Contenuti: – Grup Gruppi pi di di Assu Assur: r: dia diadi, di, triad triadi, i, tet tetra radi di – Scomp Scompos osizi izion one e di un un mec mecca canis nismo mo in gru grupp ppii di di Ass Assur ur e calcolo dei gradi di libertà – Soluzio Soluzione ne dell’ dell’ana analis lisii cinematic cinematicaa di posizio posizione ne attrav attravers ersoo scomposizione in gruppi di Assur – Analis Analisii cinemati cinematica ca di posizio posizione ne delle delle diad diadii RRR, RRR, RPR, RPR, RRP RRP
Gruppi di Assur
Le diadi
Esempio: quadrilatero
Esempio: pentalatero
Esempio: meccanismo inseritore
Esempio: meccanismo meccanismo a ritorno rapido (α<180°)
Scomposizione:
Seconda ossibile scom osizione:
Soluzione del problema cinematico di posizione median diante te scom compos posizio izione ne in gr gru uppi ppi di Assur ssur
Es.: guida guida di Fairbairn Fairbairn modificat modificata a
Diade di I specie (RRR)
A
C
function [phi2,phi3] = diadeRRR(xA,yA,xB,yB,z2,z3) diadeRRR(xA,yA,xB,yB,z2,z3)
B
z 1 = ϕ1
ϕ 1
( x B − x A )2 + ( y B − y A )2
= atan 2( y B − y A , x B − x A )
z 32 = z 12 + z 22 − 2 z 1 z 2 cos α 2 2 2 z 3 = z 1 + z 2 + 2 z 1 z 2 cos γ
Il segno + vale per la diade in z 32 − z 12 − z 22 ⇒ γ 12 = a cos linea continua, il – per quella = ± ϕ ϕ γ 2 1 12 2 z z in linea tratteggiata 1 2 xC = x B + z 2 cos ϕ 2 ⇒ ϕ 3 = atan 2( yC − y A , xC − x A ) yC = y B + z 2 sin ϕ 2
Diade di II specie specie (RPR) (RPR) – geometria geometria semplific semplificata ata function [z1,phi1,phi2] = diadeRPR(xA,yA,xB,y diadeRPR(xA,yA,xB,yB,z2,gamma12) B,z2,gamma12)
z 3 =
C B
γ12
ϕ 3
= atan 2( y B − y A , x B − x A )
z 2 sin γ 13
A γ12
C γ12
z1
z2 γ23
z3
γ13 ϕ3
A
ϕ1
ϕ2
B
( x B − x A )2 + ( y B − y A )2
=
z 3
⇒
sin γ 12
ϕ 1
= ϕ 3 ± γ 13
ϕ 2
= ϕ 1 ± γ 12
γ 23
= π − γ 12 − γ 13
z 1 sin γ 23
=
z 3 sin γ 12
γ 13
z sin γ 12 = asin 2 z 3
Il segno + vale per la diade rap rappres prese entat ntata a in nero, ero, il – per quella in colore rosso
⇒ z 1 =
z 3 sin γ 23 sin γ 12
Diade Diade di di II specie specie (RP (RPR) R) – caso caso degen degenere ere (z2=0) function [z1,phi1] = diadeRPRdeg(xA,yA,xB,y diadeRPRdeg(xA,yA,xB,yB) B)
C≡B A
z1≡ z3
C≡B
z 1 = ϕ 1
( x B − x A )2 + ( y B − y A )2
= atan 2( y B − y A , x B − x A )
ϕ1≡ϕ3
A
C NOTA BENE: nel caso più generale, l’asse di scorrimento della coppia prismatica non passa per il punto A, per cui la risoluzione dell’analisi cinematica di posizione richiede calcoli più complessi
D
A
B
Diade Diade di III III specie specie (RRP (RRP)) function [z2,phi4] = diadeRRP(xA,yA,xB,yB,phi2,z3,z4,gamma23)
D
A
z 1 =
γ23 ϕ 1
C
γ 12
B
= ϕ 1 − ϕ 2
A' D = z 42 − AA'2
z4
A
γ12
= atan 2( y A − y B , x A − x B )
AA' = z 1 sin γ 12 − z 3 sin γ 23
B
z1
( x A − x B )2 + ( y A − y B )2
D z3
A’
z 2 = z 1 cos γ 12 ± A' D − z 3 cos γ 23
γ23
ϕ 3
D’
z2
A’’
C
Il segno + vale per la diade rappresentata in nero, il – per quella in colore rosso
= ϕ 2 + γ 23
x D = x B + z 2 cos ϕ 2 + z 3 cos ϕ 3 y D = y B + z 2 sin ϕ 2 + z 3 sin ϕ 3
ϕ2 ϕ 4
= atan 2( y A − y D , x A − x D )
Diade Diade di di III specie specie (RRP (RRP)) – caso caso degene degenere re (z3=0) A
z 1 = ϕ 1
C≡D
γ 12
B
= atan 2( y A − y B , x A − x B ) = ϕ 1 − ϕ 2
A' D = z 42 − ( z 1 sin γ 12 )
2
z 2 = z 1 cos γ 12 ± A' D
A
x D = x B + z 2 cos ϕ 2
z4
γ12
z2 ϕ2
Il segno + vale per la diade rappre rapprese senta ntata ta in nero, nero, il – per quella in colore rosso
y D = y B + z 2 sin ϕ 2
z1
B
( x A − x B )2 + ( y A − y B )2
C≡D
ϕ 4
= atan 2( y A − y D , x A − x D )
A’ ≡ A’’ NOT NOTA BENE BENE:: quest ueste e form ormule ule son sono un caso caso particolare di quelle della diade RRP completa, quindi la funzione diadeRRP può diadeRRP può essere utilizzata anche nel caso degenere (z3=0, ϕ3 qualunque)
Diade di III specie specie (RRP) (RRP) – soluzione soluzione alternativ alternativa a Indicata nel caso in cui non interessi la posizione del pattino z2
D
A
z 1 =
γ23
ϕ 1 γ 12
C
ϕ 4
z4
A
γ12
B
= atan 2( y A − y B , x A − x B ) = ϕ 1 − ϕ 2
AA' = z 1 sin γ 12 − z 3 sin γ 23
B
z1
( x A − x B )2 + ( y A − yB )2
D z3
A’
ϕ2
A’’
C
2
± atan 2( A' D, AA')
segn segno o + va e per a diade rappresentata in nero, il – per quella in colore rosso
x D = x A − z 4 cos ϕ 4 y D = y A − z 4 sin ϕ 4
γ23
D’
z2
= ϕ 2 +
π
A' D = z 42 − AA'2
xC = x D − z 3 cos(ϕ 2 + γ 23 ) yC = y D − z 3 sin (ϕ 2 + γ 23 )
z 2 =
xC − x B cos(ϕ 2 )
Questa relazione consente di ottenere valori negativi di z2 quando C è alla sinistra di B
