03-PHipotesis-P3

UAP

Ing. de Sistemas – Ing. Industrial

Inferencia Estadística

PRUEBAS DE HIPÓTESIS ESTADÍSTICA Es un proceso mediante el cual, a partir de los valores de una variable obtenida de una muestra muestra aleatoria, aleatoria, se decide decide si se rechaza rechaza o no el supuesto supuesto que plantea plantea el investigador investigador acerca del parámetro bajo estudio, con cierto nivel de confianza.

Hipótesis Estadística: Es una una afirm afirmac ació ión, n, supo suposi sici ción ón o conj conjet etur ura a acer acerca ca de uno uno o más más pará paráme metr tros os.. Esta Esta suposición puede ser cierta o falsa. La aceptación de una hipótesis implica que los datos no proporcionan evidencia suficiente para refutarla. Las hipótesis estadísticas son de dos tipos:

Hipótesis Nula: H0 Es aquella por medio de la cual se hace una afirmación afirmación sobre un parámetro parámetro que se va a constratar con el resultado muestral.

Hipótesis Alternativa: H1 Es toda aquella hipótesis que difiere de la hipótesis nula, es decir, ofrece una alternativa, afirmando que la hipótesis nula es falsa. Esta hipótesis sobre la cual se enfoca la atención, es una aseveración sobre el mismo parámetro poblacional que se utiliza en l a hipótesis nula. El rechazo de la hipótesis nula implicará la aceptación de la hipótesis alternativa. Ejemplo: Se tiene un juicio legal donde se supone que el acusado es inocente en tanto no se presente suficiente evidencia para demostrar demostrar lo contrario. contrario. H0 : Es inocente. H1 : No es inocente.

Tipos de Error: En la decisión de aceptar o rechazar una hipótesis se pueden cometer dos tipos de error: Error tipo I y Error Tipo II. -

Error Tipo I.- Si se rechaza una hipótesis verdadera. Error Tipo II.- Si se acepta una hipótesis falsa.

Gladys Enríquez Mantilla

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UAP



Por lo tanto, existen dos posibles decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis, la que a su vez puede ser verdadera o falsa. Decisión Aceptar H0 Rechazar H0

•

H0: H0 Verdadera

H0 Falsa

Decisión Correcta

Error Tipo II

Error Tipo I

Decisión Correcta

La decisión es correcta cuando se acepta una hipótesis verdadera o cuando se rechaza una hipótesis falsa.

Ejemplo: El Decano de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Alas Peruanas tiene interés en contratar los servicios docentes docentes del ingeniero Reyes. El El Decano lo entrevista para conocer conocer su competenc competencia ia en la enseñanza. enseñanza. Si la hipótesis formulada formulada es "El ingeniero Reyes es competente para la enseñanza", explicar en qué condiciones el Decano cometería errores de tipo I y de tipo II , razonar las consecuencias de cada error y explicar cuál de los dos es más grave en este caso. H0: El ingeniero Reyes es competente para la enseñanza Decisión

H0 Verdadera

H0 Falsa

Se acepta que es competente cuando en realidad lo es

Se acepta que es competente cuando en realidad no lo es

Se contrata a una persona competente

Se contrata a una persona incompetente

Se dice que no es competente cuando en realidad sí lo es

Se dice que no es competente y en realidad no lo es

Se deja de contratar a una persona competente

Se deja de contratar a un incompetente

Aceptar H0

Rechazar H0

Prueba de d e Hipótesis Hipóte sis Unilateral Unil ateral:: Es aque aquella lla en la cual cual la Regi Región ón de Rech Rechaz azo o o zona zona crít crític ica a está está comp comple leta tame ment nte e comprendida en uno de los extremos de la distribución.

Prueba Unilateral a la Derecha (de la curva): Cuando la hipótesis alternativa de lo que se quiere probar hace mención a "mayor". La región de rechazo está a la derecha. H1 : Los salarios que paga una empresa son superiores a 1200


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UAP



Por lo tanto, existen dos posibles decisiones: aceptar o rechazar la hipótesis, la que a su vez puede ser verdadera o falsa. Decisión Aceptar H0 Rechazar H0

•

H0: H0 Verdadera

H0 Falsa

Decisión Correcta

Error Tipo II

Error Tipo I

Decisión Correcta

La decisión es correcta cuando se acepta una hipótesis verdadera o cuando se rechaza una hipótesis falsa.

Ejemplo: El Decano de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Alas Peruanas tiene interés en contratar los servicios docentes docentes del ingeniero Reyes. El El Decano lo entrevista para conocer conocer su competenc competencia ia en la enseñanza. enseñanza. Si la hipótesis formulada formulada es "El ingeniero Reyes es competente para la enseñanza", explicar en qué condiciones el Decano cometería errores de tipo I y de tipo II , razonar las consecuencias de cada error y explicar cuál de los dos es más grave en este caso. H0: El ingeniero Reyes es competente para la enseñanza Decisión

H0 Verdadera

H0 Falsa

Se acepta que es competente cuando en realidad lo es

Se acepta que es competente cuando en realidad no lo es

Se contrata a una persona competente

Se contrata a una persona incompetente

Se dice que no es competente cuando en realidad sí lo es

Se dice que no es competente y en realidad no lo es

Se deja de contratar a una persona competente

Se deja de contratar a un incompetente

Aceptar H0

Rechazar H0

Prueba de d e Hipótesis Hipóte sis Unilateral Unil ateral:: Es aque aquella lla en la cual cual la Regi Región ón de Rech Rechaz azo o o zona zona crít crític ica a está está comp comple leta tame ment nte e comprendida en uno de los extremos de la distribución.

Prueba Unilateral a la Derecha (de la curva): Cuando la hipótesis alternativa de lo que se quiere probar hace mención a "mayor". La región de rechazo está a la derecha. H1 : Los salarios que paga una empresa son superiores a 1200


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UAP



Prueba Unilateral a la Izquierda (de la curva): Cuando la hipótesis alternativa de lo que se quiere probar hace mención a "menor". La región de rechazo está a la izquierda. H1 : El producto A es de menor calidad que el producto B.

Prueba de Hipótesis Bilateral: Es aquella en la cual la región de rechazo o zona crítica está en ambos extremos de la distribución. La hipótesis alternativa de lo que se quiere probar hace mención a "diferente". H1 : Los salarios de la empresa A son diferentes diferentes a los los salarios de la empresa B.

Valor (es) Crítico (s): Son los números que definen las fronteras de la región de rechazo.

Nivel de significación: Es la máxima probabilidad que se especifica con el fin de hacer mínimo el error tipo I. Generalmente esta probabilidad se fija antes de escoger la muestra. El valor de α corresponde a una área bajo la curva, denominada región de rechazo o zona crítica.

unilateral

bilateral

La regió región n no somb sombrea reada da se deno denomi mina na Regi Región ón de Acep Acepta taci ción ón y corr corres espo pond nde e a la probabilidad 1 - α .


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PASOS PARA REALIZAR UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS: 1.-

Hipótesis:

Se form formul ulan an las las hipó hipóte tesi sis s nula nula y alte altern rnat ativ iva; a; lueg luego o se graf grafic ica a la hipó hipóte tesi sis s alternativa.

2.-

Valor crítico: Según el nivel de confianza dado, se ubica el valor crítico en la tabla.

3.-

Estadística de Prueba: Se calcula con los resultados obtenidos en la muestra.

4.-

Decisión: Si el valo valorr calc calcul ulad ado o de la esta estadí díst stic ica a de prue prueba ba pert perten enec ece e a la regi región ón de aceptación se acepta la hipótesis nula, caso contrario se rechaza y se acepta la hipótesis alternativa.

5.-

Conclusión: Se empiez empieza a siempr siempre e mencio mencionan nando do el nivel nivel de confia confianza nza con el cual cual se está está haciendo la afirmación, debe redactarse de acuerdo a los términos utilizados en la pregunta del problema.

EL VALOR P El valor P es el nivel de significancia más pequeño que conduce al rechazo de la hipótesis nula. Sirve de ayuda en la toma de decisiones pues casi todos los Software Estadísticos muestran el valor de P junto a la estadística de prueba.

Si P > α

⇒

aceptar H 0

Si P ≤ α

⇒

rechazar H 0 y aceptar H1

Cálculo del valor P:

S i H1 :

P

=

P (Z

S i H1 :

<

≤ ep

)

P

=

P (Z

S i H1 : ≠

>

> ep

) P = 2 P ( Z > ep )

Ejemplo: Una muestra aleatoria de 100 personas presenta una vida promedio de 71,8 años. Si la desviación estándar de la población es 8,9años. ¿Esto parece indicar que la vida media es mayor que 70 años?


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Inferencia Estadística Hipótesis:

Estadística de Prueba: ep

Valor P: P = P ( Z > 2,02 ) = 1 − P ( Z ≤ 2,02 ) = 1 − 0,97831 = 0,02169

H0 : µ = 70 H1 :

⇒

µ

> 70 z

=

x

− µ0

σ/

n

=

71,8 8,9 /

− 70 100

Como el valor de P = 0,02169 es menor que

= 2,02

α = 0,05

; se rechaza H 0 y se acepta

H1

PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA MEDIA POBLACIONAL La hipótesis en el caso de la media de una población µ, es importante porque presenta los métodos para decidir si se acepta o se rechaza una afirmación acerca de un valor específico de µ. x1 , x2 , ... , x n una muestra aleatoria tomada de una población normal con Sea media µ y varianza σ 2 , entonces:

H0 : H 1

µ ≥ µ0

µ

H0 :

:µ < µ0

H 1

:

zα

≤

µ0

H0 : µ = µ 0

µ > µ0

H 1

z1−α

t α , n −1

: µ ≠ µ0

− zα / 2

t1−α, n −1

−t α / 2 +t α / 2

, ,

+ zα / 2

1 n− 1 n−

Estadística de Prueba σ2

conocida : z =

desconocida: Si n< 30 : σ2

x − µ0 σ/

n t =

x − µ0 S/ n

Si n z =

30: x − µ0 S/ n

Ejemplo 1: Un fabricante sostiene que sus autos consumen en promedio 5,50 galones de gasolina cada 100 kilómetros. Un vendedor de la compañía comprueba el consumo de gasolina de 35 autos y encuentra que el consumo medio de ese grupo es de 5,65 galones cada 100 kilómetros, con una desviación estándar de 0,35 galones. Con estos datos y con una confianza del 99%, ¿Puede dudarse de lo sustentado por la compañía? Solución: n = 35

⇒

Z

1 −α = 0,99

x = 5,65


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UAP


Inferencia Estadística S = 0,35

1.-

Hipótesis:

H0 : µ ≤ 5,5 H1 : µ > 5,5

2.-

Valor Crítico: Z1 − α

3.-

=

Z0,99

5.-

2,32

Estadística de Prueba: Z =

4.-

=

Decisión: 2,54

∈

RR

⇒

x − µ0 S/

n

=

5,65 − 5,5 0,35 /

35

= 2,54

Rechazar H0

Conclusión: Con una confianza del 99%, podemos afirmar que existen pruebas suficientes como para dudar de lo sustentado por la compañía.

Ejemplo 2: Una máquina para enlatar conservas de pescado ha sido regulada para que el contenido de cada lata sea de 16 onzas. Usando un nivel de significancia del 5% ¿Diría usted que la máquina ha sido adecuadamente regulada, si una muestra de 20 latas dio un peso medio de 16,05 onzas y una desviación típica de 1,5 onzas? Solución: n = 20

⇒

t

x = 16 ,05

α= α/

0,05

2 = 0,025

S = 1,5 1.-

Hipótesis: H0 : µ = 16 H1 : µ ≠ 16

-2,093

+2,093

0,15 2.-

Valor Crítico:

t α / 2 , n − 1 = t0,0 2, 1 5=9 − 2,0 3.-

Estadística de Prueba:


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UAP



t = 4.-

Decisión: 0,15

5.-

x − µ0 16,05 − 16 = = 0,15 S/ n 1,5 / 20

∈

RA

Aceptar H0

⇒

Conclusión: Con una confianza del 95%, podemos afirmar que la máquina sí ha sido adecuadamente regulada.

PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA LA VARIANZA POBLACIONAL Sea x1 , x2 , ... , x n una muestra aleatoria seleccionada de una población normal con media µ y varianza σ 2 desconocidas, entonces:

H 0 : σ2 ≥ σ2 0

H 0 : σ2 ≤ σ2 0

H0 : σ2 = σ2 0

H1 : σ2 < σ2 0

H1 : σ2 > σ2 0

H1 : σ2 ≠ σ2 0

2

χ α ,

2

2

χ1−α, n −1

n− 1

χα/ 2 , n −1

2

χ1−α/ 2 , n −1

Estadística de prueba: 2

χ

=

( n − 1 ) S2

σ20

Ejemplo: Se cree que si la varianza de los puntajes de agresión de un grupo de estudiantes es superior a 0.30, entonces habrá que preocuparse por su conducta. Si en una muestra aleatoria de 10 estudiantes se encontró que el puntaje promedio de agresión fue 31.55 y la desviación estándar 0.48; ¿a qué conclusión llegarás con una confianza del 95%? Solución: x = 31 .55

n = 10

1.-

S = 0.48

1 −α = 0.95

Hipótesis: H0 : σ2 ≤ 0.3 H1 : σ2 > 0.3 2

2.-

Valor Crítico:

3.-


2

χ 1− α, n−1 = χ 0.95 , 9 = 16.9


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UAP


Inferencia Estadística 2

χ

=

( n −1) S 2 2

=

9 × 0.48 2

σ0 4.-

Decisión:

5.-

Conclusión:

6.9

∈

RA

⇒

0.3

= 6.9

Aceptar H0

Con una confianza del 95%, podemos concluir que no será necesario preocuparse por la conducta de dichos jóvenes ya la varianza de los puntajes de agresión no es superior a 0.30.


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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA PROPORCIÓN POBLACIONAL H0 : P

≥

P0

H0 : P

≤

P0

H0 : P

=

P0

H1 : P

<

P0

H1 : P

>

P0

H1 : P

≠

P0

Zα

Z1−α

p − P0 P0 × Q0

Z =

Estadística de prueba

± Zα / 2

n

Ejemplo: Antonio le dice a Luis que al menos un 15% de los alumnos de la universidad, tienen celular. Como discrepan, Luis realiza una encuesta aleatoria a 200 compañeros de la universidad, y encuentra que 18 de ellos tienen celular. A un nivel de significación del 1%, ¿cuál de los dos tiene estadísticamente la razón? ¿Por qué? Solución: p

1.-

2.-

=

18 200

= 0.09

α = 0.01

Hipótesis:

Ho : P

≥ 0.15

H1 : P

< 0.15

Valor crítico: zα = z0.01 = − 2.33

3.-


z

=

− Po = Po × Qo

p

n 4.-

− 0.15 = − 2.38 0.15 × 0.85

0.09

200

Decisión:

z = − 2.38 ∈ RR ⇒ Rechazar H o y aceptar H1 5.-

Conclusión: Con una confianza del 99%, podemos concluir que estadísticamente Luis tiene la razón.


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UAP



PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE VARIANZAS POBLACIONALES

Sean: x1 , x2 , ... , x n1

N µ1 , σ12

y,

N µ2 , σ2 2

una muestra aleatoria extraída de una población normal

y1 , y2 , ... , y n 2

otra muestra aleatoria extraída de una población

, ambas poblaciones independientes.

H 0 : σ12 ≥ σ2 2

H 0 : σ12 ≤ σ2 2

H1 : σ12 < σ22

H 0 : σ12 = σ2 2

H1 : σ12 > σ2 2

H1 : σ12 ≠ σ2 2

F1−α, v , v 1 2

Fα, v , v 1 2

Fα/ 2 , v , v 1 2

F1−α/ 2 , v , v 1 2

Estadística de prueba: F

v2 = n 2 − 1

=

y

S12

S22 v1 = n1 − 1

Ejemplo: Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas producidas por dos compañías cinematográficas: Compañía: 1 2

: :

102 81

86 165

Tiempo (minutos) 98 109 92 97 134 92

87

114

Usando un nivel de significancia del 10%, ¿Existe diferencia entre las varianzas para los tiempos de duración de las películas producidas por ambas compañías?


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UAP



Solución: Compañía 1:

Compañía 2: n2 = 7

n1 = 5 x1 2 S1

1.-

= 97 ,4 =

α=

/ 2

α

x2 = 110 S2 2

78,80

= 913,33

0,10

=

0,05

1 −α/ 2 = 0,95

Hipótesis: 2 2 H0 : σ1 = σ2 2 H1 : σ1 ≠ σ2 2

2.-

Valores Críticos:

Fα / 2 ,

v1 , v2

F1− α / 2 ,

3.-

= F0,05 , =

v1 , v2

=

4,53

Estadística de Prueba: S12 S2 2

=

78,80 913,33

= 0,086

Decisión: 0,086 ∈ RR

5.-

= 0,16

F0,95 , 4 , 6

F = 4.-

4 , 6

⇒

Rechazar H0

Conclusión: Al 90% de confianza, podemos afirmar que sí existe diferencia significativa entre las varianzas para los tiempos de duración de las películas producidas por ambas compañías?


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PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS POBLACIONALES 1.-

Cuando las Varianzas son conocidas: Sean x1 , x2 , ... , x n1 una muestra aleatoria seleccionada de una población normal N

µ1 , σ12

y

y1 , y2 , ... , y n 2

una población N µ2 , σ2 donde 2 poblaciones son independientes.

H0 :

µ1

≥

µ2

H0 :

H1 : µ1 < µ2

µ1

≤

2

otra muestra aleatoria extraída de y

σ1

2

σ2

µ2

H0 :

H1 : µ1 > µ2

α

Estadística de prueba:

z

x

=

1 2 σ 1

n1

x

−

− zα / 2

+ zα / 2

2 σ

+

µ1 = µ 2

H1 : µ1 ≠ µ2

z1−α

z

son conocidas y ambas

2 2

n2

Ejemplo: En la facultad de Ingeniería de Sistemas de una universidad, se seleccionó una muestra aleatoria de 20 estudiantes (grupo A) de una población de estudiantes pertenecientes a familias en que ambos padres trabajan. Se seleccionó también una muestra aleatoria de 16 estudiantes (grupo B) entre aquellos estudiantes que pertenecen a familias en que solamente el padre trabaja. El análisis de los puntajes de rendimiento académico de los dos grupos dio los siguientes resultados: Grupo A B

media 14 17

La experiencia muestra que las poblaciones de puntajes para ambos grupos están distribuidas en forma aproximadamente normal, con varianzas 36 y 20 respectivamente. ¿Se puede concluir con estos datos, que la media de la población de la que se seleccionó el grupo B es mayor a la media de la población de l a que se seleccionó el grupo A? Solución: 1.-

α = 0,05

Hipótesis: H0 : µA ≥ µB H1 : µA < µB


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UAP



2.-

Valor Crítico:

Zα

3.-

= Z0,05

= −1,65


Z =

x1 − x2 2 σ1

n1 4.-

5.-

Decisión: -1,72

∈

RR

⇒

2 σ2

+

14 − 17

=

36 20 + 20 16

n2

= − 1,72

Rechazar H0

Conclusión: Con una confianza del 95%, se puede concluir que los puntajes promedio de los estudiantes que pertenecen a familias en que ambos padres trabajan son inferiores a aquellos en que sólo el padre trabaja.

2.-

Cuando las Varianzas son desconocidas: Sean x1 , x2 , ... , x n1 una muestra aleatoria seleccionada de una población normal N

µ1 , σ12

y1 , y2 , ... , y n 2

y

una población N µ2 , σ2 2

donde

2

σ1

y

una muestra aleatoria extraída de 2

σ2

son desconocidas y además

ambas poblaciones son independientes.

a) H0 :

Si

µ1

n1 + n2 ≥ 30

≥

:

µ2

H0 :

H1 : µ1 < µ2

µ1

z1−α

z

x =

1 2 S1

n1


µ2

H1 : µ1 > µ2

zα


≤

−

+

H0 :

µ1 = µ 2

H1 : µ1 ≠ µ2

− zα / 2

+ zα / 2

x

2 S2 2

n2

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UAP



Ejemplo: Una compañía fabricante de chips de memoria RAM para computadora, está en proceso de decidir si sustituye su línea de ensamblaje semiautomática, que tiene actualmente por otra completamente automatizada. Como le gustaría saber si debe actualizar su línea de ensamblado, ha reunido algunos datos sobre pruebas acerca de la producción por hora de chips, esos datos se resumen en la siguiente tabla: Línea

media

Desv.Est.

198 206

32 29

Semiautomática Automática

ni 150 200

Establezca y pruebe, con un nivel de significancia de 0,01, la hipótesis apropiada para ayudar a tomar una decisión a dicha compañía. Solución: 1.-

Hipótesis:

H0 : µ1 ≥ µ2 H1 : µ1 < µ2

2.-

Valor Crítico: Zα

3.-

= Z0,01 = − 2,33


Z

x1

=

S12 n1

4.-

+

x2

=

198

S2 2

32

n2

150

−

2

206 2

+

=

−

2,40

29

200

Decisión: -2,40

5.-

−

∈

RR

⇒

Rechazar H0

Conclusión: Con una confianza del 95%, se recomienda a la compañía sustituir su línea de ensamblaje semiautomática por aquella completamente automatizada.


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UAP



b)

Si

:

n1 + n2 < 30

varianzas desconocidas pero se supone iguales

(σ = σ 2 1

2 2

H0 :

µ1

≥

µ2

H0 :

H1 : µ1 < µ2

µ1

µ2

≤

H0 :

H1 : µ1 > µ2

t1 , n1

t α , n + n −2 1 2

−α

+

µ1 = µ 2

H1 : µ1 ≠ µ2

± tα/ 2 , n

n2 − 2

1 + n 2 −2


t =

x

1

− x2

(n1 − 1 )S12

+ (n 2 − 1)S22 n1 + n 2 − 2

 1  + n  1

  n 2   1

Ejemplo: Una empresa grande de corretaje de acciones desea determinar qué tanto éxito han tenido sus nuevos ejecutivos de cuenta en la consecución de clientes. Después de haber terminado su entrenamiento, los nuevos ejecutivos pasan varias semanas haciendo llamadas a posibles clientes, tratando de conseguir prospectos para abrir cuentas con las empresas. Los datos siguientes dan el número de cuentas nuevas que fueron abiertas durante las primeras dos semanas por diez ejecutivas y ocho ejecutivos de cuenta escogidos aleatoriamente. Ejecutivas Ejecutivos

: :

12 13

11 10

14 11

13 12

13 13

14 12

13 10

12 12

14

12

A un nivel del 5%, ¿Parece que las mujeres son más efectivas que los hombres para conseguir nuevas cuentas? Solución: 2

σ1

y

2

no se conocen.

18

<

σ2

n1 + n2

=

30

t

⇒

Ejecutivas: n1 = 10

Ejecutivos: n2 = 8

x1 = 12 .8

x2

2 S1

= 1.07

⇒

S

1

=1.0 3

¿Se puede suponer que

2

2

α/2

= 0.025

1−α/2 = 0.975

= 11 .6

S2 2 = 1.41 S

α = 0.05

⇒

=1.2

2?

σ1 = σ2


72

UAP



S12

S12

S2 2

≤

F1− α/2 , v , v 1

σ12 σ2 2

Fα/2 , v , v 1

2

1.07 1.41

σ12 ≤ ≤ σ2 2

F0.975 , 9 , 7

   

σ12 σ2 2

2

1.07 1.41 F0.025 , 9 , 7  



0.238

4.82

0.16 ≤

≤

S2 2

≤ 3.19

1 ∈IC

⇒

2 σ1

2

= σ2

Entonces: 1.-

2.-

Hipótesis:

H 0 : μ1

≤ μ2

H1 : μ1

> μ2

Valor Crítico: t1− α , n

1

3.-

12,8 9 × 1,03

− 11,6

2

2

1  + 7 × 1,2  1 +   16  10 8 

= 2,28

Decisión: 2,28

5.-

= t 0,95 , 16 = 1,746


t =

4.-

+ n2 − 2

∈

RR

⇒

Rechazar H0

Conclusión: Con una confianza del 95%, se puede aceptar que las mujeres son más efectivas.


