03.LACIRCUNFERENCIA

La circunferencia A. Ecuación en coordenadas cartesianas Para hallar la ecuación de una circunferencia con centro en (h,k) y radio r, consideremos un punto (x,y) del plano, plano, tal como se expone en la figura 28. y

y • (x,y) (h, k)

r

r

•

y •

• (0, 0)

(x,y)

y•

x

y' y'

• (x, y)

• r

•

x'

x

•

•

x

Fig. 28

Fig. 29

x'

x

Fig. 30

La distancia entre los puntos (h,k) y (x,y) viene dada por r = (x − h )2 + (y − k ) 2 . Elevando al cuadrado ambos miembros obtenemos la “ecuación canónica ” de la circunferencia: (x – h)2 + (y – k) 2 = r 2

1

LA C CIR CU NF NFER E NC NCIA

2 OBSERVACIONES

1. Cuando el centro (h,k) es el origen de coordenadas: h = 0, k = 0; entonces la ecuación canónica se reduce a x 2 + y2 = r 2, llamada también “ ecuación canónica reducida ”. Ver figura 29. 2. La ecuación canónica (o estándar) (x – h)2 + (y – k) 2 = r 2 podemos convertir en la forma canónica reducida, si hacemos x’ = x – h, y’ = y – k; por lo que obtenemos x ' 2 + y' 2 = r 2 , donde x’ e y’ son los nuevos ejes coordenados. Diremos que los ejes coordenados iniciales x e y han sido trasladados a los nuevos ejes x’ e y’ respectivamente, tal como puede verse en la figura 30. Esto se plantea con bastante frecuencia con el objeto de simplificar aún más las ecuaciones. Este proceso se llama Transformación de coordenadas , y generalmente existen 2 tipos de transformación: traslación de ejes y rotación de ejes , que veremos más adelante. 3. La ecuación general de 2do. grado en x e y, como habíamos dicho, tiene la forma: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Esta ecuación representa la circunferencia cuando B = 0, A = C. En efecto: (x – h)2 + (y – k) 2 = r 2 ⇒ x2 + y2 + (–2h)x + ( – 2k)y – r 2 = 0; es decir, es de la forma x 2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 con A = C = 1, B = 0, D = –2h, E = – 2k, F = – r 2 + h2 + k 2.


Mag. JJosé L L. E Estr ad a P P.

Ejemplo 1. Hallar la ecuación canónica y general de la circunferencia con: (a) Centro ( – 1,2) y pasa por el origen de coordenadas. (b) Los punto (5,2), (–2,– 5), (4,3) en la circunferencia.

Solución: (a) La ecuación estándar es (x–h)2 + (y–k)2 = r 2, donde h = –1, k = 2, r =

(− 1 − 0)2 + (2 − 0 )2 =

Luego (x + 1) 2 + (y – 2) 2 = 5. La ecuación general obtenemos

5.

desarrollando la ecuación anterior, resultando x 2 + y2 + 2x – 4y = 0. Ver figura 31. y

y

(4, 3)

•

(–1, 2)

•

r

Fig. 31

•

(h, k)

•(0, 0)

x

• (5, 2) x

Fig. 32

• (-2, -5)

(b) Si los puntos (5,2), (–2,–5), (4,3) están en la circunferencia, entonces todos satisfacen la ecuación. Sea (h,k) el centro y r el radio, luego desde que (x – h) 2 + (y – k) 2 = r 2, entonces se tiene el sistema, cuyas incógnitas son h, k, r: (5 – h)2 + (2 – k)2 = r 2 (–2 – h)2 + (–5 – k) 2 = r 2 (4 – h)2 + (3 – k)2 = r 2

3

... ... ...

(1) (2) (3) LA C CIR CU NF NFER E NC NCIA

4 Transformando cada ecuación, resulta: h2 + k 2 – 10h – 4k + 29 = r 2 h2 + k 2 + 4h + 10k + 29 = r 2 h2 + k 2 – 8h – 6k + 25 = r 2

... ... ...

(1) (2) (3)

De (1): h2 + k 2 = 10h + 4k –29 + r 2. De (2): h2 + k 2 = –4h – 10k – 29 + r 2. Igualando 10h + 4k – 29 + r 2 = –4h – 10k – 29 + r 2, resulta h = –k. Reemplazando en (1) y (3) se tiene el sistema: 2k 2 + 6k + 29 = r 2 2k 2 + 2k + 25 = r 2

... ...

