IV
Transferencia en superficies extendidas
1. Superficies extendidas con sección transversal uniforme y no uniforme. 1.1 Balance de energía para un a aleta con sección transversal arbitraria. arbitraria. 1.2 Soluciones para aletas con sección transversal uniforme. 1.2.1 Aleta infinitamente larga. 1.2.2 Aleta de longitud finita con extremo aislado. 1.2.3 Aleta finita con transferencia en el extremo. 1.2.4 Aleta con temperatura conocida en el extremo. 2. Eficiencia de aletas. 2.1 Eficiencia de aletas con sección transversal uniforme . 2.1.1 Aleta infinitamente larga. 2.1.2 Aleta de longitud finita con extremo aislado. 2.1.3 Aleta finita con transferencia en el extremo. 2.2 Gráficas de eficiencia de aletas. 2.3 Evaluación previa a la colocación de aletas. 3. Soluciones para aletas con sección transversal no uniforme. 3.1 Aletas con sección transversal rectangular rectangular no uniforme. 3.1.1 Aleta con con sección transversal rectangular rectangular que termina en punta. 3.2 Aletas perimetrales con sección transversal rectangular. 4. Transferencia en supe rficies aletadas. Ejercicios propuestos. Referencias.
Con frecuencia —en diversas aplicaciones aplicaciones en las que se transfiere calor por convección, entre una superficie sólida y un fluido— se tiene interés en incrementar la transferenci transferencia a de calor para satisfacer la exigencia de algún proceso. Cuando el coeficiente convectivo convectivo en la interfase es muy pequeño, com o sucede con la transferencia en convección libre con gases, el único recurso accesible para incrementar la tasa de transferencia consiste en disponer de una superfici superficie e de transferenci transferencia a más grande.
11 3
Este incremento de área d e transferencia se puede obtener mediante la colocación de p iezas sólidas, con buena conductivi conductividad dad térmica, sección transversal pequeña, ligeras y alargadas, firmemente adheridas a la pared sólida y en contacto con el fluido. A estas extensiones de la superficie de convección se les conoce como aletas o superfici superficies es extendidas extendidas..
1. Superficies extendidas con sección transversal uniforme y no uniforme. Las aletas incrementan sustancialmente sustancialmente la superficie total total de un objeto en contacto con un fluido, sin añadir un gran volumen — ni peso— al sistema en el cual se desea transferir calor calor con una tasa de mayor magnitud. Existen ejemplos cotidianos en los cuales se tiene aletas añadidas en una pared metálica: los condensadores al reverso de los gabinetes de refrigeración, el serpentín serpentín de enfriamiento de un motor de a utomóvil, los cilindros cilindros del motor de una m otocicl otocicleta, eta, los disipadores disipadores de enfriamiento de equipos electrónicos o los evaporadores en cámaras de refrig refrigeración eración (figura 62).
Fig. 62 Diversos equipos para transferencia de calor con superficies extendidas. En general las aletas pueden clasificarse clasificarse en dos grandes fam ili ilias: as: aquellas que tienen sección transversal uniforme uniforme al fluj flujo o de calor y las de sección transversal variable. variable. En la figura 63 se muestran algunos diseños de aletas con geometrías sencillas. Para cada ejemplo en el cual la sección transversal al flujo de calor A es uniforme, se puede proponer fácilmente una aleta con sección transversal no uniforme, A = f(x). A continuación continuación — mediante un balance de energía— se obtendrá una ecuación diferencial que permite modelar la transferencia de calor por conducción en cualquier aleta. Para facilitar el análisis de las superficies extendidas, inicialmente se estudiarán las aletas con sección transversal uniforme y después las no uniformes. Al final se analizará la transferencia en superficies aletadas.
11 4
Fig. 63 Izquierda, aletas con sección transversal rectangular; a la
derecha, aletas con sección transversal circular.