73

UAP



c)

Si

n1 + n2 < 30

:

varianzas desconocidas pero se supone diferentes

(σ ≠ σ 2 1

2 2

H0 :

µ1

≥

µ2

H0 :

H1 : µ1 < µ2

µ1

≤

µ2

H0 :

=

µ2

H1 : µ ≠ µ 1 2

H1 : µ1 > µ2

tα , g

µ1

t1−α , g

−

t

α

/ 2, g

+ tα / 2 , g

Estadística de prueba: 2

t

x =

1 2 S1

−

+

n1

 S12 S22   +   n n2  =  21 2  S22   S12        n  1  +  n2  n1 − 1 n2 − 1

x

2 S2 2

g

n2

* El valor de g, siempre se aproxima al menor entero.

Ejemplo: Una compañía quiere probar la resistencia de dos tipos de vigas de acero, A y B. Para esto, toma una muestra de 16 vigas del tipo A y una muestra de 10 vigas del tipo B, obteniendo los siguientes resultados: Tipo A B

media 70,5 84,3

varianza 81,6 280,5

¿La resistencia media de los dos tipos de vigas es la misma? Solución: nA + nB = 26 < 30

⇒

α = 0.05

t

α/2

= 0.025

1−α/2 = 0.975

¿Se puede suponer que

2 2 σA = σB

?

S2 A

S2 A

S2 B F1− α/2 , v , v 1


2

≤

σ2 A σ2 B

≤

S2 B Fα/2 , v , v 1

2

74

UAP



81.6 280.5 F0.975 , 15 , 9

σ2 A ≤ ≤ 2 σB

81.6 280.5 F0.025 , 15 , 9

   

 

3.77

0.08 ≤



0.32

σ2 A σ2 B

≤ 0.91

1 ∉ IC

⇒

σ2 A

≠ σ2 B

Entonces: 1.-

Hipótesis:

µA = µB : µA ≠ µB

H0 : H1

2.-

-2,179

+2,179

Valor Crítico: ± t α/ 2 , g

= t 0,025 , 12 = ± 2,179

2

2  S2A S2B  81 , 6 280 , 5     +    n A + nB  16 10     g = = =1 2 2 2 2 2 2  SA   SB   81,6   280,5           n A   nB  16  10      +   + 15 9 nA − 1 nB − 1

3.-

70,5 81,6 16

−

84,3

+

280,5 10

= − 2,4

Decisión: −2,4 ∈ RR

5.-

g = 12


t =

4.-

⇒

⇒

Rechazar H0

Conclusión: Con una confianza del 95% se puede concluir que la resistencia media de los dos tipos de vigas no es la misma.


75

UAP



PRUEBA DE HIPÓTESIS PARA LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES H0 : P1

≥

P2

H0 : P1 ≤ P2

H0 : P1

=

P2

H1 : P1

<

P2

H1 : P1

H1 : P1

≠

P2

>

P2

Z1 − α

Zα

Z Estadística de prueba:

p1

=

p1 × q1 n1

± Z1− α / 2

− p2 +

p2

× q2 n2

Ejemplo: Un psicólogo cree que un programa de rehabilitación va a reducir la reincidencia entre los prisioneros que se dejan en libertad. Se escogieron al azar 100 prisioneros para participar durante un año en el programa de rehabilitación. Otros 100 se escogieron, también al azar, para servir de grupo de control. Se hizo un seguimiento a los dos grupos durante 5 años. Al término de este periodo, 22 personas del grupo experimental y 45 del grupo control habían sido halladas nuevamente culpables, ¿se justifica la tesis del consejero? Solución: Grupo experimental n1 = 100 p1

q1

1.-

22

=

100

=

Grupo control n2 = 100

0.22

p2

= 0.78

q2

=

25

=

100

1 − α = 0.95 α = 0.05

0.25

= 0.75

Hipótesis:

H0 : P1

≥

P2

H1 : P1

<

P2 -1.65

Zα = Z0.05 = -1.65

2.-

Valor Crítico:

3.-

Estadística de Prueba: z

=

0.22 0.22

× 0.78

100

4.-

Decisión:

5.-

Conclusión:

z = −2.4 ∈RR

− 0.25 +

0.25

× 0.75

= −2.4

100 ⇒

Rechazar H0

Con una confianza del 95%, el psicólogo llegará a la conclusión de que existe diferencia significativa entre los puntajes de autoestima de dos grupos de niños.


76

UAP



PRÁCTICA Nº 3 Pruebas de Hipótesis 1.-

Se desea comparar la efectividad de dos métodos de enseñanza de la programación. El método 1 que es la instrucción directa a través de las instrucciones de la computadora y el método 2 que implica la atención personal de un instructor y alguna experiencia directa trabajando con la computadora. Se toman muestras al azar de estudiantes instruidos por ambos métodos, los estudiantes obtuvieron las siguientes calificaciones: Método 1 Método 2 a)

: :

71 90

75 80

65 86

69 84

73 85

68 80

74

70

Se afirma que en el método 2 el promedio aritmético es más representativo. ¿Existen evidencias suficientes para aceptar la afirmación como válida. Tenga en cuenta que sería desastroso si se comete error tipo I. * ep = 0,76

aceptar Ho b)

Considerando que durante los últimos años se ha venido obteniendo una varianza de 18; ¿se puede afirmar que el verdadero promedio del método 1 es * ep = -0,91 P = superior a 72?.

0,804 2.-

Un instituto de investigación informática quiere comparar estadísticamente dos tipos de microprocesadores. Se selecciona al azar una muestra de 20 ordenadores de una población de ordenadores comparables. A 12 de ellos se les instala el primer tipo de microprocesador y a los 8 restantes el segundo tipo. Los resultados del tiempo de ejecución de una determinada tarea son los siguientes: Tipo I II

ni 12 8

media

Desv. Estándar

4,3 3,9

0,9 1,3

¿Puede afirmarse que los microprocesadores del primer tipo significativamente mejores en el tiempo de ejecución que los del segundo?

* No

3.-

ep = 0,82

son

P = 0,788

El gerente de operaciones de computadora de una compañía grande desea estudiar el uso de computadoras en dos departamentos de la compañía, el departamento de contabilidad y el departamento de investigación. Se seleccionaron una muestra aleatoria de cinco tareas del departamento de contabilidad realizados durante la semana anterior, y seis trabajos del departamento de investigación realizados, también, durante esa semana, y se registró el tiempo de procesamiento (en segundos) para cada trabajo con los resultados siguientes: Departamento Contabilidad Investigación

Tiempo de procesamiento (seg.) 9 3 8 7 12 4 13 10 9 9

6

¿Existe evidencia de una diferencia en la dispersión del tiempo de procesamiento * ep = 1,08 aceptar entre los dos departamentos?

Ho 4.-

En una fábrica de conservas de frutas se desea verificar si las latas tienen un peso promedio inferior a 1 kg. Se sabe que el tamaño de la fruta puede introducir una


77

UAP


Inferencia Estadística variación en los pesos de las latas de manera que éstos se distribuyan normalmente con una desviación estándar de 0.08. Se toma una muestra de 100 latas en la que se determina los pesos, resultando un promedio de 980 gr. Se desea saber si la muestra comprueba tal afirmación. Utilizar un nivel de significación del 2.5%.

5.-

6.-

Se somete a un Ingeniero de Sistemas a unos tests psicológicos para determinar si es o no emocionalmente apto para trabajar como docente en la universidad Alas Peruanas. a) Si la universidad formula la hipótesis de que el ingeniero es apto: - formular la hipótesis alternativa. - ¿cuáles son las consecuencias de un error tipo I y de un error de tipo II? b) Si la hipótesis es que el ingeniero no es apto: - formular la hipótesis alternativa. - ¿cuáles son las consecuencias de un error tipo I y de uno de tipo II ? El tiempo de respuesta de computadora se define como el tiempo que un usuario debe esperar mientras la computadora accede a información en el disco. Suponga que un centro de datos desea comparar los tiempos de respuesta medios de sus dos unidades de disco de computadora. Si µ 1 es el tiempo de respuesta medio del disco 1 y µ 2 es el tiempo de respuesta medio del disco 2, queremos detectar una diferencia entre µ 1 y µ 2, si es que existe. Se seleccionaron muestras aleatorias independientes de 13 tiempos de respuesta para el disco 1 y 15 tiempos de respuesta para el disco 2. Los datos (registrados en milisegundos), se presentan a continuación.

Disco 1

a)

59 73 70 65 61 19 62 84 54 38 73 53 58 23 47 96 48 Con una confianza del 90%, ¿podemos afirmar que entre los verdaderos promedios de los discos?

= 0,078

b)

Disco 2

63 40 34 48 60 55 41 44 53 58 39 no existe diferencia

* ep = 1,89

P

Si tuvieras que recomendar que no compren uno de los discos, ¿cuál sería? * Disco ¿Por qué?

1 7.-

Una encuesta fue aplicada entre mujeres residentes en cierta comunidad para determinar sus actitudes ante ciertos problemas sociales. De una población de 5000 entrevistadas, el investigador seleccionó una muestra al azar de 225 mujeres, para entrevistarlas personalmente. Una de las preguntas que se hicieron durante la entrevista decía: ¿cree usted que las madres de los niños en edad preescolar deben trabajar fuera del hogar? 75 de las 225 contestaron negativamente. Con un nivel del 90%, ¿se puede concluir que más del 35% cree que las madres de los niños en edad preescolar no deben trabajar fuera del hogar?

* ep = -0.63

8.-

Aceptar Ho

Su supervisor le ha encargado elegir nuevas máquinas de fax para las oficinas de su empresa en todo el mundo. Tiene que considerar varios factores, entre ellos la variabilidad del tiempo de transmisión. Dos modelos son similares en muchos aspectos importantes, pero uno cuesta más que el otro. Para establecer una comparación de variabilidad en el tiempo que se tarda en transmitir un documento se eligen 10 máquinas de fax del tipo primero y se transmite el mismo documento. La desviación típica del tiempo de transmisión es de 2,7 minutos. Se someten 16 máquinas del segundo tipo a una prueba similar y se obtiene una desviación típica de 3,4 minutos. Al nivel del 10%. Se tomó la decisión de elegir las máquinas del tipo 1, ¿es correcta esta decisión?


78

UAP



9.-

El Departamento de Control de Calidad de una empresa que fabrica computadoras estima que si la longitud de una determinada pieza presenta una desviación estándar mayor que 1,8 irremediablemente se producirá la inutilización de una plaqueta en el término de 6 meses de uso. Una muestra aleatoria de 15 piezas arrojó una longitud media de 5 mm. Con una varianza de 1,44. ¿Qué conclusiones puede obtener el Departamento de Control de Calidad de la empresa en cuanto a la calidad de las piezas analizadas? * ep = 6,22

aceptar Ho

10.-

Muchos paquetes de software para computadora utilizan interfaces con el usuario controladas por menús a fin de mejorar la "amabilidad con el usuario". Una característica que puede incorporarse en la interfaz es una presentación de menús apilados. Cada vez que se selecciona una opción de un menú, aparece un submenú superpuesto parcialmente al menú original, creando así una serie de menús "apilados". Se realizó un estudio para determinar los efectos de la presencia o ausencia de una estructura de menús apilados sobre el tiempo de búsqueda. Se colocó a 22 sujetos aleatoriamente en uno de dos grupos, y a cada uno se le pidió buscar una opción en particular en un paquete de software controlado por menús. En el grupo experimental (con 11 sujetos) se utilizó el formato de menús apilados; en el grupo control, también formado por 11 sujetos, se exhibió únicamente el menú actual. Los tiempos de búsqueda medios para los dos grupos fueron 11,02 segundos y 11,07 segundos, respectivamente; mientras que las desviaciones estándar fueron 3,08 y 4,02. ¿El tiempo medio necesario para encontrar una opción objetivo difiere para l as dos presentaciones de menús?

* ep = -0,03

11.-

P = 0,974

Un analista de sistemas está probando la posibilidad de usar un nuevo sistema de computadoras. El analista cambiará el procesamiento al nuevo sistema sólo si hay pruebas de que el nuevo sistema usa menos tiempo en el procesamiento que el sistema antiguo. A fin de tomar una decisión, se seleccionaron dos muestras aleatorias de trabajos y se registró el tiempo de procesamiento en segundos, en los dos sistemas, con los siguientes resultados: Antigu o Nuevo

:

5

12

6

7

14

7

8

15

:

7

6

9

8

7

6

7

8

Al nivel de 0,01; ¿adoptará el nuevo sistema para el procesamiento?

