Capítulo 3 Equilibrado de líneas de montaje
1. EQUILIBRADO DE LÍNEAS DE MONTAJE ......................................................... .....................................................................................................1 ............................................1 2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA ............................................................. .....................................................................................................................2 ........................................................2 3. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA LB1 DE EQUILIBRADO .......................................................... ................................................................................6 ......................6 4. MÉTODO DE BÚSQUEDA DEL MEJOR BROTE ............................................................. ..............................................................................................8 .................................8 5. HEURÍSTICO DEL RANGO DE LAS DURACIONES POSTERIORES ................................................................. ................................................................. 12 6. EQUILIBRADO CUANDO LAS DURACIONES DE UNA O MÁS TAREAS SUPERAN EL TIEMPO DE CICLO ............. 12 7. CONSIDERACIONES SOBRE LAS LÍNEAS DE M ONTAJE ............................................................................. ............................................................................. 16 8. PROBLEMAS ................................................................................................................................... ....................................................................................................................................... ..... 17
Autor: Alejandro García del Valle
1. EQUILIBRADO DE LÍNEAS DE MONTAJE Cuando un producto o una familia de productos presentan una alta demanda que es estable durante largos períodos de tiempo, resulta económico diseñar y establecer una instalación dedicada exclusivamente exclusivamente a la fabricación del producto o familia de productos. Para reducir el inventario en proceso y los tiempos de carga y descarga así como el transporte entre tareas sucesivas, las estaciones de trabajo (constituidas por máquinas y trabajadores que realizan las tareas) se disponen una tras otra en una secuencia contigua, de acuerdo con las restricciones tecnológicas. tecnológicas. La instalación resultante se llama línea de fabricación si el proceso de producción es fabricación o línea de montaje si lo que se lleva a cabo son tareas de montaje. Como conceptualmente no presentan diferencias significativas en el contexto que vamos a tratar a continuación, hablaremos en general de una línea de producción o simplemente una línea. Una línea de producción consta de una secuencia de M estaciones de trabajo. El producto pasa en serie por cada una de ellas: desde la estación 1 a la M. En cada estación se realiza un conjunto de tareas. M unidades de producto son procesadas simultáneamente en las diferentes etapas del proceso de producción. En la mayoría de los casos el producto se transfiere entre estaciones por medio de dispositivos especiales como planos inclinados, cintas transportadoras, de transmisión, etc. Un parámetro importante en una línea de producción es el llamado tiempo de ciclo que se define como el tiempo que, en régimen permanente, transcurre entre dos unidades sucesivas que salen de la línea. Para poner a punto una línea de fabricación las tareas han de asignarse a las estaciones de trabajo. Esto es lo que se llama equilibrado. La asignación de tareas ha de tener en cuenta las restricciones tecnológicas. Entre éstas las más numerosas son las relaciones de precedencia que restringen el número de combinaciones en que las tareas pueden ser ejecutadas. Otras restricciones tecnológicas tecnológicas son, por p or ejemplo, que algunas tareas han de procesarse con determinado equipo cuya localización es fija y dada. Aquí sólo tendremos en cuenta las relaciones de precedencia. Sea c el tiempo de ciclo y p i (i = 1, 2, ... ,M) la duración de todas las tareas asignadas a la estación de trabajo i. Si agrupamos las tareas de tal manera que las duraciones p i sean todas iguales (pi=p, para todo i), la línea está perfectamente equilibrada: se tiene c=p. Puesto que el producto se mueve de una estación a la siguiente, está claro que el tiempo medio de ciclo debe ser el mismo para cualquier estación de trabajo e igual a c. En el caso más general no es posible obtener un equilibrado perfecto, y en cada estación se tiene un tiempo muerto c-p i. La suma de estos tiempos muertos se llama holgura total:
= · − =1 Autor: Alejandro García del Valle
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que puede también expresarse en términos relativos:
· − = · = 1 − · =1
Siendo T la suma de las duraciones de todas las tareas:
= = =1
=1
Al complemento a uno de la holgura relativa se le denomina eficiencia E de la línea:
= 1 − = · Puesto que los tiempos muertos se traducen en un coste de mano de obra y de equipo no utilizados, es razonable buscar un agrupamiento de tareas en estaciones de trabajo de tal manera que la holgura total sea mínima, lo que equivale a minimizar el producto M c. La holgura (tanto total como la relativa) mide la calidad de la solución obtenida.