1.1 Balance de energía para u na aleta con sección transversal arbitraria. En el siguiente análisis se trabajará con una aleta de sección transversal no uniforme, como la que se muestra en la figura 64. La aleta está anclada sobre una superficie cuya temperatura TS es invariable. La geometría de la sección transversal de la aleta es del todo arbitraria y varía según la función A = f(x), desde la raíz x = 0 hasta la punta x = L. Se puede describir la construcción de la aleta como una sucesión de rebanadas, cada una con espesor diferencial dx y volumen dVol = A(x) dx. Cada rebanada diferencial se localiza mediante una coordenada x y le corresponde la sección transversal A(x) y el perímetro P(x) de la sección transversal La aleta y la pared están en contacto con un fluido, cuya temperatura es T y transfiere con el coeficiente convectivo . Tanto la temperatura del fluido como el coeficiente convectivo son invariables. Por consiguiente, la aleta transfiere calor en condiciones de estado p ermanente. Ahora, con ayuda de la primera ley de la Termodinámica, se efectuará un balance de energía tomando como sistema una rebanada diferencial de la aleta. La condición de estado permanente implica que la entrada de energía al sistema, por unidad de tiempo, debe igualar a la salida neta. 4
La hipótesis más importante para efectuar el balance de energía — además de la suposición de estado permanente— consiste en suponer que la distribución de temperatura en la aleta es unidimensional, T = f(x); por consiguiente el flujo de calor también lo será. Esta condición de flujo unidimensional se consigue cuando la resistencia interna por conducción en la aleta es mucho menor que la resistencia externa por convección con el fluido; lo cual se cu mple fácilmente si la aleta está construida con un m etal buen conductor y el coeficiente convectivo exterior es pequeño (como en la convección libre con gases). De esta forma no habrá gradientes de temperatura radiales; es decir, la temperatura de cada rebanada — localizada por cierta coordenada x — es uniforme en todo el volumen de la rebanada. Con base en el balance de energía se obtendrá una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Al integrar la ecuación diferencial, con las condiciones de frontera adecuadas, se obtendrá como resultado la distribución de temperatura, por consiguiente el gradiente de temperatura dt/dx y de aquí la tasa de transferencia de calor que ingresa por la raíz de la aleta (el mismo calor que la aleta transfiere al exterior por convección, pues se encuentra en estado permanente). En lenguaje c oloquial, el balance de energía tiene la siguiente expresión:
11 5
Fig. 64 Aleta con sección transversal uniforme, adosada sobre una p ared con temperatura Ts.
y al redactarlo en forma algebraica:
(4.1) El primer término del lado derecho, evaluado en la posición (x + dx), se puede expresar por medio de un polinomio de Taylor: ; y en esta serie se puede truncar los términos que contienen al diferencial de longitud dx elevado a un exponente mayor a la unidad. La rebanada tiene la superficie convectiva dA c = P(x) dx para transferir por convección con los alrededores. Al sustituir en la ecuación del balance de energía:
Para facilitar la notación, en la última igualdad se emplea el cambio de variable 2 = T(x) - T ; luego se deriva el producto en el lado izquierdo de la igualdad y la ecuación queda como sigue: 4
, que se puede e scribir como: (4.2)
11 6
en donde 2 = T (x ) - T
4
y
.
La ecuación diferencial (4.2) se particulariza para la geometría de cada aleta. Para ello se sustituyen en la ecuación las funciones A(x) y P(x), que definen la forma de la sección transversal de la aleta. Los casos más sencillos se obtienen cuando el área transversal —y su pe rímetro— son invariables.
1.2 Soluciones para aletas con sección transversal uniforme. Ahora se considerará el caso de una aleta como la que se mue stra en la figura 65. La geometría de la sección transversal A es arbitraria, pero su magnitud es uniforme a lo largo de toda la longitud L. Por consiguiente el perímetro P también es constante. Para esta situación, la derivada dA(x)/dx es nula y la ecuación 4.2 se reduce al caso particular siguiente: (4.3) en donde 2 = (T(x) - T ) 4
y
. La ecuación (4.3) es una ecuación diferencial ordinaria,
homogénea y de segundo orden, cuya solución general es: (4.4) Las constantes de integración C 1 y C 2 se determinan con base en dos condiciones de frontera. La primera condición de frontera es común a todas las situaciones donde una aleta está adosada a una pared, incluso las que tienen sección transversal no uniforme: i) e n x = 0
