Sistemas Físicos
Sistemas Físicos
Dependiendo de los elementos del sistema, los podemos clasificar en:
Sistemas eléctricos Sistemas mecánicos Sistemas electromecánicos Sistemas de fluídos Sistemas termodinámicos
I ng. Gabri ela Ortiz L.
En general tenemos 3 tipos de elementos:
Ecuaciones diferenciales describen el funcionamiento dinámico de estos sistemas
1
De almacenamiento de energía cinética De almacenamiento de energía potencial Disipadores de energía
I ng. Gabri ela Ortiz L.
Sistemas Eléctricos
Sistemas Eléctricos i(t)
2
+
Tenemos ecuaciones diferenciales que relacionan elementos eléctricos pasivos
V(t)
R
v ( t )
=
i ( t ) R
i ( t )
=
Gv ( t )
G
=
-
R: L:
C:
I ng. Gabri ela Ortiz L.
R
v (t ) = L
Elementos los asumimos lineales
1
Disipa energía Almacena energía a través de un campo magnético Almacena energía por medio de un campo eléctrico
i (t ) =
1 L
I ng. Gabri ela Ortiz L.
dt
∫ v(t )dt
1 i (t )dt C dv(t ) i (t ) = C dt v(t ) =
3
di (t )
∫
4
1
Ejemplo 1: Circuito eléctrico
Ejemplo 1 (continuación)
e(t ) = V R e(t ) = i(t ) R +
Encontrar la función de transferencia del sistema Representar el sistema por medio de un diagrama de bloques Representar el sistema utilizando variables de estado Ing. Gabriela Ortiz L.
Además
1
+ V C + V L
∫ i (t ) dt + L
G ( s ) =
di (t )
C
dt
dV e(t ) = RC c dt
E ( s )
=
1 2
s LC + sRC + 1
Diagrama de Bloques
2
+ V c + LC
d V c dt 2 5
Ing. Gabriela Ortiz L.
6
Ejemplo 1 (continuación)
Representación en variables de estado x&1 (t ) 0 x& (t ) = − 1 L 2
V c ( s )
dV i (t ) = C c dt
Ejemplo 1 (continuación)
Función de transferencia
Diagrama de Bloques (a partir de diagrama de flujo de señal)
1 C x1 (t )
0 + e(t ) − R L x2 (t ) 1 L
y (t ) = x1 (t )
Ing. Gabriela Ortiz L.
7
Ing. Gabriela Ortiz L.
8
2
Sistemas Mecánicos
Se dividen en:
Sistemas Mecánicos lineales r o d a u g i t r o m A
Sistemas de traslación Sistemas de rotación
Sistemas Mecánicos de Traslación
Aceleración, Velocidad y Desplazamiento Amortiguador Viscoso Masa Resortes lineales
Ing. Gabriela Ortiz L.
9
Otros tipos de fricción
l a e n i L e t r o s e R
dt d y (t ) 2
dt
f (t ) = Ky (t )
∫
f (t ) = K v(t ) dt Ing. Gabriela Ortiz L.
Composición de las superficies Presión entre superficies Velocidad relativa, etc…
10
Fricción de Coulomb
Fuerza de amplitud constante con respecto al cambio de velocidad
Fricción viscosa
dv (t ) 2
f (t ) = M
f ( t )
dt
Otros tipos de fricción
Fuerzas de fricción dependen de:
f (t ) = M
dy (t )
Elementos básicos
f (t ) = B
a s a M
Variables
f (t ) = Bv (t )
= F c
dy dt dy dt
Relación lineal
Fricción Estática
Representa una fuerza que tiende a prevenir el movimiento
Ing. Gabriela Ortiz L.
f (t ) = ±( F s ) y& =0
11
Ing. Gabriela Ortiz L.
12
3
Ejemplo 2 (continuación)
Ejemplo 2: Sistema mecánico lineal 1.
2.
Distancia recorrida la vamos a considerar como la salida del sistema
3.
Consideramos también una superficie sin fricción
Encontrar la función de transferencia del sistema Representar el sistema por medio de un diagrama de bloques Representar el sistema utilizando variables de estado
Ing. Gabriela Ortiz L.
13
Ejemplo 2 (continuación)
Función de transferencia del sistema Y ( s ) F ( s )
Diagrama de bloques
Ing. Gabriela Ortiz L.