2. DEFINICIÓN DEL PROBLEMA Por la naturaleza del problema se comprende que la programación de la producción en una línea queda resuelta una vez que se asignan tareas a las estaciones de trabajo. Una vez hecho esto queda determinado el flujo del producto, la secuencia en que se lleva a término las tareas así como los comienzos y finales de éstas. Para aclarar los conceptos que iremos viendo consideremos el siguiente ejemplo: una línea de producción con 12 tareas cuyas relaciones de precedencia y duraciones se dan en la Tabla 1. Tabla 1. Línea de producción con 12 tareas
Tarea
T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9 T10 T11 T12
Predecesoras
Duración ti
--T1 T1 T2 T3 T3, T4 T6 T7 T5, T9 T8,T10 T11
6 9 4 5 4 2 3 7 3 1 10 1
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La Tabla 1 contiene los datos básicos del problema: relaciones de precedencia y las duraciones de las tareas. Una fase previa del problema es construir el diagrama de precedencia, en que los nodos representan las tareas y las flechas las relaciones de precedencia. Lo mejor es dibujar el grafo por niveles (un grafo se dice que está ordenado por niveles cuando sus nodos están dispuestos de tal manera que sólo salen flechas de izquierda a derecha y tal que no existen relaciones de precedencia entre los nodos del mismo nivel). Para realizar esta operación se parte de una lista formada por todas las tareas: LISTA = {T1, T2, T3, ..., Tn}
y se van formando los niveles del grafo de acuerdo con el siguiente procedimiento (cada vez que se asigna una tarea a un nivel se suprime de LISTA y cuando se dice que una tarea no tiene predecesoras se entiende que no tiene predecesoras entre las tareas que actualmente están en LISTA): PASO 1. PASO m.
Poner en el primer nivel todas las tareas sin predecesoras. Incrementar m: m=m+1. Poner en el nivel m todas las tareas sin predecesoras. Acabar cuando LISTA esté vacía.
Una vez ordenado el grafo por niveles, se puede dibujar más fácilmente. Tratar de descubrir redundancias: si una tarea precede a otra y se puede ir de la primera a la segunda por un camino ya trazado, entonces esta precedencia es redundante y se puede eliminar. Como puede verse, este procedimiento es equivalente al de ordenar un grafo por niveles. Aplicado al ejemplo considerado se obtiene:
Nivel 1
Nivel 2
Nivel 3
Nivel 4
Nivel 5
Nivel 6
Nivel 7
T1 T2
T3 T4 T5
T6 T7
T8 T9
T10
T11
T12
T11 10
T12 1
T3
T1
T2
4
6
9
T4
5
T5
4
T6
2
T8
7
T7
3
T9
3
T10 1
La construcción del diagrama de precedencia es importante debido a que es la ayuda más sugestiva para el análisis sistemático de las relaciones de precedencia de las tareas. Autor: Alejandro García del Valle
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el entero mayor o igual que x. El número mínimo de puestos de trabajo es: = Resulta entonces que la holgura para este número de estaciones es: = 1 − · Sea
Se obtiene así la curva de la Figura 1. En ella se representan las holguras relativas para todas las posibles combinaciones ( , c). Si HR=0 entonces se tendría un equilibrado perfecto, pero puede ocurrir que tal equilibrado no exista. Fijado c, podemos calcular y la holgura HR correspondiente al punto ( , c). Cuanto más cercana a cero sea esta holgura tanto más difícil es encontrar un equilibrado (incluso puede no existir para el número de estaciones ).