T (x ) = T S ;
Al aplicar esta condición de frontera en la solución (4.4) se obtiene la igualdad algebraica: (4.5)
Fig. 65 Aleta con sección transversal A y perímetro P uniformes. 11 7
Para conocer el valor de ambas constantes se debe emplear una segunda condición de frontera, la cual arrojará una segunda igualdad algebraica. Al resolver las dos igualdades algebraicas se obtendrá los valores de las constantes C 1 y C 2. Existen cuatro casos típicos con los cuales se puede modelar el funcionamiento de una aleta; cada uno de ellos con su correspondiente solución particular de distribución de temperaturas: a) Aleta infinitamente larga. b) Aleta finita con extremo aislado. c) Aleta finita con transferencia en el extremo. d) Aleta que interconecta a otra pared con temperatura conocida. 1.2.1 A leta inf init amente larga. En el primer modelo se supone que la aleta es tan larga en la dirección x, que la longitud L tiende a infinito. Bajo esta suposición la segunda condición de frontera es: ii) para x
6 4
,
T(x) = T
4
Al aplicar la segunda condición de frontera en la solución (4.4) se obtiene:
lo cual implica que C1 = 0, y a partir de la ecuación (4.5) se tiene C2 = Ts - T . Por lo tanto, la distribución de temperatura es: 4
(4.6) En la figura 66 se muestra la distribución de temperatura para la aleta infinitamente larga. Conforme se avanza a lo largo de la coordenada x, cada dVol tiene una temperatura más cercana a la temperatura del fluido. Conviene notar que en la posición x 6 4 la temperatura de la aleta se iguala asintóticamente a la temperatura del fluido (por consiguiente el área de la tapa ya no transfiere). Al derivar la igualdad (4.6) se obtiene el gradiente de temperaturas:
Fig. 66 Distribución de temperatura para una aleta infinitamente larga. 11 8
Todo e l calor que la aleta transfiere por convección, hacia el fluido que la rodea, penetró a ella por conducción a través de la base, x = 0. Por lo tanto:
que se puede escribir: (4.7) Como se verá en la siguiente sección, no es necesario que una aleta tenga una longitud desmesurada para comportarse como infinitamente larga. En realidad hasta una aleta de pocos centímetros de longitud puede corresponder con este m odelo, lo cual significa que se ha colocado m ás metal del necesario para conseguir un incremento en la tasa de transferencia de calor. 1.2.2 Al eta de longit ud f init a con extremo aislado. El segundo m odelo para aletas con sección transversal uniforme aparentemente constituye una contradicción. Si las aletas se añaden sobre una s uperficie con el objeto de incrementar la transferencia de calor, ¿qué posible sentido tendría aislar el extremo de las aletas? En realidad, este modelo se justifica porque proporciona una solución sencilla para dos cuestiones. La primera se relaciona con la transferencia en una aleta que está conectada en sus extremos con sendas paredes con idéntica temperatura. La segunda es aún más importante: el concepto de eficiencia de una aleta, que se discutirá más adelante. La segunda co ndición de frontera para esta aleta es: ii) en x = L
q k = 0;
por lo tanto
.
El gradiente de temperatura se obtiene al derivar la solución general (4.4); luego se evalúa en x = L y se iguala con cero: ; se obtiene la igualdad algebraica:
que junto con la ecuación (2.45) permite despejar:
y al sustituir en la solución (2.44) se obtiene la distribución de temperatura:
que puede escribirse en forma compacta 1:
(4.8)
En la figura 67 se muestra la distribución de temperatura (4.8) para la aleta finita con extremo aislado. La temperatura decrece continuamente conforme se avanza a lo largo de x , pero en el extremo x = L la pendiente de la curva es horizontal; es decir, la distribución de temperatura tiene un mínimo. 1
A partir de este punto emplearemos la notación para funciones hiperbólicas: ;
; 11 9
Fig. 67 Distribución de temperatura en la aleta finita con extremo aislado. Al derivar la igualdad (4.8) se obtiene el gradiente de temperaturas:
y como se obtiene: (4.9)
Valores de la función Tan h(x)
Conviene notar que si el argumento (mL) tiende a infinito la Tan h (mL) tiende a uno; es decir, si la aleta es muy larga el modelo de extremo aislado se convierte en el de aleta infinita. Como se muestra en la tabla anexa, basta con que (mL) $ 3 para que se cumpla la condición de aleta infinitamente larga, pues la igualdad (4.9) se reduce a la (4.7).