(4) (5)

Igualando (4) y (5) se tiene k = –1, de donde h = 1. Finalmente reemplazando k = –1, h = 1 en cualquiera de las ecuaciones (1), (2) o (3) se tiene r = 25 . Por tanto, la ecuación canónica es (x – 1) 2 + (y + 1)2 = 25, y la ecuación general es x2 + y2 – 2x + 2y – 23 = 0. Fig.32



Ejemplo 2. Hallar el centro y el radio de la circunferencia, dada por: (a) 16x2 + 16y2 + 16x + 40y – 7 = 0 (b) 16x2 + 16y2 – 64x + 8y + 177 = 0 5

7

2

16

Solución: (a) Divídase por 16 ambos miembros: x 2 + y 2 + x + y −

= 0 , completando cuadrados:

1   2 5 25  7 1 25  2 ; x + x + +y + y+  = + + 4   2 16  16 4 16  2

2

9 3  1   5   1 5  es decir,  x +  +  y +  = . Luego el centro es  − ,−  y el radio . 2 4  2   4   2 4 

(b) Al igual que en (a) dividimos por 16 resultando: x 2 + y 2 − 4x +

1 2

y+

1 1  177 1  = 0 ⇒ x 2 − 4x + 4 +  y 2 + y +  = − + 4 + , de donde 16 2 16  16 16 

177

(

)

2

(x − 2)

2

114  1  . Esto demuestra que la ecuación no representa ningún lugar geométrico +y+  = − 16  4 

real.

5


6 5

Ejemplo 3. Hállese la ecuación de la circunferencia de radio

2

y que pasa por las intersecciones de

las circunferencias x2 + y2 + 2x – 6y – 16 = 0 y x 2 + y2 – 6x + 2y = 0

Solución: La ecuación canónica de la circunferencia pedida es de la forma:

(x − h )2 + (y − k )2 =

25

... (1)

2

• La intersección de las 2 circunferencias dadas obtenemos resolviendo el sistema: x 2 + y 2 + 2x − 6 y − 16 = 0  2 x + y 2 − 6x + 2 y = 0

... (2) ... (3)

En efecto. De (2): x 2 + y 2 = –2x + 6y + 16. De (3): x 2 + y2 = 6x – 2y. Igualando –2x + 6y +16 = 6x – 2y, resulta y = x – 2. Reemplazando en (3) se obtiene x (x – 4) = 0; es decir, x=0 y x = 4. Cuando x = 0, y = –2; y cuando x = 4, y = 2. De aquí que los puntos de intersección son P 1 = (0,–2), P2 = (4,2). • Los puntos P 1 y P2 se encuentran sobre la circunferencia (1), luego deben satisfacerla; es decir: (0 − h )

2

(4 − h)

2

+ ( −2 − k ) + ( 2 − k )

2

2

= =

25 2 25 2


h

Simplificando h

2 2

2

+ k + 4k = 2

17 2 15

+ k − 8h = −

... (4) ... (5)

2


Despejando h2 + k 2 tanto de (4) como de (5) y luego igualando se obtiene h = 2 – k. Sustituyendo este valor en (4): (2 – k)2 + k 2 + 4k = h =

7 2

; si k =

3 2

, entonces h =

1 2

17 2

, se tiene k 2 =

9 4

3

3

2

2

; esto es, k = ± . Por tanto, si k = − , entonces

.  7  2

3 

 1 3   2 2 

• Finalmente se tiene 2 circunferencias como solución: de centro  ,−  y de centro  ,  . 2

2

2

2 

2

25 25  7   3   1   3  Reemplazando en (1) se obtienen:  x −  +  y +  = y  x −  +  y −  = . Véase la figura 33. 2 2  2   2   2   2 

7


8 Ejemplo 4. Una circunferencia de radio r tiene coordenadas enteras. Los puntos (–2,6) y (–1,9) están sobre la circunferencia, y desde el punto P = (4,7) se trazan rectas tangentes a la circunferencia de tal modo que P dista 3r unidades de cada punto de tangencia: (a) Hállese la ecuación de la circunferencia. (b) Determínese los puntos de tangencia.

y

y (-2,10)

•

•

• •

P1

•

• P2 ••

(-1,9) (-3,8) •

x

(-2,6)


θ θ

L2 (4,7)

•

L

••

 − 13 29  ,    5 5 

Fig 33

3r

L1

x

Fig 34


Solución: (a) Sea (h,k) el centro de la circunferencia, y por distancias se tiene: (h + 2)2 + (k – 6) 2 = (h + 1)2 + (k – 9)2 = r 2 . Simplificando esta ecuación resulta: k = 7 −

h 3

. Por el teorema de Pitágoras se tiene (h –

4)2 + (k – 7) 2 = 9r 2 + r 2 = 10r 2, que reemplazando r 2 = (h + 2) 2 + (k – 6) 2 y k = 7 −

(h − 4)

2

h 3

se obtiene:

2 2   h   h   2 +  −  = 10(h + 2) + 1 −   ; es decir, 15h2 + 62h + 51 = 0. Resolviendo esta ecuación  3   3   

tenemos h1 = –3, h 2 = − luego k = 8 y r =

34 3

. Como el centro sólo admite coordenadas enteras entonces h = –3,

5 . Por tanto la ecuación solicitada es (x + 3) 2 + (y – 8) 2 = 5.