HR
5
4
3
2
0,5 Número mínimo de estaciones
0,4
0,3
0,2
0,1
c
0 0
11
13.75 18.33
27.5
Figura 1. Holgura relativa, para el ejemplo de la Tabla 1, en función de (M mín, c)
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Hay dos maneras de enfocar el problema: (LB1) (LB2)
Fijar el tiempo de ciclo y minimizar el número de estaciones de trabajo Fijar el número de puestos de trabajo y encontrar el equilibrado que minimiza el tiempo de ciclo
Ambos casos se presentan en la realidad. Hay veces en que el tiempo de ciclo viene dado por la tasa de producción, con lo cual el equilibrado se reduce a minimizar el número de puestos de trabajo (menor mano de obra). En otras ocasiones, lo que ocurre es que hay estaciones que no pueden cambiar de lugar físico (a causa del diseño de la fábrica, costes, etc.) por lo que el equilibrado ha de minimizar el tiempo de ciclo (mayor tasa de producción para el número de estaciones de trabajo existentes). La mayor parte de los métodos existentes resuelven el problema LB1 ya que el LB2 es muy difícil de resolver directamente. Lo que puede hacerse es resolver iterativamente de la siguiente manera: 1. Calcular el tiempo de ciclo mínimo fijado el número de estaciones M:
- = =1 1
2. Utilizar algún método para resolver el problema LB1 con el c obtenido. Si se encuentra un equilibrado con M estaciones entonces se ha resuelto el problema con una holgura mínima. 3. Si no, aumentar c en incrementos grandes hasta que se encuentre un equilibrado con M estaciones 4. Reducir c en incrementos pequeños hasta que el número de estaciones pasa a ser M+1. Con todo lo que se ha dicho, podemos ya definir el problema del equilibrado de una línea de producción. Dado un conjunto de tareas S, con unas relaciones de precedencia y duraciones t i, encontrar una colección de subconjuntos (S 1, S2, ..., SM) que resuelvan el siguiente programa lineal:
tal que:
min · − =1 =1 =
· = ∅ ≤ ∈
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∈ ∈ ≤ (a) obliga a que todas las tareas sean asignadas; (b) origina que cada tarea se asigne una sola vez; (c) hace que la suma de las duraciones de todas las tareas asignadas a cualquier estación no exceda el tiempo de ciclo; finalmente (d) obliga a que si una tarea k precede a otra l entonces k no puede asignarse a una estación posterior a la cual l ha sido asignada.
3. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA LB1 DE EQUILIBRADO Muchos son los métodos que se han propuesto para resolver este problema. Una sencilla clasificación es: algoritmos óptimos métodos heurísticos
Los primeros requieren un tiempo de ejecución en ordenador prohibitivo para casos de equilibrado de líneas reales (más de 100 tareas y decenas de puestos de trabajo). Por esta razón, los métodos heurísticos son los que se aplican en la práctica. Para obtener un equilibrado se necesita encontrar un orden de ejecución de las tareas llamado secuencia factible y asignar las tareas en dicho orden a las estaciones de trabajo de tal forma que la suma de las duraciones de las tareas en cualquier estación no exceda el tiempo de ciclo. La construcción de todas las secuencias factibles garantiza encontrar todos los posibles equilibrados y seleccionar el mejor. Pero debido al gran número de posibles secuencias, esto no es computacionalmente posible. Un procedimiento heurístico elimina este problema, construyendo una sola secuencia factible y, por tanto, un solo equilibrado. Esto se hace aplicando una o varias reglas relativamente sencillas con objeto de seleccionar la siguiente tarea para asignar a la estación de trabajo considerada. Para ilustrar un posible