x
Tan h (x)
0.5
0.4621
1.0
0.7616
1.5
0.9051
2.0
0.9640
2.5
0.9866
3.0
0.9951
1.2.3 Aleta fi nit a con tr ansfer encia en el ext remo. El tercer modelo constituye la aproximación más fidedigna al comportamiento de la mayoría de las aletas, pues las considera finitas y no impone restricciones de transferencia nula en el extremo. La segunda co ndición de frontera para este caso es: ii) en x = L,
; es decir,
y entonces: (4.10)
La condición de frontera (4.10) toma en cuenta una posibilidad: que en el extremo de la aleta (la tapa plana de área A), actúe el coeficiente diferente al coeficiente que actúa sobre el cuerpo de la aleta. Al derivar la solución general (4.4) se obtiene el gradiente de temperatura, se evalúa en x = L y se 12 0
construye el lado izquierdo de la igualdad (4.10). Luego se evalúa (4.4) en x = L y se construye el lado derecho de (4.10). Así se obtiene una ecuación algebraica, que —junto con la igualdad (4.5)— permite despejar las constantes C 1 y C 2: y
Al sustituir estas constantes en la solución (4.4) se obtiene la distribución de temperatura: (4.11)
En la figura 68 se m uestra la distribución de temperatura para esta aleta. Conforme se avanza a lo largo de x la temperatura disminuye, pero incluso el extremo x = L mantiene cierta diferencia con respecto a la temperatura del fluido, T . Esta diferencia de temperaturas en el extremo implica que la tapa final transfiere la última dosis de calor con el fluido a T . 4
4
Al derivar la distribución (4.11) se obtiene el gradiente de temperaturas:
y como
, se tiene:
Fig. 68 Distribución de tempe ratura en la aleta finita con transferencia en el extremo. 12 1
que se puede es cribir como: (4.12)
Conviene recordar que a lo largo de este análisis se consideró la existencia del coeficiente convectivo en el extremo de la aleta (diferente al coeficiente convectivo que actúa sobre el cuerpo de la aleta). Estos dos coeficientes no necesariamente son diferentes, pero la solución incluye esta posibilidad. Además, si la solución (4.12) para la aleta con transferencia en el extremo se convierte en la solución para aleta con extremo aislado (4.9). 1.2.4 Alet a con temp eratur a conocida en el extr emo. En este caso se trata de una aleta que interconecta dos superficies distintas, ambas con diferente temperatura. Por consiguiente, tanto en la raíz x = 0 como en el extremo x = L la aleta tiene impuestas restricciones de temperatura. Bajo estas condiciones, la segunda condición de frontera es como sigue: ii) en x = L, T(x) = T L Al sustituir en la solución (4.4) se obtiene la igualdad: (4.13) Esta última ecuación, junto con la ecuación (4.5), conduce a las expresiones: y Al sustituir las constantes en la solución (4.4) se obtiene la distribución de temperaturas:
(4.14)
En la figura 69 se m uestra el gráfico de la distribución de temperatura (4.14), para la situación T s > T L > T 4 . A lo largo de toda la aleta se transfiere calor por convección hacia el fluido que la rodea. No obstante, cierto flujo de calor por conducción logra ingresar hasta la pared más fría con temperatura T L . Al derivar la distribución de temperatura (4.14) se obtiene el gradiente de tem peratura:
Ahora se pueden determinar los tres flujos de calor. Primero se determinará el flujo de calor que penetra a la aleta desde la pared caliente, a temperatura Ts , a través de la raíz de la aleta:
(4.15) El calor que sale de la aleta hacia la pared fria a temperatura TL , a través del extremo x = L, es: 12 2
Fig. 69 Distribución de temperatura para una aleta con temperaturas conocidas en ambos extremos.
(4.16)
El calor que se transfiere por convección, desde la aleta al fluido circundante, se obtiene con la diferencia q conv = q x = 0 - q x = L : (4.17)
2. Eficiencia de aletas. Las aletas se añaden sobre una superficie con el objeto de incrementar la transferencia por convección, por medio de l crecimiento de la superficie convectiva mojada por el fluido. Para incrementar la tasa de transferencia hasta cierta magnitud determinada se puede disponer de diseños m uy variados de aletas; pero no todos esos diseños serán igualmente aptos para favorecer la transferencia de calor. Por consiguiente, resulta conveniente estimar cuán eficientemente cumplen su com etido las aletas. La transferencia máxima posible de una aleta corresponde a la situación ideal de una aleta isotérmica . Es decir, que la aleta tuviera temperatura uniforme con magnitud TS —la temperatura de la base, en contacto con la pared—. De este modo, todos los diferenciales de volumen de la aleta mantendrían la misma diferencia de tem peratura con el fluido que los moja, y todos transferirían la misma cantidad de calor. En realidad la aleta tiene una distribución de temperatura T = f(x), monótona y decreciente, desde la magnitud T S en la base hasta una temperatura cercana a la del fluido (T ), en el extremo de la aleta. Por consiguiente, cada diferencial de volumen transfiere con una diferencia de temper atura progresivamente decreciente. Es decir, cada nuevo milímetro de longitud añadido al cuerpo de la aleta es menos apto para transferir calor. 4
12 3
