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FRANCO, TOMAS

PROFESOR DE MATEMÁTICA

Funciones

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PLANO CARTESIANO Para ubicar puntos en el plano cartesiano, utilizamos un sistema de referencia al que llamamos sistema de coordenadas cartesianas. Para ello trazamos rectas perpendiculares una horizontal y la otra vertical, a la que llamaremos ejes coordenados. Al eje horizontal se lo llama eje de abscisas (eje de las X) y al eje vertical eje de ordenadas (eje de las Y). Los ejes cartesianos están graduados con una escala determinada según su uso, como los de la regla que utilizamos para medir. El plano cartesiano está dividido en cuatro cuadrantes. 2º cuadrante

3º cuadrante

1º cuadrante

4º cuadrante

El punto en el que se cortan los ejes lo llamamos origen de coordenadas y se le asigna como a todo origen el numero cero para ambos ejes. Para indicar la posición de un punto en el plano cartesiano utilizamos sus coordenadas cartesianas, que consta de un par de números escrito entre paréntesis al que llamaremos par ordenado. Este par ordenado primero llevara el número perteneciente al eje x separado con punto y coma y luego al número perteneciente al eje y. En forma general se escribe (x ; y). Como ejemplo (3 ; 5).

1) Representar los siguientes puntos en el plano cartesiano:

2) Ubicar los siguientes puntos A, B, C en un plano cartesiano y averiguar las coordenadas del punto D para que ABCD se un rectángulo:

3) Representar los siguientes puntos en un plano cartesiano y agregar dos punto mas de modo tal que queden alineados con los otros tres:

4) Representar las coordenadas en los siguientes planos e indiquen que tipo de figura representan:

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5) Representar gráficamente en un plano cartesiano los siguientes problemas de proporcionalidad: a) Un grupo de amigo decide reunirse a comer pizza, deben realizar el pedido a una pizzería, sabiendo que 2 personas comen una pizza. ¿Cuántas deben ordenar si se reúnen 4 amigos?, ¿cuántas pizzas comerán en total si se agregan tres amigos mas?, a ultimo momento, antes de hacer el pedido 5 amigos mas confirman su presencia, ¿cuántas pizzas pedirán en total? b) Una persona tiene un ritmo de caminata en el cual por cada segundo de tiempo este camina un metro. ¿Cuánto habrá recorrido al cabo de un minuto?, ¿cuánto tardara en recorrer una cuadra? (100 metros), si para ir hasta la casa de su amigo tardo 2 minutos 30 segundos, ¿qué distancia recorrió? c) Una lata de bebida cuesta 3,50 pesos. Si se tiene que comprar 10 latas. Completar el siguiente cuadro y representar en el plano cartesiano la función. Cantidad de latas eje x

1

Costo en dinero eje y

3,50

2

4

5

10,50

7

8

21

10

31,50

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d) Un chef debe optimizar su trabajo y desea confeccionar una tabla indicando la temperatura del agua con respecto al tiempo en que tarda en alcanzar el punto de ebullición (100º C), y la temperatura del agua aumenta 10º C por cada 2 minutos, sabiendo que el recipiente de agua estaba a una temperatura de 20º C cuando lo colocó en el fuego. Completar la siguiente tabla: Tiempo eje x Temperatura 20º C

2 minutos

8 minutos

4minutos

50º C

14 minutos 70º C

80º C

100º C

eje y

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e) La siguiente tabla muestra todas las distintas formas de construir un paralelogramo cuya área es de 36 cm2, completar la tabla representarlos en un plano cartesiano y compararlo con los anteriores Base eje x

1 cm.

2 cm.

3 cm.

Altura eje y

36 cm.

18 cm.

4 cm.

6 cm.

9 cm.

12 cm.

18 cm.