método heurístico, suponer que se da un tiempo de ciclo c=12 para el caso de la Tabla 1. El mínimo número de estaciones es 5. Considérese el heurístico basado en las siguientes reglas: 1. De entre todas las tareas programables escoger la primera con mayor número de sucesores (una tarea es programable si todavía no ha sido asignada y todas las que la preceden sí lo han sido) 2. Romper empates seleccionando entre todas las que tienen el mismo número de sucesores la tarea con mayor duración. La regla 1 hace que a largo plazo haya un mayor número de tareas programables, ofreciendo así una más amplia selección para seleccionar tareas. La regla 2 hace más fácil encajar tareas Autor: Alejandro García del Valle
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al final, cuando el tiempo disponible en una estación de trabajo va disminuyendo. A continuación se dan las tareas con el número de sucesores y sus duraciones:
Tarea Nº sucesores Duración
T1 9 6
T2 4 9
T3 7 4
T4 5 5
T5 3 4
T6 3 2
T7 4 3
T8 2 7
T9 3 3
T10 2 1
T11 1 10
T12 0 1
Aplicando las dos reglas anteriores se obtiene la siguiente solución:
E1
12
E2
T1, T3,T6
11
E3
9
T4, T7. T9
E4
T2
12
E5
T5, T8,T10
11
T11, T12
donde se ha utilizado la siguiente notación:
Nº estación Carga total asignada a la estación Tareas asignadas a la estación
para el caso anterior resulta HR=0´0833=8´33%. Este procedimiento obtiene un equilibrado óptimo para c=12, pues tiene 5 estaciones. Otro posible heurístico es el siguiente: 1. De entre todas las tareas programables, seleccionar la que tenga el mayor número de sucesores inmediatos. 2. Romper empates al azar. Basándonos en la siguiente tabla:
Tarea Nº sucesores inmediatos
T1
T2
T3
T4
T5
T6
T7
T8
T9
T10
T11
T12
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
y aplicando estas reglas se obtiene la siguiente solución:
E1 12 T1, T3, T6
E2 11 T4, T7, T9
E3
9 T2
E4 12 T5,T8,T10
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E5 11 T11, T12
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4. MÉTODO DE BÚSQUEDA DEL MEJOR BROTE Este método fue desarrollado por NEVIN en 1972 y es un ejemplo de método heurístico con fuerte parecido al método de ramificación y acotamiento (branch and bound). El procedimiento consiste en obtener un árbol en donde se van generando las diversas soluciones según las diferentes ramificaciones. Cada ramificación parte de un "brote" que hay que obtener. Un brote, llamado brote padre da lugar a brotes sucesores inmediatos. Yendo de un brote padre a un sucesor inmediato, un cierto número de nuevas se añaden al conjunto de tareas correspondientes al brote padre. Estas tareas constituyen una nueva estación de trabajo. El tiempo de ciclo es un dato de partida. Sea: DT DTA LSE
= = =
NEG
=
suma de las duraciones de todas las tareas suma de las duraciones de todas las tareas que han sido asignadas límite superior del número de estaciones permitidas en cualquier equilibrado número de estaciones generadas
Para nuestro caso: DT = 55. Puesto que conocemos que para un tiempo de ciclo igual a 12 existe una solución óptima para cinco estaciones, el método de búsqueda del mejor brote debería ser capaz de encontrar un equilibrado. Tomamos pues LSE = 5. Un brote se representa por una lista (T1, T2,..., Tj) indicando que las tareas T1 a Tj ya han sido asignadas a la estación s de trabajo. El problema asociado con este brote es asignar las otras N - j tareas a las restantes (LSE - NEG) estaciones . La búsqueda comienza con un brote B0 representado por una lista vacía, pues todavía no se ha asignado ninguna tarea. Se ha de construir entonces una lista de todas las