Para evaluar la eficiencia de transmisión de calor en una aleta, basta con efectuar una comparación mediante un cociente adimensional. En el numerador se expresa el flujo de calor que transfiere la aleta en sus condiciones verdaderas de funcionamiento; en el denominador se expresa el máximo calor que podría transferir esa aleta en condiciones ideales. Tanto para una aleta con sección transversal uniforme, como para aletas con sección transversal no uniforme, se define el concepto de eficiencia de una aleta, 0a , como el cociente: (4.18)
Por supuesto, la eficiencia será siempre un número comprendido entre 0 y 1. Además, si se conoce la eficiencia de una aleta, la transferencia de calor con el fluido circundante se puede obtener muy fácilmente con la expresión: (4.19)
2.1 Eficiencia de aletas con sección transversal uniforme. A partir de las soluciones para aletas con sección transversal uniforme, es posible construir la expresión que define la eficiencia de la aleta. Para ello se empleará el resultado que define la tasa de transferencia de la aleta para cada situación (secciones 1.2.1 a 1.2.4). 2.1.1 A leta inf init amente larga. La tasa de transferencia de esta aleta se define con la ecuación (4.7): y la transferencia en condiciones de tem peratura uniforme (la tapa final A ya no transfiere, porque su temperatura se igualó con T ) es: 4
La eficiencia de la aleta queda:
(4.20)
2.1.2 Al eta de longit ud f init a con extremo aislado. La tasa de transferencia de la aleta es (4.9): y la transferencia en condiciones de tem peratura uniforme (la tapa final A está aislada y no transfiere) es:
La eficiencia de la aleta queda como:
y como
, el cociente se puede arreglar como: (4.21)
12 4
2.1.3 Aleta finita con transferencia en el extremo. La expresión para la tasa de transferencia es algo aparatosa, ecuación (4.12):
y la transferencia en condiciones de temperatura uniforme es:
La expresión para la eficiencia de la aleta toma una forma poco amigable para su em pleo:
(4.22)
Existe una adaptación ingeniosa que permite definir la eficiencia para una aleta con transferencia en el extremo, y evitar el uso de la expresión 4.22. Para usar tal aproximación debe notarse lo siguiente: la única diferencia entre una aleta finita con extremo aislado, y una con transferencia en el extremo, consiste en el calor que sale a través de la tapa final A. Por consiguiente, la transferencia en una aleta con el extremo desnudo se puede aproximar m uy bien con los resultados para una aleta con extremo aislado. Para ello, basta con añadir un pequeño incremento en el área superficial convectiva del cuerpo de la aleta — tanto como el área de la tapa A— y modelar la aleta com o si tuviera extremo aislado. Entonces se trabajará con una longitud corregida de aleta, Lc = L + )L, que da por resultado una superficie convectiva corregida A Cc = PL c de la misma magnitud que la superficie convectiva verdadera AC = PL + A. De este m odo, al tomar la definición de eficiencia de las aletas con extremo aislado y corregir la longitud, se tiene la igualdad:
(4.23) donde L C se obtiene de la igualdad PL C = PL + A, de modo que (4.24)
Esta aproximación provoca un e rror pequeño en e l cálculo de la eficiencia. El error es menor a l 8% siempre y cuando se cum pla la relación:
Esta relación proviene de la com paración, mediante un cociente adimensional, de las dos resistencias térmicas implicadas en el proceso: la resistencia interna por conducción y la resistencia externa por convección. Este grupo adimensional se conoce con el nombre d e número de Biot , se representa con la abreviatura Bi, y se define como:
El número de Biot se emplea extensamente en los m odelos de conducción en estado transitorio. 12 5
2.2 Gráficas de eficiencia de aletas. La expresión (4.23) se puede graficar con facilidad para diferentes geometrías de aletas con sección transversal uniforme; hay u n ejemplo de estas gráficas en la figura 70. Mediante estas gráficas se lee la eficiencia de la aleta, o bien se evalúa directamente con la ecuación (4.23). La eficiencia de la aleta esta en función de cinco variables: el coeficiente promedio de transferencia por convección, la conductividad térmica de la aleta, k; el área transversal de la aleta, A; el perímetro del área transversal, P, y la longitud corregida de la aleta, Lc . Las gráficas de eficiencia de aletas están arregladas con base en variables adimensionales. En la gráfica de la figura 70 se muestra la curva de eficiencia de una aleta con sección transversal rectangular. En este caso A = w t, donde w es el ancho de la a leta, y t el espesor uniforme. El perímetro es P = 2w + 2t, pero como las aletas suelen ser muy delgadas entonces w >> t; por consiguiente el perímetro se puede aproximar como P . 2w. Entonces se tiene:
A partir de esta gráfica, o de la ecuación 4.23, se puede obtener de manera mu y sencilla el calor transferido por una aleta. A partir de la eficiencia de la gráfica y con el calor ideal, definido para la aleta en condiciones isotérmicas, se puede calcular (4.25) Este procedimiento es m ucho m enos dificultoso que emplear el resultado analítico (4.12) para aletas finitas con transferencia en el extremo.