36 cm. 1 cm.

f) La tabla que representa a continuación indica el tiempo en horas que tardan una cierta cantidad de pintores para pintar un gimnasio, completarla y representar los valores en un plano cartesiano: Pintores eje x

1

2

Tiempo

24 horas

12 horas

3

5

8

6 horas

4 horas

eje y

6) Gráficos comparativos: Las empresas suelen confeccionar gráficos que permiten compara los ingresos y los gastos que se han tenido en cierto lapso, para conocer los periodos en los que hubo ganancias y los periodos en los que hubo pérdidas. Este gráfico, muestra las curvas de ingresos y gastos de una empresa, entre 1987 y 1995: $

déficit superavit superavit

Comercialmente la palabra superávit significa ganancias, es decir que ingresó más dinero del que se gastó, y la palabra déficit significa pérdidas, es decir que se gasto más dinero del que ingresó. Ingresos Gastos

87

88

89

90

91

92

93

94 95

Años

Observando el gráfico podemos sacar algunas conclusiones: -

Los ingresos fueron crecientes durante los años 1987, 1989 y desde mediados de 1991 hasta fines de 1995. En los restantes periodos fueron decrecientes. 24

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-

El único periodo de para la empresa desde principios de 1991 hasta mediados de 1993. Por haber más gastos que ingresos. Los restantes periodos fueron de ganancias, por haber ingresado más dinero de lo que se gasto. - La mayor diferencia entre el ingreso y el egreso de dinero fue a fines de 1987. 7) Este grafico publicado en Argentina muestra las curvas de importaciones y de exportaciones de nuestro país con Europa, desde 1982 hasta 1998. Comercio con Europa en millones de dólares Importaciones Exportaciones

$ 2000 1600 1200 800 400 0

82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 Años a) Indicar cuales fueron los periodos de superávit y de déficit para la argentina. b) Indicar un periodo en que las exportaciones hayan sido crecientes. c) Si este grafico lo leería un analista europeo, indicar cuales fueron los periodos de superávit y déficit para Europa. 8) Este grafico muestra la evolución de las ventas de algunos productos de una casa de electrodomésticos, en miles unidades, en los últimos 50 años: Unidades vendidas

T.V. color

60 50

Videocaseteras Computadoras lavarropas

heladeras

40 30 20 10 0

T.V. blanco y negro

1950

1960

1970

1980

82 84 86 88

1990

92 94 96 98

2000

a) ¿En 1985, cuáles fueron los productos más vendidos y cuales menos vendidos? b) ¿A partir de que año comenzaron a venderse los lavarropas y cómo fueron sus ventas? 25

Años

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c) ¿Hasta qué año creció la venta de T.V. blanco y negro?, ¿cuál fue la cantidad máxima vendida?, ¿qué ocurrió después y cuales fueron las causas? d) ¿qué se puede decir con respecto a la venta de artículos en el año 1988? e) Entre que años la venta de video caseteras se mantuvo constante, y cuantas unidades se vendieron? Concepto de función: En algunos casos, dos cantidades o magnitudes se relacionan de modo tal, que una depende de la otra, cumpliendo ciertas condiciones. Por ejemplo, si compramos un pasaje de avión, cuanto más lejos viajemos, más caro será el precio del pasaje. Por lo tanto decimos que el precio del pasaje depende le la cantidad de kilómetros del vuelo, o sea, esta en función de la distancia recorrida. Las funciones se representan gráficamente en un sistema de ejes cartesianos, ortogonales, donde ubicaremos en el eje horizontal, eje x, la variable independiente y en el eje vertical, eje y, la variable dependiente. En este ejemplo, para seguir la evolución de un enfermo de gripe, se tomó la temperatura cada hora, desde las 10hs hasta las 20hs. Se volcaron los datos en una tabla y se confeccionó el siguiente gráfico: Tiempo en 10 horas Temperatura 36,5 en ºC

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

37

37

37,5

37,5

38

38

38,5

38

39

40

Temperatura en ºC 40 39 38

Los puntos tomados de la tabla se unieron con segmentos. Como la temperatura se tomo cada hora, cabe suponer que en los instantes en los que ésta no se registró fue aproximadamente igual a la que se indica en el gráfico.

37 En este gráfico se relacionan dos variables: la independiente que es el tiempo, y la dependiente que es la temperatura.

36 35 0

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

tiempo en horas

Responder: a) ¿A qué hora empezó a sentirse mal el enfermo? b) Desde las 12hs hasta las 20hs, ¿el enfermo mejoró o empeoró?, ¿Por qué? c) ¿E qué periodo aumento más rápidamente la temperatura? d) ¿En qué periodo no varió la temperatura?