14
Variables
x1 (t ) 0 + f (t ) − B M x2 (t ) 1 M 1
15
Par o torque T Velocidad angular ω Desplazamiento angular θ
Elementos Básicos
y (t ) = x1 (t )
Ing. Gabriela Ortiz L.
1 s 2 M + sB + K
Sistemas Mecánicos de Rotación
Representación en variables de estado x&1 (t ) 0 x& (t ) = − K M 2
= G ( s ) =
Amortiguador viscoso rotacional Momento de Inercia Resorte torsional
Ing. Gabriela Ortiz L.
16
4
Ley de Movimiento
Sistemas Mecánicos de Rotación
Ley de movimiento de Newton para movimiento de rotación
∑ Fuerzas = J α
J=Inercia α=acelaración angular Ing. Gabriela Ortiz L.
Inercia La inercia de un elemento depende de la composición geométrica alrededor del eje de rotación y de su densidad Para un disco circular
M=Masa r=radio 17
1 J = Mr 2 2
Ing. Gabriela Ortiz L.
18
Otros tipos de fricción
Sistemas Mecánicos rotacionales T (t ) = J α (t ) Momento de inercia
T (t ) = J T (t ) = J
d ω (t ) dt
d 2θ (t ) 2
dt
Son válidos los tipos de fricción descritos en el movimiento traslacional
Resorte Torsional
∫
T (t ) = K r ω (t ) dt
Fricción estática
T (t ) = K r θ (t ) Amortiguador Viscoso Rotacional
Ing. Gabriela Ortiz L.
T (t ) = ± ( F s ) θ & = 0
T (t ) = Br ω (t ) T (t ) = Br
Fricción de Coulomb T (t ) = F c
d θ (t ) dt
19
Ing. Gabriela Ortiz L.
d θ dt d θ dt
20
5
Ejemplo 3: Sistema mecánico rotacional
1.
2.
Considere: J : momento de inercia alrededor del eje de rotación. B R: Coeficiente de fricción viscosa para simular la fricción de la superficie cercana al disco La inercia del eje es despreciable pero se considera la constante del resorte torsional
3.
Ejemplo 3 (continuación)
Al disco se le aplica un par T(t) y se desea: Encontrar la función de transferencia del sistema Representar el sistema por medio de un diagrama de bloques Representar el sistema utilizando variables de estado
Ing. Gabriela Ortiz L.
21
Función de transferencia Θ( s )
=
T ( s )
1 2
s J + sBr + K r
Diagrama de bloques
Ing. Gabriela Ortiz L.
22
Conversión entre movimientos de traslación y rotación
Ejemplo 3 (continuación)
Ecuaciones de estado
Cremallera y piñon
Distancia que viaja la masa es:
x (t ) = r θ (t )
x&1 (t ) 0 x& (t ) = − K J 2 r
x1 (t ) 0 + T (t ) − Br J x2 (t ) 1 J 1
Distancia que viaja la masa por cada revolución del piñón o la polea es 2πr
y (t ) = x1 (t )
Banda y polea
Inercia equivalente vista por el motor:
J = Mr 2 Ing. Gabriela Ortiz L.
23
Ing. Gabriela Ortiz L.
=
W g
r 2 24
6
Conversión entre movimientos de traslación y rotación
Trenes de engranes
Distancia lineal que viaja la masa por cada revolución del tornillo es L=2πr
Anillo sin fin
Inercia equivalente vista por el motor: 2
J = Mr =
W L
Ing. Gabriela Ortiz L.
r 2
N 1 N 2
=
ω 2 ω 1
=
θ 2 θ 1
Ing. Gabriela Ortiz L.
http://es.wikipedia.org/wiki/Engranaje 26
Zona Muerta
T :
Par aplicado T 1, T 2 : pares de torsión transmitidos
Se presenta en sistemas mecánicos de transmisión cuando el acoplamiento no es perfecto
Ejemplo
Ing. Gabriela Ortiz L.
T 2
=
g 2π
Tren de Engranes considerando pérdidas
=
2
25
Sirven como dispositivos de acople T 1 r 1
Incluimos inercia, fricción viscosa, y fricción de Coulomb 27
Ing. Gabriela Ortiz L.
28
7
Ejemplo 4: Circuito de 2 entradas-2 salidas
Ejemplo 4 (continuación)
Señales de entrada: V i1(t) y V i2(t) Señales de salida: V C1(t) y V C2(t)
Ing. Gabriela Ortiz L.
29
Ejemplo 5: Dos masas
Ing. Gabriela Ortiz L.