Fig. 70 Eficiencia de aletas con sección transversal rectangu lar uniforme. 12 6
La posibilidad de emplear gráficas para obtener la eficiencia de aletas —como se verá más adelante— es especialmente útil cuando se quiere modelar una aleta de sección transversal no uniforme, tal y como las triangulares y las perimetrales con sección rectangular. El balance de energía para estas aletas da por resultado una ecuación diferencial complicada, cuya solución analítica — difícil de obtener y de aplicar en la práctica— no es muy útil en el trabajo diario. Las gráficas de eficiencia permiten predecir, con gran sencillez, la tasa de transferencia de aletas con sección transversal no uniforme. La función se comporta de tal forma que la variable y aumenta si el argumento x disminuye. Esto significa que las aletas se deben diseñar de modo que (mL c) sea pequeño, para asegurar que su eficiencia sea grande. Como , para incrementar la eficiencia de cualquier aleta se requiere las siguientes condiciones: *
La conductividad térmica de la aleta, k, debe ser lo más elevada posible. Por ello suele elegirse un metal buen conductor del calor, como cobre, aluminio o bronce.
*
La longitud de la aleta, L, debe ser reducida. Es preferible colocar muchas aletas cortas que unas pocas aletas largas, para totalizar cierta superficie convectiva.
*
El coeficiente convectivo promedio debe ser pequeño, como sucede en los procesos de convección libre con aire atmosférico. Lo contrario —un coeficiente convectivo elevado— puede dar por resultado que la tasa d e transferencia por convección disminuya al colocar las aletas, no obstante el incremento de superficie convectiva.
2.3. Evaluación previa a la colocación de aletas. La posibilidad de que la colocación de aletas resulte contraproducente se debe a lo siguiente: al colocar las aletas sobre una superficie se disminuye la resistencia por convección —pues la superficie total convectiva A c se incrementa con las aletas— pero la resistencia por conducción de la pared aumenta, pues se añade la longitud de las aletas al espesor e de la pared. La colocación de aletas incrementa rá la tasa de transferencia sólo para coeficientes convectivos pequeños. Para que se justifique el empleo de las aletas, el calor que transfiere cada una de ellas debe ser muy superior al calor que sería transferido a través de la superficie desnuda sobre la cual se asentó la a le ta . E s d ec ir , s e d eb e c um plir qaleta > qs . El calor que se transfiere a través de la porción superficial A de pared desnuda es: El calor transferido a través de la aleta, cuya longitud corregida es Lc = L + t /2 , es (ecuación 4.9 con longitud corregida): Fig. 71 Compa ración entre el calor transferido desde una aleta y desde una porción A de pared desnuda. 12 7
Para evaluar el incremento en la tasa de transferencia, obtenido al colocar las aletas, basta con hacer una comparación de am bos flujos de calor mediante un cociente:
(4.26)
.
La colocación de las aletas será favorable si se cumple q a >> q s. Como la función Tanh (mL c) es un número entre 0 y 1, basta con que se cumpla: (4.27)
Esta conclusión se puede verificar con ayuda de la figura 72, en la cual se representó el cociente (4.26), para diferentes valores (Pk/ A).
Fig. 72 Incremento en la tasa de transferencia por la colocación de aletas.
3. Soluciones para aletas con sección transversal no uniforme. Las aletas con sección transversal no uniforme pueden tener formas muy variadas. En la figura 63 se mo straron dos ejemplos, una aleta con sección transversal rectangular que se adelgaza hacia la punta y una aleta cónica. Sobre este par de ejemplos se pueden ensayar múltiples variaciones geométricas: aletas que se adelgazan lineal o parabólicamente, que terminan en punta o están truncadas, con sección transversal cuadrada, rectangular, circular, etc. Con e xcepción de las aletas perimetrales con sección transversal rectangular —que se analizarán en la siguiente sección— estas aletas siempre disminuyen su sección conforme se adelgazan hacia la punta. Este adelgazamiento permite ahorrar m aterial, por lo cual las aletas son más ligeras y por tanto menos costosas, pero sin mermar apreciablemente la superficie convectiva en contacto con el fluido. La ecuación diferencial (4.2) se particulariza para cada geome tría de aleta con sección transversal no uniforme. Para ello se sustituyen en la ecuación las funciones A(x) y P(x) que definen la forma de la aleta y se genera la ecuación d iferencial particular para esa geom etría. 12 8