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9)

Una persona desea tomar nota sobre la evolución del peso a lo largo de un año, con el fin de realizar una dieta adecuada a su cuerpo. El resultado obtenido fue el siguiente: Peso en Kg 70

Responder:

68

a) ¿En qué períodos el peso fue creciente? b) ¿cuándo fue decreciente? c) ¿Cuál fue el máximo peso y cuándo lo alcanzo? d) ¿En qué peso se estabilizo y a partir de qué mes?

66 64 62 60 58

E F M A M J

J A S O N D

Meses

10) El siguiente gráfico muestra la producción de una fabrica de cocinas en función del tiempo: Nº de cocinas Responder: 7000

a) ¿En qué períodos la producción fue en aumento? b) ¿En que períodos descendió? c) ¿En qué momento la producción venia en descenso y comenzó a ascender? d) ¿Cuándo la producción fue constante? e) ¿Cuántas cocinas se fabricó en el mes de diciembre?

6000 5000 4000 3000 2000 1000

E F M A M J $

J A S O N D

Meses

11) El siguiente grafico muestra las curvas de ingresos y gastos de una empresa: Gastos a) ¿En qué períodos hubo beneficios? b) ¿En qué períodos hubo pérdidas? c) Señalar un período en que el ingreso haya sido creciente. d) Señalar un período en que el gasto haya sido decreciente. e) ¿En qué mes el ingreso fue máximo? ¿y mínimo? f) ¿En qué mes el egreso fue máximo? ¿y mínimo?

Ingresos

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87

88

89

90

91

92

93

94 95

Años

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12) El banco nación publico el la cotización del Dólar durante el mes de febrero con el siguiente gráfico: Precio en $ a) ¿Cuál fue la cotización del dólar el día 6? b) Hallar la f(16) y redacta que calculaste. c) ¿En qué días la cotización del dólar fue de $ 3,50? d) Indicar dos días donde la cotización del dólar coincida. e) En que periodos: El precio del dólar fue constante. El valor del dólar crece El precio del dólar disminuyó

7 6 5 4 3 2 1

0

2

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Tiempo en días

13) Mariana esta en cama con anginas y fiebre, y por suerte esta su mamá, que no deja de tomarle la temperatura. Para tener un buen registro de la condición de su hija a lo largo de 30 horas, cargó los datos en su computadora, y al apretar enter en su procesador este le entregó el siguiente grafico: Temperatura en ºC 39,5

Analizar atentamente el grafico e indicar: a) La temperatura máxima. b) La temperatura mínima. c) En que momentos sube la temperatura. d) En que momentos desciende. e) La temperatura en la hora 8, 12, 18 y 22.

39 38,5 38 37,5 37 36,5

0

2

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Tiempo en horas

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14) El departamento de ventas de de una empresa de alimentos hizo un estudio de la variación del precio de la lata de arvejas a lo 34 días, para entregársela a los nuevos accionistas de la empresa. Y se obtuvo el siguiente grafico: a) ¿cuál fue el precio de las arvejas a los 14 meses? b) ¿En qué momento el precio de las arvejas fue de $1,10? c) ¿En qué periodo el precio fue en aumento? d) ¿Cuándo fue el máximo precio alcanzado? ¿Y el mínimo? e) Si el estudio comenzó en febrero del 2004, ¿cuándo finalizó?

Precio en $ 1,60 1,50 1,40 1,30 1,20 1,10 1

0

2

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Tiempo en meses

15) Dos automovilistas están en dos ciudades diferentes separadas 1400 metros. Ambos automovilistas deciden salir de una ciudad a otra a la misma hora, y se obtiene de dicho estudio el siguiente gráfico de la distancia en función del tiempo: Distancia en metros 1400

Ciudad A

1200 1000 800 600 400 200

a) ¿cuál de los dos automóviles tardó menos en llegar a la meta? b) ¿A que distancia de la ciudad B se encontraron?, ¿cuántos minutos tardaron? c) ¿Cuánto tardo el automóvil de la ciudad B para llegar a la ciudad A? ¿y el otro automóvil?