(b) Sean m, m1, m2, las pendientes de las rectas L, L1, L2 respectivamente. Sabemos: m=

7 − k 4−h

9

=

7 −8 4+3

=−

1 7

y tan θ =

r 3r

=

1 3

. Pero tan θ =

m − m1 1 + mm 1

y tan θ =

m2 − m 1 + mm 2

.


10 Luego.

1 3

− =

1 7

1−

− m1 1 7

⇒ m1 = −

m1

1 2

A sí mismo:

1 3

=

m2 + 1−

1 7

1 7

m2

⇒ m2 =

2 11

1

Ecuación de L1 : y − 7 = − ( x − 4) ⇒ x = 18 − 2 y 2

Ecuación de L2 : y − 7 =

2 11

( x − 4) ⇒ x =

1 2

(11y − 69)

Para hallar el punto de tangencia de L1 con la circunferencia resolvemos el sistema: ( x + 3) 2 + ( y − 8) 2 = 5   x = 18 − 2 y

... (1) ... (2)

Reemplace (2) en (1) y obtenga la ecuación y 2 – 20y + 100 = 0, de donde y = 10. La solución es x = –2, y = 10. Análogamente, para hallar el punto de tangencia de L2 con la circunferencia, resolvemos el sistema: ( x + 3) 2 + ( y − 8) 2 = 5  1   x = 2 (11y − 69)

... (3) ... (4)

Reemplace (4) en (3) y obtenga la ecuación 25y 2 – 290y + 841 = 0, cuya solución es

x=−

13 5

,y =

29 . 5

Véase la figura 34.



B. Curvas de transformación de productos Una curva de transformación de producto se define como el lugar geométrico de las combinaciones de cantidades del producto final que se puede obtener de un mat erial inicial dado. Algunas veces sucede que una empresa puede elegir entre dos (o más) formas de usar alguno de sus recursos con el objeto de producir diferentes productos elaborados. Tales recursos pueden ser: Materias primas disponibles, plan industrial, maquinaria, mano de obra, etc. Es decir, algunos procesos de producción brindan más de un producto final. Por ejemplo:

1. La cría de ovejas es un ejemplo clásico de tal tipo de procesos. Dos productos finales: lana y carne, se pueden obtener en proporciones variables mediante un solo proceso de producción. 2. Un fabricante de zapatos podría producir zapato para caballeros o para damas con los mismos recursos. 3. Una refinería de petróleo podría elegir una variedad de distintos grados de aceite y gasolinas a partir del petróleo crudo. En resumen, las curvas de producción (en el plano), expresan las relaciones entre las cantidades de dos artículos diferentes, producidos por la misma compañía utilizando la misma mano de obra y materia prima.

11


12 Si x e y denotan las cantidades de producto final, la curva de transformación de producto que las relaciona debe ser tal que cuando una cantidad aumenta la otra disminuye. Estas diversas cantidades están relacionadas por una ecuación, que generalmente son de la forma cuadrática en dos variables. En la economía, estas curvas son usualmente cóncavas hacia abajo.

Ejemplo 5. Una industria de calzado fabrica dos tipos de calzado: uno para caballeros y otro para damas. Las cantidades posibles x e y respectivamente están relacionadas por: x 2 + y2 + 6x + 10y – 47.25 = 0. Grafique, y diga ¿cuáles son los números máximos de zapatos de cada tipo que puede producirse? Solución: x e y denotan las cantidades (en pares) de zapatos para caballeros y damas respectivamente. La ecuación dada representa una circunferencia, cuyo centro y radio determinamos completando cuadrados: (x2 + 6x + 9) + (y 2 + 10y + 25) = 47.25 + 9 + 25 ⇒ (x + 3)2 + (y + 5)2 = 81.25. Luego la circunferencia tiene el centro en (–3,–5) y radio 81.25 Para que x sea máxima, y debe ser cero. Luego x2 + 6x – 47.25 = 0. Resolviendo esta ecuación se obtienen: x 1 = 4.5 , x 2 = –10.5. Sólo se admite xmax = 4.5 . Análogamente, para que y sea máxima, x = 0, luego y2 + 10y – 47.25 = 0, de donde y 1 = 3.5 y y 2 = –13.5, por tanto y max = 3.5. (Ver figura 35)


•

(0, 3.5)

• (4.5, 0)

• (–3, –5) Fig. 35


EJERCICIOS

1.