3.1 Aletas con sección transversal rectangular no uniforme. En la figura 73 se muestra una aleta cuya sección transversal rectangular es . La aleta se adelgaza conforme e l calor avanza por conducción a lo largo de la dirección (x), según cierta función que define el espesor, e x = f(x). En este caso se trata de una aleta cuyo espesor está definido con base en la función lineal: (4.28) donde e 0 es la sección transversal en la base, e 1 la sección transversal en el extremo y L la longitud de la aleta. El área transversal es:
y el perímetro de la sección ubicada por la coordenada x : pues b >> e x para el común de las aletas, que son tradicionalmente delgadas. Ahora se puede definir los siguientes cocientes:
y
Al sustituir estas tres igualdades en la ecuación (4.2) se obtiene la ecuación diferencial:
Fig. 73 Aleta con sección transversal rectangular que se adelgaza linealmente hacia la punta. 12 9
(4.29)
donde
Para integrar la ecuación se emplea el cambio de variable z = L - ax ; por lo cual se tienen las -1 igualdades dz = -a dx; dx/dz = -a y dz/dx = -a. Al aplicar la regla de la cadena se obtiene:
Al sustituir las dos igualdades anteriores y hacer el cambio de variable en (4.29) se obtiene:
(4.30)
La ecuación diferencial (4.30) es una ecuación modificada de B essel, cuya solución es: (4.31) donde I 0 es la función de Bessel modificada de primera clase y orden n = cero, y K 0 es la función de Bessel modificada de segunda clase y orden n = cero. Estas funciones están definidas como:
Para evaluar las constantes de integración A y B se empleará las condiciones de frontera: 2(z) = 2S ( T( x) = T S ) . i) en z = L (x = 0), ii) en z = 0 (x = L/a), 2(z) debe ser finita (T(x) debe ser finita). La función K 0(z) 6 4 cuando z 6 0; por consiguiente es forzoso que se cumpla B = 0. Al aplicar la segunda condición de frontera en la solución general (4.31) se tiene:
y se despeja
. Al sustituir las constantes A y B en la solución (4.31) se obtiene:
13 0
es decir:
(4.32)
3.1.1 Aleta con sección t ransversal rectangular q ue ter mina en punt a. Para esta aleta el espesor e 1 es nulo y entonces a = (e 0 - e 1 )/e0 =1 (figura 74). Por consiguiente la solución (4.32) se simplifica a:
(4.33)
Al derivar la distribución de temperatura (4.33) se obtiene el gradiente de tem peratura:
donde I 1 es la función de Bessel modificada de primera clase y orden uno. Ahora se evalúa la igualdad anterior en x = 0:
y se obtiene la tasa d e transferencia de la aleta:
(4.34)
Fig. 74 Aleta con sección transversal rectangular que termina en punta. 13 1
La eficiencia de la aleta se construye con el cociente:
pero
pues b >> e 0. Por consiguiente:
(4.35)
Con la igualdad (4.35) se puede construir una gráfica para la eficiencia de la aleta de la figura 74, en función del argumento (mL). La gráfica se muestra en la figura 75; también se incluye la curva para la eficiencia de aletas con sección transversal rectangular y perfil parabólico que terminan en punta. Las aletas que terminan en punta son una mejor opción que las rectangulares con sección transversal uniforme. Si ambas tienen la misma longitud L prácticamente tienen la misma superficie convectiva para transferir calor, pero las que terminan en punta tienen la mitad de masa metálica y casi la misma eficiencia.
Fig. 75 Curvas de eficiencia para aletas con perfil triangular y parabólico. 13 2
3.2 Aletas perimetrales con sección transversal rectangular. La colocación de aletas perimetrales —en el exterior de tuberías con sección transversal circular— constituye una de las aplicaciones más frecuentes de la transferencia de calor a través de superficies extendidas. La construcción de estas aletas, que se m uestra en la figura 76, da por resultado un flujo de calor unidimensional, en dirección radial.
Fig. 76 Aletas perimetrales montadas sobre un tubo, espaciadas reg ularmente. El área transversal al flujo de calor es rectangular, pero su ma gnitud es no uniforme. De hecho, para cualquier posición radial r se tiene un área transversal A(r) = 2 Br t, cuyo perímetro es P = 2 (2Br). Sin embargo, el cociente
es constante para cualquier posición radial. Por co nsiguiente: y
.