* ep = 1,42

12.-

P = 0,097

Una profesora de computación está interesada en estudiar la cantidad de tiempo que le llevaría a los estudiantes inscritos en el curso de Introducción a la Computación escribir y correr un programa en C++. La profesora le contrata a usted para analizar los siguientes resultados (en minutos) obtenidos de una muestra aleatoria de nueve estudiantes: 10 13 9 15 12 13 11 13 12 Ella le pide comparar los resultados de este grupo de estudiantes con los resultados obtenidos en una muestra de once estudiantes avanzados de computación, con el propósito de determinar si existe evidencia de que los estudiantes avanzados pueden escribir el programa en C++ en menos tiempo (en promedio) que los estudiantes del curso introductorio. La media de la muestra de los estudiantes avanzados es de 8,5 minutos y la desviación estándar de la muestra es de 2,0 minutos.

* ep = 4,07

13.-

P = 0,00

Se diseño un estudio para comparar las actitudes de dos grupos de estudiantes hacia las computadoras. El grupo 1 había tomado con anterioridad un curso de métodos estadísticos que implicó una interacción significativa con la computadora


79

UAP


Inferencia Estadística a través de la utilización de paquetes estadísticos. El grupo 2 también tomó un curso de métodos estadísticos, pero sin computación. Las actitudes de los estudiantes se midieron aplicando el Computer Anxiety Index (de temor hacia las computadoras). Los resultados fueron:

Grupo 1 (con computación) 2 (sin computación)

ni 10 12

media

Desv. Estándar

60,3 67,2

7,5 2,1

¿Indican estos datos que el resultado promedio de quienes tuvieron experiencia computacional fue significativamente menor que el de aquellos sin tal experiencia?

* ep = -2,82

14.-

La empresa Megatec, una compañía fabricante de chips de memoria RAM para computadoras, está en proceso de decidir si sustituye su línea de ensamblaje semiautomática, que tiene actualmente, por otra completamente automatizada. Como le gustaría saber si debe actualizar su línea de ensamblado, Megatec ha reunido algunos datos sobre pruebas acerca de la producción por hora de chips, esos datos son los siguientes: Línea Semiautomática Automática

media 198 206

Desv. Estándar 32 19

n 16 12

Ayuda a Megatec a tomar una decisión altamente significativa.

* ep = -0,76

15.-

P = 0,009

aceptar Ho

Dos empresas competidoras (A y B) en un mismo sector han puesto en marcha, casi simultáneamente, páginas de Internet para la venta electrónica. Se han elegido al azar ocho clientes que han visitado la página A y, de manera independiente, otros ocho que han visitado la página B y se ha medido el tiempo (en minutos) de la duración de la visita de cada cliente. Los resultados fueron los siguientes: Página A Página B

2,3 1,3

3,5 2,3

4,2 4,4

3,2 3,7

4,4 2,8

2,1 6,5

1,6 3,6

5,3 4,5

¿Proporcionan estos datos suficiente evidencia estadística, al nivel del 10%, para afirmar que los tiempos de duración de las visitas en ambas páginas son * ep = 0,65 igualmente homogéneas?

aceptar Ho

16.-

Una encuesta realizada a 64 empleados de una fábrica, concluyó que el tiempo medio de duración de un empleado en la misma era de 6.5 años con una desviación típica de 4. ¿Sirve esta información para aceptar, con un nivel de significación del 5%, que el tiempo medio de empleo en esa fábrica no es superior a 6 años?

17-

Si la hipótesis es que un puente resiste con seguridad un tráfico de 50 toneladas. a) b)

18.-

Explicar en qué consisten los errores tipo I y tipo II. ¿Cuál de estos errores preferiría cometer? ¿por qué?

Una compañía supone que una llamada telefónica logra acelerar más que una carta el cobro de cuentas morosas. Dos grupos de esos clientes fueron contactados, uno por cada método, y se registró el tiempo transcurrido entre el envío de la carta o llamada telefónica y la recepción del pago:


80

UAP


Inferencia Estadística Método aplicado Carta Llamada telefónica

10 7

8 4

9 5

Días para cobrar 11 11 14 4 8 6

10 9

Cuando α = 0,025, ¿Debe la compañía concluir que las cuentas morosas se cobran más rápidamente con llamadas telefónicas que enviando cartas?

* ep = 4.16

19.-

P = 0,001

En un gran supermercado, el tiempo de espera de los clientes para comprar se distribuyen aproximadamente en forma normal, con una desviación estándar de 2.5 minutos. Una muestra de 24 clientes perdiendo tiempo produjo una media de 10.6 minutos. Es ésta suficiente evidencia para rechazar la afirmación del supermercado de que el tiempo de compras de sus clientes promedia en no más de 8 minutos? Usar un nivel de 0.02.


81

UAP



20.-

La consistencia en el sabor del vino es una cualidad importante para mantener la lealtad de la clientela. La variabilidad en el sabor de un vino dado puede verse afectado por la longitud del periodo de fermentación, variación en los ingredientes y diferencias en el equipo de fermentación. Un fabricante con dos líneas de producción, 1 y 2, ha hecho ligeros cambios a la línea 2 buscando reducir la variabilidad. Se toman al azar muestras de 21 vasos de vino de cada línea de producción y se determina el índice de sabor con un instrumento apropiado, obteniéndose: Línea de Producción 1 2

promedio 4,2 1,82

varianza 4,0 0,79

¿Presentan estos datos suficiente evidencia para indicar que existe diferencia entre la variabilidad del proceso A y la variabilidad del proceso B?

* ep = 5,06

21.-

En una ciudad se utilizan ampolletas de la marca A durante años pero se contempla cambio a la nueva marca B debido a su mejor precio. Los vendedores de la marca B afirman que su producto es tan bueno como el de la marca A pero es más uniforme. A fin de docimar la afirmación de los vendedores de la marca B con respecto a la uniformidad, se probaron 16 de tales ampolletas, que fueron adquiridas en los establecimientos del ramo, obteniéndose una desviación estándar de 80 horas en el tiempo de encendido mientras que una muestra aleatoria de 25 ampolletas de la marca A, ha mostrado una desviación estándar de 90 horas. ¿Se puede afirmar que ambas poblaciones son homocedásticas?

* ep = 1,27

22.-

aceptar Ho

El director de una editorial de libros de texto debe decidir si publicará un texto escrito por un catedrático particular. Con base en los costos de publicación, el director ha llegado a la siguiente conclusión. Si hay pruebas de que más del 15% de las instituciones en el país considerarían la adopción de este libro de texto, entonces se publicará. Si no se puede probar, no se publicará. Se seleccionará una muestra aleatoria de 100 instituciones de nivel profesional. a) b) c)

23.-

rechazar Ho

Explique el significado de los errores tipos I y II. ¿Cuál error sería más importante para el director? ¿por qué? ¿Cuál error sería más importante para el catedrático? ¿por qué?

Para juzgar ciertas características de seguridad de un automóvil, un ingeniero debe saber si el tiempo de reacción del conductor ante una situación de emergencia determinada tiene una desviación estándar de 0,010 segundos o si ésta es mayor que 0,010 segundos. ¿Qué puede concluir en el nivel 0,05 de significancia, si obtiene una desviación estándar de 0,014 seg. para una muestra aleatoria de tamaño 15?

* ep = 27.44 rechazar Ho

24.-

Dos técnicas de ventas son aplicadas por dos grupos de vendedores; la técnica A, por 12 vendedores y la técnica B, por 16 vendedores. El gerente de ventas piensa en el futuro aplicar sólo la técnica B pues cree que le dará mejores resultados. Al final de un mes, se obtuvieron los siguientes resultados: Técnica A B

promedio 78 82

varianza 45 70

¿Tiene razón el gerente? Obtenga una conclusión altamente significativa.

* ep = -1,36


aceptar Ho

82

UAP



25.-

Una empresa comercializa una bebida refrescante, en un envase en cuya etiqueta se puede leer: “contenido 250 cc”. El Departamento de Consumo, toma aleatoriamente 36 envases y estudia el contenido medio, obteniendo una media de 234 cc y una desviación estándar de 18 cc. ¿Puede afirmarse con un 1% de significación que se está estafando al público?

26.-

Una persona quiere tener desconectado su teléfono, si el promedio de llamadas que hace al día es inferior a 2. Elige aleatoriamente ocho días y anota el número de llamadas, obteniendo los siguientes resultados: 0 2 1 1 2 2 1 1 ¿Debería retirar el teléfono? Obtenga una conclusión altamente significativa.

* ep = -2,988

27.-

aceptar Ho

Un fabricante de cierto tipo de acero especial afirma que su producto tiene un severo servicio de control de calidad, que se refleja en la desviación estándar de la resistencia a la tensión, la cual no es mayor que 4,5 kg por cm 2. Un comprador, deseando verificar la veracidad de la afirmación, tomó una muestra de 11 varillas y los sometió a una prueba de tensión. Los resultados fueron los siguientes: x = 263 y S2 = 48 . ¿Estos resultados traen alguna evidencia en contra de la * ep = 23,7 rechazar afirmación del fabricante?

Ho

28.-

El director de presupuestos de una empresa deseaba determinar si había alguna diferencia en las cuentas de gastos de representación de los ejecutivos de dos departamentos de la empresa. Se seleccionó una muestra aleatoria de 11 cuentas de gastos del departamento 1 y 11 cuentas de gastos del departamento 2. Los resultados fueron: Departamento 1 2

media 33 000 27 200

varianza 27 900 9 000

Al nivel de significancia de 0,01, ¿Es más alto el gasto de la representación promedio en el departamento 1? * ep = 100,14

P = 0,00

29.-

Se sabe que la varianza de los puntajes de CI no verbal en una población de niños es 134. Una muestra aleatoria de diez niños de la misma edad pero de otra población arrojó una varianza muestral de 289. Con base en estos datos; con un nivel del 5%, ¿podríamos concluir que la población de la cual se tomó la muestra es más variable respecto de los puntajes de CI no verbal que la otra población?. * ep = 19,41 ¿Qué suposiciones hay que hacer?

rechazar Ho

30.-

Se espera que dos operadores produzcan en promedio, el mismo número de unidades terminadas en el mismo tiempo. Los siguientes datos son los números de unidades terminadas para ambos trabajadores en una semana de trabajo. Operador 1 : 12 11 18 16 13 Operador 2 : 14 18 18 17 16 Si se supone que el número de unidades terminadas diariamente por los dos trabajadores son variables aleatorias independientes con distribución normal. ¿Podemos afirmar que el operador 2 es más uniforme con respecto a su producción?

* ep = 3,04

31.-

aceptar Ho

La directora de una agencia publicitaria está preocupada por la efectividad de un


83

UAP


Inferencia Estadística anuncio en televisión. ¿Qué hipótesis nula está probando si comete: a) Un error tipo I cuando afirma erróneamente que el comercial es efectivo? b) Un error tipo II cuando afirma erróneamente que el comercial es efectivo?

32.-

Una empresa ha adoptado la siguiente regla de decisión con respecto a la introducción de un nuevo producto: si el consumo promedio mensual es de 300 onzas o más, entrará en el mercado de prueba. Una prueba de colocación del producto en 80 hogares generó los siguientes resultados: consumo medio mensual 320 onzas, desviación estándar 45 onzas, ¿qué decisión debería tomarse? Tome * ep = 3,98 una decisión poco significativa.

aceptar Ho

33.-

Dos técnicas de ventas son aplicadas por dos grupos de vendedores; la técnica A, por 16 vendedores y la técnica B, por 10 vendedores. Se espera que la técnica B dé mejores resultados. Al final de un mes, se obtuvieron los siguientes resultados. Técnica A B

media 74 80

varianza 21 70

La gerencia de ventas está pensando en utilizar la técnica B, sin embargo no está muy seguro de esta decisión. ¿Podría ayudarle a tomar la decisión correcta?