Ciudad B 0

2

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Tiempo en minutos

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16) Una familia decide ir de vacaciones a San Carlos de Bariloche (Pcia. de Río Negro) en su propio automóvil. La distancia estimada por el conductor, desde la puerta de su casa hasta el destino elegido es el 1350 kilómetros. Para que el viaje sea cómodo planearon el recorrido en varias etapas, deteniéndose a descansar en distintas ciudades de paso. Para ello realizaron el siguiente gráfico de la distancia recorrida en función del tiempo:

Distancia en kilómetros 1400 1200 1000 800 600 400 200

0

2

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34

Tiempo en horas

Responder: a) b) c) d) e) f) g) h)

¿Cuántas horas tardaron en llegar a Bariloche? ¿Cuántas veces se detuvieron a descasar? ¿cuál fue el período más largo en el que estuvieron detenidos? ¿Y el más corto? ¿Cuántas horas en total estuvo manejando el automovilista? ¿Cuántas horas en total descansaron? ¿descansaron más de lo que viajaron? ¿por qué? ¿A cuantos kilómetros de su casa hicieron su segunda detención?, ¿por cuánto tiempo? Si la velocidad se obtiene dividiendo a la distancia por el tiempo, ¿con que velocidad manejó en cada tramo?

17) Un chef intrigado por como varia la temperatura del agua que utiliza en su cocina cuando hierve pastas, decide hacer un gráfico que muestre la evolución de la temperatura del agua a lo largo del tiempo, basándose con los siguientes datos que pudo tomar mientras realizaba su labor: cuando retiró la cacerola del fuego el agua estaba hirviendo (100º C), luego de haber transcurrido 5 minutos estaba a 60º C, siguió descendiendo lentamente y a los 20 minutos de haberla retirado del fuego su temperatura era de 30º C, y 20 minutos mas tarde llegó hasta la temperatura ambiente 20º C. Realizar el gráfico de la temperatura del agua con respecto al tiempo y analizarlo.

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FUNCIONES LINEALES 18) Una empresa de telefonía cobra un abono mensual de $ 25 más el costo por cada 10 minutos de comunicación de $ 5. Averiguar: I) ¿Cuál sería el costo mensual de un cliente si este habló 25 horas al mes? II) A un usuario de la compañía le llego un consumo de teléfono de $65, ¿cuánto tiempo usaron el teléfono? III) A otro cliente de esta misma compañía le llegó una factura de $130, el doble del cliente anterior. ¿habrá utilizado el doble del tiempo que el anterior cliente? Justificar. IV) Otra compañía cobra por su servicio $ 8 por cada 10 minutos de comunicación, pero sin cobrar abono mensual. ¿Qué compañía conviene? ¿siempre conviene esa compañía? V) Obtener, para cada compañía, una formula que indique el costo total en función del consumo, representarlas gráficamente e indicar para que consumo pagarían el mismo costo. 19) Los barriles de aceite para automotores tienen una capacidad de 100 litros, se sabe también que cada litro de aceite pesa 0,5kg y que el barril vacío pesa 25kg. Se desea saber: I) El peso del barril si este contiene: 0 litros, 15 litros, 25 litros, 50 litros y lleno. II) Averiguar la fórmula que permita calcular el peso del barril en función de la cantidad de aceite. III) Representar gráficamente esta situación. 20) Otro barril tiene una capacidad de 120 litros, y que vacío pesa 20 kg. Pero se lo llena con otro tipo de aceite cuyo peso por litro es de 0,8kg. Para una cierta cantidad de aceite, ¿pesarán lo mismo ambos barriles? 21) En la ciudad de Buenos Aires un taxi cobra aproximadamente $ 5 por bajada de bandera, como costo fijo, más $ 1 por cada 200 metros recorridos. Una empresa de remis cobra $ 4 por cada 1000 metros recorrido. Un empresario que usa con frecuencia ambos servicios desea comparar los costos entre taxi y remis, en función de las distancias recorridas. Averiguar: I) Cuanto pago este empresario si recorrió: 250m, 500m, 1000m, 1500m, 2000m y 5000m en ambos medios. II) Si por el transporte en taxi pago $ 13, ¿ qué distancia recorrió? III) Si el remis le cobró $ 16, ¿Cuánto habrá recorrido? IV) Encontrar una formula del costo total en función de la distancia recorrida tanto como para el taxi, como para el remis. V) Representar gráficamente ambas situaciones e indicar para que distancia recorrida pagaran el mismo recorrido. VI) ¿qué medio de transporte es el más conveniente?