tareas programables ordenadas según regla LPT (duraciones no crecientes). Moverse hacia abajo en la lista buscando una tarea cuya duración no exceda el tiempo disponible en la estación a la que actualmente se están asignando las tareas. Asignar esta tarea a la estación y marcarla con la etiqueta A1. Añadir a LISTA todas las tareas que son programables a causa de la asignación de la tarea etiquetada A1 y ordenar todas las tareas tras la etiquetada A1 según regla LPT. Continuar hacia abajo en LISTA hasta su final, añadiendo nuevas tareas a la estación; tareas que se etiquetarán como A2, A3, ..., Am. Este proceso acaba cuando no se pueden asignar más tareas a la estación debido al tiempo de ciclo. Las tareas A1, A2, A3, ..., Am se combinarán con las tareas del brote padre para originar el brote sucesor, supuesto que la estación de trabajo obtenida no es un subconjunto de otra estación de trabajo construida durante esta iteración (Una iteración se refiere a la ramificación de un brote) En esta situación: 1. Quitar la última tarea asignada Am de la última estación formada. Autor: Alejandro García del Valle
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2. Borrar de LISTA las tareas sucesoras de la tarea Am 3. Localizar en LISTA la posición de la tarea Am y continuar hacia abajo para generar una nueva estación de trabajo. Si la LISTA en el paso 3 está vacía, repetir los pasos 1 a 3 con la tarea A(m-1), y si ocurre lo mismo repetir con las tareas A(m-2), A(m-3) y así sucesivamente hasta alcanzar la tarea A1 y la LISTA vacía. En este caso no se pueden encontrar nuevas estaciones durante esta etapa, es decir, se han encontrado todos los sucesores inmediatos del brote padre. Ahora se debe escoger un nuevo brote para seguir una ramificación. Para hacer la selección se define el siguiente ratio:
− − Este ratio no es más que el tiempo medio de procesamiento que queda por asignar a las restantes estaciones. De todos los brotes aún no ramificados aquél con menor ratio es el seleccionado para utilizar como nuevo brote padre en la siguiente iteración. Nótese que este criterio de selección equivale a elegir el brote en que la suma de las duraciones de las nuevas tareas asignadas es mayor. Durante la búsqueda se deben efectuar dos tests:
−
≤
Si − y se ha encontrado una solución: asignar las restantes ta< reas a una estación de trabajo. − > , no se puede obtener una solución a lo largo de la actual ramificación. Si −
Vamos a aplicar este método al ejemplo de la Tabla 1.
LISTA T2 T1 T5
ti 9 6 4
Asignar T2 a la estación 1 Añadir T5 a LISTA
Quitar la tarea etiquetada A1 y todas sus sucesoras en LISTA
LISTA T1
ti 6
Asignar T1 a la estación 1 Añadir tareas T3 y T4 a LISTA
LISTA T1: A1
ti 6
Asignar T4 a la estación 1
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T4 T3
5 4
LISTA T1: A1 T4: A2 T3
ti 6 5 4
3-10
No aparece ninguna nueva tarea programable
No es posible otra asignación. Brote B2 ha sido generado.
Quitar tarea etiquetada A2 y sus sucesoras
LISTA T1: A1 T3
ti 6 4
LISTA T1: A1 T3: A2 T6
ti 6 4 2
LISTA T1: A1 T3: A2 T6: A3 T8
ti 6 4 2 7
Asignar T3 a la estación 1 Añadir T6 a LISTA
Asignar T6 a la estación 1 Añadir T8 a LISTA
No es posible otra asignación. Brote B3 ha sido generado
Quitar tarea etiquetada A3 y sus sucesoras. LISTA T1: A1 T3: A2
ti 64
LISTA vacía
en cuanto a tareas asigna-
bles
Quitar tarea etiquetada A2 y sus sucesoras. LISTA T1: A1
ti 6
LISTA vacía
en cuanto a tareas asigna-
bles Quitar tarea etiquetada A1 y sus sucesoras. La LISTA se queda completamente vacía. Por tanto, el brote B0 no puede generar más brotes.
Autor: Alejandro García del Valle