* ep = -2,08

34.-

P = 0,030

En la industria de manufacturas metálicas, la productividad y consecuentemente la utilidad, dependen grandemente de la calidad y uniformidad de las materias primas necesarias. Suponga que se tienen bajo consideración dos fuentes principales de materia prima, ambas fuentes parecen tener características de control similares, pero el fabricante no está seguro acerca de su respectiva uniformidad en el contenido de impurezas. Se toman 13 muestras de 80 kg cada una de cada fuente y se determina la cantidad de impurezas en cada muestra. Los resultados son los siguientes: Material media varianza A 41,3 39,6 B 18,75 7,85 ¿Sugieren estos datos la existencia de una diferencia en la uniformidad de * ep = 5,04 contenido de impurezas en los dos materiales?

rechazar Ho

35.-

Una de las maneras de medir el grado de satisfacción de los empleados de una misma categoría en cuanto a la política salarial es a través de las desviaciones típicas de los salarios de los empleados. La fábrica A dice ser más justa en la política salarial que la fábrica B. Para verificar esa afirmación, se sortea una muestra de 10 funcionarios no especializados de A, y 16 de B, obteniendo las desviaciones típicas 1 y 1,6 respectivamente. ¿Es cierta la afirmación de la fábrica A?

* ep = 0,391

36.-

aceptar Ho

Un grupo de investigadores compararon la planificación humana en tiempo real en un entorno de procesamiento con un enfoque automatizado que utiliza robots computarizados y dispositivos sensores. El experimento consistió en ocho problemas de planificación simulados. Cada tarea fue realizada por un planificador humano y por el sistema automatizado. El desempeño se midió en términos de la tasa de rendimiento, definida como el número de trabajo aceptables producidos ponderados según la calidad del producto. Las tasas de rendimiento obtenidas fueron las siguientes: Planificador humano Método automatizado


84

UAP



185,4 146,3 174,4 184,9

240,0 253,8 238,8 263,5

180,4 248,5 185,5 216,4

¿Se puede afirmar que el método automatizado es mejor?

* ep = 1,44

269,3 249,6 282,0 315,9

P = 0,914

37.-

En el caso de un empleado que se está investigando por un desfalco. Formular las hipótesis nula y alternativa. Explique los dos tipos de errores. ¿Preferiría cometer un error del tipo I o del tipo II? explique.

38.-

Para reducir el incremento de sus costos, una empresa está considerando un proceso de reducción de varianzas, el cual no se implantará a menos que se verifique estadísticamente que con un nivel de significancia del 1%, se reduce la desviación estándar. Suponga que un estudio produce los siguientes datos: Proceso Antiguo Nuevo

ni 13 11

¿Debe implantarse el nuevo modelo?

2,099 39.-

varianza 3,61 1,72

* No

ep

=

Una de las maneras de mantener bajo control la calidad de un producto es controlar su varianza. Una máquina para enlatar conserva de pescado está regulada para llenar con una desviación estándar de 10 gr. Y media 500 gr. El peso de cada lata de conserva sigue una distribución normal (µ ,σ 2). ¿Diría usted que la máquina ha sido adecuadamente regulada en relación a la varianza, si una * ep = muestra de 16 latas de conserva dio una varianza de 169 gr2?

25,35 aceptar Ho

40.-

Un fabricante está evaluando dos tipos de equipo para la fabricación de un componente. Se recoge una muestra aleatoria de 50 para la primera marca de equipo, y se encuentran 5 ítems defectuosos. Una muestra aleatoria de 80 para la segunda marca incluye 6 ítems defectuosos. La velocidad de fabricación es la misma para las dos marcas. Sin embargo, puesto que la primera marca tiene un valor sustancialmente menor, el fabricante concede a esta marca el beneficio de ep = 0.38 la duda. ¿Está justificada esta duda?

Aceptar Ho

41.-

Se quieren comparar dos modelos A y B de calculadoras electrónicas por lo que toca a su eficiencia. Para este fin se eligen al azar seis estudiantes del curso de Inferencia Estadística, y a cada uno se le instruye en la forma óptima de usar cada modelo para el fin propuesto. Posteriormente, a cada uno de los seis se le pide que diga el tiempo que demoró (en minutos) en cada intento. A : 13,8 18,6 19,2 12,6 16,4 15,8 B : 14,7 20,3 20,6 15,3 19,9 21,4 ¿Se puede decir que existe diferencia poco significativa entre el rendimiento promedio de las calculadoras? * ep = -1,65 P =

0,129 42.-

Un grupo de investigadores publicó en el año 2001 un estudio sobre diferencias en el tiempo de desarrollo de un programa según el lenguaje de programación utilizado (Lisp o Java). Catorce programadores de Lisp se sometieron a un banco de pruebas con el siguiente resultado para el tiempo de desarrollo en Lisp: media 243 horas con una desviación estándar de 18.7 horas. Un estudio previo mucho más extenso para la misma prueba había determinado un tiempo medio de


85

UAP


Inferencia Estadística desarrollo en Java de 250 horas. Se supone que el tiempo de desarrollo se distribuye normalmente.

a)

¿Es el tiempo medio de desarrollo con Lisp significativamente menor que el tiempo medio de desarrollo con J ava?

b)

Calcular el tamaño de muestra necesario para estimar el tiempo medio de desarrollo con Lisp, con un nivel de confianza de 0.95 y un error máximo de estimación de 10 horas, sabiendo que la desviación estándar del tiempo de desarrollo con Lisp es inferior o igual a 30 horas.

43.-

Considere el siguiente caso no matemático como una prueba de hipótesis. En la escena de un accidente grave, un médico contrasta la hipótesis nula “esta víctima está viva”. a) Establezca cuidadosamente el significado de los cuatro resultados posibles. b) Decida sobre la gravedad de los dos errores posibles.

44.-

Una Editorial debe decidir si publicará un libro de estadística aplicada a la Ingeniería. Con base en los costos de publicación, la Editorial ha llegado a la siguiente conclusión: si hay pruebas de que más del 15% de los alumnos que estudian Ingeniería considerarán la adopción del libro, entonces se publicará. Si no se puede probar, no se publicará. a) b) c) d)

45.-

Formular las hipótesis nula y alternativa. Explicar el significado de los errores tipo I y tipo II. ¿Cuál error sería más importante para la Editorial? ¿por qué? ¿Cuál error sería más importante para el autor? ¿por qué?

Se ha puesto un examen durante varios años con media 70 y varianza 9. Un profesor que utiliza por primera vez este examen lo puso para 25 alumnos, que obtuvieron una media de 71 y una varianza de 12. ¿Hay razón para creer que las * ep = 32 calificaciones de todos los estudiantes tuvieron una varianza de 9?

aceptar Ho

46.-

En una sucursal bancaria se había establecido que la desviación estándar del tiempo de atención a cada cliente en la ventanilla correspondiente era de 2.3 minutos. Para tratar de disminuir el valor de este parámetro, las cajeras fueron obligadas a tomar un breve curso de capacitación. Después del curso, se tomó una muestra aleatoria de10 clientes, con los siguientes tiempos de espera (en minutos) frente a la ventanilla correspondiente: 1.8, 5.2, 4.3, 6.6, 2.5, 3.4, 2.6, 5.6, 4.7, 4.0. ¿Podemos afirmar que el curso de capacitación sirvió de algo?

* ep = 3,91

47.-

aceptar Ho

Un fabricante de baterías para automóvil afirma que su producto durará, en promedio, al menos cuatro años (48 meses); un grupo de defensoría del consumidor desea evaluar la afirmación del fabricante y selecciona una muestra aleatoria de 20 de las baterías mencionadas, para ser probadas. Los datos dados a continuación corresponden a la duración (en meses) de cada una de las baterías (es decir, el tiempo que funcionaron adecuadamente antes de fallar). 42,3 31,6

39,6 45,1

25,0 40,8

56,2 42,4

37,2 38,9

39,3 49,0

39,2 41,5

47,0 60,1

47,4 34,6

39,7 50,4

El grupo defensor del consumidor ha decidido multar al fabricante, ¿es una * ep = -3,14 decisión acertada? Justifique.

rechazar Ho


86

UAP


Inferencia Estadística 48.Un fabricante reclama que un sensor especial en una máquina de fotocopias debe durar en promedio 35 000 copias antes de que necesite reemplazarse. Como trabajas para del Departamento de Asuntos del Consumidor, se te encomienda que verifiques este reclamo. Así, tomas 50 de esos sensores y los pruebas. Tu resultado indica que la media del número de copias es de 34 000 con una desviación estándar de 2400. Formula una hipótesis adecuada, ¿qué decisión tomarías? ¿Por qué?

* ep = -2,95

49.-

Si la hipótesis es que un alumno está aprobado en Inferencia Estadística. a) b)

50.-

rechazar Ho

¿En qué consisten los errores tipo I y tipo II? ¿Cuál error sería más grave?

Un fabricante de cosméticos adquirió una máquina para llenar botellas de perfumes de 3 ml. Para probar la precisión del volumen que deposita la máquina en cada botella, se hizo una corrida de prueba con 18 recipientes. Los volúmenes resultantes (en ml) de la prueba fueron los siguientes: 3,02 2,97

2,89 2,95

2,92 2,90

2 ,84 2,90 2,94 2,96

2,97 2,99

2,95 2,99

2,94 2,97

2,93 3,01

La compañía no está dispuesta a recalibrar la máquina a menos que el volumen de llenado esté 0.04 ml por debajo de los 3 ml. ¿Deberán recalibrarla?

* ep = -0,85

51.-

aceptar Ho

Un psicólogo industrial desea estudiar los efectos de la motivación en las ventas de una empresa en particular. De 24 vendedores nuevos que están en entrenamiento, a doce se les va a pagar por hora de trabajo y a los otros doce se les pagará por comisión. Los 24 individuos fueron asignados de manera aleatoria a los dos grupos. Los datos siguientes representan el volumen de ventas (en miles de soles) logrado durante el primer mes de trabajo. Salario por Hora 25,6 21,2 23,9 21,6 22,2 23,6 20,7 21,9 22,8 22,5 24,1 23,0

Comisión 22,4 26,1 25,4 22,8 27,3 23,4 28,5 22,5 23,7 23,2 27,7 24,5

¿Existe evidencia de que los incentivos salariales (a través de comisiones) * Sí ep = -2,75 producen un volumen de ventas promedio mayor?

rechazar Ho

52.-

Una característica importante en el diseño de una página web es el tiempo que el usuario tardará en abrir esa página. Con el objeto de tratar de estimar el tiempo medio, se seleccionan al azar 121 páginas entre las que se han diseñado en cierta empresa en el último año, obteniéndose los siguientes datos (en centésimas de segundos) Tiempo de descarga Nº de páginas

55 14

60 24

62 30

64 23

65 18

69 12

¿Se podría concluir que el tiempo medio de descarga de las páginas que se diseñan en esa empresa es significativamente distinto de 63 centésimas? 53.-

Se han seleccionado al azar 500 usuarios de correo electrónico en la ciudad 1 y ha resultado que 22 de ellos han recibido virus informáticos a través del correo a lo largo del último año. Se ha realizado otro muestreo independiente eligiendo al


87

UAP


Inferencia Estadística azar 300 usuarios en la Ciudad 2 resultando que 9 de ellos han tenido problemas de este tipo en el mismo periodo. ¿Podemos concluir a partir de estos datos que hay cierta tendencia de una ciudad a obtener resultados más altos que la otra?

ep = 1.04

54.-

Aceptar Ho

En la compañía de fósforos La Central afirman que en el pasado, la desviación estándar de los pesos de las cajas de fósforos de 40 gramos era de 0,25 gr. Se sospecha que con el uso de las máquinas, el valor de la desviación estándar ha aumentado, lo que ocasiona más variabilidad en el contenido de las cajas y quizás amerite una revisión de las máquinas, pero ello implicaría un costo al detener la producción durante algunos días. Se decide realizar una prueba de hipótesis, para ello se tomó una muestra aleatoria de 20 cajas y se obtuvo una desviación estándar de 0,32 gramos. ¿Ameritará esa variabilidad aparente detener la * Sí ep = 31,13 producción para revisar las máquinas?

rechazar Ho

55.-

Trabajas como supervisor de una máquina dedicada a la producción de piezas metálicas cuya longitud sigue una distribución normal con media 75,20 mm y desviación estándar 0,5 mm. Tras realizar un reajuste en la máquina, sospechas que el promedio ha cambiado mientras que la desviación estándar de dicha variable no se ha visto alterada. Se ha tomado una muestra aleatoria de unidades producidas y registrado su longitud. Los resultados son los siguientes: 75,3

76,0

75,0

77,0

75,4

76,3

77,0

74,9

Al nivel del 1%, ¿se puede afirmar que tu sospecha es válida?