Si A = (1, –4), B = (4, 5), C = (–3, 4) son los vértices de un triángulo, encontrar las coordenadas del circuncentro del triángulo.

2.

Una recta pasa por los puntos A = (2, 3), B = (5, 6) e intersecta a la circunferencia x2 + y 2 + 8x – 18y + 23 = 0 en los puntos C y D. Hallar el área de la región triangular CED, siendo E el centro de la circunferencia.

3.

Los vértices de un triángulo son A = (–7, 9), B = (5, 4), C = (17, 19), con centro en el vértice A se traza una circunferencia que intersecta al segmento BC en M, de tal manera que M es el extremo del segmento bisectriz interior del ángulo A. Hallar la ecuación de dicha circunferencia.

Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas del punto (–5, 4) a la circunferencia x 2 + y2 – 10x + 7 = 0. 5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección de las rectas x – y + 4 = 0 y 2x – y + 5 = 0, y que es perpendicular a la cuerda común de las circunferencias x 2 + y2 – 4x = 0 y x 2 + y2 – 4y = 0.

4.

6.

Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados están sobre las rectas: 7x + y + 2 = 0, x – 2y + 11 = 0, 3x – y – 2 = 0.

13


14 7.

8.

Encontrar las coordenadas del centro de una circunferencia que pasa por los puntos A = (0, 8), B = (4, 8) y que corta al eje de las abscisas según una cuerda de longitud igual a 3 unidades. Hallar la ecuación de una circunferencia C cuyo centro P 0 se encuentra sobre la recta – 30 = 0. El punto P que está en C divide al segmento con la recta L un ángulo θ tal que

tan θ =

3

0 P0

en la relación

2 5

L : 3x – 4y

. El segmento

0 P0

forma

.

4

9.

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 3y + x – 2 = 0 en el punto que pase por el punto (3, 5).

(–1, 1) y

10. Los puntos (2, 3), (6, 3), (6, –1), (2, –1) son vértices de un cuadrado. Encuentre las ecuaciones de las circunferencias inscrita y circunscrita. 11. Una banda se ajusta estrechamente alrededor de dos circunferencias cuyas ecuaciones son: (x – 1)2 + (y + 2)2 = 16 y (x + 9)2 + (y – 10)2 = 16. ¿Cuál es la longitud de esta banda?. Figura 36. 12. Una banda está ajustada alrededor de 3 círculos x 2 + y2 = 4, (x – 8)2 + y2 = 4, (x – 6)2 + (y – 8) 2 = 4, como se muestra en la figura 38. Encuentre la longitud de la banda.



• •

• •

• Fig. 36

13. Dados los vértices del triángulo A = (–1, 0),

Fig. 38 

9 



4 

B =  2,

,

C = (5, 0). Hallar:

(a) La ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo. (b) La ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo. (c) La ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del t riángulo.

14. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2 + y2 + 2x – 2y – 39 = 0 en el punto (4,5). 15. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (11, 4) y es tangente a la circunferencia x 2 + y2 – 8x – 6y = 0.

15


16 16. (a) (Curva de demanda ) Al precio de p soles por unidad, un fabricante puede vender x unidades de su producto, en donde x y p están relacionados por x 2 + p2 + 400x + 300p = 60000. ¿Cuál es el precio más alto por encima del cual no hay ventas posibles?. (b) (Relación de demanda ) Un comerciante de automóviles puede vender x automóviles de un modelo particular al fijar un precio de p soles por automóvil, con x2 + p2 + 4000x + 2500p = 19’437,500 ¿Cuál es el precio más alto hasta el cual es posible realizar ventas?.

17. (a) (Curva de transformación de productos ) El propietario de un huerto puede producir manzanas para mesa o manzanas destinadas a la fermentación. Las cantidades posibles x de manzanas para mesa (en kilogramos) e y de sidra (en litros) están relacionadas por la ecuación x2 + y2 + 8x + 250y = 6859. Determine las cantidades máximas de manzanas o sidra que pueden producirse. Dibuje la gráfica. (b) (Curva de transformación de productos ) La industria de bicicletas “Reynoso” fabrican dos tipos de bicicletas denominadas “Inca” y “Maya”. Las cantidades posibles x e y (en miles) que pueden producir al año están relacionadas por: x2 + y2 + 40x + 30y = 975. ¿Cuáles son los números máximos de bicicletas de cada tipo que puede producirse? Dibuje la gráfica.



03.LACIRCUNFERENCIA

Recommend Documents