Al sustituir las expresiones anteriores en la ecuación diferencial (4.2), se tiene: (4.36) cuya solución es: (4.37) donde I 0 es la función de Bessel modificada de primera clase y orden n = cero, y K 0 es la función de Bessel modificada de segunda clase y orden n = cero. Para determinar las constantes C 1 y C 2 se requiere dos condiciones de frontera. La primera de ellas establece que en la raíz de la aleta (superficie r = r1 ), la temperatura es Ts , la temperatura superficial del tubo. La segunda condición establece que el canto de la aleta (superficie r = r2 ), es una superficie aislada. Esta última suposición difiere de la realidad, pero conduce a una solución aproximada muy sencilla si se corrige la longitud de la aleta, L c = (r2 - r1 ) + t/2 (como se hizo en la sección 1.2.2 con las aletas con sección transversal uniforme). Las redacción de las condiciones es: 13 3
i ) en r = r1 , T( r) = Ts ;
1 = 1s = T s - T
ii ) en r = r2 ,
4
Al aplicar la primera condición se tiene (4.38) y para aplicar la segunda condición se deriva la solución (4.37)
donde se han em pleado dos de las fórmulas fundamentales de las funciones de Bessel: ; la derivada se evalúa en r2 : (4.39) Al resolver el sistema de ecuaciones algebraicas formado por las igualdades (4.38) y (4.39), se obtiene las constantes C 1 y C 2: y
de modo que al sustituir en la solución (4.37) se obtiene la distribución de temperatura en la aleta:
(4.40)
Para obtener el calor que la aleta transfiere por convección hacia el fluido exterior, basta con evaluar el calor que penetra por conducción a través de la raíz de la aleta.
(4.41)
Con base en el resultado anterior, se puede expresar la eficiencia de la aleta perimetral:
La transferencia máxima, que se obtendría si la aleta fuese isotérmica Ts , tiene la expresión: (4.42) donde se ha corregido el radio exterior de la aleta con para tomar en cuenta el calor transferido por el canto de la aleta que se supuso aislado. La expresión para la e ficiencia, adecuada para la corrección del radio exterior, queda com o:
13 4
; y como
y
:
(4.43)
La ecuación (4.43) se puede arreglar en una forma más compacta, con base en los siguientes parámetros adimensionales: y Al sustituir los parámetros Z 0 , Z1 y Q en la igualdad (4.43), se llega a la ecuación (4.44) que se puede graficar para diferentes valores de y mL c , como se muestra en la figura 77. Por consiguiente, la tasa de transferencia de calor entre la a leta perimetral y el fluido circundante se puede obtener como: (4.45)
Fig. 77 Curvas de eficiencia para aletas perimetrales con sección transversal rectangular no uniforme. 13 5
4. Transferencia de calor en superficies aletadas. Hasta el mom ento sólo se cuenta con procedimientos para de terminar la tasa de transferencia de una aleta, con sección transversal uniforme o no uniforme, mediante soluciones analíticas o por medio de sus gráficas de eficiencia. Sin em bargo, la aplicación de mayor interés práctico consiste en determinar la transferencia neta para una pared isotérmica, con temperatura superficial T s , que tiene colocadas aletas y transfiere calor por convección. La geometría de la pared puede ser cualquiera —por ejemplo una placa plana con sección transversal uniforme, una pared cilíndrica o esférica— y la transferencia neta de calor tiene dos componentes: (4.46) donde cada uno de los flujos de calor se puede describir con base en cierta eficiencia de transferencia por convección:
y
.
Al sustituir las tres expresiones en la igualdad (4.46) se tiene (4.47) En esta última igualdad 0a es la eficiencia de las aletas que se montaron sobre la pared. La pared que soporta las aletas es isotérmica, con temperatura T s , y por ello tiene 0p = 1. La superficie aletada tiene una eficiencia global 0total, que debe satisfacer 0a < 0total < 1. La igualdad (4.47) se puede simplificar: (4.48) y además se tiene la composición de superficies convectivas:
La superficie A aletada es la superficie total de aletas mojada por el fluido presente en la interfase convectiva (no debe confundirse con el área transversal de la aleta). La superficie A pared es la superficie desnuda que no fue cubierta por aletas, y también transfiere con el fluido convectivo. De la suma de àreas se despeja: y al sustituir la igualdad anterior en la ecuación (4.48) se tiene:
y se despeja: (4.49) La igualdad (4.49) define la eficiencia global de una superficie aletada. En la figura 78 se m uestra la situación más general, una pared que transfiere porque separa dos ambientes co nvectivos y tiene aletas por ambos lados. La tasa de transferencia se determina con las expresiones que se desarrollaron para las aplicaciones unidimensionales de la ecuación de Laplace:
13 6
(4.50)
y por c onsiguiente:
Conviene notar que no es necesario conocer las temperaturas de las superficies, de la pared que divide los ambientes convectivos.
, a cada lado
La resistencia térmica por conducción, R k, debe tener la expresión adecuada para la geometría de la pared: plana, esférica o cilíndrica. Además, si una de las caras de la pared no tiene aletas, la eficiencia total de esa superficie es 0t = 1. Es posible despejar el coeficiente global de transferencia de calor, U, si se selecciona un área de referencia. Por ejemplo, para el área exterior se tiene un coeficiente global de transferencia : (4.51)
Fig. 78 Circuito térmico para la superficie aletada.
13 7