*ep = 2,95

P = 0,016

y

76,5

ep = 21,34

75,8

aceptar Ho

56.-

Una línea de producción funciona con un peso de llenado de 16 gr. por envase. De acuerdo con datos anteriores, se sabe que el peso sigue una distribución normal. El exceso o defecto de peso en el llenado son problemas graves, y la línea de producción debe parar si se presenta alguno de ellos. Un inspector de calidad toma una muestra de 30 artículos y de acuerdo con los resultados toma la decisión de parar la línea o dejarla trabajando. a) Si se encuentra que el promedio es 16.32 gr. y la desviación estándar 0.8 gr. ¿qué acción recomendarías? ¿Por qué? b) Para el mismo valor de desviación estándar, ¿qué acción recomendarías si se obtiene como promedio 15.82 gr.?

57.-

Un banco quiere analizar si las comisiones que cobra a sus clientes por operaciones en el mercado bursátil difieren significativamente de las que cobra la competencia, cuya media es de 12 euros mensuales con una desviación estándar de 4,3 euros. Este banco toma una muestra aleatoria de 64 operaciones bursátiles y observa que la comisión promedio es de 13,6 euros. Contrastar, al nivel de significación del 5%, que este banco no difiere significativamente en el cobro de * ep las comisiones por operaciones en la Bolsa con respecto a la competencia.

= 2,98

P = 0,0028

58.-

El requerimiento de sal es de 220 mg/día. Si una muestra de 38 raciones iguales de un cereal para desayuno tiene un contenido promedio de sal de 196 mg con una desviación estándar de 24.5 mg, ¿se podría afirmar que una ración de este cereal satisface el requerimiento diario de cloruro de sodio? Se sabe que la concentración de esta sustancia en el cereal se distribuye normalmente.

59.-

Un jefe de personal está dispuesto a contratar una secretaria para ocupar un puesto a menos que ella cometa más de una equivocación por página mecanografiada. Se elige una muestra aleatoria de páginas escritas por la aspirante. Las equivocaciones por página son:


88

UAP



0,04 60.-

3 3 2 0 1 Tomar una decisión altamente significativa.

2

1

1

* ep = 2,0

2

Una distribuidora de gas ofrece a sus clientes el servicio en un máximo de espera de 48 horas. Se toma una muestra aleatoria de 6 hogares que hicieron pedidos y se encontró lo siguiente: 20 24 60 72 40 30 Al nivel del 1%, ¿se puede creer lo ofrecido por la distribuidora?

* ep = -0,82

61.-

P = 0,776

Una compañía embotelladora afirma que sus botellas plásticas de refresco tienen una capacidad promedio de 300 ml. Un cliente de la compañía piensa que esa cantidad está sobreestimada pues, en una muestra de 72 botellas se obtuvo un peso promedio de 295 ml. por botella. Asumiendo que la desviación estándar poblacional de los pesos es de 3 ml. ¿Habrá suficiente evidencia para apoyar la * ep = afirmación del cliente? Usar un nivel de significación del 1%.

-14,14

62.-

P = 0,00

Un fabricante registró el número de artículos producidos diariamente, durante 8 días, para un grupo de obreros, que operaban con base en un plan de salarios fijos. El fabricante introdujo un plan de incentivos salariales para otro grupo de obreros y registró la producción durante 10 días. El número de artículos producidos diariamente fueron: Grupo: 1 : 75 76 74 80 72 78 76 73 2 : 86 78 86 84 81 79 78 84 88 80 Suponiendo que los salarios pagados a cada grupo fueron iguales, ¿puede el fabricante concluir que el plan de incentivos fue efectivo?

* ep = -4,48

63.-

P =

P = 0,00

El fabricante de un cierto modelo de automóvil afirma que el kilometraje medio de este modelo es de 12 kilómetros por litro de gasolina corriente. Un organismo de defensa del consumidor piensa que ese kilometraje promedio ha sido exagerado por el fabricante. 9 automóviles de este modelo son conducidos del mismo modo con un litro de gasolina corriente. Los kilómetros recorridos por los automóviles son: 12,0

11,0

10,0

10,5

11,5

11,0

12,5

10,0

10,5

Si el organismo desea rechazar una afirmación verdadera no más de una vez en * ep = -3,46 P 100, ¿Rechazaría la afirmación del fabricante?

= 0,004 64.-

Suponga que se tienen los siguientes datos de muestras de dos poblaciones: Agencia A Agencia B Tiempo medio de respuesta 4 hr 5 hr Desviación estándar 1 hr 1,2 hr Número de Observaciones 13 16

Empleando el nivel de significación de 0,01, pruebe la aseveración de que el tiempo medio de respuesta de la Agencia B es mayor que el de la Agencia A.

* ep = -2,40

65.-

P = 0,012

Muchos estudiantes se han quejado de que la máquina vendedora de refrescos A (instalada en el comedor de estudiantes) despacha menos bebida que la máquina B (localizada en el de profesores). Se tomaron varias muestras para contrastar esta sospecha y se obtuvieron los siguientes resultados:


89

UAP



Máquina A B

ni 10 12

media 5,38 5,92

Desv. estándar 1,59 0,83

Con un nivel del 10%, ¿respalda esta evidencia la queja de los estudiantes?

* ep = -1,02

66.-

P = 0,159

Se tomó una muestra aleatoria de 300 compradores en un centro comercial y se encontró que 182 están a favor de un horario más amplio para las compras. Es esta evidencia suficiente para concluir que menos del 65% de los compradores ep = -1.45 están a favor de un horario más extenso?

Aceptar Ho

67.-

Supongamos que una empresa desarrolló un curso de entrenamiento para sus técnicos, formando dos grupos y aplicando métodos distintos de entrenamiento. Los dos grupos se consideran homogéneos en capacidad. El primer grupo lo componen 36 técnicos que obtuvieron un puntaje de 6 (en una escala de 0 a 10 puntos) y una desviación típica de 4 puntos y el segundo grupo de 40 técnicos cuyo promedio fue 8,2 y desviación típica de 4,3 puntos. ¿Se puede concluir que el método aplicado al segundo grupo fue superior al primero? Usar un nivel del 1%.

* ep = -2,31

aceptar Ho

68.-

Considere el siguiente caso no matemático como una prueba de hipótesis. Se acaba de recibir un paracaídas sobre el cual un inspector postula la hipótesis nula “este paracaídas funcionará”. a) Establezca con cuidado el significado de los cuatro resultados posibles. b) Decida sobre la gravedad de los dos errores posibles.

69.-

Un fabricante de automóviles pone a prueba dos nuevos métodos de ensamblaje de motores respecto al tiempo en minutos. Los resultados se muestran en la tabla: Método 1 2

ni 31 25

Desv. Estándar 50 24

¿Se puede concluir que en el método 2 el promedio aritmético es más representativo?

* ep = 4,34

70.-

rechazar Ho

En un estudio de la aviofobia, un psicólogo afirma que el 30% de todas las mujeres temen a volar en avión. Si 54 de 200 mujeres, que constituyen una muestra aleatoria, afirman que temen volar en avión, ¿refuta la afirmación del psicólogo? ep = -0.93 Rechazar Use un nivel de 0,10.

Ho

71.-

Una industria cervecera desea adquirir una máquina embotelladora y somete a consideración dos modelos distintos, el modelo A y el modelo B. Suponga que las máquinas resultan bastante parecidas y aproximadamente con el mismo costo, por lo que el factor decisivo será la variabilidad de la cantidad embotellada (se preferirá aquel modelo con menor variabilidad en la cantidad embotellada). Para demostrar que la variabilidad de su máquina es menor que la del modelo B un vendedor de la compañía A consigue una muestra de 25 registros de embotellado del modelo A y una muestra de 10 registros del modelo B. Las varianzas muestrales fueron 0,027 y 0,065 respectivamente. ¿Proporcionan estos datos apoyo estadístico para la suposición del vendedor? * ep

= 0,415


rechazar Ho

90

UAP


Inferencia Estadística 72.Suponga que una planta industrial produce pernos de 70 mm en dos máquinas diferentes. Se toman muestras hechas por ambas máquinas y se miden sus diámetros en milímetros, los resultados son:

Máquina A B

ni 31 41

varianza 0,045 0,080

Usar α = 0,10 ¿Podemos afirmar que no existe diferencia significativa entre el grado de dispersión de las máquinas? * ep = 0,563

aceptar Ho

73.-

Has sido nombrado, director de personal de una gran compañía, y se requiere que establezcas, el número medio por empleado de días de baja laboral. Has realizado un estudio basado en 40 empleados elegidos aleatoriamente, y obtienes una media de 16 días por año, con una desviación estándar de 2.4 días. ¿Podrías decir a tus superiores que la media es de 18 días con un nivel de significación del 5%?

74.-

Queremos comparar la duración de las cintas de video de dos marcas, A y B, con un cierto interés en probar que las cintas de la marca B tienen una duración mayor. Para esto, obtenemos dos muestras aleatorias con los siguientes resultados. Marca A Marca B

230 232

235 234

238 239

242 245

242 248

246 253

Aceptando normalidad, ¿se puede considerar estadísticamente probado al nivel del 1% que la duración media de las cintas de la marca B es superior a la duración media de la marca A? 75.-

Una muestra de 300 votantes del distrito A y 200 del distrito B mostró que el 56% y el 48% respectivamente, estaban a favor de un candidato dado. Al nivel de significación del 0,05 ensayar la hipótesis de que: a) b)

Ho

76.-

haya diferencia entre los distritos. el candidato sea preferido en el distrito A.

ep = 1.76 ep = 1.76

Aceptar Ho Rechazar

En una empresa estaban interesados en estudiar el tiempo medio necesario para terminar una unidad en una línea de armado. Se sabía que la distribución del tiempo medio de armado de una unidad era Normal con desviación típica 1.4 minutos. Bajo condiciones de operación idóneas, el tiempo medio por unidad era de 10 minutos. Sin embargo, el gerente de planta sospecha que el tiempo promedio de armado era mayor que 10 minutos. Para comprobarlo se observaron los tiempos de armado de 25 unidades seleccionadas al azar, se obtuvo una media de 12 y se fijó como nivel de significación 0.06. ¿Está acertado el gerente en su sospecha?.

* ep = 7,14

77.-

Por evidencia experimental se sabe que cierta droga pediátrica es eficaz en un 80% de los casos, cuando está correctamente administrada. Se aplica dicha droga a 400 niños y se obtiene únicamente 300 resultados positivos. ¿Puede considerarse este resultado como evidencia de que la droga no estuvo bien administrada? Use un nivel de confianza del 99%.

ep = -2.5

78.-

P = 0,00

Rechazar Ho

El tiempo promedio de duración de un artículo es de 5 años. Para comprobarlo, se toma una muestra de 11 artículos y se obtienen los siguientes resultados: 4,8

5,6

5,3


5,2

4,9

4,7

5,7

4,9

5,7

4,9

4,6

91

UAP



Si se supone que el tiempo de duración se encuentra modelado en forma adecuada por una distribución Normal. Con un nivel de significancia del 2%, ¿se * ep = 0,97 puede afirmar que hemos sido estafados?

P = 0,822

79.-

En un proceso de fabricación de tubos de aluminio, la longitud de éstos se distribuye como una normal de media 110 cm y varianza 16 cm2. Se realiza una reparación y ahora se desea discernir si ha habido un cambio en la longitud media de los tubos. Para ello se toma una muestra de tamaño 16 y nos ha dado una media muestral de 112 cm. Con un nivel del 10%, ¿a qué conclusión se llega?

* ep = 2,0

80.-

P = 0,064

Se han seleccionado al azar 500 usuarios de correo electrónico en la ciudad A y ha resultado que 22 de ellos han recibido virus informáticos a través del correo a lo largo del último año. Se ha realizado otro muestreo independiente eligiendo al azar 300 usuarios en la ciudad B resultando que 9 de ellos han tenido problemas de este tipo en el mismo periodo. ¿Podemos afirmar que la incidencia de los virus es menor en la ciudad B? Usar un nivel del 2%. Ep = 0.76

Aceptar Ho

81.-

Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente distinto. El departamento de ingeniería ha obtenido los datos siguientes: Diseño 1 2

ni 15 10

Media 24,2 23,9

varianza 10 10,89

Determinar si existe alguna diferencia significativa en el flujo de corriente de los * ep = 0,23 P = dos diseños.

