MCM en función de x e y. A) xy/(x+1) B) x/(x+1) D) x/(y+1) E) xy/(y+1)
C) y/(x+1)
19. Los números 21 448 y 33 111, divididos entre un número de 4 cifras, dan respectivamente por residuos: 42 y 29. Determinar dicho número. A) 1 964 B) 2 856 C) 3 252 D) 4 138 E) 1 946 20. Determinar 2 números sabiendo que uno de ellos posee 21 divisores y el otro 10 divisores y además el MCD de ellos es 18. Dar como respuesta la diferencia de dichos números. A) 212 B) 313 C) 412 D) 414 E) 424
25. ¿Cuantos pares de números cumplen con la condición de que su MCM es 2 520 veces su MCD? A) 7 B) 14 C) 15 D) 16 E) 11 26. Hallar dos números enteros sabiendo que su MCM es 864 y la suma de sus cuadrados es 55 872. Dar como respuesta la diferencia de dichos números. A) 160 B) 275 C) 120 D) 370 E) 240 27. Hallar dos números enteros, sabiendo que su suma es 8 veces su MCD y su producto es 840 veces su MCD. Dar como respuesta el número de soluciones. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 28. ¿En qué cifra termina el MCM de los números?
5
21. El producto de dos números es: P = 180 .17 y su MCD es 94.43, ¿en cuántos ceros termina el MCM de dichos números? A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1 22. Si: MCM([(anan – 7), B) = MCM([(anan – 7), 33B). Hallar: “a – n” A) 3 B) 4 C) 5 D) 2 E) 1 23. MCM (A, B) = 30 030; MCD (A, B) = 5 ¿Cuántas soluciones existen? A) 16 B) 32 C) 26 D) 24 E) 18
862
A=7 A) 3 D) 2
1293
–1 y B =7
–1 B) 4 E) 1
C) 8
29. La distancia entre dos líneas de una vereda es 1,20 m. Si se empieza a caminar pisando la raya con velocidad de 3 m/s y 75 cm de longitud de paso. ¿Cuánto tiempo se debe caminar hasta pisar la raya por 34ava. vez, si se empezó a caminar con la derecha? A) 18 s B) 66 s C) 33 s D) 44 a E) 55 s 30. Un comerciante compra manzanas a S/. 2,50 cada una, se da cuenta que si las vende a S/. 2,60; a S/. 2,54; o S/. 2,64 cada una ganaría en todos los casas un numero entero de soles. ¿Cuantas manzanas compró, si gasto menos de S/. 500? A) 300 B) 400 C) 600 D) 200 E) 100
189