30
Analogías Mecánico-Eléctricas
Obtener la representación en el espacio de estados de este sistema
Sistemas Análogos
Entrada: u(t) Salida: y1(t), y2(t) Ing. Gabriela Ortiz L.
Diagrama de bloques
31
Sistemas que se pueden representar mediante el mismo modelo matemático pero son diferentes físicamente
Sirven, por ejemplo, para estudiar sistemas que no son fáciles de manejar experimentalmente
Ing. Gabriela Ortiz L.
32
8
Analogía Fuerza-Tensión
Analogía Fuerza-Corriente
Sistema Mecánico
Sistema Mecánico
Sistema Eléctrico
Sistema Eléctrico
Fuerza o Par
Tensión
Fuerza o Par
Corriente
Masa o Momento de inercia
Inductancia
Masa o Momento de inercia
Capacitancia
Coeficiente de fricción viscosa
Resistencia
Coeficiente de fricción viscosa
1/Resistencia
Constante de Resorte
1/Capacitancia
Constante de Resorte
1/Inductancia
Desplazamiento
Carga
Desplazamiento
Acoplamiento por flujo magnético
Ing. Gabriela Ortiz L. Velocidad
Corriente
33
Sistemas Electromecánicos
T m=K m Φ ia
Ing. Gabriela Ortiz L.
34
Controlado por inducido
T m Par motor [Nm] K m Constante de proporcionalidad Φ Flujo magnético [webers] ia Corriente de Armadura [A]
eb=K m Φ ω m
Voltaje
Motores C.D. de imán permanente
Principios Básicos
Ing. Gabriela Ortiz L.
Velocidad
eb Fuerza contraelectromotriz [volts] Φ Flujo ω m Velocidad del eje [rad/s] 35
La operación de un motor C.D. con control de armadura proporciona una relación prácticamente lineal entre velocidad de estado permanente y la tensión de entrada La dirección de rotación depende de la polaridad de la tensión de entrada (en condiciones estables)
Ing. Gabriela Ortiz L.
36
9
Ejemplo 6
Motor C.D de imán permanente
Considere una carga acoplada a un motor de imán permanente y T L(t) como el par de dicha carga
T m (t ) = k iia (t ) vb
=
k mφω m (t ) = k bω m (t )
Ecuaciones causa-efecto para el circuito del motor Defina las variables de estado del sistema y dibuje un diagrama de estados
Potencia eléctrica = vb (t )ia (t ) Ing. Gabriela Ortiz L.
Potencia mecánica = T m (t )ω m (t )
37
Se conocen los siguientes datos de un motor c.d.:
38
Diagrama de bloques del modelo de un motor c.d. de imán permanente
Ejemplo 7
Ing. Gabriela Ortiz L.
Ra=2Ω La=0,02H K b=0,11 V/rad/s K i=| K b| J =0,02 kgm2
Encontrar un diagrama de bloques para simulación con Simulink la velocidad angular del motor con una entrada v(t)=20u(t) V Considere además
Diagrama Simplificado
B= B0=0.01 [Nms] para 0 ≤ t < 1500 B0 J/ K b2 B=0.5 B0 para t ≥ 1500 B0 J/ K b2
Ing. Gabriela Ortiz L.
39
Ing. Gabriela Ortiz L.
40
10
Funciones de transferencia de otros motores Motor C.D. controlado por campo, Actuador rotacional
θ ( s ) V f ( s )
Motor C.A., Control de campo bifásico Actuador rotacional
Ing. Gabriela Ortiz L.
Sistemas Neumático ∆ p (t ) = R f q (t )
K m
=
s ( sJ + b)( sL f + R f )
θ ( s )
=
Resistencia del fluído Rf
Capacitancia del fluído K
K m
V C ( s )
s ( sτ + 1)
donde
τ =
Donde
q (t ) : flujo [kg / s ] p (t ) : presión
1 q (t ) dt K dp (t ) q (t ) = K dt
p (t ) =
∫
J Ejemplo
( B − m)
m: Pendiente de la curva par-velocidad linealizada41 (normalmente negativa)
Ing. Gabriela Ortiz L.
42
Referencias
[1] Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de control
moderno“, 10ª Ed.,
Prentice Hall, 2005, España.
[2] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.
[3] Kuo, Benjamin C.. „Sistemas de Control Automático“, Ed. 7, Prentice Hall, 1996, México.
Ing. Gabriela Ortiz L.
43
11