0,821

82.-

Los niños con neurosis liminar, que asisten a una clínica de evaluación de desarrollo, se dividieron en dos grupos con base en la presencia o ausencia de un probable factor etiológico que produce la neurosis liminar. Se midió la concentración de plomo en la sangre de cada niño y se obtuvieron los siguientes resultados: Factor ausente Factor presente

: :

25,5 21,2

23,2 19,8

27,6 20,0 3

24,3 21,0

26,1 19,6

25,0

¿Indican los datos una diferencia altamente significativa en la magnitud de variabilidad de la concentración de plomo en la sangre para los dos tipos de niños?

* ep = 4,32

83-

aceptar Ho

Investigaciones previas indican que el 20% de los profesores de la UAP están suscritos al diario El Comercio. Hay motivos para creer que en los últimos tiempos ha disminuido la tasa de suscripción. Para verificar esta creencia, se toma una muestra al azar de 100 profesores y se observa que la proporción es 0.16. ¿Cuál ep = -1 es tu conclusión?

Aceptar Ho

84.-

Antonio dice a Luis que al menos un 15% de los alumnos de la UAP, tiene computadora. Como discrepan, Luis realiza una encuesta aleatoria a 200 compañeros de la universidad, y encuentra que 18 de ellos tiene computadora. A


92

UAP


Inferencia Estadística un nivel de significación del 10%, ¿cuál de los dos tiene estadísticamente la razón?

ep = -2.38 85.-

Un investigador quiere demostrar que más del 15% de los estudiantes de ingeniería en el Perú son mujeres. Al tomar una muestra aleatoria de 400 estudiantes de ingeniería (de varias universidades al azar) se halló que había 72 mujeres. ¿Existen motivos para afirmar que más del 15% de los estudiantes de ingeniería del país son mujeres? ep =

1.68

86.-

Rechazar Ho

Sabemos que una determinada máquina produce láminas de aluminio cuya longitud sigue una distribución aproximadamente normal, cuya media debería ser de 40 cm y cuya desviación típica es de 0,4 cm. A fin de comprobar si la máquina funciona correctamente, el operario encargado de la misma toma, de forma periódica, muestras compuestas por 5 láminas cada una. La última de dichas muestras ha proporcionado los siguientes datos en cuanto a longitudes (en cm.) de las láminas: 40,1

39,2

39,4

39,8

39,0

La media de esta muestra es de 39,5 cm., valor que difiere de la media ideal. ¿Es esta diferencia estadísticamente significativa?, es decir: ¿se debe esta diferencia a fluctuaciones aleatorias o por el contrario debemos concluir que la máquina está * ep = -2,50 P = funcionando mal?

0,067 87.-

Algunas semanas antes de unas elecciones un político preocupado efectúa una encuesta entre una muestra aleatoria de 400 votantes registrados, encontrando que el 53% piensa votar por él, mientras que el 47% prefieren a su oponente. Está muy contento al observar que es preferido por más de la mitad de la muestra, pero sabe que la muestra puede no ser un indicador muy seguro de la población, porque pueden haberse introducido en ella, por azar, un número no representativo de sus partidarios. ¿Qué puede concluir acerca de sus partidarios en la elección? ep = 1.2 Usar un nivel de significancia del 5%

Aceptar Ho

88-

Un dispensador de gaseosas está diseñado para descargar 7 onzas. Si se selecciona una muestra aleatoria de 16 vasos para medir su llenado, observando que el promedio es de 5,8 onzas con una desviación estándar de 1,6 onzas, ¿se * ep = -3,0 P puede concluir que la máquina no funciona correctamente?

= 0,009

89.-

Un ingeniero de control de calidad, que trabaja en la División de Limpiaparabrisas de una empresa está examinando dos nuevos productos de goma sintética; se le ha encargado investigar si tienen diferente durabilidad. Para poder efectuar la prueba correspondiente se seleccionaron aleatoriamente 24 limpiaparabrisas, 16 con la sustancia A y el resto con la sustancia B. Al final se presentaron los siguientes resultados: Sustancia A B

promedio 221 254

Desv. estándar 75 27

¿A qué conclusión llegará el ingeniero?

* ep = -1,57 90.-

aceptar Ho

Un distribuidor de botas especiales para trabajo, garantiza al gerente de una empresa, que el promedio de duración de las botas es de 8,10 meses. La empresa decide comprar 25 pares de botas, que en promedio duran 7,15 meses, con una


93

UAP


Inferencia Estadística varianza de 12,5. ¿Se podrá decir que el distribuidor mintió al gerente de dicha empresa? * ep = -1,34 P =

0,096

91.-

El Jefe de Personal de la UAP afirma que el porcentaje de atrasos en las horas de llegada al trabajo involucra al 25% de sus empleados. Se revisan 40 tarjetas marcadas con las horas de llegada, en la quincena, y se encuentra que 8 han llegado tarde. Al nivel del 5%, ¿hay razón para concluir que el Jefe de Personal de la UAP está exagerando? ep = -0.73

Aceptar Ho

92.-

Un complicado programa es procesado por dos tipos distintos de ordenadores. El tiempo que demoran los ordenadores en procesarlo sigue una distribución normal, independiente de unos tipos a otros (con desviaciones típicas conocidas e iguales a 0.51 y 0.33, respectivamente). Estudiados siete ordenadores del tipo I y ocho del tipo II, se obtuvieron unos tiempos medios de proceso de 7.514 segundos y 7.5 segundos, respectivamente para cada tipo de ordenador. a) Se creía que el tiempo que demoraba el ordenador del tipo I en procesar el programa era de 7.58 segundos. Al 95%, ¿rechazarías esta afirmación? b) Se piensa que el tiempo medio de procesado del ordenador de tipo II es mayor o igual que 7.8 segundos, ¿qué puedes concluir al 90%?

93.-

De los datos experimentales se deduce que la duración de una pila sigue una distribución normal. El fabricante asegura que el tiempo medio de vida es de 15 horas de duración con una desviación estándar de 1.98; sin embargo, últimamente está sospechando que la variabilidad se está incrementando, con tal motivo toma una muestra de pilas y los datos que obtuvo fueron los siguientes: 14.0 14.5 15.0 15.5 13.0 16.5 10.5 15.5 14.5 14.0 ¿Es válida la sospecha del fabricante? ¿Por qué? Usar un nivel de significación de 0.01.

94.-

El 5% de las compras navideñas se realizan a través de Internet. Además, el 90% de los compradores en Internet quedan satisfechos. Para mejorar sus ventas, la compañía de comercio electrónico Austral ha emprendido una campaña publicitaria. Al cabo de un año se ha encontrado que, en una muestra de 180 compradores, 12 utilizaron Internet y 11 de ellos quedaron satisfechos. Con un nivel de confianza del 99%: a) ¿Puede concluirse que el porcentaje de compradores por Internet ha aumentados? b) ¿Se podría afirmar que ha cambiado el porcentaje de clientes satisfechos? c) Cuatro personas adquirieron libros en Internet y 20 en tiendas, ¿puede concluirse que el porcentaje de compradores de libros es igual en ambos medios?

95.-

El advenimiento de materiales sintéticos tales como el nylon, poliéster y látex, y su introducción en el mercado ha suscitado debates acerca de la calidad y resistencia de estas fibras comparadas con las fibras naturales. Un fabricante de una nueva fibra sintética afirma que su producto posee una mayor resistencia a la tracción que las fibras naturales. Se seleccionaron al azar 10 fibras sintéticas y se encontró una media de 335 y una varianza de 1892, asimismo se seleccionaron 10 fibras naturales y se encontró una media de 272 y una varianza de 1636. ¿Confirman estos datos la afirmación del fabricante? Use un nivel de significancia del 1%.

* ep = -3,35


P = 0,002

94

UAP


Inferencia Estadística 96.Durante los últimos 5 años el número de computadoras que vende por semana cierta empresa informática es aproximadamente normal. En una muestra aleatoria simple de 10 semanas de los últimos cinco años, dicha empresa vendió:

175 168 171 169 183 165 188 177 167 180 Contrastar si el valor medio de las ventas es 200 para un nivel de confianza del 99%. 97.-

Un proveedor nacional de software para ordenadores utiliza dos empresas de correo distintas E y F para la entrega; y le preocupa la uniformidad del servicio de atención a clientes. Una muestra aleatoria de 21 entregas de E tuvo una desviación típica de 1,2 días, mientras que 16 entregas de F dieron una desviación típica de 0,9 días, Al nivel del 10%, ¿Podemos afirmar que l a empresa F es más heterogénea con respecto a los tiempos de entrega?

* ep = 1,78

aceptar Ho

98.-

Un investigador quiere demostrar que más del 15% de los estudiantes de las especialidades de ingeniería son mujeres. Al tomar una muestra aleatoria de 400 estudiantes de ingeniería (de varias universidades al azar) se halló que había 72 mujeres, pero ello bien podía deberse a la casualidad. Además, existen en el país muchos miles (o decenas de miles) de estudiantes de ingeniería, por lo que podría ser aventurado extrapolar el resultado observado en una muestra a toda la gran población de estudiantes de ingeniería del país. ¿Cuál será la conclusión altamente significativa del investigador? Ep = 1.68 Aceptar Ho

99.-

Un ingeniero industrial ha ideado dos métodos para ensamblar bombas de agua. Con el primer método ensambló una muestra de 40 unidades en un promedio de 20,2 minutos por unidad y con una desviación estándar de 2,5 minutos. Con el segundo método ensambló 56 unidades en un promedio de 21 minutos cada una con una desviación estándar de 3,1 minutos. A un nivel de significancia del 10%, ¿Hay una diferencia significativa en el tiempo requerido entre los dos métodos de * ep = -1.40 ensamble de este producto?

aceptar Ho

100.- Un biólogo sospecha que debido a la escasez de alimento que hay en un río, la talla promedio de las truchas adultas que viven en el mismo no alcanza el tamaño mínimo de pesca permitido que es de 25 cm. Si se comprueba la sospecha del investigador se prohibirá la pesca de truchas en ese río, de lo contrario no se tomará ninguna medida. Se tomó una muestra aleatoria de 15 truchas y se encontró un tamaño medio de 24.2 cm. y una varianza de 9. ¿Se puede afirmar * ep = que es válida la sospecha del biólogo? ¿Por qué? Usar un nivel del 1%.

-1.03 Aceptar Ho

101.- Un químico está tratando de determinar si dos materiales orgánicos de distinta procedencia tiene el mismo contenido de fósforo. Para tal fin seleccionó dos muestras de 25 porciones del mismo peso de cada material y utilizando la misma metodología midió el contenido de fósforo en ambas muestras, encontrando que en el material A el contenido medio del elemento fue de 37.75 ug con una desviación estándar de 4.71 ug y en el material B el contenido medio fue de 35.00 ug con una desviación estándar de de 3.89 ug. Suponiendo que el contenido de fósforo es una variable que se distribuye normalmente. Con un nivel del 1%, ¿cuál debe ser la conclusión del investigador? 102.- Los tiempos medios de ejecución de dos programas probados en diferentes bancos de datos independientes ( n 1 = 50 y n 2 =100 ) han sido 24 y 21 respectivamente; siendo 64 y 36 las varianzas correspondientes. ¿Podemos * afirmar que ambos programas difieren en cuanto a su rendimiento?

ep = 2,34

rechazar Ho


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Inferencia Estadística 103.- En una encuesta se preguntó sobre los hábitos de lectura, utilizando una muestra aleatoria de 350 señoras que trabajan y otra muestra independiente de 325 que no lo hacen. En el primer caso 105 manifestaron que estaban suscritas a cierto tipo de revista. En el segundo, la respuesta fue de 130 que no estaban suscritas ni mostraban interés por ninguna revista, argumentando la falta de tiempo. ¿Al nivel del 1% se podrá afirmar que las señoras que trabajan leen menos que las señoras ep = -8.20 Rechazar que no trabajan?