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22) Se tiene un botellón de plástico que contiene una capacidad de 15 litros y se lo va llenando con leche. Contamos con los siguientes datos: litros Peso total en kg 2 7,1 6 11,3 9 14,45 12 I) Averiguar el peso del botellón vacio II) ¿Cuánto pesará si se le agrega un litro de leche? III) Encontrar una formula que exprese el peso total del botellón con leche en función de la cantidad de leche. IV) ¿Cuánto pesará el botellón si tengo 12 litros de leche?, si tengo 6 litros de leche, este, ¿pesará la mitad? V) Si analizamos la tabla de valores, ¿cómo se incrementa el peso del botellón si variamos la cantidad de leche de a 3 litro, de a 2 litros y de a 1 litro? VI) Graficar la situación planteada. 23) En la factura de luz indican que por bimestre de consumo hay $25 de cargo fijo, mas $ 5 por cada 10Kwh de consumo. Se desea saber: I) ¿Cuánto habrá pagado si consumió en distintos periodos: 0kwh, 50kwh, 100kwh y 200kwh? II) Si en un periodo pagó $150, ¿cuál fue el consumo? III) Hallar una fórmula que indique el costo total en función del consumo en kwh IV) Representar gráficamente dicha situación. 24) Un automóvil consume 8 litros de nafta por cada 100 kilómetros de recorrido. Si el tanque de nafta contiene 64 litros, averiguar: I) ¿Cuántos litros le quedaran si recorrió 40 kilómetros? II) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en total si en el tanque de combustible le quedaron 16 litros? III) ¿Cuál es la autonomía del automóvil? IV) Encontrar una formula que indique el consumo en función de la distancia recorrida y graficar la situación. 25) Una imprenta cobra por imprimir 600 hojas $ 40 y $50 por imprimir 800 hojas todas con membrete. Esta imprenta cobra un monto fijo, a parte del importe por cada hoja impresa que se encargue. Se desea saber: I) ¿Cuál es el costo de impresión por hoja? II) ¿Cuál es el costo fijo que cobra la imprenta? III) Hallar una formula que indique el importe pagado en función de la cantidad de hojas impresas. IV) Otra imprenta cobra por la impresión de 600 hojas, $ 60 sin cobrar monto fijo por dicha impresión. Encontrar una formula del costo en función de la cantidad de hojas. V) Representar gráficamente ambas situaciones. VI) ¿Cuál de las dos empresa conviene mas contratar?, ¿Por qué?

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26) Un frigorífico productor de carnes cuenta con un grupo electrógeno que genera energía eléctrica para salvaguardar su mercadería en los eventuales cortes de electricidad. Este grupo funciona con un motor diesel. El encargado del mismo midió la cantidad de combustible en el depósito, 10 días después de haberlo llenado y encontró que había 1420 litros. Luego de 30 días mas, encontró quela cantidad de combustible era de 880 litros. Averiguar: I) La cantidad de combustible 20 días después de haberlo llenado. II) La capacidad del depósito de combustible. III) El consumo de combustible promedio por día. IV) La formula que indique la cantidad de combustible en función de los días. Representar dicha situación. V) El frigorífico esta optando por otro grupo electrógeno que consume 15 litros de combustible por día. ¿es mas económico que el anterior? Representar gráficamente. 27) Dados los siguientes gráficos de funciones lineales, indicar la formula correspondiente:

I)

y

f(x)=

9 8 7 6 5 4 3 2 1

x 0

II) y

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

g(x)=

9 8 7 6 5 4 3 2 1

x 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

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III)


h(x)= y

9 8 7 6 5 4 3 2 1

x 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

IV)

I(x) =

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

28) Proponer un grafico de la distancia recorrida por un automóvil en función del tiempo, que indique lo siguiente: I) Pasa por la ciudad A que será el origen de coordenadas, y tarda 30 segundos para recorrer 15 metros. A continuación recorre 25 metros mas tarda 20 segundos. Luego continuando con su mismo camino tarda un minuto para llegar a su meta que dista 50 metros. Vuelve por el mismo camino y tarda en llegar 2 minutos. II) En todo su viaje, ¿cuál fue la distancia total recorrida? III) ¿Cuánto tardo para ir? ¿y para volver?

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