Ho

104.- Para determinar si el empaque tiene alguna influencia en la conducta de los compradores, se colocaron paquetes de un mismo producto con dos diferentes diseños de envoltura en un supermercado. En un determinado día, de 40 compradores del producto, 25 escogieron el empaque A y los restantes el empaque B. ¿Existe una diferencia en la proporción de compradores que compran el producto? 105.- Las ventas mensuales de una cadena de establecimientos de alimentación pueden considerarse como una variable aleatoria con distribución normal de parámetros desconocidos. Con el fin de aumentar sus ventas se decide realizar una campaña publicitaria que sólo se mantendrá si las ventas medias mensuales sean superiores a 20 millones de euros. Para estudiar la eficacia de la campaña se seleccionan con posterioridad a la publicidad 30 establecimientos y se comprueba que las ventas medias de dicha muestra es de 21 millones de euros con una desviación típica de 300 euros. Con una probabilidad de error de tipo I del 5%, ¿crees que debe mantenerse la campaña publicitaria? 106.- Una encuesta a 200 electores indicó que 110 votantes estaban a favor del candidato A, después de un mes de ardua campaña electoral, una encuesta a 300 electores indicó 185 a favor de A. ¿Se puede afirmar que la campaña electoral ha sido efectiva? Considerar una confianza del 90%. 107.- En un informe presentado por un reportero a una revista femenina se afirma que el número medio de horas semanales de conexión a Internet es el mismo para hombres que para mujeres. Sin embargo no parece prudente publicar estos datos sin contrastarlos estadísticamente. Se selecciona para ello una muestra de 75 hombres y 50 mujeres. Los resultados muestrales fueron los siguientes: media 7.42 5.34

Hombres Mujeres

Desv.estándar 9.08 7.24

¿Es correcta tal afirmación? Obtener una conclusión al nivel del 90%. 108.- En la fabricación de chips para circuitos integrales hay una variable, denominada amplitud de ventana, que está relacionada con los procedimientos de interconexión entre los circuitos. Se desea estudiar el efecto que tiene sobre la amplitud de ventana una determinada reacción química que se produce durante el proceso de fabricación de los chips. Para ello se ha medido dicha variable, obteniéndose (en milimicras) los siguientes resultados: 3.21

2.49

2.94

4.38

4.02

3.82

3.30

2.85

3.34

3.91

Con una confianza del 98%, ¿se puede concluir que la amplitud media de ventana es de 3 miligramos?

109.- El diseñador de una máquina para producción industrial asegura que su nueva máquina puede producir un determinado producto con mayor rapidez que la anterior máquina. Se tomaron dos muestras, una de cada máquina, anotando el


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Inferencia Estadística tiempo en segundos necesario para producir el producto. Los resultados fueron los siguientes:

Máquina

ni 9 9

Antigua Nueva

media

Varianza

35.22 31.56

195.5 160.22

¿Se puede admitir lo que afirma el diseñador? Suponer normalidad.

* ep = 0.60

Aceptar Ho

110.- Un grupo editorial quiere estimar el volumen medio de ventas de un libro de inferencia estadística del autor X en el último año académico. El departamento comercial señala que no ha superado los 50 ejemplares. Para comprobar esta hipótesis, se seleccionó una muestra aleatoria simple de 20 librerías especializadas y se observó una media de 37 libros vendidos con una varianza de 36. Suponiendo normalidad en la variable, contrastar al 5% de significación si hay alguna razón para no admitir la hipótesis del departamento comercial. 111.- Una empresa de servicios educativos anuncia que 80% de las veces su curso de preparatoria aumentará la puntuación de un individuo en los exámenes de admisión a la universidad (por lo menos en 50 puntos) en el total combinado de las puntuaciones verbales y cuantitativas. El director de mercadotecnia de la empresa, desea averiguar si se trata de una afirmación razonable. Ha examinado los registros de 125 estudiantes que se inscribieron en el curso y descubrió que 94 de ellos efectivamente aumentaron su puntuación en 50 puntos como mínimo. Use valores probables para determinar si los anuncios de la empresa de servicios educativos deben cambiarse porque la edad porcentual de los estudiantes cuyas calificaciones aumentan en 50 o más puntos es significativamente diferente de 80%.

ep = -1.40

Aceptar Ho

112.- Un fabricante de monitores prueba dos diseños de microcircuitos para determinar si producen un flujo de corriente distinto. El departamento de ingeniería ha obtenido los siguientes datos: Diseño 1 2

ni 15 10

media

Varianza

24.2 23.9

10 10.89

¿Existe alguna diferencia altamente significativa en el flujo de corriente de los dos diseños? 113.- Dos compañías de compuestos químicos pueden surtir materia prima, y la concentración de un elemento en particular en este material es importante. La concentración promedio de ambos proveedores es la misma, pero se sospecha que la variabilidad en la concentración puede diferir en las dos compañías. La desviación estándar de la concentración en una muestra aleatoria de 16 lotes producidos por la compañía A es 4.7 g/l, mientras que para la compañía B, una muestra de 20 lotes proporciona una desviación estándar de 5.8 g/l. ¿Existe suficiente evidencia en los datos para concluir que la variabilidad en la compañía B es menor que la variabilidad de la compañía A? 114.- Los sacos de café que recibe un exportador deben tener un peso promedio de 100 kilogramos. Un inspector tomó una muestra de 50 sacos de un lote de 500 sacos de café encontrando una media de 98 kg y una desviación estándar de 3 kg. ¿Es razonable que el exportador rechace el lote de sacos de café?


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Inferencia Estadística 115.- Una de las maneras de medir el grado de satisfacción de los empleados de una misma categoría en cuanto a la política salarial, es a través de las desviaciones estándar de sus salarios. La fábrica A afirma ser más homogénea en la política salarial que la fábrica B. Para verificar esa afirmación, se escoge una muestra aleatoria de 10 empleados no especializados de A y 9 de B, obteniendo las desviaciones estándar 10 y 15 respectivamente. Suponiendo poblaciones normales y con un nivel de significación del 1%, ¿cuál sería su conclusión?

116.- Una empresa asegura en su publicidad que “usted perderá peso después de sólo dos días de seguir la dieta y el programa de nuestra empresa”. Una oficina de dirección de defensa del consumidor realiza una prueba de esa afirmación seleccionando aleatoriamente 33 personas que se han inscrito en el programa. Se determinó que las 33 personas perdieron en promedio 0,37 lb., con una desviación estándar de 0,981 lb. Al nivel del 10%, probar la aseveración hecha en la publicidad. 117.- Por estadísticas que se tienen, se ha podido establecer que por lo menos el 40% de los jóvenes toman regularmente Coca-Cola, cuando tienen sed. Una muestra aleatoria de 450 jóvenes reveló que 200 de ellos solían tomar dicha bebida, cuando tenían sed. ¿Cuál podría ser su conclusión? ep = 1.73

Aceptar Ho

118.- Se sospecha que el tiempo que demora en cargarse una determinada página Web, puede ser diferente en función del lugar desde donde se realice la conexión. Se han estudiado dos posibles conexiones: Casa y Universidad. Sabiendo que el tiempo de carga sigue una distribución normal, independientemente desde donde se realice la conexión, se han tomado nueve observaciones desde cada una de las plataformas, con los siguientes resultados. Casa Univ.

11.5 13.3

6.2 11.6

7.9 8.5

9.1 10.1

11.9 10.7

12.0 9.2

11.8 9.9

10.0 10.2

11.6 12.8

Al nivel del 10%, ¿se puede concluir que la sospecha es válida? 119.- Una compañía desea saber si es cierto que el 52% o más de sus clientes aún poseen los vehículos que compraron hace ocho años. Una muestra aleatoria de 100 compradores seleccionados al azar mostró que 48 de ellos aún lo poseen. ¿Es válida esta afirmación, al nivel del 10%? ep = -0.80

Aceptar Ho

120.- Se estudia la longitud de los mensajes que se dejan en un foro. Se eligen al azar diez de estos mensajes, obteniendo, para ellos, que el número de caracteres medio fue de 879.5 y la desviación estándar 687.5. Suponiendo las condiciones de normalidad necesarias, a) ¿Se puede considerar que el número medio de caracteres en los mensajes de este foro, es en general, de 300? Usar un nivel de 0.01. b) ¿Se puede concluir que la desviación estándar difiere de 700? c) Se compara la longitud de los mensajes con los de otro foro en el que, para su estudio, se han elegido al azar 16 mensajes, de los cuales, el número medio de caracteres es 2552 y la desviación estándar 690. ¿Es el promedio de longitud de los mensajes igualmente representativo en ambos foros? ¿Por qué? d) Se consideran mensajes largos lo que superan los 3000 caracteres. Si en el primer foro, en una muestra de tamaño 30, el 20% fueron largos y en el segundo foro, en una muestra de tamaño 50, fueron largos el 50%, ¿qué se puede afirmar acerca de las proporciones? 121.- Una dependencia del gobierno ha recibido la queja de un consumidor de pasas que vienen en cajas de, supuestamente, 15 onzas y que en realidad contienen menos. Se selecciona una muestra aleatoria simple de diez de dichas cajas en


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Inferencia Estadística varias tiendas para aclarar el asunto y encuentra un peso medio de 13,5 onzas y una desviación estándar de 1 onza. ¿Está justificada la queja del consumidor?

122.- El departamento de estadística de una universidad nunca ha tenido menos del 11% de reprobados en su curso introductorio; durante un semestre experimental, a todos los estudiantes inscritos en el curso introductorio se les pidió asistir a una hora de laboratorio además de a sus clases, con la esperanza de disminuir la reprobación; al final del semestre, reprobaron 171 estudiantes de entre 1800. ¿Ha disminuido significativamente la proporción de reprobados debido al uso del laboratorio.

ep = -1.36

Aceptar Ho

123.- En cualquier proceso de enlatado, el fabricante pierde dinero si las latas contienen significativamente más o significativamente menos de la cantidad que se especifica en la etiqueta. Por ello, los enlatadores vigilan de cerca la cantidad de su producto entregada por las máquinas que llenan las latas. Considere una compañía que produce un cemento de hule de secado rápido en latas de aluminio de 32 onzas. A un inspector de control de calidad le interesa probar si la varianza de la cantidad de cemento de hule entregada a las latas es mayor que 0,3. De ser así, habrá necesidad de ajustar la máquina que entrega el cemento. Puesto que la inspección del proceso de enlatado requiere apagar las máquinas de entrega, y las suspensiones durante periodos prolongados le cuestan a la compañía miles de dólares en ingresos perdidos, el inspector sólo puede obtener una muestra aleatoria de 10 latas para realizar la prueba, obteniendo una media de 31,55 onzas y desviación estándar de 0,48 onzas. ¿Estos resultados de muestra indican que las máquinas de entrega requieren un ajuste? Pruebe con un nivel de significancia de α =0,05.

* ep = 6.9

Aceptar Ho

124.- En una muestra aleatoria de 250 personas que no tomaron desayuno, 102 reportaron que experimentaron fatiga a media mañana y en una muestra aleatoria de 250 personas que desayunaron, 53 informaron que experimentaron fatiga a media mañana, usar en nivel de significancia 0,01 para probar la hipótesis nula de que no hay ninguna diferencia entre las proporciones de la población correspondientes contra la hipótesis alternativa de que la fatiga a media mañana z = 2,72 es más común entre personas que no desayunaron.

rechazar H0

125.- Una máquina automática expendedora de refrescos está diseñada para despachar vasos con un contenido promedio de 0,24 litros. Si el contenido promedio es mayor, la empresa pierde; si es menor, puede ser multada. Para verificar que la máquina trabaja correctamente, se obtienen aleatoriamente 10 vasos, dando un promedio de 0,26, con una desviación típica de 0,012 litros. ¿Hay evidencia suficiente para indicar que la máquina trabaja defectuosamente? 126.- La campaña de publicidad actual de un refresco importante se cambiará si les gusta a menos del 30% de los consumidores. Una muestra aleatoria de 300 consumidores participó en una encuesta y 84 entrevistados indicaron que les gustaba la campaña. ¿Debe cambiarse la campaña? Obtener una conclusión significativa. 127.- Se ha afirmado que 40% de todos los consumidores puede identificar una marca registrada muy promocionada. Si esto es cierto se seguirá con la campaña publicitaria. En una muestra aleatoria, 13 de 20 consumidores pudieron identificar la marca registrada. ¿Deberá continuarse con la campaña? 128.- Una embotelladora llena latas de 12 onzas de refresco. Para la embotelladora no sólo es importante determinar que el promedio de onzas en las latas sea 12, sino que también consideran importante que la varianza no sea mayor de 0.200. Si la


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